11SAN MARCOS REGULAR 2015 – III ARITMÉTICA TEMA 2

SOIII1A2

ARITMÉTICATEMA 2

CONJUNTOS I

DESARROLLO DEL TEMA

I. CONCEPTO Seentiendecomounacoleccióndeobjetosbiendefinidos,

llamadoselementosypuedenserdeposibilidadesreales,abstractas o imaginarias. Los conjuntos se representan conletrasmayúsculas:A,B,C.......etc.,oentrellaves {}ysusintegrantesgeneralesseparadosconcomas(,) o punto y coma ( ; )

Ejemplos: A = {1; 4; 6; 8; 10; 12} B={a;e;i;o;u} C=(x/x3–3x2+2x–1=0)

II. RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈) Un elemento pertenece a un conjunto cuando forma

parte o es agregado de dicho conjunto. La pertenencia (∈)esunvinculoquevadeelementoalconjuntoalcualpertenece,másnoasíentreelementosoentreconjunto.

(elemento) ∈ (conjunto)

Observación: ∉ → “no pertenece a”

Ejemplo: Sea A = {a; f; {a; b}; {4; 5}}

• a∈ A ∧ b ∉ A• {4}∉ A• f ∉ A• {f} ∉ A• {a;b}∈ A

OJO:Enelcasodequea={a,b,{a},{a,b}},entonces:La proposición a ∈ {a} es una verdad absolutaindependientedelconjuntoA,sinembargoteniendoencuentaalconjuntoA,laproposicióna∈ {a} es falso pues “a” y {a} son elementos del conjunto A (de manera similar ocurre en el caso b ∈{a,b}.estassonpues,lasfamosas“paradojas” o ambigüedades conjuntistas.

III. DIAGRAMAS DE VENN Sonregionesplanaslimitadasporcurvascerradas,que

se usan generalmente para representar a un conjunto y visualizarqueelementosestánonoenél.Porejemplo:

2

AB

C

34

5

6

7

8

9

10

11

12

ConjuntoUniversaloReferencial

U={1;2;3;4;5,6;7,8;),10;11;12} A={2;3,4;5} B={3;4,5;6;7;8;9} C={8;9;10;11;12}

Nota:n(A) = #(A) se lee “número de elementos o cardinales deA",asídelosejemplosanteriores:n(A)=5;#(B)=7;#(C)=5;n(U)=12

IV. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTOA. Por Comprensión

Resulta cuando sedaa conoceruna característicacomúnatodosloselementosqueformanunconjunto:Ejemplo:A={3x∈N/x<2}

B=

x2 –1

2 ∈Z/x∈N,x<9 144424443 144424443

Formadelos Condiciones elementos

B. Por extensiónResultacuandosenombreexplícitamenteacadaunoloselementosqueformanunconjunto.

CONJUNTOS I

22 SAN MARCOS REGULAR 2015 – IIIARITMÉTICATEMA 2

De los ejemplos anteriores: Para A: x<2→3x<6 Como: 3x∈ N: 3x=1,2,3,4,5 A={1;2;3,4;5}

Para B: Tabulando

x12345678

x2 –12

23

152

352

632

0 4 12 2

⇒B={0;4;12;24}

V. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS A. Inclusión o Subconjunto

ElconjuntoAestáincluidoenB,cuandotodos,loselementosdeAsontambiénelementosdeB;esdecir:A ⊂B⇔ ∀x∈ A →x∈B

Notas1. A ⊂A,∀ A2. f ⊂ A f=“Conjuntovacíoonulo”3. SiA=ByademásA≠BentoncesAessubconjunto

propiodeB.

A

BSubconjuntopropiodeB

4. Si n(A) = k entonces el número de subconjuntos de A: 2n(A) = 2k

Ejemplo: Sea A = {2; 4; 6} Subconjuntos: f: {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6} Seobserva23 = 8 elementos.

• Paradeterminarlacantidaddesubconjuntos“n”arios (binarios ternarios,etc)deunconjuntoquetiene“k”elementos,setiene:

Subconjunto

n – añosn =JKL

NOP C

kn

Propiedades:• PropiedadesReflexivas:A⊂ A• PropiedadAntisimétrica: Si: A ⊂B∧B⊂ A ⇒A=B• PropiedadTransitiva: Si: A ⊂B∧B⊂C⇒ A ⊂C

B. Conjuntos IgualesDosconjuntosAyBson igualescuandotiene losmismoselementos,esdecir:

A=B⇔ A ⊂B∧B⊂ A

Observación:

{2; 5} = {5; 2} ; {a; b} = {a; b; b}

B. Relaciones de Coordinabilidad de ConjuntosDosconjuntosAyBsoncoordinablescuandoentresus elementos puede establecer una correspondencia biunívoca.Cuandodosconjuntossoncoordinalestienenelmismonúmero de elementos.

A = {2; 4; 6; 8; 10}

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ Son coordinablesB={a;e;i;o;u}

Graficando:

•2

•4

•6

•8

•10

•a

•e

•i

•o

•u

A B

C. Conjuntos Comparables

DosconjuntosAyBsoncomparablescuandoporlomenosunodeellosestáincluidoenelotro.

AyBcomparables⇔ A ⊂B∧B⊂ A

No Comparables

A AB B

Conjuntosdistintosodisyuntivos

D. Conjuntos Especiales1. Conjunto Universal o Referencial UDados dos omás conjuntos, se llama conjuntoUniversaloReferencialdeellos,aotroconjuntoquecontienealosconjuntosdados:Elconjuntouniversalsepuedeelegirdeacuerdoal estudio particular que se quiera analizar conalgún conjunto.ElconjuntouniversalserepresentagráficamenteporelrectánguloysimbólicamenteporunU.

2. Conjunto VacíoLlamadotambiénconjuntonulo,seledenotacon∅o{}seleconsideraincluidoencualquierotroconjunto.

∅ ⊂ A ; ∀ A

CONJUNTOS I

33SAN MARCOS REGULAR 2015 – III ARITMÉTICA TEMA 2

3. Conjunto UnitarioLlamadosingletón,tieneunsoloelemento:

Ejemplo:A={m};B={{{a}}};C={x∈N/3<x<5}

Observación:En el caso de A = {∅},donde∅eselconjuntovacío,entonces A representa una familia de conjuntos unitarios. conviene aclarar que este conjunto {∅} unitarios es diferente de ∅(queessuelemento)osea;{∅} ≠ ∅. sin embargo la rigurosidadmatemática no exige analizar,puesesFÁCILdistinguirque∅ ∈ A y ∅ ⊂A(propiedad),esta conclusión es “paradójica” pues “∅” no puede tener eldobledecomportamiento,quevienepuesdedefinir A = {∅},estaesunadelastantas“paradojasdeRussell”.

4. Conjunto Potencia (P(A))El conjunto formado por todos los subconjuntos que tiene A, se le denota con P(A) y tiene 2n

elementosdonde,“n”eselnúmerodeelementosde A.Ejemplo:SiA={m,n}Entonces:P(A)={∅}: {m}; {n}; {m; n}

Nota1. Si A ⊂B→P(A)⊂P(B)2.Six∈P(A)→x⊂ A3.Delejemplopodemosdeducirqueelnúmero

de subconjunto propios de A es 2n(A) – 1. En conclusión A tienen tres subconjuntos

propios.

Problema 1Si: n(A ∪B)=13 n(A ∩B)=1 n(A–B)=6hallarn(A)–n(B–A)A) 2 B) 3C) 4 D) 1E) 5

Resolución:

6

BA

61

n(A)–n(B–A)=7–6=1

Respuesta: 1

Problema 2Determinar por extensión el siguienteconjunto:

A={3x–3/x∈ N ∧x<4}A) {0; 1; 2; 3}B) {0;2;6}C) {–3;0;3;6}D) {1; 2; 3}E) No es posible

Resolución:De: x∈ N ∧x<4

x=0;1;2;3

3x–3=–3;0;3;6

A = {–3; 0; 3; 6}

Respuesta: {–3;0;3;6}

Problema 3SiA={x2 +4/x∈ Z ∧–4<x<6}hallar la suma de elementos de "A".A) 79B) 76C) 75D) 80E) 82

Resolución:

De: x∈ Z ∧–4<x<6

x=–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5

x2 + 4 = 13; 8; 5; 4; 20; 29

∴ ∑ elementos = 79

Respuesta: 79

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. Colocarelvalordeverdadacadaproposición si:A={2;3;{1};{2,1}}• ∅ ∈ A • 3 ∈ A• 1 ∈ A

• {1} ⊂ A• {3} ⊂ A• ∅ ⊂ AA) FVFFVV B)FFVVFF C)FFFVVV D) FVFVFVE) VVFVFV

2. ¿CuántossubconjuntostieneA={1,{1},1,∅}?A) 16 B)15 C) 8D) 4 E) 32

3. ¿Cuántos subconjuntos tiene elsiguiente conjunto?

A={x2/x∈Z;–9<2x–1<11}

CONJUNTOS I

44 SAN MARCOS REGULAR 2015 – IIIARITMÉTICATEMA 2

7. Determine por extensión elconjunto:

A={x–1/x∈ N,4<x<9}A) {0,1}B){0,1,2}C){–1,0}D) {–1,0,1}E) {4,5,6,7}

8. Dado el conjunto: B={x+3/x∈Z,x2<9}

Calcule lasumadeloselementosdelconjunto“B”.A) 12 B)15 C)3D) 9 E) 18

9. Determine por extensión elsiguiente conjunto:

T={x/x= x3

12+x;x∈ N}

A) {3} B){3,4}C){0,3}D) {0,3,4}E) {0,4}

SISTEMATIZACIÓN

10. Sabiendoqueelconjunto: A = {a + b; a + 2b – 2; 10} esunconjuntounitario,darelvalor

de a2 + b2.A) 16 B)80 C)68 D) 58 E) 52

11. ¿Cuántos subconjuntos propiostiene:

A={x/x∈ Z;–7<4x+1<21}A) 64 B)63 C)16 D) 15 E) 31

12. Sabiendoquelosconjuntos: A = {4a + 3b; 23} B={3a+7b;41} son unitarios. Hallar: a + b

A) 2 B)4 C)5 D) 7 E) 9

A) 10 B)12 C)15D) 18 E) 64

4. Calcularlasumadeloselementosdel conjunto A.

A={x/x∈N;10<3x+2<18}A) 10 B)12 C)15D) 18 E) 23

5. Colocarelvalordeverdadacadaproposición si:

A={8;3;{2};{1,3}}• 3 ∈ A ( ) • 8 ∉ A ( )• 2 ∈ A ( ) • 3 ∈{1,3} ( )• {3} ∉ A ( ) • 4 ∉ A ( )

PROFUNDIZACIÓN

6. Si el conjunto A tiene 2 elementos. ¿Cuántos subconjunto propiostendráP(A)?A) 3 B)7 C)8D) 31 E) 15