aritmetica preuniversitario firme

7/31/2019 Aritmetica Preuniversitario Firme

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1 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO

CLASES PARTICULARES: MATEMÁTICA, FÍSICA, QUÍMICA, CTA, ESTADÍSTICA, BIOLOGÍA, FISICOQUÍMICA,BIOQUÍMICA, BIOFÍSICA, ASESORÍA DE TESIS

Cel.:952 545914 - 952 849673 / correo: [email protected]

ARITMÉTICA




CONCEPTOSe entiende como una colección de objetos biendefinidos, llamados elementos y pueden ser deposibilidades reales, abstractas o imaginarias. Losconjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B,C ....... etc, o entre llaves { } y sus integrantes generalesseparados con comas ( , ) o punto y coma ( ; )

Ejemplos:A = {1; 4; 6; 8; 10; 12}B = {a; e; i; o; u}C = (x/x3 – 3x2 + 2x – 1 =0)

NOTACIÓN: Se ha adoptado la convención de usar

letras mayúsculas A,B,C,...para representar conjuntos y

letras minúsculas a,b,c... o numerales 0,1,2... para

representar a los elementos.

RELACION DE PERTENENCIA:

- Si un elemento “X” pertenece al conjunto “A”,

se escribe: A x∈

- Si un elemento “X” no pertenece al conjunto

“A”, se escribe: A x∉I) REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS (DIAGRAMAS)

a)Diagrama de Venn – Euler: Son regiones planas

limitadas por figuras geométricas (círculos, triángulos,

etc, el primero es el mas usado) cerradas, que se

utilizan para representar gráficamente las relaciones y

operaciones con conjuntos.Ejemplo::

Conjunto Universal o Referencial

U = {1; 2; 3; 4; 5, 6; 7, 8; ), 10; 11; 12}A = {2; 3, 4; 5}B = {3; 4, 5; 6; 7; 8; 9}

C = {8; 9; 10; 11; 12}

b) Diagrama de Lewis-Carroll: Son cuadriláteros, los

cuales se emplean para representar conjuntos disjuntos.

II)DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO:

a)Por Extensión (o tabular): Si se define un

conjunto , escribiendo sus elementos

Ejemplo 1:

{ }uoiea A ,,,,=

Ejemplo 2:

Tabulando

x 1 2 3 4 5 6 7 8

2

1x2 − 0

3

2 4

2

15 12

2

35 2

2

63

B = {0; 4; 12; 24}

b)Por Comprensión (o no tabular): Si se define un

conjunto, indicando alguna propiedad o característica

común a sus elementos.

Ejemplo1: A = {3x N/ x < 2}

Ejemplo2:






peruanoacongresist unes x

x A =

Se lee: conjunto “A” formado por los elementos “x”

tal que cada elemento “x” sea un congresista

peruano.

Es decir: El conjunto “A” es el conjunto de todos los

congresistas peruanos.

OBSERVACIÓN: Un conjunto por extensión se puede

transformar a conjunto por compresión y viceversa.

III)CLASIFICACION DE CONJUNTOS

a)Conjunto finito: Cuando la lista de sus elementos se

puede terminar.

Ejemplo:

{ }d cba A ,,,=

b)Conjunto infinito: Cuando la lista de sus elementos

es interminable.

Ejemplo:

{ },...4,3,2,1| = N

IV)CONJUNTOS ESPECIALES1)Conjunto vacío: Es el que no tiene elemento alguno.

Se representa así: { }óΦ

2)Conjunto unitario: Es aquel que tiene un solo

elemento.Ejemplo:

{ } país soloun Francia B

fútbol demundial campeónel Es x

x B

;

98

=

=

3)CONJUNTO UNIVERSAL: (O REFERENCIAL)Es el conjunto que contiene en su totalidad a los

elementos de los otros conjuntos considerados o

tomados como referencia.

Grafico:

4) CONJUNTO DE CONJUNTOS (O FAMILIA DE

CONJUNTOS)Es aquel conjunto cuyos elementos son todos

conjuntos. Ejemplo:

{ } { } { }{ }4;3;2= M

5) CONJUNTO POTENCIA:Es el conjunto cuyos elementos son todos los

subconjuntos de un conjunto dado.

Dado el conjunto: φ ≠ A

Se denota P(A)

A x

x A P ⊂=)(

número de subconjuntos:

donde:n: Número de elementos del conjunto “A”

Ejemplo:

n P(A)= 22 =4

En conjunto potencia:

“Precauciones con la simbología”

Ejemplo 1:

Para A= {1; [2]}

Tenemos:






{ } [ ]{ } [ ]{ }{ }

[ ]{ } ( )

{ }[ ]{ } [ ]{ } etc A P A A P A

A P A

A P A

A A

cumple se y

A P

),(22)(11

2

)(2

1

:

2;1;2;1;)(

∈⊂∈∉

⊂∉

∈∈

⊂∈

=

φ

φ

φ

φ

Ejemplo 2:

B={1,2,{3},4}

{ }{ }{ } falsaesafirmacionesta F B

V B

V B

V B

)(3

)(4

)(3

)(1

⊂

⊂

∈

∈

6) SUBCONJUNTO PROPIO (⊂ ) se denominasubconjunto propio de A, a igual subconjunto diferente

al conjunto A

Del ejemplo anterior:

Número de subconjuntos propios de A =2n(A) -1

V) RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:1) INCLUSIÓN )(⊂ : Un conjunto A esta incluido en

B, si todos sus elementos son también elementos B

Se denota: A Bo B A ⊂⊂

Se lee: A esta incluido en B

A es subconjunto de B

A esta contenido en BB incluye en A

B contiene a A

B es superconjunto de A

Ejemplo:

{ } { }4,3,2,12,1 == B y A

A los conjuntos A y B se les llama conjuntoscomparables

C A

C B B A si

A A

A

opiedades

A Bó B ASi

⊂⇒

⊂∧⊂

⊂

⊂

⊂⊂

:)3

)2

)1

:Pr

):(

φ

2) IGUALDAD Intuitivamente, 2 conjuntos A y B son

iguales, cuando poseen los mismos elementos.

Se denota : A=B

Se define: A B B A B A ⊂∧⊂⇔=

Ejemplo 1: A={a ,b c ,d} y B={c, a, d, b}

Como: A B B A ⊂∧⊂

B A =⇒

Ejemplo 2: A={a, c, 3, 4} ; B={c, c, 3, 4, 4, a} B A A B B AComo =⇒⊂∧⊂:

Propiedades:

1)A =A

2)A =B A B =⇒3)A=B ∧ B=C ⇒A = C

3) EXCLUSIÓN: ( )⊄ dos conjuntos se excluyen

mutuamente cuando no poseen los mismos elementos.

A estos conjuntos se les llama “conjuntos

disjuntos”

Ejemplo:A={1,2,3} Y B={-1,-2,-3}

A y B :Son disjuntos

4)EQUIVALENCIA. Dos conjuntos son equivalentes

cuando poseen la misma cantidad de elementos.

Se denota: B A B A Bn An si ⇒= )()(:

Ejemplo 1:






{ }

{ }

{ } { }

Q P Qn P nQn P n

aQ y P

Ejemplo

B A

Bn An Bn An

d cba B

A

⇒=∧==

==

⇒

=∧==

=

=

)()(3)(;3)(

2,1,,3,2,1

:2

)()(4)(;4)(

,,,

4,3,2,1





4


VI) OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

OPERACION DIAGRAMAS1) UNIÓN O REUNIÓN (∪ ):Launión de dos conjuntos A y B esel conjunto formado por todoslos elementos de A y de B.

Se denota: A ∪ BSe define:

B X A x

x B A ∈∨∈=∪

A U B = {x/ x A x B}ConjuntosComparables

ConjuntosDiferentes

Conjuntos Disjuntos

Ejemplo:

{ } { }8,5,3,0;8,3,4 == B A

{ }5,0,8,3,4=∪ B A

2) INTERSECCIÓN )(∩ :

Es el conjunto conformado por

los elementos que pertenecen a

A y a la vez a B.

Se denota: B A∩Se define:

B X A x

x B A ∈∧∈=∩

Si: A y B son disjuntos

φ =∩⇒ B A

A B = {x/ x A x B}ConjuntosComparables

ConjuntosDiferentes

Conjuntos Disjuntos

Ejemplo:

{ } { }5,4,3;4,3,2,1 == B A

{ }4,3=∩ B A



01




3) DIFERENCIA (-): La

diferencia entre dos conjuntos A

y B con dicho orden es el

conjunto formado por los

elementos de A pero no los de B.

Se denota: A-B

Se define:

B X A x

x B A ∉∧∈=−

A – B = {x/ x A x B}Conjuntos Comparables

A – B

Conjuntos Diferentes

A – B

Conjuntos Disjuntos

A – B

Ejemplo: { } { }nq p B sr q p A ,,;,,, ==

{ } sr B A ,=−

4.-DIFERENCIA SIMÉTRICA)( B A∆ : La diferencia

simétrica de los conjuntos A y B

es el conjunto formado sólo por

los elementos no comunes a

dichos conjuntos.

A B = {x/ x A x B}ConjuntosComparables

Conjuntos Diferentes

A B A B A

o

A A B B A

=∩−∪

∆=−∪−

)()(

)()(

Conjuntos Disjuntos



8




5)COMPLEMENTO (Ac):el complemento de un conjunto

A, es el conjunto formado por

los elementos, que pertenecen al

conjunto universal , pero no

al conjunto A.

Se denota: ° A A A A cc ;;́;

Se lee:

“Complemento de A”

:defineSe

c A = }/{ A x x x ∉∧∈

DIAGRAMA: c A

A Ac

−=

Ejemplo 1: }6,5,4,3,2,1{=A={2,3}

Ac= -A

Ac={1,4,5,6}

Ejemplo 2: A={1,2} ; B={1,2,3,4,}

={1,2,3,4}

Ac= -A

Ac={1,2,3,4}-{1,2}

Ac={3,4}

LEYES Y PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DECONJUNTOS

I) Reflexiva:• A ∪ A = A• A ∩ A = A• A A =

II) Asociativa:• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A•

A (B C) = (A B) C

III) Conmutativa:• A ∪ B = B ∪ A• A ∩ B = B ∩ A• A B = B A

IV) Distributiva:• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ∪ (A ∩ C)• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)• (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

V) De la Inclusión:

Si: A B

−=∆

∅=−

=

=

ABBA

BA

ABA

BBA

VI) Elemento Neutro:• A ∪ = A• A ∩ =• A ∪ U = U• A ∩ U = A

VII) De la Diferencia:• A – B = A ∩ B'• A – B = B'- A'

VIII) Del Conjunto Producto:• n(A x B) = n(A) x n(B)• A x (A ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)• A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)





19


IX) De la Exclusión:

Si A y B son disjuntos

=∆

=−

∅=

BABA

ABA

BA

X) Del Complemento:• (A')'= A• A ∪ A' = U• A ∩ A´=• ' = u• U' =

XI) Leyes de Morgan:• (A ∪ B)'= A' ∩ B'•

A ∩ (A ∪ B) = A• A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B• A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B

XII) De Absorción:• A ∪ (A ∩ B) = A• A ∩ (A ∪ B) = A• A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B• A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B



P. Distributiva

( ) ( ) ( )C A B AC B A ∪∩∪=∩∪

P. Distributiva

( ) ( ) ( )C B B AC B A ∩∪∩=∪∩




6) CARDINAL DE UN CONJUNTO ( n ) Es el número

de elementos distintos que tiene un conjunto.Ejemplo 1. B= {a, b, c}

n(B)=3

Card(B)=3

Ejemplo 2 :C={b, b, c}

n(C)=2

Card(C)=2

Propiedades del cardinal:

)(:

)()()()1

disjuntosconjuntos B A si

Bn An B An

φ =∩

+=∪

φ ≠∩

∩−+=∪

B A si

B An Bn An B An

:

)()()()()2

)()()()(

)(

)(

)(

B An Bn An B An

b xa B An

xb Bn

xa An

∩−+=∩→

++=∪→

+=→

+=→

][

)(

)()()(

)()()()()3

C B An

C BnC An B An

C n Bn AnC B An

∩∩

+∩+∩+∩

−++=∪∪

CONJUNTOS NUMERICOS IMPORTANTES:

A)CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)

N= {1,2,3...}

B)CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3...}

C)CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

(Q):Es el conjunto de todos los cocientes de números

enteros.

Son infinitos e infinitos; si son infinitos son periódicos.

≠∈∧

== 0;; b Z ba

b

a

x xQ

Ejemplos:

D) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

(I):Tiene representación decimal infinita y no periódica.

Los números como ...41,12 =

Que no se pueden escribir como el cociente de 2números enteros, se llaman números irracionales.

≠∈∧

≠= 0;; b Z ba

b

a

x x I

Ejemplos:

7;5

...,718,2...;14.3

;2...;414213,12

==

−=

eπ

E) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)

R = Q ∪ I






F) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS (

m I )

Ejemplos: 21,3−

G) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (

⊄ )

( ⊄ )=R∪ m I

La Unidad Imaginaria i

Definición: Es aquel imaginario puro cuya parte imaginariaes 1 y se define así:

i = (0,1)Siendo representada por Euler de la siguiente manera:

1−=iEjemplo:

i53+ : 3: parte real ; i5 :parte imaginaria

ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS

Complejos

imaginarios Reales(R)

Irracionales

Racionales

Fraccionarios:Eje mplo:

1/3,7/9,...

NaturalesEje mplo:

{1,2,3,... }

Enteros(Z)

{…-2,-1,0,1,2... }

Z+={1,2,3,. }Cer o=0

Z-

N

,...,3 π

Z Q

I

R



01



Es el conjunto de reglas y convenios que permiten formar, expresar y representar todos los

números.

Numeración:Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y lectura de los números,

mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.

Base de un sistema de numeraciónEs el número de unidades de cualquier orden que equivalen a una unidad del orden inmediato

superior.

Principales sistemas de numeraciónBase Nombre

del

Sistema

Cifras que se

Utilizan

2 Binario 0,13 Terciario 0,1,24 Cuaternari

o

0,1,2,3

5 Quinario 0,1,2,3,46 Senario 0,1,2,3,4,57 Heptanari

o

0,1,2,3,4,5,6

8 Octanario 0,1,2,3,4,5,6,79 Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,810 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,911 Undecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

(10)12 Duodecim

al

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

(11)Ejemplo: Contar en Base 4:

Base 10: 14 Base 4: 324 “Se lee: tres dos en base 4”

observación:

γ

β

α

===

===

===

12

11

10

C c

Bb

Aa

Ejemplo: 2(10)3(11)( 13 )= β α 32



VALOR DE LAS CIFRAS:ejemplo1: (en base 10)

Ejemplo 2:(en base 9)

SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE BASE (N)

0

,,

1;;)(

≠

≤

≠∈

a

ncba

n N nabc n

El máximo valor de cada cifra es (n-1); o sea la base siempre es mayor que sus cifras.

DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA :Ejemplo 1:

3456=3000+400+50+6

=3x103+4x102+5x101+6x100

= 3x103+4x102+5x10+6

Ejemplos:

0,257 =2x10-1+5 x 102+7 x10-3 [BASE 10]

5479 = 5 . 103 + 4 .102 + 7 .10 1+ 9.100 [BASE 10]235(7) = 2 . 72 + 3 .7 1+ 5.70 [BASE 7]4523(8) = 4 . 83 + 5 . 82 + 2 . 8 1+ 3.80 [BASE 8]

CAMBIOS DE SISTEMA DE NUMERACIÓNbase (10):1,2,3,4,5,6,7,...,10

base (5):1,2,3,4,10,11,12,...,20



a )DE BASE “n”(n=10) A BASE 10:Ejemplo:

3520( 6 ) a base10

solución:

3520(6) = 3(6)4 +5(6)3 +2(6)2+0(6)1+1(6)0

35201(6)= 3888+1080+72 +0 +135201(6)= 5041

OBSERVACIÓN:

5041

No es necesario colocar el sub-indice 10 para indicar que es de base 10 este se

sobreentiende

b)DE BASE 10 A BASE 10≠n

Ejemplo: 258 a base 6

Solución

Se escribe el resultado de derecha a izquierda

258= 1110( 6)

c)DE BASE n 1010 ≠≠ n BASE A

Ejemplo:

5632(7) a base (5)

Solución:

1ro: se transforma a base 10

5632(7)=5(7)3+6(7)2+3(7)1+2(7)0

5632(7)=2032

2do: se transforma ala base (5)

2032 a base (5)

5632(7)=1412(5)



d) DE BASE nk A BASE nK ∈ Z+

Ejemplo:

5762(9) en base 3

como 9=32, cada cifra del numeral genera un bloque de 2 cifras.

Luego:

5762(9)=12212002(3)

e)DE BASE n a nk

K ∈ Z+

Ejemplo:

101110011(2) en base (8)

como 8 =23, las cifras se reagrupan en bloques de 3 y luego se descompone cada bloque.

luego:

1011100111(2)=1347(8)

NÚMEROS CAPICÚAS: Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda o de izquierda aderechas, también se dice es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.Ejemplos:

343 (10)

414(7)

PROPIEDADES

1.Dada la igualdad:



( )

mn

efg abc si

mnefg abc mn

<⇒

>

≠=

:

;)(

En general a mayor número (considerado en el sistema decimal) corresponde menor base.

Ejemplo:De la siguiente igualdad , encontrar la base mayor

1011100111(n)=1347(m)

solución

1011100111>1347

mn <⇒

Rspta: m

2) para todo número de 3 cifras:

9

9

396478874

874

:

99:

:)(x

=

=+

=−

=+=

=−>

b

ca

cba

Ejemplo

cabdonde

abc zyx xyz si z xyz

* En general, numero de 3 cifras:

cifras x

nnnnn

nca

nb

abc zyz xyz

z x xyz

k

n

nnn

n

""

1)1)...(1)(1)(1()3

)1(

)1(

)(

)(

)()()(

)(

−=−−−−

−=+

−==−

>

Ejemplo 1:

2222(3)=34-1

2222(3)=80

Ejemplo 2:

666(7) =73-1

666(7) = 343

)(1

1

1

1

...1...111)4

n x

c

b

a

xcban xncba

+++++=

Ejemplo:

14 =9+7+5+4=25

1517



9

ADICIÓNOperación binaria, cuyo objeto es reunir varias cantidades homogéneas (de una misma

especie), en una sola llamada suma total.

Adición en Otros Sistemas de Numeración

Ejemplo:Calcular:123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)

Resolución:

Colocando verticalmente los sumandos, considerando el orden(como el sistema decimal eran lasunidades, decenas, ........... etc)



123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)Otro Ejemplo:

4 7 (9) + 1ra columna8 0 (9) 7 + 1 = 8

1 0 (9) 2da. Columna5 1 (9) 4 + 8 + 1 + 5 = 18 = 2(9) + 0

2 0 8 (9) Se llevaQueda

Ejemplo:Calcular: “n” ; en:

( )8)8()8( 7650n432325a =+

Resolucióncolocando verticalmente

n 3 2 5(8) +4 3 2 n(8)7 6 5 0(8)

• De la 1era Columna, se tendrá que:5 (8) + n (8) = 10 (8)

• Llevando a base decimal, se tiene:

5 + n = 8 n = 3

SUSTRACCIÓNOperación inversa a la adición, consiste en que dada 2 cantidades llamadas minuendo y

sustraendo, hallar una cantidad llamada sustraendo.Ejemplo:

Ejemplo:Calcular:

237 – 128Resolución:

OJO:

EN BASE 10, “1 UNIDADES DE UNA ORDEN CUALQUIERA ES 10

UNIDADES ORDEN CUALQUIERA ES 10 UNIDADES DEL ORDEN INMEDIATO INFERIOR”



43

Sustracción en Otras BasesEjemplo ilustraciones:Calcular: 432(5) – 143 (5)

ResoluciónRecordando que en base 5, “1” unidades de orden cualquiera es 5 unidades del orden del orden

inmediato inferior.

Explicación• 1ra Columna:

Como a “2” no se lee puede ser restar 3, entonces lo que se hace es prestar una base a “2”, esdecir:

5 + 2 = 77 – 3 = 4

queda.

• 2da Columna:Como se presto una base del 3, ahora será: luego le prestaremos al 2 una base, es decir:

5 + 2 = 77 – 4 = 3

Queda.

• 3ra Columna:Como se prestó una base de 4, entonces ahora será: 4 – 3 , y a este “3” si le puede restar 1, con loque necesario prestarle una base.

3 – 1 = 2Queda.

432(5) – 143(5) = 234(5)

Otros Ejemplos:5 1 3 (8) - 6 2 3 1 (7) – 3 1 5 (8) 3 6 5 4 (7)1 7 6 2 2 4 4 (7)

Propiedades:

I) Dado:



)n(

)n(

)c(

z yx

abc

cba−

−=+

−=

>

1nzx)2

1n y)1

e n t o n,caS i

II) En Base 10:

z yx

abc

cba −

=+

=

>

9zx)2

9 y)1

e n t o n,caS i

Ejemplo:

Si: 7nmabccba =−

Calcular: m2 + n2

Resolución:Aplicando directamente la propiedad, se tendrá que:

) n = 9) m + 7 = 9 m = 2

Piden 22 + 92 = 85

COMPLEMENTO ARITMÉTICO: CA(N)Es lo que falta a u número “N”, para ser igual a la unidad de orden inmediato superior, es decir

lo que le falta para ser igual a un número formado por la unidad seguida de tantos ceros comocifras tiene “N”Ejemplo:

• CA (7) = (10)1 – 7 = 10 - 7 = 3• CA (341) = (10)3 – 341 = 1000 – 341 = 659

En general:Sea “N” número de “k” cifras,y “B” la base luego:

C A (N) = (B)K – N

Ejemplo en otras base aplicando forma general:• C A (429 (11) ) = 113 – 429 (11)• C A (7251 (8) ) = 84 – 7251 (8)

FORMA PRÁCTICA:Se resta 9 a todas las cifras del número empezando por la izquierda, excepto a la última cifra

significativa a la cual se le resta 10. si después de esta última cifra significativa siguen ceros, todos

ellos se consideran en el C.A.

(CA) en base 10

( ) )d10)(c9)(b9)(a9(abcd −−−−=

Forma general:



)(nabc

Ejemplos:Ejemplo: hallar el C.A.

235785000

Solución:

Rspta: 764215000

Ejemplo 2.:aplicando forma general

MULTIPLICACIÓNEs una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y

multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.



Notas:1. Si se multiplica:

2 43 x65

1215 1er producto parcial1458 2do producto parcial

15795 Producto Total

2. Si: abc . 7 = .......... 6 c = 83

3. Si: abc . 4 = .......... 2 c =8

4. Se cumple:(# impar) (.... 5) = ..... 5(# par) (... 5) = .......0

5. Se cumple:........ 0

n(n + 1) = ....... 2........ 6

DIVISIONEs una operación que consiste en hallar un factor llamado cociente que indica el número divisor

esta contenido en otro llamado dividendo.

Luego:

D d Dividendo: D



r q Divisor: d (Z+)

Cociente: q

Residuo: r

D = d x q + r

Ejemplo:

Dividir 135 entre 18

Solución:

135 18

126 7

9

Además:

135 = 18(7) + 9

Algoritmo de la división

CLASES DE DIVISIÓN:

A) EXACTA:

28 4 D d

0 7 0 q

28 = 4 x 7 D = d x q

B) INEXACTA (Residuo 0)

DEFECTO EXCESO

26 7 26 7

5 3 2 426 = 7 x 3 + 5 26 = 7 x 4 – 2

En donde: 5 + 2 = 7

En general:

DEFECTO EXCESO

D d D d

r q re q+1

D = dq + r D = d(q+1) – re r + re = d



PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN INEXACTA

1. 0 < Residuo < divisor

2. Residuo mínimo = 1

Residuo máximo = divisor – 1

3.

Es toda serie en la cual cada termino después del primero se obtienen sumándose al término anterior

una cantidad constante llamada RAZON (r) O DIFERENCIA

Ejemplo: de la serie 2 , 5 , 8 , 11

Donde:

n: Número de términos de la P.A. en este caso n=4



T1: termino inicial , en este caso T1 =2

Tn: Termino final en este caso Tn= 11

r: razón en este caso r=3

T0= termino anterior al primero

T0=t1-r

En este caso:T0=2-3

T0=-1

PROPIEDADES

r T T

r nT T

r

T T n

nn

n

n

+=

−+=

−=

−1

1

0

)3

)1()2

)1

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA P.A.

[ ]2

)1(2)2

2

)()1

1

1

nr nT S

nT T S

n

nn

−+=

+=

Ejemplo particular:

hallar el termino 30 (T30)

7 ;12 ;19 ;28 ;...; T30

Solución:



Fórmula: an2+bn+c ; c=0

Tn=an2+bn+cT30= 1(30)2+2(30)+4

T30= 964 Rspta.

SUMA DE LOS “N” 1ROS NUMEROS CONSECUTIVOS

1) NÚMEROS NATURALES :

Sn=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n

2

)1( +=

nnS n

2) NÚMEROS PARES :

Sp=2+4+6+…+(2n-4)+(2n-2)+2n

)1( += nnS P

3) NÚMEROS IMPARES

Si=1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)

2nS i =



4) CUADRADO DE NÚMEROS

6

)12)(1(....321 2222 ++=++++ nnn

n

5) CUBO DE NÚMEROS2

3333

2

1)n(n n...321

+=++++

ACOTACIONES

i) Cifras consecutivas y ordenadas

(x-1)(x)(x+1)

ii) cinco primero números pares consecutivos , a partir de “a” par:

(a-4)+(a-2)+a+(a+2)+(a+4)

iii) en una restaminuendo –

sustraendo

diferencia

propiedad: M +S +D =2M

El número A es múltiplo del numero B si A resulta de multiplicar a B por un numeroentero.EjemploS:

57 es múltiplo de 19, pues 57 = 19 x 3-38 es múltiplo de 19, pues –38 = 19 x (–2)

0 es múltiplo de 19, pues 0 = 19 x 0

Notación:

°=

===°

B A

Bdemultiplo BmB B

se lee: “A es múltiplo de B”= o “A es divisible por B”=”B es divisible de A”=”B es submúltiplo de A”

Ejemplo:

8=2°

A=B°

A es múltiplo de BPorque: A contiene “K” veces a B



(8) contiene (4) veces a (2)

8 = 2+2+2+2

Operaciones con los Múltiplos

1.

ºººº

aaaa =++

2.

º

a -º

a =º

a

3.

º

a .º

a =º

a

4.

º

a . K =º

a ,; K ∈Z

5. ( º

a ) k =º

a ; K ∈ Z

PROPIEDADES:

1) A = B° ; K ∈ Z, A =KB

2) A no es divisible por B

)( defecto por Divisionr B A

r Bq A

+°=

+=⇒

3) A=B°+re (división por exceso)

r+re =B°

4)si N = A° y N = B°

N =(AxB)°

Si A y B son primos entre si (PESI)

Ejemplo:

12 y 7 son PESI , Tienen como divisor a la unidad

N = A° N = B°

N =12° N = 7°

N = (12x7)°

N = 84°

O sea : 84 es múltiplo de 12 y 7

5)todo número Z+ es múltiplo de si mismo

6)el “cero” es múltiplo de todo numero Z+

7)

3125(7)=3x73+1x72+2x7+5

7°

3125(7)=7°+5



FORMA GENERAL:

11)si: A =B°, entonces A es múltiplo de todos los divisores de B

ejemplo:

24=6°

los divisores de 6, son:

1;2;3 y 6

luego se cumple:

24=1°; 24=3°; 24=2°; 24=6°

12)si un número es divisible por varios módulos, será divisible por el mínimo común múltiplo de

dichos módulos Ejemplo:N =4° ∧ N=6°

MCM = 12PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Si A x B =o

n y A no posee factores comunes con n salvo la unidad entonces:

B =o

n

Ejemplos:

5A =o

3 A =o

3

Así mismo se puede aplicar en:

4B =o

7 + 1

6C =o

9 + 3



3N + 7 =o

11

BINOMIO DE NEWTON

Ejemplos:2

o2

o

25)25( +=+ 2o

2o

35)35( +=−

3o

3o

25)25( +=+33

35)35( −=−oo

Se dice que A es divisible por B si al dividir A entre B, se obtienen como cociente un número enteroy demás su residuo es cero.

Ejemplo1:

57 19 entonces0 3

57 es divisible por 1919 es divisor de 57

Ejemplo2:-51 17 entonces

0 -3

-51 es divisible por 1717 es divisor de 51

Ejm: Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; Divisores de 15: 1, 3, 5, 15

1) D. Por 2:Cuando termina en par:Ejm: 24, 28, 350

* “cero” es considerado par

2) D. Por 3:

Cuando sumadas sus cifras dan un múltiplo de 3.Ejem: 924, 843) D. Por 4:



Si sus dos últimas cifras son, cero o forman un 4° (múltiplo de 4)

Ejemplo: 3144

44 ÷ 4 = 4

⇒ es divisible por 4

4) D. Por 5:

Cuando termina en cero o en 5

5) D. Por 6:Si cumplen las condiciones de divisibilidad por 2 y 3

Ejemplo:

630

- Termina en cifra par (0)

- Suma de sus cifras es múltiplo de 3

6+3+0=9 (9=3°)

⇒ 630 es divisible por 6

6) D. Por 9:Cuando sumadas sus cifras dan un múltiplo de 3

7) D. Por 10:Cuando terminan en “cero”

8) D. Por 11:

=−∑∑ 11)()( par ordendecifrasimpar ordendecifras

Ejemplo: 10967


9)D. Por 8:si sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 ó terminan por lo menos en tres “ceros”.

Ejemplo 1: 77264

264 ÷ 8 =33

264=8°




Ejemplo 2:

26000

3 ceros

2600 ÷ 8 = 3250


10)D. por 7 :Cuando descompuesto de tres en tres las cifras, de derecha a izquierda, cada cifra se va

multiplicando por

1,3,2, -1,-3,-2 ; también hacia la derecha.Al final se suma el producto de las cifras el resultado

deberá ser “0” o múltiplo de 7.

si:

a – (2b+3c+d)+ 2e+3f+g=7°

⇒ abcdefg = 7°

Ejemplo 1: 4 8 8 9 6 4

{ }[ ] [ ] 0)}4(1)6(3)9(2{)8(1)8(3)4(2 =++++++−

*Recordando que “cero” es múltiplo de cualquier numero positivo.


Ejemplo 2: 21

2 1

3 1

+

3(2)+1

7 =7°


11)D. Por 13: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,

-3,-4, -1, 3, 4, 1, …….,respectivamente, deberá se múltiplo de 13

si: 1(a)+4(b)+3(c)-(1d+4e+3f)+1(g)=13°



⇒ abcdefg = 13°

Ejemplo 1: 1 2 9 9 4 8

4 +3(2)-{9+4(9)+3(4)}+8=10-49 =39 (39 es múltiplo de 13))


Ejemplo 2: 2 6

2 63 1

(-) (+)

-3(2)+6

0 = 13°


ACOTACIONES:i) “cero” es considerado numero par

ii) El producto de 3 números enteros consecutivos, siempre es múltiplo de 6

ejemplo:

3x4x5=60

60=6°

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD RESUMEN

Sea el numeral N = abcdef

Módulo Criterio

2 o

2 = f

4o

4 = ef

8 def o

=8

5 f o

=5

25 )75,50,25,00(:25 ef N o

==

125 def o

=125

9 f ed cbao

+++++=9

3 f ed cbao

+++++=3



7 abcd e f o

2312317 −−−++=

13 abcd e f o

43143113 ++−−−=

11 abcd e f o

−+−+−=11

1) NUMERO PRIMO .- es todo numero entero mayor que “1” que tiene únicamente 2

divisores asimismo y la unidad.

Ejemplo.El numero 3

31

3;1

3

3==

3 es número primo, porque es solo divisible por si mismo y por la unidad.

2) NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI).- Dos o mas números son PESI, si tiene como

único divisor común la unidad.

Ejemplo. 3 y 5 (divisor común 1)

8,12 y 15 (divisor común 1)

27, 45, 36,1 (divisor común 1)

3) NUMERO COMPUESTO .- Es todo numero que tienen mas de 2 divisores.

Ejemplo: el numero 6

23

6;3

2

6;6

1

6===

6 es divisible por 1,2,3

NOTA:

-) “1” No es primo ni compuesto

-) Dos números consecutivos son PESIejemplo: 14; 15 (son PESI)

1; 2 (son PESI)

REGLA PARA DETERMINAR SI UN NUMERO ES PRIMO O NO:a) Se extrae la raíz cuadrada al numero dado, si el resultado es exacto el numero no es primo,

en caso contrario redondear al entero inmediato inferior.Ejm: 525 = (5 es entero, entonces 25 no es primo)

,...11139 = (11 no es entero, entonces 139 probablemente es primo)

b) Se prueba la divisibilidad del número dado por todos los números primos menores o iguales

a la raíz aproximada (obtenida en el paso anterior).Ejm: Números primos menores o iguales a 11 son 2, 3, 5, 7, 11



c) Si el número dado no es divisible por ninguno de los divisores del paso anterior, se puedeasegurar que se trata de un número primo.

Ejm: 139 no es divisible por los números primos menores a 11 , entonces 139 es primo

DESCOMPOSICIÓN CANONICA DE UN NÚMERO

Ejemplo: 360

360=23.32.5 2;3;5 son PESI

Además son primos absolutos

TABLA DE NUMEROS PRIMOSQue existen desde el número 1 al 140

2 37 89 17 61 1133 41 97 19 71 1275 43 101 23 73 1317 47 103 24 79 13711 53 107 31 83 13913 59 109

A) CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NUMERO (Cd (N) )

Donde :N: Es un número

a,b,c: son números primos

x,y,z: exponentes.

ax.by.cz provienen de la descomposición canonica de N



B)SUMA DE LOS DIVISORES DE LOS UN NUMERO (Sd(N))

C)PRODUCTO DE LOS DIVISORES {Pd(N)}

Ejemplo: N =360

N = 23.32.5

-)Cd(N)=(3+1)(2+1)(1+1)

Cd(N)=24

( ) ( ) ( )

−−

+−

−−=

+++

15

15

13

13

12

12)(

111213

N Sd

Sd(N)= 1170

12

12

360)(

360)(

=

=

N Pd

N Pd

D) SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE UN NUMEROEsta dado por:

N

Sd SId

N

N

)(

)(=

3

7

12

28

17281212

282

8.

1

7

13

13.

12

12

6)11)(12(

3.212

12,,

)(

36

)(

23

)(

)(

2

)()()(

==

===

==−

−

−

−=

=++=

=

N

N

N

N

N N N

SId

Pd

Sd

Cd

deSId Pd Cd Hallar

aritmetica preuniversitario firme

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