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Matematicas I
Clase PD1
“Argumentos - Conjuntos”
16 de agosto de 2019
1
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Argumentos - Conjuntos
Definicion. Una proposicion es un enunciado que tiene la cualidad de ser verdadera o de ser
falsa.
p
V
F
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Argumentos - Conjuntos
La negacion.
p ¬p
V F
F V
� ¬p : no p, no es cierto que p, es falso que p
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Argumentos - Conjuntos
La conjuncion.
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
� p ∧ q :
p y q
pero, sin embargo, por otro lado
� ¬p ∧ ¬q : ni p ni q
� p ∧ q ≡ V si y solo si todas son V
� p ∧ q ≡ F si y solo si alguna es F
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Argumentos - Conjuntos
La disyuncion inclusiva.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
� p ∨ q : p o q
� p ∨ q ≡ F si y solo si todas son F
� p ∨ q ≡ V si y solo si alguna es V
� p ∨ q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)
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Argumentos - Conjuntos
La disyuncion exclusiva.
p q p Y q
V V F
V F V
F V V
F F F
� p Y q : “o bien p o bien q”, “p o q, pero no ambas”
� p Y q ≡ F si y solo si p ≡ q
� p Y q ≡ V si y solo si p ≡ ¬q
� p Y q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
� p Y q → p ∨ q ≡ V
� p Y F ≡ p
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Argumentos - Conjuntos
La condicional: p→ q
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
� p→ q : si p entonces q
� p : antecedente, q : consecuente
� p→ q ≡ F solo hay una posibilidad p ≡ V y q ≡ F
� F → q ≡ V
� V → p ≡ p
� p→ V ≡ V
� p→ F ≡ ¬p
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Argumentos - Conjuntos
La condicional: p→ q (lenguaje coloquial)
� p→ q :
si p, q
q, si p
p, solo si q
q a menos que ¬p
q, dado que p
q, siempre que p
� p⇒ q
tautologıa
:
p implica q
p es condicion suficiente para q
q es condicion necesaria para p
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Argumentos - Conjuntos
La bicondicional: p↔ q
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
� p↔ q :
p si y solo si q
p si y solamente si q
p es lo mismo que q, p significa que q
� p↔ q ≡ V si y solo si p ≡ q
� p↔ q ≡ F si y solo si p ≡ ¬q
� p⇔ q
tautologıa
:
p es equivalente a q
p es condicion necesaria y suficiente para q
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Argumentos - Conjuntos
Conectivos logicos:
p q p ∧ q p ∨ q p→ q p Y q p↔ q
V V V V V F V
V F F V F V F
F V F V V V F
F F F F V F V
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Argumentos - Conjuntos
Principios Logicos I.
p ∧ p ≡ p
p ∧ q ≡ q ∧ p
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (directa e inversa)
p ∧ F ≡ F
p ∧ V ≡ p
p ∧ ¬p ≡ F
¬¬p ≡ p
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Argumentos - Conjuntos
Principios Logicos II.
p ∨ p ≡ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (directa e inversa)
p ∨ F ≡ p
p ∨ V ≡ V
p ∨ ¬p ≡ V
¬¬p ≡ p
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Argumentos - Conjuntos
Leyes de Morgan.
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (directa e inversa)
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
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Argumentos - Conjuntos
Definicion. Un argumento es una lista de proposiciones P1, P2, . . . , Pn, llamadas premisas y una
proposicion Q llamada conclusion. Un argumento se denota por
P1, P2, . . . , Pn ` Q
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Argumentos - Conjuntos
Definicion. Un argumento es valido se cumple lo siguiente: si asumiendo que todas las premisas
son verdaderas, entonces la conclusion tambien lo es.
El siguiente argumento es valido?
p , ¬p , q ` p ∧ q
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Argumentos - Conjuntos
Teorema. El argumento P1, P2, . . . , Pn ` Q es valido si y solamente si
P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn → Q
es una tautologıa (tabla de verdad).
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Argumentos - Conjuntos
Negacion de cuantificadores.
� ¬(∀x ∈ A, [P (x)]
)≡ ∃x ∈ A, [¬P (x)]
� ¬(∃x ∈ A, [P (x)]
)≡ ∀x ∈ A, [¬P (x)]
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Argumentos - Conjuntos
Segmentacion de cuantificadores.
� ∀x ∈ U, [p(x) ∧ q(x)] ≡(∀x ∈ U, [p(x)]
)∧(∀x ∈ U, [q(x)]
)� ∃x ∈ U, [p(x) ∨ q(x)] ≡
(∃x ∈ U, [p(x)]
)∨(∃x ∈ U, [q(x)]
)
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Argumentos - Conjuntos
Justifique porque las siguientes segmentaciones son falsas.
� ∀x ∈ U, [p(x) ∨ q(x)] ≡(∀x ∈ U, [p(x)]
)∨(∀x ∈ U, [q(x)]
)� ∃x ∈ U, [p(x) ∧ q(x)] ≡
(∃x ∈ U, [p(x)]
)∧(∃x ∈ U, [q(x)]
)U = Z, p(x) : x es par, q(x) : x es impar
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Argumentos - Conjuntos
Contraejemplo.
Demostrar que la siguiente proposicion es falsa
∀x ∈ A, [P (x)]
es equivalente a demostrar que su negacion es verdadera
∃a ∈ A, [¬P (a)]
En logica formal a es llamado un contraejemplo, el cual prueba la falsedad del enunciado original.
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Argumentos - Conjuntos
Equivalencias notables.
p→ q ≡ ¬p ∨ q
¬(p→ q) ≡ p ∧ ¬q
p→ q ≡ ¬q → ¬p
p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p)
p↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ ¬ (p ∨ q)
¬(p↔ q) ≡ (¬p)↔ q
p Y q ≡ ¬(p↔ q)
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
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Argumentos - Conjuntos
Variantes condicionales. La proposicion condicional esta asociada a otras tres proposiciones
importantes, estas son: la recıproca, la inversa y la contrapositiva.
condicional p→ q
contrapositiva ¬ q → ¬ p
recıproca q → p
inversa ¬ p→ ¬ q
condicional ≡ contrapositiva, recıproca ≡ inversa
Inferencia. Es el acto de mostrar la veracidad de una proposicion asumiendo la veracidad de
otras.
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Argumentos - Conjuntos
Argumentos validos notables. Demuestre que los siguientes argumentos son validos.
p→ q , p ` q modus ponens
p→ q , ¬q ` ¬p modus tollens
p→ q , q → r ` p→ r silogismo hipotetico
p ∨ q , ¬p ` q silogismo disyuntivo
p→ q , r → s , p ∨ r ` q ∨ s dilema constructivo
p ∧ q ` p simplificacion
p ` p ∨ q adicion
p→ q , p→ ¬q ` ¬p reduccion al absurdo
p→ q , ¬p→ q ` q dilema constructivo
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Argumentos - Conjuntos
Metodo por contradiccion (o por reduccion al absurdo o indirecto).
Justificacion logica.
p ≡(¬p)→
F
(r ∧ ¬r)
absurdo
p→ q ≡(p ∧ ¬q
)→
F
(r ∧ ¬r)
absurdo
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Argumentos - Conjuntos
Problema. Demuestre las siguientes propiedades aplicando el metodo por contradiccion:
(1) Sean a y b numeros naturales. Si a + b ≥ 20 entonces a ≥ 10 o b ≥ 10.
(2) Sea n un numero natural. Si n2 es par entonces n es par.
(3)√
3−√
2 no es un numero racional.
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Argumentos - Conjuntos
Solucion. (1) En lenguaje logico formal:
∀a ∈ N,∀b ∈ N,[a + b ≥ 20→ (a ≥ 20 ∨ b ≥ 20)
]Asumamos que es falsa
∀a ∈ N,∀b ∈ N,[a + b ≥ 20→ (a ≥ 20 ∨ b ≥ 20)
]≡ F
entonces su negacion es verdadera
∃a ∈ N,∃b ∈ N,[a + b ≥ 20 ∧ a > 20 ∧ b > 20
]≡ V
entonces como a > 20 y b > 20 entonces a + b > 20 lo cual es absurdo o una contradiccion con
a + b ≤ 20. Por lo tanto queda demostrada la propiedad (1).
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Argumentos - Conjuntos
Jerarquıa de los cuantificadores.
Las siguientes proposiciones en general no son equivalentes:
� ∀x ∈ A,∃y ∈ B, [P (x, y)]
y puede depender de x
� ∃y ∈ B, ∀x ∈ A, [P (x, y)]
y esta fijo y x es independiente de y
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Argumentos - Conjuntos
Problema. Justifique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
(a) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x + y = 0.
(b) ∃x ∈ Z, ∃y ∈ Z, x + y = 0.
(c) ∃x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x + y = 0.
(d) ∀y ∈ Z, ∃x ∈ Z, x + y = 0.
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Argumentos - Conjuntos
Solucion.
(a) Falsa. Contraejemplo x = 1, y = 2
(b) Verdadera. x = 1, y = −1
(c) Falsa. Para y = 1: x + 1 = 0. Para y = 2: x + 2 = 0. Entonces 1 = 2 (F).
(d) Verdadera. Para cada x existe y = −x tal que x + y = 0.
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Argumentos - Conjuntos
Metodo abreviado para determinar si un argumento es valido o invalido
P1, P2, . . . , Pn ` Q
� Asumimos la premisas P1, P2, . . . , Pn verdaderas y la conclusion Q falsa.
� Si llegamos a un absurdo (esto es, una contradicion t ∧ ¬t ≡ F ) entonces el argumento es
valido.
� Si encontramos una combinacion de valores que cumplan las condiciones establecidas, en-
tonces el argumento es invalido (evaluar).
Aplicacion. Determine si el siguiente argumento es valido o invalido:
q → p , ¬r ` q
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Argumentos - Conjuntos
Contencion e igualdad de conjuntos.
� A ⊂ B es equivalente a mostrar que
∀x ∈ U, [x ∈ A→ x ∈ B]
� A = B es equivalente a mostrar que
∀x ∈ U, [x ∈ A↔ x ∈ B]
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Argumentos - Conjuntos
Teorema. Sea U un conjunto universal.
� Para todo conjunto A se cumple que ∅ ⊂ A.
� El conjunto vacıo es unico.
� (A = ∅) ≡ ∀x ∈ U, [x /∈ A].
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Argumentos - Conjuntos
Principios de conjuntos I. Si A,B,C son subconjuntos de un universo U , entonces
A ∩ A = A
A ∩B = B ∩ A
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (directa e inversa)
A ∩∅ = ∅
A ∩ U = A
A ∩ Ac = ∅
(Ac)c = A
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Argumentos - Conjuntos
Principios de conjuntos II. Si A,B,C son subconjuntos de un universo U , entonces
A ∪ A = A
A ∪B = B ∪ A
(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (directa e inversa)
A ∪∅ = A
A ∪ U = U
A ∪ Ac = U
(Ac)c = A
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Argumentos - Conjuntos
Leyes de Morgan. Si A,B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∩B)c = Ac ∪Bc (directa e inversa)
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
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Argumentos - Conjuntos
Diferencia simetrica. Mostramos tres definiciones equivalentes
(a) A∆B = (A−B) ∪ (B − A).
(b) A∆B = (A ∪B)− (A ∩B).
(c) A∆B ={x ∈ U, x ∈ A Y x ∈ B
}.
donde A,B son subconjuntos de un universo U .
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Argumentos - Conjuntos
Dominio. Si R ⊂ A×B es una relacion entonces el dominio de R se define como
dom R = {x ∈ A : ∃y ∈ B, [(x, y) ∈ R]}
Rango. Si R ⊂ A×B es una relacion entonces el rango de R se define como
ran R = {y ∈ B : ∃x ∈ A, [(x, y) ∈ R]}
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Argumentos - Conjuntos
Funcion. Una relacion R ⊂ A×B es una funcion, cuando cada elemento del dominio se relaciona
con un unico elemento del rango. Es decir
∀x ∈ domR, ∃! y ∈ ranR, [(x, y) ∈ R]
esto es equivalente a decir que
∀x ∈ A, ∀y, z ∈ B,[(x, y) ∈ R ∧ (x, z) ∈ R→ y = z
]Determine si las siguientes relaciones en R son funciones:
S = {(x, y) ∈ R× R : x2 + y2 = 1}
T = {(x, y) ∈ R× R : x2 + y2 = 1 ∧ y ≥ 0}
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Argumentos y Cuantificadores
Problema. Determine la validez del siguiente argumento.
(¬p)→ q q → (¬r) r ∨ s ¬s ` p
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Argumentos y Cuantificadores
Problema. Determine la validez del siguiente argumento.
p ∨ q ↔ ¬ r ¬ p→ s ¬ t→ q s ∧ t→ u ` r → u
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Argumentos y Cuantificadores
Problema. Decimos que un ano es bisiesto si es divisible por 4, excepto el ultimo de cada siglo,
salvo que este ultimo sea divisible por 400. Establezca una formula logica para determinar si un
ano dado es bisiesto.
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Argumentos y Cuantificadores
Solucion. Establecemos nuestro diccionario:
p : es divisible entre 4
q : es divisible entre 100
r : es divisible entre 400
Entonces un ano es bisiesto si cumple la siguiente formula logica: p ∧ (¬ q ∨ r).
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Argumentos y Cuantificadores
Problema. Determine la validez de los siguientes argumentos.
¬ q ↔ p ¬ q ↔ r ¬ r ↔ s ∨ p ` s
p Y q q → p ` ¬q ∧ p
r ∨ s p→ q ¬p→ ¬r p→ ¬q ` s ∨ t