area de una superficie en revolucion utilizando parametros
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AREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCION UTILIZANDO PARAMETROS
CALCULO VECTORIAL
AREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCION
Si una curva tal dada por x=f(t) y y=g(t) no se corta a sΓ misma en un intervalo π β€ π‘ β€ π, entonces el Γ‘rea S de la superficie de revoluciΓ³n generada por rotaciΓ³n de esa curva tal, en torno a uno de los ejes de coordenadas, estΓ‘ dada por:
π = 2π π
π
π π‘ππ₯
ππ‘
2
+ππ¦
ππ‘
2
ππ‘
RevoluciΓ³n en torno al eje x
π = 2π π
π
π π‘ππ₯
ππ‘
2
+ππ¦
ππ‘
2
ππ‘
RevoluciΓ³n en torno al eje y
Encontrar el Γ‘rea de una superficie
generada por revoluciΓ³n de la
curva π₯ = π‘π¦ = 2π‘
alrededor del eje x y eje y cuyo intervalo
es: 0 β€ π‘ β€ 4
SOLUCION:
Primero comenzamos con derivar ambas funciones:
π π‘ = π₯ = π‘ π π‘ = π¦ = 2π‘ππ₯
ππ‘= 1
ππ¦
ππ‘= 2
Ahora si, sustituyendo estos datos con los del ejercicio dado, obtenemos el resultado final:
*PARA EL EJE X
π = 2π π
π
π π‘ππ₯
ππ‘
2
+ππ¦
ππ‘
2
ππ‘
= 2π 0
4
2π‘ 1 2 + 2 2 ππ‘
= 2π 0
4
2π‘ 5 ππ‘
= 4 5π 0
4
π‘ ππ‘
= 4 5ππ‘2
2
4
0
= 32 5π
*PARA EL EJE Y
π = 2π π
π
π π‘ππ₯
ππ‘
2
+ππ¦
ππ‘
2
ππ‘
= 2π 0
4
π‘ 1 2 + 2 2 ππ‘
= 2π 0
4
π‘ 5 ππ‘
= 2 5π 0
4
π‘ ππ‘ = 2 5ππ‘2
2
4
0= 16 5π
ASI QUE LAS AREAS CON SUS RESPECTIVOS EJES SON:
π = 32 5 π ππ΄π π΄ πΈπΏ πΈπ½πΈ π
π = 16 5 π ππ΄π π΄ πΈπΏ πΈπ½πΈ π
GRAFICAS DE:π₯ = π‘π¦ = 2π‘
CUYO INTERVALO ES:
0 β€ π‘ β€ 4
Encontrar el Γ‘rea de una superficie generada por revoluciΓ³n de la curva
π₯ = 4cosππ¦ = 4 π ππ π
alrededor del eje y cuyo intervalo es:
0 β€ π‘ β€π
2
SOLUCION:
Primero comenzamos con derivar ambas funciones:
π π‘ = π₯ = 4 cos π π π‘ = π¦ = 4 π ππ πππ₯
ππ‘= β4 π ππ π
ππ¦
ππ‘= 4 cos π
Ahora si, sustituyendo estos datos con los del ejercicio dado, obtenemos el resultado final:
*PARA EL EJE Y
π = 2π π
π
π π‘ππ₯
ππ‘
2
+ππ¦
ππ‘
2
ππ‘
= 2π π
π
π πππ₯
ππ‘
2
+ππ¦
ππ‘
2
ππ
= 2π 0
π24 πππ π β4 π ππ π 2 + 4 cos π 2 ππ
= 2π 0
π24 πππ π 16 π ππ2π + 16 cos2 π ππ
= 2π 0
π24 πππ π 16 π ππ2π + cos2 π ππ
= 2π 0
π24 πππ π 16 1 ππ = 2π
0
π24 πππ π 16 ππ
= 32π 0
π2πππ π ππ
= 32π π ππ π
π20
= 32π 1 β 0
= 32π
ASI QUE EL RESULTADO FINAL ES:
π = 32π
GRAFICAS DE:π₯ = 4cosππ¦ = 4 π ππ π
CUYO INTERVALO ES:
0 β€ π‘ β€π
2
BIBLIOGRAFIAS
LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, βCΓ‘lculo de varias variables. MatemΓ‘ticas 3β, 1ra EdiciΓ³n, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 pΓ‘gs.
Swokowski, Earl, βCΓ‘lculo con geometrΓa analΓticaβ, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da EdiciΓ³n, Estados Unidos de AmΓ©rica,
1097
SOFTWARE
GRAPH
WOLFRAM-ALPHA
DERIVE