area de mecanica de fluidos - universidad de oviedo

Universidad de Oviedo REA DE MECNICA DE FLUIDOS

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MONOGRAFAS DE MECNICA DE FLUIDOS

TCNICAS NUMRICAS EN MECNICA DE FLUIDOS

Rafael Ballesteros Tajadura

Jos Gonzlez Prez Jess Manuel Fernndez Oro

Katia Mara Argelles Daz

Rafael Ballesteros Tajadura ISBN 84-607-9546-2 DEPSITO LEGAL AS-05282-2003 Gijn 2003

Tcnicas Numricas en Mecnica de Fluidos 3

ndice. Prlogo.................................................................................... 5 1.- Introduccin....................................................................... 7

1.1.- Perspectiva histrica .................................................................................................. 7 1.2.- Aplicaciones habituales de las tcnicas numricas ................................................... 8 1.3.- Niveles de aproximacin empleados en las tcnicas numricas. ........................10

2.- Modelos fsico-matemticos............................................ 13

2.1.- Modelos de flujo potencial ..................................................................................13 2.2.- Ecuaciones para flujo ideal..................................................................................13 2.3.- Modelo para flujo ideal, estacionario y rotacional ..............................................14 2.4.- Solucin directa de las ecuaciones de Navier-Stokes..........................................14 2.5.- Modelos parablicos de las ecuaciones de Navier-Stokes ..................................14 2.6.- Modelo de flujo incompresible............................................................................15 2.7.- Modelos para la simulacin de la turbulencia .....................................................15 2.8.- Modelos de dos ecuaciones: modelo k- .............................................................18 2.9.- Modelos matemticos para la Capa Lmite .........................................................20

3.- Aspectos matemticos del procedimiento de clculo ...... 23

3.1.- Condiciones iniciales y de contorno....................................................................25 3.2.- Consideraciones fsicas .......................................................................................27

4.- Mtodos de resolucin y naturaleza de las ecuaciones de gobierno ................................................................................ 29

4.1.- Ecuaciones de gobierno, condiciones de contorno y condiciones iniciales ........30 4.2.- Discretizacin de las ecuaciones .........................................................................31 4.3.- Mtodos de discretizacin empleados .................................................................38 4.4.- Discretizacin temporal.......................................................................................56 4.5.- Tipos de aproximacin numrica utilizadas en la prctica..................................58 4.6.- Resolucin numrica de problemas sencillos......................................................62

4 Tcnicas Numricas en Mecnica de Fluidos

5.- Discretizacin del dominio: generacin de mallados ...... 99

5.1.- Clasificacin de los mallados basada en la conectividad y estructura de datos......................................................................................... 100

5.2.- Mtodos de generacin de mallados no estructurados...................................... 102 5.3.- Mallados Multiblock ..................................................................................... 103 5.4.- Mallados ajustados a los contornos (Body Fitted Coordinates o BFC) ........ 105

6.- Bibliografa .................................................................... 109 Anexo I.- El metodo Von Neumann para analisis de estabilidad ........................................................................... 113 Anexo II.- Ecuaciones en sistemas generalizados............... 123 Anexo III.- Glosario de trminos empleados en tcnicas numricas ............................................................................ 129


Prlogo. Las tcnicas numricas en Ingeniera han experimentado un gran desarrollo en las ltimas dcadas. De esta tendencia no se ha apartado una rama tan caracterstica de la Ingeniera Mecnica como es la Mecnica de Fluidos. En este trabajo se intenta recopilar las tcnicas ms utilizadas y los tratamientos que se pueden hacer de las ecuaciones de constitucin con el fin de obtener una solucin numrica de las mismas. Esta publicacin constituye el resultado de varios aos de imparticin de la asignatura de doctorado Dinmica de Fluidos Computacional que los profesores del rea de Mecnica de Fluidos de la Universidad de Oviedo han realizado en distintos Departamentos de la misma. Los autores han tratado de recoger la tradicin y conocimientos que comparten con el resto de compaeros del rea, a los que agradecen sus enriquecedores comentarios.


1.- Introduccin. La dinmica de fluidos computacional (o CFD, acrnimo de las palabras inglesas Computational Fluid Dynamics) consiste en el anlisis del movimiento de los fluidos mediante simulaciones con ordenadores. Su objetivo es la bsqueda de una solucin aproximada de las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos, discretizando o dividiendo el dominio de clculo en pequeos elementos y resolviendo all dichas ecuaciones. Los mtodos numricos aplicados a la Mecnica de Fluidos resultan una herramienta muy til para el diseo y anlisis de las distintas situaciones prcticas en las que se utilizan los fluidos. 1.1.- Perspectiva histrica.

Hasta finales de los aos 60 los ordenadores no alcanzaron velocidades de clculo suficientes como para resolver casos sencillos. Hasta entonces, las tcnicas experimentales constituan prcticamente la nica herramienta de anlisis y diseo de cualquier problema de Mecnica de Fluidos.

En la actualidad, los ensayos experimentales siguen siendo necesarios para la comprobacin de las prestaciones de diseos complejos, pero los continuos avances en la capacidad de los ordenadores y en los algoritmos permiten una reduccin importante en el nmero de ensayos necesarios. As, por ejemplo, el diseo tpico de un modelo de ala de avin, exige en la actualidad 3 o 4 ensayos en tnel aerodinmico, en lugar de los 10 o 15 que eran necesarios anteriormente. En realidad, la palabra que mejor definira hoy la relacin entre ambas herramientas podra ser la de complementariedad (Strazisar, 1994, Lakshminarayana, 1991). A lo largo de los ltimos veinte aos, las tcnicas de CFD han evolucionado, mejorando los programas comerciales e introducindose en las distintas reas de la ingeniera hasta hacerse un hueco dentro de las necesidades reales de la industria. Dichos programas se vienen usando de manera creciente paralelalelamente a la mejora de los sistemas informticos que les sirven de soporte. Desde su inicial concepcin, orientada a la industria aeroespacial, la tcnicas numricas se han extendido a un nmero creciente de aplicaciones dentro de un amplio espectro de industrias, desde las ms clsicas como la automovilstica o electrnica, hasta las nuevas aplicaciones en industrias alimentarias y biomdicas. Sin embargo, an no se emplean las tcnicas numricas como autnticas herramientas de diseo. En realidad, se obtendrn los mayores beneficios cuando se llegue a un nivel de utilizacin en el da a da del diseo industrial, es decir, cuando su difusin sea tal que puedan llegar a ser utilizadas por ingenieros sin demasiada especializacin en estas tcnicas y no estar restringida su utilizacin a los expertos en la materia.


1.2.- Aplicaciones habituales de las tcnicas numricas.

Es innegable que la industria aeroespacial fue pionera en el trabajo con tcnicas CFD y que todava hoy se encuentra entre las vanguardias en la explotacin de estas tcnicas, pero cada da resultan ms comunes las aplicaciones en procesos industriales, donde los flujos son a baja velocidad y muchas veces prcticamente incompresibles. Esta denominacin de proceso industrial se usa a menudo en la bibliografa tcnica (Hirsch, 1995) para distinguir dichas aplicaciones de las aeronuticas o de flujos a altas velocidades, con grandes efectos de compresibilidad. Entre las aplicaciones ms importantes en que se emplean las tcnicas numricas, se tienen:

a) Industria automovilstica. Las aplicaciones tpicas son el estudio de la aerodinmica de vehculos, la climatizacin del habitculo interior, el enfriamiento del bloque motor, el flujo en vlvulas de distribucin, el diseo de filtros y elementos de control y las investigaciones sobre la descarga de combustible en depsitos. b) Industria electrnica. Los problemas ms estudiados son el flujo y la distribucin de temperaturas en las carcasas electrnicas, el enfriamiento de distintos componentes, el flujo de aire en las unidades de discos, los procesos de construccin de chips usando la tcnica de deposicin qumica del vapor (CVD) y algunos problemas indirectos, como la ergonoma de grandes salas. c) Industrias de proceso y qumicas. Problemas habituales resueltos con tcnicas CFD son el flujo de plsticos, los estudios en conduccin de lodos, el flujo del vidrio fundido, los flujos de tintes, la deposicin de vapores qumicos, el llenado de moldes, estudios en procesos de combustin y los flujos reactivos complejos (con intercambio de calor, masa y reacciones qumicas). d) Industria de conformados metlicos. Las aplicaciones ms comunes en esta industria son los procesos de fundicin continua, las fundiciones abiertas, la extrusin de metales y los procesos de solidificacin (construccin de hlices de barco, por ejemplo). e) Industria nuclear. Algunos estudios relacionados con el flujo en conductos de sustancias originadas en los procesos de reaccin nuclear, el enfriamiento del reactor, estudios relacionados con el intercambiador de calor, el flujo en el interior del reactor, el almacenamiento de residuos nucleares, el diseo de torres de enfriamiento y las investigaciones sobre chorros trmicos. f) Industria de recubrimientos de pelcula fina. Entre otros, los problemas estudiados por medio de tcnicas CFD han sido el recubrimiento de cintas magnticas, el recubrimiento de pelculas de fotografa o de sonido, el recubrimiento de adhesivos, multitud de aplicaciones en la industria papelera y los recubrimientos de fibra ptica. g) Industria biomdica y farmacutica. Entre otras aplicaciones, destacan el flujo de la sangre en la venas y arterias, el flujo a travs de distintas prtesis, el flujo en el interior del corazn, los distintos estudios en fenmenos de centrifugacin y el diseo de sistemas de inyeccin intravenosa.


h) Industria alimentaria. Destacan los diseos de procesos de pasteurizacin, los estudios en equipos de procesado de alimentos con estructura toroidal, la extrusin de fluidos y los hornos de conveccin. i) Industria aeroespacial. Las aplicaciones habitualmente estudiadas son los efectos de la microgravedad, la ventilacin de habitculos, el diseo de vehculos espaciales, los flujos de combustible en conductos y tanques, estudios varios en motores de propulsin. j) Industria aeronutica y naval. Estudios en perfiles aerodinmicos, diseo de trenes de aterrizaje, estudios en hlices marinas y el diseo de carenas de barcos. k) Otras aplicaciones. Destacan los estudios en oceanografa, predicciones en hidrologa (planificacin de embalses, regmenes de precipitaciones, entre otros), los flujo en conductos (calefaccin, flujos internos en edificaciones, ingeniera de complejos urbanos), los flujos medioambientales, la meteorologa, los estudios de flujos alrededor de edificios, puentes y otras estructuras exteriores, las investigaciones relacionadas con la propagacin de humos, los estudios sobre el enfriamiento y crecimiento del vidrio, el flujo en mquinas de desplazamiento positivo, las investigaciones en flujos con varias fases (sprays), el estudio de los MEMS (Micro Electro-Mechanical Systems) y las aplicaciones en turbomquinas. Por lo tanto, la panormica es realmente amplia y susceptible de crecimiento en el futuro.

Las ventajas que proporciona el anlisis con tcnicas CFD se pueden resumir en las siguientes:

- Reduccin sustancial de tiempos y de costes en los nuevos diseos. - Posibilidad de analizar sistemas y condiciones muy difciles de simular

experimentalmente: velocidades supersnicas, temperaturas extremas y elementos en movimiento relativo.

- Capacidad de estudiar sistemas bajo condiciones peligrosas o ms all de sus condiciones lmite de funcionamiento, por ejemplo, accidentes con sustancias txicas.

- Nivel de detalle prcticamente ilimitado. Los mtodos experimentales son tanto ms caros cuanto mayor es el nmero de puntos de medida, mientras que los programas CFD pueden generar un gran volumen de resultados sin coste aadido, y con posibilidad hacer estudios paramtricos.

- Un valor aadido es poder poner en el producto la etiqueta de Diseado con ayuda del ordenador, y la facilidad para generar grficos fcilmente interpretables, que estimulan la compra del producto (lo cual, por otro lado, constituye un riesgo).

Aunque se razone que se abaratan los costes respecto a las tcnicas experimentales, las

tcnicas CFD no son gratuitas. En primer lugar, son necesarias mquinas de gran capacidad de clculo (los usuarios de tcnicas CFD trabajan habitualmente con los ordenadores ms potentes que existen), y un software con precio todava no accesible al gran pblico. En segundo lugar, se necesita personal cualificado que sea capaz de dominar los programas y, sobre todo, analizar adecuadamente los resultados.

Los desarrollos en el campo de las tcnicas numricas dedicadas al estudio de flujos se estn acercando cada vez ms a los de otras herramientas de CAE como las de anlisis de


esfuerzos en slidos y estructuras. Su retraso se debe a la gran complejidad de las ecuaciones y, sobre todo, a la dificultad de modelizar adecuadamente ciertos fenmenos como la turbulencia, los flujos multifsicos y la combustin.

Uno de los mayores inconvenientes de las tcnicas CFD consiste en que no siempre es posible llegar a obtener resultados suficientemente precisos y siempre est presente la posibilidad de cometer graves errores en cuestiones bsicas. Esto proviene de:

- Simplificacin del fenmeno a estudiar para que el hardware y software sean capaz de abordarlo. El resultado ser tanto ms preciso cuanto ms adecuadas hayan sido las hiptesis y las simplificaciones realizadas.

- La existencia de insuficientes e incompletos modelos para la simular el efecto de la turbulencia, los flujos multifsicos o la combustin, entre otros.

- La tendencia humana de creerse todo lo que se ha obtenido utilizando un ordenador, sobre todo cuando se presentan los resultados en forma atractiva.

1.3.- Niveles de aproximacin empleados en las tcnicas numricas. El desarrollo de las tcnicas numricas y su aplicacin a cualquier ciencia o tecnologa han dado lugar al desarrollo y a la concienciacin generalizada de uno de los conceptos bsicos en ingeniera como es el de grado de aproximacin. Esta idea es bastante clara si se considera que lo que se pretende con cualquier tcnica numrica es conocer las variables fsicas a partir de la resolucin numrica de una serie de ecuaciones que gobiernan el fenmeno. Se han de definir y establecer las distintas aproximaciones que introducen los mtodos numricos. En lo referente a la Mecnica de Fluidos, la primera aproximacin que aparece es el planteamiento del modelo fsico-matemtico que defina el comportamiento real de un determinado flujo. Dicho modelo matemtico est habitualmente basado en la hiptesis del continuo, vlida para la mayor parte de problemas industriales, pero que tiene sus limitaciones para casos extremos de flujos de gases. Una vez hecha esta salvedad, aplicando las leyes bsicas de la fsica clsica se puede establecer una serie de ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento matemtico de toda partcula fluida. La resolucin exacta de dichas ecuaciones servira para determinar completamente cualquier movimiento en el seno de un fluido. Se puede decir que un modelo matemtico se define nicamente tras haber considerado el nivel de aproximacin a la realidad requerido a la hora de obtener la exactitud deseada en el clculo de una serie de variables dependientes. Desafortunadamente, debido a la complejidad de las ecuaciones diferenciales que aparecen, a la complejidad geomtrica de los flujos, y a la complejidad de las condiciones de contorno o iniciales, no resulta posible obtener soluciones analticas de dichas ecuaciones de gobierno. Establecidas las ecuaciones de gobierno resulta imprescindible introducir una segunda aproximacin al problema. La forma clsica de abordarlo sera construir un modelo a escala reducida del flujo en cuestin y analizarlo experimentalmente en el laboratorio. La aproximacin numrica implica introducir algunas hiptesis simplificativas que aproximen lo ms posible los resultados finales a los que se obtendran si se pudiera calcular la solucin exacta. Dichas hiptesis se dirigen habitualmente hacia la simplificacin tanto de la geometra a estudiar como de las ecuaciones a resolver. Obviamente, al no disponerse de la solucin analtica exacta resulta bastante complicado establecer de antemano qu hiptesis sirven y


cuales son descartables y, por tanto, en cualquier simulacin aplicada a la Mecnica de Fluidos, es preciso dedicar mucho esfuerzo al anlisis de los resultados obtenidos antes de aceptarlos como vlidos. Una vez definidas las ecuaciones diferenciales simplificadas, aparece otro problema relacionado con el posible tratamiento que se pueda hacer de dichas ecuaciones usando tcnicas computacionales. Por medio de los ordenadores resulta muy fcil resolver una ecuacin o sistema de ecuaciones algebraico, sin embargo, las ecuaciones que estudian el movimiento de los fluidos son ecuaciones diferenciales no lineales. Resulta obligatorio realizar la transformacin de las ecuaciones de forma que puedan ser resueltas por un ordenador. El paso de las ecuaciones diferenciales a sus equivalentes lineales constituye otro nivel de aproximacin y normalmente recibe el nombre de discretizacin de las ecuaciones. En cuanto a la geometra a estudiar, se debe sealar que la aproximacin a la que debe someterse no slo es de orden descriptivo respecto a su contorno sino que adems ha de establecerse la definicin del espacio ocupado por el fluido. En este sentido, resulta imprescindible referir los puntos a un determinado sistema de coordenadas en los que se pretender resolver las ecuaciones para obtener soluciones de las variables deseadas. Aunque el campo fluido sea un continuo, no se puede pretender resolver las ecuaciones en todos los puntos de un determinado volumen, porque entonces se tendra un nmero enorme de ecuaciones a resolver. Por tanto, hay que elegir cierto conjunto de puntos en los que se resolvern las mencionadas ecuaciones y que sern los puntos dnde finalmente se conocern los valores de las variables fluidas. La definicin de estos puntos es lo que se denomina habitualmente discretizacin espacial del dominio (tambin se habla de generacin del mallado). El proceso descrito no deja de ser otra aproximacin que se introduce en el clculo y que define el nivel de aproximacin espacial. En el caso de tener ecuaciones que dependan de la variable tiempo (flujo no estacionario) es esencial la definicin de un nivel de aproximacin temporal. No es posible tampoco estudiar la evolucin de las variables en el tiempo de forma continua. El nivel indicar la forma de modelizar la evolucin real introduciendo lo que se denomina discretizacin temporal del sistema de ecuaciones. A partir de la solucin calculada se podr realizar un promediado temporal oportuno para estudiar ciertas caractersticas medias del flujo que dependan de la evolucin de las variables con el tiempo. Finalmente, se pueden manipular las ecuaciones eliminando ciertos trminos cuya influencia en un determinado problema se considere despreciable. La conclusin de que algn trmino no afecta a la solucin de una determinado flujo se debe alcanzar tras analizar detenidamente la sensibilidad del problema ante valores dispares de dicho trmino. Normalmente dicho estudio se hace tras adimensionalizar convenientemente las ecuaciones y realizar el correspondiente anlisis de semejanza (tcnicas asintticas). Esta cuestin es de importancia capital en la Mecnica de Fluidos y est en el origen de cualquier estudio experimental. Desde el punto de vista numrico, la eliminacin de algn trmino en las ecuaciones introduce lo que se denomina nivel de aproximacin dinmico de las ecuaciones consideradas. Resumiendo, desde el modelo matemtico (ecuaciones diferenciales no lineales) que aproxima la realidad fsica en un medio continuo se llega a un nmero finito de ecuaciones algebraicas que eliminan algn trmino de las ecuaciones de partida y que aproximan la evolucin temporal real que, tras resolver con tcnicas apropiadas, proporcionan una


aproximacin al valor de las variables incgnita en los puntos elegidos como discretizacin espacial del dominio de clculo. En definitiva, se establece un nivel de aproximacin numrico lmite por debajo del cul ser imposible acercarse al valor real de las variables en los puntos elegidos. Sin embargo, desde un punto de vista ingenieril, el proceso descrito es perfectamente vlido y ha significado a lo largo de la evolucin de las tcnicas numricas, la posibilidad de mejorar diseos y ahorrar mucho esfuerzo que de otra manera supondra trabas insalvables a la evolucin de muchos sectores industriales. En la figura 1 se muestra grficamente la panormica explicada en este apartado.

Figura 1.- Las tcnicas numricas en la Mecnica de Fluidos.


2.- Modelos fsico-matemticos. Existen varias posibles simplificaciones en cuanto a la definicin del modelo matemtico que describe el movimiento de las partculas de un fluido, de gran inters por dar lugar a soluciones vlidas en distintos problemas, que han sido ampliamente utilizadas en muchas aplicaciones numricas. Se enumeran y describen brevemente los modelos ms importantes. Normalmente cada una de estas estrategias ha sido desarrollada para un tipo particular de flujo. 2.1.- Modelos de flujo potencial. Describen el comportamiento de flujos irrotacionales de fluidos ideales, desarrollados en los albores de las tcnicas numricas. La teora bsica para el clculo consiste en partir de la definicin del concepto de potencial de velocidades. Constituye una simplificacin adicional muy empleada para el clculo de flujos estacionarios. Conceptualmente es de gran inters, pero est cayendo en desuso. 2.2.- Ecuaciones para flujo ideal. Cuando el nmero de Reynolds es suficientemente elevado, lo que ocurre en muchas de las aplicaciones prcticas de la Mecnica de Fluidos, despreciar los efectos viscosos y de conduccin de las ecuaciones resulta una aproximacin bastante cmoda pues elimina los trminos difusivos de segundo orden en las ecuaciones diferenciales y hace que las ecuaciones de gobierno pasen a ser de primer orden, con todo lo que lleva asociado en cuanto a simplificacin de clculos. Con las hiptesis de despreciar los efectos viscosos y la transferencia de calor por conduccin, es decir, si se considera al fluido como ideal, se obtienen las ecuaciones de Euler. Los modelos numricos que resolvan las ecuaciones de Euler eran hasta hace poco los nicos existentes. Hoy en da este tipo de modelos constituye el punto de partida para el desarrollo de modelos ms completos (Arts, 1989). Las ecuaciones de Euler fueron desarrolladas por este famoso matemtico suizo hacia el ao 1670. Adoptan las expresiones siguientes: Continuidad:

0udtd =+ G (1)


Cantidad de movimiento:

eu (u )u p ft

+ = + G GG G (2)

donde ef

G es la resultante de las fuerzas volumtricas externas que afecta a cada partcula.

Habitualmente slo se considera la fuerza debida a la gravedad, pero puede tener otros componentes: fuerzas electromagnticas, fuerzas de Coriolis, fuerzas centrfugas, etc. 2.3.- Modelo para flujo ideal, estacionario y rotacional. Es un tipo de modelos muy similar a los del fluido ideal. Consiste en reducir el nmero de variables que intervienen en los clculos introduciendo la vorticidad en las ecuaciones de cantidad de movimiento y de la energa. Normalmente se parte de la denominada representacin de Clebsch para la velocidad en funcin de la vorticidad. No se consideran aqu ni las prdidas por viscosidad en la capa lmite ni los efectos de la turbulencia. 2.4.- Solucin directa de las ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes constituyen una modelizacin correcta del flujo de un fluido Newtoniano, incluyendo todos los efectos viscosos y trmicos. Adecuadamente resueltas incluyen los efectos de la turbulencia y de la capa lmite. Pero esta resolucin directa (ver Hirsch, 1988) requiere de una discretizacin espacial y temporal tan fina que est claramente fuera del alcance de cualquier aplicacin industrial. Se ha estimado (Moin et al., 1997) en varios cientos de aos de CPU del ordenador ms potente existente en aquel ao el clculo de un segundo de vuelo de un avin comercial. La resolucin numrica de las ecuaciones de Navier-Stokes s que es posible si se utilizan modelos adecuados para simular el efecto de la turbulencia y de la capa lmite en discretizaciones no tan detalladas. Un poco ms adelante se hablar de ellos. 2.5.- Modelo parablico de las ecuaciones de Navier-Stokes (PNS). Este tipo de modelos ha sido desarrollado para el clculo de flujos supersnicos e hipersnicos, donde la captura de las ondas de choque, gradientes de presin, esfuerzos viscosos superficiales y transferencia de calor son los objetivos ms importantes para cualquier diseo. Las ecuaciones de gobierno parablicas se obtiene a partir de las de Navier-Stokes considerando las siguientes hiptesis:

- Flujo estacionario.


- Los gradientes de esfuerzos viscosos son despreciables en la direccin de las lneas de corriente.

- Los gradientes de presin en la direccin de las lneas de corriente se aproximan por su valor en zonas de capa lmite cercanas.

Se ha investigado mucho en las ecuaciones parablicas de Navier-Stokes (Parabolized Navier-Stokes) y se han desarrollado muchos algoritmos en los ltimos aos (Hirsch, 1988 y Hoffman, 1989), aunque su aplicacin est muy limitada al sector aeroespacial. 2.6.- Modelo de flujo incompresible. Un flujo se denomina incompresible cuando la densidad del fluido en cada instante permanece independiente de las variaciones de presin. La importancia de los flujos incompresibles es indudable y algunos autores, como Batchelor (1967), llegan a afirmar que los problemas relacionados con este tipo de flujos constituyen la aplicacin ms importante y compleja de resolver de la Mecnica de Fluidos. Cuando el flujo es adems isotermo, las ecuaciones de gobierno se simplifican notablemente y la solucin para las distintas variables se hace independiente de la temperatura. El sistema de ecuaciones requerido queda reducido a la ecuacin de continuidad y la de cantidad de movimiento, que expresadas adimensionalmente y con la nica presencia de la gravedad como fuerza volumtrica, adoptan la forma: Continuidad: 0u = G (3) Cantidad de movimiento:

2d u p 1 1= - u gd t Re Fr

+ +G GG (4)

Contrariamente a lo que pudiera pensarse, la hiptesis de incompresibilidad complica

bastante la resolucin de las ecuaciones. No slo la densidad sino tambin los distintos coeficientes de transporte del fluido son independientes de la presin y de la temperatura. De esta forma, las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento son independientes de la ecuacin de la energa, que no es necesario resolver para obtener los campos de velocidades y presin. Pese a la ventaja que esto parece implicar, en la prctica, las dos ecuaciones a resolver se vuelven rgidas por la ausencia de derivada temporal en la ecuacin de continuidad, y su solucin resulta ms dificultosa al no ser posible una iteracin tomando ambas como punto de partida. 2.7.- Modelos para simulacin de la turbulencia.

El nmero de Reynolds de un flujo da una medida de la importancia relativa de las fuerzas de inercia, asociadas con los efectos convectivos, y las fuerzas viscosas. En


experimentos con fluidos se observa que para valores inferiores a un nmero de Reynolds denominado crtico, el flujo es intrnsecamente estable y las capas de fluido adyacentes se deslizan unas sobre otras de forma ordenada. El rgimen del flujo se denomina laminar. Si el flujo tiene un valor del nmero de Reynolds por encima del denominado crtico, se manifiestan en ste unas perturbaciones que dan lugar a un cambio radical del carcter del flujo. El movimiento se vuelve intrnsecamente no estacionario, incluso con condiciones de contorno constantes. Este rgimen se denomina flujo turbulento. La turbulencia se define como el estado de movimiento de un fluido en el que las distintas variables relevantes (presin, velocidad, etc.) fluctan de una forma desordenada. Se trata de un estado no estacionario desde el punto de vista macroscpico en el que las distintas variables adoptan valores dependientes tanto de la posicin como del tiempo y estos valores varan de una forma aleatoria y desordenada. La descripcin del movimiento de las partculas fluidas debido al efecto de la turbulencia resulta altamente complejo y constituye un problema an sin solucin desde el punto de vista de los mtodos numricos. Se han propuesto varias formas de resolver el problema utilizando distintas aproximaciones. A continuacin se exponen los mtodos conocidos como simulacin directa, simulacin de los grandes vrtices y promediado temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes. - Simulacin directa de las ecuaciones (Direct Simulation, DS). Este mtodo (cuyas iniciales provienen de la denominacin inglesa Direct Simulation) consiste, en realidad, en no utilizar ningn modelo para la turbulencia, sino realizar discretizaciones temporales y espaciales que sean capaces de simular el flujo en un determinado problema. La resolucin directa de las ecuaciones de Navier-Stokes resulta hoy en da abordable slo para un nmero muy limitado de problemas simples de inters acadmico. Los grandes centros dedicados a la Mecnica de Fluidos disponen de lneas de investigacin con esta orientacin, pero tanto las limitaciones en memoria de almacenamiento de las variables, como en el tiempo de clculo hacen de momento impensable la solucin generalizada de problemas prcticos usando este tipo de tcnicas. Segn Vandromme (1989), la primera solucin de este tipo se realiz en 1981 en la Universidad de Stanford. - Simulacin de grandes vrtices (Large Eddy Simulation, LES). Este tipo de tcnicas numricas reducen la complejidad de las ecuaciones de gobierno considerando slo parte de los efectos turbulentos del flujo. Se estudia el intercambio energtico entre las denominadas fluctuaciones de gran escala y se simula el efecto de las pequeas escalas de la turbulencia. Se trata de un tipo de modelo intermedio entre la simulacin directa y el promediado temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes, que extiende el promedio temporal a la captura de ciertos efectos turbulentos bsicos de forma numrica. En los modelos de simulacin de


grandes vrtices, las ecuaciones no estacionarias del flujo se resuelven para el flujo principal y para los vrtices grandes mientras que se modela el efecto de los vrtices pequeos. Aunque sin llegar al extremo de la simulacin directa, slo es posible para problemas simplificados y requiere unas capacidades de clculo muy elevadas. - Modelos que promedian temporalmente las ecuaciones de Navier-Stokes

(RANS). Los modelos de promedio de las ecuaciones de Navier-Stokes (Reynolds Averaged Navier-Stokes) han sido muy estudiados y resultan bastante tiles en la mayora de los problemas prcticos resueltos mediante tcnicas numricas. El procedimiento de promediar las leyes que describen el movimiento de una partcula se introduce en las ecuaciones con el fin de obtener los comportamientos promedio y turbulento (aleatorio) de las distintas variables. El punto de partida es muy sencillo. Se trata de obtener una descomposicin de las variables en su valor medio y su valor fluctuante. Por ejemplo, para la velocidad, la descomposicin sera: 'uuu

GGG += (5) donde la componente media de la velocidad se obtiene haciendo la integral de la velocidad instantnea:

T

0

1u (t) = u(t) dtT G G (6)

suponindose que el periodo de integracin (T) es lo suficientemente grande en comparacin con la escala temporal de la turbulencia, pero lo suficientemente pequeo como para captar cualquier fenmeno no estacionario distinto a la turbulencia. La utilizacin de este tipo de mtodos es bastante adecuado, pues la mayora de los fenmenos no estacionarios en Mecnica de Fluidos tiene lugar a frecuencias con rangos muy alejados del rango de frecuencias de la turbulencia. El proceso de promediado temporal de las ecuaciones diferenciales, da lugar a unos trminos, denominados de tensiones de Reynolds (Reynolds stresses), que involucran medias de los productos de la fluctuaciones de las componentes de la velocidad, cuya relacin con las componentes medias del flujo es desconocida. Para obtener dicha relacin es necesario introducir un modelo adicional, denominado modelo de turbulencia o de cierre. Las distintas posibilidades prcticas en cuanto a modelos de turbulencia son analizadas a continuacin.

Habitualmente lo que interesa son los efectos de la turbulencia sobre los valores medios de las variables: la velocidad media y la presin media en el caso del flujo en un conducto; en el caso de un avin, las fuerzas medias de resistencia y sustentacin; para el caso de un motor, los efectos de la turbulencia sobre las relaciones de mezcla entre combustible y comburente.


Para conseguir esto, las ecuaciones de Navier-Stokes se promedian sobre las escalas de las fluctuaciones de turbulencia (RANS). Estos mtodos dan lugar a un campo de flujo promediado y simulado que es ms uniforme que el flujo real, y, por tanto, reduce drsticamente el nmero de puntos de la discretizacin espacial y de la temporal necesario para obtener las variables buscadas. Un modelo de turbulencia es un procedimiento numrico que permite relacionar los valores medios de las fluctuaciones de las variables con los valores promedio (en la nomenclatura propia de estos mtodos, se habla de cerrar el sistema de ecuaciones), de forma que se puedan resolver las ecuaciones de gobierno. Un modelo de turbulencia ser til, dentro de un programa CFD de propsito general, si es exacto, sencillo y econmico (computacionalmente hablando). Los modelos de turbulencia ms comunes son los siguientes (Wilcox, 1993): Modelos algebraicos: Modelo de cero ecuaciones: modelo de la longitud de mezcla. Modelo Cebeci-Smith-Mosinki. Modelo Baldwin-Lomax. Modelos de viscosidad turbulenta: Modelo de una ecuacin: modelo k. Modelo de dos ecuaciones: modelos k-, k-2 o q-, modelo RNG. Modelos de ecuaciones de las tensiones de Reynolds (RSM). Cada uno de ellos tiene sus ventajas e inconvenientes. Aqu se expondr ms en detalle el modelo k-, por ser muy extendido. 2.8.- Modelos de dos ecuaciones: modelo k-. Como modelo de cierre o estrategia numrica para resolver de forma aproximada las ecuaciones de Navier-Stokes, se desarrollan dos ecuaciones de transporte adicionales (similares a las definidas por las ecuaciones 3 y 4), una para la energa cintica turbulenta (k) y otra para la tasa de disipacin de energa cintica turbulenta (). Estas variables se definen segn las expresiones:

( )222 'w'v'u21k ++= (7)

'ij

'ij ee2 = (8)

donde 'ije es la parte fluctuante del tensor de velocidad de deformacin. Las ecuaciones de transporte para k y se basan en el conocimiento de los procesos que producen los cambios en esas variables y son (Versteeg et al., 1995):


( ) ( ) t t ij ijk

k ku grad k 2 E E

t + = +

G (9)

( ) ( ) t 1 t ij ij 2

u grad C 2 E E C t k k

+ = + G (10)

donde Eij es el tensor de componentes medias de la velocidad de deformacin. El significado fsico de las anteriores expresiones se puede resumir en el siguiente balance:

=

/kde

nDestrucci

/kde+

difusinpor/kdeTransporte

conveccinpor

/kdeTransporte +

/kdecambiodeVelocidad Produccin

Aparecen varios conceptos cinemticos relacionados con las escalas o longitudes tpicas asociadas a los distintos movimientos del flujo (flujo principal medio y flujo oscilante o turbulento, relacionado con los vrtices). La escala de velocidad es caracterstica de los remolinos y de las propiedades del flujo principal y se define segn la expresin:

uy

C =G

A (11)

donde C es una constante adimensional y A la escala de longitud turbulenta (o longitud de mezcla), que se define como:

k 2/3

=A (12) Este mtodo utiliza la velocidad de disipacin de los remolinos pequeos para definir la escala de longitud A de los remolinos grandes porque, para altos nmeros de Reynolds, la velocidad de extraccin de energa del flujo de los remolinos grandes es igual a la velocidad de transferencia de energa a los remolinos pequeos. Si esto no fuese as, la energa en algunas escalas de la turbulencia podra aumentar o disminuir sin lmite, cosa que no ocurre en la prctica con lo que se justifica el uso de la velocidad de disipacin dentro de la definicin de la escala de longitud A . Aplicando la misma aproximacin del modelo de la longitud de mezcla se puede obtener la viscosidad turbulenta como:

kCC2

t == A (13) Las ecuaciones de transporte de k y contienen cinco constantes ajustables C, los nmeros de Prandt (k y ), C1 y C2, aunque se suelen emplear valores fijos para una amplia gama de flujos turbulentos. Los nmeros de Prandtl (nmeros adimensionales que muestran el peso relativo de los trminos viscosos frente a los trminos de transmisin de calor por conduccin) relacionan las difusividades de k y con la viscosidad turbulenta (t).


Las principales ventajas e inconvenientes del modelo, tal y como pueden encontrarse en la bibliografa consultada (Lakshminarayana, 1991 y Versteeg et al., 1995), son las siguientes: a) Ventajas:

- Slo se necesita fijar las condiciones iniciales y de contorno. - Resultados satisfactorios para una gran cantidad de flujos. - Es el modelo turbulento ms ampliamente utilizado en la mayora de flujos en

aplicaciones industriales. - Se dispone de leyes de pared desarrolladas como condiciones de contorno para este

tipo de modelos. b) Inconvenientes:

- Implementacin ms compleja que los modelos algebraicos debido a la introduccin de dos ecuaciones diferenciales adicionales.

- Pobres resultados en casos como: flujos no confinados, flujos con grandes gradientes longitudinales, flujos turbulentos completamente desarrollados en conductos no circulares.

2.9.- Modelos matemticos para la Capa Lmite. La capa lmite es la zona del campo fluido prxima a un contorno slido en la que se manifiestan especialmente los efectos viscosos. Debido a la viscosidad y a la condicin de no deslizamiento, cerca de cualquier contorno slido aparece un gradiente de velocidades en la direccin normal a dicho contorno. Este gradiente de velocidades condiciona el intercambio energtico entre las distintas partculas de fluido con velocidades diferentes, originando vorticidad y turbulencia. El problema bsico para la modelizacin numrica del intercambio energtico en la capa lmite sobre cualquier frontera slida consiste en la definicin correcta de las velocidades de las partculas en una zona muy prxima a dicha frontera. Esto implica una densidad de mallado muy elevada, necesaria para capturar los distintos fenmenos que se producen dentro de la capa lmite. Esta dificultad se ha abordado usando varias aproximaciones, que se pueden englobar en cuatro grupos: modelos de distribucin de las prdidas, modelos de capa de cortadura, modelos de capa lmite y leyes de pared, que son brevemente explicados a continuacin. - Modelos de distribucin de las prdidas (Distributed Loss Models). Este tipo de modelos constituye una aproximacin muy usada en flujos internos (el fluido est confinado en un canal de paso limitado por paredes slidas). La hiptesis bsica consiste en suponer que el efecto de las tensiones cortantes debidas a la viscosidad es


equivalente a una fuerza de rozamiento distribuida a lo largo del canal de paso y definida por valores semi-empricos conocidos del problema a resolver. Aunque con este tipo de modelos se puede predecir el flujo en gran parte de la geometra, es claro que se pierde la definicin en zonas cercanas a las superficies slidas. A veces esta falta de precisin en la definicin del flujo no es tolerable y se requiere superponer algn modelo de capa lmite complementario. Los modelos de distribucin de prdidas fueron muy populares en los inicios de las tcnicas CFD cuando la potencia de clculo haca difcil de llevar a la prctica cualquier otro tipo de modelo (Bosman, 1976). - Modelos de capa lmite (Boundary Layer Approximations). Derivado de los estudios de Prandtl sobre la estructura del flujo para elevados valores del nmero de Reynolds. Bajo estas condiciones, el campo de velocidades en un fluido se puede separar en dos zonas, una de flujo no viscoso alejada de los contornos slidos y otra dominada por los efectos de la viscosidad, denominada capa lmite. Las ecuaciones de este tipo de modelos se pueden derivar de las del modelo de la capa de cortadura simplificndolas an ms mediante la hiptesis del valor despreciable de la velocidad en la direccin normal a la superficie considerada en comparacin con la velocidad en la direccin de las lneas de corriente. Tambin existen muchas aplicaciones prcticas de este tipo de modelos (Launder et al., 1972) - Modelos de la capa de cortadura (Thin Shear Layer, TSL). Son mtodos apropiados para flujos con elevados nmeros de Reynolds en los que las zonas de influencia viscosa, estelas o capas de cortadura ocupan una extensin muy reducida dentro de la geometra del problema estudiado. Fuera de estas zonas, resulta suficiente con considerar el modelo de fluido ideal. Para este tipo de modelos se requiere una discretizacin espacial muy densa en las zonas en las que se espera influencia de los trminos viscosos. En realidad, se trata de un clculo ligeramente ms avanzado que el correspondiente al modelo de capa lmite, porque en este caso la geometra de la capa lmite es resultado del clculo y no se introducen hiptesis adicionales. Este tipo de modelos ha sido aplicado a multitud de problemas relacionados con aplicaciones aerodinmicas (Hirsch, 1988). - Leyes de pared. Una posibilidad distinta a los modelos mencionados consiste en incluir en los clculos alguna aproximacin para la distribucin de velocidades esperada. Con tal fin, se pueden


utilizar las distribuciones de velocidad obtenidas experimentalmente, pero la prctica habitual consiste en utilizar los datos de distribuciones tericas. En el contexto de los mtodos numricos, las funciones o leyes de pared constituyen un conjunto de frmulas semi-empricas que relacionan los valores de las distintas variables en las zonas prximas a los contornos slidos y sobre dichos contornos. Normalmente incluyen tanto las relaciones para las variables medias y frmulas para el tratamiento de la turbulencia en zonas prximas a los contornos slidos. La definicin de las distintas frmulas, con rangos de aplicabilidad variables, provienen de los estudios sobre capa lmite y parten de la definicin de las variables adimensionales caractersticas de dichos estudios. Suelen distinguirse dos zonas que dan lugar a la utilizacin de las denominadas leyes para capas internas y leyes para capas externas. En la bibliografa existen multitud de modelos basados en alguna hiptesis sobre la distribucin de velocidades dentro de la capa lmite (Launder et al., 1972 o White, 1991).


3.- Aspectos matemticos del procedimiento de clculo.

Los modelos matemticos de la mayora de fenmenos fsicos pueden ser expresados como un sistema de ecuaciones en derivadas parciales cuasi-lineales de primer o segundo orden. Las propiedades matemticas de estos sistemas de ecuaciones son un reflejo de las propiedades fsicas de los flujos.

Las ecuaciones de flujo representan un balance entre fenmenos de conveccin y difusin adems de la inclusin de trminos fuente. En los flujos difusivos aparecen trminos con derivadas de segundo orden como consecuencia de la Ley de Fick generalizada. Por el contrario en los flujos convectivos aparecen derivadas de primer orden que expresan propiedades de transporte o arrastre. Cada una de estas contribuciones tiene influencia en la naturaleza matemtica de las ecuaciones. En concreto se distingue entre los siguientes tipos de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales:

Elpticos. Parablicos. Hiperblicos.

Antes de dar una descripcin matemtica rigurosa de cada tipo, se considera como

ejemplo la componente sobre el eje x de la ecuacin de Navier-Stokes para un flujo laminar e incompresible en coordenadas cartesianas:

( )u p + u u = - + ut x

G G G G (14)

Si se adimensionaliza la ecuacin 14 utilizando unas magnitudes de referencia T,L y

V se obtiene:

( )V T u p 1u u uL t x Re

+ = + G G G G (15)

donde:

== LVLVRe es el nmero de Reynolds y

L

VT el nmero de Strouhal.

Se analizan a continuacin dos casos particulares:


Para Nmeros de Reynolds muy bajos (un flujo muy viscoso), el trmino convectivo puede ser despreciado, quedando por tanto:

2V T u pu Re

t x + =

G G (16)

Analizando la ecuacin anterior puede verse que, teniendo en cuenta la naturaleza del flujo (estacionario o no estacionario) aparecen dos tipos de ecuacin:

Flujo Estacionario u 0t

=G

.

xpReu

= (Comportamiento elptico) (17)

Flujo No Estacionario u 0t

G

.

2V T u pu Re

t x = + GG (Comportamiento parablico) (18)

Para Nmeros de Reynolds muy altos y fuera de la capa lmite, los efectos viscosos apenas tienen influencia en el flujo. La ecuacin queda entonces reducida a la ecuacin de Euler (Ecuacin de primer orden).

( )u p + u u = -t x

G G G (Comportamiento hiperblico) (19)

La distincin entre unas ecuaciones y otras tiene una gran importancia porque los

mtodos numricos de discretizacin y resolucin de problemas son diferentes en cada caso. Los fenmenos de difusin actan en todo el espacio independientemente de la direccin predominante del flujo (comportamiento elptico). Por el contrario, los fenmenos de conveccin actan en la direccin de propagacin, en regiones concretas del espacio (comportamiento hiperblico)

Entre ambas posibilidades, una ecuacin con comportamiento parablico representa una situacin intermedia que se puede interpretar como un proceso de difusin en todas las direcciones pero amortiguado en el tiempo.

En las ecuaciones de Navier-Stokes no estacionarias, la ecuacin de continuidad es hiperblica mientras que las ecuaciones de la cantidad de movimiento y de la energa son parablicas en espacio y tiempo. Se habla de un comportamiento parablico-hiperblico. Sin embargo, en las ecuaciones de Navier-Stokes en su versin estacionaria, las ecuaciones de la cantidad de movimiento y de la energa tienen un comportamiento elptico por lo que se tienen propiedades elptico-hiperblicas.


3.1.- Condiciones iniciales y de contorno.

Se dice que un problema cuya resolucin depende de una ecuacin diferencial en derivadas parciales est bien planteado si la solucin depende de manera continua de las condiciones iniciales y de contorno. Se consideran dos tipos de problemas:

Problema de Condicin Inicial. Se conoce la solucin en t 0= y se busca la evolucin de dicha solucin en el tiempo. Problema de Condicin de Contorno. Se fijan las condiciones en los contornos del dominio y se busca la solucin en su interior. En este caso existen tres variantes posibles: condicin de Dirichlet, condicin de Neumann y condicin de Robin, que se detallarn en el apartado 4.

En este apartado se analiza cmo se transmite la informacin relativa a la solucin en

las distintas regiones de flujo. Se detalla el fenmeno de propagacin de la solucin para cada uno de los tipos de clasificacin de las EDPS.

Sistemas Hiperblicos.

En la figura 2 se considera un problema hiperblico bidimensional: constituye un contorno del dominio y la solucin U sobre el trozo de contorno AB se propaga en el dominio del flujo siguiendo las superficies caractersticas BA S,S que surgen en AB.

Existe una regin, llamada zona de Dependencia, que delimitan las superficies caractersticas que surgen de A y de B junto con el trozo de contorno AB y que determinan la solucin en el punto P . Asmismo existe una regin, llamada zona de Influencia, en la cual la solucin resulta influenciada por la solucin en el punto P .

Figura 2.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema hiperblico.


Sistemas Parablicos.

En la figura 3 se muestra lo que ocurre en un problema parablico bidimensional.

Figura 3.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema parablico.

En este tipo de problemas ambas superficies caractersticas no tienen ms que una

lnea en comn ( AS ). La zona de Dependencia del punto P se extiende a un lado de la lnea AS y la zona de Influencia ocupa el semiespacio restante.

Sistemas Elpticos.

En la figura 4 se considera un problema elptico bidimensional. En este caso no hay superficies caractersticas y en consecuencia las zonas de Dependencia y de Influencia coinciden y son iguales a todo el dominio del problema.

Figura 4.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema elptico.

La naturaleza del problema a resolver es un aspecto crucial en la seleccin de la tcnica de discretizacin ms apropiada. Hay que recurrir a la teora de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.


3.2.- Consideraciones fsicas. Considrese un problema estacionario de transferencia de calor, en el que se requiere hallar la distribucin de temperatura en una barra de seccin transversal rectangular constante y longitud infinita. El problema es bidimennsional y la ecuacin a resolver es:

0y T

xT

2

2

2

2=

+ (20)

Para resolver el problema la ecuacin debe ser completada con un conjunto de condiciones de contorno. Supngase que se conoce una solucin y que se introduce una perturbacin en un punto P (p.e. un foco de calor). Dicha perturbacin va a ser percibida en todos los dems puntos de la barra. Por tanto, las temperaturas en todos los puntos del dominio estn relacionadas entre s y con las condiciones de contorno. Habr que especificar la temperatura (o el flujo de calor) en todos los puntos del contorno para determinar la solucin. Se trata de un problema de contorno. Ejemplo: se quieren estudiar movimientos de pequea amplitud en un conducto recto. Las ecuaciones gobernantes son:

xP 1

xu u

tu

0 xu

xu

t

=+

=

++

(21)

y la ecuacin de la energa se reduce a la igualdad s = cte (entropa constante). Esto permite relacionar las variaciones de presin y densidad:

x a

xP 2

=

(22) siendo a la velocidad del sonido. Si la amplitud es pequea:

tu

xu u y

t

x u


0 x

a t 2

22

2

2=

(25)

Esta ecuacin diferencial de segundo orden se debe resolver en un dominio espacio-temporal. Considrese de nuevo el efecto de una perturbacin introducida en el dominio; esta perturbacin lgicamente slo afectar a tiempos t ti (donde ti es el instante en el que se produce dicha perturbacin), es decir, slo a una parte del dominio temporal. No se puede pues imponer condiciones de contorno en tiempos despus de tt. En este caso, los puntos del dominio estn relacionados slo con los puntos que pueden influenciarles, y la solucin puede ser obtenida avanzando progresivamente en el dominio temporal (time-marching). Se trata de un problema de valor inicial. o0o A continuacin se describe la naturaleza de algunos problemas de Mecnica de Fluidos: Problemas de contorno (PC).

Flujo estacionario subsnico no viscoso irrotacional. Flujo estacionario viscoso.

Problemas de valor inicial (PVI).

Flujo no estacionario. Flujo estacionario supersnico no viscoso. Flujo en capa lmite.

Problemas hbridos.

Flujo estacionario subsnico rotacional. Flujo estacionario no viscoso irrotacional con zonas subsnicas y supersnicas.


4.- Mtodos de resolucin y naturaleza de las ecuaciones de gobierno. La solucin de un determinado problema utilizando las tcnicas numricas implica los siguientes pasos:

1) El planteamiento inicial de las ecuaciones a resolver (ecuaciones de gobierno con condiciones de contorno apropiadas).

2) La obtencin de los distintos campos de propiedades fluidas. 3) La interpretacin crtica de las soluciones obtenidas (coherencia de resultados y

obtencin de variables macroscpicas, como esfuerzos, rendimientos, etc.). En la figura 5 se muestra un esquema simplificado de todo el proceso.

En este apartado se describe de forma general las distintas posibilidades y se resuelven varios ejemplos prcticos de flujos sencillos.

Figura 5.- Esquema general de los mtodos numricos.


4.1.- Ecuaciones de gobierno, condiciones de contorno y condiciones iniciales. Las leyes que rigen el movimiento de una partcula fluida son conocidas desde mediados del siglo XIX. Son las denominas ecuaciones de Navier-Stokes, que pueden expresarse con distintas nomenclaturas, en distintos sistemas de referencia y con distintas notaciones (ver Aris, 1962; Batchelor, 1967; White, 1979 o Hirsch, 1988; por ejemplo). Para un fluido Newtoniano, se pueden expresar as (Hirsch, 1988): Continuidad:

0udtd =+ G (26)

Cantidad de movimiento:

( )2 ed u u 1(u )u p u u fd t t 3 = + = + + +

G G GG G G G (27) Energa:

( ) f H( E) ( u E) (k T) u W qt + = + + + G G (28) Las ecuaciones 26 a 28 estn obtenidas teniendo en cuenta que cualquier evolucin fsica de un sistema est gobernada por leyes de conservacin. El concepto de conservacin significa que la variacin de una determinada magnitud intensiva o propiedad en un determinado volumen es debida al efecto neto de las fuentes internas de esa magnitud y al efecto del flujo de esa magnitud que atraviesa la frontera del volumen que define al sistema. En el caso de la Mecnica de Fluidos, las propiedades que se conservan son la masa, la cantidad de movimiento y la energa. Algunas veces, en las tcnicas numricas no se intenta resolver estas ecuaciones directamente sino que se adimensionalizan de forma que, por un lado, resulte ms cmodo manejar las ecuaciones sin preocuparse de las unidades y, por otro, se pueda llegar a despreciar trminos por su valor muy inferior al resto de trminos de la ecuacin. Tal y como se ha sealado, eliminar ciertos trminos resulta necesario en casi todos los problemas de Mecnica de Fluidos. Ya sea en su forma dimensional o adimensional, se trata de un sistema de cinco ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales y no estacionarias. Las incgnitas o variables dependientes son la velocidad (3 componentes), la presin, la temperatura, la densidad y la viscosidad. Para su correcta solucin se deber disponer de dos ecuaciones adicionales que relacionen la densidad y la viscosidad del fluido con la temperatura y la presin (ecuaciones de estado). La solucin analtica de estas ecuaciones con las correspondientes condiciones de contorno y condiciones iniciales definira el campo fluido en una geometra cualquiera. Sin embargo, como se ha dicho, es imposible encontrar una solucin analtica exacta de estas ecuaciones.


Condiciones de contorno y condiciones iniciales. De tanta importancia como las ecuaciones de gobierno resultan las condiciones de contorno y condiciones iniciales. En la mayora de los textos dedicados a las tcnicas numricas se concede gran importancia a las discusiones sobre las distintas posibles condiciones de contorno e iniciales. Las condiciones iniciales definen el estado del fluido en el instante inicial considerado como origen para la evolucin temporal (t = 0). Por tanto, para la correcta definicin de un problema se deber conocer el valor que tienen todas las variables en ese instante. Muchas veces, en problemas resueltos mediante tcnicas numricas esto es imposible, con lo que se ha de buscar una alternativa. La ms sencilla y habitual consiste en dar a todas las variables un valor cero, asumiendo que, si se avanza suficientemente en el tiempo, se llega a un estado estacionario, o peridico, independientemente de la solucin inicial, segn las condiciones de contorno sean constantes o peridicas. Tiene como ventaja la sencillez de implementacin, pero tiene una gran desventaja, pues si dicha solucin inicial se aparta bastante de la solucin real, puede dar lugar a problemas de convergencia en cuanto a la resolucin de las ecuaciones. En funcin del tipo de evolucin temporal, se clasifican las ecuaciones diferenciales y, por tanto los problemas de origen, en elpticas, parablicas e hiperblicas. Una ecuacin diferencial se clasifica dentro de un grupo u otro dependiendo de la forma de dependencia espacio-temporal de la evolucin de las variables. Las condiciones de contorno pueden ser de varios tipos. Los ms comunes en la prctica son:

a) Condiciones de contorno tipo Dirichlet. La variable dependiente es conocida en la frontera fsica del problema.

b) Condiciones de contorno tipo Neumann. Se conoce en la frontera fsica del problema el valor del gradiente normal de la variable dependiente.

c) Condiciones de contorno tipo Robin. La condicin conocida constituye una combinacin lineal de los tipos anteriores.

d) Condiciones de contorno mixtas. En unas zonas de la frontera fsica se tienen condiciones de contorno Dirichlet y en otras zonas condiciones del tipo Neumann.

La correcta definicin de las condiciones de contorno constituye una parte fundamental en la definicin de un problema numrico. 4.2.- Discretizacin de las ecuaciones. A lo largo de la historia de los mtodos numricos aplicados a la Mecnica de Fluidos muchas han sido las aproximaciones o formas de pasar del modelo fisico-matemtico al modelo numrico discreto. Las tcnicas modernas se construyen con un requerimiento adicional importante, consistente en la condicin de que el resultado final de la discretizacin sea fcilmente integrable en una arquitectura de clculo determinada. Se indican a continuacin las tcnicas ms comunes que cumplen este requerimiento y que son usadas en las distintas aproximaciones en CFD.


La aplicacin de las leyes bsicas de la Fsica permite obtener las relaciones entre las

distintas variables a travs de un conjunto de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: son las Ecuaciones de Constitucin de la Mecnica de Fluidos (ecuaciones 26 a 28). Por desgracia, debido a su gran complejidad, rara vez es posible resolverlas de un modo exacto (solucin analtica del problema) y es necesario buscar mtodos alternativos que proporcionen una buena prediccin, es decir, mtodos que proporcionen una solucin numrica aproximada. As, la solucin numrica aproximada se obtendr a partir de la resolucin de una serie de relaciones algebraicas obtenidas mediante tcnicas de discretizacin de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En la figura 6 se muestra de forma esquemtica la metodologa propuesta por los mtodos numricos.

Figura 6.- Metodologa utilizada en las resoluciones numricas.


4.2.1.- Consistencia, convergencia y estabilidad. Se dice que el sistema de ecuaciones algebraicas generadas en el proceso de discretizacin es consistente con el sistema original si, cuando el espaciado del mallado tiende a cero, el sistema de ecuaciones es equivalente al sistema en derivadas parciales en cada punto. La comprobacin de la consistencia requiere la sustitucin de la solucin exacta en las ecuaciones algebraicas resultantes de la discretizacin, y la expansin de todos los trminos como series de Taylor en torno a un punto. Para obtener consistencia, la expresin resultante debe estar formada por la ecuacin en derivadas parciales original ms un resto, el cual debe anularse si el mallado se refina.

Se define la convergencia como la capacidad que tiene un conjunto de ecuaciones algebraicas para representar la solucin analtica de un conjunto de ecuaciones diferenciales, si sta existiese. Las ecuaciones se dice que convergen si la solucin numrica tiende a la solucin analtica cuando el espaciado del mallado o el tamao del elemento tiende a cero. Una solucin de un sistema de ecuaciones algebraicas que aproxima un sistema de ecuaciones en derivadas parciales es convergente si la solucin aproximada es igual a la solucin exacta para cada valor de la variable independiente cuando el espaciado en el mallado tiende a cero (numricamente esto se expresa diciendo que x, t 0).

Un conjunto de ecuaciones resulta estable si los valores de las variables implicadas tienden hacia una solucin correcta sin que los errores de clculo en la solucin discreta deformen los resultados mientras se realiza el proceso numrico. El concepto de estabilidad est relacionado con el crecimiento o la atenuacin de errores introducidos en la fase de clculo, pues el ordenador introduce un error de redondeo en cada clculo que realiza. Se utilizan distintos mtodos numricos para obtener una valoracin de dicha estabilidad. Destaca por su mayor flexibilidad el mtodo de las perturbaciones discretas, aunque existe otros muchos, como el de Von Neumann. - Mtodo de las perturbaciones discretas: En este mtodo se introduce una perturbacin en un punto y se observa su efecto en los puntos vecinos. Si la perturbacin se atena a medida que la solucin procede, el esquema numrico es estable. Pero si la perturbacin crece con la solucin, el esquema es inestable. - Mtodo de Von Neumann: Permite establecer la condicin necesaria y suficiente para la estabilidad de problemas lineales. En el resto de casos, el mtodo se aplica localmente, congelando los trminos no lineales, por lo que solo proporciona condiciones necesarias. En el mtodo de Von Neumann, la solucin de la ecuacin en diferencias finitas se desarrolla en series de Fourier; la atenuacin o el crecimiento de las amplitudes de los modos indican si el algoritmo numrico es o no estable. En la prctica se dice que un proceso numrico converge si los valores de las variables en los puntos del dominio tienden hacia unos valores fijos mientras la solucin progresa. Esto es as porque en muchos casos no se puede demostrar matemticamente la convergencia estricta. En el caso de un clculo no estacionario en una turbomquina, la convergencia no


se entiende como la obtencin de un valor fijo para las distintas variables dependientes sino como la obtencin de una variacin peridica de los valores de cada una de estas variables. Teorema de equivalencia de Lax: Dado un problema lineal correctamente planteado y una aproximacin por diferencias finitas que satisface la condicin de consistencia, la estabilidad es condicin necesaria y suficiente para que sea convergente. En la figura 7 se muestra un resumen de los conceptos desarrollados en este apartado.

Figura 7.- Requisitos que han de cumplir las discretizaciones en los mtodos numricos.

4.2.2.- Dificultades asociadas a la naturaleza de las ecuaciones de gobierno. En este apartado, se van a mostrar algunas limitaciones prcticas de la estabilidad de los mtodos numricos y se va a introducir el concepto de problema rgido. Considrese la ecuacin:

d u q u u(0)=1 con q: nmero complejod t

= (29)

Si se discretiza segn un mtodo de diferencias finitas centrado en el tiempo, se obtiene:

n1n1n

uqt2uu =

+ (30) Esta discretizacin particular se denomina mtodo explcito del punto medio (en ingls leap frog). En el apartado 4.5 se ampla el estudio a otros tipos de mtodos utilizados en la prctica. Si se expresa ahora 1nu + en funcin de nu y de 1nu , se puede obtener que el factor de amplicacin () debe cumplir la ecuacin:


01tq22 = (31) que tiene dos races:

( )22,1 tq1tq += (32) y debera satisfacer la condicin ya mencionada de 1 + O(t). Si ahora se aplica el mtodo para q = 1 y t = 0.1, se requiere de dos valores iniciales para iterar. El primero viene dado por la condicin de contorno, es decir: 0.1u0 = (33) y el segundo puede calcularse utilizando alguna frmula aproximada, por ejemplo la simplificacin de una frmula de dos puntos. En la figura 8 se muestra la solucin para los valores u1 = 0.9 (lnea continua) y u1 = 0.85 (crculos). Aparecen oscilaciones que no son permisibles. Se puede observar como el concepto de estabilidad no es suficiente, porque el lmite t 0 no aporta suficiente informacin del mtodo de discretizacin. Se introduce entonces el concepto de estabilidad absoluta, que indica que una solucin debe mantenerse limitada (sin oscilar) para n para un valor finito de t.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t [s]

u [m/s]

Figura 8.- Evolucin de la solucin usando el mtodo del punto medio.

Para una solucin iterativa del problema propuesto, la solucin con estabilidad

absoluta se define como un conjunto z = q t tales que la secuencia de valores un permanezca limitada (sin oscilaciones). Matemticamente, esto implica: 1 (34) Para el mtodo del punto medio, el factor de amplificacin se obtiene segn la ecuacin 32, por lo que 1 = 2 = 1, por lo que la nica opcin de estabilidad es


121 == , es decir, = ei. Sustituyendo este resultado en la ecuacin 32 y resolviendo para z, se obtiene: = seniz (35) Es decir, la regin de estabilidad es el segmento del eje imaginario entre i y +i. Por lo que para q = 1 no es posible obtener un valor de t que proporcione un mtodo con estabilidad absoluta, lo cual explica el comportamiento observado en la figura 8. Sin embargo, el caso del mtodo del punto medio constituye una situacin lmite. Si se considera el mtodo de Euler hacia adelante (forward Euler) y se discretiza la misma ecuacin 29, se obtiene:

nn1n

uqt

uu =+ (36)

de donde se obtiene = 1 + q t. La regin de estabilidad ser ahora el conjunto de los z tales que 1z1 + , es decir, una circunferencia de radio unidad centrada en z = -1, tal y como se muestra en la figura 9. Para q = -1, la solucin numrica del problema permanece limitada (sin oscilaciones) siempre que 2 - t 0 o bien t 2. Esta condicin no es demasiado rgida y limitar el valor de t, pero no a valores demasiado pequeos. Para obtener una precisin suficiente el salto temporal debe estar siempre en torno a una fraccin de la escala de tiempos del problema en cuestin. En este caso, la escala de tiempos mxima admisible resulta ser la unidad (1/ q ).

Figura 9.- Regin de estabilidad para el mtodo de Euler hacia adelante.

Por ejemplo, si se considera la ecuacin diferencial ordinaria dada por el sistema:

=

2

1

2

1

uu

100013

uu

tdd (37)


en el que los coeficientes de la diagonal principal tienen valores tan dispares, y se observa su solucin (combinacin lineal de dos soluciones particulares):

1 3t 100t1 22

u 1 1C e C e

u 0 97 = +

(38)

El segundo trmino decae muy rpido y no se pierde generalidad si en la prctica se desprecia. Sin embargo, el segundo trmino, que corresponde al valor propio q2 = -100 impone un lmite t 0.02. Este ejemplo muestra como siempre resulta ser la menor escala de tiempo la que impone un lmite al salto temporal. Para problemas con grandes rangos de escalas de tiempo, el problema se vuelve rgido y las restricciones pueden hacer muy difcil su solucin utilizando tcnicas CFD. Desafortunadamente, los problemas con escalas de tiempo muy amplias son comunes en la Mecnica de Fluidos. Con el fin de abordar la mencionada limitacin, se deben buscar soluciones que se encuentren limitadas. Para ello sera necesario que la regin de estabilidad incluyera el semiplano izquierdo por completo. Entonces se tendra condicin de estabilidad absoluta o A-estabilidad. Por ejemplo, si se considera la discretizacin de la ecuacin 29 segn un esquema de Euler hacia atrs (backward Euler), se obtiene:

1nn1n

uqt

uu ++ = (39)

En este caso, el factor de amplificacin es 1/(1 q t) y la regin de estabilidad viene dada por 1 z 1 , que se corresponde con el crculo de radio 1 y centrado en z = 1 (figura 10).

Figura 10.- Regin de estabilidad para el mtodo de Euler hacia atrs.


Existe una diferencia clara entre los dos esquemas hacia adelante y hacia atrs. En el primero, la solucin en un instante n+1 se obtiene explcitamente de la solucin en el instante n, realizando operaciones aritmticas. Sin embargo, en el segundo caso, los valores en el nuevo instante aparecen de forma implcita en la solucin de una ecuacin algebraica. Aparece la diferenciacin entre mtodos explcitos y mtodos implcitos. Se puede extraer la conclusin general de que los mtodos explcitos resultan ms econmicos para cada paso temporal. Desafortunadamente, se ha demostrado que los mtodos explcitos nunca pueden ser A-estables. Por lo tanto, la eleccin entre un mtodo explcito o implcito requiere siempre buscar un equilibrio entre la sencillez a la hora de programar y la estabilidad del mtodo. Para problemas en los que no exista demasiada rigidez tales como los de flujos no viscosos, los mtodos explcitos resultan competitivos, principalmente para problemas tridimensionales, por requerir una menor cantidad de informacin almacenada. Por el contrario, para problemas muy rgidos, tales como los flujos con viscosidad predominante o con reacciones qumicas, los mtodos implcitos son generalmente los ms utilizados, a pesar del incremento de necesidades de almacenamiento de las variables que imponen. 4.3.- Mtodos de discretizacin empleados. El objetivo de la discretizacin es sustituir el problema continuo con infinitos grados de libertad en espacio y tiempo por un problema discreto con finitos grados de libertad. En funcin de que la discretizacin se realice en el dominio temporal o en el dominio espacial, se presentan diferentes mtodos de discretizacin: - Discretizacin temporal: Diferencias finitas - Discretizacin espacial: Diferencias finitas Elementos finitos Volmenes finitos Residuos ponderados Se agrupan estos en tres mtodos bsicos en la discretizacin de las ecuaciones de gobierno: diferencias finitas, volmenes finitos y residuos. A continuacin se describen brevemente las tres posibilidades. 4.3.1.- Mtodo de las diferencias finitas. Est basado en la representacin de una derivada mediante una aproximacin por diferencias entre los puntos vecinos. Utilizando los desarrollos en series de Taylor se describen las derivadas como diferencias entre los valores de una variable en varios puntos del espacio o del tiempo. Mediante la aplicacin de tales aproximaciones, el sistema original de ecuaciones diferenciales se reduce a un sistema de ecuaciones algebraicas, que es resuelto mediante tcnicas convencionales.


La discretizacin en diferencias finitas est especialmente ideada para una malla cartesiana. Su extensin a geometras curvilneas ms complejas requiere la transformacin de las ecuaciones de gobierno por medio del correspondiente cambio de base a un sistema de coordenadas que siga la direccin de dichas geometras curvilneas. Una vez realizado el cambio de variable, el mtodo de diferencias finitas es aplicable a resolucin de problemas en dichas geometras (Hoffman, 1988). Considrese una ecuacin en derivadas parciales sobre un dominio rectangular (ver figura 11). Se sustituye el espacio continuo por un mallado (regular): xi, j , yi, j con i = 1...iN j = 1...jM (40) de tal forma que se cumple: xi, j = x i yi, j = y j (41)

Figura 11.- Dominio cartesiano para definir un problema bidimensional dado.

Se define una funcin en los puntos del mallado (i, j): ui, j = u (xi , yj ) (42) A continuacin, se estiman las derivadas en un punto (i, j) por cocientes de diferencias, basados en la definicin de derivada, es decir:

x

y)u(x,-y)x,+u(x=xu

lim0x

(43)

Si x es lo suficientemente pequeo, el cociente de diferencias es una buena aproximacin de la derivada. Existen varias posibilidades a la hora de elegir el cociente de diferencias:


Diferencia hacia delante.

i+1, j i, ji, j

-u u u=x x

(44) Diferencia centrada.

i+1, j i-1, ji, j

-u u u=x 2 x

(45) Diferencia hacia atrs.

i, j i-1, ji, j

-u u u=x x

(46) El error de truncado es la diferencia entre la derivada real y el cociente de diferencias. Se obtiene mediante desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto (i, j). Por ejemplo en el caso de la diferencia hacia adelante:

2 32 3

i+1, j i, j 2 3i, j i, j i, j

u u ux x= + x + + +...u u x 2 3!x x (47)

2 32

i+1, j i, j2 3

i, j i, j i, j

-u x u uu u x= - - + ...x x 2 3!x x

(48) o en el caso de la diferencia centrada:

2 32 3

i+1, j i, j 2 3i, j i, j i, j

u u ux x= + x + + +...u u x 2 3!x x (49)

2 32 3

i-1, j i, j 2 3i, j i, j i, j

u u ux x= - x + - +...u u x 2 3!x x (50)

32

i+1, j i-1, j3

i, j i, j

-u uu u x= - +...x 2 x 6 x

(51) El orden de la discretizacin es la menor potencia del incremento (x en este caso) que aparece en el error de truncado. En la diferencia hacia delante es de primer orden:

x)O(=...+u2x-=E.T. xx (52)

y en la diferencia centrada resulta de segundo orden:

)xO(=...+u6x-=E.T. 2xxx

2 (53)


Una expresin puede ser de primer orden en un punto y de segundo en otro; as la expresin siguiente sera de primer orden para el punto (i, j) y de segundo orden para el punto (1+1/2, j):

) i+1, j i, jx i, j -u u= + O( x)u x (54)

) i+1, j i, j 21x i+ , j2

-u u= + O( x )ux

(55) La discretizacin en un mallado no uniforme puede reducir el orden del error de truncado (ver figura 12).

x i x i+1

i-1 i i+1

x

Figura 12.- Mallado no uniforme unidimensional.

) E.T.+2

x-xxu-u-

xu-u

=

2x-xxu-

xu

=ui1+i

i

1-ii

1+i

i1+i

i1+i

i1+ixx i

(56)

En general, el error de truncado se mantendr de segundo orden si )xO(+x=x 2i1+i (57) es decir, si los mallados son regulares. Otro aspecto que influye en el error de la discretizacin es la distorsin del mallado, es decir, que sus direcciones no sean ortogonales. Considrese el mallado de la figura 13.

i j

i+1 j

i j-1

i j+1

i-1 j

x

yS

Figura 13.- Mallado bidimensional no ortogonal (direcciones x y S).


Supngase que se desea evaluar las derivadas siguientes:

i, j i, j

u uyx y

(58) Entonces:

i, j+1 i, j-1i, j

-u u u=y y

(59)

i+1, j i-1, ji, j

-u u u=S S

(60) Como, por otro lado, se puede deducir a partir de la figura 14 la relacin:

cos

y+sen

x=

S (61)

entonces, se deduce:

i+1, j i-1, j i, j+1 i, j-1i, j

- -u 1u u u u= - cotgx S sen y

(62) Se observa que cuando es pequeo la derivada respecto a x se convierte en la diferencia de dos trminos de gran magnitud, reducindose la exactitud del clculo. As pues se tender a utilizar mallados lo ms ortogonales posible para evitar estos errores. Otro aspecto a destacar de este mtodo es que precisa la utilizacin de mallados cartesianos, aunque las ecuaciones diferenciales originales se pueden expresar en un sistema de coordenadas curvilineas arbitrario. 4.3.2.- Mtodo de los volmenes finitos. Considrese una ecuacin genrica en derivadas parciales que proviene de una ley de conservacin integral:

u + F = Qt

(63) Integrando para un cierto volumen

,dQ=dF+du

t (64)

Por ejemplo, para la ecuacin de continuidad se tiene:


0=Q;u=F;=u (65) La ley integral utiliza flujos en el contorno de en la figura 14. Por tanto, esta formulacin posee la siguiente propiedad:

1ABCt

+ = v v (66)

2BDEt + = v v (67)

3ADEt

+ = v v (68)

= + +1 2 3

1

2

3 A

B

C

E

Figura 14.- Dominio bidimensional .

Sumando la contribucin de los tres trminos anteriormente descritos, los correspondientes a los flujos sobre los contornos internos se anulan, y se obtiene conservacin global en . Siempre que la discretizacin satisface esta propiedad se llama conservativa. Adems, si se cometen errores en la evaluacin de los flujos en fronteras interiores, la conservacin global no se ve afectada. Ejemplo: Sea la ecuacin:

q=x

f(u)+tu

(69)

la correspondiente formulacin cuasi-lineal es

uf=a siendo q=

xua+

tu

(70)

Considrese un mallado regular y una discretizacin centrada, como la de la figura 15.


x

i-1 i i+1

xi-3/2 i-1/2 i+1/2 i+3/2

Figura 15.- Discretizacin unidimensional centrada.

Se tienen las siguientes aproximaciones:

Punto i: q=x

ff+

tu

i21i

21+i

i

(71)

Punto i+1: q=x

ff+

tu

1+i21+i

23+i

1+i

(72)

Punto i-1: q=x

ff+

tu

1i23i

21i

1i

(73)

Sumando las expresiones 71 a 73 y dividiendo y dividiendo por 3, se obtiene:

3

q+q+q=

x3

f-f+

3u+u+u

t1+ii1i2

3i23+i

1+ii1i

(74)

Esta expresin representa una discretizacin aplicada al elemento comprendido entre los puntos i-3/2 e i+3/2. Si se considera la formulacin cuasi-lineal:

Punto i: q=x

u-ua+t

ui

21i

21+i

ii

(75)

Punto i+1: q=x

u-ua+t

u1+i

21+i

23+i

1+i1+i

(76)

Punto i-1: q=x

u-ua+t

u1-i

23i

21i

1-i1i

(77)

Sumando, reordenando y llamando:2

a-a=a 2

1i21+i

i

, se obtiene:

3u + u + u

t1+ii1i +

2

a-a23-i

23+i

x3

u-u23i

23+i

-

3

q + q + q 1+ii1i =


x3

u-u

2

a-a

x3

u-u

2

a-a23i

21+i

21i

23+i

21i

23+i

23i

21+i

+=+

(78)

Una discretizacin directa de la ecuacin cuasi-lineal sobre el elemento comprendido entre i-3/2 y i+3/2 habra proporcionado la parte izquierda de la ecuacin. Se aprecia que la discretizacin de la formulacin no conservativa produce trminos extra. Dichos trminos se pueden considerar una discretizacin de segundo orden de un trmino proporcional a: 2 x x x xxxx [( - ])a u a u (79) en el punto i. Para flujos continuos, estos trminos son del mismo orden que el error de truncado, y pueden ser despreciados; pero pueden producir grandes errores cuando hay discontinuidades, como en el caso de existir ondas de choque. o0o

Las discretizaciones conservativas son la base del mtodo de los volmenes finitos. Este mtodo constituye la tcnica ms comnmente empleada en la discretizacin de las ecuaciones de constitucin. Se desarroll para resolver especficamente problemas de transferencia de calor y de mecnica de fluidos (Patankar, 1980). Parte del hecho de que las leyes bsicas de la mecnica de fluidos son leyes de conservacin y pueden ser expresadas en forma de balances macroscpicos de las distintas variables. En primer lugar se define una divisin del dominio en celdas que no se superpongan unas con otras. Normalmente se usan figuras geomtricas sencillas, que constituyen el mallado del dominio a estudiar. A continuacin se aplican los balances de los flujos de las distintas variables en los volmenes construidos a partir del mallado definido. En general stos no tienen porque coincidir con las celdas del mallado, pudiendo ser conjuntos de celdas o encontrarse desplazados con respecto a dichas celdas. Para cada uno de los volmenes el balance de los flujos de una determinada variable proporciona informacin sobre el valor medio de dicha variable en el interior del mismo. Desde un punto de vista prctico, el mtodo consiste en ir sustituyendo las integrales de la ecuacin general de conservacin por sumatorios sobre las caras del volumen, que indicarn la forma de variacin de dicha variable para cada volumen elemental, llegndose a la expresin:

( ) n1

Variable (Flujos = + Trminos fuentet (80)

donde es el volumen de cada volumen, n es el nmero de las caras del volumen y los trminos de flujo se evalan en la direccin normal de cada cara.

Los valores de las distintas variables en las caras (superficies o lados) de los distintos volmenes no son conocidos y se requiere algn tipo de interpolacin numrica para su clculo. La eleccin de los volmenes, as como la de las interpolaciones, dan lugar a una gran variedad de mtodos (Hirsch, 1988; Degrez, 1994).


El mtodo de los volmenes finitos constituye el mtodo ms flexible, bajo el punto de vista geomtrico, para la discretizacin de las ecuaciones de gobierno. A continuacin se exponen los distintos pasos (Versteeg, 1995) que este tipo de mtodos emplea en la discretizacin de las ecuaciones de gobierno para flujo incompresible no estacionario: a) Discretizacin de los trminos difusivos en la ecuacin de la energa. Cuando se presenta un problema en el que no existen trminos convectivos, debidos a la velocidad del flujo, la resolucin de las ecuaciones es inmediata. Este paso es previo en la utilizacin de este tipo de mtodos. b) Discretizacin de los problemas con trminos convectivos y difusivos. El principal problema para la aplicacin de este mtodo consiste en la definicin del valor de la variable considerada en la frontera del volumen de clculo. Mientras que en el caso de los trminos difusivos la influencia de las celdas prximas es idntica (sin direcciones predominantes), los trminos convectivos se ven afectados por el flujo (mayor influencia de las celdas aguas arriba que el de las situadas aguas abajo). El tipo de interpolacin usada condiciona la estabilidad y convergencia del mtodo. Se utilizan mtodos centrados, mtodos que consideran el predominio de las posiciones aguas arriba y mtodos de orden superior (QUICK). c) En el caso de los flujos incompresibles hay que aadir un algoritmo adicional para poder obtener los campos de presin y velocidad. Este consiste en un proceso iterativo basado en la solucin de los campos de presin y velocidad para un determinado instante, de forma que se asegure la verificacin de la ecuacin de continuidad. Normalmente se usan algoritmos del tipo SIMPLE (Patankar, 1980), MAC (Ikohagi, 1991) o PISO (recomendado para clculos no estacionarios en mallados altamente distorsionados, Versteeg et al., 1995). Este esquema se puede aplicar tambin a flujos compresibles. d) Cuando el flujo considerado es no estacionario, se precisa una discretizacin temporal y la solucin de las ecuaciones con una determinada precisin temporal condicionar la validez de la solucin. Algunas tcnicas utilizadas en la prctica se comentan en el apartado dedicado a las discretizaciones temporales. Siguiendo los pasos descritos se llega a la definicin de un sistema de ecuaciones lineales, cuya solucin definir los valores de las distintas variables consideradas. Algunos ejemplos de aplicacin de este tipo de tcnicas pueden encontrarse en Jameson (1981), Walker (1990) o Rosenfeld (1991). A continuacin se define mediante un ejemplo lo que se entiende por discretizacin conservativa para pasar despus a exponer la tcnica de volmenes finitos. Las ventajas de este mtodo son: - Aplicable a leyes de conservacin - Admite dominios arbitrarios - La discretizacin es conservativa Existen dos formas de aplicar el mtodo, dependiendo de donde se definen las variables: centrado en las celdas (cell centered) o centrado en los vrtices (cell vertex).


1) Centrado en las celdas. Las variables son representativas del elemento. i) Se divide el dominio en volmenes finitos i con contornos i (figura 16). Se deben cumplir las siguientes reglas bsicas:

- La unin de todos los elementos debe cubrir el dominio completo - Cada contorno de cada volumen finito debe ser comn a dos volmenes - Las incgnitas se definen en el centro del volumen finito

ii) Se discretiza la ley de conservacin integral para cada volumen.

u d F d Q dt

i i i

+ =

G G

(81)

i

Figura 16.- Dominio discretizado para la resolucin

segn la tcnica de volmenes finitos. Discretizando:

ii iiu F Q t lados

+ = G G

(82)

El flujo a travs de un contorno debe ser calculado mediante una frmula independiente del volumen a que pertenezca (figura 17): ABAB AB= ( , )gfF

G (83)

2

g+g=g,2

f+f=f

jiAB

jiAB (84)


O tambin:

2

u+ug=g,2

u+uf=f

jiAB

jiAB (85)

Qyx=x)g-g(+y)f-f(+tu

yx jiADBCCDABji

(86) Ejemplo: Mallado rectangular de la figura 18, donde = x y y F = f nX + g nY.

i j

A

B

Figura 17.- Dominios adyacentes.

Figura 18.- Mallado bidimensional rectangular.

Como se cumple: fAB = fi + , j fCD = fi - , j gBC = gi, j + gAD = gi, j - (87) fAB = fi +

area de mecanica de fluidos - universidad de oviedo

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