ARITMETICA

BASICA

Directorio

Director General:

Mtra. Leyci Nury Fernández Izquierdo

Director Académico:

Mtra. Anabel Suarez Jener

Jefa del Departamento de Planes y Programas

Lic. Ma. De la Paz Sarmiento del Ángel

Elaborador(es) del programa de Aritmética básica

Lic. Oved Palma Javier

Ing. Alfonso Martínez García

ARITMÉTICA BÁSICA

INDICE

PARCIAL 1 los números Reales

1.1 Números Naturales

1.2 Números Racionales

1.3 Números Irracionales

1.4 Problemas aritméticos para el desarrollo de competencias

PARCIAL 2 potencias y radicales

2.1 Potencias

2.1.1 Potencia base entera y exponente natural

2.1.2 Propiedades de las potencias

2.1.3 Potencia de base 10

2.1.4 Potencia de base decimal

2.2 Radicales

PARCIAL 3 Desarrollo de habilidades Matemáticas (Razonamiento formal)

3.1 Ejercicios de razonamiento

3.2 Situaciones problemáticas de razonamiento formal

Presentación

Tú, maestro, eres la pieza clave para alcanzar la calidad educativa que nuestro

México merece. Estamos convencidos de que tu labor es una de las más

importantes para el país, si queremos mejorar los resultados educativos de

nuestros jóvenes. Por eso debemos de asumir el gran reto que presenta la

educación hoy, el de integrar los conocimientos, habilidades y actitudes que están

presente en los procesos académicos, por medio de la dimensión de desempeño.

Pone énfasis en que sea capaz de aplicar los contenidos aprendidos en aula

movilizándolos en la aplicación de situaciones que pueden ocurrir a tu alrededor.

Con esta reforma de la asignatura de Aritmética básica se pretende orientar a los

profesores y estudiantes a organizar y desarrollar experiencias de aprendizaje a lo

largo del primer semestre, basándose en las competencias que se deben

desarrollar en este nivel educativo y poner en el centro de la actividad al propio

estudiante.

Para ello se inicia exponiendo una lectura que presenta una situación práctica al

estudiante, relacionado con su entorno social, familiar o personal, que requiere la

búsqueda de explicaciones o soluciones. Por otro lado se proponen actividades

individuales y colectivas, para que por medio del análisis, la reflexión, el estudio, la

investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle

habilidades cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, al final se

proporciona al estudiante una fuente de consulta de contenidos matemáticos.

A lo largo de cada parcial se presentan diversas actividades que te ayudaran a

poner en práctica los conceptos desarrollados. Están pensados no sólo para que

apliques los métodos e ideas, sino para que seas capaz de tener un punto de vista

propio, sostener una postura crítica y trabajar en equipo o de manera individual.

También encontraras información adicional que complemente o extiendan los

temas que se desarrollan con la finalidad de fomentar la curiosidad del alumno

para que esta lo lleve a indagar mas.

Es necesario mencionar que el material por sí sólo no será suficiente para resolver

todas las dificultades de aprendizajes de los alumnos, porque esta provienen de

un gran número de factores no todos controlables (como la situación económica,

condiciones biológicas y emocionales, entre otras cosas) sin embargo, si los

facilitadores del curso realizan un buen manejo del mismo, dejando a los alumnos

pensar y equivocarse, hacerlos reflexionar sobre las inconsistencias de sus

planteamientos (cuando sean erróneas), dejarlos que aprendan de sus propios

errores e intercambiar puntos de vista con los demás antes de llegar a la

respuesta correcta, se habrá dado un avance significativo, que se continua

retroalimentándose en las asignaturas siguientes se acercara a los alumnos al

conocimiento y reforzara su razonamiento y sus actitudes. Este material aborda

dos aspectos fundamentales: permitir al educando el aprendizaje de los

contenidos que plantea el plan de estudio, mediante el desarrollo de las

habilidades para el aprendizaje de las matemáticas.

Esperamos que este trabajo sea de utilidad en el estudio de la aritmética, te

invitamos a aprovechar al máximo este manual, para hacer del aprendizaje una

oportunidad para desarrollar tus habilidades, actitudes y valores.

Justificación

Todos los modelos, tendencias y reformas educativas que se han desarrollado al

paso del tiempo han buscado responder a los cambios sociales, políticos y

económicos que en su momento se presentan.

Se transitó por varios modelos pedagógicos y estrategias didácticas, del

conductismo al constructivismo, de la didáctica tradicional a la didáctica crítica y

participativa, con el paso por la llamada tecnología educativa. El resultado más

importante de los cambios operados fue que la educación comenzó a concebirse

más como un proceso centrado en el aprendizaje de la persona que como

producto de la transmisión del conocimiento.

En este inicio de siglo, además del uso intensivo de las tecnologías de la

información y de las comunicaciones, se tiene la necesidad de recuperar el

carácter social de la educación; es decir, el principio de que se aprende con los

demás, de los demás y para los demás, lo que se denomina la didáctica grupal.

Otro de los cambios más importantes de esta etapa es el enfoque por

competencias. Este modelo educativo y de capacitación que ha venido

acompañando, desde sus orígenes, a la civilización occidental, tuvo su momento

más brillante en los talleres de la Edad Media. En aquella época ya representaba

una alternativa de formación para los jóvenes, la mayoría, que no tenían acceso a

la universidad surgida en los siglos XII - XIII. Desde entonces ha tenido periodo de

mucha aceptación y crecimiento y otros de recesión. También se ha cuestionado

el papel de las Instituciones educativas en su función y contribución de formación

de profesionistas, pero que no han respondido a las necesidades de las

sociedades y de las economías. De ahí que los nuevos modelos educativos y la

Reforma Integral de la educación Media Superior (RIEMS), tienen la función de

formar ciudadanos capaces de incorporarse, integrarse y adaptarse a una

sociedad globalizada y dinámica. El papel de las instituciones y de los profesores

es distinto al anterior, ahora se deben formar estudiantes analíticos, creativos,

innovadores, proactivos, etc., estudiantes que aprendan con el profesor y no solo

del profesor, se requieren profesores que enseñen menos pero que sus alumnos

aprendan más. Por ello, en los últimos años, la educación y la capacitación

basadas en competencias cobraron un auge inusitado en todo el mundo,

particularmente en los países que ofrecen a los jóvenes una formación profesional

técnica desde el Nivel Medio Superior (NMS), que busca sea pertinente, eficaz y

eficiente, con el fin de responder a los cambios en la organización del trabajo

provocados por la internacionalización de la economía (globalización), a la

formación de bloques económicos y la concertación de acuerdos de libre

comercio, así como por el avance tecnológico del siglo pasado, aunados al

desarrollo acelerado de las tecnologías de la información y de las comunicaciones.

Por otro lado la prueba enlace que se les aplica a nuestros alumnos, implica que

estos hayan desarrollado las habilidades matemáticas durante el estudio de las

asignaturas de matemáticas, por lo que es necesario contar con un instrumento

didáctico de preparación que les permita acostumbrarse a los tipos de reactivos y

situaciones que se les presentan en la prueba enlace y al mismo tiempo reafirmen

las competencias desplegadas durante la trayectoria académica, Por ello es

necesario que los alumnos valoren su alcance e importancia, que conozcan su

enfoque y contenido partiendo de la reflexión de que la habilidad matemática les

va a permitir razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos

de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos.

Por último los resultados obtenidos en materia educativa a nivel local y nacional no

han sido de los mejores, por lo que se puede inferir que se necesita hacer las

cosas de manera diferente, que los trabajos se realicen de acuerdo al desarrollo

de competencias

PROPÓSITO Desarrollar habilidades en los estudiantes del CECyTE tabasco que favorezcan su aprendizaje y desarrollo del perfil de egreso de tal forma que:

a) Igualmente aprenda y ejercite habilidades y estrategias de la aritmética que le permitan representar, interpretar, analizar y resolver problemas de la vida cotidiana.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos,

aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas,

relacionando magnitudes constantes y variables y empleando las literales

para la representación y resolución de situaciones y problemas aritméticos

concernientes a su vida cotidiana y escolar, que la ayudan a explicar y

describir su realidad.

Identificar las características presentes en tablas, graficas, mapas,

diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a

un lenguaje aritmético.

CARACTERÍSTICAS DEL CURSO

El curso está basado en una estrategia didáctica de participación activa, la cual

implica un compromiso entre el profesor y los alumnos para alcanzar los

propósitos planteados. La participación activa, unida al tipo de ejercicios, permitirá

crear las condiciones para estimular el trabajo responsable de cada uno de los

participantes, al analizar y extraer las características más relevantes de las

situaciones problemáticas; discutir y encontrar formas de solución de los

problemas y elegir, entre ellas, las más eficaces, así como fundamentar en todo

momento, el porqué de la estrategia de solución.

Un escenario de este tipo crea las condiciones que propician aprendizajes

significativos, donde lo más importante radica en ser consciente de lo que hago y

para qué lo hago, y no sólo de solucionar el problema. En esta perspectiva, el

docente está comprometido a supervisar de manera permanente el trabajo de sus

participantes, orientar y retroalimentar a los pequeños grupos, y en las plenarias,

respetando los procesos de discusión y los argumentos que conduzcan al

entendimiento y solución de los ejercicios, atender las dudas individuales y

propiciar, siempre, la participación activa y comprometida de los asistentes.

El facilitador

El profesor en modelos de participación activa, se concibe como un facilitador del

aprendizaje significativo, para lo cual es necesario que tenga:

Conocimiento del área que impartirá.

Dominio de una didáctica grupal.

Sensibilidad para identificar necesidades de atención en los participantes.

Manejo de estrategias de trabajo frente a grupo.

Sentido de responsabilidad.

Es importarte que considere que el trabajo grupal en un curso de estas

características, requiere de creatividad para elegir actividades adicionales,

conforme a las características del grupo, que contribuyan en el cumplimiento de

los objetivos, además del entusiasmo por aprender también de sus participantes.

Su trabajo, consiste en propiciar las condiciones necesarias para que los

participantes alcancen los resultados esperados. Sin embargo, esto no quiere

decir que la responsabilidad de su desempeño dependa sólo de usted, pues el

curso está diseñado de tal forma que el alumno se comprometa con su

aprendizaje desde la primera sesión.

El alumno

Del alumno se espera que manifieste actitudes y habilidades tales como:

Participación activa

Iniciativa por aprender, investigando información acerca de los temas

Puntualidad

Responsabilidad en el cumplimiento de sus actividades

Disposición para el trabajo en equipo

Iniciativa para el planteamiento de dudas

Disposición para hablar en público

Capacidad por aprender por cuenta propia

Con el cumplimiento de estos puntos, el alumno estará dando un gran paso hacia

el aprendizaje significativo y por ende estará desarrollando las competencias

necesarias que le permitirán triunfar en la vida.

Lectura. De la Aritmética al Álgebra

Números Reales

Los números son parte esencial en la vida de las personas. Contar es una actividad que

realizamos constantemente y que requiere de un conocimiento específico ligado a los

números. No es difícil imaginarse el surgimiento de los números en las comunidades

primitivas. La comunicación entre los humanos provocó su uso en el intercambio de

objetos, en las reparticiones y previsiones, en la transmisión de ideas, etc. Como toda

idea importante, los números surgieron como respuesta importante a una necesidad. Al

inicio, con los primeros intercambios de objetos, los humanos tuvieron necesidad de

utilizar los números, ¿cuántos peces se podían intercambiar por una lanza? De manera

natural, el primer referente fueron los dedos de las manos, incluso los de los pies. Estos

intercambios de objetos de diferente naturaleza fueron cada vez más frecuentes y en

mayor escala y la idea principal se fue complicando: ya no era posible continuar con una

idea restringida, de contar utilizando exclusivamente dedos de manos y pies, con lo que

se podían resolver problemas simples, pero no problemas más complejos. Por ejemplo,

¿los cambios de clima ocurren en períodos regulares?. La acumulación de preguntas

relativas a problemas más complejos propiciaron que algunas personas en la antigüedad,

le dedicaran más tiempo a una reflexión sobre la problemática que enfrentaban. Estos

pensadores, filósofos, sacerdotes, etc., se dieron cuenta que en sus inicios se recurría a

dedos, piedras o granos para contestar a la pregunta de ¿cuántos? y se percataron que

era necesario construir representantes de los números de manera que esa información se

pudiera comunicar a otra persona sin necesidad de ir por la vida cargando piedras u otros

objetos, sobre todo si la cantidad era grande. Así fue como esas ideas primeras e

intuitivas se fueron haciendo más y más abstractas para contestar a problemas cada vez

más generales. Poco a poco fueron surgiendo los sistemas de numeración.

De manera natural, mediante una construcción del pensamiento, surgieron los números

en las antiguas civilizaciones por su uso práctico. Los primeros números que hicieron su

aparición fueron los números naturales 1, 2, 3, … El cero fue producto de pensamientos

más avanzados y no en todas las civilizaciones surgió y quedó representado dentro de

sus sistemas de numeración. Por ejemplo, la civilización maya lo tenía, pero no la

babilónica, la egipcia o la romana. La representación de los números fue uno de los

primeros grandes avances de la inteligencia humana. Los números se representaron de

diferente manera en diferentes civilizaciones. Por ejemplo, la representación del número

doce con los babilonios, se representó:◄▼▼: con los romanos: XII, y con los indo-

árabes: 12. ¿Cuál notación se puede considerar como la mejor?. Depende de cómo cada

una favorezca (economice) o dificulte la realización de operaciones aritméticas. Si

queremos operar con esos representantes de números (llamados numerales), ¿cuál

sistema será el más cómodo para operar con sus elementos?. Veamos con un ejemplo lo

que queremos expresar:

Ejemplo 1: Comparación del algoritmo de la adición en el sistema de numeración de base

diez con el romano 1947 + 935

Arábigo Romano

1947 MCMXLVII

+ 935 + CMXXXV

2882 ?

¿Cuál sistema elegir? En la Edad media algunas civilizaciones escogieron el sistema de

numeración arábigo que tiene como base al diez. Este sistema de numeración ha sido el

de uso cada vez más generalizado. Pero aún así, los algoritmos para operar con los

numerales han sido otro tipo de problema.

El surgimiento de los números racionales también respondió a necesidades prácticas.

Los números un medio, un tercio, etc., fueron los primeros números racionales que se

utilizaron en la antigüedad. Posteriormente se descubrió que las particularidades de esos

números se podían generalizar a una categoría de números de la forma q

pcon q ≠ 0.

Ejemplos de números racionales son: 2

3,

8

2,

5

3,

5

1,

3

1,

2

1, etc.

El descubrimiento de los números irracionales requirió de un conocimiento más

avanzado. Existen tablillas babilónicas donde se muestra una aproximación a 2 por

medio de la fracción 24

17. Posteriormente, ya en la época de oro de los griegos (siglos VI

al II a.C.), con los pitagóricos, se descubrió otro número irracional que tiene que ver con

el cálculo de una de las diagonales de un pentágono (símbolo de los pitagóricos). En

esos tiempos se pensaba que existían algunos números irracionales, pero posteriormente

encontraron que en realidad había una infinidad.

Ejemplo 2: Algunos de esos números son: 32,2

,,3,2

,…

Figura 1.- Construcción de n

Los números reales quedaron constituidos por los números racionales e irracionales.

Entre los racionales quedan comprendidos los naturales (o enteros positivos), el cero y

los enteros negativos. Al tratar de resolver ecuaciones como x2 + 1 = 0, se llegó a la

construcción (Siglo XV) de un número con características muy especiales: 1 . Se le

denominó número imaginario, y se le denotó como 1 = i. Posteriormente se

construyeron los números complejos que son de la forma a + bi, con a y b números

reales

De la lectura de la Aritmética al Álgebra desarrolla las siguientes actividades:

Actividad A. Preguntas abiertas

1.- ¿Cuál es el tema central?

2.- ¿Conoces todas las palabras, símbolos, conceptos?

3.- ¿Qué debe cumplir una notación de números para ser considerada como la mejor?

5.- ¿Cuáles fueron los primeros números en aparecer?

6.- ¿Qué tipo de números requirió de un conocimiento más avanzado?

1

1

1 1

1

5

4

3

2

7.- En el siglo XV se llegó a la construcción de un número con características muy

especiales, ¿cuál es ese número y cómo se le denominó?

Actividad B. La palabra correcta

Completar enunciados

1.- Los _______________ son parte esencial de la vida de las personas.

___________________ es una ________________ que realizamos constantemente y

que requiere un ___________________ específico ligado a los números.

2.- Pensadores y filósofos de la antigüedad se percataron que era necesario construir

________________ de los números para que esa información se pudiera

________________ a otra persona sin necesidad de ir por la vida

_______________objetos.

3.- Las primeras ideas acerca de los números eran más bien intuitivas y luego se fueron

haciendo cada vez más ________________ para responder a problemas cada vez más

____________________.

4.- Poco a poco fueron surgiendo así los _________________ de numeración

5.- De manera natural, por su uso práctico y mediante una __________________ del

pensamiento surgieron los _______________ en las antiguas civilizaciones.

6.- Los números ________________ quedaron constituidos por los números

________________ e ________________. Entre los que quedaron comprendidos los

________________, el ________ y los ______________ negativos.

7.- Existen tablillas babilónicas donde se muestra una ____________________ a 2

Listado de palabras:

Aproximación, generales, representantes, comunicar, sistemas, abstractos, construcción,

números, cargando, cero, complejos, enteros, reales, naturales, irracionales, imaginarios,

racionales, conocimiento, actividad, contar.

Actividad C. Búsqueda de relaciones de correspondencia

1.- Número es a numeral, como sonido es a:

a) Onda

b) Volumen

c) Nota

d) Ruido

2.- Algoritmo es a operación numérica, como receta es a:

a) Guiso

b) Fórmula

c) Norma

d) Cálculo

3.- Naturales son a racionales, como reales son a:

a) Enteros

b) Imaginarios

c) Complejos

d) Irracionales

Actividad D. Elaboración de enunciados

Solicitar a los alumnos que elaboren tres enunciados que no sean textuales, como los de

la actividad 3, dejando espacios en blanco para que los demás equipos seleccionen las

palabras que se omitieron. Los enunciados que hagan deben ser diferentes de la

actividad mencionada.

Actividad E.

Con base en la lectura, elabora un diagrama que muestre las relaciones entre los

números: imaginarios, racionales, reales, enteros negativos, cero, naturales, complejos.

Lectura 2. Menos por menos es más

Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente.

Sin embargo los matemáticos de la India, en el siglo VII, usaban los números negativos

para indicar deudas y los representaban con un circulito sobre el número; admitían

soluciones negativas en las ecuaciones pero no las tomaban en consideración porque

decían que ―la gente no aprueba las raíces negativas‖.

Gerolamo Cardano , en el siglo XVI, llamaba a los números negativos ―falsos‖, pero en su

Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.

Hoy, una de las preguntas más repetidas en las clases de matemáticas es ¿por qué

menos por menos es más?

Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla es puramente

arbitraria y se adopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias

justificaciones claras y aceptables:

Equivalente lingüístico: la doble negativa equivale a una afirmación: No es cierto

que Pepito no tenga el libro = Pepito tiene el libro.

Un ejemplo fácil de visualizar es el de la isla Barataria, donde hay ciudadanos

―buenos‖ a los que se asigna el signo +, y ciudadanos ―malos‖ a los que se da el

signo-. También se acuerda que: ―salir‖ de la isla equivale al signo -, y ―entrar‖ a la

isla equivale al signo +.

Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria, el resultado para la isla es

positivo: (+) (+) =(+).

Si un ciuadadano malo (-) sale (-) de Barataria, el resultado para la isla es

positivo: (-) (-) =(+).

Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de Barataria, el resultado para la isla es

negativo: (+) (-) =(-).

Si un ciuadadano malo (-) entra (+) a Barataria, el resultado para la isla es

negativo : (-) (+) =(-)..

Actividad A. Preguntas

1.- ¿Cuál es el tema central de la lectura?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2.- ¿Qué pensaban los matemáticos de la India en el Siglo VII, acerca de los números

negativos?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.- ¿Quién estudió con más detalle a los números negativos en el siglo XVI?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4.- ¿Podrías crear un ejemplo, similar al de la isla de Barataria, pero diferente en situación

y personajes? (Por ejemplo; Tec, tu refrigerador, etc).

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

5.- Si digo ―No traje nada‖, ¿qué estoy afirmando realmente? ¿Podrías crear cinco

expresiones parecidas?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6.- ¿Podrías demostrar que (-) X (-) = +?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

7.- ¿Podrías mencionar cinco ejemplos del uso de los números negativos en la vida real?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

______________________________________________________________________

8.- La expresión ―menos por menos es más‖ ¿es un teorema? ¿es una regla arbitraria?

¿es un axioma?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Actividad B. La palabra correcta

1.- Los ____________ _______________ no fueron ____________________

universalmente. Sin embargo los ____________________ de la India, en el Siglo VII

__________________ los ________________ ____________________ para indicar

_____________________ y los _________________ con un ___________________

sobre el número.

2.-Gerolamo _____________, en el _______________, llamaba a los números

________________ ―falsos‖, pero en su ________________ los estudió

_______________.

3.-No es ________________ encontrar una _____________ sencilla a la pregunta ¿por

qué ________________ por ___________ es ________________?, pero existen

________________ justificaciones ___________ y aceptables.

4.-La isla ____________ es un ejemplo _________________ de _________________. A

los __________________ ―buenos‖ se les _________________ el _______________ +, y

a los ________________ ―malos‖ se les __________ el ____________ —, se acepta;

____________ de la isla equivalente al ___________________ — y __________ a la isla

equivalente al signo +.

Listado de palabras

Aceptados, matemáticas, negativos, salir, circulito, números, representaban, más, menos,

respuesta, Ars Magna, Cardano, entrar, siglo VII, Barataria, siglo XVI, asigna, visualizar,

ciudadanos, fácil, claras, varias, usaban, deudas, exhaustivamente, ciudadanos, signo.

Lectura 3. Simbolismo y Notación

Alfred North Whitehead (Inglaterra 1861-1947) dice en su Introductíon

mathematics (1911): "Gracias al simbolismo avanzamos en el razonamiento casi

mecánicamente, solo con la mirada; sin él tendríamos que utilizar centros mas

especializados del cerebro Una buena notación nos libera del trabajo innecesario

Y nos permite concentrarnos en los aspectos mas difíciles de los problemas".

Es casi siempre seguro que si los matemáticos griegos estudiaron principalmente

la Geometría descuidando la Aritmética Y el Álgebra, se debió a la inadecuada

notación que tenían para representar los números. Operaciones que hoy dia son

triviales, requerían para ellos mucho talento.

Un buen ejemplo de la eficacia del simbolismo algebraico se puede observar en el

uso de los exponentes: la notación x3 para xxx empezó en el siglo XIV y la

generalizó René Descartes (Francia, 1596-1650) en el siglo XV. Esta nueva

notación preparó el descubrimiento de los logaritmos llevado a cabo por dos

matemáticos ingleses: John Napier(1550-1617) Y Henry Brig (1561-1630),

quienes, empezando con la identidad abstracta:

nmnm xxx , trabajaron sólo con los exponentes para simplificar los cálculos.

La identidad anterior, escrita en la siguiente forma: 12/12/1 xxx muestra que

x es Igual a x elevando a la potencia 1/2. Esta observación llevó al

descubrimiento y uso de los exponentes racionales.

Gottfried W. Leibnitz atribuyó todos sus descubrimientos matemáticos a mejoras

en la notación. Descubrió el Cálculo Infinitesimal, igual que Newton, pero Newton

denotó las derivadas sucesivas con: ,...,,......

xxx

Leibnitz las denotó con:

,...,,32

dt

xd

dt

xd

dt

dx

Newton no indicaba la variable independiente Y era difícil, si no imposible, expresar la

derivada enésima con los puntos.

Durante más de un siglo gracias a la notación de Leibnitz, los matemáticos del

continente europeo hicieron enormes progresos en matemáticas pura y aplicada;

en Gran Bretaña, comparativamente se adelantó poco hasta principios del Siglo

XIX, cuando se creó una sociedad para introducir en Inglaterra la notación de

Leibnitz (tomado de: ―historia e historias de matemáticas‖, Mariano Perero).

Actividad A. Preguntas

1.- ¿Cuál es un buen ejemplo de la eficacia del simbolismo algebraico?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

____________

2.- ¿Quiénes descubrieron al mismo tiempo el cálculo infinitesimal?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

____________

3.- ¿Qué notación para las derivadas incluye la variable independiente?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

____________

4.- ¿Qué notación preparó el descubrimiento de los logaritmos?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

____________

Actividad B. La palabra correcta

Procedimiento: Solicite a los alumnos que seleccionen del listado de palabras que se

encuentran al pie del ejercicio, aquella que integre el enunciado correctamente

Posteriormente que intercambie los ejercicios para ser evaluados

Material: Manual del Instructor y diccionario

Tiempo estimado: 15 minutos

―Una buena ___________ nos libera de _________________ innecesario y nos permite

__________________ en los aspectos más difíciles de los ____________________‖

―Un buen ejemplo de la ________________del algebraico se puede observar en el uso

de _______________________‖.

―Durante más de un siglo, gracias a la notación de ________ los _______________del

continente europeo hicieron enormes __________________ en Matemáticas pura y

aplicada‖.

―Es casi seguro que si los ____________________ estudiaron principalmente la

____________ descuidando la y el ____________________ se debió a la notación

que tenían para representar los números‖.

Listado de palabras

Algebra, Aritmética, Geometría concentramos, eficacia, exponentes, griegos, inadecuada,

Leibnitz, matemáticos, notación, números, problemas, progresos, simbolismo, trabajo.

Actividad C. Relaciones de correspondencia

1.- Símbolo es a concepto, como:

a) Bandera es a patria

b) Escudo es a nación

c) Figura es a imagen

d) + es a suma

2.- Notación es a ciencia, como:

a) es a triángulo

b) = es a igualdad

c) Derivación es a cálculo

d) Cálculo es a integración

3.-Exponente es a potencia, como:

a) Coeficiente es a suma

b) Diferencia es a resta

c) Signo es a término

d) Término es a expresión algebraica

4.- Simbolismo es a avances en las matemáticas, como:

Digitalización es a avances en ___________________.

a) Computación

b) Electrónica

c) Telefonía

d) Fotografía

LOS NÚMEROS REALES

1.1 Números Naturales

¿Que son los Números Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene

un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven

para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya

que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar

en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación.

Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un

número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de

dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el

sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números

enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números

naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo

del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se

puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un

tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se

obtiene un resto

Estimación y cálculo mental

Conocimientos y habilidades:

Realizar las operaciones con números naturales: Mental o con algoritmo.

El dominio de los diferentes recursos de cálculo debe ser suficiente para que en la

resolución de problemas no se convierta en un obstáculo. Por otra parte, los alumnos

deben poder seleccionar el recurso de cálculo más adecuado a la situación dada. Se

trabaja con números de distinta cantidad de cifras, pero no se exigirá el dominio de los

algoritmos para números cualesquiera. Se privilegiara siempre que sea posible el recurso

del cálculo mental, que será objeto de actividades regularmente.

Por ejemplo, los alumnos podrán estimar el resultado de cálculos como: 285 368+19

389+697 207= redondeando, por ejemplo, el primer número a 280 000, el segundo a 20

000 que sumados dan300 000 y agregando al final 700 000 para obtener 1 000 000.

En situaciones de pago en mensualidades, si interesa el cálculo del monto que se pagara

de más por el pago en abonos, por ejemplo, una computadora cuesta $13 000.00 y se

ofrece pagarla en 12 abonos mensuales de $1189.90 cada uno. .Cual es la diferencia con

el precio al contado si se paga en abonos? Redondear el monto de la cuota a $1 200.00

permite, al multiplicarlo por 12, determinar que se pagaría un total de aproximadamente

$14 400.00 Y si se conoce el monto total a pagar y no el precio de cada abono, los

alumnos deberían poder calcular cual sería ese valor, al encontrar aproximadamente el

cociente del total entre el número de abonos. Sin embargo, el cajero deberá realizar el

cálculo exacto, con el algoritmo, para determinar exactamente el abono a pagar. Es la

situación la que determina el tipo de cálculo seleccionado.

Actividad 1. Resuelve mentalmente los siguientes ejercicios.

1 Elige la pareja de números cuya suma es la mitad de mil:

181 328 263 319 182 257

1. Escoge la pareja de números cuya suma sea el doble de mil:

599 495 597 1205 1501 1403

2. Selecciona la pareja de números cuyo producto sea el triple de mil:

35 14 50 605 502 60

3. Elige la pareja de números cuyo cociente sea la quinta parte de mil:

500 2000 800 2 4 5

Actividad 2. Resuelve mentalmente los problemas siguientes.

4. Si un barco carga en promedio 541 000 barriles de petróleo crudo por embarque,

¿cuántos barriles llevara en 4 embarques? ____________________________

5. La zona de almacenamiento de barriles de petróleo crudo en Campeche, tiene una

capacidad de 2.2 millones de barriles de petróleo al mes. ¿Cuántos barriles se

almacenan al año?_______________________________________________

6. Si el barril de petróleo crudo se compra en 66 dólares, ¿Cuánto debe pagar por la

compra de 541 000 barriles.__________________________________________

7. En México, una hectárea de terreno puede producir entre 2 y 12 toneladas de maíz

al año, dependiendo del clima y de la calidad del suelo. el promedio nacional es

de 7 toneladas por hectárea (has). Expresa en kilogramos la producción promedio

de 50 has._______________________________________

8. Aspirar constantemente humo de cigarro genera, a largo plazo, graves daños de

salud como cáncer, enfisema pulmonar y problemas de circulación sanguínea. Si

la mitad de 2099 estudiantes están expuestos al humo de cigarro en su hogar,

¿Cuántos son los que están en riesgo de padecer algún problema de salud?

9. La secretaria de educación pública informa que la prueba enlace 2008 se aplico a

10’697,296 alumnos pertenecientes a 121,368 planteles de NMS, lo que

representa una cobertura de aplicación de 98%.

A) ¿Qué cantidad corresponde a 1% del total de exámenes aplicados?___________

B) Si la cuarta parte de las escuelas corresponden a la modalidad tecnológica

¿Cuantas escuelas de esta modalidad se evaluaron? ______________________

C) ¿Cuántos planteles corresponden a las demás modalidades?________________

10. El continente americano tiene una extensión territorial de 42’044,000 km2 y

el continente antártico 14’ 000,000 km2 ¿Cuántos km. Cuadrados es más

grande el continente

americano?_____________________________________________

11. En el año 2007, la zona del sureste mexicano fue afectado por diversos

huracanes. La producción de maíz se redujo a 2 toneladas por hectárea.

¿cuánto se perdió en 70 has., en comparación con la producción

promedio?___________

Verificar sus respuestas de manera grupal y con ayuda del facilitador.

Actividad 3. Integrados en equipos resuelvan los siguientes problemas, utilicen los

recursos necesarios (El cálculo mental, operaciones con papel y lápiz).

Evitar el uso de la calculadora.

A) En una papelería la fotocopia tamaño carta la cobran a 20 centavos y la

oficio a 25 centavos. Mari saco 240 copias tamaño carta y calculo que si por

5 copias se paga $1, debe dividirse 240 entre 5, que es lo mismo que dividir

240 entre 10 y multiplicarlo por 2, esto es:

485

240

2410

240 y 48224 x

Por lo tanto mari pago $48.

Explica el procedimiento para calcular mentalmente lo que cuestan 140 copias

tamaño

oficio______________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

________________________

Compara el procedimiento que obtuviste con el de tus compañeros.

Actividad 4. Calculen cuanto se debe pagar en los siguientes casos:

Enunciado

Procedimiento

300 fotocopias tamaño oficio

78 fotocopias tamaño carta

67 fotocopias tamaño oficio

104 fotocopias tamaño carta

319 fotocopias tamaño oficio

Actividad 5.

El politereftalato de etileno, conocido como PET, es un derivado del petróleo que

se utiliza para producir envases de plástico. El PET también es un gran

contaminante del ambiente, ya que tarda en degradarse entre 100 y 500 años, por

eso es necesario reciclarlo. Se calcula que una botella vacía de 2 lts. Pesa

aproximadamente 83 g.

¿Cuánto pesan 10 botellas de PET de 2 lts?

________________________________

¿Cuánto pesaran 21 de ellas?

____________________________________________

¿Cuál es el peso de 19 botellas?_____________________________________________

Para reciclar y transportar las botellas se comprimen formando paquetes.

¿Cuánto pesa un paquete comprimido de 5999 botellas de PET de 2 lts.? ____________

¿Cuál de las siguientes preguntas resolvieron usando el cálculo mental y cual con papel y

lápiz?________________________________________________________________

Explique por que________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

______________________________________________________________

a. Números Racionales

Los números racionales son los que se pueden representar por medio de

fracciones.

Los números racionales representan partes de algo que se ha dividido en

partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una tarta en 4 trozos iguales y nos

tomamos tres trozos de la tarta nos hemos comido 3/4 de la tarta.

Son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3, ... También son números

racionales los números enteros 2 = 2/1, 5 = 10/2, ...

Un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por

ejemplo: 1/2, se puede expresar como 1/2, 2/4, 3/6, ... De todas estas formas,

la primera se llama fracción irreducible y las demás fracciones equivalentes.

Hay infinitos números racionales. Aunque parezca increíble, podemos 'contar'

(asociar un número natural a cada número racional) los números racionales.

Muchas veces los números racionales se expresan como números decimales.

Por ejemplo: 1/2 = 0,5, 3/4 = 0,75.

Se pueden clasificar en dos grupos: Limitados y periódicos. Estos últimos se

pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos.

Los números racionales limitados son los que en su representación decimal

tienen un número fijo de números. Por ejemplo: 1/4 = 0,25.

Los números racionales periódicos son los que en su representación decimal

tienen un número ilimitado de números.

Hay dos tipos de números racionales periódicos: Los periódicos puros: Un

número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer

decimal. (por ejemplo: 3,838383...) y los periódicos mixtos: un número o grupo

de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal

(por ejemplo 3,27838383...).

i. números fraccionarios.

Utilizar fracciones para expresar el cociente de la división de una medida entera entre un

numero natural (2 pasteles entre 3; 5 metros entre 4, etcétera).

Se trata ahora de que logren anticipar que la fracción que resulta de dividir n unidades en

m partes, es n/m de la unidad. Esto puede pensarse de las siguientes maneras:

Suponer que la división se hace unidad por unidad, por ejemplo, si en el reparto ―4

pasteles entre 5‖ se repartieron los pasteles uno por uno, de cada pastel tocara a cada

quien 1/5, por lo tanto de los cuatro pasteles tocan 4/5. Al resolver varios problemas de

reparto manteniendo constante el divisor (un pastel entre 5 niños, dos pasteles entre 5

niños, tres pasteles entre 5 niños, etcétera). Esto permite observar que conforme el

dividendo (numero de pasteles) pasa de 1 a 2 a 3 a 4, etcétera, al resultado le ocurre lo

mismo (pasa de 1/5 a 2/5 a 3/5…). Esto ayuda a establecer también que en un reparto

como 4 pasteles entre 5 niños, debe tocar a cada quien 4 veces lo que tocaría si el

reparto fuera de un solo pastel, por lo que 4 pasteles entre 5 niños es igual a 4 veces 1/5.

Otro problema que se puede plantear es el siguiente: en cinco pasos, el robot A avanza 1

unidad, el robot B avanza 2 unidades, el robot C avanza 3, .cuanto avanza cada uno en

un solo paso?

ACTIVIDAD 1. Resuelve el problema siguiente.

La abuelita diana cada domingo compra 8 peras que reparte de manera equitativa entre

los nietos que la visitan. El antepenúltimo domingo llegaron 8 nietos, el penúltimo domingo

la visitaron 5 y el último solo fueron 4.

¿Qué fracción de pera le toco a cada uno el antepenúltimo domingo?_______________

_____________________________________________________________________

¿Qué fracción el penúltimo?________________________________________________

¿Qué fracción el ultimo?___________________________________________________

Actividad 2.

A) En un congreso se reparten pasteles de manera equitativa, sin que sobre alguno,

Con esta información y en equipos, completen las tablas siguientes.

Equipo Cantidad de

pasteles

Cantidad de

personas

¿Cuánto le toca a cada persona?

A 1 5

B 2 5

C 3 5

D 4 5

E 5 5

¿En qué equipo le tocaron mas galletas a cada persona?__________________________

¿En qué equipo le tocaron menos galletas a cada persona?________________________

¿En qué columna encuentras el numerador (dividendo)? _________________________

B)

Equipo Cantidad de

pasteles

Cantidad de

personas

¿Cuánto le toca a cada persona?

A 1 3

B 2 4

C 3 5

D 4 6

E 5 7

¿En qué equipo le tocaron mas galletas a cada persona?__________________________

¿En qué equipo le tocaron menos galletas a cada persona?________________________

¿En qué columna encuentras el numerador (divisor)? ____________________________

Actividad 3.

En equipos, completen las tablas siguientes. En cada una se indica la forma en que

avanzan cinco personas.

personas Avanza

estas

unidades

Al dar este

numero de

pasos

Unidades que avanza al dar un paso

A 1 5

B 2 7

C 4 10

D 7 12

E 10 30

F 5 2

G 3 3

H 8 12

I 9 15

J 6 10

¿Cuál persona avanza más de un paso?______________________________________

¿Cuál persona avanza menos de un paso?_____________________________________

¿Cuál persona avanza mas en un paso?_______________________________________

¿Cuál persona avanza menos en un paso?_____________________________________

¿Qué persona avanza más de una unidad por paso?______________________________

1.2.2. Números decimales

Comparar, ordenar y encuadrar números decimales.

La mayor parte de los errores de los alumnos en relación con el orden de los decimales

proviene de una interpretación errónea de las escrituras con punto. Las reglas utilizadas

para comparar, encuadrar y posteriormente intercalar números deben ser justificadas

apoyándose en el significado de las escrituras decimales. La ubicación en la recta

numérica puede ser un buen recurso para estas actividades. Es sabido que muchos

alumnos consideran a los números decimales como dos números enteros separados por

un punto. Esta concepción, en la comparación de números como 2.15 y 2.126, apoya

la afirmación de los alumnos de que 2.126 es un número mayor porque 126 es mayor que

15. Apelar a la relación con las fracciones decimales deberá ser un trabajo permanente, a

fin de afianzar las ideas correctas sobre estos números. Así, la expresión con fracciones

decimales: 2.15= 2+1/10+5/100 y 2.126=2+1/10+2/100+6/1000, permitirá los alumnos

concluir que 2.15 es un número mayor que 2.126. Además, deberán poder concluir que no

es correcto utilizar el número de cifras de la parte decimal para decidir sobre el orden de

los números decimales. En algunos casos la parte entera, independientemente de la parte

decimal puede decidir el orden. Por ejemplo, 5.0123 y 7.1. También deberán encuadrar

con facilidad números decimales, ya sea entre enteros o entre decimales con una cifra

decimal, con dos, etcétera. Por ejemplo, 5.231 es mayor que 5 y menor que 6, pero a la

vez puede encuadrarse entre números con una cifra decimal: es mayor que 5.2 y menor

que 5.3. Finalmente, también puede incluirse entre 5.23 y 5.24. El encuadramiento de un

número entre otros dos, la comparación de dos o más números decimales y la ubicación

en la recta numérica son conocimientos que pueden complementarse y apoyarse

mutuamente.

A) Identifica las diferencias y el orden entre las fracciones y los números

decimales. Puede encontrar números fraccionarios o decimales entre dos

números dados.

En parejas, contesta lo que se pide.

A los alumnos del 1er. Semestre en el CECYTE se les solicito que dijeran su

estatura, los que la sabían la registraron de la siguiente manera: Eliud, 1.4 m; perla,

1m con 30 cm; Fernando 1 ¼ m; Mauricio y Pedro, 1.50 m; Sofía 1 1/5 m.

a) ¿Quién de ellos es más bajo de estatura?

b) ¿Qué alumnos tienen la misma estatura?

c) Teresa no sabe con Guillermina no sabe con exactitud su estatura, pero al

compararse con sus compañeros se da cuenta de que es más alta que Eliud y

más baja que Pedro. ¿Cuánto mide aproximadamente?

1.2.3. Relaciones de proporcionalidad.

Calcular el porcentaje de cantidades mediante diversos procedimientos (aplicando la

correspondencia ―por cada 100, n‖, aplicando una fracción, usando como base el 10%).

En este apartado se pretende que el alumno al resolver situaciones diversas aprendan a

utilizar el 10% para calcular de manera rápida otros porcentajes, tales como el 5% (la

mitad de 10%), el 20% (el doble de 10%), etcétera. Es recomendable que se aborden

situaciones en las que: Un mismo porcentaje se aplica a diversas cantidades, pues esto

permite apreciar la relación proporcional entre las cantidades iníciales y las finales.

Porcentajes diversos, incluso mayores que 100, se apliquen a una misma cantidad. Esto

permite apreciar las variaciones de la cantidad resultante en función del porcentaje y

favorece el uso de procedimientos como: 15% de A = 10% de A más 5% de A.

El porcentaje se aplica tanto a cantidades discretas (personas por ejemplo) como

continuas (superficies por ejemplo). El paso de un tipo de magnitud a otro puede contribuir

de manera importante a la comprensión de la noción de porcentaje.

Actividad 1. Una casa de préstamo ofrece dinero cobrando interéses. El anuncio

dice:

¿Cuál es el interés mensual que se cobra

Por el préstamo?____________________

__________________________________

Calculen el interés mensual que se pagara por las siguientes

cantidades:

Cantidad Interés

100

200

500

1000

1500

2500

10 000

50 000

150

2650

125

1625

Actividad 2. En equipo resuelvan los problemas siguientes.

A) Angelina, Diana y Mari, deciden vender en un bazar diferentes artículos

personales en buen estado, para ello cada una coloca un puesto. Decidieron

ofrecer toda su mercancía con 10% de descuento. Completen la tabla siguiente.

ANGELINA DIANA MARI

ABRIGOS

Precio ($) 100 140 80

Descuento ($) 10

Precio rebajado ($) 90

ARETES

Precio ($) 50

Descuento ($) 4

Precio rebajado ($) 6

BLUSA

Precio ($)

Descuento ($) 8

Precio rebajado ($) 45 63

Actividad 3.

El 10% del precio de un artículo es igual a $13. Completen la tabla con los diferentes

porcentajes de descuento para el mismo artículo.

Porcentaje Descuento ($) Precio con descuento

5%

10% 13 117

15%

20%

25%

30%

50% 65

75%

1.2.3.1. Resolver problemas de valor faltante que requieran aplicar dos o más

factores constantes de proporcionalidad enteros o un factor no entero (Fracción o

porcentajes)

Los alumnos deben adquirir mayor dominio en la resolución de problemas de valor

faltante con números enteros y pueden empezar a resolver problemas sencillos en los que

algunos datos no sean enteros. También se espera que los alumnos avancen en su

conocimiento del factor de proporcionalidad. A continuación se precisa lo que se espera

que puedan hacer:

1. Aplicar un factor fraccionario:

Ejemplo 1: La cantidad de harina que se obtiene al

moler el maíz es aproximadamente 3/5 del total de

maíz. Poner las cantidades que faltan en la tabla.

Ejemplo 2: Para preparar la mezcla de pintura

debe ponerse 25% (o sea 25/100) de pintura y

75% de agua. Poner las cantidades que faltan

en la tabla.

Se determina un factor entero:

Al resolver diversos problemas, una vez

completadas las tablas, preguntar: existe un

Cantidad de

maíz (kg)

Cantidad de

harina (kg)

1

2

3

8

Cantidad de

pintura(lts)

Cantidad de

agua

(lts)

Cantidad de

la mezcla

(lts)

1

5

18

3

numero, siempre el mismo, que multiplicado por los números de la primera columna,

arroje los de la segunda columna? Combinar casos en los que dicho número existe con

otros en los que no existe. Cuando este número existe, utilizarlo para calcular valores.

Destacar que la existencia de dicho número es una característica de una relación de

proporcionalidad. Nombrarlo como constante de proporcionalidad.

Actividad 1. Completa la siguiente tabla.

¿Cuál es el precio de un kilogramo

de café? _________________

Actividad 2.

En parejas, completen la tabla siguiente: La cual contiene información de cómo está

distribuido el peso en una lata de atún en aceite. La tabla más pequeña de atun

pesa 170 g; de ellos 4

1es aceite y 75% es atún; estas proporciones son las mismas

en todas las presentaciones de las latas de atún.

Peso total Aceite Atún Peso de la

lata vacía

170 g

¾ kg

Peso de la

bolsas de

café(kg)

Precio

($)

120

1.5 180

5

1440

750 g

1 kg

Si el peso de una lata grande de atún es de 1880 g, ¿Qué peso

tiene el

atún?___________________________________________________

___

1.2.4. Pensamiento proporcional

Este tipo de pensamiento corresponde al concepto matemático que implica la capacidad

para descubrir la igualdad de dos razones (que constituye una proporción).

La posesión de este esquema por parte del alumno es indispensable para que el alumno

comprenda temas de geometría, como la semejanza de triángulos y polígonos; temas de

algebra, como la solución de ecuaciones que involucran el uso de proporciones; en

problemas de física y química y que involucran la variación proporcional (directa e

inversa), en dibujo para la comprensión y elaboración de modelos a escala y resulta muy

útil para interpretar analogías.

Ejemplo:

Se solicito a dos pintores que pintaran una escuela. Uno de ellos haría el trabajo completo

en 12 días y el otro en 18 días.

¿En qué tiempo harían entre los dos el trabajo encomendado?

Actividad 1. Resuelva los siguientes problemas.

I. Un grupo de 10 alumnos, deciden arreglar los 49 mesabancos de su salón

de clases trabajando 6 horas cada sábado en equipos.

a) 1 alumno termina un mesabanco en un sábado.

b) 2 alumnos terminan entre ambos un mesabanco

c) 3 alumnos terminan entre ellos dos

d) 4 alumnos terminan entre ellos tres.

Responde los siguientes cuestionamientos:

1. ¿Cuántos sábados ocuparon para terminar los 49 mesabancos?

2. ¿Cuántas horas trabajo cada alumno en cada sábado?

3. ¿Cuántos mesabancos arreglo en total cada alumno?

4. ¿Cuántas horas efectivas en total trabajo cada alumno?

Presentar sus respuestas ante el grupo.

II. Para cubrir una charola en forma de rectangular se requieren 45 galletas

saladas o 60 galletas dulces. Y para otra charola de menor tamaño se

requieren 30 galletas saladas.

¿Cuántas galletas dulces se requieren para cubrir la charola de menor tamaño?

Anotar y explicar sus respuestas:

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

III. En un sube y baja de 6 metros de longitud total se sientan 2 personas de

diferentes pesos (una pesa 60 kgs. Y la otra pesa 90 kgs.).

¿A qué distancia del punto de equilibrio del sube y baja (punto central) deberá sentarse

cada una de las personas para que el sube y baja quede equilibrado?

Anotar y explicar sus respuestas:

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

1.2.5. Representación de la información en tablas

Resolver problemas con base en la información dada en una tabla.

Si se conoce información dada en tablas, se pueden extraer los datos incluidos en ellas,

pero también se los puede interpretar, extrayendo más información de la que puede ser

leída directamente. Por ejemplo, es recomendable que se aborden situaciones como las

siguientes:

Distancia Tiempo

Horas Minutos Segundos

Pedro

100 m 0 2 0

Juan

50 m 0 0 50

Antonio

150 m 0 2 51

Ricardo

200 m 0 4 0

En esta tabla se puede leer que el tiempo que tardo Amalia en recorrer 100 metros es 2

minutos; que Catalina recorrió 150 metros en 2 minutos 51 segundos. Pero también

puede obtenerse nueva información al responder preguntas como:

¿Quién nado durante menos tiempo?

¿Quién nado más rápido? Que exige poner en relación la distancia recorrida y el

tiempo empleado.

Esta actividad pone en juego relaciones de proporcionalidad, por ejemplo, si Beto hubiera

nadado a la misma velocidad que Amalia, tendría que haber tardado 1 minuto, como tardo

50 segundos, significa que nado más rápido que Amalia.

Actividad 1. Organizados en parejas, contesten las siguientes preguntas.

En la tabla siguiente se indica la distancia que recorrieron los ciclistas con respecto al

tiempo.

Distancia

(m)

Tiempo

Minutos Segundos

Javier

1200 2 46

Juan

800 1 55

Benito

1500 2 25

Josefina

950 2 20

A) ¿Quién pedaleo más tiempo?_________________________________________

B) ¿Quién pedaleo menos tiempo?_______________________________________

C) ¿Quien recorrió una distancia mayor?___________________________

Si conserva la misma velocidad ¿Qué distancia recorrerá Javier en 5 minutos?

Actividad 2. En parejas, analicen la grafica y con base en la información que

muestra, contesten las preguntas.

¿Cuántas piezas hay en cada caja?

______________________________________

¿Cuántas cajas se necesitan para

1275 piezas? _________________________

¿Cuántas piezas hay en 125 cajas?

_______________________________________

__

Actividad 2. La tabla muestra la variación del tiempo (t, en horas) y la

distancia (d, en kilómetros) de un automóvil que avanza a una velocidad

constante. Contesta las siguientes preguntas.

¿Qué distancia recorrerá el automóvil en 6

hrs?_______________________________

¿En qué tiempo recorrerá 80

km?__________________________________

_

Si la velocidad se reduce a la mitad, ¿Qué

distancia cubrirá en 4 hrs?___

_____________________________________

_

A una velocidad de 45 km/h, ¿Qué distancia

se desplazara en 45

minutos?___________________________

Tiempo

(hrs)

Distancia

(km)

1

70

2

140

3

210

2.1 Potencias

Conocimientos y habilidades:

Cuenta una leyenda que alguna vez existió un rey, que en cierta ocasión se

encontraba muy aburrido, así que un anciano decidió inventar un juego para

entretenimiento del rey. Éste juego lo conocemos actualmente como ajedrez. El

rey quedó tan divertido con aquel juego que decidió premiar al anciano con

cualquier cosa que éste le pidiera.

El anciano dijo: – ¡Gran rey! Como seguramente habrás notado, el tablero del

juego tiene 64 cuadrados. Me daré por recompensado si me otorgas dos granos

de trigo por el primer cuadrado, cuatro por el segundo, ocho por el tercero, y así

sucesivamente.

El rey se sintió ofendido, pensando que había desaprovechado su intención de

recompensa, con aquella insignificante petición. Pero quedó perplejo cuando

ordenó que se hicieran los cálculos para otorgar el número de granos de trigo

pedido por el anciano, pues, aunque aparentemente era poco, el número de

granos por el cuadro número 64 era sorprendentemente grande.

Veamos:

Por el primer cuadro, el rey debía otorgar 2 granos al anciano.

Por el segundo cuadro, debía darle 2 X 2 = 4.

Por el tercero, correspondían 2 X 2 X 2 = 8

Las raíces y las potencias se utilizan mucho en los procesos matemáticos. Sirve

para modelar procesos físicos en ecuaciones matemáticas y con eso saber qué

tipo de acciones tomar para que algo este mejor controlado. Para las simulaciones

o procedimientos también son útiles ya que estas se utilizan mucho en la

tecnología y en la vida cotidiana, por ejemplo, lo ves en los videojuegos (que

utilizan estas fórmulas para simular física, luz, etc.), en televisores digitales, en tu

misma computadora, en robots en fábricas, etc. Como nos podemos dar cuenta

aprender los contenidos relacionados con los exponentes y radicales no

representan una pérdida de tiempo, sino lo contrario nos sirve para tomar mejores

decisiones y disfrutar de sus aplicaciones, sino preguntemos al rey.

Actividad 1. Resuelve mentalmente los siguientes ejercicios.

COMO SE EXPRESARÍA EN POTENCIA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES???

1.- 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3=

2.- 5 x 5 x 5 x 5=

3.- 10 x 10 x 10 x 10=

4.- 1/5 x 1/5 x 1/5 =

Completa lo siguiente:

45 x = 4500000000000

123 x = 1230000000000000

Escribe mediante ceros lo que se indica:

123 x 1013

=______________________________________________

5467 x 1024

=_____________________________________________

234,4 x 1015

=____________________________________________

Actividad 2. Resuelve mentalmente los problemas siguientes.

Sabias qué?

La potenciación con

exponente 2 y la raíz

cuadrada, aparecen

representadas por

primera vez en forma

matemática en

papiros egipcios.

1.- En una tienda de autoservicio se reciben 15 camiones con 15 cajas y en cada caja hay 15

botellas de aceite. ¿Cuántas botellas se reciben en total?________________________

2.- De la lectura anterior, si por el primer cuadro el rey debería de darle 2 granitos de trigo,

¿Cuántos le debería de dar por el cuadro numero 8?____________________________

3.- El rey al darse cuenta de la cantidad de granitos de trigo que debería darle al anciano, les

comunico a sus colaboradores que debían de juntar esa cantidad de trigo, para lo cual les

propuso que cada uno debería de juntar una cierta cantidad la cual estaría determinada de

acuerdo al número que les correspondiera a la hora de enumerarse de acuerdo al número de

colaboradores, empezando por el uno, dos…etc. Inmediatamente el rey dijo uno y

seguidamente los demás se fueron numerando hasta el numero 10. El rey pone la siguiente

regla que el primero de la lista deberá de poner 5 granitos de trigo y el numero dos pasara a

encabezar la cadena y reunirá los granitos de trigo que reunió el rey, pero que por cada

numero de orden se debería elevar a dicho orden la base, que es el numero de granito de

trigo juntado por el rey.

Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas siguientes.

Lugar Numero de granitos de trigo

1 Rey 5

2 52 = 25

3

4

5

6

7

8

9

10

¿Cuántos granitos de trigo deberá de reunir el 5 en la lista?

¿Crees que realmente la cadena no se rompa y el numero 10 de la lista reúna esa

cantidad de granitos de trigo?______________________ ¿por qué?_________

______________________________________________________________

¿Consideras que el rey aprendió de la lección dada por el anciano?__________

¿En qué basas tu respuesta?_________________________________________

_______________________________________________________________

Actividad 3. Integrados en equipos completen la siguiente tabla.

Utilicen los recursos necesarios.

Juego de ajedrez

Numero de cuadro Cantidad de granitos de trigo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

………..

48

Otros ejemplos:

Ejemplo: 43 = 4 × 4 ×4 = 64

En palabras: 43 se puede leer "4 a la tercera potencia", "4 a la potencia 3" o simplemente

"4 al cubo"

Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente

"2 a la cuarta"

Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones

Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta

notación.

En general:

an te dice que multipliques a por sí mismo,

y hay n de esas a:

Propiedades de los exponentes.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Ley Ejemplo

x1 = x 6

1 = 6

El exponente de un número nos dice cuántas veces

se usa el número en una multiplicación.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda

potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "

al cuadrado"

x0 = 1 7

0 = 1

x-1

= 1/x 4-1

= 1/4

xm

xn = x

m+n x

2x

3 = x

2+3 = x

5

xm

/xn = x

m-n x

4/x

2 = x

4-2 = x

2

(xm

)n = x

mn (x

2)3 = x

2×3 = x

6

(xy)n = x

ny

n (xy)

3 = x

3y

3

(x/y)n = x

n/y

n (x/y)

2 = x

2 / y

2

x-n

= 1/xn x

-3 = 1/x

3

La ley que dice que xm

xn = x

m+n

En xm

xn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n"

veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x

3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x

5

Así que x2x

3 = x

(2+3) = x

5

La ley que dice que xm

/xn = x

m-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces,

después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2

= x4/x

2 = (xxxx) / (xx) = xx = x

2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea"

puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1:

Ejemplo: x2/x

2 = x

2-2 = x

0 =1

La ley que dice que (xm

)n = x

mn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n

veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)

4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x

12

Así que (x3)4 = x

3×4 = x

12

La ley que dice que (xy)n = x

ny

n

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x

3y

3

La ley que dice que (x/y)n = x

n/y

n

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x

3/y

3

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:

Ley Ejemplo

Actividad 1. Resuelve mentalmente los siguientes ejercicios.

1.- 33 · 3

4 · 3 =

2.- 57 / 5

3 =

3.- (53)

4 =

4.- (5 · 2 · 3)4 =

5.- (34)

4 =

6.- [ (53)

4 ]

2 =

7.- (82)

3

8 . - (−2)2 · (−2)

3 · (−2)

4 =

9 . - (−8) · (−2)2 · (−2)

0 (−2) =

10.- (−2)− 2

· (−2)3 · (−2)

4 =

11.- 2− 2

· 2− 3

/ 24 =

12.- (−3)1 · [ (−3)

3]

2 · (−3)

− 4 =

13.-

14.-

Actividad 2. Resuelve los siguientes problemas.

1.- La productividad física (cantidad de empleados produciendo) para una fábrica de

juguete es P = 250 (X+4)3/2

donde x es el numero de maquinas en funcionamiento.

a) ¿Cuál es la productividad de la fabrica si están en funcionamiento una maquina?

b) ¿Cuál es la productividad de la fabrica si están en funcionamiento 5

maquinas?_________________________________________________________________

c) ¿Cuál es la productividad de la fabrica si están en funcionamiento 2 maquinas y una

tercera trabaja a medias?_____________________________________________________

2.- Se invierten $2´000,000.00 durante x años con una tasa de interés del 8%, compuesto

trimestralmente, el valor futuro resultante será: S = 2´000,000.00 (1.02)4x

¿Cuál será el capital en 6 años?

¿Cuál sería el capital si se invierten 300,000.00 en 4 años?

3.- El ojo humano percibe la luz en millones de pequeños puntos, de manera similar a lo

que pasa actualmente en las cámaras digitales que se usan actualmente para fotografiar esos

momentos importantes de tu vida. Posteriormente, el cerebro mezcla esos puntos para tener

una imagen clara. Los puntos se forman gracias a las células receptoras de la retina

llamadas conos o bastones.

La medida promedio de un cono o un bastón es de 0.0045cm. Cada ojo contiene un millón

de esas células.

Escribe, usando metros, cual es la medida promedio de una célula receptora (cono o

bastón)_________________________________m.

Usa potencias de 10 para escribirlo._______________________________________

Un ojo parpadea 25 veces por minuto. ¿Cuántas veces parpadea en una hora?__________

¿En un día?_________________________

¿En un año?________________________

Escribe tu resultado usando potencias de 10._____________________________________

Actividad 3. Resuelve los siguientes ejercicios.

1

COMPLETAR LA FRASE QUE FALTA:

1.- Si la base es negativa y el exponente par el resultado es___________________

2.- Si la base es negativa y el exponente impar el resultado es_________________

3.- Si las bases son iguales en una multiplicación los exponentes se____________

4.- Si las bases son iguales en una división los exponentes se _________________

5.- Potencia de otra potencia los exponentes se ____________________________

6.- Todo número elevado a la cero el resultado es__________________________

7.- Si un exponente es negativo para resolverla, a la base hay que_________________

2

Con la información obtenida en el ejerc ic io 1, completa la

s iguiente tab la.

característ ica resul tado

-a2 , 4 , 6 …

posi t ivo (+)

3

Calcula los valores de las siguientes potencias:

Reto En cada tira hay tres maneras de expresar una misma potencia correcta y una que no es

correcta. En parejas, encuentre la expresión que es incorrecta.

1.- Efectúa:

2 . - Opera :

3.-

4 . -

5 . -

6 . -

4

80.33333

√8 8

1/3 3√8

52

5 X 5 5

4/2 5

2/2

6-3/4

1/ 6

3/4 6

-075 1/6

1/4

an

a x a x a…..n a x a x n…… 1/a -n

Reto Completa la tabla y contesta las preguntas.

5

Base

Potencia

1 3 1/2 3/4 5 1/8

2

-3

4

1/5

8

¿Qué cantidad es la potencia de 1/4?

¿Qué cantidad es la potencia de 1/2 de base -3?

¿Qué cantidad es la potencia de 3 de base 4?

¿Qué cantidad es la potencia de 3/2 de base 4?

¿Qué cantidad es la potencia de 5/8 de base 2?

Se pueden consultar las siguientes páginas como apoyo a su aprendizaje.

http://profe-alexz.blogspot.com/2010/06/potenciacion-y-radicacion-

ejercicios.html

2.2 Radicales

Propósito: aplicar las propiedades de la radicación en la resolución de

ejercicios y problemas.

Conoce la dirección de tu aprendizaje

La visión del universo que tenía el sabio Pitágoras de Samos y sus discípulos

estaba dominada por sus ideas filosóficas acerca del número. Decían que: ―el

numero natural y las proporciones entre números naturales gobernaban todo

cuanto existía‖.

Un descubrimiento hecho por los mismos pitagóricos, a través del teorema de

Pitágoras, demostró que esta afirmación era falsa, ya que ellos mismos se dieron

cuenta de la existencia de un número que no era natural y tampoco se podía

expresar como fracción alguna.

Lo anterior lo encontraron cuando quisieron calcular la hipotenusa del triangulo

rectángulo, cuyos catetos median uno, fue lo que origino el derrumbe de dicha

teoría filosófica. El triangulo en cuestión es el siguiente:

C donde c2 = 1

2 + 1

2

1 c = √ 2

1

Es decir, el numero que representa la longitud de la hipotenusa c, de un triangulo

rectángulo isósceles con lados de medidas l, se representa como √2, se lee, ―raíz

cuadrada de 2‖ y nos indica aquel número elevado al cuadrado es igual 2. Como

ya sabemos √2 no es un número entero ni un número racional. Este número es

considerado dentro de los números reales como un irracional.

De acuerdo a lo anterior nos podemos dar cuenta que el aprendizaje de los

radicales y sus propiedades es fundamental, ya que dentro de las múltiples

operaciones que se pueden hacer durante procesos matemáticos aparecen

resultados que no se representan con números enteros o fraccionarios, y que es

necesario representarlos con símbolos diferentes tal y como sucede con los

números irracionales que es donde se ubica los radicales.

COMO SE EXPRESARÍAN LAS RAICES DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES EN

POTENCIAS Y SACAR SU RAIZ???

1.- √36

2.- √32

3.- 3√27

4.- 5√57

5.- √ 5√59

6.- √49 * √25

7.- √81 / √36

Actividad 2. Resuelve los siguientes problemas.

1.- A un estudiante se le planteo la siguiente pregunta: haga una lista breve de los

elementos e importancia de los radicales. Como respuesta el estudiante escribió lo

siguiente.

Los radicales es una operación inversa a la potenciación, la cual consiste en sacar

la raíz de una cantidad que se anota bajo un signo llamado radical (√), la cantidad

que se encuentra dentro se le llama cantidad subradical o radicando, el numero

que se encuentra en la parte superior izquierda del radical se le llama índice e

indica la raíz que se debe de extraer de la cantidad subradical. La importancia de

las raíces se debe principalmente a que por medio de ella podemos determinar

potencias de exponentes fraccionarios, además de las múltiples aplicaciones que

tienen en algunos campos de las ciencias.

a) EXCELENTE. (aparecen todos los elementos e importancia y presentan explicaciones claras y correctas).

b) BUENO. (aparecen todos los elementos e importancia pero las explicaciones no son tan claras como deberían ser)

c) REGULAR. (Faltan uno o dos elementos, o las explicaciones no son claras, o las explicaciones son irrelevantes.)

d) NO ACEPTABLES. (Faltan más de dos elementos, Y las explicaciones no son claras Y/O son irrelevantes).

2.- Tenemos un corte de alfombra rectangular que mide 36m * 48m, si doblamos la

alfombra a lo largo de la diagonal para formar un triangulo rectángulo y queremos

proteger el lado cortado con una cinta ¿Cuántos metros de cinta se necesitan para

cubrir ese lado?

3.- Vas a construir una cerca alrededor del jardín cuyo terreno es cuadrado. Se

sabe que el jardín tiene 121m2. El problema es determinar cuantos metros de

cerca tienes que comprar para cercarlo todo el jardín. Si l es la longitud del lado

del cuadrado, entonces, la ecuación que nos queda resolver es l2 = 121

Ejemplos de situaciones para reafirma los aprendizaje

Un radica l es una expres ión de la forma , en la que n y a

€ R; con tal que cuando a sea negat ivo, n ha de ser impar .

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes

Uti l izando la notación de exponente f racc ionar io y la

propiedad de las f racciones que d ice que si se mult ipl ica

numerador y denominador por un mismo número la f racción es

equivalente, obtenemos que:

Si se mult ip l ican o d iv iden e l índice y e l exponente de un

radica l por un mismo número natural, se obt iene otro radical

equivalente .

Simplif icación de radicales

Si existe un número natural que div ida al índice y al

exponente (o los exponentes) del radicando, se obt iene un

radica l s impl i f icado.

Propiedades de los Radicales: El producto de las raíces con igual índice es la raíz del producto.

Esta propiedad nos indica que resolver el producto de dos o más raíces con igual

índice es igual a la raíz del producto de las cantidades sub-radicales con el mismo

índice, en términos generales:

n√a . n√b = n√a. b

Ej. Escriba el siguiente producto de raíces 4√3x . 4√5y como la raíz de un producto. Solución:

Como es un producto de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez,

manteniendo el mismo índice y se expresan las cantidades sub-radicales como un

producto.

4√3x . 4√5y = 4√3x.5y = 4√15xy

El cociente de las raíces con igual índice es la raíz del cociente.

Esta propiedad nos indica que resolver el cociente de dos o más raíces con igual

índice, es igual a la raíz del cociente de las cantidades sub-radicales con el mismo

índice, en términos generales:

n√a / n√b = n√a/b

Ej. Escriba el siguiente cociente de raíces

5√6x / 5√3y = 5√ 6x/ 3y = 5√ 2x/ y = 5√ 2x y-1

Potencia de una raíz

Cuando hablamos de potencia de radicales simplemente nos referimos a

potencias que tienen como base un radical. Estas potencias cumplen con todas

las propiedades de la potenciación. Escribir una raíz elevada a una expresión, es igual a escribir bajo el signo radical la cantidad sub-radical elevada a esa misma expresión, es decir ( n√a )m = n√am Ejemplo, resolver (4√ x2)4 (4√ x2)4 = 4√ (x2)4 = 4√ x8 Raíz de una raíz:

Esta propiedad se refiere a que bajo un signo radical puede existir otro signo radical,

como por ejemplo √ 5√a o varios como

4√

3√ √ 3x Resolver esto es muy fácil, sólo

se deben multiplicar los índices de los radicales y escribir un nuevo radical con

este resultado como índice y se conservan las cantidades sub-radicales. Esta

regla o propiedad se enuncia de la siguiente forma: n√ m√a = n.m√ a

Ejemplo: Resolver 4√ 3√ x5 y3

Para la expresión 4√ 3√ x5 y3, multiplicamos los índices de los radicales dados (4*3=

12) y este será el nuevo índice del radical resultante y la cantidad sub-radical se

conserva.

Respuesta 4√

3√ x

5 y

3 =

12√ x

5 y

3

Actividad 3. Realizar las siguientes actividades.

1.- Elabora un tríptico (el cual pueda ser repartido en el salón de clases), donde se

reflejen: la definición, las propiedades y los procedimientos para la utilización

efectiva de expresiones con radicales. Agrega una sección al tríptico, donde se

indiquen los errores más comunes que se cometen al trabajar con este tipo de

expresiones.

2.- Construye un formulario con las formulas genéricas referidas a las propiedades

de los radicales.

3.- llena la siguiente tabla de valores.

a b a2 b2 √b a+b √a+b (a+b)2 √a2+b2

3 4

7 5

10 10

4.- De las cantidades calculadas en la tabla anterior, responde si son ciertas o

falsas las siguientes afirmaciones.

a) √a+b = √a + √b

b) √(a+b)2 = a + b

c) √a2+b2 = √a2 + √b2

d) (a + b)2 = a2 + b2

5.- Demostrar:

6.- El triángulo es isósceles y uno de los lados iguales mide 5 cm. La base del rectángulo mide 6 cm.

La expresión:

es equivalente a:

a) √a-b

b) a- b

c) √a2-b

2

d) a + b

El área de la región sombreada es de:

a) 24

b) 15

c) 12

d) 30