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7/25/2019 aritmetica8.pdf

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Aritmtica

1. Determine la diferencia positiva de los trminos de una fraccin equivalente a

, tal que el producto de sus trminos es el menor nmero que tiene 27

divisores positivos.

A) 132 B) 231 C) 125 D) 123 E) 121

Solucin:

P = 24 . 72 . k2 k = 22

D = 33(4) = 132Clave: A

2. Cuntas fracciones propias e irreducibles de denominador 128 existen demodo que la suma de sus trminos es mltiplo de 11?

A) 4 B) 6 C)2 D) 5 E) 3

Solucin:

1128

af ; a ; 128 (PESI)

127a + 128 = 11a = 15 ; 37 ; 59 ; 81 ; 103 ; 125

Clave: B


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3. Los de los asistentes a una asamblea son mujeres, 49 de los varones son

solteros, mientras que los de los asistentes varones son casados. Cul es

el total de asistentes a dicha asamblea?

A) 165 B) 210 C) 240 D) 95 E) 170

Solucin:

Total de assistentes = x

;

49x5

2

12

7HS

x = 210 Clave: B

4. Pedro gast de sus ahorros, despus invirti de lo que le qued, mas

S/. 240; como tena que pagar una letra de S/. 1200, pidi prestado de lo que

tiene, menos S/. 90. Cunto tena ahorrado?

A) S/.4400 B) S/.4500 C) S/.5000 D) S/.3700 E) S/.3800

Solucin:

Cantidad de ahorros = x

4400x

120090240x3

1

4

3

2

3

Clave: A

5. De un recipiente lleno de leche adulterada se sabe que los del barril, menos

20 litros es leche pura, y del recipiente, mas 7 litros es agua si se extrae la

tercera parte de la mezcla, cuntos litros de leche pura queda?

A) B) C) D) E)

Solucin:

Agua = 7x3

1


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Leche =

x = 156Leche =

Queda =

Clave: B

6. Un depsito, estando vaco, puede ser llenado con agua por un grifo M en 6

horas, y por otro grifo N en 8 horas; y estando lleno puede ser vaciado por ungrifo P en 12 horas. Si estando vaco se abre el grifo M, luego de 1 hora se abreel grifo N y 2 horas ms tarde se abre el grifo de desage P, en cuntas horasse lleno todo el depsito?

A) B) C) D) E)

Solucin:

Grifo M = 6 hrGrifo N = 8 hrGrifo P = - 12

5

6t

1t12

1

8

1

6

12

8

1

6

11.

6

1

Ttotal=5

14

5

21

5

621

Clave: C

7. Tres hermanos deciden repartirse una herencia, al primero le corresponde

del total y los otros dos se reparten el resto. El segundo gasta de su parte y

el tercero gasta S/. 300, quedndose los tres con la misma suma de dinero. Acunto ascendi la herencia?

A) S/. 5500 B) S/. 5250 C) S/. 4950 D) S/. 5005 E) S/. 7150


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Solucin:

Herencia = x

Primer Hermano =

Segundo hermano = a

Tercer hermano =

Luego:

a13

33x x

11

5300a

Luego: x = 4950Clave: C

8. Cuntas fracciones irreducibles con denominador 38, comprendidas entre

y existen?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 7 E) 20

Solucin:

Fraccin =

5,28N...,124

3

38

N

3

1

N = 13; 15; 17; 21; 23; 25; 27Rsp. 7

Clave: D

9. Cuntas fracciones propias e irreducibles con denominador 3528 existentales que el numerador no termine en 5?

A) 353 B) 360 C) 345 D) 412 E) 806

Solucin:

223 73.2352813528

N

(N) = 1008

Pero de los 1008 s retiro los que terminan en 5

5

1183o

1721o

507o


5/37

Total = 353 (151) = 202

1008 202 = 806

Clave: E

10. Si y son fracciones irreducibles cuya suma es 12, halle el mayor valor

posible de (a.b - c).

A) 7 B) 8 C) 6 D) 4 E) 9

Solucin:

c = 9 ; a + b = 8

mayor: 3 x 5 9 = 6Clave: C

11. Una familia tena un recipiente lleno de agua mineral. El primer dia bebi de

su contenido, ms 8 litros; el segundo da bebi17

3de lo quedaba, ms 5 litros

y el tercer da bebi del resto. Si le quedaban 18 litros de agua en el

recipiente, de cuntos litros es la capacidad del recipiente?

A) 45 B) 50 C) 35 D) 60 E) 70

Solucin:

Capacidad = x

45x

1858x15

14

17

14

69

54

Clave: A

12. Para cuntos valores de x menores que 98 la fraccin se hace

reductible?

A) 56 B) 49 C) 60 D) 48 E) 55

Solucin:

x < 98

2x

5628x

2x

x30x2


6/37

56 = m(x + 2)

son 49x + 2 =

son 14

son 7

Valores para los cuales , es entero: 7 valores

Total = [49 + 14 7] 7 = 49Clave: B

EJERCICIOS DE EVALUACION N8

1. Cuntas fracciones impropias e irreducibles con numerador 2475 existen,tales que el denominador no termine en 27?

A) 1175 B) 1375 C) 1745 D) 1184 E) 1183

Solucin:

D < 2475 , D 1

2475 = 32. 52. 11

(N) = 1200 1= 1199

;

6 + 9 = 15 s

1199 15= 1184Clave: D

2. Si la suma de dos fracciones irreducibles es el mayor nmero primo de doscifras cuya suma de cifras es 11 y la suma de sus numeradores es el menorposible, halle la mayor fraccin irreducible.

A)2

165 B) C) D)4

75 E)

Solucin:

83k

b

k

a

a + b = 83k k = 2

49


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a = 165 b = 1

Rsp.

Clave: A

3. De un tonel lleno de vino puro, se extrae la mitad y se reemplaza con agua,luego se extrae la tercera parte de la mezcla y se reemplaza con agua, despus

se extrae la cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua y assucesivamente. Si en este proceso se agreg 19 veces agua al contenido deltonel y al final qued 35 litros de vino puro, de cuntos litros es la capacidaddel tonel?

A) 700 B) 680 C) 720 D) 650 E) 750

Solucin:

Capacidad = x

35x20

19......

5

4.

4

3.

3

2.

2

1

x = 700Clave: A

4. Se tiene tres recipientes llenos de vino, cuyos volmenes estn en la relacinde 2; 3 y 5 . Del tercero se pasa m litros al segundo y de este n litros alprimero, si m + n = 72 y los recipientes ahora tienen la misma cantidad, halle la

cantidad de litros que haba al inicio en el segundo recipiente.

A) 72 B) 80 C) 65 D) 78 E) 82

Solucin:

2k + n = 3k + m n = 5k m

2k + n = 3k + m n = 5k m

k = 2n m2k = 2m n

m + n = 72m = 40 ; n = 32

3k = 72Clave: A

5. Para cuntos nmeros n entre 1 y 2013 sucede que el numerador y el

denominador de la fraccin impropia no son primos relativos?

A) 87 B) 86 C) 76 D) 89 E) 78

4m = 5n


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Solucin:

4n

234n

4n

7nf

2

n + 4 = 4k

1 < 4k 4 < 2013

k = 87Clave: B

6. No gast el cudruplo de lo que perd, mas x soles, luego gast lo que no perd,menos x soles. Si lo que perd es igual a lo que no perd, menos 2x soles, qufraccin de lo que tena es lo que no perd?

A) B) C) D) E)

Solucin:G NG Total

b x 4a + x 4a + bP NP

a = b 2x b 2b 2x

2b 2x = 4a + x5x = 2b

9

5

b5

16b5

b

b4a

bf

Clave: A

7. Un tanque vaco puede ser llenado por dos grifos M y N en 4 y 5 horasrespectivamente, mientras que un tercer grifo P puede vaciar el tanque lleno en6 horas. Se abre el grifo M, media hora despus el grifo N y media hora mstarde el grifo P, en cunto tiempo se llenar el tanque?

A)17

56h B) h C) h D)

17

52h E) h

Solucin:

1t61

51

41

21.

51

41

21.

41

t =17

39

Ttotal=

Clave: A


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8. Cul es la suma de las cifras del denominador de la fraccin equivalente a

, si la diferencia positiva de sus trminos est comprendida entre 2000 y

2008 ?

A) 21 B) 23 C) 25 D) 19 E) 17

Solucin:

2000 < 4k < 2008

500 < k < 502

k = 501

D = 17 (501) = 8517

Suma cifras = 21Clave: A

9. Con dos nmeros primos se forma una fraccin impropia de modo que excede

en a su fraccin recproca. Halle la diferencia positiva de los trminos de la

fraccin impropia inicial.

A) 4 B) 0 C) 8 D) 2 E) 10

Solucin:

dif. = 4

Clave: A

10. Un comerciante compra cocos a razn de cinco cocos por S/. 7 luego vende los

3

2del nmero de cocos que compr a razn de dos por S/. 3 y lo dems a

razn de cuatro por S/. 6. Si la ganancia fue de S/. 75, cuntos cocos vendien la segunda venta?

A) 250 B) 320 C) 280 D) 350 E) 220

Solucin:

Cant. Cocos = x

Costo =


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Vende =

Venta =

x = 750Rsp:

Clave: A

lgebra

EJERCICIOS DE CLASE

1. En el desarrollo del binomio , la suma de los grados absolutos detodos los trminos es 715; halle el grado del trmino central.

A) 65 B) 60 C) 84 D) 96 E) 90

Solucin

Tenemos el siguiente desarrollo

nn2n2n3n1n3n3nn3 )y(n

n...)y()x(

2

n)y()x(

1

n)x(

0

nyx

por dato se tiene que:

equivalentemente

entonces por lo que .

El binomio de Newton planteado es que tiene 11 trminos

su trmino central es , es decir

cuyo grado absoluto es

Clave: A


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2. Halle el nmero de trminos racionales fraccionarios que se obtienen al

desarrollar el binomio .

A) 25 B) 26 C) 30 D) 24 E) 27

Solucin

Un trmino general es donde

luego con

dato: entonces y

por lo que

hay trminos racionales fraccionarios.

Clave: A

3. Si los coeficientes del primer y ltimo trmino del desarrollo del binomio

son iguales, halle la suma de coeficientes de los trminos

centrales del binomio .

A) B) C) D) E)

Solucin

Con respecto a hay 22 trminos por lo que:

21421 )xa2(0

21

T y

dato: entonces luego:

Siendo , tenemos el siguiente binomio de Newton

que tiene 12 trminos, por lo que hay 2 trminos centrales a saber:

54636 )y()x(5

11T y

cuya suma de coeficientes es: .

Clave: A


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4. Halle la suma de coeficientes de si en su desarrollo, el grado

con respecto a los extremos es 65.

A) B) C) D) E)

Solucin

El binomio de Newton tiene .

Los trminos son equidistantes respecto a los extremos,

los trminos son equidistantes respecto a los extremos, en general

observamos que la suma de ndices de dos trminos equidistantes respecto alos extremos es , por lo que el trmino que equidista de respecto a

los extremos del desarrollo del binomio de Newton es

.

Dato: entonces por lo que: .

El binomio de Newton tiene .

Clave: C

5. En el desarrollo del cociente notable , halle el lugar del

trmino que tiene grado absoluto igual a 145.

A) 17 B) 15 C) 13 D) 11 E) 9

Solucin

Siendo un cociente notable,

2m

20m30

1m

50m15osmintr# por lo que implicando

que . Se obtiene el cociente notable: que tiene 20 trminos.

Supongamos que el trmino tenga

grado absoluto igual a 145 entonces por lo que .

Por lo tanto el lugar del trmino del cociente notable que tiene como grado

absoluto igual a 145 es 13.

Clave: C


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6. Si el cociente notable: tiene un trmino de la forma:

, halle .

A) 21 B) 46 C) 54 D) 58 E) 59

Solucin

Notamos que: es un cociente

notable de 99 trminos.

con

entonces debe ocurrir:

Hallemos el trmino de lugar 50:

492150509950 )1x25(10)1x5()1x5(.10T

haciendo la identificacin, luego .

Clave: E

7. Si y es un cociente notable, halle el trmino en

el que la diferencia de exponentes de sus variables es igual a 2.

A) B) C) D) E)

Solucin

Como es un cociente notable, se debe tener que

nm

6n4m2

n

nmosmintr# entonces

equivalentemente , siendo una ecuacin en , el miembroizquierdo es un cuadrado perfecto lo que implica que el miembro derechotambin lo deba ser, o sea el lado derecho debe contener factores cuadrticospor lo que ; as 26)3.(2.6)1n(n6 entonces por lo que

.

El cociente notable planteado es que tiene 5 trminos, cuyo trmino

genrico es: con

Dato: la diferencia de exponentes de las variables de es igual a 2


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Caso 1:

Caso 2: , as:

.

Clave: C

8. Si el primer trmino central del desarrollo del binomio y el segundotrmino central del desarrollo del cociente notable tienen el mismo

grado, halle el valor de .

A) 216 B) 204 C) 240 D) 269 E) 124

Solucin

Para el binomio de Newton de 20 trminos, el primer trmino

central es: o sea a93010 yx9

19T .

Para el cociente notable de trminos, el segundo

trmino central es: o sea

Dato:

.

240

!7!.3

!10.2

7

10.2

7

10

7

10

7

10

3

10J .

Clave: C

EJERCICIOS DE EVALUACION

1. Uno de los trminos del desarrollo del cociente notable22

nn

ba

)ba()ba(es

, halle el ltimo trmino.

A) B) C) D) E)


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Solucin

22

nn

22

nn

)ba()ba(

)ba()ba(.2

ba

)ba()ba(,

2k2k2n1k

2k

2

n

2k )ba()ba(2)ba(.)ba(2T

Se tiene que entonces , as

241221313213 )ba(2)ba()ba(.2T

Clave: D

2. Si el desarrollo del binomio de Newton tiene 18 trminos, halle el

trmino de lugar 9.

A) 5x!9

!17B) C) D) E)

Solucin

.

Dado el binomio de Newton

el trmino de lugar 9 es:

Clave: C

3. Si el grado absoluto del quinto trmino del cociente notable:

11y6yx

)3y()2x(2

n10n5es 18, halle el valor numrico del trmino de lugar 14

cuando .

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2

Solucin

2

n10n5

2

n10n5

)3y()2x(

)3y()2x(

11y6yx

)3y()2x(

trminos.

425n55 )3y(.)2x(T entonces:


16/37

El cociente notable dado es donde cada uno de los 15

trminos que posee depende de .

Cuando

Clave: B

4. Al desarrollar la potencia se encuentran 2 trminos racionalesfraccionarios, halle el cociente racional entero de dichos trminos.

A) 28 B) C) D) E)

Solucin

tiene en su desarrollo 9 trminos.

8...,,3,2,1,0K,x3.k

8)3()x(

k

8.

x

1T

22

k8kkk8

21k

Por dato: .

Si 16716

7 x3.28Tx36

8T:6k

Si 28928

9 x3Tx38

8T:8k

Luego: Si x9

28

x3

x3.28

T

T28

16

9

7

Clave: B

5. En el desarrollo del cociente notable: , la suma de los grados

absolutos de los trminos centrales es , halle el valor de: 3 2n .

A) B) 5 C) D) 6 E)

Solucin

El cociente notable3m2m

6m98m12

yx

yxtiene trminos,

entonces .


17/37

Dado el cociente notable de 20 trminos, los trminos centrales son:

303611131120411

274011031020410 yx)y()x(Tyx)y()x(T

Dato: .

AsClave: B

6. Calcular el trmino independiente del desarrollo siendo .

A) 22 B) 21 C) 20 D) 23 E) 24

Solucin

Por dato, debe ocurrir: entonces .

El trmino independiente ocupa el lugar 22.

Clave: A

7. Si y se tiene que: 793...3n.63

2n.17

1n.3

0n.2

sumandos"1n"

, hallar el valor de

.

A) B) C) 5 D) E) 7

Solucin

Tenemos que:

osmintr"1n"

432n ....4.4n4.

3n4.

2n4.

1n

0n41

es decir:

osmintr"1n"

n ....4

n256

3

n64

2

n16

1

n4

0

n3

Por propiedad

osmintr"1n"

n

n

n....

4

n

3

n

2

n

1

n

0

n2


18/37

Sumando:

osmintr"1n"

nn ....4

n.257.

3

n.63.

2

n.17

1

n.3

0

n.223

luego , dando valores:

Clave: E

8. Si n es un entero positivo, calcule el nmero de trminos que tiene el desarrollode: .

A) B) C) D) E)

Solucin

Por el desarrollo del binomio de Newton, tenemos:

1nT

n

4T

33n

3T

22n

2T

1n

1T

nn )zy(...)zy(x3

n)zy(x

2

n)zy.(x

1

nx)zy(x

De donde observamos que , osmintr2tieneT2 ,

; luego el total de trminos

es2

)2n)(1n()1n(n...4321 .

Clave: E

Geometra

EJERCICIOS DE LA SEMANA N 8

1. En la figura, L1// L2// L3// L4. Si AB = FG, CD = 2EF y numricamente se cumple

que (AB)3 = 4(BC)2, halle GH (en metros).

A) 8 m

B) 6 m

C) 7 m

D) 4 mE) 5 m

Solucin:

x = ?

Dato: a3 = 4b2 . . . ( )

L 2

L 1

L

L 3

A

B

C

D

E

F

G

H


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a

c

b

a

a2 = bc . . . (1)

2ac = bx . . . (2)

(1) (2):

a2(2ac) = (bc)(bx)

2a3 = b2x

2(4b2) = b2x por ( )

x = 8 mClave: B

2. En la figura, C es punto de tangencia y 2CD = EF = 8 m. Halle DE.

A) 3 m

B) 3,5 m

C) 3,8 m

D) 4 m

E) 4,5 m

Solucin:

DE = x = ?

TrazamosL tangente a las circunferencias por C.

ACE( ) (T. Thales): . . . (1)

ACF( ) (T. Thales): . . . (2)

(1) y (2): 32 = (x)(x + 4) x = 4 m

Clave: D

G

H

A

B

CD

E

L

4

x

8

2

2

L 2

L 1

L 4

L 3

A

B

C

D

E

F

G

H

a

ab

c

2c x

FG

H

A

B

CD

E


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3. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Si AB = 9 m, BC = 12 m y PQ = 6 m,

halle PR.

A) 6 m B) 4 m

C) 4,5 m D) 5 m

E) 5,5 m

Solucin:

BQP ~ CHD:

CH BP = 54 . . . (1)

BRP ~ ALD:

12x = BP AL . . . (2)

AL = CH . . . (3)

De (1), (2) y (3): 12x = 54 x = 4,5 m

Clave: C

4. En la figura, son dimetros, BC = 2 m, CD = 10 m y mBEC = 45.Halle AB.

A) 2 m B) 3 m

C) 4 m D) 5 m

E) 6 m

Solucin:

AB = x = ?

Trazamos mBED = 90

Trazamos mAEC = 90

AEC: : Bisectriz interior

: Bisectriz exterior

A, B, C y D (forman una cuaterna armnica)

(x)(10) = (2)(x + 2 + 10) x = 3 mClave: B

A B C

E

45

x

4545

2 10

45

A B C D

E


21/37

5. En la figura, B y P son puntos de tangencia. Si AB = 10 m, BC = 3 m y AC = 8 m,halle CP.

A) B) C)

D) E)

Solucin:

CP = x = ?

Trazamos

Prolongamos hasta Q

Propiedad en el ABC


mCBP = mPBQ =

ABC (T.B.E.):

x =

Clave: C

6. Un hexgono regular ABCDEF se encuentra inscrito en una circunferencia. Por el

vrtice B se traza una recta que interseca a en J, a en K y a la

prolongacin de en L. Si BJ = 3 m y JK = 1 m, halle KL.

A) 2 m B) 2,2 m C) 2,3 m D) 2,5 m E) 3 m

Solucin:

KL = x = ?

BEK:

: Bisectriz interior


B, J, K y L (forman unacuaterna armnica)

x

x4

1

33x = 4 + x

x = 2 mClave: A

A B

Cx

P

Q3

8

10

A B

CP

A

B

CD

E

F

L

3

60

K

J1

x

60 6060

30

30


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7. En la figura, M, L y T son puntos de tangencia. Si AB = 8 m, halle TH.

A) 4 m B) 5 m

C) 7 m D) 3 m

E) 6 m

Solucin:

TH = x = ?

ANC: Issceles

AN = NC = a + b

AL = AM = MC = TC = a

CHT ~ CBA:

x = 4 mClave: A

8. En la figura, O1 y O2 son centros de las circunferencias; E, P, F, Q, G y T son

puntos de tangencia. Si AB = 6 m, AC = 8 m y AO1= 5 m, halle O1O2.

A) 3 m

B) 3,5 m

C) 4 m

D) 4,6 m

E) 5 m

Solucin:

O1O2= x = ?

ABC: O1es incentro y O2es excentro

mAO2C =

(Teorema de la bisectriz exterior)

AO1B ~ ACO2:

5x = 23 x = 4,6 m

Clave: D

A

B

C

L

M

NT

H

a a

bb

8

a a

x

O2

O1

F

GA

B

C

Q

E

P

Rr

T

6 x

5

A

B

C

L

M

NT

H

O2

O1

F

GA

B

C

Q

E

P

T


23/37

9. En la figura, AG = 3BG y AC = CD. Halle .

A) B) C)

D) E) 3

Solucin:

ABC (T. Menelao):

(3a)(n)(b) = (a)(m)(2b)

. . . (1)

BFG ~ CFE: . . . (2)

(1) en (2):

Clave: C

10. En un cuadriltero convexo ABCD, la recta que pasa por los puntos medios de los

lados interseca a las prolongaciones de en los puntos E y Frespectivamente. Si AE = 4 m y DC = 2CF, halle ED.

A) 5 m B) 6 m C) 8 m D) 10 m E) 12 m

Solucin:

ED = x = ?

Trazamos

: Base media del ABC

// //AC

EDF ~ ADC:

x = 12 mClave: E

A

B

C

E

FG xy

n

m

b b

3a

a

n

BN

F

C

AE

M

a

2a

4 x 4

n

m

m

x

A

B

C D

E

FG


24/37

11. En la figura, ABCD es un rectngulo y BD = 20 m. Si H y G trisecan a , halleEF.

A) 3 m B) 4 m

C) 2 m D) 1 m

E) 5 m

Solucin:

AEB ~ DEH

DE = 5

AFB ~ DFG

x = 3 m

Clave: A

12. En un tringulo rectngulo ABC, se inscribe una circunferencia que es tangente a

, y en L, P y T respectivamente. Si mBPA = mTPC y BC AB = 7 m,halle la longitud del radio de la circunferencia.

A) 1,5 m B) 2,5 m C) 3 m D) 3,5 m E) 7 m

Solucin:

r = ?

Prolongamos hasta "H"

APH (Issceles):

AP = PH y AB = BH = a

ACB (T. Menelao):

(a r)(b)(a) = (b)(r)(2a)

a = 3r

ALO: AL = a r = 3r r = 2r

mLAO =

mLAT = 53

ABC (T.R.N.):

AB = 3r, BC = 4r AC = 5r

r

A

B

L P

O

H

a

a

b

b

a r

a r

r

r r

F

GH

A B

CD

E x

a

3a

a a

5

20

F

GH

A B

CD

E


25/37

BC AB = 7

4r 3r = 7

r = 7 mClave: E

13. En la figura, F es centro de la circunferencia, A y C son puntos de tangencia y

. Si CG = 4 m y GI

= 3 m, halle I

E.A) 7 m B) 10 m

C) 12 m D) 18 m

E) 21 m

Solucin:

CF = FD mCFH = mHFD =

+ = 90

mDFE =

CFI(Divisin armnica):

x = 21 m

Clave: E

14. En la figura, AMNQ es un romboide. Si la suma de los inradios de los tringulos MBNy QNC es 7 m, halle la longitud del inradio del tringulo ABC.

A) 8 m B) 4 m

C) 5 m D) 7 m

E) 12 m

Solucin:

R = ?r1+ r2= 7 m

MBN ~ ABC: . . . (1)

QNC ~ ABC: . . . (2)

A

B

C

M N

Q

F

G H

I

J

A

B

C

D

E

L

x

3

4


26/37

(1) + (2):

R = r1+ r2 R = 7 m

Clave: D

EVALUACIN N 8

1. En un tringulo ABC se trazan las cevianas (D y F en y E en

) tal que y . Si BF = 36 m y DC = 7 m, halle FD.

A) 8 m B) 6 m C) 12 m D) 5 m E) 9 m

Solucin:

ABD:

ABC:

x = 6 mClave: B

2. En la figura, ABC, CDE y EFG son tringulos equilteros. Los permetros de lostringulos ABC y EFG son 8 m y 18 m respectivamente, halle CD.

A) 3 m B) 4 m

C) 4,5 m D) 5 m

E) 5,5 m

Solucin:

CD = x = ?2P ABC = 8 m 3a = 8

2P EFG = 18 m 3b = 18

ab = 16 . . . (1)

F

GA

B

C

D

E

a ax x

b b

bxa

m

n

60 60 60 60 60 60

A

B

C

DE xF

a

b 7

36

F

GA

B

C

D

E


27/37

. . . (2)

. . . (3)

(2) = (3):

ab = x2

. . . (Reemplazando (1))16 = x2

x = 4 mClave: B

3. En la figura, AD = 2 m y AB = 4 m. Halle DC.

A) 3 m B) 4 m

C) 2,5 m D) 3,5 m

E) 4,5 m

Solucin:

Trazamos / DL = LC

ABD LBD (ALA)

BL = 4

DL = 2

T.B.I.:

x

2

6

4

x = 3 m

Clave: A

4. En la figura, I es incentro del tringulo ABC, M y N son puntos medios de yrespectivamente. Si 4ND = 2MD = AC = 8 m, halle AB + BC.

A) 9 m B) 12 m

C) 14 m D) 15 m

E) 16 m

Solucin:

AB + BC = a + b = ?

MRN: (T.B.I.)

A

B

C2

D2 x

2 2

4

4

L2

A

B

C

D

F

M

N

I


28/37

2

4

n

m. . . (1)

ABC: (T. Incentro)

. . . (2)(1) y (2):

a + b = 16 mClave: E

5. En la figura, DE = 3 m, BC = 6 m y FC = 8 m. Halle FE.A) 1 m B) 2 m

C) 3 m D) 4 m

E) 5 m

Solucin:

FE = x = ?

Trazamos

Trasladando ngulos

BFC ~ DFE

x = 4 m

Clave: D

6. En la figura, es dimetro de la semicircunferencia, ADE es un cuadrante, D y Eson puntos de tangencia. Si AB = 12 m y BC = 5 m, halle MN.

A) m13

1B)

C) m13

5D)

E) m15

7

A

B

C

D

F

M

N

I

a b

8

m

n

4

2

m

n

E

A B

C

D

F

2

x

2

6

8

3

E

A B

C

D

F

A B

CD

MN


29/37

Solucin:

MN = x = ?

Trazamos

AD = DE = BC = DM = 5

DN = DM NM

DN = 5 x

DCB: DB = 13

DNE ~ DCB:

x =

Clave: C

Trigonometra

EJERCICIOS DE LA SEMANA N 8

1. Simplificar la expresin .

A) tg10 B) sen40 C) csc10 D) sec10 E) csc40

Solucin:

10sec10cos

1

10cos40sen

50cos

10cos40sen

10sen40sen10cos40cos

10cos

10cos

40sen

40cos10tg40ctg

Clave: D

2. Con los datos de la figura, hallar el valor de la expresin .

A)53

B)

C)53

D)

E)5

33

A B

CD E

x MN

5

5

12

12

5


30/37

Solucin:

5

33

10

36

10

33

10

4

10

33

10

4

2

3

5

3

2

1

5

4

2

3

5

3

2

1

5

4

3sensen

3coscos

3sencos

3cossen

3cos

3sen

Clave: E

3. Si y es un ngulo perteneciente al tercer cuadrante,hallar el valor de .

A) B) C) 2 D) 2 E)

Solucin:Sabemos

Cpues210

210,90

150,3060

2

1)60(sen

1cos3sen

2cos32sen2

II

Luego nos piden

2

12cos3sen

2

112cos3sen

)60(360cos)90(720sen2cos3sen

420cos630sen2cos3sen

)(2102cos)3(210sen2cos3sen

Clave: E


31/37

4. Con los datos de la figura, calcular .

A)45

B)

C) D) 2

E)

Solucin:

De la figura, tenemos

4

5csc

5

4

5

2

5

2

5

2

5

1

5

1

5

2

sensencoscos)cos(sen

)(2323,Adem s

5

1

5

1sen)90(coscos

5

2

5

2cos)90(sensen

9090

Clave: E

5. Si , y ,

calcular .

A) 4 B) C) D) 3 E) 2


32/37

Solucin:

P1

SR2

SRP12

SR)(sen22P)(sen)(

SR)cossencossen(211

ScosBsen2cossenS)cossen(

Rcoscossen2senR)cossen()i

22

22

22P

22

22222

22222

Clave: E

6. Con la informacin dada en la figura, calcule el valor de a.

A) B)

C) D)

E)

Solucin:

De la figura:

a

9)2(tg

a

5)(tg

a

2tg

Entonces


33/37

Clave: A

7. Simplifique la expresin .

A) B) C) D) E)

Solucin:

40csc

40sen

1

20cos50cos

70sen

20cos50cos20sen50cos20cos50sen

20cos20sen

50cos50sen

)20tg50tg1(20tg50tg1

20tg50tg

)20tg50tg1()2050(tg

)20tg50tg1(70tg

.

Clave: D


34/37

8. Con la informacin de la figura, calcular

A) 0 B)

C) D)

E)

Solucin:

4

3

2

1)2(1

2

1)2(

)(tg

:figuralaDe

Clave: B

9. Sean ( + ) y (2 ) ngulos del segundo cuadrante. Si y

3

1)2(cos , calcular .

A) B) C) D) E)

Solucin:

6

1

3

6

)2(sen

6

1

3

6

2

1

3

1

2

3

3

22

)(sen)2(cos

)(cos)2(sen2sen)2(sen

Clave: A

10. Si3

1)B2A(ctg y

41

)B5A(ctg , calcular el valor de .

A) 12 B) 13 C) 13 D) 12 E) 11


35/37

Solucin:

13B3ctg13

1

)3(41

1

tgtg1

tgtgB3tg

4)B5A(tg;3)B2A(tg:datoDel

)(tgB3tgB3B5A

B2A

Sean

Clave: B

EVALUACIN N 8

1. Con la informacin que se da en la figura, evaluar .

A) 123 B) 120

C) 123 D) 112

E) 130

Solucin:

Por Pitgoras: BD= 13 y AB = 15

123)(sen845

845

123)(sen

13

5

65

63

13

12

65

16

sencoscossen)(sen

6516sen24sen131521

24senBDAB2

1)ABD(rea

cm241242

1)ABD(rea 2

..

..

...

..

Clave: C


36/37

2. Si y hallar .

A) 0 B) 1 C) 1 D) E)

Solucin:

0tgtg1

tgtg)(tg

tgtg

cossen2cossencossen

cossen2)(sen

.

Clave: A

3. En el grfico adjunto se cumple que y en el rectngulo ABCO, M es punto

medio de BC. Calcule tg .

A) B)

C) D)

E)

Solucin:

Como son coterminales, se cumple que

Vemos que

7

6tg

2

1

2

11

2

1

4

1

tg

tgtg1

tgtgtg

)(tgtg

Clave: B


37/37

4. Con los datos de la figura, simplificar .

A) B)

C) D)

E)

Solucin:

2

22

2

2

2

2

tgtg1ctg

a

1

a

11

a

1aactg

1aa

a

a

1a

1

1

a

1

a

1a

1

a

1

a

1a

tg

a

1tg

a

1a)(tg

Clave: A

5. Calcular el valor de la expresin .

A) 4 B) 6 C) 5 D) 1 E) 2

Solucin:

4

2

1

1

)60(cos

1

10cos60cos

se60sen10cos60cos

70cos

70sen.

20cos60cos

20sen60sen20cos60cos

80cos

80sen

)10tg60tg1(70tg)20tg60tg1(80tg

)10tg60tg()20tg60tg(A

22

Clave: A

aritmetica8.pdf

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