REAL ARCO, EL GRADO DEL.

Con excepción del grado del Maestro, no existe otro grado en la Masonería tan extensamente difundido, o que sea tan importante en su valor histórico y simbólico, coma el Arco Real, o, como se le ha llamado, flor razón de su significación sublime el ‘Arco Real Sagrado” Dermott le llama ‘la raíz, corazón, y esencia de la Masonería,” y Oliver dice que es “indescriptiblemente más augusto, sublime, e importante que cualquiera que le precede, y es, en efecto, la cima y perfección de la Masonería Antigua.” Se encuentra, efectivamente, en cada uno de los Ritos, en alguna forma modificada, y algunas veces bajo nombre diferente, pero conservando siempre esas mismas relaciones simbólicas de la Palabra Perdida que constituyen su carácter esencial.

Cualquiera que estudie cuidadosamente el grado del Maestro en su significación simbólica, sé convencerá que se encuentra en una condición mutilada, es decir que es imperfecto e incompleto en su historia, y que, terminando bruscamente en su simbolismo, deja a la mente en espera de algo más que es necesario a su perfección. Esta deficiencia la suple el grado del Arco Real. Así es que, cuando tuvo lugar la unión en Inglaterra, en 1818, entre las dos Grandes Logias rivales, no obstante que existía una disposición hereditaria y vigorosa en la parte de los Masones Ingleses con el fin de preservar la simplicidad del Antiguo Rito de York limitando a la Francmasonería a los tres grados simbólicos, fué necesario definir la Masonería del Orden antiguo como consistente de tres grados, incluyendo el Arco Real Sagrado.

   Hubo un tiempo en que el Arco Real no existía como grado independiente, sino que era una parte complementaria del grado del Maestro, al que dio la necesaria realización. Ramsay lo introdujo en los grados superiores del continente; Darrnott lo creó y estableció para el uso de su Gran Logia; y que Dunckerley se dice lo desunió del tercer grado en la Gran Logia Legal de Inglaterra. El método preciso y época de su separación después de haber sido establecido por tercera vez, como grado independiente en Inglaterra y América, constituye una parte importante e interesante de la historia de la Masonería.

Es evidente que la existencia del Arco Real como grado independiente y distinto, data de una época comparativamente moderna. En ninguno de los registros antiguos manuscritos de la Masonería existe la referencia más insignificante de él, a la vez que Anderson no lo menciona de ningún modo en su historia de la Orden. La palabra verdadera, que constituye el carácter esencial del grado del Arco Real fué encontrada por el Dr. Oliver en un retablo antiguo del Maestro Masón de fecha aproximada al año 1725 por lo que concluye así (Orden de Inglaterra R A., p. 20) “que la palabra, en esa época no había sido apartada del tercer grado y transferida a otro” en otras palabras, que el grado del Arco Real no habría sido construido entonces. El período último en que se menciona en Inglaterra que él pudo encontrar, fué en el año 1740. exactamente dos años después de que aconteció el cisma que separó la Logia antigua de la Gran Logia Moderna, uso los títulos generalmente aceptados, sin ninguna referencia a su propiedad y atribuye su formación al cuerpo anterior. Stone, (Cartas Sobre la Masonería, p. 50,) que posee un conocimiento perfecto de la historia

Masónica, atribuye su origen al Capitulo Primordial de Arras. Pero ese cuerpo fué establecido por el joven Pretendiente en 1747, y Oliver, como se demuestra, reconoció la existencia del grado en Inglaterra siete años antes, Sin embargo, la verdad es que, Ramsay, mucho antes habla incorporado el grado del Arco Real bajo un titulo diferente en sus grados superiores, y no hay duda que Dertnott, que fué realmente el inventor del sistema Inglés, debía a él muchas de sus ideas lo mismo que aconteció posteriormente a Dunckerley cuando compuso el Arco Real para la Gran Logia Legal pero el sistema de Ramsay era muy diferente en sus detalles principales al de ambos. Ramsay, hacia la época de la innovación de Dermott, había visitado Inglaterra, e intentado introducir sus grados superiores, los que fueron rehusados por la Gran Logia Legal y hay muchas razones para creer que él comunicó a la Masonería separatista una parte principal de las invenciones que él había implantado en la Masonería del continente.

  Oliver dice que el Arco Real que fué inventado por los separatistas, “aunque contenía elementos de sublimidad suprema, era imperfecto en su construcción y poco satisfactorio en su resultado lo cual demostraba, por el estado imperfecto e informa en que se encontraba entonces, que el grado estaba en los primeros años de su infancia, Los anacronismos que tenía en abundancia, y el estilo negligente en el que sus partes se encontraban dispuestas, revelaban su origen reciente.  Realmente, no cabe duda que fué un atentado, el combinar varios de los grados continentales de la Masonería sublime en uno solo, sin atender al orden del tiempo, propiedad y estilo conveniente en su disposición, o cualquiera otro principio fundamental; y por esta razón encontramos en el grado, tal como fué construido originalmente, una confusión insuperable del todo en los acontecimientos que se conmemoran en el Arco Real de Ramsay, los Caballeros del Arco Noveno, del árbol Ardiente, del Oriente o la Espada, de la Cruz Roja. el Compañero Masón Escocés. el Maestro Selecto, la Espada de la Cruz Roja de Babilonia, la Rosa Cruz, etc,”

 Como a fines del año de 1758, la Gran Logia Constitucional no tenía grado del Arco Real, pues en ese año el Gran Secretario declaró que nuestra sociedad no es Arco Antiguo ni Arco Real ;‘ y en la lectura del tercer grado preparado por Anderson y Desaguliers dice que “lo que existía perdido se ha encontrado ahora,” lo cual significaba, dice Oliver, que la palabra del maestro masón se otorgó al Masón recientemente ascendido en las últimas ceremonias del tercer grado, lo cual prevenía la necesidad del grado del Arco Real.

  Pero hacia el año 1770, Tomás Dunckerley, que había sido autorizado por la Gran Logia Constitucional, o los “Modernos,” para inaugurar un nuevo sistema de lecturas, comenzó sus modificaciones del antiguo sistema, las que se han practicado hasta la fecha y que consisten en separar la palabra del Maestro del tercer grado, Esto dio origen a la necesidad de un nuevo grado; por lo que Dunckerley, copiando de Ramsay, de Dermott, y de su propia invención, fabrico el grado del Arco Real para los Masones Modernos; siendo una Innovación violenta, cuyo éxito se debe únicamente a su gran popularidad que tenía en la Orden y la influencia del Gran Maestro. Oliver cree, por buenas razones, que la introducción del grado del Arco Real en el sistema Moderno no podría haber sido anterior a la dedicación del Salón de los Francmasones en 1776.

Diez años después de que los reglamentos del grado fueron establecidos por primera vez, y en que la unión de las dos Grandes Logias en 1813, tuvo lugar, fué reconocido formal y oficialmente el Arco Real Sagrado, como una parte de la Masonería del Orden Antiguo, el que ha permanecido desde entonces en dicha forma.

El resultado de nuestras investigaciones, en las que hemos confiado principalmente en la autoridad del inteligente Oliver, es que, hasta el año 1740, el elemento esencial del Arco Real constituía parte componente del Grado de Maestro, y era, por supuesto, su parte concluyente; que como grado no fué reconocido del todo siendo solamente el complemento de uno; y que en la época en que fué separado de su relación original y elevado a la posición e investido con a forma de un grado distinto por el cuerpo que se llamaba ‘la Gran Logia de Inglaterra según las Antiguas Constituciones,” y que se conoce familiarmente tomo la Logia de Dermott o la Gran Logia Athol, y frecuentemente corno ‘los Antiguos;” que en 1776 un grado semejante construido por Dunckerlev, fué adoptado por La Gran Logia Constitucional. o los “Modernos,” y que en 1813 fué reconocida formalmente como parte del Rito de York por a Gran Logia Unida de Inglaterra.

En América, la historia del grado siguió a la del sistema inglés. Como la mayor parte de las Logias americanas derivaban sus Patentes de la Gran Logia Athol, el Arco Real debe haber sido introducido en el momento de su constitución, El gobierno del grado estuvo por mucho tiempo bajo las ordenes de las Logias del Maestro, y muchos años transcurrieron antes de que fuese conducido de ahí y colocada bajo el control de cuerpos distintos llamados Grandes Capítulos. En América, no fué sino hasta 1798 en que se fundó el Gran Capitulo y muchas Logias persistieron por algunos años en que les fuese conferido el grado del Arco Real bajo La autoridad de sus Poderes de Las Grandes Logias.

Conservado en todas partes la identidad en su significación simbólica, el Arco Real varia en diferentes países en sus detalles históricos.

El grado de Ramsay, del que se originaron todos los sistemas continentales, es enteramente diferente del que se practica en la Gran Bretaña, en Irlanda, y en los Estados Unidos.

Su representación puede encontrarse en el grado décimo-tercero, o Caballero del Arco Noveno del Rito Escocés Antiguo y Aceptado.

En Inglaterra, Escocia. y los Estados Unidos, la circunstancia en la que se funda el grado, o, en el lenguaje técnico, la leyenda, es la misma; pero La organización preliminar es diferente en cada país.

En Inglaterra en 1834 se hicieron varios cambios considerables en las ceremonias de exaltación, pero se conservaba el diseño general del sistema. El grado es el cuarto en la serie masónica, y el Maestro Masón que ha permanecido así por doce meses, es elegible para la exaltación. Los oficiales principales del Capítulo ingles son: los tres Principales, Zorobabel, Haggai, y Joshua; tres Residentes Templarios y dos Escribas,

Ezra, y Nehemiah un Tesorero y un Bedel.

En Escocia, los grados preliminares son; los de Maestro super-Excelente, Excelente, Ex-Maestro. y Marcador, y los oficiales principales son los mismos que en Inglaterra.

En Irlanda, la leyenda era anteriormente diferente de la de Inglaterra, y fundada en sucesos registrados en las Crónicas del Segundo Libro (xxxiv p. 14,) en donde se dice que Hiliiah “encontró el libro de la ley de Dios dado por Moisés.” La fecha de este grado era por Lo tanto el año 624 A. C., o sea noventa años después que la nuestra. Los grados preliminares a calificativos eran: Super Excelente y Excelente y Ex-Maestro. Pero el sistema irlandés fué alterado hace algunos años, y se adoptó un nuevo Rito, algo semejante al americano. Los oficiales no difieren materialmente de los del Capitulo inglés y escocés.

En América, la leyenda es la misma. tal como la inglesa, aunque varía en algunos de sus detalles. Los grados preliminares son: Maestro Excelentísimo, Ex-Venerable y Aprobado; y los oficiales principales son: Sumo Sacerdote, Rey, Escriba, Capitán de la Hueste, Viador Principal Capitán del Arco Real, y los Tres Grandes Maestros de los Velos.

Corno ya he dicho, como quiera que la leyenda o base histórica variase en los diferentes Ritos. en todos ellos era idéntica la significación simbólica del Arco Real. Por lo mismo, la Construcción del segundo Templo, que es un símbolo tan prominente en los sistemas inglés y americano, y enteramente conocido de igual modo en el continental, no puede considerarse como punto esencial en el simbolismo del grado. Es importante en los sistemas en que se encuentra, pero no es esencial. El verdadero simbolismo del sistema del Arco Real se funda en el descubrimiento de la Palabra Perdida.

Nunca es por demás e! repetir que la PALABRA es, en la Masonería, el símbolo de la VERDAD. Esta verdad es el gran objeto que persigue la Masonería el principio y tendencia de todas sus investigaciones la recompensa prometida a todos los esfuerzos masónicos, y que se busca diligentemente en todos los grados a que se aproxima constantemente pero nunca se comprende perfectamente e íntimamente, hasta que al fín, en el Arco Real, los velos que cubren el objeto de nuestra investigación se descubre ante nuestra vista, y se revela el inestimable premio.

Esta verdad, que es el gran objeto de las investigaciones de la Masonería, no es precisamente la verdad de la ciencia, o la verdad de la historia, pero es la verdad más importante que es sinónimo del conocimiento de la naturaleza de Dios, es esa verdad que se encuentra en el Tetragrama Sagrado, o nombre omnipotente, comprendiendo su significación su existencia eterna, presente, pasada y futura, a la que alude al declarar a Moisés, me he presentado a Abrahan, Isaac y a Jacob por el nombre de Dios Omnipotente; pero no me conocían por mi nombre de Jehová.

    El descubrimiento de esta verdad es entonces, el simbolismo esencial del grado del Arco Real. Donde quiera que se practique, y bajo algún nombre peculiar el grado se

encuentra en todos los Ritos de la Masonería; este simbolismo permanece. Pero no obstante, la leyenda puede variar, las ceremonias de recepción y los pasos preliminares de iniciación pueden diferir, pero la consumación es siempre la misma el gran descubrimiento que representa el conocimiento de la VERDAD.

Enciclopedia de la Francmasonería.- A. Gallatin Mackey

La Masonería Simbólica se relaciona con los hechos y circunstancias asociados a la construcción del Templo del Rey Salomón, que fue el primer lugar fijo de veneración al Dios de Israel, luego de muchos años de devoción en Tabernáculos. El Templo de Salomón fue también el lugar donde se depositó el Arca de la Alianza luego de la peregrinación por el desierto. En estos tiempos se afirmó: "Él construirá una Casa en mi Nombre y yo estableceré el trono de su Reino por siempre". Para el Masón, el significado de este enunciado es que él mismo, en su propio ser, deberá levantar una superestructura, "perfecta en sus partes y honorable para el constructor".Por otra parte, y como sabemos, el Tercer Grado de la Masonería Simbólica, o del Antiguo Gremio narra, en la lógica del simbolismo, algunos momentos vividos durante el proceso de construcción de dicho Templo y en los cuales los protagonistas relevantes fueron el propio Rey Salomón, Hiram Rey de Tiro y un arquitecto mítico denominado Hiram Abiff, —auténtica figura legendaria y alegórica de las enseñanzas iniciáticas—. Durante estos sucesos, T. CC.

ingratos deseosos de obtener la Palabra del Maestro, apelativa del conocimiento iniciático, tratan de obtenerla por la fuerza sin más mérito que la amistad con Salomón y con Hiram Abiff. Pero éste, celoso de la tradición, se niega a proporcionarla llevándosela a la tumba ante los embates de los compañeros traidores sin obtener satisfacer su ambición. Aparentemente, la verdadera Palabra iniciática queda para siempre en la Tumba sin poder ser conocida por los hombres, pero el Rey Salomón, Hiram Rey de Tiro e Hiram Abiff, previendo y conociendo la ambición y las pasiones humanas, la habían inscrito en una piedra, la cual ocultaron en una bóveda secreta indicando que tal Palabra no podría ser pronunciada sino por los tres reunidos y bajo un A. V., y una vez concluido el Templo.El Grado del Real Arco es la consumación y a la vez el complemento perfecto del Tercer Grado de la Masonería del Antiguo Gremio, y puede decirse con toda propiedad simbólica, que ningún Maestro Masón está completo si carece de este grado, pues no existe rito masónico alguno que haga referencia a este misterio. Por esta razón, el Real Arco es la progresión natural en la Francmasonería, toda vez que provee al iniciado la obtención de los "auténticos secretos" y no los secretos substitutivos que se comunican durante

la ceremonia de la Exaltación. En Inglaterra, el Real Arco es el complemento de la Logia Azul, y como tal forma parte integral de la Masonería Simbólica Inglesa.En efecto, el Maestro Masón estudioso y convencido de que la Francmasonería es algo más que ceremonias formales, está ansioso de realizar un progreso diario en el conocimiento Masónico y clama por más Luz en Masonería. Esta luz adicional se deriva del hecho de considerar que el Tercer Grado nos deja la huella de la curiosidad y la perspectiva de hay algo más que debemos conocer y no quedarnos con secretos sustitutos derivados de los hallazgos obtenidos al descubrir los restos de Hiram. Por ello la belleza simbólica del Real Arco y la posibilidad de descubrir, a través de él, la Palabra verdadera.

Antigüedad del Real ArcoEl Real Arco, que en América se encuentra consignado en los Capítulos del Rito de York, apela a la forma más antigua de la Masonería especulativa hoy conocida en el mundo entero. No existe testimonio más remoto de lo que pudo haber sido el trabajo simbólico especulativo en las Logias inglesas y americanas que el Real Arco, pues como sabemos las formas de ritualidad que en México y en América Latina denominamos

como “rito escocés”, no son sino esquemas litúrgicos franco americanos, es decir, formas ritualísticas creadas —o inventadas— en Francia y adoptadas exitosamente en los países hispanoamericanos. La Masonería de York data del año 926, A. D., precisamente en los tiempos del Rey Athelstan, del condado y hoy ciudad de York. Por su parte, la primera referencia impresa a la Masonería del Real Arco aparece en Dublín (Irlanda) en 1743, en un diario conteniendo un informe de..."el Real Arco llevado en procesión por dos Excelentes Masones". Lawrence Dermott, el segundo Gran Secretario de los masones "Antiguos" o de York, fue siempre un entusiasta del Real Arco, al que describió como "la raíz, corazón y médula de la Masonería".El Real Arco que conocemos aquí nos viene de los Estados Unidos, el cual a su vez proviene de Inglaterra y nos brinda, con una belleza sin igual, los elementos esenciales de la Masonería gremial. En Inglaterra el Real Arco forma parte de la Maestría, y no es sino en los Estados Unidos que se ha decidido, desde finales del siglo XVIII, trabajarlo en Capítulos por separado. Mucho queda por decir de este hermoso grado. Mucho queda por reflexionar de la armonía exquisitamente simbólica y espiritual del Rito de York. S. al S.

Catenaria: Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos y que se encuentra sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarĭus, propio de la cadena. Es la curva que se observa, forman los cables del tendido eléctrico de alta tensión, entre dos torres de apoyo.

Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La involuta de la catenaria es la tractriz.

Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación de la catenaria. En la siguiente imagen se puede apreciar la diferencia entre las dos curvas, que están desplazadas al origen de coordenadas.

La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva. Una curva catenaria invertida es el trazado perfecto para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Antoni Gaudí. La forma que toma un cable que esta tendido de dos postes a la misma altura, es la de una catenaria. Asimismo, la curva catenaria es la que describe una cuerda, cable o hilo, de longitud finita y densidad constante sostenido por dos puntos; por ejemplo, es la curva que describe un cable eléctrico entre dos apoyos o postes.

"El arco catenario es la forma que adopta una cadena cuando se cuelga de dos puntos y sólo soporta su propio peso. Si la carga que soporta es horizontalmente uniforme, al colgarla de dos puntos adopta la forma de parábola."

El arco catenario fue la fórmula aplicada por Gaudí al diseñar la maqueta de la iglesia de la Colonia Güell., y más tarde su último gran proyecto estructural: la nave y las torres del templo de la Sagrada Familia. Es algo sencillo pero a la vez brillante... con un sistema de pesos y cadenas podía reproducir "invertido" el mismo modelo que luego se elevaría hacia el cielo. Los términos físicos se escapan a mentes sencillas como la mía, pero lo fundamental y fascinante de la idea ha quedado en mi: los pesos que en términos físicos crean las parábolas que "se hunden" hacia abajo, si lo miras del revés, determinan las cúpulas que se alzan hacia el cielo....nuestras vidas se rigen por arcos catenarios, dependiendo del peso de nuestra capacidad de "sentir", de la sensibilidad y la forma de experimentar cada situación, de vivir eso, cada sentimiento. El mismo

peso que hoy nos hace hundirnos por el dolor, la pérdida o la angustia, es el que proporcionalmente nos elevará mañana hacia arriba, hacia la luz y el amor. Hay quien sus arcos catenarios son extremadamente poco pronunciados: apenas se sumergen cuando la vida se torna gris, pero tampoco asoman demasiado la cabeza del agua cuando las cosas vienen mejor. Y hay quien, a pesar de hundirse profundo cuando lo que le rodea de verdad duele, también roza con su cabeza las estrellas cuando el mundo ¡y sobre todo el amor! le sonríe.

Muchas veces en lo sencillo, en lo simple está la respuesta y la genialidad.Gaudí copiaba de la naturalesa, se fijaba en cada árbol, cada raiz, cada flor, cada semilla y de allí sacaba sus increibles ideas, decia que en la natuleza ya está todo inventado.

La genialidad no tiene por que ser una fórmula perfecta de física cuántica. Es genial un recipiente de barro que moldea un aborigen con sus manos.

De la misma forma nuestra vida va formando esos arcos catenarios más grandes o más chicos en función a los centímetros de cadena que le pongamos, eso es cosa nuestra yn que vistos al revés formarán torres altas o bajas, dependiendo de que metas o que ilusiones le pongamos en la vida.

Se denomina catenaria la curva que describe una cadena suspendida entre dos puntos situados a la misma altura. Por ejemplo se llaman catenarias a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, no por el cable conductor de la electricidad, sino por el cable superior que le sustenta entre dos postes del tendido. La catenaria tiene la característica de ser el lugar geométrico de los puntos donde las tensiones horizontales de un cable se compensan por lo que el cable no tiene tensiones laterales, el cable no se desplaza hacia los lados y a las fuerzas que padece se reparte entre una fuerza vertical (la de la atracción terrestre) y una tensión tangente al cable en cada punto que lo mantiene estirado..

De igual forma, en un arco que adquiera la forma de una catenaria, la tensión que padece el arco en cada punto, se reparte entre una componente vertical que será lo que tenga que sustentar el propio arco y una componente de presión que se transmite por el propio arco hacia los cimientos sin que se creen esfuerzos horizontales, salvo en el extremo llegando ya a los cimientos.

Esta propiedad, distintiva y única de este tipo de arcos, hace que no necesiten apoyo a los lados del arco para sustentarse y evitan que tiendan a abrirse. En las capillas románicas eran necesarios gruesos muros a los lados de puertas y ventanas para mantener los arcos de medio punto sin que se agrietara. Tampoco los arquitectos medievales consiguieron

encontrar la forma perfecta de transmitir los esfuerzos laterales y pese a que los arcos ojivales se aproximan más a la forma de la catenaria, aun necesitaron apoyar sus arcos en fuertes arbotantes exteriores que absorbían y trasladaban las tensiones horizontales hacia los cimientos.

Los arquitectos del renacimiento tampoco supieron encontrar la solución, La cúpula de San Pedro, diseñada por Miquel Ángel, está rodeada en su base por una fuerte cadena de hierro a modo de cincha, porque una vez construida comenzó a agrietarse debido a estas fuerzas horizontales creadas por el peso de la cúpula.

Tenemos que llegar al modernismo del siglo XIX para que arquitectos como Gaudí recapaciten que no necesariamente las líneas verticales absorben mejor las tensiones. Muchas de sus obras, desde la Sagrada Familia, a la casa Batlló, la Pedrera, o el parque Guell, enseñan en las fachadas o ocultan en sus sótanos o en sus azoteas, arcos de catenaria que desvían el peso de las cubiertas dejando amplias zonas abiertas..

Otro arquitecto catalán como Gaudí y contemporaneo suyo, participa de las mismas inquietudes, y es difícil saber cual de los dos influyo en el otro. Se trata de Luis Mancunill, arquitecto más desconocido del público, pues el resplandor de la figura de Gaudí, ensombrece la de otros arquitectos modernistas y además gran parte de su obra se desarrollo en Tarrassa y en a la construcción de centros fabriles, ciudad y obra menos atractiva para los críticos que Barcelona y los palacetes y templos. De él es el edificio que abre el artículo la Masía Freixa, una joya del Modernismo construida en 1896 como fábrica y transformada en residencia de la familia Freixa en 1907.

Lo que parecen caprichos y arabescos de un arquitecto barroco con arcos extraños y columnas torcidas, ocultan concienzudos estudios en la búsqueda de la forma más racionalistas para las estructuras de sus edificios.

Se conserva una fotografía del estudio que hizo Gaudí para diseñar la Capilla de la Colonia Guell. Con gran paciencia fue realizando con cadenas una copia invertida a escala 1/10 de la visión que el tenía de lo que el quería construir. A la estructura inicial fue añadiendo pequeñas cadenas con pesos proporcionales a los torreones que el deseaba que decoraran el edificio. El resultado obtenido lo fotografiaba y a partir de las fotografías diseñaba los planos de construcción, resulta curioso comparar el estudio con el boceto de la capilla pintado por Gaudí.

Rotos los prejuicios, otros arquitectos han utilizado el arco catenario en sus edificaciones. Calatrava lo utiliza abundantemente en sus edificios de la Ciudad de las Artes y las Letras de Valencia, así como en numerosísimos puentes. Así como es muy conocido el arco que de una forma simbólica marca la puerta de la “Conquista del Oeste” el Gatewey Arch de la ciudad de Missouri, de 192 m. de altura del arquitecto Eero Saatinen.

Lo que en Occidente nos ha costado siglos aprender, era en cambo un conocimiento común en la arquitectura del Islam. la cúpula Mezquita de la Roca de Jerusalén se aproxima mucho a una cúpula catenaria perfecta.

En esto no hacían más que seguir la arquitectura tradicional del Sudán, país donde la madera es tan escasa y valiosa, que no se puede utilizar para construir las viviendas de los pobres. Los sudaneses encontraron la forma de construir amplias habitaciones circulares con forma de cúpula catenaria, con solo adobe y sin necesidad de entibar, pues durante el momento de la construcción sufre tan poco empuje horizontal, que los adobes se mantienen en su posición simplemente con el rozamiento de los ya instalados y sus compañeros de hilada y una vez cerrada la cúpula, estas adquieren una resistenxia extraordinaria.

Se cierra así una práctica que une lo mas ancestral, con lo más moderno. Las centrales nucleares suelen cubrir el reactor con una cúpula catenaria por la misma razón, la posibilidad de construirlas sin andamiaje que la sustente.

El desarrollo de la fórmula matemática de la curva catenaria es sus tres primeros términos de potencia es igual al de una parábola (y = a+ bx+ cx2) y solo a partir de aquí difiere con términos de potencia de x elevados a 4 o más, por ello, catenaria y parábola difieren poco en valores bajos de x, es decir cerca del “morro” de la curva. La diferencia fundamental es que al tangente de la curva, en la parábola tiende hacia un valor fijo, mientras que en la catenaria tienden hacia la posición vertical. Ello lleva a que a medida que crece la x sus curvas se cruzan y mientras la catenaria tiende a valores limitados de x, la parábola se abre indefinidamente hasta el infinito.

Esta propiedad es útil pues construir arcos parabólicos en vez de arcos de catenaria, es más sencillo, pues mientras que la curva catenaria es difícil de pintar y calcular, la parábola se puede puntar a escala con solo la ayuda de una escuadra tan alta como la parábola a pintar, un papel milimetrado, una regla para deslizar la escuadra, un hilo y un par de chinchetas puestas en el foco y en el borde de la escuadra que sujetan la cuerda tal como se ve en la figura, se aprovecha para ello de la propiedad de la parábola de ser el lugar geomético de los puntos cuya suma de distancias a a otros dos es fijo , (la longitud del hilo). Solo basta hacer la parábola a escala y medir las distancias a cada diferente nivel de la curva.

Se denomina catenaria la curva que describe una cadena suspendida entre dos puntos situados a la misma

altura. Por ejemplo se llaman catenarias a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, no por el cable

conductor de la electricidad, sino por el cable superior que le sustenta entre dos postes del tendido. La

catenaria tiene la característica de ser el lugar geométrico de los puntos donde las tensiones horizontales de

un cable se compensan por lo que el cable no tiene tensiones laterales, el cable no se desplaza hacia los

lados y a las fuerzas que padece se reparte entre una fuerza vertical (la de la atracción terrestre) y una

tensión tangente al cable en cada punto que lo mantiene estirado..

De igual forma, en un arco que adquiera la forma de una catenaria, la tensión que padece el arco en cada

punto, se reparte entre una componente vertical que será lo que tenga que sustentar el propio arco y una

componente de presión que se transmite por el propio arco hacia los cimientos sin que se creen esfuerzos

horizontales, salvo en el extremo llegando ya a los cimientos.

Esta propiedad, distintiva y única de este tipo de arcos, hace que no necesiten apoyo a los lados del arco para

sustentarse y evitan que tiendan a abrirse. En las capillas románicas eran necesarios gruesos muros a los

lados de puertas y ventanas para mantener los arcos de medio punto sin que se agrietara. Tampoco los

arquitectos medievales consiguieron encontrar la forma perfecta de transmitir los esfuerzos laterales y pese a

que los arcos ojivales se aproximan más a la forma de la catenaria, aun necesitaron apoyar sus arcos en

fuertes arbotantes exteriores que absorbían y trasladaban las tensiones horizontales hacia los cimientos.

Los arquitectos del renacimiento tampoco supieron encontrar la solución, La cúpula de San Pedro, diseñada

por Miquel Ángel, está rodeada en su base por una fuerte cadena de hierro a modo de cincha, porque una vez

construida comenzó a agrietarse debido a estas fuerzas horizontales creadas por el peso de la cúpula.

Tenemos que llegar al modernismo del siglo XIX para que arquitectos como Gaudí recapaciten que no

necesariamente las líneas verticales absorben mejor las tensiones. Muchas de sus obras, desde la Sagrada

Familia, a la casa Batlló, la Pedrera, o el parque Guell, enseñan en las fachadas o ocultan en sus sótanos o

en sus azoteas, arcos de catenaria que desvían el peso de las cubiertas dejando amplias zonas abiertas..

Otro arquitecto catalán como Gaudí y contemporaneo suyo, participa de las mismas inquietudes, y es difícil

saber cual de los dos influyo en el otro. Se trata de Luis Mancunill, arquitecto más desconocido del público,

pues el resplandor de la figura de Gaudí, ensombrece la de otros arquitectos modernistas y además gran

parte de su obra se desarrollo en Tarrassa y en a la construcción de centros fabriles, ciudad y obra menos

atractiva para los críticos que Barcelona y los palacetes y templos. De él es el edificio que abre el artículo la

Masía Freixa, una joya del Modernismo construida en 1896 como fábrica y transformada en residencia de la

familia Freixa en 1907.

Lo que parecen caprichos y arabescos de un arquitecto barroco con arcos extraños y columnas torcidas,

ocultan concienzudos estudios en la búsqueda de la forma más racionalistas para las estructuras de sus

edificios.

Se conserva una fotografía del estudio que hizo Gaudí para diseñar la Capilla de la Colonia Guell. Con gran

paciencia fue realizando con cadenas una copia invertida a escala 1/10 de la visión que el tenía de lo que el

quería construir. A la estructura inicial fue añadiendo pequeñas cadenas con pesos proporcionales a los

torreones que el deseaba que decoraran el edificio. El resultado obtenido lo fotografiaba y a partir de las

fotografías diseñaba los planos de construcción, resulta curioso comparar el estudio con el boceto de la capilla

pintado por Gaudí.

Rotos los prejuicios, otros arquitectos han utilizado el arco catenario en sus edificaciones. Calatrava lo utiliza

abundantemente en sus edificios de la Ciudad de las Artes y las Letras de Valencia, así como en

numerosísimos puentes. Así como es muy conocido el arco que de una forma simbólica marca la puerta de la

“Conquista del Oeste” el Gatewey Arch de la ciudad de Missouri, de 192 m. de altura del arquitecto Eero

Saatinen.

Lo que en Occidente nos ha costado siglos aprender, era en cambo un conocimiento común en la arquitectura

del Islam. la cúpula Mezquita de la Roca de Jerusalén se aproxima mucho a una cúpula catenaria perfecta.

En esto no hacían más que seguir la arquitectura tradicional del Sudán, país donde la madera es tan escasa y

valiosa, que no se puede utilizar para construir las viviendas de los pobres. Los sudaneses encontraron la

forma de construir amplias habitaciones circulares con forma de cúpula catenaria, con solo adobe y sin

necesidad de entibar, pues durante el momento de la construcción sufre tan poco empuje horizontal, que los

adobes se mantienen en su posición simplemente con el rozamiento de los ya instalados y sus compañeros

de hilada y una vez cerrada la cúpula, estas adquieren una resistenxia extraordinaria.

Se cierra así una práctica que une lo mas ancestral, con lo más moderno. Las centrales nucleares suelen

cubrir el reactor con una cúpula catenaria por la misma razón, la posibilidad de construirlas sin andamiaje que

la sustente.

El desarrollo de la fórmula matemática de la curva catenaria es sus tres primeros términos de potencia es

igual al de una parábola (y = a+ bx+ cx2) y solo a partir de aquí difiere con términos de potencia de x elevados

a 4 o más, por ello, catenaria y parábola difieren poco en valores bajos de x, es decir cerca del “morro” de la

curva. La diferencia fundamental es que al tangente de la curva, en la parábola tiende hacia un valor fijo,

mientras que en la catenaria tienden hacia la posición vertical. Ello lleva a que a medida que crece la x sus

curvas se cruzan y mientras la catenaria tiende a valores limitados de x, la parábola se abre indefinidamente

hasta el infinito.

Esta propiedad es útil pues construir arcos parabólicos en vez de arcos de catenaria, es más sencillo, pues

mientras que la curva catenaria es difícil de pintar y calcular, la parábola se puede puntar a escala con solo la

ayuda de una escuadra tan alta como la parábola a pintar, un papel milimetrado, una regla para deslizar la

escuadra, un hilo y un par de chinchetas puestas en el foco y en el borde de la escuadra que sujetan la

cuerda tal como se ve en la figura, se aprovecha para ello de la propiedad de la parábola de ser el lugar

geomético de los puntos cuya suma de distancias a a otros dos es fijo , (la longitud del hilo). Solo basta hacer

la parábola a escala y medir las distancias a cada diferente nivel de la curva.

EL VIENTRE DE UN ARQUITECTO Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco) “Para que un objeto sea altamente bello es preciso que su forma no tenga nada de superfluo, sino las condiciones que lo hacen útil, teniendo en cuenta el material y los usos a prestar. Cuando las formas son más perfectas exigen menos ornamentación.”A. Gaudí Podríamos decir que la Geometría, y más generalmente la Matemática, ha estado presente en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesidad de construir un hogar donde guarecerse de las inclemencias de la naturaleza, descansar o mantenerse

alejado de sus enemigos, ya sea excavando en cuevas, construyendo chozas o montando tiendas, y siente además la necesidad de construir lugares especiales para enterrar yvenerar a los muertos o adorar a los dioses, como los dólmenes, los túmulos o losmonumentos megalíticos (por ejemplo, Stonehenge). Presencia que a lo largo de la historianos ha dejado obras de gran belleza (aparte de su utilidad) como la acrópolis ateniense conel Partenon, la Basílica de Santa Sofía de Constantinopla, la Alhambra de Granada, la Torre Eiffel, el Guggenheim de Bilbao y un largo e interesante etcétera. Parece evidente para cualquiera que siendo la forma y la estructura tan importantes en el diseño de las obras arquitectónicas, la Geometría y las Matemáticas sean una parte fundamental de la Arquitectura. Podemos separar las aportaciones de estas en dos tipos: i) como herramienta de cálculo, por ejemplo para determinar la estructura y forma de la obra arquitectónica, a la hora de estudiar el equilibrio, resistencia o estabilidad de unedificio, puente u otra construcción, para determinar las condiciones de luminosidad, temperatura, acústica y un largo etcétera... ii) como fuente de inspiración y en el desarrollo de la creatividad, imaginación e inventiva del arquitecto. El diseño y construcción de una obra arquitectónica es un complejo proceso en el que el arquitecto debe beber de diferentes fuentes, entre las que se encuentran las Matemáticas. En este proceso, el arquitecto deberá tener en cuenta las diferentes dimensiones de la obraarquitectónica. * las 3 dimensiones clásicas de Vitruvio (Diez Libros de Arquitectura, Vitruvio): funcional, estructural y estética;* las 3 dimensiones de J. Ackerman (International Design Conference, Aspen, Colorado, 1974): individual, ambiental y cultural; * otras 3 dimensiones más: social, económica y artística. Dimensiones todas ellas en las que la Geometría (cálculo o creatividad) jugará un papel

Page 2destacado. Pero realizar un estudio de las aportaciones de la Geometría en la Arquitectura es una tareaque excede el tiempo de esta charla, por ello nos vamos a centrar en la utilización de la Geometría de curvas y superficies en la Arquitectura moderna, intentando mostrar que la forma no es superflua y que además de belleza le da estabilidad a la obra arquitectónica. La llegada de nuevos materiales más flexibles, más fáciles de manipular y menos pesados (hormigón, fibra de vidrio, nylon, terylene,…), así como la existencia de movimientos Arquitectónicos más abiertos (por ejemplo, la Arquitectura Orgánica) hace que la presencia de nuevas y sugerentes formas sea habitual en la Arquitectura del siglo XX. En esta charla centraremos nuestra atención en los siguientes objetos geométricos: catenaria, cónicas, espiral, hélice, la esfera, el toro y algunas superficies regladas (cono, cilindro, helicoide, paraboloide hiperbólico, hiperboloide,...). Para cada uno de estos objetos mostraremos algunas propiedades geométricas y construcciones arquitectónicas en las cuales se haya utilizado. En algunas de las obras hablaremos de la justificación matemática que existe para la utilización del objeto geométrico, sin embargo, en otros simplemente admiraremos la utilización de la geometría y la belleza de la construcción. Hemos elegido ejemplos de grandes arquitectos e ingenieros (que creemos interesante que el público conozca) como son A. Gaudí, E. Torroja, F. Candela, S. Calatrava, F. LloydWright, Le Corbusier, R. B. Fuller, E. Saarinen, N. Foster, ... Para terminar esta breve introducción me gustaría mencionar que no sólo el estudio de la Geometría es importante y necesario para los arquitectos e ingenieros, sino que también loes que el matemático conozca la utilización de su ciencia en otros contextos, como la Arquitectura, que le dará otra perspectiva de su trabajo e incluso le puede sugerir problemas que se derivan del diseño arquitectónico y que de otra forma no repararía en ellos. La Catenaria Es la forma que adopta una cuerda o cadena cuando se cuelga de dos puntos y sólo soporta su propio peso. Veamos el dibujo siguiente. Consideremos un sistema de referencia cuyo centro está en el extremo de la curva y cuyo eje de abscisas es el paralelo al dibujado. Las fuerzas que se ejercen sobre el segmento 0x que va del origen hasta un punto de la curva de coordenada x son la tensión del cable T, su peso que es w.s –donde w es la densidad lineal del cable y s=s(x) es la longitud del segmento de cable- y T0

es la fuerza horizontal de tensión del cable. El equilibrio nos da una igualdad de fuerzas, que aparece en la imagen, y

un argumento sencillo de geometría diferencial de curvas nos lleva a la ecuación

Page 3diferencial, cuya solución es la fórmula de la catenaria. El estudio de la estática del arco catenario invertido nos dice que este es el arco que se sostiene a sí mismo, luego es la forma óptima (debido a su estabilidad) para construir arcosque se soporten por su propio peso. Si estudiamos entonces la estática de un arco que se sostiene a sí mismo descubrimos que el diagrama de fuerzas es el opuesto al de la catenaria, luego el equilibrio sigue manteniéndose. En el siguiente diagrama las fuerzas que actúan sobre el segmento 0x son las opuestas a las mostradas y el peso que apunta hacia abajo (al voltear el diagrama anterior esa flecha quedaría hacia arriba). A pesar de la óptima calidad del arco catenario, así como de otras formas estáticamente estables (parábola invertida y otros arcos antifuniculares), durante mucho tiempo se consideró que tenían formas poco elegantes y no se utilizaron en la arquitectura tradicional,en su lugar se utilizaron arcos semicirculares, elípticos, apuntados,…, aunque sí algo en ingeniería (en relación a la construcción de puentes). Uno de los primeros arquitectos que investiga y hace uso de la catenaria y de otros arcos antifuniculares es Antoni Gaudí (1852-1926), uno de los mejores arquitectos del mundo en su tiempo. Intentar explicar a Gaudí en tan breve espacio es imposible, pero intentemos dar 5 claves: i) recibió formación técnica en su juventud (diferentes materias de matemáticas ygeometría en particular); ii) la naturaleza como referente (formas geométricas imitativas,nuevas formas geométricas inspiradas por la naturaleza y la obra arquitectónica considerada en su entorno natural); iii) experimentación geométrica como método creativo; iv) nuevas creaciones estructurales (mediante estática gráfica o experimentalmente), Gaudí no imita o toma soluciones ya existentes sino que va a la raíz del problema y obtiene sus propias soluciones, sus propias estructuras, y finalmente, hace coincidir la forma con la estructura; v) contacto directo con los trabajadores y talleres involucrados. Me gusta pensar en Gaudícomo el último arquitecto anterior a la arquitectura moderna (por el uso de materiales y algunas técnicas artesanales de la arquitectura de siglos anteriores, por ejemplo, en la época del hormigón sólo empezó a utilizarlo en la Sagrada Familia) y el primer arquitecto moderno, podemos considerarle entre otras cuestiones uno de los padres de la Arquitectura Orgánica y de la Arquitectura Racional. La utilización que Gaudí hace de la catenaria está justificada ya en los anteriores puntos: forma que emana de la naturaleza, estabilidad, simplicidad en los cálculos, sencillez de realización para los carpinteros y otros trabajadores. José Bayó comentó la construcción de la catenaria de la Casa Milá: “Primero revocaron y enlucieron un amplio paramento. Entonces, Canaleta daba la luz de cada arco y Bayó clavaba un clavo en cada extremo de la

Page 4luz del arco, en la parte alta del muro. De estos clavos se suspendía una cadena de tal manera que su punto más bajo coincidiera con la flecha del arco. Entonces se dibujaba sobre la pared el perfil que por sí sola trazaba la cadena, y sobre este perfil el carpinteroCasas hacía cercha correspondiente. Luego se daba la vuelta a la cercha y se colocaba en su sitio. Sobre ella se hacían hiladas de ladrillo puesto de plano y las enjutas se hacían con hiladas horizontales de ladrillo.” Para Gaudí “la catenaria da elegancia y espiritualidad al arco, elegancia y espiritualidadpara la construcción entera. La función autoestable de la catenaria evita contrafuertes, el edificio pesa menos, gana una gracia vaporosa y se aguanta sin raros accesorios ortopédicos.” [6] Gaudí utiliza los arcos catenarios en el Colegio de las Teresianas (1889), en la casa Batlló (1904-1906), en la casa Milá, La Pedrera, (1905-1910),etc… Pero detengámonos un instante y analicemos, aunque sea de una forma superficial, la relación entre estabilidad y forma (fundamental en Arquitectura y como veremos en parte de la Arquitectura moderna). Para ello vamos a utilizar un sencillo ejemplo. Tomemos alguno de estos juegos que hay para construir figuras, como por ejemplo, el supermag que utiliza bolas de hierro e imanes, y realicemos un cubo, que es la forma tradicional de las construcciones arquitectónicas, descubriremos que es bastante inestable y que con un mínimo de presión se rompe o se desmorona, luego al construir un edificio con esta formatendremos que valernos de “accesorios ortopédicos” (contrafuertes, vigas, gruesos muros,…) para que no se derrumbe (pensemos que esta ha sido la realidad en las construcciones arquitectónicas clásicas). Sin embargo, si realizamos un tetraedro, esta es una forma muy estable, que no se descompone a menos que le apliquemos una fuerza

considerable. Para recoger este pensamiento gaudiano vamos a recurrir a uno de los grandes teóricos del siglo XX, Eduardo Torroja: “La construcción, la arquitectura, no pueden prescindir de la realidad del fenómenos físico, esto es, de las leyes de la estática. Su belleza se funda esencialmente sobre la verdad, sobre la racionalidad de la estructura; debe por tanto, poderse lograr sin adiciones ni ornamentaciones externas. Pero, para obtenerla, es necesario un esfuerzo largo y tenaz en el sentido de las íntimas razones deresistencia de las formas. El resultado genial de un momento de inspiración es siempre el epílogo de un drama, que frecuentemente está constituido por toda una vida de trabajo.”,“La obra mejor es la que se sostiene por su forma”.Otro arquitecto que utilizó la catenaria en su obra fue Eero Saarinen, uno de los grandesmaestros de la arquitectura norteamericana del siglo XX. Muy criticado por otros modernistas contemporáneos, sin embargo la siguiente generación de modernistas le consideró ya uno de los grandes y contó con el beneplácito de la sociedad. Realizó obras de

Page 5gran impacto social. Aquí presentamos dos de sus trabajos: i) Jefferson National Expansion Memorial –Gateway Arch-, Saint Louis, Missouri, 1947-1960. Fue la mayor construcción de su tipo en aquellos días. Cuando Saarinen recibió elencargo su idea fue crear un monumento que tuviese una importancia duradera y que fuera un hito de nuestro tiempo. El arco curvado pretendía expresar una monumentalidad atemporal y un dinamismo actual. Además, este arco simbolizaba la entrada al Oeste (Getaway Arch-Arco de Entrada, Puerta). Tiene una altura de 192,15 metros. ii) Dulles International Airport, Chantilly, Virginia, 1958-1962. Fue el aeropuerto másgrande de los Estados Unidos en su tiempo y lo que es más importante, fue el primer aeropuerto comercial diseñado específicamente para jets. De nuevo, debido a su importancia, Saarinen se decide por una estructura monumental. Según su autor “es comouna gran hamaca atada a grandes árboles”. Pero el tejado con forma de catenaria esimportante tanto estéticamente como funcionalmente, además de la estabilidad, flexibilidady firmeza de la estructura, su forma tiene la cualidad acústica de hacer que el sonido se disperse rápidamente, algo de gran valor en una terminal de aviones, o también su forma permite evitar algunos efectos perniciosos del viento. Estática gráfica y maquetas colgantes Gaudí utilizó dos estrategias principalmente en el diseño estructural: el método de la maqueta colgante y el método gráfico. El método de la maqueta colgante lo utilizó en eldiseño de la iglesia de la Colonia Güell. Gaudí diseñó una maqueta a base de pesos, cuerdas,… que buscaba la estabilidad fruto de su propio peso y luego, al igual que en elcaso de la catenaria, se invertía la forma para obtener la forma óptima y estable para el edificio. La maqueta de la iglesia de la Colonia Güell tenía una longitud de 6 metros y una altura de 4 metros, y su escala era 1:10 (mientras que la escala de peso era 1:10.000). Gaudí tardó 10 años en realizarla:1898-1908. En las imágenes vemos una fotografía de la maqueta y el diseño que Gaudí hizo de la iglesia sobre una fotografía invertida de la

Page 6maqueta. Sin embargo, después de esta experiencia, Gaudí desarrolló el diseño de la Iglesia de la Sagrada Familia utilizando el método gráfico sobre el papel. En ambos casos, lassoluciones estructurales las intentaba interpretar después utilizando sencillas superficies, en particular, las superficies regladas, como el hiperboloide o el paraboloide hiperbólico. Las cónicas Son las curvas que se obtienen como intersección de un cono circular recto y de ángulo variable y un plano, perpendicular a una de las rectas generadoras del cono, que no pase por el vértice). Son curvas de gran sencillez matemática, ya que son solución de una ecuación de grado 2 en el plano (ax2

+bxy+cy2

+d=0), y poseen una gran riqueza geométrica (propiedades métricas, de reflexión,…). La elipse. Como ejemplo de utilización de la elipse mostramos el Foro Internacional de Tokio, construido por Rafael Viñoly en 1996. Este edificio alberga actuaciones musicales, de teatro y de danza, convenciones, ferias comerciales, reuniones de negocios, recepciones, oficinas, centros de información cultural y espacios públicos. Es el edificio más caro y

grande (más de 130.000 m2

) del mundo de los de su tipo y pudo realizarse justo antes de que se viniera abajo el boom inmobiliario japonés. El edificio consta de cuatro edificios cúbicos de distintos tamaños y un edificio cuya forma consiste en dos elipses de vidrio yacero que se cortan formando un enorme vestíbulo central (de 210 metros de longitud). Lasformas están escogidas para que el edificio se adapte perfectamente al entorno. Las formascúbicas están cercanas a otros edificios de la ciudad con las tradicionales formas cúbicas,mientras que la estilizada forma del vestíbulo, fruto de las elipses, sigue el curso de las víasdel tren que tiene a su lado. La cubierta está formada por arcos (parabólicos?) que describen una gran elipse que se apoya en dos inmensas columnas y que soportan el edificio. Otros edificios con formas elípticas son el Edificio Lipstick –lápiz de labios- (Nueva York, 1986) de Philip Johnson y el Ayuntamiento de Londres (2002) de Norman Foster. La parábola. La parábola es la forma del puente de suspensión, es decir, la forma que adopta una cuerda o cadena cuando se cuelga de dos puntos y que soporta una carga distribuida uniformemente (es decir, el puente de suspensión).

Page 7Por ejemplo, podemos apreciar su forma en puentes como el Golden Gate de San Francisco (1937). La parábola y la catenaria son muy similares, aunque la expresión matemática de la parábola es más sencilla: y=kx2

. De igual forma que hicimos con la catenaria, la parábola como arco antifunicular es el arco que se sostiene bajo el peso de una carga distribuida uniformemente. El diagrama anterior invertido nos lleva a obtener la parábola como solución estática de las siguientes dos situaciones, la carga realizada desde arriba o tirando desde abajo. Como ejemplos de esto podemos poner dos puentes de uno de los ingenieros españoles mássignificativos a nivel internacional, Eduardo Torroja: el puente de Pedrido en La Coruña (1940) y el viaducto del Esla (1942). Otros ejemplos los encontramos en algunos de los siete puentes que hay sobre el río Tyne entre Newcastle y Gateshead, desde el clásico puente funcional “Puente del Tyne” hasta el moderno puente y más artístico “Puente Báltico del Milenio”. Por otra parte, en los puentes llamados lenticulares se da una situación mixta y la forma que se le da al puente es de nuevo parabólica, véase por ejemplo el puente de Smithfield (1883) en Pittsburg.

Page 8No podemos dejar de mencionar a uno de los arquitectos e ingenieros españoles mássignificativos de nuestros días, Santiago Calatrava. El arquitecto e ingeniero valenciano ha mantenido una carrera profesional vertiginosa, donde las posturas de la crítica y de la opinión pública sobre su obra han sido radicales. Su obra no pasa desapercibida para nadie y crea pasiones. De nuevo intentar definirlo en unas palabras es imposible, pero intentémoslo: i) Calatrava interviene en todo el proceso creativo de la obra arquitectónica, como ingeniero, arquitecto y artista que es, mezclándose todos estos intereses; ii) en él se dan profundos conocimientos técnicos así como una gran inquietud artística (como vemos en muchos de sus puentes, utiliza la parábola, que a priori es solución para el diseño de lospuentes, sin embargo, juega con las parábolas, las tumba para crear sensación de movimiento y cambia las fuerzas que intervienen en el diseño, lo cual puede darnos una idea de por qué es tan criticado por los ingenieros); iii) algunos aspectos importantes de su obra son la geometría, la anatomía, la naturaleza, el movimiento, la belleza,…; iv) podemosdefinirlo como arquitecto orgánico y su obra nos lo presenta como admirador de Gaudí, Candela, Freyssinet,… Algunos de sus puentes donde podemos apreciar la utilización de parábolas son el puente de zubi-zuri en el Campo Volantín de Bilbao (1997), el puente de Bach de Roda en Barcelona (1987) o el puente de la Alameda en Valencia (1995). También podemos apreciar la utilización de la parábola en algunos edificios de Calatrava, como por ejemplo, la galería BCE Place (1992) de Toronto, donde uno puede ver cierta influencia de Gaudí. Si nos fijamos en la imagen anterior de la galería, uno puede apreciar cierto parecido con imágenes del Colegio de las Teresianas o del interior de la Sagrada Familia; además, las vigas, que luego se cierran en una arco parabólico, recuerdan a losárboles (de nuevo, la presencia de Gaudí), más concretamente la Galería nos muestra un“camino entre árboles” que comunica además la Galería con la ciudad. La Galería se cierra con una cubierta acristalada por la que entra la luz natural.

La parábola como buen arco antifunicular que se corresponde con una situación deestabilidad en la construcción arquitectónica fue también utilizada por Gaudí, por ejemplo, en los arcos de la entrada del Palau Güell o en los arcos de la cooperativa La Obrera Mataronense. Para terminar mencionemos algunos ejemplos de construcciones arquitectónicas donde la cubierta tiene forma parabólica, como solución óptima al problema estructural: los Hangares de Orly (1924) de Eugéne Freyssinet (una obra clave en la arquitectura del siglo XX, es una cubierta parabólica de hormigón de 9cm de espesor y con una luz de 88 m., además de 65 m. de altura y 175 de largo; es una construcción grandiosa, a pesar de lo sencilla que parece, y con muchas innovaciones estructurales, de la que Le Corbusier comentó que al entrar en ella sintió lo mismo que si entrara en una de gran catedral); la iglesia de San Francisco de Asís (1942), Pampilha, Brasil, de OscarNiemeyer (cubierta también de hormigón); o las más recientes, Berliner Bogen (2000),

Page 9Hamburgo, de Bother, Richter y Teherami, y la estación de bomberos de Houten, Holanda (2000), de Philippe Samyn, ambas cubiertas de cristal. Las Espirales Tomemos como posible definición de espiral aquella curva plana que comienza en un punto y cuya curvatura va disminuyendo progresivamente a medida que aumenta su distancia al punto de origen. Algunos ejemplos son la espiral de Arquímedes, la espiral de Durero o la espiral logarítmica: Si admitimos la definición de espiral en el espacio obtenemos dentro de esa familia las hélices cónicas. Recordemos que la hélice circular, que descansa sobre un cilindro, es una curva espacial que se caracteriza por tener curvatura y torsión constantes. Por la propia naturaleza de la espiral y de que esta aparezca en la naturaleza relacionada con procesos de crecimiento (nautilus, girasol,…), la espiral se ha convertido en símbolo de crecimiento, de movimiento, de progreso,…, aunque por otra parte podemos pensar que la espiral recoge o empaqueta (pensemos en los helechos o en las trompas de las mariposas, que se recogen para no ocupar espacio). La hélice agarra: “Lo que agarra es la fricción y se describe con la ley de Euler: la fuerza que hay que hacer en el extremo de una hélice enrollada en torno a una superficie para sostener un peso en el otro extremo decrece exponencialmente con el número de vueltas (de espiras) de la hélice en cuestión”. Pensemos en las cuerdas que utilizamos habitualmente que son cuerdas más pequeñas trenzadas para construir una más resistente. Empecemos con uno de los arquitectos actuales más interesados por las espirales: ZviHecker. Uno de sus edificios es “La Casa Espiral de Apartamentos”, construido en 1990. Este edificio es como una escalera en “espiral” llevada a las dimensiones de un edificio que se inicia a nivel del suelo y sube en “espiral”, y además está formado en su parte exteriorpor un gran número de escaleras de caracol. Según su autor, el nombre de Casa Espiral es físico, pero también simbólico, ya que este es un trabajo de precisión incompleta porque estan precisa que no puede ser realmente terminada. No hay límite a la precisión que uno puede conseguir. La incompletitud de la espiral es también su poesía.

Page 10Otras obras. La escuela judía de primaria de Berlín (1995), que fue diseñada con forma deflor como regalo a los niños de Berlín. La construcción trata de imitar al girasol ya que busca la orbita del sol para que los rayos del sol iluminen todas las clases a lo largo del día. El girasol de Ramat Asaron, Tel Aviv, Israel (1989) es un complejo de apartamentos que también tiene forma de flor y cuyos patios y terrazas siguen la forma geométrica del girasol. La nueva sinagoga de Mainz, Alemania (1999) está diseñada sobre la vieja sinagoga destruida por los nazis, aunque con un aspecto diferente, ya que el espacio de la vieja sinagoga es ahora el vacío del patio del que emerge la nueva sinagoga con forma espiral, simbolizando la expansión. Más ejemplos arquitectónicos: i) Monumento a la Tercera Internacional de VladimirTatlin (modelo 1919-20). Tatlin eligió la espiral para expresar el dinamismo de la revolución rusa; ii) “Iglesia Reoganizada de Jesucristo de los Últimos Días Santos”,Hellmuth Obata+Kassabaum, Independence, Missouri (1993). En ella encontramosdiferentes simbologías de la espiral, por un lado la espiral en el sentido de recogimiento, yaque la iglesia recoge en ella a los feligreses, en el sentido de crecimiento, de expansión de esta religión, de esta iglesia, y además la espiral de la cubierta se va acercando a Dios. Fijemos nuestra atención en la escalera de caracol, que no es más que un helicoide, es decir,

la superficie reglada que se obtiene al considerar las rectas que pasan por un punto de la hélice circular y otro del eje de la hélice de forma que las rectas sean todas paralelas al plano perpendicular al eje de la hélice. La utilización de las escaleras de caracol en la arquitectura es algo habitual, y el motivo es doble, por una parte la hélice es una curva de curvatura y torsión constantes luego ideal para subir, y además la escalera de caracol ocupa poco volumen entre los dos planos en los que se encuentra. Por poner algunos ejemplos, la escalera de caracol que sube a la polémica pirámide de cristal del Louvre, I. M. Pei (1989). Por supuesto que también Gaudí hace uso de las escaleras de caracol-helicoides, en lastorres de la Sagrada Familia o en las rampas de bajada a las cuadras del Palau Güell. Mencionemos el interesante diseño de Farell-Grimshaw de la torre “espiral” de cuartos de baño para una residencia de estudiantes, el diseño de la torre 4D como garage de automóviles propuesta por R. Buckminster Fuller para la feria mundial de Chicago (1933), que es una “escalera de caracol cónica” o también el Museo Guggenheim de Nueva

Page 11York (1956) de Frank Lloyd Wright. Pero Gaudí también utiliza el helicoide en su sentido de agarre en las columnas del Parc Güell o en el diseño de las columnas arboladas del Templo de la Sagrada Familia, de las que Gaudí dice “hemos estado dos años trabajando indefectiblemente y se han gastado 4.000 duros para llegar a una solución completa de las columnas”. La EsferaLa esfera y la circunferencia se han considerado desde la antigüedad como símbolos de perfección, en gran medida por su simetría, considerándose por ello en ocasiones comosímbolos de lo divino, mientras que la naturaleza ha escogido estas formas para muchos de sus objetos por su diseño óptimo. Los matemáticos de todos los tiempos se han fascinado con las propiedades matemáticas de estos, a priori sencillos, objetos geométricos. Nosotros vamos a fijar nuestra atención ahora en una de esas propiedades (propiedad isoperimétrica): de todos los sólidos de un volumen dado, la esfera es el que tiene una superficie de menor área; de todos los sólidos con un área superficial dada, la esfera es la que encierra el mayorvolumen. Estas dos propiedades (cada una de las cuales implica la otra) define de forma única a la esfera. (La circunferencia tiene la propiedad isoperimétrica en el plano, de todas las regiones con un área dada, la circunferencia es la que tiene un perímetro menor) Si jugamos con pompas de jabón o introducimos una gota de aceite en agua observaremos que, debido a la tensión superficial, la forma que estas adquieren en una posición de equilibrio (es decir, de mínima energía potencial) es esférica. Las pompas de jabón son una demostración experimental de la anterior propiedad isoperimétrica, ya que en una pompa de jabón hay una cierta cantidad fija de aire que se encuentra encerrada, por la tensión superficial, en una superficie de área mínima. Como hemos comentado entonces, la esfera es una forma estable, y por lo tanto óptima, hasta cierto punto, para el diseño arquitectónico. De hecho, el motivo por el cual los depósitos de petróleo tienen formaesférica, es por ser mínima superficie (más económico) con máximo volumen.

Page 12Pero llegados aquí parémonos un momento en la construcción de cúpulas a lo largo de la historia de la arquitectura, que en muchos casos han tenido forma esférica o casi. Fijémonosen 6 obras importantes en la historia y comparémoslas : i) el Panteón de Roma (117-128), tiene un espesor de 1.5 metros y una luz de 43, 30 metros; ii) Santa Sofía, Estambul (532-537); iii) Santa María de las Flores, Florencia (1438-1471), tiene 3,5 metros de espesor y una luz de 41, 97 metros; iv) San Pedro de Roma (1506-1626), con 3,7 metros de espesor y una luz de 42,52 metros; v) el Salón del Centenario, Breslau (con una luz de 67 metros, aunque era una cúpula nervada con una superficie no continua); vi) el Gran Mercado de Leipzig (1927-1929), tiene un espesor de 10 cm. y una luz de 75 metros. Si comparamos las distintas construcciones, las dos primeras fueron realizadas en ladrillo, las dos siguientes en piedra y las dos últimas en hormigón. Como se puede observar hay una tendencia hacia el aligeramiento, espacios con menores espesores,…. Por un lado, desde finales del XIX y principios del XX hay una preocupación cada vez mayor por intentar utilizar estructuras más eficaces que permitan una inversión mínima de materiales e irse liberando de “estructuras ortopédicas” (contrafuertes, muros gruesos,…). Otro de los puntos clave es la introducción del hormigón armado, que fue una de las grandes revoluciones arquitectónicas de la segunda mitad del siglo XIX. En palabras de Eduardo Torroja: “…ningún materialse acerca como el hormigón armado al ideal soñado, ninguno puede tomar con tanta

libertad y eficacia formas variadas y resistentes, con espesores mínimos (de pocos centímetros) y ligerezas que no hace más que algunos decenios habían sido consideradas utópicas. Por primera vez en la historia de la arquitectura, el material se convierte en manos del arquitecto tan maleable y plástico como la porcelana en las del artista de la cerámica”. Esta maleabilidad del hormigón le permite al arquitecto buscar las solucionesestructurales estables en las construcciones y desarrollar las formas resultantes, lo cual antes era impensable. Dos de los grandes arquitectos/ingenieros y teóricos del hormigón armado en los años 20 fueron Freyssinet, cuyos Hangares de Orly tenían un espesor de 9 cm y una luz de 88 metros entre los ejes, y Eduardo Torroja, que en 1934 construye elMercado de Algeciras con forma esférica y apoyado en ocho pilares, tiene una luz de 47, 62 metros y un espesor de 8,50 cm. (salvo cerca de los pilares donde llega a los 44 cm.) y es una construcción muy ligera. Como ejemplo moderno, el King Dome de Seattle (1976) que tiene una luz de 202 metros. Algunos problemas en la construcción de cúpulas, bóvedas y otras obras arquitectónicas: i) la estabilidad; ii) la forma del edificio; iii) el peso del edificio y los materiales con los queestá construido; iv) la transición de plantas rectangulares a cúpulas esféricas, bóvedas cilíndricas,…; v) el comportamiento de la construcción ante las deformaciones que se produzcan, como por ejemplo, por el peso,…fijémonos por un momento en una cúpula o cubierta con forma esférica e imaginemos que sobre algún punto de ella se aplica una fuerza (en particular, también para el peso), entonces, como consecuencia de la propiedadisoperimétrica, para que se produzca una abolladura o deformación de la cubierta es preciso que el área aumente en la zona de presión, esto es fácil de conseguir en una pelota de goma

Page 13porque el material es extensible, pero casi imposible en una cubierta o cúpula de hormigón u otros materiales inextensibles (algo similar pasa con las bóvedas cilíndricas); la soluciónes construir cubiertas de doble curvatura, ya sean estas de curvatura de Gauss positiva –las curvaturas principales aunque distintas del mismo signo- o de curvatura de Gauss negativa–las curvaturas principales de distinto signo- (véase por ejemplo las discusiones al respecto del arquitecto madrileño afincado en México, Félix Candela). Pero detengamos un momento la anterior discusión y centrémonos ahora en una de las mássorprendentes e impactantes construcciones con forma esférica del siglo XX, la cúpula geodésica de R. Buckminster Fuller. Muchas cosas podríamos decir de este genial inventor, arquitecto, ingeniero, matemático, poeta y cosmólogo, entre otras cosas, por ejemplo, que fue un visionario, un adelantado a su tiempo y que quiso poner la ciencia al servicio de la sociedad, pero centrémonos ahora en el que fue sin duda su mayor éxito, la cúpula geodésica, un diseño con mucha geometría. Aquí vemos el Pabellón Americano de la Feria Mundial de Montreal (Canada) de 1967 (que ocupa 3/4 de una esfera de 76 metrosde diámetro). Pero cuál es el secreto del éxito de la cúpula geodésica, además de su aspectofuturista y espacial que cautivó a la sociedad mundial. Veamos algunas de sus propiedades. • Económica: la esfera encierra un volumen dado con un área mínima, con lo cual se ahorra en material de construcción. • Control de la Temperatura: i) la exposición al frío en invierno y al calor en verano es menor, al ser esférica, ya que hay menos área por unidad de volumen; ii) la forma interior hace que se produzcan flujos de aire caliente o frío que pueden utilizarse para controlar la temperatura interna; actúa como un reflector gigante hacia abajo, que refleja y concentra el calor en el interior, lo que previene además la perdida radial de calor (motivo por el cual se ha utilizado en construcciones para los polos). • Estable: i) forma estable (resistente a los terremotos y también a los huracanes, por la estabilidad de la forma y porque al realizarse una presión sobre ella esta se distribuye sobre toda la superficie); ii) los triángulos son los únicos polígonos estables de forma inherente, lo cual confiere estabilidad a la cúpula geodésica, que en general está construida portriángulos (y utiliza tetraedros y octaedros como estructuras tridimensionales de la cubierta); los triángulos se interconectan de forma que sus lados formen una red de geodésicas-círculos máximos-, que le da fuerza y estabilidad a la construcción. • Ligera: son estructuras muy ligeras. Mientras que el Panteón pesó más de 400 kg/m2

para una luz de 44 m., una cúpula moderna de hormigón de dimensiones similares puede pesar 200 kg/m2

, la cúpula geodésica de Montreal pesó 53 kg/m2

, y en la actualidad

se habla de 10 kg/m2

o menos. • Poco tiempo de montaje: semanas, días o incluso horas. Además, con posibilidad de desmontar y volver a montar. Fuller habla de construir “casas voladoras”, que en cierta medida consigue como vemos en una de las siguientes imágenes.

Page 14Por ejemplo, su primer encargo para Ford Rotunda en Dearborn (Michigan) en 1953 (que aunque parezca mentira fue su primer contrato serio, a pesar de su fama por losrevolucionarios diseños que había realizado anteriormente) tiene una luz de 27,4 metros y tardó en levantarse 5 semanas. La cúpula Kaiser del Auditorio de Honolulu (1957) con unaluz de 50 metros tardó en levantarse 22 horas (por un grupo de 38 trabajadores) y una hora después 2.000 personas asistieron a un concierto de la Orquesta Sinfónica de Hawai. En1958 realizó la construcción de dos cúpulas idénticas para la Union Tank Car Company, en Baton Rouge (Louisiana) y Wood River (Illinois), que tenían una luz de 117 metros y unaaltura de 73 metros. El Climatrón es un Jardín Botánico en St. Louis, Missouri, que se construyó en 1960 y que además de las anteriores ventajas es capaz de albergar 12 microclimas distintos para que se adapten a las distintas especies de plantas, lo cual seobtiene sin divisiones internas y aprovechando las corrientes controladas de aire frío ocaliente. Al parecer hoy día se han construido ya más de 300.000 cúpulas geodésicas a lo largo del mundo, Fuller mismo vivió en una casa con estructura de cúpula geodésica que se tardó en montar 7 horas y en la que vivió con su mujer durante 12 años. Finalmente, comentemos uno de sus proyectos (1950) con cúpulas geodésicas como era la realización de una gran cúpula geodésica de dos millas de diámetro sobre Manhattan, que permitiría uncontrol de la temperatura, protección de la climatología exterior, permitiría el ahorroenergético, etc… El Cilindro El cilindro es la superficie reglada formada por las rectas que pasan por una circunferencia y son perpendiculares al plano que la contiene. Mucho podríamos decir sobre el cilindro y construcciones en las que se utiliza (por ejemplo es una forma habitual en bóvedas y cubiertas), sin embargo, vamos a mostrar únicamente un ejemplo. El Frontón de Recoletos

Page 15(Madrid, 1935) de Eduardo Torroja, de quien ya hemos hablado un poco y quien elevó el hormigón armado a las misteriosas cotas del arte. El Frontón de Recoletos es una de susobras clave, junto al Hipódromo de la Zarzuela, que por desgracia fue destruida durante la guerra civil española. “Un espacio cerrado y diáfano destinado al juego de pelota vasca exige unas condiciones funcionales muy estrictas. En primer lugar, la planta rectangular de la cancha de juego de longitud sensiblemente superior a su anchura, espacio limitado por dos muros paralelos decierre en los extremos del rectángulo: el frontal, donde golpea la pelota que puede alcanzar unos doscientos kilómetros por hora, y el muro de rebote, opuesto al anterior. A todo ello se une la necesidad de un gran galibo así como iluminación natural” [9]. Torroja podía haber resuelto la cubierta del frontón con una bóveda cilíndrica única, sin embargo Torroja se decide por un perfil doblemente cilíndrico y asimétrico teniendo en cuenta razonesfuncionales de iluminación y distribución de los espacios. Torroja denomina a este perfil “en gaviota” y una de las innovaciones estructurales más importante es la ausencia de vigade descarga en la intersección de los dos cilindros, con lo cual la estabilidad hay que buscarla en la forma en que se disponen los mismos. La cubierta tiene 8 cm de espesor y una luz de 32,5 metros. Como hemos comentado uno de los factores importantes es la iluminación, ya que abrir grandes huecos en una lámina de 8cm. de espesor formada por dos cilindros de 12,2 y 6,4 metros de radio, respectivamente, no es algo trivial, y Torrojaque se resuelve con dos lucernarios longitudinales con un entramado de triángulos equiláteros de 1,4 metros de lado y situados en el lado adecuado. El Toro El toro es una superficie de revolución que se obtiene al revolucionar una circunferencia alrededor de una recta que no corta a la circunferencia. Aunque hay distintos usos de el toro en arquitectura nosotros vamos a fijarnos en su utilización para la obtención de cubiertas de doble curvatura del primer tipo, es decir, el caso de la curvatura de Gauss positiva, cubiertas que además en estos ejemplos continúan hasta hundirse en el suelo constituyendo

todo el edificio y evitando las paredes y la unión de estas con la cubierta. Como ejemplo de su utilización consideremos el Museo Americano del Aire, Duxford, Inglaterra (1997), de Norman Foster (cuyos ingenieros son Ove Arup y Asociados). Este edificio realizado en hormigón armado, que recuerda a los “hangares ampolla” que fueron diseñados para ser invisibles desde el aire, tiene la forma de un toro que se corta por un plano perpendicular al plano sobre el que descansa una de las circunferencias generatrices, quedándonos con la parte de curvatura positiva (véase el dibujo), además en su parte delantera se obtiene al cortar de nuevo con un perpendicular al primer plano de corte. En el museo se da cobijo a aviones y su tamaño se ajusta al del bombardero atómico B-52, de 16

Page 16metros de altura y 61 de envergadura. La luz es natural y se obtiene de la cristalera que ocupa todo el frente y una banda de cristal alrededor de la base. El Cono El cono es la superficie reglada formada por las rectas que se apoyan en una curva plana (por ejemplo, la circunferencia) y en un punto exterior al plano. El cono apoyado en su parte plana es bastante estable luego podría ser utilizada para la construcción de edificioscon forma cónica. Un proyecto muy interesante de edificio donde se utiliza esta forma es laTorre del Milenio, diseñada por Norman Foster en 1989 para ser construida en la bahía de Tokyo, y que nos recuerda a la Torre de la Milla diseñada por Frank Lloyd Wirght en 1956. Teniendo en cuenta que Tokyo tendrá una población de 15 millones de habitantes para 2020, la Torre del Milenio era una solución al problema social de la expansión de la ciudad de Tokyo y su problema de la escasez de terreno para edificar. Emergiendo desde la bahía de Tokyo a dos kilómetros de la orilla y con una altura de 840 metros, la Torre del Milenio tendría capacidad para 60.000 personas, generaría su propia energía (paneles solares), tendría su propio sistema de basuras y de transporte (un sistema de metro horizontal y vertical), tendría zonas de trabajo y zonas residenciales. Además, teniendo en cuenta que está en una zona de terremotos Foster se preocupó de quefuera un edificio estable, lo cual lo consigue mediante la forma cónica y cubierta por unamalla helicoidal (la hélice agarra) de acero. Con un coste estimado de 10.000 millones de libras y una superficie de 1.039.206 m2

, la Torre del Milenio fue víctima de la quiebra del sector inmobiliario japonés, pero Foster sigue confiando en poder construirla algún día. También tenemos la utilización de superficies cónicas en las obras de Santiago Calatrava: Estación TGV Rhône-Alpes, Santolas-Lyon (1994) y el Auditorio de Santa Cruz de Tenerife (1991). Estas dos construcciones en hormigón armado con elementos metálicos llevan en sí varios de los elementos característicos de la obra de Calatrava, como son la

Page 17utilización de elementos geométricos (superficies cónicas y cilíndricas), referencias al movimiento (en el primero hace referencia a las alas para volar, ya que le estación es la del aeropuerto, y en el segundo la parte exterior central imita la forma de las velas, mientras que el elemento que da carácter al edificio, el tejado, es una estructura de hormigón quetiene forma de ala) y al cuerpo humano (inspirándose en ambos casos en el ojo humano). El Hiperboloide de una hoja El hiperboloide es una superficie de revolución. Consideremos una hipérbola, si la hacemosrotar respecto a la recta que une sus focos obtenemos el hiperboloide de dos hojas, mientras que si la rotamos respecto a la recta perpendicular que es eje de simetría de la hipérbola obtenemos el hiperboloide de una hoja. Por otra parte, el hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada, está formada por las rectas que se apoyan en dos circunferencias paralelas (estructura de malla). El hiperboloide elíptico se obtiene si se consideran dos elipses paralelas. Además, elhiperboloide es una superficie cuadrática, es decir, su expresión en coordenadas x,y, z del espacio es un polinomio de segundo grado, luego matemáticamente sencilla. Por último mencionemos que esta superficie se puede utilizar en arquitectura, aparte de para otrascuestiones, para realizar cubiertas de doble curvatura del segundo tipo, es decir, el caso de la curvatura de Gauss negativa. Como superficie reglada se puede realizar fácilmente en arquitectura, lo cual es una ventaja a la hora de utilizarla. Gaudí utilizó el hiperboloide de una hoja en la cúpula de las caballerizas de la Finca Güell (1887) (para Gaudí el hiperboloide simbolizaba la luz, ya

que esta entra por el cuello circular y se desliza por el hiperboloide), en los capiteles del Palau Güell (1888), en la bóveda para el giro de carruajes del Parc Güell (1914) y finalmente, en el proyecto del templo de la Sagrada Familia. Habiendo apreciado Gaudíque las campanas tubulares en forma de hiperboloide son las que mejor difunden el sonido

Page 18las utiliza para el diseño de los techos de las naves de la Sagrada Familia, estos están formados por diferentes trozos de hiperboloides de una hoja junto con paraboloides hiperbólicos que utiliza para pasar de un hiperboloide a otro (esta es una práctica común en Gaudí, mezclar distintas superficies sencillas y conocidas por él para obtener la forma deseada). También realiza ciertas operaciones utilizando el hiperboloide para obtener los ventanales de la Sagrada Familia. Pero aprovechemos una de las obras de Eduardo Torroja para entender mejor ciertasventajas en la utilización del hiperboloide de una hoja, como es su estructura de malla. La Cuba (Depósito de Agua) de Fedala (actualmente Mohamedia), Marruecos, construida por Torroja en 1957 es un depósito de hormigón armado de 3.500.000 m3

de capacidad. El problema principal de este tipo de construcciones es asegurar la impermeabilidad, por lo cual se decidió utilizar el hiperboloide de una hoja en su contorno ya que esta superficie permite un doble pretensado del hormigón según las direcciones de sus dos familias de rectas, dándole una fuerza a la estructura del contorno que evita así el peligro de fisuración bajo la acción de la presión hidráulica del agua. La silueta campaniforme de la cuba vienedeterminada por dos hiperboloides de ejes superpuestos y circunferencia de la garganta común. La solera del depósito está compuesta por una bóveda tórica de hormigón armado que descansa en dos anillos, siendo el exterior la circunferencia de garganta de los hiperboloides. Además la cubierta de la cuba está formada por dos bóvedas tóricas. También tenemos el depósito del Hipódromo de la Zarzuela (1959), ya que la anterior explicación nos sirve para justificar la utilización de esta forma en todo tipo de depósitos. Eduardo Torroja también utiliza el hiperboloide de una hoja en otra de sus obras emblemáticas, el Hipódromo de la Zarzuela (1935), en la cual tras estudiar diferentes

Page 19soluciones a la cubierta (plana, cilíndrica, cónica) se decide por la solución de un trozo dehiperboloide una hoja (como indica el dibujo) con pequeñas modificaciones en las juntas de los diferentes hiperboloides. Aunque no vamos a abordar aquí ese problema, el estudio queTorroja hace de la forma del edificio a través del estudio de la estabilidad merece la penaser estudiado por aquellas personas que estén interesadas en estos temas. El Hipódromo dela Zarzuela es otra de las grandes obras de Torroja. Algunas obras en las que se ha utilizado el hiperboloide de una hoja son: i) Vladimir G. Schuchow, Faro de Adziogol, Ucrania (1911); ii) Le Corbusier, Palacio de la Asamblea, Chadigarh, India, 1953; iii) I. M. Pei, Proyecto de Rascacielos Administrativo, 1957; iv) O. Niemeyer, Catedral Metropolitana, Brasilia, Brasil, 1960. El Paraboloide Hiperbólico El paraboloide hiperbólico es una superficie reglada formada por las rectas que se apoyan, de forma ordenada, en dos rectas que se cruzan en el espacio (p.e. haciendo que las rectas generadoras sean todas paralelas a un plano dado perpendicular a una de las rectas generatrices). El paraboloide es una superficie doblemente reglada, luego como en el casodel hiperboloide de una hoja genera una estructura de malla que le da fuerza a laconstrucción (cubierta,…). También es una superficie cuadrática, es decir, solución de una ecuación polinómica de segundo grado y se puede utilizar en arquitectura, aparte de para otras cuestiones, para realizar cubiertas de doble curvatura del segundo tipo, es decir, el caso de la curvatura de Gauss negativa. Uno de los aspectos novedosas y que le hace ser una forma destacada para su utilización enarquitectura (en combinación con las otras propiedades que presenta) es el hecho de que es una superficie muy cercana a una superficie minimal (exactamente la superficie de Schwartz), con lo cual es estable y al ser de área mínima ahorra material. De hecho, elparaboloide hiperbólico ha sido, y sigue siendo, una de las superficies más utilizadas en la Arquitectura del siglo XX, en particular en el diseño de cubiertas (recordemos superficie dedoble curvatura, estable y de área mínima, doblemente reglada!!). El paraboloide hiperbólico es una de las superficies más originales e importantes utilizadas

por Gaudí. Por supuesto que era una superficie bien conocida por los matemáticos, pero no tanto por los arquitectos e ingenieros. Al igual que para el hiperboloide de una hoja, el que fuera doblemente reglada le permitía hacer fácilmente y de forma natural modelos de hilo,alambre y yeso para que utilizaran los trabajadores de sus construcciones. La primera obra en la que Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico fue en la glorieta del campo de lasHigueras en la Finca Güell (1884), en Les Corts de Sarrià (una pareja de paraboloides simétricos de ladrillo que soportan una parte del suelo del mirador). La primera utilización

Page 20importante del esta superficie fue en el techo de la cripta de la Colònia Güell (1914), para la creación de lo que se ha dado en llamar bóvedas “convexas” (Gaudí realizó tres tipos de bóvedas que se realizaban tomando diferentes partes del paraboloide hiperbólico) y en lacubierta del pabellón de entrada al Parc Güell (1914). Pero sin lugar a dudas fue en la Sagrada Familia donde la relación de Gaudí con el paraboloide hiperbólico se hizo másimportante. Como hemos comentado anteriormente utiliza esta superficie, junto con el hiperboloide y otras superficies, para cortarlas y combinarlas a fin de obtener las formas deseadas. Hemos comentado que utiliza el paraboloide en cubierta de la Sagrada Familia, como nexo de los hiperboloides, también utiliza paraboloides hiperbólicos en el diseño de la cúpula de la sacristía del templo de la Sagrada Familia o en triforio de la nave central. El arquitecto madrileño, pero que vivió tras la guerra civil española en México, Félix Candela, que vino a ser conocido como el principal diseñador de cascarones en el mundo, puede que sea una de las personas que mejor haya comprendido el mecanismo resistente de las estructuras en general y de las de hormigón en particular. Fue además mundialmenteconocido por sus cubiertas con formas obtenidas a partir del paraboloide hiperbólico. Elmismo llegó a decir que “todas las obras que envío están hechas de paraboloides hiperbólicos, y la posibilidad de combinaciones que den apariencias muy diversas es bastante grande, aunque no inagotable…”. Algunas de sus obras: i) El Restaurante LosManantiales, Xochimilco, México, 1957 (cubierta realizada al intersecar cuatro paraboloides hiperbólicos, como muestran los dibujos del propio Candela); ii) Iglesia deSan José Obrero, Monterrey, México, 1954 (que tiene una cubierta curiosa formada por dos paraboloides hiperbólicos apoyado uno sobre otro por uno de sus extremos, como se ve en el dibujo); iii) Otra estructura diferente y emblemática de Candela realizada a base de paraboloides hiperbólicos es la Embotelladora Bacardí en México D.F., 1959; iv) otra realización diferente es la de la Iglesia de la Medalla de la Virgen Milagrosa en México D.F., 1953; y un largo etcétera. Para terminar este breve paseo por la obra de FélixCandela recordemos su obra póstuma. Candela colaboró con Santiago Calatrava en la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia, en particular, es indudable que el ParqueOceanográfico es su canto del cisne.

Page 21Aunque la cantidad de obras arquitectónicas en las que se ha hecho uso del paraboloide hiperbólico en el mundo es enorme, vamos a acercar aquí unos pocos ejemplos: i) Miguel Fisac lo utilizó en la fachada de La Pagoda, Edificio de los Laboratorios Jorba de Madrid, 1965 (destruido en 1999); ii) Le Corbusier utilizó conoides y paraboloides hiperbólicos en el diseño del Pabellón Philips en la Exposición Universal de Bruselas en el año 1958(pabellón que tenía que ver mucho con la música y en el que Le Corbusier trabajó junto al músico Xennakis); iii) la Catedral de Santa María, Tokyo, 1963, de Kenzo Tange; iv) el Aeropuerto Internacional de Kuala Lumpur, Malasia, 1998, de Kisho Kurokawa. La última parte de esta búsqueda de la estabilidad del edificio sería el estudio de lassuperficies minimales y las cubiertas y capas de Frei Otto. Para quien pueda estar interesado en ellas desde una perspectiva geométrica le recomendamos el texto [S.Hildebarandt, A. Tromba, Matemática y Formas Óptimas, Prensa Científica, 1990]. Bibliografía: [1] Your Private Sky, R. B. Fuller, The Art of Design Science, Lars Müller Publ., 1999. [2] F. Candela, En defensa del formalismo y otros escritos, Xarait Ediciones, 1985. [3] A. Castellano (introducción), XII Profecías para el siglo XXI, L’arcaedizioni, 1997. [4] J. A. Fernández,J. R. Navarro, Eduardo Torroja, ingeniero, Ediciones Pronaos, 1999. [5] D. Giralt-Miracle (editor), Gaudí. La busqueda de la forma, Lunwerg Ed., 2002. [6] D. Giralt-Miracle (editor), Gaudí 2002. Miscelanea, Planeta, 2002. [7] P. Gösel, G. Leuthaüser, Arquitectura del Siglo XX, Taschen, 2001. [8] Ph. Jodido, Sir Norman Foster, Taschen, 1997.

[9] C. Jordá (Ed.), Eduardo Torroja. La vigencia de un legado, SPUPV, 2002. [10] I. Margolis, Architects+Engineers=Structures, Wiley-Academy, 2002. [11] L. Molinari, Santiago Calatrava, Skira, 1999. [12] H. Pearman, Contemporary World Architecture, Phaidon, 1998. [13]A. Román, Eero Saarinen, an Architecture of Multiplicity, Princeton Arch. Press, 2003. [14]S. Tárrago, E. Torroja, La Modernidad en la obra de Eduardo Torroja, Ed.Turner, 1979. [15] K. Williams (Ed.), Nexus III: Architecture and Mathematics, Pacini Editore, 2000. [16] AV Monografías 101: Miguel Fisac, 2003. [17] www.greatbuildings.com[18] www.structurae.de/en/structures/index.php

Finalmente hoy he podido escuchar el programa de Milenio 3 dedicado a Gaudí. En la entrevista al señor Coria se puso en evidencia lo difícil que es interpretar y encuadrar al famoso arquitecto de Reus. Masón o filomasón para unos, beato o católico integrista para otros. Lo cierto es que su arquitectura está repleta de elementos simbólicos, a veces hasta contradictorios, o aparentemente contradictorios. Pero el pensamiento simbólico de Gaudí no se agota en los elementos escultóricos o gráficos que decoran sus edificios sino que alcanza hasta la misma concepción arquitectónica.

En los últimos años por razones de trabajo, he tenido la oportunidad de acercarme a la vida y obra de Gaudí y, entre muchos aspectos curiosos o fascinantes, hay uno que me llama poderosamente la atención. Se trata de la poca estima que sentía Gaudí por la arquitectura septentrional en general y de manera concreta por el gótico francés, al que acusaba de “no haber conseguido liberarse de los contrafuertes” ¿Qué significado tiene esta frase? ¿Por qué tenía que liberarse la arquitectura gótica de los contrafuertes? ¿Por qué Gaudí veía como una imperfección el uso de contrafuertes y arbotantes en la construcción de una catedral?

Por desgracia Gaudí no nos ha dejado escritas las respuestas a estas cuestiones. De hecho, conocemos el comentario gracias solamente a los testimonios recogidos por sus discípulos y colaboradores. Pero a falta de literatura tenemos su arquitectura donde se pone de manifiesto que Gaudí estaba obsesionado con esa cuestión y que se dedicó con empeño a descubrir la manera de levantar una “iglesia gótica” que se autosustentara, es decir, que no necesitara de las muletas de contrafuertes y arbotantes para sujetar las bóvedas. Y lo logró.

Para ello tuvo que inventar un tipo de arco y de bóveda que jamás habían sido utilizados hasta la fecha: el arco catenario y la bóveda paraboloide hiperbólica. Los fue experimentando en diversas obras pero donde mejor se pueden apreciar es en sus dos iglesias, en la Cripta Güell y en la Sagrada Familia.

Después de darle muchas vueltas he llegado a intuir una explicación de esta voluntad gaudiniana de iglesias sin muletas. Mi interpretación es que esta voluntad se debe a que Gaudí fue un arquitecto imbuido, conocedor, simpatizante o militante (no tengo claro en que categoría debo ubicarlo) del pensamiento gnóstico y que ese pensamiento lo manifestó de una manera sutil pero al mismo tiempo clara en sus edificios eclesiales.

Para Gaudí, la arquitectura gótica es en su mayor parte (y especialmente en las catedrales francesas) una representación de la religiosidad ortodoxa: la iglesia (la comunión de los fieles) necesita a la Iglesia (el clero) para que haga de intermediaria entre el creyente y Dios, es decir, que sólo a través de la intermediación eclesiástica los creyentes podrán alcanzar la salvación. Por ello las naves de las iglesias (la comunidad de los creyentes) aguantan en pie gracias a los contrafuertes y los arbotantes (el clero).

El Templo Expiatorio de la Sagrada Familia, por el contrario, está diseñado como una gran catedral que se alza hacia el cielo más que ninguna catedral gótica sin necesidad de contrafuertes ni arbotantes. El uso del arco catenario y del paraboloide permite que las naves aguanten su propio peso y se alcen hacia Dios sin necesidad de muletas.

Además, hay que tener en cuenta que la Sagrada Familia no es una iglesia encargada ni financiada por el clero secular, no es una iglesia parroquial sino un templo expiatorio. Según consta en los estatutos fundacionales, la construcción de la Sagrada Familia debe costearse sólo con las aportaciones individuales de los fieles, sin aportaciones de la administración o del clero. Por alguna extraña razón que no es fácil explicar, la obra de Gaudí se ha hecho muy popular y es universalmente conocida, a pesar de las críticas que vertieron sobre ella sus contemporáneos ¿Quería Gaudí que la Sagrada Familia fuera la catedral de un nuevo cristianismo? ¿Pensó quizá que fuera la expresión moderna, la culminación de un pensamiento cristiano antiguo anterior a la ortodoxia? ¿Era Gaudí un gnóstico? Su ascetismo y su religiosidad me recuerdan inevitablemente a los perfectos cátaros aunque entiendo que podrían recordar también muchas otras cosas. Un fuerte abrazo a todos.Quizás lo que intentó Gaudí (es una hipótesis mía) es el de plasmar en sus obras el equilibrio matemático de la belleza de las curvas y las líneas. Lo femenino y lo masculino unidos en una sola construcción.Un equilibrio cuántico de la Creación.