aritmetica

I.E.P “LEONARDO DE PISA FIBONACCI” ARITMETICA - 1° - I BIM.

Aritmetica

Í N D I C E

Capítulo Pág.

I. Conjuntos numéricos ........................................................................................................ 3

II. Adición y Sustracción de números naturales ....................................................................... 9

III. Multiplicación y División de números naturales ................................................................... 15

IV. Conjunto de los números enteros (ZZ) ................................................................................ 21

V. Adición y Sustracción de números enteros .......................................................................... 27

VI. Multiplicación y División de números enteros ....................................................................... 31

VII. Potenciación y Radicación de números enteros ................................................................... 37

VIII. Repaso ........................................................................................................................... 43

“Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo.” “Leonardo de Pisa Fibonacci” Jr. Bolívar 449 – 512339

I.E.P “LEONARDO DE PISA FIBONACCI” ARITMETICA - 1° - I BIM.

“Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo.” “Leonardo de Pisa Fibonacci” Jr. Bolívar 449 – 512339

Conjuntos numéricos

Capítulo I

En 1642 y a los 19 años, Blaise Pascal construyó una sencilla máquina aritmética para su padre, porque tenía que contar dinero en el trabajo. La máquina se servía de engranajes mecánicos para sumar (cifras de hasta ocho dígitos) y restar automáticamente. Unos años después el gran matemático Gottfried Leibniz perfeccionó el invento de Pascal y obtuvo un nuevo modelo que podía sumar, restar, multiplicar, dividir y calcular raíces cuadradas. Éste fue el punto de partida para las aut énti c as c alc ulad o r as , y fina lmen te p ar a las computadoras.

La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad de elementos (existen siete notas musicales, cinco continentes, etc.), para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas (3,2 metros; 5,7 kg; –4 ºC; etc.), etc.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

NATURALES ( lN )

lN = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;.....}

Los puntos sucesivos significan: «y así sucesivamente»

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

· Tiene un número infinito de elementos.

· Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 0, un antecesor.

Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:

3 108

5 0

También podemos verlos como una serie de puntos alineados y equidistantes

0 1 2 3 4 5 6 7 . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

Operemos con estos números:

3 + 1 = 4

4 - 3 = 13 - 4 = ?

Como llegamos a una operación que no podemos resolver. Es necesario extender este conjunto.


ENTEROS ( ZZ)

ZZ = { .....; –4; –3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;.....}

El conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales (por ejemplo:5 – 20 = ¿?).

Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero.

Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

0 b

0 1 2


-3

75 -3

8-31 3

6 32 8

1 38 8 01

3 0-87 -6

-9 -61001

También podemos verlos de la siguiente manera:

... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...


3 - 4 = -1

4 x 3 = 12

6 : 2 = 33 : 2 = ?

También los podemos ver de la siguiente manera:

0 1

1 32 2


Como llegamos a una operación que no podemos resolver. Es necesario extender este conjunto.

4 2; porque : (2)2 4

2 ?


RACIONALES ( Q0 )

Un número es racional si y sólo si puede expresarse como división de dos números enteros, cuyo divisor es distinto de cero. Esta división se representa como fracción, donde el dividendo recibe el nombre de numerador y el divisor de denominador.

Obviamente necesitamos crear un conjunto que agrupe este tipo de números.


IRRACIONALES ( II)

Q0 =

a

/ a ZZ ^ b ZZ ^ b

Los Números Irracionales son los que no se pueden expresar como racionales, es decir, que su parte decimal tenga infinitas cifras sin presentar periodo alguno.

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales y Números Enteros.

Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado portodos los números de la

forma a .b


Algunos ejemplos: = 3,14159265358979323846...

2 = 1,414213562...

5 = -2,23606797...

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos

semiperiódicos (o periódicos mixtos) que sí pueden transformarse en una fracción.


II

Problemas para la clase

I. Ahora vamos a practicar ...

Escribir SÍ o NO según pertenezca o no el número dado a los conjuntos lN, ZZ, 0Qo II .

- 3

36 5 3 2

2

5

6

25

0,4

-1

3Podemos graficar de la siguiente manera:4

+7

2 33 5

-9

+11

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( lR )

El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales, y se designa por lR .

lR = {Q0 II }


3

17

29

5

3

2,53

1,42

6

7

Z 5

N-31

326

0 8 -6

-9

Q

- 3 8

3 8

-11001

- 3

5 3 2 2

6 5

II

R

II. Completa teniendo en cuenta el nombre del primer conjunto al que pertenece cada uno de los siguientes números:

1. 2 es un número: ..............................................

2. -36 es un número: ...........................................

3. 3 es un número: ............................................

Los números reales llenan por completo la recta numérica, por eso se la llama Recta Real.

4. 12

es un número: ..........................................

5. +27 es un número: ...........................................

Donde a cada punto de la recta le corresponde un número real y, a cada número real, le corresponde un punto de la recta.

6. 7 y -3 son números: ..........................................

7. y 4 son números: .....................................

2

8. -24 y 3 son números: ....................................

9. -6,34 es un número: ........................................

10. 3

y 5,2 son números:

......................................4

11. 1,2 y 6,7 son números: ..................................

5. 63

es un número:7

a) racional y decimal b) decimalc) entero y natural d) irracional e) real e irracional

6. ¿Cuál de los siguientes gráficos es correcto?

12. 7 y 4 2 son números:

.................................

13. -3; 5 y -2 son números: ..................................

5

lN ZZ

I.

ZZ Q

II.

lN Q

lR

14.7

3

es un número: .......................................... III. IV. Q II

15.7

; 1; -2 y 0,24 son números:

.........................

16. 3 2 es un número:

...........................................

17. 5; 3

; son números:

.............................2

18. ; 3 ; 3 5 son números:

.............................

5

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) Sólo IV e) I y IV

7. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?

a) 24 es un número entero

19. 2; 4

III. Resolver

; 2,4 son números: ................................

b) -0,432176 es un número racional

c) 3,7 es un número

racional d) 5 es un

número real

e) es un número natural

1. 5 es un número:

a) racional b) real y natural

8. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?

3c) irracional d) naturale) entero

a) 2

es una fracción

2. 0,3333... es un número:

a) racional y decimal b) irracional c) natural d) enteroe) real

3. 4 + 3 da como resultado:

a) un número natural b) un número enteroc) un número racional d) un número irracional e) todas son correctas

4. Señalar las afirmaciones correctas:

I. QI II = IR II. IN ZZ

III. ZZ QI IV. QI II

)

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) II y III e) Todas

b) 0,3492 es un número irracional

c) 5 es un número real

d) 1+ 2 es un número

irracional e) 241 es un

número natural

9. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

3a) es un número natural

7b) 3 es un número racional

c) 1,

es un irracional3d) 4,3 es un natural

e) es un irracional

10. Señalar las afirmaciones

incorrectas: I. 2 es irracional

porque lleva raíz. II. ZZ lN =

lN

III. Q0 II = lR

a) F FV V b) V V F F c) VFVFd) F F F F e) V FF V

a) VVV b) VF V c) F V Fd) V F F e) FVV

I. 4,3 Q0III. 3,4 y -5 lN

II. 2 y 3

IV. 0 lN

2 Q0 y lR

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) II y III

11. Señalar la afirmación correcta:

I. 11 es irracional porque tiene

raíz. II. es un número no

racional.

III. 36 es un número irracional.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) I y III

12. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

3

16. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. 2 y -3 son números enteros

II. 3 y 1 son irracionales

III. -1,4 y 2 son racionales

IV. 0Qe II están contenidos en los enteros

17. Indicar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda: I. 5; 2 y 2 son enteros y

reales

II. 36 es un número irracionala)

5es un número no fraccionario. III. 2 es natural y entero

b) 3 es un número racional.

IV. 3 ; 2 y - 1

son racionales

2 3 5c) 0,349 es un número racional. a) F F V V b) F V F V c) FVVV

d) V FV V e) VVVVd) 4 es

irracional. 18.Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

e) 4; 5 y -6 son números naturales.

13. 25 es un número:

a) racional e irracional b) decimalc) irracionald) natural y entero e) real y decimal

14. Señalar la afirmación correcta:

I. La suma de dos números irracionales

siempre es otro irracional.

......................................... ( )

II. El producto de dos números irracionales

puede ser un número entero.

................................... ( )

III. La expresión 16 es irracional. .............. ( )

I. 3 lR II. 5; 4; 2 lN 19.El área de un círculo es un número:

III. 3 ; 2 y 0,3 QI2 5

IV. 0; 5; -3 y -2 ZZ

a) natural b) enteroc) racional d) irracional

a) I y II b) I y IV c) Sólo IIId) Sólo II e) I, III y IV

15. ¿Cuántas de las afirmaciones son correctas?

e) todas las anteriores

20.Si el lado de un cuadrado es 3 , entonces su área es:

a) irracional b) racional y decimal c) racional y entera d) entera

e) natural

a) -15 b) -10 c) 0d) -18 e) 19

Autoevaluación

1. Indicar verdadero o falso según corresponda:

21

3. En ZZ, ¿cuál es el antecesor del número -13?

a)7

es un número racional ...................... ()

a) -14 b) -12 c) 13d) -31 e) 12

b) 8 es un número racional ...................... ( )

c) 7 y -7 son números naturales ................... ()

d) 17 y 3 son números irracionales ............ ()

4. 49 , es un número:

a) racional b) irracional c) decimal d) entero

e)364 y 4 son números enteros. .............. (

)5. ¿Cuál de los siguientes números está ubicado

más hacia la izquierda en la recta numérica?

2. Si agregamos una decena al número 2 , el resultado será un número:

a) natural b) enteroc) racional d) irracional e) todas las anteriores

LA BIBLIA EN NÚMEROS

LaB i b l i

ac o n t i e n

e3 5 6 6 4 8

0l e t r a s ; p a l

a -b r a s , 7 7 3 6 9

3 ;3 1 1 0 2 v e r s í c u l

o s ;1 1 8 9 c a p í t u l o s

y6 6 l i b r o s . E l c a p í t u l o m á s l a r g o e s e l

S a l m o11 9 , y e l má s c o r t o e s

e lS a l mo 11 7 . E l v e r s í c u l

o 8d e l S a l m o 11 8 e s t á e n e l m e

d i od e l a B i b l i a . E l n o mb r e má s l a r g o s e e n c u e n t r a e n e l c a p í t

u l o 8 d e ll i b r o d e I s a í a s . L a p a l a b r a “ y

” e s t á4 6 2 7 7 v e c e s y l a p a l a b r a “ S e ñ o r

” e s t á1 8 5 5 v e c e s . E l c a p í t u l o 3 7 d e l l i

b r o d eI s a í a s y e l 1 9 d e l 2 º d e R e y e s s o n p a r e

c i d o s .

E l v e r s í c u l o má s l a r g o e s e l 9 º d e l c a p í - t u l o 8 d e E s t h e r, y e l má s c o r

t o e s t áe n É xo do 2 0:1 3. En el ve r sí c ul o 2 1 de l ca pí tul o 7 de E sdr a s e stá c a si to do e l a l f a be to . L a pi e z a

má sf i n a d e l e c t u r a e s e l c a p

í t u l o2 6 de l l i br o d e l o s He c

ho s.E l no mbre de Di o s

no s e me n c i o n a e ne l

l i b r o

de E s the r.L a B i b l i a c o n t i

e n es a b i d u r í a , i n t e l i g e

n c i a ,sa nti da d, y, sobre to do , Pa z y Amo

r

Adición y Sustracción de números naturales

Capítulo II

¿Qué suma es mayor?

ACERTIJO1 2 3 4 5 + 1 +

NUMÉRICO1 2 31 21

1 2 31 2 3 4

1 2 3 4 5

ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Observa: tengo nueve fresas:

Mi mamá me regala dos fresas más

Ahora tengo once fresas:

A la acción de agrupar, agregar o añadir le llamamos ADICIÓN, pero, ¿sabes cómo represento numéricamente esta adición?

9 +2

11Definición de AdiciónEs una operación binaria en la que se hace corresponder acada par de números “a”, “b” lN otro número natural llamado suma y denotado por “a + b”.

{a; b} lN (a + b) lN

Ejemplos:

1. 15 + 7 = 22 Operación: Adición Operador: +

Sumandos: 15 y 7Suma:

22

2. 27 + 12 = 39 Operación: Adición Operador: + Sumandos: 27 y 12Suma:

39

Cuando se resuelve una adición hay que tener presente:

· Los números que se suman o sea, los SUMANDOS, deben estár colocados correctamente, es decir: UNIDADES debajo de UNIDADES, DECENAS debajo de DECENAS, CENTENAS debajo de CENTENAS, ...

· Los objetos que se suman deben ser de una misma especie, no se puede sumar naranjas con carros, perros con muñecas, hombres con piñas.

ELEMENTOS DE UNA ADICIÓN

Dentro de la adición encuentro varios elementos:

· A los términos que se van a sumar o se van a agregar, los llamaremos SUMANDOS.

· Al resultado de la adición, se le llama SUMA.

· Y el signo señalado por una cruz pequeña se le da el nombre de SIGNO MÁS.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS

NATURALES

La adición de números naturales cumplen con las siguientes propiedades:

1. Propiedad de Clausura

"Si sumamos dos o más números naturales el resultado será también otro número natural".

Es decir:

Si: a lN y b lN (a + b) lN

Ejemplo:

5 lN y 9 lN 5 + 9 = 14 lN

2. Propiedad conmutativa (conmutar = cambiar)

Si cambiamos el orden de los sumandos, la suma no se altera.

Es decir:

Si: a lN b lN a + b = b + a

Ejemplo: 5 + 9 = 9 + 5

14 = 14

3. Propiedad asociativa (asociar = agrupar)"La forma como agrupamos los sumandos, NO altera la suma".

Es decir:

Si: a; b; c lN (a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo: (5 + 9) + 12 = 5 + (9 + 12)

14 + 12 = 5 + 21

26 = 26

4. Propiedad del elemento neutro"El elemento NEUTRO de la adición es el CERO, pues si sumamos cualquier número natural con el CERO, el resultado sigue siendo el mismo número natural".

Es decir:

Si: a lN a + 0 = 0 + a = a

Ejemplo:

5 + 0 = 0 + 5 = 5

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Observa:

Yo tengo once balones:

A esa acción de sacar, quitar o de extraer le llamamosSUSTRACCIÓN.

¿Y sabes cómo represento numéricamente la sustracción?, así:

11 -56

Cuando se resuelve una SUSTRACCIÓN hay que tener presente:

· Los números que se restan seben estar colocados correctamente, es decir, UNIDADES debajo de las UNIDADES, DECENAS debajo de las DECENAS, CENTENAS debajo de las CENTENAS.

· Siempre se deben restar objetos de una misma especie; naranjas a naranjas, perros a perros, muñecas a muñecas, carros a carros, hombres a hombres, piñas a piñas. Esto quiere decir, objetos de una misma clase, de un mismo género.

· El MINUENDO siempre tiene que ser mayor

que el SUSTRAENDO. Es decir, la primera cantidad que aparece en la resta debe ser más grande que la segunda cantidad, ya que es imposible quitarle a un número menor uno mayor, ¿verdad?

ELEMENTOS DE UNA SUSTRACCIÓN

En la sustracción tenemos tres elementos:

· Al mayor de los dos números que se restan le llamamos MINUENDO, y representa la totalidad de objetos que se tiene al cual se le va a quitar una cantidad.

· El número menor que aparece en la sustracción se le da el nombre de SUSTRAENDO.

· Al resultado de la sustracción, se le llama DIFERENCIA.

· Y el signo señalado por una rayita pequeña se le da el nombre de SIGNO MENOS.

En nuestro ejemplo:

Pero perdí cinco balones: Minuendo

11 - 5 = 6

Sustraendo

Diferencia

¿Cuántos balones me quedaron?

Otros ejemplos:

* Al 24 restarle 16: 24 - 16 = 8* Restar 20 de 40, es: 40 - 20 = 20* 15 excede a 8 en: 15 - 8 = 7* 9 es excedido por 13 en: 13 - 9 = 4

PROPIEDAD"La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo".

M + S + D = 2M

2. CA (36) =

3. CA (143) =

E j e m plo de a p l i c a c i ó n :La suma de los tres términos de una sustracción es igual a 2 548. Hallar el mayor de los tres términos.

4. CA (2 236) =

5. CA (23 492) =

S o l uc i ó n :Sabemos que el mayor de los términos de una sustracción es el MINUENDO.

Dato del problema: M + S + D = 2 5482M = 2 548

De donde: M = 1 274

6. CA (53 216) =

7. CA (102 403) =

8. CA (492 760 020) =

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)

Es la cantidad de unidades que le falta a un número para

Bloque I


ser el menor número de orden inmediato superior.

CA (3) = 10 - 3 = 7

CA (9) = 10 - 9 = 1

CA (23) = 100 - 23 = 77

CA (47) = 100 - 47 = 53

CA (642) = 1 000 - 642 = 358

CA(12 345 020) 100 000 000 12 345 020 87 654 980

I. Completar el siguiente cuadro escribiéndo la propiedad respectiva.

Expresión en lN Propiedad

5 + 0 = 5

7 + 9 = 9 + 7

7 +(1 + 5) = (7 + 1) + 5

8 + 3 = 11

9 + 0 = 9

8 cifras

8 cifras "ceros"

9 + 7 = 16

2 + 0 = 2

Método prácticoTomando de derecha a izquierda la primera cifra significativa del número al que se le está calculando su complemento aritmético, se le resta de 10 y a las demás de 9.

Ejemplo:

12 + 10 = 10 + 12

12 + 5 = 17

7 + 1 = 1 + 7

538 + 0 = 538

9 9 10a. CA (2 340) = 7

660

(9-2) (9-3)(10-4)0

9 9 9 9 10

b. CA (90 235) = 9 765

(9-9)(9-0) (9-2)(9-3)(10-5)

II. Resuelve en tu cuaderno:

1. 5 + 55 + 555 + 5555 + ... + 5555555

2. 3 + 33 + 333 + ... + 333333

3. 7 + 78 + 788 + 7888 + ... +7888884. ¿Cuál es la cifra de millares del resultado?

2 22 222 ...

Calcular el CA de los siguientes números:

1. CA (22) =

9

sumandos

5. Indicar las dos últimas cifras de la siguiente suma:

7 66 777 6666 ...10

sumandos

6. Restar 137 de 2 498.

7. Restar 24 de 1 983.

8. De 493 restar 241.

9. Restar:(6 + 7 + 8 + 9) de (11 + 9 + 92).

10.Calcular el complemento aritmético de los siguientes números:

a) 3 b) 71

c) 918 d) 9991

e) 57 265 f) 571 983

Bloque II

I. Cambie las interrogaciones por números que completen correctamente las operaciones.

Bloque III

1. En una fábrica de vidrio soplado, todo el proceso de confección de una pieza toma 203 horas. Si la primera parte hasta antes del enfriado, toma 17 horas, ¿cuánto tiempo lleva el enfriado?

a) 196 horas b) 183 c) 187 d) 186 e) 188

2. En la misma fábrica, la temperatura del horno de cocido es de 1 230 ºC. Si al finalizar el proceso de enfriado las piezas están a 45 ºC, ¿cuántos grados centígrados baja la temperatura con el enfriado?

a) 1 275 ºC b) 1 185 c) 1 195 d) 1 175 e) 1 285

3. Roberto tiene una estación de servicio. Él anota en un libro las ventas de gasolina y aceite que hace diariamente. En la siguiente tabla, se especifican las ventas de una semana:

a) ? ?02

b)

3538

DÍALITROS

DE GASOLINA

LITROS DE ACEITE

8?+ 5040

?15?4

3?556?9?0

+ ?22?14

75?341

domingo

lunes martes

miércoles jueves

5481 680

9871 2301 856

207876

1 245560876

II. Ca mbie las let ras por díg itos que com plet en correctamente las operaciones. Si una letra se repite en una suma debe cambiarse siempre por el mismo dígito en esa operación.

viernes sábado

2 5893 202

345453

a) 996CAB

+ 8B12B92

b) T 2 T K T T

+ K 4 T7 9 9

Opera y responde en tu cuaderno las siguientespreguntas:

a) ¿Cuántos litros de gasolina vendió en una semana?

b) ¿Cuántos litros de aceite vendió en una semana?

III. Cambie las interrogaciones por números que completen correctamente las operaciones.

c) ¿Qué vendió más, gasolina o aceite? ¿Cuánto más?

4. Hallar la edad de un padre que tiene 15 años más que

a) 68?6- ??07

5639

b) ??9?- 10?5

687

la suma de las edades de sus cuatro hijos, que tienen: el cuarto tres años, el tercero un año más que el cuarto; el segundo tres años más que el tercero; y el primero tanto como los otros tres juntos.

VI. Ca mbie las let ras por díg itos que com

plet en correctamente las operaciones. Si una letra se repite en una resta debe cambiarse siempre por el mismo dígito en esa operación.

a) 39 años b) 53 c) 45d) 43 e) 51

5. En una bodega había 12 536 toneladas de producto.

Cuando terminaron los repartidores de llevarse sus

a) 2RR0- 13RR

119R

b) HHHD- HDD

1 9 90

cargas quedaron 789 toneladas. ¿Cuántas toneladas se llevaron los repartidores?

a) 789 Tn b) 11 747 c) 12 747 d) 10 747 e) 11 047

a) 2 152 b) 2 404 c) 1 202d) 2 157 e) 2 102

6. En una pequeña empresa se anotaron los siguientes gastos en una quincena: $ 23 837 de salarios, $ 1 208 de material, $ 890 de la compostura de una máquina y$ 1 500 de renta. ¿Cuánto se gastó en la quincena en esa empresa?

a) $27 435 b) 37 435 c) 25 435 d) 35 435 e) 27 543

7. A un rollo de 500 metros de alambre se le agregaron

275 metros más. Después se utilizaron 692 metros.¿Cuánto de alambre quedó?

a) 53 m b) 63 c) 73 d) 83 e) 93

8. De una caja en la que hay $ 21 879 se sacan estas cantidades: $ 506, $ 987, $ 46 y $ 5 618. ¿Cuánto queda en la caja?

a) $12 162 b) 13 722 c) 14 632 d) 14 712 e) 14 722

9. Una compañía que fabrica pan recoge de las tiendas el pan entregado dos días antes y que no se vendió. Un camión de la compañía recorre tres tiendas. En la primera tienda había dejado 180 bolsas y se vendieron162, en la segunda había dejado 50 bolsas y se vendieron47, y en la tercera había dejado 96 bolsas y se vendieron43. ¿Cuántas bolsas recoge el camión?

a) 70 bolsas b) 71 c) 72 d) 73 e) 74

10.En una región se tiene los siguientes cultivos: 10 548 ha de maíz, 821 ha de frijol, 472 ha de haba, 439 ha de alverjón, 127 ha de planta de ornato, 3 058 ha de huertas de manzana, 2 109 ha de huertas de pera y 502 ha de huertas de ciruela. ¿Cuántas hectáreas de cultivo tiene la región?

a) 17 086 ha b) 18 067 c) 17 068 d) 18 076 e) 10 876

Autoevaluación

1. Hallar la cifra de centenas del resultado.

2 23 232 2323 ...

10sumandos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Es un ejemplo de la propiedad conmutativa de la adición:

a) 5 + 0 = 5b) 5 + 7 = 5 + 6 + 1 c) 5 + 7 = 7 + 5d) 5 + 1 + 1 + ... + 1 = 5 + 108

100 veces

e) (5 + 7) + 1 = 5 + (7 + 1)

3. De 587 restar 29.

a) 558 b) 568 c) 548 d) 559 e) 557

4. El complemento aritmético de 57 081 es:

a) 42 918 b) 42 018 c) 42 019 d) 42 919 e) 57 081

5. La suma de los tres términos de una sustracción es 4 204.

Hallar el minuendo.

Multiplicación y División de números naturales

Capítulo III

¿Las divisiones son un asunto difícil?

Para muchas personas la división en general es más complicada que la multiplicación y aunque ahora podemos resolverla con gran facilidad, no siempre fue así.

En la antigüedad se consideraba "sabio" a quien hacía correctamente y con rapidez las divisiones; cada "maestro en división" (algo así como especialista) debía comunicar a los demás el resultado de determinados casos de esta operación.

Algunas veces, encendiendo un cerillo con un movimiento habitual, todavía reflexionamos sobre cuánto trabajo costó a nuestro antecesores, inclusive no muy remoto, la obtención del fuego. Empero pocos sospechan que a los actuales métodos de realización de las operaciones aritméticas tampoco fueron, en su origen, así de sencillos y cómodos para que en forma tan rápida y directa condujeran al resultado.

Nuestros antepasados emplearon métodos mucho más lentos y engorrosos, y si uno de ustedes, escolar del primer año de secundaria del siglo XXI (del colegio Pamer, por supuesto) pudiera trasladarse tres o cuatro siglos atrás, sorprendería a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus cálculos aritméticos.

El rumor acerca de ustedes recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegarían gente a aprender del nuevo gran maestro el arte de calcular.

Particularmente difíciles y complejas eran en la antigüedad las operaciones de la multiplicación y la

d i v i s i ó n : e s t a ú l t i m a e n m a y o r e s c a l a . "La multiplicación es mi martirio, y con la división es ladesgracia" decían entonces. Pero aún no existía, como ahora, un método práctico elaborado paracada operación. Por el contrario, estaba en uso simultáneamente casi una docena de diferentes métodosde multiplicación y división con tales complicaciones que su firme memorización sobrepasaba a lasposibilidades del hombre medio. Cada "maestro de la división" exaltaba su método particular al respecto.

En el libro de V. Belustino: "Cómo llegó la gente gradualmente a la aritmética actual" (1911), aparecen

27 métodos de multiplicación, y el autor advierte: "es muy posible que existan todavía métodos ocultos enlugares secretos de bibliotecas, diseminados fundamentalmente en colecciones manuscritas" : y todosestos métodos de mul-tiplicación : "ajedrecístico o por organización", "por inclinamiento", "por partes","por cruz pequeña", "por red", "al revés", "por rombo", "por triángulo", "por cubo o copa", "por diamante",y otros, así como todos los métodos de división, que tenían nombres no menos ingeniosos, competíanuno con otro tanto en voluminosidad como en complejidad.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces.

ELEMENTOS

En la multiplicación encontramos los siguientes elementos:

2 x 5 = 10

Por ejemplo, según esto, 2 x 5 significa 5 veces el 2.

Multiplicando Multiplicado

r

Producto

Entonces:

2 2 2 2 2 = 10 · Los números que se multiplican también se llaman2 x 5 =

5 vecesfactores.

O también:

2 x 5 =5 5 = 10

2 veces

· El resultado se conoce como producto.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La Multiplicación de Números Naturales cumple con las siguientes propiedades:

5. Propiedad del elemento absorvente

“El elemento ABSORVENTE de la multiplicación es el CERO, pues si MULTIPLICAMOS cualquier número natural con el CERO, el resultado siempre será CERO”.

1. Propiedad de clausura

“Si multiplicamos dos o más números naturales el resultado será también otro número natural”.

Es decir:

Es decir:

Ejemplo:

Si: a lN a x 0 = 0 x a = 0

5 x 0 = 0 x 5 = 0

Si: a lN b lN (a x b) lN 6. Propiedad distributiva

Ejemplo: 5 lN 9 lN 5 x 9 = 45 lN

“Si un numero natural multiplica a una suma o diferencia, se distribuye como factor en cada elemento de la suma o diferencia”.

2. Propiedad conmutativa

“El orden de los factores NO altera el

producto”. Es decir:Si: a lN b lN a x b = b x a

Es decir:

Ejemplo:

a x (b + c) = a x b + a x c a x (b - c) = a x b -

a x c

5 x ( 3 + 2 ) = 5 x 3 + 5 x 2

Ejemplo: 5 x 9 = 9 x

545 =

45

Comprobemos: 5 x 5 = 15 +

1025 = 25

3. Propiedad asociativa

“ La forma como agrupamos los factores NO altera el producto”.

Es decir:

Si: a; b; c lN (a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo:

DIVISIÓN DE NÚMEROS

NATURALES

Es una operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercero llamado cociente (q), que indique cuántas veces contiene el dividendo (D) al divisor (d).

CLASES DE DIVISIÓN

( 5 x 9 ) x 12 = 5 x ( 9 x 12 )

45 x 12 = 5 x 108

540 = 540

4. Propiedad del elemento neutro

“El elemento NEUTRO de la multiplicación es el UNO, pues si MULTIPLICAMOS cualquier número natural con el UNO, el resultado sigue

siendo el mismo número natural”.

Es decir

:Si: a lN

a x 1 = 1 x a = a a. División exacta

Cuando no hay residuo.

D d q

Donde:D = dividendo lN

d = divisor lNq = cociente lN

D = d . q

Ejemplo: 5 x 1 = 1 x 5 =

5

Ejemplo 1: 280 7 280 400

Donde: 280 = 7 x 40

Ejemplo 2: 1218

2110 5 58168

Donde: 24 = 7 x 3 + 3

Ejemplo 2:

16 8 0

Donde: 1218 = 21 x 58

b. División inexactaCuando existe un residuo (r).

D d

198 1313 15

68653

Donde: 198 = 13 x 15 +3

r 0 q D = d . q + r PROPIEDADES

Donde:

D lN ; d lN ; q lN ; r lN

a. 0 < residuo < d

b. rMÁX = divisor - 1Ejemplo 1:

24 721 3

3

rMÍN = 1


Bloque I

1. Desarrolla las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno:

3. Ca mbie las let ras por díg itos que com plet en correctamente las operaciones. Si una letra se repite debe cambiarse siempre por el mismo dígito en esa operación.

a) 2606 × 6 8

b) 2708 × 1 6 5 6 a) A979

× AA

B187B

b) 47K4 × K8

T8T522. Cambie las interrogaciones por números que completen

correctamente las operaciones.

B187B

BA0A1

B

4T14646K812

a) 4?8? ×?2

837433496??????

b) ? ? ? ? ×145

103208256

2064 ??????

YY50 × YZZ

8900c) 8900

1 7 800 1877900

4. Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno y escribe el dividendo como el cociente por el divisor más el residuo.

a) 1 234 8 b) 2 396 17 c) 1 331 11 d) 543 87e) 19 827 121

5. Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedad correspondiente a cada operación indicada:

5 ( 7 + 1 ) = 5 x 8 7 + 1 = 8

Propiedad:

7 x 8 = 8 x 7

Propiedad:

8 – 2 = 6 3 ( 8 – 2 ) = 3 x 6

Propiedad:

7 x 6 x 18 x 0 x 11 = 0

Propiedad:

6 x ( 3 x 5 ) = ( 6 x 3 ) x 5

Propiedad:

7 x 41 = 41 x 7

Propiedad:

24 x 1 = 24

Propiedad:

4 x 24 x 9 x 0 = 0

Propiedad:

3 ( 2 + 9 ) = 3 x 2 + 3 x 9

Propiedad:

9 ( 3 + 2 ) = 9 x 5 3 + 2 = 5

Propiedad:

521 x 3 = 1 563

Propiedad:

Bloque II

1. ¿Cuántas horas hay en una semana?, ¿y en un año no bisiesto?

2. ¿Cuántos minutos hay en un día?, ¿y en una semana?,

¿y en un mes?

3. En una fábrica de telas se compraron 57 docenas de carretes de hilo, a $ 106 el carrete. ¿Cuánto se gastó en hilo?

4. Un automóvil viajó durante tres horas a una

velocidad constante de 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros viajó?

5. Jesús compró tres camisas a $ 65 cada uno cuatro pantalones a $ 85 cada uno ¿Cuánto gastó?

6. Liliana compró tres blusas a $ 65 cada una y tres faldas a $ 115 cada una. ¿Cuánto gastó?

7. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 34 cajas de

10 kg y con 21 cajas de 7 kg. ¿Cuántos kilogramos se cargó?

8. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 15 cajas de

12 kg de leche descremada y con 11 cajas de 12 kg de leche entera. ¿Cuántos kilogramos se cargaron?

Bloque III

1. A Felipe le pagaron el año pasado $15 990 con todo y aguinaldo. Si el aguinaldo es el equivalente a un mes de sueldo, ¿cuál fue el salario mensual de Felipe?

2. Se desea guardar 427 envases de jugo en cajas en las que caben 24 envases. ¿Cuántas cajas se llenan?,¿cuántos envases sobran?, ¿cuántas cajas se necesitan si se desea guardar todos los envases?

3. Se desea transportar a 128 personas en camionetas en las que caben 10 pasajeros. ¿Cuántas camionetas se necesitan?

4. Se cuenta con cinco autobuses para transportar a 134 personas. ¿Cuántas personas deben ir en cada autobús para que queden repartidas de la manera más pareja posible?

5. De un frasco de botones se utilizaron 6 botones para cada uno de los 27 sacos, y sobraron 3 botones. ¿Cuántos botones había en el frasco?

6. De un frasco con 300 botones se utilizaron 8 para cada saco y sobraron 4 botones. ¿A cuántos sacos se les puso botones?

7. Marcela decidió gastar $ 1 000 en ropa. Compró dos pares de zapatos de $ 195 cada uno, tres faldas de $ 79 cada uno, cuatro blusas de $ 57 cada uno y un suéter de $ 126. ¿Cuánto dinero le sobró?

8. Iván y Esaú se fueron de viaje y acordaron que uno pagaba la comida y el otro el hotel. Esaú pagó las comidas; las cuentas son de $ 45, $ 134, $ 78, $ 57,$ 241, $ 50 y $ 33. Iván pagó el hotel: dejó $

600 a cuenta pero le devolvieron $ 200 porque se quedaron una noche menos de lo previsto. ¿Cuánto dinero le debe dar quién a quién para que los gastos queden repartidos equitativamente?

Autoevaluación

1. Es un ejemplo de la propiedad distributiva de la multiplicación.

a) 5 x 8 = 8 x 5b) 5 ( 3 + 9 ) = 5 x 12 3 + 9 = 12 c) 7 ( 5 + 4 ) = 7 x 5 + 7 x 4d) ( 8 x 2 ) x 3 = 8 x ( 2 x 3 )e) 4 x 5 x 6 x 0 x 45 = 0

2. En un bosque de 72 hectáreas hay 1 620 árboles por hectárea. ¿Cuántos árboles tiene el bosque?

4. Ariana compró cierto número de sacos de azúcar por S/. 675 y luego los vendió por S/. 1 080, ganando S/. 3 por cada saco. ¿Cuántos sacos de azúcar compró?

a) 125 b) 135 c) 145 d) 115 e) 155

5. Ivanna compra el mismo número de lápices que de lapiceros por S/. 84. Si cada lápiz le costo S/. 5 y cada lapicero S/. 7, ¿cuántos lapices y lapiceros compró en total?

a) 11 664 b) 116 650 c) 116 645 a) 7 b) 14 c) 18d) 116 640 e) 11 665 d) 12 e) 9

3. Se cuenta con $ 832 para comprar discos que cuestan a $ 95 cada uno. ¿Para cuántos discos alcanza?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 6

Conjunto de los números enteros (ZZ)

Capítulo IV

LA CONTRASEÑA

Un grupo de policías está investigando a un grupo de delicuentes que trafican en un local bien custodiado. Desde un coche camuflado vigilan la entrada al local. Quieren infiltrar a un grupo de policías, pero no saben la contraseña. En ese momento llega un cliente. Llama a la puerta y desde el interior le dicen: “18”. El cliente responde: “9”. La puerta se abre y accede al interior. Los policías se miran, creen tener la respuesta. Pero deciden esperar. Viene otro cliente. Desde dentro le dicen: “8”. Él responde: “4”. La puerta se abre. Los policías sonríen. “Ya lo tenemos. Se trata de responder la mitad del número que te dicen desde dentro”. Llega otro cliente. Desde dentro dicen: “14”. El cliente contesta: “7”. La puerta se abre. “¿Lo veis?” dice el jefe de policía. Deciden enviar a un agente. Llama a la puerta. Desde dentro le dicen: “0”. El policía se queda parado. Después de unos breves segundos responde: “0”. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere. Los agentes que hay en el coche se quedan sorprendidos, pero deciden enviar a otro agente. Desde dentro se oye: “6”. El policía contesta muy convencido: “3”. Pero la puerta no se abre. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere. ¿Por qué?

INTRODUCCIÓN

En el conjunto de los números naturales (lN) la sustracción donde el minuendo era menor que el sustraendo NO tenía solución, como por ejemplo: 5 - 8. Investigemos este tipo de situaciones, representamos 5 - 8 en la recta numérica.

. . . ? ? ? ? ? 0 1 2 3 4 5 6 7 . . .

Como podemos ver, si se conocieran los números que están ubicados a la izquierda del CERO ... ¡estaría resuelto el problema! Veamos:

· El punto que está ubicado a una unidad a la izquierda del cero, representa el número entero -1

· El punto que está ubicado a dos unidades de la izquierda del cero, representa el número entero-2

· El punto que está ubicado a "n" unidades a la izquierda del cero, representa el número entero "-n"

De esta manera, el ámbito numérico se nos agranda hacia la izquierda de la recta numérica, donde el 0 es el origen.

0

Ubicaremos los enteros que ya conocemos, por convención, a la derecha del 0, y ahora los llamaremos enteros positivos. Estos números no necesitan llevar ningún signo +, pero para identificarlos mejor, los escribiremos con su signo. Así:

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 . . .

Enteros positivos

Al conjunto de los enteros positivos se le reconoce

como ZZ +. Hacia la izquierda del 0, colocaremos

los números enterosnegativos. Estos van a la misma distancia del 0 que los enteros positivos.

A los enteros negativos no les puede faltar el signo - . Los enteros negativos se simbolizan como ZZ -.

Ahora podemos responder: ¿qué número entero es el

. . . -7 -6 -5 -

4

-3 -2 -1 0

resultado de 5 - 8? Sería -3.

Nos encontramos frente a un nuevo conjunto numérico.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (ZZ)

El conjunto de los números enteros permite resolver las sustracciones donde el minuendo es menor que el sustraendo, además que nos permite también expresar12º bajo cero, como: -12º y se lee "menos 12 grados". También, si se debe S/.5 000, decir: -S/.5 000, que se lee "menos S/.5 000"; o si retrocedemos 49, señalar -49, etc.

Enteros negativos

Como los enteros negativos están a la misma distancia del0 que los positivos, se les llama opuestos o simétricos. Entonces, -5 es el opuesto de +5.

-5 0 +5

Se observa que:Opuesto de - 5 = 0p(- 5) = - (- 5) = 5Resumiendo ...El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos.

SIGNO Y VALOR ABSOLUTO

Un número entero tiene dos partes: el signo y su valor absoluto.

-7 -6 -5 -

4-3 -2 -

10 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

El signo puede ser positivo: +, o negativo: -.

En símbolos: ZZ= {ZZ - U {0} U ZZ+}

RELACIÓN DE ORDEN EN ZZ

ZZ es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros.

Un número es mayor que otro si su representación en la recta numérica está más a la derecha; por ejemplo 4 es mayor que 1 (se representa: 4 > 1). Un número es menor que otro si su representación en la recta está más a la izquierda; por ejemplo, 2 es menor que 5 (se representa:2 < 5).

Analicemos los siguientes ejemplos:

· Ordenaremos de menor a mayor +7; -6; +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0. Así, tenemos que:

El valor absoluto puede definirse como su distancia al 0 en la recta numérica o la cantidad de unidades que tiene.

Por ejemplo, observa:

-28 tiene signo "-" y su valor absoluto es 28.

Para simbolizar el valor absoluto de un número, lo encerramos entre dos barras.

Por ejemplo:

Si queremos indicar el valor absoluto de -49, escribiremos l-49l = 49

* l+10l = 10

* l-10l = 10

Nos quedó pendiente determinar una fórmula para encontrar un orden sólo entre enteros positivos o sólo entre

-7 -6 -5 -

4-3 -2 -

10 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

enteros negativos. Aplicamos el concepto de valor absoluto.

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2; el 4 y el 7. En símbolos queda:

-6 < -2 < +4 < +7

· En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor

-1; +2; +5; 0 y -3. Tenemos:

· Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valor absoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9,+300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valor absoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9. Entonces decimos:

+300 > +40 > +9

Mientras más lejos de 0 esté un número entero positivo, su

-7 -6 -5 -

4-3 -2 -

1

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

valor es mayor, porque está más a la derecha.

· En los enteros negativos sucede lo contrario: mientras

El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda:

+5 > +2 >0 > -1 >-3

Analizando los ejemplo anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos servirán para ordenar números enteros sin dibujar la recta numérica:

· Todo número entero positivo es mayor que 0.

· Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

· Todo número entero negativo es menor que 0.

· Todo número entero negativo es menor que cualquier entero positivo.

Si expresamos estas conclusiones en símbolos,

tenemos: ZZ+ > 0 ZZ+ > ZZ-

ZZ- < 0 ZZ- < ZZ+

más lejos de 0, su valor es menor, porque está más a la izquierda en la recta numérica.

Esta conclusión nos permite determinar que en los enteros negativos, es mayor el que tiene menos valor absoluto.

Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40; -9;-300. El menor es -300, porque tiene el valor absoluto mayor, le sigue -40 y luego -9.

-300 < -40 < -9

Antecesor y sucesor

Otra característica que representa el conjunto de los números enteros, es que cada número tiene antecesor y sucesor.

Para cualquier número, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él y es sucesor, el que está inmediatamente a su derecha.

Observa:

5. Colocar el signo ">" (mayor que) o "<" (menor que)

según corresponda:

a n te c e s o r

n ú m e r o

s u c e s o r

+34 ..... +17 -6 ..... +12

+7 ..... +16 45 ..... -1-7 - 6 - 5 -

4-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 + 6

+7- 6 ..... - 8 -16 ..... 10

a n te c e s o r

s u c e s o r

a n te c e s o r

s u c e s o r

n ú m e r o n ú m e r o

En los números naturales, el 0 (cero) no tenía antecesor, en cambio, en los números enteros, todo número tiene antecesor y sucesor.

- 9 ..... - 7 0 ..... 24

-150 ..... -135 -4 ..... 0

6. En la siguiente recta numérica, las letras representan números enteros.

Bloque I

Problemas para la clase m a z p 0 b j q

Completen con el signo >, < ó =.

z ..... j z ..... p1. Expresa las siguientes situaciones con números enteros:

a) Siete grados bajo cero.b) La altitud de un pico es de 1 205 m.c) El buzo está a 32 metros de profundidad. d) El avión vuela a 8 500 m de altura.e) Veinte años antes de Cristo.

2. Es crib e e n t u cu ade rno los núm ero s e nter os comprendidos entre:

a) -4 y +3 b) -5 y +5 c) -10 y -2 d) -8 y +1e) +5 y +12

z ..... a z ..... 0 z ..... m z ..... z b ..... a p ..... q

7. Recuerden que esta expresión l-nl significa "valor absoluto del número -n". Nuevamente indique: >; < ó =; en:

+8 ..... l+8l l7l ..... l-7l

0 ..... l-4l -135 ..... 1350 ..... -4 -135 .....

l135l l-4l ..... l-12l l135l ..... -135

l-250l ..... l-252l -250 ..... -252

8. Trabaja con la siguiente recta numérica:

3. ¿Cuándo estoy financieramente mejor?

... a 0 1 b ...

a) Si tengo S/.500 ó si tengo S/.159 b) Si debo S/.200 ó si tengo S/.8c) Si debo S/.40 ó si debo S/.45d) Si no tengo dinero o si debo S/.60

4. En cada caso, uno de los hombres mencionados es el padre y el otro es el hijo. Decida cuál es cada uno de ellos.

a) Manrique nació en el año 135 a.C. y José nació en el año 158 a.C.

b) Jorge nació en el año 18 d.C. y Pedro nació en al año

7 a.C.c) Marcelo nació en el año 1547 d.C., y Julián en el año

1578 d.C.d) Roberto nació en el año cero de nuestra era y

Humberto en el 40 a.C.

a) Marca en ella los opuestos de "a" y de "b".

b) ¿Qué signo tiene "a"? ¿Cómo te das cuenta? ¿Y su opuesto?

c) ¿Qué signo tiene "b"? ¿Y su opuesto?

d) Ordena los seis números de mayor a menor:

9. Completa:

a) el opuesto de +2 es .............. b) el opuesto de -8 es ..............c) el opuesto de +15 es ..............d) el negativo de +50 es .............. e) el negativo de -30 es ..............

10.Calcular:

a) el opuesto del negativo de -7.

b) el negativo del opuesto de +12.

Bloque II

Resuelve en tu cuaderno:

1. En cada ejercicio ordene los números de menor a mayor y escriba entre ellos el símbolo “>” o el símbolo “<”, según corresponda:

a) 2; 1; 4; -1; -8; -2

b) 63; 47; 89; -83; -85; -

64 c) 286; 884; -572; -

433

d) 7 525; 2 996; 6 477; -6 214; -8 357; -3 234

2. En cada ejercicio ordene los números de mayor a menor y escriba entre ellos el símbolo “>” o el símbolo “<”, según corresponda:

a) 40; -32; 28; 77;

0 b) 3; 5; -9; -2; 7;

18

c) 3 241; -5 008; 2 126; 999; -

876 d) 18; -59; -23; 132; -6; -

220

3. Encuentre el valor absoluto de los siguientes números:

a) 186 b) -30 c) 60d) -174 e) 320 f) -109

4. Encuentre todos los números enteros que son:

d) dos decenas menor que

-34 e) una centena mayor

que 125 f) una centena

mayor que -125 g) una

centena menor que 50

h) una centena mayor que -50

6. En la recta numérica represente:

a) los números: 0; 10; -10; 20; -20;

30 y -30 b) los números: -27; -28; -

29; -30; -31

c) los números: 0; -1; -2; -3; -4; 1; 2; 3; 4

7. Conteste las siguientes preguntas y exprese la situación con símbolos:

a) El lunes, Doña Petra debía en la tienda de la esquina

$45. El viernes siguiente debía $434. ¿Mejoró o empeoró su situación?

b) En Puno, el día 17 de enero estaban a 5º bajo cero, y el 20 estaban a 7º bajo cero. ¿Qué día fue más alta la temperatura?

c) El buzo “A”, baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo “B” baja a 81 metros bajo el nivel del mar.¿Cuál de los dos está más cerca de la superficie?

d) El saldo de la empresa "Caluro S.A." es de $ 12 807 en números rojos, y el de la empresa "Forzo S.A." es de $ 6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos empresas está en mejor situación?

8. Escribe el antecesor y el sucesor de los siguientes números:a) -105 b) 392 c) -5

001a) mayores o iguales que 23 y menores que 32 d) -9 001 e) 3 415 f) -4 999

b) mayores que 0 y menores o

igual a 13 c) mayores que -2 y

menores que 3

d) mayores que -7 y menores que -1

5. Encuentre un número:

a) tres unidades mayor que 12 b) tres

unidades mayor que -12 c) dos

decenas menor que 34

9. Calcular:Op(| - 2 |) + | Op(- 2) |

a) 0 b) 2c) 4 d) - 2e) - 4

10.Dana Valentina se puso a contar cuántos números enteros hay entre - 5 y su opuesto. ¿Cuántos opuestos contó Dana Valentina?

a) 8 b) - 8c) 9 d) 4e) - 4

Autoevaluación

1. Ordena los siguientes números de menor a mayor:

-3; +15; -1; +3; -8; +1; 0

2. Escribe el signo: >; < ó =, según corresponda:

a) -5 ..... -4 b) 5 ..... 4c) -150 ..... -350 d) -48 ..... +30

3. ¿Cuál es el número entero que es una decena mayor que -18?

4. Si Juan nació en el año 24 a.C. y Víctor el año 18 d.C.

¿Quién es el mayor?

5. Encuentra un número una centena menor que 50.

Adición y Sustracción de números enteros

Capítulo V

Problema concurso I

Utilizando los dígitos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 (en ese orden) y sólo las operaciones de adición y sustracción, obtén el número 100.

Ojo: Debes usar cada dígito una sola vez, además, si deseas puedes unirlos para formar nuevos números; por ejemplo, 12; 34; 123; 45; etc.

No te rindas muy pronto, pues hay por lo menos

5 formas distintas de hacerlo. ¡Suerte!

100 = ..................................

100 = ..................................

100 = ..................................

100 = ..................................

100 = ..................................

INTERPRETACIÓN DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Imaginemos que nos vamos a desplazar en la recta numérica, en la cual el número cero será nuestro punto de referencia de donde vamos a iniciar nuestro camino.

Luego, podremos interpretar la adición de números enteros, asignando números positivos a la distancia que nos vamos a desplazar hacia la derecha (avanzar) y números negativos si nos desplazamos hacia la izquierda (retroceder). Veamos:

* Primero avanzamos 4 m y luego avanzamos 6 m más.

avanzo 4 avanzo 6

Resumiendo estas

operaciones: (+4)

+ (+6) = (+10)

(+4) + (- 6) = (-

2)

(- 4) + (+6) = (+2)

(- 4) + (- 6) = (-10)

Ahora, podemos establecer la siguiente ...

REGLA DE SIGNOS EN LA ADICIÓN DENÚMEROS

ENTEROS

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

111. Para sumar números enteros del MISMO

SIGNO, sumamos los valores absolutos, y el signo del

nuestro desplazamiento es: (+4) + (+6) = (+10)

* Primero avanzamos 4 m y luego retrocedemos 6 m.

retrocedo 6

avanzo

4

resultado es el mismo de los sumandos.

Ejemplos:a) (-12) + (-8) = (-20)

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b) (+40) + (+10) = (+50)

nuestro desplazamiento es: (+4) + (-6) = (-2)

* Ahora, primero retrocedo 4 m y luego avanzo 6 m.

avanzo

6 retrocedo

4

c) (-300) + (-100) = (-400)2. Para sumar números enteros de

DISTINTO SIGNO, restamos los valores absolutos (el mayor MENOS el menor), y el signo del resultado es el del MAYOR valor absoluto.

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nuestro desplazamiento es: (-4) + (+6) = (+2)

* Primero retrocedemos 4 m y luego retrocedo 6 m más.

Ejemplos:a) (-15) + (+5) = (-10)

retrocedo 6

retrocedo 4

b) (-15) + (+20) = (+5)

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

c) (+8) + (-9) = (-1)

nuestro desplazamiento es: (-4) + (-6) = (-10)

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN ZZ


"La suma de dos números enteros es otro número entero".

Si: a ZZ y b ZZ (a+b)

ZZ Ejemplo:

(+7) ZZ y (-5) ZZ (+7) + (-5) = (+2) ZZ


"El orden de los sumandos no altera la

suma". a + b = b + a

Ejemplo:

(-9) + (+3) = (+3) + (-9)


"La forma como se agrupen los sumandos no altera la suma".

(a + b) + c = a + (b

+ c) Ejemplo:

[(-3) + (-2)]+(+1) = (-3) + [(-2) + (+1)] (-5) + (+1) = (-3) + (-1)

(-4) = (-4)

4. Elemento neutro

"El elemento neutro de la adición es el CERO. Si sumamos cualquier número entero a con el CERO, el resultado también es a".

a + 0 = a

Ejemplo:

(-357) + 0 = -357

5. Elemento opuesto o simétrico

"Un número entero es el opuesto de otro, si sumados dan como resultado CERO".

a + (-a) = 0

Ejemplo:

El opuesto de (+5) es (-5), pues: (+5) + (-5) = 0

El opuesto de (-13) es (+13), pues: (-13) + (+13) = 0

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para hallar la diferencia de dos números enteros transformamos la sustracción en una adición del minuendo con el opuesto del sustraendo. Ejemplo:

MinuendoSustraendo

a) Efectuar: (-8) - (-3)

El opuesto del sustraendo es (+3)

La sustracción convertida en ADICIÓN: (-8) + (+3) = (-5)


Bloque I I. Efectuar las siguientes sumas:

1. (+3) + (+8)

2. (+9) + (-3)

3. (-8) + (+5)

4. (-8) + (-7)

5. (-3) + (-3)

6. (-9) + (+9)

7. (+24) + (+32)

8. (+9)+(-3)+(-6)

9. (+11)+(-9) + (-3)

10. (-17)+(-15)+(+32)

II. Efectuar las siguientes sustracciones:

1. (+9) - (+3)

2. (+8) - (+9)

3. (+6) - (+12)

4. (+3) - (+2)

5. (+7) - (+9)

6. (+11) - (-3)

7. (+18) - (-9)

8. (+24) - (-2)

9. (+31) - (-9)

10. (-24) - (-3)

Bloque II

A. Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedad de la adición de números enteros aplicada.

(+9) + (-2) = (-2) + (+9)

Propiedad aplicada:

(-3) + (-8) = -11

Propiedad aplicada:

(-10 + 0) = -10

Propiedad aplicada:

(-24) + (+24) = 0

Propiedad

aplicada: (+7) +

(0) = (+7)

Propiedad

aplicada: (-37) +

(+37) = 0

Propiedad aplicada:

(-4) + (-7) = (-7) + (-4)

Propiedad aplicada:

(-23) + (0) = -23

Propiedad aplicada:

B. Efectuar:

1. - 3 + 8 - 2 - 5

2. 7 + 37 - 9 + 2

3. 25 - 50 - 100 + 125

4. - 8 - 9 - 10 + 11 + 12

5. (- 3 + 8) - (4 - 15)

6. (- 31 + 20) + (- 8 - 15)

7. [- 15 - (14 - 13) + 8]

8. [15 - (12 - 15)] - (15 -

12) C. Efectuar:

1. {-5 + 7 - [8 - 9 - 10] + 3} - {[-(-5 - 8) + 10] - 20}

a) - 13 b) 21 c) 19d) - 19 e) 13

2. {8 - 15 - [(3 - 8 + 9) - 13] + 5}

a) 8 b) 7 c) - 7d) - 8 e) 0

3. [3 + 8 - 12 + (15 - 17) + 3] - 8 + 9

a) 1 b) - 1 c) 0d) 11 e) 17

4. -{-[-9 - 9 -(9 - 9 - 9)] - 9}

a) 9 b) - 9 c) - 18d) +18 e) 0

5. {-[-9 + 8 - (-3 - 7)] + [-8 - (7 + 9 + 8) - 15]}

a) 38 b) - 38 c) - 37 d) 56 e) - 56

6. -5 - {-8 - [-7 - 6 - (-5 - 4)] - 3 -

2} -1 a) - 3 b) +3 c) - 4d) - 5 e) - 6

7. 45 - {-78 + 90 - [-100 + 101]} - (150 - 157)

8. - {7 + [5 - (-7 - 2)]} + 5 - {-[9 - (14 - 5) + 3] - 5} - 8

a) 41 b) 27 c) -27 a) 21 b) 42 c) - 21d) -41 e) 34 d) - 16 e) 16

Autoevaluación

1. Hallar "A - B" , si: A = (-5) + ( -19 ) B = (+25) - (-23)

a) -22 b) - 24 c) +72 d) -72 e) + 24

2. En la mañana Polonia amaneció con 5 ºC de temperatura, si durante el día la temperatura disminuyó9 ºC, ¿cuál es su nueva temperatura?

a) +14 b) -14 c) -4 d) -9 e) -6

3. Es un ejemplo de la propiedad asociativa de la Adición:

a) (-15) + (-19) = (-19) + (-15)b) (-15) + [ (-19) + (+23) ]= [ (-19) + (-15) ] + (+23)c) (+56) + 0 = (+56)d) (+29) + (-45) = (-16)e) Si: (-15) + (-19) = (-15) + (-10) + (-9)

entonces: (-19) = (-10) +(-9)

4. El opuesto del negativo de (+3) es :

a) +3 b) -3 c) -1/3 d) +1/3 e) N.A.

5. Efectuar:

- {-15 + 18 - [- 47 +18 - (- 5 - 9) + 9] - 9}

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Multiplicación y División de números enteros

Capítulo VI

Problema concurso II

Utilizando las cuatro operaciones fundamentales y los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 (en ese orden) obtener el número 100.

Ojo: Ya sabes que debes usar cada dígito una sola vez, puedes unirlos y además que sean diferentes a las del capítulo anterior.

100 = ..................................100 = ..................................

100 = ..................................

100 = ..................................100 = ..................................

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Regla de signos para la multiplicación de números enteros:

1. "Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá signo positivo".

Ejemplo:

Ejemplo:a. (+3) (+2) (+5) = (+30)

b. (+4) (+7) (+1) (+2) = (+56)

2. Si algunos de los factores son de signo negativo, tendremos en cuenta la cantidad de estos factores.

(-5) x (-3) =

(+15) (+8) x

(+2) =(+16)

2. "Si dos números enteros tienen distinto signo, su producto tendrá signo negativo".

Ejemplo:(-5) x (+3) = (-15)

(+8) x (-2) = (-16)

2.1. Si la cantidad de factores que tienen signo negativo es un número PAR, el producto total es de signo positivo.

Ejemplo:

a. (-2) (-3) (-1) (-4) = (+24)

Nº de factotes negativos: 4 ¡PAR!

b. (+5) (-3) (+2) (+4) (-1) = (+120)

En resumen: ( + ) ( + ) = (

+ ) ( - ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( - ) = ( - )( - ) ( + ) = ( - )

Nº de factotes negativos: 2 ¡PAR!

2.2 Si la cantidad de factores que tienen signo negativo es un número IMPAR, el producto total es de signo NEGATIVO.

Ejemplos:

Observación: Una multiplicación como:

(+5) x (-3)

también puede ser expresada

así: (+5) (-3)

Observación: De la regla de signos para la multiplicación se desprende lo siguiente al multiplicar dos o más factores.

1. Si todos los factores tienen signo POSITIVO, el producto también es POSITIVO.

a. (-8)(-2) (-1) (+3) = (-48)

Nº de factores negativos: 3 ¡IMPAR!

b. (+3) (+4) (-9) (+1) = (-108)

Nº de factores negativos: 1 ¡IMPAR!

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Ejemplo: (-1 532) (+742) (-3) (0) (-1) = 0


"El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número también entero".

Si: a ZZ y b ZZ a x b ZZ

6. Propiedad distributiva

"Si un número entero multiplica a una ADICIÓN, resulta la suma de los productos de dicho número entero por cada uno de los sumandos".

Ejemplo: Si: (-3) ZZ y (+4)

ZZ

a x (b + c) = a x b + a x c

entonces: (-3)(+4) = (-12) ZZ


"El orden de los factores no altera el

producto". a x b = b x a

Ejemplo:

(-6)[(+4) + (-3)] = (-6) (+4) + (-6) (-3) (-6) [+1] = (-24) + (+18)

(-6) = (-6)

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Ejemplo: (+13) (-3) = (-3)

(+13) (-39) = -39

Regla de signos para la división de números enteros:

1. Al dividir dos números enteros del MISMO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO POSITIVO.


"La forma como se agrupen los factores, no altera el producto".

(a x b) x c = a x (b x

c) Ejemplo:[(-5) (+2)] (-3) = (-5) [(+2)(-

3)](-10) (-3) = (-5) (-

6)+30 = +30

4. Elemento neutro

"El elemento neutro de la multiplicación de números enteros es el +1. Cualquier número entero multiplicado por el elemento neutro da como producto el mismo número entero".

a x (+1) = a

Ejemplo:

(+157) (+1) = +157

5. Elemento absorvente

"El elemento absorvente de la multiplicación de números enteros es el CERO. En cualquiermultiplicación de dos o más factores, si al menos UNO DE ELLOS es CERO, entonces el producto es cero".

a x 0 = 0

Ejemplos:( +20 ) ( +4 ) = ( +5 )

( - 40 ) ( - 5 ) = ( +8 )

2. Al dividir dos números enteros de DISTINTO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO NEGATIVO.

Ejemplo:

(+20) ( - 5 ) = ( - 4

) (- 40) ( +8 ) = ( -

5 )

En resumen:

( + ) ( + ) = ( +

) ( - ) ( - ) = (

+ ) ( + ) ( - ) =

( - ) ( - ) ( + ) =

( - )

Observación: Las reglas de signos de la multiplicación y división de números enteros son similares

Bloque I

Problemas para la clase 4. (+3) (-2) (+4) (+5)

5. (-1) (-2) (-3) (-4)

6. (-4) (+10) (+3)

7. (+2) (-2) (+2) (-2) (-2)I. Com pleta el si guien te cu adro efectu ando las

multiplicaciones indicadas.

+6 -8 -4 +3 -10 +9

-2

-3

+5

+4

+2

-7

II. Completa el siguiente cuadro escribiendo las propiedades de la multiplicación de números enteros aplicadas en cada expresión dada:

8. (-2) (+2) (-3) (+4) (-5)

9. (-1) (+2) (-3) (+4) (-5)

10.(-3) (-3) (-3) (+2) (+2)

11. (2) (2) (2) ... (2) (2)8 veces

12. (1) (1) (1) ... (1)30 veces

13. (1) (1) (1) ... (1)101

veces

14. (1) (1) (1) (1)... (1) (1)34

15.(+5 - 3) (+5 - 2) (+5 - 1) (+1 - 5)

(- 8) (-342) = (-342) (- 8)

Propiedad:

16. (1) (1) (1) (1)...13

factores

(1) (3) (1) (3)...(- 5) ( 0 ) = 0

Propiedad:

(+1) (-100) = -100

Propiedad:

(-9) (-11) ( 0 ) (+3) = 0

Propiedad:

(-2) [(+5) + (-8)] = (-2) (+5) + (-2) (-8)

Propiedad:

(+15) (-11) = -165

17. 7

factores

18.(-9) (-8) (-7) (-6) (+5 - 3 - 2)

19.(-8) (+2) (-1) (+4) (-3 +3)

20.(+12 -20)(+12 -19)(+12 -18)(+12 -17) ... (+12 -2)(+12 -1)

Bloque II

I. Completa el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas. Coloca un aspa si la división

es inexacta.

Propiedad:

(-3 542) (+987) = (+987) (-3 542)

Propiedad:

(-1) (+365) = (+365) (-1)

Propiedad:

III. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones:

1. (-9) (-3)

2. (+9) (-2)

3. (-

10) (+3)

+110

+12

-15

-24

+100

-120

+440- 1 +2 - 2

+ 3- 4- 5

- 11

II. Efectuar:

1. (- 32) (+ 16)

2. (+ 320) (- 16)

3. (+ 480) (- 120)

4. (- 1 000) (- 50)

5. (- 132) (+ 12)

6. (512) (- 8)

7. (- 1 024) (- 8)

8. (+ 484) (+ 11)

9. (- 3 522) (- 3)

10. (- 780) (+ 15)

Bloque III

1. Si en una multiplicación de tres números enteros se duplica uno de ellos, ¿qué sucede con el producto?

a) queda multiplicado por 2 b) queda dividido por 2c) queda multiplicado por 4 d) queda dividido por 4e) no se altera

2. Si en una multiplicación de tres enteros se duplica cada uno de ellos, ¿qué sucede con el producto?

a) queda multiplicado por 2 b) queda multiplicado por 4 c) queda multiplicado por 6 d) queda multiplicado por 8 e) no se altera

3. Luego de dividir el mayor número entero positivo de dos cifras entre (+9) el cociente es:

a) +11 b) -11 c) +10d) +9 e) +1

4. Al dividir el mayor número entero de tres cifras diferentes entre el opuesto de (+3), el cociente es:

a) -333 b) +333 c) -329 d) +329 e) +309

5. Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15 de propina a cada uno de mis siete sobrinos, ¿cuánto dinero me falta?

a) S/. 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 105

6. Se tiene una multiplicación de dos factores. Si se duplica uno de ellos y se triplica el otro, ¿en cuanto varía el producto inicial?

a) queda multiplicado por 12 b) queda multiplicado por 6 c) queda multiplicado por 5 d) queda dividido por 6e) no se altera

7. El producto de dos números no positivos es 18 y su cociente es 2. ¿Cuál es la suma de estos números?

a) -12 b) -9 c) -6d) -14 e) -8

8. Luego de multiplicar el triple de (-24) con la mitad de (-24), el producto es:

a) +864 b) -864 c) +3 456 d) -3 456e) N.A.

9. Tengo cierto número de pelotas para vender. Si las vendo a S/. 17 cada una, gano S/. 12, pero si las vendiera a S/. 15 cada uno perdería S/. 6 en total. ¿Cuántas pelotas tengo para vender?

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

10.Un profesor decide repartir caramelos entre todos los alumnos del aula y descubre que si le da siete caramelos a cada uno le sobrarían 20 caramelos, pero si les diera nueve caramelos a cada uno le faltarían diez caramelos.¿Cuántos alumnos hay en el aula?

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 39

11.En el problema anterior, ¿cuántos caramelos tiene el profesor?

a) 125 b) 105 c) 135d) 30 e) 115

12.Si un comerciante vendiera a S/.11 cada calculadora que tiene, ganaría S/.60 en total, pero si decide venderlas a S/.6 cada una, pierde S/.20 en total.¿Cuántas calculadoras tiene para vender?

a) 24 b) 8 c) 16 d) 12 e) 10

Autoevaluación

1. A una cámara refrigeradora, que se encuentra a

-15 ºC, se le baja sucesivamente cuatro veces esa misma temperatura. ¿Cuál es la marca final?

a) -5 b) 5 c) 3 d) -3 e) 10

a) 45 ºC b) -45 c) -60 d) -75 e) -90

4. Efectuar:

(1) (1) (1) (1) ...54 veces

2. Calcular el producto de:

(+1) (-2) (+3) (-4) (+5) (-8)

a) 960 b) -900 c) -800 d) -960 e) 800

3. Calcula y luego señala el resultado

correcto: (-10) -(+4)(-3) + 15

(-3) + (-2)

a) 54 b) -54 c) 1 d) -1 e) 0

5. Efectuar:

(+15 - 20)(+15 - 19)(+15 - 18)(+15 - 17) ... (+15 - 1)

a) 525 b) 210 x 15 c) 0 d) 1 e) -15

Potenciación y Radicación de números enteros

Capítulo VII

Sabías que ...

En el tablero de operaciones de la antigua China, la multiplicación se iniciaba con las cifras del orden superior, pasando gradualmente a las cifras de órdenes menores. Además, ya se empleaban las tablas de multiplicar.

Supongamos, a título de ejemplo, que se trata de multiplicar 346 por 27. El proceso de la multiplicación tomaba aproximadamente el siguiente aspecto:

346 x27

62 1

82 81 242

9342

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Podemos definir la potenciación como una multiplicación abreviada.

3. (-5)2 = (-5) (-5) = +25

4. (-5)3 = (-5) (-5) (-5) = -125

an = P

Signos de potenciación en ZZ

Así:

Donde: a : base

n : exponente

P : potencia

an a a a ... a"n" veces

a1 = a

a0 = 1

Investiga con otros ejemplos adicionales los signos de la potenciación y completa el cuadro con esos datos.

POTENCIA EXPONENTE PAR EXPONENTE

IMPAR Basepositiva

Base negativa

00 = No está definido

ObservaciónEn este capítulo veremos la potenciación sólo con exponente natural.

Ejemplos:

1. (+5)2

= (+5) (+5) = +25

2. (+5)3

= (+5) (+5)

(+5) = +125

En resumen:

(

+

a

)

p

a

r

o

i

m

p

a

r

=

+

P

(

-

a

)

p

a

r

=

+P (-a) impar

= -P

Casos especiales

a. Multiplicación de potencias de bases iguales

a2 x a3 = (a x a) x (a x a x a) = a5

a x a5 = a x (a x a x a x a x a) = a6

b. División de potencias de bases iguales

am x an = a(m+n)

a5 a2 = a5

=a2

6

a x a x a x a x a

= a3

a x a am an = am-

n(a 0)

a6 a = a =

aa x a x a x a x

a x aa

= a5

c. Potencia de potencia

(a2)4 = (a x a) x (a x a) x (a x a) x (a x a) = a8

(a3)2 = (a x a x a) x (a x a x a) = a6

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Ahora que conoces la operación potenciación, recorre uno de los caminos inversos.

an m an x m=

Observación 1: El índice "n" debe ser un número natural mayor que UNO (n>1).

PAR a

Piensa qué número debes elevar a cada exponente para

Observación 2: negativo

no está definida en ZZ .

que dé el resultado que se indica y completa: Por

ejemplo: 25 ; no existe un número entero

que

3a) (......) =+8

3b) (......) =+27

2c) (......) =+64

4e) (......) =+16

2c) (......) =+64

2d) (......) =+25

4e) (......) =+16

3f) (......)

=+64

m

elevado al cuadrado, dé como resultado -25.

Casos especiales

1. Raíz de una

multiplicación indicada

n a b n a n b

2. Raíz de una división indicada

El cálculo que has hecho, recibe el nombre de RADICACIÓN.

En el caso del primer ejercicio, la escribimos así:3 8 = 2; porque: 23 =

+8

n a b n a n b

3. Raíz de una potencia

; b 0

En símbolos:

índicen

radicala = b ;

porque:b

n =

a

n am n a

radicando raíz

Bloque I

Problemas para la clase g. -(-3)0

h. -(-3)3

1. Completa el número que falta en el casillero correspondiente:

a. (-9)2

=

b. (-1)13456

=

c. (-1)7

= d. (-

1)8 = e.

(-3)2 = f.

(-2)3 =

g. (+7)2

= h. (-4)3

= i. (-1)0

=

j. (-7 + 7)0

=

k. (+12)2

=

3. Resuelve:

a. -34 + (-3)4

b. -35 + (-3)5

c. 02 + 20 x

20

d. 02 x (20 + 20)

4. Responde:

a) La distancia entre la Tierra y el Sol es de 15 x 107 km.

Calcula el resultado.

b) En un siglo, un rayo de luz recorre aproximadamente

1015 km. Escríbelo en la forma corriente.

5. Algunos de los siguientes números son potencias de -4, enciérralos en un círculo.

a) -64 b) -16 c) -4 d) 4 e) 16 f) 64

6. Completa los casilleros para que se verifiquen las siguientes igualdades:

a) (-3)2(-3)3(-3)4(-3)5 = (-3)

b) (-19)153 (-19)118 = (-19)

l. (-11)2

=(13)10 (13)8

c)(13)16 =(-13)

2. Calcula:

a. -31

b. 32 d) (-5)2(-6)

(-5+5) =

c. (-3)2

d.

(+3)2 e.

(-3)0 f.

-32

7. Completa el número que falta (si existe) en el casillero correspondiente.

a. 3 27

Cantid

b. 121

c. 3 8

c) 4 = 4

d) 3 (1000) (64) =

d. 5 32 e) 3 = (2) (5)

e. 4 81

f. 3 64

f) x 36 = 12

10.Tus padres, abuelos, bisabuelos, etc., son tus ascendientes; usa este dato para calcular:

g. 3 64 GENERACIÓN

NÚMERO DE ASCENDIENTES Expresado como

potencia

h. 49

i. 3 1000

j. 4 625

5

k. = -32

Padres

Abuelos

Bisabuelo

s

1ª

2ª

3ª

4ª5ª

20ª

2 21

2

l. = +16

8. Calcula y completa el siguiente cuadro, en los casos posibles.

Número Cuadrado Cubo

¿Qué número de ascendentes tienes en la 20ªgeneración?

Bloque II

1. Indicar el resultado de:

2[ - 9 + 6 - 3 - 2 - 9 + 1 ]

-10

-2

64

-16

27

-64

a) +128 b) -256 c) -128d) +64 e) +256


[+24-18-9+6]3

a) -9 b) -27 c) +27 d) +8 e) -8

9. Ingéniatelas para completar los siguientes recuadros:

a) 4

3. C om pl et ar e l va lo r qu e fa lt a en e l ca si ll er o correspondiente:

- (-3)4 =

b) 27 = 3(-5)3 =

(-2)5 =

a) 11 b) 13 c) 14d) 12 e) 10

a) +2 b) -2 c) -1d) +1 e) 0

a) +3 b) +13 c) -9d) +16 e) -2

Dar como respuesta la suma de los resultados.

a) -328 b) +228 c) +238 d) -128 e) -238

4. C om pl et ar e l va lo r qu e fa lt a en e l ca si ll er o correspondiente:

(-1)25 =


4 5 27 9 (3)3 14

a) +2 b) -1 c) 0 d) +1 e) No existe en ZZ

10. Indicar el resultado de restar “A” de “B” si:

-240 = A = 5 36 (2)2

(-9)2 =

Dar como respuesta el menor valor

encontrado. a) 0 b) -1 c)

1d) 81 e) -81

5. Completar el casillero para que se verifique la siguiente igualdad:

(-2)4(-2)5(-2)7(-2) = (-2)29

B = 3 28 (51)0

a) -3 b) +1 c) -5 d) -1 e) -2

11. Indicar el valor que debe ir en los recuadros:

I. 4 81 =

II. 3 - 64 =

III. 2432 +1 =

6. Completar el siguiente casillero para que se verifique la siguiente igualdad:

Dar como respuesta la suma de valores encontrados.

(-5)21 (5)2 (5) (5)2

12. Indicar el valor que debe ir en cada recuadro:

(5)29 (5)2

I. (-5)2 (12)2 =

a) 8 b) 10 c) 11 d) 7 e) 6

7. Indicar la suma de los valores de los recuadros en:

[(-2)4(-3)12(+15)3]4=(-2) (-3)(+15)

II. 3 - 27 =

III. 4 (-2)2 (7)(11) =

Dar como respuesta la suma de los dos mayores valores encontrados.

a) 76 b) 82 c) 77d) 81 e) 74


I. (-5)2 = +25


I. 3

II. (-3)3 = -27 II. 4

1 000 = -10

III. (-7)3 = -343 III.

81 ; No existe en ZZ

= +5IV. (+2)3 = -8

a) V V F F b) V V V F c) V FV Fd) F V F V e) V V V V

(2)4 9

a) VV V b) V F V c) FV Vd) F F V e) F F F

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

2

Autoevaluación

1. Efectuar:

64 32 54. Resolver:

( 81 x 7 - 142) (-140 4)a) 45 b) 37 c) 53 d) 54 e) 85

2. ¿Qué número debe ir en el recuadro?

2

a) -7 b) - 6 c) 6 d) 7 e) 0

= - 64

a) 4 b) - 4 c) 8 d) - 8 e) no existe un ZZ

3. ¿Qué número debe ir en el recuadro?

5. Resolver:

8 32 (52 11)

3

= - 4

a) 64 b) - 64 c) 16d) -16 e) otra

respuesta

Problema concurso III

Tienes siete botellas llenas, otras siete vacías y otras siete por la mitad. ¿Cómo te las ingenias para poder repartirlas equitativamente entre tres personas, sin tener que abrir ninguna de ellas?

a) 676 b) 598 c) 698d) 498 e) 578

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

24 934 21

a) 1 187 d) 1 177

b) 1 194 e) N.A.

c) 1 094

a) 3 b) 2 c) 7d) 1 e) 6

Repaso

Capítulo VIII

Bloque I


corresponda: I. -27 es natural

II. -24 es un número entero

2III.

3 es racional

IV. 5 es irracional


corresponda: I. 2 + 9 = 9 + 2

Propiedad de clausura

II. 9 + 0 = 9 Elemento neutro

III. 7+9 = 16 Propiedad asociativa

IV. 4 + 6 = 6 + 4 Propiedad

conmutativa a) F F V V b) F V F V

c) V V V Vd) F F F V e) F V V V

5. Calcular:

CA(234) + CA(921) + CA(17) - CA(670)

a) F F V V b) V F F F c) F V V Vd) F V V F e) V F V F

2. ¿Cuántos de los siguientes gráficos son correctos?

Q NN

I. II. R

R

6. Indicar la propiedad aplicada en:

6(5 - 4 + 3) = 6 . 5 - 6 . 4 + 6 . 3

a) asociativa b) distributiva c) monotonía d) cancelativa e) conmutativa

7. Indicar la cifra de millares más la cifra de unidades del resultado de multiplicar 1 034 por 39.

III. IV.

8. Calcular el residuo más el cociente natural de la siguiente

Q I división:

V.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3. Efectuar la siguiente operación:

7 + 77 + 777 + ... + 777 ... 7720 cifras

Dar como respuesta la cifra de decenas del resultado.

9. Indicar los elementos del

conjunto ZZ -- . a) {0; 1; 2; 3; 4;

...}b) {0}c) {-1; -2; -3; -4; -5; ...}d) {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}e) {...-3; -2; -1; 1; 2; 3; ...}

10. Dados los siguientes números enteros:-9; -11; +13; +17; -4; -5; +6

a+

b=

+ +

c+

d=

= = =

+ =

a) +82 b) +80 c) -29d) +63 e) -65

¿Cuál de los números dados está en el centro de la recta numérica?

a) -9 b) +13 c) -4 d) +6 e) -11

11. Sea:

A = Negativo de -(-3)B = El negativo del opuesto

de (-7) Calcular: A3 - B

a) -3 b) -20 c) +20d) +9 e) -17

12. Calcular el opuesto del resultado

de: (+67) - (-9) + (+3 - 9

+ 7 - 4)

Bloque II

1. Completa el cuadro, recordando que “-n” es el opuesto de “n”. Por ejemplo, -9 es opuesto de 9; 8 es opuesto de -8.

a b -b a + b a + (-b) -a + b -a + (-b)

3 7

-4 1

-2 -5

2. Resuelve el crucinúmero. En los casilleros debes colocar los resultados de los siguientes cálculos:

a) -29 b) +73 c) -73d) -68

13.Restar:

e) +67

(-9 + 6 - 7 + 2 - 5) de (-8 - 9 - 1)

a) -6 b) -9 c) +8d) -5 e) +5

14. Hallar el valor que debe ir en el recuadro para que se verifique la igualdad.

(-7) (-1) (+6) = x -1

a) +13 b) - 42 c) -9d) -2 e) +42

15 .C om pl et ar e l va lo r qu e fa lt a en e l ca si ll er o correspondiente:

[(-3)2]2 =

-2430 =

(+2)6 =

Dar como respuesta la diferencia entre el mayor valor y el menor valor encontrado.

a) 9 + (-20) + 8b) -1 + (-3) + (-4) c) -5 + (-2) + 14 d) 1 + (-9) + (-3)

3. Razona y encuentra el número que debe ir en los recuadros.

a) (-2)12 x (-2)3 x (-2)0 x (-2)= (-2)20

b) 2 27 =

213 c) 25 2

= 22 d) (23) =

26

e) (2 )4 = 1

4. Si al elevar dos números al cuadrado da el mismo resultado, ¿puede afirmarse que los números son iguales? Analiza con ejemplos.

Propiedades de la Adición en ZZ

1 0

Verticales

1. Es el resultado de una sustracción.

2. "Dado una igualdad, podemos sumar a ambos miembros, un mismo número entero, resultando entonces otra igualdad"; se está cumpliendo la propiedad ...

3. En una diferencia, la suma de la diferencia más el sustraendo es igual al ...

5. Qué propiedad estamos aplicando en el siguiente ejemplo: (+5) + (-8) = (-8) + (+5)

10."La suma de dos números enteros es otro número entero", eso nos dice la propiedad de ...

Horizontales

4. El elemento neutro de la adición de números enteros.

6. Qué propiedad estamos aplicando en el siguiente ejemplo:

[(-6) + (-2)] + (-4) = (-6) + [(-2)+(-4)]

7. Con la letra "ZZ " denotamos el conjunto de los números ...

10.Si: a + c = b + c, entonces se cumple que: a =

c; estamos aplicando la propiedad ...

9. Con la letra "lN" denotamos el conjunto de los números ...

Propiedades de la Multiplicación en ZZ

Verticales

1. Si: a x c = b x c, y además c 0; entonces se cumple que: a = b; estamos aplicando la propiedad ...

2. Qué propiedad estamos aplicando en el siguiente ejemplo:[ (-6) x (-2) ] x (-4) = (-6) x [ (-2) x (-4) ]

3. Si dos números enteros tienen DISTINTO SIGNO, su producto tendrá SIGNO ...

4. Qué propiedad estamos aplicando en el siguiente ejemplo: (+5) x (-8) = (-8) x (+5)

7. Es el resultado de una multiplicación.

Horizontales

5. Es el elemento neutro de la multiplicación de números enteros.

6. "El producto de dos números enteros es otro número entero", eso nos dice la propiedad de...

8. Si dos números enteros tienen el MISMO SIGNO, su producto tendrá SIGNO ...

9. Es el elemento absorbente de la multiplicación.

10. "Dado una igualdad, podemos multiplicar a ambos miembros, por un mismo número entero, resultando

entonces otra igualdad"; se está cumpliendo la propiedad ...

Lectura:Algo más de Historia

“El método del nueve”

Hace unos siglos era muy difícil realizar las cuatro operaciones fundamentales, los métodos eran muy largos y engorrosos; es así que llegando después, de múltiples trabajos al final de una operación aritmética, nuestros antecesores consideraron absolutamente necesario comprobar este total obtenido con el sudor de su frente, ya que los métodos voluminosos provocaron, como es lógico, desconfianza hacia sus resultados; es muy fácil perderse en un camino, lerdo y sinuoso que en el recto camino de los métodos modernos. Naturalmente, de aquí surge la antigua costumbre de comprobar toda operación aritmética efectuada, encomiable regla que aún hoy se practica.

El método favorito de comprobación era el llamado "método del nueve", el cual frecuentemente se describe en algunos manuales contemporáneos de aritmética. La comprobación por el nueve se basa en la "regla de los residuos" que dice: el residuo de la división de una suma entre cualquier número, es igual a la suma de los residuos de la división de cada sumado entre el mismo número. En la misma forma, el residuo de un producto es igual al producto de los residuos que al dividir entre 9 la suma de las cifras del mismo número. Por ejemplo, 758 entre 9 da como residuo 2: el mismo 2 se obtiene como residuo de la división de 7 + 5 + 8 entre 9.

Comparando ambas propiedades indicadas, llegamos al método de comprobación por nueve, es decir, por división entre 9. Mostraremos con un ejemplo en qué consiste dicho método.

PARA LA ADICIÓNSe desea comprobar la justeza de la adición

de la siguiente columna:

Suma de cifras

38 932 + 7 +1 096 7

4 710 043 1589 106 2

5 339 177 8

Realicemos la suma de las cifras de cada sumando y al mismo tiempo, en los números de dos cifras obtenidas, sumemos también las cifras (esto se hace en el proceso mismo de adición de las cifras de cada sumando), hasta

obtener en el resultado final un número de una cifra. Estos resultados (residuos de la división entre nueve),

34852 3

2300232

después de todas las simplificaciones resulta igual a 8.

PARA LA SUSTRACCIÓNLa comprobación de la sustracción se realiza

en la misma forma si se considera al minuendo como suma, y al sustraendo y la diferencia como sumandos. Por ejemplo:

Suma de cifras

6 913 1 +- 2 587 - 4

4 326 6

4 + 6 = 10;1 + 0 = 1

PARA LA MULTIPLICACIÓNEste método es en especial conveniente si se

aplica para comprobar la operación de multiplicación, como lo vemos en el siguiente ejemplo:

Suma de cifras

8713 1

x 2 6 4 x 3

5227817426

Si en tal comprobación fuera descubierto un error del resultado, entonces, para determinar precisamente dónde tiene lugar dicho error, se puede verificar por el método del nueve cada producto parcial por separado; y si el error no se encuentra aquí, queda solamente comprobar la adición de los productos parciales.

¿Cómo se puede comprobar la división conforme a este método? Si tenemos el caso de una división sin residuo, el dividendo se considera como el producto del divisor por el cociente. En el caso de una división con residuo se aprovecha la circunstancia de que:

dividendo = divisor x cociente + residuo

Por ejemplo:

16 201 387 4 457 3 635 ; residuo 192

1

2

8 3

los escribimos como se indica en el ejemplo, al lado delcorrespondiente sumando. Al sumar todos los residuos (7 + 7 + 1 + 2 = 17; 1 + 7 = 8), obtenemos 8. Igual deberá ser la suma de las cifras del total (5 339 177) si la operación está efectuada correctamente:

5 + 3 + 3 + 9 + 1 + 7 + 7

suma de cifras:

2 8 + 3 = 19; 1 + 9 = 10; 1 + 0 = 1

aritmetica

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