archeia-me-mathimatika-olon-ton-vathmidon-tis-ekpaideysis …... · 2020. 5. 29. · to...

Περιεχόμενα 1

Λουκάς Κανάκης Γιώργος Μαυρίδης Παναγιώτης Μυταρέλλης Γιάννης Σαράφης

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΑΥΡΙΔΗ

2 Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τις υπογραφές των συγγραφέων

ΑΛΓΕΒΡΑ A΄ Λυκείου

Λ. Κανάκης, τηλ.: 6945.445196 Γ. Μαυρίδης, τηλ.: 2310.810715, 6973.306709 Π. Μυταρέλλης, τηλ.: 6995.632277 Γ. Σαράφης, τηλ.: 6974.499147

ISBN : 978 – 618 – 5249 – 02 – 1 © Copyright: ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΑΥΡΙΔΗ

Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Π . Τ Σ Α Χ Ο Υ Ρ Ι Δ Η Σ ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ ΒΙΒΛΙΩΝ - ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΣΤΡ. ΕΞΑΔΑΚΤΥΛΟΥ 5, 546 35 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Τηλ./Fax: 2310.248272, Ε-mail: [email protected]


Το βιβλίο αφιερώνεται σε όσους βλέπουν στα Μαθηματικά

κάτι παραπάνω από αριθμούς.


Πρόλογος

To μάθημα της Άλγεβρας κατέχει σημαντική θέση στο πρόγραμμα της Α΄

Λυκείου, αλλά είναι καθοριστικό και για τις δύο επόμενες τάξεις του Λυκείου και

φυσικά για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Το συγκεκριμένο βιβλίο στόχο έχει να

μυήσει τον μαθητή της Α΄ Λυκείου στην Άλγεβρα και να τον εφοδιάσει με γνώσεις

και μεθοδικότητα, ώστε να αντιμετωπίζει τα αλγεβρικά προβλήματα με επιτυχία.

Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2016 Γιώργος Λ. Μαυρίδης


Περιεχόμενα

Πρόλογος .............................................................................................................. 7

Επανάληψη-Αναμνήσεις από το Γυμνάσιο ................................................... 11 Φυσικοί Αριθμοί – Διάταξη Φυσικών ............................................................................. 13 Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός Φυσικών Αριθμών ....................................... 14 Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών ........................................................................................... 15 Ευκλείδεια Διαίρεση ........................................................................................................ 16 Αριθμητική Παράσταση .................................................................................................. 17 Ε.Κ.Π. – Μ.Κ.Δ. Φυσικών Αριθμών ............................................................................... 18 Κριτήρια Διαιρετότητας .................................................................................................. 19 Η Έννοια του Κλάσματος ................................................................................................ 19 Ισοδύναμα Κλάσματα ...................................................................................................... 20 Σύγκριση Κλασμάτων...................................................................................................... 21 Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων ............................................................................. 22 Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων ....................................................................................... 22 Διαίρεση Κλασμάτων ...................................................................................................... 23 Πράξεις με Δεκαδικούς Αριθμούς. Δυνάμεις με Βάση Δεκαδικό Αριθμό ...................... 24 Μονάδες Μέτρησης ......................................................................................................... 25 Ποσοστά .......................................................................................................................... 27 Λόγος δύο Αριθμών – Αναλογία ..................................................................................... 27 Θετικοί και Αρνητικοί (Ρητοί) Αριθμοί – Η Ευθεία των Ρητών – Τετμημένη Σημείου .. 28 Απόλυτη Τιμή Ρητού – Αντίθετοι Ρητοί – Σύγκριση Ρητών ........................................... 29 Πρόσθεση Ρητών Αριθμών .............................................................................................. 31 Αφαίρεση Ρητών Αριθμών .............................................................................................. 31 Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών................................................................................. 32 Διαίρεση Ρητών Αριθμών ................................................................................................ 33 Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με Εκθέτη Φυσικό ................................................................. 35 Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με Εκθέτη Ακέραιο................................................................ 36 Η Έννοια της Μεταβλητής .............................................................................................. 36 Αλγεβρικές Παραστάσεις – Αναγωγή Ομοίων Όρων ...................................................... 37 Εξισώσεις ......................................................................................................................... 38 Ανισώσεις ........................................................................................................................ 39 Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Ρητού Αριθμού .................................................................... 40


Άρρητοι Αριθμοί – Πραγματικοί Αριθμοί ....................................................................... 40 Αλγεβρικές Παραστάσεις ................................................................................................ 46 Μονώνυμα ....................................................................................................................... 47 Πολυώνυμα ...................................................................................................................... 49 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες ............................................................................................. 51 Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων ............................................................... 52 Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις ...................................................................................... 53 Η Εξίσωση αx + β = 0 ..................................................................................................... 56 Εξισώσεις Δευτέρου Βαθμού........................................................................................... 56 Παραγοντοποίηση Τριωνύμου ......................................................................................... 58 Κλασματικές Εξισώσεις .................................................................................................. 58 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών...................................................................................... 59 Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού με έναν Άγνωστο ................................................................ 61 Η Έννοια της Συνάρτησης ............................................................................................... 62 Καρτεσιανές Συντεταγμένες – Γραφική Παράσταση Συνάρτησης .................................. 63 Η Συνάρτηση y = αx ........................................................................................................ 65 Η Συνάρτηση y = αx + β .................................................................................................. 67

H Συνάρτηση αyx

= ....................................................................................................... 69

Η Έννοια της Γραμμικής Εξίσωσης – Η Εξίσωση αx + βy = γ ....................................... 70 Γραμμικά συστήματα ...................................................................................................... 71 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας........................................................................ 75

Εισαγωγικό Κεφάλαιο ......................................................................................... 77 Σύνολα – Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής ...................................................................... 79

Οι Πραγματικοί Αριθμοί ...................................................................................... 103 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους ..................................................................................... 105 Mέθοδοι Απόδειξης ......................................................................................................... 109 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών...................................................................................... 147 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού ............................................................................. 183 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών ........................................................................................... 213 Eρωτήσεις Θεωρίας ......................................................................................................... 250 Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους ............................................................................................. 251 Διαγωνίσματα .................................................................................................................. 254


Εξισώσεις ................................................................................................................ 259 Εξισώσεις 1ου Βαθμού .................................................................................................... 261 Η εξίσωση xν = α ............................................................................................................. 284 Εξισώσεις 2ου Βαθμού .................................................................................................... 289 Eρωτήσεις Θεωρίας ......................................................................................................... 322 Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους ............................................................................................. 323 Διαγώνισμα ...................................................................................................................... 324

Ανισώσεις ............................................................................................................... 327 Ανισώσεις 1ου Βαθμού ................................................................................................... 329 Ανισώσεις 2ου Βαθμού ................................................................................................... 347 Eρωτήσεις Θεωρίας ......................................................................................................... 379 Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους ............................................................................................. 379 Διαγώνισμα ...................................................................................................................... 380 Πρόοδοι ................................................................................................................... 383 Ακολουθίες ...................................................................................................................... 385 Αριθμητική Πρόοδος ....................................................................................................... 390 Γεωμετρική Πρόοδος ....................................................................................................... 399 Eρωτήσεις Θεωρίας ......................................................................................................... 408 Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους ............................................................................................. 409 Διαγώνισμα ...................................................................................................................... 410 Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων ................................................................. 413 Η Έννοια της Συνάρτησης ............................................................................................... 415 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης ................................................................................... 427 Η Συνάρτηση f (x) = αx + β ............................................................................................. 447 Η Συνάρτηση f (x) = αx2 + βx + γ με α ≠ 0 .................................................................... 459 Eρωτήσεις Θεωρίας ......................................................................................................... 470 Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους ............................................................................................. 470 Διαγώνισμα ...................................................................................................................... 473

Θέματα για Επανάληψη ...................................................................................... 475

Απαντήσεις ............................................................................................................ 497

Λύσεις Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου .............................................................. 569

Βιβλιογραφία ......................................................................................................... 571

Επανάληψη-Αναμνήσεις από το Γυμνάσιο 11

Eπανάληψη – Αναμνήσεις

από το Γυμνάσιο

12 Άλγεβρα A΄ Λυκείου

«Aν δεν είναι τόσο όμορφοι οι αριθμοί, τότε δεν ξέρω τι είναι όμορφο.»

Paul Erdos


O A B Γ Δ

1 20 3 4

Φυσικοί Αριθμοί – Διάταξη Φυσικών

● Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, ... ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.

Κάθε φυσικός αριθμός, εκτός από το 0, έχει έναν επόμενο και έναν προηγού-

μενο φυσικό αριθμό. Ο αριθμός 0 έχει μόνο επόμενο φυσικό αριθμό, το 1.

Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τους άρτιους ή ζυγούς

και τους περιττούς ή μονούς.

● Άρτιοι λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2. Δηλαδή, οι αριθμοί

0, 2, 4, 6, 8, ...

● Περιττοί λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 2. Δηλαδή, οι

αριθμοί 1, 3, 5, 7, 9, ...

Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης η αξία ενός ψηφίου καθορίζεται από τη

θέση που κατέχει, δηλαδή τη δεκαδική τάξη του (μονάδες, δεκάδες, εκατο-

ντάδες...).

● Στα Μαθηματικά χρησιμοποιούμε τα εξής σύμβολα:

το = που σημαίνει “ίσος με”

το < που σημαίνει “μικρότερος από”

το > που σημαίνει “μεγαλύτερος από”

Μπορούμε να διατάξουμε τους φυσικούς αριθμούς από τον μικρότερο προς

τον μεγαλύτερο. Πράγματι, ισχύει

0 1 2 3 ... 99 100 ...

Μπορούμε να φανταστούμε και να παραστήσουμε τους φυσικούς αριθμούς

σαν σημεία μιας ευθείας γραμμής με τον εξής τρόπο: Επιλέγουμε αυθαίρετα

ένα σημείο Ο της ευθείας που το ονομάζουμε αρχή για να παραστήσουμε τον

αριθμό 0. Στη συνέχεια, δεξιά από το σημείο Ο επιλέγουμε ένα άλλο σημείο Α

για να παραστήσουμε τον αριθμό 1. Οπότε, έχοντας ως μονάδα μέτρησης το

ΟΑ βρίσκουμε τα σημεία Β, Γ, Δ, ... που παριστάνουν τους αριθμούς 2, 3, 4...


Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός

Φυσικών Αριθμών

● Ονομάζουμε πρόσθεση την πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α

και β, τους προσθετέους, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό γ που είναι το

άθροισμά τους. Γράφουμε:

α β γ.

Παράδειγμα

11 4 15

προσθετέτοι άθροισμα

Ιδιότητες της Πρόσθεσης

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν:

● α 0 0 α 0 (Ουδέτερο στοιχείο)

● α β β α (Αντιμεταθετική ιδιότητα)

● α β γ α β γ (Προσεταιριστική ιδιότητα)

● Ονομάζουμε αφαίρεση την πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και

β με α β, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό γ ο οποίος όταν προστεθεί στο β

δίνει το α. Δηλαδή, α β γ .

Γράφουμε:

α β γ .

Ο αριθμός α λέγεται μειωτέος, ο αριθμός β αφαιρετέος και ο αριθμός γ λέγεται

διαφορά.


17 4 13

μειωτέος διαφορά

αφαιρετέος


● Ονομάζουμε πολλαπλασιασμό την πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθ-

μούς α και β, τους παράγοντες, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό γ που είναι

το γινόμενό τους. Γράφουμε

α β γ.


4 7 28

παράγοντες γινόμενο

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν:

● α 1 1 α α (Ουδέτερο στοιχείο)



● α β γ α β α γ (Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού

ως προς την πρόσθεση)

● α β γ α β α γ (Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού

ως προς την αφαίρεση)

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

● Ονομάζουμε δύναμη του α στη ν ή νιοστή δύναμη του α και συμβολίζουμε με

αν το γινόμενο που έχει ακριβώς ν παράγοντες ίσους με το α. Γράφουμε:

να α α α ... α

ν παράγοντες


45 5 5 5 5.


● Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης και ο ν λέγεται εκθέτης.

● Ο αριθμός α2 λέγεται και τετράγωνο του α.

● Ο αριθμός α3 λέγεται και κύβος του α.

● Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς α και ν ισχύουν:

1α α και ν

1 1.

Ευκλείδεια Διαίρεση

● Όταν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ και δ, με Δ δ 0, τότε μπορούμε να

βρούμε δύο άλλους φυσικούς αριθμούς π και υ τέτοιους, ώστε

Δ δ π υ με 0 υ δ.

Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός π λέγεται

πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.


Διαιρετέος Διαιρέτης

59 8

56 7

3

Υπόλοιπο Πηλίκο

● Η διαίρεση της παραπάνω μορφής ονομάζεται Ευκλείδεια Διαίρεση.

● Αν υ 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και ισχύει

Δ δ π.


● Η Ευκλείδεια διαίρεση έχει νόημα και όταν έχουμε Δ 0 και δ 0. Στην περί-

πτωση αυτή ισχύει

Δ δ 0 0

δηλαδή το πηλίκο και το υπόλοιπο είναι π υ 0.

● Για κάθε φυσικό αριθμό α ισχύουν:

α :α 1, α :1 α και 0:α 0.

Αριθμητική Παράσταση

● Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ

τους με τα σύμβολα των πράξεων.


Η παράσταση 3

2

11 5 72

3 8

είναι μια αριθμητική παράσταση.

● Η σειρά με την οποία πρέπει να κάνουμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράστα-

ση (προτεραιότητα των πράξεων) είναι η ακόλουθη:

1. Υπολογισμός δυνάμεων.

2. Εκτέλεση πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων.

3. Εκτέλεση προσθέσεων και αφαιρέσεων.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις

με την παραπάνω σειρά.


3 2 3

3

3

3 4 2 5 3 16 2 5

3 16 10

3 26

27 26

1.


Ε.Κ.Π. - Μ.Κ.Δ. Φυσικών Αριθμών

● Ονομάζουμε πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α όλους τους αριθμούς που

προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με κάθε φυσικό αριθμό. Δηλαδή, τα

πολλαπλάσια του α είναι οι αριθμοί 0, α, 2α, 3α, 4α, ...

Ο αριθμός α 0 έχει μόνον ένα πολλαπλάσιο, τον εαυτό του.

● Ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων φυσι-

κών αριθμών που δεν είναι μηδέν, το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσιά τους

που δεν είναι μηδέν.


ΕΚΠ 4, 6 12.

● Ονομάζουμε διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α όλους τους αριθμούς που τον

διαιρούν. Κάθε φυσικός αριθμός α 1 έχει τουλάχιστον δύο διαιρέτες, τους

αριθμούς 1 και α.

● Ονομάζουμε πρώτο αριθμό κάθε φυσικό αριθμό α 1 που έχει μοναδικούς διαι-

ρέτες, τους αριθμούς 1 και α.


Οι αριθμοί 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... είναι πρώτοι.

● Ονομάζουμε σύνθετο αριθμό κάθε φυσικό αριθμό α που δεν είναι πρώτος.


Οι αριθμοί 4, 6, 8, 9, 12, ... είναι σύνθετοι.

● Ονομάζουμε Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο φυσικών αριθμών τον μεγα-

λύτερο από τους κοινούς διαιρέτες τους.


ΜΚΔ 16, 20 4.

● Δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν και μόνο αν ισχύει

ΜΚΔ α, β 1.


Οι αριθμοί 8 και 15 είναι πρώτοι μεταξύ τους αφού ΜΚΔ 8,15 1.


Κριτήρια Διαιρετότητας

Κριτήρια Διαιρετότητας με 2, 3, 5, 9, 10 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπο-

ρούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός

διαιρείται με τους αριθμούς αυτούς.

● Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με 10, 100, 1000..., αν λήγει σε ένα, δύο, τρία,

... μηδενικά αντίστοιχα.


Ο αριθμός 472.800 διαιρέιται με το 100, αλλά όχι με το 1000.

● Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2, 4,

6, 8, δηλαδή αν είναι άρτιος.


Ο αριθμός 7856 διαιρείται με το 2.

● Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0 ή 5.


Ο αριθμός 475 διαιρείται με το 5.

● Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων

του διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα.


Ο αριθμός 123 διαιρείται με το 3 αλλά όχι με το 9.

Η Έννοια του Κλάσματος

● Αν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το

κάθε ένα από αυτά ονομάζεται νιοστό και συμβολίζεται με 1

.ν

● Κάθε τμήμα ενός μεγέθους ή ενός συνόλου ομοειδών αντικειμένων που αποτελεί-

ται από κ νιοστά ονομάζεται κάπα νιοστά και συμβολίζεται με κ

.ν


● Η έννοια του κλάσματος κ

ν επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο αριθμητής κ

είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή ν. Οπότε, ισχύει

κ1.

ν

● Κάθε φυσικός αριθμός κ μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, αφού ισχύει

κκ .

1

Ισοδύναμα Κλάσματα

● Δύο κλάσματα α

β και

γ

δ λέγονται ισοδύναμα, αν και μόνον αν εκφράζουν το

ίδιο τμήμα ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών. Προφανώς, ισχύει

α γ

β δ .


Τα κλάσματα 14 2

και21 3

είναι ισοδύναμα.

● Αν είναι α γ

,β δ τότε α δ β γ.

● Αν είναι λ 0, τότε α α λ

.β β λ

● Αν είναι λ 0, τότε α α : λ

.β β : λ

● Ονομάζουμε απλοποίηση ενός κλάσματος τη διαδικασία με την οποία μετατρέ-

πουμε ένα κλάσμα σε ισοδύναμό του με μικρότερους όρους.


15 15 :5 3

20 20 :5 4 .


● Αν ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί, δηλαδή αν ο αριθμητής και ο παρο-

νομαστής δεν έχουν κοινό διαιρέτη, τότε το κλάσμα λέγονται ανάγωγο.


Το κλάσμα 12

17 είναι ανάγωγο, αφού οι αριθμοί 12 και 17 είναι πρώτοι μεταξύ

τους.

● Δύο κλάσματα λέγονται ομώνυμα αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο παρονομαστή.


Τα κλάσματα 5

9 και

8

9 είναι ομώνυμα.

● Δύο κλάσματα λέγονται ετερώνυμα αν και μόνο αν έχουν διαφορετικούς παρο-

νομαστές.


Τα κλάσματα 4

7 και

9

5 είναι ετερώνυμα.

Σύγκριση Κλασμάτων

Για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα, χρησιμοποιούμε κάποια από τις παρακάτω προτά-

σεις:

● Αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή (ομώνυμα) μεγαλύτερο είναι

εκείνο που έχει μεγαλύτερο αριθμητή.


23 21

18 18 .

● Αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει μι-

κρότερο παρονομαστή.


18 18.

5 7


Από τα παραπάνω διαπιστώνουμε ότι για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα, αρκεί να τα

μετατρέψουμε σε ισοδύναμά τους που έχουν τους ίδιους παρονομαστές ή τους ίδιους

αριθμητές. Συνήθως επιλέγουμε το πρώτο, δηλαδή να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα.

Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων

● Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε

ομώνυμα και χρησιμοποιούμε τους παρακάτω κανόνες:

α β α β

γ γ γ

και

α β α β.

γ γ γ


5 7 10 21 31

3 2 6 6 6 και

7 8 35 32 3

4 5 20 20 20

● Ονομάζουμε μεικτό αριθμό το άθροισμα ενός ακέραιου με ένα κλάσμα μικρότε-

ρο της μονάδας. Για παράδειγμα το άθροισμα 2

4 ,5

το οποίο συμβολίζουμε πιο

απλά 2

4 .5


2 2 3 2 9 2 113 3 .

3 3 1 3 3 3 3

Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων

● Για τον πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων ή ενός φυσικού αριθμού με ένα κλάσμα

χρησιμοποιούμε τους παρακάτω κανόνες:

α γ α γ

β δ β δ

και

α λ αλ

β β


2 7 2 7 14

5 3 5 3 15

και

11 4 11 444 .

9 9 9


● Δύο κλάσματα λέγονται αντίστροφα αν και μόνο αν έχουν γινόμενο 1.

Έτσι, τα κλάσματα α

β και

β

α είναι αντίστροφα, διότι

α β1.

β α

● Όλες οι ιδιότητες των πράξεων των φυσικών αριθμών ισχύουν και στα κλάσματα.

Διαίρεση Κλασμάτων

● Για να διαιρέσουμε δύο φυσικούς αριθμούς ή δύο κλάσματα αρκεί να πολλαπλα-

σιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή,

1 αα : β α

β β και

α γ α δ: .

β δ β γ


3 2 3 7 21: .

5 7 5 2 10

● Ονομάζουμε σύνθετο κλάσμα κάθε κλάσμα του οποίου ένας τουλάχιστον όρος

είναι κλάσμα Για να μετατρέψουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό χρησιμοποιούμε

τον παρακάτω κανόνα:

α

α δβ.

γ β γ

δ


8

8 2 163 .9 3 9 27

2

7

7 7 4 281 .3 3 1 3 3

4 4


Πράξεις με Δεκαδικούς Αριθμούς

Δυνάμεις με Βάση Δεκαδικό Αριθμό

● Η πρόσθεση και η αφαίρεση δεκαδικών αριθμών γίνεται, όπως και στους φυσι-

κούς αριθμούς. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα ψηφία της ίδιας τάξης, τοποθετώ-

ντας τους αριθμούς, τον έναν κάτω από τον άλλον, έτσι ώστε οι υποδιαστολές να

γράφονται στην ίδια στήλη.


42,63 58,47

17,275 33,12

59,905 25,35

● Ο πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών γίνεται όπως και στους φυσικούς αριθ-

μούς. Τα δεκαδικά ψηφία του αποτελέσματος της πράξης είναι τόσα, όσα είναι

συνολικά τα ψηφία στα δεκαδικά μέρη και των δύο παραγόντων.


12,7

x 4,3

381

508

54,61

● Η διαίρεση δεκαδικού αριθμού με δεκαδικό αριθμό γίνεται όπως και η ευκλεί-

δια διαίρεση.

Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη και τον διαιρετέο με την κατάλληλη δύναμη του

10, έτσι ώστε ο διαιρετέος να γίνει φυσικός αριθμός. Όταν εξαντληθεί το ακέραιο

μέρος του διαιρετέου, «κατεβάζουμε» το μηδέν, ως πρώτο δεκαδικό ψηφίο από

τον διαιρετέο και τοποθετούμε στο πηλίκο υποδιαστολή.


Η διαίρεση 98,32 : 4,3

γίνεται 9832 : 430


9832,00 430

12320 22,8

37200

280

● Όταν πολλαπλασιάζουμε με 0,1, 0,01, 0,001... ή όταν διαιρούμε έναν δεκαδικό

αριθμό με 10, 100, 1000, ... μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά

μία, δύο, τρεις... αντίστοιχα θέσεις.


4272,80 · 0,01 = 42,728

75134,7 : 1000 = 75,1347

● Το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων που έχει το αποτέλεσμα μιας δύναμης, προ-

κύπτει πολλαπλασιάζοντας το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της βάσης με τον

εκθέτη της δύναμης.


2 2

2 2

3 3

5, 6 5,6 31,36

3,14 3,14 9,8596

2,71 2,71 19,902511

Μονάδες Μέτρησης

Μονάδες Μέτρησης Μήκους

Η βασική μονάδα μήκους είναι το μέτρο (συμβολίζεται με m).

Yποδιαιρέσεις του μέτρου:

● 1 δεκατόμετρο ή παλάμη (dm) 1

1dm m 0,1m10

● 1 εκατοστόμετρο ή πόντος (cm) 1

1cm m 0,01m100

● 1 χιλιοστόμετρο ή χιλιοστό (mm) 1

1mm m 0,001m1.000

Πολλαπλάσιο του μέτρου:

● 1 χιλιόμετρο (Km) 1Km 1.000m


Μονάδες Μέτρησης Εμβαδού

Η βασική μονάδα μέτρησης εμβαδού είναι το τετραγωνικό μέτρο (συμβολίζεται με

m2) που είναι η επιφάνεια ενός τετραγώνου με πλευρά ένα μέτρο.

Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου:

● 1 τετραγωνικό δεκατόμετρο (dm2)

2 2 211dm m 0,01m

100

● 1 τετραγωνικό εκατοστόμετρο (cm2)

2 2 211cm m 0,0001m

10.000

● 1 τετραγωνικό χιλιοστόμετρο (mm2)

2 2 211mm m 0,000001m

1.000.000

Μονάδες Μέτρησης Όγκου

Η βασική μονάδα μέτρησης όγκου είναι το κυβικό μέτρο (συμβολίζεται με m3) που

είναι η όγκος ενός κύβου, ακμής ενός μέτρου.

Υποδιαιρέσεις του κυβικού μέτρου:

● 1 κυβικό δεκατόμετρο (dm3)

3 3 311dm m 0,001m

1.000

● 1 κυβικό εκατοστόμετρο (cm3)

3 3 311cm m 0,000001m

1.000.000

● 1 κυβικό χιλιοστόμετρο (mm3)

3 3 311mm m 0,000000001m

1.000.000.000

Για τη μέτρηση του όγκου χρησιμοποιούμε

και το dm3 που ονομάζεται και λίτρο (lt). 3 31lt 1dm 0,001m

Το cm3 λέγεται και χιλιοστόλιτρο (ml). 3 31ml 0,001lt 1cm 0,000001m .

Μονάδες Μέτρησης Χρόνου

Η μονάδα μέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (συμβολίζεται με s).

Πολλαπλάσια:

● 1 λεπτό (min) = 60 s

● 1 ώρα (h) = 1.460 min = 3.600 s

● 1 ημέρα = 24 h = 1.440 min = 86.400 s


Ποσοστά

● Το σύμβολο α% ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό και

είναι ίσο με α

100.

● Το ποσοστο α% του β είναι α

β100

.

● Χρησιμοποιούμε ακόμη το ποσοστό α‰ που διαβάζεται ποσοστό επί τοις

χιλίοις και είναι ίσο με α

1000.

● Το ποσοστό α‰ του β είναι α

β.1000

● Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά.


1 44%.

25 100

Λόγος δύο Αριθμών - Αναλογία

● Λόγος δύο ομοειδών μεγεθών, που εκφράζονται με την ίδια μονάδα μέτρησης,

ονομάζεται το πηλίκο των μέτρων τους.

● Αναλογία ονομάζεται η ισότητα λόγων.


Η ισότητα 2 4

3 6 είναι αναλογία.

● Κάθε αναλογία α γ

β δ είναι ισοδύναμη με τη σχέση α δ β γ .


Θετικοί και Αρνητικοί (Ρητοί) Αριθμοί

– Η Ευθεία των Ρητών – Τετμημένη Σημείου

● Τα σύμβολα « + » και « – » λέγονται πρόσημα. Γράφονται πριν από τους αριθ-

μούς χαρακτηρίζοντάς τους ως θετικούς ή αρνητικούς αντίστοιχα.


Οι αριθμοί 4

5, , 3, 177

είναι θετικοί αριθμοί, ενώ οι αριθμοί 5

2, , 0,289

είναι αρνητικοί αριθμοί.

● Όταν αναφερόμαστε σε θετικούς αριθμούς, συνήθως παραλείπουμε το πρόση-

μο +.


Αντί να γράφουμε +11 γράφουμε απλά 11.

● Ο αριθμός 0 (μηδέν) δεν είναι ούτε θετικός, ούτε αρνητικός.

● Δύο αριθμοί λέγονται ομόσημοι αν και μόνο αν έχουν το ίδιο πρόσημο.


Οι αριθμοί 3 και 1

5 είναι ομόσημοι.

● Δύο αριθμοί λέγονται ετερόσημοι αν και μόνο αν έχουν διαφορετικό πρόσημο.


Οι αριθμοί 4 και 5

8 είναι ετερόσημοι.

● Ακέραιοι αριθμοί ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντί-

στοιχους αρνητικούς αριθμούς.

... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,....

● Ρητοί αριθμοί ονομάζονται όλοι οι γνωστοί έως τώρα αριθμοί: φυσικοί, κλά-

σματα και δεκαδικοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς.


● Θεωρώντας άξονα x Ox μπορούμε να παραστήσουμε σε αυτόν όλους τους ρη-

τούς αριθμούς. Μάλιστα, στον ημιάξονα Οx τοποθετούμε όλους τους θετικούς

αριθμούς, ενώ στον ημιάξονα Οx όλους τους αρνητικούς αριθμούς.

● Η θέση ενός σημείου πάνω στην ευθεία ορίζεται με έναν αριθμό που ονομάζεται

τετμημένη του σημείου.


Το σημείο Α έχει τετμημένη 2 και το σημείο Β έχει τετμημένη 3.

Απόλυτη Τιμή Ρητού – Αντίθετοι Ρητοί – Σύγκριση Ρητών

● Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α την απόσταση του σημείου με τε-

τμημένη α από την αρχή Ο του άξονα. Η απόλυτη τιμή του α συμβολίζεται με α .


4 4 και 3 3.

● Ο αντίθετος ενός αριθμού α είναι ο αριθμός α.

● Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.

● Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του.

● Η απόλυτη τιμή του μηδενός είναι το μηδέν.

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

O

3 4

O

-3 -2 -1 0 1 2 3

xx1,5 2,7

O

-3 -2 -1 0 1 2 3

xx A B



12, 5 12, 5 7, 4 7,4 0 0.

● Δύο σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση δεξιά και αριστερά από την αρχή

των αξόνων έχουν τετμημένες, αντίθετους αριθμούς.

● Ο μεγαλύτερος από δύο ρητούς αριθμούς είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα

πάνω στον άξονα των αριθμών. Επομένως, κάθε θετικός ρητός είναι μεγαλύτερος

από κάθε αρνητικό ρητό.


3,5 1,4 0 1,4 3,5.

● Το μηδέν είναι μικρότερο από κάθε θετικό αριθμό και μεγαλύτερο από κάθε

αρνητικό αριθμό.

● Ο μεγαλύτερος από δύο θετικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει τη μεγαλύτερη

απόλυτη τιμή.


3,7 4,2, διότι 3,7 4,2 .

● Ο μεγαλύτερος από δύο αρνητικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει τη μικρότερη

απόλυτη τιμή.


5,2 4,7 διότι 5,2 4, 7 .

–3,5 –1,4 0 1,4 3,5

O

απόσταση 2 απόσταση 2

–2 0 2


Πρόσθεση Ρητών Αριθμών

● Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, προσθέτουμε τις από-

λυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημό τους.


2,5 3,4 5,9

1,2 5,3 6,5

● Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, αφαιρούμε από τη

μεγαλύτερη τη μικρότερη απόλυτη τιμή και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο

του ρητού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.


7, 4 5, 3 2,1

8,6 4,1 4,5

Ιδιότητες της πρόσθεσης

Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς α, β, γ ισχύει:



● α 0 0 α α (Ουδέτερο στοιχείο)

● α α α α 0 (Αντίθετοι αριθμοί).

Αφαίρεση Ρητών Αριθμών

● Για να αφαιρέσουμε από έναν αριθμό α έναν αριθμό β προσθέτουμε στον α τον

αντίθετο του β. Δηλαδή,

α β α β .

● Στους ρητούς αριθμούς η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση. Επομένως, δεν

είναι απαραίτητο ο μειωτέος να είναι μεγαλύτερος από τον αφαιρετέο.


Απαλοιφή Παρενθέσεων

● Αν μία παρένθεση έχει μπροστά της το + (ή δεν έχει πρόσημο), μπορούμε να την

απαλείψουμε μαζί με το + (αν έχει) και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με

τα πρόσημά τους.


2,5 1,4 6,3 7,5 2,5 1,4 6,3 7,5.

● Αν μία παρένθεση έχει μπροστά της το , μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με

το και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.


3,8 4,7 2,9 6,1 3,8 4,7 2,9 6,1.

Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών

● Το γινόμενο δύο θετικών ρητών είναι θετικός ρητός.

● Το γινόμενο ενός θετικού και ενός αρνητικού ρητού είναι αρνητικός ρητός.

● Το γινόμενο δύο αρνητικών ρητών είναι θετικός ρητός.

● Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιά-

ζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε το πρόσημο +. Δηλαδή,

και


2,5 3,2 8

2,5 3,2 8

● Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιά-

ζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε το πρόσημο . Δηλαδή,

και


2,5 3,2 8

2,5 3,2 8


Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού

● Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς α, β, γ ισχύει:

α β β α (Αντιμεταθετική ιδιότητα)

α β γ α β γ (Προσεταιριστική ιδιότητα)

1 α α 1 α (Ουδέτερο στοιχείο)

α β γ α β α γ (Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού

α β γ α β α γ ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση).

α 0 0 α 0

● Δύο ρητοί αριθμοί α και β λέγονται αντίστροφοι αν και μόνο αν είναι διάφοροι

του μηδενός και το γινόμενό τους είναι ίσο με τη μονάδα. Δηλαδή α β 1.

Ο καθένας από τους α και β λέγεται αντίστροφος του άλλου.


Οι αριθμοί 0, 2 και 5 είναι αντίστροφοι διότι 0,2 5 1.

Γινόμενο Πολλών Παραγόντων

● Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων (που κανένας δεν είναι

μηδέν) πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και στο γινόμενο βάζουμε:

το πρόσημο +, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο

το πρόσημο , αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό.

● Αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν, τότε το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

Διαίρεση Ρητών Αριθμών

● Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και

στο πηλίκο βάζουμε:

το πρόσημο +, αν είναι ομόσημοι. Δηλαδή:

: και : .


11,22 : 2,2 5,1

11,22 : 2,2 5,1


το πρόσημο –, αν είναι ετερόσημοι. Δηλαδή:

: και : .


11,22 : 2,2 5,1

11,22 : 2,2 5,1

● Το πηλίκο της διαίρεσης α

α :β ήβ

λέγεται λόγος του α προς το β και ορίζεται

ως η μοναδική λύση της εξίσωσης β x α.

Παράδειγμα Ο λόγος του 20 προς το 4 είναι:

2020 : 4 5 διότι 4 5 20

4

Ο λόγος του 7 προς το 2 είναι:

7 77 : 2

2 2

διότι 7

2 72

.

● Η διαίρεση α

β μπορείνα γραφεί και

1αβ . Επομένως για να διαιρέσουμε δύο ρη-

τούς αριθμούς, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή,

α 1α .β β


3 13 : 4 3

4 46 1

6 : 7 67 7

5 15 : 2 5

2 2

● Διαίρεση με διαιρέτη το μηδέν δεν ορίζεται.


Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με Εκθέτη Φυσικό

Συμβολισμοί

● Το γινόμενο


α α α ... α (είτε ο α είναι

θετικός είτε αρνητικός ρητός), συμβο-

λίζεται με το να και λέγεται δύναμη με

βάση το α και εκθέτη το φυσικό ν 1.

● Για ν 1 , γράφουμε 1α α .

● Η δύναμη αν διαβάζεται και ν-οστή δύναμη του α.

● Η δύναμη α2 λέγεται και τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.

● Η δύναμη α3 λέγεται και κύβος του α ή α στον κύβο.

Πρόσημο Δύναμης

● Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός.

Δηλαδή, αν α 0 , τότε να 0.


5

2 2 2 2 2 2 32 0.

● Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός.

Δηλαδή, αν α 0 και ν άρτιος, τότε να 0.


άρτιο πλήθος

42 2 2 2 2 16 0

● Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός.

Δηλαδή, αν α 0 και ν περιττός, τότε να 0.


περιττό πλήθος

52 2 2 2 2 2 32 0.

εκθέτης

βάση

ν


α α α α ... α


● Ιδιότητες Δυνάμεων Ρητών με Εκθέτη Φυσικό

Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς α, β και φυσικούς αριθμούς μ, ν ισχύουν:

μ ν μ να α α

μ ν μ να :α α

ν

μ μνα α

ν ν ν

α β α β

ν ν

ν

α α

β β

με β 0

Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με Εκθέτη Ακέραιο

● Για κάθε αριθμό α διάφορο του μηδενός ισχύει

0α 1 .

● Για οποιουσδήποτε αριθμούς α β, β 0 και φυσικό αριθμό ν ισχύει:

νν

ν

1 1α

αα

και

ν να β

β α

.


2 23

3

1 1 5 3 92 και .

8 3 5 252

● Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη φυσικό που μάθαμε ισχύουν και για τις δυ-

νάμεις με εκθέτη ακέραιο.

Η Έννοια της Μεταβλητής

Ονομάζουμε μεταβλητή κάθε γράμμα που παριστάνει έναν οποιονδήποτε αριθμό. Για

να παραστήσουμε μία μεταβλητή χρησιμοποιούμε συνήθως κάποιο γράμμα του Ελλη-

νικού ή Λατινικού αλφάβητου, π.χ. α, β, γ, ..., x, y, z.


Αλγεβρικές Παραστάσεις – Αναγωγή Ομοίων Όρων

● Ονομάζουμε αριθμητική παράσταση κάθε παράσταση που περιέχει πράξεις με

αριθμούς.


Οι παραστάσεις 4 5 2 3 3 και

2 3 4 7

2 5 6 8

είναι αριθμητικές

παραστάσεις.

● Ονομάζουμε αλγεβρική παράσταση κάθε παράσταση που περιέχει πράξεις με

αριθμούς και μεταβλητές.


Οι παραστάσεις 3 x 2 x 5 και 2

2 x 7

x 1

είναι αλγεβρικές παραστάσεις.

● Επιμεριστική ιδιότητα: Για όλους τους αριθμούς α, β και γ ισχύει:

α β γ α β α γ

Η επιμεριστική ιδιότητα μπορεί να μας βοηθήσει να κάνουμε εύκολα πράξεις στις

αλγεβρικές παραστάσεις.

● Ονομάζουμε αναγωγή ομοίων όρων τη διαδικασία με την οποία γράφουμε σε

απλούστερη μορφή αλγεβρικές παραστάσεις, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική

ιδιότητα.


Να κάνετε αναγωγή ομοίων όρων στις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις:

i) 5 α 13 α ii) 2 x 7 x 6 x .

Λύση

i) 5 α 13 α 5 13 α 18 α

ii) 2 x 7 x 6 x 2 7 6 x 11 x.

● Συνήθως, στις αλγεβρικές παραστάσεις δεν βάζουμε το σύμβολο του πολ-

λαπλασιασμού μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.

Έτσι λοιπόν γράφουμε 4xy αντί για 4 x y .

Επίσης, γράφουμε 5 2x 1 y 5xz 3 αντί για 5 2 x 1 y 5 x z 3 .


Εξισώσεις

● Ονομάζουμε εξίσωση με άγνωστο αριθμό x κάθε ισότητα που περιέχει τον άγνω-

στο αριθμό x.


H ισότητα 4x 3 2x 17 είναι μία εξίσωση με άγνωστο αριθμό x.

● Στην εξίσωση του παραδείγματος, η παράσταση 4x 3 λέγεται πρώτο μέλος της

εξίσωσης, ενώ η παράσταση 2x 17 λέγεται δεύτερο μέλος της εξίσωσης.

● Ονομάζουμε λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης με άγνωστο αριθμό x κάθε αριθμό που

την επαληθεύει. Δηλαδή, κάθε αριθμό που αν αντικαταστήσει τον άγνωστο αριθ-

μό x προκύπτει μία ισότητα που είναι αληθής.


Ο αριθμός 5 είναι λύση της εξίσωσης 3x 8 7 . Πράγματι, αν αντικατα-

στήσουμε τον άγνωστο x με τον αριθμό 5 προκύπτει η ισότητα 3 5 8 7 που

είναι αληθής.

● Μία εξίσωση λέγεται αδύνατη όταν δεν έχει καμία λύση.

● Μία εξίσωση λέγεται ταυτότητα όταν κάθε αριθμός είναι λύση της.


Η εξίσωση 0 x 2 είναι αδύνατη, ενώ η εξίσωση 0 x 0 είναι ταυτότητα.

● Η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τις λύσεις μιας εξίσωσης λέγεται

επίλυση της εξίσωσης. Για να λύσουμε μία εξίσωση εργαζόμαστε ως εξής:

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.

Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων.

Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου.


Ανισώσεις

● Ονομάζουμε ανίσωση με άγνωστο αριθμό x κάθε ανισοτική σχέση που περιέχει

τον άγνωστο αριθμό x.


H ανισοτική σχέση 2x 5 x 4 είναι μια ανίσωση με άγνωστο αριθμό x.

● Ονομάζουμε λύση μιας ανίσωσης με άγνωστο αριθμό x κάθε αριθμό που την ε-

παληθεύει. Δηλαδή, κάθε αριθμό που αν αντικαταστήσει τον άγνωστο αριθμό x

προκύπτει μία ανισότητα που είναι αληθής.


Ο αριθμός 3 είναι λύση της ανίσωσης 4x 2 5x, αφού ισχύει

4 3 2 5 3, δηλαδή 14 15.

● Μια ανίσωση λέγεται αδύνατη αν και μόνο αν δεν έχει καμία λύση.

● Μια ανίσωση μπορεί να αληθεύει για κάθε τιμή του άγνωστου αριθμού.


Η ανίσωση 0 x 2 είναι αδύνατη, ενώ η ανίσωση 0 x 5 αληθεύει για κάθε

τιμή του x.

● H διαδικασία που ακολουθούμε για να λύσουμε μία ανίσωση λέγεται επίλυση της

ανίσωσης.

Η μέθοδος που ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση είναι παρόμοια με

εκείνη που ακολουθούμε για την επίλυση μιας εξίσωσης. Δηλαδή:

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.

Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων.

Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός,

η ανίσωση δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός η φορά της ανίσωσης

αλλάζει.


Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Ρητού Αριθμού

● Ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού ρητού αριθμού α τον θετικό αριθμό

ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα

του α συμβολίζεται με α.

● Ορίζουμε 0 0 , αφού 20 0.


81 9, αφού 29 81.

25 5

,4 2

αφού

25 25

.2 4

● Δεν ορίζουμε τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, αφού δεν υπάρχει αριθμός

που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει αρνητικό αριθμό.


Η 16 δεν έχει νόημα.

● Με βάση τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας, προκύπτει ότι:

Αν α x, τότε α 0, x 0 και 2x α.

Αν α 0, τότε 2

α α.

Άρρητοι Αριθμοί – Πραγματικοί Αριθμοί

Άρρητοι Αριθμοί

● Ονομάζουμε άρρητο αριθμό κάθε αριθμό που δεν είναι ρητός.


Οι αριθμοί 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11 ... έχει αποδειχθεί ότι είναι άρρητοι.

● Έχει αποδειχθεί ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε κάθε άρρητο αριθμό με τη βοή-

θεια ρητών αριθμών με όση ακρίβεια θέλουμε. Έτσι μπορούμε να προσεγγίσουμε

τον αριθμό 2 με τον ρητό αριθμό 1,41 με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, δη-

λαδή με ακρίβεια εκατοστού.


Πραγματικοί Αριθμοί

● Οι φυσικοί αριθμοί: 0, 1, 2, 3, .. παριστάνονται στη

διπλανή ευθεία με σημεία. Στην αρχή Ο έχουμε το-

ποθετήσει το μηδέν (0).

● Οι ακέραιοι αριθμοί: ... 3, 2, 1, 0,1, 2, 3 ... παρι-

στάνονται πάλι με σημεία. Τοποθετούμε στα δεξιά

της αρχής Ο τους θετικούς ακέραιους αριθμούς και

στα αριστερά τους αρνητικούς.

● Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το σύνολο των

αριθμών που μπορούν να γραφούν στη μορφή μ

ν,

όπου μ ακέραιος και ν φυσικός αριθμός.

Οι ρητοί αριθμοί έχουν γνωστή δεκαδική μορφή

και γεμίζουν την ευθεία, αλλά όχι πλήρως.

● Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελού-

νται όχι μόνο από όλους τους ρη-

τούς, αλλά και όλους τους άρρη-

τους.

● Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της

ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματι-

κός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας. Για το λόγο αυτό, η ευ-

θεία αυτή ονομάζεται ευθεία ή άξονας των πραγματικών αριθμών.

● Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α ονομάζεται η απόσταση του σημείου

που παριστάνει τον αριθμό α από την αρχή του άξονα. Η απόλυτη τιμή του α

συμβολίζεται με α .


7 75 5, 0 0, .

3 3

0 1 2 3

O

-3 -2 -1 0 1 2 3

O

-3 -2 -1 0 1 2 3

O2,35 3

8

1

2

3,2

-3 -2 -1 0 1 2 3

O2,35 3

8

1

2

3,2

5

2 3

π


Πρόσθεση Πραγματικών Αριθμών

● Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές

τους και στο άθροισμά τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο.


2,3 3,2 2,3 3,2 5,5

7,2 1,4 7,2 1,4 8,6

● Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη δυνα-

τή απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά τους βάζουμε πρόσημο, το

πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.


9,3 5,1 9,3 5,1 4,2

4,6 6,6 6,6 4,6 2

Πολλαπλασιασμός Πραγματικών Αριθμών

● Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις

απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο +.


3 2 6, 5 1,2 6.

● Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις

απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο .


2 6

35 5

,

4 5 1.

5 8 2


Ιδιότητες της Πρόσθεσης και του Πολλαπλασιασμού

Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες:

Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική α β β α αβ βα

Προσεταιριστική α β γ α β γ α βγ αβ γ

Ουδέτερο στοιχείο α 0 α α 1 0

Αντίθετοι –

Αντίστροφοι αριθμοί α α 0

1α 1, α 0

α

Επιμεριστική α β γ αβ αγ

Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι:

● α 0 0

● Αν αβ 0 , τότε α 0 ή β 0.

● Δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν, λέγονται αντίθετοι.


Οι αριθμοί 4 4

και3 3

είναι αντίθετοι, γιατί 4 4

0.3 3

● Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα, λέγονται αντίστροφοι.


Οι αριθμοί 5 7

και7 5

είναι αντίστροφοι γιατί 5 7

1.7 5

Αφαίρεση – Διαίρεση Πραγματικών Αριθμών

Οι πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης γίνονται με τη βοήθεια της πρόσθεσης και

του πολλαπλασιασμού αντιστοίχως.

● Για να βρούμε τη διαφορά δύο αριθμών, προσθέτουμε στον μειωτέο τον αντί-

θετο του αφαιρετέου.

α β α β


3 4 3 4 1, 8 2 8 2 10.


● Για να βρούμε το πηλίκο δύο αριθμών α

α :β ή με β 0β

, πολλαπλασιάζουμε

τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

ή1 α 1

α : β α α .β β β

Παράδειγμα 2 2 1 1

: 4 .3 3 4 6

Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών

Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό ν 2

συμβολίζεται με να και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με το αριθμό α. Δηλαδή

ν


α α α α ... α

Ορίζουμε ακόμη:

με α 0

με α 0

1

0

ν

ν

α 0

α 1

1α

α

Για τις δυνάμεις με εκθέτες ακέραιους αριθμούς και εφόσον αυτές ορίζονται, ισχύουν

οι ιδιότητες:

Ιδιότητες Παραδείγματα μ ν μ να α α

3 2 52 2 2

μ ν μ να :α α 12 10 25 :5 5

ν ν ναβ α β

2 2 23 4 3 4

ν ν

ν

α α

β β

3 3

3

5 5

6 6

ν

μ μνα α 4

3 122 2

ν να β

β α

2 2

8 9

9 8


Τετραγωνική Ρίζα Πραγματικού Αριθμού

● Ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x και συμβολίζουμε με

x τον θετικό αριθμό που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον αριθμό x. Επί-

σης, ορίζουμε 0 0 .


25 5 και 49 7.

● Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει

2x x .


2 23 3 3 και 6 6 6.

● Για κάθε πραγματικό αριθμό x 0 ισχύει

2

x x.


2

8 8.

Ιδιότητες των Ριζών

Για δύο οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς α, β αποδεικνύεται ότι:

● Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του

γινομένου τους. Δηλαδή,

α β αβ.

● Το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του

πηλίκου τους. Δηλαδή,

α α

ββ με β 0 .


Προσοχή

Οι παραπάνω ιδιότητες δεν ισχύουν για το άθροισμα ή τη διαφορά δύο θετικών αριθ-

μών. Δηλαδή, αν α, β είναι δύο θετικοί αριθμοί, τότε:

α β α β και α β α β, με α β 0.


16 9 4 3 7 και 16 9 25 5 .

Oπότε,

16 9 16 9.

Αλγεβρικές Παραστάσεις

● Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε παράσταση που περιέχει μόνο αριθμούς.

Παράδειγμα 25 3 2, 4 7 8 .

● Αλγεβρική παράσταση λέγεται κάθε παράσταση η οποία περιέχει αριθμούς και

μεταβλητές.


2 β2x 5, 4α .

α

● Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια όταν μεταξύ των μεταβλητών της

σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι

εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.


3 24x 5x, αβ 7.

3

● Αριθμητική τιμή ή απλά τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης λέγεται ο αριθμός

που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς.


Η τιμή της παράστασης 23x xy για x 2 και y 5 είναι

23 2 2 5 12 10 2.


Μονώνυμα

● Μονώνυμα λέγονται οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις στις οποίες μεταξύ των

μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού.


Οι παραστάσεις 2 2 374x y, x y ω

5 είναι μονώνυμα.

● Συντελεστής ενός μονώνυμου λέγεται ο αριθμητικός του παράγοντας.


Ο συντελεστής του μονωνύμου 43xy

5 είναι ο

3.

5

● Κύριο μέρος ενός μονωνύμου λέγεται το γινόμενο όλων των μεταβλητών του με

τους αντίστοιχους εκθέτες τους.


Το κύριο μέρος του μονωνύμου 43xy

5 είναι 4xy .

● Βαθμός ενός μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης της μετα-

βλητής.


Ο βαθμός του μονωνύμου 25x y ως προς x είναι 2.

● Bαθμός ενός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές λέγεται το άθροισμα των

εκθετών των μεταβλητών του.


Ο βαθμός του μονωνύμου 25x y ως προς x και y είναι 2 1 3.

● Όμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος.


Τα μονώνυμα 5 2 5 2 5 23x y , 2x y , 11x y

4 είναι όμοια.

● Ίσα μονώνυμα λέγονται εκείνα που είναι όμοια και έχουν τον ίδιο συντελεστή.

● Αντίθετα μονώνυμα λέγονται εκείνα που είναι όμοια και έχουν αντίθετους συ-

ντελεστές.


Τα μονώνυμα 25x y και 25x y είναι αντίθετα.


● Σταθερά μονώνυμα λέγονται οι αριθμοί. Ειδικότερα, μηδενικό μονώνυμο λέγε-

ται ο αριθμός 0. Όλα τα σταθερά μονώνυμα, εκτός από το μηδενικό, έχουν βαθμό

0. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει βαθμό.

Πρόσθεση Μονωνύμων

● Άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι το μονώνυμο που είναι όμοιο με αυτά και

έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους.


2 2 2 27x y 3x y 7 3 x y 10x y.

Πολλαπλασιασμός Μονωνύμων

Γινόμενο μονωνύμων είναι το μονώνυμο με:

● συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών και

● κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής

το άθροισμα των εκθετών τους.


2 3 4 3 5 32x yω 5xy 10x y ω .

Διαίρεση Μονωνύμων

● Διαίρεση μονωνύμων, όπως και η διαίρεση αριθμών, γίνεται πολλαπλασιάζοντας

τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

Παράδειγμα 2 3

2 3 2 3 21 18 x y18x y ω: 2xy 18x y ω ω 9xy ω.

2xy 2 x y

Επίσης, 5 2 4

2 2 3

3 2

4x yω 2x ω4x yω : 2xy ω

2xy ω y .

● Από τα παραδείγματα προκύπτει ότι το πηλίκο δύο μονωνύμων μπορεί να είναι

μονώνυμο, μπορεί όχι.


Πολυώνυμα

● Πολυώνυμο λέγεται κάθε άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι απαραίτητα όμοια

μεταξύ τους.


Η παράσταση 2 32x y 5xy x είναι πολυώνυμο.

● Όρος ενός πολυωνύμου λέγεται κάθε μονώνυμο που περιέχεται σ’ αυτό.


Το πολυώνυμο 3 2 24x y 5x y 7xy έχει τρεις όρους που είναι τα μονώνυμα

3 2 24x y, 5x y και 7xy .

● Ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται:

διώνυμο αν έχει δύο όρους

τριώνυμο αν έχει τρεις όρους.

● Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του λέγεται ο

μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.


Το πολυώνυμο 3 2 24x y 5x y 7xy είναι 3ου βαθμού ως προς x και 2ου βαθμού

ως προς y.

● Kάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό

πολυώνυμο. Ειδικότερα, ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν

έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.

● Τα πολυώνυμα που έχουν μία μόνο μεταβλητή x τα συμβολίζουμε με

Ρ x , Q x , A x ,..., κλπ.


Το πολυώνυμο

3 2Ρ x 5x 4x 8

είναι 3ου βαθμού. Μάλιστα, το Ρ x είναι γραμμένο έτσι, ώστε κάθε όρος του να

είναι μεγαλύτερου αριθμού από τον επόμενό του. Δηλαδή, όπως λέμε το πολυώ-

νυμο Ρ x είναι γραμμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x.

H αριθμητική τιμή του πολυωνύμου Ρ x για x 2, συμβολίζεται με Ρ 2 .

Δηλαδή,

3 2Ρ 2 5 2 4 2 8 32.


● Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα αν και μόνο αν έχουν όρους ίσα μονώνυμα.


Τα πολυώνυμα 24x 3x 2 και 2αx βx γ

είναι ίσα αν και μόνο αν

α 4, β 3 και γ 2.

● Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντι-

καταστήσουμε με το άθροισμά τους. Η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων

όρων.

Παράδειγμα 2 2 23x 5y 4x 11y 7x 6y.

Πρόσθεση – Αφαίρεση Πολυωνύμων

● Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων γίνεται χρησιμοποιώντας τις γνωστές

ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.


Αν

2A x 3x 5x 6 και 2Β x x 3x 2,

τότε:

2Α x B x 4x 2x 8 και 2Α x B x 2x 8x 4.

Πολλαπλασιασμός Μονωνύμου με Πολυώνυμο

● Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μο-

νώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύ-

πτουν.


2 2 2

3 2

4x 2x 5 4x 2x 4x 5

8x 20x


Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμου με Πολυώνυμο

● Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο πολλαπλασιάζουμε κάθε

όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε

τα γινόμενα που προκύπτουν.


2 2 2

3 2 2 3 2

3x 2 4x 5x 3x 4x 3x 5x 2 4x 2 5x

12x 15x 8x 10x 12x 7x 10x

Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις

τιμές των μεταβλητών τους.

Οι σημαντικότερες ταυτότητες είναι:

● Τετράγωνο αθροίσματος

2 2 2α β α 2αβ β

● Τετράγωνο διαφοράς

2 2 2α β α 2αβ β

● Κύβος αθροίσματος-διαφοράς

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

α β α 3α β 3αβ β

α β α 3α β 3αβ β

● Διαφορά τετραγώνων

2 2α β α β α β

● Διαφορά κύβων – Άθροισμα κύβων

2 2 3 3

2 2 3 3

α β α αβ β α β

α β α αβ β α β


Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων

Παραγοντοποίηση λέγεται η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μία παράσταση

που είναι άθροισμα σε γινόμενο παραγόντων.


2 2αβ α β αβ β α

Οι πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης μιας αλγεβρικής παράστασης

είναι οι εξής:

● Κοινός Παράγοντας

Αν όλοι οι όροι της παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε η παράσταση μετα-

τρέπεται σε γινόμενο παραγόντων σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα.


2α αβ αγ α α β γ

● Κοινός Παράγοντας κατά Ομάδες (Ομαδοποίηση)

Χωρίζουμε την παράσταση σε ομάδες και βγάζουμε κοινό παράγοντα σε κάθε μία

από αυτές.


4α 4β γα γβ 4 α β γ α β α β 4 γ

● Διαφορά Τετραγώνων

Αξιοποιούμε την ταυτότητα



2 22 216α 49β 4α 7β 4α 7β 4α 7β .

● Διαφορά – Άθροισμα Κύβων

Αξιοποιούμε τις ταυτότητες

3 3 2 2

3 3 2 2

α β α β α αβ β

α β α β α αβ β



3 3 3 2 2

2

x 8 x 2 x 2 x 2x 2

x 2 x 2x 4 .

● Ανάπτυγμα Τετραγώνου

Αξιοποιούμε τις ταυτότητες

22 2

22 2

α 2αβ β α β

α 2αβ β α β


32 2 2

2

9x 6xy y 3x 2 3x y y

3x y .

● Παραγοντοποίηση Τριωνύμου της Μορφής 2x α β x αβ


2x α β x αβ x α x β


2 2x 7x 12 x 4 3 x 4 3

x 4 x 3 .

Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις

● Ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλά ρητή παράσταση λέγεται κάθε παράσταση

που είναι κλάσμα και οι όροι του είναι πολυώνυμα.

● Οι μεταβλητές μιας ρητής παράστασης δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδε-

νίζουν τον παρονομαστή της, αφού δεν ορίζεται κλάσμα με παρονομαστή μηδέν.


Η παράσταση 2x 5x 1

x 2

είναι ρητή και ορίζεται για κάθε x 2.


● Αν οι όροι μιας ρητής παράστασης είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα,

μπορούμε να απλοποιήσουμε την παράσταση διαγράφοντας τον κοινό παράγοντα.


2 22x x 1 x 1.

2x x 2 x 2

● Αν σε μια ρητή παράσταση ο αριθμητής ή ο παρονομαστής δεν είναι γινόμενα,

τότε για να την απλοποιήσουμε (αν γίνεται) εργαζόμαστε ως εξής:

Παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της

Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες των όρων της


2 x 3 x 3x 9 x 3

2x 6 2 x 3 2

.

Πράξεις Ρητών Παραστάσεων

● Για να πολλαπλασιάσουμε μία ακέραια με μία ρητή παράσταση ή δύο ρητές πα-

ραστάσεις χρησιμοποιούμε τους παρακάτω κανόνες:

β αβ α γ αγα και .

γ γ β δ βδ


2 2 3

3 3 3

4x 2x 4x 8x2x

7y 7y 7y

2

2

x x 1x x 1 x x.

x 2 x 2 x 2 x 2 x 4

● Για να διαιρέσουμε δύο ρητές παραστάσεις χρησιμοποιούμε τον κανόνα:

α γ α δ αδ: .

β δ β γ βγ


22 2 2

2 2 2 2

3x x 23x x 3x x 2 3: .x 2 x 2x 4 x 4 x x x 2 x 2


● Για σύνθετες παραστάσεις χρησιμοποιούμε τον κανόνα:

ααδβ

.γ βγδ

Παράδειγμα 32

2

3

4xy4xyωω 2yω.

2x 2xωω

● Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ρητές παραστάσεις που έχουν τον ίδιο παρονομαστή, χρησιμοποιούμε τους παρακάτω κανόνες:

α γ α γ

β β β

και

α γ α γ.

β β β


2 2 2

2

2

5x 3 2x 85x 3 2x 8

x 1 x 1 x 15x 3 2x 8

x 17x 5

.x 1

● Αν όμως οι ρητές παραστάσεις δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, τότε βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών και τις μετατρέπουμε σε ρητές παραστάσεις με τον ίδιο παρονομαστή.


2

2

4 3 4 3

5x 5x x 1 5x x 1 x 1

4 3 5x

5x x 1 5x x 1

4 15x 15x 4.

5x x 1 5x 5x


Η Εξίσωση αx + β = 0

● Εξίσωση 1ου

βαθμού με έναν άγνωστο λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής

αx β 0 με α 0.


Η εξίσωση 5x 7 0 είναι 1ου

βαθμού.

● Για την εξίσωση αx β 0 ισχύουν τα εξής:

Αν α 0, τότε έχει μοναδική λύση την β

x .α

Αν α 0, τότε γράφεται 0x β και

– αν β 0 δεν έχει λύση (αδύνατη)

– αν β 0 κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα)


Η εξίσωση 2x 1 0 έχει μοναδική λύση την 1

x .2

Η εξίσωση 0 x 3 0 είναι αδύνατη.

Η εξίσωση 0 x 0 0 είναι ταυτότητα.

Εξισώσεις Δευτέρου Βαθμού

● Εξίσωση 2ου

βαθμού με έναν άγνωστο λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής 2αx βx γ 0 με α 0 . Οι αριθμοί α, β, γ λέγονται συντελεστές της εξίσω-

σης. Ο συντελεστής γ λέγεται σταθερός όρος.


Η εξίσωση 2x 5x 6 0 είναι 2ου

βαθμού με συντελεστές

α 1, β 5 και γ 6.

Επίλυση Εξίσωσης της Μορφής ax2 + βx = 0 με α ≠ 0

Η παραπάνω εξίσωση γράφεται:

x αx β 0

x 0 ή αx β 0

βx 0 ή x .

α


Επίλυση Εξίσωσης της Μορφής αx2 + γ = 0 με α 0

H παραπάνω εξίσωση γράφεται:

2 γx .

α

Οπότε,

● αν γ

0,α

έχει δύο λύσεις, γ γ

x και xα α

● αν γ

0,α

έχει μία διπλή λύση x 0

● αν γ

0,α

είναι αδύνατη.

Επίλυση Εξίσωσης της Μορφής αx2 + βx + γ = 0 με a 0

H παραπάνω εξίσωση λύνεται σχηματίζοντας στο α΄ μέλος ανάπτυγμα τετραγώνου ως

εξής:

● Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 4α, όπου α ο συντελεστής

του 2x .

● Μεταφέρουμε στο β΄ μέλος τον σταθερό όρο και στο α΄ μέλος δημιουργούμε πα-

ράσταση της μορφής 2α 2αβ ή 2α 2αβ.

● Χρησιμοποιούμε μία από τις ταυτότητες

22 2

22 2

α 2αβ β α β

α 2αβ β α β

Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή ως μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου.


Η εξίσωση 2x 5x 6 0 λύνεται ως εξής:

2

2

2

2 2 2

2

x 5x 6 0

4x 20x 24 0

2x 2 2x 5 24

2x 2 2x 5 5 24 5

2x 5 1

2x 5 1 ή 2x 5 1

2x 6 ή 2x 4

x 3 ή x 2

Δηλαδή, η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις x 3 και x 2.


Επίλυση Εξισώσεων Δευτέρου Βαθμού με τη Βοήθεια Τύπου

Έστω η εξίσωση

2αx βx γ 0 με α 0 .

Oνομάζουμε διακρίνουσα της εξίσωσης αυτής την παράσταση

2Δ β 4αγ.

Για την παραπάνω εξίσωση ισχύουν τα εξής:

● Αν Δ 0, έχει δύο άνισες λύσεις, τις β Δ

x2α

● Αν Δ 0, έχει μία διπλή λύση, την β

x .2α

● Αν Δ 0, δεν έχει λύση (αδύνατη).

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου

Αν 1 2ρ , ρ είναι οι λύσεις της εξίσωσης

2αx βx γ 0 με α 0 ,

τότε το τριώνυμο 2αx βx γ παραγοντοποιείται ως εξής:

2

1 2αx βx γ α x ρ x ρ .


Η εξίσωση 2x 5x 6 0 έχει λύσεις τους αριθμούς 2 και 3. Επομένως,

2x 5x 6 1 x 2 x 3 x 2 x 3 .

Κλασματικές εξισώσεις

Κλασματική εξίσωση ονομάζεται κάθε εξίσωση που περιέχει ένα τουλάχιστον κλά-

σμα με άγνωστο στον παρονομαστή.


Η εξίσωση 2

x 1 5

x 1 x x x

είναι κλασματική.

● Για να ορίζονται οι όροι μιας κλασματικής εξίσωσης πρέπει όλοι οι παρονο-

μαστές να είναι διάφοροι του μηδενός.


● Για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση εργαζόμαστε όπως στις εξισώσεις που

σε κάθε κλάσμα που περιέχουν ο παρονομαστής είναι γνωστός αριθμός.


Να λύσετε την εξίσωση

4 1.

x 2 4

Λύση

Πρέπει x 2 0 , δηλαδή x 2. Το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι 4 x 2 0

και η εξίσωση γράφεται

4 1

4 x 2 4 x 2x 2 4

16 x 2 ή x 16 2 ή x 18.

Η λύση x 18 είναι δεκτή, αφού ισχύει 18 2.

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

● Δύο ή περισσότεροι αριθμοί που έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα είναι

διατεταγμένοι, οπότε μπορούμε να τους συγκρίνουμε.

Επομένως:

Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.

Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθμό.

● Για να συγκρίνουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που δεν έχουν παρα-

σταθεί με σημεία ενός άξονα, βρίσκουμε τη διαφορά τους α – β και εξετάζουμε

αν είναι θετική ή αρνητική ή μηδέν. Συγκεκριμένα:

α β αν και μόνο αν α β 0

α β αν και μόνο αν α β 0

α β αν και μόνο αν α β 0.


Ισχύει 5 7 αφού

5 7 5 7 2 0.


Ιδιότητες της Διάταξης

● Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο

αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή:

Αν α β, τότε α γ β γ και α γ β γ.


Είναι 8 4, οπότε 8 3 4 3 2 και 8 3 4 3.

● Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον

ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή:

Αν α β και γ 0, τότε αγ βγ και α β

.γ γ


Είναι 8 4, οπότε 8 2 4 2 και 8 4

.2 2

● Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον

ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με αντίθετη φορά. Δηλαδή:

Αν α β και γ 0, τότε αγ βγ και α β

.γ γ


Είναι 8 4, οπότε 8 2 4 2 και 8 4

.2 2

● Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την

ίδια φορά, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή:

Αν α β και γ δ, τότε α γ β δ .


Είναι 3 2 και 7 4, οπότε 3 7 2 4.

● Από τις προηγούμενες ιδιότητες προκύπτει και η μεταβατική ιδιότητα:

Αν α β και β γ, τότε α γ.


Είναι 3 1 και 1 2,5 οπότε 3 2,5.


● Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν

την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

Δηλαδή:

Αν α, β, γ, δ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α β και γ δ τότε αγ βδ.


Είναι 3 2 0 και 7 4 0, οπότε 3 7 2 4.

● Υπενθυμίζουμε ότι το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού α είναι μη αρνητι-

κός αριθμός, δηλαδή:

2α 0.

Επομένως, αν για πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει 2 2α β 0, τότε

α 0 και β 0.

● Δεν επιτρέπεται να αφαιρούμε ή να διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη, γιατί είναι

δυνατό να οδηγηθούμε σε λανθασμένο συμπέρασμα.


Αν αφαιρέσουμε ή διαιρέσουμε κατά μέλη τις ανισότητες 6 4

3 1

, τότε καταλή-

γουμε στις ανισότητες 3 3 ή 2 4, που δεν ισχύουν.

Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού με έναν Άγνωστο

● Για να επιλύσουμε μία ανίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο εργαζόμαστε

σχεδόν όπως στις εξισώσεις πρώτου βαθμού χρησιμοποιώντας όμως τις ιδιότητες

της διάταξης.


Να λύσετε την ανίσωση

2x 5 0

Λύση

Έχουμε

2x 5 0

2x 5

2x 5 0

2x 5

2x 5

2 2

5x

2


Η Έννοια της Συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης είναι ίσως η σημαντικότερη έννοια στα Μαθηματικά και όχι

μόνο. Κάθε τι που υπάρχει στο σύμπαν είναι εξαρτημένο από κάτι άλλο. Πιο συγκε-

κριμένα, λέμε ότι μία μεταβλητή ποσότητα y είναι εξαρτημένη από μία άλλη μεταβλη-

τή ποσότητα x όταν κάθε αλλαγή στην ποσότητα x προκαλεί μια αλλαγή στην ποσότη-

τα y. Πολλές φορές αντί να λέμε ότι η ποσότητα y είναι εξαρτημένη από την ποσό-

τητα x, λέμε ότι η ποσότητα y είναι συνάρτηση της ποσότητας x. Έτσι, οδηγούμαστε

στον παρακάτω ορισμό:

Ονομάζουμε συνάρτηση κάθε σχέση που συνδέει δύο μεταβλητές x, y με τέτοιον τρό-

πο ώστε σε κάθε τιμή της μιας να αντιστοιχεί ακριβώς μία τιμή της άλλης.

Πιο συγκεκριμένα, λέμε ότι μία μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση μιας μεταβλη-

τής x όταν σε κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται μία μόνο τιμή της μεταβλη-

τής y.


H σχέση y 5x 7 που συνδέει τις μεταβλητές x και y είναι μία συνάρτηση. Πράγμα-

τι, για κάθε τιμή που μπορεί να πάρει η μεταβλητή x προκύπτει (αντιστοιχεί) ακριβώς

μία τιμή για τη μεταβλητή y. Έτσι, έχουμε:

Για x 2, y 5 2 7 3

Για x 4, y 5 4 7 13

Για x 9, y 5 9 7 38 κ.λπ.

Πίνακας Τιμών

Έστω ότι έχουμε μία μεταβλητή y που εκφράζεται ως συνάρτηση μίας μεταβλητής x.

Η αντιστοιχία των τιμών των δύο μεταβλητών φαίνεται καλύτερα με τη βοήθεια ενός

πίνακα τιμών.


Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης y 5x 3 είναι:

x –1 0 1 2 3

y


xx

y

y

O

xx

y

y

O

y

x

Λύση

Έχουμε:

Για x 1 , y 5 1 3 5 3 8

Για x 0, y 5 0 3 3

Για x 1, y 5 1 3 2

Για x 2, y 5 2 3 7

Για x 3, y 5 3 3 12

Άρα, ο πίνακας τιμών είναι:

Καρτεσιανές Συντεταγμένες -

Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Σύστημα Συντεταγμένων

● Ονομάζουμε σύστημα συντε-

ταγμένων ή σύστημα αξόνων,

δύο κάθετους άξονες x x και

y y με κοινή αρχή Ο και ίδιες

μονάδες μέτρησης.

● Κάθε σημείο Μ του επιπέδου

αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος

αριθμών x, y και, αντιστρό-

φως, κάθε ζεύγος αριθμών αντι-

στοιχεί σε ένα μόνο σημείο του

επιπέδου.

Ο αριθμός x λέγεται τετμημένη του σημείου Μ και ο αριθμός y λέγεται τεταγμένη

του σημείου Μ. Η τετμημένη και η τεταγμένη του Μ λέγονται συντεταγμένες του Μ.

x –1 0 1 2 3

y –8 –3 2 7 12

M x,y


xx

y

y

O

2ο τεταρτημόριο

,


,


,

● Το σύστημα αξόνων χωρίζει το επίπε-

δο σε τέσσερα μέρη που λέγονται τε-

ταρτημόρια.

Στο διπλανό σχήμα είναι σημειωμένα

τα πρόσημα της τετμημένης και της

τεταγμένης των σημείων σε κάθε τε-

ταρτημόριο.

● Κάθε σημείο του άξονα x x έχει τεταγμένη 0, δηλαδή έχει συντεταγμένες της

μορφής x,0 .

● Kάθε σημείο του άξονα y y έχει τετμημένη 0, δηλαδή έχει συντεταγμένες της

μορφής 0, y .


● Έστω μία συνάρτηση με την οποία η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της

μεταβλητής x.

Ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής το σύνολο όλων των

σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες x, y .

● Για να σχεδιάσουμε πρόχειρα τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κατα-

σκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της με όσο περισσότερα ζεύγη μπορούμε. Στη συ-

νέχεια, παριστάνουμε στο σύστημα αξόνων τα σημεία που έχουν συντεταγμένες

τα παραπάνω ζεύγη.


Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2y 4x .

Λύση

Αρχικά σχηματίζουμε έναν πίνακα τιμών της

συνάρτησης.

Στη συνέχεια παριστάνουμε σε ένα σύστημα

αξόνων τα σημεία με συντεταγμένες x, y

του διπλανού πίνακα. Δηλαδή τα σημεία

1 1

Α 1, 4 , Β , 1 , Ο 0,0 , Γ ,1 και Δ 1, 4 .2 2

Στο τέλος ενώνουμε με τη σειρά αυτά τα σημεία.

x –1 –1

2 0

1

2 1

y 4 1 0 1 4


,


xx¢

y

y¢

( )O 0,0

1Γ ,1

2

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

Δ 1,4 Α 1,4

1Β ,1

2

æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø

Η καμπύλη που προκύπτει είναι (περίπου) η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2y 4x .

Πρόταση Η απόσταση δύο σημείων 1 1Α x , y και 2 2Β x , y υπολογίζεται από τον τύπο

2 2

2 1 2 1ΑΒ x x y y .

Πaράδειγμα Η απόσταση των σημείων Α 2, 5 και Β 6, 8 είναι:

2 2 2 2ΑΒ 6 2 8 5 4 3 25 5.

Η Συνάρτηση y = αx

Ποσά Ανάλογα – Η Συνάρτηση y = αx

● Δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό.

● Αν δύο ποσά είναι ανάλογα, τότε οι μεταβλητές x, y που τα εκφράζουν συνδέο-νται με μία σχέση της μορφής y αx.

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx είναι μία ευθεία που διέρχεται

από την αρχή Ο των αξόνων.


● Όταν αναφερόμαστε στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx , τότε λέμε

η ευθεία με εξίσωση y αx ή απλώς η ευθεία y αx. Ο άξονας x x είναι η ευ-

θεία με εξίσωση y 0 x , δηλαδή y 0.

Πaράδειγμα

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

2y x.

3

Λύση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

2y x

3 είναι μία ευθεία που διέρχεται από

την αρχή Ο των αξόνων. Οπότε, για να τη σχεδιάσουμε αρκεί να βρούμε ακόμη ένα σημείο της.

Πράγματι, για x 3 είναι 2

y 3 23

.

Άρα, η ευθεία 2

y x3

διέρχεται από το σημείο Α 3, 2 .

Η Κλίση της Ευθείας y = ax

Έστω η ευθεία y αx. Παρατηρούμε ότι για κάθε x 0 ο λόγος y

x είναι σταθερός και

ίσος με α. Δηλαδή,

y α.x

Ο λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx.

Πaράδειγμα

H ευθεία 4

y x5

έχει κλίση 4

α .5

x

y 2y x

3=

A 3,2

( )O 0,0


Η Συνάρτηση y = αx + β

Η Ευθεία με Εξίσωση y = ax + β

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx β, β 0 είναι μια ευθεία που

είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y αx και διέρχεται από το σημείο

0, β του άξονα y y .

● Για λόγους απλότητας πολλές φορές αντί να λέμε η ευθεία με εξίσωση

y αx β, θα λέμε η ευθεία y αx β.

● Ο αριθμός α λέγεται κλίση της ευθείας y = αx + β.

Η Εξίσωση της Μορφής ax + βy = γ

Γνωρίζουμε ότι οι εξισώσεις y αx και y αx β παριστάνουν ευθείες. Όμως, υ-

πάρχουν και άλλες εξισώσεις που παριστάνουν ευθείες. Γενικά:

Κάθε εξίσωση της μορφής αx βy γ με α 0 ή β 0 παριστάνει ευθεία.


Η εξίσωση 10x 2y 8 γράφεται

2y 10x 8 ή y 5x 4 και συνε-

πώς παριστάνει ευθεία με κλίση α 5.

Κάθε εξίσωση της μορφής y κ παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα

x x. Η ευθεία y 0 παριστάνει τον άξονα x x.

x

y

O

ββ

β 0

y αx

y αx β

x

y

O

β

β

β 0

y αx

y αx β

x

y

O

4

y 5x 4

4

5



Η εξίσωση y 4 παριστάνει ευ-

θεία παράλληλη προς τον άξονα

x x.

Κάθε εξίσωση της μορφής x κ παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα

y y. Η ευθεία x 0 παριστάνει τον άξονα y y.


Η εξίσωση 7

x3

παριστάνει ευ-

θεία παράλληλη προς τον άξονα

y y.

Σημεία Τομής της Ευθείας ax + βy = γ με τους Ἀξονες

● Για να βρούμε το σημείο Α στο οποίο η ευθεία αx βy γ τέμνει τον άξονα

x x , θέτουμε y 0 και υπολογίζουμε την τετμημένη του x.


Να βρείτε το σημείο Α στο οποίο η ευθεία 2x 5y 11 τέμνει τον άξονα x x.

Λύση

Θέτουμε στην εξίσωση 2x 5y 11 όπου y το 0, οπότε έχουμε

2x 5 0 11 ή 11

x2

. Άρα, 11

Α , 0 .2

● Για να βρούμε το σημείο Β στο οποίο η ευθεία αx βy γ τέμνει τον άξονα y y

θέτουμε x 0 και υπολογίζουμε την τεταγμένη του y.

x

y

O

4 y 4

7

3

x

y

O

7x

3



Να βρείτε το σημείο B στο οποίο η ευθεία 4x 3y 12 τέμνει τον άξονα y y .

Λύση

Θέτουμε στην εξίσωση 4x 3y 12 όπου x το 0 οπότε έχουμε

4 0 3y 12 ή 12

y3

ή y 4.

Επομένως, Β 0, 4 .

Η Συνάρτηση y = α

x

Ποσά Αντιστρόφως Ανάλογα – Η Συνάρτηση y = α

x

● Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας την τιμή του

ενός επί έναν αριθμό, τότε η τιμή του άλλου διαιρείται με τον αριθμό αυτό.

● Όταν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το γινόμενο των αντί-

στοιχων τιμών τους είναι σταθερό. Αν α 0 είναι το γινόμενο των x και y, τότε

το y εκφράζεται ως συνάρτηση του x από τον τύπο α

y .x

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης α

y ,x

όπου α 0 λέγεται υπερβολή και αποτελείται

από δύο κλάδους που βρίσκονται:

Στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο των αξό-

νων, όταν α 0.

Στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο των αξό-

νων, όταν α 0.

● Και στις δύο περιπτώσεις η γραφική παράσταση

μιας υπερβολής έχει:

Κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.

Άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των

γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες με εξι-

σώσεις y x και y x.

x

y

O

y xy x

x

y α 0

x

y

O

y xy x

x

y α 0



Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

4y , x 0.

x

Λύση

Σχηματίζουμε έναν πίνακα τιμών:

Η Έννοια της Γραμμικής Εξίσωσης

Η Εξίσωση αx + βy = γ

● Λύση μιας εξίσωσης αx βy γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών x, y που

την επαληθεύει.


Τα ζεύγη 12, 1 , 9, 0 , 6,1 , ... είναι λύσεις της εξίσωσης

x 3y 9.

● Σε ένα σύστημα αξόνων όλα τα σημεία που οι συντεταγμένες τους είναι λύση της

εξίσωσης αx βy γ (με α 0 ή β 0) βρίσκονται σε μια ευθεία ε . Επίσης,

x –4 –2 –1 1 2 4

y –1 –2 –4 4 2 1

x

y

1

2

4

1 2 412

4

124 O


ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή, κάθε σημείο της ευθείας ε έχει συντε-

ταγμένες που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση.

Εξαιτίας των παραπάνω, λέμε ότι η εξίσωση αx βy γ παριστάνει την ευθεία

ε και γράφουμε

ε : αx βy γ.

● Γενικά:

Αν ένα σημείο ανήκει σε μία ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν

την εξίσωση της ευθείας.

Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας,

τότε το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Ειδικές Περιπτώσεις

● Η εξίσωση y κ με κ 0 παριστάνει μία ευθεία που είναι παράλληλη στον ά-

ξονα y y και τέμνει τον άξονα x x στο σημείο κ, 0 , ενώ η εξίσωση x 0 πα-

ριστάνει τον άξονα y y.

● Η εξίσωση αx βy γ με α β 0 δεν παριστάνει ευθεία διότι:

αν γ 0, τότε κανένα ζεύγος αριθμών x, y δεν είναι λύση της (αδύνατη

εξίσωση).

αν γ 0, τότε κάθε ζεύγος αριθμών x, y είναι λύση της.

● Γραμμική εξίσωση με αγνώστους x, y λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής

αx βy γ

και παριστάνει ευθεία όταν α 0 ή β 0.

Γραμμικά Συστήματα

● Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x, y και αναζητούμε το

ζεύγος των αριθμών x, y που είναι συγχρόνως λύση και των δύο εξισώσεων,

τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με

δύο αγνώστους x και y. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το ζεύγος x, y είναι

λύση του συστήματος.



Το ζεύγος αριθμών (2, 5) επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος

x y 7

3x y 11

αφού

2 5 7

3 2 5 11

Επομένως, το ζεύγος 2,5 είναι λύση του συστήματος.

● Γενικά,

Λύση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y

ονομάζεται κάθε ζεύγος x, y που επαληθεύει τις εξισώσεις του.

Ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x, y επιλύεται γραφικά

αλλά και αλγεβρικά.

Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

Για τη γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους x, y εργαζό-

μαστε ως εξής:

Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώ-

σεις του συστήματος. Οπότε, έχουμε τρία πιθανά σενάρια:

● Αν οι δύο ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο Α, τότε οι συντεταγμένες του σημεί-

ου αυτού αποτελούν τη μοναδική λύση του συστήματος.

● Αν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, οπότε

το σύστημα δεν έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα είναι αδύ-

νατο.

● Αν οι δύο ευθείες συμπίπτουν (ταυτίζονται), τότε έχουν όλα τα σημεία τους κοι-

νά και επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

Για να επιλύσουμε αλγεβρικά ένα σύστημα, επιδιώκουμε να απαλείψουμε από μία εξί-

σωση τον έναν από τους δύο αγνώστους και να καταλήξουμε σε εξίσωση με έναν

άγνωστο. Δύο από τις μεθόδους που χρησιμοποιούμε είναι οι παρακάτω:


α) Μέθοδος της Αντικατάστασης

● Λύνουμε μία από τις εξισώσεις του συστήματος ως προς έναν άγνωστο.

● Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση του συστήματος τον άγνωστο αυτόν με

την ίση παράστασή του, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την ο-

ποία και λύνουμε.

● Την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε την αντικαθιστούμε στην προηγούμενη

εξίσωση, οπότε βρίσκουμε και τον άλλο άγνωστο.

● Προσδιορίζουμε τη λύση του συστήματος.


Να λύσετε το σύστημα

x y 2

2x 3y 3

Λύση

Λύνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς y έχουμε

y 2 x .

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση η οποία γράφεται

2x 3 2 x 3

2x 6 3x 3

2x 3x 3 6

x 3

x 3

Οπότε

y 2 x 2 3 1 .

Άρα,το σύστημα έχει μοναδική λύση

x, y 3, 1 .


β) Μέθοδος των Αντιθέτων Συντελεστών

● Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη κάθε εξίσωσης με κατάλληλο αριθμό, ώστε να

εμφανιστούν αντίθετοι συντελεστές σε ένα από τους δύο αγνώστους προκει-

μένου να τον απαλείψουμε.

● Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε προκύπτει εξίσωση με

έναν άγνωστο την οποία και λύνουμε.

● Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από τις δύο

εξισώσεις του συστήματος, οπότε βρίσκουμε την τιμή και του άλλου αγνώ-

στου.

● Προσδιορίζουμε τη λύση του συστήματος.


Να λύσετε το σύστημα

3x 2y 7

4x 3y 10

Λύση

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της πρώτης εξίσωσης με το 4 και της δεύτερης με το

3. Οπότε, το σύστημα γράφεται

12x 8y 28

12x 9y 30

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

12x 12x 8y 9y 28 30

y 2

y 2

Αντικαθιστώντας την τιμή του y που βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση του συστή-

ματος που μας δόθηκε παίρνουμε

3x 2 2 7

3x 7 4

3x 3

x 1

Άρα, το σύστημα έχει μοναδική λύση

x, y 1, 2 .


Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας

● Έστω ω μία οξεία γωνία ενός ορθογωνίου

τριγώνου με υποτείνουσα ρ. Αν x είναι η

προσκείμενη κάθετη πλευρά και y είναι η

απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας ω, τότε

ορίζουμε ως ημίτονο, συνημίτονο και εφα-

πτομένη της γωνίας ω τους λόγους:

y x yημω , συνω , εφω .

ρ ρ x

Παράδειγμα Αν x 3 και y 4, τότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε

2 2ρ 3 4 25 5.

Οπότε,

y 4 x 3ημω , συνω

ρ 5 ρ 5 και

y 4εφω .

x 3

● Για κάθε οξεία γωνία ω ισχύουν οι σχέσεις:

ημω0 ημω 1, 0 συνω 1, εφω .

συνω

● Οι πιο σημαντικοί είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°

οι οποίοι δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

1 3 3ημ30 συν30 εφ30

2 2 3

2 2ημ45 συν45 εφ45 1

2 2

3 1ημ60 συν60 εφ60 3

2 2

ρ

x

ω

y

Σύνολα – Λεξιλόγιο Λογικής 77

Eισαγωγικό Κεφάλαιο


«Στα μαθηματικά, η τέχνη του να διατυπώνεις σωστά το ερώτημα, βρίσκεται ψηλότερα από το να δίνεις σωστά την απάντηση.»

Georg Cantor


Σύνολα Η Έννοια του Συνόλου Ορισμός Ονομάζουμε σύνολο κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. ● Τα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται ένα σύνολο ονομάζονται στοιχεία του

συνόλου.

● Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε ένα από τα κεφαλαία γράμματα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου. Έτσι, συμβολίζουμε:

με το σύνολο των φυσικών αριθμών με το σύνολο των ακεραίων αριθμών με το σύνολο των ρητών αριθμών με το σύνολο των πραγματικών αριθμών

● Με *, *, * και * συμβολίζουμε τα σύνολα , , και αντί-στοιχα, από τα οποία έχουμε εξαιρέσει τον αριθμό 0.

● Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο ενός συνόλου Α γράφουμε ∈x A και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α». Αντίθετα, για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο ενός συνόλου Α γράφουμε ∉x A και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Για παράδειγμα,

2 75 , , , 3 , 2 .3 11

∈ ∉ − ∈ − ∉ ∈

Παράσταση Συνόλου Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους: α΄ τρόπος:

Με αναγραφή των στοιχείων του συνόλου

● Γράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου μεταξύ δύο αγκίστρων και τα χωρίζουμε με το κόμμα.



Το σύνολο Α που έχει ως στοιχεία τα γράμματα α, β, γ και δ γράφεται: { }Α α,β, γ,δ=

● Αν το σύνολο έχει πολλά ή άπειρα στοιχεία, τότε γράφουμε μερικά από τα στοιχεία αυτά αποσιωπώντας τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι αυτά τα στοιχεία που παραλείπονται.


Το σύνολο Β που έχει ως στοιχεία όλους τους ακέραιους αριθμούς από το 1 μέχρι και το 50 γράφεται:

{ }Β 1,2,3,...,50=

Το σύνολο Γ που έχει ως στοιχεία όλους τους μη μονοψήφιους ακέραιους αριθμούς γράφεται:

{ }Γ ..., 12, 11, 10,10,11,12,...= − − −

β΄ τρόπος:

Με περιγραφή των στοιχείων του συνόλου.

Αν από ένα σύνολο Ω επιλέξουμε εκείνα τα στοιχεία του, τα οποία έχουν κάποια ιδιότητα *, τότε κατασκευάζουμε ένα νέο σύνολο που γράφεται:

{ }x Ω | x έχει την ιδιότητα *∈

και διαβάζεται: « x ανήκει Ω, όπου x έχει την ιδιότητα * »


Το σύνολο Α που έχει ως στοιχεία όλους τους άρτιους ακέραιους αριθμούς γρά-φεται:

{ } { }Α x | x άρτιος ή Α x | x 2κ, με κ= ∈ = ∈ = ∈

Το σύνολο Β που έχει ως στοιχεία όλους τους περιττούς ακέραιους αριθμούς γρά-φεται:

{ } { }Β x | x περιττός ή Β x | x 2κ 1, με κ= ∈ = ∈ = + ∈


Ίσα Σύνολα Ορισμός

Λέμε ότι δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα και συμβολίζουμε A = B, αν και μόνο αν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Παράδειγμα

Τα σύνολα { } { }Α 1,2,3,6 και Β x | x διαιρέτης του 6= = ∈

είναι ίσα. Δηλαδή Α = Β.

Το Κενό Σύνολο Ορισμός

Ονομάζουμε κενό σύνολο και συμβολίζουμε με { }ή με ,∅ το σύνολο που δεν έχει

στοιχεία. Παράδειγμα

Τα σύνολο { }2Α x | x 1= ∈ = − δεν έχει στοιχεία, αφού η εξίσωση 2x 1= − είναι

αδύνατη. Επομένως, Α = ∅ .

Υποσύνολα Συνόλου Ορισμός

Λέμε ότι ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β και συμβολίζουμε με A ⊆ B, αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Παράδειγμα

Έχουμε , , , .⊆ ⊆ ⊆ ⊆


Πρόταση Ισχύουν οι ιδιότητες:

● A ⊆ Α , για κάθε σύνολο Α.

● ∅ ⊆ Α , για κάθε σύνολο Α.

● αν A ⊆ Β και Β ⊆ Γ, τότε A ⊆ Γ.

● αν A ⊆ Β και Β ⊆ Α, τότε A = Β.

● Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα θεωρούμε υποσύνολα ενός συνόλου που το ονομάζουμε βασικό σύνολο και το συμβολίζουμε με Ω. Για παράδειγμα τα σύνολα , , και είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου των πραγμα-

τικών αριθμών. Δηλαδή, Ω = . Διαγράμματα Venn Μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων γίνεται με τα διαγράμματα του Venn. ● Με αυτά τα διαγράμματα το βασικό σύνολο Ω

παριστάνεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου, ενώ κάθε υποσύνολό του παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που βρίσκεται εντός του ορθογωνίου.

● Αν A ⊆ B, τότε το σύνολο Α παριστάνεται με το

εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που βρίσκεται στο εσωτερικό της καμπύλης που παριστάνει το σύνολο Β.

A

B Ω

A

Ω


Πράξεις με Σύνολα ● Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού

συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με A B∪ .

Δηλαδή είναι:

{ }A B x Ω x A ή x B∪ = ∈ ∈ ∈ .

● Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού

συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με A B∩ .

Δηλαδή είναι

{ }A B x Ω x A και x B∩ = ∈ ∈ ∈ .

● Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού

συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με A′ .

Δηλαδή είναι

{ }A x Ω x A′ = ∈ ∉ .

● Διαφορά Α μείον Β δύο υποσυνόλων Α, Β ενός

βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β και συμβολίζεται με −Α Β .

Δηλαδή είναι:

{ }− = ∈ ∈ ∉A B x Ω x A και x B .

A B

Ω

A B

Ω

A B

Ω

A A′

Ω


Ξένα Σύνολα Ορισμός Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ξένα μεταξύ τους όταν δεν

έχουν κοινά στοιχεία. Δηλαδή όταν

∩ = ∅Α Β .

Παράδειγμα Έστω { }Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10= ένα βασικό σύνολο και τρία υποσύνολά του:

{ }Α 1, 3, 5, 7, 9=

{ }Β 2, 3, 7, 8=

και { }Γ x Ω x άρτιος.= ∈

Έχουμε: { }Α Β 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9∪ =

{ }Α Β 3, 7∩ =

{ }Α 2, 4, 6, 8, 10 .′ = Δηλαδή, Α Γ.′ =

{ }Β 1, 4, 5, 6, 9, 10′ =

{ }Α Β 1, 5, 9− =

{ }Β Α 2, 8− =

{ }Β Γ 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10∪ =

Α Γ .∩ =∅ Δηλαδή, τα σύνολα Α και Γ είναι ξένα μεταξύ τους. { }Α B 1, 5, 9 . Δηλαδή, Α B Α Β.′ ′∩ = ∩ = −

{ } ( )Α B 4, 6, 10 . Δηλαδή, Α B Α Β .′′ ′ ′ ′∩ = ∩ = ∪

Ω

A Β


Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Ισχυρισμοί ● Ονομάζουμε ισχυρισμό κάθε πρόταση της καθημερινής ζωής ή κάθε μαθηματική

πρόταση. ● Το σύνολο Α, του οποίου τα στοιχεία και μόνο αυτά επαληθεύουν έναν ισχυρισμό

Ρ λέγεται σύνολο αληθείας αυτού του ισχυρισμού. Δηλαδή: { }Α x Ω | x επαληθεύει τον ισχυρισμό Ρ= ∈


Ο ισχυρισμός Ρ: «ο x είναι πολίτης της Ελλάδας» έχει σύνολο αληθείας το σύνολο Α όλων των πολιτών της Ελλάδας.

Ο ισχυρισμός Ρ: « 2x 49= » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο { }Α 7, 7= −

Ο ισχυρισμός Ρ: « ( )2 2 2α β α 2αβ β− = − + » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο Α

όλων των ζευγών (α,β) με α,β R,∈ αφού οι ταυτότητες επαληθεύονται για κάθε τιμή των μεταβλητών τους.

Διάζευξη – Σύζευξη – Άρνηση Έστω Ρ και Q δύο ισχυρισμοί με σύνολα αληθείας Α και Β αντίστοιχα. ● Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ

και Q και αληθεύει μόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αλη-θεύει. Δηλαδή, το σύνολο αληθείας του ισχυρι-σμού «Ρ ή Q» είναι η ένωση Α Β.∪

● Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ

και Q και αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Δηλαδή, το σύνολο αληθείας του ισχυρισμού «Ρ και Q» είναι η τομή Α Β.∩

Ω

A Β

Ω

A Β


● Ο ισχυρισμός «όχι Ρ» λέγεται άρνηση του Ρ και αληθεύει μόνο στην περίπτωση που δεν αληθεύει ο ισχυρισμός Ρ. Δηλαδή, το σύνολο αληθείας του ισχυρισμού «όχι Ρ» είναι το συμπλήρωμα Α .′


Ο ισχυρισμός Ρ: «ψηφίο του αριθμού 3273» έχει σύνολο αληθείας το σύνολο { }Α 2, 3, 7 .=

Ο ισχυρισμός Q: «ψηφίο του αριθμού 7583» έχει σύνολο αληθείας το σύνολο { }Β 3, 5, 7, 8 .=

Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q»: «ψηφίο του αριθμού 3273 ή του αριθμού 7583» έχει σύνολο αληθείας το σύνολο { }Α Β 2, 3, 5, 7, 8 .∪ =

Ο ισχυρισμός «Ρ και Q»: «ψηφίο του αριθμού 3273 και του αριθμού 7583» έχει σύνολο αληθείας το σύνολο { }Α Β 3, 7 .∩ =

Ο ισχυρισμός «όχι Ρ»: «όχι ψηφίο του αριθμού 3273» έχει σύνολο αληθείας το σύνολο { }Α 0,1, 4, 5, 6, 8, 9 .′ =


Ο ισχυρισμός Ρ: « x(x 1) 0− = » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο

{ }Α 0,1 .=

Ο ισχυρισμός Q: « x(x 2) 0− = » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο

{ }Β 0, 2 .=

Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q»: « x(x 1) 0 ή x(x 2) 0− = − = » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο

{ }Α Β 0,1, 2 .∪ =

Ο ισχυρισμός «Ρ και Q»: « x(x 1) 0 και x(x 2) 0− = − = » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο

{ }Α Β 0 .∩ =

AA′

Ω


Η Συνεπαγωγή

● Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι, ώστε, όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q⇒ .

● Ο ισχυρισμός « P Q⇒ » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν

Ρ, τότε Q». Ο ισχυρισμός Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής.

● Η συνεπαγωγή « P Q⇒ » διευρύνει το σύνολο των λύσεων του ισχυρισμού Ρ. Επομένως, αν Α και Β είναι τα σύνολα αληθείας των Ρ και Q αντίστοιχα, τότε το Α είναι υποσύνολο του Β. Δηλαδή, A ⊆ B.


Ο ισχυρισμός Ρ: «ο x είναι πολίτης της Ελλάδας» έχει σύνολο αληθείας το σύνολο Α όλων των πολιτών της Ελλάδας. Ο ισχυρισμός Q: «ο x είναι πολίτης της Ευρώπης» έχει σύνολο αληθείας το σύνολο Β όλων των Ευρωπαίων πολιτών. Παρατηρούμε ότι:

A ⊆ B, επομένως P Q⇒ . Δηλαδή πιο απλά:

«αν ο x είναι Έλληνας, τότε είναι Ευρωπαίος».


Ο ισχυρισμός Ρ: « x(x 1) 0− = » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο

{ }Α 0,1 .=

Ο ισχυρισμός Q: « x(x 1)(x 2) 0− − = » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο

{ }Β 0,1, 2 .=

Παρατηρούμε ότι: A ⊆ B, επομένως P Q⇒ .

Δηλαδή πιο απλά: «η εξίσωση x(x 1) 0− = συνεπάγεται την εξίσωση x(x 1)(x 2) 0− − = »

A

BΩ

⇒Ρ ⊆Α Β



Ισχύουν οι συνεπαγωγές: Δεν ισχύουν οι συνεπαγωγές:

2x 2 x 4= ⇒ = 2x 4 x 2= ⇒ =

2x 4 x 2≠ ⇒ ≠ 2x 2 x 4≠ ⇒ ≠

α 0 και β 0 α β 0= = ⇒ ⋅ = α β 0 α 0 και β 0⋅ = ⇒ = =

Η Ισοδυναμία ή Διπλή Συνεπαγωγή

● Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι, ώστε P Q και Q P,⇒ ⇒

τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε P Q⇔ .

● Ο ισχυρισμός « P Q⇔ » λέγεται ισοδυναμία και πολλές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q».

● Αν οι ισχυρισμοί Ρ και Q είναι ισοδύναμοι,

τότε έχουν τα ίδια σύνολα λύσης. Δηλαδή,

αν Α και Β είναι τα σύνολα αληθείας των Ρ

και Q αντίστοιχα, τότε

A = B.


Ο ισχυρισμός Ρ: « 2x 18= » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο { }Α 9 .=

Ο ισχυρισμός Q: « 2(x 9) 0− = » έχει σύνολο αληθείας το σύνολο { }Β 9 .=

Παρατηρούμε ότι: A = B, επομένως P Q⇔ .

Δηλαδή πιο απλά:

«η εξίσωση 2x 18= είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 2(x 9) 0− = ».


Ισχύουν οι ισοδυναμίες: 3x 27 x 3= ⇔ = 2x 25 x 5 ή x 5= ⇔ = = −

2x 25 x 5 και x 5≠ ⇔ ≠ ≠ − 5 5x y x y= ⇔ =

A

BΩ

⇔Ρ =Α Β


Λυμένες Ασκήσεις 1. Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα

{ }= ∈ < ≤A x 3 x 7 και

{ }= ∈ − =B x 5x 11 0 .

Λύση

● Έχουμε

x και 3 x 7.

Επομένως,

x 4 ή x 5 ή x 6 ή x 7.

Άρα,

A 4,5,6,7 .

● Έχουμε διαδοχικά

x και 5x 11 0

x και 5x 11

x και 11x .5

Όμως, ο αριθμός 115

δεν είναι ακέραιος.

Άρα, το σύνολο Β δεν έχει κανένα στοιχείο. Δηλαδή,

Β .

Σημείωση Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντι-κειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Σημείωση Ένα σύνολο το παριστάνουμε συνήθως με δύο τρόπους: α) με αναγραφή των στοιχείων

του β) με περιγραφή των στοιχείων

του.

Σημείωση Κενό σύνολο λέγεται το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. Συμβολί-ζεται με ή .


2. Δίνονται τα σύνολα

{ }{ }

= ∈

= ∈ − =3

Α x x ψηφίο του αριθμού 101 ,

Β x x x 0

και { }Γ x 0 x 3 .= ∈ ≤ < Να αποδείξετε ότι: i) =A B ii) A Γ.⊆ Λύση

i) Παρατηρούμε ότι τα ψηφία του αριθμού 101 είναι το 0 και το 1. Άρα,

{ }A 0,1 .=

Έχουμε

( )( )( )

3 2x x 0 x x 1 0

x x 1 x 1 0x 0 ή x 1 ή x 1.

− = ⇔ − =

⇔ − + =

⇔ = = = −

Και επειδή x ,∈ συμπεραίνουμε ότι x 0= ή x 1.= Δηλαδή,

{ }B 0,1=

και συνεπώς Α Β.=

ii) Έχουμε x και 0 x 3.∈ ≤ <

Επομένως, x 0 ή x 1 ή x 2.= = =

Δηλαδή,

{ }Γ 0, 1, 2 .=

Και επειδή κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Γ συμπεραίνουμε ότι

Α Γ.⊆

Σημείωση Λέμε ότι τα δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα και συμβολίζουμε

=A B , αν και μόνο αν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.

Σημείωση Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύ-νολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε

⊆A B .


3. Δίνονται τα σύνολα { }A 1, 2, α= και { }B 1, 2, α 1, α 1, 8 α .= − + −

Να βρείτε την τιμή του ∈α έτσι, ώστε το σύνολο Α να είναι υποσύνολο του συνόλου Β.

Λύση

Παρατηρούμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β αν και μόνο αν ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω ισότητες:

● α α 1 0 1,= − ⇔ = − αδύνατη

● α α 1 0 1,= + ⇔ = αδύνατη

● α 8 α 2α 8 α 4.= − ⇔ = ⇔ = Επομένως, το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β αν και μόνο αν

α 4. 4. Έστω { }Ω 1,2,3,...,10= ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του

{ }A 1, 2, 3, 4, 5= και { }Β 2, 3,5,7= . Να βρείτε τα σύνολα: i) A Β∪ ii) A Β∩ iii) A′ iv) −A B. Λύση

i) To σύνολο Α Β αποτελείται από τα κοινά και τα μη κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β. Δηλαδή,

Α Β 1, 2, 3, 4, 5, 7

ii) To σύνολο Α Β αποτελείται

από τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β. Δηλαδή,

Α Β 2, 3, 5 .

Α Β

Ω

Σημείωση Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α Β . Σημείωση Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α Β.


iii) To σύνολο Α αποτελείται από τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α. Δηλαδή,

Α 6, 7, 8, 9,10 .

iv) To σύνολο A B− αποτελείται

από τα στοιχεία του Ω που ανήκουν στο Α αλλά όχι στο Β. Δηλαδή

{ }A B 1, 4− = . 5. Δίνονται τα σύνολα

= ∈

7A x ακέραιοςx

και { }= ∈ − =3Β x x 4x 0 .

Να αποδείξετε ότι τα σύνολα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους.

Λύση

● Ο αριθμός 7x

είναι ακέραιος αν και μόνο

αν ο ακέραιος x είναι διαιρέτης του 7. Δη-

λαδή, αν και μόνο αν x 1 ή x 7.

Επομένως, A 7, 1,1, 7 .

● Έχουμε 3x 4x 0 ( )2x x 4 0⇔ − = ( )( )x x 2 x 2 0⇔ − + = x 0 ή x 2 ή x 2.⇔ = = = − Επομένως,

B 2, 0, 2 . Παρατηρούμε ότι

A B .

Δηλαδή, τα σύνολα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους.

Σημείωση Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α .

Σημείωση Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ξένα μεταξύ τους αν και μόνο αν δεν έχουν κοινά στοιχεία. Δηλαδή, αν και μόνο αν

∩ = ∅A B .

Σημείωση Διαφορά Α Β− δύο υποσυνόλων ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν στο Α αλλά όχι στο Β. Δηλαδή,

Α Β Α Β .′− = ∩


6. Δίνονται οι ισχυρισμοί ∈ + <Ρ : «x , όπου x 1 4» και Q : «x , όπου x 1 2».∈ + > Να βρείτε τα σύνολα αληθείας των ισχυρισμών: i) Ρ , Q ii) «P ή Q» iii) «P και Q» iv) «όχι Ρ». Λύση

i) ● Oι μόνοι φυσικοί αριθμοί που επαληθεύουν τη σχέση

x 1 4+ < είναι οι αριθμοί 0, 1 και 2.

Επομένως, το σύνολο αληθείας του ισχυρισμού Ρ είναι το

{ }A 0, 1, 2= .

● Oι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι επαληθεύουν τη σχέση x 1 2+ >

είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί εκτός των αριθμών 0 και 1. Επομένως, το σύνολο αληθείας του ισχυρισμού Q είναι το

{ }B 2, 3, 4, 5, ...= .

ii) To σύνολο αληθείας του ισχυρισμού «Ρ ή Q» είναι η ένωση

A Β .∪ =

iii) To σύνολο αληθείας του ισχυρισμού «Ρ και Q» είναι η τομή

{ }A Β 2 .∩ =

iv) To σύνολο αληθείας του ισχυρισμού «όχι Ρ» είναι το συμπλήρωμα

{ }A 0,1, 2 .′ = −

Σημείωση Το σύνολο Α, του οποίου τα στοιχεία και μόνο αυτά επαληθεύουν έναν ισχυρισμό Ρ λέγεται σύνολο αληθείας αυτού του ισχυρισμού.

Σημείωση Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευ-ξη των Ρ και Q και αληθεύει μόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει.

Σημείωση Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύ-ζευξη των Ρ και Q και αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.

Σημείωση Ο ισχυρισμός «όχι Ρ» λέγεται άρνηση του Ρ και αληθεύει μόνο στην περίπτω-ση που δεν αληθεύει ο ισχυρισμός Ρ.


7. Δίνονται οι ισχυρισμοί

∈ =2xΡ : «x , όπου 1»

x

και 2Q : «x , όπου x x».∈ = Να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι συνεπαγωγές: i) Ρ ⇒Q ii) ⇒Q P.

Λύση

i) ● Έχουμε διαδοχικά

2x 1.

x=

Οπότε 2x x και x 0.= ≠

Δηλαδή 2x x 0− = και x 0.≠

Επομένως, ( )x x 1 0− = και x 0≠

και τελικά x 1.=

Άρα, το σύνολο αληθείας του ισχυρι-σμού P είναι το { }A 1 .=

● Έχουμε

( )2x x x x 1 0

x 0 ή x 1.= ⇔ − =

⇔ = =

Άρα, το σύνολο αληθείας του ισχυρι-σμού Q είναι το { }B 0,1 .=

Παρατηρούμε ότι A B⊆ και συνεπώς η συνεπαγωγή P Q⇒ είναι αληθής.

ii) Παρατηρούμε ότι το Β δεν είναι υποσύνολο του Α και συνεπώς η συνεπαγωγή

Q P⇒ δεν είναι αληθής.

Σημειώσεις ● Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυ-

ρισμοί τέτοιοι, ώστε αν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και γράφουμε

⇒P Q .

● Η συνεπαγωγή ⇒«Ρ Q» διευρύνει το σύνολο των λύσεων του ισχυρισμού Ρ. Δηλαδή, αν Α και Β είναι τα σύνολα αληθείας των Ρ και Q αντίστοιχα, τότε

⊆A B .


8. Δίνονται οι ισχυρισμοί

∈ = −xΡ : «x , όπου 3»2

∈ =2Q : «x , όπου x 36» και ∈ < −R : «x , όπου x 4 και x διαιρέτης του 6» . Να βρείτε τις σχέσεις που συνδέουν τους ισχυρισμούς Ρ, Q και R.

Λύση

Έχουμε

● x 3 x 6.2= − ⇔ = −

Άρα, το σύνολο αληθείας του ισχυρισμού Ρ είναι το

{ }A 6 .= −

● 2 2 2x 36 x 6 0= ⇔ − = ( )( )x 6 x 6 0⇔ − + =

x 6 ή x 6.⇔ = = −

Άρα, το σύνολο αληθείας του ισχυρισμού Q είναι το

{ }B 6, 6 .= −

● Oι διαιρέτες του αριθμού 6 είναι οι 1,± 2,± 3, 6.± ± Όμως, ο μόνος διαιρέτης που είναι

μικρότερος του 4− είναι ο αριθμός 6.− Άρα, το σύνολο αληθείας του ισχυρισμού R είναι το

{ }Γ 6 .= −

Παρατηρούμε λοιπόν ότι Α Β,⊆ Γ Β⊆ και Α Γ.= Επομένως, Ρ Q, R Q⇒ ⇒ και P R.⇔

Σημειώσεις ● Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυ-

ρισμοί τέτοιοι, ώστε αν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q και αντιστρόφως, αν αληθεύει ο Q να αλη-θεύει και ο Ρ, τότε λέμε ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε

⇔P Q .

● Αν οι ισχυρισμοί Ρ και Q είναι ισοδύναμοι, τότε έχουν τα ίδια σύνολα αλη-θείας.


9. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς:

i) ( )α β και γ δ α γ β δ= = ⇒ + = +

ii) ( )α β και γ δ α γ β δ= = ⇔ + = + .

Λύση

i) Γνωρίζουμε ότι αν α β= και γ δ,=

τότε α γ β δ.+ = +

Επομένως, η συνεπαγωγή

( )α β και γ δ α γ β δ= = ⇒ + = +

είναι αληθής. ii) Λόγω του ερωτήματος i) αρκεί να εξετάσουμε αν η συνεπαγωγή

( )α γ β δ α β και γ δ+ = + ⇒ = =

είναι αληθής ή όχι. Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε, π.χ. α 4, β 3, γ 1= = = και

δ 2,= τότε ισχύει

α γ β δ.+ = +

Όμως, δεν ισχύει

α β και γ δ= = .

Επομένως, η παραπάνω συνεπαγωγή δεν είναι αληθής. Άρα, η ισοδυναμία

( )α β και γ δ α γ β δ= = ⇔ + = +

δεν είναι αληθής.

Η μαθηματική λογική δεν ασχολείται με την αλήθεια, παρά μόνο με το παιγνίδι της αλήθειας.

Gian-Carlo Rota


10. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς:

i) αβ α β 1= ⇒ = ii) α α α 0 ή β 1β= ⇔ = =

iii) α 1 α β και β 0.β= ⇔ = ≠

Λύση

i) Έχουμε διαδοχικά

αβ α

αβ α 0 ( )α β 1 0− =

α 0 ή β 1.

Άρα, ο ισχυρισμός αβ α β 1= ⇒ =

δεν είναι αληθής. Πράγματι, για α 0 και β 2 ,

η σχέση αβ α

αληθεύει, ενώ η σχέση β 1

όχι.

ii) ● Aν

α α,β

τότε

α α 0β

Σημείωση Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς αυτούς είναι ίσος με το μηδέν. Δηλαδή,

α β 0 α 0 ή β 0.⋅ = ⇔ = =

Σημείωση Έστω P και Q δύο ισχυ-ρισμοί. Ο ισχυρισμός

P ή Q αληθεύει αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει.


δηλαδή

1α 1 0.β

Επομένως,

α 0 ή 1 1 0β ,

δηλαδή α 0 ή β 1.

● Αντίστροφα, αν α 0 ή β 1,

τότε

α α.β

Άρα, ο ισχυρισμός α α α 0β= ⇔ = ή β 1

είναι αληθής. iii) ● Aν

α 1,β

τότε α β και β 0.

● Aντίστροφα, αν α β και β 0,

τότε α 1.β

Επομένως, ο ισχυρισμός

α 1 α ββ= ⇔ = και β 0

είναι αληθής.

Σημείωση Έστω Ρ και Q δύο ισχυρι-σμοί. Ο ισχυρισμός

P και Q αληθεύει αν και μόνο αν και οι δύο ισχυρισμοί αλη-θεύουν.


Προτεινόμενες Ασκήσεις 1. Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα:

i) { }2A x , όπου x 49= ∈ = ii) { }Β x , όπου 4 x 2= ∈ − ≤ <

iii) { }Β x , όπου x διαιρέτης του 15 .= ∈

2. Nα παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα

{ }Α x 2 x 2= ∈ − ≤ < και { }B x 5x 17 0 .= ∈ − <

3. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις ισχύει η σχέση A B :⊆ i) { } { }A 3, 2, 1,0,1, 2 και Β x | 3 x 3= − − − = ∈ − ≤ ≤

ii) { } { }*A 1, 2,3, 4,5 και Β x | o x διαιρεί το 4= = ∈ .

4. Δίνονται τα σύνολα

{ }Α 0, 3, 2α, 2α 1= + και { }Β 0, 3, 4, 6, 7, 9 .=

Να βρείτε την τιμή του α∈ έτσι, ώστε το σύνολο Α να είναι υποσύνολο του Β. 5. Έστω

{ } { }Α 1,3,5 και Β 0, 2,3,6= =

δύο υποσύνολα του συνόλου αναφοράς

{ }Ω 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .=

Να βρείτε τα σύνολα:

( )Α , Β , Α Β, Α Β, Α Β , Α Β , Β Α, Α Β, Α Β .′′ ′ ′ ′ ′ ′∪ ∩ ∩ ∪ − − ∪

6. Δίνεται το σύνολο

{ }A x , όπου x ψηφίο του αριθμού 2012 .= ∈

i) Να παραστήσετε το σύνολο Α με αναγραφή των στοιχείων του.

ii) Να βρείτε όλα τα υποσύνολα του Α.


7. Με βασικό σύνολο

{ }Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9=

θεωρούμε τα σύνολα

{ }Α 1, 2, 3, λ= και { }Β x , όπου x διαιρέτης του 6 .= ∈

i) Να βρείτε την τιμή του λ έτσι, ώστε να ισχύει

Α Β.=

ii) Αν λ 4,= να παραστήσετε τα Α και Β στο ίδιο διάγραμμα Venn και να προσδιορίσετε τα σύνολα:

α) Α Β∪ β) Α Β∩

γ) Α .′

8. Με βασικό σύνολο

{ }Ω α, β, γ, δ, ε, ζ=

θεωρούμε τα σύνολα

{ }Α α, ε= και { }Β δ, ε, ζ .=

Να προσδιορίσετε τα σύνολα:

i) Α′ ii) Β′

iii) Α Β′ ′∪ iv) Α Β′∩ . 9. Δίνονται τα σύνολα

{ }Α 1, 2= και { }Β 2, 3, 4 .= i) Nα παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο

( ){Γ x, y= , όπου x A∈ και }y B∈ . ii) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο

( ){Δ x, y ,= όπου x, y∈ και }x y 5+ = .

iii) Να προσδιορίσετε τα σύνολα Γ Δ∩ και Γ Δ .′∩ 10. Δίνονται τα σύνολα

12Α x ακέραιοςx

= ∈

και { }Β x 5x 6 0 .= ∈ − <

Να εξετάσετε αν τα σύνολα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους.


11. Έστω { }Ω 1, 2, 3,...,10,11=

ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του Α και Β τέτοια, ώστε

{ }Α B 5, 8∩ = και { }Α B 2, 7′∩ = . i) Να βρείτε το σύνολο Α. ii) Aν { }Β 3, 4, 5, 8,11 ,= να βρείτε τα σύνολα

Β′ και Β Α.−

12. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς: i) Α Β Α Β Α⊆ ⇒ ∩ = ii) Α Β Α Β Β⊆ ⇒ ∪ =

iii) Α Β Α Β .′= ⇔ ∩ =∅

13. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς: i) 1 1≥ ii) 2 1≥ iii) 1 1 2+ = ή 2 4 9⋅ = iv) 4 3 6+ = και 5 8 40.⋅ =

14. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς: i) α β α γ β γ= ⇒ + = + ii) α β αγ βγ= ⇒ =

iii) 2x 2 x 4= ⇒ = iv) 2x 4 x 2= ⇒ = .

15. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς: i) ( )α β και γ δ αγ βδ= = ⇒ = ii) ( )α β και γ δ αγ βδ= = ⇔ =

iii) ( )α β και γ δ αγ βδ≠ ≠ ⇒ ≠ .

16. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς: i) 2 2α β α β= ⇔ = ii) α β α 1 β 2≠ ⇔ + ≠ +

iii) ( )α β και γ δ α γ β δ.= ≠ ⇒ + ≠ +

17. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς: i) Aν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 0, τότε ο αριθμός είναι

πολλαπλάσιο του 5. ii) Αν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε είναι και ισόπλευρο. iii) Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει 2x 0.> iv) Υπάρχει πραγματικός αριθμός x τέτοιος, ώστε 2x 0.≤

Οι Πραγματικοί Aριθμοί – Oι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 103

Oι Πραγματικοί Αριθμοί


«H Άλγεβρα είναι γενναιόδωρη και συχνά μας δίνει περισσότερα από όσα της ζητάμε.»

D’ Alembert


Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους Ρητοί, Άρρητοι και Πραγματικοί Αριθμοί

● Κάθε ρητός αριθμός έχει ή μπορεί να πάρει κλασματική μορφή αβ

, όπου α, β

ακέραιοι, με β ≠ 0. Επίσης κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός μπορεί να πάρει κλασματική μορφή και συνεπώς είναι ρητός. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα .

Παράδειγμα Οι αριθμοί

3 11 139 23 263 3,0, 1,375, 4,21, 1,15 , 3,7142851 8 33 20 7−

− = = − = − = − − = − =

είναι ρητοί. ● Υπάρχουν, όμως και αριθμοί οι οποίοι δεν μπορούν να πάρουν κλασματική

μορφή α ,β

όπου α, β ακέραιοι, με β ≠ 0 και συνεπώς δεν μπορούν να γραφούν

ούτε ως δεκαδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκαδικοί. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται άρρητοι αριθμοί. Το σύνολο των άρρητων αριθμών συμβολίζεται με − .

Παράδειγμα Οι αριθμοί

2 11 2π2, 5, 1 3, , π, 8π,7 3−

− + −

είναι άρρητοι. ● Το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από όλους τους ρητούς

και όλους τους άρρητους αριθμούς. Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών.

−∞ 3− 2− 1− 0 1 2 3 +∞

• • • • • •• •• •π2


Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμός Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πραγματικών αριθμών έχουν

ορισθεί σε προηγούμενες τάξεις και υπακούουν στις παρακάτω ιδιότητες:

Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική α β β α+ = + αβ βα=

Προσεταιριστική ( ) ( )α β γ α β γ+ + = + + ( ) ( )α βγ αβ γ=

Ουδέτερο στοιχείο α 0 α+ = α 1 α⋅ = Αντίθετος/Αντίστροφος Αριθμού ( )α α 0+ − = 1α 1, α 0

α⋅ = ≠

Επιμεριστική ( )α β γ αβ αγ+ = +

● Ο αριθμός 0 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι οποιοσδήποτε

αριθμός προστιθέμενος με το 0 δεν μεταβάλλεται.

● Ο αριθμός 1 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, διότι

οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με το 1 δεν μεταβάλλεται.

Αφαίρεση και Διαίρεση Ορισμός

Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί.

Ορίζουμε ως διαφορά α β− και ως πηλίκο α α :ββ= τους αριθμούς:

● ( )− = + −α β α β και

● = = ⋅ ≠α 1α : β α (όπου β 0)β β

● Επειδή διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται, όπου συναντάμε το πηλίκο α ,β

εννοείται

ότι β ≠ 0.


Πρόταση Για τις τέσσερις πράξεις και την ισότητα ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες: ● ( )= = ⇒ + = +α β και γ δ α γ β δ Δηλαδή, δύο ισότητες μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη. ● ( )= = ⇒ =α β και γ δ αγ βδ Δηλαδή, δύο ισότητες μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη. ● = ⇔ + = +α β α γ β γ Δηλαδή, μπορούμε στα δύο μέλη μιας ισότητας να προσθέσουμε τον ίδιο

αριθμό και αντίστροφα να διαγράψουμε τον ίδιο προσθετέο. ● = ⇔ = ≠α β αγ βγ (εφόσον γ 0) Δηλαδή, μπορούμε στα δύο μέλη μιας ισότητας να πολλαπλασιάσουμε τον ίδιο

αριθμό και αντίστροφα να διαγράψουμε τον ίδιο μη μηδενικό παράγοντα. ● ⋅ = ⇔ = =α β 0 α 0 ή β 0 Δηλαδή, το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και

μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν. ● ⋅ ≠ ⇔ ≠ ≠α β 0 α 0 και β 0 Δηλαδή, το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι διάφορο από το μηδέν, αν

και μόνο αν και οι δύο αριθμοί είναι διάφοροι από το μηδέν. ● Οι δύο πρώτες από τις παραπάνω ιδιότητες είναι συνεπαγωγές και όχι ισοδυ-

ναμίες. Δηλαδή, δεν ισχύουν τα αντίστροφα αυτών των συνεπαγωγών. Αντιπαράδειγμα Ισχύει 2 7 3 6+ = + . Όμως 2 3 και 7 6≠ ≠ . Ισχύει 2 12 3 8⋅ = ⋅ . Όμως 2 3 και 12 8≠ ≠ . Δυνάμεις Έχουμε ορίσει τη δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό και εκθέτη έναν ακέραιο αριθμό ως εξής:


Ορισμός Αν α είναι πραγματικός αριθμός και ν θετικός ακέραιος τότε ορίζουμε:

● ⋅ ⋅ ⋅ >=

=

ν ν παράγοντεςα α .... α ,αν ν 1

αα ,αν ν 1

● =0α 1 (εφόσον α ≠ 0) και − =νν

1αα

(εφόσον α ≠ 0)

Πρόταση Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι παρακάτω δυνάμεις, ισχύουν οι ιδιότητες:

( )

( )

κκ λ κ λ κ λ κ λ

λ

λκ κ λ

κ κκ κ κ

κ

αα α α α : α αα

α α

α αα β α ββ β

+ −

⋅

⋅ = = =

=

⋅ = ⋅ =

● Ενώ είναι φανερό ότι ισχύει η συνεπαγωγή ν να β α β= ⇒ = , δεν ισχύει το

αντίστροφο.

Αντιπαράδειγμα Έχουμε 2 2( 5) 5 25− = = . Όμως 5 5− ≠ . Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Πρόταση

Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών ονομάζεται ταυτότητα. Οι πιο σημαντικές ταυτότητες είναι: ● ( )+ = + +2 2 2α β α 2αβ β

● ( )− = − +2 2 2α β α 2αβ β

● ( ) ( )− = − +2 2α β α β α β


● ( )+ = + + +3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β

● ( )− = − + −3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β

● ( ) ( )+ = + − +3 3 2 2α β α β α αβ β

● ( ) ( )− = − + +3 3 2 2α β α β α αβ β

● ( )+ + = + + + + +2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα

Μέθοδοι Απόδειξης

● Για να αποδείξουμε ότι μία συνεπαγωγή ⇒P Q είναι αληθής ακολουθούμε κάποια από τις παρακάτω μεθόδους:

Ευθεία Απόδειξη

«Ξεκινούμε από την υπόθεση Ρ της συνεπαγωγής και με διαδοχικές αληθείς συνεπαγωγές καταλήγουμε στο συμπέρασμα Q » Παράδειγμα

Nα αποδείξετε τη συνεπαγωγή:

«Αν 1x 1x

− = , τότε 22

1x 3x

+ = »

Λύση

Έχουμε 1x 1x

− =

και συνεπώς 21x 1.

x − =

Επομένως 2

2

1 1x 2 x 1,x x

− ⋅ ⋅ + =

δηλαδή 2

2

1x 2 1x

− + =

και τελικά 2

2

1x 3.x

+ =


Απαγωγή σε Άτοπο «Αρχικά, υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε, δηλαδή το συμπέρασμα Q της συνεπαγωγής. Mε άλλα λόγια υποθέτουμε ότι ισχύει η άρνηση του συμπεράσματος Q. Κατόπιν με διαδοχικές αληθείς συνεπαγωγές καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα που είναι λανθασμένο». Δηλαδή, καταλήγουμε σε άτοπο (αδύνατο). Άρα, το συμπέρασμα Q ισχύει. Παράδειγμα

Για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, να αποδείξετε τη συνεπαγωγή: «Αν ο α είναι ρητός και ο β είναι άρρητος, τότε ο α β είναι άρρητος».

Λύση

Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι ο αριθμός α β δεν είναι άρρητος, δηλαδή είναι

ρητός. Η διαφορά δύο ρητών είναι πάντοτε ρητός αριθμός. Επομένως ο αριθμός

α α β α α β β

είναι ρητός. Αυτό όμως είναι αδύνατο (άτοπο), αφού ο β είναι άρρητος. Άρα, η αρχική μας υπόθεση, δηλαδή ότι ο αριθμός α β είναι ρητός, ήταν λανθασμένη. Επομένως, ο

α β είναι άρρητος.

● Για να αποδείξουμε ότι μία ισοδυναμία P Q είναι αληθής ακολουθούμε

κάποια από τις παρακάτω μεθόδους: Ευθύ και Αντίστροφο «Με τη μέθοδο της ευθείας απόδειξης ή με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, αποδεικνύουμε χωριστά καθεμία από τις συνεπαγωγές P Q και Q P ».


Nα αποδείξετε την ισοδυναμία: «Ο ακέραιος αριθμός α είναι περιττός αν και μόνο αν ο α2 είναι περιττός».

Λύση

Έστω ότι ο ακέραιος α είναι περιττός. Τότε ο α έχει τη μορφή α 2κ 1, κ .

Οπότε, έχουμε:

22 2α 2κ 1 4κ 4κ 1

2 22 2κ 2κ 1 2λ 1, όπου λ 2κ 2κ .

Άρα, ο ακέραιος α2 είναι περιττός.


Αντιστρόφως. Έστω ότι ο ακέραιος α2 είναι περιττός. Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι ο ακέραιος α δεν είναι περιττός. Δηλαδή, ότι ο α είναι άρτιος και έχει τη μορφή α 2κ, κ . Τότε, έχουμε:

22 2 2 2α 2κ 4κ 2 2κ 2λ, όπου λ 2κ .

Δηλαδή, ο ακέραιος α2 είναι άρτιος, που είναι αδύνατο. Άρα, η αρχική μας υπόθε-ση, δηλαδή ότι ο αριθμός α είναι άρτιος, ήταν λανθασμένη. Επομένως ο α είναι περιττός.

Διαδοχικές Ισοδυναμίες «Ξεκινούμε από τον ισχυρισμό Ρ και με διαδοχικές αληθείς ισοδυναμίες καταλή-γουμε στον ισχυρισμό Q ή αντίστροφα». Παράδειγμα Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες των αναλογιών:

α γ

αδ βγβ δ (εφόσον βδ 0)

α γ α β

β δ γ δ (εφόσον βγδ 0)

α γ α β γ δ

β δ β δ

(εφόσον βδ 0)

α γ α α γ

β δ β β δ

(εφόσον βδ β δ 0) .

Απόδειξη Για βδ 0 έχουμε:

α γ α γ

βδ βδβ δ β δ

αδ βγ.

Για βγδ 0 έχουμε:

α γαδ βγ

β δ

αδ βγ

γδ γδ

α β.

γ δ


Για βδ 0≠ έχουμε:

( ) ( )α β γ δ δ α β β γ δβ δ

αδ βδ βγ βδαδ βγα γ .β δ

+ += ⇔ + = +

⇔ + = +⇔ =

⇔ =

Για ( )βδ β δ 0+ ≠ έχουμε:

( ) ( )α α γ α β δ β α γβ β δ

αβ αδ αβ βγαδ βγα γ .β δ

+= ⇔ + = +

+⇔ + = +⇔ =

⇔ =

● Για να αποδείξουμε ότι μία συνεπαγωγή ⇒P Q ή μία ισοδυναμία ⇔Ρ Q δεν

είναι πάντα αληθής, αρκεί να βρούμε ένα παράδειγμα για το οποίο η συγκε-κριμένη συνεπαγωγή ή ισοδυναμία δεν ισχύει, δηλαδή όπως λέμε, αρκεί να βρού-με ένα αντιπαράδειγμα.

Αντιπαράδειγμα Η συνεπαγωγή

« 4 4α β α β= ⇒ = » δεν είναι αληθής, διότι για α 1 και β 1= − = έχουμε

( )4 41 1 1− = = και 1 1.− ≠

Για κάθε α,β, γ∈ η ισοδυναμία

« α β αγ βγ= ⇔ = » δεν είναι αληθής, διότι για α 2, β 3 και γ 0= = = έχουμε

αγ βγ 0= = και α β.≠


Λυμένες Ασκήσεις

1. Να βρείτε τα αναπτύγματα των:

i) ( )2x 3+ ii) ( )22 5x+

iii) 212x

x +

iv) 2

x yy x

+

.

Λύση

Έχουμε

i) ( )2 2 2 2x 3 x 2x 3 3 x 6x 9+ = + ⋅ + = + +

ii) ( ) ( )2 222 5x 2 2 2 5x 5x+ = + ⋅ ⋅ + 24 20x 25x= + +

iii) ( ) ( )2 2

2 22

1 1 1 12x 2x 2 2x 4x 4x x x x

+ = + + = + +

iv) 2 2 2 2 2

2 2

x y x x y y x y2 2 .y x y y x x y x

+ = + ⋅ + = + +


i) ( )2x 5− ii) ( )23 x−

iii) ( )24x 3− iv) 2

2 1x .x

−

Λύση

Έχουμε

i) ( )2 2 2 2x 5 x 2x 5 5 x 10x 25− = − ⋅ + = − +

ii) ( )2 2 2 23 x 3 2 3 x x 9 6x x− = − ⋅ ⋅ + = − +

iii) ( ) ( ) ( )2 2 2 24x 3 4x 2 4x 3 3 16x 24x 9− = − ⋅ + = − +

iv) ( )2 2

22 2 2 42

1 1 1 1x x 2x x 2x .x x x x

− = − + = − +

Σχόλιo Εφαρμόζουμε την ταυτότητα

( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + +


( )2 2 2α β α 2αβ β .− = − + Βέβαια, μπορούμε να αξιο-ποιήσουμε και την επιμερι-στική ιδιότητα.



i) ( )( )x 9 x 9− + ii) ( )( )10 α 10 α− +

iii) ( )( )2x 5 2x 5− + iv) β β7α 7α4 4

− +

.

Λύση

Έχουμε i) ( )( ) 2 2 2x 9 x 9 x 9 x 81− + = − = −

ii) ( )( ) 2 2 210 α 10 α 10 α 100 α− + = − = −

iii) ( )( ) ( )2 2 22x 5 2x 5 2x 5 4x 25− + = − = −

iv) ( )2 2

2 2β β β β7α 7α 7α 49α .4 4 4 16

− + = − = −


i) ( )3x 2+ ii) ( )31 2x+

iii) ( )33x y+ iv) 312α

α +

.

Λύση

Έχουμε

i) ( )3 3 2 2 3x 2 x 3x 2 3x 2 2+ = + ⋅ + ⋅ +

3 2x 6x 12x 8= + + +

ii) ( ) ( ) ( )3 2 33 21 2x 1 3 1 2x 3 1 2x 2x+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

2 31 6x 12x 8x= + + +

iii) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3 2 2 33x y 3x 3 3x y 3 3x y y 27x 27x y 9xy y+ = + + + = + + +

iv) ( ) ( ) ( )3 2 3

3 21 1 1 12α 2α 3 2α 3 2αα α α α

+ = + + +

3 2 32 3 3

1 1 1 6 18α 3 4α 6α 8α 12α .α α α α α

= + ⋅ + + = + + +


( )( ) 2 2α β α β α β .− + = −

Βέβαια, μπορούμε να αξιο-ποιήσουμε και την επιμερι-στική ιδιότητα.


( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β+ = + + +



i) ( )3x 1− ii) ( )32α 3−

iii) 3x y

2 −

iv) 32α

α −

.

Λύση

Έχουμε i) ( )3 3 2 2 3x 1 x 3x 1 3x 1 1− = − ⋅ + ⋅ −

3 2x 3x 3x 1= − + −

ii) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 32α 3 2α 3 2α 3 3 2α 3 3− = − ⋅ + ⋅ −

3 28α 36α 54α 27= − + −

iii) 3 3 2 3

2 3 2 2 3x x x x x 3 3y 3 y 3 y y x y xy y2 2 2 2 8 4 2

− = − + − = − + −

iv) 3 2 3

3 22 2 2 2α α 3α 3αα α α α

− = − + −

32 3

4 8α 6α 3αα α

= − + −

3

3

12 8α 6α .α α

= − + −


i) ( )( )2α 5 α 5α 25− + + ii) ( )( )23x 1 9x 3x 1 .− + +

Λύση

Έχουμε

i) ( )( ) ( )( )2 2 2α 5 α 5α 25 α 5 α 5α 5− + + = − + +

3 3 3α 5 α 125= − = −

ii) ( )( ) ( ) ( )22 23x 1 9x 3x 1 3x 1 3x 3x 1 1 − + + = − + ⋅ +

( )3 3 33x 1 27x 1= − = −


( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β− = − + −


( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β− = − + +



i) ( )( )2α 2 α 2α 4+ − + ii) ( )( )23x 2 9x 6x 4 .+ − +

Λύση

Έχουμε

i) ( )( ) ( )( )2 2 2α 2 α 2α 4 α 2 α 2α 2+ − + = + − +

3 3 3α 2 α 8= + = +

ii) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 23x 2 9x 6x 4 3x 2 3x 3x 2 2 + + + = + − ⋅ +

( )3 3 33x 2 27x 8.= + = +


i) ( )2x y 5+ + ii) 21x 2y

ω + +

iii) ( )2x 3y 2+ − iv) ( )22x y 3ω .− −

Λύση

Έχουμε

i) ( )2x y 5+ +

2 2 2x y 5 2xy 2y 5 2 5x= + + + + ⋅ + ⋅

2 2x y 25 2xy 10y 10x= + + + + +

ii) ( ) ( ) ( )2 2

221 1 1 1x 2y x 2y 2x 2y 2 2y 2 xω ω ω ω

+ + = + + + + +

2 22

1 4y 2xx 4y 4xyω ω ω

= + + + + +

iii) ( ) ( ) 22x 3y 2 x 3y 2+ − = + + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22x 3y 2 2x 3y 2 3y 2 2 2 x= + + − + + − + −

2 2x 9y 4 6xy 12y 4x= + + + − −


( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β+ = + − +


( )2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα+ + = + + + + +


iv) ( ) ( ) ( ) 222x y 3ω 2x y 3ω− − = + − + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 22x y 3ω 2 2x y 2 y 3ω 2 3ω 2x= + − + − + − + − − + −

2 2 24x y 9ω 4xy 6yω 12ωx.= + + − + −

9. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν οι σχέσεις

α β 5+ = και αβ 4= ,

να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

i) 1 1α β+ ii) 2 2α β+ iii) 3 3α β+ .

Λύση

i) Έχουμε

1 1 β α α β 5α β αβ αβ 4

+ ++ = = = .

ii) Γνωρίζουμε ότι

( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + +

Επομένως,

( )22 2α β α β 2αβ+ = + − 25 2 4= − ⋅ 25 8 17.= − =

iii) Έχουμε

( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β+ = + − + ( )( )2 2α β α β αβ= + + −

( )5 17 4= ⋅ − 5 13= ⋅ 65.=

10. Να παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις:

i) 2 22α β 6αβ+ ii) ( ) ( )3 2α α β α β α− + −

iii) αβ 2 2α β− + − iv) ( )2 22α β β 4 2αβ 8αβ.+ − −

Σχόλιo Προσπαθούμε να εκφράσου-με τις ζητούμενες παραστά-σεις συναρτήσει των γνω-στών παραστάσεων

α β και αβ .


Λύση

Έχουμε i) ( )2 22α β 6αβ 2αβ α 3β+ = +

ii) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2α α β α β α α α β α α β− + − = − − −

( )( )2α α β α 1= − −

iii) αβ 2 2α β αβ 2α β 2− + − = + − −

( ) ( )

( )( )α β 2 β 2

β 2 α 1

= + − +

= + −

iv) ( ) ( ) ( )2 2 22α β β 4 2αβ 8αβ 2α β β 4 2αβ β 4+ − − = + − +

( )( )2αβ β 4 α 1 .= + −


i) 2 25x y 45− ii) 4 48x y 8xy−

iii) ( ) ( ) ( )2 33 2x 3x y 1 3x y 1 y 1+ − + − + − iv) 3 2x 6x 12x 8.− + −

Λύση

Έχουμε

i) ( ) ( )22 2 2 2 25x y 45 5 x y 9 5 xy 3 − = − = −

( )( )5 xy 3 xy 3= − +

ii) ( )4 4 3 38x y 8xy 8xy x y− = −

( )( )2 28xy x y x xy y= − + +

iii) ( ) ( ) ( )2 33 2x 3x y 1 3x y 1 y 1+ − + − + −

( ) ( )3 3x y 1 x y 1= + − = + −

Σχόλιo Εκτελούμε την παραγοντοποίη-ση εξάγοντας κοινό παράγοντα. Αν αυτό δεν ειναι άμεσα εφικτό, τότε εξετάζουμε την παραγοντο-ποίηση κατά ομάδες.

Σχόλιo Αξιοποιούμε την ταυτότητα

( )( )2 2α β α β α β− = − +

Σχόλιo Αξιοποιούμε την ταυτότητα

( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β− = − + +

Σχόλιo Αξιοποιούμε την ταυτότητα ( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β+ = + + +


iv) 3 2x 6x 12x 8− + − 3 2 2 3x 3x 2 3x 2 2= − ⋅ + ⋅ −

( )3x 2 .= −

12. i) Nα απλοποιήσετε την παράσταση

( )( )

2 2

22

α α 1 α 1

α α 1 1

+ − +

+ − +.

ii) Nα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2 2

2 2199 200 199 1 .

199 198 1⋅ − ++ +

Λύση

i) Έχουμε

( )( )

2 2 3 2 2

2 2 22

α α 1 α 1 α α α 1α α 2α 1 1α α 1 1

+ − + + − +=

+ − + ++ − +

3

2

α 12α 2α 2

+=

− +

( )( )( )

2

2

α 1 α α 12 α α 1+ − +

=− +

α 1.2+

=

ii) Παρατηρούμε ότι

( )( )

2 22 2

22 2 2

199 199 1 199 1199 200 199 1199 198 1 199 199 1 1

⋅ + − +⋅ − +=

+ + + − +.

Άρα, σύμφωνα με το ερώτημα i) έχουμε

2 2

2 2

199 200 199 1 199 1199 198 1 2⋅ − + +

=+ +

2002

= 100.

Μεθοδολογία Για να γίνει απλοποίηση πρέπει να παραγοντοποιή-σουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσμα-τος. Σ’ αυτή την προσπάθεια συχνά αξιοποιούμε γνωστές ταυτότητες.

Σχόλιο Είναι φανερό ότι η δοθείσα παράσταση προκύπτει από την παράσταση του ερωτή-ματος i) αν θέσουμε

α 199.=

Σχόλιo Αξιοποιούμε την ταυτότητα ( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β .− = − + −


13. Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i) 3

3 2α α

α 2α α−

+ + ii)

3

2α 1 1: α .

α 1α 1 − + +−

Λύση

Έχουμε

i) ( )( )

23

3 2 2

α α 1α αα 2α α α α 2α 1

−−=

+ + + +( )( )

( )2

α 1 α 1α 1− +

=+

α 1α 1−

=+

ii) 3

2

α 1 1: αα 1 α 1

− + − +

( )( )( )( )

( )2α 1 α α 1 α α 1 1:

α 1 α 1 α 1− + + + +

=− + +

2

2

α α 1 α 1α 1 α α 1+ + +

= ⋅+ + +

1.=

14. Δίνεται η παράσταση

( ) ( )364 25 3 1

2xA x y x y :y

−−

= ⋅ ⋅ ⋅ .

i) Nα αποδείξετε ότι 4 4A x y= ⋅ . ii) Nα βρείτε την τιμή της παράστασης Α για x 2= και y 5.=

Λύση

i) Έχουμε

( ) ( )36

4 25 3 12

xA x y x y :y

−

−

= ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )320 12 2 2 6 2x y x y : x y−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

22 10

18 6

x yx y

⋅=

⋅

4 4x y .= ⋅

ii) Για x 2= και y 5= έχουμε

4 4A x y= ⋅ 4 42 5= ⋅

( )42 5= ⋅ 410 10.000.= =

Σημείωση Με την προϋπόθεση ότι κάθε εμφα-νιζόμενη παράσταση ορίζεται, δηλα-δή έχει νόημα πραγματικού αριθ-μού, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες των δυνάμεων: ● κ λ κ λα α α

● κ

κ λλ

α αα

● ( )κκ κα β αβ⋅ =

● κκ

κ

α αβ β

● ( )λκ κλα α=


15. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

i) 11 10 9 8

9 18 53 3 3 3A27 : 3 9 3− + −

=+ ⋅

ii) 13 8 3

9 42 14 7B .

7 : 28

− −⋅ ⋅=

Λύση i) Έχουμε

( )

( )

8 3 211 10 9 8

99 18 5 3 18 2 5

3 3 3 3 13 3 3 3A27 : 3 9 3 3 : 3 3 3

− + −− + −= =

+ ⋅ + ⋅

( )8 8

27 18 7 9 7

3 27 9 3 1 3 203 :3 3 3 3

− + − ⋅= =

+ +

( )8 8

7 2 7

3 20 3 20 3 2 6.3 3 1 3 10

⋅ ⋅= = = ⋅ =

⋅ + ⋅

ii) Έχουμε

( )

( )

813 313 8 3

99 4

4

2 2 7 72 14 7Β77 : 28

4 7

− −− − ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= =

⋅

13 8 8 3 5 5

9 5

4 4 4

2 2 7 7 2 71 17 7

4 7 4

− − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =

⋅

( )5 5 4

45 2 5 8 35

2 7 4 2 2 2 2 2 8.7

−− −⋅ ⋅

= = ⋅ = ⋅ = =

16. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν ο αριθμός

ν 2 ν 1 ν7 5 7 11 7+ +− ⋅ − ⋅ είναι πολλαπλάσιο του 3.

Σχόλιo Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονο-μαστή με στόχο την απλοποίηση της παρά-στασης.

Σχόλιo Παρατηρούμε ότι

14 2 7= ⋅ και

28 4 7.= ⋅ Στη συνέχεια, εφαρμό-ζουμε γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων.


Λύση

Έχουμε

ν 2 ν 1 ν7 5 7 11 7+ +− ⋅ − ⋅

( )ν 27 7 5 7 11= − ⋅ −

( )ν7 49 35 11= − −

ν ν7 3 3 7= ⋅ = ⋅ και ν7 *∈ .

Άρα, ο αριθμός ν 2 ν 1 ν7 5 7 11 7+ +− ⋅ − ⋅

είναι πολλαπλάσιο του 3.

17. Να αποδείξετε τις ταυτότητες:

i) ( ) ( ) ( )2 222 2 2 2α β 2αβ α β− + = +

ii) ( )( ) ( ) ( )32 2 3 33 α β α β α β 2 α β .+ + − + = +

Λύση

i) Έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 2 2 2 2 2 2 2α β 2αβ α 2α β β 4α β− + = − + +

( ) ( )2 22 2 2 2α 2α β β= + +

( )22 2α β .= +

ii) α΄ τρόπος: Έχουμε ( )( ) ( )2 2 3 2 2 33 α β α β 3 α αβ βα β+ + = + + + και ( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β .+ = + + +

Μεθοδολογία Ξεκινούμε από το πιο πολύπλοκο μέλος της ζητούμενης ταυτότητας και εκτελώντας τις απα-ραίτητες πράξεις ή ενδε-χομένως και παραγοντο-ποιήσεις καταλήγουμε στο απλούστερο μέλος της ταυτότητας. Στο συ-γκεκριμένο πρόβλημα είναι φανερό ότι πρέπει να ξεκινήσουμε από το πρώτο μέλος.

Σχόλιo Αρκεί να αποδείξουμε ότι η δοθείσα παράσταση είναι της μορφής 3κ, όπου κ ακέ-ραιος. Οπότε, η πρώτη μας σκέψη είναι να παραγοντο-ποιήσουμε τη δοθείσα πα-ράσταση.


Επομένως,

( )( ) ( ) ( ) ( )32 2 3 2 2 3 3 2 2 33 α β α β α β 3 α αβ βα β α 3α β 3αβ β+ + − + = + + + − + + +

3 2 2 3 3 2 2 33α 3αβ 3α β 3β α 3α β 3αβ β= + + + − − − − 3 32α 2β= +

( )3 32 α β .= +

β΄ τρόπος:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 22 2 2 23 α β α β α β α β 3 α β α β + + − + = + + − +

( )( )2 2 2 2α β 3α 3β α β 2αβ= + + − − −

( )( )2 2α β 2α 2αβ 2β= + − +

( )( )2 22 α β α αβ β= + − +

( )3 32 α β= + .

18. Να αποδείξετε την ταυτότητα

( ) ( )4 4 2 2 2 2α β α 2αβ β α 2αβ β+ = + + − + .

Λύση

α΄ τρόπος: Έχουμε

( )( )2 2 2 2α 2αβ β α 2αβ β+ + − +

( ) ( )2 2 2 2α β 2αβ α β 2αβ = + + ⋅ + −

( ) ( )222 2α β 2αβ= + −

4 2 2 4 2 2α 2α β β 2α β= + + −

4 4α β .= +

Σχόλιο Ξεκινούμε από το δεύτερο μέλος, που είναι και το πιο πολύπλοκο, και καταλήγουμε με σύντομους αλγεβρικούς χειρισμούς στο πρώτο μέλος της ζητούμενης ταυτότητας.


β΄ τρόπος: Έχουμε 4 4 4 4 2 2 2 2α β α β 2α β 2α β+ = + + −

( ) ( )222 2α β 2αβ= + −

( )( )2 2 2 2α β 2αβ α β 2αβ= + + + −

( )( )2 2 2 2α 2αβ β α 2αβ β .= + + − +

19. Να αποδείξετε τη συνεπαγωγή:

«Αν + = + =22

2 4α 5, τότε α 21α α

».

Λύση

Έχουμε 2α 5α

+ =

και συνεπώς 2

22α 5α

+ =

.

Επομένως, 2

2 2 2α 2 α 25α α

+ ⋅ ⋅ + =

,

δηλαδή

22

4α 4 25α

+ + =

και τελικά

22

4α 21.α

+ =

Σχόλιο Παρατηρώντας την παραγο-ντοποιημένη μορφή που έχει το δεύτερο μέλος, μετατρέ-πουμε το πρώτο μέλος σε δια-φορά τετραγώνων προσθέτο-ντας και αφαιρώντας το

( )22 22α β 2αβ .=

Η Μέθοδος της Ευθείας Απόδειξης Για να αποδείξουμε την συνεπα-γωγή ⇒P Q ξεκινούμε από την υπόθεση Ρ και με διαδο-χικές αληθείς συνεπαγωγές κα-ταλήγουμε στο συμπέρασμα Q.


20. Έστω α ένας ακέραιος αριθμός. Να αποδείξετε τη συνεπαγωγή:

«Αν ο αριθμός 2

α 1 είναι άρτιος,

τότε ο αριθμός α είναι περιττός».

Λύση

Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι ο αριθμός α

δεν είναι περιττός, δηλαδή είναι άρτιος. Oπότε, οι

αριθμοί

2

α 1 και α

είναι άρτιοι και συνεπώς παίρνουν τη μορφή

2

α 1 2κ και α 2λ

με κ, λ .

Τότε έχουμε

2

α 1 2κ .

Οπότε 2α 2α 1 2κ.

Δηλαδή,

24λ 4λ 1 2κ.

Επομένως,

2 21 2κ 4λ 4λ 2 κ 2λ 2λ 2ρ ,

όπου 2ρ κ 2λ 2λ .

Από τη σχέση 1 2ρ, ρ συμπεραίνουμε ότι ο

αριθμός 1 είναι άρτιος που είναι άτοπο. Άρα, η

αρχική μας υπόθεση, δηλαδή ότι ο αριθμός α

είναι άρτιος, ήταν λανθασμένη. Επομένως, ο α

είναι περιττός.

21. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει η σχέση

1 1 10,

α β γ

να αποδείξετε ότι:

i) αβ βγ γα 0 ii) 2 2 2 2

α β γ α β γ .

Η Μέθοδος

της Απαγωγής σε Άτοπο

Για να αποδείξουμε τη συνεπα-

γωγή P Q υποθέτουμε ότι

δεν ισχύει το συμπέρασμα Q

και με διαδοχικές αληθείς συνε-

παγωγές καταλήγουμε σε κάτι

που είναι άτοπο (αδύνατο).

«H απόδειξη δια της εις άτοπον

απαγωγής, που τόσο αγαπούσε ο

Ευκλείδης, αποτελεί ένα από τα

καλύτερα όπλα ενός μαθηματι-

κού. Είναι πολύ πιο όμορφη ως

πρώτη κίνηση στο σκάκι από την

ίδια την παρτίδα. Ένας σκακι-

στής ενδέχεται να θυσιάσει ένα

πιόνι ή ακόμη και ένα σημαντικό

κομμάτι, ο μαθηματικός όμως

προσφέρει τον ίδιο τον αγώνα».

G. H. Hardy


Λύση

i) Έχουμε

1 1 1 0α β γ+ + =

βγ αγ αβ 0αβγ αβγ αβγ

⇔ + + =

βγ αγ αβ 0αβγ+ +

⇔ = .

Eπομένως, βγ αγ αβ 0+ + =

δηλαδή αβ βγ γα 0.+ + = ii) Έχουμε

( )2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα+ + = + + + + +

( )2 2 2α β γ 2 αβ βγ γα= + + + + + .

Όμως, στο ερώτημα i) αποδείξαμε ότι αβ βγ γα 0.+ + =

Επομένως, ( )2 2 2 2α β γ α β γ 2 0+ + = + + + ⋅ 2 2 2α β γ .= + +

22. Έστω α, β ακέραιοι αριθμοί. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: «Οι αριθμοί α, β είναι περιττοί αν και μόνο αν ο αβ είναι περιττός».

Λύση

● Ευθύ Έστω ότι οι αριθμοί α και β είναι περιττοί. Δηλαδή,

α 2κ 1= + και β 2λ 1= + με κ, λ .∈


( )( )

( )( )

αβ 2κ 1 2λ 14κλ 2κ 2λ 12 2κλ κ λ 1

2ρ 1, όπου ρ 2κλ κ λ .

= + +

= + + +

= + + +

= + = + + ∈

Άρα, ο αριθμός αβ είναι περιττός.

Σχόλιο Μετατρέπουμε το πρώτο μέλος της σχέσης

1 1 1 0α β γ

σε ένα κλάσμα για να εξισώσουμε στη συνέχεια τον αριθμητή του με το μηδέν. Ένας άλλος τρόπος είναι να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω ισότητας με αβγ.

Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι μια ισοδυναμία ⇔Ρ Q είναι αλ-ηθής, αποδεικνύουμε χωριστά κάθε μία από τις συνεπαγωγές

⇒Ρ Q και ⇒Q P.


● Αντίστροφο Έστω ότι ο αριθμός αβ είναι περιττός. Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β

είναι άρτιος. Οπότε αν α 2κ= και β 2λ 1= + με κ, λ∈ , τότε

( )αβ 2κ 2λ 1 2ρ,= + = όπου ( )ρ κ 2λ 1 .= + ∈

Δηλαδή, ο αβ είναι άρτιος (άτοπο). αν α 2κ 1= + και β 2λ= με κ, λ∈ , τότε

( )αβ 2λ 2κ 1 2ρ,= + = όπου ( )ρ λ 2κ 1= + ∈ .

Δηλαδή, ο αβ είναι άρτιος (άτοπο). αν α 2κ= και β 2λ= με κ, λ∈ , τότε

αβ 2κ 2λ 2ρ= ⋅ = , όπου ρ 2κλ .= ∈

Δηλαδή, ο αβ είναι άρτιος (άτοπο). Άρα, οι ακέραιοι α και β είναι περιττοί.

23. Να αποδείξετε την ισοδυναμία:

( ) ( ) ( )+ + = + 22 2α 4 β 9 3α 2β

αν και μόνο αν =αβ 6.

Λύση

Έχουμε

( )( ) ( )22 2α 4 β 9 3α 2β+ + = +

( )( )2 2 2 2 2 2α β 9α 4β 36 9α 2 3α 2β 4β⇔ + + + = + +

2 2α β 12αβ 36 0⇔ − + =

( ) ( )2 2αβ 2 αβ 6 6 0⇔ − + =

( )2αβ 6 0⇔ − =

αβ 6 0⇔ − =

αβ 6⇔ = .

Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι μια ισοδυναμία ⇔Ρ Q είναι αληθής, ξεκινούμε από τον ισχυρισμό Ρ και με διαδοχικές αληθείς ισοδυναμίες καταλήγου-με στον ισχυρισμό Q, ή αντίστροφα.



i) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2x 1 3x x 1 2x 1 3x− + + = + −

ii) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2α β α β 2β α β 4αβ α β+ − − = − + + . Λύση

i) Έχουμε διαδοχικά

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2x 1 3x x 1 2x 1 3x− + + = + −

4 2 4 2 4 2 2x 2x 1 3x 3x 4x 4x 1 3x⇔ − + + + = + + −

4 2 4 24x x 1 4x x 1.⇔ + + = + +

Και επειδή η τελευταία ισότητα αληθεύει για κάθε

x∈ , συμπεραίνουμε ότι το ίδιο ισχύει για την

ισοδύναμή της αρχική ισότητα.

ii) Για κάθε α,β∈ , έχουμε

( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 3 3 2 2 3α β α β α 3α β 3αβ β α 3α β 3αβ β+ − − = + + + − − + −

3 2 2 3 3 2 2 3α 3α β 3αβ β α 3α β 3αβ β= + + + − + − +

2 36α β 2β= + (1)

Επίσης, ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22β α β 4αβ α β 2β α 2αβ β 4α β 4αβ− + + = − + + +

2 2 3 2 22α β 4αβ 2β 4α β 4αβ= − + + +

2 36α β 2β= + (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2α β α β 2β α β 4αβ α β+ − − = − + + για κάθε α,β∈ . 25. Έστω α και β δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

α β 1+ = . Να αποδείξετε ότι

( ) ( )3 3α β 1 β β α 1 α+ + = + + .

Μεθοδολογία Όταν κρίνουμε ότι είναι δύσκολο να ξεκινήσουμε από το ένα μέλος της ζη-τούμενης ταυτότητας και να καταλήξουμε στο άλ-λο, συνήθως εργαζόμαστε ως εξής: Μετασχηματί-ζουμε τη ζητούμενη ταυτότητα σε ισοδύναμή της η οποία είναι αλη-θής.


Λύση

Από τη σχέση α β 1+ = προκύπτει ότι β 1 α= − .

Έχουμε λοιπόν:

● ( ) ( )3 3α β 1 β α 1 α 1 1 α+ + = − + + −

( )3α 2 α 1 α= − + −

3 42α α 1 α= − + −

4 3α 2α α 1= − + − + (1)

● ( ) ( ) ( )33β α 1 α 1 α α 1 α+ + = − + +

( )( )2 31 3α 3α α α 1 α= − + − + +

2 3 2 4 3α 1 3α 3α 3α 3α α α α= + − − + + − − +

4 3α 2α α 1= − + − + (2)


( ) ( )3 3α β 1 β β α 1 α+ + = + + .

26. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω για τους οποίους

ισχύουν οι σχέσεις:

x y 11 ω 52 3 4

+ += = και x y ω 11.+ + =

Λύση

Θέτουμε x y 11 ω 5 λ.2 3 4

+ += = =

Οπότε:

● x λ x 2λ2= ⇔ =

● y 11 λ y 11 3λ y 3λ 11

3+

= ⇔ + = ⇔ = −

● ω 5 λ ω 5 4λ ω 4λ 5.

4+

= ⇔ + = ⇔ = −

Σχόλιο Από τη δοθείσα συνθήκη

α β 1 εκφράζουμε τη μια μετα-βλητή συναρτήσει της άλ-λης. Έτσι, βρίσκουμε π.χ.

β 1 α . Οπότε, με αντικατάστα-ση η ζητούμενη σχέση μετατρέπεται σε απλού-στερη αφού πλέον υπάρ-χει σε αυτή μόνο η με-ταβλητή α.

Μεθοδολογία Για να απλουστεύσουμε τις δια-δικασίες, εισάγουμε έναν βοη-θητικό άγνωστο λ και από τις ισότητες

x y 11 ω 5 λ2 3 4

+ += = =

εκφράζουμε τους x, y και ω συναρτήσει του λ.


Επομένως, η σχέση x y ω 11+ + =

ισοδύναμα γράφεται

( ) ( )2λ 3λ 11 4λ 5 11 2λ 3λ 11 4λ 5 11+ − + − = ⇔ + − + − =

9λ 27 λ 3.⇔ = ⇔ = Άρα,

x 2 3 6,= ⋅ = y 3 3 11 2= ⋅ − = − και ω 4 3 5 7.= ⋅ − =

27. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει η σχέση

1 2 3 5,α 1 β 2 γ 3

+ + =+ + +

να βρείτε την τιμή της παράστασης α β γ .

α 1 β 2 γ 3+ +

+ + +

Λύση

Παρατηρούμε ότι

α β γ 1 2 3α 1 β 2 γ 3 α 1 β 2 γ 3

+ + + + + + + + + + +

α 1 β 2 γ 3α 1 α 1 β 2 β 2 γ 3 γ 3

= + + + + + + + + + + +

α 1 β 2 γ 3 1 1 1 3.α 1 β 2 γ 3+ + +

= + + = + + =+ + +

Όμως, με βάση την υπόθεση ισχύει 1 2 3 5.

α 1 β 2 γ 3+ + =

+ + +

Επομένως,

α β γ 5 3α 1 β 2 γ 3

+ + + = + + +

και τελικά α β γ 2.

α 1 β 2 γ 3+ + = −

+ + +

Παρατήρηση Η ζητούμενη παράσταση και το πρώτο μέλος της δοθείσας σχέσης έχουν άθροισμα

α 1 β 2 γ 3α 1 β 2 γ 3+ + +

+ ++ + +

1 1 1 3.= + + =


Προτεινόμενες Ασκήσεις 1. Aν x 253= και y 247,= να βρείτε την τιμή της παράστασης

( ) ( )A x 2x y 2 x y y 4 x 4x.= − − − + − +


i) ( )34 5 4Α 2 2 2− −= ⋅ ⋅ ii) ( )( )

53 6

34 11

7 7Β

7 7−−

⋅=

⋅.

3. Nα υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

i) ( )22 3

2

5 55

− ⋅ ii)

( )( )

42 5

22

3 3

3 3

−

−−

⋅

⋅

iii) 5 6

4 5

3 23 2⋅⋅

iv) ( ) ( ) ( )

( )

3 362 3

54

2 2 2.

2 2

− ⋅ − ⋅ −

− ⋅ −


i) ( )17 11Α 0,25 8= − ⋅ ii) ( )( )

33

33

0,254Β .2 1,25

= ⋅


i) ( ) ( ) ( )4 3 2Α 3 3 3= − + − − − ii) ( ) ( )410 317 3Β 4 : 2 2 :8 = − − − .


i) 8 7 6 5

3 7

2 2 2 2Α8 : 2 1− + −

=+

ii) 7 5 3

2 2

3 6 12Β2 :81

− −

−

⋅ ⋅= .


( ) ( )23

5 42 2 34

yΑ xy x y y :x

−−

−

= ⋅ ⋅ .

i) Nα αποδείξετε ότι 5 5A x y= ⋅ .

ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης για x 4= και y 5.=


8. Aν x 1= − και y 2= , να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

i) ( ) ( )2 20172017Α 3x y 2x y= − − − + + ii) ( )x

x y xΒ x yy

+ = + −

iii) ( )53 xΓ x x x= − − − − iv) ( ) ( )

( )

3 12 2

22 3

x y xyΔ .

x y

− −−

−=

9. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύουν οι σχέσεις yx 2= και xy 1,=

να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2y 2x

y x

x yA .x y− −

+=

⋅

10. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύουν οι σχέσεις

2x 3= και 2y 2= , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

21

1 3

xyA .x y

−−

− −

−=

11. Αν oι αριθμοί x, y είναι αντίστροφοι να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

i) ( ) ( )2 11 2 2A 5 2x y x− −− − −= − ⋅ ii)

( )( )

( )( )

3 23 1 1 4

1 41 2 1

x y x yB :

x y x y

−− − −

−− −= .


i) ( )233 2 4 52x y x y−−− − − − ⋅ ⋅ ii)

( )( )

422

53

3x y

2xy

−−

−

.


i) ( ) ( ) 33 1 2 2x y x y−− − −⋅ ii)

( ) 22 32 x yx :y xy

−− −

iii) 3 22 2

2 3

2x 4yy x

−

− −

− ⋅

iv) 3 23 3

2 4

x y: .y x− −



i)

34 5 2

3

x y x yΑ

x xy

ii)

23 11

3 51

x y xB .

xy xy

15. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει η σχέση

α 3

β 5 ,

να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

i) 10α 7βΑ

β

ii) 4α 3β

Βα β

.

16. Έστω πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ τέτοιοι, ώστε

α 1

α γ 3

και

β 1

β δ 4

.

i) Να αποδείξετε ότι

γ 2α και δ 3β .

ii) Nα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

αβ βγΑ .

βγ γδ

17. Nα βρείτε τα αναπτύγματα των:

i) 2x 5 ii) 2

3 2x

iii) 2

1x

x

iv) 2

2 1x .

x


i) 2x 4 ii) 2

7 x

iii) 22x 3 iv)

21

x .2x



i) 23x

2x +

ii) ( )2y 2− +

iii) ( )22x 3y− − iv) 2

2 1 .x y

−

20. Nα βρείτε τα αναπτύγματα των: i) ( )( )x 7 x 7− + ii) ( )( )8 α 8 α− +

iii) ( )( )4x 3 4x 3− + iv) α α2β 2β .3 3

− +

21. Nα βρείτε τα αναπτύγματα των: i) ( )3x 1+ ii) ( )32 α+

iii) ( )32x y+ iv) 31x .

x +

22. Nα βρείτε τα αναπτύγματα των: i) ( )3α 2− ii) ( )32x 1−

iii) ( )3x 2y− iv) 31x .

x −

23. Nα βρείτε τα αναπτύγματα των: i) ( )3α 2+ ii) ( )31 y− +

iii) ( )3x y− − iv) 3

2 1x .3

−

24. Nα βρείτε τα αναπτύγματα των: i) ( )( )2x 1 x x 1+ − + ii) ( )( )2x 3 x 3x 9+ − +

iii) ( )( )22x 1 4x 2x 1+ − + iv) 22

1 1α α 1 .α α

+ − +


25. Nα βρείτε τα αναπτύγματα των: i) ( )( )2x 1 x x 1− + + ii) ( )( )2α 2 α 2α 4− + +

iii) ( )( )22x 3 4x 6x 9− + + iv) 22

1 1x x 1 .x x

− + +


i) ( )2α 2β 1+ + ii) ( )2x y 2ω+ +

iii) ( )2α β γ+ − iv) ( )22x y 3ω .− −

27. Nα εκτελέσετε τις πράξεις:

i) ( ) ( )( )25x 2 4x 3 4x 3+ − − + ii) ( ) ( )2 22α 5β α β 18αβ− − − +

iii) ( ) ( ) ( )( )3 2x 1 4 x 1 x 2 x 2+ − − + − + iv) ( ) ( )3 32x 1 4 x 1 .− + +

28. Nα εκτελέσετε τις πράξεις:

i) ( ) ( )( ) ( )3 2x 2 3 x 1 x 1 x 1+ − − + − + ii) ( ) ( )2 29 x 1 3x 2− − −

iii) ( ) ( ) ( )2 2 2α β γ α β α γ+ + − + − + iv) ( )( ) ( ) ( )2 22x y 2x y x y x y .− + − − + +

29. Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει η σχέση

1α 4,α

+ = να βρείτε τις τιμές των

παραστάσεων:

i) 22

1αα

+ ii) 33

1α .α

+

30. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει η σχέση

1x 1,x

− = −


i) 2x x+ ii) 22

1xx

+

iii) 33

1xx

− iv) 44

1x .x

+


31. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύουν οι σχέσεις

α β 4+ = και 3 3α β 28,+ =

να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: i) 2 2α 2αβ β+ + ii) 2 2α αβ β− +

iii) αβ iv) 2 2α β .+


α β 4+ = και αβ 2,= να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

i) 1 1α β+ ii) 2 2α β+

iii) 2 2

1 1α β

+ iv) 3 3α β .+

33. Αν x y 3− = , να αποδείξετε ότι

2 2x 2xy 2x y 2y 3.− − + + =


21x x 3,x

+ = +


i) 22

1x x 1x

+ = + ii) 3 23

1x x 1x

+ = + .

35. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει

1 1α β 4,α β

+ = + =


i) α ββ α+ ii)

2 2

2 2

α β .β α

+

36. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει 2 2α β ,≠ να αποδείξετε ότι

2 2

2 2

α β α β 0.α β β α α β

+− − =

+ − −


37. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i) ( ) ( ) ( )2 2 2 2α β α β 2 α β+ + − = + ii) ( ) ( )2 2α β α β 4αβ.+ − − =


i) ( ) ( )2 2 2 2α 2β 2α β 5α 5β+ + − = + ii) ( ) ( ) ( )22 2 2 4α 1 α 1 α 1 2α 2.− + + + = +


i) ( )( ) ( )( )α 2 α 3 α 1 α 4 2− − = − − + ii) ( )( ) ( )( )α 4 α 5 α 2 α 7 6.− − = − − +

40. Nα αποδείξετε τις ταυτότητες: i) ( ) ( )( ) ( )2 22 2α β α 1 β 1 αβ 1− + − − = −

ii) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2α β 4αβ α β α 2αβ β .+ + − = + −


i) 2 22 2

2α 1 α 1α2 2+ −

= +

ii) 2 22 2

2α α1 α 14 4

+ = + −

iii) ( ) ( )33 3α β α β 3αβ α β− = − + − iv) ( ) ( )33 3α β α β 3αβ α β .+ = + − +

42. Nα αποδείξετε τις ταυτότητες: i) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2α β γ δ αγ βδ αδ βγ+ + = + + −

ii) ( )( )( )( )α β γ α β γ β γ α γ α β+ + + − + − + −

2 2 2 2 2 2 4 4 42α β 2β γ 2γ α α β γ .= + + − − −

43. Nα αποδείξετε τις ταυτότητες:

i) 22 2

2 2

2α 1 α 11 α 1 α

− + = + +

ii) ( ) ( ) ( )( )( )2 2α β 1 β α 1 α β 2αβ α 1 β 1 α β .+ + + + + + = + + +

44. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α β 4,− = να αποδείξετε ότι

2 2α β 5β 4 2αβ 5α.+ + + = +


45. Να παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις: i) 25x 20− ii) 2 23x y 27−

iii) ( )22α 3 9− − iv) 3 32α β 16.−


i) 2 22x y 6xyω 8xy− + ii) 3 23x x y 6x 2y− + −

iii) 2 225x 20xy 4y− + iv) 4 816x y .−


i) x x 2x 5 x 10− − + ii) 2 2α 2αβ β 1+ + −

iii) 2 2x y 2x 1− − + iv) ( ) ( )2 24 x 3 2x 3 .− − −


i) 2 29x 6xy y− + ii) 3 2α 4α 4α− +

iii) 324x 3− iv) 2 2α 6α 9 β .− + − 49. Nα παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις:

i) ( ) ( ) ( )23 2α 1 2 α 1 α 1− − − − − ii) ( ) ( )2 22α 9 α 3− − +

iii) 2 2α β 9 2αβ 6β 6α+ + + + + iv) ( )22x x y− − .

50. Nα παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις: i) 3 38α β− ii) 3 327α 1000β+

iii) 3 2 2 3α 6α β 12αβ 8β+ + + iv) 3 2α 3α 3α 1.− + −

51. Nα παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις:

i) 2x x y xy− + − ii) 4 8φ ω−

iii) 2 2 2α β γ 2αβ 2βγ 2γα+ + + − − iv) ( )( )5 5x x 1 x x 3 1.+ + + + +


52. Nα υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: i) 2 21502 1498− ii) 998 1002⋅

iii) ( ) ( )2 211,32 7,3218,64−

iv) 3 3

2 2

754 654 .754 754 654 654

−+ ⋅ +

53. Aν ν είναι θετικός ακέραιος αριθμός, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

( ) ( ) ( ) ( )ν ν 1 ν 2 ν 3A 1 1 1 1 .+ + += − + − + − + −

54. Nα αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν ο αριθμός

ν 2 ν 1 ν5 5 5+ +− − είναι πολλαπλάσιο του 19.

55. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν ο αριθμός

ν 2 ν 1 ν3 2 3 4 3+ ++ ⋅ − ⋅

είναι πολλαπλάσιο του 11. 56. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει η σχέση

3y 2x 2,3y 4x

−=

−

τότε: i) να αποδείξετε ότι

y 2x= ii) να απλοποιήσετε την παράσταση

2 22x 3y xyA .xy

+ +=

57. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i) 2 2

2 2

x 9 x 3xx 3x x 6x 9

− −⋅

+ − + ii)

4 2 2

3 2

x 2x 1 x xx x x 2x 1− + −

⋅− − +

iii) 4 2 3 2

3 2 3

y 1 y y 1 y yy 1 y y y y− + + −

⋅ ⋅− − +

iv) ( ) ( )( )

2

2

x 1 2 x 1 1.

x 1 1+ + + +

+ −



i) 3

2 2

x 1 xx x x x 1

−⋅

− + + ii) ( )2 2x x x 1

x 1− + −

−

iii) ( )

3 3 2

2 2 22

x y xy x:x yxy y

− +−−

iv) 3 2 2 2

2 2

x x y xy x y: .x y x y+ +− −

59. i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε α, β∈ με α ≠ β ισχύει

( )3 3

2α β αβ α βα β−

+ = +−

.

ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3 3757 243Α 757 243.514−

= + ⋅

60. Να απλοποιήσετε την παράσταση

( )( )( )

3 3 2 2 2

2

x y x y xy y x 2yA .

x y x y

+ − + + + −=

+ − −


( ) ( )( )( ) ( )

2

2 2

α 2 α 1 α 1 1α 1 α 1

− − + − −

− − +.

ii) Nα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2

2 2

998 1001 999 1.999 1001− ⋅ −

−

62. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα

( ) ( )3 3

33

α β α β .α α βα α β

+ +=

+ −+ −

ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 3 3

3 3

699 350Α .699 349

+=

+



i) 22

α α 1α α : α 1α 1 α 1 α 1

+ ⋅ − + + − + −

ii) ( )

( )2

2 2 2

3x 5y3x 5y :4x 9y2x 3y

−−−+

iii) 3 3

2 2 2 2

α β α βα αβ β α β

− −⋅

+ + −.


i)

2

2 2

2

α 1α βα αα β

−−++

ii) ( )

3 3

3 3

x yx y 2xy x y

−− − −

iii) ( ) ( ) ( )2 22 2

3 3

α x α x α x

4xα 4x α

− + − − −

iv) 1111 11

x

−−

−

.


i) ( )

( )22 3

2 2 2 2

α 1α 1 α α α1α 1 2α α 1α 1

+− + + ⋅ + ⋅ − ++

ii) ( )

( )( )

( )( ) ( )

2 32 22 2

2 4 6 4

α 4 α 4α 4 α 42 : .α 2 α 2 α 2 α 2

− −− − + + + + + +

66. Nα αποδείξετε ότι η παράσταση

2 2

2 3 3 2 2 3 2

xy x 2x y 1 y xyΑ 1x y y y xy x y x x x x 1

− − = + ⋅ − − ⋅ + − + − +

είναι ανεξάρτητη των x,y για όποια x, y αυτή ορίζεται.

67. Να αποδείξετε ότι

( )( )( )( )( )( )( )( )

2 6 3 9

2 6 3 9

x 1 x x 1 x x 1 x 11.

x 1 x x 1 x x 1 x 1+ − + − + −

=− + + + + +


68. Aν για τον πραγματιό αριθμό α ισχύει η σχέση 2α α 1= + , να υπολογίσετε την

τιμή της παράστασης

( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 22 2 2

3 2

α 2α 2 α 2α 2 α 1 α 2α 2 α 1Ε

α 3α 3α 1+ + + + + + + + + +

=+ + +

.

69. Aν οι αριθμοί α 1− και β 2+ είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: i) οι αριθμοί x αβ 3= − και y 2α β= − είναι αντίθετοι

ii) οι αριθμοί 2z α 1= − και β 2ωα 1+

=+

με α 1≠ − είναι αντίστροφοι.

70. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του x,

για τις οποίες ορίζονται:

i) 2 2

3

x x 1 x 1x 1 x 1+ + −

⋅+ −

ii) 3 2

2

x 2x xx x− +

−

iii) ( )2

2

x x 2 x 1x 1

− + −−

iv) ( )3

2

x x 1 x 1x 2x 1+ + ++ +

v) ( )

2 3 2

3

1 x xxx x 1

+ − ⋅ +

vi) ( )( )( )x x 2 1x 2 x 1

− +− −

.

71. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει η σχέση

α β γ 0,+ + =

να αποδείξετε ότι 3 3 3α β γ 3αβγ.+ + =

72. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει η σχέση

α β 4,α 1 β 1

+ =− −

να αποδείξετε ότι

2αβ 4α β .3+

+ =


73. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει η σχέση

2β 1 αβ= + με α 1≠ και β 1,≠ να αποδείξετε ότι

α 1 β 1 2.α 1 β 1+ +

− =− −


α 4α1β α β+ =

+ ,

να αποδείξετε ότι α β= .

75. Aν α, β, x, y είναι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

αx βy 0,− = να αποδείξετε ότι

2 2

2 2 2 2

β y 1.α β x y

+ =+ +


α β 3,β α+ =

να αποδείξετε ότι: i) 2 2α β 3αβ+ = ii) ( ) ( )3 3 2 2 2α α 6β β β 9α .+ = +

77. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι, ώστε

α β 1+ = . Να αποδείξετε ότι

( )24 4α β 2 αβ 1 1 0.+ − − + =

78. Να βρείτε τους αριθμούς x, y οι οποίοι είναι ανάλογοι των αριθμών 5, 7 και έχουν

άθροισμα 36.


79. Αν ισχύουν οι σχέσεις x y ω3 5 7= = και 4x 3y 2ω 22,− + =

να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y και ω.

80. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω για τους οποίους ισχύουν οι

σχέσεις

x y ω 10+ + = και 2 3 5 .x y ω= =

81. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω οι οποίοι είναι ανάλογοι των

αριθμών 5, 7, 9 και τέτοιοι, ώστε 2x y ω 12= + + .

82. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει η σχέση

α β γ 1,α 1 β 2 γ 3

+ + =+ + +

να βρείτε την τιμή της παράστασης 1 2 3 .

α 1 β 2 γ 3+ +

+ + +

83. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει η σχέση 1 1 1 7,

α 2 β 3 γ 5+ + =

+ + +

να βρείτε την τιμή της παράστασης α 3 β 4 γ 6 .α 2 β 3 γ 5+ + +

+ ++ + +

84. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ και δ ισχύουν οι σχέσεις

α γ 0β δ= ≠ και ( )( )5α 7β 5γ 7δ 0,+ + ≠

να αποδείξετε ότι 2α 3β 2γ 3δ .5α 7β 5γ 7δ

+ +=

+ +


85. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, x, y, ω ισχύουν οι σχέσεις x y ω ,

α β β γ γ α= =

+ + +


( ) ( ) ( )α β x β γ y γ α ω 0.− + − + − =


2 2α β αβ α β,+ = +

να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι ή αντίθετοι ή αντίστροφοι.

87. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν οι σχέσεις

α β γ 4+ + = και 2 2 2α β γ 6,+ + = τότε: i) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

αβ + βγ + γα

ii) να αποδείξετε ότι 1 1 1 5 .α β γ αβγ+ + =

88. Αν οι πραγματικοί αριθμοί α, β είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και ανάλογοι των αριθμών β γ, γ α+ + , να αποδείξετε ότι

α β γ 0.+ + =

89. Έστω x, y, z θετικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

2x 3y 4z3y 4z 2x 4z 2x 3y

= =+ + +

.

Να αποδείξετε ότι:

i) 2x 3y 4z= = ii) ( ) 1 1 1x 3y 2z 10.x 3y 2z

+ + + + =


90. Έστω x, y, z ∈ τέτοιοι, ώστε x y z 0+ + = και 2 2 2x y z 0+ + ≠ .

Να αποδείξετε ότι η παράσταση

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

x y y z z xx y z

− + − + −+ +

είναι ανεξάρτητη των x, y, z.

91. Έστω α, β μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει η σχέση

2

2

α αβ α β .β α+ +

= −

i) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίθετοι. ii) Να υπολογίσετε την παράσταση

( )8 3

5

α 2β αΜ .

β

−+=


( )( )2 2 2 2α β 2αβ α β 2αβ 0 α 0 και β 0.+ − + + = ⇔ = =


α β≠ και 1 1α β ,β α

+ = +

να αποδείξετε ότι αβ 1.= −

94. i) Nα αποδείξετε ότι 2 2x y xy x 0+ = ⇔ = και y 0.=

ii) Να βρείτε τους α,β∈ για τους οποίους ισχύει η σχέση

( ) ( )( )2α β 15 α 5 β 10 .− + = − + −

Οι Πραγματικοί Aριθμοί – Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 147

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Έννοια της διάταξης Ορισμός ● Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και γράφουμε

α > β, όταν η διαφορά τους α – β είναι θετικός αριθμός. ● Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι ο β είναι μικρότερος από τον α και γράφουμε

β < α.

● Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει αμέσως ότι κάθε θετικός αριθμός α είναι μεγαλύτερος από το μηδέν (α > 0) και κάθε αρνητικός αριθμός α είναι μικρότε-ρος από το μηδέν (α < 0).

Έτσι ο παραπάνω ορισμός ισοδύναμα γράφεται:

> ⇔ − >α β α β 0.

● Γεωμετρικά η ανισότητα α > β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών η εικόνα του α είναι δεξιότερα από την εικόνα του β.

−∞ 2− 1− 0 1 2 3 +∞

● Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει α > β ή α = β, τότε γράφουμε α ≥ β και διαβάζουμε: «α μεγαλύτερος ή ίσος του β». Δηλαδή:

α – β ≥ 0⇔ (α > β ή α = β)

Πρόταση Από τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλα-σιασμού προκύπτει ότι: ● ( )> > ⇒ + >α 0 και β 0 α β 0 και ( )< < ⇒ + <α 0 και β 0 α β 0

● ⇔ ⋅ > ⇔ >αα,β ομόσημοι α β 0 0β

και ⇔ ⋅ < ⇔ <αα,β ετερόσημοι α β 0 0β

● ≥2α 0, για κάθε ∈α και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α = 0 ● + = ⇔ = =2 2α β 0 α 0 και β 0

● + > ⇔ ≠ ≠2 2α β 0 α 0 ή β 0

• • • • •• • •αβ



Να αποδείξετε ότι 2 2α β 2αβ+ ≥ για κάθε α,β R.∈

Πότε ισχύει η ισότητα; Λύση

Είναι έγκυρες οι παρακάτω ισοδυναμίες:

( )

2 2 2 2

2

α β 2αβ α β 2αβ 0

α β 0

+ ≥ ⇔ + − ≥

⇔ − ≥

Και επειδή η τελευταία σχέση είναι αληθής για κάθε α,β ,∈ συμπεραίνουμε ότι το ίδιο ισχύει με την ισοδύναμη προς αυτή αρχική σχέση.

Η ισότητα 2 2α β 2αβ+ =

ισχύει αν και μόνο αν, ισχύει η ισοδύναμη προς αυτή ισότητα ( )2α β 0.− =

Δηλαδή, αν και μόνο αν α β 0− =

και τελικά, αν και μόνο αν α β.=

Ιδιότητες των Ανισοτήτων Στηριζόμενοι στην ισοδυναμία α β α β 0> ⇔ − > μπορούμε να αποδείξουμε τις παρακάτω ιδιότητες των ανισοτήτων: 1. Ισχύει η συνεπαγωγή:

( )> > ⇒ >α β και β γ α γ 2. Ισχύει η ισοδυναμία:

> ⇔ + > +α β α γ β γ Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα μπορούμε στα δύο μέλη μιας ανισότητας να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό γ διατηρώντας τη φορά της.


3. Ισχύουν οι ισοδυναμίες:

● > ⇔ ⋅ > ⋅ >α β α γ β γ (εφόσον γ 0) ● > ⇔ ⋅ < ⋅ <α β α γ β γ (εφόσον γ 0) Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα μπορούμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας να

τα πολλαπλασιάζουμε ή να τα διαιρούμε με τον ίδιο αριθμό γ, διατηρώντας τη φορά της αν γ > 0 ή αλλάζοντας τη φορά της αν γ < 0.

4. Ισχύει η συνεπαγωγή:

( )> > ⇒ + > +α β και γ δ α γ β δ ● Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα, αν δύο ανισότητες της ίδιας φοράς τις

προσθέσουμε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με την αφαίρεση.

Αντιπαράδειγμα Είναι 7 > 6 και 5 > 1. Όμως, 7 – 5 < 6 – 1. ● Επίσης η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για περισσότερες ανισότητες. Δηλαδή αν,

1 1 2 2 ν να β και α β και ........ και α β ,> > > τότε

1 2 ν 1 2 να α ... α β β ... β .+ + + > + + +

● Αν προσθέσουμε τις σχέσεις α ≥ β και γ ≥ δ, προκύπτει η σχέση:

α + γ ≥ β + δ

● Αν προσθέσουμε τις σχέσεις α ≥ β και γ > δ, προκύπτει η ανισότητα:

α + γ > β + δ

5. Εφόσον οι αριθμοί α, β, γ, δ είναι θετικοί ισχύει η συνεπαγωγή:

( )> > ⇒ ⋅ > ⋅α β και γ δ α γ β δ ● Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα, αν δύο ανισότητες της ίδιας φοράς, με

θετικούς όρους τις πολλαπλασιάσουμε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με την διαίρεση.


Αντιπαράδειγμα

Είναι 20 > 5 και 10 > 1.

Όμως, 20 5 .10 1

<

● Επίσης η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για περισσότερες ανισότητες. Δηλαδή αν,

1 1 2 2 ν να β 0 και α β 0 και ........ και α β 0,> > > > > > τότε

1 2 ν 1 2 να α ... α β β ... β .⋅ ⋅ ⋅ > ⋅ ⋅ ⋅ 6. Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:

> ⇔ >ν να β α β Πρόταση Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:

= ⇔ =ν να β α β

Απόδειξη

● Έστω α = β. Τότε προφανώς έχουμε ν να β .=

● Έστω ν να β .= Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι α ≠ β. Τότε: ■ αν α > β, έχουμε ν να β> (άτοπο). ■ αν α < β, έχουμε ν να β< (άτοπο).

Επομένως, α = β.

Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι:

■ αν α > 0, τότε 1α 2α

+ ≥

■ αν α < 0, τότε 1α 2α

+ ≤ −


Λύση

■ Είναι έγκυρες οι παρακάτω ισοδυναμίες:

1 1α 2 α α 2α (διότι α 0)α α

+ ≥ ⇔ + ≥ >

( )

2

2

2

α 1 2αα 2α 1 0

α 1 0.

⇔ + ≥

⇔ − + ≥

⇔ − ≥

Και επειδή η τελευταία σχέση είναι αληθής για κάθε α 0> , συμπεραίνουμε ότι το ίδιο ισχύει με την ισοδύναμη προς αυτή αρχική σχέση.

■ Είναι έγκυρες οι παρακάτω ισοδυναμίες:

1 1α 2 α α 2α (διότι α 0)α α

+ ≤ − ⇔ + ≥ − <

( )

2

2

2

α 1 2αα 2α 1 0

α 1 0, που ισχύει.

⇔ + ≥ −

⇔ + + ≥

⇔ + ≥


Αν α, β είναι δύο ομόσημοι αριθμοί, να αποδείξετε την ισοδυναμία

1 1α β .α β

< ⇔ >

Λύση

Οι αριθμοί α, β είναι ομόσημοι, δηλαδή αβ 0.>

Έχουμε λοιπόν α βα β

αβ αβ< ⇔ <

1 1β α

⇔ <

1 1α β

⇔ > .


Διαστήματα

● Ονομάζουμε κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζουμε με [ ]α, β το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με ≤ ≤α x β .

● Ονομάζουμε ανοικτό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζουμε με ( )α, β το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με < <α x β .

Οι αριθμοί α και β ονομάζονται άκρα των διαστημάτων αυτών και κάθε αριθμός μεταξύ α και β ονομάζεται εσωτερικό σημείο αυτών των διαστημάτων.

Η διαφορά μεταξύ ενός κλειστού και του αντίστοιχου ανοικτού διαστή-ματος είναι ότι το πρώτο περιέχει τα άκρα του ενώ το δεύτερο όχι.

● Ονομάζουμε ανοικτό δεξιά διάστη-μα [ )α, β το σύνολο των πραγματι-κών αριθμών x με ≤ <α x β .

● Ονομάζουμε ανοικτό αριστερά διά-στημα ( ]α, β το σύνολο των πραγμα-τικών αριθμών x με < ≤α x β .

● Ονομάζουμε διάστημα [ )+ ∞α, το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με ≥x α .

● Ονομάζουμε διάστημα ( )+ ∞α, το σύ-νολο των πραγματικών αριθμών x με >x α .

● Ονομάζουμε διάστημα ( ]−∞, α το σύ-νολο των πραγματικών αριθμών x με ≤x α .

● Ονομάζουμε διάστημα ( )−∞, α το σύ-νολο των πραγματικών αριθμών x με <x α .

x′ xα β

x′ xα β

x′ xα β

x′ xα β

x′ xα

x′ xα

x′ xα

x′ xα



Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x, y, z τέτοιοι, ώστε 3z x 3y 1= − − .

Να αποδείξετε τη συνεπαγωγή:

«Αν x [1,2) και y [ 1,0)∈ ∈ − , τότε z (0,10)∈ »

Λύση

Έχουμε

x [1,2) 1 x 2∈ ⇔ ≤ <

και συνεπώς

3 3 31 x 2≤ <

ή ισοδύναμα

31 x 8.≤ < (1)

Επίσης έχουμε

y [ 1,0) 1 y 0,∈ − ⇔ − ≤ <

οπότε

3 ( 1) 3y 3 0− ⋅ − ≥ − > − ⋅


0 3y 3.< − ≤ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) που έχουν την ίδια φορά προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε

31 x 3y 11.< − <

Οπότε, 31 1 x 3y 1 11 1 0 z 10− < − − < − ⇔ < <

Δηλαδή,

z (0,10)∈ .



28. Για κάθε x, y∈ , να συγκρίνετε τους αριθμούς 2 2A x y 1= + + και B 2xy.=

Λύση

Αρκεί να συγκρίνουμε τη διαφορά

A B−

με τον αριθμό 0. Έχουμε λοιπόν

2 2A B x y 1 2xy− = + + −

( )2 2x y 2xy 1= + − +

( )2x y 1 0= − + > για κάθε x,y∈

αφού ( )2x y 0− ≥ και 1 0.> Επομένως

A B.>

29. Αν οι πραγματικοί αριθμοί α 1− και β 1− είναι ετερόσημοι, να

συγκρίνετε τους αριθμούς αβ 1+ και α β+ .

Λύση

α΄ τρόπος:

Έχουμε ( )αβ 1 α β+ − + αβ 1 α β= + − −

( )α β 1 1 β= − + − ( ) ( )α β 1 β 1= − − −

( )( )α 1 β 1 0= − − < .

Επομένως, αβ 1 α β+ < + .

Σημείωση Ένας αριθμός Α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό Β και γράφουμε

>Α Β , αν και μόνο αν η διαφορά

−Α Β είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, αν και μόνο αν

− >Α Β 0 . Μεθοδολογία Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς Α και Β αρκεί να βρούμε το πρόσημο της διαφοράς τους −Α Β .

Σχόλιο Ακολουθούμε τη συνήθη μέ-θοδο σύγκρισης δύο αριθμών. Συγκρίνουμε τη διαφορά τους με το μηδέν.


β΄ τρόπος:

Οι αριθμοί α 1− και β 1− είναι ετερόσημοι. Δηλαδή,

( )( )α 1 β 1 0− − <

ή ισοδύναμα αβ α β 1 0− − + <

και τελικά αβ 1 α β+ < + .

30. Να συγκρίνετε τους αριθμούς:

i) 7027 και 5281 ii) 3002 και 2003 . Λύση

i) Έχουμε ( )7070 3 3 70 21027 3 3 3= = =

και ( )5252 4 4 52 20881 3 3 3= = = .

Όμως, 210 2083 3 .

Δηλαδή, 70 5227 81 .

ii) Έχουμε ( )100300 3 100 3 1002 2 2 8= = =

και ( )100200 2 100 2 1003 3 3 9= = = .

Όμως, 100 1008 9 . Δηλαδή, 300 2002 3 .

Παρατήρηση Παρατηρούμε ότι

327 3 και

481 3 . Γράφουμε λοιπόν τους αριθ-μούς που θέλουμε να συγκρί-νουμε ως δυνάμεις με την ίδια βάση. Παρατήρηση Παρατηρούμε ότι

300 3 100 και

200 2 100 . Γράφουμε λοιπόν τους αριθ-μούς που θέλουμε να συγκρί-νουμε ως δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη.

Σχόλιο Αξιοποιούμε άμεσα τη δο-θείσα πληροφορία η οποία γράφεται

( )( )α 1 β 1 0− − < προσπαθώντας να εμφανί-σουμε στη συνέχεια τους αριθμούς

αβ 1+ και α β+ που θέλουμε να συγκρίνουμε.



( )+ + ≥ +2 2 2α 2β γ 2β α γ για κάθε ∈α,β,γ . Πότε ισχύει η ισότητα;

Λύση

● Είναι έγκυρες οι παρακάτω ισοδυναμίες:

( )2 2 2α 2β γ 2β α γ+ + ≥ +

2 2 2α 2β γ 2βα 2βγ⇔ + + ≥ +

2 2 2α 2β γ 2αβ 2βγ 0⇔ + + − − ≥

( ) ( )2 2 2 2α 2αβ β β 2βγ γ 0⇔ − + + − + ≥

( ) ( )2 2α β β γ 0.⇔ − + − ≥

Και επειδή η τελευταία σχέση είναι αληθής

για κάθε α, β, γ ∈ , συμπεραίνουμε ότι το

ίδιο ισχύει με την ισοδύναμή της αρχική

σχέση.

● Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν

( ) ( )2 2α β β γ 0− + − =

α β 0 και β γ 0⇔ − = − =

α β⇔ = και β γ=

α β γ.⇔ = = 32. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει

α β γ,< < να αποδείξετε ότι

2β αγ αβ βγ.+ < +

Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε μια ανι-σότητα συνήθως εργαζόμα-στε όπως στις αποδείξεις δύ-σκολων ταυτοτήτων. Δηλα-δή, μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη ανισότητα σε ισοδύναμή της η οποία είναι αληθής.

Σημείωση Έχουμε

2α 0≥ για κάθε α .∈ Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν

α 0.=


Λύση

α΄ τρόπος: Έχουμε

2β αγ αβ βγ+ < +

2β αγ αβ βγ 0⇔ + − − <

( ) ( )2β αβ αγ βγ 0⇔ − + − <

( ) ( )β β α γ α β 0⇔ − + − <

( ) ( )β β α γ β α 0⇔ − − − <

( )( )β γ β α 0,⇔ − − <

που ισχύει, διότι α β γ< <

και συνεπώς β γ 0− < και β α 0− > .

β΄ τρόπος: Αρκεί να αποδείξουμε ότι

2β αγ αβ βγ 0+ − − < .

Πράγματι,

( ) ( )2 2β αγ αβ βγ β αβ αγ βγ+ − − = − + −

( ) ( )β β α γ α β= − + −

( ) ( )β β α γ β α= − − −

( )( )β γ β α 0= − − < ,

αφού λόγω της υπόθεσης ισχύει β γ 0− < και β α 0− > .


α 1 β,< < να αποδείξετε ότι: i) 2 2αβ β αβ β+ < + ii) 3 4αβ β β α.+ < +

Σχόλιο Η ζητούμενη σχέση μετασχη-ματίζεται στην ισοδύναμή της

( )( )β γ β α 0.− − <

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι οι αριθμοί

β γ− και β α−

είναι ετερόσημοι. Σημείωση Για να αποδείξουμε ότι

Α Β< αρκεί να αποδείξουμε ότι

Α Β 0− < .


Λύση

i) Έχουμε

2 2αβ β αβ β+ < +

2 2αβ β αβ β 0⇔ + − − <

( ) ( )2 2αβ αβ β β 0⇔ − + − <

( ) ( )αβ β 1 β β 1 0⇔ − − − <

( )( )β β 1 α 1 0,⇔ − − < που ισχύει

διότι β 1 0> > , άρα β 1 0− > και α 1< , άρα α 1 0.− <

ii) Έχουμε

3 4αβ β β α+ < +

3 4αβ β β α 0⇔ + − − <

( ) ( )3 4αβ β β α 0⇔ − + − <

( ) ( )3β α β α β 0⇔ − − − <

( )( )3α β β 1 0,⇔ − − < που ισχύει

διότι α 1 β< < , άρα α β 0− < και β 1> , άρα 3 3β 1 1.> =

34. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε ∈α,β ισχύει η σχέση + > −2 2α β 2β 2 .

ii) Αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι, να συγκρίνετε τους αριθμούς

2αβ

και −−

2 β αα β

.

Λύση

i) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ( )2 2α β 2β 2 0+ − − > .


Πράγματι,

( )2 2α β 2β 2+ − − 2 2α β 2β 2= + − + ( )2 2α β 2β 1 1= + − + +

( )22α β 1 1 0= + − + > για κάθε α, β∈

ii) Έχουμε

2 2 β ααβ α β

−− −

2 2 β ααβ α β

−= − +

( ) 2β β 22 ααβ αβ αβ

−= + +

2 22 β 2β α

αβ+ − +

=

2 2α β 2β 2 0

αβ+ − +

= >

αφού αβ 0> και 2 2α β 2β 2 0+ − + > ,

λόγω του ερωτήματος i). Eπομένως,

2 2 β ααβ α β

−> − .

35. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

α β 0.+ > Να αποδείξετε ότι

3 3 2 2α β α β αβ .+ ≥ +

Λύση

Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

( )( ) ( )2 2α β α αβ β αβ α β+ − + ≥ +

2 2α αβ β αβ, αφού α β 0⇔ − + ≥ + >

2 2α 2αβ β 0⇔ − + ≥

( )2α β 0,⇔ − ≥ που ισχύει.


36. Να αποδείξετε την ανισότητα

( ) ( ) ( )22 2 2 2α β γ δ αγ βδ .+ + ≥ +

Λύση

Έχουμε

( )( ) ( )22 2 2 2α β γ δ αγ βδ+ + ≥ +

( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2α γ α δ β γ β δ αγ 2 αγ βδ βδ⇔ + + + ≥ + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2α γ α δ β γ β δ α γ 2αβγδ β δ⇔ + + + ≥ + +

2 2 2 2α δ 2αβγδ β γ 0⇔ − + ≥

( ) ( )( ) ( )2 2αδ 2 αδ βγ βγ 0⇔ − + ≥

( )2αδ βγ 0,⇔ − ≥ που ισχύει.

37. Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει α 2,> να αποδείξετε ότι

2 6α 2α 3 .α

− + >

Λύση

Έχουμε

2 6α 2α 3α

− + >

( )2 6α α 2α 3 α , αφού α 2 0α

⇔ − + > > >

3 2α 2α 3α 6⇔ − + >

3 2α 2α 3α 6 0⇔ − + − >

( ) ( )2α α 2 3 α 2 0⇔ − + − >

( )( )2α 2 α 3 0, που ισχύει⇔ − + >

διότι α 2,> οπότε α 2 0− > και 2α 3 0.+ >


38. Να αποδείξετε ότι για κάθε α 2> ισχύει η σχέση

2 31 2 .

α 4α 4 α 8>

− + −

Λύση

Η ζητούμενη ανισότητα ισοδύναμα γράφεται

( )2 3 3

1 2 0,α 2α 2

> >−−

αφού α 2>

( )2 3 3α 2 α 21 2− −

⇔ <

( ) ( )( )2 2 22 α 2 α 2 α α 2 2⇔ − < − + ⋅ +

( ) 22 α 2 α 2α 4, αφού α 2 0⇔ − < + + − >

2α 2α 4 2α 4⇔ + + > −

2α 8 0,⇔ + > που ισχύει.

39. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

i) ( ) ( )2 2x 1 y 3 0− + + = ii) 2 2x y 2x 4y 5 0.+ + + + =

Λύση

i) Έχουμε ( ) ( )2 2x 1 y 3 0− + + =

x 1 0⇔ − = και y 3 0+ =

x 1⇔ = και y 3= − ii) Έχουμε 2 2x y 2x 4y 5 0+ + − + =

( ) ( )2 2x 2x 1 y 4y 4 0⇔ + + + − + =

( ) ( )2 2x 1 y 2 0⇔ + + − =

x 1 0⇔ + = και y 2 0− =

x 1⇔ = − και y 2.=

Σημείωση Για θετικούς αριθ-μούς x, y ισχύει η ισοδυναμία

1 1x y .x y

> ⇔ <

Σημείωση Ισχύει η ισοδυναμία:

2 2α β 0 α 0 και β 0+ = ⇔ = =

Μεθοδολογία Έχουμε μία εξίσωση και θέλου-με να βρούμε δύο αγνώστους. Μετασχηματίζουμε την εξίσω-ση, ώστε αυτή να πάρει τη μορφή

2 2α β 0.+ =


40. Για αρνητικούς αριθμούς α, β και περιττό αριθμό ν να αποδείξετε

την ισοδυναμία: ν να β α β .< ⇔ <

Λύση

Έχουμε α β α β< ⇔ − > −

( ) ( )ν να β , αφού α, β⇔ − > − − − θετικοί

ν να β ,⇔ − > − αφού ν περιττός

ν να β .⇔ <

41. Για αρνητικούς αριθμούς α, β και άρτιο αριθμό ν να αποδείξετε την

ισοδυναμία: ν να β α β .< ⇔ >

Λύση

Έχουμε α β< α β⇔ − > −

( ) ( )ν να β ,⇔ − > − αφού α, β− − θετικοί

ν να β ,⇔ > αφού ν άρτιος.

42. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει η σχέση

( ) ( )2 2 2 2α β γ 3 α β γ ,+ + = + +

να αποδείξετε ότι α β γ.= =

Σημείωση Για όλους τους θετικούς αριθμούς α, β και για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:

> ⇔ >ν να β α β .


Λύση

Έχουμε

( ) ( )2 2 2 2α β γ 3 α β γ+ + = + +

2 2 2 2 2 2α β γ 2αβ 2βγ 2γα 3α 3β 3γ⇔ + + + + + = + +

2 2 22αβ 2βγ 2γα 2α 2β 2γ .⇔ + + = + +

Η τελευταία σχέση ισοδύναμα γράφεται

2 2 22α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα 0+ + − − − =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2α 2αβ β β 2βγ γ γ 2γα α 0⇔ − + + − + + − + =

( ) ( ) ( )2 2 2α β β γ γ α 0.⇔ − + − + − =

Και επειδή

( )2α β 0− ≥

και

( )2β γ 0− ≥

και

( )2γ α 0− ≥ ,

συμπεραίνουμε ότι

α β 0− = και β γ 0− = και γ α 0.− =

Δηλαδή,

α β γ.= =


1 x 3< < και 3 y 4,< <


i) 0 4x y 9< − < ii) 2 20 16x y 144.< − <

Μεθοδολογία Όταν δίνεται μία ισότητα και ζητούνται τουλάχιστον δύο άλλες, συνήθως εργα-ζόμαστε ως εξής: Μετα-σχηματίζουμε τη δοθείσα σε ισοδύναμη της οποίας, το πρώτο μέλος είναι ένα άθροισμα τετραγώνων και το δεύτερο μέλος είναι μηδέν. Στη συνέχεια, με απαγωγή σε άτοπο, διαπι-στώνουμε ότι η μοναδική περίπτωση κατά την οποία ένα άθροισμα μη αρνητι-κών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν είναι ο καθένας από τους αριθμούς αυτούς να είναι μηδέν. Δηλαδή,

2 2 2Α Β Γ 0,+ + = αν και μόνο αν

= = =Α Β Γ 0 .


Λύση

i) Έχουμε 1 x 3< < .

Oπότε, 4 4x 12< < (1) Επίσης 3 y 4.< <

Οπότε, 4 y 3− < − < − (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει

0 4x y 9.< − <

ii) Αποδείξαμε ότι 0 4x y 9< − < (3)

Επίσης, από τις σχέσεις

4 4x 12< < και 3 y 4< <

προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει ότι 7 4x y 16.< + < (4)

Επομένως, από τις σχέσεις (3) και (4) έχουμε

( )( )0 7 4x y 4x y 9 16⋅ < − + < ⋅

δηλαδή, 2 20 16x y 144.< − <

44. Αν – 1 ≤ α ≤ 3 και 2 < β ≤ 5, να αποδείξετε ότι

– 15 ≤ 3α – 4β + 8 < 9.

Λύση Από τη σχέση – 1 ≤ α ≤ 3 πολλαπλασιάζοντας με 3 > 0 έχουμε:

3·( – 1) ≤ 3α ≤ 3·3.

Σημειώσεις ● Αν γ 0,> τότε

α β αγ βγ> ⇔ > .

● Αν γ 0,< τότε α β αγ βγ> ⇔ < .

● Αν α β> και γ δ,>

τότε α γ β δ.+ > +

Σημείωση Αν

α β 0> > και

γ δ 0,> > τότε

αγ βδ.


Δηλαδή, – 3 ≤ 3α ≤ 9 (1)

Ομοίως, από τη σχέση 2 < β ≤ 5 πολλαπλασιάζοντας με – 4 < 0 έχουμε:

(– 4)·2 > – 4β ≥ (– 4)·5 .

Δηλαδή, – 20 ≤ – 4β < – 8 (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) που έχουν την ίδια φορά, προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε

– 23 ≤ 3α – 4β < 1. Οπότε,

– 23 + 8 ≤ 3α – 4β + 8 < 1 + 8 και τελικά

– 15 ≤ 3α – 4β + 8 < 9.

45. Αν ( ) ( )x 1, 3 και y 2, 4∈ ∈ , να αποδείξετε ότι:

i) 1 3x y 7− < − < ii) 7 1 1 312 x y 2

< + <

iii) 1 xy 1 11< − < iv) 21 5x y 43.< − <

Λύση

i) Έχουμε ( )x 1, 3∈ . Δηλαδή 1 x 3< < και συνεπώς

3 3x 9< < (1)

Επίσης, ( )y 2, 4 .∈ Δηλαδή 2 y 4< < και συνεπώς

4 y 2− < − < − (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 1 3x y 7.− < − <

ii) Έχουμε

1 1 11 x 31 x 3

< < ⇔ > > (3)

και

1 1 12 y 42 y 4

< < ⇔ > > (4)


Από τις σχέσεις (3) και (4), προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει: 1 1 1 1 1 3 1 1 712 x y 3 4 2 x y 12

+ > + > + ⇔ > + >

7 1 1 3 .12 x y 2

⇔ < + <

iii) Έχουμε 1 x 3< < και 2 y 4.< <

Οπότε, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη βρίσκουμε

2 xy 12 1 xy 1 11.< < ⇔ < − <

iv) Έχουμε

21 x 3 1 x 9< < ⇔ < <

25 5x 45⇔ < < (5) και 2 y 4 2 y 4< < ⇔ − > − > −

4 y 2⇔ − < − < − (6)

Από τις σχέσεις (5) και (6), προσθέτοντας προκύπτει 21 5x y 43.< − <


α 2 και β 3,> > να αποδείξετε ότι:

i) 4 4α β 97+ > ii) 3 34 9 5 .

6α β+ <

Λύση

i) Έχουμε

4 4 4α 2 α 2 α 16> ⇔ > ⇔ > (1) και

4 4 4β 3 β 3 β 81> ⇔ > ⇔ > (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2), προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει

Σημείωση Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:

ν να β α β .> ⇔ >


4 4α β 16 81+ > +

δηλαδή 4 4α β 97.+ >

ii) Έχουμε

3 33 3

1 1α 2 α 2α 2

> ⇔ > ⇔ <

3 3

4 4 4 1α 8 α 2

⇔ < ⇔ < (1)

και

3 33 3

1 1β 3 β 3β 3

> ⇔ > ⇔ <

3 3

9 9 9 1β 27 β 3

⇔ < ⇔ < (2)


3 3 3 3

4 9 1 1 4 9 5 .α β 2 3 α β 6

+ < + ⇔ + <

47. Αν ( ) ( )α 1, 3 και β 2, 4 ,∈ ∈ να αποδείξετε ότι:

i) 5 4α β 17+ > ii) 1 1 7 .α β 12+ >

Λύση

i) Έχουμε

( )α 1,3∈ , δηλαδή 1 α 3< <

και ( )β 2, 4∈ , δηλαδή 2 β 4.< <

Οπότε 5 5 5α 1 α 1 α 1> ⇔ > ⇔ > (1) και

4 4 4β 2 β 2 β 16.> ⇔ > ⇔ > (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2), προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 5 4α β 17.+ >

Σημείωση Αν α, β ομόσημοι, τότε

1 1α β .α β

> ⇔ <


ii) Έχουμε

1 10 α 3α 3

< < ⇔ > (3)

και

1 10 β 4β 4

< < ⇔ > (4)


1 1 1 1 1 1 7 .α β 3 4 α β 12+ > + ⇔ + >


αβ 0,> να αποδείξετε ότι:

i) α β 2β α+ ≥ ii)

2 2α β 2β α

+ ≥

.

Λύση

i) Έχουμε

αβ 0.>

Οπότε, η σχέση

α β 2β α+ ≥


α βαβ αβ 2αββ α

+ ≥

2 2α β 2αβ⇔ + ≥

2 2α β 2αβ 0⇔ + − ≥

( )2α β 0⇔ − ≥ , που ισχύει.

Σχόλιο Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη ανισότητα σε ισοδύναμή της η οποία είναι αληθής. Για το σκοπό αυτό πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της με αβ. Και επειδή

αβ 0 ,

η φορά της νέας ανισότητας που προκύπτει είναι η ίδια.


ii) α΄ τρόπος

Αποδείξαμε ότι α β 2β α+ ≥ .

Επομένως,

2

2α β 2β α

+ ≥

2 2α β α β2 4β α β α

⇔ + + ⋅ ≥

2 2α β 2 4

β α ⇔ + + ≥

2 2α β 2β α

⇔ + ≥

.

β΄ τρόπος

Έχουμε

2 22 2α β α β α β2 2

β α β α β α + ≥ ⇔ + ≥ ⋅

2 22α β α β α β2 0 0,

β α β α β α ⇔ + − ⋅ ≥ ⇔ − ≥

που ισχύει.

49. Έστω α, β, και γ τρεις αριθμοί για τους οποίους ισχύει η σχέση

αβγ 1≤ .

Να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν να είναι και οι τρεις αριθμοί μεγαλύτεροι από το 1.

Λύση

Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι το ζητούμενο

του προβλήματος δεν ισχύει.

Δηλαδή, ότι α 1 και β 1 και γ 1 .

Oπότε, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη, έχουμε

αβγ 1 ,

που είναι αδύνατον. Άρα, δεν είναι δυνατόν και οι

τρεις αριθμοί α, β, γ να είναι μεγαλύτεροι από το 1.

Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλουμε να αποδεί-ξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς ισχυρισμούς καταλή-γουμε σε κάποιο συμπέρα-σμα που γνωρίζουμε ότι είναι ψευδές (άτοπο).


50. Να αποδείξετε ότι ο μοναδικός θετικός αριθμός x που επαληθεύει τη σχέση

5 2x x x 38+ + =

είναι ο αριθμός 2.

Λύση

● Αν x 2,= τότε 5 2 5 2x x x 2 2 2+ + = + +

32 4 2 38= + + = . ● Αν 0 x 2,< < τότε 5 5 2 2x 2 και x 2< < . Οπότε,

5 2 5 2x x x 2 2 2 38.+ + < + + = ● Αν x 2,> τότε 5 5 2 2x 2 και x 2 .> > Οπότε, 5 2 5 2x x x 2 2 2 38.+ + > + + =

Επομένως, ο μοναδικός θετικός αριθμός x που επαληθεύει τη σχέση 5 2x x x 38+ + =

είναι ο αριθμός 2.

51. Να αποδείξετε ότι για όλους τους θετικούς αριθμούς α και β ισχύουν οι σχέσεις:

i) 1 11 α 1 α β

>+ + +

ii) α β α β .1 α 1 β 1 α β

++ >

+ + + +

Λύση

i) Οι αριθμοί α και β είναι θετικοί. Επομένως,

0 1 α 1 α β< + < + +

Oπότε

1 1 .1 α 1 α β

>+ + +

Μεθοδολογία Αρχικά διαπιστώνουμε ότι η δοθείσα σχέση επαληθευέται από τον αριθμό x 2.= Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι η δοθείσα σχέση δεν επαλη-θεύεται από κανέναν θετικό αριθμό x 2< , ούτε από κα-νέναν θετικό αριθμό x 2.>


ii) Έχουμε

1 1 α α1 α 1 α β 1 α 1 α β

> ⇔ >+ + + + + +

, αφού α 0> (1)

Ομοίως

1 1 β β1 β 1 α β 1 β 1 α β

> ⇔ >+ + + + + +

, αφού β 0> (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2), προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

α β α β1 α 1 β 1 α β

++ >

+ + + +

που είναι η ζητούμενη σχέση.

52. Έστω δύο θετικοί αριθμοί α και β τέτοιοι, ώστε

( )2 2α β α 2β.+ = + Να αποδείξετε ότι: i) 2α β 2+ = ii) α 1< iii) αν επιπλέον ισχύει η σχέση αβ 1,> τότε

1 2 2α β+ < .

Λύση

i) Έχουμε ( )2 2α β α 2β+ = + 2 2 2α 2αβ β α 2β⇔ + + = +

22αβ β 2β⇔ + = ( )2α β β 2β.⇔ + = Όμως, β 0> και επομένως

2α β 2+ = .

ii) Aπό τη σχέση που αποδείξαμε στο ερώτημα i) προκύπτει ότι

2α 2 β 2, αφού β 0.= − < > Άρα,

α 1.<

Παρατήρηση Παρατηρούμε ότι οι παρονομαστές των κλασμάτων του πρώ-του μέλους είναι θε-τικοί και ο καθένας τους είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του κλάσματος του δεύτερου μέλους.


iii) Έχουμε 1 2 β 2α 2 .α β αβ αβ

++ = =

i)

Επειδή αβ 1> , συμπεραίνουμε ότι

1 1αβ

<

και συνεπώς 2 2.

αβ<

Άρα, 1 2 2 2.α β αβ+ = <

53. Να αποδείξετε ότι: i) + ≥2 2x y 2xy για κάθε ∈x,y . ii) αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύουν οι σχέσεις

= =α β γ ,β γ δ

τότε + ≤ +2 2 2 2β γ α δ .

Λύση

i) Έχουμε

2 2x y 2xy+ ≥ 2 2x y 2xy 0⇔ + − ≥ ( )2x y 0,⇔ − ≥


ii) Έχουμε

α ββ γ= και β γ .

γ δ=

Δηλαδή, 2β αγ= και 2γ βδ.=


Επομένως, προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 2 2β γ αγ βδ+ = +


2 22β 2γ 2αγ 2βδ+ = + (1)

Όμως, σύμφωνα με το ερώτημα i) ισχύουν οι σχέσεις

2 22αγ α γ≤ + και 2 22βδ β δ≤ + .

Άρα,

2 2 2 22αγ 2βδ α γ β δ+ ≤ + + + (2)


2 2 2 2 2 22β 2γ α γ β δ+ ≤ + + +

και τελικά 2 2 2 2β γ α δ .+ ≤ +

Προτεινόμενες Ασκήσεις

95. Για κάθε x∈ να συγκρίνετε τους αριθμούς

( )2A 3 x 2= + και ( )2B 2 x 2x .= +

96. Αν οι πραγματικοί αριθμοί α 2− και 2β 3+ είναι ομόσημοι, να συγκρίνετε τους

αριθμούς

Α 4β 3α= − και Β 2αβ 6.= −

97. Αν οι πραγματικοί αριθμοί 2α 3− και 5β 4− είναι ετερόσημοι, να συγκρίνετε

τους αριθμούς 2Α 5α β 12= + και 2Β 4α 15β.= +


98. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: i) 50 378 και 16 ii) 10025 και 67125 .

99. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: i) 700 3002 και 5 ii) 8005 και 12003 .

100. Να αποδείξετε ότι:

i) 2α 49 14α+ ≥ για κάθε α∈

ii) 22 2α β α β

2 2+ − ≥

για κάθε α, β .∈

101. Nα αποδείξετε ότι

2 2 2 2

1 1 4α β α β

+ ≥+

για κάθε *α,β∈ .


( )( ) ( )22 2α 1 β 1 αβ 1+ + ≥ +

για κάθε α, β .∈

103. Αν α, β είναι δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

i) α β1 1 4β α

+ + ≥

ii) 1 4α β 8.α β

+ + ≥

104. Να αποδείξετε τις ανισότητες:

i) 2 2α β 5 2α 4β+ + ≥ + ii) ( )2 2 2α β γ 2 α 2β 3γ 7+ + ≥ + + − .

105. Να αποδείξετε τις ανισότητες: i) 2α 2α 2 0+ + > ii) 2α 5 4α+ > iii) 2α 10α 26+ > − iv) 2 2α β 3 2α 2β.+ + > +

106. Να αποδείξετε τις ανισότητες: i) 2 2α αβ β 0+ + ≥ ii) 2 2α αβ β 0.− + ≥



i) ( )22 2 x yx y3 5 8

++ ≥ ii) ( )4 4 2 2x y 2xy x y xy+ ≥ + − .

108. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,β 0> ισχύει η σχέση

33 3α β α β .2 2+ + ≥

109. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y σε καθεμιά από τις παρακάτω

περιπτώσεις:

i) ( ) ( )2 2x 4 y 3 0− + + = ii) 2 2x y 2x 6y 10 0+ + − + = .

110. Δίνονται οι παραστάσεις

2 2Α x 2y 1= + + και ( )B 2y 1 x , x, y .= − ∈

i) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )2 2A B y 1 x y− = − + + .

ii) Να αποδείξετε ότι A B≥ . iii) Αν A B= , να βρείτε τις τιμές των x και y.

111. Nα αποδείξετε ότι:

( )2 2α β 2 α β 1+ ≥ − − για κάθε α, β∈ .

Πότε ισχύει η ισότητα;


i) 2 2x y 4x 4 0+ − + = ii) 2 2x y 2x 6y 10 0.+ − − + =


i) ( ) ( )2 2x 1 y 2 x 1 6y 10 0+ + + + + + = ii) 2 22x 2y 2x 2y 1 0.+ + − + =


i) 22x 1 2x+ > ii) 4 2x x 4x 5 0.− + + >


115. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,β∈ ισχύουν οι σχέσεις:

i) 23α 2α 1 0+ + > ii) ( )2 2α β 8 4 α β+ + ≥ + .


i) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 1α β γ 3αβγ α β γ α β β γ γ α2

+ + − = + + − + − + −

για κάθε α, β, γ∈

ii) αν α β γ 0,+ + = τότε 3 3 3α β γ 3αβγ+ + =

iii) αν 3 3 3α β γ 3αβγ,+ + = τότε α β γ 0+ + = ή α β γ.= =


i) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2α β β γ γ α α β γ α β γ+ + + + + = + + + + + για κάθε α, β, γ∈

ii) αν α β γ 1,+ + = − τότε ( ) ( ) ( )2 2 2α β β γ γ α 1.+ + + + + >

118. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύουν οι σχέσεις

1 x 3≤ < και 2 y 4,≤ <


i) 7 5x 3y 9− < − < ii) 1 x 3 .4 y 2< <

119. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύουν οι σχέσεις

5 x 7< < και 3 y 5,< < να αποδείξετε ότι:

i) 11 x 2y 17< + < ii) 1 1 8x y 15+ <

iii) 0 x y 4< − < iv) 2 2x y 48.− <

120. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει α β γ,> > να αποδείξετε ότι

2 2 2 2 2 2αβ βγ γα α β β γ γ α.+ + < + +


121. Έστω α, β δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

α 1, β 1≠ ≠ και 2 2 1 1α β α β .− − − −+ = +


i) 2

2

α 1 αβ 1 β−

= −−

ii) οι αριθμοί α 1− και β 1− είναι ετερόσημοι.

122. Έστω α, β∈ τέτοιοι, ώστε

α β 4+ > και αβ 2α 2β 4 0.− − + > Να αποδείξετε ότι

α 2 και β 2.> >


3x x 1 0,+ − = να αποδείξετε ότι: i) x 0> ii) x 1.<

124. Να αποδείξετε ότι για κάθε x, y, z∈ ισχύουν οι σχέσεις:

i) 2 2x y 2xy+ ≥ ii) 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + .

125. Nα αποδείξετε ότι για όλους τους θετικούς αριθμούς x, y, z ισχύουν οι σχέσεις:

i) 2 2x y x yx y 2+ +

≥+

ii) 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y zx y y z z x+ + +

+ + ≥ + ++ + +

.

126. Να αποδείξετε ότι για κάθε x, y∈ ισχύουν οι σχέσεις:

i) ( )2x y xy+ ≥ ii) ( ) ( )( )22x 3y 1 x 2y x y 1 .+ + ≥ + + +


i) 2x yxy

2+ ≤

για κάθε x, y∈

ii) αν x y 1,+ = τότε 4xy 1.≤


128. Έστω α και β δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε α β 1+ = .

Να αποδείξετε ότι 1 1 4α β+ ≥ .

129. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει η σχέση α β 1,+ = να αποδείξετε

ότι 1αβ .4

≤

130. Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύει η σχέση αβ 1= , να αποδείξετε ότι

α β 2.+ ≥

131. Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει

0 α 1,< < να αποδείξετε ότι

2

1 1 2.α α

+ >

132. Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει η σχέση α 1,> να αποδείξετε ότι

3 2α 3α 4 0.+ − >

133. Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύει η σχέση α β,> να αποδείξετε ότι

3 31 1α β .β α

+ > +


α β 1,> > να αποδείξετε ότι

2α β β αβ.+ < +


135. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει β α 1> > ,

να αποδείξετε ότι α 1 β β 1 .β 1 α α 1− −

< <− −

136. Aν α, β είναι δύο θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

2 2

α β 1 1 .β α α β

+ ≥ +

137. Αν α, β είναι δύο θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

i) α β 2 αβ+ ≥ ii) 1 1 2α β αβ+ ≥

iii) 5 α β 3 α 4 β+ ≥ + iv) α β α β.+ > +


( )22 3x 1 2x 2x+ > + για κάθε x 1.≠

139. Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει η σχέση α 1,> να αποδείξετε ότι

2

2

α 1 α 1.α 1 α 1− −

<+ +

140. Αν α, β και γ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

2 2 2α β γ α β γ .α β γ 3+ + + +

≥+ +

141. Aν α, β είναι δύο θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

i) 4 2 2

1 1α β 2α β

≤+

ii) 4 2 4 2

α β 1 .α β β α αβ

+ ≤+ +


142. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει 1 α β 0,≥ ≥ ≥ να αποδείξετε ότι

α β 1.β 1 α 1

+ ≤+ +

143. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει

x y 0,> > να συγκρίνετε τους αριθμούς

3 3α x y= − και ( )3β x y .= −

144. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει

α 2 3β,< < να συγκρίνετε τους αριθμούς

x 3αβ 4= + και y 2α 6β.= +

145. Να αποδείξετε ότι 1 3 2α α α− − −+ > για κάθε α 0.>

146. Έστω πραγματικός αριθμός α τέτοιος, ώστε

17 α 31< < και ν ν 12 α 2 ,+< <

όπου ν κάποιος ακέραιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι:

i) ν2 31< ii) ν 117 2 +<

iii) ν17 2 312< < iv) ν 4= .

147. Αν δύο αριθμοί α και β ανήκουν στο διάστημα [ ]0, 2 , να αποδείξετε ότι ο

αριθμός α β− ανήκει στο διάστημα [ ]2, 2− .

148. Αν [ ]x 2,3∈ − , να αποδείξετε ότι:

i) 5 2x 1 5− ≤ − ≤ ii) 1 2 x 4.− ≤ − ≤


149. Aν ( )x 1, 5∈ − , να αποδείξετε ότι:

i) 1 4x 5 25< + < ii) ( )2x 1 36.+ <

150. Αν ( )α 2,5∈ και ( )β 4, 7 ,∈ να αποδείξετε ότι:

i) 3 2α β 24+ > ii) 1 1 12α β 35+ >

iii) 6 2α β 15− > iv) αβ 20 4α 5β.+ < +

151. Aν [ ]x, y 2, 3∈ , να αποδείξετε ότι:

i) ( )( )2x 3y 3x 2y 0− − ≤ ii) ( )2 26 x y 13xy.+ ≤

152. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύουν οι σχέσεις

( )x 2, 4∈ − και ( )y 3, 6 ,∈

να αποδείξετε ότι: i) ( )( )x 2 y 6 0+ − < ii) ( )( )x 4 y 3 0− − <

iii) 9x 2y 2xy+ > iv) ( )( )x 2 y 3 18.+ − <


2 2A x 4y 6x 4y 10.= + − + + Να αποδείξετε ότι: i) ( ) ( )2 2A x 3 2y 1= − + +

ii) αν A 1,= τότε

[ ] [ ]x 2, 4 και y 1, 0 .∈ ∈ −

154. Έστω x, y∈ για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις

xy 6, x 2 και y 2.= > >


i) ( )( )x 2 x 3 0− − < ii) x y 5.+ <


155. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει η σχέση

( )( )α 1 α 9 4β,+ + =

να αποδείξετε ότι β α.≥

156. Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις

0 α β γ≤ ≤ ≤ και α β γ 3.+ + =


i) α 1≤ ii) 3β2

≤

iii) 1 γ 3≤ ≤ iv) 2αβ 3 3α 2β.+ ≥ +

157. Να αποδείξετε ότι για κάθε ( )x, y, z 0,1∈ ισχύουν οι σχέσεις:

i) xy 1 x y+ > + ii) xyz 1 xy z+ > +

iii) xyz 2 x y z+ > + + iv) ( )xy yz zx 3 2 x y z .+ + + > + +

158. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις

x, 2y. Αφαιρούμε το τετράγωνο ΑΕΖΗ με πλευρά y.

i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του σχήματος ΒΓΔΗΖΕ που απέμεινε δίνεται από τη σχέση 2E 2xy y .= −

ii) Αν ισχύουν οι σχέσεις 3 x 5< < και 1 y 2< < , να αποδείξετε ότι

4 Ε 18.< <

159. Να αποδείξετε ότι ο μόνος θετικός αριθμός α για τον οποίο ισχύει η σχέση

7 4α α α 3+ + =

είναι ο αριθμός

α 1.=

By

ΓΔ

yH Ζ

x

AE

y

Οι Πραγματικοί Αριθμοί – Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 183

Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

Ορισμός

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |α| και ορίζεται από

τον τύπο:

α, αν α 0| α |

α, αν α 0

● Από τον παραπάνω ορισμό συμπεραίνουμε ότι η απόλυτη τιμή ενός μη αρνητικού

αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός, ενώ η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού

είναι ο αντίθετός του.


Έχουμε

5 5

0 0, , 5 23 5 23 και 14 14 1417 17

● Γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή του α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από

τον αριθμό 0.

Από τον παραπάνω ορισμό συμπεραίνουμε επίσης ότι:

● | α | | α | 0

● και| α | α | α | α

● 2 2| α | α

και

● (εφόσον θ > 0) | x | θ x θ ή x θ

● | x | | α | x α ή x α

α

α0



Έχουμε:

| x | 2 x 2 ή x 2

| 2x 1| | x 3| 2x 1 x 3 ή 2x 1 x 3

2

x 4 ή 3x 2 x 4 ή x3

Ιδιότητες των Απολύτων Τιμών

Πρόταση

Για τις απόλυτες τιμές ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

1. | α β | | α | | β |

2. αα

β β

3. | α β | | α | | β |

Απόδειξη

1. Επειδή τα δύο μέλη της ισότητας είναι μη αρνητικά, διαδοχικά και ισοδύναμα

έχουμε:

22| α β | | α | | β | | α β | | α | | β |

2 2 2

2 2 2

| α β | | α | | β |

α β α β που ισχύει.

2. Επειδή τα δύο μέλη της ισότητας είναι μη αρνητικά, διαδοχικά και ισοδύναμα

έχουμε:

22

αα | α | α

β | β | β β

2 2

2

22

2

αα

β β

α απου ισχύει.

β β

3. Επειδή τα δύο μέλη της σχέσης είναι μη αρνητικά, διαδοχικά και ισοδύναμα

έχουμε:


22| α β | | α | | β | | α β | | α | | β |

2 2 2

2 2 2 2

α β | α | | β | 2 | α | | β |

α β 2αβ α β 2 | αβ |

αβ | αβ |, που ισχύει.

● Mε βάση την ιδιότητα (1) προκύπτει ότι 22α α και γενικά

ννα α για κάθε ν *.

● Επειδή | α β | | α | | β | | αβ | αβ αβ 0,

στην τελευταία ιδιότητα (3) η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β

είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος με μηδέν.

Πρόταση

Αν ρ 0 , τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:

● | x | ρ ρ x ρ

● x ρ x ρ ή x ρ

Απόσταση Δύο Αριθμών

Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι παριστάνονται στον άξονα από τα

σημεία Α, Β αντίστοιχα. Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των

αριθμών α και β, συμβολίζεται με d α,β και είναι ίση με α β . Δηλαδή,

d α,β α β .

Στην περίπτωση που έχουμε α β, τότε η απόσταση d α, β είναι ίση με

β α και λέγεται μήκος του διαστήματος α,β .


Η απόσταση των αριθμών 7 και 12 είναι d 7,12 | 7 12 | | 5 | 5

α β

Α α Β β

x – ρ 0 ρ x΄

x – ρ 0 ρ x΄

x

x x



54. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές:

i) Α 4 3 2 ii) Β 2 1 2 2

iii) Γ π 3 1 .

Λύση

i) Έχουμε:

● 4 0 , άρα 4 4 4

● 3 0, άρα 3 3

● 2 0, άρα 2 2 2

Επομένως,

Α 4 3 2 4 3 2 9.


1 2 2, δηλαδή 2 1 και 2 2 .

Οπότε:

● 2 1 0 άρα 2 1 2 1

● 2 2 0 άρα 2 2 2 2 2 2

Επομένως,

Β 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1.

iii) Γνωρίζουμε ότι π 3,14. Οπότε 3 π 4 , δηλαδή π 3 και π 4. Άρα,

π 3 0


π 3 π 3.

Είναι λοιπόν

π 3 1 π 3 1 π 4 0.

Επομένως,

π 3 1 π 4 π 4 π 4.

Σημείωση

Η απόλυτη τιμή ενός πραγ-

ματικού αριθμού α συμβολίζεται

με α και ορίζεται από τον τύπο

α, αν α 0

α

α, αν α 0.


55. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει

1 x 2,< <

να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής την παράσταση

A x 1 x 2 x 3 .= − + − + −

Λύση

Έχουμε 1 x 2.< <

Οπότε:

● x 1 0− > και συνεπώς x 1 x 1− = −

● x 2 0− < και συνεπώς ( )x 2 x 2 x 2− = − − = − +

● x 3 0− < και συνεπώς ( )x 3 x 3 x 3.− = − − = − +

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι

( ) ( ) ( )A x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3= − + − + − = − + − + + − +

x 1 x 2 x 3= − − + − + 4 x.= −


x 2 x 2− = + για κάθε [ ]x 2,0∈ − .

Λύση

Έχουμε [ ]x 2,0∈ − .

Δηλαδή, 2 x 0− ≤ ≤ .

Από τη σχέση x 0≤

προκύπτει ότι x x= −

και συνεπώς x 2 x 2 .− = − −

Σχόλιο Είναι φανερό ότι πρέπει να απαλλαγούμε από το σύμβολο της απόλυτης τι-μής, το οποίο μάλιστα εμ-φανίζεται δύο φορές. Αρ-χικά, εστιάζουμε στην παράσταση x και αξιο-

ποιούμε τη σχέση

x 0≤ .

Μεθοδολογία Για να γράψουμε μία πα-ράσταση χωρίς το σύμβο-λο της απόλυτης τιμής, αρκεί να βρούμε το πρό-σημο της παράστασης μέ-σα σε κάθε απόλυτη τιμή και να αξιοποιήσουμε στη συνέχεια τον ορισμό της.


Επίσης, από τη σχέση 2 x− ≤

προκύπτει ότι 2 x 0 x 2 0− − ≤ ⇔ − − ≤

οπότε ( )x 2 x 2 x 2.− − = − − − = +


x 2 x 2− = + για κάθε [ ]x 2,0∈ − .

57. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) Α x 3 3 x= − − − ii) Β x x x x= − − +

iii) 2Γ x 4 8x.= + − Λύση

i) Έχουμε ( )3 x x 3− = − − για κάθε x∈ .

Οπότε ( )3 x x 3 x 3− = − − = − .

Επομένως, A 0= .


x x και x x≥ ≥ − για κάθε x .∈

Δηλαδή x x 0− ≥ και x x 0+ ≥ για κάθε x .∈

Επομένως, B x x x x= − − + ( )x x x x= − − +

x x x x= − − − 2x,= − για κάθε x .∈

iii) Έχουμε ( )2 2 2x 4 x 4 x 8x 16+ = + = + + για κάθε x .∈

Οπότε 2 2Γ x 4 8x x 8x 16 8x= + − = + + −

2x 16= + για κάθε x .∈

Σημείωση Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύουν οι σχέσεις: ● = − ≥α α 0

● καια α α α≥ ≥ −

● =2 2α α .


58. Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής κάθε μία από τις

παραστάσεις:

i) 2x 4x 4 ii)

24x x 1

iii) 2

2

1x 2

x iv) x x .

Λύση

i) Έχουμε

22x 4x 4 x 2 0 για κάθε x

Οπότε 2 2x 4x 4 x 4x 4.

ii) Έχουμε

2 2 24x x 1 4x x 2x 1 4x x 2x 1

2 2x 2x 1 x 2x 1

2

x 1 0 για κάθε x .

Oπότε

2 2 2

4x x 1 4x x 1 4x x 1 .

iii) Έχουμε

2

24 2

2

2 2 2

x 11 x 1 2xx 2 0

x x x

για κάθε x *.

Οπότε

2 2

2 2

1 1x 2 x 2

x x για κάθε x *.

iv) Γνωρίζουμε ότι

x x για κάθε x

δηλαδή

x x 0 για κάθε x .

Επομένως,

x x , αν x 0 0 , x 0x x x x

x x , αν x 0 2x , x 0.



i) x y y x

Ax y y x

ii)

x 2 y 5 ω 7B .

2 x 5 y 7 ω

Λύση

i) Έχουμε

x y x yx y y xA

x y y x x y x y

x y x y 0

0.x y x y 2 x y

ii) Έχουμε

x 2 y 5 ω 7

B2 x 5 y 7 ω

x 2 y 5 ω 7

x 2 y 5 ω 7

x 2 y 5 ω 7

x 2 y 5 ω 7

1 1 1 3.

60. Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής την παράσταση

A x 4 2x 3, x .

Λύση

● Αν x 4 x 4 0,

τότε

x 4 x 4 x 4.

Επομένως,

A x 4 2x 3 x 1.

Μεθοδολογία

Για να απαλλαγούμε από το

σύμβολο της απόλυτης τιμής,

αρκεί να βρούμε το πρόσημο

της παράστασης x 4 που βρί-

σκεται μέσα στην απόλυτη

τιμή. Για το σκοπό αυτό

συγκρίνουμε το x με το 4.

Σχόλιο

Οι αριθμοί x y και y x

είναι αντίθετοι αφού

y x x y

οπότε έχουν την ίδια από-

λυτη τιμή.


● Αν x 4 x 4 0,

τότε

x 4 x 4.

Επομένως,

A x 4 2x 3 3x 7.


x 1 , αν x 4A

3x 7 , αν x 4.


A x 1 2 3 x 4, x .

Λύση

● Αν x 1, τότε έχουμε:

x 1 x 1 0

και

x 3 3 x 0.

Οπότε,

A x 1 2 3 x 4

x 1 6 2x 4

3x 11.

● Αν 1 x 3, τότε έχουμε:

x 1 x 1 0

και

x 3 3 x 0.

Οπότε,

A x 1 2 3 x 4

x 1 6 2x 4

x 9.

x x +∞ 4 –∞

x 4 0 x 4 0

x 4

x 4 – +

0

x +∞ 1 3 –∞

x x

x 1 3

x 1 – + +

3 x + + –

0

0


● Αν x 3, τότε έχουμε:

x 1 x 1 0 και x 3 3 x 0.

Οπότε,

A x 1 2 x 3 4

x 1 2x 6 4

3x 3.

Τελικά,

3x 11 , αν x 1

A x 9 , αν 1 x 3

3x 3 , αν x 3

62. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y για τους οποίους

ισχύουν οι σχέσεις:

i) x 5 y 9 0 ii) x 2 x y 3 0.

Λύση

i) Έχουμε

x 5 0 και 7 9 0

Οπότε, η ισότητα

x 5 y 9 0

ισχύει αν και μόνο αν

x 5 0 και y 9 0

δηλαδή

x 5 και y 9.

ii) Έχουμε

x 2 0 και x y 3 0

Οπότε η ισότητα

x 2 x y 3 0

ισχύει αν και μόνο αν

x 2 0 και x y 3 0

x 2 και 2 y 3 0

x 2 και y 1.

Σχόλιο

H μοναδική περίπτωση κατά

την οποία ένα άθροισμα μη αρ-

νητικών αριθμών είναι ίσο με το

μηδέν είναι ο καθένας από αυ-

τούς τους αριθμούς να είναι μη-

δέν. Οπότε, ισχύει η ισοδυναμία

α β 0 α 0 και β 0.



α 2β 2α β ,+ = − να αποδείξετε ότι:

i) ( ) ( )α 3β β 3α 0− ⋅ + = ii) 2 2 8α β αβ3

− = .

Λύση

i) Έχουμε

α 2β 2α β .+ = −

Δηλαδή,

α 2β 2α β+ = − ή ( )α 2β 2α β+ = − −

α 2β 2α β 0⇔ + − + = ή α 2β 2α β 0+ + − =

α 3β 0⇔ − + = ή 3α β 0+ =

α 3β 0⇔ − = ή β 3α 0+ = .

Επομένως,

( ) ( )α 3β β 3α 0.− ⋅ + =

ii) Αποδείξαμε ότι

( ) ( )α 3β β 3α 0.− ⋅ + =

Δηλαδή, 2 2αβ 3α 3β 9αβ 0+ − − = .

Επομένως, 2 23α 3β 9αβ αβ− = −


( )2 23 α β 8αβ− =

και τελικά

2 2 8α β αβ3

− = .

Σχόλιο Για να απαλλαγούμε από το σύμβολο της απόλυτης τιμής, συχνά αξιοποιούμε κάποιες από τις παρακάτω ισοδυναμίες: ● Αν >θ 0 , τότε = ⇔ =x θ x θ ή = −x θ

● = ⇔ =x α x α ή x α.= −



α 5β 1 και α 5β 9,


i) 2 2

3α 75β 27 ii) 2α 10β

615β 3α

iii) 2 2α 10αβ 25β 81 iv) 2α 10 .

Λύση

i) Έχουμε

2 2 2 23α 75β 3 α 25β

223 α 5β

3 α 5β α 5β

3 α 5β α 5β

3 1 9 27.

ii) Έχουμε

2α 10β

15β 3α

2 α 5β2α 10β

15β 3α 3 5β α

2 α 5β 2 α 5β 2 96.

3 5β α 3 α 5β 3 1

iii) Έχουμε

22 2 2α 10αβ 25β α 2α 5β 5β

2

α 5β 2

α 5β 29 81 .

iv) Έχουμε

2α α α α 5β α 5β

α 5β α 5β 1 9 10.

Σημείωση

Ισχύουν οι ιδιότητες:

● α β α β

● αα

.β β

● α β α β .



α 1 και β 2 3 ,


i) β 5 ii) α β 6

iii) α 2β 4 7 iv) 5α 3β 20.

Λύση

i) Έχουμε

β β 2 2 β 2 2 3 2 5.

ii) Έχουμε

α β α β α β

α β 1 5 6,

αφού με βάση το ερώτημα i) ισχύει

β 5.

iii) Έχουμε

α 2β 4 α 2 β 2 α 2 β 2

α 2 β 2 1 2 3 7

iv) Έχουμε

5α 3β 5α 3β 5 α 3 β

5 1 3 5 20.


2A x 1 x x

για τις διάφορες τιμές του x .

Σχόλιο Επειδή γνωρίζουμε μία πλη-

ροφορία για την απόλυτη τιμή

του β 2 γράφουμε

β β 2 2

και αξιοποιούμε τη γνωστή

ανισοτική σχέση για την από-

λυτη τιμή του αθροίσματος.


Λύση

Έχουμε

2A x 1 x x x 1 x 1 x

x 1 x 1 x x 1 x x 1

2

x 1 x

2

x 1 x για κάθε x .

Όμως,

x, αν x 0

xx, αν x 0.

Επομένως,

2

2

x 1 x, αν x 0A

x 1 x, αν x 0.


α β,

β γ


α γ 2 β .

Λύση

Έχουμε

2α ββ αγ

β γ (1)

Επειδή οι αριθμοί α γ και 2 β είναι μη αρνητικοί, αρκεί να αποδείξουμε ότι

22

α γ 2 β

22

α γ 4 β

2 2 2α γ 2αγ 4β

2 2α γ 2αγ 4αγ 1

2 2α γ 2αγ 0

2

α γ 0, που ισχύει.

Σχόλιο

Παραγοντοποιούμε το 2x x

με στόχο να γράψουμε

τελικά την παράσταση

Α σε όσο το δυνατόν

απλούστερη μορφή.

Σχόλιο Η ζητούμενη σχέση

δεν φαίνεται να μπο-

ρεί να προκύψει άμε-

σα από τη δοθείσα.

Τη μετασχηματίζουμε

λοιπόν σε ισοδύναμή

της που ισχύει.



2

2x1

x 1

για κάθε x .

Λύση

Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

2

2x1

x 1

για κάθε x

2

2 x1

x 1

για κάθε x , αφού

2x 1 0 για κάθε x

22 x x 1 για κάθε x

2x 1 2 x για κάθε x

2

x 2 x 1 0 για κάθε x

2

x 1 0 για κάθε x .

Και επειδή η τελευταία σχέση είναι αληθής, συμπεραίνουμε ότι το ίδιο ισχύει με την

ισοδύναμή της ζητούμενη σχέση.


2α 5β1,

α 10β


i) β 0 ii) α

5.β

Λύση

i) Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι

β 0.

Οπότε, η δοθείσα σχέση γράφεται

2α1

α

δηλαδή,

2 1 ,

που είναι αδύνατον. Επομένως,

β 0 .

Σχόλιο Γενικά όταν θέλουμε να αποδείξουμε

ότι για δύο πραγματικούς αριθμούς x, y

ισχύει x y

συνήθως εργαζόμαστε με απαγωγή σε

άτοπο. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι ισχύει x y

και καταλήγουμε σε κάτι που είναι

αδύνατον.


ii) Έχουμε

2α 5β1.

α 10β

Δηλαδή,

2α 5β

1α 10β

2α 5β α 10β

2 2

2α 5β α 10β 2 2

2α 5β α 10β

2 2 2 24α 25β 20αβ α 100β 20αβ

2 23α 75β 2 2α 25β 22

α 5 β α 5 β

α

5β

α

5β

.

70. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους

ισχύουν οι σχέσεις

α β 10 και d α, β 2.

Λύση

Από τη σχέση α β 10 προκύπτει ότι

β 10 α (1)


d α, β 2.

Δηλαδή,

α β 2

α 10 α 2

α 10 α 2

2α 10 2

2α 10 2 ή 2α 10 2

2α 12 ή 2α 8

α 6 ή α 4

1

Σημειώσεις ● Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί

οι οποίοι παριστάνονται στον άξονα

από τα σημεία Α, Β αντίστοιχα. Το

μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται

απόσταση των αριθμών α και β,

συμβολίζεται με d α,β και είναι

ίση με α β . Δηλαδή,

d α,β α β .

● Στην περίπτωση που έχουμε α β,

τότε η απόσταση d α, β είναι ίση

με β α και λέγεται μήκος του δια-

στήματος α,β .

x A α B β x


Επομένως,

α 6 και β 10 6 4

ή

α 4 και β 10 4 6.

71. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού x για τον οποίο ισχύει:

i) d x,5 2 ii) d x, 3 7.

Λύση

i) Έχουμε

d x,5 2 .

Δηλαδή,

x 5 2

2 x 5 2

5 2 x 5 2

3 x 7 .

Δηλαδή,

x 3,7 .

ii) Έχουμε

d x, 3 7

x 3 7

x 3 7 ή x 3 7

x 10 ή x 4

Δηλαδή

x , 10 4,

Σημείωση

Αν ρ 0 , τότε:

x ρ ρ x ρ

x ρ, ρ .

Σημείωση

Αν ρ 0 , τότε:

x ρ x ρ ή x ρ

x , ρ ρ, .

x – ρ 0 ρ x΄

x

x x

x – ρ 0 ρ x΄



i) 8 71 9

ii) στον πραγματικό άξονα ο αριθμός 71 είναι πλησιέστερα στο 8

από ότι στο 9.

Λύση

i) Έχουμε

8 71 9

2

2 28 71 9

64 71 81 , που ισχύει.

ii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι

d 71,8 d 71,9

δηλαδή,

71 8 71 9 (1)

Όμως, από το ερώτημα i) προκύπτει

71 8 0 και 71 9 0 .

Επομένως, η ζητούμενη σχέση (1)


71 8 9 71

2 71 17

2

22 71 17

284 289 , που ισχύει.

73. Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει

0 α 2 ,


i) α 1 1 ii) 3 2

α α 4.

Σχόλιο

Για να συγκρίνουμε θετικούς

αριθμούς αρκεί να συγκρίνουμε

τα τετράγωνά τους.


Για να αποδείξουμε ότι στον

πραγματικό άξονα ένας αριθ-

μός x είναι πλησιέστερα στον

αριθμό α από ότι στον αριθμό β

αρκεί να αποδείξουμε ότι

d x, α d x, β

δηλαδή

x α x β .

x α x β x΄


Λύση

i) Έχουμε

0 α 2 0 1 α 1 2 1

1 α 1 1 α 1 1.

ii) Έχουμε

3 2 2 2α α α α 1 α α 1

2 2α α 1 , αφού α 0

Όμως

20 α 2 0 α 4 (1)

και

0 α 1 1 (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2), συμπεραίνουμε ότι

2α α 1 4 1

και τελικά 3 2α α 4.

74. Να αποδείξετε την ισοδυναμία

x y x y 2 xy xy 0

Λύση

Έχουμε

2 2

x y x y 2 xy 0 x y x y 2 xy

2 2

x y x y 4 xy

2 2 2

x y x y 2 x y x y 4 xy

2 2 22 2x y x y 2xy xy 4 xy

22 2 2 2x y x y 2xy xy 4 xy

2 2

2 xy 2xy xy 4 xy

2

2xy xy 2 xy

2

xy xy xy

2

xy xy xy 0

xy xy xy 0

xy 0 ή xy xy

xy 0.

Παρατήρηση Μία πιο σύντομη απόδειξη

μπορεί να προκύψει αν πα-

ρατηρήσουμε ότι η πρώτη

ισότητα είναι της μορφής

α β α β

με α x y και β x y.

Οπότε, αξιοποιούμε την

ισοδυναμία

α β α β αβ 0.


Ασκήσεις για Λύση

160. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές:

i) π 4 ii) 2 1

iii) 2 2 iv) 3 π .

161. Nα γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές:

i) 7 3 ii) 1 3

iii) 2

y iv) 22 x .

162. Nα γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές:

i) A 2 5 7 ii) B 7 2 7 3

iii) Γ 5 2 1 iv) Δ 11 3 11 5 .

163. Nα υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

i) 72 88

Α48 66

ii) 30 2 17 15

9 21

2 2 3 3 21 36Β

6 6 63

iii) 2 2Γ 333 332 670 iv) 3 3 3 3

2 2 2 2

39 38 37 36Δ

39 39 38 38 37 37 36 36

.


i) 2 2Α x 5 x 1 ii) 2B x 1 x 1 5 x 6x 9

iii) 2 2Γ x 2x 1 4x x 4 iv) 2 2 2Δ 2x 1 x 2 2x 4 .


165. Nα εκφράσετε για τις διάφορες τιμές του x τις παρακάτω παραστάσεις

χωρίς απόλυτες τιμές:

i) x 5 ii) 2 x .

166. Nα γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής κάθε μία από τις παραστάσεις:

i) Α x 2 3x 7 ii) B x 3 x 5 .

167. Nα γράψετε χωρίς το συμβολο της απόλυτης τιμής τις παρακάτω παραστάσεις:

i) A x 5 2x 1 ii) B x 2 3x 4.


i) A x 5 7 x ii) B x 2 3 x 1 .


i) Α x x 2 ii) 3 2B x x .

170. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει

α β γ,

να απλοποιήσετε την παράσταση

Α 3 α β 2 β γ 4 γ α .


1 x 2,


Α 2 x 1 3 x 2 6 x 2 .

172. Aν 3 x 6 να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i) A x 6 x 3 ii) B 3 x 9 x

iii) Γ x 6 12 2x x 9 iv) Δ 3 x 3 6.


173. Nα απλοπoιήσετε τις παραστάσεις:

i) A 2α 5α, αν α 0 ii) Β β 2β, αν β 0

iii) Γ x 1 x 2 x 1 , αν x 1,1 .

174. Aν 1 x 5 , να αποδείξετε ότι:

i) x 1 x 5 4 ii) x 1 x 5 x 2 x 6 .

175. Aν α 2, 3 , τότε:

i) να αποδείξετε ότι 2 α 4 1 και 3 3α 6 0

ii) να απλοποιήσετε την παράσταση

Α 3 α 2 α 4 α 6 3α .

176. Έστω πραγματικός αριθμός α τέτοιος, ώστε

0 α 2 .


i) α 2 α α α 2 0 ii) 2 2α 2α α 2α 1 1 .

177. Αν x 1,1 , να αποδείξετε ότι

x 1 x 1x.

x 1 x 1

178. Αν α 1,1 , να αποδείξετε ότι

α 1 α 1 2 α .

179. Αν 2 x 5 , να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i) x 5 x 2 ii) 4x 7 3x 16

iii) x 5 1 2 x 1 iv) 2 x 2 6 .


180. Aν 2 x 3 , να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i) A 5 x 3 ii) B x 2 2x 6 5 .

181. Aν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει η σχέση

x 1 x 1

να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i) A x x 1 ii) B x x x 1

iii) Γ 2x 1 x 1 iv) Δ 1 x 1 x 2x.

182. Aν x 1, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i) A x x 1 x ii) 2 2 3 3B x 1 x x x 1

iii) 3 2Γ x 2 3 x 2 3 x 2 1 .


x 0, y 0 και x y 0,

να βρείτε την τιμή της παράστασης

x y x y x y.

x y x y x y

184. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύoυν οι σχέσεις:

i) 2

x 30

x 4

ii)

3

x 10.

x x

185. Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

1 11

α β και α β β α .



i) α β αβ ii) α

0β

iii) α 0 και β 0 iv) α 1 και β 1.

186. Αν για τους αριθμούς α, β ισχύει η σχέση

2α β β 0,

να βρείτε την τιμή του α.

187. Έστω πραγματικοί αριθμοί x, y για τους οποίους ισχύει η σχέση

y 2 x 1 y 2 .

i) Να αποδείξετε ότι y 2. ii) Να βρείτε την τιμή του x.


i) A x 3 3 x ii) x 1 x 2

B1 x 2 x

iii) Γ x 1 2 2 1 x iv) 2

3

x 1 x x 1Δ .

1 x


i) 2y

y ii)

2y 9

y 3

iii) 21 x

8 8 x

iv)

2x 10x 25.

x 5


i)

3 2x 4xA

3 x 12

ii)

2x 6 x 9B .

x 3


191. Αν x 0 , να βρείτε την τιμή της παράστασης

x x x xΑ

x

.

192. Nα αποδείξετε τις ισοδυναμίες:

i) α α 3 α α 3 ii) α α α α α 0.


α β β α αβ α β για κάθε α,β .

194. Nα βρείτε τις τιμές των x, y για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

i) x 2 x y 4 0 ii) x 1 2x y 5 0.

195. Να βρείτε τους x, y για τους οποίους ισχύει η σχέση

2x 1 x y 2x 0 .

196. Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β, γ τέτοιοι, ώστε

2 2α αβ γ β αβ γ 0 .


i) α β ii) γ 0 .


α α α α α 0.

198. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει η σχέση

3x 2y 2x 3y ,

να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x και y είναι ίσοι ή αντίθετοι.



α 2β β 2α ,


α β .


α 2β 4α 8β 10β 5α 0 για κάθε α,β .


3α 4β 2 και 3α 4β 10 ,


i) 2 29α 16β ii) 15α 20β

3α 4β

iii) 2 29α 16β iv) αβ.

202. Αν x 0 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

3 2x xA x 2 x 2 x 2 x 2 .

x 1


α 3 και β 5,


i) 2α β 11 ii) α β 8

iii) α β 2 10 iv) 3 5

2.α β


204. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν οι σχέσεις

α 1 2 και β 2 3,


i) α β 3 5 ii) 2α β 4 7.

204. Nα αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύουν οι

σχέσεις:

i) α α 1 1 ii) α β α 1 β 2 3 .


2α αβ 2 και 2β αβ 1,


i) α 2 β ii) 2α β 3.


3 2 3 2α 3α β β 3β α 2,


i) 2

α 3β β

β 3α α

ii) 3

α β 4.


2 2α β 7 και αβ 3,


i) 2

α β ii) α β .


209. Nα αποδείξετε ότι για κάθε α, β με αβ 1 ισχύει η ισοδυναμία:

α β 2 α β 2 αβ 1.

210. Aν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύoυν οι σχέσεις

x 3 και y 5,


i) x y 8 ii) 2x y 11.

211. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει η σχέση x 1, να βρείτε τις τιμές που

μπορεί να πάρει η παράσταση

A 2 x 1 3 x x 1 .


α 1 και β 2,


i) 11 5α 3β 11 ii) α β 3.


x 1 και y 1 ,

να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2 2 2 2A x 1 y 1 x y .

214. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν οι σχέσεις

α β γ και β γ α,


i) γ 0 ii) α β γ.

215. Nα αποδείξετε τις ισοδυναμίες:

i) d 1, 2x d x, 2 d x,0 1

ii) d x,3 2d x, 3 d x, 5 4.


216. Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει:

i) d x,1 5 ii) d x,2 1

iii) d x,2 4 iv) d x, 3 2.


1x 2 για κάθε x *.

x


x y x y για κάθε x, y .


219. Nα αποδείξετε τις παρακάτω ισοδυναμίες:

i) α β α β αβ 0 ii) α β α β αβ 0 .


α 1 και β 1 ,


i) 1 αβ 1 ii) α β

1.1 αβ


α β 2 και α β 4 ,


i) αβ 3 ii) 2 2

2 2

α β 4

α β 5

.



β 0 και 2 2α 9β ,


i) α 3 β ii) α β 8

.β α 3

223. Nα αποδείξετε την ισοδυναμία:

2α β 2β α α β .

224. Nα αποδείεξτε την ισοδυναμία:

x y x y 2 y x y .

225. Αν ισχύει η σχέση α 1 1

,α 4 2


α 2.

226. Έστω α και β δυο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

α 2β1

2α β

.


i) β α ii) α β και α β

iii) α β α β

α β α β

iv) 3α 5β 8 α .

227. Έστω πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι, ώστε

αβ 0, α αβ β και α β β α 0.

i) Να αποδείξετε ότι α 0 β.


2 2α α βΑ β αβ .

β

Οι Πραγματικοί Αριθμοί – Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 213

Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Ορισμός (τετραγωνικής ρίζας)

● Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με α και

είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.

● Δηλαδή, η α παριστάνει τη μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης 2x α .

Πρόταση

Για τις τετραγωνικές ρίζες μη αρνητικών αριθμών ισχύουν οι ιδιότητες:

● 2α | α |, για κάθε α

● α β α β, για κάθε α 0 και β 0

● α α

,ββ

για κάθε α 0 και β 0

Ορισμός (ν-οστής ρίζας)

● Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με ν α και είναι ο μη

αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α.

● Δηλαδή, η ν α παριστάνει τη μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης νx α .


Έχουμε 35 125. Οπότε, 3 125 5.

Έχουμε 52 32. Οπότε, 5 32 2.

Έχουμε 43 81. Οπότε, 4 81 3.

Ιδιότητες των Ριζών

Από τον ορισμό της ν-οστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α συμπεραίνουμε ότι

● Αν α ≥ 0, τότε:

ν

ν α α και ν ν

α α

● Αν α < 0 και ν άρτιος τότε:

ν ν

α | α |


Έχουμε

7

7 5 5 και 44 3 3, ενώ 66 ( 3) | 3 | 3.


Πρόταση

Αν α, β ≥ 0, τότε:

1. ν ν να β α β

2. ν

νν

α α

ββ(εφόσον β 0)

Απόδειξη

1. Έχουμε

ν ν να β α β ν ν

ν ν να β α β

ν νν να β α β

α β α β, που ισχύει.

2. Έχουμε

ν

ν

ν

α α

ββ

ν νν

ν

ν

α α

ββ

νν

νν

α α

ββ

α απου ισχύει.

β β

● Θέτοντας στην ιδιότητα 1, όπου α το αν προκύπτει ότι:

Αν α,β ≥ 0, τότε:

νν να β α β

Με την ιδιότητα αυτή εξάγουμε αριθμούς από ρίζες ή εισάγουμε αριθμούς σε

ρίζες.


Έχουμε:

555 5 5 54 8 4 8 32 2 2

4

44

4

21 213

77

3 333 3 3 33 3 3 354 16 27 2 8 2 3 2 2 2 3 2 2 2 5 2



Να μετατρέψετε τα κλάσματα

3

2 και

7

7 2

σε ισοδύναμα με ρητούς παρονομαστές.

Λύση

Έχουμε:

2

3 3 2 3 2 3 2

22 2 2 2

2

22

7 7 2 7 2 77 7 2 7 7 2 7

7 4 37 2 7 2 7 2 7 2


Αν α και β είναι δύο μη αρνητικοί αριθμοί, να αποδείξετε την ισοδυναμία

ν να β α β.

Λύση

Έχουμε

ν ν

ν νν να β α β α β.

Δυνάμεις με Ρητό Εκθέτη

Ορισμός

● Αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε:

μν μνα α

● Επιπλέον, αν μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε:

μ

ν0 0



Έχουμε:

2

2 32 3 6 2 23 33 3 3125 125 5 5 5 5 25

και

4

3

4 4 43 333

412 33 43

1 1 18

8 28

1 1 1 1.

2 162 2

● Ο παραπάνω ορισμός μας επιτρέπει να βλέπουμε κάθε ρίζα ως δύναμη. Οπότε, σε

κάποια προβλήματα αντί να χρησιμοποιούμε ιδιότητες των ριζών, χρησιμο-

ποιούμε ιδιότητες των δυνάμεων που είναι ευκολότερες.


Να αποδείξετε ότι

64 122 2 2 2 2.

Λύση

Έχουμε 11 1 1

64 12 62 4 12

1 1 1 1 6 3 2 1 12

12 4 6 12 12 12 12 12 12

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2.



3 5 5 5.

Λύση

Έχουμε 1

1 1 33 13 2 2

1 13 11 3 13 312 32 2 2

5 5 5 5 5 5

5 5 5 5 5.



75. Να υπολογίσετε τις ρίζες:

i) 144 ii) 3 125 iii) 4 81 iv) 5 0,00032. Λύση

i) Παρατηρούμε ότι 2144 12= και 12 0.>

Επομένως, σύμφωνα με τον ορισμό

144 12= .

ii) Έχουμε 3125 5= και 5 0.>

Επομένως, 3 125 5.=

iii) Έχουμε 481 3= και 3 0.>

Επομένως, 4 81 3.=

iv) Παρατηρούμε ότι

320,00032100.000

=5 52 1

10 5 = =

και 1 0.5> Επομένως,

5 10,00032 .5

=

Σημείωση Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Δηλαδή, η

α παριστάνει τη μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης

=2x α.

Σημείωση

Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α, συμβολίζεται με ν α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στη ν, δίνει τον α. Δηλαδή, η ν α παριστάνει τη μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης

=νx α.



i) 2 2

4 π 3 π 1 ii) 3 32

π 6π 9 π 3 .

Λύση

i) Έχουμε

2

4 π 4 π 4 π,

αφού

4 π


4 π 0.

Επίσης,

2

3 π 3 π 3 π π 3,

αφού

3 π


3 π 0.


2 2

4 π 3 π 4 π π 3 4 π π 3 1.


22π 6π 9 π 3 .

Επομένως,

33 2 62π 6π 9 π 3 π 3

.

Έχουμε λοιπόν,

23 6 32π 6π 9 π 3 π 3

3 3

π 3 π 3 , αφού π 3 0 .

Σημείωση

Για κάθε α ισχύει

2α α .



i) 14 35 75 2⋅ = ii) 56 2

14=

iii) 10 21 27 15⋅

=⋅

iv) 6 77 1.22 21⋅

=⋅

Λύση

i) Έχουμε

14 35 14 35 2 7 5 75 2 5 2 5 2

⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ =

⋅

7 7= ⋅ 27= 7.=

ii) Έχουμε

56 56 4 2.1414

= = =

iii) Έχουμε

10 21 10 21 10 21 2 5 3 7 27 15 7 3 57 15 7 15

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅.

iv) Έχουμε

6 77 2 3 7 11 2 3 7 11 1.22 21 2 11 3 7 2 11 3 7⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


i) Α 8 32 50= − + ii) Β 12 27 75= + −

iii) Γ 8100 4900= − iv) Δ 1575 324= + .

Σημείωση Για κάθε α 0 και β 0 ισχύει

⋅ = ⋅α β α β.

Σημείωση Για κάθε α 0 και β 0 ισχύει

=α α .

ββ

Σχόλιο Οι ιδιότητες

α β α β⋅ = ⋅ και

α αββ

=

αξιοποιούνται με φορά από το α΄ μέλος προς το β΄ μέλος ή αντιστρόφως.


Λύση

Έχουμε

i) Α 8 32 50 4 2 16 2 25 2= − + = ⋅ − ⋅ + ⋅ 4 2 16 2 25 2= ⋅ − ⋅ + ⋅ 2 2 4 2 5 2 3 2.= − + = ii) Β 12 27 75 4 3 9 3 25 3= + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ 4 3 9 3 25 3= ⋅ + ⋅ − ⋅ 2 3 3 3 5 3 0= + − = iii) Γ 8100 4900 81 100 49 100= − = ⋅ − ⋅ 81 100 49 100 9 10 7 10 20.= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = iv) Αναλύουμε τους αριθμούς 1575 και 324 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

1575 3 324 2 Σχόλιο Κάθε θετικός ακέραιος αριθμός γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων παραγό-ντων. Έτσι έχουμε

2 21575 3 3 5 5 7 3 5 7= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ και

2 4324 2 2 3 3 3 3 2 3 .= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

525 3 162 2 175 5 81 3 35 5 27 3 7 7 9 3 1 3 3

Επομένως,

1

2 2 2 4Δ 1575 324 3 5 7 2 3= + = ⋅ ⋅ + ⋅

2 2 2 43 5 7 2 3= ⋅ ⋅ + ⋅

3 5 7 2 9 15 7 18.= ⋅ ⋅ + ⋅ = + 79. Να αποδείξετε ότι:

i) ( ) ( )3 85 53 82 2 2 6+ + − =

ii) 32 3 2x 2x 1 x 3x 3x 1 2− + − + + + = − για κάθε x 1.≥

Mεθολοδογία Παραγοντοποιούμε τις υπόρριζες ποσότητες και στη συνέχεια εφαρμό-ζουμε ιδιότητες των ρι-ζών.


Λύση

i) Έχουμε

( )33 2 2,=

55 2 2=

και

( )88 2 2 2.− = − =

Επομένως,

( ) ( )3 8553 82 2 2 2 2 2 6.+ + − = + + =


( )22x 2x 1 x 1− + = − για κάθε x∈ . Άρα,

( )22x 2x 1 x 1 x 1 x 1− + = − = − = − για κάθε x 1.≥ Επίσης, ( )33 2x 3x 3x 1 x 1 0+ + + = + ≥ για κάθε x 1.≥

Οπότε,

( )33 23 3x 3x 3x 1 x 1 x 1+ + + = + = + για κάθε x 1.≥


( ) ( )2 3 23x 2x 1 x 3x 3x 1 x 1 x 1− + − + + + = − − +

x 1 x 1= − − −

2= − για κάθε x 1.≥


i) ⋅ =44 3 27 3 ii) 3

3160 220

=

iii) 5

55

3 2 681⋅

= iv) 4 4 432 162 1250 0+ − = .

Σημείωση ● Αν ≥α 0, τότε

( ) =νν α α

και

=ν να α ● Αν ≤α 0 και ν άρτιος,

τότε

=ν να α .


Λύση

i) Έχουμε

α΄ τρόπος:

4 4 43 27 3 27

4 43 43 3 3 3.

β΄ τρόπος:

4 4 4 43 27 3 3 3 3

44 4 4 4 43 3 3 3 3 3.

ii) Έχουμε

3 3 3 3

33 3 3

160 8 20 8 20 8 2.20 20 20

iii) Έχουμε

5 5 55

5 5545 5 4

3 2 3 2 3 2 3 2 6.381 3

⋅ ⋅= = = ⋅ =

iv) Έχουμε

4 4 4 4 4 4

4 4 44 4 4

4 4 4

32 162 1250 16 2 81 2 625 2

2 2 3 2 5 2

2 2 3 2 5 2 0.

+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅ − ⋅

= + − =


i) 3 1242 4 8 2 4⋅ ⋅ ⋅ = ii) 3 43 27 9 3.⋅ ⋅ =

Σημείωση Για κάθε α,β 0≥ ισχύουν:

● ⋅ = ⋅ν ν να β α β

● =ν

νν

α α ,ββ

με β 0

● ⋅ = ⋅νν να β α β.

Σχόλιο Oι παραπάνω ιδιότητες μπορούν να αξιοποιηθούν με φορά από το α΄ μέλος προς το β΄ μέλος ή αντι-στρόφως.


Λύση

i) Έχουμε

3 1242 4 8 2 2 33 4 122 2 2 2

21 3 1

32 4 122 2 2 2

21 3 1

32 4 122

6 8 9 1

212 12 12 122 2 4.

ii) Έχουμε

3 2443 27 9 3 3 3

3 2

2 43 3 3

3 1

132 23 3 .

Επομένως,

33 343 27 9 3 3.

82. Να απλοποίησετε την παράσταση

54 3 2 10

12 13

α α αΑ .

α α

Λύση

Έχουμε

2 1 3 2 13

3 254 10 5 10 4 5 104

1 1 1111233 3 1212

α α α α α α αΑ

α α α α α

15 8 2 25 5

5 1 420 20 20 20 4

4 4 4

4 1 3 1

12 12 12 4

α α αα α α.

α α α

Σημείωση

Aν α 0, μ ακέραιος και ν θε-

τικός ακέραιος, τότε ορίζουμε

μν μνα α .

Επίσης, αν μ, ν θετικοί ακέραιοι,

τότε ορίζουμε

μ

ν0 0.

Σχόλιο

O παραπάνω ορισμός μας επιτρέ-

πει να βλέπουμε κάθε ρίζα ως δύ-

ναμη. Οπότε, σε κάποια προβλή-

ματα αντί να χρησιμοποιούμε ιδιό-

τητες των ριζών, χρησιμοποιούμε

ιδιότητες των δυνάμεων που είναι

ευκολότερες.



i) 3 9 2 ii) 4 80 3

iii) 33 5 iv) 3 3 33 6 2 1 2.

Λύση

i) Επειδή οι αριθμοί 3 9 και 2 είναι θετικοί, αρκεί να αποδείξουμε ότι

3

33 9 2 9 8 , που ισχύει.

ii) Eπειδή οι αριθμοί 4 80 και 3 είναι θετικοί, αρκεί να αποδείξουμε ότι

4

44 80 3 80 81 , που ισχύει.

iii) Επειδή οι αριθμοί 3 και 3 5 είναι θετικοί, αρκεί να αποδείξουμε ότι

3 2

6 6 2 33 33 5 3 5

3 23 5 27 25, που ισχύει.

iv) Επειδή οι αριθμοί 3 33 6 2 και 31 2 είναι θετικοί, αρκεί να αποδείξουμε ότι

3 3 2 3

3 33 3 3 3 3 33 6 2 1 2 3 6 2 1 3 2 3 2 2

3 3 3 3 33 6 2 1 3 2 3 4 2 3 2 3 4

3 3

3 3 3 32 4 2 4 2 4, που ισχύει.

84. Να συγκρίνετε τους αριθμούς

7 1 και 13.

Λύση

Επειδή οι αριθμοί 7 1 και 13 είναι

θετικοί, αρκεί να συγκρίνουμε τα τετρά-

γωνά τους.


● 2 2

27 1 7 1 2 7 8 2 7

● 2

13 13 8 5


Όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο

θετικούς αριθμούς α και β, εξετά-

ζουμε μήπως είναι πιο εύκολο να

συγκρίνουμε τους αριθμούς α2 και β

2

ή τους αριθμούς α3 και β

3 ή γενι-

κότερα τους αριθμούς

αν και β

ν για κάποιο ν *.


Οπότε, αρκεί να συγκρίνουμε τους θετικούς αριθμούς 2 7 και 5. Παρατηρούμε ότι

2

22 7 4 7 28 5 .

Επομένως,

2 7 5 8 2 7 8 5 .

Δηλαδή,

2 2

7 1 13

και τελικά

7 1 13.


i) 2 2x 1 x x 1 x 1 για κάθε x

ii) 2x 1 x 0 για κάθε x .

Λύση

i) Έχουμε

2 2x 1 x x 1 x

2

2 2x 1 x 2 2x 1 x

1 για κάθε x .


2 2x 1 x για κάθε x .

Επομένως,

2 2x 1 x x για κάθε x .

Οπότε,

2x 1 x x x για κάθε x .

Και επειδή

x x x x 0 για κάθε x ,


2x 1 x 0 για κάθε x .

Σχόλιο



και στη συνέχεια την ιδιότητα

2

α α για κάθε α 0.



i) ( )4 15 4 15 4 15+ ⋅ − = + ii) 4 15 16 2 60 2.+ ⋅ − =

Λύση

i) Έχουμε 4 15 0+ > και συνεπώς

( )2

4 15 4 15 .+ = +

Οπότε, το α΄ μέλος της ζητούμενης ισότητας γράφεται

( )2

4 15 4 15 + ⋅ −

( ) ( )2

4 15 4 15= + ⋅ −

( )( )( )4 15 4 15 4 15= + + −

( ) ( )224 15 4 15 = + ⋅ −

( ) ( )4 15 16 15= + ⋅ −

4 15= +

ii) Έχουμε

4 15 16 2 60+ ⋅ − 4 15 16 2 4 15= + ⋅ − ⋅ ⋅

4 15 16 2 4 15= + ⋅ −

4 15 16 4 15= + ⋅ −

( )4 15 4 4 15= + ⋅ −

( )( )4 4 15 4 15= + −

( )224 4 15 = −

( )4 16 15 4 2.= ⋅ − = =

Παρατήρηση Παρατηρώντας ότι

( )24 15 4 15+ = +

γράφουμε το α΄ μέλος της ζητούμενης ισό-τητας στη μορφή

α β⋅ και τελικά

στη μορφή α β.⋅



i) 2

2 5 9 4 5 ii) 2 5 0

iii) 9 4 5 9 4 5 4.

Λύση

i) Έχουμε

2 2

22 5 2 2 2 5 5

4 4 5 5

9 4 5.

ii) Aρκεί να αποδείξουμε ότι

2 5


2

22 5

δηλαδή

4 5, που ισχύει.

iii) Αποδείξαμε ότι

2

9 4 5 2 5 .

Ομοίως,

2

9 4 5 2 5 .

Επομένως,

2 2

9 4 5 9 4 5 2 5 2 5

2 5 2 5

2 5 5 2

2 5 5 2 4.


88. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

x 7 4 3 7 4 3

είναι ακέραιος.

Λύση

α΄ τρόπος

Έχουμε

2 2

27 4 3 2 3 2 2 3 2 3

και

2 2

27 4 3 2 3 2 2 3 2 3 .

Οπότε

x 7 4 3 7 4 3

2 2

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 4, που είναι ακέραιος.

β΄ τρόπος

Έχουμε

2

2x 7 4 3 7 4 3

2 2

7 4 3 7 4 3 2 7 4 3 7 4 3

7 4 3 7 4 3 2 7 4 3 7 4 3

2

214 2 7 4 3

14 2 49 48 14 2 1 16 .

Και επειδή x 0 , συμπεραίνουμε ότι x 16 4, που είναι ακέραιος.

89. Αν

3 3x 2 1 2 1

να βρείτε την τιμή της παράστασης

3x 3x.


Λύση

Με βάση την ταυτότητα

3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β

έχουμε:

3

3 33x 2 1 2 1

3 2 2 3

3 3 3 3 3 32 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1

2 2

3 33 32 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1

3 32 1 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2

2 23 32 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1

3 32 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1

3 32 3 2 1 3 2 1

3 32 3 2 1 2 1

2 3x.

Επομένως,

3x 3x 2.


8 12 20α

18 27 45

είναι ρητός.


Λύση

Έχουμε

8 12 20 4 2 4 3 4 5

4 2 4 3 4 5

2 2 2 3 2 5

2 2 3 5 .

Επίσης,

18 27 45 9 2 9 3 9 5

9 2 9 3 9 5

3 2 3 3 3 5

3 2 3 5 .

Επομένως,

2 2 3 5 2α

33 2 3 5

.

Άρα, ο αριθμός α είναι ρητός.

91. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με

ρητούς παρονομαστές:

i) 4

2 ii)

2

3 1 iii)

5 2.

5 2

Λύση

i) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με 2, οπότε έχουμε

2

4 4 2 4 22 2.

22 2

Σχόλιο

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες

των ριζών προσπαθούμε κά-

θε ρίζα που εμφανίζεται σε

αριθμητή και παρονομαστή

να τη φέρουμε σε όσο το δυ-

νατόν πιο απλή μορφή.

Μετά από αυτό ελπίζουμε ο

αριθμητής και ο παρονομα-

στής να γραφούν ως ακέ-

ραια πολλαπλάσια της ίδιας

παράστασης, την οποία και

θα απλοποιήσουμε.


ii) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος

με 3 1, οπότε έχουμε

2 3 12

3 1 3 1 3 1

2

2

2 3 1

3 1

2 3 1

3 1.3 1

iii) Έχουμε

2 22

22

5 2 5 2 2 5 25 2

5 2 5 2 5 2 5 2

5 4 5 4

9 4 5.5 4

92. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με

ρητούς παρονομαστές:

i) 5

8

3 ii)

3

1.

2 1

Λύση

i) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με 45 3 , οπότε έχουμε

45 5 5 5

5 4 4 55 5 55

8 8 3 8 81 8 81 8 81

33 3 3 3 3 3

.

ii) Mε βάση την ταυτότητα

3 3 2 2α β α β α αβ β

για α β έχουμε 2 2

3 3

1 α αβ β.

α β α β

Οπότε, για 3α 2 και β 1 προκύπτει ότι:

223 3

3 3

3 3

333

2 2 1 11 4 2 14 2 1.

2 12 1 2 1


Πολλαπλασιάζουμε τους

όρους του κλάσματος με

το συζυγή του παρονομα-

στή, δηλαδή με

3 1.



i) 1

α 1 αα 1 α

για κάθε α 0

ii) 1 1 1

1.2 1 3 2 4 3

Λύση

i) α΄ τρόπος:

Έχουμε

1 α 1 α

α 1 α α 1 α α 1 α

2 2

α 1 α

α 1 α

α 1 α

α 1 α

α 1 α για κάθε α 0.

β΄ τρόπος:

1α 1 α

α 1 α

1 α 1 α α 1 α

2 2

1 α 1 α 1 α 1 α, που ισχύει.

ii) Σύμφωνα με το ερώτημα i) έχουμε

1

2 12 1

, 1

3 23 2

και

1

4 3.4 3

Επομένως,

1 1 1

2 1 3 2 4 3

2 1 3 2 4 3

1 4 1.

Σχόλιο

Πολλαπλασιάζουμε τους

όρους του κλάσματος

με το συζυγή του παρο-

νομαστή, δηλαδή με

α 1 α.

Σχόλιο

Αποδείξαμε ότι η σχέ-

ση του ερωτήματος i)

ισχύει για κάθε

α 0.

Eπομένως, ισχύει για

α 1,

για

α 2

και για

α 3.


94. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

x x 1 x 2 x 3

για

7 3x

2

.

Λύση

Έχουμε

7 3

x2

.

Επομένως,

7 3 7 1

x 1 12 2

,

7 3 7 1

x 2 22 2

και

7 3 7 3

x 3 32 2

.

Άρα,

7 3 7 1 7 1 7 3

x x 1 x 2 x 32 2 2 2

7 3 7 3 7 1 7 1

16

2 22 27 3 7 1

16

2 6 3

16 4

.

Σχόλιο

Υπολογίζουμε πρώτα τις

τιμές των παραστάσεων

x 1 , x 2 και x 3 .

Στη συνέχεια, αντικαθι-

στούμε στην παράσταση

x x 1 x 2 x 3 .


95. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει η σχέση

x y1 x y,

2


x y 1.

Λύση

Έχουμε

x y

1 x y2

x y2 2 2 x 2 y

2

x y 2 2 x 2 y 0

x 2 x 1 y 2 y 1 0

2 2

x 2 x 1 y 2 y 1 0

2 2

x 1 y 1 0 .

Και επειδή

2 2

x 1 0 και y 1 0 ,


x 1 0 και y 1 0


x 1 και y 1

και τελικά

x y 1.


Δίνεται μία ισότητα και

ζητούνται δύο άλλες. Συ-

νήθως μετατρέπουμε τη

δοθείσα ισότητα σε ισο-

δύναμή της που το πρώτο

μέλος της είναι άθροισμα

τετραγώνων και το δεύτε-

ρο μέλος είναι μηδέν.



i) x 1 2 x για κάθε x 0

ii) x 1 2 x

1x 1

για κάθε x 1 .

Λύση

i) Έχουμε

2

2x 1 2 x x 1 2 x

2

x 1 0 για κάθε x 0 .

Επομένως,

x 1 2 x για κάθε x 0 .


2

x 1 2 x x 1 για κάθε x 0 .

Οπότε, για κάθε x 1 έχουμε

2

x 1x 1 2 x

x 1 x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

1 , αφού x 1 0 .

97. Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών oποιουδήποτε τριγώνου, να

αποδείξετε ότι

α β γ.

Σχόλιο

Για κάθε x 1 ισχύει

x 1

δηλαδή

x 1 0


x 1 x 1 .


Λύση

Επειδή οι αριθμοί α β και γ είναι θετικοί, αρκεί να αποδείξουμε ότι

2 2

α β γ

2 2 2

α β 2 α β γ

α β 2 α β γ, που ισχύει

διότι με βάση την τριγωνική ανισότητα έχουμε α β γ και επίσης 2 α β 0.


x 1 x x x 1 για κάθε x 1.

Λύση

Για x 1 έχουμε

x 1 x x x 1 x 1 x 1 2 x.

Επειδή τα μέλη της τελευταίας ανισότητας είναι μη αρνητικοί αριθμοί, αυτή


2 2

x 1 x 1 2 x

2 22

2x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x

x 1 x 1 2 x 1 x 1 4x

2 x 1 x 1 2x

x 1 x 1 x.

Τα μέλη της τελευταίας ανισότητας είναι μη αρνητικοί αριθμοί, οπότε αυτή ισοδύναμα

γράφεται

2

2 2x 1 x 1 x x 1 x 1 x

2 2x 1 x 1 0.

Και επειδή η τελευταία σχέση είναι αληθής, συμπεραίνουμε ότι το ίδιο ισχύει με την

ισοδύναμή της ζητούμενη σχέση.

Σχόλιο

Πολλαπλασιάζοντας και διαι-

ρώντας το κάθε μέλος με τη

συζυγή του παράσταση προ-

κύπτει ως ζητούμενο η σχέση

1 1

x 1 x x 1 x

που είναι προφανής!



i) ( )x 1 1 x x 2 για κάθε x 0+ = + + >

ii) 3 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 ...= + + + + + +

Srinivasa Ramanujan Λύση

i) Για κάθε x 0> έχουμε ( )x 1 1 x x 2+ = + +

( ) ( )( )

2

2 2

x 1 1 x x 2

x 1 1 x 2x

⇔ + = + +

⇔ + = + +

που ισχύει. ii) ● Από τη σχέση του ερωτήματος

i) για x 2= παίρνουμε 3 1 2 4= + ⋅

● Επίσης από την ίδια σχέση για x 3= παίρνουμε

4 1 3 5= + ⋅ και συνεπώς

3 1 2 1 3 5= + + ⋅ . ● Ομοίως για x 4= έχουμε

5 1 4 6= + ⋅ Οπότε

3 1 2 1 3 1 4 6.= + + + ⋅ ● Σ υνεχίζοντας με τον ίδιο τρό-

πο, όσες φορές θέλουμε, συ-μπεραίνουμε ότι:

3 1 2 1 3 1 4 1 5 ... .= + + + +

Σρινιβάσα Ραμανουτζάν (22/12/1887-26/4/1920) Ο Ραμανουτζάν θεω-ρείται ο σπουδαιότερος Μαθηματικός της Ινδίας. Ήταν αυτοδίδακτος και αποκομμένος από τη μα-θηματική κοινότητα της Ευρώπης, με αποτέλεσμα να παράγει Μαθηματικό υλικό που ήταν ήδη γνωστό, αλλά και καινούριο υλικό το οποίο οδήγησε τον μεγάλο Μαθηματικό Χάρντι να τον χαρακτηρίσει αντάξιο του Νεύτωνα, του Αρχιμήδη, του Όιλερ και του Γκάους και να τον προσκαλέσει στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ. Είναι σημα-ντικό ότι κάποιες από τις μεγάλες ανακα-λύψεις του πελώριου Ραμανουτζάν άρ-γησαν πολύ να ενταχθούν στο ρεύμα των σύγχρονων Μαθηματικών. Το 1911, σε ηλικία 24 ετών ζήτησε από τους αναγνώστες ενός Μαθηματικού περιοδικού της Ινδίας να αποδείξουν ότι

3 1 2 1 3 1 4 1 5 ...= + + + +

Ο καιρός περνούσε, εκδόθηκαν άλλα τρία τεύχη και κανένας δεν πρότεινε κά-ποια λύση του προβλήματος. Έτσι, ο ίδιος ο Ραμανουτζάν αναγκάστηκε να δώ-σει την απάντηση του τόσο δύσκολου προβλήματος, η οποία γίνεται τόσο απλή αν αξιοποιήσουμε το ερώτημα i).




i) 10000 ii) 169

iii) 3 64 iv) 4 625 .


i) 49

16 ii) 1,21

iii) 324

81 iv) 3 0,008 .

230. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

i) Α 81 121 144 ii) Β 20 20 25

iii) Γ 7 13 16 iv) Δ 84 2 49 .

231. Nα υπολογίσετε τις παραστάσεις:

i) 3

3 3

125Α

8 27

ii) 5Β 23 32.


i) 2011 2010 2011 ii) 22011 4023 .


i) 12 13 122 2 2 ii)

11 12 113 2 3 3 .


i) 19 6

17 5

3 93

3 9

ii)

11 30

15 7

8 22

4 3 16

.


235. Nα γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά:

i) 2 2Α 43 44 ii)

2 2

Β 2 1 2 2 .


i) 5 3 5 3 2 ii) 2 2

2 7 3 7 1.

237. Αν α β 0 , να αποδείξετε ότι

2 3 43 4α β α β 0.


i) 4 637 2 ii) 3 5 112 3 2264 32 3

iii)

2 4

4π 3 π 4

4 16

iv)

3 23 2 1 2 2 .


3 x 2,


2 2 2A 5 x 2 3 x 3 x 4x 4.

240. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει ότι x 2, 2 , να απλοποιήσετε την

παράσταση

2 2x 4x 4 x 4x 4A .

x 2 x 2


i) 4 2x 2x 1 ii) 3

2x 4x 4

iii) 2 2

2

x 4x

4 x 1

iv)

2 2

x x x x .


242. Να απλοποιήσετε την παράσταση

22Α 3 4x 16x 16 2 6 3x .

243. Αν x 7 5, y 7 5 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2 2x xy y .

244. Αν A 2 1, B 2 1, να αποδείξετε ότι:

i) 2 2A B 4 2 ii) 2 2A B

32

iii) AB 1 iv) 3 3Α Β 10 2.


2

2 2

2

x 4x 7 6 x 4x 7 9Α .

x 4x 4


3 2 2 3

3Α x 1 3 x 1 1 x 3 x 1 x 1 1 x .

247. i) Να βρείτε τα αναπτύγματα των

2

2 5 και 2

2 5 .

ii) Να αποδείξετε ότι

9 4 5 9 4 5 4.


2 2

4 15 και 4 15 .

ii) Να απλοποιήσετε την παράσταση

Α 31 8 15 31 8 15.



2

5 3 2 και 2

5 3 2 .


43 30 2 43 30 2 10.

250. i) Nα βρείτε τα αναπτύγματα των

3

2 2 και 3

2 2 .


3 320 14 2 20 14 2 4.


i) 3 35 20 2 4 12 ii) 50 2 32 18 8 40 .

252. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύουν οι σχέσεις:

i) 43

3xx

x ii)

25

5 4

xx x.

x


i)

2 2

1 3 1 32

3 3

ii)

4 4

4 4

4 41 2 1 2

2.2 2


i) 32 30

2240

ii)

12 35

5

2 432

4

.

255. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα:

i) 8 12

18 27

ii)

75 50.

48 32



7 63 343 28 112 175.

257. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

i) Α 5 20 27 12 45 48 3

ii) Β 8 18 32 50 98 162 200 .

258. Αν x 75 48, να υπολογίσετε τις τιμές των 2x και 3x .

259. Aν α 4 15 4 15, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2 2A α 9 α 11 .

260. Αν

x 7 13 7 13,


i) ο 2x είναι φυσικός αριθμός ii)

1003x 2x 1 1.


i) 5 5 2 5 5 2 5 5 ii) 3 33 3 4 7 4 7 3 .


2 2 3 2 2 3 2 3 1.


4 44 2 3 3 1 3 1 2 .


4 44 3 29 2 29 2 3.



3 5 3 5 10 2 8.


i) 3 2 2 2 ii)

17

4 3 1232 4 2 .


i) 5 56 332 2 2 2 ii) 2 3104 511 11 11 11 .


i) 8 55 3

15

13 : 3

3 ii) 17 36 182 : 2 8.

269. Nα γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη βοήθεια μίας μόνο ρίζας:

i) 5 83 3 3 ii)

3 55 25 25 5.

270. Αν για τους αριθμούς x, y ισχύει η σχέση

x 2 2y 8 0,

να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2 2x y xy.

271. Δίνονται οι αριθμοί

α 15 5 και β 5 3.

i) Nα βρείτε τα αναπτύγματα των 2α και 2β .

ii) Nα συγκρίνετε τους αριθμούς α και β.

272. Να συγκρίνετε τους αριθμούς

11 5 και 30.


11 5 19 11.


274. i) Να αποδείξετε ότι

2 3 5 1.

ii) Aν x 2 3 5, να συγκρίνετε τους αριθμούς

A 2x 3 και B 3x 2.

275. i) Nα αποδείξετε ότι 42 20 3.

ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 4 20 και 44 20.

276. i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α 6 6 6 9 .

ii) Να αποδείξετε ότι 6 6 6 6 3.

277. Nα μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς

παρονομαστές:

i) 15

3 ii)

2 3

75

iii) 10

5 1 iv)

3 1

3 1

.

278. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς

παρονομαστές:

i) 3

2

5 ii)

3

1.

2 1

279. Αν Α 13 11 και Β 13 11 να αποδείξετε ότι:

i) ΑΒ 2 ii) Α Β Β Α

12.2Α 2Β


i) 3 5

Α5 3 5 3

ii) 7 5

Β .7 5 7 5



1 2 3 1 1 2 3 3 6

72 2 17 2 3

.


i) 12 23 12 23

A12 23 12 23

ii) 5 5B 11 89 11 89.


2 1 2 1α

2 1 2 1

είναι ακέραιος.

284. Αν A 2 3 2 3 και 3B 2 2 , τότε:

i) να αποδείξετε ότι A 1 και B 2

ii) να μετατρέψετε το κλάσμα A

3 B σε ισοδύναμό του με ρητό

παρονομαστή.

285. Αν 6 2

α6 2

και

6 2β ,

6 2

να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

i) 2 2α β ii) 3 3α β .

286. Έστω

α 2 1 .

i) Να αποδείξετε ότι 2α 3 2 2.

ii) Να αποδείξετε ότι 3α 5 2 7.

iii) Να απλοποιήσετε την παράσταση 3Α 3 8 5 2 7.

iv) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 1

α .α


287. i) Να συγκρίνετε τους αριθμούς

1 1A και Β .

2 3 5 2

ii) Να βρείτε ποιος από τους αριθμούς 3, 5 είναι πλησιέστερα στον αριθ-

μό 2.


1 1 1 11.

3 1 5 3 7 5 3 7


i) 1

α 1 αα 1 α

για κάθε α 0

ii) 1 1 1

... 9.2 1 3 2 100 99


i) 3 5 2 7 2 1 ii) 35 2 5 2 7 2.

291. Nα βρείτε την τιμή της παράστασης

x 1 x 2 x 3 x 4

για 7 5

x .2

292. Να βρείτε την τιμή της παράστασης

x x 1 x 1 x 2

για 2 1

x .2

293. Αν x 2012 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

4 4x 1 x 1 x 1 x 1 .


294. Αν 3 3α 3 2 2 3 2 2 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

3α 3α.

295. Αν 3 3x 5 2 5 2 , να βρείτε την τιμή της παράστασης 3x 3x.

296. Αν 3 3x 2 3 2 3 , να βρείτε την τιμή της παράστασης 3x 3x.


4 44 43 2 3 2 5 2 6 .

298. Να αποδείξετε την ταυτότητα:

2α α β βα β αβ.

α β


2 2α β 1 και α β 0 .


i) 1 2αβ 0 και 1 2αβ 0 ii) 1 2αβ 1 2αβ 2α .

300. Δίνεται ο αριθμός

3α 100 101 102 .


i) 100 α 102 ii) ο αριθμός α δεν είναι ακέραιος.


2α β α 1 και 2β α β 1 .


2α β 1 και 2β α 1 .

ii) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.



α βα β

β α για κάθε α, β 0.


α 1 β 1 1 αβ για κάθε α, β 0.


2 α βαβ

1 1 2

α β

για κάθε α,β 0.

305. Έστω πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει η σχέση

1x 3.

x


i) x 0 ii) 1

x 1.x


i) 2

x 1 1 x 2 x 1, για κάθε x 1

ii) αν α x 4x 4 και β x 4x 4 με x 2 , τότε α β 2.

307. Να αποδείξετε ότι για κάθε x, y 0 και x y ισχύει η σχέση

3 3 3 3x y x y

2 x y .x y x y

308. Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β 0 ισχύει η σχέση

42 αβ

αβ.α β



i) 6 8 12 24 1 2 3

ii) 2 1 2 1 1 1

1 .3 3 9 2 3 6


α β 2 ,


2 2α 8β β 8α α β .


7 3 2 3 3 6 2 2 6Α .

2 2 2


3 2 3.

ii) Να βρείτε το ανάπτυγμα

2

3 2 3 .

iii) Να αποδείξετε ότι Α 2.


2

22

1 1 α 1 11 .

α α α 1α 1

ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

1 1 1 11 1 .

36 49 49 64


Ερωτήσεις Θεωρίας

1. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

2. Πότε λέμε ότι ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β;

3. Να αποδείξετε ότι για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η

ισοδυναμία ν να β α β .

4. Τι ονομάζουμε κλειστό διάστημα α, β και τι ανοικτό διάστημα α, β ;

5. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α, καθώς

επίσης και τη γεωμετρική ερμηνεία της.


α β α β για κάθε α, β .


α β α β για κάθε α, β .

8. Τι ονομάζουμε απόσταση δύο αριθμών α, β και πώς τη συμβολίζουμε;

9. Να δώσετε τον ορισμό της ν-οστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α.

10. Αν α, β 0, να αποδείξετε ότι

ν ν να β αβ.

11. Αν α 0, β 0 να αποδείξετε ότι

ν

ν

ν

α α.

ββ

Οι Πραγματικοί Αριθμοί 251

Ερωτήσεις Σωστού – Λάθους

1. Κάθε ρητός αριθμός έχει (ή μπορεί να πάρει) τη μορφή α

,β

όπου α, β

ακέραιοι με β 0 . Σ Λ

2. Ο αριθμός 2 είναι ρητός. Σ Λ

3. Ισχύει η ισοδυναμία:

α β και γ δ αγ βδ . Σ Λ


α β 0 α 0 και β 0 . Σ Λ

5. Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για κάποιες

τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. Σ Λ

6. Ισχύει η ταυτότητα:

3 3 2 2α β α β α αβ β . Σ Λ


α

αβ 0 0.β

Σ Λ

8. Ισχύει η σχέση

2α 0 για κάθε α . Σ Λ


2 2α β 0 α 0 και β 0 . Σ Λ


2 2α β 0 α 0 και β 0 . Σ Λ

11. Αν γ 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία:

α β αγ βγ . Σ Λ


12. Για θετικούς αριθμούς α, β και ν * ισχύει η ισοδυναμία:

ν να β α β . Σ Λ

13. Το διάστημα α, β αποτελείται από τους αριθμούς x για τους

οποίους ισχύει α x β . Σ Λ

14. Αν α, β ομόσημοι αριθμοί, τότε ισχύει η ισοδυναμία:

1 1

α β .α β

Σ Λ

15. Αν α, β ετερόσημοι αριθμοί, τότε ισχύει η ισοδυναμία:

1 1

α βα β

. Σ Λ

16. Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει:

2 2α β 2αβ . Σ Λ

17. Αν α 0, τότε 1

α 2.α

Σ Λ

18. Η απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. Σ Λ

19. Για κάθε α ισχύει α α και α | α. Σ Λ

20. Για κάθε α , ισχύει

22 2α α α . Σ Λ

21. Αν θ 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία:

x θ x θ ή x θ. Σ Λ


x α x α ή x α . Σ Λ

23. Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει

α β α β . Σ Λ


24. Αν θ 0 , τότε ισχύει η ισοδυναμία:

x θ θ x θ . Σ Λ

25. Αν θ 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία:

x θ x θ . Σ Λ

26. Για κάθε α , ισχύει 2α α. Σ Λ

27. Αν α 0, τότε η ν α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης νx α. Σ Λ

28. Αν α 0 , τότε ν

ννν α α α. . Σ Λ

29. Αν α 0 και ν άρτιος, τότε νν α α. Σ Λ

30. Αν α, β 0 , τότε

νν να β α β . Σ Λ

31. Αν α 0 και β 0, τότε ισχύει

ν

ν

ν

α α

ββ . Σ Λ

32. Αν α, β 0 , τότε

νν να β α β. Σ Λ

33. Αν α 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε

μ

μννα α . Σ Λ

34. Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει η ισοδυναμία:

ν να β α β. Σ Λ


Διαγώνισμα 1

Θέμα Α

A1. Να αποδείξετε ότι

α β α β για κάθε α,β .

Α2. Πώς ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α;

Α3. Τι ονομάζουμε ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α;

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα

που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή

Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Για κάθε α,β ισχύει η σχέση

3 3 2 2α β α β α αβ β .

β) Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή:

α β και γ δ α γ β δ

γ) Για κάθε α,β ισχύει η σχέση

α β α β .

δ) Αν α 0 και ν άρτιος, τότε

νν α α.

ε) Αν α 0 , τότε

μ

μννα α .

Θέμα Β

Β1. Nα αποδείξετε ότι

4 2α 5α 4 α 2 α 1 α 1 α 2 .

Β2. Nα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

4 2

2

α 5α 4Κ

α 2 α α 1 α 2 α 2

Β1. Nα αποδείξετε ότι

4 2

2

48 5 48 450.

46 48 49 46 50


Θέμα Γ

Αν x 2,1 και y 1, 3 , να αποδείξετε ότι:

Γ1. 5 x y 0

Γ2. x 2 y 1 x y 3

Γ3. xy 1 x y.

Θέμα Δ


Δ1. 2

3 5 7 94 42 5

Δ2. 3 5 7 0

Δ3. 3 20

1.94 42 5 94 42 5



Θέμα Α

A1. Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν να αποδείξετε την ισοδυναμία ν να β α β .

Α2. Πότε λέμε ότι ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β;

Α3. Τι ονομάζουμε απόσταση δύο αριθμών α και β και πώς τη συμβολίζουμε;




α) Αν α 0, τότε

ν

ννν α α α.

β) Το διάστημα α, β αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους

ισχύει

α x β.

γ) Αν α 0 β, τότε

1 1

α β .

δ) Για κάθε θ ισχύει η ισοδυναμία:

x θ θ x θ .

ε) Αν α,β 0 , τότε

νν να β α β.

Θέμα Β

Δίνονται οι παραστάσεις

2

6 6 6Α 3 1 3 3 1

και

4 4 4 4

8 2 15Β .

5 3 5 3


Β1. Α 3 1

Β2. Β 5 3

Β3. Α Β.


Θέμα Γ

Αν d 2x, 6 4 και 5 y 1, να αποδείξετε ότι:

Γ1. x 3 2 και y 2 3

Γ2. x 5 y 5 2 x y

Γ3. xy 3y 2x 6 6.

Θέμα Δ


Δ1. αν α 0 ή β 0, τότε 2 2 α βα β

α β 2

Δ2. αν ισχύουν οι σχέσεις

2 2 α βα β

α β 2

και αβ 0

τότε

α β 0

Δ3. 2 2 2 2 2 2α β β γ γ α

α β γα β β γ γ α

για κάθε α, β, γ *

Δ4. 22x 2

x για κάθε x .x 1 x 1

Eξισώσεις – Η Eξίσωση xν = α 259

Eξισώσεις


«Oι εξισώσεις είναι περισσότερο ενδιαφέρουσες για μένα. Η πολιτική είναι για το παρόν, ενώ οι εξισώσεις είναι για την αιωνιότητα».

Albert Einstein


Eξισώσεις 1ου Βαθμού Ορισμός

Ονομάζουμε λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης κάθε αριθμό που την επαληθεύει. Η Εξίσωση αx + β = 0 Η εξίσωση

αx β 0+ = με α,β∈ ισοδύναμα γράφεται

αx β.= − Οπότε: ● Αν α 0≠ , τότε η παραπάνω λέγεται εξίσωση 1ου βαθμού και έχει ακριβώς μία

λύση, την βx .α

= −

● Αν α 0,= τότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται 0x β= −

και επομένως αν β 0≠ , είναι αδύνατη αν β 0= , είναι ταυτότητα. Παράδειγμα

Για την εξίσωση ( )2 3 x x 6− = − έχουμε:

( )2 3 x x 6 6 2x x 6− = − ⇔ − = −

2x x 6 63x 12

12x 4.3

⇔ − − = − −⇔ − = −

−⇔ = =

−

Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, την x 4.=

Για την εξίσωση ( )2 x 1 x x 5+ − = + έχουμε:

( )2 x 1 x x 5 2x 2 x x 5+ − = + ⇔ + − = +

2x x x 5 20x 3.

⇔ − − = −⇔ =

Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.


Για την εξίσωση 2x 1 1 xx3 3+ −

− = έχουμε:

2x 1 1 x 2x 1 1 xx 3 3 x 33 3 3 3+ − + −

− = ⇔ ⋅ − ⋅ = ⋅

2x 1 3x 1 x2x 3x x 1 10x 0.

⇔ + − = −⇔ − + = −⇔ =

Άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα.

● Όταν οι συντελεστές α και β της εξίσωσης αx β 0+ = δεν είναι συγκεκριμένοι

αριθμοί, αλλά εκφράζονται με τη βοήθεια γραμμάτων, τότε τα γράμματα αυτά λέγονται παράμετροι η εξίσωση λέγεται παραμετρική και η διαδικασία που ακολουθούμε για την εύρεση του πλήθους των λύσεων λέγεται διερεύνηση.


Η εξίσωση ( )2λ x 1 2λx 4,− = − λ∈ έχει παράμετρο λ και ισοδύναμα γράφεται: 2 2 2λ (x 1) 2λx 4 λ x λ 2λx 4− = − ⇔ − = −

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

λ x 2λx λ 4λ 2λ x λ 4

λ λ 2 x λ 2 λ 2

⇔ − = −

⇔ − = −

⇔ − = + −

Επομένως: Αν ( )λ λ 2 0 λ 0 και λ 2 0− ≠ ⇔ ≠ − ≠

λ 0 και λ 2,⇔ ≠ ≠ τότε η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, την

( )( )( )

λ 2 λ 2 λ 2x .λ λ 2 λ+ − +

= =−

Αν λ = 0, τότε η εξίσωση γίνεται 0x 4= − και είναι αδύνατη. Αν λ = 2, τότε η εξίσωση γίνεται 0x 0= και είναι ταυτότητα. Εξισώσεις που Ανάγονται σε Εξισώσεις 1ου Βαθμού ● Όταν έχουμε εξίσωση 2ου, 3ου βαθμού κ.λ.π. τότε την μετασχηματίζουμε σε

ισοδύναμη στην οποία έχουμε ένα γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων ίσο με το μηδέν. Επομένως, ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες είναι μηδέν.



Να λύσετε την εξίσωση 22(x 1) 1 x.− − =

Λύση

Έχουμε 2 22(x 1) 1 x 2(x 1) 1 x 0− − = ⇔ − − − =

[ ]2(x 1)(x 1) (x 1) 0(x 1) 2(x 1) 1 0(x 1)(2x 3) 0x 1 0 ή 2x 3 0x 1 ή 2x 3

3x 1 ή x2

⇔ − + − + =

⇔ + − − =

⇔ + − =⇔ + = − =⇔ = − =

⇔ = − =

Άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις. Τους αριθμούς 3x 1 και x .2

= − =

● Όταν έχουμε κλασματική εξίσωση, βρίσκουμε αρχικά το σύνολο στο οποίο αυτή ορίζεται. Δηλαδή, βρίσκουμε εκείνα τα x R∈ για τα οποία οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διάφοροι του μηδενός. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.


Να λύσετε την εξίσωση 2x 11 .

x 1 x 1+ =

+ +

Λύση

Η δοθείσα εξίσωση ορίζεται για κάθε x 1.≠ − Για αυτά τα x έχουμε:

( ) ( ) ( )2 2x 1 x 11 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1 x 1+ = ⇔ + + + = +

+ + + +

( )

2

2

x x 1 1x x 0x x 1 0x 0 ή x 1 0x 0 ή x 1, που απορρίπτεται, αφού x 1.

⇔ + + =

⇔ + =

⇔ + =

⇔ = + =⇔ = = − ≠ −

Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, την x 0.=


● Όταν έχουμε εξίσωση με απόλυτα της μορφής | Α(x) | = θ με θ > 0, αξιοποιούμε τη γνωστή ιδιότητα των απολύτων τιμών

| x | θ x θ ή x θ (εφόσον θ 0)= ⇔ = = − > Παράδειγμα

Να λύσετε την εξίσωση | x 1| 7.+ =

Λύση

Έχουμε | x 1| 7 x 1 7 ή x 1 7+ = ⇔ + = + = −

x 6 ή x 8.⇔ = = −

Άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις. Τους αριθμούς x 6 και x 8.= = − ● Όταν έχουμε εξίσωση με απόλυτα της μορφής ( ) ( )=A x B x , αξιοποιούμε τη

γνωστή ιδιότητα των απολύτων τιμών | x | | α | x α ή x α= ⇔ = = −


Να λύσετε την εξίσωση | 3x 1| | x 5 | .− = +

Λύση

Έχουμε ( )| 3x 1| | x 5 | 3x 1 x 5 ή 3x 1 x 5− = + ⇔ − = + − = − +

2x 6 ή 4x 4x 3 ή x 1.

⇔ = = −⇔ = = −

Άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις. Τους αριθμούς x 1 και x 3.= − = ● Όταν έχουμε εξίσωση με απόλυτα της μορφής ( ) ( )=A x Β x , παίρνουμε τον

περιορισμό

( ) ≥Β x 0 ,

αφού, μόνο τότε η εξίσωση μπορεί να έχει λύση. Με αυτόν τον περιορισμό η παραπάνω εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

( ) ( )=A x Β x ή ( ) ( )= −A x Β x .



Να λύσετε την εξίσωση | 2x 5 | x 3.− = −

Λύση

Επειδή το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι μη αρνητικό, πρέπει κατ’ ανάγκη το ίδιο να ισχύει και για το δεύτερο μέλος. Δηλαδή, πρέπει:

x 3 0.− ≥ Με αυτόν τον περιορισμό έχουμε

| 2x 5 | x 3 2x 5 x 3 ή 2x 5 3 x− = − ⇔ − = − − = −

x 2 ή 3x 8

8x 2 ή x .3

⇔ = =

⇔ = =

Παρατηρούμε ότι καμία από τις παραπάνω πιθανές λύσεις δεν ικανοποιεί τον περιορισμό x 3 0.− ≥ Άρα η δοθείσα εξίσωση είναι αδύνατη.


1. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i) ( )5 x 1 3x 11− = + ii) 7 x x x4 .3 4 2−

+ = −

Λύση

i) Έχουμε ( )5 x 1 3x 11− = +

5x 5 3x 11⇔ − = + 5x 3x 11 5⇔ − = + 2x 16⇔ =

x 8.⇔ = Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει μοναδική

λύση την x 8.=

Σημείωση Oνομάζουμε λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης, κάθε αριθμό που την επαληθεύει.


ii) Έχουμε

7 x x x43 4 2−

+ = −

7 x x x12 12 12 4 123 4 2−

⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅

( )4 7 x 3x 48 6x⇔ − + = −

28 4x 3x 48 6x⇔ − + = −

4x 3x 6x 48 28⇔ − + + = −

5x 20⇔ =

x 4.⇔ =

Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει μοναδική

λύση την

x 4.=


i) ( ) ( ) ( )3 x 1 2 x 3 2 x 2+ − + = + − ii) 4x 2 2 2x5x 7 x .3 21 3+ + = + −

Λύση

i) Έχουμε

( ) ( ) ( )3 x 1 2 x 3 2 x 2+ − + = + −

3x 3 2 x 3 2x 4⇔ + − − = + −

3x x 2x 3 4 3 2⇔ − − = − − +

0x 2⇔ = − , αδύνατη

Σημείωση Η εξίσωση

αx β 0 με α,β ισοδύναμα γράφεται

αx β . Oπότε: ● Αν α 0, έχει ακριβώς μία

λύση, την βx .α

● Αν α 0 , τότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται

0x β και επομένως: ■ αν β 0 είναι αδύνατη ■ αν β 0 είναι ταυτότητα


ii) Έχουμε

4x 2 2 2x5x 7 x3 21 3+ + = + −

4x 2 2 2x5x 7x3 3 3+

⇔ + = + −

4x 2 2 2x3 5x 3 3 7x 3 33 3 3+

⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅

15x 4x 2 21x 2 2x⇔ + + = + −

15x 4x 21x 2x 2 2⇔ + − + = −

0x 0⇔ = , ταυτότητα.

3. Δίνεται η εξίσωση

x x 1 x 2 20 x.17 18 19

+ ++ + = −

i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση:

α) έχει λύση τον αριθμό 17 β) δεν έχει λύση τον αριθμό 20 ii) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.

Λύση

i) α) Για x 17= η δοθείσα εξίσωση γίνεται

1 1 1 3+ + =

και αληθεύει. Άρα, η εξίσωση έχει λύση τον αριθμό 17.

β) Για x 20= η δοθείσα εξίσωση γίνεται 20 21 22 017 18 19

+ + =

και προφανώς δεν αληθεύει. Άρα, η εξίσωση δεν έχει λύση τον αριθμό 20. ii) H δοθείσα εξίσωση μπορεί να πάρει τη μορφή αx β 0+ = και συνεπώς ή έχει

μοναδική λύση ή είναι αδύνατη ή είναι ταυτότητα. Όμως, από τα ερωτήματα i) α) και i) β) συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση αυτή δεν είναι αδύνατη, ούτε είναι ταυτό- τητα. Άρα, η εξίσωση έχει μοναδική λύση τον αριθμό 17.



i) ( )2 2x 1 x x 0− + − = ii) ( ) ( ) ( ) ( )2 2x 9 x 2 4 x x 3 .− − = − −

Λύση

i) Έχουμε

( )2 2x 1 x x 0− + − =

( ) ( )2x 1 x x 1 0⇔ − + − =

( ) ( )x 1 x 1 x 0⇔ − − + =

( )( )x 1 2x 1 0⇔ − − =

x 1 0 ή 2x 1 0⇔ − = − =

1x 1 ή x .2

⇔ = =

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 1 και 12

.

ii) Έχουμε

( )( ) ( )( )2 2x 9 x 2 4 x x 3− − = − −

( )( ) ( )( )2 2x 9 x 2 4 x x 3 0⇔ − − − − − =

( )( )( ) ( )( )( )x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 3 0⇔ − + − + − + − =

( )( ) ( ) ( )x 2 x 3 x 3 x 2 0⇔ − − + + + =

( )( )( )x 2 x 3 2x 5 0⇔ − − + =

x 2 0⇔ − = ή x 3 0− = ή 2x 5 0+ =

x 2⇔ = ή x 3= ή 5x .2

= −

Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 2, 3 και 5 .2

−

Μεθοδολογία Μετασχηματίζουμε την εξί-σωση σε ισοδύναμή της στην οποία έχουμε ένα γινόμενο παραγόντων ίσο με το μη-δέν. Επομένως, ένας τουλά-χιστον από τους παράγοντες είναι μηδέν.



i) 3 2x x 9x 9 0− − + = ii) ( )( )3 2x 5x x 5 2x 1 0.− + − + =

Λύση

i) Έχουμε 3 2x x 9x 9 0− − + =

( ) ( )2x x 1 9 x 1 0⇔ − − − =

( )( )2x 1 x 9 0⇔ − − =

( )( )( )x 1 x 3 x 3 0⇔ − − + =

x 1 0⇔ − = ή x 3 0− = ή x 3 0+ =

x 1⇔ = ή x 3= ή x 3.= −

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 1, 3 και 3.− ii) Έχουμε ( )( )3 2x 5x x 5 2x 1 0− + − + =

( ) ( )( )2x x 5 x 5 2x 1 0⇔ − + − + =

( )( )2x 5 x 2x 1 0⇔ − + + =

( )( )2x 5 x 1 0⇔ − + =

x 5 0⇔ − = ή x 1 0+ =

x 5⇔ = ή x 1,= − διπλή ρίζα.

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 5 και 1.−

6. Να λύσετε την εξίσωση

22 1 7 .

x 1 x 1 x 1+ =

− + −


Λύση

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε

x 1≠ και x 1.≠ −

Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε

2

2 1 7x 1 x 1 x 1

+ =− + −

( )( ) ( )( )2 1x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 1

⇔ − + ⋅ + − + ⋅− +

( )( ) 2

7x 1 x 1x 1

= − + ⋅−

( ) ( )2 x 1 x 1 7⇔ + + − =

2x 2 x 1 7⇔ + + − =

3x 6⇔ =

x 2.⇔ =

Άρα, η εξίσωση έχει μοναδική λύση τον αριθμό 2. 7. Να λύσετε την εξίσωση

21 2 4 .

x 4 x x 4x+ =

− −

Λύση

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x με x 0 και x 4.

Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε:

2

1 2 4x 4 x x 4x

( ) ( ) ( ) 2

1 2 4x x 4 x x 4 x x 4x 4 x x 4x

⇔ − + − = −− −

( )x 2 x 4 4⇔ + − =

x 2x 8 4⇔ + − = 3x 12⇔ = x 4,⇔ = που απορρίπτεται, αφού

x 4. Άρα, η εξίσωση είναι αδύνατη.

Σχόλιο Το σύνολο στο οποίο ορίζεται μία εξί-σωση αποτελείται από εκείνα τα x∈ για τα οποία κάθε παράσταση που εμφανί-ζεται στην εξίσωση έχει νόημα πραγματι-κού αριθμού. Έτσι, π.χ. ένα κλάσμα ορίζεται αν και μόνο αν ο παρονομαστής του είναι διάφορος του μηδενός.

Σχόλιο Η εξίσωση ορίζεται για εκείνα τα x∈ για τα οποία ισχύουν:

x 4 0 x 4− ≠ ⇔ ≠ και

x 0≠ και 2x 4x 0− ≠

( )x x 4 0⇔ − ≠

x 0⇔ ≠ και x 4.≠



( )2 2λ 1 x λ λ− = +

για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου ∈λ . Λύση

● Αν ( )( )2λ 1 0 λ 1 λ 1 0,− ≠ ⇔ + − ≠

λ 1⇔ ≠ − και λ 1,≠ τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση την

x 2

2

λ λλ 1+

=−

( )( )( )

λ λ 1λ 1 λ 1

+=

− +λ .

λ 1=

−

● Aν λ 1= − , τότε η εξίσωση γίνεται 0x 0=

και είναι ταυτότητα.

● Αν λ 1,= τότε η εξίσωση γίνεται 0x 2=

και είναι αδύνατη.

9. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

( ) ( )2 2 2x α x 2β 2α 4αβ+ − + = −

έχει λύση για κάθε α, β .∈

Λύση

Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

( )2 2 2 2 2x 2αx α x 4βx 4β 2α 4αβ+ + − + + = −

2 2 2 2 2x 2αx α x 4βx 4β 2α 4αβ⇔ + + − − − = −

2 22αx 4βx α 4αβ 4β⇔ − = − +

( ) ( )22 α 2β x α 2β .⇔ − = −

Σχόλιο Ο συντελεστής του άγνωστου x είναι

2λ 1 λ 1 λ 1 .

Επομένως, για λ 1

έχουμε 2λ 1 0

και συνεπώς η εξίσωση έχει μονα-δική λύση. Στη συνέχεια, εξετάζου-με τι συμβαίνει με την εξίσωση για

λ 1 και για

λ 1.


Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

● Αν α 2β 0 α 2β,− ≠ ⇔ ≠

τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση την ( )( )

2α 2β α 2βx .2 α 2β 2

− −= =

−

● Αν α 2β 0 α 2β,− = ⇔ =

τότε η εξίσωση γίνεται 0x 0=

και είναι ταυτότητα. Δηλαδή έχει λύση κάθε πραγματικό αριθμό.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η δοθείσα εξίσωση έχει λύση για κάθε α, β .∈ 10. Δίνονται οι εξισώσεις

2λx 3λ= (1)

και ( )2λ λ x λ 4− = + . (2)

i) Nα αποδείξετε ότι, αν η εξίσωση (1) είναι ταυτότητα, τότε η εξίσωση (2) είναι αδύνατη.

ii) Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο του ερωτήματος i). Λύση

i) ● Αν λ 0,≠ τότε η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση την x 3λ.= ● Αν λ 0= , τότε η εξίσωση (1) γίνεται 0x 0= και είναι ταυτότητα. Παρατηρούμε ότι για λ 0= η εξίσωση (2) γίνεται

0x 4= και είναι αδύνατη. Επομένως, αν η εξίσωση (1) είναι ταυτότητα, τότε η εξίσωση (2) είναι αδύνατη. ii) ● Αν ( )2λ λ 0 λ λ 1 0 λ 0 και λ 1− ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ≠ ,

τότε η εξίσωση (2) έχει μοναδική λύση την 2

λ 4x .λ λ+

=−

● Αν λ 0,= τότε η εξίσωση (2) γίνεται 0x 4= και είναι αδύνατη, ενώ η εξίσωση (1) είναι ταυτότητα σύμφωνα με το ερώτημα i)


● Αν λ 1,= τότε η εξίσωση (2) γίνεται 0x 5= και είναι αδύνατη, ενώ η εξίσωση (1) γίνεται x 3= και έχει μοναδική λύση.

Άρα, όταν η εξίσωση (2) είναι αδύνατη, τότε η εξίσωση (1) δεν είναι πάντα ταυτότητα και συνεπώς δεν ισχύει το αντίστροφο του ερωτήματος i).


i) 4x 3 5− = ii) 2x 1 x 10 .− = +

Λύση

i) Έχουμε

4x 3 5− =

4x 3 5⇔ − = ή 4x 3 5− = −

4x 8⇔ = ή 4x 2= −

x 2⇔ = ή 1x .2

= −

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι

αριθμοί 2 και 1 .2

−

ii) Έχουμε

2x 1 x 10− = +

2x 1 x 10⇔ − = + ή 2x 1 x 10− = − −

x 11⇔ = ή 3x 9= −

x 11⇔ = ή x 3.= −


Μεθοδολογία Η επίλυση μιας εξίσωσης με από-λυτα προϋποθέτει την απαλλαγή από τα σύμβολα της απόλυτης τιμής. Για το σκοπό αυτό αξιοποιούμε γνωστές ιδιότητες των απολύτων τιμών:

● Αν θ 0, τότε

( ) =f x θ

( )⇔ =f x θ ή ( ) = −f x θ

● ( ) ( )=f x g x

( ) ( )⇔ =f x g x ή ( ) ( )= −f x g x



i) 3x 2 x− = ii) x 1 2x 1.+ = −

Λύση

i) Παρατηρούμε ότι το πρώτο μέλος της εξίσωσης

3x 2 x

είναι μη αρνητικό. Επομένως, πρέπει κατ’ ανάγκη και το δεύτερο μέλος της να είναι μη αρνητικό. Δηλαδή, πρέπει x 0. Με αυτόν τον περιορισμό έχουμε

3x 2 x

3x 2 x⇔ − = ή 3x 2 x− = −

2x 2⇔ = ή 4x 2=

x 1⇔ = ή 1x ,2

= δεκτές.

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί

1 και 1 .2

ii) Ομοίως, παρατηρούμε ότι για να έχει λύση η εξίσωση

x 1 2x 1+ = −

πρέπει κατ’ ανάγκη να ισχύει η σχέση

2x 1 0.− ≥

Με τον περιορισμό αυτό έχουμε

x 1 2x 1+ = −

x 1 2x 1⇔ + = − ή x 1 2x 1+ = − +

x 2⇔ − = − ή 3x 0=

x 2⇔ = ή x 0.=

Από τις παραπάνω πιθανές λύσεις δεκτή είναι μόνο η x 2 , αφού μόνο αυτή

ικανοποιεί τη συνθήκη 2x 1 0.

Μεθοδολογία Αναγκαία συνθήκη για να έχει λύση η εξίσωση

( ) ( )=f x g x

είναι να ισχύει η σχέση

( ) ≥g x 0 .

Με αυτόν τον περιορισμό η παραπάνω εξίσωση ισο-δύναμα γράφεται

( ) ( )=f x g x

ή

( ) ( )= −f x g x .


13. Nα λύσετε τις εξισώσεις:

i) 2 x 3 x 3 .5 2 2+

+ = ii) 7x 2 2.x 4−

=+

Λύση

i) Έχουμε

2 x 3 x 35 2 2+

+ =2 x 3 x 310 10 10

5 2 2+

⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅

( )2 2 x 3 5 x 15⇔ + + =

4 x 6 5 x 15⇔ + + =

9 x 9⇔ =

x 1⇔ =

x 1.⇔ = ±


ii) H εξίσωση ορίζεται για κάθε

x 4.≠ −

Με τον περιορισμό αυτό η εξίσωση

7x 2 2x 4−

=+


7x 2 2x 4−

=+

ή 7x 2 2x 4−

= −+

( )7x 2 2 x 4⇔ − = + ή ( )7x 2 2 x 4− = − +

7x 2 2x 8⇔ − = + ή 7x 2 2x 8− = − −

5x 10⇔ = ή 9x 6= −

x 2⇔ = ή 2x3

= − .

Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 2 και 23

− .

Σχόλιο Αρχικά βρίσκουμε το x και στη συνέχεια το

x.



x 2 3 3x 6 2 2 x 11

3 9 18− + − − − −

− = + .

Λύση


( )3x 6 3 x 2 3 x 2− = − = ⋅ − για κάθε x∈

και

( )2 x x 2 x 2− = − − = − για κάθε x∈ .

Επομένως, η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

x 2 3 3 x 2 2 x 2 11

3 9 18− + − − − −

− = +

x 2 3 3 x 2 2 x 2 118 18 18 18

3 9 18− + − − − −

⇔ ⋅ − ⋅ = ⋅ +

( ) ( )6 x 2 3 2 3 x 2 2 x 2 1 18⇔ − + − − − = − − +

6 x 2 18 6 x 2 4 x 2 17⇔ − + − − + = − +

22 x 2 17⇔ = − +

x 2 5⇔ − =

x 2 5⇔ − = ή x 2 5− = −

x 7⇔ = ή x 3= − .

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 7 και 3− . 15. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i) 4 x 5 7− = ii) 2x 9 2x 3 .+ = −

Σχόλιο Οι τρεις απόλυτες τιμές της εξίσωσης εκφράζονται συναρ-τήσει του x 2 .−

Βρίσκουμε λοιπόν το x 2− και στη

συνέχεια το x.


Λύση

i) Έχουμε

4 x 5 7− =

4 x 5 7⇔ − = ή 4 x 5 7− = −

4 x 12⇔ = ή 4 x 2= −

x 3⇔ = ή 1x2

= − , αδύνατη

x 3⇔ =

x 3.⇔ = ± Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 3− και 3. ii) Παρατηρούμε ότι και τα δύο μέλη της

εξίσωσης είναι μη αρνητικά. Οπότε, έχουμε

2x 9 2x 3+ = −

( )2 22x 9 2x 3⇔ + = −

( )22x 9 2x 3⇔ + = − 2 2x 9 4x 12x 9⇔ + = − +

23x 12x 0⇔ − + =

( )3x x 4 0⇔ − − =

x 0⇔ = ή x 4 0− =

x 0⇔ = ή x 4.=

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 0 και 4.

16. Έστω πραγματικός αριθμός x τέτοιος, ώστε

x 1 x 2 x 4 4x+ + + + + = .

i) Να αποδείξετε ότι x 0> .

ii) Να βρείτε τον αριθμό x .

Μεθοδολογία Υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη της εξίσωσης για να απαλλαγούμε τόσο από τη ρίζα όσο και από την απόλυ-τη τιμή. Επειδή τα μέλη της εξίσωσης είναι μη αρνητικά, η νέα εξίσωση που θα προ-κύψει είναι ισοδύναμη με την αρχική.


Λύση

i) Παρατηρούμε ότι

x 1 x 2 x 4 0+ + + + + ≥ για κάθε x∈ .

Και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν

x 1 0+ = και x 2 0+ = και x 4 0+ = , δηλαδή ποτέ!

Άρα,

x 1 x 2 x 4 0+ + + + + >


4x 0>

και τελικά

x 0.>


x 0> .

Οπότε,

x 1 0+ > και x 2 0+ > και x 4 0+ > .

Άρα, η δοθείσα σχέση

x 1 x 2 x 4 4x+ + + + + =


( ) ( ) ( )x 1 x 2 x 4 4x+ + + + + =

3x 7 4x⇔ + =

3x 4x 7⇔ − = −

x 7⇔ − = −

x 7.⇔ =




i) ( )3x 2 5x 1 4x 7+ − = + ii) 2 x x 4 3x 4 85 3 15 5− + +

+ = +

iii) x 1 x 3 x 13 6 2− − +

+ = iv) 3x x 5 x 110 5 2

−+ = − .

2. Nα λύσετε τις εξισώσεις: i) 3x 4x 0− = ii) ( )( ) ( )( )2x 1 x 25 3 x 5 x 1+ − = − +

iii) ( )3 2x 4x 2 x 4− = − iv) ( )( ) ( ) ( )( )2x 1 x 3 2x 3 1 x x 6 .− + − − = − −


i) ( )2 2x x 2 x 4x 4− = − + ii) ( )( ) ( )( )2 2x 4 x 1 x 1 x 2− − = − −

iii) 3 2x 2x x 2 0− − + = iv) ( )( )3 2x 2x 2x 1 x 2 0.− − − − =


( )2 2x x 1 2x αx 2, α + = + + ∈ .

Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε:

i) να βρείτε την τιμή του α

ii) να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.


i) 2

2

6 x 2 xx 2 2 x 4 x

ii)

1 2 x1x x 1

1 x 1 x

.


i) 2

x 1x 1 x x

ii) 2 2

x 1 2 0x 1 x 2x 1

.


7. Nα βρείτε τις τιμές της παραμέτρου κ∈ για τις οποίες οι παρακάτω εξισώσεις είναι ταυτότητες:

i) ( )2κ x 1 x 4κ 3− = − + ii) ( ) ( )2κ x 1 κ 2x 5 6.− − − =

8. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου α∈ για τις οποίες οι παρακάτω εξισώσεις

είναι αδύνατες:

i) ( )2α x 1 x 4α 5+ = − + ii) ( ) ( )2α x 1 α 2x 5 4.+ − + = −

9. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ ,∈ ώστε η εξίσωση

( ) 2λ 3 x λ 9− = −

να έχει μοναδική ρίζα την x 0.=

10. Nα λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ .∈ i) ( )λ 4 x λ 4− = − ii) ( )λ x 1 x− =

iii) ( )2λ λ x λ 1− = − iv) ( ) ( )2 2λ 1 x 2λ 3 λ 3 x 1 .− + − = + −

11. Αν η εξίσωση

( ) ( )2μ x 1 2 2x μ , μ− = − ∈

είναι ταυτότητα, τότε: i) να βρείτε την τιμή του μ ii) να αποδείξετε ότι η εξίσωση

( ) ( )2μ x 1 μ 5x 1 6x 0− − − + =

είναι αδύνατη.


( ) ( )2λ x λ 2λ x 1 0, λ− + − = ∈ .

Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση: i) είναι ταυτότητα ii) έχει μοναδική ρίζα την x 1.=


13. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

( ) ( )2 2x 3β 4αx x α− + = +

έχει λύση για κάθε α, β .∈


x 6 x 2 x 94 x 98 .94 98 6 2− − − −

+ = +

i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 100 είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης. ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 50 δεν είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης. iii) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.


i) x x 1 x 1 2 1 327 23 31 27 23 31

− ++ + = + +

ii) x x 1 x 3 3 2 .100 300 500 100 300

− −+ + = +


i) 5x 2 8 ii) 2x 1 0

iii) 4x 3 7 0 iv) 2 x 5 3 4 .


i) x 3 4 0− − = ii) x 1 1 4+ + =

iii) 2x 3 6 4x 6x 9 8− − − + − = iv) 3x 7 1 0.+ + =


i) x 1 x 3 ii) x 2 2 x 1

iii) 4 x 3 9 iv) 5x 3x 3

.



i) 3x 2x 1

x4 3

−+ = − ii)

x 2 3 2 2 x 31

5 10− − − −

= + .


i) 2x 1 x 1 0− + + = ii) ( )22x 2 x 3x 2 0− + − + = .


i) x x x 8 8− + + = ii) ( ) ( )2 22x x x 4 0.− + − =

22. Nα λύσετε τις εξισώσεις: i) 5x 2 3x 2− = + ii) x 1 2x 2+ = −

iii) ( )2 x 1 x 3 x 1 1− + − − = iv) ( )2 3x 4 2 x 3 1 x.− + + = −

23. Έστω πραγματικός αριθμός x τέτοιος, ώστε 2 x

x 2 x

, x 0 και x 2 .

i) Να αποδείξετε ότι x 0 . ii) Να βρείτε τον x.

24. Δίνεται πραγματικός αριθμός x 0 για τον οποίο ισχύει η σχέση 2x 4 x x 4x

.

i) Να αποδείξετε ότι x x 4 0 .

ii) Να αποδείξετε ότι x 0 . iii) Να βρείτε τον x.


i) x x 1 x 1+ + = + ii) x 1 x x .= − −



i) 24 x x− = ii) 2x 14x 49 x 7 8 .− + = − −


i) 2x x 1 x− = − ii) 2x 2 x 4x 4 6 x.− − − + = −


i) x x 2 2− − = ii) 2 2x 2x 1 4x 4x 1 x 1 .+ + − + + = +


i) x x 1 x x+ − = − ii) x 2 2x 1 2 4x .+ − − = −


i) x x 5 5− + = ii) x 1 1 x 1.+ − = −


i) x x 1 x 1+ + = − ii) 15 11x x x 4.4 3

− + − = −


i) 2x 5 x 5+ = − ii) 22x 1 1 4x .− = +


i) 2x 3 x x 1+ = − ii) 24 x x 2 x .+ = −

34. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του α∈:

i) 2x 1 x α+ = − ii) ( )2 2x α 2α x 2α− + = − .


Η Εξίσωση xν = α Πρόταση

Αν α > 0 και ν περιττός φυσικός αριθμός, τότε η εξίσωση xν = α έχει ακριβώς μια λύση, την ν α . Δηλαδή,

= ⇔ =ν νx α x α . Παράδειγμα Έχουμε 3 3x 8 x 8 x 2.= ⇔ = ⇔ =

Πρόταση

Αν α < 0 και ν περιττός φυσικός αριθμός, τότε η εξίσωση xν = α έχει ακριβώς μια λύση, την − ν | α | . Δηλαδή,

= ⇔ = −ν νx α x | α | . Παράδειγμα

Έχουμε 7 77x 5 x | 5 | x 5.= − ⇔ = − − ⇔ = − Πρόταση

Αν α > 0 και ν άρτιος φυσικός αριθμός, τότε η εξίσωση xν = α έχει ακριβώς δύο λύ-σεις, τις ν α και − ν α . Δηλαδή,

ή= ⇔ = = −ν ν νx α x α x α.


Έχουμε 4 4 4x 11 x 11 ή x 11.= ⇔ = = −

Πρόταση

Αν α < 0 και ν άρτιος φυσικός αριθμός, τότε η εξίσωση xν = α είναι αδύνατη.


Έχουμε 4 4x 3 0 x 3 αδύνατη.+ = ⇔ = − ● Από τα παραπάνω συμπεράσματα και από το γεγονός ότι η εξίσωση ν νx α= με

ν ∗∈ έχει προφανή λύση την x = α, προκύπτει ότι:


Αν ν περιττός, τότε η εξίσωση =ν νx α έχει μοναδική λύση την x = α. Αν ν άρτιος, τότε η εξίσωση =ν νx α έχει δύο λύσεις, τις x = α και x = –α. Παράδειγμα

Έχουμε ( )33 3x 125 x 5 x 5.= − ⇔ = − ⇔ = − 2 2 2x 81 x 9 x 9 ή x 9.= ⇔ = ⇔ = = −

( )5 4 4 4x 16x 0 x x 16 0 x 0 ή x 2 x 0 ή x 2 ή x 2.− = ⇔ − = ⇔ = = ⇔ = = = −

( ) ( )34 3 3x 27x 0 x x 27 0 x 0 ή x 3 x 0 ή x 3.+ = ⇔ + = ⇔ = = − ⇔ = = −

Λυμένες Ασκήσεις 17. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i) 3x 27 0− = ii) 11x 1 0+ =

iii) 2x 49 0− = iv) 4x 16 0.− = Λύση

Έχουμε: i) 3x 27 0 3 3x 3⇔ =

x 3⇔ = .

ii) 11x 1 0 ( )1111x 1⇔ = −

x 1⇔ = − .

iii) 2x 49 0 2 2x 7⇔ =

x 7 ή x 7⇔ = = − .

iv) 4x 16 0 4 4x 2⇔ =

x 2 ή x 2⇔ = = − .

Σημειώσεις ● Aν ο ν είναι περιττός

αριθμός, τότε η εξίσωση =ν νx α

έχει μοναδική λύση, την =x α .

● Aν ο ν είναι άρτιος αριθ-

μός, τότε η εξίσωση =ν νx α

έχει δύο λύσεις, τις =x α και = −x α .


18. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) − =3x 7 0 ii) + =5x 2 0 iii) − =6x 3 0 iv) + =8x 1 0. Λύση

i) Έχουμε 3 3

3

x 7 0 x 7

x 7.

− = ⇔ =

⇔ =

ii) Έχουμε 5 5

5

5

x 2 0 x 2

x 2

x 2.

+ = ⇔ = −

⇔ = − −

⇔ = −

iii) Έχουμε

6 6

6 6

x 3 0 x 3

x 3 ή x 3.

− = ⇔ =

⇔ = = −

iv) Έχουμε 8 8x 1 0 x 1+ = ⇔ = −

Η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, αφού 8x 0≥ και 1 0.− <


i) ( )3x 1 27− = ii) ( )38x x 2 2 x.− = − Λύση

i) Έχουμε 3x 1 27

( )3 3x 1 3⇔ − = x 1 3⇔ − = x 4.⇔ =

Σημείωση Αν ο ν είναι περιττός αριθμός, τότε η εξίσωση

=νx α έχει μοναδική λύση: ● αν >α 0 , την = νx α

● αν <α 0 , την = − νx α .

Σημείωση Αν ο ν είναι άρτιος αριθμός, τότε η εξίσωση

=νx α ● αν >α 0 , έχει δύο λύσεις,

τις = νx α και = − νx α .

● αν <α 0 είναι αδύνατη.

Σημείωση Είναι έγκυρη η ισοδυ-ναμία

= ⇔ =3 3α β α β.


ii) Έχουμε

38x x 2 2 x ( ) ( )38x x 2 x 2 0⇔ − + − =

( )( )3x 2 8x 1 0⇔ − + =

x 2 0⇔ − = ή 38x 1 0

x 2⇔ = ή 3

3 1 1x8 2

x 2⇔ = ή 1x .2


i) 4x 8x 0− = ii) 5 2x x 0+ =

iii) 7x 2x 0+ = iv) ( ) 10x 10 x 10 x.− + =

Λύση

Έχουμε:

i) ( )4 3x 8x 0 x x 8 0− = ⇔ − =

x 0⇔ = ή 3x 8=

x 0⇔ = ή 3 3x 2= x 0⇔ = ή x 2.=

ii) ( )5 2 2 3x x 0 x x 1 0+ = ⇔ + =

x 0⇔ = ή ( )33x 1= −

x 0⇔ = ή x 1.= −

iii) ( )7 6x 2x 0 x x 2 0 x 0,+ = ⇔ + = ⇔ = αφού 6x 2 0+ > για κάθε x∈ .

iv) ( ) ( ) ( )10 10x 10 x 10 x x 10 x x 10 0− + = ⇔ − − − =

( )( )10

10

10 10

x 10 x 1 0

x 10 0 ή x 1 0

x 10 ή x 1

x 10 ή x 1.

⇔ − − =

⇔ − = − =

⇔ = =

⇔ = = ±

288 Άλγεβρα Α΄ Λυκείου Ασκήσεις για Λύση


i) 3x 27 0 ii) 5 1x 0

32

iii) 3x 64 0 iv) 9x 1 0 v) 10x 1 0 vi) 4x 81 0.


i) 43x 81x 0 ii) 6 35x 40x 0 iii) 63x 10 0 iv) 6 22x 18x 0 v) 5 34x 28x 0 vi) 8 26x 30x 0.


i) 3x 1 125 ii) 7

2x 3 1 0

iii) 38 x 1 27 0 iv) 4

x 2 8 x 2 0

v) 27x x 4 63x 0 vi) 6 2

x 3 3 x 3 0.

38. Nα λύσετε την εξίσωση

4

3 3x 1 2 2 2 .


2 24 1 x x x 2x 1.


2 22x 1 2 2x 1 7 5x 7 5x 1 .


3x 1 x 1 16.

Eξισώσεις – Eξισώσεις 2ου βαθμού 289

Εξισώσεις 2ου Βαθμού Η Εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, με α ≠ 0 Ορισμός

● Η εξίσωση + + = ≠2αx βx γ 0, α 0 λέγεται εξίσωση 2ου βαθμού. ● Η παράσταση Δ = β2 – 4αγ λέγεται διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης.

Πρόταση Έστω η εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ με διακρίνουσα Δ = β2 – 4αγ.

● Αν Δ > 0, η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες − ±=1,2

β Δx2α

● Αν Δ = 0, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα −=0

βx2α

● Αν Δ < 0, η εξίσωση είναι αδύνατη στο .

Απόδειξη

● Έχουμε

2 2 β γαx βx γ 0 x x 0 (αφού α 0)α α

+ + = ⇔ + + = ≠

2

2 22

2 2

2 2

2

β γx xα α

β β γ βx 2x (συμπλήρωση τετραγώνου)2α 4α α 4α

β β 4αγx2α 4α

⇔ + = −

⇔ + ⋅ + = − +

− ⇔ + =

2

2

β Δx2α 4α

⇔ + =

(1)

● Αν Δ > 0, τότε έχουμε: β Δ β Δx ή x .2α 2α 2α 2α

+ = + = −

Δηλαδή β Δ β Δx ή x .

2α 2α− + − −

= =


Επομένως, η εξίσωση (1), άρα και η ισοδύναμη προς αυτή αρχική εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ , έχει δύο άνισες λύσεις (ρίζες), τις:

1 2

β Δ β Δx και x .2α 2α

− + − −= =

● Αν Δ = 0, η εξίσωση (1) γράφεται: 2β β βx 0 x x 0

2α 2α 2α + = ⇔ + + =

β βx 0 ή x 02α 2α

β βx ή x .2α 2α

⇔ + = + =

⇔ = − = −

Επομένως, η εξίσωση (1), άρα και η ισοδύναμη προς αυτή αρχική εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ ,

έχει δύο ίσες λύσεις, ή μία διπλή ρίζα, την 0

βx2α−

=

● Αν Δ < 0, η εξίσωση (1), άρα και η ισοδύναμη προς αυτή αρχική εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ , είναι αδύνατη στο .


Η εξίσωση 23x x 1 0− − = έχει διακρίνουσα

( ) ( )2Δ 1 4 3 1 13 0= − − ⋅ ⋅ − = > ,

οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις ( ) ( )

1 2

1 13 1 131 13 1 13x και x .2 3 6 2 3 6

− − + − − −+ −= = = =

⋅ ⋅

Η εξίσωση 24x 12x 9 0− + = έχει διακρίνουσα

( )2Δ 12 4 4 9 144 144 0= − − ⋅ ⋅ = − = ,

οπότε έχει μία ρίζα διπλή ( )

0

12 12 3x .2 4 8 2

− −= = =

⋅

Η εξίσωση 22x 4x 5 0− + = έχει διακρίνουσα

( )2Δ 4 4 2 5 16 40 24 0= − − ⋅ ⋅ = − = − < ,

και συνεπώς δεν έχει πραγματικές ρίζες.


Πρόταση

Αν η εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ έχει πραγματικές ρίζες 1 2x , x τότε για το

άθροισμα = +1 2S x x και το γινόμενο = ⋅1 2P x x των ριζών αυτών ισχύουν οι παρακάτω τύποι, που είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta.

και= + = − = ⋅ =1 2 1 2β γS x x P x xα α

.

Απόδειξη

Έχουμε:

● 1 2

β Δ β Δ 2β βS x x .2α 2α 2α α

− + − − −= + = + = = −

● ( ) ( ) ( )

222 2

1 2 2 2 2

β Δ β β 4αγβ Δ β Δ 4αγ γP x x .2α 2α 4α 4α 4α α

− − − −− + − −= ⋅ = ⋅ = = = =


Η εξίσωση 22x x 4 0− − = έχει διακρίνουσα

( ) ( )2Δ 1 4 2 4 33 0.= − − ⋅ ⋅ − = > Οπότε η εξίσωση 22x x 4 0− − = έχει δύο άνισες ρίζες με άθροισμα

1 2

β 1 1x xα 2 2

−+ = − = − = και γινόμενο 1 2

γ 4x x 2.α 2

−⋅ = = = −

Πρόταση

Η εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

− + =2x Sx P 0 όπου S και P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών αντίστοιχα.

Απόδειξη

Έχουμε

2 2 β γαx βx γ 0 x x 0 (αφού α 0)α α

+ + = ⇔ + + = ≠

2

2

β γx x 0α α

x Sx P 0.

⇔ − − + =

⇔ − + =



Έστω μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 2 και1 2− . Έχουμε

( )S 2 1 2 1= + − = και ( ) ( )2

P 2 1 2 2 2 2 2.= − = − = −

Άρα, η εξίσωση αυτή είναι η

( )2 2x Sx P 0 x x 2 2 0.− + = ⇔ − + − =

Εξισώσεις που Ανάγονται σε Εξισώσεις 2ου Βαθμού ● Όταν έχουμε κλασματική εξίσωση, βρίσκουμε αρχικά το σύνολο στο οποίο αυτή

ορίζεται. Δηλαδή, βρίσκουμε εκείνα τα x∈ για τα οποία οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διάφοροι του μηδενός. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.


Να λύσετε την εξίσωση 2

2

2x 3 x 4 .x 2 x x 2x

+− =

− −

Λύση

Η δοθείσα εξίσωση ορίζεται για κάθε x∈ τέτοιο, ώστε

( )2x 2 0, x 0 και x 2x x x 2 0.− ≠ ≠ − = − ≠

Δηλαδή, x 0 και x 2.≠ ≠

Για αυτά τα x έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

2x 3 x 4 2x 3 x 4x x 2 x x 2 x x 2x 2 x x 2x x 2 x x x 2

+ +− = ⇔ − − − = −

− − − −

( ) 2

2 2

2

x2x 3 x 2 x 4

2x 3x 6 x 4x 3x 2 0.

⇔ − − = +

⇔ − + = +

⇔ − + =

Η τελευταία εξίσωση είναι εξίσωση 2ου βαθμού η οποία έχει διακρίνουσα 2Δ ( 3) 4 1 2 1 0= − − ⋅ ⋅ = >

και ρίζες τους αριθμούς x = 1 και x = 2. Από αυτές, λόγω των περιορισμών δεκτή είναι μόνο η x = 1.


● Όταν έχουμε εξίσωση της μορφής + + = ≠4 2αx βx γ 0, με α 0 τότε λέμε ότι

έχουμε μία διτετράγωνη εξίσωση. Θέτοντας =2x ω η επίλυση της διτετράγωνης ανάγεται στην επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 2αω βω γ 0+ + = .


Να λύσετε την εξίσωση 4 2x 8x 9 0.− − =

Λύση

Θέτοντας 2x ω= , η δοθείσα εξίσωση γράφεται 2ω 8ω 9 0.− − = Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού η οποία έχει διακρίνουσα

2Δ ( 8) 4 1 ( 9) 64 36 100 0= − − ⋅ ⋅ − = + = > και ρίζες τους αριθμούς

( 8) 100 8 10 ( 8) 100 8 10ω 9 και ω 1.2 1 2 2 1 2

− − + + − − − −= = = = = = −

⋅ ⋅

Επομένως, 2 2x 9 x 3 ή x 1, αδύνατη.= ⇔ = ± = −

Άρα, οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης είναι οι αριθμοί 3 και – 3. ● Όταν έχουμε εξίσωση η οποία έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή

[ ] [ ]+ + = ≠2α Α(x) β Α(x) γ 0, με α 0 τότε, για την επίλυσή της θέτουμε =Α(x) ω και οδηγούμαστε στην επίλυση της

δευτεροβάθμιας εξίσωσης 2αω βω γ 0+ + = .


Να λύσετε την εξίσωση 2x 9 | x | 20 0− + = .

Λύση Επειδή 2 2x | x |= η δοθείσα εξίσωση γράφεται 2| x | 9 | x | 20 0− + = . Θέτοντας | x | ω= , η παραπάνω εξίσωση γράφεται

2ω 9ω 20 0− + = . Οπότε, έχουμε:

2ω 9ω 20 0 ω 4 ή ω 5− + = ⇔ = =

| x | 4 ή | x | 5x 4 ή x 5.

⇔ = =⇔ = ± = ±

Άρα, οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης είναι οι αριθμοί 4, – 4, 5 και – 5.


Λυμένες Ασκήσεις 21. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i) 2x 5x 6 0− + = ii) 2x 10x 25 0− + =

iii) 2x 4x 5 0.+ + = Λύση

i) Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα

( )2Δ 5 4 1 6 1 0.= − − ⋅ ⋅ = >

Άρα, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες

( )1,2

5 1x .

2 1− − ±

=⋅

Δηλαδή,

1

5 1x 32+

= = και 2

5 1x 2.2−

= =

ii) Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού με

διακρίνουσα

( )2Δ 10 4 1 25 0= − − ⋅ ⋅ =

Άρα, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, την

( )10x 5.

2− −

= =

iii) Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού με

διακρίνουσα 2Δ 4 4 1 5 4 0= − ⋅ ⋅ = − < .

Άρα, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Σημειώσεις Το πλήθος των ριζών της εξί-σωσης

+ + = ≠2αx βx γ 0, α 0

εξαρτάται από την αλγεβρική παράσταση

= −2Δ β 4αγ

η οποία ονομάζεται διακρίνου-σα της εξίσωσης. Συγκεκρι-μένα:

● Αν Δ 0 , τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, τις

− ±=1,2

β Δx .2α

● Αν Δ 0, τότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, την

−=

βx .2α

● Αν Δ 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο .


22. Δίνεται η εξίσωση 21 x 4x 3 7 0.

2− + =

i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει διακρίνουσα

( )2Δ 3 7 .= −

ii) Nα λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Λύση

i) Έχουμε

( )2 1Δ 4 4 3 72

= − − ⋅ ⋅ 16 6 7.= −


( ) ( )2 223 7 3 2 3 7 7− = − ⋅ ⋅ + 9 6 7 7= − + 16 6 7.= −

Επομένως,

( )2

Δ 3 7 .= −


( )2

Δ 3 7 0.= − >

Άρα, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες

( ) ( )2

1,2

4 3 7x

122

− − ± −=

⋅( )4 3 7 4 3 7= ± − = ± − .

Δηλαδή,

( )1x 4 3 7 7 7= + − = −

και

( )2x 4 3 7 1 7.= − − = +



( )2 2αx α 1 x α 0,+ − − = με α 0≠ .

i) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι

( )22Δ α 1 .= +

ii) Να βρείτε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης. Λύση

i) Έχουμε ( ) ( )22Δ α 1 4 α α= − − ⋅ ⋅ − 4 2 2α 2α 1 4α= − + +

4 2α 2α 1= + + ( )22α 1 .= +


( )22Δ α 1 0= + > για κάθε α 0.≠

Επομένως, η δοθείσα εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες

( ) ( )22 2

1,2

α 1 α 1x

2α

− − ± +=

( )2 2α 1 α 1.

2α− + ± +

=

Δηλαδή,

2 2

1

α 1 α 1 2 1x2α 2α α

− + + += = =

και

2 2 2

2

α 1 α 1 2αx α.2α 2α

− + − − −= = = −

24. Δίνεται η εξίσωση + + − = ∈2x λx λ 1 0, λ .

i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα για κάθε ∈λ .

ii) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η παραπάνω εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. Ποια είναι η ρίζα αυτή;


Λύση

i) Η δοθείσα εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα

( )2Δ λ 4 λ 1= − −

2λ 4λ 4= − +

( )2λ 2 0= − ≥ για κάθε λ .∈

Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα για κάθε λ .∈ ii) H εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

Δ 0= ( )2λ 2 0⇔ − = λ 2.⇔ = Η ρίζα αυτή είναι

2x 1.2−

= = −


( ) ( ) ( ) 2 2 2 2α 1 x 2 αβ γ x β γ 0 με α, β, γ .+ + + + + = ∈

Να αποδείξετε ότι: i) η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι

( )2Δ 4 β αγ= − − για κάθε α, β, γ∈ ii) αν η παραπάνω εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες 1 2x , x , τότε

1 2x x .=

Λύση

i) Έχουμε ( ) ( )( )2 2 2 2Δ 4 αβ γ 4 α 1 β γ= + − + +

( ) ( )( )2 2 2 24 αβ γ α 1 β γ = + − + +

( )2 2 2 2 2 2 2 2 24 α β 2αβγ γ α β α γ β γ= + + − − − −

( )2 2 24 β 2αβγ α γ= − + −

( ) ( )224 β 2β αγ αγ = − − +

( )24 β αγ .= − −

Σχόλιο Αρκεί να αποδείξουμε ότι

Δ 0 για κάθε λ .


ii) Αποδείξαμε ότι ( )2Δ 4 β αγ 0= − − ≤

Όμως, η δοθείσα εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες 1 2x , x και συνεπώς

Δ 0≥ . Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι

Δ 0.= Δηλαδή,

1 2x x .= 26. Δίνεται η εξίσωση

( ) ( ) 2x 3 λ 1 x λ 2 0, λ .+ + + + = ∈ i) Να βρείτε τις τιμές του λ, για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

έχει μία διπλή ρίζα. ii) Για λ 1= να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Λύση

i) Η δοθείσα εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα

( ) ( )2

Δ 3 λ 1 4 λ 2 = + − +

( ) ( )23 λ 1 4 λ 2= + − +

( ) ( )23 λ 2λ 1 4 λ 2= + + − + 23λ 6λ 3 4λ 8= + + − − 23λ 2λ 5.= + −

Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα, αν και μόνο αν ισχύει η σχέση 2Δ 0 3λ 2λ 5 0= ⇔ + − = (1) Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα

( )2Δ 2 4 3 5 64 0′ = − ⋅ ⋅ − = > .

Άρα, η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες

1,2

2 64 2 8λ .2 3 6

− ± − ±= =

⋅

Δηλαδή, 5λ 1 ή λ .3

= = −

Σημείωση Η εξίσωση

2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ έχει δύο ίσες ρίζες ή μια διπλή ρίζα, αν και μόνο αν

Δ 0.=


ii) Για λ 1= , η δοθείσα εξίσωση γράφεται 2x 2 3x 3 0.− + =

Και σύμφωνα με το ερώτημα i) η εξίσωση αυτή έχει διπλή ρίζα, την

( )0

2 3x 3.

2

− −= =

27. Να βρείτε την εξίσωση 2ου βαθμού, η οποία έχει ρίζες τους

αριθμούς

2 3− και 2 3.+ Λύση

α΄ τρόπος:

Έχουμε

( ) ( )S 2 3 2 3 4= − + + =

και

( )( ) ( )22P 2 3 2 3 2 3 1.= − + = − =

Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι 2x Sx P 0− + =

δηλαδή 2x 4x 1 0− + = .

β΄ τρόπος:

Η ζητούμενη εξίσωση είναι η

( ) ( )x 2 3 x 2 3 0 − − ⋅ − + =

( ) ( ) ( )( )2x 2 3 x 2 3 x 2 3 2 3 0⇔ − + − − + − + =

( ) ( )22 2x 2 3 2 3 x 2 3 0⇔ − + + − + − =

2x 4x 1 0.⇔ − + =

Σημείωση Έστω ότι η εξίσωση

2αx βx γ 0, α 0 έχει δύο ρίζες, 1 2x , x . Αν

1 2S x x και 1 2P x x , τότε ισχύουν οι τύποι

= −βSα

και =γΡα

που είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. Aξιοποιώντας τους τύπους του Vieta, η αρχική εξίσωση μετα-σχηματίζεται στην ισοδύναμή της

− + =2x Sx P 0.



( )2 2 2 2 2x α β x α β 0,+ − − =

με α 0 και β 0.≠ ≠ i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x , x

με 1 2x x για κάθε α,β * .≠ ∈ ii) Nα εκφράσετε συναρτήσει των α και β τις παραστάσεις

1 2 1 2x x και x x .+ ⋅ iii) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού, η οποία έχει ρίζες

τους αριθμούς

1 21 2

1 1ρ και ρ .x x

= =

Λύση

i) Η δοθείσα εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα ( ) ( )22 2 2 2Δ α β 4 α β= − − −

4 2 2 4 2 2α 2α β β 4α β= − + + 4 2 2 4α 2α β β= + +

( )22 2α β 0= + > για κάθε α, β *.∈

Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες 1 2x , x .

ii) Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε

( )2 2 2 2 2 21 2 1 2x x α β β α και x x α β .+ = − − = − = −

iii) Oι ρίζες 1 2ρ και ρ έχουν άθροισμα 2 2 2 2

1 21 2 2 2 2 2

1 2 1 2

x x1 1 β α α βS ρ ρx x x x α β α β

+ − −= + = + = = =

−

και γινόμενο

1 2 2 2 2 21 2 1 2

1 1 1 1 1P ρ ρ .x x x x α β α β

= ⋅ = ⋅ = = = −−

Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι 2 2

2 22 2 2 2

α β 1x Sx P 0 x x 0α β α β−

− + = ⇔ − − =

( )2 2 2 2 2α β x β α x 1 0.⇔ + − − =


29. Δίνεται η εξίσωση ( ) + + − = ∈2 2x 3λx λ 1 0, λ .

i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε ∈λ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

ii) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να υπολογίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες:

α) ισχύει η σχέση + =2 21 2x x 9

β) οι αριθμοί 1 2x , x να είναι αντίστροφοι μεταξύ τους.

Λύση

i) Έχουμε

( ) ( )2 2 2 2Δ 3λ 4 1 λ 1 9λ 4λ 4= − ⋅ ⋅ − = − +

25λ 4 0= + > για κάθε λ .∈ Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, για κάθε λ∈ . ii) α) Έχουμε

( )22 21 2 1 2 1 2x x 9 x x 2x x 9+ = ⇔ + − =

2S 2P 9⇔ − = (1) Όμως, σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε

S 3λ= − και 2Ρ λ 1= − . Οπότε, η εξίσωση (1) γράφεται

( ) ( )2 2 2 2

2

2

3λ 2 λ 1 9 9λ 2λ 2 9

7λ 7λ 1λ 1 ή λ 1.

− − − = ⇔ − + =

⇔ =

⇔ =⇔ = = −

β) Οι αριθμοί 1 2x , x είναι αντίστροφοι μεταξύ τους αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

2 21 2x x 1 P 1 λ 1 1 λ 2

λ 2 ή λ 2.

⋅ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

⇔ = = −


30. Δίνεται η εξίσωση ( )( ) x α x β 1 με α, β .+ + = ∈

i) Nα αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες για κάθε α, β∈ .

ii) Aν για τις ρίζες 1 2x , x της παραπάνω εξίσωσης ισχύουν οι σχέσεις

1 2 1 2x x 4 και x x 22+ = − = −

να βρείτε τις τιμές των αριθμών α και β. Λύση

i) Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

( )( )( ) ( )

2

2

x α x β 1 x βx αx αβ 1

x α β x αβ 1 0.

+ + = ⇔ + + + =

⇔ + + + − =

Η τελευταία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα ( ) ( )

( )

2

2 2

2 2

2

Δ α β 4 αβ 1

α 2αβ β 4αβ 4α 2αβ β 4

α β 4 0 για κάθε α,β .

= + − −

= + + − +

= − + +

= − + > ∈

Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες για κάθε α,β∈ .

ii) Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε ( )1 2x x α β+ = − + και 1 2x x αβ 1= − .

Όμως, 1 2x x 4+ = − και 1 2x x 22.= −

Επομένως, α β 4+ = και αβ 21.= −

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί α και β έχουν άθροισμα S 4= και γινόμενο P 21.= − Άρα, οι αριθμοί αυτοί είναι οι ρίζες της εξίσωσης

2 2x Sx P 0 x 4x 21 0− + = ⇔ − − =

Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα Δ 100= και ρίζες τους αριθμούς 3− και 7.

Άρα, α 3= − και β 7= ή α 7 και β 3.= = −


31. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) 4 2x 10x 9 0− + = ii) 4 2x 2x 8 0.+ − =

Λύση

i) Θέτουμε 2x y,

οπότε η δοθείσα εξίσωση γράφεται

2y 10y 9 0. Έχουμε

( )2Δ 10 4 9 64 0= − − ⋅ = > . Επομένως, η παραπάνω εξίσωση έχει δύο

πραγματικές ρίζες

( )

1,2

10 64 10 8y .2 2

− − ± ±= =

Δηλαδή, 1y 1 και 2y 9.

Έχουμε λοιπόν 2x 1 ή 2x 9 x 1⇔ = ± ή x 3.

Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 1, 1, 3 και 3.

ii) Θέτουμε 2x y,

οπότε η δοθείσα εξίσωση γράφεται 2y 2y 8 0.

Η εξίσωση αυτή έχει δύο πραγματικές ρίζες

1,22 36 2 6y .

2 2

Δηλαδή,

1y 4 και 2y 2.

Έχουμε λοιπόν 2x 4 , αδύνατη ή 2x 2 x 2.⇔ = ±


2 και 2.

Σημείωση Κάθε εξίσωση της μορφής

+ + =4 2αx βx γ 0 με ≠α 0

ονομάζεται διτετράγωνη. Θέτοντας

=2x y

η επίλυσή της ανάγεται στην επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

2αy βy γ 0.



( )4 2x αx α 1 0,− − + = με α 0≠ .

η οποία έχει ρίζα τον αριθμό 2. i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Nα λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Λύση

i) Η δοθείσα εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 2. Δηλαδή, ο αριθμός 2 την επαληθεύει. Έχουμε λοιπόν

( )4 22 α 2 α 1 0− ⋅ − + =

16 4α α 1 0⇔ − − − =

5α 15⇔ − = −

α 3.⇔ = ii) Αντικαθιστώντας την τιμή του α που βρήκαμε στο ερώτημα i) η δοθείσα εξίσωση

γράφεται 4 2x 3x 4 0.

Θέτουμε 2x y

και η εξίσωση γίνεται

2y 3y 4 0 ( )3 25 3 5y .2 2

− − ± ±⇔ = =

y 4⇔ = ή y 1.

Έχουμε λοιπόν 2x 4 ή 2x 1 , αδύνατη.

Δηλαδή, x 2.


Σημείωση

Ένας αριθμός είναι ρίζα μιας εξίσωσης αν και μόνο αν την επαληθεύει.


33. Να λύσετε την εξίσωση 2x 3 x 2 0.− + =

Λύση

Γνωρίζουμε ότι 22x x για κάθε x .

Επομένως, η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται 2x 3 x 2 0.

Θέτουμε

x ω , οπότε η εξίσωση

2x 3 x 2 0 γράφεται

2ω 3ω 2 0.

Η τελευταία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα

( )2Δ 3 4 2 1 0= − − ⋅ = > .

Άρα, έχει δύο πραγματικές ρίζες

( )1,2

3 1 3 1ω2 2

− − ± ±= = .

Δηλαδή,

1ω 1 και 2ω 2.

Επομένως,

x 1 ή x 2

και τελικά

x 1 ή x 1 ή x 2 ή x 2 .


1, 1, 2 και 2.

Σχόλιο Παρατηρούμε ότι

= 22x x

και συνεπώς η δοθείσα εξίσωση είναι 2ου βαθμού ως προς x το οποίο για λόγους απλότητας θέ-τουμε π.χ. ω.


34. Να λύσετε την εξίσωση ( )2x 4 3 x 4 10 0.− + − − =

Λύση

Θέτουμε x 4 ω,

οπότε η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται 2x 4 3 x 4 10 0

2ω 3ω 10 0.⇔ + − =

Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα

( )2Δ 3 4 10 49 0.= − ⋅ − = > Άρα, έχει δύο πραγματικές ρίζες

1,23 49 3 7ω

2 2

.

Δηλαδή,

1ω 2 και 2ω 5. Επομένως,

x 4 2 ή x 4 5, αδύνατη

x 4 2⇔ − =

x 4 2⇔ − = ή x 4 2− = −

x 6⇔ = ή x 2.=



i) 4x 5x

+ = ii) 24 4x 10 x 25 0.

x x + − + + =

Σχόλιο Η παρατήρηση ότι

( ) 22x 4 x 4− = −

και στη συνέχεια η εισα-γωγή του βοηθητικού άγνωστου

ω x 4

διευκολύνει την επίλυση της εξίσωσης.


Λύση

i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0.

Με αυτό τον περιορισμό έχουμε 4x 5x

+ = 2x 4 5x⇔ + = 2x 5x 4 0.⇔ − + =

Έχουμε

( )2Δ 5 4 4 9 0.= − − ⋅ = >

Άρα, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

( )1,2

5 9 5 3x .2 2

− − ± ±= =

Δηλαδή,

1x 1= και 2x 4.=

ii) H εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0.

Με αυτό τον περιορισμό θέτουμε 4x ωx

και η δοθείσα εξίσωση γράφεται

2ω 10ω 25 0 ( )2ω 5 0⇔ − =

ω 5.⇔ = Δηλαδή, η δοθείσα εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

4x 5x

η οποία σύμφωνα με το ερώτημα i) έχει ακριβώς δύο λύσεις. Τους αριθμούς 1 και 4.


( ) ( )22 2x 3x 3 8 x 3x 17 0.− + − − − =

Σχόλιο Aν θέσουμε

4x ω,x

+ =

τότε η επίλυση της εξίσω-σης ανάγεται στην επίλυση μιας απλής εξίσωσης 2ου βαθμού.


Λύση

Θέτουμε 2x 3x 3 ω,− + =

οπότε 2x 3x ω 3− = −

και συνεπώς η δοθείσα εξίσωση γράφεται ( )2 2ω 8 ω 3 17 0 ω 8ω 7 0− − − = ⇔ − + = .

Η παραπάνω εξίσωση έχει διακρίνουσα ( )2Δ 8 4 1 7 36 0.= − − ⋅ ⋅ = >

Άρα, η εξίσωση αυτή έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες

1,2

8 36 8 6ω .2 2

± ±= =

Δηλαδή, ω 1 και ω 7.= =

● αν ω 1,= τότε 2 2x 3x 3 1 x 3x 2 0 x 1 ή x 2− + = ⇔ − + = ⇔ = =

● αν ω 7,= τότε 2 2x 3x 3 7 x 3x 4 0 x 1 ή x 4.− + = ⇔ − − = ⇔ = − =

Άρα, οι λύσεις της δοθείσας εξίσωσης είναι οι αριθμοί 1, 1, 2 και 4.−


( ) ( )10 52x 1 31 2x 1 32.+ = + + Λύση

Θέτουμε ( )52x 1 ω,+ =

οπότε η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

( ) ( )25 5 22x 1 31 2x 1 32 0 ω 31ω 32 0. + − + − = ⇔ − − =


Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα ( ) ( )2 2Δ 31 4 32 1089 33 0.= − − ⋅ − = = >

Άρα, έχει δύο πραγματικές ρίζες 2

1,2

31 33 31 33ω .2 2

± ±= =

Δηλαδή, 1ω 32= και 2ω 1= − .

Επομένως, ( )52x 1 32+ = ή ( )52x 1 1+ = −

( )5 52x 1 2⇔ + = ή ( ) ( )5 52x 1 1+ = −

2x 1 2⇔ + = ή 2x 1 1+ = − 2x 1⇔ = ή 2x 2= −

1x2

⇔ = ή x 1.= −

Άρα, οι λύσεις της δοθείσας εξίσωσης είναι οι αριθμοί 12

και 1.−

38. i) Nα αποδείξετε την ισοδυναμία:

( )33 3α β α β α 0+ = + ⇔ = ή β 0= ή α β 0+ = .

ii) Nα λύσετε την εξίσωση

( ) ( ) ( )3 332 2x 3x 2 3x 1 x 1 .− + + − = +

Λύση i) Έχουμε

( )( )

33 3 3 3 3 2 2 3α β α β α β α 3α β 3αβ β

0 3αβ α βα 0 ή β 0 ή α β 0.

+ = + ⇔ + = + + +

⇔ = +

⇔ = = + =


( ) ( )2 2x 3x 2 3x 1 x 1− + + − = + .


Οπότε, θέτοντας 2α x 3x 1= − + και β 3x 1= − η δοθείσα εξίσωση γράφεται

( )33 3α β α β .+ = +

Η τελευταία, με βάση το ερώτημα i), ισοδύναμα γράφεται α 0 ή β 0 ή α β 0.= = + =

Δηλαδή

2x 3x 2 0− + = ή 3x 1 0− = ή 2x 1 0,+ = αδύνατη

2x 3x 2 0⇔ − + = ή 3x 1=

x 1⇔ = ή x 2= ή 1x .3

=

39. i) Aν 3x ωx

− = να αποδείξετε ότι

2 22

9x ω 6x

+ = + .

ii) Δίνεται η εξίσωση 4 3 2x x 12x 3x 9 0− − + + = (1) α) Να αποδείξετε ότι x 0.≠ β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμη με την

εξίσωση

22

9 3x x 12 0xx

+ − − − =

.

γ) Να λύσετε την εξίσωση (1).

Λύση

i) Έχουμε 3x ωx

− =

Οπότε

2 2

2 2 23 3 3x ω x 2 x ωx x x

− = ⇔ − ⋅ ⋅ + =

2 2 2 22 2

9 9x 6 ω x ω 6.x x

⇔ − + = ⇔ + = +


ii) α) Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι x 0.= Δηλαδή ότι ο αριθμός 0 είναι ρίζα της εξίσωσης (1). Τότε έχουμε

4 3 20 0 12 0 3 0 9 0 9 0− − ⋅ + ⋅ + = ⇔ =

που είναι αδύνατο. Επομένως,

x 0.≠ β) Διαιρώντας τα δύο μέλη της εξίσωσης (1) με 2x 0≠ , η εξίσωση αυτή


4 3 2

2 2 2 2 2

x x 12x 3x 9 0x x x x x

− − + + =

22

3 9x x 12 0x x

⇔ − − + + =

22

9 3x x 12 0x x

⇔ + − − − =

(2)

γ) Θέτουμε 3x ω.x

− =

Τότε, λόγω του ερωτήματος i) έχουμε 2 2

2

9x ω 6.x

+ = +

Οπότε, η εξίσωση (2) γράφεται 2 2ω 6 ω 12 0 ω ω 6 0+ − − = ⇔ − − = ω 2⇔ = − ή ω 3.= ● Για ω 2= − έχουμε

23x 2 x 3 2xx

− = − ⇔ − = −

2x 2x 3 0⇔ + − = x 1 ή x 3⇔ = = − ● Για ω 3= έχουμε

2 23x 3 x 3 3xx

− = ⇔ − =

2x 3x 3 0⇔ − − =

3 21 3 21x ή x2 2

+ −⇔ = =

Άρα, η εξίσωση (1) έχει τέσσερις ρίζες, τους αριθμούς 3 21 3 213, , 1, .

2 2− +

−




i) 2x 4x 0− = ii) 22x x 15 0+ − =

iii) 25y 18y 8 0− − = iv) 2ω 6ω 7 0− + = .


i) 21 x 5x 1 02

− + + = ii) ( )2x 2 3 x 6 0+ + + = .


i) ( ) ( )2 2x 1 x 2 10x 3+ + + = + ii) ( )2 2x 2 2x 4x 7− + = +

iii) ( ) ( ) ( )2 2 2x 1 x 2 x 3 4x− + + = + − iv) ( ) ( )2 22x 3 x x 2 3x 4.− + = − − +

45. i) Να υπολογίσετε το ανάπτυγμα του ( )2

3 2 5 .−

ii) Nα λύσετε την εξίσωση 2x 5x 3 5 1.+ + =

46. Για κάθε α∈ να λύσετε τις εξισώσεις:

i) 2 2x 2αx α 1 0− + − = ii) ( ) ( )2 2x 3α 2 x 2α 3α 1 0.− + + + + =

47. Για κάθε α, β∈ να λύσετε τις εξισώσεις:

i) ( ) ( )2 2 2x 2 α β x α 2αβ 3β 0− + + + − =

ii) 2 2 2x 4αx 3α 2αβ β 0.− + − − =

48. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ∈ οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές

ρίζες: i) 2x λx λ 1 0− + − = ii) 2 22x λx λ 0+ − =

iii) ( )2x 2x λ λ 2 0− − − = iv) 2 2x 2λx λ 1.+ + =


49. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2 2 2x 2λx λ μ ν 2μν 0− + − − + = με λ, μ, ν∈

έχει μία, τουλάχιστον, πραγματική ρίζα.

50. Να βρείτε τις τιμές του μ∈ για τις οποίες η εξίσωση 2x 2μx 3μ 2 0− + − = έχει

διπλή ρίζα. 51. Αν η εξίσωση

2αx 2βx γ 0+ + =

έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, να αποδείξετε ότι και η εξίσωση

( )22 2β x αγ x 1 αγ 1− − + =

έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

52. Δίνεται η εξίσωση ( )2λx 2 λ 1 x λ 2 0, λ+ − + − = ∈ (1)

i) Να λύσετε την εξίσωση (1) όταν λ 0.= ii) Αν λ 0,≠ τότε: α) να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β) να βρείτε τις ρίζες 1 2x , x γ) να προσδιορίσετε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση

1 2x x 1.− =


( )2 2 22αx 4α x α 1 0− + − = ,

για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α∈ .

54. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ∈ για τις οποίες η εξίσωση

( ) ( )23x 8 κ 3 x 5 λ 2 0+ − + − =

έχει μοναδική ρίζα το μηδέν.



( ) ( )2 2λ 3λ 2 x λ 2 x 3 0, λ .− + + − + = ∈

Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει μία διπλή ρίζα.


( )3 2A x x 6x 11x 6 , x .= + + + ∈

i) Nα αποδείξετε ότι ( )( )( )A x x 1 x 2 x 3= + + + για κάθε x .∈

ii) Nα λύσετε την εξίσωση ( )( )A x 2 x 3 .= + +


( )( )4 2 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 .+ = − + + +

ii) Να λύσετε την εξίσωση

( )4 2x 1 5 x 2x 1 .+ = − +

58. Δίνονται οι εξισώσεις

2αx βx γ 0+ + = (1)

και

2γx βx α 0+ + = (2)

με αγ 0.≠

Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (1), να αποδείξετε ότι: i) ρ 0≠

ii) ο αριθμός 1ρ

είναι ρίζα της εξίσωσης (2).


( )2x κ λ x κ 0− + + =

έχει διπλή ρίζα τον αριθμό 3, να βρείτε τους αριθμούς κ και λ.


60. Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων, χωρίς να τις λύσετε:

i) 24x 4x 1 0− + − = ii) 216x 1 0− =

iii) 22x 7x= iv) ( ) 22 1 x x 0.− − =

61. Να βρείτε την εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς: i) 1 και 4 ii) 2− και 5

iii) 3 2− και 3 2+ iv) 1 3+ και 4 3.−

62. Aν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x 1 0,− − = να υπολογίσετε τις τιμές

των παραστάσεων: i) 2 2

1 2A x x= + ii) 3 31 2B x x= +

iii) 2 21 2

1 1Γx x

= + iv) 2 21 2 1 2Δ x x x x .= +

63. Aν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x x 1 0− + + = , να υπολογίσετε την τιμή

της παράστασης

1 2

1 1A .3x 1 3x 1

= ++ +

64. Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x 7 0+ − = , να βρείτε τις εξισώσεις που

έχουν ρίζες τα παρακάτω ζεύγη αριθμών: i) 1 2x 2, x 2+ + ii) 1 22x , 2x− −

iii) 1 2λx , λx iv) 2 21 2 1 2x x , x x .


2x λx 1 0, λ+ − = ∈ .

i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε λ∈ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

ii) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

α) 1 2x x+ β) 1 2x x

γ) 2 21 2x x+ δ) 2 2

1 2 2 1x x x x .+


66. Δίνεται η εξίσωση 2x λx λ 1 0, λ 2.+ + − = ≠

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες 1 2x , x για κάθε λ 2.≠

ii) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2x x , x x και x x x x .+ + iii) Να βρείτε τις τιμές του λ∈ για τις οποίες ισχύει η σχέση

2 21 2 1 23x 3x x x 2λ 3.+ = − −


2 5x x λ 1 0, λ4

+ + − = < .

i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x , x πραγματικές και άνισες.

ii) Nα βρείτε την τιμή του λ για την οποία ισχύει η σχέση

( )1 2 1 2x x 3 x x 5 0.+ + + =

68. Έστω κ, λ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν

κ λ 2+ = − και 3 3κ λ 26+ = − .

i) Να αποδείξετε ότι κ λ 3⋅ = − . ii) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς κ, λ και να

τους βρείτε.


( )2x P 1 x S 3 0− + − + =

όπου S, P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της αντίστοιχα. 70. Δίνεται η εξίσωση

( )2x λ 1 x λ 3 0.− − + − =

i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες για κάθε λ∈ .

ii) Αν 1 2x , x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε την τιμή του λ, ώστε 3 31 2x x 8.= −


71. Δίνεται η εξίσωση ( )2x 3κ 5λ x 2λ 0− + + =

με κ, λ∈ και λ 0.≠ Να βρείτε τις τιμές των αριθμών κ και λ αν αυτοί είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.

72. Έστω 1 2x , x δύο θετικοί αριθμοί οι οποίοι είναι ρίζες της εξίσωσης 2x αx β 0.− + =

i) Να αποδείξετε ότι α 0> και β 0.>

ii) Να βρείτε συναρτήσει των α, β την τιμή της παράστασης

1 2

1 1x x

+ .

iii) Αν επιπλέον ισχύει 2 1x 2x ,= να αποδείξετε ότι 22α 9β.=


i) 26x x 1 0+ − = ii) ( )2x 1 x 1 2 0+ + + − = .


Α x 3= − και B 2x 3 1.= − −

Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 2A 2x= ii) 2B x 1= − iii) 2A A 2 0− − = iv) 2B 2B 8.− =


i) 23x 2 3x 22 5 3 0

x 3 x 3+ + − + = − −

ii) 2 6x 12x 24 4 0

x 3 x 3−− − − = − −

.


i) ( )22 2x x 1 3 x x 1 4+ − + + − = ii) ( ) ( )22 2x 3x 1 4 x 3x 1.− − + − =



i) 2

2 2 3 2

7 8 x 10x 5x 1 x 2x 1 x x x 1

+ ++ =

− − + − − +

ii) 2 3 2 2

1 3 xx 2x 1 x 2x x 2x 2x

+ =+ + + + +

iii) 2 2 2

2 1 x 4 0.x 4 2x x x 2x

−+ + =

− − +

78. Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα της εξίσωσης 10 5x x α 0+ + = με α∈ ,

τότε: i) να βρείτε την τιμή του α ii) να λύσετε την εξίσωση. 79. Να λύσετε στο διάστημα ( )2,+∞ την εξίσωση

( )33 2

22

x 2 x 6x 92 21 xx 2x 1

− + +− =

−− +.


2x 1 6 α 9 α ,− + = + με α∈

η οποία έχει ρίζα τον αριθμό x 1= . i) Nα βρείτε τις τιμές του α. ii) Nα λύσετε την παραπάνω εξίσωση.


( ) ( )4 4 2 3 23x κ 2κ 1 x 3κ 2 x 2 0,+ − + − + − = με κ∈ .

i) Nα βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες η εξίσωση είναι διτετράγωνη. ii) Για τη μεγαλύτερη από τις τιμές του κ που βρήκατε στο προηγούμενο

ερώτημα, να λύσετε τη δοθείσα εξίσωση.


( ) ( )4 2x 3 8 x 6x 9 16 0.− − − + + =



( )2 1 12x 1 x 0.2 2

− − − − =


2μx 9x 4μ 0, μ 0.− + = ≠

i) Να αποδείξετε ότι αν 9μ ,4

< τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές

και άνισες. ii) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, όταν μ 2.= iii) Να βρείτε την τιμή του μ, αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι το 1.−

iv) Να λύσετε την εξίσωση 22 22 x 9 x 4 2 0.

x x + − + + =

85. Το εξώφυλλο ενός βιβλίου είναι ορθογώνιο και έχει διαστάσεις

x 1− και x 6 cm.+ i) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του εξωφύλλου του βιβλίου

ως συνάρτηση του x. ii) Αν το εμβαδόν του εξώφυλλου είναι 408 2cm , να υπολογίσετε τις

διαστάσεις του.


( )2λx λ 1 x 1 0, λ 1.− + + = >

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες θετικές. ii) Έστω 1 2x , x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης. Αν οι ρίζες 1 2x , x

αποτελούν τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου, να υπολογίσετε την περίμετρο Π και το εμβαδόν Ε αυτού του ορθογωνίου, συναρτήσει του λ.

iii) Nα αποδείξετε ότι Π Ε λ.− > −


2x αx 2 0, α .+ − = ∈ i) Να αποδείξετε ότι για κάθε α ,∈ η δοθείσα εξίσωση έχει δύο άνισες

πραγματικές ρίζες 1 2x , x .

ii) Αν επιπλέον ισχύει 1 2x x 3α 0− = < να βρείτε τις ρίζες 1 2x , x και την τιμή του α.


88. Δίνεται η εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ για την οποία ισχύει η σχέση

α β γ 0.4 2+ + =

i) Να αποδείξετε ότι 2β 4αγ≥ . ii) Αν επιπλέον ισχύει 3α 2β 0,+ = να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.

89. i) Να αποδείξετε την ισοδυναμία:

( )22 2α β α β α 0 ή β 0+ = + ⇔ = = .


( ) ( ) ( )2 2 22 2 2x 3x 2 x 6x 8 2x 9x 10 .− + + − + = − +

90. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν α, β με α β∈ ≠ τέτοιοι, ώστε

81 81α β 19.α β

+ = + =

Στη συνέχεια να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων 2 2

2 2

α β α βΑ 2 και Β 2.β α β α

= + + = + +

91. Αν η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης

( )x 32 x 31− =

επαληθεύει την εξίσωση

( ) ( )2 2 2λ x 4μ 2λ x 2λμ x λ 0+ + + + + = ,

να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ.

92. Αν για τους συντελεστές α, β, γ∈ της εξίσωσης

2αx βx γ 0+ + =


αβ 0≠ και α γ α γ ,− = +

να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.



( )239x λ 1 x λ 3 0, λ+ − + − = ∈ .

η οποία έχει ρίζα τον αριθμό 1x 2= − .

i) Nα βρείτε την τιμή του λ. ii) Να λύσετε την εξίσωση. 94. Δίνεται η εξίσωση

2x αx 3 0, α+ − = ∈ .

i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες για κάθε α∈ .

ii) Aν η μία ρίζα της εξίσωσης ισούται με το τριπλάσιο του τετραγώνου της άλλης, να βρείτε:

α) τις ρίζες της εξίσωσης

β) την τιμή του α.


2x αx β 1 0+ + − = και 2x βx α 1 0+ + − = με α β≠ . Να αποδείξετε ότι: i) οι παραπάνω εξισώσεις δεν μπορεί να είναι συγχρόνως αδύνατες ii) αν οι παραπάνω εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα, τότε α β 0.+ =


22011x 2011x 502 0− + = . Να αποδείξετε ότι:

i) η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες 1x , 2x

ii) 1 2x x 1+ =

iii) 10 x 1< < και 20 x 1< <

iv) 2 21 2 2 1x 4x x 4x 3+ + + = .


97. Δίνεται η εξίσωση 225x 35x 12 0.− + =

Να αποδείξετε ότι: i) η δοθείσα εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες 1 2x x .≠

ii) 2 21 2x x 1+ = .

ii) για κάθε ν∈ με ν 3≥ ισχύει ν ν1 2x x 1.+ <

Eρωτήσεις Θεωρίας

1. Τι ονομάζουμε λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης;

2. Τι γνωρίζετε για τις λύσεις της εξίσωσης αx β 0+ = με α,β∈;

3. Αν ο ν είναι περιττός αριθμός, ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης νx α,= όταν α 0> και όταν α 0;<

4. Αν ο ν είναι άρτιος αριθμός, τι γνωρίζετε για τις λύσεις της εξίσωσης νx α,= όταν α 0> και όταν α 0;<

5. Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ν νx α= όταν ο ν είναι περιττός και ποιες όταν ο ν είναι άρτιος;

6. Τι ονομάζουμε εξίσωση 2ου βαθμού και τι διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης;

7. Έστω η εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ με διακρίνουσα Δ 0.> Να αποδείξετε

ότι η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες, 1,2

β Δx .2α

− ±=

8. Αν S και Ρ το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ να αποδείξετε ότι

βSα

= − και γΡ .α

=

9. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 2x Sx P 0− + = , όπου S και Ρ το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της αντίστοιχα.

Eξισώσεις 323

Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

1. Η εξίσωση αx β 0+ = έχει ακριβώς μία λύση αν και μόνο αν α 0.≠ Σ Λ

2. Η εξίσωση νx α,= με α 0> και ν περιττό φυσικό αριθμό έχει ακριβώς μία λύση, την ν α. Σ Λ

3. Η εξίσωση νx α,= με α 0> και ν άρτιο φυσικό αριθμό έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις ν α και ν α.− Σ Λ

4. Η εξίσωση νx α,= με α 0< και ν περιττό φυσικό αριθμό έχει

ακριβώς μία λύση, την ν α .− Σ Λ

5. Η εξίσωση νx α,= με α 0< και ν άρτιο φυσικό αριθμό είναι αδύνατη. Σ Λ

6. Αν o ν είναι περιττός φυσικός αριθμός, τότε ισχύει η ισοδυναμία ν νx α x α= ⇔ = Σ Λ

7. Αν ο ν είναι άρτιος φυσικός αριθμός, τότε ισχύει η ισοδυναμία

ν νx α x α= ⇔ = Σ Λ

8. Η εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ,

αν και μόνο αν ισχύει 2β 4αγ 0.− ≥ Σ Λ

9. Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ , τότε

1 2

βx xα

+ = και 1 2

γx x .α

= Σ Λ

10. Αν 1 2x x S+ = και 1 2x x P= , τότε τα 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης

2x Sx P 0− + = Σ Λ

11. Οι εξισώσεις της μορφής 4 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ ονομάζονται διτετράγωνες. Σ Λ


Διαγώνισμα Θέμα Α

A1. Δίνεται η εξίσωση 2αx βx γ 0+ + = , με α 0≠ .

Αν 2β 4αγ 0,− < να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Α2. Τι ονομάζουμε διακρίνουσα της εξίσωσης 2αx βx γ 0, α 0;+ + = ≠

Α3. Ποιες εξισώσεις ονομάζονται διτετράγωνες; Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα

που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Η εξίσωση νx α,=

με α 0> και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μία λύση, την ν α. β) Η εξίσωση

νx α,= με α 0> και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις

ν α και ν α− . γ) Η εξίσωση

νx α,= με α 0< και ν περιττό φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη. δ) Η εξίσωση

2αx βx γ, α 0+ + ≠

έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες αν και μόνο αν ισχύει 2β 4αγ 0.− >

ε) Αν η εξίσωση 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠

έχει πραγματικές ρίζες 1x και 2x , τότε

1 2

βx x .α

+ =

Eξισώσεις 325

Θέμα Β

Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

3 2 2 35α β και 4α β 8α β 4αβ 25.2

+ = + + = .

Β1. Να αποδείξετε ότι αβ 1.=

Β2. Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α και β.

Β3. Να βρείτε τους αριθμούς α και β.

Β4. Να λύσετε την εξίσωση 21 12 x 5 x 2 0.

x x + − + + =

Θέμα Γ

Δίνεται η εξίσωση 5 5 3x α x 4x α , με α .+ = − − ∈

Γ1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 0 για κάθε α .∈

Γ2. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα και τον αριθμό 1, τότε: α) να αποδείξετε ότι α 2= − β) να λύσετε την εξίσωση. Θέμα Δ

Δίνεται η εξίσωση

( )2 2x x λ λ 0, με λ− + − = ∈ .

Δ1. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ .∈

Δ2. Aν η παραπάνω εξίσωση έχει διπλή ρίζα, να βρείτε την τιμή του αριθμού λ και τη ρίζα της εξίσωσης.

Δ3. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες 1 2x , x τέτοιες, ώστε

( )( )1 2x 1 x 1 12− − = −

να υπολογίσετε τις τιμές του αριθμού λ.

Ανισώσεις – Ανισώσεις 1ου βαθμού 327

Ανισώσεις


« Γιατί υπάρχει κάτι αντί να υπάρχει τίποτα; Διότι το τίποτα είναι απλούστερο και ευκολότερο από το κάτι.»

Gottfried Wilhelm Leibnitz


Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Οι Ανισώσεις αx + β > 0 και αx + β < 0 Η ανίσωση αx + β > 0 ισοδύναμα γράφεται:

αx β 0 αx β β βαx β

+ > ⇔ + − > −⇔ > −

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

● Αν α > 0, τότε: αx β βαx β x .α α α

−> − ⇔ > ⇔ > −

● Αν α < 0, τότε: αx β βαx β x .α α α

−> − ⇔ < ⇔ < −

● Αν α = 0, τότε η ανίσωση γίνεται 0x β> − οπότε:

■ αν β > 0 αληθεύει για κάθε x∈ . ■ αν β ≤ 0 είναι αδύνατη. Παρόμοια συμπεράσματα ισχύουν για τις ανισώσεις:

αx + β < 0, αx + β ≥ 0, αx + β ≤ 0 Παράδειγμα ■ Η ανίσωση 2x –10 > 0 ισοδύναμα

γράφεται: 102x 10 x x 52

> ⇔ > ⇔ >

Επομένως, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x (5, ).∈ +∞

■ Η ανίσωση –5x + 15 > 0 ισοδύναμα γράφεται:

155x 15 x x 35

−− > − ⇔ < ⇔ <

−

Επομένως, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x ( ,3).∈ −∞

■ Η ανίσωση 0x > –8 αληθεύει για κάθε x∈ . ■ Η ανίσωση 0x > 1 είναι αδύνατη.

5x′ x

3x′ x


Ανισώσεις με Απόλυτες Τιμές ● Όταν έχουμε ανίσωση με απόλυτα της μορφής | Α(x) | < θ με θ > 0, αξιοποιούμε

τη γνωστή ιδιότητα των απολύτων τιμών | x | θ θ x θ (εφόσον θ 0)< ⇔ − < < >


Να λύσετε την ανίσωση: | 2x 9 | 5.− <

Λύση

Έχουμε | 2x 9 | 5 5 2x 9 5− < ⇔ − < − <

5 9 2x 9 9 5 94 2x 142 x 7.

⇔ − + < − + < +⇔ < <⇔ < <

Επομένως, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x (2, 7).∈

● Όταν έχουμε ανίσωση με απόλυτα της μορφής | Α(x) | > θ με θ > 0, αξιοποιούμε τη γνωστή ιδιότητα των απολύτων τιμών

| x | θ x θ ή x θ (εφόσον θ 0)> ⇔ < − > >


Να λύσετε την ανίσωση | 5x 1| 11.+ ≥

Λύση

Έχουμε | 5x 1| 11 5x 1 11 ή 5x 1 11+ ≥ ⇔ + ≤ − + ≥

5x 12 ή 5x 10

12x ή x 2.5

⇔ ≤ − ≥−

⇔ ≤ ≥

Επομένως, η ανίσωση αληθεύει για κάθε [ )12x , 2, .5

∈ −∞ − ∪ +∞



1. Να λύσετε τις ανισώσεις:

i) 2x 3 x 1 1

x4 2 4

ii)

x 2 x x 2

3 12 4

.

Λύση

i) Έχουμε

2x 3 x 1 1

x4 2 4

2x 3 x 1 14 4x 4 4

4 2 4

2x 3 4x 2 x 1 1

4x 4 x 1.

Επομένως, η ανίσωση αληθεύει για κάθε

x 1, .

ii) Έχουμε

x 2 x x 2

3 12 4

x 2 x x 2

12 12 123 12 4

4 x 2 x 3 x 2

4x 8 x 3x 6

4x x 3x 8 6

2x 14 x 7.

Επομένως, η ανίσωση αληθεύει για κάθε

x ,7 .

Σημείωση

Η ανίσωση

αx β 0, με α,β


αx β.

Οπότε:

● Αν α 0, τότε

β

xα

● Αν α 0, τότε

β

xα

● Αν α 0, τότε η ανίσωση

γίνεται

0x β

και επομένως:

■ αν β 0 είναι ανισότη-

τα, δηλαδή αληθεύει για

κάθε x .

■ αν β 0 είναι αδύνατη.


2. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

x 5x 1

2

και

4x 51 x .

3 3

Λύση

Η πρώτη ανίσωση γράφεται

x 5

x 12

x 5

2 x 1 22

2x 2 x 5

x 7.

Άρα, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x ,7 .

Η δεύτερη ανίσωση γράφεται

4x 5

1 x3 3

4x 53 3 3x 3

3 3

4x 3 3x 5

4x 3x 5 3

x 2.

Επομένως, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x 2, . Από τα παραπάνω

συμπεραίνουμε ότι οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε πραγματικό αριθμό x με

2 x 7.

Δηλαδή, για κάθε x 2, 7 .


3. Να βρείτε τους x για τους οποίους συναληθεύουν οι ανισώσεις:

x 3 x 3x

4 2 4 και

x 2x 113x .

5 2

Λύση


x 3 x 3

x4 2 4

x 3 x 34x 4 4 4

4 2 4

4x x 3 2x 3

4x x 2x 3 3

3x 6 x 2.


x 2x 11

3x5 2

x 2x 1110 3x 10 10

5 2

30x 2x 5 2x 11

32x 10x 55

22x 55

5x .

2

Παρατηρούμε ότι οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε 5

x 2, .2

Και επειδή ο

x είναι ακέραιος, συμπεραίνουμε ότι

x 1 ή x 0 ή x 1 ή x 2 .

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

5

2



i) x 2 1 ii) 3x 1 2 3x 1 1 5

.3 4 6

Λύση

i) Έχουμε

x 2 1

1 x 2 1

2 1 x 2 1

1 x 3.

Δηλαδή, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x 1, 3 .

ii) Έχουμε

3x 1 2 3x 1 1 5

3 4 6

3x 1 2 3x 1 1 512 12 12

3 4 6

4 3x 1 2 3 3x 1 1 10

4 3x 1 8 3 3x 1 3 10

3x 1 5

5 3x 1 5

4 3x 6

4x 2.

3

Δηλαδή, η ανίσωση αληθεύει για κάθε 4

x ,2 .3

Meθοδολογία

Aξιοποιούμε την ιδιότητα

x ρ ρ x ρ ,

όπου ρ 0.

4

3



i) x 1 2 ii) 4x 3 5 4x 3

4.2 5

Λύση

i) Έχουμε

x 1 2

x 1 2 ή x 1 2

x 3 ή x 1.

Δηλαδή, η ανίσωση αληθεύει για κάθε

x , 3 1, .

ii) Έχουμε

4x 3 5 4x 3

42 5

4x 3 5 4x 310 10 10 4

2 5

5 4x 3 5 2 4x 3 40

5 4x 3 25 2 4x 3 40

3 4x 3 15

4x 3 5

4x 3 5 ή 4x 3 5

4x 2 ή 4x 8

1x

2 ή x 2.

Δηλαδή, η ανίσωση αληθεύει για κάθε 1

x , 2, .2


Aξιοποιούμε την ιδιότητα

x ρ x ρ ή x ρ ,

ρ 0.

1

2



i) x 3 1 x1

2 6 3

ii)

2x 8x 16 2

Λύση

i) Έχουμε

x 3 1 x1

2 6 3

x 3 1 x16 6 6

2 6 3

3 x 3 1 2 1 x

3 x 9 1 2 2 x

3 x 2 x 2 9 1

5 x 6

6x ,

5 αδύνατη.

ii) Έχουμε

2x 8x 16 2

2

x 4 2

x 4 2

2 x 4 2

4 2 x 4 2

2 x 6 .

Δηλαδή, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x 2, 6 .

Σημείωση

Αν ρ 0, τότε:

● x ρ, αδύνατη

● x ρ x .

Σημείωση

● x 0, αδύνατη

● x 0 x *.

Σημείωση

Γνωρίζουμε ότι

2α α για κάθε α .


7. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

i) 3 5x 2 8 ii) 1 x 4 2.

Λύση

i) Έχουμε

3 5x 2 8

3 2 5x 8 2

5 5x 10

1 x 2.

Δηλαδή, x 1,2 .

ii) Έχουμε

1 x 4 2

1 x 4 και x 4 2.


x 4 1

x 4 1 ή x 4 1

x 3 ή x 5.

Άρα, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x ,3 5, .


x 4 2 2 x 4 2

4 2 x 4 2.

2 x 6.

Επομένως, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x 2,6 . Από τα παραπάνω

συμπεραίνουμε ότι οι ζητούμενες τιμές του x είναι όλες εκείνες που ανήκουν στο

σύνολο

2, 3 5, 6 .

Σχόλιο

Ουσιαστικά ζητούνται οι τιμές του x

για τις οποίες συναληθεύουν οι ανι-

σώσεις

3 5x 2 και 5x 2 8.

Όμως, η απλότητα του συγκεκριμέ-

νου προβλήματος επιτρέπει την ταυ-

τόχρονη επίλυση των δύο ανισώσεων.

Σχόλιο

Σε αντίθεση με το προηγούμενο ερώ-

τημα η επίλυση των ανισώσεων

1 x 4 και x 4 2

γίνεται ξεχωριστά. Στη συνέχεια βρί-

σκουμε τις τιμές του x για τις οποίες

οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν.


8. Να λύσετε την ανίσωση

5 2x 3 2.

Λύση

Έχουμε

5 2x 3 2 2 5 2x 3 2

7 2x 3 3

3 2x 3 7

3 2x 3 και 2x 3 7.

● Η πρώτη ανίσωση γράφεται

2x 3 3 2x 3 3 ή 2x 3 3

2x 0 ή 2x 6

x 0 ή x 3.

Άρα, η ανίσωση αληθεύει για κάθε

x , 0 3, .

● Η δεύτερη ανίσωση γράφεται

2x 3 7 7 2x 3 7

4 2x 10

2 x 5.

Άρα, η ανίσωση αληθεύει για κάθε

x 2,5 .

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η δοθείσα ανίσωση αληθεύει για κάθε

x 2,0 3, 5 .

x –2 0 3 5 x΄



2x 4x λ 0, λ .

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση:

i) έχει ρίζες άνισες ii) έχει ρίζες ίσες

iii) είναι αδύνατη.

Λύση

Η δοθείσα εξίσωση είναι 2ου

βαθμού με


2Δ 4 4λ 16 4λ.

Επομένως:

i) Η εξίσωση έχει ρίζες άνισες αν και μόνο αν

Δ 0 16 4λ 0

4λ 16

λ 4.

ii) Η εξίσωση έχει ρίζες ίσες (διπλή ρίζα) αν και μόνο αν

Δ 0 16 4λ 0

4λ 16

λ 4.

iii) Η εξίσωση είναι αδύνατη αν και μόνο αν

Δ 0 16 4λ 0

4λ 16

λ 4.

Σχόλιο

Γνωρίζουμε ότι το πλήθος

των ριζών της εξίσωσης

2αx βx γ 0, α 0

εξαρτάται από τη διακρίνου-

σα

2Δ β 4αγ.



2x 2x 3 λ 0, λ .

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει:

i) δύο ρίζες άνισες

ii) δύο ρίζες 1 2x , x άνισες και τέτοιες, ώστε

1 2 2 1x 6 x x 6 x 0.

Λύση

i) Η δοθείσα εξίσωση έχει ρίζες άνισες αν και μόνο αν

2Δ 0 2 4 3 λ 0

4 12 4 λ 0

4 λ 8

λ 2

λ 2 ή λ 2.

ii) ● Στο ερώτημα i) αποδείξαμε ότι η δοθείσα εξίσωση έχει ρίζες άνισες, αν και

μόνο αν

λ 2 ή λ 2 (1)

● Επιπλέον οι δύο ρίζες 1 2

x , x ικανοποιούν τη σχέση

1 2 2 1 1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

x 6 x x 6 x 0 6x x x 6x x x 0

6 x x 2x x 0

6S 2P 0.

Όμως, σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε

S 2 και P 3 λ ,

οπότε η ανίσωση 6S 2P 0 γράφεται

12 2 3 λ 0 12 6 2 λ 0

λ 9

9 λ 9 (2)

Οι σχέσεις (1) και (2) συναληθεύουν για κάθε

λ 9, 2 2, 9 .

x –9 –2 2 9 x΄




i) x 2 5x 4

x 13 2

ii)

x x 1 1

4 5 4

iii) x 1 x 3 2x 1

13 5 15

iv)

2x 3 x 2 25x 1.

11 7 77

2. Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

2x 3 x 8 και x x 1

x 22 3

.

3. Να εξετάσετε αν συναληθεύουν οι ανισώσεις:

2 xx 1

3 3 και

4x 7 x4

2 2

.

4. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει

3x 66 7.

3

5. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

x 8 xx 1

2 2

και

x 1x 2 .

4


2 2

2x 1 x 1x 1.

2 3 6


7. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου μ να λύσετε την ανίσωση

μ x 1 2μ x 1 3μ 2 xμ 1.

2 3 2


i) 10 2x 3 1 ii) 5 x 6 0

iii) x 2 1 0 iv) x 1 2 3.

9. Nα λύσετε τις ανισώσεις:

i) x 1 1 x

x3 5

ii)

x 1 1 x 1 2 x 1.

2 4 8


i) x 1 4 2x 2 5 ii) x 3 1 x 3 1 x 3 5

26 4 6

.


i) x 1 x 2 3x 2

2 6 3

ii)

x 2 x 2 2 4 2x 6

2 4 16

iii) 2x 8x 16 3 iv)

29x 12x 4 2.


i) x 9 2 x 9

13 5

ii) x 1 2 3

iii) 2x x x 0 iv) x 5 4 4.

13. i) Να λύσετε την ανίσωση

2x 1 7 .

ii) Να λύσετε την ανίσωση

3x 2 4.

iii) Να εξετάσετε αν συναληθεύουν οι ανισώσεις των ερωτημάτων i) και ii).


14. Nα λύσετε την ανίσωση

x 1 x 3 0 .

15. Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύoυν οι σχέσεις:

i) 3 x 5 ii) 1 x 1 6 .

16. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

i) 2x 3 5 3x 1 ii) 2 x 7 1.


i) 4

1x 3

ii) 6

2.x 1


i) x 1 1 7 1 x ii) 1 x 3 2 x .


i) 4x 5 4x 5 ii) x 7 7 x.


i) 2x x 3 3 ii)

2x x 16 4.


i) x 1 x 3 4 ii) x 2 3 x 3 5x 1.


i) 2 x 1 3x 3 8x 8 9 ii) 1 2x 3 x.



2x 2x α 3 0, με α .

Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση:

i) έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες

ii) έχει μία διπλή ρίζα

iii) είναι αδύνατη

iv) έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα

v) έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα.

24. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ τις παρακάτω εξισώσεις:

i) 2x 2x λ 0 ii) 2 2x 4λx 21λ 0.

25. Δίνεται η εξίσωση 2x 3x α 0 , α

η οποία έχει δύο πραγματικές ρίζες 1 2

x , x με 1 2

x x και τέτοιες, ώστε

1 2x x 2.

i) Nα βρείτε την τιμή του α.

ii) Nα λύσετε τη δοθείσα εξίσωση.

26. Δίνεται η εξίσωση 2x 2x λ 0.

Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει:

i) ρίζα τον αριθμό 2

ii) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

iii) δύο θετικές πραγματικές και άνισες ρίζες.

27. Δίνεται η εξίσωση 2x 2x λ 2 0, λ .

i) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει μία

τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

ii) Aν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες 1 2

x , x να βρείτε

την τιμή του λ για την οποία ισχύει

1 2 1 2x x 2 x x 1.



2 *8x 2 λ 4 x λ 2 0, λ .

i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε *λ , η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και

άνισες.

ii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

α) αρνητικές β) ετερόσημες .


2x 2x λ 1 0 με λ .

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει:

i) δύο άνισες ρίζες 1 2

x , x

ii) δύο άνισες ρίζες 1 2

x , x τέτοιες, ώστε 3 2 2 3

1 2 1 2x x x x 8

iii) δύο άνισες θετικές ρίζες.


2x 6x α 3 0 και 2 2x 2 α x α α 2 0

με α .

Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες και οι δύο εξισώσεις έχουν δύο άνισες

πραγματικές ρίζες.

31. Δίνεται η εξίσωση 2x 20x 5λ 6 0, λ ,

η οποία έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες 1

x και 2

x .

i) Nα αποδείξετε ότι 94

λ5

.

ii) Aν οι αριθμοί 1

x και 2

x είναι ανάλογοι των αριθμών 2 και 3, να βρείτε:

α) τους αριθμούς 1

x και 2

x β) την τιμή του λ.

32. Έστω οι πραγματικοί αριθμοί 1 2x , x και λ με 1 2

x x τέτοιοι, ώστε

2

1 1x 3x λ 0 και

2

2 2x 3x λ 0.


λ .4


ii) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία ισχύει η σχέση

3 3

1 2 1 2x x x x λ 6.

33. Δίνεται η εξίσωση 2x 3x α 0, α ,

η οποία έχει δύο πραγματικές ρίζες 1

x και 2

x με 1 2

x x και τέτοιες, ώστε

2 2

1 2x x 6.

Να βρείτε:

i) την τιμή του ακέραιου αριθμού α

ii) τις ρίζες 1 2

x , x .


x 2 1,

να αποδείξετε ότι η παράσταση

2A x 1 x 3 x 4x 4

είναι ανεξάρτητη του x.

35. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι παρακάτω ανισώσεις αληθεύουν

για κάθε x :

i) λ 3 x 1 ii) 2 2λ λ 2 x λ 3.

36. i) Nα λύσετε την ανίσωση x 2 4.

ii) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον

άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με

βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης x 2 .

iii) Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς x που ικανοποιούν την ανίσωση

x 2 4.

iv) Να βρείτε τους ακεραίους αριθμούς x που ικανοποιούν την ανίσωση

x 2 4.

Ανισώσεις – Ανισώσεις 2ου Bαθμού 347

Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Ορισμός

● Η παράσταση 2αx βx γ, α 0 λέγεται τριώνυμο 2

ου βαθμού ή, πιο απλά

τριώνυμο

● Η διακρίνουσα Δ = β2 – 4αγ της αντίστοιχης εξίσωσης

2αx βx γ 0 λέγεται

και διακρίνουσα του τριωνύμου.

● Οι ρίζες της εξίσωσης 2αx βx γ 0 λέγονται και ρίζες του τριωνύμου.

Ειδικές Μορφές Τριωνύμου

Πρόταση

Έστω το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0.

● Αν Δ > 0, τότε:

21 2αx βx γ α(x x )(x x )

όπου,1 2

x ,x οι ρίζες του τριωνύμου.

● Αν Δ = 0, τότε:

22 2

0

βαx βx γ α(x x ) α x

2α

● Αν Δ < 0, τότε:

22

2

β | Δ |αx βx γ α x

2α 4α.

Απόδειξη

Το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0 μετασχηματίζεται ως εξής:

2 2 β γαx βx γ α x x

α α

2 2

2

2 2

2

β β β γα x 2 x

2α 2α 2α α

β 4αγ βα x

2α 4α

2

2

β Δα x

2α 4α

(1)


Επομένως:

● Αν Δ > 0, τότε 2

Δ Δ οπότε, έχουμε:

22

2 β Δαx βx γ α x

2α 2α

1 2

β Δ β Δα x x

2α 2α 2α 2α

β Δ β Δα x x

2α 2α

α x x x x ,

όπου,1 2

x ,x οι ρίζες του τριωνύμου.

Άρα, όταν Δ > 0, τότε το τριώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί δύο

πρωτοβάθμιους παράγοντες.

● Αν Δ = 0, τότε από τη σχέση (1) έχουμε: 2

2 βαx βx γ α x .

2α

Άρα, όταν Δ > 0, τότε το τριώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί ένα

τέλειο τετράγωνο.

● Αν Δ < 0, τότε | Δ | Δ οπότε, έχουμε: 2

2

2


2α 4α

Επειδή για κάθε x R η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι θετική, το

τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.


Το τριώνυμο 25x 7x 6 έχει διακρίνουσα Δ = 49 + 120 =169 > 0 και ρίζες

1 2

3x και x 2.

5 Επομένως:

2 35x 7x 6 5 x x 2 5x 3 x 2 .

5

Το τριώνυμο 21

x 2x 33

έχει διακρίνουσα Δ = 0 και διπλή ρίζα 0

βx 3.

2α

Επομένως:

221 1

x 2x 3 x 3 .3 3


Το τριώνυμο 22x 2x 5 έχει διακρίνουσα Δ = - 36 <0. Επομένως: 2

2 1 92x 2x 5 2 x

2 4

και το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.

Πρόσημο των Τιμών του Τριωνύμου

Πρόταση

Το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0

γίνεται:

● Ετερόσημο του α, μόνο όταν είναι Δ > 0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται

μεταξύ των ριζών.

● Μηδέν, όταν η τιμή του x είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύμου.

● Ομόσημο του α, σε κάθε άλλη περίπτωση.

Απόδειξη

● Αν Δ > 0, τότε γνωρίζουμε ότι:

2

1 2αx βx γ α(x x )(x x ) (1)

Υποθέτουμε ότι1 2

x x και τοποθετούμε τις ρίζες σε έναν άξονα.

Παρατηρούμε ότι:

■ Αν 1 2x x x , τότε 1

x x 0 και

2x x 0 , οπότε 1 2

x x x x 0.

Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο

είναι ομόσημο του α.

■ Αν 1 2

x x x , τότε 1

x x 0 και

2x x 0 , οπότε 1 2

x x x x 0.


είναι ετερόσημο του α.

■ Αν 1 2x x x , τότε 1

x x 0 και

2x x 0 , οπότε 1 2

x x x x 0.


είναι ομόσημο του α.

x x

x 1x 2x

x x

1x x 2x

x x

x1x 2x


● Αν Δ = 0, τότε γνωρίζουμε ότι: 2

2 βαx βx γ α x

2α

Επομένως, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε πραγματικό αριθμό

βx

2α , ενώ μηδενίζεται για

βx

2α .

● Αν Δ < 0, τότε γνωρίζουμε ότι:

2

2

2


2α 4α

Επειδή για κάθε x η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι θετική, το

τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε x .

Το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου φαίνεται και στους παρακάτω πίνακες:

● Αν Δ > 0, τότε:

x 1

x 2

x

2αx βx γ πρόσημο

του α

πρόσημο

του –α

πρόσημο

του α

● Αν Δ = 0, τότε:

x β

2α


του α

πρόσημο

του α

● Αν Δ < 0, τότε:

x


του α


Το τριώνυμο 2x 7x 6 έχει ρίζες τους 1 2x 1 και x 6 και επειδή

α 1 0, έχουμε:

2

x 1 6

x 7x 6 0 0

00

0


Το τριώνυμο 22x 8x 8 έχει διπλή ρίζα τον 0

x 2 και επειδή α 2 0,

έχουμε:

2

x 2

2x 8x 8 0

Το τριώνυμο 23x 2x 1 έχει διακρίνουσα Δ = – 8 <0 και επειδή α 3 0,

έχουμε:

2

x

3x 2x 1

Ανισώσεις της Μορφής αx2 + βx + γ > 0 ή αx2 + βx + γ < 0, a ≠ 0

● Οι ανισώσεις 2αx βx γ 0 και 2

αx βx γ 0, α 0 λέγονται ανισώσεις

δευτέρου βαθμού. Για την επίλυσή τους αρκεί να βρούμε το πρόσημο του τριω-

νύμου 2αx βx γ .

● Το ίδιο ισχύει και για τις ανισώσεις 2αx βx γ 0 και

2αx βx γ 0,α 0 .


Στην ανίσωση 2x x 12 0

ζητούμε τις τιμές του x για τις οποίες το τριώνυμο 2x x 12 γίνεται αρνητικό. Το

τριώνυμο αυτό έχει α 1 0 και ρίζες τους αριθμούς 1 2x 3 και x 4. Οπότε, το

πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

2

x 3 4

x x 12 0 0

Επομένως, 2x x 12 0 x ( 3, 4).


Στην ανίσωση 216x 24x 9 0

ζητούμε τις τιμές του x για τις οποίες το τριώνυμο 216x 24x 9 γίνεται θετικό.


Το τριώνυμο αυτό έχει α 16 0 και διπλή ρίζα τον αριθμό 0

3x .

4 Οπότε, το

πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

2

3x

4

16x 24x 9 0

Επομένως,

2 3 316x 24x 9 0 x , , .

4 4


Στην ανίσωση 23x x 2 0

ζητούμε τις τιμές του x για τις οποίες το τριώνυμο 23x x 2 γίνεται θετικό ή μη-

δέν. Το τριώνυμο αυτό έχει α 3 0 και ρίζες τους αριθμούς 1

2x και

3

2x 1.

Οπότε, το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

2

2x 1

3

3x x 2 0 0

Επομένως,

2 23x x 2 0 x ,1 .

3


Στην ανίσωση 22x 4x 3 0

ζητούμε τις τιμές του x για τις οποίες το τριώνυμο 22x 4x 3 γίνεται αρνητικό ή

μηδέν. Το τριώνυμο αυτό έχει α 2 0 και διακρίνουσα Δ = –8 < 0 και συνεπώς

είναι αρνητικό για κάθε x .

Επομένως, οι λύσεις της ανίσωσης 22x 4x 3 0

είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.



Να λύσετε την ανίσωση 2x 5.

Λύση

α΄ τρόπος

Έχουμε

2 2x 5 x 5 0 x 5 x 5 0.

Το τριώνυμο 2x 5 έχει α 1 0 και ρίζες τους αριθμούς 1 2

x 5 και x 5.

Οπότε, το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

2

x 5 5

x 5 0 0

Επομένως,

2 2x 5 x 5 0 x , 5 5, .

β΄ τρόπος

Επειδή τα δύο μέλη της ανίσωσης 2x 5 είναι μη αρνητικά, διαδοχικά και ισοδύναμα

έχουμε

2 2x 5 x 5 | x | 5 x 5 ή x 5.


Να λύσετε την ανίσωση 2x 9.

Λύση

Επειδή τα δύο μέλη της ανίσωσης 2x 9 είναι μη αρνητικά, διαδοχικά και ισοδύναμα

έχουμε

2 2x 9 x 9 | x | 3 3 x 3.



11. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα:

i) 2

x 5x 4 ii) 2

2x 7x 6.

Λύση

i) Aρχικά βρίσκουμε τις ρίζες του

τριωνύμου 2x 5x 4 , δηλαδή τις

ρίζες της εξίσωσης

2x 5x 4 0.

Έχουμε

2

Δ 5 4 4 9 0 .

Οπότε,

5 9 5 3

x .2 2

Δηλαδή,

x 1 ή x 4.

Επομένως,

2x 5x 4 x 1 x 4 .

ii) H εξίσωση 22x 7x 6 0

έχει διακρίνουσα

2

Δ 7 4 2 6 1 0.

Οπότε,

7 1 7 1x .

2 2 4

Δηλαδή,

3x ή x 2.

2

Επομένως,

2 32x 7x 6 2 x x 2 2x 3 x 2 .

2

Σημειώσεις

Έστω το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0

με διακρίνουσα 2Δ β 4αγ.

● Αν Δ 0, τότε

2αx βx γ 1 2α x x x x

όπου 1 2

x , x oι ρίζες του τριωνύμου.


22 β

αx βx γ α x .2α


2αx βx γ

2

2

Δβα x

2α 4α


12. Nα απλοποιήσετε την παράσταση

2 2

2 2

x 3αx 2α.

x 2αx 3α

Λύση

● Το τριώνυμο 2 2x 3αx 2α


2 2 2Δ 3α 4 2α α 0.

Eπομένως, έχει ρίζες

2

1,2

3α αx

2

3α α 3α α.

2 2

Δηλαδή,

1x 2α και

2x α.

Οπότε,

2 2x 3αx 2α x 2α x α .

● Το τριώνυμο 2 2x 2αx 3α


2 2 2Δ 2α 4 3α 16α 0 .

Επομένως, έχει ρίζες

2

1,2

2α 4 α2α 16α 2α 4αx .

2 2 2

Δηλαδή,

1x α και 2

x 3α.

Οπότε,

2 2x 2αx 3α x α x 3α .

Από τα παραπάνω έχουμε

2 2

2 2

x 2α x αx 3αx 2α x 2α.

x 2αx 3α x α x 3α x 3α

Σχόλιο

Η ζητούμενη απλο-

ποίηση προϋποθέτει

την παραγοντοποίηση

τόσο του αριθμητή

όσο και του παρονο-

μαστή. Παρατηρούμε

ότι και οι δύο όροι

του κλάσματος είναι

τριώνυμα του x.


13. i) Να μετατρέψετε σε γινόμενο παραγόντων την παράσταση

2 23α 7αβ 2β

ii) Nα απλοποιήσετε την παράσταση

2 2

2 2

3α 7αβ 2β.

3α 2αβ β

Λύση

i) Aν θεωρήσουμε την παράσταση 2 23α 7αβ 2β ως τριώνυμο του α, τότε αυτό

το τριώνυμο έχει διακρίνουσα

2 2 2 2 2Δ 7β 4 3 2β 49β 24β 25β

και ρίζες

2

1,2

7β 5 β7β 25βα .

6 6

Δηλαδή

1 2

7β 5β β 7β 5βα και α 2β.

6 3 6

Επομένως

2 2

1 23α 7αβ 2β 3 α α α α

β3 α α 2β 3α β α 2β .

3

ii) Aποδείξαμε ότι

2 23α 7αβ 2β 3α β α 2β

Επίσης, αν θεωρήσουμε την παράσταση 2 23α 2αβ β ως τριώνυμο του α, τότε

το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα

2 2 2Δ 2β 4 3 β 16β

και ρίζες

1 2

2β 4β 2β 4β βα β και α .

6 6 3

Επομένως,

2 2 β3α 2αβ β 3 α β α α β 3α β .

3

Από τα παραπάνω έχουμε

2 2

2 2

3α β α 2β3α 7αβ 2β α 2β.

3α 2αβ β α β 3α β α β


14. Για τις διάφορες τιμές του x , να βρείτε το πρόσημο των

τριωνύμων:

i) 2x 6x 8 ii) 2

9x 6x 1

iii) 2x 3x 3.

Λύση

i) Θεωρούμε την εξίσωση

2x 6x 8 0 .

Πρόκειται για εξίσωση 2ου

βαθμού με


2

Δ 6 4 8 4 0.

Άρα, οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί

1,2

6 4 6 2x

2 2

.

Δηλαδή,

1x 2 και

2x 4.


● 2x 6x 8 0 για κάθε x ,2 4,

● 2x 6x 8 0 για κάθε x 2,4 .

● 2x 6x 8 0 για x 2 και για x 4.

Σημείωση

To τριώνυμο

2αx βx γ, α 0

γίνεται:

● Ετερόσημο του α, μόνο

όταν Δ 0 και για τις

τιμές του x που βρίσκονται

μεταξύ των ριζών του

τριωνύμου.

● Μηδέν, όταν η τιμή του x

είναι κάποια από τις ρίζες

του τριωνύμου.

● Ομόσημο του α σε κάθε

άλλη περίπτωση.

x 2 4

2x 6x 8


ii) Θεωρούμε την εξίσωση

29x 6x 1 0 .


βαθμού με διακρίνουσα

2

Δ 6 4 9 0.

Άρα, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, την

6 1x .

2 9 3

Δηλαδή,

● 29x 6x 1 0 για κάθε 1 1

x , ,3 3

● 29x 6x 1 0 για 1

x .3

iii) Θεωρούμε την εξίσωση

2x 3x 3 0.



2

Δ 3 4 3 3 0.

Άρα, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Δηλαδή,

2x 3x 3 0 για κάθε x .

x 1

3

29x 6x 1

x

2x 3x 3


15. Δίνεται το τριώνυμο

2 2λ 1 x λ 1 x 1 με λ .

i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε λ το παραπάνω τριώνυμο δεν

έχει ρίζες.

ii) Για τις διάφορες τιμές του x , να βρείτε το πρόσημο του

τριωνύμου.

Λύση

i) Tο δοθέν τριώνυμο έχει διακρίνουσα

2 2

2 2

2

Δ λ 1 4 λ 1

λ 2λ 1 4λ 4

3λ 2λ 3

Πρόκειται για ένα νέο τριώνυμο του λ με διακρίνουσα

2Δ 2 4 3 3 4 36 32 0

και επειδή ο συντελεστής του 2λ είναι το 3 0 συμπεραίνουμε ότι 23λ 2λ 3 0 Δ 0 για κάθε λ

Άρα, το τριώνυμο 2 2λ 1 x λ 1 x 1 δεν έχει ρίζες για κάθε λ .

ii) Aποδείξαμε ότι το τριώνυμο

2 2λ 1 x λ 1 x 1

έχει διακρίνουσα Δ 0 για κάθε λ .

Επίσης, ο συντελεστής του 2x είναι

2λ 1 0 για κάθε λ .


2 2λ 1 x λ 1 x 1 0 για κάθε x .

16. i) Για τις διάφορες τιμές του x , να βρείτε το πρόσημο του

τριωνύμου 2

x 7x 12.

ii) Nα αποδείξετε ότι

3 2 5 4.

iii) Nα βρείτε το πρόσημο του αριθμού

2

A 2 5 7 2 5 12.


Λύση

i) Το τριώνυμο 2x 7x 12 έχει α 1 0, διακρίνουσα

Δ 49 48 1 0

και ρίζες τους αριθμούς 1

x 3 και 2

x 4. Οπότε, το πρόσημό του φαίνεται στον

παρακάτω πίνακα:

Δηλαδή:

● 2x 7x 12 0 για κάθε x 3, 4

● 2x 7x 12 0 για κάθε x , 3 4,

● 2x 7x 12 0 για x 3 και για x 4.

ii) Έχουμε

22 2

22 2

3 2 5 4 3 2 5 4

9 2 2 2 5 5 16

2 2 10 9

2 2 10 9

4 40 81 που ισχύει.

iii) Παρατηρούμε ότι ο αριθμός

2

Α 2 5 7 2 5 12

είναι η τιμή του τριωνύμου 2x 7x 12 για

x 2 5.

Όμως, στο ερώτημα ii) αποδείξαμε ότι

3 2 5 4,

ενώ στο ερώτημα i) αποδείξαμε ότι 2x 7x 12 0 για κάθε x 3, 4 .


A 0.

x 3 4

2x 7x 12


17. i) Αν ( )α 1,2∈ να αποδείξετε ότι 2 2α 3α 2 α 1.− + < −

ii) Nα συγκρίνετε τους αριθμούς

2 2112 336 112Α 1 2 και Β .111 111 111

= + − + =

Λύση

i) ● Το τριώνυμο 2α 3α 2− + έχει ρίζες τους αριθμούς 1α 1= και 2α 3.= Το πρόσημο του τριωνύμου αυτού φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Έχουμε ( )α 1, 2∈

και συνεπώς 2 2 2α 3α 2 0 α 3α 2 α 3α 2.− + < ⇔ − + = − + −

Άρα, η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται 2 2 2α 3α 2 α 1 2α 3α 1 0.− + − < − ⇔ − + − <

● Το τριώνυμο 22α 3α 1− + − έχει ρίζες τους αριθμούς 1

1α2

= και 2α 1.= Το

πρόσημο του τριωνύμου αυτού φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Και επειδή ( )α 1, 2∈

συμπεραίνουμε ότι 22α 3α 1 0− + − <

και τελικά 2 2α 3α 2 α 1.− + < −

α −∞ 1 2 +∞

2α 3α 2 + – +

0 0

α −∞ 12

1 2 +∞

22α 3α 1 – + –

0 0



( )112 1121 2 1, 2 .111 111

< < ⇔ ∈

Οπότε, από τη σχέση του ερωτήματος i) για 112α111

= παίρνουμε

2 2112 112 1123 2 1111 111 111 − ⋅ + < −

ή ισοδύναμα 2 2112 336 1121 2

111 111 111 + − + <

και τελικά Α Β.<

18. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί β, γ, κ, λ τέτοιοι, ώστε

( ) ( )2 2κ 2βκ γ λ 2βλ γ 0.+ + + + <

Να αποδείξετε ότι 2β γ.>

Λύση

Έχουμε ( )( )2 2κ 2βκ γ λ 2βλ γ 0+ + + + < .

Δηλαδή 2κ 2βκ γ 0+ + > και 2λ 2βλ γ 0+ + <

ή 2κ 2βκ γ 0+ + < και 2λ 2βλ γ 0.+ + >

Επομένως, το τριώνυμο 2x 2βx γ+ +

έχει ετερόσημες τιμές για x κ= και για x λ.= Όμως, αυτό συμβαίνει μόνο στην περίπτωση που το παραπάνω τριώνυμο έχει διακρίνουσα θετική. Έχουμε λοιπόν

Δ 0> ή ισοδύναμα

( )22β 4 1 γ 0− ⋅ ⋅ > οπότε

24β 4γ> και τελικά

2β γ.>

Σχόλιο Το τριώνυμο

2αx βx γ, α 0+ + ≠ παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές αν και μόνο αν έχει διακρίνουσα

Δ 0.>



i) 2x 4x> ii) 2x 6 5x.+ <

Λύση

i) Έχουμε 2x 4x> 2x 4x 0.⇔ − >

To τριώνυμο 2x 4x− έχει α 1 0= > και ρίζες τους αριθμούς 1x 0= και 2x 4.= Οπότε, το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Επομένως,

( ) ( )2x 4x 0 x , 0 4, .− > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

ii) Έχουμε 2 2x 6 5x x 5x 6 0.+ < ⇔ − + <

Το τριώνυμο 2x 5x 6− + έχει α 1 0= > και ρίζες τους αριθμούς 1x 2= και

2x 3.= Οπότε, το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Άρα,

( )2x 5x 6 0 x 2, 3 .− + < ⇔ ∈

x −∞ 0 4 +∞

2x 4x− + – +

x −∞ 2 3 +∞

2x 5x 6 + – +

0 0

0 0



i) 216x 8x 1 0− + ≤ ii) 2x 4x 5 0.+ + ≤

Λύση

i) Έχουμε

216x 8x 1 0− + ≤

( )24x 2 4x 1 0⇔ − ⋅ + ≤

( )24x 1 0.⇔ − ≤

Kαι επειδή

( )24x 1 0− ≥ για κάθε x∈ ,


( )24x 1 0− =

4x 1 0⇔ − =

4x 1⇔ =

1x .4

⇔ =

ii) To τριώνυμο

2x 4x 5+ +

έχει

α 1 0= >

και διακρίνουσα 2Δ 4 4 5 4 0.= − ⋅ = − <

Επομένως, 2x 4x 5 0+ + > για κάθε x∈ .

Άρα, η δοθείσα ανίσωση είναι αδύνατη.


+ – +

21. Nα βρείτε τις τιμές του ∈x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

− + <2x 6x 5 0 και − + >2x 6x 8 0. Λύση

● Σχετικά με την πρώτη ανίσωση παρατηρούμε ότι το τριώνυμο 2x 6x 5− + έχει

α 1 0= > και ρίζες τους αριθμούς 1 και 5. Επομένως,

( )2x 6x 5 0 x 1, 5 .− + < ⇔ ∈

● Σχετικά με τη δεύτερη ανίσωση παρατηρούμε ότι το τριώνυμο 2x 6x 8− + έχει

α 1 0= > και ρίζες τους αριθμούς 2 και 4. Επομένως,

( ) ( )2x 6x 8 0 x , 2 4, .− + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι οι δοθείσες ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε ( ) ( )x 1, 2 4, 5 .∈ ∪

x 1 5 x΄

x 1 2 4 5 x΄

x 2 4 x΄

+ – +


22. Nα λύσετε την ανίσωση 2 2x 3x 4 2x .− + <

Λύση

Το τριώνυμο 2x 3x 4− +

έχει α 1 0= >

και διακρίνουσα

( )2Δ 3 4 4 7 0= − − ⋅ = − < .

Επομένως, 2x 3x 4 0− + > για κάθε x∈

και συνεπώς 2 2x 3x 4 x 3x 4− + = − + για κάθε x∈ .

Με βάση τα παραπάνω, η δοθείσα ανίσωση ισοδύναμα γράφεται 2 2 2x 3x 4 2x x 3x 4 0.− + < ⇔ − − + <

Το τριώνυμο 2x 3x 4− − +

έχει α 1 0,= − < διακρίνουσα ( ) ( )2Δ 3 4 1 4 25 0= − − ⋅ − ⋅ = > και ρίζες τους αριθμούς

1x 4= − και 2x 1.=

Το πρόσημο του τριωνύμου αυτού φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Άρα, 2 2 2x 3x 4 2x x 3x 4 0− + < ⇔ − − + <

( ) ( )x , 4 1, .⇔ ∈ −∞ − ∪ + ∞

x −∞ 4− 1 +∞

2x 3x 4 – + –

0 0


23. Δίνεται η ανίσωση

− + > ∈2 3x λx λ , λ4

.

Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ∈λ για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για κάθε ∈x .

Λύση

Έχουμε

2 3x λx λ4

− + >

2 3x λx λ 04

⇔ − + − >

(1)

To τριώνυμο

2 3x λx λ4

− + −

έχει α 1 0= > και διακρίνουσα

( )2 3Δ λ 4 λ4

= − − −

2λ 4λ 3.= − +

Επομένως, η ανίσωση (1) αληθεύει για κάθε x∈ αν και μόνο αν

2Δ 0 λ 4λ 3 0< ⇔ − + <

( )( )λ 1 λ 3 0⇔ − − <

1 λ 3.⇔ < <

Δηλαδή, αν και μόνο αν ( )λ 1, 3 .∈

Σχόλιο Το τριώνυμο

2αx βx γ, α 0

γίνεται ομόσημο του α για κάθε x αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

Δ 0.

λ −∞ 1 3 +∞

2λ 4λ 3− + + – +

0 0



i) − + ≥2 2α 3αβ 3β 0 για κάθε ∈α,β

ii) + >2 2

1 1 13β α αβ

για κάθε ∈ *α,β .

Λύση

i) Η παράσταση 2 2 2 2α 3αβ 3β α 3β α 3β− + = − ⋅ +

είναι τριώνυμου 2ου βαθμού ως προς α για κάθε β .∈ Ο συντελεστής του 2α είναι ο αριθμός 1 0> και η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι

( )2 2 2Δ 3β 4 3β 3β 0.= − − ⋅ = − ≤ Επομένως,

2 2α 3αβ 3β 0− + ≥ για κάθε α,β .∈

ii) Έχουμε

2 2

1 1 13β α αβ

+ >

2 2 2 2 2 22 2

1 1 13α β 3α β 3α β3β α αβ

⇔ ⋅ + ⋅ > ⋅

2 2α 3β 3αβ⇔ + >

2 2α 3αβ 3β 0⇔ − + > ,

που ισχύει για κάθε α,β *∈ όπως προκύπτει από το ερώτημα i).


( ) ( )2x 2 λ 1 9λ 5 0 με λ .+ + + − = ∈ Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ∈ για τις οποίες η

παραπάνω εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες 1 2x , x με 1 2x x≠ και τέτοιες, ώστε

2 21 2 1 2x x x x 0.+ ≤


Λύση

● Αρχικά βρίσκουμε τις τιμές του λ για τις οποίες η δοθείσα εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες 1 2x , x . Έχουμε

( ) ( )( )( )

2

2

2

2

Δ 0 4 λ 1 4 9λ 5 0

4 λ 2λ 1 9λ 5 0

4 λ 7λ 6 0

λ 7λ 6 0.

> ⇔ + − − >

⇔ + + − + >

⇔ − + >

⇔ − + >

Το τριώνυμο 2λ 7λ 6− + έχει α 1 0= > και ρίζες τους αριθμούς 1λ 1= και 2λ 6.= Το πρόσημο αυτού του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Άρα, ( ) ( )2Δ 0 λ 7λ 6 0 λ ,1 6,> ⇔ − + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

● Στη συνέχεια βρίσκουμε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση

( )

( ) ( )( )( )

2 21 2 1 2 1 2 1 2x x x x 0 x x x x 0

P S 0

9λ 5 2 λ 1 0

2 λ 1 9λ 5 0.

+ ≤ ⇔ + ≤

⇔ ⋅ ≤

⇔ − ⋅ − + ≤ ⇔ − + − ≤

Το τριώνυμο ( )( ) 22 λ 1 9λ 5 18λ 8λ 10− + − = − − + έχει α 18 0= − < και ρίζες τους

αριθμούς 1λ 1= − και 2

5λ .9

=

Το πρόσημο του τριωνύμου αυτού φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Άρα

( )( )

( ]

2 21 2 1 2x x x x 0 2 λ 1 9λ 5 0

5λ , 1 , .9

+ ≤ ⇔ − + − ≤

⇔ ∈ −∞ − ∪ + ∞

λ −∞ 1 6 +∞

2λ 7λ 6 + – +

0 0

λ −∞ –1 59

+∞

( )( )2 λ 1 9λ 5− + − – + –

0 0


● Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι οι σχέσεις

Δ 0> και 2 21 2 1 2x x x x 0+ ≤

συναληθεύουν για κάθε

( ] ( )5x , 1 ,1 6, .9 ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞

Επομένως, η αρχική εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x x≠ με 2 2

1 2 1 2x x x x 0+ ≤ αν και μόνο αν

( ] ( )5x , 1 , 1 6, .9 ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞


( ) ( )2 2x 3λ 2 x 3λ 4λ 1 0 με λ .+ − + − + = ∈

Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ για τις οποίες η εξίσωση αυτή:

i) έχει πραγματικές ρίζες ii) έχει ομόσημες πραγματικές ρίζες. Λύση

i) H δοθείσα εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

Δ 0≥ . Έχουμε λοιπόν

( ) ( )2 2

2 2

2

Δ 0 3λ 2 4 3λ 4λ 1 0

9λ 12λ 4 12λ 16λ 4 03λ 4λ 0.

≥ ⇔ − − − + ≥

⇔ − + − + − ≥

⇔ − + ≥

Το τριώνυμο 23λ 4λ− + έχει α 3 0= − < και ρίζες τους αριθμούς 1λ 0= και

2

4λ .3

= Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

x –1 1 6 x΄

5

9


Άρα,

2 43λ 4λ 0 λ 0, .3

− + ≥ ⇔ ∈

ii) ● H δοθείσα εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν

4Δ 0 λ 0, .3

≥ ⇔ ∈

● Οι ρίζες αυτές είναι ομόσημες, αν και μόνο αν έχουν θετικό γινόμενο.

Δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

2Ρ 0 3λ 4λ 1 0.> ⇔ − + >

Το τριώνυμο 23λ 4λ 1− + έχει α 3 0= > και ρίζες 1

1λ3

= και 2λ 1.= Το

πρόσημο του τριωνύμου αυτού φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως,

( )2 13λ 4λ 1 0 x , 1, .3

− + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι οι σχέσεις

Δ 0 και Ρ 0≥ >

συναληθεύουν για κάθε 1 4x 0, 1, .3 3

∈ ∪

λ −∞ 0 43

+∞

23λ 4λ – + –

0 0

λ −∞ 13

1 +∞

23λ 4λ 1 + – +

0 0

x 0 1 x΄

13

43


27. Nα βρείτε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη ακέραια τιμή του αριθμού κ για την οποία η εξίσωση

( ) ( )2κ 1 x 3 κ 1 x 2κ 0− − − + = είναι αδύνατη.

Λύση

● Για κ 1= η δοθείσα εξίσωση γίνεται 20x 0x 2 0 2 0− + = ⇔ =

και είναι αδύνατη. ● Για κ 1≠ η δοθείσα εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα

( ) ( )( ) ( )( )( )

2Δ 9 κ 1 4 κ 1 2κ

κ 1 9 κ 1 8κ

κ 1 κ 9

= − − −

= − − − = − −

Η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη αν και μόνο αν ( )( )Δ 0 κ 1 κ 9 0.< ⇔ − − <

Το τριώνυμο ( )( ) 2κ 1 κ 9 κ 10κ 9− − = − +

έχει α 1 0= > και ρίζες τους αριθμούς 1κ 1= και 2κ 9.= Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Άρα

( )( )Δ 0 κ 1 κ 9 0 1 κ 9.< ⇔ − − < ⇔ < <

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η μικρότερη ακέραια τιμή του κ για την

οποία η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη είναι η τιμή κ 1= και η μεγαλύτερη

ακέραια τιμή είναι η κ 8.=

κ −∞ 1 9 +∞

( )( )κ 1 κ 9− − + – +

0 0



37. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα:

i) 2x 7x 6− + ii) 24x 9x 2− + .

38. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: i) 2x 9x 14+ + ii) 22x 5x 3− − iii) 26x x 1− − iv) 2x 7x 10.− + −

39. Nα παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα:

i) 2 2x 2αx 3α+ − ii) ( )2αx αβ 1 x β.− + +


i) 2

2

x 8x 15x 7x 10

− +− +

ii) 2

2

2x 5x 33x 7x 4

− +− +

.


i) ( )( )2

2

x 1 x 2x 3x x 2

+ − +

− − ii)

4 2

2

x 10x 9 .x 4x 3− +− +


i) 2

2

x x 2x 4x 5

+ −+ −

ii) 2

2

x 7x 12x 3x

− − −+

iii) 2

2

2x 5 x 3x 2 x 15

+ −− −

iv) 4 2

2

x 5x 4 .x 3x 2− +− +


i) 2 2

2 2

x αx 6αx 7αx 12α

− −− +

ii) ( )2

2

x α 1 x αx αx

− + +−

.

44. Για τις διάφορες τιμές του x ,∈ να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων: i) 2x 3x 10− − ii) 23x 7x 2.− + −


45. Για τις διάφορες τιμές του x ,∈ να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων: i) 2x 5x 7− + − ii) 24x 12x 9− + iii) 2x 4x 5.− +

46. Για τις διάφορες τιμές του x ,∈ να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων:

i) ( )2 2κ 1 x 2κx 1,+ + + με κ∈ ii) ( )2 2αx α 1 x α, με α 1.− + + >

47. Nα λύσετε τις ανισώσεις: i) 2x 4x≤ ii) 2x x 6+ ≤ iii) 2x 8x 7 0− + > iv) 23x 7x 2 0.− + <

48. Nα λύσετε τις ανισώσεις: i) 22x x 5 0+ + ≤ ii) 25x 4x 1 0+ + > iii) 24x 4x 1 0− + ≤ iv) 29x 12x 4 0.− + >


i) 2x 5x≥ ii) 2x 9<

iii) ( )x 2x 1 21+ ≤ iv) ( ) ( )22x x 3 3 x 3 .+ > +


i) ( ) ( ) ( )2 2 2x 2 3 x 2 x 4− + + ≥ + ii) ( ) ( ) ( )2 2 23 x 2 2x 1 6 3x 1− − + ≤ + +

iii) ( ) 21 3 x 3x 1 3 0− + − − < iv) ( ) ( ) ( )3 2x 1 2x 1 x x 2 .+ − + > +

51. Να βρείτε τις τιμές του x∈ για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: i) 25x x 4 13< + < ii) 23 x 4x 5.− < − <

52. Να βρείτε τις τιμές του x∈ για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

i) 21 x 2x< ≤ ii) 22 x x 6.≤ − <

53. Να βρείτε τις τιμές του x∈ για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

2x 3x 2 0− + > και 2x 2x 8.− <



( )x x 3 40+ ≤ και 2x 2 2 2x.+ >


2x 5 3− ≥ και 2x 12 8x.+ ≤


2x x 3 3.− − <


2x 1 3− ≤ και 2x 2x 2 5.− + <

58. Να βρείτε τις τιμές του λ∈ για τις οποίες oι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν πραγματικές ρίζες:

i) 2x λx 2λ 3 0+ + − = ii) 2 2x 5λ λ λ 0.− + − =

59. Να βρείτε τις τιμές του μ∈ για τις οποίες oι παρακάτω ανισώσεις αληθεύουν για κάθε x :∈

i) 2x μx 5 3μ 0− + + − < ii) 2x 2μx μ 2 0.− + + ≥

60. Να βρείτε τις τιμές του λ∈ για τις οποίες οι παρακάτω ανισώσεις είναι

αδύνατες:

i) ( )2 2x 3λx 2λ λ 0+ + + ≤ ii) ( )2x 2 λ 1 x 4λ 0.− + + − >

61. Να βρείτε τις τιμές του λ∈ για τις οποίες oι παρακάτω ανισώσεις αληθεύουν

για κάθε x :∈

i) ( )2x 2λx λ 12 0+ + + ≥ ii) ( ) ( )2x λ 2 x 1 3λ 0.− + + − + <

62. Να βρείτε τις τιμές των λ, μ∈ για τις οποίες οι παρακάτω ανισώσεις

αληθεύουν για κάθε x :∈ i) ( ) 2λ 1 x μ 5μ 6− > − + ii) ( ) 2λ 2 x μ 8μ 7.+ < − +


63. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου κ∈ για τις οποίες η εξίσωση

( ) ( ) ( )2κ 2 x 8 2κ x 8 3κ 0− + − − − =

έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

64. Να βρείτε τις τιμές του α∈ για τις οποίες η εξίσωση

( )2 1αx α 2 x 04

+ + − =

έχει πραγματικές ρίζες.

65. Δίνεται η εξίσωση 2 4λ 3x λx 0, λ

4−

− + = ∈

η οποία έχει δύο ρίζες 1 2x , x , πραγματικές και άνισες.

i) Nα αποδείξετε ότι ( ) ( )λ ,1 3, .∈ −∞ ∪ +∞

ii) Nα βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση

( )1 2 1 2λ x x 4x x 8.+ − =

66. Δίνεται η εξίσωση ( ) ( )2 2x μ 1 x μ 1 0+ − − + = , μ∈ .

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε

μ∈ .

ii) Έστω 1 2x , x οι ρίζες της εξίσωσης. Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες

ισχύει η σχέση

1 1 2 2x 2x x 4 x− > − .


( )2x α 3 x α 2 0− − − + = , α∈ .

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε α∈ .

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και

μόνο αν α 1≠ .


iii) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x , x πραγματικές και άνισες για

τις οποίες ισχύει

1 1 2 22αx 3x x 2αx 1− + ≤ − ,

να βρείτε τις τιμές του α.

68. Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση

( )( )4 2 4 2x 3x 1 x 3x 3 1.− + − + +

69. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει η σχέση 2 2x y 2x 12y 33 0,+ + + + =


i) ( ) ( )2 2x 1 y 6 4+ + + =

ii) x y> . 70. Δίνονται οι ανισώσεις

2x 3x 0− < και 2x 1 3.− ≤

i) Να βρείτε τις λύσεις τους. ii) Να βρείτε τις κοινές λύσεις τους. iii) Αν οι αριθμοί 1x και 2x ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο

ανισώσεων, να αποδείξετε ότι και ο αριθμός 1 2x x2+ ανήκει στο ίδιο σύνολο.


2x λx λ 3, λ .− = + ∈ i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες 1 2x , x

με 1 2x x .< ii) Να αποδείξετε ότι 1 2x 1 x .< − < iii) Nα βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ρίζες 1x και 2x είναι αρνητικοί

αριθμοί. iv) Nα βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση

2 21 2 1 2x x x x 2.+ >


72. i) Να λύσετε την εξίσωση 2 2x 7x 8 8 7x x .− − = + −

ii) Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς

2 7, 3 3 και 2 3 4+ − + +

είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης.

73. Να βρείτε τις τιμές του μ∈ για τις οποίες ισχύει

2 4μ 5x μx 04+

+ + > για κάθε x∈ .

74. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x x 1 2+ > ii) ( )x 1 x 2.+ > −

75. Να βρείτε τις τιμές του α∈ έτσι, ώστε να ισχύει

2 2x y 2x y α 0+ − − + > για κάθε x, y .∈

76. Δίνεται το τριώνυμο 2x κx 2λ− + + με κ, λ∈

το οποίο έχει δύο ρίζες 1 2x x≠ τέτοιες, ώστε

1x 2< και 2x 2< .

Να αποδείξετε ότι: i) λ 2< ii) κ 4<

iii) 4 2κ 2λ 0− + + < iv) ( )( )λ κ 2 λ κ 2 0.+ − − − >

77. Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ με α 0≠ τέτοιοι, ώστε

α β γ 0+ + < , 4α 2β γ 0+ + > και 9α 3β γ 0+ + < .

Να αποδείξετε ότι: i) 2β 4αγ> ii) α 0<

iii) β 0> και γ 0< iv) γ β5 11.α−

< <

Ανισώσεις 379


1. Ποιες είναι οι λύσεις της ανίσωσης αx β 0+ > όταν α 0> και ποιες όταν α 0< ;

2. Τι ονομάζουμε τριώνυμο 2ου βαθμού;

3. Έστω το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠ με Δ 0> και ρίζες 1 2x , x . Να αποδείξετε την ταυτότητα

( )( )21 2αx βx γ α x x x x .+ + = − −

4. Δίνεται το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠ με Δ 0> και ρίζες τους αριθμούς

1 2x , x με 1 2x x .< Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο γίνεται ετερόσημο του α για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών του 1 2x , x .

5. Δίνεται το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠ με Δ 0< . Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε x∈ .

Eρωτήσεις Σωστού-Λάθους

1. Αν η ανίσωση αx β 0+ ≥ έχει λύση όλο το , τότε ισχύει α 0 και β 0.= = Σ Λ 2. Αν το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠ έχει διακρίνουσα Δ 0,> τότε ισχύει

η ταυτότητα ( )( )2

1 2αx βx γ α x x x x+ + = + + όπου 1 2x , x οι ρίζες του τριωνύμου. Σ Λ

3. Αν το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠ έχει διακρίνουσα Δ 0,= τότε ισχύει η ταυτότητα

2

2 βαx βx γ α x2α

+ + = +

Σ Λ

4. Το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠ γίνεται ετερόσημο του α μόνο όταν Δ 0,> και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών. Σ Λ

5. Αν το τριώνυμο 2αx βx γ+ + έχει διακρίνουσα Δ 0= και α 0,> τότε η ανίσωση 2αx βx γ 0+ + ≤ είναι αδύνατη. Σ Λ


Διαγώνισμα

Θέμα Α

A1. Αν το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠

έχει διακρίνουσα Δ 0,> να αποδείξετε ότι:

( )( )21 2αx βx γ α x x x x+ + = − −

όπου 1 2x , x οι ρίζες του τριώνυμου. Α2. Ποιες ανισώσεις ονομάζουμε δεύτερου βαθμού;

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν α 0,> τότε βαx β 0 x .α

+ > ⇔ > −

β) Αν το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠

έχει διακρίνουσα Δ 0,= τότε 2

2 βαx βx γ α x .2α

+ + = +

γ) Αν το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠

έχει διακρίνουσα Δ 0< , τότε το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.

δ) Το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠

γίνεται ετερόσημο του α, μόνο όταν είναι Δ 0> και για τις τιμές του x, που βρίσκονται μεταξύ των ριζών του.

ε) Το τριώνυμο 2αx βx γ, α 0+ + ≠

γίνεται ομόσημο του α για κάθε x∈ αν και μόνο αν Δ 0.=

Ανισώσεις 381

Θέμα Β

Δίνεται η παράσταση 4 2

2

x 5x 4Κ .x x 2− +

=− −

Β1. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2x 5x 4.− + Β2. Να βρείτε τις τιμές του x∈ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Κ. Β3. Να απλοποιήσετε την παράσταση Κ. Θέμα Γ

Γ1. Να λύσετε την ανίσωση

2x 7 3.+ >


x 1 x 1 31 .12 2 3+ + −

≥ +

Γ3. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων Γ1 και Γ2.

Γ4. Αν ο αριθμός α ανήκει στο σύνολο των κοινών λύσεων του ερωτήματος Γ3, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης

22α 7α 6.− +

Θέμα Δ Δίνεται το τριώνυμο

( )2x λ 2 x 2λ 7, λ+ − + − ∈ .

Δ1. Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να λύσετε την εξίσωση

Δ 0= .

Δ2. Nα βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει

( )2x λ 2 x 2λ 7 0+ − + − > για κάθε x∈ .

Δ3. Nα βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το παραπάνω τριώνυμο έχει δύο άνισες και ομόσημες ρίζες.

Πρόοδοι - Aκολουθίες 383

Πρόοδοι


«To βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο με μαθηματικούς χαρακτήρες.»

Galileo Galilei


Ακολουθίες

Η Έννοια της Ακολουθίας

● Ονομάζουμε ακολουθία πραγματικών αριθμών κάθε αντιστοίχιση του συνόλου

των θετικών ακεραίων 1,2,3,4,5,..., ν,... στο σύνολο των πραγματικών

αριθμών .

● Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχίζεται ο αριθμός 1 ονομάζεται πρώτος όρος της

ακολουθίας και τον συμβολίζουμε με 1α .

Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχίζεται ο αριθμός 2 ονομάζεται δεύτερος όρος της

ακολουθίας και τον συμβολίζουμε με 2α κ.λ.π.

Γενικά, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχίζεται ο αριθμός ν ονομάζεται ν-οστός ή

γενικός όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε με να . Δηλαδή:

1 2 3 ν1 α , 2 α , 3 α ,...., ν α ,....

Την ακολουθία αυτή συμβολίζουμε με να .

Ακολουθίες που Ορίζονται από τον Γενικό Όρο

Ο καλύτερος τρόπος για να ορίσουμε μία ακολουθία είναι να γνωρίζουμε τον γενικό

της όρο, αφού στην περίπτωση αυτή μπορούμε να βρούμε αμέσως τον οποιονδήποτε

όρο της.


Στην ακολουθία με γενικό όρο ν

να

ν 2

, για κάθε ν έχουμε:

1 2 3

1 1 2 1 3 3α , α , α

1 2 3 2 2 2 3 2 5

και

98

98 98 49α κ.λ.π.

98 2 100 50

Ακολουθίες που Ορίζονται Αναδρομικά

Υπάρχουν ακολουθίες που ορίζονται ως εξής:

● Δίνεται ο πρώτος όρος της ακολουθίας και

● Δίνεται ένας τύπος (αναδρομικός τύπος) από τον οποίο υπολογίζουμε κάθε όρο

της ακολουθίας, εφόσον γνωρίζουμε τον προηγούμενό του.



Στην ακολουθία με πρώτο όρο1

α 0 και αναδρομικό τύπο

ν 1 να 1 α

, για κάθε ν

έχουμε:

1

2 1 1 1

3 2 1 2

4 3 1 3

α 0,

α α 1 α 1 0 1,

α α 1 α 1 1 2,

α α 1 α 1 2 , κ.λ.π.


Δίνεται η ακολουθία να με γενικό όρο

ν

να 1 3 για κάθε ν * .

Να ορίσετε την παραπάνω ακολουθία και αναδρομικά.

Λύση

Θέτοντας στον γενικό όρο της ακολουθίας όπου ν το ν 1 προκύπτει ότι

ν 1

ν 1α 1 3

για κάθε ν *


ν

ν 1α 1 3 3


Όμως

ν ν

ν να 1 3 3 α 1 για κάθε ν * .

Οπότε έχουμε

ν 1 να 1 3 α 1

ν 1 ν

α 1 3α 3

ν 1 ν

α 3α 2

για κάθε ν *.

Και επειδή

1

1α 1 3 4 ,

η ακολουθία να ορίζεται αναδρομικά ως εξής:

1α 4 και

ν 1 να 3α 2

για κάθε ν * .



1. Δίνεται η ακολουθία να με γενικό όρο

ν ν

1α

2 για κάθε ν *.

i) Nα βρείτε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας.


ν 1 ν

1α α


Λύση

i) Έχουμε

1 1

1 1α

2 2 ,

2 2

1 1α

2 4 ,

3 3

1 1α

2 8 ,

4 4

1 1α

2 16

και

5 5

1 1α .

2 32

ii) Έχουμε

ν 1α ν 1

1

2

ν

1

2 2

ν

1 1

2 2 ν

1α


Σχόλιο Για να βρούμε τον όρο

ν 1α

θέτουμε στον γενικό όρο

της ακολουθίας να όπου

ν το ν 1.

Σημείωση Ονομάζουμε ακολουθία πραγματικών

αριθμών κάθε αντιστοίχιση του συνόλου

* των θετικών ακέραιων αριθμών στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Οι ακολουθίες ορίζονται:

● Από τον γενικό όρο τους ή

● Αναδρομικά, αν γνωρίζουμε τον

πρώτο όρο α1 και έναν τύπο από τον

οποίο υπολογίζουμε κάθε όρο της

ακολουθίας αν γνωρίζουμε τον

προηγούμενό του.


2. Δίνεται η ακολουθία να με πρώτο όρο

1

α 0

και αναδρομικό τύπο

ν 1

ν

1α

1 α για κάθε ν *.

Nα βρείτε τους όρους 2 3 4 5α , α , α και α της παραπάνω ακο-

λουθίας.

Λύση

● Από τον αναδρομικό τύπο

ν 1

ν

1α για κάθε ν *

1 α

της ακολουθίας να για ν 1 παίρνουμε

1 1

1

1α

1 α

.

Δηλαδή,

2

1α 1

1 0

.

● Επίσης, για ν 2 έχουμε

3

2

1 1 1α

1 α 1 1 2

● Ομοίως, για ν 3 έχουμε

4

3

1 1 1 2α .

1 31 α 31

2 2

● Τέλος, για ν 4 έχουμε

5

4

1 1 1 3α .

2 51 α 51

3 3



1. Να βρείτε τον τρίτο και τον τέταρτο όρο των ακολουθιών να που ορίζονται

αναδρομικά ως εξής:

i) 1

α 3 και ν 1 ν

α 2α 1 για κάθε ν *

ii) 1

α 2 και ν

ν 1

ν

α 5α

α


iii) 1

α 4 και ν 1 ν

α α 7 για κάθε ν *

iv) 1

α 1 και ν 1 ν

ν

1 2α α

2 α



να 5ν 7 για κάθε ν *.

i) Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας να .


ν 1 να α 5



2

να ν 4ν για κάθε ν *.

i) Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας να .

ii) Nα βρείτε ποιοι όροι της ακολουθίας να επαληθεύουν τη σχέση

ν 1 ν0 α α 5.


ν

να 3 1 για κάθε ν *.

i) Να βρείτε τους τρεις πρώτους όρους της ακολουθίας να .


ν 1 να 3α 2



Αριθμητική Πρόοδος

Ορισμός

● Μία ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν και μόνο αν κάθε όρος της

προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Ο αριθμός αυτός λέγεται διαφορά της προόδου και συμβολίζεται με ω.

Επομένως:

● Μία ακολουθία να είναι αριθμητική πρόοδος, με διαφορά ω αν και μόνο αν


ν 1 να α ω για κάθε ν *


ν 1 να α ω για κάθε ν * .

Ν-οστός Όρος Αριθμητικής Προόδου

Πρόταση

Ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου να με πρώτο όρο

1α και διαφορά ω είναι

ν 1α α ν 1 ω για κάθε ν * .

Απόδειξη

Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

1 1

2 1

3 2

4 3

ν 1 ν 2

ν ν 1

α α

α α ω

α α ω

α α ω

........................................

α α ω

α α ω

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ν ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της

διαγραφής παίρνουμε

ν 1

ν 1 παράγοντες

α α ω ω ... ω

Δηλαδή,

ν 1α α ν 1 ω για κάθε ν *

Πρόοδοι – Aριθμητική Πρόοδος 391


Στην αριθμητική πρόοδο να 3, 7, 11, 15,……. , η οποία έχει πρώτο όρο α1 = 3 και

διαφορά 2 1

ω α α 7 3 4, ο ν-οστός όρος της είναι

ν 1α α ν 1 ω 3 ν 1 4.

Δηλαδή,

να 4ν 1 για κάθε ν .

Επομένως:

Ο 11ος

όρος της είναι 11

α 4 11 1 44 1 43

Ο 25ος

όρος της είναι 25

α 4 25 1 100 1 99 κ.λ.π.

Αριθμητικός Μέσος

Πρόταση

Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει

η σχέση

2β = α + γ


α γβ

2.

Απόδειξη

● Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω,

τότε έχουμε

β – α = ω και γ – β = ω.

Επομένως,

β – α = γ – β

και τελικά

α γ2β α γ β

2

.

● Αντιστρόφως, αν για τρείς αριθμούς α, β, γ ισχύει α γ

β ,2

τότε έχουμε

2β α γ β α γ β,

που σημαίνει ότι οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.


● Αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει η σχέση α γ

β ,2

τότε ο β λέγεται

αριθμητικός μέσος των α και γ.


Οι αριθμοί x 5, 2 x, 3x 3 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής πρόοδου αν και

μόνο αν ισχύει η σχέση

2 2 x x 5 3x 3

4 2x x 5 3x 3

6x 12

x 2.


3. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος να

5, 8, 11,...

i) Να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου.

ii) Να εξετάσετε αν υπάρχει όρος της προόδου ο οποίος είναι

επταπλάσιος του τρίτου όρου της.

Λύση

i) Ο πρώτος όρος της προόδου είναι ο

1α 5

και η διαφορά

2 1ω α α 8 5 3.

Επομένως,

να 1α ν 1 ω

5 ν 1 3

5 3ν 3

3ν 2 για κάθε ν *.

ii) Eξετάζουμε αν υπάρχει ν * τέτοιος,

ώστε

ν 3α 7α .

Σημείωση Μια ακολουθία λέγεται αριθμη-

τική πρόοδος, αν και μόνο αν

κάθε όρος της προκύπτει από τον

προηγούμενό του με πρόσθεση

του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Σημείωση

Μια ακολουθία να είναι αριθ-

μητική πρόοδος με διαφορά ω, αν

και μόνο αν ισχύει η σχέση

ν 1 να α ω για κάθε ν *


ν 1 να α ω για κάθε ν * .


Δηλαδή,

3ν 2 7 11


3ν 75

και τελικά

ν 25 *.

Άρα, υπάρχει όρος της προόδου ο οποίος

είναι επταπλάσιος του τρίτου όρου της. Ο

όρος αυτός είναι ο

25α 77.

4. Σε μια αριθμητική πρόοδο να ισχύουν οι σχέσεις

5α 19 και

4 9α α 50 .

Να βρείτε:

i) τον πρώτο όρο 1

α και τη διαφορά ω της προόδου

ii) τον δέκατο όρο 10

α της προόδου

iii) ποιος όρος της προόδου ισούται με 47.

Λύση

i) Έχουμε

5 1

α 19 α 4ω 19 (1)

Επίσης,

4 9

α α 50 1 1

α 3ω α 8ω 50

1

2α 11ω 50 (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) βρίσκουμε

1 1

α 19 4ω α 19 4ω

2 19 4ω 11ω 50 3ω 12

Δηλαδή,

ω 4 και 1α 3.

ii) Είναι

10 1α α 9ω .

Και επειδή

1α 3 και ω 4 ,


10α 3 9 4 39.

Σημείωση

Ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής

προόδου να με πρώτο όρο 1α

και διαφορά ω είναι

ν 1α α ν 1 ω



iii) Έχουμε

ν

α 47 1α ν 1 ω 47

3 ν 1 4 47

4ν 48

ν 12.

Δηλαδή,

12α 47.

5. Οι αριθμοί

3x 2, x 1 και 2x 5

είναι διαδοχικοί όροι κάποιας αριθμητικής προόδου να .

i) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x.

ii) Nα βρείτε τη διαφορά ω της προόδου.

iii) Aν ο αριθμός 3x 2 είναι ο έκτος όρος της προόδου, να βρείτε

τον πρώτο όρο της.

Λύση

i) Οι αριθμοί

3x 2, x 1 και 2x 5

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν

και μόνο αν ισχύει η σχέση

3x 2 2x 5 2 x 1

3x 9

x 3.

ii) Για x 3 έχουμε

3x 2 7, x 1 4 και 2x 5 1 .

Επομένως, η διαφορά ω της προόδου είναι

ω 4 7 3.

iii) Έχουμε

6α 3x 2 7.

Δηλαδή,

1 1

1

α 5ω 7 α 5 3 7

α 22.

Σημείωση

Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου αν και μόνο αν


α γ 2β


α γβ .

2

Ο αριθμός β λέγεται αριθμη-

τικός μέσος των α και γ.



ν

α 3ν 11 για κάθε ν *.


i) η ακολουθία να είναι αριθμητική πρόοδος

ii) ο αριθμός 32 δεν είναι όρος αυτής της προόδου.

Λύση

i) Έχουμε

ν 1α 3 ν 1 11 3ν 8

.

Επομένως,

ν 1 να α 3ν 8 3ν 11


Άρα, σύμφωνα με τον ορισμό, η ακολουθία

να είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά

ω 3.

ii) Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι ο

αριθμός 32 είναι όρος της προόδου.

Δηλαδή, υπάρχει ν * τέτοιος, ώστε

να 32.

Έχουμε λοιπόν

να 32 3ν 11 32

3ν 43

43ν

3

που είναι αδύνατο, αφού 43

*.3 Άρα, ο αριθμός 32 δεν είναι όρος της

αριθμητικής προόδου να .


Για να αποδείξουμε ότι μια

ακολουθία να είναι αριθ-

μητική πρόοδος, αρκεί να

αποδείξουμε ότι η διαφορά

ν 1 να α

είναι ο ίδιος αριθμός ω για

κάθε ν * .

Δηλαδή, ότι η παραπάνω

διαφορά είναι ανεξάρτητη

από τον ν.



5. Να βρείτε το ν-οστό όρο των αριθμητικών προόδων:

i) 5, 8, 11, ... ii) 12, 7, 2, ...


7α 23 και

10α 32.

Να βρείτε:


α και την διαφορά ω της προόδου

ii) τον εικοστό όρο 20




4 2α 2α 1 και

5 8α α 50.

Να βρείτε:



ii) τον ενδέκατο όρο 11



8. Σε μια αριθμητική πρόοδο να ο πρώτος όρος της

1α και η διαφορά ω είναι


2x 11x κ 0 ,

όπου κ ένας σταθερός πραγματικός αριθμός.

i) Να βρείτε τον δεύτερο όρο 2

α της προόδου.

ii) Αν ο τέταρτος όρος της προόδου είναι ο 4

α 15, να βρείτε:


α και ω

β) τον αριθμό κ.

9. Τρεις αριθμοί έχουν άθροισμα 21 και γινόμενο 91. Να βρείτε αυτούς τους αριθμούς

αν είναι γνωστό ότι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.


10. Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθ-

μητικής προόδου. Αν η υποτείνουσα του ορθογωνίου έχει μήκος 5, να βρείτε τα

μήκη των κάθετων πλευρών.

11. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε

ότι οι αριθμοί

β γ, α γ, α β

είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

12. Οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να αποδείξετε ότι:

i) οι αριθμοί

2 2α βγ, β αγ και 2γ αβ

είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

ii) αν ισχύει η σχέση

α β γ 1,

τότε οι δύο παραπάνω αριθμητικές πρόοδοι έχουν την ίδια διαφορά.

13. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β έτσι, ώστε οι αριθμοί

2, α, β και 7

να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.


7α 2x 9,

8α 4x 4 και

9α 5x 1.

Να βρείτε:

i) τον πραγματικό αριθμό x

ii) τον πρώτο όρο 1


iii) τον δωδέκατο όρο 12


15. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος

1, 4, 7, ...

i) Nα βρείτε ποιoς όρος της προόδου ισούται με 58.

ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου που υπερβαίνει τον αριθμό 300.


16. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος

2, 7, 12, ...



ii) Να βρείτε τον όρο ν

α της προόδου για τον οποίο ισχύει η σχέση

νν α 4ν 5 ν 3 .


2 7α α 22 και

4 10α α 42.

Να βρείτε:



ii) τον τελευταίο όρο της προόδου που είναι μικρότερος από τον αριθμό 797.

18. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος να της οποίας ο τέταρτος όρος είναι ίσος με 10

και ο πέμπτος ίσος με 16.

i) Να βρείτε τη διαφορά ω και τον πρώτο όρο 1


ii) Να βρείτε τον πεντηκοστό όρο 50


19. Σε μια αριθμητική πρόοδο να έχουμε

11α 4 και

19α 20.

i) Να βρείτε τον πρώτο όρο 1

α και τη διαφορά ω της προόδου.

ii) Να αποδείξετε ότι 20 60 30 50

α α α α .


10α 25 και

15 5α 4α .

Να βρείτε:



ii) τους τρεις διαδοχικούς όρους της προόδου που έχουν άθροισμα 39.

Πρόοδοι – Γεωμετρική Πρόοδος 399

Γεωμετρική Πρόοδος

Ορισμός

● Μία ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν και μόνο αν κάθε όρος της

προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη

μηδενικό αριθμό.

Ο αριθμός αυτός λέγεται λόγος της προόδου και συμβολίζεται με λ. Επομένως:

● Μία ακολουθία να είναι γεωμετρική πρόοδος, με λόγο λ ≠ 0 αν και μόνο αν


ν 1 να α λ για κάθε ν *


ν 1

ν

αλ για κάθε ν * .

α

● Σε μία γεωμετρική πρόοδο να υποθέτουμε πάντα ότι α1 ≠ 0 και επειδή ισχύει

λ ≠ 0, συμπεραίνουμε ότι

να 0 για κάθε ν *

Ν-οστός Όρος Γεωμετρικής Προόδου

Πρόταση

Ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου να με πρώτο όρο α1 και λόγο λ είναι

ν 1ν 1α α λ για κάθε ν * .

Απόδειξη

Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε:

1 1

2 1

3 2

4 3

ν 1 ν 2

ν ν 1

α α

α α λ

α α λ

α α λ

........................................

α α λ

α α λ


Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις παραπάνω ν ισότητες και εφαρμόζοντας την

ιδιότητα της διαγραφής παίρνουμε

ν 1

ν 1 παράγοντες

α α λ λ λ ... λ.

Δηλαδή, ν 1

ν 1α α λ για κάθε ν .


Στην γεωμετρική πρόοδο να 1, - 2, 4, - 8,…, η οποία έχει πρώτο όρο α1 = 1 και λόγο

2

1

α 2λ 2

α 1

, ο ν-οστός όρος της είναι

ν 1 ν 1 ν 1

ν 1α α λ 1 ( 2) ( 2) για κάθε ν .

Επομένως:

■ Ο 5ος

όρος της είναι 5 1 4

5α ( 2) ( 2) 16

■ Ο 8ος

όρος της είναι 8 1 7

8α ( 2) ( 2) 132 κ.λπ.

Γεωμετρικός Μέσος

Πρόταση

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και


β2 = α γ.

Απόδειξη

● Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε

έχουμε

β γλ και λ.

α β

Επομένως,

2β γβ αγ.

α β


● Αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠ 0 ισχύει 2β αγ τότε έχουμε

β γ

α β

που σημαίνει ότι οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

● Ο θετικός αριθμός αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των αριθμών α και γ.


Οι αριθμοί 2x 3, x, x 2 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής πρόοδου αν και μόνο

αν ισχύει η σχέση

2

2 2

2

x 2x 3 x 2

x 2x 4x 3x 6

0 x x 6

x 2 ή x 3.


7. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ν

α με λόγο λ έχουμε

5α 1 και

7 2α 32α .


λ 2 και 1

1α .

16

ii) Να βρείτε τον ν-οστό όρο ν


iii) Nα εξετάσετε αν υπάρχει όρος ν

α της προόδου τέτοιος, ώστε

να 64.

Λύση

i) Έχουμε

4

5 1α 1 α λ 1 (1)

Επίσης,

7 2

α 32α

6

1 1α λ 32α λ

Σημείωση

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική

πρόοδος αν και μόνο αν κάθε όρος της

προκύπτει από τον προηγούμενό του με

πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη

μηδενικό αριθμό.


5λ 32

55λ 2 .

Δηλαδή,

λ 2

και αντικαθιστώντας στη σχέση

(1) παίρνουμε

4

1α 2 1

116α 1

1

1α .

16

ii) Aντικαθιστώντας τις τιμές των λ και 1

α που

βρήκαμε στο ερώτημα i) έχουμε

ν 1 ν 1ν 1

ν 1 4

1 1α α λ 2 2

16 2

για κάθε ν Ν*.

Δηλαδή,

ν 5

να 2

για κάθε ν Ν*.

iii) Έχουμε

ν

α 64 ν 5 62 2

ν 5 6

2 2

Δηλαδή,

ν 5 6

και τελικά

ν 11.

Επομένως,

11α 64.


● Μια ακολουθία να είναι γεωμετρική

πρόοδος με λόγο

λ 0 ,

αν και μόνο αν ισχύει

1α 0

και

ν 1 να α λ για κάθε ν *


ν 1

ν

αλ

α για κάθε ν * .

● Σε μια γεωμετρική πρόοδο να έχουμε

1α 0 και λ 0.

Επομένως,

να 0 για κάθε ν * .

Σημείωση

Ο ν-οστός όρος μιας γεωμε-

τρικής προόδου με πρώτο

όρο 1

α και λόγο λ είναι

ν 1ν 1α α λ




x 5, x 1 και x 3

αποτελούν διαδοχικούς όρους κάποιας γεωμετρικής προόδου να .

i) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x.

ii) Ποιος είναι ο λόγος λ της προόδου;

iii) Aν o αριθμός x 1 είναι ο τέταρτος όρος 4

α της προόδου, να

βρείτε τον πρώτο όρο 1


Λύση

i) Οι αριθμοί

x 5, x 1 και x 3

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

2

x 1 x 5 x 3 .

Δηλαδή,

2 2x 2x 1 x 3x 5x 15


4x 16

και τελικά

x 4.

ii) Αντικαθιστώντας την τιμή του x που βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα έχουμε

x 5 9, x 1 3 και x 3 1.

Άρα, ο λόγος λ της προόδου είναι

3 1λ .

9 3

iii) Έχουμε

4

α x 1 4

α 4 1 3

1α λ 3

3

1

1α 3

3

3

1α 3 3

1α 81.

Σημείωση

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί

α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι

γεωμετρικής προόδου, αν και


2β αγ.

Ο θετικός αριθμός

β αγ

λέγεται γεωμετρικός μέσος

των α και γ.



ν

ν

2α 3 , ν * .

3

i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία να είναι γεωμετρική πρόοδος.

ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου να που υπερβαίνει τον

αριθμό 1000.

Λύση

i) Έχουμε

ν 1

ν 1

2α 3 .

3

Άρα,

ν 1ν 1

ν 1

ννν

23

α 33 32α 3

33


Επομένως, σύμφωνα με τον ορισμό, η

ακολουθία να είναι γεωμετρική πρόοδος

με λόγο

λ 3.

ii) Aρχικά βρίσκουμε ποιοι όροι της προόδου να υπερβαίνουν το 1000. Δηλαδή,

για ποιες τιμές του ν * ισχύει η σχέση

ν

α 1000.


ν

α 1000 ν23 1000

3

ν 13 500 (1)


43 81 500 , 53 243 500 και 63 729 500.

Άρα, η σχέση (1) ισχύει για κάθε ν * με ν 1 6 , δηλαδή, ν 7. Επομέ-

νως, ο πρώτος όρος της προόδου να που υπερβαίνει το 1000 είναι ο έβδομος

όρος

7 6

7

2α 3 2 3 2 729 1458.

3


Για να αποδείξουμε ότι μία

ακολουθία να είναι γεωμε-

τρική πρόοδος, αρκεί να

αποδείξουμε ότι ο λόγος

ν 1

ν

α

α

είναι ο ίδιος αριθμός λ για

κάθε ν *. Δηλαδή, ότι ο

παραπάνω λόγος είναι ανε-

ξάρτητος από το ν.



21. Να βρείτε τον ν-οστό όρο των παρακάτω γεωμετρικών προόδων:

i) 1

,1, 2, ...2

ii) 1 1

, , 1, ...9 3

22. Σε μία γεωμετρική πρόοδο να έχουμε

4α 2 και

5α 4.

Να βρείτε:

i) τον λόγο λ της προόδου



iii) τον δέκατο όρο 10


23. Σε μία γεωμετρική πρόοδο να έχουμε

2

α 4 και 5

4α .

27

Να βρείτε:




iii) το ν-οστό όρο ν


24. Σε μία γεωμετρική πρόοδο να ο πέμπτος όρος είναι ίσος με 48 και ο όγδοος

όρος είναι ίσος με 384. Να βρείτε:




iii) τον ενδέκατο όρο 11


25. Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος

16 8 4, , , ...

81 27 9

Να βρείτε:


ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 243

.32


26. Σε μια γεωμετρική πρόοδο να ο πρώτος όρος της

1α και ο λόγος είναι οι ρίζες

της εξίσωσης

2x αx 6 0,

όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός.

i) Να βρείτε τον δεύτερο όρο 2


ii) Aν ο πέμπτος όρος της προόδου είναι ο 5

α 48, να βρείτε:


α και λ

β) τον αριθμό α.

27. Οι τρεις πρώτοι όροι μιας γεωμετρικής προόδου να προκύπτουν από τους

αριθμούς 1, 1 και 5 αν σε καθέναν από αυτούς προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό.

i) Να αποδείξετε ότι 1

α 2.

ii) Να βρείτε τον λόγο λ της προόδου.

28. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β έτσι ώστε οι αριθμοί

1, α, β

4 και 2

να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

29. Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς α, β και γ έτσι, ώστε οι αριθμοί

9, α, β, γ και 1

9

να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.


1 1 1, ,

α β α γ α β

αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.



i) οι αριθμοί α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου

ii) 2 2

α β γ γ α β .

31. Σε μια γεωμετρική πρόοδο να με λόγο λ 0 έχουμε

3 1α α 9 και

5 3α α 36.

Να βρείτε:

i) τον λόγο λ και τον πρώτο όρο 1


ii) τον πρώτο όρο της προόδου που υπερβαίνει τον αριθμό 90.

32. Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος να με πρώτο όρο

1α 48 και λόγο

1λ .

2

Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου που είναι μικρότερος από τον αριθμό 3

64.

33. Σε μια γεωμετρική πρόοδο να το γινόμενο των τεσσάρων πρώτων όρων της

είναι ίσο με 64 και ο έβδομος όρος είναι 7

α 64.

i) Να βρείτε τον πρώτο όρο 1


ii) Αν επιπλέον ισχύει

100 101 102α α α 0


100101 102 103α α α

2 .3



1. Πότε μία ακολουθία ν

α λέγεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω;

2. Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου να με πρώτο όρο

1α και διαφορά ω είναι

ν 1α α ν 1 ω για κάθε ν *.

3. Να αποδείξετε ότι τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

2β α γ.

4. Να δώσετε τον ορισμό του αριθμητικού μέσου δύο αριθμών α και γ.

5. Πότε μία ακολουθία να λέγεται γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ 0;

6. Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου να με πρώτο όρο

1α και λόγο λ 0 είναι

ν 1

ν 1α α λ για κάθε ν *.

7. Να αποδείξετε ότι τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι

γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

2β αγ.

8. Να δώσετε τον ορισμό του γεωμετρικού μέσου δύο ομόσημων αριθμών α και γ.

Πρόοδοι 409


1. Mία ακολουθία να λέγεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω αν

και μόνο αν ισχύει

ν ν 1

α α ω

για κάθε ν *. Σ Λ

2. Ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α1 και

διαφορά ω είναι

ν 1α α ν 1 ω. Σ Λ

3. Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν

και μόνο αν ισχύει

α γ

β2

. Σ Λ

4. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε

ο β ονομάζεται αριθμητικός μέσος των α και γ. Σ Λ

5. O ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο α1 και λόγο λ

είναι ν

ν 1α α λ . Σ Λ

6. Υπάρχει γεωμετρική πρόοδος που κάποιος όρος της ισούται με μηδέν. Σ Λ

7. Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής

προόδου αν και μόνο αν ισχύει

β αγ. Σ Λ

8. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε

ο β ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Σ Λ



Θέμα Α

Α1. Να αποδείξετε ότι οι μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι

γεωμετρικής προόδου, αν και μόνo αν

2β αγ.

A2. Να δώσετε τον ορισμό της αριθμητικής προόδου.

A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα



α) Ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1

α και διαφορά ω

είναι

ν 1α α ν ω για κάθε ν *.

β) Οι όροι κάθε γεωμετρικής προόδου να είναι μη μηδενικοί πραγματικοί

αριθμοί.

γ) Μια ακολουθία να είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ 1 , αν και μόνο

αν ισχύει

ν

ν 1

αλ

α


δ) Ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1

α και λόγο λ είναι

ν

ν 1α α λ για κάθε ν *.

ε) Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και

μόνο αν ισχύει

β α γ.

Πρόοδοι 411

Θέμα Β

Σε μία αριθμητική πρόοδο να ο όγδοος όρος της

8α είναι ίσος με 11, ενώ το

άθροισμα του πρώτου και του τρίτου όρου είναι 1 3

α α 2.

Β1. Να βρείτε τον πρώτο όρο 1

α και τη διαφορά ω της παραπάνω προόδου.

Β2. Nα βρείτε ποιος όρος της παραπάνω προόδου είναι ίσος με 21.

Β3. Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός 50 δεν είναι όρος της παραπάνω προόδου.

Θέμα Γ

Oι αριθμοί x 2, x 1 και 4 αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

Γ1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x.

Γ2. Nα βρείτε τον λόγο λ της προόδου.

Γ3. Αν ο αριθμός x 1 είναι ο τρίτος όρος 3

α της προόδου, να βρείτε:

α) τον πρώτο όρο 1


β) τον δωδέκατο όρο της προόδου.

Θέμα Δ

Ένα Αρχαίο Θέατρο έχει 35 σειρές καθισμάτων. Κάθε σειρά έχει πέντε καθίσματα

παραπάνω από την προηγούμενη σειρά και η έκτη σειρά έχει 55 καθίσματα.

Δ1. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί των καθισμάτων κάθε σειράς αποτελούν αριθμητική

πρόοδο και να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων της πρώτης σειράς.

Δ2. Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά και πόσα η μεσαία σειρά.

Δ3. Να βρείτε ποια σειρά του θεάτρου έχει 140 καθίσματα.

Δ4. Μία ομάδα τουριστών, προκειμένου να παρακολουθήσει μία παράσταση του

θεάτρου, κατέλαβε όλα τα καθίσματα από την τρίτη μέχρι και την πέμπτη σειρά.

Να βρείτε το πλήθος της ομάδας των τουριστών.

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων – Η Έννοια της Συνάρτησης 413

Βασικές Έννοιες

των Συναρτήσεων


«Aυτοί που δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να νιώσουν μια πραγματική συγκίνηση για την ομορφιά, τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης. Εάν θέλετε να μάθετε για τη φύση, να εκτιμήσετε τη φύση, είναι απαραίτητο να κατανοήσετε τη γλώσσα που μιλάει.»

Richard Feymman



Ορισμός

Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με

πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία σε κάθε στοιχείο x A

αντιστοιχίζουμε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Τον αριθμό y ονομάζουμε τιμή της f

στο x και τον συμβολίζουμε με f x .

● Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α ονομάζεται ανεξάρ-

τητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x,

ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.

● Για να δηλώσουμε ότι μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α, γρά-

φουμε f :A .

● Το πεδίο ορισμού Α μιας συνάρτησης f συνήθως συμβολίζεται με Df.

● To σύνολο που έχει ως στοιχεία του μόνο τις τιμές της f σε όλα τα x A ,

ονομάζεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f A . Δηλαδή,

f A y y f x για κάθε x A .

● Όταν λέμε ότι «Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα μη κενό σύνολο Β»

εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Σ’ αυτή την πε-

ρίπτωση συμβολίζουμε με f B το σύνολο τιμών της f σε κάθε x B. Δηλαδή,

f Β y y f x για κάθε x Β .

● Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που το πεδίο ορισμού τους είναι διά-

στημα ή ένωση διαστημάτων.


Δίνεται η συνάρτηση f : 0, με τύπο

f (x) 3 x, για κάθε x 0,

■ Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το διάστημα fΑ 0, ή D 0,

■ H συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα 0,1 , αφού 0,1 Α 0,

■ H τιμή της συνάρτησης f στο σημείο 4 είναι f 4 3 4 3 2 1. Επομένως

ο αριθμός 1 ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f.


■ Ο αριθμός 4 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f , αφού δεν είναι τιμή

της συνάρτησης f σε κάποιο x. Πράγματι υποθέτοντας (απαγωγή σε άτοπο) ότι ο

αριθμός 4 είναι τιμή της συνάρτησης f σε κάποιο x, έχουμε

f x 4 3 x 4 x 1 που είναι αδύνατο.

● Πολλές φορές ο τύπος μιας συνάρτησης δεν είναι ο ίδιος για κάθε x Α και

λέγεται πολλαπλός τύπος.


Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο

2

2x 1, αν x 1

f x x 2, αν 1 x 2

x 7, αν x 2.

Για να υπολογίσουμε τις τιμές της f στα σημεία 5, 0 και 2 εργαζόμαστε ως εξής:

■ Για x 5 από τον κλάδο f (x) 2x 1 έχουμε:

f ( 5) 2 5 1 10 1 9

■ Για x 0 από τον κλάδο 2f x x 2 έχουμε:

2f (0) 0 2 0 2 2

■ Για x 2 από τον κλάδο f x x 7 έχουμε:

f (2) 2 7 9 3.

● Αν και, γενικά χρησιμοποιούμε το γράμμα f για τον συμβολισμό μιας συνάρτησης

και το γράμμα x για τον συμβολισμό του τυχαίου σημείου του πεδίου ορισμού

της, ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα. Έτσι οι συναρ-

τήσεις

2 2 2f x x 3x 7, x , g t t 3t 7, t , h ω ω 3ω 7, ω

ορίζουν την ίδια συνάρτηση. Επομένως το x στον τύπο μιας συνάρτησης παίζει

το ρόλο μιας «κενής θέσης».


Η παραπάνω συνάρτηση 2f x x 3x 7, x θα μπορούσε να έχει τη μορφή

2f ( ) ( ) 3( ) 7.


Οπότε για να υπολογίσουμε τα 2f (4), f (2x), f x 1 θέτουμε στις κενές θέσεις όπου

x τo 24, 2x και x 1 αντίστοιχα και βρίσκουμε ότι:

■ 2f (4) (4) 3(4) 7 16 12 7 21.

■ 2 2f (2x) (2x) 3(2x) 7 4x 6x 7

■ 2

2 2 2 4 2 2 4 2f x 1 x 1 3 x 1 7 x 2x 1 3x 3 7 x 5x 3

Συντομογραφία Συνάρτησης

Για να ορίσουμε μία συνάρτηση f αρκεί να ορίσουμε δύο στοιχεία:

● το πεδίο ορισμού της Α

● την τιμή της, f x για κάθε x A, δηλαδή τον τύπο της.

Όμως, πολλές φορές περιγράφουμε μία συνάρτηση f δίνοντας μόνο τον τύπο της. Σε μία

τέτοια περίπτωση θεωρούμε συμβατικά ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο όλων

των πραγματικών αριθμών x, για τους οποίους το f x έχει νόημα πραγματικού αριθμού.


Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

2x 2 | x |f (x)

x 1

Λύση

Το 2x 2 | x |

f (x)x 1

έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε x R τέτοιο,

ώστε

2 | x | 0 και x 1 0

| x | 2 και x 1

2 x 2 και x 1

Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο Α 2,1 1,2 .



1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

i)

2xf x 3

x 4 ii)

2

x 1f x

x 3x 2.

Λύση

i) H συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα

x τέτοια, ώστε

x 4 0 x 4.

Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

είναι το σύνολο

A 4 , 4 4, .

ii) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα

x τέτοια, ώστε

2x 3x 2 0

x 1 x 2 0

x 1 και x 2.

Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

είναι το σύνολο

A 1,2 ,1 1, 2 2, .


i)

2

2

x 4xf x

x x 1 ii)

xf x

x 2.


● Συνάρτηση από ένα σύνολο

Α στο σύνολο λέγεται

μία διαδικασία (κανόνας)

με την οποία κάθε στοιχείο

του συνόλου Α αντιστοιχί-

ζεται σε ένα ακριβώς στοι-

χείο του συνόλου . Το

σύνολο Α λέγεται πεδίο

ορισμού της f.

● Όταν δίνεται μόνο ο τύπος

μιας συνάρτησης f, τότε

θεωρούμε συμβατικά ότι το

πεδίο ορισμού Α της f

είναι το ευρύτερο από τα

υποσύνολα του στα

οποία το f x έχει νόημα

πραγματικού αριθμού.


Λύση

i) H συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x τέτοια, ώστε

2x x 1 0 .

Όμως, η σχέση αυτή ισχύει για κάθε x , αφού το τριώνυμο

2x x 1


Δ 1 4 3 0.

Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο .

ii) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x τέτοια, ώστε

x 2 0 x 2 x 2 και x 2.

Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο

A 2,2 , 2 2,2 2, .


i)

1f x x 4

7 x ii) f x 1 x .

Λύση

i) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f αποτελείται από εκείνα τα x τέτοια,

ώστε

x 4 0 και 7 x 0

x 4 και x 7

4 x 7.

Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο A 4, 7 .

ii) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f αποτελείται από εκείνα τα x τέτοια,

ώστε

1 x 0 x 1 1 x 1.


A 1,1 .


4. Δίνεται η συνάρτηση

2

4x α, αν x 1f x

x βx, αν x 1

όπου α, β σταθεροί αριθμοί. Αν ισχύουν οι σχέσεις

f 2 3 και f 4 20,

να βρείτε:

i) τις τιμές των α και β

ii) τις τιμές της f στα σημεία 1 και 5.

Λύση

i) Έχουμε

f 2 3 4 2 α 3

8 α 3

α 5.

Επίσης,

f 4 20 24 β 4 20

4β 4

β 1.


α 5 και β 1.

Επομένως,

2

4x 5, αν x 1f x

x x, αν x 1.

Άρα, οι τιμές της f στα σημεία 1 και 5

είναι αντίστοιχα

f 1 4 1 5 4 5 1

και

2f 5 5 5 25 5 30.

Ο πρώτος που

έγραψε το σύμβολο

f x για τις συ-

ναρτήσεις ήταν

ο Leonhard Euler

(1707-1783), o oποίος υπήρξε ο πα-

ραγωγικότερος Μαθηματικός όλων

των αιώνων. «Ο Όιλερ έκανε υπο-

λογισμούς χωρίς εμφανή προσπά-

θεια, όπως οι άλλοι αναπνέουν ή

όπως σηκώνονται οι αετοί στον

αέρα». Οι σύγχρονοί του τον απεκά-

λεσαν «η Ανάλυση ενσαρκωμένη».

Καθιέρωσε πλήθος άλλων μαθημα-

τικών συμβόλων, έγραψε τους κα-

νόνες του γνωστού παιχνιδιού

sudoku και άφησε ένα τεράστιο έρ-

γο 45.000 μαθηματικών σελίδων.

Τα τελευταία δεκαεπτά χρόνια της

ζωής του, αν και τυφλός, είχε

ακόμη μεγαλύτερη προσφορά στα

Μαθηματικά. Στις 18 Σεπτεμβρίου

του 1783 «ο Όιλερ έπαψε να ζει

και να υπολογίζει».



2

5xf x

x 1.

Να βρείτε:

i) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii) τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει η σχέση

f x 2.

Λύση


ώστε

2x 1 0.

Όμως, η σχέση αυτή ισχύει για κάθε x . Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρ-

τησης f είναι το σύνολο .

ii) Έχουμε

f x 22

5x2

x 1

25x 2x 2 22x 5x 2 0.



2

Δ 5 4 2 2 9 0.

Επομένως,

5 9 5 3x .

2 2 4

Δηλαδή,

1x

2 ή x 2.



1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

i) 2

4x 5f x

x 2x 8

ii)

2

x 2f x

x 1 3

iii) 2x 1

f x2x 9 x

iv)

3x 1f x

x x

.


i) 2

3x 1f x

x 4

ii)

4

1f x

x 2x

iii) 2

2

2 x 3f x

x x x 6

iv)

3 xf x .

2x 1 x


i) 2

x 1f x

x x 2 x 3

ii)

x 1f x

x 3 2

iii) 2x 3

f xx 2 x

iv)

22x x 1f x .

3x 1 2x

4. Nα βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

i) f x x 4 x ii) f x 2 x

iii) 2f x 2x x 1 iv) f x 6 x x 2.


i) f x x 1 5 x ii) 2f x x 2x 8

iii) 2f x 7 6x x iv) 2 1f x 4x x .

x 1


6. Nα βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

i) 2f x x x ii) 2

2

1f x x 1

2x x

iii) 2

x 1f x

x x 2

iv)

x 2f x .

x 1 1


2

4x 1 , αν x 2f x

x 5x, αν x 2.

Να βρείτε τις τιμές

f 2 , f 1 , f 2 και f 5 .


2

2x 3 , αν 0 x 3f x

x 5x 5, αν x 3

Να βρείτε:

i) το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f

ii) τις τιμές του x A για τις οποίες ισχύει η σχέση f x 1.


1

f xx x 1

, x 0 .


f 0 f 1 f 2 f 3 .


3

2

αx 1, αν x 0f x

x βx 2, αν x 0

όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, για την οποία ισχύουν

f 2 α 8 και f 3 13 .

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

ii) Να βρείτε τις τιμές των α και β.


iii) Να υπολογίσετε τις τιμές f 3 , f 0 και f 2 .

iv) Να λύσετε την εξίσωση f x 1 .


2x 7x 10

f x .2 x

i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

ii) Να λύσετε την εξίσωση f x 2.


22x 7x α

f xx α

όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός, τέτοια, ώστε f 1 1.

i) Να αποδείξετε ότι α 3.

ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι

f x 2x 1 για κάθε x A .

iii) Να λύσετε την ανίσωση f x 0.


2x 5 x

f xx 5

.

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.


f x x για κάθε x A .

iii) Να λύσετε την εξίσωση f x 2x 15 .


2 2f x x x x x.


ii) Nα λύσετε την ανίσωση f x 0.



2

xf x x .

x x 1 x



f x 0.


2

2x 1, x 3f x

x 3x, 3 x 8.



f x x.

17. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

2

x 1 , x 2f x

x 9 , x 2



Π f 3 f 0 f 4 f 2 .

iii) Nα λύσετε την εξίσωση

f x 0.


2f x x x 1 , x .

i) Να βρείτε τις τιμές f x και f x 1 .


2f x f x 1 1 .



2f x 2x 3x 1, x .

i) Nα αποδείξετε ότι

2f 2 x 2x 5x 3 για κάθε x .

ii) Να λύσετε:

α) την εξίσωση

f x f 2 x

β) την ανίσωση

f x f 2 x 0.

20. Δίνονται οι συναρτήσεις

2f x x x α, x

και

2g x 4x αx 4, x

όπου α πραγματικός αριθμός, για τις οποίες ισχύει η σχέση

f 2 g 1 .



f x g x .

iii) Να λύσετε την ανίσωση

f 2x 1 g x .


3

3

2f x x , x 0

x .


f x f x για κάθε x 0


2f x f x 3.

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων – Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 427


Καρτεσιανές Συντεταγμένες

● Σε ένα επίπεδο θεωρούμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή

ένα σημείο Ο. Από τους άξονες αυτούς ο x x είναι οριζόντιος και λέγεται

άξονας των τετμημένων ή άξονας των x ενώ ο y y είναι κατακόρυφος και

λέγεται άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y.

● Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου

των αξόνων αντιστοιχίζουμε ένα

διατεταγμένο ζεύγος α, β πραγ-

ματικών αριθμών και αντιστρό-

φως, σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος

α, β πραγματικών αριθμών, αντι-

στοιχίζουμε ένα σημείο Μ του επι-

πέδου. Οι παραπάνω αντιστοιχί-

σεις γίνονται με έναν μοναδικό

τρόπο όπως φαίνεται στο σχήμα:

● Οι αριθμοί α, β λέγονται συντεταγμένες του Μ. Ειδικότερα ο α λέγεται

τετμημένη και ο β τεταγμένη του σημείου Μ. Το σημείο Μ συμβολίζεται με

Μ α, β ή απλά με α, β .

● Τα σημεία του άξονα x x και μόνο αυτά έχουν τεταγμένη ίση με το μηδέν,

δηλαδή έχουν συντεταγμένες της μορφής α, 0 .

● Τα σημεία του άξονα y y και μόνο αυτά έχουν τετμημένη ίση με το μηδέν,

δηλαδή έχουν συντεταγμένες της μορφής 0, β .

● Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα

τεταρτημόρια που είναι τα εσωτερικά των

γωνιών xΟy, yΟx , x Οy και y Οx και

ονομάζονται 1ο, 2ο, 3ο και 4ο τεταρτημόριο

αντίστοιχα. Τα πρόσημα των συντεταγ-

μένων των σημείων τους φαίνονται στο

διπλανό σχήμα.

β2

2

3

72

3

4 Δ 7, 3

αΟ

Α 2,1

Γ 3, 4

Β 2, 2 Μ α, β

x

y

1

y

x

, ,

, ,

y

O

o2

x

o1

o3 o4x

y


● Το συμμετρικό του σημείου A α,β

ως προς τον άξονα x x είναι το σημείο

Δ α, β .


ως προς τον άξονα y y είναι το σημείο

B α,β .


ως προς την αρχή των αξόνων O 0,0

είναι το σημείο Γ α, β .

● Το συμμετρικό του σημείου Μ α,β

ως προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης

γωνίας των αξόνων είναι το σημείο

Μ β,α .


Δίνεται το σημείο Α ( 8,3).

■ Το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα xꞌx είναι το σημείο Β ( 8, 3).

■ Το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα yꞌy είναι το σημείο Γ (8,3).

■ Το συμμετρικό του Α ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Δ (8, 3).

■ Το συμμετρικό του Α ως προς την διχοτόμο της 1ης

και 3ης

γωνίας των αξόνων

είναι το σημείο Ε (3, 8).


Ορισμός

Έστω συνάρτηση f :A και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

Ονομάζουμε γραφική παράσταση της f και συμβολίζουμε συνήθως με f

C το σύνολο

των σημείων Μ x, y για τα οποία ισχύει y f x , δηλαδή το σύνολο των σημείων

Μ x, f x , x A .

● Η γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης f έχει εξίσωση y f x .

● Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τετμημένη.

Δηλαδή, κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f το πολύ

ένα κοινό σημείο. Έτσι, στα παρακάτω σχήματα, η καμπύλη 1

C είναι γραφική

παράσταση κάποιας συνάρτησης f, ενώ η καμπύλη 2

C όχι.

Μ α,β

y x

Μ β,α

Ο

y

x

Ο

y

x

Δ α, β Γ α, β

A α,β Β α,β


x

f x

y

O

1CM

x

● Το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των

σημείων της γραφικής της παράστασης.

Παρατήρηση

Αντιλαμβανόμαστε γεωμετρικά το πε-

δίο ορισμού Α της f ως την προβολή

της f

C στον άξονα x x.

● Το σύνολο τιμών κάθε συνάρτησης f είναι το σύνολο f A των τεταγμένων των

σημείων της γραφικής της παράστασης.

Παρατήρηση

Αντιλαμβανόμαστε γεωμετρικά το σύ-

νολο τιμών f A της f ως την προβο-

λή της f

C στον άξονα y y.


Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γρα-

φικές παραστάσεις δύο συναρτή-

σεων f και g που έχουν πεδίο

ορισμού όλο το .

y

xO

A

2C

B

y

xO

fC

A

y

O

fC f A

y

y

x

x O 1

2

2

1

1

2

1

2

fC

gC

x

x


■ Οι τιμές της συνάρτησης f στα σημεία – 2, 1, – 1 και 2 είναι

f ( 2) 0, f (1) 0, f ( 1) 2 και f (2) 2.

■ Οι ρίζες της εξίσωσης f (x) 0 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της

γραφικής παράστασης της f και του άξονα x x. Επομένως,

f (x) 0 x 2 ή x 1 .

■ Οι ρίζες της εξίσωσης f (x) g(x) είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των

γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. Επομένως,

f (x) g(x) x 1 ή x 0 .

■ Οι λύσεις της ανίσωσης f (x) 0 είναι οι τετμημένες των σημείων της γραφικής

παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x. Επομένως,

f (x) 0 x 2 ή x 1 .

■ Οι λύσεις της ανίσωσης f (x) 0 x 2,1 είναι οι τετμημένες των σημείων

της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x.

Επομένως,

f (x) 0 x 2 ,1 .

■ Οι λύσεις της ανίσωσης f (x) g(x) είναι οι τετμημένες των σημείων της

γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω από τη γραφική παράσταση

της g. Άρα

f (x) g(x) x ( 1,0) .


Δίνονται οι συναρτήσεις

2f x 3x 1 και 2g x x 3x 2 με x .

Έχουμε

2 2

2

f x g x 3x 1 x 3x 2

2x 3x 3 0.

Όμως, η εξίσωση 22x 3x 3 0 είναι αδύνατη, αφού έχει διακρίνουσα Δ 15 0.

Επομένως, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g δεν έχουν κοινά

σημεία.


Γ 3,5 Β 3,5

Α 3, 5Γ 3, 5

Ε 5,3


6. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου A 3, 5 ως προς:

i) τον άξονα x x ii) τον άξονα y y

iii) την αρχή των αξόνων Ο iv) τη διχοτόμο της γωνίας xOy.

Λύση

Το συμμετρικό του σημείου

A 3, 5 , ως προς:

i) τον άξονα x x είναι το σημείο

B 3,5 .

ii) τον άξονα y y είναι το σημείο

Γ 3, 5 .

iii) την αρχή των αξόνων Ο είναι το

σημείο Δ 3, 5 .

iv) τη διχοτόμο της γωνίας xOy

είναι το σημείο E 5, 3 .


Αν A α,β είναι ένα σημείο του καρ-

τεσιανού επιπέδου, τότε:

● το συμμετρικό του ως προς τον άξονα

x x είναι το σημείο Β α, β .

● το συμμετρικό του ως προς τον άξονα

y y είναι το σημείο Γ α,β .

● το συμμετρικό του ως προς την αρχή

των αξόνων είναι το σημείο

Δ α, β .

● το συμμετρικό του ως προς τη διχο-

τόμο της 1ης και 3ης γωνίας των

αξόνων είναι το σημείο Ε β,α .

y x

Ε β,α Γ α,β

Α α,β

Α α,β

Β α, β Δ α, β

y

x

O

y x Γ 3, 5 Α 3, 5

Δ 3, 5 Β 3, 5

Ε 5, 3

O



2α

f x α x 1 3x 4

,



ii) Να υπολογίσετε την τιμή του α για την οποία το σημείο M 5, 2

ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f .

Λύση

i) To πεδίο ορισμού της συνάρτησης f αποτελείται από εκείνα τα x τέτοια,

ώστε

x 4 0 και x 1 0


x 4 και x 1.


A 1, 4 4, .

ii) To σημείο M 5, 2 ανήκει στη

γραφική παράσταση της συνάρτησης

f αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

f 5 2.

Δηλαδή,

2α

α 5 1 3 25 4

2α 2α 1 0

2

α 1 0

α 1.

Σημείωση

Έστω μία συνάρτηση f :A . Το

σύνολο των σημείων M x, y για τα

οποία ισχύει y f x , δηλαδή το σύνο-

λο των σημείων M x,f x με x A ,

λέγεται γραφική παράσταση της f και

συμβολίζεται συνήθως με f

C .

y

x Ο

Μ x, y

y f x


i)

ii)

ii)

iv)

8. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφικές

παραστάσεις συναρτήσεων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση

i) Παρατηρούμε ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με

το διάγραμμα το πολύ ένα κοινό σημείο. Άρα, το

διάγραμμα αυτό είναι γραφική παράσταση


ii) Παρατηρούμε ότι υπάρχει κατακόρυφη ευθεία η

οποία έχει με το διάγραμμα τουλάχιστον δύο

κοινά σημεία. Άρα, το διάγραμμα αυτό δεν είναι

γραφική παράσταση συνάρτησης.

iii) Παρατηρούμε ότι υπάρχει κατακόρυφη ευθεία

(έστω και μοναδική) η οποία έχει με το διάγραμμα

τουλάχιστον δύο κοινά σημεία. Άρα, το

διάγραμμα αυτό δεν είναι γραφική παράσταση


iv) Παρατηρούμε ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με

το διάγραμμα το πολύ ένα κοινό σημείο. Άρα, το

διάγραμμα αυτό είναι γραφική παράσταση


Σημείωση Έστω

y f x

η εξίσωση της γραφικής

παράστασης μιας συνάρτη-

σης f με πεδίο ορισμού Α.

Επειδή σε κάθε x A

αντιστοιχεί ακριβώς ένα

y , συμπεραίνουμε ότι

δεν υπάρχουν σημεία της

γραφικής παράστασης της

f με την ίδια τετμημένη.

Δηλαδή, κάθε κατακόρυ-

φη ευθεία έχει με τη γρα-

φική παράσταση της f το

πολύ ένα κοινό σημείο.



2

2

x 2x 3f x

9 x.


ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της fC :

α) με τον άξονα x x

β) με τον άξονα y y.

Λύση


ώστε

29 x 0 2x 9 0

x 3 x 3 0

3 x 3.


A 3,3 .

ii) α) Έχουμε

2

2

x 2x 3f x 0 0

9 x

2x 2x 3 0 και x A.

Η εξίσωση

2x 2x 3 0


Δ 4 4 3 16 0.

Επομένως,

2 16 2 4

x .2 2

Δηλαδή,

x 3 ή x 1.

Και επειδή x 3, 3 συμπεραίνουμε ότι

x 1.

Άρα, η f

C έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με τον άξονα x x, το σημείο

A 1,0 .

Σημείωση

Οι τετμημένες των κοινών

σημείων της fC με τον άξονα

x x , αν υπάρχουν, είναι οι


f x 0.

fC


β) Έχουμε

2

2

0 2 0 3f 0

9 0

3

1.3

Άρα, το κοινό σημείο της f

C με τον

άξονα y y είναι το σημείο

B 0, 1 .

10. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η

γραφική παράσταση της συνάρτη-

σης

2αx , x , 0

f xαx , x 0, .

i) Να βρείτε την τιμή του α.

ii) Να προσδιορίσετε τα σημεία

Α και Β της γραφικής παρά-

στασης της f τα οποία έχουν

τετμημένη 2 και τεταγμένη

8 αντίστοιχα.

Λύση

i) Παρατηρούμε ότι το σημείο M 1, 2 ανήκει στη γραφική παράσταση της f.

Δηλαδή,

f 1 2 α 1 2 α 2.

ii) Αντικαθιστώντας την τιμή του α που βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα έχουμε

22x , x , 0f x

2x, x 0, .

Σημείωση

Η τεταγμένη του κοινού

σημείου της fC με τον άξονα

y y , αν υπάρχει, είναι ίση με

την τιμή f 0 . Είναι φανερό

ότι η fC έχει κοινό σημείο με

τον άξονα y y αν και μόνο

αν αριθμός 0 ανήκει στο πεδίο

ορισμού της συνάρτησης f.

x

y

Ο 1

–2 Μ

fC


Οπότε,

2

f 2 2 2 2 4 8


A 2, 8 .

Επίσης, αν είναι x η τετμημένη του σημείου Β, τότε ισχύει

2 2

2x 8 x 4

f x 8 ή ή x 4.

2x 8 x 4,αδύνατη

Επομένως, B 4, 8 .


2f x x 3x 10, x .

Να βρείτε:

i) τα σημεία τομής της f

C με τους άξονες

ii) τις τετμημένες των σημείων της f

C που βρίσκονται κάτω από

τον άξονα x x.

Λύση

i) ● Έχουμε

2f x 0 x 3x 10 0.



Δ 9 4 10 49 0.

Επομένως,

3 49 3 7x .

2 2

Δηλαδή,

x 2 ή x 5.

Άρα, η f

C τέμνει τον άξονα x x

στα σημεία

A 2, 0 και B 5,0 .

y

x

+ +

–

fC


● Έχουμε

2f 0 0 3 0 10 10.

Άρα, η f

C τέμνει τον άξονα y y

στο σημείο

Γ 0, 10 .

ii) Έχουμε

f x 0 2x 3x 10 0

x 2 x 5 0

2 x 5

Δηλαδή,

x 2, 5 .


2f x x 2x 1, x

και

g x x 1, x .

Να βρείτε:

i) τα κοινά σημεία των f

C και gC

ii) τις τιμές του x για τις οποίες η f

C βρίσκεται κάτω από τη gC .

Λύση

i) Έχουμε

f x g x

2x 2x 1 x 1

2x x 2 0 .

1 9 1 3

x2 2

Δηλαδή,

x 2 ή x 1.

Επίσης,

f 2 g 2 1

και

f 1 g 1 2 .


● Οι τετμημένες των σημείων

της fC που βρίσκονται κάτω

από τον άξονα x x είναι οι

λύσεις της ανίσωσης

f x 0.

● Οι τετμημένες των σημείων

της fC που βρίσκονται πάνω

από τον άξονα x x είναι οι


f x 0.

fC

gC

x


Άρα, τα κοινά σημεία των f

C και

gC είναι τα σημεία

A 2, 1 και B 1,2 .

ii) Έχουμε

f x g x

2x 2x 1 x 1

2x x 2 0

x 2 x 1 0

2 x 1.

Δηλαδή,

x 2,1 .


γραφική παράσταση μίας συ-

νάρτησης f η οποία είναι ορι-

σμένη στο .

i) Να βρείτε τις τιμές της f στα

σημεία 4, 3, 0, 5 και 6.

ii) Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) f x 0 β) f x 2 .

iii) Να λύσετε τις ανισώσεις:

α) f x 0 β) f x 2 .

Λύση

i) Παρατηρούμε ότι τα σημεία της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες

4, 3, 0, 5 και 6 έχουν αντίστοιχες τεταγμένες 2, 0, 2, 0 και 2 αντίστοιχα.

Επομένως,

f 4 2, f 3 0, f 0 2, f 5 0 και f 6 2.


● Οι τετμημένες των κοινών ση-

μείων των γραφικών παραστάσεων

δύο συναρτήσεων f και g είναι οι


f x g x .

● Οι τιμές του x για τις οποίες η γρα-

φική παράσταση μιας συνάρτησης f

βρίσκεται κάτω από τη γραφική πα-

ράσταση μιας συνάρτησης g είναι οι


f x g x .

fC


ii) α) Οι ρίζες της εξίσωσης f x 0 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της

γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x, δηλαδή οι αριθμοί 3 και 5.

β) Οι ρίζες της εξίσωσης f x 2 είναι οι τετμημένες των σημείων της

γραφικής παράστασης της f που έχουν τεταγμένη 2, δηλαδή οι αριθμοί 4

και 6.

iii) α) Οι λύσεις της ανίσωσης f x 0 είναι οι τετμημένες των σημείων της

γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x,

δηλαδή όλοι οι αριθμοί

x , 3 5, .

β) Οι λύσεις της ανίσωσης f x 2 είναι οι τετμημένες των σημείων της

γραφικής παράστασης της f που έχουν τεταγμένη μικρότερη του 2, δηλαδή

όλοι οι αριθμοί

x 4,6 .

14. Στο διπλανό σχήμα φαίνο-

νται οι γραφικές παραστά-

σεις δύο συναρτήσεων f και

g οι οποίες έχουν πεδίο ορι-

σμού το .

i) Nα λύσετε την εξίσωση

f x g x .


f x g x .

Λύση

i) Οι ρίζες της εξίσωσης

f x g x

είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g, δηλαδή οι αριθμοί 0 και 7.

O 7 x

y f x

y g x

5

2


ii) Οι λύσεις της ανίσωσης

f x g x

είναι οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται

κάτω από τη γραφική παράσταση της g, δηλαδή όλοι οι αριθμοί

x , 0 0,7 .


22. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου A 5, 3 ως προς:

i) τον άξονα x x ii) τον άξονα y y

iii) την αρχή των αξόνων iv) τη διχοτόμο της γωνίας xOy.


2

αxf x , x

x 1

όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. Αν η γραφική παράσταση της συνάρ-

τησης f διέρχεται από το σημείο A 1,2 , να βρείτε:

i) την τιμή του α

ii) το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τετμημένη 0

x 3.


9 α

f x x αx 2α

,


τησης f διέρχεται από το σημείο Α α, 4 , να βρείτε:


ii) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.



2 2f x x α 1 x α , x

όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α 2,5 , τότε:

i) να αποδείξετε ότι α 1

ii) να βρείτε το σημείο της f

C που έχει τετμημένη 3

iii) να αποδείξετε ότι τα σημεία της f

C που έχουν τεταγμένη β 1 είναι

συμμετρικά ως προς τον άξονα y y.

26. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφικές παραστάσεις

συναρτήσεων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

i) ii)

iii) iv)


4

f x x 2 .x 4


ii) Nα βρείτε τα σημεία Α και Β της γραφικής παράστασης της f με

τετμημένες 2 και 6 αντίστοιχα.

iii) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο με τον

άξονα y y.



2

2

x 5x 4f x .

4 x

Να βρείτε:


ii) τα κοινά σημεία της f

C με τους άξονες x x και y y.


2f x x x α ,

όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το

σύνολο , τότε:


ii) να βρείτε την τιμή του α έτσι, ώστε η f

C να τέμνει τον άξονα y y στο

σημείο με τεταγμένη 2.

30. Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο

f x x 1 α για κάθε x ,


Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο M 0, 6 , να

βρείτε:


ii) τα σημεία τομής της f

C με τον άξονα x x.


2f x x 7x 10, x .

Να βρείτε:

i) τα κοινά σημεία της f

C με τους άξονες x x και y y.


C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x .



2f x 2x 6x 8, x .

Να βρείτε:

i) το κοινό σημείο της f

C με τον άξονα y y

ii) τα κοινά σημεία της f

C με τον άξονα x x

iii) τις τετμημένες των σημείων της f

C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x .


2f x 3x x α, x ,


τησης f διέρχεται από το σημείο M 3,22 , να βρείτε:

i) την τιμή του αριθμού α

ii) τα σημεία τομής της f

C με τους άξονες x x και y y

iii) τις τετμημένες των σημείων της f

C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x.


2f x x αx α, x ,

όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. Αν η f

C διέρχεται από το σημείο

M 2,3 , τότε:


ii) να αποδείξετε ότι η f

C βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x .

35. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης

2f x κx 2x κ, x

με κ , διέρχεται από το σημείο Μ 1, 4 , να αποδείξετε ότι:

i) κ 3

ii) η f

C βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x για κάθε x .


36. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα μέρος

της γραφικής παράστασης μιας συνάρ-

τησης f με πεδίο ορισμού το .


i) f 0 f 2 f 4 0

ii) η εξίσωση

f x 0

έχει τουλάχιστον τρεις πραγματι-

κές ρίζες

iii) η εξίσωση

f x 0

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διά-

στημα 0, 4 .


2f x x 5x και g x 3x 7.

Να βρείτε:


C και g

C


C που βρίσκονται κάτω από τη g

C .


2f x 2x 1, x

και

2g x x 3x 1, x .

Να βρείτε:


C και g

C


C που βρίσκονται πάνω από τη g

C .

39. Δίνονται οι συνάρτησεις

2

1f x 1

x 1

και

2

5x 4g x .

x 1

Να βρείτε:


C και g

C


C που βρίσκονται πάνω από τη g

C .

fC



f x x 1 1, x .

i) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την

αρχή των αξόνων.

ii) Nα λύσετε την ανίσωση

f x f 2 .

iii) Nα λύσετε την εξίσωση

f x f 4 .

41. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης f με

πεδίο ορισμού το .

i) Να λύσετε την εξίσωση

f x 2 .


f x 0 .

iii) Να βρείτε τις τιμές του x για

τις οποίες ισχύει

0 f x 2.

42. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι γραφι-

κές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f

και g οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού το

σύνολο .

i) Να λύσετε την εξίσωση

f x g x .


f x g x .

A 1,2

Β 3,0 Γ 6,0

Δ 8, 2

fC

fC

gC



2f x x α 1 x 1, x

και

g x α 1 x α 1 , x

με παράμετρο α .

i) Να βρείτε την τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της

συνάρτησης g δεν τέμνει τον άξονα x x .

ii) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες οι γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων f και g δεν έχουν κοινά σημεία.

iii) Για α 3 να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της f

C που βρίσκονται

κάτω από τη g

C .

44. Έστω δύο συναρτήσεις f , g : τέτοιες, ώστε

● 2f x g x 2g x 6 για κάθε x

● η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από το σημείο

A 2,1 .


f x f 2 για κάθε x .

ii) Aν g x x 1 για κάθε x , να αποδείξετε ότι:

α) 2f x x 4x 9 για κάθε x

β) η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης g για κάθε x .

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων – Η Συνάρτηση f (x) = αx + β 447

Η Συνάρτηση f(x) = αx + β

Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας

● Έστω ε μία ευθεία που τέμνει τον άξο-

να x x στο σημείο Α. Ονομάζουμε γωνία

που σχηματίζει η ε με τον άξονα x x ,

τη γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία

Ax, όταν στραφεί γύρω από το Α κατά

τη θετική φορά μέχρι να πέσει πάνω στην

ευθεία ε . Αν η ευθεία ε είναι παράλ-

ληλη προς τον άξονα x x ή συμπίπτει με αυτόν, τότε ορίζουμε ω 0 . Δηλαδή,

σε κάθε περίπτωση ισχύει

0 ω 180 .

● Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση μιας ευθείας ε τον αριθμό

α εφω, ω 90 .

Αν ω 90 , δηλαδή αν η ευθεία ε είναι κάθετη στον άξονα x x, τότε δεν

ορίζουμε γι’ αυτήν συντελεστή διεύθυνσης.

Γραφική Παράσταση της Συνάρτησης f(x) = αx + β

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x αx β είναι ευθεία με εξίσωση

y = αx + β.

● Η εξίσωση y αx β παριστάνει ευθεία

η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης α

και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο

B 0, β .

Ισχύουν οι ισοδυναμίες:

οα 0 0 ω 90

οα 0 90 ω 180

α 0 ω 0

ε

ω

y

xAO

xx

y

y

O

ω

Β 0,β

y αx β


● Η εξίσωση y β παριστάνει ευθεία η

οποία είναι παράλληλη προς τον άξονα

x x όταν β 0 ή συμπίπτει με αυτόν

όταν β 0.

● Η ευθεία y αx παριστάνει ευθεία η

οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης α και

διέρχεται από την αρχή των αξόνων

O 0,0 .

● Η ευθεία y = x είναι η διχοτόμος των

γωνιών xOy και x Oy

αφού,

εφω α 1 ω 45 .

● Η ευθεία y x είναι η διχοτόμος των

γωνιών yOx και y Ox

αφού,

εφω α 1 ω 135 .

y

y

xx

y x

O

y

y

xx

y x

O

135

45

y

y

xx

O

y ββ

y

y

xx O

y αx


Σχετικές Θέσεις Δύο Ευθειών

Θεωρούμε τις ευθείες 1 1 1 2 2 2

ε : y α x β και ε : y α x β και έστω ω1 και ω2 οι

γωνίες που σχηματίζουν αυτές με τον άξονα x x αντίστοιχα.

● Αν α1 ≠ α2, τότε εφω1 ≠ εφω2, οπότε

ω1 ≠ ω2 και συνεπώς οι ευθείες αυτές

τέμνονται.

● Αν α1 = α2, τότε εφω1 = εφω2, οπότε

ω1 = ω2 και συνεπώς οι ευθείς αυτές ή

είναι παράλληλες ή συμπίπτουν. Ειδι-

κότερα:

■ Αν α1 = α2 και β1 ≠ β2, τότε οι

ευθείες είναι παράλληλες.

■ Αν α1 = α2 και β1 = β2, τότε οι

ευθείες ταυτίζονται.


Θεωρούμε τις ευθείες

1ε : y αx 5 και

2ε : y 2x β, α, β .

Οι ευθείες αυτές:

τέμνονται, αν και μόνο αν

α 2

είναι παράλληλες, αν και μόνο αν

α 2 και β 5

συμπίπτουν, αν και μόνο αν

α 2 και β 5 .

y

x

1ε

2ε

1β

O1

ω 2ω

2β

y

x

1ε

2ε

O1

ω 2ω

y

xO

2ε

1ε

2ω

1ω



Θεωρούμε τη συνάρτηση

f x x με x .

Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης

τιμής έχουμε

x, αν x 0

f xx, αν x 0

Επομένως, η γραφική παράσταση της

συνάρτησης

f x x

αποτελείται από τις δύο ημιευθείες

1

ε : y x με x 0

και

2

ε : y x με x 0

που διχοτομούν τις γωνίες x Oy και xO y αντίστοιχα.


15. Να βρείτε (εφόσον ορίζεται) την κλίση της ευθείας ε η οποία:

i) διέρχεται από το σημείο Ο 0,0 και σχηματίζει με τον άξονα

x x γωνία 60°.

ii) διέρχεται από το σημείο A 1, 2 και είναι παράλληλη προς τον

άξονα x x

iii) διέρχεται από το σημείο B 3, 5 και είναι παράλληλη προς τον

άξονα y y.

Λύση

i) Η ζητούμενη κλίση, δηλαδή ο

συντελεστής διεύθυνσης της ευ-

θείας ε είναι

λ εφ60 3.

ε

y

y

xx O

y x

με x 0

y x

με x 0


ii) Η ευθεία ε είναι παράλληλη προς

τον άξονα x x και συνεπώς

σχηματίζει με αυτόν γωνία ω 0 .

Άρα, η κλίση της ευθείας ε είναι

λ εφ0 0.

iii) Η ευθεία ε είναι παράλληλη

προς τον άξονα y y . Δηλαδή, είναι

κάθετη προς τον άξονα x x και

συνεπώς δεν ορίζεται η κλίση της

ευθείας ε .

16. Nα βρείτε, εφόσον ορίζεται, την κλίση της ευθείας ε η οποία:

i) έχει εξίσωση 3

y x 15

ii) έχει εξίσωση y αx 2 α και διέρχεται από το σημείο Α 0,2

iii) διέρχεται από τα σημεία Β 1, 2 και Γ 1,3 .

Λύση

i) Η δοθείσα ευθεία ε έχει εξίσωση

3

y x 1.5

Και επειδή ο συντελεστής του x είναι το

3

5 συμπεραίνουμε ότι η κλίση της

ευθείας ε είναι

3λ .

5


● Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυν-

σης ή κλίση μιας ευθείας ε , η

οποία σχηματίζει γωνία ω με τον

άξονα x x , τον αριθμό

λ εφω .

● Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη

προς τον άξονα x x ή συμπίπτει με

αυτόν, τότε ορίζουμε ότι ω 0 και

συνεπώς

λ εφ0 0 .

● Αν ω 90 , δηλαδή η ευθεία ε

είναι κάθετη προς τον άξονα x x ,

τότε δεν ορίζουμε για αυτήν συντε-

λεστή διεύθυνσης.

Σημείωση Η ευθεία με εξίσωση

y αx β

τέμνει τον άξονα y y στο ση-

μείο B 0, β και έχει κλίση

λ α.

ε

B 0,β


ii) Η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο

Α 0, 2 . Επομένως,

2 α 0 2 α α 0.

Οπότε, η ευθεία ε έχει εξίσωση

y 2

και συνεπώς έχει κλίση

λ 0.

iii) Παρατηρούμε ότι η ευθεία ε είναι

κάθετη στον άξονα x x , δηλαδή σχη-

ματίζει με αυτόν γωνία

ω 90 .

Επομένως, δεν ορίζεται συντελεστής

διεύθυνσης για την ε .

17. Να βρείτε την κλίση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το

σημείο Α 3, 0 και:

i) σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες Οx και Oy ισοσκελές

τρίγωνο

ii) είναι παράλληλη προς την ευθεία

n : y 5x 8.

Λύση

i) Το τρίγωνο που σχηματίζει η ευθεία

ε με τους θετικούς ημιάξονες είναι

ισοσκελές και ορθογώνιο. Επομένως,

οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του

είναι 45°. Άρα, η γωνία που σχημα-

τίζει η ε με τον άξονα x x είναι

ω 180 45 135 και συνεπώς

έχει κλίση

λ εφ135 εφ45 1.

ε : y 2 A 0,2

ε

Γ 1,3

B 1, 2

O

y

x

13545

45

Α 3,0

ε


ii) Η ευθεία ε είναι παράλληλη προς

την ευθεία η . Επομένως,

ε ηλ λ .

Όμως, η ευθεία η έχει εξίσωση

y 5x 8

και συνεπώς έχει κλίση

ηλ 5.


ελ 5.

18. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία:

i) έχει κλίση α 4 και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β 0, 5

ii) σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω 45 και διέρχεται από το

σημείο Α 2, 5

iii) διέρχεται από τα σημεία Α 0,1 και Β 3,4 .

Λύση

i) Έστω

y αx β

η ζητούμενη εξίσωση. Επειδή

α 4 και β 5 ,

συμπεραίνουμε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι

y 4x 5.

ii) Έστω

y αx β

η ζητούμενη εξίσωση. Έχουμε

α εφ45 1.

Οπότε, η εξίσωση είναι της μορφής

y x β.

Και επειδή η ευθεία διέρχεται από το σημείο

Α 2,5 συμπεραίνουμε ότι

5 2 β β 3 .

Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι

y x 3.

Σχόλιο Μία ευθεία που δεν είναι

κάθετη στον άξονα x x έχει

εξίσωση της μορφής

y αx β .

Η εύρεση λοιπόν μιας τέτοιας

εξίσωσης ανάγεται στην εύρε-

ση δύο άγνωστων σταθερών α

και β από δύο πληροφορίες που

μας παρέχει το πρόβλημα.

B 0, 5

Σημείωση

Δύο ευθείες 1ε και 2

ε με

συντελεστές διεύθυνσης 1

λ και2

λ

αντίστοιχα, είναι παράλληλες ή

συμπίπτουν αν και μόνο αν ισχύει

1 2

λ λ .

ε


iii) Έστω

y αx β

η ζητούμενη εξίσωση. Επειδή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία

Α 0,1 και B 3,4

έχουμε

1 α 0 β β 1

και

4 α 3 β 4 3α 1 3α 3 α 1.

Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι

y x 1.


γραφική παράσταση μιας συ-

νάρτησης f με πεδίο ορισμού

το .

i) Να βρείτε την εξίσωση της

ευθείας ε η οποία διέρχε-

ται από τα σημεία Α και Β.

ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία

ε διέρχεται και από το

σημείο Γ.


f x x 2.

Λύση

i) Έστω

y αx β,

η ζητούμενη εξίσωση. Επειδή η ευθεία ε διέρχεται από τα σημεία

Α 1, 3 και Β 2,0

έχουμε

3 α 1 β και 0 α 2 β .

Δηλαδή,

α β 3 και 2α β 0.

ε

Α 1, 3

Γ 4, 2

Β 2, 0

fC


Από τις δύο τελευταίες σχέσεις, αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει

2α β α β 0 3

δηλαδή

2α β α β 3


3α 3

και τελικά

α 1 .

Αντικαθιστώντας στη σχέση

2α β 0

παίρνουμε

2 1 β 0

δηλαδή

β 2.

Επομένως, η ευθεία ε έχει εξίσωση

y x 2.


2 4 2.

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του σημείου Γ 4, 2 επαληθεύουν την εξίσωση της

ευθείας ε . Άρα, η ευθεία ε διέρχεται και από το σημείο Γ 4, 2 .

iii) Aποδείξαμε ότι η ευθεία ε έχει εξίσωση

y x 2.

Επομένως, οι λύσεις της ανίσωσης

f x x 2

είναι οι τετμημένες των σημείων της f

C που βρίσκονται κάτω από την ευθεία

ε . Άρα, αξιοποιώντας το σχήμα που μας δίνεται, έχουμε

f x x 2

και ισοδύναμα

x 1,2 4, .



45. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία με εξίσωση:

i) y x 7 ii) 3

y x 23

iii) y 3x 4 iv) y x 6.

46. Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία:

i) έχει κλίση α 2 και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο B 0, 1 .

ii) σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω 45 και τέμνει τον άξονα y y στο

σημείο B 0,8 .

47. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία:

i) A 1,3 και Β 2,4 ii) A 1,2 και Β 0,1

iii) A 5,1 και Β 6,1 iv) A 4,7 και Β 1, 3 .


i) διέρχεται από το σημείο Α 3,0 και σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία

ω 30

ii) διέρχεται από το σημείο Α 2,1 και είναι παράλληλη προς την ευθεία

y 5x 4.


i) έχει κλίση α 4 και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο B 0, 3

ii) σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 135° και τέμνει τον άξονα y y στο

σημείο B 0, 2

iii) είναι παράλληλη προς την ευθεία y x 3 και διέρχεται από το σημείο

A 1, 5

iv) διέρχεται από τα σημεία Γ 3, 2 και Δ 1,2 .


50. Δίνονται οι ευθείες

2

1ε : y κ x 2

και

2

ε : y 4x κ με κ .

Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες οι ευθείες 1ε και 2

ε :

i) συμπίπτουν ii) είναι παράλληλες.


2

1ε : y κ x 2

και

2

ε : y κx 3 με κ .

i) Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες οι ευθείες 1ε και 2

ε τέμνονται.

ii) Για κ 1:

α) να βρείτε τα σημεία τομής των ευθειών 1ε και 2

ε με τους άξονες

x x και y y

β) να σχεδιάσετε τις δύο ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων.

52. Οι ευθείες

y λx 4 και y 2 λ x 2λ

έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

i) Nα βρείτε την τιμή του λ.

ii) Να σχεδιάσετε τις δύο ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων.

iii) Να υπολογίσετε το εμβαδό του τραπεζίου που σχηματίζουν οι δύο ευθείες με

τους άξονες x x και y y.


ε : y 2x 12 και η:y 4x .

i) Nα βρείτε το σημείο τομής Α της ευθείας ε με τον άξονα x x.

ii) Nα βρείτε το σημείο τομής Μ των ευθειών ε και η .

iii) Nα υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΑΜΟ, όπου Ο η αρχή των αξόνων.


54. Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση

y αx 3

η οποία σχηματίζει με τον άξονα x x αμβλεία γωνία. Να βρείτε:

i) τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες x x και y y

ii) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ε με τους άξονες x x

και y y

iii) την τιμή του α, ώστε το παραπάνω εμβαδό να είναι ίσο με 3 τ.μ.

55. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

2x 1, x 0

f x 1 , 0 x 3

x 2, x 3.

56. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

i) 3 , x 1

f xx 4, x 1

ii)

x 3 , x 1

f x 2 , 1 x 1

2x 4, x 1

57. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

i) 2x

f xx

ii) f x x x 1 1.

58. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f x αx β, x

διέρχεται από τα σημεία

A 4, 0 και B 0, 8 .

i) Nα βρείτε τις τιμές των α και β.

ii) Nα προσδιορίσετε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f

βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x.

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων – Η Συνάρτηση f (x) = αx2+βx+γ με α ≠ 0 459

H Συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + γ με α ≠ 0

Γραφική Παράσταση της Συνάρτησης f(x) = αx2 με α ≠ 0

● H γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f x αx με α 0 είναι μια καμπύλη η

οποία λέγεται παραβολή και έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y.

Αν α 0 , τότε η παραβολή έχει χαμη-

λότερο σημείο την αρχή των αξόνων.

Αν α 0 , τότε η παραβολή έχει

ψηλότερο σημείο την αρχή των

αξόνων.

● H αρχή των αξόνων Ο 0,0 λέγεται κορυφή της παραβολής.

● Καθώς η α μεγαλώνει η παραβολή γίνεται όλο και πιο «κλειστή», δηλαδή

«πλησιάζει» τον άξονα y y.


Από τις παραβολές

2 2y 0,5x , y x και 2y 2x .

■ Πιο «κλειστή» είναι η 2y 2x

■ Πιο «ανοικτή» είναι η 2y 0,5x

y

xO

α 0

y

xO

α 0 2y αx 2y αx

xO

y

2y 0,5x

2y x

2y 2x


Γραφική Παράσταση της Συνάρτησης f(x) = αx2 + βx + γ με α ≠ 0

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f x αx βx γ με α 0 είναι

παραβολή, η οποία έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία β

x2α

και κορυφή το

σημείο β Δ

Κ ,2α 4α

, όπου 2Δ β 4αγ η διακρίνουσα του τριωνύμου

2αx βx γ με α 0.

Αν α 0 , τότε η κορυφή Κ είναι το

χαμηλότερο σημείο της παραβολής.

Αν α 0 , τότε η κορυφή Κ είναι το

ψηλότερο σημείο της παραβολής.

● Καθώς η α μεγαλώνει η παραβολή γίνεται όλο και πιο «κλειστή», δηλαδή

«πλησιάζει» την ευθεία β

x .2α

● H παραβολή τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Γ 0, γ , αφού f 0 γ.

● Αν Δ 0 , το τριώνυμο 2αx βx γ έχει δύο άνισες ρίζες 1 2

x , x και συνεπώς η

παραβολή τέμνει τον άξονα x x σε δύο σημεία, 1A x , 0 και 2

B x , 0 .

O

Γ 0,γ

y

x

βx

2α

2y αx βx γ α 0

β ΔΚ ,

2α 4α

O

Γ 0,γ

y

x

βx

2α

2y αx βx γ

α 0

β ΔΚ ,

2α 4α


● Αν Δ 0 , το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα, την 0

βx

2α . Στην περίπτωση αυτή

λέμε ότι η παραβολή εφάπτεται του άξονα x x στο σημείο β

,02α

που είναι

η κορυφή της.

● Αν Δ 0 , το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και συνεπώς η παραβολή δεν

έχει κοινά σημεία με τον άξονα x x .

1x 2x

y

xO

α 0Δ 0

β 2α

y

xO

α 0Δ 0

β 2α

y

xO

α 0Δ 0

y

xO

α 0Δ 0

y

xO

α 0Δ 0

1x 2x

y

xO

α 0Δ 0




2

2

αx , x 0 x 0f x

2αx , x 0. x 0.

Αν ισχύει η σχέση

f 1 9 f 2

τότε:


ii) να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

Λύση

i) Έχουμε

2

f 1 α 1 α

και

2f 2 2α 2 8α .

Οπότε από τη σχέση

f 1 9 f 2

παίρνουμε

α 9 8α 9α 9 α 1.

ii) Για α 1 έχουμε

2

2

x , x 0f x

2x , x 0.

Άρα, η γραφική παράσταση της συ-

νάρτησης f αποτελείται από την

καμπύλη 2y x με x 0 και από την

καμπύλη 2y 2x με x 0.

y

x

O

2y x

με x 0

2y 2x

με x 0

1

1

2

1



γραφική παράσταση μιας συνάρ-

τησης

2f x αx βx γ, x .

i) Να βρείτε το πρόσημο του α.


2β 4αγ .

iii) Nα βρείτε το πρόσημο των β και γ.

Λύση

i) Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση

της συνάρτησης f , δηλαδή η παραβολή 2y αx βx γ

είναι ανοικτή προς τα πάνω. Επομένως,

α 0.

ii) Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση

της συνάρτησης f , τέμνει τον άξονα x x

σε δύο σημεία. Αυτό σημαίνει ότι η

εξίσωση

f x 0

δηλαδή η εξίσωση 2αx βx γ 0

έχει δύο πραγματικές ρίζες. Άρα, 2Δ 0 β 4αγ 0

2β 4αγ.

iii) Παρατηρούμε ότι τα δύο σημεία στα οποία η f

C τέμνει τον άξονα x x έχουν

θετικές τετμημένες, 1

x και 2

x . Δηλαδή, οι ρίζες 1 2

x ,x της εξίσωσης 2αx βx γ 0

είναι θετικές. Επομένως:

● 1 2

βx x 0 0 β 0 β 0,

α αφού α 0.

● 1 2

γx x 0 0 γ 0,

α αφού α 0.

fC

Σημείωση

Η παραβολή 2y αx βx γ

είναι ανοικτή προς τα πάνω αν

α 0

και ανοικτή προς τα κάτω αν

α 0 .

α 0

α 0


22. Δίνεται η παραβολή 2

y αx 2αx 6, x ,

όπου α σταθερός αρνητικός πραγματικός αριθμός. Αν η κορυφή της

παραβολής είναι το σημείο 2K 1, 6 α , τότε:


ii) να αποδείξετε ότι η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x.

Λύση

i) Η τεταγμένη της κορυφής Κ είναι ίση

με

2

2α 4α 6Δ

4α 4α

24α 24α 4α α 6

4α 4α

α 6 , αφού α 0.

Και επειδή

2Κ 1, 6 α


2 2α 6 6 α α α 12 0

α 4 ή α 3.

Όμως, α 0 και συνεπώς α 3 .

ii) Για α 3 έχουμε 2y 3x 6x 6 .

Το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα

2Δ 6 4 3 6 36 72

36 0

Και επειδή α 0 και Δ 0 συμπεραί-

νουμε ότι το τριώνυμο 23x 6x 6

είναι αρνητικό για κάθε x . Δηλαδή,

η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον

άξονα x x.


● Η παραβολή 2y αx βx γ

έχει κορυφή το σημείο

β ΔΚ ,

2α 4α

.

● Η παραβολή 2y αx βx γ

βρίσκεται κάτω από τον άξο-

να x x αν και μόνο αν ισχύουν

οι σχέσεις

α 0 και Δ 0 .

y

xx O

β ΔK ,

2α 4α



2f x x 2λx λ 2, x ,

όπου λ σταθερός πραγματικός αριθμός. Να βρείτε τις τιμές του λ

για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f :

i) εφάπτεται στον άξονα x x

ii) δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x x .

Λύση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ,

δηλαδή η παραβολή 2y x 2λx λ 2:

i) εφάπτεται στον άξονα x x αν και

μόνο αν ισχύει

Δ 0

2

2λ 4 λ 2 0

24λ 4λ 8 0

2λ λ 2 0

λ 1 ή λ 2.

ii) δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα

x x αν και μόνο αν ισχύει

Δ 0

24λ 4λ 8 0

2λ λ 2 0

λ 1 λ 2 0

1 λ 2.

Δηλαδή,

λ 1, 2 .


Η γραφική παράσταση της συνάρ-

τησης

2f x αx βx γ, με α 0

είναι η παραβολή 2y αx βx γ

και ισχύουν τα εξής:

● Αν Δ 0 , το τριώνυμο 2αx βx γ

έχει δύο ρίζες 1 2

x ,x και συνεπώς

η παραβολή τέμνει τον άξονα

x x σε δύο σημεία, τα 1A x ,0

και 2B x ,0 .

● Αν Δ 0 , το τριώνυμο έχει διπλή

ρίζα, την β

.2α

Στην περίπτωση

αυτή λέμε ότι η παραβολή

εφάπτεται του άξονα x x στο

σημείο β

Α ,0 .2α

● Αν Δ 0 , το τριώνυμο δεν έχει

πραγματικές ρίζες και επομένως η

παραβολή δεν έχει κοινά σημεία

με τον άξονα x x .



2f x αx βx γ, x ,

όπου α, β, γ σταθεροί πραγματικοί αριθμοί με α 0 και τέτοιοι,

ώστε

f 0 f 1 0.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f x 0

έχει δύο πραγματικές ρίζες άνισες.

Λύση

Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι η εξίσωση

f x 0 δεν έχει δύο πραγματικές ρίζες άνισες.

Οπότε, επειδή είναι εξίσωση 2ου

βαθμού θα έχει

μία διπλή πραγματική ρίζα ή θα είναι αδύνατη

στο .

● Αν η εξίσωση f x 0 έχει μία διπλή

πραγματική ρίζα, τότε θα ισχύει Δ 0 και

συνεπώς το τριώνυμο f x θα είναι

ομόσημο του α για κάθε β

x2α

, ενώ θα

μηδενίζεται για β

x .2α

Όμως, αυτό

είναι άτοπο αφού από την υπόθεση γνω-

ρίζουμε ότι οι τιμές f 0 και f 1 είναι

ετερόσημες.

● Αν η εξίσωση f x 0 είναι αδύνατη στο

, τότε θα ισχύει Δ 0 και συνεπώς το

τριώνυμο f x θα είναι ομόσημο του α για

κάθε x . Όμως και αυτό είναι άτοπο

αφού από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι οι

τιμές f 0 και f 1 είναι ετερόσημες.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση

f x 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες άνισες.

Σχόλιο

Η μοναδική περίπτωση η συ-

νάρτηση

2f x αx βx γ, με α 0

να έχει δύο τιμές ετερόσημες

είναι να ισχύει η σχέση

Δ 0.



59. Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας και την κορυφή των παραβολών:

i) 21y x

2 ii) 2y x 1

iii) 2y x 4x 3 iv) 2y x 2x 8.

60. Να βρείτε το πλήθος των κοινών σημείων του άξονα x x με τις παραβολές:

i) 2y 3x 7x 5 ii) 2y 2x 5x 21

iii) 2y 9x 12x 4 iv) 2y x 2x 6.

61. Δίνονται οι παραβολές

2

1c : y x 10x 3 και 2

2c : y x 2x 3 .

i) Να αποδείξετε ότι οι δύο παραβολές τέμνουν τον άξονα y y στο ίδιο σημείο.

ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία των δύο παραβολών.

iii) Να βρείτε τις κορυφές των δύο παραβολών.

62. Δίνεται η παραβολή

2y x λ 2 x 2λ 0, λ ,

η οποία εφάπτεται στον άξονα x x. Να βρείτε:

i) την τιμή του λ

ii) τον άξονα συμμετρίας της παραβολής

iii) την κορυφή της παραβολής.


2f x x 6 x 5, x .

i) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με

τους άξονες x x και y y .

ii) Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f .


2x


παράσταση μιας συνάρτησης

2f x αx βx γ, x

όπου α, β, γ σταθεροί πραγματικοί

αριθμοί. Να βρείτε:

i) το πρόσημο του α

ii) το πρόσημο των β και γ

iii) τον άξονα συμμετρίας της fC αν

ισχύει β 4α.


γραφική παράσταση ενός τριωνύμου

2f x αx βx γ.

i) Nα βρείτε την τιμή του γ.


2β 4α .

iii) Να αποδείξετε ότι

1β 2α .

2


2y x βx γ ,

η οποία δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x x , ενώ έχει δύο κοινά σημεία με

την ευθεία y 2. Να αποδείξετε ότι:

24γ 8 β 4γ.

fC

–2 O

y

x

fC



παράσταση ενός τριωνύμου

2f x αx βx γ.

Τα σημεία Α και Β ανήκουν επίσης στη

γραφική παράσταση της συνάρτησης

2g x x 9.

i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των

σημείων Α και Β.

ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του γ.

iii) Να αποδείξετε ότι

2β 36α.

iv) Να αποδείξετε ότι

3α β 3 0.


παράσταση μίας συνάρτησης

2f x αx βx γ

και η ευθεία με εξίσωση

y x.

i) Να βρείτε την τιμή του γ.


α 1 και β 2.


2f x αx βx 2, x με α 0 .

i) Αν ισχύει η σχέση

f x 0 για κάθε x ,

να αποδείξετε ότι f 100 0 .

ii) Αν ισχύει η σχέση α β 2 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f x 0

έχει ακριβώς δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

2y αx βx γ

y x

fC



1. Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του . Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

με πεδίο ορισμού το Α;

2. Να δώσετε τον ορισμό της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f :A .

3. Έστω ευθεία ε η οποία σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω 90 . Τι

ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε ;

4. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x Oy ;

5. Δίνονται οι ευθείες 1 1 1

ε : y α x β και 2 2 2

ε : y α x β . Τι γνωρίζετε για τη

σχετική θέση των ευθειών αυτών όταν 1 2

α α και τι όταν 1 2

α α .

6. Δίνεται η παραβολή 2y αx βx γ, α 0. Ποιος ο άξονας συμμετρίας και ποια

η κορυφή αυτής της παραβολής;


1. Συνάρτηση από ένα σύνολο Α στο σύνολο λέγεται μία διαδικασία

(κανόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα

ακριβώς στοιχείο του συνόλου . Σ Λ

2. Έστω μία συνάρτηση f :A . Κάθε στοιχείο του αποτελεί τιμή

της f. Σ Λ

3. Έστω μία συνάρτηση f :A . Δύο ή περισσότερα στοιχεία του Α

μπορεί να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο του . Σ Λ

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 471

4. Το συμμετρικό του σημείου A α, β ως προς τον άξονα x x είναι το

σημείο B α,β . Σ Λ

5. Το συμμετρικό του σημείου Α α, β ως προς τον άξονα y y είναι το

σημείο B β, α . Σ Λ

6. Το συμμετρικό του σημείου Α α, β ως προς την αρχή των αξόνων

είναι το σημείο Β α, β . Σ Λ

7. Το συμμετρικό του σημείου Α α, β ως προς τη διχοτόμο της 1ης και

3ης γωνίας των αξόνων είναι το σημείο Β β, α . Σ Λ

8. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : A είναι το σύνολο

των σημείων M x, f x , x A. Σ Λ

9. Η γραφική παράσταση f

C μιας συνάρτησης f έχει εξίσωση y f x . Σ Λ

10. Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης f το πολύ ένα κοινό σημείο. Σ Λ

11. Υπάρχει συνάρτηση f που η γραφική της παράσταση είναι ένας

κύκλος. Σ Λ

12. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται από τα σημεία

M x, f x που είναι συμμετρικά των σημείων M x, f x της

γραφικής παράστασης της f ως προς τον άξονα x x. Σ Λ

13. Αν μία ευθεία ε είναι παράλληλη προς τον άξονα x x ή συμπίπτει

με αυτόν, τότε λέμε ότι η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα x x

γωνία ω 180 . Σ Λ

14. Ως συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση μιας ευθείας ε ορίζουμε την

εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα x x. Σ Λ


15. Αν μία ευθεία ε είναι κάθετη στον άξονα x x , τότε δεν ορίζουμε

συντελεστή διεύθυνσης για την ε . Σ Λ

16. Η ευθεία y αx διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σ Λ

17. Η ευθεία y x διχοτομεί τη γωνία x Oy . Σ Λ

18. Έστω 1ε και 2

ε δύο ευθείες με εξισώσεις 1 1

y α x β και

2 2y α x β αντίστοιχα. Αν

1 2α α , τότε οι ευθείες 1

ε και 2ε

συμπίπτουν. Σ Λ

19. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f x αx , α 0 έχει άξονα

συμμετρίας τον άξονα y y. Σ Λ

20. Kαθώς η α μικραίνει, η παραβολή 2y αx γίνεται όλο και πιο

«κλειστή», δηλαδή «πλησιάζει» τον άξονα y y. Σ Λ

21. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f x αx βx γ, α 0

είναι παραβολή η οποία έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία β

y .2α

Σ Λ

22. Η παραβολή 2y αx βx γ έχει κορυφή το σημείο β Δ

Κ , .2α 4α

Σ Λ

23. Αν α 0, τότε η κορυφή Κ της παραβολής 2y αx βx γ είναι το

ψηλότερο σημείο της. Σ Λ

24. Αν το τριώνυμο 2αx βx γ έχει διακρίνουσα Δ 0, τότε η παρα-

βολή 2y αx βx γ εφάπτεται στον άξονα x x. Σ Λ

25. Αν το τριώνυμο 2αx βx γ με α 0 έχει διακρίνουσα Δ 0 , τότε

υπάρχουν σημεία της παραβολής 2y αx βx γ που βρίσκονται

κάτω από τον άξονα x x. Σ Λ

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 473


Θέμα Α

Α1. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;

A2. Tι ορίζουμε ως συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας;

Α3. Ποια είναι τα συμμετρικά του σημείου M α, β ως προς τους άξονες x x και

y y;




α) Κάθε καμπύλη του καρτεσιανού επιπέδου είναι γραφική παράσταση κάποιας


β) Το συμμετρικό του σημείου M α, β ως προς την ευθεία y x είναι το

σημείο M β, α .

γ) Η ευθεία y αx β έχει κλίση

λ β.

δ) Αν 1 2

α α και 1 2

β β , τότε οι ευθείες 1 1 1

ε : y α x β και 2 2 2

ε : y α x β

τέμνονται.

ε) Η κορυφή της παραβολής 2y αx βx γ είναι το σημείο β Δ

Κ , .2α 4α

Θέμα Β

Δίνονται η ευθεία ε :y αx β και η παραβολή 2c : y x κx λ, x τέτοιες,

ώστε:

● η παραβολή c τέμνει τον άξονα x x στα σημεία A 1,0 και Β 3,0

● η ευθεία ε είναι παράλληλη προς την ευθεία η: y 2x 1 και διέρχεται από την

κορυφή της παραβολής c .

Nα βρείτε:

Β1. την εξίσωση της παραβολής c

Β2. την εξίσωση της ευθείας ε

Β3. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

2f x αx β x κx λ.


Θέμα Γ

Δίνεται η συνάρτηση

2x 3x 2

f x .x 1

Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

Γ2. Nα αποδείξετε ότι

2 x, x 1

f xx 2, x 1

Γ3. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να αποδείξετε

ότι τα σημεία τομής της f

C με τους άξονες x x και y y είναι συμμετρικά μεταξύ

τους ως προς την ευθεία y x.


f x 0.

Θέμα Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις

2

f x x 2 9, x

και

g x 2 x 2 6, x .

Δ1. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f


Δ2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από

τον άξονα x x για κάθε x .

Δ3. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f

και g.

.

Θέματα για Επανάληψη 475

Θέματα για Επανάληψη


«Oι άνθρωποι που δεν πιστεύουν ότι τα μαθηματικά είναι απλά, είναι εκείνοι που δεν αντιλαμβάνονται πόσο πολύπλοκη είναι η ζωή.»

John von Newmann


1. Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με α β και δ 0 , για τους οποίους


α β2

α β

και

γ δ3.

δ


α 3β και γ 4δ .

ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης

αδ βδΠ .

βγ βδ


2

2 2

x x y x y x

x y x y 2x y y x

.

ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2

2

2011 2010 2012 2011

2011 1 2012 4021 2010

.

3. Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι, ώστε 2α αβ 1 0.


1α β.

α

ii) Nα εκφράσετε ως συνάρτηση του β τις παραστάσεις:

2 3 4

2 3 4

1 1 1α , α και α .

α α α

iii) Για β 1 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

8 6 5 3 2

4

5α α 3α 3α α 5Α .

α


4. Έστω α, β, γ τέτοιοι, ώστε

αβγ α β γ 0 και 2γ α 2α β 2β γ

λ.β γ α


i) λ 1

ii) α β 2γ

iii) 2 2 2 2 2 2α β β γ γ α 4 α β γ

iv) α β γ.

5. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύουν οι σχέσεις

1 1 1α β γ 1 και 1,

α β γ


i) αβ βγ γα αβγ

ii) 2 2 2α β γ 1 2αβγ

iii) 1

αβγ .2


i) x y

2y x για κάθε x, y 0

ii) α β β γ γ α

6γ α β

για κάθε α,β, γ 0.

7. Aν α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

α β γ 0,


i) 2α 4βγ

ii) αβ βγ γα 0

iii) 2

α β γ 4 α β γ α β γ .


8. i) Να αποδείξετε ότι

3

2 4x 1 8 2 x 3 x 1 για κάθε x .


ii) Aν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει η σχέση

3

2 4

α β 1 1 8 2 α β α β 1 3

να αποδείξετε ότι α β 2.

9. Δίνονται oι πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι, ώστε

3 α 6 και 4 β 5

και η παράσταση

Π α 3 β 5 .


i) Π α β 2 ii) Π 2 2.


α 2β 2 και α 2β 4 ,


i) 2 23α 12β 24 ii) 4β

1 2α 2β

iii) α 3 iv) 3

αβ .2

11. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x, y με y x 0 τέτοιοι, ώστε

1 1 2 2x y 2 x y .


i) 1 1 1

x y 2 ii) x 2

iii) x 4 iv) xy 16.


12. i) Αν α, β, x είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι

βαx 2 αβ

x

και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν β

x .α

ii) Aν y, z είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε

25 1y 4 z 11

y 16 z


y 5 ή y 5 και 1 1

z ή z .8 8


22α β x 4αx 4β 0 με α,β

έχει μία διπλή ρίζα, τότε:

i) να αποδείξετε ότι α β 0

ii) να λύσετε την εξίσωση 2 2 2α β x 2x 3 α β 0.


2x 4x 12 0.

i) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.

ii) Έστω πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι, ώστε

αβ 0 και 2 2α 4αβ 12β .

Να αποδείξετε ότι ο α είναι διπλάσιος του β.


2αx βx γ 0 (1)

και

2γx βx α 0 (2)

με αγ 0. Nα αποδείξετε ότι:

i) κάθε μία από τις εξισώσεις (1) και (2) έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες

άνισες


ii) αν ο αριθμός ρ είναι μία ρίζα της εξίσωσης (1), τότε:

α) ρ 0

β) ο αριθμός 1

ρ είναι μία ρίζα της εξίσωσης (2) και αντιστρόφως.


2x 16x λ 0, λ ,64 .

i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2

x , x πραγματικές και άνισες.

ii) Αν ισχύει η σχέση 1 2

3x x 12, να βρείτε:


x και 2

x β) την τιμή του λ.


2 2x 2λx λ 1 0, λ .

i) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες

πραγματικές και άνισες.

ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών 1 2

x , x της παραπά-

νω εξίσωσης, συναρτήσει του λ.

iii) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία ισχύει

2 21 x 1 x 1.


23x 2 κ 1 2κ 1 0 , κ 2 .

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

ii) Έστω 1 2

x ,x οι ρίζες της εξίσωσης. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

1 2 1 2x x x x .

iii) Να βρείτε την τιμή του κ έτσι, ώστε να ισχύει η σχέση

1 2 1 2x x x x 0 .



2 2x 2λx λ 4λ 5 0, λ

η οποία έχει δύο πραγματικές ρίζες 1 2

x , x με 1 2

x x .


λ4

ii) Aν επιπλέον ισχύει η σχέση

1 2

1 1 1,

x x 4

να βρείτε:

α) την τιμή του λ β) τις ρίζες 1

x και 2

x .


2 2x 2 λ 1 x λ 2λ 0 με λ .

i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε

λ .

ii) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης για κάθε λ .

iii) Να υπολογίσετε τις τιμές του λ για τις οποίες οι δύο άνισες ρίζες της εξίσω-

σης ανήκουν στο διάστημα 1, 5 .


A 3 x 1 και B 3 2x 1 .

i) Να λύσετε την εξίσωση A 2.

ii) Να λύσετε την ανίσωση A 1.

iii) Να λύσετε την εξίσωση A B.

iv) Aν 1

x2

, να γράψετε τις παραστάσεις Α και Β χωρίς απόλυτες τιμές.

22. Δίνεται η εξίσωση 26x x 1 0 με ρίζες

1 2ρ , ρ όπου

1 2ρ ρ .

i) Να βρείτε τις ρίζες 1 2

ρ , ρ .

ii) Να λύσετε την εξίσωση 1 2

5ρ x 2 2x 8ρ .

3

iii) Nα λύσετε την ανίσωση 1

2x 2 .

ρ


23. Αν

3 2α ,

3 2 3 2

τότε:

i) να αποδείξετε ότι α 5.

ii) να λύσετε την εξίσωση 2x α x 6 0

iii) να λύσετε την ανίσωση

2 x α 3 7.

24. Δίνονται τα τριώνυμα

2 3 2 2x 2x λ και x λ x 2λ, λ

τα οποία έχουν κοινή ρίζα τον αριθμό ρ.

i) Να αποδείξετε ότι ρ λ.

ii) Να βρείτε τις τιμές του αριθμού λ.

iii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα

2 3

2 2

x 2x λΚ .

x λ x 2λ


2x 3λ 2 x 3λ 2 0, λ .

i) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης.

ii) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές;

iii) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το άθροισμα των ριζών της παραπάνω εξίσω-

σης να είναι ίσο με 5.


α 2 1 και 2β 7β 10 0.


α) 1 α 3 β) 2 β 5.

ii) Aν οι αριθμοί α, β είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλο-

γράμμου, το οποίο έχει περίμετρο Π και εμβαδό Ε, να αποδείξετε ότι

Π 6,16 και Ε 2,15 .



2x 2x λ 1 0 με λ .

Να βρείτε τις τιμές του αριθμού λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση:

i) είναι αδύνατη

ii) έχει δύο άνισες ρίζες

iii) έχει δύο άνισες ρίζες 1 2

x , x τέτοιες, ώστε

2 2

1 2 1 2x x 2 x x .

28. i) Nα λύσετε την ανίσωση 22x 5x 3 0.

ii) Aν 1

x 3,2

, να λύσετε την εξίσωση

26x 3 2x 5x 3 0.

iii) Aν x 3 , να απλοποιήσετε το κλάσμα

2

2

2x 6 2x 5x 3A .

x 9 1 2x


2 2x 3λx 2λ 2λ 0, λ .

i) Nα βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.

ii) Aν S και Ρ είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξί-

σωσης, να υπολογίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

α) Ρ 2S 24 β) 2S 5P 11 0.


2 2x λ 4 x λ, λ .

i) Nα αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα για

κάθε λ .

ii) Να αποδείξετε ότι μία τουλάχιστον ρίζα του τριωνύμου είναι αρνητική.


iii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ομό-

σημες και διαφορετικές μεταξύ τους.

iv) Αν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες 1 2

x , x ομόσημες και διαφορετικές μεταξύ

τους, να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει

1 2 1 2x x 5x x .

31. i) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου

2x 2x 8 για κάθε x .

ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

2

223 446A 8

111 111

είναι θετικός.

iii) Αν ω 4, 4 να αποδείξετε ότι

2ω 2 ω 8 0.


2f x λ 1 x λ 3x λ , λ 1 .

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες:

i) το παραπάνω τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες

ii) η ανίσωση f x 0 αληθεύει για κάθε x

iii) η ανίσωση f x 0 αληθεύει για κάθε x .


x 3, 1 2x και 3x 11

είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου να .

i) Nα βρείτε τον πραγματικό αριθμό x.

ii) Nα βρείτε τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου.

iii) Aν ο αριθμός 1 2x είναι ο πέμπτος όρος της προόδου, να βρείτε:

α) τον πρώτο όρο 1


β) τον πρώτο αρνητικό όρο της προόδου.


34. Δίνονται οι αριθμοί

2 2Α x 3, B 2x 6, Γ 3x 11 με x ,

τέτοιοι, ώστε

2A B Γ 14.

i) Να αποδείξετε ότι x 3,1 .

ii) Αν οι αριθμοί Α, Β, Γ είναι αντίστοιχα ο τρίτος, ο τέταρτος και ο πέμπτος

όρος μιας αριθμητικής προόδου να , να υπολογίσετε:

α) την τιμή του x

β) τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω της προόδου

γ) τον όρο α61 της προόδου.

35. Ο αριθμός 5x 1 είναι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών 2x 7x και 2x 3, x .

i) Nα αποδείξετε ότι οι αριθμοί 2α 1, β x και γ 3x

είναι με τη σειρά που δίνονται διαδοχικοί όροι κάποιας αριθμητικής προόδου

να .

ii) Nα βρείτε τις τιμές του αριθμού x καθώς και τις τιμές της διαφοράς ω της

παραπάνω προόδου.

iii) Aν ο αριθμός 2β x είναι ο πέμπτος όρος της προόδου, να βρείτε τον πρώτο

όρο της.

36. Έστω μια αριθμητική πρόοδος να με διαφορά ω.


300 100α α 200ω.

ii) Aν

300 100 1α α 1200 και α 5

τότε:

α) να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι


β) να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου που υπερβαίνει τον αριθμό 70.

γ) να βρείτε το πλήθος των όρων της προόδου που είναι μικρότεροι του

αριθμού 100.


37. Έστω πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι, ώστε

αβ 6 και 2 2α β αβ 30.

i) Να αποδείξετε ότι α β 5.

ii) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς α

και β.

iii) Σε μια αριθμητική πρόοδο να με διαφορά ω 0 έχουμε

5α α και

7α β.

Να βρείτε τoν όρο 57

α .

38. Έστω αριθμητική πρόοδος να τέτοια, ώστε

11 8α α 12 και

5 6α α 40.

i) Να αποδείξετε ότι 1

α 2 και ω 4.

ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 142 δεν είναι όρος της παραπάνω προόδου.

iii) Να βρείτε δύο διαδοχικούς όρους β και γ της παραπάνω προόδου, τέτοιους

ώστε

β γ.

3 5


2αx βx γ με α, β, γ *

τέτοιο, ώστε οι αριθμοί α, β, γ να είναι διαδοχικοί όροι κάποιας γεωμετρικής

προόδου με λόγο λ. Να αποδείξετε ότι:

i) το παραπάνω τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγό-

ντων

ii)

2

2 2λ 3αx βx γ α x λ

2 4

για κάθε x

iii) αν γ 0, τότε

2αx βx γ 0 για κάθε x .


40. Έστω γεωμετρική πρόοδος να με λόγο λ 0 τέτοια, ώστε

9 5

5 3

α α12.

α α

i) Να αποδείξετε ότι λ 2.

ii) Αν επιπλέον ισχύει η σχέση 3 4

α α 1 τότε:

α) να βρείτε τον πρώτο όρο 1


β) να αποδείξετε ότι η ακολουθία νβ με γενικό όρο

ν

ν

1β

α για κάθε ν *

είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος

γ) να βρείτε τον όρο 7

β της προόδου νβ .

41. Έστω μία γεωμετρική πρόοδος να με λόγο λ τέτοια, ώστε

3α 45 και

20 15α 243α .


i) λ 3 και 1

α 5

ii) 107 101

104 101

α α28

α α

iii) o αριθμός 450 δεν είναι όρος της προόδου.


2f x x 4x 9.

i) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α για τις οποίες η εξίσωση

f x α

έχει πραγματικές ρίζες.


f x 5 για κάθε x .

iii) Nα λύσετε την ανίσωση

f x 5 1.



2

2x 5f x

x 4x λ

,

όπου λ σταθερός πραγματικός αριθμός.

i) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού

το σύνολο .

ii) Για λ 5, να λύσετε την εξίσωση

f x 1.

44. Έστω η συνάρτηση f με τύπο

2

2

x 5x 4f x , α

αx x

και τέτοια ώστε

f 2 1.

Να βρείτε:

i) την τιμή του αριθμού α

ii) το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f

iii) τις τιμές του x A, για τις οποίες ισχύει

f x 5.


4 3 2

2

x x 2xf x .

x 2x

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.


2f x x x για κάθε x A.

iii) Να λύσετε την εξίσωση

f x 6.



2

2

2x 7x 3f x .

x 9

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

ii) Να αποδείξετε ότι 2x 1

f x .x 3

iii) Να βρείτε τις τιμές του x ώστε f x 1.


2x 3 x 2

f x .x 2

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f .


f x x 1 για κάθε x A.

iii) Nα λύσετε στο σύνολο Α την εξίσωση

6 3

f x 2 7 f x 2 8 0.

48. i) Nα λύσετε την ανίσωση 2x 3x 2 0 .

ii) Να αποδείξετε ότι 2

2

α 21 2

α 1

για κάθε α .

iii) Αν 2f x x 3x 3, x να συγκρίνετε τους αριθμούς

2

2

α 21 και f .

α 1


2f x 3x 5x 2.

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.


2

f 5 f 2 13 6 f 3 .



2f x x 3 x 2, x .

i) Να βρείτε τα σημεία τομής της f

C με τους άξονες.

ii) Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης για x 1 2.


2f x x 4.


α 3

f xx 2 x

και 1 α

g xx 2


i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g.

ii) Να βρείτε την τιμή του α έτσι, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται

από το σημείο Μ 3,1 .

iii) Για α 2 να βρείτε, αν υπάρχουν:

α) τα κοινά σημεία της f

C με τους άξονες x x και y y

β) τις τετμημένες των κοινών σημείων της f

C με τη g

C .


2f x 4x 12x 3κ με κ .

i) Να βρείτε τις τιμές του αριθμού κ ώστε το πεδίο ορισμού της f να είναι το

σύνολο .

ii) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Ρ 0, 3 , τότε:

α) να αποδείξετε ότι κ 3

β) να αποδείξετε ότι

f x 2x 3 για κάθε x

γ) να λύσετε την ανίσωση f x 1.



2f x x αx 6α με α ,

της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α 2, 20 .


ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f

C βρίσκεται πάνω από τον άξονα

x x και τα διαστήματα στα οποία η f

C βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x.

iii) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού

A f 2π f π f π f 2π .


2f x x 2 μ x 2 και g x 4 μ x μ, x

με παράμετρο μ . Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες:

i) η γραφική παραστάση της συνάρτησης g δεν τέμνει τον άξονα x x

ii) οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ακριβώς ένα κοινό

σημείο

iii) η f

C βρίσκεται πάνω από τη g

C για κάθε x .


242x 210

f x 25 x .2x 10 2x 11



2f x 25 x 2 x 5 .

iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με

τους άξονες x x και y y.



2f x 2x x 1, x

και η ευθεία ε με εξίσωση

y 2x 6.

i) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω

από τον άξονα x x.

ii) Nα βρείτε:

α) τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

β) τις τετμημένες των σημείων της f

C που βρίσκονται κάτω από την ευ-

θεία ε .


2

x 6f x .

x 5x 4

Να βρείτε:


ii) τα σημεία τομής Β και Γ της γραφικής παράσατσης της f με τους άξονες x x

και y y αντίστοιχα

iii) την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Β και Γ.

58. Δίνονται τα σημεία

A 2,0 , B 0,4 και Γ 0,6 .

Να βρείτε:

i) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β

ii) την εξίσωση της ευθείας η που διέρχεται από το σημείο Γ 0,6 και είναι

παράλληλη προς την ευθεία ε

iii) το σημείο τομής Δ της ευθείας η με τον άξονα x x

iv) το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΓΔ.



2ε : y λ λ x 12 και 3η: y 2x λ 4

με λ .

i) Nα βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ευθείες ε και η :

α) συμπίπτουν

β) είναι παράλληλες.

ii) Αν η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Α 4, 12 , τότε:

α) να αποδείξετε ότι λ 2 ή λ 3

β) να βρείτε την τιμή του λ για την οποία οι ευθείες ε και η τέμνονται

στο σημείο Α 4, 12 .


f x x 1 x 1 , x .

i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από τα σημεία

Α 2, f 2 και B 2, f 2 .


2 , x 1

f x 2x , 1 x 1

2 , x 1.

iii) Nα σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρ-

τησης f και την ευθεία ε .

iv) Να λύσετε την ανίσωση x 1 x 1 x.


f x αx x για κάθε x .

Αν ισχύει η σχέση

f 2 5 f 1 ,

τότε:


ii) να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f

iii) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία

Α 1, f 1 και B 1, f 1

iv) να λύσετε την ανίσωση f x x 0.



2x , x 1

f xαx β , 1 x 3

με α, β τέτοια, ώστε

f 1 f 1 και f 3 3.

i) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή διαστήματος.

ii) Nα βρείτε τις τιμές των α και β.

iii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

iv) Να λύσετε την εξίσωση

f x 0.


2f x κx κ 1 x 2 με κ .

i) Για κ 0 να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

ii) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο σημείο A 1,0

να βρείτε την τιμή του αριθμού κ και τις τιμές του x για τις οποίες η f

C


iii) Για κ 1 να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρί-

σκεται πάνω από τον άξονα x x για κάθε x .

64. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μία παραβολή 2 2y αx 8x 2α

η οποία εφάπτεται του άξονα x x σε ένα

σημείο με τετμημένη 0

x .

Να βρείτε:


ii) το σημείο επαφής της παραβολής με

τον άξονα x x

iii) το σημείο τομής της παραβολής με τον

άξονα y y.

x O

y

Α

B



2f x x 6x α, α και 2g x 2x 4x 1.

Aν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f εφάπτεται στον άξονα x x, τότε:


ii) να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

f και g

iii) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f

C βρίσκεται πάνω από τη g

C .


2y αx βx γ, με α, β, γ

η οποία τέμνει τον άξονα x x στα σημεία με τετμημένες 2 και 1 και τον

άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 4.

Να βρείτε:

i) τις τιμές των α, β και γ

ii) την κορυφή της παραβολής.


2f x x βx γ, β, γ

της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το

σημείο Α 4, 8 .

i) Να αποδείξετε ότι β 2 και γ 0 .

ii) Τι καμπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f και ποιο είναι το

χαμηλότερο σημείο αυτής της καμπύλης;


f x 0.

iv) Να λύσετε την εξίσωση

22x 3 f x .

Απαντήσεις: Εισαγωγικό Κεφάλαιο 497

Aπαντήσεις


«H ζωή αξίζει μόνο για δύο πράγματα: Για να μελετά κανείς Μαθηματικά και για να τα διδάσκει.»

Simeon Denis Poisson

Απαντήσεις: Εισαγωγικό Κεφάλαιο 499

Εισαγωγικό Κεφάλαιο

Σύνολα

1. i) Α 7, 7

ii) Β 4, 3, 2, 1, 0,1

iii) Γ 1, 3, 5, 15 . 2. Α 2, 1, 0, 1 και Β 0, 1, 2, 3 .

3. i) Β 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 . Άρα,

Α Β . ii) Β 1, 2, 4 . Άρα,

ΑΒ .

4. α 3. 5. Α 0, 2, 4, 6, 7,8,9

Β 1, 4,5, 7,8,9

Α Β 0,1, 2,3,5, 6

Α Β 3

Α Β 4, 7,8,9

Α Β 0,1, 2, 4, 5, 6, 7,8,9

Β Α 0, 2, 6

Α Β 1,5

Α Β 4, 7,8,9 .

6. i) Α 0, 1, 2

ii) , 0 , 1 , 2 , 0, 1 ,

0, 2 , 1, 2 , 0,1, 2 .

7. i) Έχουμε Α 1, 2, 3, λ

και Β 1, 2, 3, 6 .

Επομένως, Α Β

αν και μόνο αν λ 6.

ii) Έχουμε Α 1, 2, 3, 4

και Β 1, 2, 3, 6 .

α) Α Β 1, 2, 3, 4, 6

β) Α Β 1, 2, 3

γ) Α 5, 6, 7, 8,9 . 8. i) Α β, γ, δ, ζ

ii) Β α, β, γ

iii) Α Β α, β, γ, δ, ζ

iv) Α Β α .

9. i) Γ 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,2 , 2,3 , 2,4

ii) Δ 0,5 , 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1 , 5,0

iii) Γ Δ 1,4 , 2,3 και

Γ Δ 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,4 .

9

8

7

4 6 1

2 3

5

A B

Ω


10. Όχι, αφού

Α Β 1 .

11. i) { }A 2, 5, 7, 8=

ii) { }B 1, 2, 6, 7, 9,10′ = και { }Β Α 3, 4,11 .− =

12. i) Αληθής ii) Αληθής iii) Ψευδής.

13. i) Aληθής ii) Αληθής iii) Aληθής iv) Ψευδής. 14. i) Aληθής ii) Aληθής iii) Aληθής iv) Ψευδής.

15. i) Aληθής ii) Ψευδής iii) Ψευδής.

16. i) Ψευδής ii) Ψευδής iii) Αληθής.

17. i) Αληθής ii) Ψευδής iii) Ψευδής iv) Αληθής.

Απαντήσεις: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 501

Oι Πραγματικοί Αριθμοί

Οι Πράξεις & οι Ιδιότητες

1. ( )Α 4 x y 4 500 2000= + = ⋅ =

2. i) Α 8= ii) Β 1=

3. i) 1 ii) 3

iii) 6 iv) 122 .

4. i) 1Α2

= − ii) 3

1Β .10

=

5. i) Α 45= ii) Β 0.=

6. i) Α 32= ii) Β 54=

7. i) ( )6

5 10 8 128

yA x y x y y :x

−− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )8

3 1 5 56

xx y x yy

− −−

= ⋅ ⋅ = ⋅

.

ii) ( )55 5A 4 5 4 5= ⋅ = ⋅ ( )5520 2 10= = ⋅

5 52 10 3200000.= ⋅ =

8. i) Α 1= − ii) Β 3=

iii) Γ 1= iv) Δ 2.= −

9. ( ) ( )( ) ( )

2 2y x 2 2

1 1 1 1y x

x y 2 1A2 1x y

− − − −

+ += =

⋅⋅10.=

10. 2 21 3

1 2 2

x y 1Ax y x y

− −

−

⋅= = − ⋅ − ⋅

1 .36

=

11. i) 5Α4

= − ii) Β 1=

12. i) ( )63 2 8 102x y x y− −

6 18 12 8 102 x y x y− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

10 210 2

6464 x y .x y

− −= ⋅ ⋅ =

ii) ( )( )

( )( )

8 52 3 5 5 15

5 8 8 16 83 2

3x y 2xy 2 x y3 x y2xy 3x y

−−

− −−

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅

5

21 78

2 x y .3

=

13. i) 9 5x y ii) 9 5x y−

iii) 2y

2− iv) x.

14. i) 2 2A x y= + ii) 3

1Bx

=

15. i) Α 13= ii) 3Β8

= −

16. i) Έχουμε 3α α γ= + και 4β β δ.= +

ii) 3Α8

=

17. i) 2x 10x 25+ + ii) 29 12x 4x+ +

iii) 22

1x 2x

+ + iv) 42

1x 2x .x

+ +

18. i) 2x 8x 16− + ii) 249 14x x− +

iii) 24x 12x 9− + iv) 22

1x 1 .4x

− +

19. i) 22

9x 34x

+ +

ii) 24 4y y− +

iii) 2 24x 12xy 9y+ +

iv) 2 2

4 4 1 .x xy y

− +

20. i) 2x 49− ii) 264 α−

iii) 216x 9− iv) 2

2α 4β .9−

21. i) 3 2x 3x 3x 1+ + + ii) 2 38 12α 6α α+ + + iii) 3 2 2 38x 12x y 6xy y+ + +

iv) 33

3 1x 3x .x x

+ + +


22. i) 3 2α 6α 12α 8− + − ii) 3 28x 12x 6x 1− + − iii) 3 2 2 3x 6x y 12xy 8y− + −

iv) 33

3 1x 3xx x

− + −

23. i) 3 2α 4α 12α 8+ + + ii) 3 2y 3y 3y 1− + −

iii) 3 2 2 3x 3x y 3xy y− − − −

iv) 2

6 4 x 1x x3 27

− + −

24. i) 3x 1+ ii) 3x 27+

iii) 38x 1+ iv) 33

1α .α

+

25. i) 3x 1− ii) 3α 8−

iii) 38x 27− iv) 33

1x .x

−

26. i) 2 2α 4β 1 4αβ 2α 4β+ + + + +

ii) 2 2 2x y 4ω 2xy 4xω 4yω+ + + + +

iii) 2 2 2α β γ 2αβ 2αγ 2βγ+ + + − −

iv) 2 2 24x y 9ω 4xy 12xω 6yω+ + − − +

27. i) 29x 20x 13+ + ii) 2 23α 24β+

iii) 3x 11x 7+ − iv) 312x 18x 3+ +

28. i) 3 2x 2x 10x 10+ + + ii) 5 6x− iii) 22βγ α−

iv) 2 24x y 4xy− +

29. i) 14 ii) 52

30. i) 1 ii) 3 iii) 4− iv) 7

31. i) 16 ii) 7 iii) 3 iv) 10

32. i) 2 ii) 12 iii) 3 iv) 40

33. ( ) ( )2 2x y 2 x y 3 2 3 3.− − − = − ⋅ =

34. i) 21x x 3

x + = +

22

1 1x 2x x 3x x

⇔ + ⋅ + = +

22

1x x 1.x

⇔ + = +

ii) 3

3 33

1 1x xx x

+ = +

22

1 1 1x x xx x x

= + − +

22

1 1x x 1x x

= + − +

21x x x 1x

= + = +

.

35. i) α β 14β α+ =

ii) 2 2

2 2

α β 194.β α

+ =

36. 2 2

2 2

α β α βα β β α α β

+− −

+ − −

( )( )

2 2α β α βα β α β α β α β

+= + −

+ − − +

( ) ( )( )( )

2 2α α β β α β α βα β α β

− + + − −=

− +

( )( )

2 2 2 2α αβ αβ β α β 0α β α β

− + + − −= =

− +.

37. i) ( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + + και ( )2 2 2α β α 2αβ β .− = − +

ii) ( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + + και ( )2 2 2α β α 2αβ β .− = − +

38. i) Eκτελούμε τις πράξεις στο α΄ μέ-

λος. ii) Eκτελούμε τις πράξεις στο β΄ μέ-

λος.


39. i) Το κάθε μέλος ισούται με 2α 5α 6− +

ii) Tο κάθε μέλος ισούται με 2α 9α 20.− +

40. i) Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη ισότητα σε ισοδύναμή της που εί-ναι αληθής.

ii) Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη ισότητα σε ισοδύναμή της που εί-ναι αληθής.

41. i) 2 22 2α 1 α 1

2 2 + −

−

2 2 2 2α 1 α 1 α 1 α 12 2 2 2

+ − + −= − +

2

22 2α α .2 2

= ⋅ =

ii) Όμοια με το ερώτημα i). iii)Aπό το δεύτερο μέλος καταλή-

γουμε στο πρώτο. iv)Από το δεύτερο μέλος καταλή-

γουμε στο πρώτο.

42. i) Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη ισότητα σε ισοδύναμή της που ι-σχύει.

ii) Από το πρώτο μέλος καταλήγου-με στο δεύτερο, παρατηρώντας αρχικά ότι

( )( ) ( )2 2α β γ α β γ α β γ+ + + − = + − και ( )( ) ( )22β γ α γ α β γ α β .+ − + − = − −

43. i) To πρώτο μέλος είναι ίσο με

( )

( ) ( )

22 2 4 2

2 22 2

4α 1 α α 2α 1

1 α 1 α

+ − + +=

+ +

ii) Eκτελούμε τις πράξεις στο β΄ μέλος και καταλήγουμε στο α΄ μέλος.

44. Έχουμε α β 4.= + Οπότε, το κάθε μέλος της ζητούμενης ισότητας είναι ίσο με 22β 13β 20.+ +

45. i) ( )( )5 x 2 x 2− +

ii) ( )( )3 xy 3 xy 3− +

iii) ( )( )2α α 3 α 3− +

iv) ( )( )2 22 αβ 2 α β 2αβ 4− + +

46. i) 2 22x y 6xyω 8xy− + ( )2xy x 3ω 4y= − +

ii) 3 23x x y 6x 2y− + −

( ) ( )2x 3x y 2 3x y= − + −

( )( )23x y x 2 .= − +

iii) 2 225x 20xy 4y− + ( )25x 2y= −

iv) ( )( )4 8 2 4 2 416x y 4x y 4x y− = − +

( )( )( )2 2 2 42x y 2x y 4x y .= − + +

47. i) ( )( )x 2 x 5− −

ii) ( )( )α β 1 α β 1+ + + −

iii) ( )( )x 1 y x 1 y− + − −

iv) ( )3 4x 9− −

48. i) ( )23x y−

ii) ( )2α α 2−

iii) ( )( )23 2x 1 4x 2x 1− + +

iv) ( )( )α 3 β α 3 β− + − −

49. i) ( ) ( ) ( )23 2α 1 2 α 1 α 1− − − − −

( ) ( )2α 1 α α 1 2 α 1 α 1 = − + + − + − +

( )( )2α 1 α α 1 2α 2 α 1= − + + − − − +

( )( ) ( )( )2α 1 α 2α α α 1 α 2 .= − − = − −

ii) ( ) ( )2 22α 9 α 3− − +

( ) ( ) ( )2 2 2α 3 α 3 α 3= − + − +

( ) ( )2 2α 3 α 3 1 = + ⋅ − −

( ) ( )( )2α 3 α 3 1 α 3 1= + − + − −

( ) ( )( )2α 3 α 2 α 4 .= + − −

iii) ( )2α β 3 .+ +


iv) ( )22x x y− −

( )( )x x y x x y= + − − +

( )2x y y.= − ⋅

50. i) ( )( )2 22α β 4α 2αβ β− + +

ii) ( )( )2 23α 10β 9α 30αβ 100β+ − +

iii) ( )3α 2β+

iv) ( )3α 1 .−

51. i) ( ) ( ) ( )( )x x 1 y x 1 x 1 x y− − − = − −

ii) ( ) ( ) ( )( )2 22 4 2 4 2 4φ ω φ ω φ ω− = − +

( )( )( )2 2 2 4φ ω φ ω φ ω= − + +

iii) ( )2α β γ+ −

iv) ( ) ( )24 5x x 1 2 x x 1 1+ + + + + +

( ) ( )2 24 5x x 1 1 x x 2 .= + + + = + +

52. i) 12.000 ii) 999.996

iii) 4 iv) 100

53. A 0.=

54. i) 14

55. ν 2 ν 1 ν3 2 3 4 3+ ++ ⋅ − ⋅ ( )ν 2 ν3 3 2 3 4 11 3 .= ⋅ + ⋅ − = ⋅

56. i) Έχουμε ( )2 3y 4x 3y 2x− = − οπότε y 2x.= ii) A 8.=

57. i) 1 ii) x 1+

iii) y 1+ iv) x 2x+

58. i) 1 ii) 2x 1+

iii) 2 2

2

x xy yxy

+ + iv) 2

x .xy y+

59. i) ( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β− = − + +

ii) Aξιοποιούμε το ερώτημα i) για α 757= και β 243.=

Οπότε βρίσκουμε 2Α 1.000 1.000.000.= =

60. Α x y.= −

61. i) α 1α− ii) 999 .

1000

62. i) Αξιοποιούμε τις ταυτότητες ( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β+ = + − +

και ( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β− = − + −

ii) 699 350 1049Α .699 349 1048

+= =

+

63. i) 1

ii) ( )

( )( )( )2 2

2x 3y 2x 3y3x 5y2x 3y 3x 5y

− +−⋅

+ −

( ) ( )

2x 3y .2x 3y 3x 5y

−=

+ ⋅ −

iii) ( )( )

( )( )

2 2

2 2

α β α αβ βα βα αβ β α β α β

− + +−⋅

+ + − +

α β .α β−

=+

64. i) ( )( )( )( )

2

22 2

2 2 2 2

α 1α 1 α βα β

α α α β α αα β

−− +− =

+ − ++

( )( )( )( )( ) ( ) ( )

α 1 α 1 α β α 1 .α β α β α α 1 α β α

− + + −= =

− + + −

ii) ( )

3 3

3 3

x yx y 2xy x y

−− − −

( )( )

( )( ) ( )

2 2

2 2

x y x xy y

x y x xy y 2xy x y

− + +=

− + + − −

( )( )

( )( )2 2

2 2

x y x xy y

x y x xy y 2xy

− + +=

− + + −

( )( )( )( )

2 2

2 2

x y x xy y

x y x xy y

− + +=

− − +

2 2

2 2

x xy y .x xy y

+ +=

− +

iii) 1 iv) x.


65. i) α 1α 1+−

ii) 24α .

66. Α 1= −

67. Έχουμε

( )( )( )( )( )( )( )( )

2 6 3 9

2 6 3 9

x 1 x x 1 x x 1 x 1

x 1 x x 1 x x 1 x 1

+ − + − + −

− + + + + +

( )( )( )( )( )( )

3 6 3 9

3 6 3 9

x 1 x x 1 x 1

x 1 x x 1 x 1

+ − + −=

− + + +

( ) ( )( ) ( )

33 9

33 9

x 1 x 1

x 1 x 1

+ − = − +

( )( )( )( )

9 9

9 9

x 1 x 11.

x 1 x 1

+ −= =

− +

68. E 39.=

69. i) Έχουμε ( )( )α 1 β 2 1− + = αβ 3 2α β 0⇔ − + − = x y 0⇔ + = . ii) Έχουμε

( )2 β 2z ω α 1α 1+

⋅ = −+

( )( )β 2α 1 α 1α 1+

= − ++

( )( )α 1 β 2 1.= − + =

70. i) Πρέπει x 1 0+ ≠ και 3x 1 0− ≠ .

Δηλαδή, x 1≠ − και x 1≠ .

( )( )( )( )

2

2

x 1 x 1x x 1 1.x 1 x 1 x x 1

− ++ +⋅ =

+ − + +

ii) Πρέπει ( )2x x 0 x x 1 0− ≠ ⇔ − ≠ .

Δηλαδή, x 0≠ και x 1≠ .

( )

( )( )22x x 2x 1 x 1

x 1.x x 1 x 1− + −

= = −− −

iii) Πρέπει 2x 1 0− ≠ .

Δηλαδή, x 1≠ και x 1≠ − .

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

x x 1 2 x 1 x 1 x 2x 1 x 1 x 1 x 1− + − − +

=− + − +

x 2 .x 1+

=+

iv) Πρέπει ( )22x 2x 1 0 x 1 0+ + ≠ ⇔ + ≠ x 1.⇔ ≠ −

( ) ( )3

2

x x 1 x 1x 2x 1+ + ++ +

( )( )

( )

3

2

x 1 x 1

x 1

+ +=

+

( )( )2x 1 x x 1

x 1+ − +

=+

2x x 1.= − + v) Πρέπει

x 0≠ και x 1≠ − .

( ) ( )

( )

22 2

32

x 1 x x 1x x 1

− +⋅

+

( ) ( )( )

( )2 2

22

x 1 x 1x 1 .

x 1− +

= = −+

vi) Πρέπει x 2≠ και x 1≠ .

( )( )

( )( )( )

22 x 1x 2x 1x 2 x 1 x 2 x 1

−− +=

− − − −

x 1 .x 2−

=−

71. ( ) 33 3 3 3 3α β γ α β α β+ + = + + − +

2 23α β 3αβ= − − ( )3αβ α β= − + 3αβγ.=

72. Η δοθείσα σχέση γράφεται

( ) ( ) ( )( )α β 1 β α 1 4 α 1 β 1 .− + − = − −

73. α 1 β 1α 1 β 1+ +

−− −


( )( ) ( )( )( )( )

α 1 β 1 β 1 α 1α 1 β 1

+ − − + −=

− −

αβ β α 1 αβ α β 1αβ β α 1

+ − − − − + +=

− − +

( )2 β α2β 2α 2.2β β α β α

−−= = =

− − −

74. Aπό τη δοθείσα σχέση έχουμε

( ) ( ) ( )α 4αβ α β β α β β α ββ α β

+ + + = ++

( ) ( )α β α β α β β 4α⇔ + + + = ⋅

2 2α 2αβ β 0⇔ − + = ( )2α β 0.⇔ − =

75. Έχουμε

βyαx βy 0 αx βy xα

− = ⇔ = ⇔ = .

Επομένως,

2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 22

2

β y β yβ yα β x y α β yα

+ = ++ + + +

( )2 2 2

2 2 2 2 2

β α yα β β α y

= ++ +

2 2

2 2 2 2

β α 1.α β β α

= + =+ +

76. i) 2 2α β 3 α β 3αβ.β α+ = ⇔ + =

ii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) ( )3 3 2 2 2α α 6β β β 9α 0.+ − + =

Έχουμε ( ) ( )3 3 2 2 2α α 6β β β 9α+ − +

4 3 4 2 2α 6αβ β 9α β= + − −

( )( ) ( )2 2 2 2 2α β α β 3αβ 2β 3α= + − + −

( ) ( )2 2 23αβ α β 3αβ 2β 3α= − + −

( )2 2 23αβ α β 2β 3αβ= − + −

( )2 23αβ α β 3αβ= + −

( )3αβ 3αβ 3αβ 0.= − =

77. Έχουμε ( )24 4α β 2 αβ 1 1+ − − +

( )

( )( )( )( )( )

4 4 2 2

4 4 2 2

22 2

2

2

2

2

α β 2 α β 2αβ 1 1

α β 2α β 4αβ 1

α β 4αβ 1

α β α β 4αβ 1

α β 4αβ 1 0, αφού α β 1

α β 1

1 1 0

= + − − + +

= + − + −

= − + −

= + − + −

= − + − = + =

= + −

= − =

78. x 15= και y 21.=

79. x 6, y 10 και ω 14.= = =

80. x 2, y 3, ω 5.= = =

81. x 10, y 14, ω 18.= − = − = −

82. H ζητούμενη παράσταση με το πρώτο μέλος της δοθείσας σχέσης έχουν άθροισμα 1 1 1 3.+ + =

Άρα, η ζητούμενη παράσταση είναι ίση με 2.

83. Αν από τη ζητούμενη παράσταση αφαιρέσουμε το πρώτο μέλος της δοθείσας σχέσης προκύπτει

1 1 1 3.+ + = Άρα, η ζητούμενη παράσταση είναι

ίση με 10.

84. Θέτουμε α γ λ 0β δ= = ≠

Οπότε, α λβ= και γ λδ.=

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε 2α 3β 2λ 35α 7β 5λ 7

+ +=

+ +

και 2γ 3δ 2λ 3 .5γ 7δ 5λ 7

+ +=

+ +


85. Θέτουμε x y ω λ.

α β β γ γ α= = =

+ + +

Οπότε, ( ) ( )x λ α β , y λ β γ= + = +

και ( )ω λ γ α .= +

86. Η δοθείσα σχέση ισοδύναμα γράφε- ται ( )( )α β αβ 1 0.+ − =

87. i) Έχουμε ( )2α β γ+ +

2 2 2α β γ 2αβ 2βγ 2γα= + + + + +

( )24 6 2 αβ βγ γα⇔ = + + +

( )2 αβ βγ γα 10⇔ + + = αβ βγ γα 5.⇔ + + =

ii) 1 1 1 αβ βγ γα 5 .α β γ αβγ αβγ

+ ++ + = =

88. Έχουμε

α ββ γ γ α

=+ +

2 2

2 2αγ α β βγα β αγ βγ

⇔ + = +⇔ − = − +

( )( ) ( )α β α β γ α βα β γ, αφού α β 0.

⇔ − + = − −⇔ + = − − ≠

89. i) Έχουμε

2x 3y 4z3y 4z 2x 4z 2x 3y

= =+ + +

( )2x 3y 4z 1 .

2 2x 3y 4z 2+ +

= =+ +

Οπότε, 4x 3y 4z= + (1) 6y 2x 4z= + (2) 8z 2x 3y= + (3) Από τις σχέσεις (1) και (2) αφαι-

ρώντας κατά μέλη βρίσκουμε 6x 9y 2x 3y= ⇔ =

Από τις σχέσεις (2) και (3) αφαι-ρώντας κατά μέλη βρίσκουμε

9y 12z 3y 4z.= ⇔ = ii) Αντικαθιστούμε, με βάση το ερώ-

τημα i), στο α΄ μέλος 3y 2x= και 2z x.=

90. Αξιοποιώντας τη σχέση ( )2x y z 0+ + =

δηλαδή ( )2 2 2x y z 2xy 2yz 2zx+ + = − + +

προκύπτει ότι η δοθείσα παράσταση είναι ίση με 3.

91. i) 2

2

α αβ α ββ α+ +

= −

3 2 2 3α α β αβ β⇔ + = − −

( )( ) ( )2 2α β α αβ β αβ α β 0⇔ + − + + + =

( )( )2 2α β α β 0⇔ + + =

2 2α β 0, αφού α β 0⇔ + = + >

ii) ( )8 3 8 3

5 5

α β β α β αΜβ β

− −+ + ⋅= =

( )33 3 3 0α β α α α 1.− −= = − = − = −

92. Η ισότητα του α΄ μέλους ισοδύναμα γράφεται

4 4α β 0.+ =

93. Η δοθείσα σχέση γράφεται ( )( )2 2α β α αβ β α β αβ 1 0.+ = + ⇔ − + =

94. i) 2 2x y xy 0+ − =

2 22x 2y 2xy 0⇔ + − =

( )22 2x y x y 0.⇔ + + − = ii) Η δοθείσα σχέση γράφεται ( ) ( ) ( )( )2 2α 5 β 10 α 5 β 10+ + − = + −

i)

α 5 0⇔ + = και β 10 0− = α 5⇔ = − και β 10.=


Διατάξη Πραγματικών Αριθμών

95. Έχουμε 2Α Β x 4x 6− = − + ( )2x 4x 4 2= − + +

( )2x 2 2 0= − + >

αφού ( )2x 2 0− ≥ και 2 0.> Άρα, A B.>

96. Έχουμε Α Β 4β 3α 2αβ 6− = − − + ( ) ( )2 2β 3 α 2β 3= + − +

( )( )2β 3 2 α= + −

( )( )α 2 2β 3 0.= − − + < Άρα, A B.<

97. Έχουμε 2 2Α Β 5α β 12 4α 15β− = + − −

( ) ( )2 25β α 3 4 α 3= − − −

( )( )2α 3 5β 4 0.= − − <

Άρα, A B.<

98. i) Έχουμε ( )5050 3 1508 2 2= =

και ( )3737 4 14816 2 2 .= =

Άρα, 50 378 16 .> ii) Έχουμε

100 20025 5= και 67 201125 5= Άρα, 100 6725 125 .<

99. i) Έχουμε

( )100700 7 1002 2 128= =

και

( )100300 3 1005 5 125 .= =

Άρα, 700 3002 5 .>

ii) Έχουμε ( )400800 2 4005 5 25= =

και ( )4001200 3 4003 3 27 .= =

Άρα, 800 12005 3 .<

100. i) 2 2 2α 49 14α α 7 2 7α 0+ ≥ ⇔ + − ⋅ ≥ ( )2α 7 0,⇔ − ≥ που ισχύει.

ii) ( )22 2 α βα β2 4

−+≥

( )2 2 2 22 α β α β 2αβ⇔ + ≥ + −

2 2α β 2αβ 0⇔ + + ≥

( )2α β 0,⇔ + ≥ που ισχύει.

101. Η ζητούμενη ανισότητα ισοδύναμα γράφεται

2 2

2 2 2 2

α β 4α β α β+

≥+

( )22 2 2 2α β 4α β⇔ + ≥

4 4 2 2 2 2α β 2α β 4α β⇔ + + ≥

4 4 2 2α β 2α β 0⇔ + − ≥

( )22 2α β 0,⇔ − ≥ που ισχύει.

102. Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη σχέση σε ισοδύναμή της που ισχύει.

103. i) Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

( )2α β 4αβ+ ≥

2 2α β 2αβ 4αβ⇔ + + ≥

( )2α β 0,⇔ − ≥ ισχύει. ii) Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται ( )( )2 2α 1 β 4 8αβ+ + ≥

που ισχύει αφού 2α 1 2α+ ≥ και 2β 4 4β.+ ≥


( ) ( )2 2α 1 β 2 0,− + − ≥ που ισχύει. ii) Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα

γράφεται ( ) ( ) ( )2 2 2α 1 β 2 γ 3 0,− + − + − ≥ που ισχύει.


105. i) ( )22α 2α 2 α 1 1+ + = + +

ii) ( )22α 4α 5 α 2 1− + = − +

iii) ( )22α 10α 26 α 5 1+ + = + +

iv) 2 2α β 2α 2β 3+ − − +

= ( ) ( )2 2α 1 β 1 1− + − + 106. i) H ζητούμενη σχέση ισοδύναμα

γράφεται 2 22α 2αβ 2β 0+ + ≥

( )22 2α β α β 0,⇔ + + + ≥ ισχύει. ii) H ζητούμενη σχέση ισοδύναμα

γράφεται 2 22α 2αβ 2β 0+ + ≥

( )22 2α β α β 0,⇔ + + − ≥ ισχύει. 107. i) Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα

γράφεται ( )25x 3y 0− ≥

ii) Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται ( )( )22 2x y x y 0.+ − ≥

108. Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

( )( ) ( )32 24 α β α αβ β α β+ − + ≥ +

( ) ( )22 24 α αβ β α β⇔ − + ≥ +

2 23α 6αβ 3β 0⇔ − + ≥

2 2α 2αβ β 0⇔ − + ≥

( )2α β 0, που ισχύει.⇔ − ≥

109. i) x 4= και y 3.= − ii) x 1= − και y 3.=

110. i) Πράξεις ii) Α Β 0− ≥ iii) x 1= − και y 1.=

111. 2 2α β 2α 2β 2+ ≥ − −

( ) ( )2 2α 2α 1 β 2β 1 0⇔ − + + + + ≥

( ) ( )2 2α 1 β 1 0,⇔ − + + ≥ που ισχύει.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α 1= και β 1.= −

112. i) x 2= και y 0= ii) x 1= και y 3.=

113. i) x 2= − και y 3= −

ii) 1x2

= − και 1y .2

=

114. i) Έχουμε ( )22 22x 2x 1 0 x x 1 0− + > ⇔ + − >

που ισχύει, αφού οι αριθμοί x και x 1− δεν μηδενίζονται ταυτόχρο-να.

ii) Έχουμε 4 2x x 4x 5 0− + + > ( ) ( )4 2 2x 2x 1 x 4x 4 0⇔ − + + + + >

( ) ( )2 22x 1 x 2 0⇔ − + + >

που ισχύει, αφού οι αριθμοί 2x 1− και x 2+ , δεν μηδενίζονται ταυ- τόχρονα.

115. i) 23α 2α 1 0+ + > 2 22α α 2α 1 0⇔ + + + > ( )222α α 1 0,⇔ + + > ισχύει.

ii) ( )2 2α β 8 4 α β+ + ≥ +

2 2α β 8 4α 4β⇔ + + ≥ +

2 2α 4α 4 β 4β 4 0⇔ − + + − + ≥

( ) ( )2 2α 2 β 2 0,⇔ − + − ≥ ισχύει.

116. i) Από το δεύτερο μέλος καταλήγουμε στο πρώτο.

ii) Aξιοποιούμε το ερώτημα i). iii)Αξιοποιούμε το ερώτημα ii). 117. i) Αξιοποιούμε τις ταυτότητες

( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + + και ( )2α β γ+ +

2 2 2α β γ 2αβ 2βγ 2γα.= + + + + + ii) Aπό το ερώτημα i) έχουμε


( ) ( ) ( )2 2 2α β β γ γ α+ + + + +

2 2 21 α β γ 1.= + + + ≥ Η ισότητα θα ίσχυε όταν

2 2 2α β γ 0+ + = α β γ 0.⇔ = = =

Όμως, αυτό είναι αδύνατον αφού α β γ 1.+ + = −

Άρα, ( ) ( ) ( )2 2 2α β β γ γ α 1.+ + + + + >

118. i) Έχουμε 1 x 3≤ <

οπότε 5 5x 15.≤ <

Επίσης 2 y 4≤ < οπότε 12 3y 6.− < − ≤ − Άρα,

7 5x 3y 9.− < − < ii) Έχουμε 1 x 3≤ < και 2 y 4≤ < . Oπότε,

1 1 1 .4 y 2< ≤

Επομένως, 1 x 3 .4 y 2< <

119. i) 5 x 7< < και 6 2y 10< < άρα 11 x 2y 17.< + <

ii) 1 1x 5< και 1 1

y 3<

άρα 1 1 1 1 8 .x y 5 3 15+ < + =

iii) 5 x 7< < και 5 y 3− < − < − άρα 0 x y 4.< − < iv) 0 x y 4< − < και 8 x y 12< + < άρα ( )( )x y x y 48.− + <

120. Έχουμε 2 2 2 2 2 2αβ βγ γα α β β γ γ α+ + − − −

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2αβ β γ βγ α β γα γ α= − + − + −

( ) ( ) ( )2 2 2β α γ β α γ αγ α γ= − − − + −

( ) ( )( ) ( )2β α γ β α γ α γ αγ α γ= − − − + + −

( )( )2α γ β αβ βγ αγ= − − − +

( ) ( ) ( )α γ β β α γ β α= − − − −

( )( )( )α γ β α β γ 0.= − − − <

121. i) 2 2 1 1α β α β− − − −+ = +

2 2

1 1 1 1α β α β

⇔ + = +

2 2

1 1 1 1α α β β

⇔ − = −

2 2

1 α β 1α β− −

⇔ = 2 2

α 1 β 1α β− −

⇔ − =

2

2

α 1 α .β 1 β−

⇔ = −−

ii) Από το ερώτημα i) και επειδή

2

2

α 0β

− <

έχουμε

α 1 0.β 1−

<−

122. Έχουμε α β 4+ > και ( )( )α 2 β 2 0− − > . Οπότε α 2 0− > και β 2 0.− >

123. i) ( )2x x 1 1 0+ = >

ii) 3x 1 x 0.− = − <

124. i) 2 2 2 2x y 2xy x y 2xy 0+ ≥ ⇔ + − ≥

( )2x y 0,⇔ − ≥ ισχύει. ii) Σύμφωνα με το ερώτημα i) έχουμε 2 2x y 2xy,+ ≥

2 2y z 2yz+ ≥ και 2 2z x 2xz.+ ≥


Επομένως, προσθέτοντας κατά μέ- λη 2 2 22x 2y 2z 2xy 2yz 2xz.+ + ≥ + +

125. i) Eπειδή x 0> και y 0> ,

η σχέση

2 2x y x yx y 2+ +

≥+

ισοδύναμα γράφεται ( ) ( )22 22 x y x y+ ≥ +

2 2 2 22x 2y x 2xy y⇔ + ≥ + +

2 2x 2xy y 0⇔ − + ≥

( )2x y 0⇔ − ≥ , ισχύει. ii) Σύμφωνα με το ερώτημα i) έχουμε

2 2x y x y ,x y 2+ +

≥+

2 2y z y zy z 2+ +

≥+

και 2 2z x z x .z x 2+ +

≥+

Επομένως ,

2 2 2 2 2 2x y y z z xx y y z z x+ + +

+ + ≥+ + +

x y y z z x2

+ + + + +≥

( )2 x y zx y z.

2+ +

= = + +

126. i) H ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

( )22 2x y x y 0+ + + ≥

ii) ( ) ( )2x 3y 1 x 2y x y 1 .+ + = + + + +

127. i) Έχουμε

2

2 2x yxy 4xy x y 2xy2+ ≤ ⇔ ≤ + +

( )22 2x y 2xy 0 x y 0,⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ ισχύει. ii) Aξιοποιούμε το ερώτημα i).

128. 1 1 4α β+ ≥

β α 4αβ+

⇔ ≥

α β 4αβ⇔ + ≥ , αφού αβ 0> ( )1 4α 1 α⇔ ≥ − , αφού α β 1+ =

21 4α 4α⇔ ≥ − 24α 4α 1 0⇔ − + ≥ ( )22α 1 0⇔ − ≥ , που ισχύει.

129. ( )1 1αβ α 1 α4 4

≤ ⇔ − ≤

24α 4α 1 0⇔ − + ≥ ( )22α 1 0.⇔ − ≥

130. 1α β 2 α 2α

+ ≥ ⇔ + ≥ 2α 1 2α⇔ + ≥

( )2α 1 0.⇔ − ≥

131. 22

1 1 2 1 α 2αα α

+ > ⇔ + >

2 2 22α α 1 0 α α α 1 0⇔ − − < ⇔ − + − < ( ) ( )( )α α 1 α 1 α 1 0⇔ − + − + <

( )( )α 1 α α 1 0⇔ − + + <

( )( )α 1 2α 1 0,⇔ − + < ισχύει.

132. 3 2 3 2α 3α 4 0 α 3α 3 1 0+ − > ⇔ + − − > ( ) ( )3 2α 1 3α 3 0⇔ − + − >

( )( ) ( )( )2α 1 α α 1 3 α 1 α 1 0⇔ − + + + − + >

( )( )2α 1 α α 1 3α 3 0⇔ − + + + + >

( )( )2α 1 α 4α 4 0⇔ − + + >

( )( )2α 1 α 2 0,⇔ − + > που ισχύει διότι α 1.>

133. Έχουμε 3 3α β> και

1 1 1 1 .α β β α< ⇔ >

134. Η ζητούμενη ανισότητα ισοδύναμα γράφεται

( )( )β α β 1 0,− − < που ισχύει.


135. ● ( )( )α 1 β α β α β 1 0.β 1 α−

< ⇔ − + − <−

ισχύει.

● β β 1 β α,α α 1

−< ⇔ >

−που ισχύει.

136. Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γρά-φεται

( )( )2α β α β 0.+ − ≥


( )2α β 0− ≥

ii) Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

α β 2 αβ+ ≥ iii) Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα

γράφεται

( )24 α 3 β 0− ≥

iv) Υψώνουμε στο τετράγωνο.

138. ( )22 3x 1 2x 2x+ > +

( ) ( )22 2x 1 2x x 1 0⇔ + − + >

( )( )2 2x 1 x 1 2x 0⇔ + + − >

( )( )22x 1 x 1 0,⇔ + − >

ισχύει για κάθε x 1.≠

139. Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφε-ται ( )( ) ( )( )2 2α 1 α 1 α 1 α 1− + < + −

( )( ) ( )( )( )2α 1 α 1 α 1 α 1 α 1⇔ − + < + + −

( )( )α 1

2α 1 α 1 α 1>

⇔ + < + +

2 2α 1 α 2α 1⇔ + < + + 0 2α,⇔ < ισχύει.

140. Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφε-ται ( ) ( )22 2 23 α β γ α β γ+ + ≥ + +

2 2 22α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα⇔ + + ≥ + +

( ) ( ) ( )2 2 2α β β γ γ α 0,⇔ − + − + − ≥ που ισχύει.

141. i) H ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

( )22α β 0− ≥

ii) Αξιοποιώντας το ερώτημα i) έχουμε

4 2

α 1α β 2αβ

≤+

και

4 2

β 1 .β α 2αβ

≤+

142. α β α ββ 1 α 1 β 1 β 1

+ ≤ ++ + + +

α β β 1 1.β 1 β 1+ +

= ≤ =+ +

143. Έχουμε ( )33 3α β x y x y− = − − −

( )( ) ( )32 2x y x yx y x y= − + + − −

( ) ( )22 2x y x xy y x y = − + + − −

( )( )2 2 2 2x y x xy y x 2xy y= − + + − + −

( )3xy x y 0.= − >

Επομένως, α β.>

144. Έχουμε ( )( )x y α 2 3β 2 0− = − − < Άρα, x y.<

145. 1 3 23 2

1 1 1α α αα α α

− − −+ > ⇔ + >

α 0

2 2α 1 α α α 1 0>

⇔ + > ⇔ − + > 2α 2α 1 α 0⇔ − + + > ( )2α 1 α 0,⇔ − + > ισχύει.

146. i) ν2 α 31< < ii) ν 117 α 2 +< <

iii) Αποδείξαμε ότι ν 117 2 +< .

Οπότε, ν17 22<

Απαντήσεις: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 513 και τελικά

ν17 2 312< < .

iv) ● Για ν 3≤ έχουμε

ν 3 172 2 82

≤ = < , αδύνατον.

● Για ν 5≥ έχουμε ν 52 2 32 31≥ = > , αδύνατον. Επομένως, 3 ν 5< < . Και επειδή ο ν είναι ακέραιος, συ-

μπεραίνουμε ότι ν 4= .

147. Έχουμε 0 α 2≤ ≤ και 0 β 2.≤ ≤

Οπότε, 2 β 0.− ≤ − ≤

Επομένως, 2 α β 2.− ≤ − ≤

148. i) Έχουμε 2 x 3.− ≤ ≤

Oπότε, 4 2x 6− ≤ ≤

και συνεπώς 5 2x 1 5.− ≤ − ≤

ii) Έχουμε 2 x 3.− ≤ ≤

Άρα, 3 x 2− ≤ − ≤

και τελικά 1 2 x 4.− ≤ − ≤

149. i) 1 x 5− < < 4 4x 20⇔ − < < 1 4x 5 25⇔ < + < ii) 1 x 5 0 x 1 6− < < ⇔ < + < .

Άρα, ( )2 2x 1 6 .+ <

150. i) α 2> και β 4>

ii) 1 1α 5> και 1 1

β 7>

iii) α 2> και β 7.< iv) ( )( )α 5 β 4 0− − <

151. i) 2x 3y 0− ≤ και 3x 2y 0− ≥ ii) Aξιοποιούμε το ερώτημα i).

152. i) x 2 0+ > και y 6 0− < ii) x 4 0− < και y 3 0.− > iii) Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέ- σεις των ερωτημάτων i) και ii). iv) 0 x 2 6 και 0 y 3 3.< + < < − <

153. i) ( ) ( )2 2A x 6x 9 4y 4y 1= − + + + +

ii) Έχουμε ● ( ) ( ) ( )2 2 2x 3 x 3 2y 1− ≤ − + + A 1= = Άρα, x 3 1− ≤

● ( ) ( ) ( )2 2 22y 1 x 3 2y 1+ ≤ − + + A 1= = Άρα, 2y 1 1.+ ≤


x 06y 2 2 3 x.

x

>

> ⇔ > ⇔ >

Οπότε, x 3 0− < και x 2 0− > ii) Λόγω του ερωτήματος i) έχουμε

( )( ) 2x 2 x 3 0 x 5x 6 0− − < ⇔ − + <

2x 5x xy 0⇔ − + < ( )x x 5 y 0⇔ − + <

x 0

x 5 y 0>

⇔ − + < x y 5.⇔ + <

155. Έχουμε

( )( )α 1 α 9β α α

4+ +

≥ ⇔ ≥

( )( )2

α 1 α 9 4α

α 9α α 9 4α 0

⇔ + + ≥

⇔ + + + − ≥

( )

2

2

α 6α 9 0

α 3 0

⇔ + + ≥

⇔ + ≥

που ισχύει για κάθε x .∈

156. i) Έχουμε α β γ α α α 3α+ + ≥ + + =

και α β γ 3.+ + = ii) Έχουμε


β γ β β 2β+ ≥ + = και

β γ 3 α 3.+ = − ≤ ii) Έχουμε

α β γ γ γ γ 3γ+ + ≤ + + = και

α β γ 3.+ + = Οπότε, 3 3γ 1 γ.≤ ⇔ ≤ Επίσης, ( )γ 3 α β 3.= − + ≤ iv) Έχουμε 2αβ 3 3α 2β+ − − ( ) ( )2β α 1 3 α 1= − − −

( )( )α 1 2β 3 0= − − ≥ , λόγω των i) και ii).

157. i) ( ) ( )xy 1 x y x y 1 y 1+ − − = − − −

( )( )x 1 y 1 0.= − − >

ii) ( ) ( )xyz 1 xy z xy z 1 z 1+ − − = − − −

( )( )xy 1 z 1 0.= − − > iii) xyz 2 xyz 1 1+ = + + ( )xy z 1 xy 1 z> + + = + + x y z.> + + iv) xy 1 x y, yz 1 y z+ > + + > + και zx 1 z x.+ > +

158. i) ΑΒΓΔΕ x 2y 2xy= ⋅ =

2AEZHE y=

2E 2xy y .= − ii) Έχουμε ( )E y 2x y= −

Όμως 6 2x 10< < και 2 y 1− < − < −

Άρα 4 2x y 9< − <

και τελικά ( )4 y 2x y 18.< − <

159. ● Αν α 1,= τότε 4 5α α α 3+ + =

● Αν α 1,< τότε 4 5α α α 3+ + <

● Αν α 1,> τότε 4 5α α α 3.+ + >

Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

160. i) 4 π− ii) 2 1−

iii) 2 2− iv) π 3− .

161. i) 3 7− ii) 3 1−

iii) 2y iv) 22 x .+

162. i) A 14= ii) B 1=

iii) Γ 3 5= − iv) Δ 8 2 11= −

163. i) 1Α6

= ii) Β 24=

iii) Γ 5= iv) Δ 72.=

164. i) Α 4= ii) Β 6x 5= −

iii) Γ 6x 3= − iv) 2Δ x 1.= +

165. i) { x 5 αν x 5x 5 x 5 αν x 5− − < −+ = + ≥ −

ii) {x 2 αν x 22 x 2 x αν x 2− ≥− = − < .

166. i) 2x 5, αν x 2

A4x 9, αν x 2.

− <= − ≥

ii)

2x 8 , αν x 3

2 , αν 3 x 5B2x 8 , αν x 5.

− + < ≤ <= − ≥

167. i) x 4 , x 5

A3x 6 , x 5

+ <= − ≥

ii) 4x 2 , x 2

B2x 6 , x 2

− + < −= − + ≥ −

168. i)

2x 12 , αν x 5

A 2 , αν 5 x 7

2x 12 , αν x 7

− + <= ≤ ≤

− >


ii)

4x 1 , αν x 2

B 2x 5 , αν 2 x 1

4x 1 , αν x 1

+ < −= − + − ≤ ≤

− >

169. i) 2x 2, x 0

Α 2, 0 x 2 2x 2, x 2

− + <= ≤ <− ≥

ii) ( )2B x x 1= −

( )( )

2

2x x 1 , x 1x 1 x , x 1. − ≥= − <

170. A α β 2γ.= + −

171. A 20 x.= −

172. i) A 3= ii) B 6= iii) Γ 3= iv) Δ x.= −

173. i) Α 3α= − ii) Β 3β= − iii) Γ x 2.= −

174. i) Έχουμε x 1 0− > και x 5 0.− <

ii) Έχουμε x 1 x 5 4+ + − = και

x 2 x 6 8.+ + − =

175. i) ● 2 α 3 2 4 α 4 3 4< < ⇔ − < − < − ● 2 α 3 6 3α 9< < ⇔ − > − > − 6 6 3α 6 9 6.⇔ − + > − + > − +

ii) Α 4.=

176. i) Έχουμε 0 α 2< < .

Δηλαδή, α 0> και α 2 0− < .

Οπότε, α α= και α 2 α 2− = − + . Επομένως, ( )α 2 α α α 2− ⋅ + ⋅ −

( ) ( )α 2 α α α 2= − + − +

( ) ( )α α 2 α α 2= − − − 0= . ii) Έχουμε

( )2α 2α α α 2 0− = − < ,

αφού α 0> και α 2 0− < .

Επίσης, ( )22α 2α 1 α 1 0− + = − ≥ . Άρα, 2 2α 2α α 2α 1− + − +

2 2α 2α α 2α 1 1= − + + − + = .

177. Έχουμε x 1 1 x 1.< ⇔ − < <

Οπότε, x 1 x 1+ = +

και x 1 1 x.− = −

178. Έχουμε α 1 1 α 1.≤ ⇔ − ≤ ≤

Επομένως, α 1 0− ≤ και α 1 0+ ≥ .

Άρα, α 1 α 1− = − + και α 1 α 1.+ = +

179. i) 3 ii) x 9+ iii) 5− iv) 10 2x− .

180. i) A x 2= + ii) B 9 3x.= −

181. i) A 1= ii) B x 1= − iii) Γ x.=

182. i) A x 1= − ii) B 0= iii) ( )3Γ x 1 .= −

183. 1.

184. i) Γνωρίζουμε ότι 2x 4 0+ > για κάθε x∈ . Επίσης, x 3 0− ≥ για κάθε x∈ και η ισότητα ισχύει μόνο για

x 3= . Άρα, η σχέση

2

x 30

x 4−

>+

ισχύει για κάθε x 3≠ . ii) x 0< και x 1.≠ −



1 1 1α β+ = ⇔

β α 1αβ+

=

⇔ α β αβ+ = . ii) Έχουμε α β β α= και α β 0⋅ ≠ . Οπότε,

αα 0β β= > .

iii) Αποδείξαμε ότι

α 0β> ⇔ αβ 0> .

Δηλαδή, οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι. Επομένως, σύμφωνα με το ερώτημα i) ισχύει

α β αβ 0+ = > . Άρα, α 0> και β 0.>

iv) 1 1 1 1α α β< + = και

1 1 1 1.β α β< + =

186. Έχουμε 2 2α β β 0 β α β 0− + = ⇔ = − − ≤ .

Οπότε, 2α β 0.− ≥ Έτσι, έχουμε 2 2α β β 0 α β β 0− + = ⇔ − + =

2α 0 α 0.⇔ = ⇔ =

187. i) Έχουμε y 2 y 2 x 1 0− = − − − − ≤ ii) x 1.=

188. i) A 0= ii) B 2= iii) Γ 0= iv) Δ 1.=

189. i) y ii) y 3−

iii)1 x

8−

iv) x 5 .−

190. i) 2x

A3

= ii) B x 3.= +

191. Γνωρίζουμε ότι για κάθε x∈ ισχύουν οι σχέσεις

x x≥ και x x≥ − δηλαδή,

x x 0− ≥ και x x 0+ ≥ . Επομένως, x x x x− = − και x x x x+ = + . Οπότε, για x 0≠ έχουμε

x x x x

Ax

− + +=

x x x x

x− + +

=2 xx

= 2= .

192. i) Έχουμε α α α α 0≥ ⇔ − ≤

Οπότε α α α α− = − .

ii) Έχουμε α α α α 0≥ − ⇔ + ≥

Οπότε α α α α .+ = +

193. Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφε- ται

α β β α αβ α β 0+ − − ⋅ ≤

( ) ( )α β β α β β 0⇔ − − − ≤

( ) ( )β β α α 0,⇔ − ⋅ − ≤ ισχύει.

194. i) x 2 και y 2= = − ii) x 1 και y 7.= = −

195. x 1= και y 2.= 196. i) Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι

2α αβ γ 0− − = και 2β αβ γ 0.− + = Οπότε προσθέτοντας κατά μέλη

έχουμε ( )22 2α β 2αβ 0 α β 0+ − = ⇔ − = α β.⇔ = ii) Αποδείξαμε ότι

α β.= Επομένως, η σχέση

2β αβ γ 0− + = γράφεται

2 2β β γ 0− + = δηλαδή,

γ 0.=

197. Έχουμε α α α α− = +


( )

α α α αήα α α α

− = +⇔ − = − +

2 α 0⇔ = ή 2α 0= α 0.⇔ =

198. 3x 2y 2x 3y+ = + 3x 2y 2x 3y⇔ + = + ή ( )3x 2y 2x 3y .+ = − +

199. α 2β β 2α+ = +

α 2β β 2αήα 2β β 2α

+ = +⇔ + = − −

β α⇔ = ή 3α 3β= −

α β⇔ = ή α β= −

α β .⇔ =

200. α 2β 4α 8β 10β 5α− + − − −

( ) ( )α 2β 4 α 2β 5 α 2β= − + − − − −

α 2β 4 α 2β 5 α 2β= − + ⋅ − − − ⋅ −

α 2β 4 α 2β 5 α 2β 0= − + ⋅ − − ⋅ − = .

201. i) 20 ii) 1 iii) 52 iv) 2.

202. Α 4.=

203. i) 2α β 2 α β+ ≤ +

ii) ( )α β α β α β α β− = + − ≤ + − = +

iii) α β 2 α β 2+ + ≤ + +

iv) 3 53 5 3 5

α β α β α β+ ≤ + = +

204. i) Παρατηρούμε ότι ( ) ( )α β 3 α 1 β 2+ − = − + −

ii) Παρατηρούμε ότι ( ) ( )2α β 4 2 α 1 β 2+ − = − + −

205. i) Έχουμε ( )α α 1 1 α 1 1= − + ≤ − +

α 1 1= − + ii) Αποδείξαμε ότι α α 1 1≤ − + (1) Επίσης, ( )β β 2 2= − + β 2 2≤ − + (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει α β α 1 β 2 3+ ≤ − + − + .

206. i) Έχουμε α α β 2− = και β β α 1− = . Οπότε

2 1α βα β

− = = .

ii) Παρατηρούμε ότι ( ) ( )2 2α β α β− = −

( ) ( )2 2α αβ β αβ .= − + −

207. i) Έχουμε ( ) ( )2 2α α 3β β β 3α− = −

2 2α α 3β β β 3α⇔ − = −

22

2

α 3β β α 3β β .β 3α α β 3α α− − ⇔ = ⇔ = − −

ii) Παρατηρούμε ότι ( ) ( ) ( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β− = − + −

και 2 3 3 23αβ β β 3β α .− = −

208. i) ( )2 2α β α β 13.+ = + =

ii) ( )2 2 2 2α β α β α 2αβ β− = − = − + 7 6 1.= − = Οπότε α β 1,− = αφού α β 0.− ≥

209. α β 2 αβ 1+ = +

( ) ( )

( )

2

2 2

2

α β 4 αβ 1

α 2αβ β 4αβ 4

α β 4

α β 2.

⇔ + = +

⇔ + + − =

⇔ − =

⇔ − =

210. i) x y x y+ ≤ +


ii) 2x y 2x y 2 x y .

211. 1, αν x 1A

1, αν x 1.


5α 3β 5α 3β

5 α 3 β 5 6 11

Άρα,

11 5α 3β 11.

ii) α β α β α β

α β 1 2 3.

213. Α 0.

214. i) Από τις δοθείσες ανισότητες,

προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

α β β 2γ α 0 2γ γ 0.

ii) Έχουμε

α β γ α β γ.

Επίσης,

β γ α α β γ.

Δηλαδή,

γ α β γ

και τελικά

α β γ.

215. i) d 1, 2x d x, 2

1 2x x 2

ii) d x,3 2d x, 3

x 3 2 x 3 .

216. i) 4 x 6

ii) x 3 ή x 1

iii) x 2 ή x 6

iv) x 5 ή x 1

217. Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γρά-

φεται

22

x 1 2 x x 1 0,


218. Έχουμε

x y x y

2 2

x y x y

2 2

x y x y

2 2 2 2x 2 x y y x 2xy y

2 2 2 2x 2 xy y x 2xy y

2 xy 2xy xy xy, ισχύει.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν xy 0.

219. i) 2 2

α β α β

2 2

α β α β

4αβ 0 αβ 0.

ii) 22

α β α |β

22

α β α β

αβ αβ

αβ αβ, αφού αβ αβ

αβ 0.

220. i) α β 1 αβ 1

1 αβ 1.

ii) α β

11 αβ

2 2

α β 1 αβ

2 2

α β 1 αβ

2 2 2 2α 2αβ β 1 2αβ α β

2 2 2α β 1 β 1 0

2 2β 1 α 1 0, ισχύει.


α β 2 2

α β 4

2

α β 4

2 2α 2αβ β 4 (1)

Επίσης,

2

α β 4 α β 16

2

α β 16

2 2α 2αβ β 16 (2)


Από τις σχέσεις (1) και (2) αφαιρώ-

ντας κατά μέλη προκύπτει

4αβ 12 αβ 3 .

ii) Από τις σχέσεις (1) και (2) προσθέτο-

ντας κατά μέλη προκύπτει ότι 2 22α 2β 20

και τελικά 2 2α β 10 .

Επομένως,

2 2 2 2

2 2

α β α βα β α β

α β 10 10

α β α β

10

2 4 4

10 5


2 22 2α 9β α 9 β α 3 β .

ii) Mε βάση το ερώτημα i) έχουμε

α α3 3

β β

και

β 1 β 1

.α 3 α 3

Οπότε,

α β 1 83 .

β α 3 3

223. 2 2

2α β 2β α 2α β 2β α

2 2

2α β 2β α

2 2 2 24α 4αβ β 4β 4αβ β

2 22 2α β α β

α β .

224. Η πρώτη σχέση της ζητούμενης

ισοδυναμίας, αφού υψώσουμε τα

μέλη της στο τετράγωνο, ισοδύναμα

γράφεται

2 2 2 2 2 2x y x y x y 0

2 2

x y x y .

225. Έχουμε

0 2 α 1 α 4 .

Επομένως,

2 2

4 α 1 α 4

2 2

4 α 1 α 4

2 24 α 2α 1 α 8α 16

23α 122

α 4 α 2.

226. i) Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει

2 2

α 2β 2α β

2 2

α 2β 2α β

2 2 2 2α 4β 4αβ 4α β 4αβ

2 2β α 2 2

β α β α .

ii) Με απαγωγή σε άτοπο.

iii) Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα

γράφεται 2 2 2 2α β α β

που ισχύει αφού αποδείξαμε 2 2α β 2 2α β 0 .

iv) 3α 5β 3 α 5 β

3 α 5 β 3 α 5 α 8 α .


α β β α 0 α β β α

αβ 0 α α

0β β

αβ 0.

Όμως ισχύει

α αβ β β α αβ 0.

ii) Έχουμε

2 2α α βΑ β αβ

β

α α αβ αβ

α | α 0.β β

Ρίζες πραγματικών αριθμών

228. i) 100 ii) 13

iii) 4 iv) 5


229. i) 7

4 ii)

11

10

iii)2

3 iv)

1

5.

230. i) A 10 ii) B 5

iii) Γ 2 iv) Δ 9.

231. i) Α 1 ii) Β 5.

232. i) 2011 2010 2011

2011 1 2010

2011 2011

22011 2011 .

ii) 22011 4023

22011 4022 1

22011 2 2011 1

2

2011 1

22012 2012 .

233. i) 12 13 12 12122 2 2 2 1 12 122 2 .

ii) 11 12 11 11113 2 3 3 3 2 11 113 3 .


19 6 19 12 12 73 9 3 3 3 3 1

και

17 5 17 10 10 73 9 3 3 3 3 1 .

ii) Έχουμε

11

11 30 3 30 33 308 2 2 2 2 2

30 3 302 2 1 7 2

και

15 7

15 7 2 44 3 16 2 3 2

30 282 3 2 28 2 282 2 3 7 2

235. i) Α 87 ii) Β 1.

236. i) 5 3 5 3

2 2

5 3 5 3 2 .

ii) 2 2

2 7 3 7

2 7 3 7

2 7 3 7

1 , αφού 2 7 και 3 7 .

237. α β α β β α α β 0.

238. i) 2 334 6 2 237 2 7 2

2 27 2 53 .

ii) 3 5 112 3 2264 32 3

2 3

113 5 2 113 54 2 3

3 5 11

2 3 23 5 114 2 3

2 3 24 2 3 17 .

iii) π 3 4 π 1

2 2 2

iv) 2 1 2 2 2 1 2 2 1.

239. Α 9x 1.

240. A 2.

241. i) 2

4 2 2x 2x 1 x 1

2 2x 1 x 1 ,

αφού 2x 1 0 για κάθε x .

ii) 33 22x 4x 4 x 2

2

6 3x 2 x 2

33

x 2 x 2 .

iii)

22 2

2

x 4 xx 4x

4 x 14 x 1

x 1 4 x

x1 4 x

.


iv) 2 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x 2 x ,

αφού

x x και x x για κάθε x .

242. 2

Α 3 4 x 2 2 6 3x

3 2 x 2 2 3 2 x

6 x 2 6 x 2 0.

243. 22.

244. i) 2Α 3 2 2 και 2Β 3 2 2

ii) 2Α 3 2 2 και 2Β 3 2 2

iii) 2

2ΑΒ 2 1 1

iv) 3Α 5 2 7

και 3Β 5 2 7.

245. Α 1.

246. Έχουμε

3

3Α x 1 1 x

3 3 33 x 1 1 x 2 2.

247. i) 9 4 5 και 9 4 5 αντίστοιχα.

ii) Aξιοποιούμε το ερώτημα i).

248. i) 2

4 15 31 8 15

και

2

4 15 31 8 15.

ii) Α 8

249. i. 43 30 2 και 43 30 2 αντί-

στοιχα

ii. Αξιοποιούμε το ερώτημα i.

250. i) 20 14 2 και 20 14 2

αντίστοιχα.

ii) 3 3

20 14 2 20 14 2

3 3

3 32 2 2 2

2 2 2 2 4.

251. i) 3 35 20 2 4

35 20 2 4

3100 8

32 310 2

10 2 12 .

ii) 50 2 25 2 2

25 2 2

5 2 2 4 2

και

32 18 8

16 2 9 2 4 2

16 2 9 2 4 2

4 2 3 2 2 2

5 2 .

Άρα,

50 2 32 18 8

4 2 5 2 20 2 40 .

252. i) Για κάθε x 0 έχουμε

3 34 4 4

3333 3

x x xx

x xx .

ii) Aρκεί να αποδείξουμε ότι

5 4 25x x x x για κάθε x 0.

253. i) Tο πρώτο μέλος είναι ίσο με

1 3 3 1 2 3

2.3 3

ii) To πρώτο μέλος είναι ίσο με

4 4

4

1 2 2 1.

2

254. i) 32 30 32 30

240 240

32 30

240


32 3

24

32

8 4 2 .

ii) 5 12 3 12

325

5

2 4 22

44

12

2 352

22

2

25 10 32 2

5

2 35 2 2 2 32 2 32 .

255. i) 2

3 ii)

5

4

256. Kάθε μέλος είναι ίσο με 11 7.

257. i) Α 30

ii) Β 48.

258. Έχουμε x 3

Οπότε 2x 3 και 3x 3 3.

259. Έχουμε

2

2α 4 15 4 15

8 2 16 15 10.

Οπότε,

2 2Α α 9 α 11

10 9 10 11

1 1 0.


2

2x 7 13 7 13

7 13 2 7 13 7 13

7 13 14 2 49 13

14 2 36 14 12 2.

ii) Έχουμε

100100

3 2x 2x 1 x x 2 1

100 100

x 2 2 1 1 1.

261. i) 5 5 2 5 5 2 5

5 5 2 5 5 2 5

2

25 5 2 5

2

5 5 5 5 .

ii) 3 33 3 4 7 4 7

3 33 4 7 4 7

2

23 33 4 7

3 3 3 33 16 7 3 9

3 33 3 9 3 3 .

262. 2 2 3 2 2 3 2 3

4 2 3 2 3

2 3 2 3

2 3 2 3

4 3 1 1.

263. 4 44 2 3 3 1 3 1

2

244 2 3 3 1

4 2 3 3 1

2

4 2 3 3 1

4 2 3 3 1 2 3

4 2 3 4 2 3

2

24 2 3 16 12 4 2 .

264. 4 429 2 29 2

4 29 2 29 2

4 429 2 27.


265. 2

3 5 3 5 και

2

10 2 10 2 .

266. i)

1 33 3

3 2 22 2 2 2 2

13 132 22 2 2.

ii) Έχουμε

2

44 34 5 2 53 332 4 2 2 2 2

117 17 17443 3 122 2 2

267. i) 1 51

6 53 3 622 2 2 2 2 2

1 1 5

2 3 62

5 5

6 62

10

625

3 532 2 .

ii)

1 32104 2 35 5 10411 11 11 11 11 11

1 1 3

2 5 1011

7 3

10 1011

10

1011 111 11 .

268. i)

8 5 8 5

5 38 5 5 3 5 33 : 3 3 :3 3

1

151 15

15

1 13 .

33

ii)

17 3 17 36 1817 3 6 18 6 182 : 2 2 : 2 2

54

3182 2 8.

269. i) 80 193 ii)

20 115

270. Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι

x 2 0 και 2y 8 0

x 2 και y 2.

Οπότε, 2 2x y xy 2 2 2 2.

271. i) 2α 20 10 3

και

2β 28 10 3 .

ii) α β.

272. Συγκρίνοντας τα τετράγωνά τους

βρίσκουμε

11 5 30.

273. Έχουμε

11 5 19 11

2 11 19 5

2 2

2 11 19 5

44 19 2 95 5

44 24 2 95 20 2 95

10 95 100 95, ισχύει.

Άρα, 11 5 19 11.

274. i) Αρχικά συγκρίνουμε τα τετράγωνά

τους.

ii) Έχουμε

B A x 1 2 3 5 1.

275. i) 4 42 20 3 ,

δηλαδή 16 20 81

ii) 4 43 20 2 1 4 20 2

και 42 20 3 .

Άρα, 4 44 20 20.

276. i) Α 3

ii) To πρώτο μέλος είναι μικρότερο

του Α.

277. i) 5 3 ii) 2

5

iii) 5

5 12

iv) 2 3 .


278. i) 32 255

ii) 3 34 2 1.− +

279. i) ( )( )13 11 13 11 2− + =

ii) ( ) ( )

13 11 12.13 11 13 11

− =− +

280. i) A 4= ii) B 6.=

281. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του πρώτου κλάσματος με 2 3+ και τους όρους του δεύτερου κλάσματος με 2 2 1.+

282. i) ( ) ( )2 212 23 12 23

A121 121

− += +

12 23 12 23 2411 11

− + += = .

ii) 5 5B 121 89 32 2.= − = =

283. α 2.=

284. i) ( )22A 2 3 4 3 1= − = − =

3

33 32 3 2B 2 2 2 2= ⋅ = =

13 132 22 2 2.

= = =

ii) 3 2.+

285. i) ( )22 2α β α β 2αβ 14+ = + − =

ii) ( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β 52.+ = + − + =

286. i) ( )22α 2 1 3 2 2= − = −

ii) 3 2α α α 5 2 7= ⋅ = −

iii) ( ) ( )32 3Α α α 2 1 2 1 0= − = − − − =

iv) 2−

287. i) A B>

ii) Έχουμε

1 1A B2 3 5 2

> ⇔ >+ +

( ) ( )2 22 2

2 3 5 2

2 3 5 2

− −⇔ >

− −

2 3 5 2.⇔ − > −

Άρα, το 5 είναι πλησιέστερα

στο 2 από ότι στο 3.

288. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος του α΄ μέλους με τον συ-ζυγή του παρονομαστή.

289. i) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του

κλάσματος με α 1 α.+ − ii) Σύμφωνα με το ερώτημα i) έχουμε

1 2 12 1

= −+

1 3 23 2

= −+

…

1 100 99.100 99

= −+

Από τις παραπάνω ισότητες, προ-σθέτοντας κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη.

290. i) Aρκεί να αποδείξουμε ότι

( )32 1 5 2 7− = − .

ii) Έχουμε

35 2 5 2 7

5 2 2 1 4.

− + −

= − + − =

291. 34

−

292. 78

−

293. ( )( )( )( )4 4x 1 x 1 x 1 x 1+ + + −


( )( ) ( )2 24x 1 x 1 x 1 = + + −

( )( )( )x 1 x 1 x 1= + + −

( ) ( )2 2x 1 x 1 = + −

( )( )x 1 x 1= + − 2x 1= −

( )22012 1= − 2012 1= −

2011= .

294. 2α 3α 6.− =

295. 3x 3x 4+ = .

296. 3x 3x 4− = .

297. Έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )2 24 4 44 4 43 2 3 2 3 2+ ⋅ − = −

3 2 0= − > . Αρκεί λοιπόν, να αποδείξουμε οι

3 2 5 2 6− = −

( ) ( )223 2 5 2 6⇔ − = −

( ) ( )2 23 2 2 3 2 5 2 6⇔ + − ⋅ = −

3 2 2 3 2 5 2 6⇔ + − ⋅ = − , που ισχύει. 298. Στο πρώτο μέλος, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με

α β.−

299. i) 2 21 2αβ α β 2αβ+ = + +

( )2α β 0= + ≥

και 2 21 2αβ α β 2αβ− = + −

( )2α β 0= − ≥ .

ii) 1 2αβ 1 2αβ+ + −

( ) ( )2 2α β α β= + + −i)

α β α β= + + −

α β α β 2α= + + − = , αφού

α β 0+ ≥ και α β 0− ≥ .

300. i) Παρατηρούμε ότι 100 100 100 100 101 102⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ 102 102 102< ⋅ ⋅ . Δηλαδή, 3 3100 100 101 102 102< ⋅ ⋅ <

3 33 33100 100 101 102 102⇔ < ⋅ ⋅ < 100 α 102⇔ < < . ii) Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι ο αριθμός α είναι ακέραιος. Και επειδή 100 α 102< < , συμπεραίνουμε ότι α 101= . Δηλαδή,

3 100 101 102 101⋅ ⋅ = 3100 101 102 101⇔ ⋅ ⋅ = 2100 102 101⇔ ⋅ = , που είναι αδύνατον. Επομένως, ο αριθμός α δεν είναι

ακέραιος.

301. i) 2α β α 1− = −

( )2 22α β α 1⇔ − = −

( )22α β α 1⇔ − = −

2 2α β α 2α 1⇔ − = − + 2α β 1⇔ − = . Επίσης,

2β α β 1− = −

( )2 22β α β 1⇔ − = −

( )22β α β 1⇔ − = −

2 2β α β 2β 1⇔ − = − + 2β α 1⇔ − = .


ii) { ( ){β 2α 12α β 12 2α 1 α 12β α 1= −− = ⇔ − − =− =

{ {β 2α 1 β 13α 3 α 1.= − =⇔ ⇔= =

302. Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη σχέση σε ισοδύναμή της, που ισχύει.

303. Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη σχέση σε ισοδύναμή της, που ισχύει.

304. Μετασχηματίζουμε κάθε ζητούμενη ανισότητα, υψώνοντας στο τετράγω-νο, σε ισοδύναμή της που ισχύει.

305. i) Προφανώς x 0≠ και οι αριθμοί x

και 1x

είναι ομόσημοι.

ii) Υπολογίζουμε αρχικά το τετράγωνο του α΄ μέλους.


( ) ( )2 2x 1 1 x 1 2 x 1 1− + = − + − +

x 2 x 1.= + − ii) Έχουμε

α β x 4x 4 x 4x 4− = + − − − −

x 2 x 1 x 2 x 1= + − − − −

( ) ( )2 2x 1 1 x 1 1= − + − − −

x 1 1 x 1 1= − + − − −

( )x 1 1 1 x 1 ,= − + − − + −

αφού x 1 2 1 1− ≥ − =

x 1 1 1 x 1 2.= − + + − − =

307. Έχουμε

( ) ( )3 33 3x y x y− = −

( ) ( ) ( )2 2x y x x y y = − + +

και

( ) ( )3 33 3x y x y+ = +

( ) ( ) ( )2 2x y x x y y . = + − +

308. Η ζητούμενη σχέση, αφού υψώσου-με τα μέλη της στο τετράγωνο, με-τασχηματίζεται στην ισοδύναμή της

( )2α β 0,− ≥ που ισχύει.

309. i) Tα δύο μέλη της ζητούμενης ισό- τητας είναι θετικά και έχουν ίσα

τετράγωνα. ii) Tα δύο μέλη της ζητούμενης ισό-

τητας είναι θετικά και έχουν ίσα τετράγωνα.

310. 2 2α 8β β 8α+ + +

( ) ( )2 2β 2 α 2= + + +

β 2 α 2= + + +

β 2 α 2= − − + +

β 2 α 2 α β≥ − − + + = −

311. i) Yψώνουμε στο τετράγωνο.

ii) ( )2 7 3 2 3 3 6− − +

iii)( ) ( )23 2 3 2 2 1 3

Α2 2 2

− − + += −

3 2 3 2 1 3 .

2 2

− − + += −


2α 1 1

α α 1+ − +

( )( )

2

22

α 1 2 1α α α 1+

= − ++

( )

2

22

α 1 1α α 1+

= ++

( )22

1 11 .α α 1

= + ++


ii) Για α 6= και α 7,= αξιοποιώντας το ερώτημα i) παίρνουμε:

2 27 1 8 1

6 7 7 8 − + −

7 1 8 1 7 116 7 7 8 6 8

= − + − = + −

7 7 49 .6 8 24

= + =


1. Βλ. σελ. 105.

2. Βλ. σελ. 147.

3. Βλ. σελ. 150.

4. Βλ. σελ. 152.

5. Βλ. σελ. 183.

6. Βλ. σελ. 184.

7. Βλ. σελ. 184-185.

8. Βλ. σελ. 185.

9. Βλ. σελ. 213.

10. Βλ. σελ. 214.

11. Βλ. σελ. 214.


1. Σ

2. Λ 3. Λ

4. Λ

5. Λ

6. Σ

7. Σ

8. Σ

9. Σ

10. Λ

11. Λ

12. Σ

13. Λ

14. Λ

15. Λ

16. Λ

17. Σ

18. Σ

19. Σ

20. Σ

21. Σ

22. Σ

23. Λ

24. Σ

25. Λ

26. Λ

27. Σ

28. Σ

29. Λ

30. Λ

31. Σ

32. Σ

33. Σ

34. Σ


Θέμα Α

Α1. Βλέπε θεωρία Α2. Βλέπε θεωρία Α3. Βλέπε θεωρία


Α4. Βλέπε θεωρία α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό.

Θέμα Β

Β1. ( )( )( )( )α 2 α 1 α 1 α 2− − + +

( )( )2 2 4 2α 1 α 4 α 5α 4= − − = − +

Β2. Κ α 2= + Β3. Αξιοποιούμε το ερώτημα Β2 για

α 48.=

Θέμα Γ

Γ1. Έχουμε 2 x 1− < < και 1 y 3 3 y 1≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ − Γ2. Έχουμε x 2 0, y 1 0+ > − ≥ και x y 0− < Γ3. Έχουμε xy 1 x y xy 1 x y 0+ ≤ + ⇔ + − − ≤

( ) ( )x y 1 y 1 0⇔ − − − ≤

( )( )y 1 x 1 0, ισχύει.⇔ − − ≤

Θέμα Δ

Δ1. Αξιοποιούμε την ταυτότητα τετρά- γωνο αθροίσματος.

Δ2. 3 5 7 0 3 5 7− < ⇔ <

( )223 5 7 45 49,⇔ < ⇔ <

που ισχύει. Δ3. Αξιοποιούμε τα ερωτήματα Δ1 και

Δ2.


Θέμα Α

Α1. Βλέπε θεωρία Α2. Βλέπε θεωρία Α3. Βλέπε θεωρία Α4. Βλέπε θεωρία α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος.

Θέμα Β

Β1. Έχουμε

( )313 36 6Α 3 1 3 1

= − = −

123 1 3 1.= − = −

Β2. Έχουμε

( ) ( )2 2 2 21 14 4

4 4

8 2 15 8 2 15Β5 3 5 3

− −= =

− −

( )( )( )( )

5 3 8 2 158 2 155 3 5 3 5 3

+ −−= =

− + −

( ) ( )2 2

8 5 2 75 8 3 2 45

5 3

− + −=

−

8 5 10 3 8 3 6 55 3

− + −=

−

( )2 5 3

5 3.2

−= = −

Β3. Έχουμε

Α Β 3 1 5 3> ⇔ − > −

( ) ( )2 22 3 1 5 2 3 1 5⇔ > + ⇔ > +

12 1 2 5 5 6 2 5⇔ > + + ⇔ >

( )226 2 5 36 20,⇔ > ⇔ > που ισχύει.


Θέμα Γ

Γ1. Έχουμε ● ( )d 2x, 6 4 2x 6 4< ⇔ − <

2 x 3 4 x 3 2.⇔ − < ⇒ − <

● y 2 3 3 y 2 3+ < ⇔ − < + <

5 y 1,⇔ − < < που ισχύει.

Γ2. Σύμφωνα με το ερώτημα Γ1 έχουμε x 3 2 2 x 3 2− < ⇔ − < − < 1 x 5⇔ < <

Οπότε x 5 x 5 0< ⇔ − < και y 5 y 5 0> − ⇔ + > και συνεπώς x 5 y 5 2y− − + +

x 5 y 5 2y y x= − + − − + = − .

Όμως, y 1 x y x 0.< < ⇒ − < Επομένως, x 5 y 5 2y y x x y.− − + + = − = −

Γ3. Έχουμε xy 3y 2x 6− + −

( ) ( )y x 3 2 x 3= − + − ( )( )x 3 y 2 .= − +

Και επειδή x 3 2− < και y 2 3+ <

συμπεραίνουμε ότι x 3 y 2 2 3− ⋅ + < ⋅

( )( )x 3 y 2 6⇔ − + <

xy 3y 2x 6 6.⇔ − + − <

Θέμα Δ

Δ1. Έχουμε

2 2 α βα β

α β 2++

≥+

( ) ( )22 22 α β α β⇔ + ≥ +

2 22 22α 2β α 2 α β β⇔ + ≥ + ⋅ +

2 2α 2 α β β 0⇔ − ⋅ + ≥

( )2α β 0,⇔ − ≥ που ισχύει.

Δ2. Σύμφωνα με το ερώτημα Δ1 έχουμε

( )2 2

2α βα β α β 0α β 2

++= ⇔ − =

+

α β 0 α β⇔ − = ⇔ =

α β⇔ = ή α β.= −

Όμως αβ 0< και συνεπώς α β.≠

Επομένως, α β α β 0.= − ⇔ + =

Δ3. Αξιοποιώντας το ερώτημα Δ1 έχου-με

2 2 α βα β

α β 2++

≥+

, 2 2 β γβ γ

β γ 2++

≥+

και 2 2 γ αγ α .

γ α 2++

≥+

Από τις παραπάνω σχέσεις, προσθέ-τοντας κατά μέλη παίρνουμε

2 2 2 2 2 2α β β γ γ α

α β β γ γ α+ + +

+ ++ + +

( )2 α β γ

.2

+ +≥

Δ4. Για α x 1 και β x 1= + = − , η σχέση του ερωτήματος i) γίνεται

( ) ( )2 2 x 1 x 1x 1 x 1x 1 x 1 2

+ + −+ + −≥

+ + −.

Όμως, x 1 x 1 x 1 x 1 2 x .+ + − ≥ + + − =


Εξισώσεις

Εξισώσεις 1ου βαθμού

1. i) x 1= ii) x 2= − iii) Aδύνατη iv) Tαυτότητα.

2. i) x 0= ή x 2= ή x 2= − ii) x 2= − ή x 1= − ή x 5=

iii) x 2= − ή x 2= ή x 2=

iv) 3x2

= ή x 2.=

3. i) x 1= ή x 2= διπλή ρίζα ii) x 1= ή x 2= iii) x 1= − ή x 1= ή x 2= iv) x 2= ή x 1= διπλή ρίζα.

4. i) α 4=

ii) x 1= − ή x 2.=

5. i) x 8= ii) 1x4

= − .

6. i) x 1.= − ii) Αδύνατη. 7. i) κ 1= ii) κ 2.= 8. i) α 1= − ii) α 0 ή α 2.= =

9. λ 3.= − 10. i) ● Αν λ 4,≠ η εξίσωση έχει μο-

ναδική λύση την x 1.= ● Αν λ 4= , η εξίσωση είναι

ταυτότητα. ii) ● Αν λ 1,≠ η εξίσωση έχει μο-

ναδική λύση την λx .λ 1

=−

● Αν λ 1= , η εξίσωση είναι αδύνατη.

iii) ● Αν λ 0 και λ 1,≠ ≠ η εξίσωση

έχει μοναδική λύση την 1x .λ

=

● Αν λ 0,= η εξίσωση είναι αδύνατη.

● Αν λ 1,= η εξίσωση είναι ταυ-τότητα.

iv) ● Αν λ 2 ,≠ ± η εξίσωση έχει

μοναδική λύση την λx .λ 2

=+

● Αν λ 2,= η εξίσωση είναι ταυτότητα.

● Αν λ 2,= − η εξίσωση είναι αδύνατη.

11. i) μ 2=

ii) Για μ 2= η εξίσωση γίνεται

0 x 2.⋅ =

12. i) λ 0= ii) λ 1.=

13. H δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γρά-φεται

( ) ( )( )2 α 3β x α 3β α 3β− = − +

● Αν α 3β≠ , η εξίσωση έχει μονα-

δική λύση την α 3βx .

2+

=

● Αν α 3β= , η εξίσωση είναι ταυ- τότητα.

14. i) Θέτοντας όπου x το 100, προκύ-πτει 1 1 1 1.+ = +

ii) Θέτοντας όπου x το 50, το πρώτο μέλος είναι θετικό και το δεύτερο αρνητικό.

iii) Μοναδική λύση x 100.=

15. i) Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2 είναι λύση της εξίσωσης, αφού την επαληθεύει. Άρα, η εξίσωση αυτή θα έχει μια λύση ή θα είναι ταυτότητα, δηλαδή θα αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό, πράγμα που δεν ισχύει. Άρα, η ε-

Απαντήσεις: Εξισώσεις 531

ξίσωση έχει μοναδική λύση την x 2.=

ii) Εργαζόμενοι όπως στο ερώτημα i) αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την x 3.=

16. i) 6x ή x 25

= − =

ii) 1x2

= −

iii) Αδύνατη iv) x 0 ή x 10.= =

17. i) x 7= ή x 1= − ii) x 2= ή x 4= −

iii)7x2

= ή 1x .2

= −

iv) αδύνατη.

18. i) x 2= ii) x 4 ή x 0= − =

iii) x 3= ± iv) 9x2

= ±

19. i) 4 4x ή x5 5

= − =

ii) Αδύνατη.

20. i) x 1= − ii) x 2.=

21. i) x 0= ii) x 2.=

22. i) x 0 ή x 2= =

ii) x 3= iii) [ )x 1,∈ +∞

iv) Aδύνατη.

23. i) Γνωρίζουμε ότι για x 0≠ και x 2≠ ισχύει

x 0> και x 2 0− > .

Οπότε, από τη δοθείσα ισότητα έχουμε

2 x

x 0x 2

= >−

.

ii) Αποδείξαμε ότι x 0> . Επομένως, x x=

και η δοθείσα σχέση γράφεται

2 xx 2 x

=−

2 1x 2

⇔ =−

x 2 2⇔ − =

x 2 2⇔ − = ή x 2 2− = − x 4⇔ = , αφού x 0> .

24. i) Γνωρίζουμε ότι για κάθε x∈ ισχύει η σχέση

x x≥ . Δηλαδή, x x 0− ≥ . και συνεπώς x x 4 4 0− + ≥ > . ii) Έχουμε

2x 4 x x 4 0x+

= − + > ,

λόγω του i). Όμως, 2x 4 0+ > για κάθε x∈ . Επομένως, x 0> . iii) Αποδείξαμε ότι

x 0> και συνεπώς

x x= .

Άρα, η δοθείσα ισότητα ισοδύνα-μα γράφεται

2x 4 x x 4x+

= − +

2x 4 4x+

⇔ = 2x 4 4x⇔ + =

2x 4x 4 0⇔ − + =

( )2x 2 0⇔ − = x 2⇔ = .

25. i) x 0= ή x 2= − ή 2x .3

= −

ii) 1x 1 ή x 1 ή x .3

= = − =


26. i) x 2. ii) x 3 ή x 11. 27. i) x 1 ii) H δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα

γράφεται x 2 x 2 6 x

Όμως, x 2 x 2 0.

Τελικά, x 2 ή x 6.

28. i) x 0 ή x 2

ii) 1 3

x ή x2 4

29. i) Αδύνατη.

ii) x 1 ή 1

x .7

30. i) x 5,

ii) Αδύνατη.

31. i) Αδύνατη ii) Αδύνατη.

32. i) Υψώνοντας στο τετράγωνο βρί-σκουμε ότι x 2 .

ii) x 0. 33. i) Υψώνοντας στο τετράγωνο η δο-

θείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφε-ται

3 x 1 2x

Kατ’ ανάγκη έχουμε 1 2x 0 (1)

Με τον περιορισμό αυτό η εξίσω-ση ισοδύναμα γράφεται

3x 1 2x ή 3x 2x 1

1

x5

ή x 1, δεκτές.

ii) 1

x .2

34. i) Υψώνοντας στο τετράγωνο η δο-θείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφε-

ται

22αx α 1 .

Oπότε:

● για α 0 έχει μοναδική λύση

την 2α 1

x .2α

● για α 0 είναι αδύνατη. ii) Yψώνοντας στο τετράγωνο η δο-

θείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφε-ται

22αx α . Οπότε: ● για α 0 έχει μοναδική λύση

την α

x2

● για α 0 είναι ταυτότητα.

H Eξίσωση xν = α

35. i) x 3 ii) 1x

2

iii) x 4 iv) x 1 v) x 1 vi) x 3.

36. i) x 0 ή x 3 ii) x 0 ή x 2 iii) Αδύνατη

iv) x 3 ή x 0

v) x 0 ή x 7

vi) 6x 0 ή x 5.

37. i) x 6 ii) x 2

iii) 5x

2 iv) x 2 ή x 0

v) x 0 ή x 1 ή x 7 vi) x 3.

38. Έχουμε

1

23 32 2 2 2 2 2

1

1 11 123 62 22 2 2 2 2 2

11 1 9 3

462 12 12 42 2 2 2 2 8.


Επομένως, η δοθείσα εξίσωση γρά-φεται

( ) ( ) ( )43 34x 1 8 x 1 8− = ⇔ − =

3x 1 8 x 1 2⇔ − = ⇔ − =

x 3.⇔ =

39. x 1= ή x 2.= −

40. x 1= ή 9x .7

=

41. x 3.=

Eξισώσεις 2oυ Βαθμού

42. i) x 0 ή x 4= =

ii) 5x 3 ή x2

= − =

iii) 2y ή y 45

= − =

iv) ω 3 2 ή ω 3 2.= + = −

43. i) x 5 3 3 ή x 5 3 3= + = −

ii) x 3 ή x 2= − = −

44. i) x 1=

ii) x 3= ή 1x3

= −

iii) x 2= ή x 2= − iv) Aδύνατη.

45. i) 29 12 5−

ii) x 1 5= − − ή x 4 5= − + . 46. i) x α 1 ή x α 1= + = −

ii) x 2α 1 ή x α 1.= + = +

47. i) x α β= + ή x α 3β= +

ii) x 3α β= + ή x α β.= −

48. i) ( )2Δ λ 2 0= − ≥

ii) 2Δ 9λ 0= ≥

iii) ( )2Δ 4 λ 1 0= − ≥

iv) Δ 4 0.= >

49. ( )2Δ 4 μ ν .= −

50. μ 1 ή μ 2.= =

51. Η πρώτη εξίσωση έχει διακρίνουσα 2 2

1Δ 0 4β 4αγ 0 β αγ 0.> ⇔ − > ⇔ − > Η δεύτερη εξίσωση είναι δευτέρου


( )2 2 22Δ 4α γ 4 β αγ 0.= + − >

52. i) x 1= − ii) α) Δ 4 0= >

β) 1 22x 1, x 1λ

= − = − +

γ) λ 2 ή λ 2.= = − 53. ● Αν α 0,= η εξίσωση είναι αδύ-

νατη. ● Αν α 0,≠ η εξίσωση έχει δύο

ρίζες

1α 1x2α+

= και 2α 1x .2α−

=

54. κ 3 και λ 2.= =

55. 10λ .11

=

56. i) Πράξεις στο δεύτερο μέλος της ζητούμενης ισότητας.

ii) x 2= − ή x 3= − ή 1 5x .2

− ±=

57. i) To β΄ μέλος είναι διαφορά τετρα-γώνων.

ii) Αξιοποιούμε το ερώτημα i) και τελικά x 2 2 ή x 2.= − =

58. i) Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι ρ 0.= Οπότε,

2αρ βρ γ 0 0 0 γ 0+ + = ⇔ + + =

γ 0, αδύνατον.⇔ =


Άρα, ρ 0.≠ ii) Έχουμε

2 21 1 γ βρ αργ β α 0.

ρ ρ ρ + +⋅ + ⋅ + = =

59. κ 9= και λ 3.= −

60. i) 11,4

ii) 10,16

−

iii) 7 , 02

iv) ( )2 1 , 0+

61. i) 2x 5x 4 0− + =

ii) 2x 3x 10 0− − = iii) 2x 6x 7 0− + =

iv) 2x 5x 1 3 3 0.− + + =

62. i) Α 6= ii) Β 14= iii) Γ 6= iv) Δ 2= − 63. Α 1= − .

64. i) 2x 2x 7 0− − = ii) 2x 4x 28 0− − = iii) 2 2x 2λx 7λ 0+ − = iv) 2x 14x 343 0− − = .

65. i) 2Δ λ 4 0= + > για κάθε λ .∈ ii) α) λ− β) 1− γ) 2λ 2+ δ) λ.

66. i) ( )2Δ λ 2= −

ii) 1 2x x λ,+ = − 1 2x x λ 1= −

και ( )2 21 2 2 2x x x x λ λ 1 .+ = − −

iii) λ 1 ή λ 2.= − =

67. i) ( )Δ 1 4 λ 1= − − 1 4λ 4= − +

5 4λ= −54 λ 04

= − >

ii) λ 1.= − 68. i) 3 3κ λ 26+ = −

( ) ( )3κ λ 3κλ κ λ 26

8 6κλ 26κ λ 3

⇔ + − + = −⇔ − + = −⇔ ⋅ = −

ii) 2x 2x 3 0+ − = κ 3, λ 1 ή κ 1, λ 3.= − = = = −

69. Αν 1 2x , x οι ρίζες της παραπάνω εξί-σωσης, τότε

S P 1= + και P S 3.= − + Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε S P P S 4 2S 4+ = − + ⇔ = S 2⇔ = και P 2 3 1.= − + = Έτσι, η δοθείσα εξίσωση γίνεται

( )22x 2x 1 0 x 1 0− + = ⇔ − =

x 1⇔ = (διπλή ρίζα)

70. i) ( ) ( )2Δ λ 1 4 λ 3= − − −

2

2

λ 2λ 1 4λ 12λ 6λ 13

= − + − += − +

( )

2

2

λ 6λ 9 4λ 3 4 0 για κάθε λ .

= − + +

= − + > ∈

ii) Αν 1 2x , x οι ρίζες της εξίσωσης, τότε

1 2x x λ 3= − . Λόγω της υπόθεσης πρέπει να

ισχύει

( )33 31 2 1 2x x 8 x x 8= − ⇔ = −

( )3λ 3 8⇔ − = −

3λ 3 8 λ 1.⇔ − = − ⇔ = 71. κ 2= και λ 1.= −

72. i) Έχουμε 1 2x x α+ =

και 1 2x x β= . ii) Έχουμε

2

1 2

α 2 β1 1βx x

++ =

.

iii) Έχουμε 1 2 1x x α 3x α+ = ⇔ =

Απαντήσεις: Εξισώσεις 535 και

21 2 1x x β 2x β= ⇔ = .

Οπότε, ( ) 1

22 212α 2 3x 18x= =

και ( )2 2

1 19β 9 2x 18x .= =

73. i) 1 1x ή x3 3

= = −

ii) x 0 ή x 2.= = −

74. i) 3x 1 ή x2

= = −

ii) x 1 ή x 3= = − iii) x 5 ή x 1= = iv) x 4 ή x 1.= = −

75. i) 5 13x ή x2 3

= − = −

ii) 8x 4 ή x .3

= =

76. i) x 2 ή x 1 ή x 0= − = − =

ή x 1.=

ii) x 0= ή x 1= ή x 2= ή x 3.=

77. i) x 4= ii) x 3= ή x 2= − iii) x 3= .

78. i) Έχουμε 10 51 1 α 0+ + = 2 α 0⇔ + =

α 2⇔ = − . ii) Αποδείξαμε ότι α 2= − . Επομέ-

νως, η δοθείσα εξίσωση ισοδύνα-μα γράφεται

10 5x x 2 0+ − = . Θέτουμε 5x ω= . Οπότε, η επί-

λυση της εξίσωσης ανάγεται στην επίλυση της εξίσωσης

2ω ω 2 0+ − = . Έχουμε ( )Δ 1 4 2 9= − − =


1 9ω2

− ±= .

Δηλαδή, ω 2= − ή ω 1= . Επομένως, 5x 2= − ή 5x 1= . και τελικά

5x 2= − ή x 1= .

79. Έχουμε

( )33 x 2 x 2− = − ,

αφού x 2>

( )22x 2x 1 x 1− + = −

x 1 x 1= − = − ,

αφού x 2 1> > και

( )22x 6x 9 x 3+ + = +

x 3 x 3= + = + ,

αφού x 2 3> > − . Οπότε, η δοθείσα εξίσωση γράφεται

2

x 2 x 32 2x 1 1 x− +

− =− −

2

x 2 x 32 2x 1 x 1− +

⇔ + =− −

( )( ) ( ) ( )2x 2 x 1 2 x 3 2 x 1⇔ − + + + = −

2 2x x 2x 2 2x 6 2x 2⇔ + − − + + = −

2x x 6 0⇔ − − = x 2⇔ = − ή x 3= x 3⇔ = .

80. i) α 3.= ± ii) Moναδική ρίζα την x 1.=

81. i) κ 1= ±

ii) x 2.= ±

82. x 1= ή x 5.=

83. 21 1 14 x x 0

2 2 2 − − − − =


21 1 14 x x 0

2 2 2⇔ − − − − =

Θέτουμε 1x ω 0, oπότε2

− = ≥

2 14ω ω 02

− − =

1 1ω ή ω , απορρίπτεται.2 4

⇔ = = −

Δηλαδή, 1 1x2 2

− =

1 1 1 1x ή x2 2 2 2

⇔ − = − = −

x 1⇔ = ή x 0.=

84. i) Πρέπει

2Δ 0 81 16μ 0> ⇔ − > ⇔9μ4

<

ii) 22x 9x 4 2 0− + =

2x2

⇔ = ή x 4 2=

iii) 9μ 9 4μ 0 μ5

+ + = ⇔ = −

iv) Θέτουμε 2x ωx

+ = ,

οπότε, η δοθείσα εξίσωση γράφεται

22ω 9ω 4 2 0− + =

2ω2

= ή ω 4 2.=

Δηλαδή:

● 22 2x 2x 2x 4 0,x 2

+ = ⇔ − + =

αδύνατη.

● 22x 4 2 x 4 2x 2 0x

+ = ⇔ − + =

( )x 2 2 3⇔ = ±

85. i) ( ) ( )Π 2 x 1 2 x 6 4x 10= − + + = +

( )( ) 2E x 1 x 6 x 5x 6= − + = + −

ii) 2E 408 x 5x 6 408= ⇔ + − = 2x 5x 414 0⇔ + − = x 18⇔ = ή x 23= − , απορ. Οι διαστάσεις είναι 17cm, 24cm.

86. i) 2 2Δ λ 2λ 1 4λ λ 2λ 1= + + − = − + ( )2λ 1 0,= − >

λ 1S 0λ+

= > και 1Ρ 0.λ

= >

Άρα, οι ρίζες είναι θετικές.

ii) ( )1 2λ 1Π 2 x x 2S 2

λ+

= + = =

1 21Ε x x pλ

= ⋅ = =

iii) 2λ 2 1Π Ε λ λ 0λ λ+

− > − ⇔ − + >

22λ 1 λ 2λ 1λ 0 0

λ λ+ + +

⇔ + > ⇔ >

( )2λ 10,

λ+

⇔ >

ισχύει για κάθε λ 1.>

87. i) 2Δ α 8 0= + > για κάθε α∈ ii) 1 2α 1, x 1 και x 2.= − = − =

88. i) Ο αριθμός 12

είναι ρίζα της εξί-

σωσης. ii) Έχουμε

1 2

2

2

β 33α 2β 0α 2

3x x2

1 3x2 2x 1.

+ = ⇔ − =

⇔ + =

⇔ + =

⇔ =

89. i) Έχουμε

( )22 2

2 2 2 2

α β α β

α β α 2αβ β0 2αβα 0 ή β 0.

+ = +

⇔ + = + +⇔ =⇔ = =

Απαντήσεις: Εξισώσεις 537 ii) Παρατηρούμε ότι 2 2x 3x 2 x 6x 8− + + − +

22x 9x 10.= − + Οπότε, αν θέσουμε 2α x 3x 2= − + και

2β x 6x 8= − + η εξίσωση γίνεται

( )22 2α β α β α 0 ή β 0+ = + ⇔ = =

2 2x 3x 2 0 ή x 6x 8 0− + = − + =

x 1 ή x 2 ή x 2 ή x 4= = = =

90. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχουν α, β∈ τέτοιοι, ώστε α β 19+ = και

αβ 81.= Δηλαδή, ότι η εξίσωση 2x 19x 81 0− + = έχει δύο ρίζες

πραγματικές και άνισες. Αυτό όμως ισχύει αφού

2 2 2Δ 19 4 81 19 18 0.= − ⋅ = − >

Επίσης, ( )2α β 19Ααβ 9+

= =

και α β 199Β .β α 81

= + =

91. 1λ 1 και μ .2

= − = −

92. Έχουμε α γ α γ− = +

( )22α γ α γ⇔ − = +

2 2 2 2α 2αγ γ α 2 α γ γ⇔ − + = + ⋅ +

αγ αγ⇔ = −

αγ 0.⇔ ≤ Η εξίσωση έχει διακρίνουσα

2Δ β 4αγ 0,= − >

αφού β 0 και αγ 0.≠ ≤

93. i) ( ) ( ) ( )239 2 λ 1 2 λ 3 0⋅ − + − ⋅ − + − =

39 4 2λ 2 λ 3 0⇔ ⋅ − + + − =

156 2 3 λ 0⇔ + − − = 155 λ 0⇔ − = λ 155⇔ = . ii) Aντικαθιστώντας την τιμή του λ

που βρήκαμε παραπάνω, η δο-θείσα εξίσωση γράφεται

239x 154x 152 0+ + = . Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση αυτή

έχει ρίζα τον αριθμό 1x 2= − . Επομένως, έχει διακρίνουσα

Δ 0≥ και για τις ρίζες της 1x , 2x ισχύει η σχέση

1 2152x x39

= .

Δηλαδή,

2 2152 762x x .39 39

− = ⇔ = −

Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες

1x 2= − και 276x39

= − .

94. i) 2Δ α 12 0= + > για κάθε α .∈

ii) α) 1x 1= − και 2x 3=

β) α 2.= −

95. i) Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι μπορεί να είναι συγχρόνως αδύνατες. Δηλαδή

( )21Δ 0 α 4 β 1 0< ⇔ − − <

και ( )2

2Δ 0 β 4 α 1 0.< ⇔ − − <

Επομένως, ( ) ( )2 2α β 4 β 1 4 α 1 0+ − − − − <

( ) ( )2 2α 2 β 2 0,⇔ − + − <

αδύνατον. Άρα, οι δύο εξισώσεις δεν μπορεί

να είναι συγχρόνως αδύνατες.


ii) Έστω 0x κοινή ρίζα των δύο εξισώσεων. Οπότε,

20 0x αx β 1 0+ + − =

και 2

0 0x βx α 1 0+ + − = . Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε ( ) 0 0α β x β α 0 x 1.− + − = ⇔ =

Επομένως, 21 α β 1 0 α β 0.+ + − = ⇔ + =

96. i) Η δοθείσα εξίσωση είναι 2ου βαθ-μού με διακρίνουσα

( )2Δ 2011 4 2011 502= − − ⋅ ⋅

22011 2011 2008= − ⋅ ( )2011 2011 2008= −

2011 3 0= ⋅ > . Άρα, η εξίσωση έχει δύο άνισες

πραγματικές ρίζες 1x , 2x . ii) Σύμφωνα με τους τύπους του

Vieta έχουμε

1 2βx xα

+ = −2011 1

2011−

= − = .

iii) Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε

1 2γ 502x x 0α 2011

= = > .

Άρα, οι αριθμοί 1x , 2x είναι ομόσημοι. Και επειδή

1 2x x 1 0+ = > , συμπεραίνουμε ότι 1x 0> και 2x 0> . Επομένως, 1 1 2x x x 1< + = και 2 1 2x x x 1< + = . Τελικά

10 x 1< < και 20 x 1< < .

iv) 2 21 2 2 1x 4x x 4x+ + +

( ) ( )2 21 1 2 2x 4 1 x x 4 1 x= + − + + −

2 21 1 2 2x 4x 4 x 4x 4= − + + − +

( ) ( )2 21 2x 2 x 2= − + −

1 2x 2 x 2= − + −

1 2x 2 x 2=− + − +iii)

( )1 24 x x= − + 4 1= − 3.=

97. i) Δ 25 0.= >

ii) 1 23 4x και x .5 5

= =

iii) Παρατηρούμε ότι 1 20 x 1 και 0 x 1.< < < <

Οπότε, για κάθε ν∈ με ν 3≥ ισχύουν

ν 21 1x x< και ν 2

2 2x x< . Επομένως, ν ν 2 2

1 2 1 2x x x x 1.+ < + =


1. Βλ. σελ. 261.

2. Βλ. σελ. 261.

3. Βλ. σελ. 284.

4. Βλ. σελ. 284.

5. Βλ. σελ. 284-285.

6. Βλ. σελ. 289.

7. Βλ. σελ. 289-290.

8. Βλ. σελ. 291.

9. Βλ. σελ. 291.



1. Σ

2. Σ

3. Σ

4. Σ

5. Σ

6. Σ

7. Λ

8. Σ

9. Λ

10. Σ

11. Σ

Διαγώνισμα Θέμα Α Α1. Βλέπε θεωρία Α2. Βλέπε θεωρία Α3. Βλέπε θεωρία. Α4. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Λάθος.

Θέμα Β Β1. Έχουμε

( )2 24αβ α 2αβ β 25+ + =

( )24αβ α β 25 αβ 1.⇔ + = ⇔ =

Β2. 2x Sx P 0− + =

2 25x x 1 0 2x 5x 2 0.2

⇔ − + = ⇔ − + =

Β3. 1x 2 ή x .2

= =

Δηλαδή α 2= και 1β2

=

ή αντίστροφα.

Β4. Θέτουμε 1x ω.x

+ =

Οπότε ω 2= ή 1ω2

= και τελικά x 1.=

Θέμα Γ Γ1. Έχουμε

5 5 30 α 0 4 0 α α α+ = − ⋅ − ⇒ = −

που ισχύει για κάθε α .∈ Γ2. α) Έχουμε

5 5 31 α 1 4 1 α+ = − ⋅ −

1 α 3 α⇔ + = − −

1 α 3 α⇔ + = − − ή 1 α 3 α+ = + (αδύνατη) α 2.⇔ = − β) Έχουμε

5 5 3x 2 x 4x 2− = − +

5 5 3x 2 x 4x 2⇔ − = − + ή 5 5 3x 2 x 4x 2− = − + − 3x 1⇔ = ή 5 32x 4x 0− =

x 1⇔ = ή ( )3 22x x 2 0− =

x 1⇔ = ή x 0 ή x 2.= = ±

Θέμα Δ Δ1. ( )2Δ 1 2λ 0= − ≥ για κάθε λ .∈

Δ2. 1 1Δ 0 λ και x .2 2

= ⇔ = =

Δ3. Έχουμε 2

1 2 1 2x x 1 και x x λ λ .+ = ⋅ = − Οπότε ( )( )1 2x 1 x 1 12− − = −

( )1 2 1 2x x x x 1 12⇔ − + + = −

2λ λ 12⇔ − = −

2λ λ 12 0⇔ − − = λ 3 ή λ 4.⇔ = − =


Ανισώσεις

Ανισώσεις 1ου βαθμού

1. i) x 2 ii) x 1 iii) Αδύνατη iv) Αληθεύει για κάθε x .

2. x 2, 5 .

3. Δεν συναληθεύουν.

4. x 4,9 .

5. x 1, 0,1, 2 .

6. 1x .2

7. ● Αν μ 3, τότε 6 7μx .2μ 6

● Αν μ 3, τότε 6 7μx .2μ 6

● Αν μ 3, τότε η ανίσωση αληθεύει

για κάθε x .

8. i) x 3, 6 .

ii) x , 1 11,

iii) Aληθεύει για κάθε x iv) Aδύνατη.

9. i) 2 2x , ,7 7

ii) Αδύνατη.

10. i) x , 0 2,

ii) x 10, 16 .

11. i) 5 5x , ,4 4

ii) x 3, 1

iii) x 1, 7

iv) [ )4x , 0,3

∈ −∞ − ∪ +∞ .

12. i) x , 24 6,

ii) x 4, 6

iii) x 0 iv) Aδύνατη.

13.i) ( ) ( )x , 3 4,∈ −∞ − ∪ +∞

ii) 2x 2,3

∈ −

iii) Δεν συναληθεύουν.

14. Γνωρίζουμε ότι x 1 0 για κάθε x .

Και η ισότητα ισχύει μόνο για x 1. Επομένως, η ανίσωση x 1 x 3 0

ισοδύναμα γράφεται x 1 και x 3 0

x 1 και x 3

x 1 και 3 x 3 . Δηλαδή, το σύνολο των λύσεων της

ανίσωσης είναι το 3,1 1,3 .

15. i) x 5, 3 3,5

ii) x 5,0 2, 7 .

16. i) ● 2x 3 5 x 4− ≤ ⇔ ≤ ● 3x 1 5− >

3x 1 5⇔ − < − ή 3x 1 5− >

4x ή x 2.3

⇔ < − >

Άρα, 2x 3 5 3x 1− ≤ < −

Απαντήσεις: Aνισώσεις 541

( ]4x , 2, 4 .3

⇔ ∈ −∞ − ∪

ii) Έχουμε 2 x 7 1− >

2 x 7 1⇔ − < − ή 2 x 7 1− >

2 x 6⇔ < ή 2 x 8>

x 3⇔ < ή x 4>

3 x 3⇔ − < < ή x 4< − ή x 4> ( ) ( ) ( )x , 4 3,3 4, .⇔ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞

17. i) Για x 3 η δοθείσα ανίσωση ισοδύναμα γράφεται

4

1x 3

4 x 3

x 3 4

4 x 3 4 1 x 7 .

Δηλαδή, το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης είναι το 1,3 3,7 .

ii) ( ] [ )x , 2 4, .∈ −∞ − ∪ +∞

18. i) Παρατηρούμε ότι x 1 1 0 για κάθε x .

Επομένως, η δοθείσα ανίσωση ισοδύναμα γράφεται

x 1 1 7 1 x

x 1 x 1 6

x 1 x 1 6

2 x 1 6

x 1 3

x 1 3 ή x 1 3 x 2 ή x 4 .

Δηλαδή, το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης είναι το

, 2 4, .

ii) Aδύνατη.

19. i) 5x ,4

ii) x , 7 .

20. i) x 2 ή x 3

ii) x 5 ή x 4.

21. i) x 0 ή x 4 ii) 4x .3

22. i) x 0, 2

ii) 4x , 2 , .3

23. i) α 2, ii) α 2

iii) α , 2 iv) α 2,

v) α , 2 .

24. i) ● Aν λ ,1 , η εξίσωση έχει

δύο πραγματικές ρίζες

1,2x 1 1 λ.

● Αν λ 1, η εξίσωση έχει μία δι- πλή ρίζα, την x 1. ● Αν λ 1, , η εξίσωση είναι

αδύνατη. ii) ● Αν λ 0, η εξίσωση έχει δύο

πραγματικές ρίζες, τις

1x 7λ και 2x 3λ.

● Αν λ 0, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, την x 0.

25. i) 5α4

=

ii) 1 25 1x , x2 2

= − = −

26. i) λ 0= ii) λ 1< iii) 0 λ 1.< < 27. i) λ 3≤ ii) ( )λ 1, 3 .∈ −

28. i) 2Δ 4λ 0 για κάθε *λ . ii) α) λ , 0 0, 2


β) λ 2, .

29. i) λ 2< ii) λ 1= − iii) ( )λ 1, 2∈

30. ( ) ( )α 6, 2 2, 6∈ − − ∪

31. i) 2Δ 0 20 4 5λ 6 0

100 5λ 6 0 5λ 94

94λ .5

ii) α) 1x 8 και 2x 12 β) λ 18.

32. i) H εξίσωση 2x 3x λ 0, λ

έχει δύο πραγματικές ρίζες άνισες. Επομένως,

9Δ 0 9 4λ 0 λ .4

ii) λ 1.

33. i) α 2= ii) 1x 1= και 2x 2.=

34. Από τη δοθείσα ανισότητα προκύπτει ότι 1 x 3.< < Οπότε,

( )( )x 1 x 3 0− − <

και τελικά A 1.=

35. i) λ 3= ii) λ 2.= −

36. i) 6 x 2− ≤ ≤ ii) Στον άξονα των πραγματικών

αριθμών, η απόσταση της εικόνας του x από την εικόνα του 2− εί-ναι μικρότερη ή ίση από το 4.

iii) x 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2= − − − − − −

iv) x 2, 1, 0, 1, 2.= − −

Ανισώσεις 2ου βαθμού

37. i) x 1 x 6 .

ii) 4x 1 x 2 .

38. i) x 2 x 7

ii) 2x 1 x 3

iii) 2x 1 3x 1

iv) x 2 x 5 .

39. i) x 3α x α

ii) αx 1 x β .

40. i) x 3x 2

ii) 2x 3.3x 4

41. i) 2x 2x 3

x 2− +−

ii) ( )( )x 1 x 3+ +

42. i) x 2x 5++

ii) x 4x

− −

iii) 2 x 1x 5

−−

iv) ( )( )x 2 x 1 .+ +

43. i) x 2αx 4α

ii) x 1.x

44. i) ● 2x 3x 10 0 x 2,5

● 2x 3x 10 0 x 2 ή x 5

● 2x 3x 10 0 x , 2 5, .

ii) ● 23x 7x 2 0

1x , 2,3

● 2 13x 7x 2 0 x ή x 23

● 23x 7x 2 0 1x , 2 .3


45. i) 2x 5x 7 0 για κάθε x

ii) ● 2 34x 12x 9 0 x2

● 24x 12x 9 0 για κάθε 3x .2

iii) 2x 4x 5 0 για κάθε x

46. i) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα αρνη- τική και συντελεστή του 2x θετικό. Άρα είναι θετικό για κάθε x .∈ ii) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα

( )22Δ α 1 0= − > , ρίζες τους αριθ-

μούς 1 , αα

και συντελεστή του 2x

θετικό. Άρα:

● είναι μηδέν για 1xα

= ή x = α.

● είναι θετικό για 1xα

< ή x > α.

● είναι αρνητικό για 1 x αα< < .

47. i) x 0, 4

ii) x 3, 2

iii) x ,1 7,

iv) 1x , 2 .3

48. i) Αδύνατη ii) Αληθεύει για κάθε x

iii) 1x2

iv) 2 2x , , .3 3

49. i) ( ] [ )x , 0 5,∈ −∞ ∪ +∞

ii) ( )x 3, 3∈ −

iii) 7x ,32

∈ −

iv) Aδύνατη.

50. i) x∈

ii) [ )5x , 0,4

∈ −∞ − ∪ +∞

iii) 1 3x , 1 32

+∈ +

iv) ( )x 3, 0∈ − .

51. i) x 3, 1

ii) x 1,1 3,5 .

52. i) ( ]x 1, 2∈

ii) ( ] [ )x 2, 1 2,3∈ − − ∪ .

53. x 2,1 2, 4 .

54. Έχουμε: ● ( ) 2x x 3 40 x 3x 40 0+ ≤ ⇔ + − ≤

8 x 5.⇔ − ≤ ≤

● ( )22x 2 2 2x x 2 0+ > ⇔ − >

x 2.⇔ ≠ Άρα, οι ανισώσεις συναληθεύουν για

κάθε ) (x 8, 2 2, 5 . ∈ − ∪

55. Έχουμε: ● 2x 5 3 x 1 ή x 4− ≥ ⇔ ≤ ≥

● 2x 8x 12 0 2 x 6− + ≤ ⇔ ≤ ≤ Άρα, οι ανισώσεις συναληθεύουν για [ ]x 4, 6 .∈

56. Έχουμε

2 2x x 3 3 3 x x 3 3− − < ⇔ − < − − <

2x x 0⇔ − > και 2x x 6 0− − < ( )x 0 ή x 1⇔ < > και 2 x 3− < <

( ) ( )x 2, 0 1, 3 .⇔ ∈ − ∪


57. x 1, 2 .

58. i) λ 2,6

ii) ( )λ 4, 0∈ − .

59. i) μ 2,10

ii) [ ]μ 1, 2 .∈ −

60. i) ( ) ( )Δ 0 λ λ 4 0 λ 0, 4 .< ⇔ − < ⇔ ∈

ii) ( )2Δ 0 4 λ 1 0 λ 1.≤ ⇔ − ≤ ⇔ =

61. i) ( )2Δ 0 4 λ λ 12 0≤ ⇔ − − ≤

[ ]λ 3, 4 .⇔ ∈ −

ii) ( )Δ 0 λ 0,8 .< ⇔ ∈

62. i) H δοθείσα ανίσωση αληθεύει για κάθε x∈ αν και μόνο αν ισχύουν οι σχέσεις:

● λ 1 0 λ 1− = ⇔ = και ● ( )2μ 5μ 6 0 μ 2, 3 .− + < ⇔ ∈

ii) λ 2= − και ( ) ( )μ , 1 7, .∈ −∞ ∪ +∞

63. κ 0, 2 2,3 .

64.● Αν α 0= η εξίσωση γίνεται

12x 04

− = και έχει λύση το 1x .8

=

● Αν α 0≠ η εξίσωση είναι 2ου βαθ-μού και έχει ρίζες αν και μόνο αν

Δ 0 α 4 ή 1 α 0.≥ ⇔ ≤ − − ≤ ≠ Επομένως, η δοθείσα εξίσωση έχει

πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν ( ] [ )α , 4 1, .∈ −∞ − ∪ − +∞

65. i) 2Δ 0 λ 4λ 3 0> ⇔ − + > λ 1⇔ < ή λ 3.> ii) λ 1= − ή λ 5.=

66. i) ( ) ( )2 2Δ μ 1 4 μ 1 0= − + + >

για κάθε μ∈ . ii) Έχουμε 1 1 2 2x 2x x 4 x− > −

( )1 2 1 2x x 2x x 4⇔ + − >

( ) ( )2μ 1 2 μ 1 4⇔ − − + + >

22μ μ 1 0⇔ − − >

( )1μ , 1,2

⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

.

67. i) ( ) ( )2Δ α 3 4 α 2= − − − +

2α 6α 9 4α 8= − + + −

2α 2α 1= − +

( )2α 1 0= − ≥ για κάθε α∈ .

ii) ( )2Δ 0 α 1 0 α 1> ⇔ − > ⇔ ≠

iii) Δ 0 α 1> ⇔ ≠ . Επίσης, 1 1 2 22αx 3x x 2αx 1− + ≤ −

( )1 2 1 22α x x 3x x 1⇔ + − ≤ −

( ) ( )2α α 3 3 α 2 1 0⇔ − − − + + ≤

22α 3α 5 0⇔ − − ≤

5α 1,2

⇔ ∈ − .

Τελικά

5α 1,1 1,2

.

68. ( )( )4 2 4 2x 3x 1 x 3x 3 1− + − + +

( ) ( )24 2 4 2x 3x 4 x 3x 3 1= − + − + +

( )24 2x 3x 2 .= − +

69. i) Αξιοποιούμε την ταυτότητα τετράγωνο αθροίσματος.

ii) Mε βάση το ερώτημα i) έχουμε

( )2x 1 4 x 1 2+ ≤ ⇔ + ≤

3 x 1⇔ − ≤ ≤


και

( )2y 6 4 y 6 2+ ≤ ⇔ + ≤

8 y 4.⇔ − ≤ ≤ − 70. i) 0 x 3< < και

3 2x 1 3 2 2x 4

1 x 2− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤

⇔ − ≤ ≤

ii) 0 x 2< ≤ iii) Έχουμε 10 x 2< ≤ και 20 x 2< ≤ Άρα,

1 21 2

x x0 x x 4 0 2.2+

< + ≤ ⇔ < ≤

71. i) Έχουμε

( )22Δ λ 4λ 12 λ 2 8 0= + + = + + >

για κάθε λ .∈

ii) Το τριώνυμο ( )2x λx λ 3− − +

παίρνει θετικές τιμές για κάθε ( ) ( )1 2x , x x ,∈ −∞ ∪ +∞ και

αρνητικές τιμές για κάθε ( )1 2x x , x .∈

Επίσης, η τιμή του τριωνύμου για x 1= − είναι

( ) ( ) ( )21 λ 1 λ 3− − − − +

1 λ λ 3 2 0.= + − − = − < Οπότε, ( )1 21 x , x .− ∈

iii) ( )λ , 3∈ −∞ −

iv) ( )λ 2, 1 .∈ − −

72. i) [ ]x 1,8∈ −

ii) Μόνο ο αριθμός 2 3 4+ + είναι λύση της δοθείσας εξίσω-σης.

73. 2Δ 0 μ 4μ 5 0< ⇔ − − <

( )μ 1, 5 .⇔ ∈ −

74. i) Έχουμε x x 1 2 0.+ > >

Οπότε x 0> και η δοθείσα ανί-σωση γράφεται

( ) 2x x 1 2 x x 2+ > ⇔ + >

2x x 2 0⇔ + − > x 2 ή x 1.⇔ < − >

Και επειδή x 0,> έχουμε x 1.> ii) ● Aν x 0,≥ τότε η ανίσωση

αληθεύει για κάθε x 0.≥ ● Αν x 0,< τότε η ανίσωση

γράφεται ( )( )x 1 x 2+ − > −

2x x 2⇔ + <

2x x 2 0⇔ + − < ( )x 2, 1 .⇔ ∈ −

Και επειδή x 0,< έχουμε 2 x 0.− < < Από τα παραπάνω συμπεραί-

νουμε ότι οι λύσεις της ανί-σωσης είναι οι αριθμοί

( )x 2, .∈ − +∞

75. Η δοθείσα σχέση ισχύει αν και μό-νο αν το τριώνυμο

( )2 2x 2x y y α− + − +

έχει διακρίνουσα ( )2Δ 0 y y α 1 0< ⇔ − + − >

για κάθε y∈ . Η τελευταία σχέση ισχύει αν και μόνο αν το τριώνυμο

( )2y y α 1− + − έχει διακρίνουσα

( ) 5Δ 0 1 4 α 1 0 α .

4′ < ⇔ − − < ⇔ >

76. i) Έχουμε

1 2 1 2x x 4 x x 4

2λ 4

λ 2.

⋅ < ⇔ <

⇔ − <

⇔ <

ii) Έχουμε 12 x 2− < < και 22 x 2− < < Οπότε


1 24 x x 4− < + < 1 2x x 4 κ 4.⇔ + < ⇔ < iii) Ο αριθμός 2 βρίσκεται εκτός

του διαστήματος των ριζών του τριωνύμου και συνεπώς το τριώνυμο γίνεται αρνητικό για x 2= . Έχουμε λοιπόν

4 2κ 2λ 0− + + < iv) Aποδείξαμε ότι 4 2κ 2λ 0− + + < . Ομοίως, για x 2= − έχουμε 4 2κ 2λ 0.− − + < Οπότε 2 κ λ 0− + + < και

2 κ λ 0− − + < . Τελικά ( )( )λ κ 2 λ κ 2 0.+ − − − > 77. i) Θεωρούμε το τριώνυμο 2αx βx γ+ + και παρατηρούμε ότι οι αριθμοί

α β γ,+ + 4α 2β γ+ + και 9α 3β γ+ + είναι είναι οι τιμές του τριωνύμου αυτού για x 1,= x 2= και x 3= αντίστοιχα. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι το παραπάνω τριώνυμο παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές. Επομένως, η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι θετική. Δηλα-δή,

2Δ 0 β 4αγ.> ⇔ > ii) Αξιοποιώντας εκ νέου τα δεδο-

μένα συμπεραίνουμε ότι οι δύο ρίζες του τριωνύμου 1 2x , x ικα-νοποιούν τις σχέσεις

1 21 x 2 και 2 x 3.< < < < Και επειδή 4α 2β γ 0+ + > , συ-

μπεραίνουμε ότι α 0.< iii) Έχουμε

β γS 0, Ρ 0α α

= − > = >

και α 0.<

iv) Έχουμε

1 2γ2 x x 6 2 6α

< < ⇔ < <

και

1 2β3 x x 5 3 5.α

< + < ⇔ < − <

Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Βλ. σελ. 329.

2. Βλ. σελ. 347.

3. Βλ. σελ. 347-348.

4. Βλ. σελ. 349.

5. Βλ. σελ. 350. Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους 1. Λ

2. Λ

3. Σ

4. Σ

5. Λ


Θέμα Α

Α1. Βλέπε θεωρία Α2. Βλέπε θεωρία Α3. Βλέπε θεωρία α) Σωστό β) Σωστό γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος.


Θέμα Β

Β1. ( )( )2x 5x 4 x 1 x 4− + = − −

Β2. { }x 1,2∈ − −

Β3. ( )( )( )( )

2 2x 1 x 4K

x 1 x 2− −

=+ −

( )( )( )( )( )( )

x 1 x 1 x 2 x 2x 1 x 2

+ − + −=

+ +

( )( )x 1 x 2 .= − −

Θέμα Γ

Γ1. x 5 ή x 2< − > −

Γ2. 3 x 1− ≤ ≤

Γ3. ( ]x 2, 1∈ −

Γ4. Το τριώνυμο 22α 7α 6− + είναι θετι-

κό στα διαστήματα ( )3, , 2,2

−∞ +∞

και αρνητικό στο διάστημα 3 , 2 .2

−

Όμως, ( ] 3α 2, 1 ,2

∈ − ⊆ −∞

και

συνεπώς 22α 7α 6 0.− + >

Θέμα Δ Δ1. 2Δ λ 12λ 32= − + και Δ 0 λ 4 ή λ 8.=

Δ2. 2Δ 0 λ 12λ 32 0 λ 4,8 .

Δ3. Δ 0 λ 4 ή λ 8> ⇔ < >

και

7Ρ 0 2λ 7 0 λ .2

> ⇔ − > ⇔ >

Άρα, ( )7λ , 4 8, .2

∈ ∪ +∞


Πρόοδοι

Aκολουθίες

1. i) 3α 9= και 4α 17=

ii) 37α3

= − και 48α7

= −

iii) 3α 10= και 4α 7 10= +

iv) 317α12

= και 4577α408

= .

2. i) 1 2 3 4α 2, α 3, α 8, α 13= − = = =

και 5α 18= .

ii) ( )ν 1α 5 ν 1 7 5ν 2.+ = + − = −

Άρα, ( )ν 1 να α 5ν 2 5ν 7 5+ − = − − − =

για κάθε ν *.∈ 3. i) 1 2 3 4α 3, α 4, α 3, α 0= − = − = − =

και 5α 5.=

ii) 2α 4= − και 3α 3.= −

4. i) 1 2α 4, α 10= = και 3α 28= .

ii) ν 1 νν 1α 3 1 3 3 1++ = + = ⋅ +

και νν3α 3 3 3.= ⋅ +

Άρα, ν 1 να 3α 2+ − = − για κάθε ν *.∈

Αριθμητική Πρόοδος

5. i) να 3ν 2, ν *.= + ∈

ii) να 5ν 17, ν *.= − + ∈

6. i) 1α 5= και ω 3.=

ii) 20α 62=

iii) 8α .

7. i) 1α 3= και ω 4=

ii) 11α 43=

iii) 9α 35.=

8. i) 2α 11=

ii) α) 1α 9= και ω 2= β) κ 18.=

9. 1, 7, 13 ή 13, 7, 1.

10. 3 και 4.

11. Η σχέση ( ) ( ) ( )2 α γ β γ α β+ = + + +

είναι ισοδύναμη με τη σχέση α γ 2β.+ =

12. i) Aρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) ( ) ( )2 2 2α βγ γ αβ 2 β αγ− + − = −

ii) 1ω β α= − και

( )2 22ω β αγ α βγ= − − −

( )( )β α α β γ β α.= − + + = −

Άρα, 1 2ω ω .=

13. α 1= και β 4.=

14. i) x 0= ii) 1α 39= και ω 5.= −

iii) 12α 16.= −

15. i) 20α 58= ii) 101α 301.=

16. i) 1α 2= και ω 5.= Άρα

( )ν 1α α ν 1 ω= + −

( )2 ν 1 5= + −

5ν 3= − για κάθε ν *.∈ ii) 4α 17.=

17. i) 1α 3= − και ω 4.=

ii) 200α 793=

18. i) ω 6= και 1α 8= −

ii) 50α 286=

Aπαντήσεις: Πρόοδοι 549

19. i) 1α 16= − και ω 2= ii) Αξιοποιούμε τον τύπο ( )ν 1α α ν 1 ω.= + −

20. i) 1α 2= και ω 3= −

ii) 5 6 7α , α , α .

Γεωμετρική Πρόοδος

21. i) ν 2να 2 , ν *−= ∈

ii) ( )ν 2ν

1α 3 , ν *3

−= − ∈ .

22. i) λ 2= − ii) 11α4

=

iii) 10α 128.= −

23. i) 1λ3

= ii) 1α 12=

iii) ν ν

36α , ν *.3

= ∈

24. i) λ 2= ii) 1α 3= iii) 11α 3.072.=

25. i) 3λ2

= ii) 10243α .32

=

26. i) 2α 6= − ii) α) 1α 3= και λ 2= − β) α 1.= −

27. i) Έχουμε 1 2α 1 x, α 1 x= − + = + και 3α 5 x.= + Όμως,

22 1 3α α α=

( ) ( )( )21 x 1 x 5 x⇔ + = − + + ... x 3.⇔ ⇔ = Επομένως,

1α 1 3 2.= − + = ii) λ 2.=

28. 1α2

= − και β 1.=

29. α 3, β 1= = και 1γ .3

=

30. i) 2 1 1α γ α β α β

= +− − +

2 2

2 2αα γ α β

⇔ =− −

2 2 2α β α αγ⇔ − = − 2β αγ.⇔ = ii) Η ζητούμενη σχέση είναι ισοδύναμη με την αληθή σχέση

( ) ( )2β γ α αγ γ α .− = −

31. i) λ 2= και 1α 3= ii) 6α 96.=

32. 123α

128=

33. i) 1α 1=

ii) Έχουμε λ 2.= −


1. Βλ. σελ. 390. 2. Βλ. σελ. 390. 3. Βλ. σελ. 391. 4. Βλ. σελ. 392. 5. Βλ. σελ. 399. 6. Βλ. σελ. 399-400. 7. Βλ. σελ. 400-401. 8. Βλ. σελ. 401.



1. Λ

2. Σ

3. Σ

4. Σ

5. Λ

6. Λ

7. Λ

8. Λ

9. Λ


Θέμα Α

Α1. Βλ. Θεωρία Α2. Βλ. Θεωρία Α3. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος. Θέμα Β

Β1. 1α 3= − και ω 2=

Β2. να 21 ν 13= ⇔ =

Άρα, 13α 21.=

Β3. Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι ο αριθμός 50 είναι όρος της προόδου. Τότε έχουμε

ν55α 50 ν2

= ⇔ = (άτοπο)

Θέμα Γ

Γ1. x 3= Γ2. λ 2=

Γ3. α) 11α2

=

β) 12α 1.024.=

Θέμα Δ

Δ1. ● ν 1 να α 5.+ − =

Άρα οι αριθμοί των καθισμάτων σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω 5.=

● Έχουμε 6 1α 55 α 5ω 55= ⇔ + =

1α 30⇔ = καθίσματα.

Δ2. 35α 200= καθίσματα και

18α 115= καθίσματα.

Δ3. να 140 ν 23.= ⇔ =

Άρα, η εικοστή τρίτη σειρά. Δ4. Το ζητούμενο πλήθος της ομάδας

των τουριστών είναι ίσο με το πλήθος των καθισμάτων που υπάρ-χουν από την τρίτη μέχρι και την πέμπτη σειρά. Δηλαδή,

3 4 5α α α 40 45 50+ + = + +

135= τουρίστες.

Απαντήσεις: Bασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 551

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων


1. i) { }A 4, 2= − −

ii) { }A 2, 2= − −

iii) { }A 9, 3= − − −

iv) ( ) ( )A 0,1 1, .= ∪ +∞

2. i) { }A 2, 2= − −

ii) { }3A 0, 2= −

iii) { }A 0, 2, 3= − −

iv) 1A 1, .3

= −

3. i) { }fΑ 2, 1, 3= − −

ii) { }fΑ 1, 5= −

iii) { }fΑ 1= −

iv) f1Α , 1 .5

= −

4. i) [ ]A 0, 4= ii) [ ]A 2, 2= − iii) A = iv) [ ] [ ]A 6, 2 2, 6 .= − − ∪

5. i) [ ]A 1,5=

ii) ( ] [ )A , 4 2,= −∞ − ∪ +∞

iii) [ ]A 1, 7= − iv) ( ]A 1, 4=

6. i) ( ] [ )fΑ , 1 0,= −∞ − ∪ +∞

ii) [ )fA 1, 2=

iii) ( ) ( )fA , 2 1,= −∞ − ∪ +∞

iv) [ ) ( )fA 1, 2 2, .= ∪ +∞

7. ( ) ( )f 2 9, f 1 3,− = − =

( ) ( )f 2 6 και f 5 0.= − =

8. i) [ )A 0,= +∞ ii) x 2 ή x 4.= = 9. Έχουμε

( ) 1 1f 0 110 1

= = =+

(1)

Επίσης,

( ) ( )( )1 1 2f 1

1 2 1 2 1 2−

= =+ + −

( )22

1 2 1 2 1 21 21 2

− −= = = − +

−−,

( ) ( )( )1 2 3f 2

2 3 2 3 2 3−

= =+ + −

( ) ( )2 2

2 3 2 3 2 32 32 3

− −= = = − +

−−,

( ) ( )( )1 3 2f 3

3 4 3 2 3 2−

= =+ + −

( )2 2

3 2 3 2 3 23 43 2

− −= = = − +

−−.

Επομένως, ( ) ( ) ( )f 1 f 2 f 3+ + =

1 2 2 3 3 2= − + − + − + 1= (2) Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι ( ) ( ) ( ) ( )f 0 f 1 f 2 f 3= + + . 10. i) A = . ii) α 1= και β 2.= iii) ( )f 3 26− = − , ( )f 0 2= −

και ( )f 2 6= . iv) x 1.=

11. i) { }A 2= − . ii) x 3.=

12. i) ( ) 5 αf 1 1 1 α 31 α− −

= ⇔ = ⇔ = −+

.

ii) { }A 3= − και

( ) ( )( )x 3 2x 1f x

x 3− −

=−

για κάθε x 3.≠

iii) ( )1x , 3 3, .2

∈ ∪ +∞

13. i) { }Α 5,5= − − .


ii) ( ) ( )2 x x 5x 5 xf x

x 5 x 5−−

= =− −

για κάθε x A.∈ iii) x 15.=

14. i) ( ] { } [ )Α , 1 0 1,= −∞ − ∪ ∪ +∞

ii) { } [ )x 0 1, .∈ ∪ +∞

15. i) { }Α 1= − −

ii) x 0.= 16. i) ( ) [ ] ( ]A ,3 3,8 ,8= −∞ ∪ = −∞

ii) x 1= ή x 4.= 17. i) { }Α 2= −

ii) Π 1= − iii) ● Aν x 2,< τότε ( )f x 0 x 1.= ⇔ =

● Aν x 2,> τότε ( )f x 0 x 3.= ⇔ =

18. i) ( ) ( ) ( )2f x x x 1− = − − + − −

2x x 1= − − − , x∈ και ( ) ( ) ( )2f x 1 x 1 x 1 1− = − − + − −

( )2x 2x 1 x 1 1= − − + + − −

2x 2x 1 x 1 1= − + − + − − 2x 3x 3= − + − , x∈ . ii) ( ) ( )2f x f x 1 1− − − =

( ) ( )2 22 x x 1 x 3x 3 1⇔ − − − − − + − =

2 22x 2x 2 x 3x 3 1⇔ − − − + − + = 2x 5x 0⇔ − − = x 0⇔ = ή x 5= − .

19. i) ( ) ( ) ( )2f 2 x 2 2 x 3 2 x 1− = − − − + ii) α) x 1= β) ( ) ( )x ,1 1, .∈ −∞ ∪ +∞

20. i) ( ) ( )f 2 g 1 α 3= ⇔ = ii) Αδύνατη

iii) 1x .5

≤

21. i) ( ) ( )33

2f x x f xx

− = − − = −

για κάθε x 0≠ ii) 3x 1 ή x 2.= =


22. i) ( )B 5,3 ii) ( )Γ 5, 3− −

iii) ( )Δ 5, 3− iv) ( )Ε 3,5 .−

23. i) α 4= ii) 6Β 3, .5

24. i) α 3=

ii) [ ) ( )Α 3, 6 6, .= ∪ +∞

25. i) ( )f 2 5 α 1= ⇔ = − .

ii) Για α 1= − έχουμε ( )f 3 10.=

Άρα ( )B 3,10 .

iii) ( ) 2f x β x 1 β= ⇔ + =

2x β 1 0⇔ = − >

x β 1⇔ = ± −

26. i) Παρατηρούμε ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με το διάγραμμα το πο-λύ ένα κοινό σημείο. Άρα, το διά-γραμμα αυτό είναι γραφική παρά-σταση συνάρτησης.

ii) Παρατηρούμε ότι υπάρχει κατακόρυ-φη ευθεία η οποία έχει με το διάγραμ-μα τουλάχιστον δύο κοινά σημεία. Άρα, το διάγραμμα αυτό δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

iii) Παρατηρούμε ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με το διάγραμμα το πο-λύ ένα κοινό σημείο. Άρα, το διά-γραμμα αυτό είναι γραφική παρά-σταση συνάρτησης.

iv) Παρατηρούμε ότι υπάρχει κατακόρυ-φη ευθεία η οποία έχει με το διάγραμ-μα τουλάχιστον δύο κοινά σημεία.


Άρα, το διάγραμμα αυτό δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

27. i) [ ) ( )Α 2, 4 4, .= ∪ +∞

ii) ( )Α 2, 2− και ( )Β 6, 4 .

iii) Δεν έχει αφού ο αριθμός 0 δεν ανή-κει στο πεδίο ορισμού της συνάρτη-σης f.

28. i) ( )2, 2 .−

ii) ( )Α 1, 0 και ( )Β 0, 2 αντίστοιχα.

29. i) Πρέπει 2x α 0+ ≥ για κάθε α .∈ ii) α 4.=

30. i) ( )f 0 6 α 7.= − ⇔ = −

ii) ( ) ( )A 8,0 και Β 6,0 .−

31. i) ( ) ( )Α 2, 0 , Β 5,0 και ( )Γ 0,10 .

ii) ( )x 2,5∈ .

32. i) ( )A 0,8

ii) ( ) ( )Β 1, 0 και Γ 4, 0−

iii) ( )x 1, 4 .∈ −

33. i) α 2= − .

ii) ( ) 21, 0 , , 03

−

και ( )0, 2− .

iii) 21 x .3

− < <

34. i) α 1= . ii) ( ) 2f x x x 1 0= − + >

για κάθε x ,∈ αφού α 1 0= >

και ( )2Δ 1 4 1 3 0.= − − ⋅ = − <

35. i) ( )f 1 4 2κ 2 4 κ 3.= ⇔ − = ⇔ = ii) Για κ 3= έχουμε

( ) 2f x 3x 2x 3 0= − + > για κάθε x∈ , αφού Δ 0< και α 0.>

36. i) Έχουμε ( ) ( )f 0 0, f 2 0> < και ( )f 4 0.>

ii) H γραφική παράσταση της f έχει τρία τουλάχιστον κοινά σημεία με τον άξονα x x′ .

iii) Υπάρχουν ακριβώς δύο κοινά ση-μεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x′ τα οποία έ-χουν τετμημένες που ανήκουν στο διάστημα ( )0, 4 .

37. i) ( )Α 1, 4− και ( )Β 7,14 .

ii) ( )x 1,7 .∈

38. i) ( )A 1,3 και ( )Β 2,9 .

ii) ( ) ( )f x g x x 1 ή x 2.> ⇔ < >

39. i) 6 11A 2, και Β 3, .5 10

ii) ( ) ( )x , 2 3, .∈ −∞ ∪ +∞ 40. i) Έχουμε

( )f 0 1 1 0.= − − =

Άρα, η fC διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ii) ( )x 0, 2∈ . iii) x 4= ή x 2.= − 41. i) x 1= ή x 8=

ii) ( )x 3, 6∈

iii) ( ) ( )x 1, 3 6, 8 .∈ ∪ 42. i) x 2= − ή x 3= . ii) ( ) ( )x , 2 3, .∈ −∞ − ∪ +∞

43. i) Η εξίσωση ( )g x 0= είναι αδύνατη αν και μόνο αν α 1.=

ii) ( ) ( ) 2f x g x x 2x α 0= ⇔ + + = . Η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη, αν και μόνο αν α 1.> iii) Για α 3= − έχουμε ( ) 2f x x 2x 1= − − και ( )g x 4x 2.= − +

Οπότε ( ) ( ) ( )f x g x x 3,1< ⇔ ∈ − .

44. i) Έχουμε ( )f 2 5=

και ( ) ( ) ( )( )2f x f 2 g x 1 0≥ ⇔ − ≥

για κάθε x .∈


ii) α) ( ) ( ) ( )2f x x 1 2 x 1 6= − − − +

2x 4x 9= − + για κάθε x∈ . β) ( ) ( ) 2f x g x x 5x 10 0− = − + > για κάθε x .∈

Η Συνάρτηση f (x) = αx + β 45. i) ω 45= ° ii) ω 30= ° iii) ω 60= ° iv) ω 135 .= °

46. i) y 2x 1= − ii) y x 8.= +

47. i) y x 2= + ii) y x 1= + iii) y 1= iv) y 2x 1.= − −

48. i) 3y x 33

= − ii) y 5x 9.= −

49. i) y 4x 3= + ii) y x 2= − +

iii) y x 6= + iv) y 2=

50. i) κ 2= − ii) κ 2=

51. i) κ 0≠ και κ 1≠ − ii) Για κ 1= έχουμε 1ε : y x 2= + και 2ε :y x 3= − +

α) ● Τα σημεία τομής της ( )1ε με

τους άξονες είναι τα ( )Α 2,0− και ( )Β 0, 2 .

● Τα σημεία τομής της ( )2ε με

τους άξονες είναι τα ( )Γ 3,0 και ( )Δ 0,3 .

iii)

52. i) λ 1= .

ii)

iii) 1 14 4 2 2 62 2

⋅ − ⋅ = τ.μ.

53. i) ( )Α 6, 0− .

ii) ( )Μ 2,8− . iii) Ε 24 τ.μ.=

54. i) ( )3Α , 0 και Β 0,3α

−

ii) 9 9Ε ,2 α 2α

= = − αφού α 0<

iii) 3α .2

= −

55.

56. i)

O x

y

( )4, 0− ( )2, 0−

( )0, 2

( )0, 4

O x

y

( )Δ 4, 2−

( )Α 0,11Β , 02

−

( )Γ 3, 1−

Ο

y

x

3

41Ο

y

x

( )1ε

32

23

AB

Δ

Γ( )2ε


ii)

57. i) ( ) { x, αν x 0f x x, αν x 0.− <= >

ii) ( )2x 2, αν x 0

f x 2 , αν 0 x 12x , αν x 1.

− + <= ≤ <≥

58. i) α 2= και β 8= − .

ii) ( )x , 4 .∈ −∞

Η Συνάρτηση f (x) = αx2 + βx + γ με a≠0

59. i) Άξονας συμμετρίας ο y y′ και κορυ-

φή το ( )O 0, 0 .

ii) Άξονας συμμετρίας ο y y′ και κο-

ρυφή το ( )K 0,1 .

iii) Άξονας συμμετρίας η ευθεία x 2= και κορυφή το ( )K 2, 1 .−

iv) Άξονας συμμετρίας η ευθεία x 1= − και κορυφή το ( )K 1,9 .−

60. i) Δ > 0 (δύο κοινά σημεία) ii) Δ 0> (δύο κοινά σημεία) iii) Δ 0= (ένα κοινό σημείο) iv) Δ 0< (κανένα κοινό σημείο) 61. i) ( )Α 0, 3 .

ii) ( ) ( )Α 0,3 και Β 4, 21− .

iii) ( )1Κ 5, 22− και ( )2Κ 1, 4 .−

62. i) λ 2= . ii) H ευθεία x 2= − . iii) Το σημείο ( )K 2, 0 .−

63. i) ( ) ( ) ( ) ( )5,0 , 1,0 , 1,0 , 5,0− −

και ( )0,5 ..

ii)

64. i) α 0<

ii) β 0> και γ 0< iii) x 2= .

O x

y

( )A 0, 2 ( )B 1, 2

O x

y

Ο

y

x3 1 21

2

y

x3 3 51

4

O

5


65. i) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο ( )0,1 . Επομένως,

( ) 2f 0 1 α 0 β 0 γ 1= ⇔ ⋅ + ⋅ + =

γ 1.⇔ =

ii) To τριώνυμο ( )f x έχει δύο άνισες

πραγματικές ρίζες. Οπότε, 2Δ 0 β 4αγ 0> ⇔ − >

2 2β 4α 0 β 4α.⇔ − > ⇔ > iii) H γραφική παράσταση της f

διέρχεται από το σημείο ( )2, 0 .−

Επομένως, ( )f 2 0− =

( ) ( )2α 2 β 2 1 0⇔ ⋅ − + ⋅ − + =

4α 2β 1 02β 4α 1

1β 2α .2

⇔ − + =⇔ = +

⇔ = +

66. Η εξίσωση 2x βx γ 0+ + = έχει διακρί-νουσα αρνητική, ενώ η εξίσωση

2x βx γ 2 0+ + − = έχει διακρίνουσα θετική.

67. i) ( )Α 3, 0 και ( )Β 0,9 .

ii) γ 9.= iii) To τριώνυμο έχει μια διπλή ρίζα.

Δηλαδή, έχει διακρίνου- σα 2Δ 0 β 4αγ 0= ⇔ − =

2β 4αγ⇔ =

2β 36α,⇔ =

αφού γ 9.=

iv) ( )f 3 0 9α 3β 9 0= ⇔ + + =

3α β 3 0.⇔ + + = 68. i) Έχουμε ( ) 2f 0 2 α 0 β 0 γ 2= ⇔ ⋅ + ⋅ + =

γ 2.⇔ = ii) Παρατηρούμε ότι η γραφική

παράσταση της f διέρχεται από

τα σημεία της ευθείας y x= που έχουν τεταγμένες 1 και 2, δηλα-δή από τα σημεία ( )1, 1 και

( )2, 2 . Επομένως,

( )f 1 1 α β γ 1= ⇔ + + =

α β 2 1⇔ + + =

α β 1⇔ + = − (1) και ( )f 2 2 4α 2β γ 2= ⇔ + + =

4α 2β 2 2⇔ + + =

2α β 0⇔ + = (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) βρί- σκουμε

α 1= και β 2.= −

69. i) Έχουμε ( )f x 0≠ για κάθε x∈ .

Δηλαδή, η εξίσωση ( )f x 0=

είναι αδύνατη στο . Επομέ-νως, το τριώνυμο ( )f x έχει δια-

κρίνουσα Δ 0<

και συνεπώς διατηρεί πρόσημο στο . Και επειδή

( )f 0 2 0= − < ,

συμπεραίνουμε ότι ( )f x 0< για κάθε x∈ .

Επομένως, ( )f 100 0< .

ii) Έχουμε α β 2+ > .

Επομένως, ( )f 1 α β 2 0= + − > .

Όμως, ( )f 0 2 0= − < .


Άρα, το τριώνυμο ( )f x έχει δύο

ετερόσημες τιμές και συνεπώς έχει διακρίνουσα

Δ 0> . Οπότε, η εξίσωση ( )f x 0=

έχει ακριβώς δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Βλέπε σελ. 415.

2. Βλέπε σελ. 428.





Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους 1. Σ

2. Λ

3. Σ

4. Λ

5. Λ

6. Σ

7. Σ

8. Σ

9. Σ

10. Σ

11. Λ

12. Σ

13. Λ

14. Σ

15. Σ

16. Σ

17. Λ

18. Λ

19. Σ

20. Λ

21. Λ

22. Λ

23. Λ

24. Σ

25. Λ


Θέμα Α Α1. Bλέπε θεωρία Α2. Βλέπε θεωρία Α3. Βλέπε θεωρία α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό. Θέμα Β Β1. 2y x 4x 3= − + − Β2. y 2x 3= −

Β3. 3A , 32 =

Θέμα Γ Γ1. ( ) ( )A , 1 1,= −∞ ∪ +∞ Γ2. ● Για x 1< έχουμε

( ) ( )( )( )

x 1 x 2f x 2 x

x 1− −

= = −− −


● Για x 1> έχουμε

( ) ( )( )x 1 x 2f x x 2

x 1− −

= = −−

Γ3. ● ● Έχουμε ( )f 0 2=

και ( )f x 0 x 2.= ⇔ =

Άρα, η fC τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο ( )A 0, 2 και τον άξονα

x x′ στο σημείο ( )B 2,0 , που είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y x.=

Γ4. ( ) [ )x ,1 2,∈ −∞ ∪ +∞ (γραφικά) Θέμα Δ Δ1. ( ) 2f x 0 x 4x 5 0< ⇔ − − <

( )x 1, 5 .⇔ ∈ −

Δ2. Ισχύει ( )g x 0> για κάθε x .∈ Δ3. Έχουμε ( ) ( ) ( )2f x g x x 2 9 2 x 2 6= ⇔ − − = − +

2x 2 2 x 2 15 0.⇔ − − − − =

Θέτοντας x 2 ω− = , η παραπάνω εξί- σωση γράφεται

2ω 2ω 15 0 ω 3 ή ω 5.− − = ⇔ = − = Δηλαδή: ● x 2 3− = − , αδύνατη ή

● x 2 5 x 3 ή x 7.− = ⇔ = − =

Άρα, τα κοινά σημεία των fC και gC

είναι τα ( )A 3, 16− και ( )B 7, 16 .

y

•

•

x

1

11−

O

( )A 0, 2

( )B 2, 0

Απαντήσεις: Θέματα για Επανάληψη 559

Θέματα για Επανάληψη

1. i) ( )α β 2 α β+ = − και γ δ 3δ.− =

ii) 4Π .3

=

2. i) 1− ii) Από το ερώτημα i) θέτοντας

x 2011= και y 1= .

3. i) Έχουμε 2α 1 αβ και α 0− = ≠ .

Οπότε

2α 1 αβ 1α β.α α α−

= ⇔ − =

ii) ● 2 22

1α β 2.α

+ = +

● 3 33

1α β 3βα

− = + .

● ( )24 24

1α β 2 2.α

+ = + −

iii) Έχουμε

4 22 4

3 1 5Α 5α α 3αα α α

= − − + − +

4 24 2

1 1 15 α α 3 αα α α

= + − + − −

Όμως, για β 1= έχουμε

22

1 1α 1, α 3α α

− = + =

και 44

1α 7.α

+ =

Επομένως,

Α 5 7 3 3 29.= ⋅ − − =

4. i) Έχουμε

2γ α λβ2α β λγ2β γ λα

− =− =− =

Από τις παραπάνω σχέσεις προ-σθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε

( )α β γ λ α β γ λ 1+ + = + + ⇔ = αφού α β γ 0.+ + ≠ ii) Έχουμε

2γ α 1 2γ α ββ−

= ⇔ − =

α β 2γ.⇔ + = iii) Aπό το ερώτημα ii) προκύπτει

( )2 2α β 4γ .+ = Ομοίως ( )2 2β γ 4α+ = και ( )2 2γ α 4β .+ = Κατόπιν προσθέτουμε κατά μέλη

τις παραπάνω ισότητες. iv) Έχουμε ( ) ( ) ( )2 2 2α β β γ γ α+ + + + +

( )2 2 24 α β γ= + +

2 2 22α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα 0⇔ + + − − − =

( ) ( ) ( )2 2 2α β β γ γ α 0⇔ − + − + − = α β 0⇔ − = και β γ 0− = και γ α 0− = α β γ.⇔ = =

5. i) 1 1 1 1α β γ+ + =

αβ βγ γα 1αβγ+ +

⇔ =

αβ βγ γα αβγ.⇔ + + =

ii) ( )2α β γ+ +

2 2 2α β γ 2αβ 2βγ 2γα= + + + + +

2 2 2 21 α β γ⇔ = + + +

( )2 αβ βγ γα+ + +

2 2 21 α β γ 2αβγ⇔ = + + +

2 2 2α β γ 1 2αβγ.⇔ + + = −

iii) 2 2 2α β γ 0.+ + ≥


6. i) xy 0

2 2x y 2 x y 2xyy x

>

+ ≥ ⇔ + ≥

2 2x y 2xy 0⇔ + − ≥

( )2x y 0⇔ − ≥ , ισχύει. ii) H ζητούμενη σχέση γράφεται

α β β γ γ α 6γ γ α α β β+ + + + + ≥

α γ β γ β α 6γ α γ β α β

⇔ + + + + + ≥

και αξιοποιούμε το ερώτημα i). 7. i) Έχουμε α β γ= − − . Οπότε

( )22α 4βγ β γ 4βγ≥ ⇔ − − ≥

( )2β γ 0,⇔ − ≥ που ισχύει.

ii) Aξιοποιούμε την ταυτότητα ( )2α β γ+ +

2 2 2α β γ 2αβ 2βγ 2γα.= + + + + +

iii) Παρατηρουμε ότι ( ) ( ) ( )α β γ α β γ α β γ− + + + + − + − +

α β γ 0= + + =

και αξιοποιούμε το ερώτημα i).

8. i) Έχουμε

( ) ( )( )32 4x 1 8 2 x 3 x 1+ + ≥ + +

( )( ) ( )( )2 4 4x 3 x 3 2 x 3 x 1 0⇔ + + − + + ≥

( )( )24x 3 x 1 0,+ − ≥ που ισχύει.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν x 1.=

ii) Aπό τη σχέση του ερωτήματος i) για x α β 1= − − παίρνουμε

( )32α β 1 1 8 − − + +

( ) ( )42 α β 1 3 α β 1 1 ≥ − − + − − +

( ) ( )42 α β α β 1 3 . = − − − +

9. i) Έχουμε α 3 0− > και β 5 0.− <

Οπότε

α 3 α 3− = − και β 5 β 5.− = − +

ii) Έχουμε Π 2 α β= = − . Όμως, 3 α 6< < και 5 β 4.− < − < − Οπότε 2 α β 2.− < − <

10. i) ( )2 2 2 23α 12β 3 α 4β− = −

( )( )3 α 2β α 2β= − +

3 α 2β α 2β= − ⋅ + 3 2 4 24= ⋅ ⋅ = .

ii) 4β α 2β 4β1α 2β α 2β

− ++ =

− −

α 2βα 2β+

=−

α 2βα 2β+

=−

4 22

= = .

iii) ( ) ( )2α α 2β α 2β .= − + + iv) Yψώνουμε τις δοθείσες σχέσεις στο τετράγωνο

11. i) Έχουμε

1 1 1 1 1 12x y x y x y− = − ⋅ +

1 1 1 ,x y 2

⇔ + = αφού 1 1 0.x y− ≠

Όμως, 1 1 0.x y+ >

ii) Έχουμε

1 1 1 1 1 x 2.x y x 2 x+ > ⇔ > ⇔ >

iii) Aν x 4,= τότε λόγω του ερωτή-ματος i) προκύπτει και y 4= που είναι αδύνατο, αφού y x.>

iv) Έχουμε

1 1 1 1 x 2 2xy .x y 2 y 2x x 2

−+ = ⇔ = ⇔ =

−

Οπότε, η ζητούμενη σχέση γράφεται

( )22xx 16 2x 16 x 2 ,x 2

> ⇔ > −−

αφού x 2 0− > ( )2x 8 x 2⇔ > −

2x 8x 16 0⇔ − + > ( )2x 4 0⇔ − > που ισχύει.


12. i) Έχουμε

βαx 2 αβx

+ ≥

( )2αx 2 αx β β 0⇔ − + ≥

( )2αx β 0.⇔ − ≥

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν αx β 0− = αx β⇔ =

β βx .

αα⇔ = =

ii) Από το ερώτημα i) για α 1,= β 25= και x y= παίρνουμε

25y 2 25 10y

+ ≥ = .

Επίσης, για 1α 4, β16

= = και

x z= παίρνουμε

1 14 z 2 4 1.16 z 16

+ ≥ ⋅ =

Οπότε,

25 1y 4 z 11y 16 z

+ + + ≥

και λόγω της σχέσης του ερωτήμα-

τος ii) έχουμε

25 1y 4 z 11.y 16 z

+ + + =

Αξιοποιώντας εκ νέου το ερώτημα

i) παίρνουμε

25y 51

= = και 1 1z .64 8

= =

13. i) Έχουμε

2α β 0 και Δ 0− ≠ = .

Δηλαδή,

2α β 0− ≠ και ( )2α β 0− = .

ii) 2

1x 0 ή x .α

= =

14. i) x 6 ή x 2= − =

ii) Έχουμε

2

α α4 12 0β β

+ − =

α 6β

⇔ = − ή α 2β=

Όμως, ααβ 0 0.β

> ⇔ >

Άρα, α 2.β=

15. i) Οι εξισώσεις (1) και (2) έχουν

διακρίνουσα 2Δ β 4αγ 0.= − >

ii) α) Με απαγωγή σε άτοπο. β) 2αρ βρ γ 0+ + =

2

2

αρ βρ γ 0ρ+ +

⇔ =

2

1 1γ β α 0.ρ ρ

⇔ + + =

16. i) Έχουμε ( )2Δ 16 4λ 4 64 λ 0= − = − > .

ii) α) 1 2x 14 και x 30= = −

β) λ 420.= −

17. i) 2Δ 8λ 4 0= + > για κάθε λ .∈

ii) 1 2x x 2λ+ = και 21 2x x λ 1= − −

iii) λ 1.= −

18. i) ( ) ( )2Δ 4 κ 1 4 3 2κ 1= + − ⋅ −

( )24 κ 2 0= − > για κάθε κ 2≠ .

ii) 1 2 1 2x x x x+ −

( )2 κ 1 2κ 13 3+ −

= −3 13

= = .


iii) 1κ2

= .

19. i) Έχουμε ( ) ( )2 2Δ 0 2λ 4 λ 4λ 5 0> ⇔ − − − >

16λ 20 0⇔ + >

5λ .4

⇔ > −

ii) α) λ 1= . β) 1x 4= − και 2x 2.=

20. i) Δ 4 0.= > ii) 1x λ= και 2x λ 2.= −

iii) [ )λ 1, 5 .∈

21. i) x 2 ή x 0= = .

ii) 3 x 5− < < .

iii) x 0= ή 2x3

= .

iv) A x 2= + και B 2x 2.= +

22. i) 11ρ3

= − και 21ρ .2

=

ii) x 3= ή x 1= .

iii) 4 x 8− < < .

23. i) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )2 2 2 2

3 3 2 2 3 2α .

3 2 3 2

+ −= −

− −

ii) x 6= ή x 6= − .

iii) x 0≤ ή x 10.≥ 24. i) Έχουμε 2 3 2 2ρ 2ρ λ ρ λ ρ 2λ+ + = − −

( ) ( )2 2λ 2 ρ λ λ 2⇔ + = − +

ρ λ.⇔ = − ii) Έχουμε 2 3ρ 2ρ λ 0+ + = 2 3λ 2λ λ 0⇔ − + =

( )2λ λ λ 2 0⇔ + − =

λ 0 ή λ 1 ή λ 2.⇔ = = = −

iii) ● για λ 0= έχουμε x 2Κx+

=

● για λ 1= έχουμε x 1Κx 2+

=−

● για λ 2= − έχουμε x 4Κ .x 2+

=−

25. i) 2Δ 9λ 4= −

ii) 2λ3

≤ − ή 2λ3

≥

iii) λ 1= −

26. i) α) α 2 1 1 α 2 1− < ⇔ − < − <

1 α 3.⇔ < < β) Το τριώνυμο 2β 7β 10− + έχει

ρίζες τους 2 και 5, οπότε γίνεται αρνητικό στο διάστημα ( )2, 5 .

ii) Έχουμε Π 2α 2β= + και Ε α β.= ⋅

27. i) Δ 0 λ 2< ⇔ > . ii) Δ 0 λ 2> ⇔ < . iii) Έχουμε Δ 0> και 2Ρ 2S.< Τελικά 1 λ 2.− < <

28. i) 1x 3,2

∈ −

.

ii) x 0= .

iii) A 2.= −

29. i) λ 8≤ − ή λ 0≥ . ii) λ 6= . iii) [ )λ 0, 11 .∈

30. i) ( )2Δ λ 2 0= − ≥ για κάθε λ∈ .

ii) 2S λ 4 0= − + < . iii) ( ) ( )λ 0, 2 2,∈ ∪ +∞ .

iv) ( )λ 0,1∈ .

31. i) x −∞ 2− 4 +∞ 2x 2x 8− − + − +

Απαντήσεις: Θέματα για Επανάληψη 563 ii) Έχουμε

2223 223Α 2 8111 111

= − − − −

και 223 2.111

− < −

iii) Έχουμε ( )ω 4, 4 ω 4.∈ − ⇔ <

Δηλαδή 0 ω 4.≤ <

Παρατηρούμε ότι 22ω 2 ω 8 ω 2 ω 8− − = − −

και αξιοποιούμε το ερώτημα i).

32. i) λ 0< ή λ 4> . ii) λ 0< . iii) λ 4≥ . 33. i) x 2= . ii) ω 2= − .

iii) α) 1α 5= . β) 4α .

34. i) 2Α Β Γ 14− + < 2x 2x 3 0 3 x 1.⇔ + − < ⇔ − < < ii) α) Έχουμε 22B A Γ x x 2 0= + ⇔ − − = x 1⇔ = − ή x 2= x 1,⇔ = − αφού ( )x 3,1 .∈ −

β) 1α 10= − και ω 6= .

γ) 61α 350.=

35. i) Έχουμε

( ) ( )2 2x 7x x 3

5x 12

+ + ++ =

2β α γ⇔ = + ii) x 1= και ω 2=

ή 1x2

= και 5ω .4

=

iii) 1α 7= − ή 119α .4

= −

36. i) 300 1α α 299ω= +

και 100 1α α 99ω.= +

ii) α) ω 6= και ( )ν 1α α ν 1 ω.= + −

β) 12α 71= γ) 16 όροι

37. i) ( )2 2α β αβ 30 αβ α β 30.+ = ⇔ + =

ii) 2x 5x 6 0− + =

iii) 57 11α α 56ω 0 56 282

= + = + ⋅ =

38. i) Έχουμε 11 8α α 12− =

( ) ( )1 1α 10ω α 7ω 12⇔ + − + =

ω 4⇔ = και 5 6α α 40+ = 12α 9ω 40⇔ + =

1 12α 4 α 2.⇔ = ⇔ = ii) Mε απαγωγή σε άτοπο iii) 2β α 6= = και 3γ α 10.= =

39. i) 2 2 2Δ β 4αγ β 4β= − = − 23β 0.= − < ii) Έχουμε

2

22

Δβαx βx γ α x2α 4α

+ + = + +

Όμως, β λα= και

22

2 2

Δ 3β 3 λ .4α 4α 4

= =

iii) Από τις σχέσεις 2β αγ= και γ 0> συμπεραίνουμε ότι α 0.> Και επειδή Δ 0< , το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε x .∈

40. i) Από τη δοθείσα σχέση βρίσκουμε ότι 4 2λ λ 12 0.− − =

ii) α) 11α4

=

β) ν 1

ν

β 1β 2+ = −


γ) 71β

16= .

41. i) 20 15α 243α λ 3= ⇔ = και 3 1α 45 α 5.= ⇔ =

ii) Αξιοποιούμε τον τύπο ν 1ν 1α α λ .−=

iii) Με απαγωγή σε άτοπο. 42. i) Έχουμε ( ) 2f x α x 4x 9 α 0.= ⇔ − + − =

Επίσης ( )Δ 16 4 9 α 4α 20.= − − = −

Οπότε Δ 0 α 5.≥ ⇔ ≥

ii) ( ) ( )2f x 5 x 2 0.≥ ⇔ − ≥

iii) ( ] [ )x , 1 3, .∈ −∞ ∪ +∞

43. i) λ 4> . ii) x 0= ή x 6.= −

44. i) α 1= . ii) { }Α 0, 1= − . iii) x 1.= − 45. i) { }A 0, 2= − −

ii) ( ) ( )( )( ) ( )

2x x 1 x 2f x x x 1

x x 2− +

= = −+

iii) x 3.=

46. i) { }Α 3, 3= − − .

ii) ( ) ( )( )( )( )2x 1 x 3 2x 1f xx 3 x 3 x 3− − −

= =+ − +

.

iii) x 4= ή 2x .3

= −

47. i) { }A 2, 2= − − .

ii) ( )2x 3 x 2

f xx 2− +

=−

( )( )x 1 x 2

x 1.x 2

− −= = −

−

iii) Θέτουμε ( )( )3f x 2 ω.− =

Οπότε ω 1= − ή ω 8.=

Επομένως: ● ( )( )3

f x 2 1− = −

( )3x 3 1⇔ − = −

x 3 1⇔ − = −

x 2,⇔ = αδύνατο.

● ( )( )3f x 2 8− =

( )3x 3 8⇔ − =

x 3 2⇔ − = x 5.⇔ = ± 48. i) [ ]x 1,2∈ . ii) Έχουμε

2

2

α 21 2α 1+

< ≤+

2 2 2α 1 α 2 2α 2⇔ + < + ≤ + 21 2 α 2⇔ < ≤ + που ισχύει για κάθε α .∈

iii) Συγκρίνουμε τα τετράγωνα των αριθμών. Έχουμε

22

22

α 2f 1α 1

+− +

22 2

2 2

α 2 α 23 2 0α 1 α 1

+ += − + ≤ + +

λόγω των ερωτημάτων i) και ii). Επομένως,

2

2

α 2f 1.α 1

+≤ +

49. i) [ )2x , 1,3

∈ −∞ ∪ +∞ .

ii) ( ) ( )( )( )f 5 f 2 13 6+ − −

( )( )2 13 6 13 6= + −

( )( )214 f 3 .= =

50. i) ( ) ( ) ( ) ( )Α 1,0 , B 1,0 , Γ 2,0 , Δ 2, 0− −

και ( )Ε 0, 2 .

ii) ( )f 1 2 8 5 2− = −

iii) 2 x 2.− ≤ ≤


51. i) { }fΑ 0,2= − και gA ∗= . ii) ( )f 3 1 α 2.= ⇔ =

iii) α) ● ( )f x 0 x 6.= ⇔ =

Άρα, η fC τέμνει τον άξονα x x′ στο σημείο ( )A 6,0 .

● f0 A .≠ Επομένως, η fC δεν έχει κοι-

νό σημείο με τον άξονα y y.′

β) ( ) ( )f x g x=

2 3 1 1x 2 x x

⇔ − = +−

2 4 1 0x 2 x

⇔ − − =−

( )

2x 8 0x x 2− +

⇔ =−

x 8.⇔ = ±

52. i) Πρέπει 24x 12x 3κ 0− + ≥ για κάθε x∈ . Oπότε Δ 0 κ 3≤ ⇔ ≥ . ii) α) ( )f 0 3= .

β) ( ) ( )2f x 2x 3= − .

γ) [ ]x 1, 2∈ .

53. i) ( )f 2 20= .

ii) ● ( ) ( )f x 0 x 3, 6> ⇔ ∈ − .

● ( )f x 0<

( ) ( )x , 3 6, .⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ iii) Έχουμε

2π 3, π 3,− < − − < − 3 π 6, 2π 6− < < >

και αξιοποιώντας το ερώτημα ii) συμπεραίνουμε ότι Α < 0.

54. i) μ 4= . ii) η εξίσωση ( ) ( )f x g x= έχει μονα-

δική ρίζα. Τελικά μ 1= − . iii) Iσχύει ( ) ( )f x g x> για κάθε x∈ , αν και μόνο αν μ 1.> −

55. i) [ ]Α 5,5= − .

ii) Έχουμε 5 x 5.− ≤ ≤ Επομένως,

2x 10 0− ≤ και 2x 11 0+ > .

Οπότε,

42x 210 42 x 5

2x 10 2x 11 10 2x 2x 11− −

=− + + − + +

42 x 5

2 x 5 .21−

= = −

iii) ( ) 2f x 0 25 x 2 x 5= ⇔ − = −

( )2225 x 4 x 5⇔ − = −

2x 8x 15 0⇔ − + = x 3 ή x 5.⇔ = =

Άρα, η fC τέμνει τον άξονα x x′ στα σημεία ( )3,0 και ( )5,0 και

τον άξονα y y′ στο σημείο ( )0, 5−

αφού ( )f 0 5 10 5.= − = −

56. i) Δ 0< και α 0.>

ii) α) ( ) 5Α 1, 4 , Β , 112

−

.

β) 5x 1,2

∈ −

.

57. i) ( ) ( )Α ,1 4,= −∞ ∪ +∞ .

ii) ( ) ( )B 6, 0 , Γ 0, 3− .

iii) 1y x 3.2

= −

58. i) y 2x 4= − + . ii) y 2x 6= − + . iii) ( )Δ 3, 0 .

iv) ( ) ( )Ε ΟΓΔ ΟΑΒ= −

1 13 6 2 4 52 2

= ⋅ − ⋅ = τ.μ.

59. i) α) λ 2= . β) λ 1= − . ii) α) Έχουμε ( )212 4 λ λ 12− = − − +


2λ λ 6 0⇔ − − = λ 2 ή λ 3.⇔ = − = β) λ 2= − . 60. i) y x= . ii) Aξιοποιούμε τον ορισμό της

απόλυτης τιμής. iii)

iv) x 2< − ή 0 x 2< < (γραφικά) 61. i) Έχουμε ( ) ( )f 2 5 f 1+ = − 4α 5 α α 1.⇔ + = − ⇔ = − ii) Έχουμε

( )2

2

x 0x ,f x

x , x 0

<= − ≥

και

iii) y x.= − iv) ( ) ( )x 1, 0 1,∈ − ∪ +∞ (γραφικά).

62. i) ( ]A , 3 .= −∞

ii) α 2= − και β 3= . iii)

iv) x 0= ή 3x .2

=

63. i) Για κ 0= έχουμε ( )f x x 2= + .

Η fC είναι ευθεία που τέμνει τον άξονα x x′ στο σημείο ( )2, 0− και

τον άξονα y y′ στο σημείο ( )0, 2 .

ii) 3κ2

= −

και ( )4x , 1, .3

∈ −∞ − ∪ +∞

iii) κ 1 0= > και Δ 4 0.= − <

64. i) Έχουμε 3Δ 0 64 8α 0 α 2.

ii) ( )Α 2, 0 .

iii) ( )Β 0,8 . 65. i) Το τριώνυμο 2x 6x α− + έχει

διακρίνουσα Δ 0.=

2

1 22 1

2

Ο

y

x

A

By x

fC

y

xΟ1

11

1

A

B

2y x

2y x

y

xΟ

fC

2

2

y

xΟ

1 3

3

1


ii) ( )A 4, 49− και ( )B 2, 1 .

iii) ( )x 4, 2∈ − .

66. i) α 2, β 2= − = − και γ 4.=

ii) 1 9Κ , .2 2

−

67. i) ( )f 0 0= και ( )f 4 8= .

ii) Παραβολή με χαμηλότερο σημείο την κορυφή ( )K 1, 1− .

iii) ( ] [ )x , 0 2,∈ −∞ ∪ +∞ .

iv) x 3= − ή 1 10x .3

−=

Βιβλιογραφία 569

Βιβλιογραφία

Π. Βασιλειάδης, «Άλγεβρα Α΄ Λυκείου» (Φροντιστήρια Βασιλειάδη)

Θ. Καζαντζής, «Άλγεβρα».

Σ. Κανέλλος, «Άλγεβρα».

Π. Μάγειρας, «Αλγεβρικά Θέματα».

Δ. Κοντογιάννης «Άλγεβρα».

Δ. Γεωργακίλας, «Άλγεβρα» (Τομή).

Α. Πάλλας, «Μεγάλη Άλγεβρα».

Χ. Σιωζόπουλος, «Άλγεβρα Α΄ Λυκείου» (Ζήτη)

Π. Τόγκας, «Άλγεβρα» (Τόγκας).

Περιοδικά

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΤΟ φ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΗΜΑ ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΟΚΙΜΙΑ ΚΒΑΗΜ KVANTUM CRUX THE AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLY THE MATHEMATICAL GAZETTE THE COLLEGE MATHEMATICS JOURNAL ELEMENTE DER MATHEMATIK THE MATHEMATICS TEACHER

Βιβλιογραφία 571

Λύσεις Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου

Επιμέλεια:

Δημήτρης Αϊβάτογλου


«Ένα δυνατό μυαλό στα είκοσί του χρόνια μπορεί να ασχολείται με τα Μαθηματικά, στα τριάντα με τη φιλοσοφία και στα σαράντα με την πολιτική.»

Bernard Russell

Κεφάλαιο 2: Οι πραγματικοί αριθμοί 573

Κεφάλαιο 2 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2.1. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Ασκήσεις Α΄ Ομάδας

1. i) ( ) ( )( )

( )3 33 3

2 4 42 3 3 4 321 12 3

x 1 xΑ x y xy : x yy yx y

−−

− −

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )

( )( )

33 4 12 9 12 94 12 9 9

2 2 3 4 6 3 32 3 1

x1 x y x y xx y x y .x y y yx y y −−

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅

⋅ ⋅⋅

ii) Για x 2010= και 1y2010

= η παράσταση γίνεται

( )9 9

9 91 1A 2010 2010 1 1.2010 2010

= ⋅ = ⋅ = =

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 21 3 7 2 1 3 7 2 2 3 7A x y : x y x y x y x y x y

−− − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 5 5 2 102 3 2 7 5 5x y x y x y x y x y .⋅+ − + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Eπομένως, για x 0,4= και y 2,5= − , η παράσταση γίνεται

( ) ( ) ( )10 10 10A 0,4 2,5 1 1 1.= ⋅ − = − = =

3. i) ( ) ( )2 21001 999 1001 999 1001 999 2 2000 4000.− = − ⋅ + = ⋅ =

ii) ( ) ( ) 2 299 101 100 1 100 1 100 1 10000 1 9999.⋅ = − ⋅ + = − = − =

iii) ( ) ( ) ( )( )2 27, 23 4,23 7,23 4,23 7,23 4,23 11,46 3 3.11,46 11,46 11,46− + − ⋅

= = =

4. i) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2α β α β α 2αβ β α 2αβ β+ − − = + + − − + 2 2 2 2α 2αβ β α 2αβ β 4αβ.= + + − + − =

ii) Από το προηγούμενο ερώτημα για 999α

1000= και 1000β

999=

έχουμε 2 2999 1000 999 1000 999 10004 4 1 4.

1000 999 1000 999 1000 999 + − − = ⋅ ⋅ = ⋅ =


5. i) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2α α 1 α 1 α α 1 α α 1 1.− − + = − − = − + = ii) Παρατηρούμε ότι

( ) ( ) ( ) ( )2 21,3265 0,3265 2,3265 1,3265 1,3265 1 1,3265 1 .− ⋅ = − − ⋅ + Οπότε, για α 1,3265= σύμφωνα με το ερώτημα i) η τιμή της παράστασης είναι 1. 6. Έστω ν και ν 1+ δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Ζητείται να αποδείξουμε ότι

( ) ( )2 2ν 1 ν ν 1 ν+ − = + + . Έχουμε

( ) ( )2 2 2 2ν 1 ν ν 2ν 1 ν 2ν 1 ν ν 1 ν 1 ν.+ − = + + − = + = + + = + +

7. ( )ν ν 1 ν 2 ν ν ν 2 ν ν ν ν ν2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 4 2 7 2+ ++ + = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = + + ⋅ = ⋅ .

Ασκήσεις Β΄ Ομάδας

1. i) ( )

( )( )223 2 2

2

α α 2α 1 α 1α 2α α α 2α 1 α 1.α α α α 1 α 1 α 1

− + −− + − += = = = −

− − − −

ii) ( ) ( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

2

2

α α 2α 2 α α 1 2 α 1 α 1 α 2 α 2 .α 1 α 1 α 1 α 1 α 1 α 1

− + − − + − − + += = =

− − + − + +

2. i) ( )

( )( )

22 23 2 2

3 3

α α 1α α1 α 1αα αα 1 α 1

++ − − ⋅ = ⋅ + +

( )( )( )

( ) ( )( )

( )2 2 22

2

2 22

α 1 α 1 α 1 α 1α α 1 .α α 1 α 1

− + − ⋅ + = ⋅ = = −+ +

ii) ( )( )( )( )

2 2 2

3 2

α 1 α 1α α 1 α 1 α α 1 1.α 1 α 1 α 1 α 1 α α 1

− ++ + − + +⋅ = ⋅ =

+ − + − + +

3. i) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

22 2 21 1 1 1 y xx y x y x y x yx y x y

− −−− − +

+ ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )( )

2 22 2 2 2

2

x yx yx y x y x y .x y x y

⋅ ⋅= + ⋅ = + ⋅ = ⋅ + +

ii) 1 1

2 22 2

2 2 2 2

1 1 y xx y x y x y x yx y x y

1 1 y xx y x y x y x yx y x y

− −

− −

−−

+ − + + ⋅⋅ = ⋅ = ⋅

−− − − −−⋅

( )( )( )

2 2y x x yx y xy .x y x y y x x y x y

− ⋅+= ⋅ =

− ⋅ − + −

4. ( )( )

( )( )( )2 2 23 3 2 2 2

2 2 2 2

x y x xy y x y x yx y x x xy y x y: y : 1.x y x y x y x y x y x y x xy y

+ − + − − + − + −− = = ⋅ = − − − + − − − +


5. i) Έχουμε α β γ .β γ α= =

Επομένως, α β γ α β γ 1.β γ α β γ α

+ += = = =

+ +

Δηλαδή, α 1β= και β 1

γ= και γ 1

α=

ή ισοδύναμα α β= και β γ= και γ α= .

Tελικά α β γ.= =

Άρα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. ii) Θέτουμε

α β β γ γ α κ.− = − = − = Δηλαδή,

α β κβ γ κγ α κ.

− =− =− =

Από τις τρεις τελευταίες ισότητες προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 0 3κ κ 0.= ⇔ =

Επομένως, α β 0β γ 0γ α 0

− =− =− =

και συνεπώς α β γ.= =

Άρα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. 6. Έστω x και y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Έχουμε

L 2x 2y= + και E xy= . Όμως, από την υπόθεση έχουμε

L 4α= και 2Ε α .= Επομένως, 2x 2y 4α x y 2α y 2α x+ = ⇔ + = ⇔ = − (1) και 2xy α .= (2) Η σχέση (2) λόγω της (1) γράφεται

( ) 2 2 2 2 2x 2α x α 2αx x α x 2αx α 0− = ⇔ − = ⇔ − + =

( )2x α 0 x α 0 x α.⇔ − = ⇔ − = ⇔ =


Οπότε, από την (1) προκύπτει ότι y 2α α α.= − =

Τελικά, x y α.= =

Δηλαδή, το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. 7. i) Aς υποθέσουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι α β ρ .+ = ∈ Οπότε β ρ α,= − που είναι

άτοπο αφού ο β είναι άρρητος, ενώ ο ρ α− είναι ρητός ως διαφορά ρητών. Επομέ-νως, ο αριθμός α β+ είναι άρρητος.

ii) Ας υποθέσουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι α β ρ⋅ = ∈ . Οπότε ρβ ,α

= που είναι άτο-

πο αφού ο β είναι άρρητος ενώ ο ρα

είναι ρητός ως πηλίκο ρητών. Επομένως, ο

αριθμός α β⋅ είναι άρρητος.

2.2. Διάταξη πραγματικών αριθμών

Ασκήσεις Α΄ Ομάδας 1. i) ( )22 2α 9 6α α 6α 9 0 α 3 0,+ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ που ισχύει.

ii) ( ) ( )22 2 2 2 2 22 α β α β 2α 2β α 2αβ β+ ≥ + ⇔ + ≥ + +

2 2 2 2 2 22α 2β α 2αβ β 0 α 2αβ β 0⇔ + − − − ≥ ⇔ − + ≥

( )2α β 0,⇔ − ≥ που ισχύει. 2. Έχουμε

( )22 2 2 2 2α β 2α 1 0 α 2α 1 β 0 α 1 β 0,+ − + ≥ ⇔ − + + ≥ ⇔ − + ≥ που ισχύει, διότι

( )2α 1 0− ≥ και 2β 0.≥ Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν

α 1= και β 0.= 3. i) Έχουμε

( ) ( )2 2x 2 y 1 0 x 2 0− + + = ⇔ − = και y 1 0+ = x 2 και y 1.⇔ = = −

ii)

2 2 2 2x y 2x 4y 5 0 x 2x y 4y 5 0+ − + + = ⇔ − + + + =

( ) ( )2 22 2x 2x 1 y 4y 4 0 x 1 y 2 0⇔ − + + + + = ⇔ − + + = x 1 0⇔ − = και y 2 0+ = x 1⇔ = και y 2.= −


4. Γνωρίζουμε ότι 4,5 x 4,6< < (1) και 5,3 y 5,4< < (2) i) Από τις (1) και (2), προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

4,5 5,3 x y 4,6 5,4 9,8 x y 10+ < + < + ⇔ < + < . ii) Aπό τη (2) προκύπτει ότι 5, 4 y 5,3− < − < − (3) Από τις (1) και (3), προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

( ) ( ) ( )4,5 5,3 x y 4,6 5,3 4,5 5,4 x y 4,6 5,3+ − < + − < + − ⇔ − < − < − 0,9 x y 0,7.⇔ − < − < −

iii) Έχουμε

1 1 1 1 1 15,3 y 5,45,3 y 5,4 5,4 y 5,3

< < ⇔ > > ⇔ < < (4)

Οπότε, από τις ανισότητες (1) και (4) προκύπτει ότι 1 1 1 4,5 x 4,6 5 x 464,5 x 4,6 .

5,4 y 5,3 5,4 y 5,3 6 y 53⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ < < ⇔ < <

Τα μέλη των ανισοτήτων (1) και (2) είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, 2 2 24,5 x 4,6 4,5 x 4,6< < ⇔ < < και 2 2 25,3 y 5,4 5,3 y 5,4< < ⇔ < < . Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

2 2 2 2 2 2 2 24,5 5,3 x y 4,6 5,4 20,25 28,09 x y 21,16 29,16+ < + < + ⇔ + < + < + 2 248,34 x y 50,32.⇔ < + <

5. Το νέο πλάτος είναι x x 0,2′ = + και το νέο μήκος είναι y y 0,1.′ = − Έχουμε 2 x 3 2 0,2 x 0,2 3 0,2< < ⇔ + < + < + 2,2 x 3,2′⇔ < < και 3 y 5 3 0,1 y 0,1 5 0,1< < ⇔ − < − < − 2,9 y 4,9.′⇔ < < i) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι Π 2x 2y .′ ′= + Έχουμε λοιπόν 2, 2 x 3,3 2 2,2 2x 2 3,2′ ′< < ⇔ ⋅ < < ⋅ 4,4 2x 6,4′⇔ < < (1) και 3,1 y 5,1 2 2,9 2y 2 4,9′ ′< < ⇔ ⋅ < < ⋅ 5,8 2y 9,8′⇔ < < (2) Από τις (1) και (2), προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει

4, 4 5,8 2x 2y 6,4 9,8 10,2 2x 2y 16,2′ ′ ′ ′+ < + < + ⇔ < + < 10,2 Π 16,2.⇔ < < ii) Το εμβαδό του νέου ορθογωνίου είναι

Ε x y .′ ′= ⋅ Από τις ανισότητες

2, 2 x 3,2′< < και 2,9 y 4,9′< < προκύπτει ότι

2, 2 2,9 x y 3,2 4,9 6,38 x y 15,68′ ′ ′ ′⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ < < 6,38 E 15,68.⇔ < <


6. Έχουμε α 0≥ και β 0.> Επομένως, 1 α 0+ > και 1 β 0.+ >

Άρα, ( )( )1 α 1 β 0+ + >

και συνεπώς η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

( )( ) ( )( ) ( ) ( )α β1 α 1 β 1 α 1 β α 1 β β 1 α1 α 1 β

+ + < + + ⇔ + < ++ +

α αβ β αβ α β⇔ + < + ⇔ < , που ισχύει από την υπόθεση. 7. Το λάθος βρίσκεται στη συνεπαγωγή

( ) ( )( )x 5 x 5 x 5 x x 5 x− > + − ⇒ > +

διότι ο αριθμός 5 x− είναι αρνητικός ( )αφού x 5> και συνεπώς έπρεπε να αλλάξει φορά η ανίσωση.

Ασκήσεις Β΄ Ομάδας 1. Οι αριθμοί α, β και γ είναι θετικοί. Επομένως:

i) ( ) ( )α γ α β α γ α β γ αβ βγ αβ αγβ γ β+

> ⇔ + > + ⇔ + > ++

αβγ αγ β α 1,β

⇔ > ⇔ > ⇔ < που ισχύει.

ii) ( ) ( )α γ α β α γ α β γ αβ βγ αβ αγβ γ β+

< ⇔ + < + ⇔ + < ++

αβγ αγ β α 1,β

⇔ < ⇔ < ⇔ > που ισχύει.

2. α β 1 αβ α β 1 αβ 0 α αβ β 1 0+ > + ⇔ + − − > ⇔ − + − > ( ) ( ) ( )( )α 1 β 1 β 0 1 β α 1 0,⇔ − − − > ⇔ − − > που ισχύει διότι 1 β 0− > , αφού 1 β> και α 1 0− > , αφού α 1.> 3. Έχουμε

( ) ( ) ( )2α β1 1 α βα β 4 α β 4 4α β αβ αβ

+ ++ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥

( )

α β 0 2α β 4αβ⋅ >

⇔ + ≥

( )22 2 2 2α 2αβ β 4αβ 0 α 2αβ β 0 α β 0,⇔ + + − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ που ισχύει.

4. i) 2 2 2 2α αβ β 0 2α 2αβ 2β 0+ + ≥ ⇔ + + ≥ 2 2 2 2α α 2αβ β β 0⇔ + + + + ≥

( )22 2α α β β 0,⇔ + + + ≥ που ισχύει.

ii) 2 2 2 2α αβ β 0 2α 2αβ 2β 0− + ≥ ⇔ − + ≥ 2 2 2 2α α 2αβ β β 0⇔ + − + + ≥

( )22 2α α β β 0,⇔ + − + ≥ που ισχύει.


2.3. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού


1. i) ( )π 3 π 3 π 3− = − = − , διότι π 3 0− >

ii) ( )π 4 π 4 4 π− = − − = − , διότι π 4 0− <

iii) ( ) ( )3 π 4 π 3 π 4 π 3 π 4 π 1− + − = − − + − = − + + − =

iv) ( ) ( )2 3 3 2 3 2 3 2 0.− − − = − − − =

2. Eπειδή 3 x 4< < θα είναι x 3 0− > και x 4 0.− <

Oπότε, η δοθείσα παράσταση γράφεται ( )x 3 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 1.− + − = − − − = − − + =

3. i) Επειδή x 3< θα είναι και x 4.< Άρα, x 3 0− < και 4 x 0.− >

Η παράσταση λοιπόν γράφεται ( ) ( )x 3 4 x x 3 4 x x 3 4 x 1.− − − = − − − − = − + − + = −

ii) Eπειδή είναι x 4> θα είναι και x 3,> οπότε x 3 0− > και 4 x 0.− < Έτσι, η δο-θείσα παράσταση γράφεται

( ) ( )x 3 4 x x 3 4 x x 3 4 x 1.− − − = − + − = − + − =

4. α΄ τρόπος: ( )β αα β 1 1

β α β α− −−

= = − =− −

.

β΄ τρόπος: α β α βα β 1.

β α β α α β− −−

= = =− − −

5. ● Αν x 0> και y 0> , τότε x y x yA 1 1 2x y x y

= + = + = + = .

● Αν x 0> και y 0,< τότε x y x yA 1 1 0.x y x y

= + = − = − =

● Αν x 0< και y 0> , τότε x y x yA 1 1 0.x y x y

−= + = + = − + =

● Αν x 0< και y 0< , τότε x y x yA 1 1 2.x y x y

−= + = − = − − = −

6. i) Eπειδή D είναι η πραγματική διάμετρος του κύκλου και «απέχει» από τον αριθμό 2,37 dm απόσταση το πολύ 0,005 dm θα ισχύει

( )d 2,37, D 0,005.≤


ii) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι D 2,37 0,005− ≤ 0,005 D 2,37 0,005⇔ − ≤ − ≤

0,005 2,37 D 2,37 0,005⇔ − + ≤ ≤ + 2,365 D 2,375.⇔ ≤ ≤

7. ΠΙΝΑΚΑΣ

Απόλυτη Τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση διαστημάτων

x 4 2− ≤ ( )d x, 4 2≤ [ ]2, 6

x 3 4+ < ( )d x, 3 4− < ( )7, 1−

x 4 2− > ( )d x, 4 2> ( ) ( ), 2 6,−∞ ∪ +∞

x 3 4+ ≥ ( )d x, 3 4− ≥ ( ] [ ), 7 1,−∞ − ∪ +∞

x 5 1− < ( )d x, 5 1< ( )4,6

x 1 2+ > ( )d x, 1 2− > ( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞

x 5 1− ≥ ( )d x, 5 1≥ ( ] [ ), 4 6,−∞ ∪ +∞

x 1 2+ ≤ ( )d x, 1 2− ≤ [ ]3,1−

x 2< ( )d x, 0 2< ( )2,2−

x 2 3+ ≤ ( )d x, 2 3− ≤ [ ]5,1−

x 2≥ ( )d x, 0 2≥ ( ] [ ), 2 2,−∞ − ∪ +∞

x 2 3+ > ( )d x, 2 3− > ( ) ( ), 5 1,−∞ − ∪ +∞


1. ( ) ( )α β α γ γ β α γ γ β α γ γ β− = − + − = − + − ≤ − + − .

2. Έχουμε α β.> Oπότε, α β 0− > και συνεπώς α β α β.− = − Επομένως:

i) ( )α β α β α β α β α β α β 2α α.2 2 2 2

+ + − + + − + + −= = = =

ii) ( )α β α β α β α β α β α β 2β β.2 2 2 2

+ − − + − − + − += = = =

3. Παρατηρούμε ότι x 0≥ και y 0≥ . Επομένως, x y 0.+ ≥ Η ισότητα ισχύει μόνο

όταν x 0= και y 0= , δηλαδή όταν x 0= και y 0.= Έχουμε λοιπόν:

i) x y 0 x 0+ = ⇔ = και y 0=

ii) x y 0 x 0+ > ⇔ ≠ ή y 0.≠

4. i) Έχουμε 0 α β.< < Επομένως, α 1β< και β 1.

α> Οπότε, α β1 .

β α< <


ii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι

i)α β α β α β1 1 1 1 αβ 1 αβ 1

β α β α β α − < − ⇔ − < − ⇔ − < −

α βαβ αβ αβ αββ α

⇔ − < − ⇔ 2 2αβ α β αβ− < −

( )22 2α 2αβ β 0 α β 0⇔ − + > ⇔ − > που ισχύει, διότι α β.< 5. Έχουμε

x 2 0,1 0,1 x 2 0,1 2 0,1 x 2 0,1− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + 1,9 x 2,1.⇔ < < Επίσης,

y 4 0,2 0,2 y 4 0,2 4 0,2 y 4 0,2− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + 3,8 y 4,2.⇔ < < ● H περίμετρος του διπλανού τριγώνου είναι 1Π x 2y.= + Όμως, 3,8 y 4,2< < 2 3,8 2y 2 4,2 7,6 2y 8,4.⇔ ⋅ < < ⋅ ⇔ < < Eπίσης, γνωρίζουμε ότι

1,9 x 2,1.< < Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

17,6 1,9 x 2y 8,4 2,1 9,5 Π 10,5.+ < + < + ⇔ < < ● Η περίμετρος του διπλανού σχήματος είναι 2Π 2y 4x.= + Έχουμε 1,9 x 2,1< < 1,9 4 4x 4 2,1⇔ ⋅ < < ⋅ 7,6 4x 8,4⇔ < < (1) Επίσης, 3,8 y 4,2 2 3,8 2y 2 4,2< < ⇔ ⋅ < < ⋅ 7,6 2y 8,4⇔ < < (2) Από τις (1) και (2), προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει

27,6 7,6 2y 4x 8,4 8,4 15,2 Π 16,8.+ < + < + ⇔ < < ● Η περίμετρος του κύκλου είναι

L 2πx= . Έχουμε 1,9 x 2,1< < 1,9 2π 2πx 2,1 2π⇔ ⋅ < < ⋅ 3,8π L 4,2π.⇔ < <

2.4. Ρίζες πραγματικών αριθμών

Ασκήσεις Α΄ Ομάδας 1. i) 2 333100 10 10, 1000 10 10,= = = = 4 554 54 10000 10 10, 100000 10 10= = = = .

ii) 2 3334 2 2, 8 2 2= = = = , 4 554 54 16 2 2, 32 2 2.= = = =

x

y y

x

x

x 2x

y


iii) 21 1 10,01

100 10 10 = = =

, 3

3 3 31 1 10,001

1000 10 10 = = =

4

4 4 41 1 10,0001

10000 10 10 = = =

, 5

5 5 51 1 10,00001 .

100.000 10 10 = = =

2. i) ( ) ( )2π 4 π 4 π 4 4 π− = − = − − = − ii) ( )220 20 20− = − =

iii) ( )2x 1 x 1− = − iv) 22 xx x x .

4 2 2 2 = = =

3. ( ) ( )2 2

2 5 3 5 2 5 3 5− + − = − + − = ( ) ( )2 5 3 5− − + −

2 5 3 5 1.= − + + − =

4. ( )( ) ( ) ( )2 2

x 5 x 3 x 5 x 3 x 5 x 3− − + − + + = − − + ( )x 5 x 3= − − +

x 5 x 3 8.= − − − = −

5. i) ( )( ) ( )( )8 18 50 72 32 2 4 2 9 2 25 2 36 2 16− + − = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

( )( )2 4 2 9 2 25 2 36 2 16= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

( )( ) ( )( )2 2 3 2 5 2 6 2 4 2 2 7 2= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = −

( )2

7 2 7 2 14.= − = − ⋅ = −

ii) ( )( ) ( )( )28 7 32 63 32 4 7 7 16 2 9 7 16 2+ + − = ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅

( )( ) ( )( )4 7 7 16 2 9 7 16 2 2 7 7 4 2 3 7 4 2= ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ = + + −

( )( ) ( ) ( )2 2

3 7 4 2 3 7 4 2 3 7 4 2= + − = −

( ) ( )2 2223 7 4 2 9 7 16 2 63 32 31.= − = ⋅ − ⋅ = − =

6. i) ( )( ) ( )222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2⋅ − ⋅ + = ⋅ − + = ⋅ −

( )2

2 4 2 2 2 2 2.= ⋅ − = ⋅ = =

ii) ( )( ) ( )23 3 23 3 3 332 3 5 3 5 2 3 5 3 5 2 3 5= + − = + − = −

333 3 3 33 32 9 5 2 4 2 4 8 2 2.= − = = ⋅ = = =

7. i) 3 4 4 43 2 2 3 4 3123 32 2 2 2 2 2 2 2.⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = = = =


ii) 5 5 5 55 3 4 2 3 2 53 6 3 3 5 33 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =

8. i) 3 3 3 4 9 4 9 44 3 3 44 12 123 123 3 3 3 3 3 3 3⋅⋅ ⋅⋅ = = = ⋅ 13 12 1212 12 12 12 123 3 3 3 3 3 3.= = ⋅ = ⋅ = ⋅

ii) 8 5 8 2 5 3 16 15 16 15 316 9 2 6 3 18 18 18 189 2 2 2 2 2 2 2 2 2⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

18 13 18 13 1318 18 1818 2 2 2 2 2 2 .= ⋅ = ⋅ = ⋅

iii) 3 4 3 3 2 4 9 2 46 2 3 3 2 6 6 6 635 5 5 5 5 5 5 5 5⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 9 2 46 5 5 5= ⋅ ⋅

15 3 5 5 2 2 2 26 3 25 5 5 5 5 5 5 5 5⋅⋅= = = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

5 5 5 25 5.= ⋅ ⋅ =

9. i) 25 12 25 4 3 25 4 3 25 2 50 10.5 575 25 3 25 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =

⋅ ⋅

ii) 216 75 36 6 25 3 36 6 25 350 25 2 25 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

( )26 3 2 5 3 6 3 2 3 6 3 6 3 18.5 2 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ =

⋅

10. i) ( )( )

( ) ( )2

2

4 5 3 4 5 3 4 5 34 4 5 325 3 225 3 5 3 5 3 5 3

+ + ⋅ ++= ⋅ = = = =

−− − + −

( )2 5 3.

11

+

ii) ( )

( ) ( )2 2

8 7 58 8 7 57 5 7 5 7 5 7 5

++= ⋅ =

− − + −

( ) ( ) ( )

8 7 5 8 7 54 7 5 .

7 5 2

+ ⋅ += = = +

−

iii) ( )

( ) ( )

2

2 2

7 67 6 7 6 7 67 6 7 6 7 6 7 6

++ + += ⋅ =

− − + −

( ) ( )2 2

7 2 7 6 6 7 2 7 6 6 13 2 42.7 6 1

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ += = = +

−

11. i) 162 98 81 2 49 2 81 2 49 250 32 25 2 16 2 25 2 16 2

+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= =

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅9 2 7 2 16 2 16.5 2 4 2 2

+= = =

−

ii) ( )

( )11 1812 20 11 18 2 11 18

611 6 11 18 11 1811 3

9 9 39 3 9 9 3 3 9 9 3 9 9 3.9 27 9 3 9 39 3

++ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = = = =

+ + ++



1. i) ( )( )

( ) ( )2 2

3 3 2 2 3 23 3 2 2 3 3 2 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2

− +− − += =

− − + −

( ) ( )2 2

3 3 3 3 2 2 2 3 2 2

3 2

+ ⋅ ⋅ − ⋅ −=

−

3 3 2 3 2 21

⋅ + ⋅ − ⋅= 9 6 4 5 6.= + − = +

ii) α α β β α α β β α β

α β α β α β− − +

=− − +

( )( )

( ) ( )2 2

α α β β α β

α β

− +=

−

( ) ( )2 2

α α α α β β α β β β

α β

+ − −=

−

( )2 2α β αβ α βα α α αβ β αβ β β

α β α β− + −⋅ + ⋅ − − ⋅

= =− −

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )α β α β αβα β α β αβ α β

α β αβ.α β α β

− +− + + − = = = + +− −

2. i) Έχουμε

( ) ( ) ( )2 2 22 23 2 7 3 2 3 2 7 2 7 9 12 7 2 7+ = + ⋅ ⋅ + = + + ⋅

9 12 7 4 7 9 12 7 28 37 12 7= + + ⋅ = + + = + και

( ) ( ) ( )2 2 22 23 2 7 3 2 3 2 7 2 7 9 12 7 2 7− = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − + ⋅

9 12 7 4 7 9 12 7 28 37 12 7.= − + ⋅ = − + = − ii) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο ερώτημα έχουμε

( ) ( )2 2

37 12 7 37 12 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 .+ − − = + − − = + − −

Όμως, 3 2 7 0+ > και 3 2 7 0− < .

Άρα,

( )3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 6.+ − − = + + − = + + − =


3. i) Έχουμε

2 2 2

2 3 2 2 3 3 2 2 3 32 23 2 3 3 2 2 3 3 2 2

+ = + ⋅ + = + ⋅ +

2 3 13 13 12 252 1 2 13 2 6 6 6 6

= + + = + ⋅ = + = , που είναι ρητός αριθμός.

ii) ( )( )

2 2 22

2

1 1 1 1α α 2 α α 2α α α α

+ = + ⋅ ⋅ + = + +

( )22 α 11 α 2α 1α 2

α α α++ +

= + + = = , που είναι ρητός αριθμός.

4. i) ( ) ( )( )( )

3 5 3 5 5 33 55 3 5 3 5 3 5 3

⋅ + + −+ =

− + − +

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

3 5 3 5 5 3

5 3

⋅ + + − ⋅=

−

3 5 8 4.5 3 2+

= = =−

ii) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 3 2 31 1

2 3 2 3 2 3 2 3

+ − −− =

− + − +

( )( )

( )( )2

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 3

+ + − + − +=

− +

( )( ) ( )2 2 22

2

4 2 3 8 3 8 3 8 3.14 32 3

⋅= = = =

−−

5. i) Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΒΓ α β= + ⇔ = +

( )2ΒΓ α β⇔ = + .

Και επειδή το ( )ΒΓ είναι μήκος, ισχύει

( )ΒΓ 0>


( )ΒΓ α β.= +


ii) Από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε ότι κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι μι-κρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών. Επομένως,

( ) ( ) ( )ΒΓ ΑΒ ΑΓ< +

δηλαδή α β α β.+ < +

iii) Έχουμε

( ) ( )2 2

α β α β α β α β+ ≤ + ⇔ + ≤ +

( ) ( )2 2

α β α 2 α β β⇔ + ≤ + ⋅ +

α β α 2 αβ β⇔ + ≤ + +

2 αβ 0⇔ ≥

αβ 0,⇔ ≥ που ισχύει. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν

α 0 και β 0.= =

Kεφάλaιο 3: Εξισώσεις 587

Κεφάλαιο 3 Ε Ξ Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ

3.1. Εξισώσεις 1ου βαθμού

Ασκήσεις Α΄ Ομάδας 1. i) 4x 3 2x 1 7x 42 4x 6x 3 7x 42

4x 6x 7x 42 3 45

9x 45 x 5.9

Άρα, η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την x 5.

ii) 1 4x x 1 x 4 5 1 4x x 1 x 4 520 20 20 20

5 4 20 4 5 4 20 4

4 1 4x 5 x 1 x 4 5 5 4 16x 5x 5 x 4 25

22

16x 5x x 4 25 4 5 22x 22 x 1.22


iii) x x x x 49 x x x x 4960 60 60 60 60

2 3 4 5 60 2 3 4 5 60

30x 20x 15x 12x 49 30x 20x 15x 12x 49

49

7x 49 x 7.7


iv) 1, 2 x 1 2,5 1,5x 8,6 12 x 1 25 15x 86

12x 12 25 15x 86 12x 15x 86 12 25

99 11

27x 99 x .27 3

Άρα, η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την 11

x .3

2. i) 2 3x 1 3 2x 1 4 6x 2 6x 3 4

6x 6x 4 2 3 0x 3. Επομένως, η εξίσωση είναι αδύνατη.

ii) 5 x 5 7x 5 x 5 7x2x 3 2x 3 3 3

3 3 3 3 3 3

6x 5 x 5 7x 6x 5 x 5 7x

6x x 7x 5 5 0 x 0. Επομένως, η εξίσωση είναι ταυτότητα.


3. i) ● Αν λ 1≠ , η εξίσωση έχει μοναδική λύση την λ 1x 1.λ 1−

= =−

● Αν λ 1= , η εξίσωση γίνεται 0x 0,= που είναι ταυτότητα.

ii) ● Αν λ 2≠ , η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την λx .λ 2

=−

● Αν λ 2= , η εξίσωση γίνεται 0x 2= , που είναι αδύνατη.

iii) ● Aν λ 0≠ και λ 1≠ , η εξίσωση έχει μοναδική λύση την ( )λ 1 1x .

λ λ 1 λ−

= =−

● Αν λ 0= , η εξίσωση έχει γίνεται 0x 1= − , που είναι αδύνατη. ● Αν λ 1= , η εξίσωση γίνεται 0x 0,= που είναι ταυτότητα.

iv) ● Αν λ 0 και λ 1,≠ ≠ η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την

( )( )( )

2 λ λ 1λ λ λ 1x .λ λ 1 λ λ 1 λ 1

++ += = =

− − −

● Αν λ 0= , η εξίσωση γίνεται 0x 0= , που είναι ταυτότητα. ● Αν λ 1= , η εξίσωση γίνεται 0x 2,= που είναι αδύνατη.

4. i) Έχουμε ( ) ( )1 2 3 1 2 1 2Ε Ε Ε Ε Ε ΑΒΓΔ Ε Ε+ = ⇔ + = − +

( ) ( )1 22 Ε Ε ΑΒΓΔ⇔ + = (1)

Eπειδή ( )ΑΜ x= και ( )ΑΔ 5= θα είναι

( ) ( ) ( )ΜΔ ΑΔ ΑΜ 5 x.= − = −

Επίσης,

( )( ) ( )

1

ΜΔ ΔΓ 5 x 3E ,

2 2− ⋅

= = ( )( )

2

AB AM 5xE2 2

= =

και

( )( ) ( ) ( ) ( )ΑΒ ΔΓ ΑΔ 5 3 5 8 5AΒΓΔ 4 5 20.

2 2 2+ + ⋅ ⋅ = = = = ⋅ =

Με αντικατάσταση των παραπάνω στη σχέση (1) έχουμε

( ) ( )5 x 3 5 x 35 x 5 x2 20 2 2 20

2 2 2 2− − ⋅ ⋅

+ = ⇔ + =

( )3 5 x 5x 20⇔ − + = 15 3x 5x 20⇔ − + =

55x 3x 20 15 2x 5 x 2,5.2

⇔ − = − ⇔ = ⇔ = =

ii) Έχουμε 1 2E E= . Δηλαδή,

5

Δ 3 Γ

Α 5 Β

Ε1

Ε3

Ε2 x


( ) ( )5 x 3 5 x 35 x 5 x2 2

2 2 2 2− ⋅ − ⋅⋅ ⋅

= ⇔ = ⋅ ( )3 5 x 5x⇔ − =

15 3x 5x 3x 5x 15 8x 15⇔ − = ⇔ − − = − ⇔ − = −15x .8

⇔ =

5. Aν x είναι το ποσό που κατατέθηκε προς 5%, τότε το ποσό των 4000 x− κατατέθηκε προς 3%. Ο τόκος που εισπράχθηκε από τα x ευρώ είναι

5x 0,05x100⋅ =

ενώ ο τόκος που εισπράχθηκε από τα ( )4000 x− ευρώ είναι

( ) ( )34000 x 0,03 4000 x .100

− ⋅ = −

Συνολικά, εισπράχθηκαν 175 ευρώ. Επομένως, ( ) ( )0,05x 0,03 4000 x 175 5x 3 4000 x 17500+ − = ⇔ + − = 5x 12000 3x 17500⇔ + − =

5x 3x 17500 12000⇔ − = −55002x 5500 x 2750

2⇔ = ⇔ = = €.

Άρα, κατατέθηκαν 2750 € προς 5% και 4000 2750 1250− = € προς 3%.

6. i) ( )α 0

oo oo o

V VV V V VV V αt αt V V t .

α α α

≠ − −− −= ⇔ ± − = − ⇔ = = =

− −

ii) 1 2 1 2 1 21 2 1 2

1 1 1 1 1 1R R R R R R R R RR R R R R R= + ⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2R R RR RR R R R R RR R R R RR .⇔ ⋅ = + ⇔ − = ⇔ − ⋅ =

Aπό την τελευταία σχέση προκύπτει ότι 2R R 0,− ≠ αφού 2RR 0≠ και τελικά

21

2

RRR .

R R=

−

7. i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2x x 4 2x x 4 x 4 0 x 4 x 2x 1 0 x 4 x 1 0− + − + − = ⇔ − ⋅ + + = ⇔ − + =

x 4 0⇔ − = ή x 1 0+ = x 4⇔ = ή x 1= − .

ii) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2x 2 2 x 4 x 0 x 2 x 2 4 x 0− − − + = ⇔ − + − + =

( ) ( ) ( ) ( )( )x 2 x 2 4 x 0 x 2 2x 2 0⇔ − − + + = ⇔ − + =

x 2 0⇔ − = ή 2x 2 0+ = x 2⇔ = ή x 1= − .

8. i) ( ) ( )( ) ( )2 3 2 2x x 1 x x 0 x x 1 x 1 x x 1 0− − + = ⇔ − + − − =

( ) ( ) ( )x x 1 x 1 x 0 x x 1 0⇔ − + − = ⇔ − =

x 0 ή x 1.⇔ = =


ii) ( ) ( ) ( )( )2 22x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 0+ + − = ⇔ + + − + =

( ) ( ) ( ) ( )( )x 1 x 1 x 1 0 x 1 2x 0⇔ + + + − = ⇔ + =

x 1 0⇔ + = ή 2x 0= x 1⇔ = − ή x 0.=

9. i) ( ) ( ) ( )2 2 22x x 2 x 4x 4 x x 2 x 2− = − + ⇔ − = −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x x 2 x 2 0 x 2 x 1 0⇔ − − − = ⇔ − − =

x 2 0⇔ − = ή x 1 0− = x 2⇔ = ή x 1.=

ii) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2x 4 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 0− − = − − ⇔ − − − − − =

( )( )( ) ( )( )( )x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 0⇔ − + − − − + − =

( )( ) ( ) ( ) ( )( )x 1 x 2 x 2 x 1 0 x 1 x 2 0⇔ − − + − + = ⇔ − − =

x 1 0⇔ − = ή x 2 0− = x 1⇔ = ή x 2.=

10. i) ( ) ( )3 2 2x 2x x 2 0 x x 2 x 2 0− − + = ⇔ − − − =

( )( ) ( )( )( )2x 2 x 1 0 x 2 x 1 x 1 0⇔ − − = ⇔ − − + =

x 2 0⇔ − = ή x 1 0 ή x 1 0− = + = x 2⇔ = ή x 1= ή x 1= − .

ii) ( )( ) ( ) ( )( )3 2 2x 2x 2x 1 x 2 0 x x 2 2x 1 x 2 0− − − − = ⇔ − − − − =

( ) ( ) ( )( )2 2x 2 x 2x 1 0 x 2 x 2x 1 0 ⇔ − − − = ⇔ − − + = ( )( )2x 2 x 1 0⇔ − − = x 2 0⇔ − = ή x 1 0− = x 2⇔ = ή x 1.=

11. i) Έχουμε

( )2

x 1 x 1 .x 1 x 1 x x 1x x

= ⇔ =− − −−

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0≠ και x 1.≠ Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε

( ) ( ) ( )2x 1x x 1 x x 1 x 1.

x 1 x x 1− = − ⇔ =

− −

Και επειδή x 1≠ συμπεραίνουμε ότι x 1.= −

ii) ( )( ) ( )2 2 2

x 1 2 x 1 20 0.x 1 x 1x 1 x 2x 1 x 1

+ ++ = ⇔ + =

− +− − + −

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 1≠ και x 1.≠ − Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε


( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

x 1 2 1 2 x 1 20 0 0x 1 x 1 x 1x 1 x 1 x 1

+ − ++ = ⇔ + = ⇔ =

− + −− − −

x 1 2 0 x 1,⇔ − + = ⇔ = − απορρίπτεται. Άρα, η δοθείσα εξίσωση είναι αδύνατη.

12. i) ( )( )2

1 1 2 1 1 2 .x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1

+ = ⇔ + =− + − + − +−

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 1 και x 1.≠ ≠ − Με αυτούς τους περιορισμούς η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 2x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1 x 1− + + − + = − +

− + − +

x 1 x 1 2 2x 2 x 1,⇔ + + − = ⇔ = ⇔ = απορρίπτεται. Άρα, η δοθείσα εξίσωση είναι αδύνατη.

ii) ( )2

3 2 x 4 3 2 x 4x 2 x x 2 x x x 2x 2x

− −− = ⇔ − =

+ + ++

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0 και x 2.≠ ≠ − Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )3 2 x 4x x 2 x x 2 x x 2

x 2 x x x 2−

+ − + = ++ +

( )3x 2 x 2 x 4 3x 2x 4 x 4⇔ − + = − ⇔ − − = −

3x 2x x 4 4 0 x 0⇔ − − = − + ⇔ ⋅ = που είναι ταυτότητα. Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει ως λύση κάθε πραγματικό αριθ-

μό εκτός από τους αριθμούς 2− και 0. iii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 2 και x 2.≠ − ≠ Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε

( )( ) ( )( ) ( )( )2

1 x 1 xx 2 x 2 x 2 x 2x 2 x 2 x 2 x 2x 4

= ⇔ − + = − ++ + − +−

x 2 x 0 x 2,⇔ − = ⇔ ⋅ = που είναι αδύνατη. iv) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 1 και x 1.≠ − ≠ Με αυτούς τους περιορισμούς

έχουμε ( )

( )( )2

2

x x 1x x x x x x ,x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1

−−= ⇔ = ⇔ =

+ − + + + +−

που είναι ταυτότητα. Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει ως λύση κάθε πραγματικό αριθ-μό εκτός από το 1− και το 1.

13. Έστω x 1, x, x 1− + οι ζητούμενοι ακέραιοι. Έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x 1 x x 1 x 1 x x 1 3x x x 1− + + + = − + ⇔ = −

( ) ( )2 23x x x 1 0 x 3 x 1 0⇔ − − = ⇔ − + = ( )2x x 4 0⇔ − + =


2x 0 ή x 4⇔ = = x 0 ή x 2 ή x 2.⇔ = = = −

Άρα, υπάρχουν τρεις τριάδες διαδοχικών ακέραιων αριθμών, των οποίων το άθροισμα ισούται με το γινόμενό τους και είναι οι εξής:

( )1, 0, 1 ,− ( )1, 2, 3 , ( )3, 2, 1− − − .

14. i) 2x 3 5− = 2x 3 5⇔ − = ή 2x 3 5− = −

2x 8⇔ = ή 2x 2= − x 4⇔ = ή x 1.= −

ii) 2x 4 x 1 2x 4 x 1− = − ⇔ − = − ή ( )2x 4 x 1 x 3 ή 3x 5− = − − ⇔ = =

x 3⇔ = ή 5x3

= .

iii) Παρατηρούμε ότι x 2 0.− ≥ Επομένως, πρέπει να ισχύει

12x 1 0 2x 1 x .2

− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

Με αυτό τον περιορισμό έχουμε x 2 2x 1 x 2 2x 1− = − ⇔ − = − ή ( )x 2 2x 1− = − − x 2x 1 2⇔ − = − + ή x 2x 1 2+ = + x 1⇔ − = ή 3x 3= x 1⇔ = − ή x 1.=

Και επειδή 1x2

≥ , συμπεραίνουμε ότι x 1= .

iv) Παρατηρούμε ότι 2x 1 0.− ≥ Οπότε, πρέπει να ισχύει x 2 0 x 2.− ≥ ⇔ ≥

Με αυτό τον περιορισμό έχουμε 2x 1 x 2 2x 1 x 2 ή 2x 1 x 2− = − ⇔ − = − − = − + .

x 1⇔ = − ή x 1.= Και επειδή x 2≥ , συμπεραίνουμε ότι η δοθείσα εξίσωση είναι αδύνατη.

15. i) ( ) ( )x 4 x 4 x 4 x 42 215 15 15 5 x 4 3 x 4 103 5 3 3 5 3+ + + +

− = ⇔ − = ⇔ + − + =

( )2 x 4 10 x 4 5 x 1⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

x 1 ή x 1.⇔ = = −

ii) 2 x 1 x 1 2 x 1 x 11 16 6 6

3 2 2 3 2 2+ − + −

− = ⇔ − =

( ) ( )2 2 x 1 3 x 1 3⇔ + − − = 4 x 2 3 x 3 3⇔ + − + =

4 x 3 x 3 3 2 x 2⇔ − = − − ⇔ = − , αδύνατη, διότι

x 0≥ για κάθε x .∈


16. i) Η εξίσωση 3 x 43 x−

=+

ορίζεται για κάθε x 3.≠ − Με αυτό τον περιορισμό έχουμε

3 x3 x 4 4 3 x 4 3 x

3 x 3 x−−

= ⇔ = ⇔ − = ++ +

( )3 x 4 3 x⇔ − = + ή ( )3 x 4 3 x− = − + 3 x 12 4x⇔ − = + ή 3 x 12 4x− = − − 5x 9⇔ − = ή 3x 15= −

9x5

⇔ = − ή x 5.= −

Οι παραπάνω λύσεις είναι δεκτές αφού ικανοποιούν τον περιορισμό x 3.≠ − ii) x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 0− ⋅ − = − ⇔ − ⋅ − − − = ( )x 1 x 2 1 0⇔ − ⋅ − − =

x 1 0⇔ − = ή x 2 1− = x 1⇔ = ή x 2 1 ή x 2 1− = − = − x 1⇔ = ή x 3= ή x 1.= Ασκήσεις Β΄ Ομάδας 1. i) ( ) ( ) ( )2 2x α x β 2α α β+ − − = +

( )2 2 2 2 2x 2αx α x 2βx β 2α 2αβ⇔ + + − − + = +

2 2 2 2 2x 2αx α x 2βx β 2α 2αβ⇔ + + − + − = +

( ) ( )22 22αx 2βx α 2αβ β 2 α β x α β .⇔ + = + + ⇔ + = + ● Αν α β 0+ ≠ , η εξίσωση έχει μοναδική λύση

( )( )

2α β α βx .2 α β 2

+ += =

+

● Αν α β 0+ = , η εξίσωση γίνεται 0x 0,= που είναι ταυτότητα.

Επομένως, η δοθείσα εξίσωση έχει πάντα λύση οποιοιδήποτε και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί α, β.

ii) x α x β x α x βαβ αββ α β α− − − −

= ⇔ = ( ) ( )α x α β x β⇔ − = −

2 2αx α βx β⇔ − = − ( ) ( )( )2 2αx βx α β α β x α β α β .⇔ − = − ⇔ − = − + ● Αν α β 0− ≠ , η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την

( )( )( )

α β α βx α β.

α β− +

= = +−


● Αν α β 0− = , η εξίσωση γίνεται 0x 0= , που είναι ταυτότητα.

Επομένως, η δοθείσα εξίσωση έχει πάντα λύση οποιοιδήποτε και αν είναι οι πραγ-ματικοί αριθμοί ( )α,β α,β 0 .≠

2. Για α 0≠ και β 0≠ έχουμε

( )x x x x1 αβ αβ αβ βx αx αβ β α x αβ.α β α β− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

● Αν β α 0 β α,− ≠ ⇔ ≠ η εξίσωση έχει μοναδική λύση.

● Αν β α 0 β α,− = ⇔ = η εξίσωση γράφεται 20x α= και είναι αδύνατη αφού α 0.≠ Άρα, η εξίσωση έχει λύση αν και μόνο αν αβ 0≠ και α β.≠

3. Επειδή η περιεκτικότητα του αρχικού διαλύματος είναι 15% στα 200 ml διαλύματός της υπάρχουν 30 ml οινοπνεύματος. Προσθέτοντας x ml οινοπνεύματος, το διάλυμα που θα προκύψει θα είναι συνολικά (200 + x) ml, ενώ θα περιέχει (30 + x) ml οινο-πνεύματος. Έτσι, αφού το διάλυμα που θα προκύψει θα έχει 32% περιεκτικότητα σε οι-νόπνευμα, έχουμε

( ) ( )30 x 32 100 30 x 32 200 x200 x 100

+= ⇔ + = +

+3000 100x 6400 32x⇔ + = +

100x 32x 6400 3000⇔ − = −340068x 3400 x x 50.

68⇔ = ⇔ = ⇔ =

Άρα, πρέπει να προστεθούν 50 ml καθαρού οινοπνεύματος. 4. Έστω ότι x ώρες μετά την προσπέραση το αυτοκίνητο Β θα απέχει 1 km από το αυτο-

κίνητο Α. Επειδή το αυτοκίνητο Α κινείται με 100 km/h, θα έχει διανύσει 100x km με-τά από τις x ώρες, ενώ το αυτοκίνητο Β επειδή κινείται με 120 km/h θα έχει διανύσει 120x km. Η απόσταση τους θα έχει 1 km, άρα

1120x 100x 1 20x 1 x20

− − ⇔ = ⇔ = ώρες.

Και επειδή 1 ώρα = 60 min, θα είναι 1x 60 3 min.20

= ⋅ =

5. Έχουμε ( )( )

2 2

2 2

x 2 x x α x .x α x α x α x αx α+ +

= ⇔ =− − − +−

Πρέπει ( )( )x α x α 0 x α 0− + ≠ ⇔ − ≠ και x α 0+ ≠ x α⇔ ≠ και x α.≠ −

Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε

( )( ) ( )( ) ( )( )2x α xx α x α x α x α

x α x α x α+

− + = − +− − +

( )2 2 2 2 2 2x α x x 2αx α x 2αx α .⇔ + = ⇔ + + = ⇔ = −


● Αν 2α 0 α 0≠ ⇔ ≠ , η εξίσωση έχει μοναδική λύση την 2α αx ,

2α 2−

= − = η οποία

ικανοποιεί τους περιορισμούς και συνεπώς είναι δεκτή. ● Αν 2α 0 α 0,= ⇔ = η εξίσωση παίρνει τη μορφή 0 x 0⋅ = που είναι ταυτότητα. Δηλαδή, έχει ως λύση κάθε αριθμό x 0.≠ 6. Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 2.≠ Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε

( )( )23 3

2 2x 2 x 2x 4x 2 x 4 x 4

x 2 x 2

− + +−= + ⇔ = + ⇔

− −

2 2x 2x 4 x 4 2x 0 x 0.⇔ + + = + ⇔ = ⇔ = Η λύση x 0= ικανοποιεί τους περιορισμούς και συνεπώς είναι δεκτή. 7. 2 x 1 3 2 x 1 3− = ⇔ − = ή 2 x 1 3− = −

2 x 4⇔ = ή 2 x 2= −

x 2⇔ = ή x 1.= −

Η εξίσωση x 1= − είναι αδύνατη, διότι x 0≥ για κάθε x .∈

Έχουμε λοιπόν x 2 x 2= ⇔ = ή x 2.= −

8. ( )22x 2x 1 3x 5 x 1 3x 5 x 1 3x 5− + = − ⇔ − = − ⇔ − = − x 1 3x 5⇔ − = − ή x 1 3x 5− = − +

32x 4 ή 4x 6 x 2 ή x .2

⇔ − = − = ⇔ = =

3.2. Η εξίσωση xν = a


1. i) 33 3 33x 125 0 x 125 x 125 5 5.− = ⇔ = ⇔ = = =

ii) 55 5 55x 243 0 x 243 x 243 3 3.− = ⇔ = ⇔ = = =

iii) 77 7 77x 1 0 x 1 x 1 1 1.− = ⇔ = ⇔ = = =

2. i) 33 3 33x 125 0 x 125 x 125 5 5.+ = ⇔ − ⇔ = − = − = −

ii) 55 5 55x 243 0 x 243 x 243 3 3.+ = ⇔ = − ⇔ = − = − = −

iii) 77 7 77x 1 0 x 1 x 1 1 1.+ = ⇔ = − ⇔ = − = − = − 3. i) 2 2x 64 0 x 64 x 64− = ⇔ = ⇔ = ή x 64 x 8= − ⇔ = ή x 8.= − ii) 4 4 4x 81 0 x 81 x 81− = ⇔ = ⇔ = ή 4x 81= −

4 4x 3⇔ = ή 4 4x 3= − x 3⇔ = ή x 3= − .


iii) 6 6x 64 0 x 64 6x 64 ή 6x 64

6 6x 2 ή 6 6x 2 x 2 ή x 2.

4. i) 5 2 2 3 2 3x 8x 0 x x 8 0 x 0 ή x 8 0

3x 0 ή x 8 3x 0 ή x 8

3 3x 0 ή x 2 x 0 ή x 2.

ii) 4 3x x 0 x x 1 0 x 0 ή 3x 1 0

x 0 ή 3x 1 x 0 ή 3x 1 1.

iii) 5 4 4x 16x 0 x x 16 0 x 0 ή x 16 0

4x 0 ή x 16, αδύνατη

x 0.

5. Ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις τρεις διαστάσεις του. Επομένως, έχουμε

3 3 381x x 3x 81 3x 81 x x 27

3 3 33x 27 3 3.

Άρα, οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι 3 m, 3 m, 9 m.

6. i) 3 3 33x 1 64 x 1 64 x 1 4 x 1 4 x 3.

ii) 3

3 3 3 331 1 1 1

1 125x 0 125x 1 x x .125 125 5 5

iii) 4x 1 27 x 1 0 3

x 1 x 1 27 0

x 1 0 ή 3x 1 27 0

x 1 ή 3x 1 27

x 1 ή x 1 3 x 1 ή x 4.

3.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού

Ασκήσεις Α΄ Ομάδας 1. i) 2

Δ 5 4 2 3 25 24 1. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες, τις

1,2

5 1 5 1x

2 2 4

, δηλαδή 1

3x

2 και 2x 1.

ii) 2Δ 6 4 1 9 36 36 0.

Επομένως, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, την 6 6

x 3.2 2


iii) 2Δ 4 4 3 2 16 24 8 0.= − ⋅ ⋅ = − = − < Άρα, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. 2. i) 2 2x 1,69 0 x 1,69 x 1,69 ή x 1,69− = ⇔ = ⇔ = = −

x 1,3 ή x 1,3.⇔ = = −

ii) ( )20,5x x 0 x 0,5 1 0− = ⇔ − = x 0⇔ = ή 0,5x 1 0 x 0− = ⇔ = ή 0,5x 1= x 0⇔ = ή x 2.=

iii) 2 2 2 2273x 27 0 3x 27 x x 93

+ = ⇔ − ⇔ = − ⇔ = − , αδύνατη.

3. i) H διακρίνουσα είναι ( ) ( ) ( )2Δ 2 4λ λ 2 4 4λ λ 2= − − ⋅ − − = + −

( ) ( )22 24λ 8λ 4 4 λ 2λ 1 4 λ 1 0= − + = − + = − ≥ για κάθε *λ .∈ Επομένως, η δοθείσα εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. ii) H διακρίνουσα είναι ( )2 2 2Δ α β 4αβ α 2αβ β 4αβ= + − = + + −

( )22 2α 2αβ β α β 0 για κάθε α,β με α 0.= − + = − ≥ ∈ ≠ Επομένως, η δοθείσα εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. 4. Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα αν και μόνο αν ισχύει

2 2 2Δ 0 4 4μ 0 4μ 4 μ 1 μ 1 ή μ 1.= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = − 5. Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2Δ 2 α β 4 α β 2 4 α β 8 α β= + − ⋅ + ⋅ = + − +

( )2 2 2 2 2 2 2 24 α 2αβ β 8α 8β 4α 8αβ 4β 8α 8β= + + − − = + + − −

( ) ( )22 2 2 24α 8αβ 4β 4 α 2αβ β 4 α β 0.= − + − = − − + = − − <

Άρα, η εξίσωση είναι αδύνατη στο . Στην περίπτωση που είναι α β= η εξίσωση

γίνεται 2 22α x 4αx 2 0.+ + = Οπότε: ● αν α 0≠ , τότε 2 2Δ 16α 16α 0= − = και συνεπώς η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα. ● αν α 0,= τότε η εξίσωση γίνεται 0 2= και είναι αδύνατη. 6. i) 1 2S x x 2 3 5= + = + = και 1 2P x x 2 3 6.= ⋅ = ⋅ = Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι

2x Sx P 0− + = ⇔ 2x 5x 6 0.− + =

ii) 1 21 3S x x 12 2

= + = + = και 1 21 1P x x 1 .2 2

= ⋅ = ⋅ =

Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι 2 2 3 1x Sx P 0 x x 0.

2 2− + = ⇔ − + =

iii) 1 2S x x 5 2 6 5 2 6 10= + = − + + = και


( )( ) ( )221 2P x x 5 2 6 5 2 6 5 2 6 25 4 6 25 24 1= ⋅ = − + = − = − ⋅ = − = .

Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι 2x Sx P 0− + = ⇔ 2x 10x 1 0.− + =

7. i) Επειδή οι ζητούμενοι αριθμοί έχουν άθροισμα S 2= και γινόμενο P 15= − θα είναι ρίζες της εξίσωσης

2x 2x 15 0.− − = Η διακρίνουσα είναι

( ) ( )2Δ 2 4 1 15 4 60 64.= − − ⋅ − = + = Επομένως, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι

( )1,2

2 64 2 8x2 1 2

− − ± ±= =

⋅, δηλαδή 1x 5= και 2x 3.= −

ii) Επειδή οι ζητούμενοι αριθμοί έχουν άθροισμα S 9= και P 10= θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης

2x 9x 10 0.− + = Η διακρίνουσα είναι

( )2Δ 9 4 1 10 81 40 41.= − − ⋅ ⋅ = − = Επομένως, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι

( )

1,2

9 41 9 41x2 1 2

− − ± ±= =

⋅, δηλαδή 1

9 41x2

+= και 2

9 41x2

−= .

8. i) Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

( )2x 5 3 x 5 3 0− + + ⋅ =

και έχει ρίζες τους αριθμούς 5 και 3 αφού S 5 3= + και P 5 3= . ii) H εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

( ) ( )2x 1 2 1 2 0− − + ⋅ − =

και οι ρίζες της είναι οι αριθμοί 1 και 2− αφού S 1 2= − και ( )P 1 2 .= ⋅ −

9. Έχουμε ( )2 2 2 2 2 2x α β 2αx x 2αx α β 0.+ = − ⇔ + + − =

Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2Δ 2α 4 α β 4α 4α 4β 4β 0.= − − = − + = ≥

● Αν Δ 0= , δηλαδή β 0= η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, την 2αx 2α.1−

= = −

● Αν Δ 0> , δηλαδή β 0≠ , η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες τις 2

1,22α 4β 2α 2βx

2 2− ± − ±

= = −

δηλαδή, 1 2x α β και x α β.= − − = − +


10. Έστω x, y τα μήκη των πλευρών του ορθο-γωνίου. Έχουμε

( )2x 2y 68 2 x y 68+ = ⇔ + = x y 34 y 34 x.⇔ + = ⇔ = − (1) Eπειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο,

σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε

( )

( )1

22 2 2 2 2 2 2 2 2x y 26 x 34 x 26 x 34 2 34x x 26+ = ⇔ + − = ⇔ + − ⋅ + =

( )( )2 2 2 22x 2 34x 34 26 0 2x 2 34x 34 26 34 26 0⇔ − ⋅ + − = ⇔ − ⋅ + − + =

2 2 22x 2 34x 8 60 0 x 34x 4 60 0 x 34x 240 0.⇔ − ⋅ + ⋅ = ⇔ − + ⋅ = ⇔ − + = H διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι

( )2 2Δ 34 4 1 240 34 960 1156 960 196.= − − ⋅ ⋅ = − = − = Επομένως, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες

( )1,2

34 196 34 14x2 1 2

− − ± ±= =

⋅, δηλαδή 1x 24= και 2x 10.=

Για x 24cm= έχουμε y 34 24 10cm,= − = ενώ για x 10cm= έχουμε y 34 10 24cm.= − =

11. i) Επειδή 22x x ,= η δοθείσα εξίσωση γράφεται 2x 7 x 12 0.− + =

Θέτουμε x ω 0,= ≥ οπότε η παραπάνω εξίσωση παίρνει τη μορφή 2ω 7ω 12 0.− + =

Η διακρίνουσα είναι ( )2Δ 7 4 1 12 49 48 1.= − − ⋅ ⋅ = − = Άρα, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

( )

1,2

7 1 7 1ω ,2 1 2

− − ± ±= =

⋅ δηλαδή 1ω 4= και 2ω 3.=

Και οι δύο ρίζες ικανοποιούν τον περιορισμό ω 0≥ , οπότε και οι δύο είναι δεκτές και συνεπώς έχουμε

x 4= ή x 3= x 4 ή x 4⇔ = = − ή x 3 ή x 3.= = −

ii) Επειδή 22x x ,= η δοθείσα εξίσωση γράφεται 2x 2 x 35 0.+ − =

Θέτουμε x ω 0= ≥ οπότε η παραπάνω εξίσωση παίρνει τη μορφή 2ω 2ω 35 0.+ − =

Η διακρίνουσα είναι ( )2Δ 2 4 1 35 4 140 144= − ⋅ − = + = . Άρα, η εξίσωση έχει

δύο πραγματικές ρίζες, τις 1,22 144 2 12ω

2 2− ± − ±

= = , δηλαδή

Δ Γ

x Β Α

y


1ω 5= και 2ω 7.= −

Η ρίζα 1ω 5= ικανοποιεί τον περιορισμό ω 0≥ και για το λόγο αυτό είναι δεκτή, ενώ η ρίζα 2ω 7= − , απορρίπτεται. Επομένως, έχουμε

x 5 x 5= ⇔ = ή x 5.= −

iii) Επειδή 22x x ,= η δοθείσα εξίσωση γράφεται 2x 8 x 12 0.− + =

Θέτουμε x ω 0,= ≥ οπότε η παραπάνω εξίσωση παίρνει τη μορφή 2ω 8ω 12 0.− + =

Η διακρίνουσα είναι ( )2Δ 8 4 1 12 64 48 16.= − − ⋅ ⋅ − − = Άρα, η εξίσωση έχει δύο

πραγματικές ρίζες, τις ( )

1,2

8 16 8 4ω2 1 2

− − ± ±= =

⋅, δηλαδή 1ω 6= και 2ω 2.=

Και οι δύο ρίζες ικανοποιούν τον περιορισμό ω 0.≥ Επομένως, και οι δύο είναι δε-κτές. Έτσι λοιπόν έχουμε

x 6= ή x 2=

x 6 ή x 6⇔ = = − ή x 2 ή x 2.= = −

12. Επειδή ( ) 22x 1 x 1− = − , η δοθείσα εξίσωση γράφεται 2x 1 4 x 1 5 0.− + − − =

Θέτουμε x 1 ω 0,− = ≥ οπότε η εξίσωση θα παίρνει τη μορφή 2ω 4ω 5 0.+ − =

Η διακρίνουσα είναι ( )2Δ 4 4 1 5 16 20 36.= − ⋅ ⋅ − = + = Άρα, η εξίσωση έχει δύο

πραγματικές ρίζες 1,24 36 4 6ω

2 1 2− ± − ±

= =⋅

. Δηλαδή, 1ω 1= και 2ω 5.= − Η ρίζα

1ω 1= είναι δεκτή αφού ικανοποιεί τον περιορισμό ω 0,≥ ενώ η ρίζα 2ω 5= − απορ-ρίπτεται. Έχουμε λοιπόν

x 1 1 x 1 1 ή x 1 1 x 2 ή x 0.− = ⇔ − = − = − ⇔ = =

13. Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0.≠ Με αυτό τον περιορισμό θέτουμε 1x ω.x

+ =

Οπότε, η εξίσωση παίρνει τη μορφή 2ω 5ω 6 0.− + =

Η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι ( )2Δ 5 4 1 6 25 24 1.= − − ⋅ ⋅ = − = Άρα, η

εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις ( )

1,2

5 1 5 1ω2 2

− − ± ±= = , δηλαδή 1ω 3= και

2ω 2.= Οπότε, έχουμε


1x 3x

+ = ή 1x 2x

+ =

● Η εξίσωση 1x 3x

+ = γράφεται

21x x x 3 x x 3x 1 0.x

⋅ + = ⋅ ⇔ − + =

Η διακρίνουσα είναι ( )2Δ 3 4 1 1 9 4 5,= − − ⋅ ⋅ = − = άρα η εξίσωση έχει δύο πραγ-

ματικές ρίζες, τις ( )

1,2

3 5 3 5x2 2

− − ± ±= = , δηλαδή 1

3 5x2+

= και

23 5x .

2−

=

● Η εξίσωση 1x 2x

+ = γράφεται

( )221x x x 2x x 2x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1.x

⋅ + = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

Επομένως, η δοθείσα εξίσωση έχει 3 ρίζες, τους αριθμούς 3 5 3 5,

2 2+ − και 1.

14. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0 και x 1.≠ ≠ − Με αυτούς τους περιορισμούς, έχουμε

( ) ( ) ( )x x 1 13 x x 1 136x x 1 6x x 1 6x x 1x 1 x 6 x 1 x 6

+ ++ = ⇔ + + + = +

+ +

( ) ( )226x 6 x 1 13x x 1⇔ + + = + ⇔ 2 2 26x 6x 12x 6 13x 13x+ + + = +

2x x 6 0.⇔ + − = Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι

( )2Δ 1 4 1 6 1 24 25.= − ⋅ ⋅ − = + = Oπότε, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

1,21 25 1 5x

2 2− ± − ±

= =

δηλαδή 1x 2= και 2x 3.= −

Και οι δύο ρίζες είναι δεκτές διότι ικανοποιούν τους αρχικούς περιορισμούς. ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0 και x 2.≠ ≠ Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2x 3 2 x 2 2x 3 2 x0 x x 2 x x 2 x x 2 0x x 2 x x 2 x x 2 x x 2

− − − −+ + = ⇔ − + − + − =

− − − −

( ) ( ) 22 x 2 x 2x 3 2 x 0⇔ − + − + − = ⇔

2 2 22x 4 2x 3x 2 x 0 x x 2 0.⇔ − + − + − = ⇔ − − = Η διακρίνουσα είναι


( ) ( )2Δ 1 4 1 2 1 8 9.= − − ⋅ ⋅ − = + =

Οπότε, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες τις ( )

1,2

1 9 1 3x2 1 2

− − ± ±= =

⋅

δηλαδή 1x 2= και 2x 1.= −

Η ρίζα 1x 2= απορρίπτεται λόγω των περιορισμών και συνεπώς μοναδική ρίζα της αρχικής εξίσωσης είναι η 2x 1.= −

15. i) Θέτουμε 2x ω 0.= ≥ Οπότε, η δοθείσα εξίσωση παίρνει τη μορφή 2ω 6ω 40 0.+ − =

Η διακρίνουσα είναι ( )2Δ 6 4 1 40 36 160 196.= − ⋅ ⋅ − = + =

Επομένως, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες

1,26 196 6 14ω

2 1 2− ± − ±

= =⋅

δηλαδή 1ω 4= και 2ω 10.= −

Η ρίζα 1ω 4= είναι δεκτή, ενώ η ρίζα 2ω 10= − απορρίπτεται λόγω του περιορι-σμού ω 0.≥ Έτσι, λοιπόν, έχουμε

2x 4 x 2 ή x 2.= ⇔ = = −

ii) Θέτουμε 2x ω 0.= ≥ Οπότε, η δοθείσα εξίσωση παίρνει τη μορφή 24ω 11ω 3 0.+ − =

Η διακρίνουσα είναι ( )2Δ 11 4 4 3 121 48 169.= − ⋅ ⋅ − = + =

Επομένως, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες τις

1,211 169 11 13ω

8 8− ± − ±

= =

δηλαδή

1ω 3= − και 21ω .4

=

Όμως, ω 0.≥ Άρα, δεκτή είναι μόνο η 21ω .4

= Επομένως,

2 1 1 1x x ή x .4 2 2

= ⇔ = = −

iii) Παρατηρούμε ότι 4 22x 7x 3 0+ + > για κάθε x .∈

Άρα, η δοθείσα εξίσωση είναι αδύνατη.



1. i) ( ) ( )23 2 4 6 4 2 2Δ 2α 4α α 1 4α 4α 4α 4α .= − − ⋅ − = − + = ii) Oι ρίζες της εξίσωσης είναι

( )3 2 3

1,2 2 2

2α 4α 2α 2αx2 α 2α

− − ± ±= =

⋅,

δηλαδή 2

1α 1x

α+

= και 2

2α 1x .

α−

=

2. i) ( ) ( ) ( ) ( )2 2Δ 5 2 4 1 6 3 2 5 2 4 6 3 2 = − − − ⋅ ⋅ − = − − ⋅ − =

( ) ( ) ( )2 2 225 10 2 2 24 12 2 1 2 2 2 1 2 .= − + − + = + + = +

ii) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι

( ) ( )2

1,2

5 2 1 2x

2 1

− ± += =

⋅

( )5 2 1 2

2

− ± +,

δηλαδή

1x 3= και 2x 2 2.= −

3. Η διακρίνουσα είναι ( ) ( )2 2Δ α 9 4 2 α 3α 4= − − ⋅ ⋅ + + ( )2 2α 18α 81 8 α 3α 4= − + − + +

2 2α 18α 81 8α 24α 32= − + − − − 27α 42α 49.= − + Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα αν και μόνο αν

Δ 0= ⇔ 2 27α 42α 49 0 7α 42α 49 0− − + = ⇔ + − = 2α 6α 7 0 α 1 ή α 7.⇔ + − = ⇔ = = −

4. Επειδή ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 2αx βx γ 0+ + = θα την επαληθεύει. Δηλαδή, θα ισχύει

2

22 2 2 2

αρ βρ γ 1 1αρ βρ γ 0 0 α β γ 0ρρ ρ ρ ρ

+ + = ⇔ + + = ⇔ + + =

2

1 1γ β α 0.ρ ρ

⇔ + + =

Άρα, ο αριθμός 1ρ

επαληθεύει την εξίσωση

2γx βx α 0+ + =

και συνεπώς είναι ρίζα αυτής της εξίσωσης. 5. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0.≠ Επίσης, παρατηρούμε ότι ο αριθμός α είναι μία

προφανής ρίζα της. Για x 0≠ , η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται


2 21 1x x αx 1 x α x 1 0.α α

+ = + ⇔ + − − =

Για τις ρίζες 1 2x , x ισχύει

1 2 2 21x x 1 αx 1 x .α

= − ⇔ = − ⇔ =

Επομένως, η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς α και 1 .α

−

ii) H εξίσωση ορίζεται για x 0.≠ Επίσης, παρατηρούμε ότι ο αριθμός β είναι μία προφανής ρίζα της. Για x 0≠ η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

2 21 α β 1 α βx α x x x α 0.α β α α β α

+ = + ⇔ − + + =

Οπότε, 2

21 2 2 2

α αx x βx α x .1 βα

= ⇔ = ⇔ =

Άρα, οι ρίζες είναι οι αριθμοί β και 2α .

β

6. i) Η διακρίνουσα είναι ( ) ( )2 2Δ 2λ 4 1 8 4λ 32 0= − ⋅ ⋅ − = + > για κάθε λ∈ .

Επομένως, η δοθείσα εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού λ.

ii) Έστω 1 2x , x οι ρίζες της εξίσωσης με 21 2x x .= Γνωρίζουμε ότι 1 2

γx x .α

⋅ =

Οπότε, 2 3 32 2 2 2 2

8x x x 8 x 8 x 2.1−

⋅ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −

Και επειδή 21 2x x= , έχουμε ( )2

1x 2 4.= − = Άρα, οι ρίζες της εξίσωσης είναι

1 2x 4 και x 2.= = − Όμως, ο αριθμός 1x 4= είναι ρίζα της εξίσωσης

2x 2λx 8 0+ − = και συνεπώς την επαληθεύει. Δηλαδή,

24 2λ 4 8 0 16 8λ 8 0 8λ 8 0+ ⋅ − = ⇔ + − = ⇔ + = 8λ 8 λ 1.⇔ = − ⇔ = − 7. Έστω x 1, x, x 1− + διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί. Αν οι

αριθμοί αυτοί είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου, τότε ο αριθμός x 1+ που είναι ο μεγαλύτερος από τους τρεις θα εκφράζει το μήκος της υποτείνουσας (η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η υποτείνουσα).

Επομένως, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε ( ) ( )2 22 2 2 2x 1 x x 1 x 2x 1 x x 2x 1+ = + − ⇔ + + = + − +

x x 1

x 1


( )2x 4x 0 x x 4 0 x 4,⇔ − = ⇔ − = ⇔ = αφού x 0.≠ Άρα, υπάρχει ακριβώς μία τριάδα διαδοχικών ακέραιων, οι αριθμοί 3, 4 και 5, που είναι

μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 8. Επειδή το εμβαδό του σταυρού ισούται με το

εμβαδό του υπόλοιπου μέρους της σημαίας, συ-μπεραίνουμε ότι το εμβαδό του σταυρού θα ι-σούται με το μισό του εμβαδού ολόκληρης της σημαίας. Όμως, το εμβαδό του σταυρού είναι

1E EKΛΠ ΗΘΝΞ ΟΖΙΜ 2 24 d 3 d d 7d d , ενώ το εμβαδό της σημαίας είναι

2E 4 3 12m .= ⋅ = Έχουμε λοιπόν

2 21

1 12E E 7d d d 7d 6 0 d 1 ή d 6.2 2

= ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = =

Και επειδή 0 d 3,< < συμπεραίνουμε ότι d 1.= 9. Αν υποθέσουμε ότι το μηχάνημα Α χρειάζεται x ώρες, τότε το μηχάνημα Β θα χρειάζε-

ται x 12+ για να τελειώσει το έργο. Σε χρόνο μιας ώρας το μηχάνημα Α εκτελεί το 1x

μέρος του έργου, ενώ το μηχάνημα Β εκτελεί το 1x 12+

μέρος του έργου. Έτσι, σε

διάστημα 8 ωρών το μηχάνημα Α εκτελεί το 1 88x x⋅ = μέρος του έργου ενώ το μηχάνη-

μα Β το 1 88x 12 x 12⋅ =

+ + μέρος του έργου. Προσθέτοντας αυτά τα δύο μέρη, θα έ-

χουμε ολόκληρο το έργο, δηλαδή το 1 έργο. Δηλαδή,

( ) ( )8 8 1 8 x 12 8x x x 12x x 12+ = ⇔ + + = +

+

⇔ 28x 96 8x x 12x+ + = +

2x 4x 96 0.⇔ − − = Η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι

( ) ( )2Δ 4 4 1 96 16 384 400.= − − ⋅ ⋅ − = + =

Επομένως, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις, τις

( )1,2

4 400 4 20x2 1 2

− − ± ±= =

⋅

δηλαδή

1x 12= και 2x 8.= −

Δ Ξ Ν Γ

Α Η Θ Β

d

d O M Z I

Π

Ε

Λ

Κ 3m

4m


Και επειδή x 0,> συμπεραίνουμε ότι x 12= . Δηλαδή, το μηχάνημα Α χρειάζεται 12 ώρες για να τελειώσει το έργο μόνο του και συνεπώς το μηχάνημα Β χρειάζεται 12 + 12 = 24 ώρες για τον ίδιο λόγο.

10. Επειδή ο αριθμός 1 είναι ρίζα της εξίσωσης 4 2x 10x α 0− + =

θα την επαληθεύει. Έχουμε λοιπόν 21 10 1 α 0 1 10 α 0 α 9 0 α 9.4 − ⋅ + = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =

Οπότε, η εξίσωση είναι 4 2x 10x 9 0.− + =

Θέτοντας 2x ω 0= ≥ η εξίσωση γίνεται 2ω 10ω 9 0.− + =

Η διακρίνουσα είναι

( )2Δ 10 4 1 9 100 36 64.= − − ⋅ ⋅ = − =

Άρα, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

( )1,2

10 64 10 8ω2 1 2

− − ± ±= =

⋅

δηλαδή

1ω 9= και 2ω 1.= Επομένως,

2 2x 9 ή x 1 x 3 ή x 3 ή x 1 ή x 1.= = ⇔ = = − = = − Άρα, οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι οι αριθμοί 3, 3, 1 και 1.− −

Κεφάλαιο 4: Ανισώσεις 607

Κεφάλαιο 4 A N Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ

4.1. Ανισώσεις 1ου βαθμού


1. i) x 1 2x 3 x

2 4 6

6 x 1 3 2x 3 2x 6x 6 6x 9 2x

3

6x 6x 2x 6 9 10x 3 x .10

ii) x 12 x 3x

2 2 4

2 x 12 2x 3 4x 2x 24 2x 3 4x

2x 2x 4x 24 3 0x 21 , αδύνατη.

iii) x 2 1 2x x 2

2 5 10 5

5 x 2 2 1 2x x 4

5x 10 2 4x x 4 5x 4x x 10 2 4 0x 4 ,

αληθεύει για κάθε x .

2. ● 6

3x 1 x 5 3x x 1 5 2x 6 x x 3.2

● x 1

2 x2 2

4 x 2x 1 x 2x 1 4 3x 3 3x 3 x 1.

Eπομένως, 1 x 3.

3. ● 1 xx 1 2x 1 x 2

2 2 2x x 1 2 x 3.

● 1 x

x 13 3

3x 1 x 3 3x x 1 3 2x 2 x 1.

Άρα, οι δύο ανισώσεις δεν συναληθεύουν.

4. ● x 1

2x x8

16x x 1 8x 16x x 1 8x

1

16x x 8x 1 7x 1 x .7

x– 1 3 x΄

x 1 3 x΄


● x 1x 4 02+

− + <72x 8 x 1 0 3x 7 x .3

⇔ − + + < ⇔ < ⇔ <

Άρα, οι ζητούμενες τιμές του x είναι οι ακέραιοι αριθμοί του διαστήματος 1 7, .7 3

−

Δηλαδή, οι αριθμοί 0, 1 και 2. 5. i) x 3 3 x 3.< ⇔ − < < Δηλαδή, ( )x 3,3 .∈ −

ii) x 1 4 4 x 1 4 4 1 x 4 1− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ + 3 x 5.⇔ − ≤ ≤ Δηλαδή, [ ]x 3, 5 .∈ −

iii) 2x 1 5 5 2x 1 5 5 1 2x 5 1+ < ⇔ − < + < ⇔ − − < < −

6 2x 4 3 x 2.⇔ − < < ⇔ − < < Δηλαδή, ( )x 3, 2 .∈ −

6. i) x 3 x 3 ή x 3.≥ ⇔ ≤ − ≥ Δηλαδή, ( ] [ )x , 3 3,∈ −∞ − ∪ +∞ .

ii) x 1 4 x 1 4− > ⇔ − < − ή x 1 4− > x 1 4⇔ < − ή x 4 1> + x 3⇔ < − ή x 5.> Δηλαδή, ( ) ( )x , 3 5, .∈ −∞ − ∪ +∞

iii) 2x 1 5 2x 1 5+ ≥ ⇔ + ≤ − ή 2x 1 5+ ≥ 2x 5 1⇔ ≤ − − ή 2x 5 1≥ − 2x 6⇔ ≤ − ή 2x 4≥ x 3⇔ ≤ − ή x 2.≥ Δηλαδή, ( ] [ )x , 3 2, .∈ −∞ − ∪ +∞

7. i) Γνωρίζουμε ότι α α α 0.= ⇔ ≥ Επομένως,

2x 6 2x 6 2x 6 0 2x 6 x 3.− = − ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

ii) Γνωρίζουμε ότι α α α 0.= − ⇔ ≤ Επομένως,

13x 1 1 3x 3x 1 0 3x 1 x .3

− = − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

8. i) x 1 4 x 15

2 3 3− − −

+ < ( )3 x 1 4 10 2 x 1⇔ − − + < −

3 x 1 12 10 2 x 1⇔ − − + < − 3 x 1 2 x 1 12 10 x 1 2⇔ − − − < − ⇔ − <

2 x 1 2 2 1 x 2 1⇔ − < − < ⇔ − + < < + ⇔ 1 x 3.− < < Δηλαδή, ( )x 1, 3 .∈ −

ii) x 1 2 x 1 x

2 3 3+ −

− > ( ) ( )3 x 1 4 x 2 1 x 3 x 3 4 x 2 2 x⇔ + − > − ⇔ + − > −

3 x 4 x 2 x 2 3 x 1⇔ − + > − ⇔ > − . Δηλαδή, η ανίσωση αληθεύει για κάθε x .∈

9. ( )22x 6x 9 5 x 3 5 x 3 5 5 x 3 5− + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤

5 3 x 5 3 2 x 8.⇔ − + ≤ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ Δηλαδή, [ ]x 2,8 .∈ −

10. Έχουμε 0 0x x ρ ρ x x ρ− < ⇔ − < − < 0 0x ρ x x ρ.⇔ − < < +

x –1 0 1 2 3 x΄ 17

−73


Αρκεί λοιπόν να είναι 0x ρ 7− = − και 0x ρ 3.+ = Οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, βρίσκουμε 0 02x 4 x 2.= − ⇔ = − Επομένως, 2 ρ 3 ρ 5.− + = ⇔ = Άρα, η ζη-τούμενη ανίσωση είναι x 2 5.+ <

11. Επειδή η θερμοκρασία κυμάνθηκε από 41°F έως 50°F θα είναι 41 F 50≤ ≤ .

Και επειδή 9F C 325

= + , έχουμε

9 941 C 32 50 41 32 C 50 325 5

≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ −

9 5 59 C 18 9 C 18 5 C 105 9 9

⇔ ≤ ≤ ⇔ ⋅ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ .

Δηλαδή, η θερμοκρασία κυμάνθηκε από 5°C έως 10°C. Ασκήσεις Β΄ Ομάδας

1. i) 3 4x 1 6 3 1 4x 6 1 4 4x 7≤ − ≤ ⇔ + ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤4 7 7x 1 x .4 4 4

⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Δηλαδή, 7x 1, .4

∈

ii) 4 2 3x 2 4 2 3x 2 2 6 3x 4− ≤ − ≤ − ⇔ − − ≤ − ≤ − − ⇔ − ≤ − ≤ −

4 6 44 3x 6 x x 2.3 3 3

⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Δηλαδή, 4x , 2 .3 ∈

2. i) 2 x 4 2 x και x 4 x 2≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≥ και x 4.≤

● x 2 x 2 ή x 2≥ ⇔ ≤ − ≥ . Δηλαδή, ( ] [ )x , 2 2, .∈ −∞ − ∪ +∞

● x 4 4 x 4≤ ⇔ − ≤ ≤ . Δηλαδή, [ ]x 4, 4 .∈ −

Επομένως, [ ] [ ]x 4, 2 2, 4 .∈ − − ∪

ii) 2 x 5 4 2 x 5 και x 5 4≤ − ≤ ⇔ ≤ − − ≤

x 5 2⇔ − ≥ και x 5 4− ≤ .

● x 5 2 x 5 2− ≥ ⇔ − ≤ − ή x 5 2− ≥

x 2 5⇔ ≤ − + ή x 5 2≥ +

x 3⇔ ≤ ή x 7.≥ Δηλαδή, ( ] [ )x , 3 7,∈ −∞ ∪ +∞ .

● x 5 4 4 x 5 4− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ 4 5 x 4 5 1 x 4.⇔ − + ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ Δηλαδή, [ ]x 1, 9 .∈

x -4 -2 2 4 x΄


Επομένως, x 1,3 7,9 .

3. i) Ο αριθμός που αντιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ είναι ο 0

3 5x 1.

2

ii) Έστω Σ το σημείο του άξονα x x που αντιστοιχεί σε τυχαία λύση της ανίσωσης.

Έχουμε x 5 x 3 d x, 5 d x, 3 ΣΒ ΣΑ. Δηλαδή, το σημείο Σ

βρίσκεται δεξιότερα του μέσου Μ του ΑΒ. Άρα, x 1, .

iii) 2 2 2 2x 5 x 3 x 5 x 3 x 5 x 3

2 2x 10x 25 x 6x 9 16x 16 x 1.

4. i) Στο μέσο Μ του ΑΒ αντιστοιχεί ο αριθμός 0

1 7 8x 4.

2 2

ii)

Έστω Σ το σημείο του άξονα x x που αντιστοιχεί σε τυχαία λύση της εξίσωσης. Έχουμε x 1 x 7 6 d x,1 d x,7 6 ΣΑ ΣΒ ΑΒ.

Δηλαδή, το σημείο Σ είναι σημείο του τμήματος ΑΒ. Επομένως, x 1, 7 .

iii) x 1 7

x 1 + +

x 7 +

● Αν x , 1 , τότε x 1 x 7 6 1 x 7 x 6 x 1,

απορρίπτεται αφού 1 , 1 .

● Αν x 1, 7 , τότε x 1 x 7 6 x 1 7 x 6 0x 0,

που ισχύει για κάθε x 1, 7 .

● Αν x 7, , τότε x 1 x 7 6 x 1 x 7 6 x 7, δεκτή.

Επομένως, x 1 x 7 6 x 1, 7 .

x 1 3 7 9 x΄

x x΄

( )A 1 ( )M 4 ( )B 7( )Σ x

0

0

x x΄

( )A 3- ( )M 1 ( )B 5 ( )Σ x

iii)


4.2. Ανισώσεις 2ου βαθμού


1. i) Η διακρίνουσα του τριωνύμου 2x 3x 2 είναι 2Δ 3 4 1 2 9 8 1 και

συνεπώς το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

1,2

3 1 3 1x ,

2 1 2

δηλαδή 1x 2 και 2x 1. Επομένως,

2x 3x 2 x 2 x 1 .

ii) Η διακρίνουσα του τριωνύμου 22x 3x 2 είναι 2Δ 3 4 2 2 9 16 25

και συνεπώς, το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

1,2

3 25 3 5x ,

2 2 4

δηλαδή 1x 4 και 2

1x .

2 Επομένως,

2 12x 3x 2 2 x x 4 2x 1 x 4 .

2

2. i) Η παράσταση 2

2

x 3x 2

2x 3x 2

ορίζεται όταν 22x 3x 2 0. Το τριώνυμο

22x 3x 2 έχει διακρίνουσα 2Δ 3 4 2 2 9 16 25 και συνεπώς δύο

πραγματικές ρίζες, τις

1,2

3 25 3 5x ,

2 2 4

δηλαδή 1x 2 και 2

1x .

2

Άρα, η παράσταση ορίζεται για 1

x2

και x 2. Το τριώνυμο 2x 3x 2 έχει

διακρίνουσα 2Δ 3 4 1 2 9 8 1 και συνεπώς έχει δύο πραγματικές ρί-

ζες, τις

1,2

3 1 3 1x ,

2 1 2

δηλαδή 1x 2 και 2x 1. Οπότε,

2x 3x 2 x 2 x 1 .

Επίσης, 2 12x 3x 2 2 x x 2 2x 1 x 2 .

2


2

2

x 2 x 1x 3x 2 x 1 1, x και x 2.

2x 1 x 2 2x 1 22x 3x 2

ii) H παράσταση 2

2

2x 8x 42

x 49

ορίζεται όταν 2x 49 0 x 7 και x 7. Το

τριώνυμο 22x 8x 42 έχει διακρίνουσα 2Δ 8 4 2 42 64 336 400 .


Οπότε, έχει δύο πραγματικές ρίζες, 1,2

8 400 8 20x .

2 2 4

Δηλαδή, 1x 3

και 2x 7. Άρα, 22x 8x 42 2 x 3 x 7 . Έχουμε λοιπόν

2

2

2 x 3 x 7 2 x 32x 8x 42, x 7.

x 7 x 7 x 7x 49

iii) Η παράσταση 2

2

4x 12x 9

2x 5x 3

ορίζεται όταν 22x 5x 3 0. Το τριώνυμο

22x 5x 3 έχει διακρίνουσα 2Δ 5 4 2 3 25 24 1. Οπότε, έχει δύο

πραγματικές ρίζες,

1,2

5 1 5 1x ,

2 2 4

δηλαδή 1

3x

2 και 2x 1. Άρα, η

παράσταση ορίζεται για 3

x 1 και x .2

Το τριώνυμο 24x 12x 9 έχει διακρί-

νουσα 2Δ 12 4 4 9 144 144 0 . Οπότε, έχει μια διπλή ρίζα, την

12 12 3x

2 4 8 2


22 3

4x 12x 9 4 x .2

Επίσης,

2 32x 5x 3 2 x 1 x

2

. Έχουμε λοιπόν

2

2

2

3 34 x 2 x

4x 12x 9 2x 3 32 2, x 1 και x .

3 x 1 x 1 22x 5x 3 2 x 1 x2

3. i) Το τριώνυμο 2x 2x 15 έχει διακρίνουσα 2Δ 2 4 1 15 4 60 64

και επομένως έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

1,2

2 64 2 8x ,

2 1 2

δηλαδή

1x 5 και 2x 3. Και επειδή α 1 0 , το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται

στον παρακάτω πίνακα.

x 3 5

2x 2x 15 + +

Είναι λοιπόν:

● 2x 2x 15 0 για κάθε x , 3 5,

● 2x 2x 15 0 για κάθε x 3,5 .

ii) Το τριώνυμο 24x 4x 1 έχει διακρίνουσα 2Δ 4 4 4 1 16 16 0 και

επομένως έχει μία διπλή ρίζα, την 4 4 1

x2 4 8 2

. Και επειδή α 4 0 , το

πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

0 0


x 1

2

24x 4x 1 + 0 +

Είναι λοιπόν 24x 4x 1 0 για κάθε 1 1

x , , .2 2

iii) Η διακρίνουσα του τριωνύμου 2x 4x 13 είναι 2Δ 4 4 1 13 16 52 36 0

και συνεπώς το τριώνυμο είναι ομόσημο του α σε όλο το . Δηλαδή, 2x 4x 13 0 για κάθε x , αφού α 1 0 .

4. i) Το τριώνυμο 2x 4x 3 έχει διακρίνουσα Δ 16 12 4 και συνεπώς έχει δύο

πραγματικές ρίζες, τις 1,2

4 4 4 2x ,

2 1 2

δηλαδή 1x 1 και 2x 3. Και

επειδή α 1 0 , το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

x 1 3

2x 4x 3 +

Άρα, 2x 4x 3 0 για κάθε x , 1 3,

και 2x 4x 3 0 για κάθε x 1,3 .

ii) Το τριώνυμο 29x 6x 1 έχει διακρίνουσα 2Δ 6 4 9 1 36 36 0

και συνεπώς έχει μία διπλή ρίζα, την

6 6 1x

2 9 18 3

. Και επειδή

α 9 0, το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

x 1

3

29x 6x 1 0

Δηλαδή, 29x 6x 1 0 για κάθε 1 1

x , ,3 3

.

5. i) Έχουμε 2 25x 20x 5x 20x 0. Το τριώνυμο 25x 20x 5x x 4 έχει ρί-

ζες τους αριθμούς 1x 0 και 2x 4. Και επειδή α 5 0, το πρόσημό του φαίνε-

ται στον παρακάτω πίνακα.

x 0 4

5x 20x + +

Άρα, 25x 20x 0 x 0, 4 .

0 0

0 0


iii) H διακρίνουσα του τριωνύμου 2x 2x 2− + − είναι Δ 4 8 4 0.= − = − < Και επειδή α 1 0,= − < συμπεραίνουμε ότι 2x 2x 2 0− + − < για κάθε x .∈

ii) Έχουμε 2 2x 3x 4 x 3x 4 0.+ ≤ ⇔ + − ≤ Το τριώνυμο 2x 3x 4+ − έχει διακρίνου-σα ( )2Δ 3 4 1 4 9 16 25= − ⋅ ⋅ − = + = και συνεπώς έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

1,23 25 3 5x ,

2 1 2− ± − ±

= =⋅

δηλαδή 1x 1= και 2x 4.= − Και επειδή α 1 0= > , το

πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

x −∞ 4− 1 +∞

2x 3x 4+ − + − +

Άρα, [ ]2x 3x 4 0 x 4,1 .+ − ≤ ⇔ ∈ −

6. i) To τριώνυμο 2x x 2− − έχει διακρίνουσα ( ) ( )2Δ 1 4 1 2 1 8 9= − − ⋅ − = + = και άρα

έχει δύο πραγματικές ρίζες τις ( )

1,2

1 9 1 3x ,2 1 2

− − ± ±= =

⋅δηλαδή 1x 2= και

2x 1.= − Και επειδή α 1 0= > , το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακά-τω πίνακα.

x −∞ 1− 2 +∞

2x x 2− − + − +

Επομένως, ( ) ( )2x x 2 0 x , 1 2, .− − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

ii) To τριώνυμο 22x 3x 5− − έχει διακρίνουσα ( ) ( )2Δ 3 4 2 5 9 40 49= − − ⋅ − = + =

και άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες τις ( )

1,2

3 9 3 7x ,2 2 4

− − ± ±= =

⋅δηλαδή 1

5x2

=

και 2x 1.= − Και επειδή α 2 0= > , το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον πα-ρακάτω πίνακα.

x −∞ 1− 52

+∞

22x 3x 5− − + − +

Επομένως, 2 52x 3x 5 0 x 1, .2

− − < ⇔ ∈ −

7. i) Έχουμε 2 2x 4 4x x 4x 4 0+ > ⇔ − + > . To τριώνυμο 2x 4x 4− + έχει διακρίνουσα

( )2Δ 4 4 1 4 16 16 0= − − ⋅ ⋅ = − = και συνεπώς έχει μία διπλή ρίζα την ( )4 4x 22 1 2

− −= = =

⋅.

Και επειδή α 1 0= > , το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

0 0

0 0

0 0


x −∞ 2 +∞

2x 4x 4− + + 0 +

Άρα, ( ) ( )2x 4x 4 0 x , 2 2, .− + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

ii) Έχουμε 2 2x 9 6x x 6x 9 0.+ ≤ ⇔ − + ≤ Το τριώνυμο 2x 6x 9− + έχει διακρίνου-σα ( )2Δ 6 4 1 9 36 36 0= − − ⋅ ⋅ = − = και συνεπώς έχει μία διπλή ρίζα την

( )6 6x 232 1 2

− −= = =

⋅. Και επειδή α 1 0= > , το πρόσημό του φαίνεται στον παρακά-

τω πίνακα.

x −∞ 3 +∞

2x 6x 9− + + 0 +

Επομένως, 2x 6x 9 0 x 3.− + ≤ ⇔ =

8. i) Το τριώνυμο 2x 3x 5+ + έχει διακρίνουσα 2Δ 3 4 1 5 9 20 11 0= − ⋅ ⋅ = − = − < και συνεπώς είναι ομόσημο του α σε όλο το . Δηλαδή, 2x 3x 5 0+ + > για κάθε x∈ , αφού α 1 0= > . Επομένως, η δοθείσα ανίσωση είναι αδύνατη.

ii) Το τριώνυμο 22x 3x 20− + έχει διακρίνουσα

( )2Δ 3 4 2 20 9 160 151 0= − − ⋅ ⋅ = − = − <

και επομένως είναι ομόσημο του α σε όλο το . Δηλαδή, 22x 3x 20 0− + > για κάθε x∈ , αφού α 2 0.= > Άρα, η δοθείσα ανίσωση αληθεύει για κάθε x∈ .

9. Έχουμε ( )2 21 x 4x 3 0 x 4x 3 0.4

− − + > ⇔ − + < Το τριώνυμο 2x 4x 3− + έχει διακρί-

νουσα ( )2Δ 4 4 1 3 16 12 4,= − − ⋅ ⋅ = − = και συνεπώς έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

( )1,2

4 4 4 2x .2 1 4

− − ± ±= =

⋅ Δηλαδή, 1x 3= και 2x 1.= Και επειδή α 1 0= > , το πρό-

σημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

x −∞ 1 3 +∞

2x 4x 3− + + − +

Άρα, ( )2x 4x 3 0 x 1,3 .− + < ⇔ ∈

10. Έχουμε 2 22x 1 x 4 12 2x 1 x 4− < − < ⇔ − < − και 2x 4 12− <

2x 2x 1 4 0⇔ − + − + < και 2x 4 12 0− − <

2x 2x 3 0⇔ − + + < και 2x 16 0− <

2x 2x 3 0⇔ − − > και 2x 16 0.− <

0 0


● Το τριώνυμο 2x 2x 3− − έχει διακρίνουσα ( ) ( )2Δ 2 4 1 3 4 12 16= − − ⋅ ⋅ − = + = και

συνεπώς έχει δύο πραγματικές ρίζες τις ( )

1,2

2 10 2 4x2 1 2

− − ± ±= =

⋅. Δηλαδή,

1x 3= και 2x 1.= − Και επειδή α 1 0= > , το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

x −∞ 1− 3 +∞

2x 2x 3− − + − +

Άρα, 2x 2x 3 0− − > ( ) ( )x , 1 3, .⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

● Το τριώνυμο 2x 16− έχει ρίζες τους αριθμούς 4− και 4. Και επειδή α 1 0= > , το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

x −∞ 4− 4 +∞

2x 16− + − +

Άρα, 2x 16 0− < ⇔ ( )x 4, 4 .∈ −

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε

( ) ( )x 4, 1 3, 4 .∈ − − ∪

11. Το τριώνυμο 2x 6x 5− + έχει διακρίνουσα ( )2Δ 6 4 1 5 36 20 16= − − ⋅ ⋅ = − = και συνεπώς

έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις ( )

1,2

6 10 6 4x ,2 1 2

− − ± ±= =

⋅δηλαδή 1x 5= και 2x 1.=

Και επειδή α 1 0,= > το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

x −∞ 1 5 +∞

2x 6x 5− + + − +

Άρα, 2x 6x 5 0− + < ⇔ ( )x 1,5 .∈

Το τριώνυμο 2x 5x 6− + έχει διακρίνουσα ( )2Δ 5 4 1 6 25 24 1= − − ⋅ ⋅ = − = και συνεπώς

έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις ( )

1,2

5 1 5 1x ,2 1 2

− − ± ±= =

⋅δηλαδή 1x 2= και 2x 3.=

Και επειδή α 1 0= > το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

x −∞ 2 3 +∞

2x 5x 6− + + − +

0 0

0 0

x -4 -1 3 4 x΄

0 0

0 0


Άρα, 2x 5x 6 0− + > ( ) ( )x , 2 3, .⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε ( ) ( )x 1,2 3,5 .∈ ∪

Ασκήσεις Β΄ Ομάδας 1. i) Η παράσταση 2 2α αβ 2β+ − είναι τριώνυμο του α και έχει διακρίνουσα

( )2 2 2 2 2Δ β 4 1 2β β 8β 9β= − ⋅ ⋅ − = + = . Άρα, έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις

2

1,2β 9β β 3βα

2 1 2− ± − ±

= =⋅

. Δηλαδή, 1α β= και 2α 2β.= − Επομένως,

( )( )2 2α αβ 2β α β α 2β+ − = − + . Με ανάλογο σκεπτικό μπορούμε να παραγοντο-

ποιήσουμε και την παράσταση 2 2α αβ 6β− − που είναι τριώνυμο του α. Το τριώνυ-

μο αυτό έχει διακρίνουσα ( )2 2 2 2 2Δ β 4 1 6β β 24β 25β= − ⋅ − = + = . Οπότε, έχει δύο

πραγματικές ρίζες τις ( ) 2

1,2

β 25β β 5βα ,2 1 2

− − ± ±= =

⋅δηλαδή, 1α 3β= και

2α 2β.= − Επομένως,

( )( )2 2α αβ 6β α 3β α 2β .− − = − +

ii) ( )( )( )( )

2 2 i)

2 2

α β α 2βα αβ 2β α β , α 3βα 3β α 2β α 3βα αβ 6β− ++ − −

= = ≠− + −− −

και α 2β.≠ −

2. Το τριώνυμο ( )22x 2β α x αβ+ − − έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 2Δ 2β α 4 2 αβ 4β 4αβ α 8αβ= − − ⋅ ⋅ − = − + +

( )22 24β 4αβ α 2β α .= + + = +

● Αν 2β α 0+ ≠ , τότε ( )2Δ 2β α 0= + > και συνεπώς το τριώνυμο έχει δύο πραγμα-

τικές ρίζες, τις ( ) ( )2

1,2

2β α 2β αx

2 2− − ± +

= =⋅

( )α 2β α 2β.

4− ± +

Δηλαδή,

1αx2

= και 2x β.= − Επομένως,

( ) ( ) ( )( )2 22x 2β α x αβ 2 x x β 2x α x βα

+ − − = − + = − +

.

● Αν 2β α 0+ = , τότε Δ 0= και συνεπώς το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα, την

x 1 2 3 5 x΄


( )2β α 2β α 2α αx .2 2 4 4 2

− − − += = = =

⋅

Επομένως, ( ) ( )2

22 α2x 2β α x αβ 2 x 2 x β .2

+ − − = − = +

3. Το τριώνυμο 2 2x 3αx 2α− + έχει διακρίνουσα ( )2 2 2 2 2Δ 3α 4 1 2α 9α 8α α= − − ⋅ ⋅ = − =

και συνεπώς έχει δύο πραγματικές ρίζες ( ) 2

1,2

3α α 3α αx2 1 2

− − ± ±= =

⋅, δηλαδή

1x α= και 2x 2α.= Άρα, ( )( )2 2x 3αx 2α x α x 2α .− + = − − Ο αριθμητής

( )2 2x αx βx αβ x α β x αβ− + − = − − − μπορεί να παραγοντοποιηθεί σαν τριώνυμο του x αλλά μπορεί να παραγοντοποιηθεί πιο απλά ως εξής.

( ) ( ) ( )( )2x αx βx αβ x x α β x α x α x β− + − = − + − = − + .

Έχουμε λοιπόν ( )( )( )( )

2

2 2

x α x βx αx βx αβ x β , x α και x 2α.x α x 2α x 2αx 3αx 2α− +− + − +

= = ≠ ≠− − −− +

4. Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι

( ) ( )2 2 2 2Δ 3λ 4λ λ 5 9λ 4λ 20λ 5λ 20λ= − + = − − = − (τριώνυμο του λ).

Oι ρίζες και το πρόσημο της διακρίνουσας Δ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

λ −∞ 0 4 +∞

25λ 20λ− + − +

Άρα, η δοθείσα εξίσωση: i) έχει ρίζες ίσες αν και μόνο αν Δ 0 λ 0= ⇔ = και λ 4= ii) έχει ρίζες άνισες αν και μόνο αν ( ) ( )Δ 0 λ , 0 4,> ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

iii) είναι αδύνατη αν και μόνο αν ( )Δ 0 λ 0, 4 .< ⇔ ∈

5. Το τριώνυμο 2x 3λx λ+ + έχει α 1 0.= > Επομένως, για να αληθεύει η ανίσωση 2x 3λx λ 0+ + > για κάθε x ,∈ πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι αρνη-

τική. Δηλαδή,

( )2 2Δ 0 3λ 4 1 λ 0 9λ 4λ 0< ⇔ − ⋅ ⋅ < ⇔ − < ( ) 4λ 9λ 4 0 λ 0, .9

⇔ − < ⇔ ∈

λ −∞ 0 49

+∞

29λ 4λ− + − +

6. i) Έχουμε ( ) ( ) ( )2 2Δ 2λ 4 λ 2 3λ 4λ 12λ λ 2= − − ⋅ + ⋅ = − + 2 2 24λ 12λ 24λ 8λ 24λ.= − − = − −

0 0

0 0


Οπότε, 2 2Δ 0 8λ 24λ 0 8λ 24λ 0< ⇔ − − < ⇔ + >

( ) ( ) ( )2λ 3λ 0 λ λ 3 0 λ , 3 0, .⇔ + > ⇔ + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

λ −∞ 3− 0 +∞

2λ 3λ+ + − +

ii) Η ανίσωση ( ) 2λ 2 x 2λx 3λ 0, λ 2+ − + < ≠ − αληθεύει για κάθε x ,∈ αν και μόνο αν

Δ 0< και λ 2 0+ < ( ) ( )λ , 3 0,⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ και λ 2< − .

( )λ , 3 .⇔ ∈ −∞ −

7. Είναι φανερό ότι εύρεση των θέσεων του σημείου Μ ση-μαίνει εύρεση των τιμών του ( )x 0, 3 .∈ Επειδή

AE x= και AB 3= , θα είναι

EB AB AE 3 x.= − = − Οπότε, MΘ EB 3 x= = − . Επομένως,

( ) 2ΗΑΕΜ x= και ( ) ( ) ( )2MΘΓΖ 3 x , με x 0,3 .= − ∈ Όμως, το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων

είναι μικρότερο του 5. Δηλαδή,

( ) ( ) ( )22 2 2HAEM MΘΓΖ 5 x 3 x 5 x 9 6x x 5+ < ⇔ + − < ⇔ + − + <

( )2 22x 6x 4 0 x 3x 2 0 x 1, 2 .⇔ − + < ⇔ − + < ⇔ ∈

8. i) Tην παράσταση 2 2α αβ β− − μπορούμε να τη θεωρήσουμε ως τριώνυμο με μετα-βλητή το α. Έτσι, το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα

( )2 2 2 2 2Δ β 4 1 β β 4β 3β 0, αφού β 0.= − − ⋅ ⋅ = − = − < ≠

Άρα, 2 2α αβ β 0− + > για κάθε α,β∈ με α,β 0≠ , αφού ο συντελεστής του 2α είναι το 1 0> .

ii) Έχουμε 2 2 2 2α β α β αβ α αβ βΑ 1 .

β α αβ αβ+ − − +

= + − = = Από το προηγούμενο ερώτη-

μα γνωρίζουμε ότι 2 2α αβ β 0.− + > Οπότε, το πρόσημο της παράστασης Α συμπί-πτει με το πρόσημο του παρονομαστή αβ. Δηλαδή,

● Αν αβ 0,> τότε Α 0> ● Αν αβ 0,< τότε Α 0.<

Δ Ζ Γ

Α x Ε 3-x Β

H M 3-x Θ

3

0 0


Κεφάλαιο 5 ΠΡΟΟΔΟΙ

5.1. Aκολουθίες


1. i) 3, 5, 7, 9, 11 ii) 2, 4, 8, 16, 32 iii) 2, 6, 12, 20, 30 iv) 0, 1, 2, 3, 4

v) 1 – 0,1, 0,01 – 0,001, 0001 vi) 3 3 9 15 33, , , ,2 4 8 16 32

vii) 4, 3, 2, 1, 0 viii) 2 2 2, 1, , 0,2 2 2

−

ix) 8 322, 1, , 1,9 25

x) 1 1 1 11, , , ,2 3 4 5

− −

xi) 1, –1, 1, –1, 1.

2. i) 2, 1 ,2

2, 12

, 2 ii) 0, 1, 2, 5, 26

iii) 3, 4, 6, 10, 18. 3. i) Έχουμε 1α 6= και ( )ν 1 να α ν 1 5 ν 5 1+ − = + + − − = για κάθε ν *∈ , δηλαδή

ν 1 να 1 α+ = + για κάθε ν *.∈

ii) Έχουμε 1α 2= και ν 1

ν 1ν

ν

α 2 2α 2

++ = = για κάθε ν *∈ , δηλαδή

ν 1 να 2α+ = για κάθε ν *.∈

iii) Έχουμε 1α 1= και ( )ν 1 νν 1 να 2 1 2 2 1 2 1 α 1++ = − = ⋅ − = ⋅ + − για κάθε ν *∈ ,

δηλαδή ν 1 να 2α 1+ = + για κάθε ν *.∈

iv) Έχουμε 1α 8= και ( )ν 1 να α 5 ν 1 3 5ν 3 5+ − = + + − − = για κάθε ν *∈ , δηλαδή

ν 1 να 5 α+ = + για κάθε ν *.∈

4. i) Έχουμε 1

2 1

3 2

ν ν 1

α 1α α 2α α 2.................α α 2.−

== += +

= +

Από τις παραπάνω ισότητες προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε ( )να 1 ν 1 2 2ν 1= + − ⋅ = − για κάθε ν *.∈

Kεφάλαιο 5: Πρόοδοι 621

ii) Έχουμε 1

2 1

3 2

ν ν 1

α 3α 5αα 5α..............α 5α .−

===

=

Από τις παραπάνω ισότητες πoλλαπλασιάζοντας κατά μέλη βρίσκουμε ν 1

να 3 5 −= ⋅ για κάθε ν *.∈

5.2. Αριθμητική πρόοδος


1. Έχουμε

1α 7= και ω 10 7 3= − = . Επομένως, i) ( )να 7 ν 1 3 3ν 4= + − ⋅ = + για κάθε ν *∈

ii) ( )να 11 ν 1 2 2ν 9= + − ⋅ = + για κάθε ν *∈

iii) ( )( )να 5 ν 1 3 3ν 8= + − − = − + για κάθε ν *∈

iv) ( )ν1 1 3α 2 ν 1 ν2 2 2

= + − ⋅ = + για κάθε ν *∈

v) ( )( )να 6 ν 1 3 3ν 3= − + − − = − − για κάθε ν *∈ .

2. i) ( )15α 2 15 1 5 68= − + − ⋅ = ii) ( )20α 11 20 1 7 144= + − ⋅ =

iii) ( )30α 4 30 1 11 323= + − ⋅ = iv) ( )35α 17 35 1 8 289= + − ⋅ =

v) ( )502 101α 1 50 13 3

= + − ⋅ = vi) ( )471 3α 47 1 35.2 4

= + − ⋅ =

3. i) Έχουμε 6 1α 12 α 5ω 12= ⇔ + = (1) και 10 1α 16 α 9ω 16= ⇔ + = (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) αφαιρώντας κατά μέλη βρίσκουμε 4ω 4 ω 1.= ⇔ =

Οπότε, αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει 1α 7.= ii) Έχουμε 5 1α 14 α 4ω 14= ⇔ + = (1)


και 12 1α 42 α 11ω 42= ⇔ + = (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) βρίσκουμε ω 4= και 1α 2.= − iii) Έχουμε 3 1α 20 α 2ω 20= ⇔ + = (1) και 7 1α 32 α 6ω 32= ⇔ + = (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) βρίσκουμε ω 3= και 1α 14.=

4. i) Έχουμε 5 1α 5 α 4ω 5= − ⇔ + = − (1) και 15 1α 2 α 14ω 2= − ⇔ + = − (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) βρίσκουμε

3ω 0,310

= = και 1α 6,2= − .

Άρα,

50 1α α 49ω 6,2 49 0,3 8,5.= + = − + ⋅ = ii) Έχουμε 7 1α 55 α 6ω 55= ⇔ + = (1) και 22 1α 145 α 21ω 145= ⇔ + = (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) βρίσκουμε ω 6= και 1α 19= . Άρα,

18 1α α 17ω 19 17 6 121.= + = + ⋅ =

5. i) Έχουμε ( )ν 1α 97 α ν 1 ω 97= ⇔ + − = −

( )2 ν 1 5 97

5ν 100ν 20.

⇔ + − =

⇔ =⇔ =

Eπομένως, ο ζητούμενος όρος είναι ο 20α .

ii) Έχουμε ( )ν 1α 97 α ν 1 ω 97= − ⇔ + − =

( )( )80 ν 1 3 97

3ν 180ν 60.

⇔ + − − = −

⇔ − = −⇔ =

Άρα, ο ζητούμενος όρος είναι ο 60α .

6. i) 10 40 30 15.2 2− −

= = −


ii) ( )5x 1 113x 2 5x 12 6x 4

2+ +

= − ⇔ + = − x 16 x 16.⇔ − = − ⇔ =

7. Αν είναι x ο μεγαλύτερος αριθμός και y ο μικρότερος, τότε έχουμε x y 10− = (1) και

x y 25 x y 502+

= ⇔ + = (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι x 30= και y 20.=

8. i) Έχουμε 1α 7, ω 9 7 2= = − = και ν 40= .

Επομένως, ( )40S 2 7 40 1 2 20 92 18402

= ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ = .

ii) Έχουμε 1α 0, ω 2= = και ν 40= .

Επομένως, ( )40S 2 0 40 1 2 20 78 15602

= ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ = .

iii) Έχουμε 1α 6, ω 4= = και ν 40= .

Επομένως, ( )40S 2 6 40 1 4 20 168 33602

= ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ = .

iv) Έχουμε 1α 7, ω 5= − = και ν 40= .

Επομένως, ( ) ( )40S 2 7 40 1 5 20 181 3620.2

= ⋅ ⋅ − + − ⋅ = ⋅ =

9. i) Έχουμε 1α 2, ω 3= = − και ν 80= .

Επομένως, ( ) ( ) ( )80S 2 2 80 1 3 40 233 93202

= ⋅ ⋅ + − ⋅ − = ⋅ − = − .

ii) Έχουμε 11 2α , ω3 3

= − = και ν 80= .

Επομένως, ( )80 1 2S 2 80 1 40 52 20802 3 3

= ⋅ ⋅ − + − ⋅ = ⋅ = .

10. i) Πρόκειται για άθροισμα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με

1α 1,= ω 4= και να 197= .

Έχουμε ( ) ( )ν 1α α ν 1 ω 197 1 ν 1 4 ν 50.= + − ⇔ = + − ⋅ ⇔ =

Επομένως, ( ) ( )1 νν 50S α α 1 197 4950.2 2

= + = + =

ii) Πρόκειται για άθροισμα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με

1α 9,= ω 3= και να 90= . Έχουμε ( ) ( )ν 1α α ν 1 ω 90 9 ν 1 3 ν 28.= + − ⇔ = + − ⋅ ⇔ =

Επομένως, ( )2828S 9 90 14 99 1386.2

= + = ⋅ =


iii) Πρόκειται για άθροισμα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με

1α 7,= − ω 3= − και να 109= − . Έχουμε ( ) ( ) ( )ν 1α α ν 1 ω 109 7 ν 1 3 ν 35.= + − ⇔ − = − + − ⋅ − ⇔ =

Επομένως, ( ) ( )3535 35S 7 109 116 2030.2 2

= − − = ⋅ − = −

11. i) Έχουμε 1α 4, ω 4= = και νS 180.=

Όμως, ( ) ( )ν 1ν νS 2α ν 1 ω 180 2 4 ν 1 42 2

= + − ⇔ = ⋅ + − ⋅

( ) 2

2

ν180 4ν 4 4ν 4ν 3602

ν ν 90 0 ν 9 ή ν 10ν 9, αφού ν *.

⇔ = + ⇔ + =

⇔ + − = ⇔ = = −⇔ = ∈

Άρα, πρέπει να πάρουμε τους 9 πρώτους όρους. ii) Έχουμε 1α 5, ω 5= = και νS 180.= Εργαζόμενοι όμοια με το ερώτημα i) βρίσκουμε ν 8.= 12. Έχουμε 1α 53, ω 2= = − και ν 15.= Επομένως, ( )( )15α 53 15 1 2 53 28 25= + − − = − =

και ( )1515 15S 25 53 78 585.2 2

= + = ⋅ =


1. Έχουμε ( )ν 1 να α 12 4ν ν 1 12 4ν+ − = − + − + 12 4ν 4 12 4ν= − − − + 4= − για κάθε ν *.∈

Άρα, η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω 4= − και 1α 12 4 1 8.= − ⋅ =

2. i) Oι περιττοί αριθμοί 1, 3, 5, 7, … αποτελούν αριθμητική πρόοδο με

1α 1= και ω 2.=

Έχουμε ( )200α 1 200 1 2 399.= + − ⋅ =

Άρα, ( )200200S 1 399 100 400 40000.2

= ⋅ + = ⋅ =

ii) Οι άρτιοι αριθμοί 2, 4, 6, 8, … αποτελούν αριθμητική πρόοδο με 1α 2= και ω 2.=

Έχουμε ( )300α 2 300 1 2 600.= + − =

Επομένως, ( )300300S 2 600 150.602 90.300.

2= ⋅ + = =


iii) Το ζητούμενο άθροισμα είναι 17 19 ... 379+ + + και οι προσθετέοι του, σε αύξουσα σειρά, είναι διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου με 1α 17, ω 2= = και

να 379.= Έχουμε ( ) ( )ν 1α α ν 1 ω 379 17 ν 1 2 ν 182.= + − ⇔ = + − ⇔ =

Επομένως, ( )182182S 17 379 91 396 36036.

2= + = ⋅ =

3. i) Το ζητούμενο άθροισμα είναι 5 10 15 ... 195+ + + + και οι προσθετέοι του είναι δια-δοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου με 1α 5, ω 5= = και να 195.= Έχουμε

( ) ( )ν 1α α ν 1 ω 195 5 ν 1 5 ν 39.= + − ⇔ = + − ⋅ ⇔ =

Επομένως, ( )3939S 5 195 39 100 3900.2

= + = ⋅ =

ii) Το ζητούμενο άθροισμα είναι 12 15 ... 198+ + + και οι προσθετέοι του είναι διαδο-χικοί όροι της αριθμητικής πρόοδου με 1α 12, ω 3= = και να 198.= Έχουμε

( ) ( )ν 1α α ν 1 ω 198 12 ν 1 3 ν 63.= + − ⇔ = + − ⋅ ⇔ =

Επομένως, ( )6363 63S 12 198 210 3 105 6615.2 2

= + = ⋅ = 6 ⋅ =

4. i) Έχουμε ( )ν 1 να α 5 ν 1 4 5ν 4 5+ − = + − − + = για κάθε ν *.∈ Επομένως, η ακο-λουθία είναι αριθμητική πρόοδος με 1α 5 1 4 1,= ⋅ − = ω 5= και

30α 5 30 4 146= ⋅ − = .

Άρα, ( )3030S 1 146 15 147 2205.2

= + = ⋅ =

ii) Έχουμε ( )ν 1 να α 5 ν 1 3 5ν 3 5+ − = − + − + + = − για κάθε ν *.∈

Επομένως, η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με

1α 5 1 3 8,= − ⋅ − = − ω 5= − και 40α 5 40 3 203.= − ⋅ − = −

Άρα, ( ) ( )4040S 8 203 20 201 4220.2

= − − = ⋅ − = −

5. To ζητούμενο άθροισμα προκύπτει αν από το άθροισμα 1 2 3 ... 200+ + + + αφαιρέσου-με το άθροισμα 4 8 12 ... 200+ + + + των πολλαπλασίων του 4 και το άθροισμα 9 18 27 ... 198+ + + + των πολλαπλασίων του 9. Όμως, στα πολλαπλάσια του 4 και του 9 ανήκουν και τα πολλαπλάσια του 36, τα οποία δεν πρέπει να αφαιρεθούν δύο φορές. Οπότε, για να βρούμε το ζητούμενο άθροισμα θα προσθέσουμε μία φορά τα πολλαπλά-σια του 36. Δηλαδή, ( ) ( ) ( ) ( )S 1 2 3 ... 200 4 8 12 ... 200 9 18 27 ... 198 36 72 ... 180 .= + + + + − + + + + − + + + + + + + +

Όμως, ( )2001 2 3 ... 200 1 200 100 201 20100,2

+ + + + = + = ⋅ =

( )504 8 12 ... 200 4 200 25 204 5100,2

+ + + + = + = ⋅ =


( )229 18 ... 198 9 198 11 207 22772

+ + + = + = ⋅ =

και

( )5 536 72 ... 180 36 180 216 5 108 540.2 2

+ + + = + = ⋅ = ⋅ =

Επομένως, S 20100 5100 2277 540 13263.= − − + =

6. To άθροισμα ν πρώτων όρων της προόδου είναι

( ) ( )ν 1ν νS 2α ν 1 ω 2 1 ν 1 2 .2 2

= + − = ⋅ + − ⋅


( )ννS 400 2 1 ν 1 2 4002

> ⇔ ⋅ + − ⋅ > 2ν 400⇔ >

ν 20, αφού ν *.⇔ > ∈

7. ● Για την 1η γραμμή του πίνακα έχουμε

( ) ( )( )ν 1α α ν 1 ω 120 12 1 10 120 110 10= + − = + − − = − =

και

( ) ( )ν 1 νν 12S α α 120 10 6 130 780.2 2

= + = + = ⋅ =

● Για την 2η γραμμή του πίνακα έχουμε ( ) ( )ν 1α α ν 1 ω 109 5 27 1 ω ω 4= + − ⇔ = + − ⇔ =

και

( ) ( )ν 1 νν 27 27S α α 5 109 114 1539.2 2 2

= + = + = ⋅ =

● Για την 3η γραμμή του πίνακα έχουμε

( ) [ ]ν 1 1 1ν 12S 2α ν 1 ω 210 2α 11 3 α 12 2

= + − ⇔ = + ⋅ ⇔ =

και ( )ν 1α α ν 1 ω 1 11 3 34.= + − = + ⋅ =

● Για την 4η γραμμή του πίνακα έχουμε ( )ν 1 1 1α α ν 1 ω 8 α 15 2 α 38= + − ⇔ − = + ⋅ ⇔ = −

και

( ) ( ) ( )ν 1 2ν 16S α α 38 8 8 46 368.2 2

= + = − − = ⋅ − = −

8. Τις πρώτες 12 ώρες ο αριθμός των χτυπημάτων είναι

( )121 2 3 ... 12 1 12 6 13 78.2

+ + + + = + = ⋅ =

Άρα, σε 24 ώρες ακούγονται 2 78 156⋅ = χτυπήματα.


9. Το πλήθος των συνολικών θέσεων του σταδίου είναι το άθροισμα 33S των 33 πρώτων όρων αριθμητικής προόδου με 1α 800= και 33α 4160.= Επομένως,

( )3333 33S 800 4160 4960 33 2480 81840.2 2

= + = ⋅ = ⋅ =

Το πλήθος των θέσεων της μεσαίας, δηλαδή της 17ης σειράς, είναι

( )17α 800 17 1 105 800 16 105 2480.= + − ⋅ = + ⋅ = 10. Έστω 1 2 10x , x , ..., x οι ζητούμενοι αριθμοί. Οι αριθμοί 1 2 103, x , x ,...,x ,80 είναι δώδεκα

πρώτοι όροι αριθμητικής προόδου. Επομένως, ( )ν 1α α ν 1 ω 80 3 11ω ω 7.= + − ⇔ = + ⇔ =

Άρα, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73.

11. Έχουμε ( ) ( )ν ν 1 ν 2 ... 1ν 1 ν 2 ν 2 11 ...

ν ν ν ν ν+ − + − + +− − −

+ + + + + =

( )ν ν 1ν 12 .

ν 2

++

= =

12. Το 1ο μέτρο θα κοστίσει 20 ευρώ. Το 2ο μέτρο θα κοστίσει 25 ευρώ. Το 3ο μέτρο θα κοστίσει 30 ευρώ. Αν η γεώτρηση πάει σε βάθος ν μέτρων, τότε το συνολικό κόστος θα είναι

( )ν 1νS 2α ν 1 ω2

= + − ( )ν 2 20 ν 1 5 .2

= ⋅ + −

Όμως, ο αγρότης διαθέτει 4700 ευρώ. Επομένως,

( ) ( )ν 2 20 ν 1 5 4700 20ν 2,5ν ν 1 47002

⋅ + − ≤ ⇔ + − ≤

( )

( )( )

28ν ν ν 1 1880 ν 7ν 1880 0

ν 40 ν 47 0 47 ν 40.

⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤

⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ≤

Άρα, η γεώτρηση μπορεί να πάει σε βάθος 40 μέτρων. ________________________

5.3. Γεωμετρική πρόοδος


1. i) ν 1να 3 2 , ν *−= ⋅ ∈ ii) ν 1 ν 2

ν2α 3 2 3 , ν *3

− −= ⋅ = ⋅ ∈

iii) ν 1 ν 1να 9 3 3 , ν *− += ⋅ = ∈ iv)

ν 1

ν ν 1

1 1 1α , ν *4 2 2

−

+

= ⋅ = ∈


v) ν 1

4ν ν 1 ν 5

1 1 1α 16 2 , ν *2 2 2

−

− −

= ⋅ = ⋅ = ∈

vi) ν 1

2ν ν 1 ν 3

1 1 2α 18 2 3 , ν *3 3 3

−

− − = ⋅ = ⋅ ⋅ = ∈

vii) ( )ν 1 ν 1να 1 0,4 0,4 , ν *− −= ⋅ = ∈

viii) ( ) ( ) ( )ν 1 ννα 2 2 2 , ν *−= − ⋅ − = − ∈ ix) ( ) ( ) ( )ν 1 ν

να 3 3 3 , ν *−= − ⋅ − = − ∈ .

2. i) 89

1α 2 644

= ⋅ = ii) 67α 2 3 1458= ⋅ =

iii) 7

81 1α 7293 3

= ⋅ =

iv) ( )910α 1 2 512= ⋅ − = −

v) 8 53 8 5

9 3 8 5

8 3 2 3 3 3α .27 2 23 2 2

= ⋅ = ⋅ = =

3. i) Έχουμε 51

32 α 23= ⋅ και συνεπώς 1 5

32 1α33 2

= =⋅

.

ii) Έχουμε 3

127 3α

128 4 = ⋅

δηλαδή 3 3

17 6

3 3α2 2

= ⋅ και τελικά 11α .2

=

4. i) Έχουμε 23 1α 12 α λ 12= ⇔ = και 5

6 1α 96 α λ 96.= ⇔ = Επομένως, 5

312

1

α λ 96 λ 8 λ 2.12α λ

= ⇔ = ⇔ =

ii) Έχουμε 2 18 8α α λ3 3

= ⇔ = και 45 1

64 64α α λ .81 81

= ⇔ = Άρα,

3431

1

α λ 8 2 2λ λ .α λ 27 3 3

= ⇔ = ⇔ =

5. i) Έχουμε 34 1α 125 α λ 125= ⇔ = και 9

10 1125 125α α λ .64 64

= ⇔ = Άρα,

6961

31

α λ 1 1 1λ λ .64 2 2α λ

= ⇔ = ⇔ = ±

● Για 1λ2

= έχουμε 31 13

1α 125 α 125 2 1000.2

= = ⇔ = ⋅ =

Οπότε, 13

141 1000α 1000 .2 8192

= ⋅ =

● Για 1λ2

= − έχουμε 3

1 11α 125 α 1000.2

− = ⇔ = −

Οπότε, 141000α8192.

=

ii) Έχουμε 1213 1α 2 α λ 2= ⇔ = και 22

23 1α 32 2 α λ 32 2.= ⇔ = Επομένως,


2210 51

121

α λ 32 2 λ 2 λ 2.α λ 2

= ⇔ = ⇔ = ±

● Για λ 2= έχουμε 61 1 6

2α 2 2 α .2

⋅ = ⇔ =

Οπότε, 10 421 6

2α 2 2 2 16 2.2

= ⋅ = ⋅ =

● Για λ 2= − έχουμε 1 6

2α2

= και 21α 16 2.=

6. i) Έστω να ο όρος που ισούται με 768. Δηλαδή,

ν 1 ν 1να 768 3 2 768 2 256− −= ⇔ ⋅ = ⇔ = ν 1 82 2 ν 1 8 ν 9.−⇔ = ⇔ − = ⇔ =

7. i) Έχουμε ν 1 ν 1να 2000 4 2 2000 2 2000.− +> ⇔ ⋅ > ⇔ >

Όμως, 102 1024= και 112 2048.= Άρα, ν 1 10 ν 9.+ > ⇔ > Επομένως, ο πρώτος όρος που υπερβαίνει το 2000 είναι ο 10ος.

ii) Έχουμε ν 1 ν 1ν ν 1

1 128α 0,25 128 0,25 2 2 512.0,252

− −−< ⇔ ⋅ < ⇔ > ⇔ >

Όμως, 82 256= και 92 512.= Άρα, ν 1 9 ν 10.− > ⇔ > Επομένως, ο πρώτος όρος που είναι μικρότερος του 512 είναι ο 11ος.

8. i) 5 20 100 10⋅ = = και 1 3 1 1.3⋅ = =

ii) ( ) ( )( )2 2 2x 1 x 4 x 19 x 2x 1 x 23x 76+ = − − ⇔ + + = − + 25x 75 x 3.⇔ = ⇔ =

9. i) 10

102 1S 1 10232 1−

= ⋅ =−

ii) 10

103 1 59048S 3 3 3 29524 885723 1 2−

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =−

iii) ( )10

10

2 1 1023S 4 4 4 341 13642 1 3

− −= − ⋅ = − ⋅ = ⋅ =

− − −.

10. i) Έχουμε ν 1 ν 1να 8192 2 4 8192 4 4096− −= ⇔ ⋅ = ⇔ =

ν 1 64 4 ν 1 6 ν 7.−⇔ = ⇔ − = ⇔ =

Eπομένως, 7

74 1 16383S 2 2 2 5461 10922.4 1 3−

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =−

ii) Έχουμε ν 1 ν 1

ν1 1 1 1 1α 4

512 2 512 2 2048

− − = ⇔ ⋅ = ⇔ =

ν 1 111 1 ν 1 11 ν 12.

2 2

− ⇔ = ⇔ − = ⇔ =


Επομένως,

12

12

1 1 40951 1 2 4095 40952 4096 4096S 4 4 4 4 .1 1 1 4096 51212 2 2

− − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =− −

iii) Έχουμε ( ) ( ) ( )ν 1 ν 1 8να 256 1 2 256 2 2 .− −= ⇔ ⋅ − = ⇔ − = −

Επομένως, ( )9

9

2 1 513S 1 171.2 1 3

− − −= ⋅ = =

− − −

11. Αρχικά έχουμε 1α 3= σε 1 ώρα 2α 3 2= ⋅

σε 2 ώρες 2

3α 3 2= ⋅

σε 3 ώρες 3

4α 3 2= ⋅ …………… και σε 12 ώρες 12

13α 3 2 12288= ⋅ = βακτηρίδια. 12. Αρχικά έχουμε 1α 60.=

Μετά την 1η αναπήδηση 21α 60 .3

= ⋅

Μετά τη 2η αναπήδηση 2

31α 60 .3

= ⋅

Μετά την 3η αναπήδηση 3

41α 60 .3

= ⋅

Μετά την 4η αναπήδηση, 4

51 60 20α 603 81 27

= ⋅ = =

μέτρα.


1. i) Έχουμε

ν 1

ν 1 ν 1ν 2ν 1

ν ν ν 2ν

ν 1

2α 2 3 23α 32 2 3

3

+

+ +++

+

+

⋅= = =

⋅ για κάθε ν *.∈

Επομένως, η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με 2λ3

= και 12α .9

=

2. Oι δεδομένοι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν

( ) ( )( )2

4 10ν 4 ν 5 ν 2 10ν 4 ν 5 ν 2+ = − ⋅ + ⇔ + = − +

( )( )ν 5 ν 2 10ν 4 και ν 5⇔ − + = + >

2ν 13ν 14 0 και ν 5⇔ − − = >


13 225ν και ν 52

±⇔ = >

ν 14.⇔ = 3. i) Έστω γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο 1α και λόγο λ. Οι όροι αυτής της προό-

δου είναι 2 3 ν

1 1 1 1 1α , α λ, α λ , α λ , ..., α λ .... και τα τετράγωνά τους 2 2 2 2 4 2 6 2 2ν

1 1 1 1 1α , α λ , α λ , α λ , ..., α λ ....

Παρατηρούμε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο 21α

και λόγο 2λ . ii) Αν υψώσουμε κάθε όρο της προόδου στην k προκύπτει η ακολουθία

k k k k 2k k 3k k νk1 1 1 1 1α , α λ , α λ , α λ , ..., α λ

Παρατηρούμε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο κ1α

και λόγο κλ . 4. Έχουμε ( )1 2 1 1 1α α 3 3 α α λ 3 3 α 1 λ 3 3+ = + ⇔ + = + ⇔ + = + (1)

και

( ) ( )2 31 2 3 4 1 1α α α α 4 3 3 3 3 α λ α λ 4 3 3+ + + = + ⇔ + + + = +

( ) ( )21α λ 1 λ 3 3 3⇔ + = + (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει 2λ 3 λ 3 ή λ 3= ⇔ = = − .

● Για λ 3= από την (1) παίρνουμε ( )1 13 3α 1 3 3 3 α 31 3+

+ = + ⇔ = =+

● Για λ 3= − από την (1) παίρνουμε ( )1 13 3α 1 3 3 3 α 3 2 31 3+

− = + ⇔ = = − −−

.

5. Έχουμε ( )5 4

2 6 1 1 1α α 34 α λ α λ 34 α λ λ 1 34+ = ⇔ + = ⇔ + = (1)

και ( )2 6 2 4

3 7 1 1 1α α 68 α λ α λ 68 α λ λ 1 68+ = ⇔ + = ⇔ + = (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2), διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει λ 2= και με αντικατά-σταση στη σχέση (1) βρίσκουμε 1α 1.= Άρα,

10

102 1S 1 1024 1 1023.2 1−

= ⋅ = − =−


6. Έστω να ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από ν χρόνια. Τον επόμενο χρόνο, δηλαδή

ύστερα από ν 1+ χρόνια, θα είναι ν 1 ν ν ν2α α α 1,02 α

100+ = + ⋅ = ⋅ . Άρα, ο αναδρομικός

τύπος της ακολουθίας είναι ν 1 να 1,02 α .+ = ⋅ Επομένως, η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο 1α 90 1,02= ⋅ και λόγο λ 1,02.= Επομένως,

ν 1 ννα 90 1,02 1,02 90 1,02 .−= ⋅ ⋅ = ⋅

Ύστερα από 10 χρόνια ο πληθυσμός της χώρας θα είναι 10

10α 90 1,02= ⋅ δηλαδή περίπου 109.800.000 κάτοικοι. 7. Η ένταση του φωτός αφού διέλθει μέσα από ν φίλτρα είναι νΙ . Οπότε, η έντασή του

αφού διέλθει και μέσα από το επόμενο φίλτρο, δηλαδή αφού διέλθει συνολικά μέσα από ν 1+ φίλτρα είναι

ν 1 ν ν ν10Ι Ι Ι 0,91 .100+ = − =

Δηλαδή, ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας είναι ν 1 νΙ 0,91 Ι .+ = ⋅

Άρα, η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο 1 0Ι Ι 0,9= ⋅ και λόγο λ 0,9.= Επομένως,

ν 1 ν 1 νν 1 0 0Ι Ι 0,9 Ι 0,9 0,9 Ι 0,9− −= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ για κάθε *ν .∈

Οπότε, 10

10 0Ι Ι 0,9 .= ⋅ 8. i) Οι 11 ενδιάμεσοι τόνοι με τους δύο ακραίους C′ και C′′ αποτελούν διαδοχικούς

όρους γεωμετρικής προόδου με 1α 261= και 13α 522.= Έχουμε 12 12

13α 522 261 λ 522 λ 2.= ⇔ ⋅ = ⇔ = ii) Η συχνότητα του 5ου τόνου είναι

125 55 1α α λ 261 2 .= ⋅ = ⋅

9. i) Η ποσότητα του νερού στο ψυγείο, αφού εφαρμόσουμε τη διαδικασία ν φορές, είναι νD . Oπότε, η ποσότητα αυτή, αν εφαρμόσουμε τη διαδικασία μία ακόμα φο-ρά, δηλαδή ν 1+ συνολικά φορές είναι

( )νν 1 ν ν ν ν ν

DD D 4 D 0,1 D 1 0,1 D 0,9D .

40+ = − ⋅ = − ⋅ = − =

Επομένως, η ακολουθία νD είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο 1D 36= και λόγο λ 0,9.= Άρα,

ν 1νD 36 0,9 −= ⋅ για κάθε ν *.∈

ii) Έχουμε 67D 36 0,9 19,13.= ⋅ Επομένως, η ποσότητα του αντιπηκτικού είναι

περίπου 40 19,13 20,87lt.− = 10. Επειδή διπλασιάζουμε κάθε φορά τον αριθμό των κόκκων έχουμε

ν 1 να 2 α+ = ⋅ για κάθε ν *.∈


Άρα, η ακολουθία ( )να είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο 1α 1= και λόγο λ 2.= Οπότε,

ν 1 ν 1να 1 2 2− −= ⋅ = για κάθε ν *.∈

Συνολικά σε όλα τα τετραγωνάκια πρέπει να μπουν 64

6464

2 1S 1 2 12 1−

= ⋅ = −−

κόκκοι ρυζιού που ζυγίζουν 642 1

20000− κιλά, δηλαδή περίπου 922.300.000.000 τόνους.

11. i) Έχουμε

1

2

3

S 3S 3 4 12S 12 4 48......................

== ⋅ == ⋅ =

Παρατηρούμε ότι το πλήθος των πλευρών κάθε σχήματος είναι τετραπλάσιο από το πλήθος των πλευρών του προηγούμενου σχήματος. Δηλαδή,

1

2 1

3 2

ν ν 1

S 3S 4SS 4S...................S 4S .−

===

=

Aπό τις παραπάνω ισότητες, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε ν 1

νS 3 4 −= ⋅ για κάθε ν *.∈ ii) Έχουμε

1

2

3

ν 1 ν

U 3 1 31 4U 3 4 3 43 3

1 4 16U 3 4 4 49 3 3

........................................4U U .3+

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅

Εργαζόμενοι όπως στο ερώτημα i) βρίσκουμε ν 1

ν4U 33

− = ⋅

για κάθε ν *.∈


Κεφάλαιο 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

6.1. Η έννοια της συνάρτησης


1. i) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει x 1 0 x 1− ≠ ⇔ ≠ . Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο { } ( ) ( )A 1 ,1 1,= − = −∞ ∪ +∞ . ii) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει ( )2x 4x 0 x x 4 0 x 0− ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ και x 4 0 x 0− ≠ ⇔ ≠ και x 4≠ . Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

{ } ( ) ( ) ( )A 0,4 ,0 0,4 4,= − = −∞ ∪ ∪ +∞

iii) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει 2x 1 0+ ≠ . Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε x∈ , διότι 2x 1 0+ > για κάθε x∈ . Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A = .

iv) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει x x 0 x x x 0+ ≠ ⇔ ≠ − ⇔ > ,

αφού από τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε x, αν x 0

xx, αν x 0.

≥= − <

Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο ( )A 0,= +∞ . 2. i) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύουν x 1 0− ≥ και 2 x 0− ≥ ή ισοδύναμα x 1≥ και x 2≤ . Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο [ ]A 1,2= . ii) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει ( )( )2x 4 0 x 2 x 2 0 x 2− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ − ή x 2≥ .

Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο ( ] [ )A , 2 2,= −∞ − ∪ +∞ . iii) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει ( )( )2x 4x 3 0 x 1 x 3 0 1 x 3− + − ≥ ⇔ − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ .

Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο [ ]A 1,3= . iv) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει x 0≥ και x 1 0 x 0− ≠ ⇔ ≥ και x 1 x 0≠ ⇔ ≥ και x 1≠ . Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο [ ) ( )A 0,1 1,= ∪ +∞ .

3. Έχουμε ( ) ( )3f 5 5 125− = − = − , ( )f 0 2 0 3 0 3 3= ⋅ + = + = και

( )f 6 2 6 3 12 3 15= ⋅ + = + = .

Kεφάλαιο 6: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 635

4. i) Έχουμε: “Σκέψου ένα φυσικό αριθμό”: x “Πρόσθεσε σ’αυτόν το 1”: x 1+ “Πολλαπλασίασε το άθροισμα με 4”: ( )4 x 1+

“Στο γινόμενο πρόσθεσε το τετράγωνο του αριθμού”: ( ) 24 x 1 x+ + .

Άρα, ( ) ( ) ( )22 2f x 4 x 1 x x 4x 4 x 2= + + = + + = + , x∈ .

Επομένως,

( ) 2f 0 2 4= = , ( ) 2f 1 3 9= = , ( ) 2f 2 4 16= = και ( ) 2f 3 5 25= = .

ii) Επειδή x∈ και συνεπώς x 0≥ , έχουμε:

( ) ( )2 2f x 36 x 2 6 x 2 6 x 4= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

( ) ( )2 2f x 49 x 2 7 x 2 7 x 5= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

( ) ( )2 2f x 100 x 2 10 x 2 10 x 8= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

( ) ( )2 2f x 144 x 2 12 x 2 12 x 10= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = .

5. i) Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει x 1 0 x 1− ≠ ⇔ ≠ . Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο { } ( ) ( )A 1 ,1 1,= − = −∞ ∪ +∞ .

Οπότε, για x 1≠ έχουμε

( ) 4 4f x 7 5 7 2x 1 x 1

= ⇔ + = ⇔ =− −

4 2x 2 2x 2 4 2x 6 x 3⇔ = − ⇔ − = − − ⇔ − = − ⇔ = .

ii) Η συνάρτηση g ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει ( )2x 4x 0 x x 4 0 x 0− ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ και x 4 0 x 0− ≠ ⇔ ≠ και x 4≠ .

Άρα, το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο { } ( ) ( ) ( )A 0,4 ,0 0,4 4,= − = −∞ ∪ ∪ +∞ .

Οπότε, για x 0≠ και x 4≠ έχουμε

( ) ( ) ( )2 2

2 22 2

x 16 x 16g x 2 2 x 4x 2 x 4xx 4x x 4x

− −= ⇔ = ⇔ − = −

− −

2 2 2x 16 2x 8x x 8x 16 0⇔ − = − ⇔ − + − =

( )22x 8x 16 0 x 4 0 x 4 0 x 4⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = , αδύνατη.

iii) Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = , διότι 2x 1 0+ ≠ για κάθε x∈ . Οπότε, για x∈ έχουμε

( ) 2 22

1 1 1h x x 1 5 x 4 x 25 5x 1

= ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =+

ή x 2= − .


6.2. Γραφική παράσταση συνάρτησης


1.

2. Προφανώς πρέπει

2 x 5< < και

1 y 6< < .

3. i) Το συμμετρικό του σημείου ( )A 1,3− ως προς τον άξονα x x′ είναι το ( )B 1, 3− − .

ii) Το συμμετρικό του σημείου ( )A 1,3− ως προς τον άξονα y y′ είναι το ( )Γ 1,3 .

iii) Το συμμετρικό του σημείου ( )A 1,3− ως προς τη διχοτόμο της γωνίας xOy είναι

το ( )Δ 3, 1− .

iv) Το συμμετρικό του σημείου ( )A 1,3− ως προς την αρχή Ο των αξόνων είναι το

( )E 1, 3− .

4. i) ( ) ( )22ΟΑ 4 2 20 2 5= + − = =

ii) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ΑΒ 3 1 4 1 4 3 25 5= + + − = + = =

x x΄ Ο(0,0) -2 -1

-1 -2 -3 -4

-5

4 3 2

1 2 3

Β(3,4)

Α(-1,2)

Γ(3,0)

Ε(-2,-3)

Δ(0,-5) y΄

y

Μ(x,y)

x

2 1

3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

y

Δ Γ

Α Β

Ο


iii) 2 2ΑΒ 1 3 0 16 4

iv) 22ΑΒ 0 4 1 25 5.

5. i) Έχουμε 2 2 2 2ΑΒ 4 1 2 2 3 4 25 5,

2 2 2 2ΑΓ 3 1 5 2 4 3 25 5

και 2 2 2 2 2ΒΓ 3 4 5 2 7 7 2 7 7 2.

Άρα, ΑΒ ΑΓ και συνεπώς το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

ii) Έχουμε 2 2ΑΒ 1 1 1 1 8,

2 2ΑΓ 4 1 2 1 18

και 2 2ΒΓ 4 1 2 1 26 .

Παρατηρούμε ότι 2ΒΓ 26 και 2 2

ΑΒ ΑΓ 8 18 26.

Επομένως, 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ . Άρα, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα το

τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α 90 . 6. Έχουμε

2 2ΑΒ 5 2 1 5 25 5,

2 2ΒΓ 2 5 3 1 25 5,

2 2ΓΔ 1 2 1 3 25 5

και

2 2ΔΑ 2 1 5 1 25 5.

Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει όλες τις πλευρές του ίσες και συνεπώς είναι ρόμβος.

7. i) Το σημείο M 2,6 ανήκει στη γραφική παρά-

σταση της συνάρτησης f αν και μόνο αν f 2 6 4 κ 6 κ 6 4 κ 2 .

ii) Το σημείο M 2,8 ανήκει στη γραφική πα-

ράσταση της συνάρτησης g αν και μόνο αν

3g 2 8 κ 2 8 8κ 8 κ 1.

iii) Tο σημείο M 3,8 ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης h αν και μόνο αν

h 3 8 κ 4 8 2κ 8 κ 4 .

( )Δ 1,1-

( )Γ 2, 3-

y

x O 1

K

Το σημείο M α, β ανήκει στη

γραφική παράσταση μιας συ-νάρτησης f αν και μόνο αν ι-σχύει η σχέση

f α β.

Β 5,1

Α 2,5


8. i) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A . Έχουμε:

● f x 0 x 4 0 x 4 . Επομένως, το σημείο A 4,0 είναι το κοινό

σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x x . ● f 0 0 4 4 . Επομένως, το σημείο B 0, 4 είναι το κοινό σημείο της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα y y .

ii) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το σύνολο . Έχουμε:

● g x 0 x 2 x 3 0 x 2 0 ή x 3 0 x 2 ή x 3. Άρα,

τα σημεία A 2,0 και B 3,0 είναι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης g με τον άξονα x x .

● g 0 0 2 0 3 2 3 6 . Επομένως, το σημείο Γ 0,6 είναι το

κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με τον άξονα y y .

iii) Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισμού το σύνολο . Έχουμε:

● 2h x 0 x 1 0 x 1 0 x 1 . Επομένως, το σημείο A 1,0 εί-

ναι το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h με τον άξονα x x .

● 2 2h 0 0 1 1 1 . Άρα, το σημείο B 0,1 είναι το σημείο τομής της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης h με τον άξονα y y .

iv) Η συνάρτηση q έχει πεδίο ορισμού το σύνολο . Έχουμε:

● 2q x 0 x x 1 0, αδύνατη αφού 2Δ 1 4 1 1 1 4 3 0. Άρα, η

γραφική παράσταση της συνάρτησης q δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x x .

● 2q 0 0 0 1 1 . Άρα, το σημείο A 0,1 είναι το σημείο τομής της γραφι-

κής παράστασης της συνάρτησης q με τον άξονα y y .

v) Η συνάρτηση φ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A 1, . Έχουμε:

● φ x 0 x x 1 0 x 1 , αφού x A . Άρα, το σημείο A 1,0 είναι

το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της φ με τον άξονα x x . ● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φ δεν έχει κοινό σημείο με τον άξονα

y y , αφού ο αριθμός 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

vi) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ψ είναι το σύνολο A , 2 2, .

Έχουμε:

● 2ψ x 0 x x 4 0 x 0

2x 4 x 2 .

Άρα, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης ψ με τον άξονα x x είναι τα

A 2,0 και B 2,0

● Ο αριθμός 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Άρα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ δεν έχει κοινό σημείο με τον άξονα y y .

9. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το το σύνολο . Έχουμε:


i) ● 2 2f x 0 x 1 0 x 1 x 1 ή x 1 .

Επομένως, τα κοινά σημεία της fC με τον άξονα x x είναι τα σημεία

A 1,0 και B 1,0 .

● 2f 0 0 1 0 1 1 .

Άρα, το σημείο Γ 0, 1 είναι το σημείο τομής της fC με τον άξονα y y .

ii) Για να βρούμε τις τετμημένες των σημείων της fC που βρίσκονται πάνω από τον

άξονα x x λύνουμε την ανίσωση f x 0 . Έχουμε λοιπόν

2f x 0 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 ή x 1 .

Οπότε, η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x για κάθε

x , 1 1, .

10. Οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το σύνολο . i) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των fC και gC λύνουμε την εξίσωση

f x g x .


2 2f x g x x 5x 4 2x 6 x 7x 10 0 x 2 ή x 5 .

Άρα, οι τετμημένες των κοινών σημείων των fC και gC είναι 1x 2 και 2x 5 .

Για να βρούμε τις τεταγμένες των σημείων αυτών τις αντικαθιστούμε σε έναν από τους δύο τύπους. Έχουμε λοιπόν

g 2 2 2 6 4 6 2 και g 5 2 5 6 10 6 4 .

Άρα, τα κοινά σημεία των fC και gC είναι τα A 2, 2 και B 5, 4 .

ii) Για να βρούμε τις τετμημένες των σημείων της fC που βρίσκονται κάτω από τη gC

λύνουμε την ανίσωση f x g x . Είναι λοιπόν

2 2f x g x x 5x 4 2x 6 x 7x 10 0 x 2,5 .

6.3. Η συνάρτηση f x =αx +β


1. i) Η κλίση της ευθείας είναι α 1 . Δηλαδή, εφω 1 και συνεπώς ω 45 .

ii) Η κλίση της ευθείας είναι α 3 . Δηλαδή, εφω 3 και συνεπώς ω 60 .

iii) Η κλίση της ευθείας είναι α 1 . Δηλαδή, εφω 1 και συνεπώς ω 135 .

iv) Η κλίση της ευθείας είναι α 3 . Δηλαδή, εφω 3 και συνεπώς ω 120 .

2. i) 3 2λ 1

2 1

ii) 1 2

λ 12 1


iii) 1 1λ 01 2−

= =− −

iv) 1 3λ 2.2 1−

= = −−

3. i) Η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση της μορφής y αx β= + ή ισοδύναμα y x β= − + , αφού α 1= − . Και επειδή διέρχεται από το σημείο ( )B 0,2 , οι συντεταγμένες του σημείου αυτού θα επαληθεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή, 2 0 β β 2= − + ⇔ = . Άρα, η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση y x 2= − + .

ii) Η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση της μορφής y αx β= + . Από την υπόθεση γνωρί-

ζουμε ότι η εν λόγω ευθεία σχηματίζει με τον άξονα x x′ γωνία ω 45= , οπότε έχουμε α εφ45 1= = . Άρα, η εξίσωση της ευθείας γίνεται y x β= + . Και επειδή διέρχεται από το σημείο ( )B 0,1 , οι συντεταγμένες του σημείου αυτού θα επαλη-θεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή, 1 0 β β 1= + ⇔ = και συνεπώς η ζητούμενη ευ-θεία έχει εξίσωση y x 1= + .

iii) Η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση της μορφής y αx β= + . Όμως αυτή η ευθεία είναι παράλληλη προς την ευθεία y 2x 3= − και συνεπώς έχει την ίδια κλίση με αυ-τήν. Δηλαδή, α 2= . Οπότε, η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας παίρνει τη μορφή y 2x β= + . Και επειδή διέρχεται από το σημείο ( )A 1,1 , οι συντεταγμένες του Α θα επαληθεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή, 1 2 1 β β 1= ⋅ + ⇔ = − . Άρα, η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση y 2x 1= − .

4. i) Έστω y αx β= + η ζητούμενη εξίσωση. Επειδή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία

( )Α 1,2 και ( )B 2,3 έχουμε 2 α β= + και 3 2α β= + .Οπότε, βρίσκουμε α 1= και β 1= . Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι y x 1= + .

ii) Έστω y αx β= + η ζητούμενη εξίσωση. Επειδή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία

( )Α 1,2 και ( )B 2,1 έχουμε 2 α β= + και 1 2α β= + . Οπότε, βρίσκουμε α 1= − και β 3= . Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι y x 3= − + .

iii) Έστω y αx β= + η ζητούμενη εξίσωση. Επειδή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία

( )Α 2,1 και ( )B 1,1− έχουμε 1 2α β= + και 1 α β= − + . Οπότε, βρίσκουμε α 0= και β 1= . Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι y 1= .

iv) Έστω y αx β= + η ζητούμενη εξίσωση. Επειδή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία

( )Α 1,3 και ( )B 2,1 έχουμε 3 α β= + και 1 2α β= + . Οπότε, βρίσκουμε α 2= − και β 5= . Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι y 2x 5= − + .

5. Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής C αF β= + . Γνωρίζουμε ότι το νερό παγώνει στους 0°C ή στους 32°F. Δηλαδή, ισχύει

0 α 32 β β 32α= ⋅ + ⇔ = − (1) Επίσης, το νερό βράζει στους 100°C ή στους 212°F . Δηλαδή, ισχύει


100 α 212 β β 100 212α= ⋅ + ⇔ = − (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι

532α 100 212α 212α 32α 100 180α 100 α9

− = − ⇔ − = ⇔ = ⇔ = .

Οπότε, από την (1) έχουμε 5β 329

= − ⋅ . Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι

( )5 5 5C F 32 C F 329 9 9

= − ⇔ = − .

Εξετάζουμε αν υπάρχει θερμοκρασία που να εκφράζεται και στις δύο κλίμακες με τον ίδιο αριθμό x. Δηλαδή,

( )5x x 32 9x 5x 5 32 4x 5 32 x 409

= − ⇔ = − ⋅ ⇔ = − ⋅ ⇔ = − .

Άρα, οι − 40°C ισοδυναμούν με − 40°F. 6. Η γραφική παράσταση της f αποτελείται: ● Από τα σημεία της ευθείας

y x 2= − + που έχουν τετμημένη

( )x ,0∈ −∞ .

● Από τα σημεία της ευθείας y 2= που έχουν τετμημένη [ )x 0,1∈ .

● Από τα σημεία της ευθείας y x 1= + που έχουν τετμημένη [ )x 1,∈ +∞ .

7. i) ● Οι ρίζες της εξίσωσης ( )f x 1= είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της fC με την ευθεία y 1= , δηλαδή οι αριθμοί 1− και 1.

● Οι ρίζες της εξίσωσης ( )f x x= είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της

fC με την ευθεία y x= , δηλαδή οι αριθμοί 2− , 0 και 1.

ii) ● Οι λύσεις της ανίσωσης ( )f x 1< είναι οι τετμημένες των σημείων της fC που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y 1= , δηλαδή όλοι οι αριθμοί του συνόλου

( ) ( ), 1 1,1−∞ − ∪ − .

● Οι λύσεις της ανίσωσης ( )f x x≥ είναι οι τετμημένες των σημείων της fC που βρίσκονται πάνω ή επί της ευθείας y x= , δηλαδή όλοι οι αριθμοί του συνόλου

[ ] [ )2,0 1,− ∪ +∞ .

y

x

y x 2 y x 1 O

y 2

fC


8. i) Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε

( )x, αν x 0

f x x x, αν x 0− <

= = ≥

Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )f x x= απο-τελείται από τις δύο ημιευθείες:

● y x= − , με x 0≤ και ● y x= , με x 0≥

που διχοτομούν τις γωνίες x Oy′ και xOy αντιστοίχως. η γραφική παράσταση της συνάρτησης g είναι μία ευθεία παράλληλη στον άξονα

x x′ η οποία τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο με τεταγμένη 1. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση της g στα σημεία με τε-

τμημένες 1− και 1 και βρίσκεται κάτω από αυτή για ( )x 1,1∈ − .

Επομένως [ ]x 1 x 1,1≤ ⇔ ∈ − , ενώ προφανώς ( ) ( )x 1 x , 1 1,> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ .

ii) Από την ιδιότητα [ ]x ρ x ρ,ρ≤ ⇔ ∈ − έχουμε [ ]x 1 x 1,1≤ ⇔ ∈ − ενώ από την

ιδιότητα x ρ x ρ> ⇔ < − ή x ρ> έχουμε x 1 x 1> ⇔ < − ή x 1> .

Ασκήσεις Β΄ Ομάδας 1. i) Από τη γραφική παράσταση της f προκύπτει ότι:

( )f 6 1− = , ( ) 1f 52

− = , ( )f 4 0− = , ( ) 1f 32

− = − , ( )f 2 1− = − , ( )f 1 0− = , ( )f 0 1= ,

( )f 1 1= , ( )f 2 1= , ( )f 3 0= , ( )f 4 1= − και ( )f 5 2= − .

ii) Οι λύσεις της εξίσωσης ( )f x 0= είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της fC με τον άξονα x x′ , δηλαδή οι αριθμοί 4− , 1− και 3.

Οι λύσεις της εξίσωσης ( )f x 1= − είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της fC με την ευθεία y 1= − , δηλαδή οι αριθμοί 2− και 4.

Οι λύσεις της εξίσωσης ( )f x 1= είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της fC

με την ευθεία y 1= , δηλαδή όλοι οι αριθμοί του συνόλου { } [ ]6 1,2∪ . iii) Έστω y αx β= + η ζητούμενη

εξίσωση. Επειδή η ευθεία διέρχε-ται από τα σημεία ( )Β 2, 1− − και

( )Δ 2,1 έχουμε 1 2α β− = − + και 1 2α β= + .

Οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε 0 2β β 1= ⇔ = και συ-νεπώς 1 2α 0 α 0,5.= + ⇔ =

-1 1 Ο

1

y

x

y x

x

y

A

B E

Γ Δ

-6 -2 Ο 2 5

y 0,5x

y f x

y 1=


Άρα, η ευθεία ΒΔ έχει εξίσωση y 0,5x.= Επίσης, οι λύσεις της ανίσωσης

( )f x 0,5x≤ είναι οι τετμημένες των σημείων της fC που βρίσκονται κάτω από την

ευθεία y 0,5x= ή πάνω σ’ αυτή, δηλαδή όλοι οι αριθμοί του συνόλου { } [ ]2 2,5− ∪ .

2. Η ευθεία y 1 x= − έχει κλίση α 1= − .

Δηλαδή, εφω 1= − , οπότε ω 135= .

Όμως, ω θ 180+ = και επομένως θ 180 135 45= − = . Είναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτω-σης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. Οπότε, ζ θ 45= = και συνεπώς η ευ-θεία κατά μήκος της οποία θα κινείται η ανακλώμενη ακτίνα έχει κλίση

α εφζ εφ45 1= = = . Άρα, έχει εξίσωση της μορφής y x β= + . Το σημείο ( )1,0 ανήκει στην ευθεία αυτή

(αφού είναι το σημείο στο οποίο η y 1 x= − τέμνει τον άξονα x x′ ). Οπότε, οι συντε-ταγμένες του σημείου αυτού θα επαληθεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή, 0 1 β β 1= + ⇔ = − . Επομένως, η εξίσωση της ανακλώμενης ακτίνας είναι

y x 1= − , x 1.≥ 3. i) α) Η συνάρτηση η οποία εκφράζει την ποσότητα της βενζίνης στο βυτιοφόρο είναι

( )f t 2000 100t= − , t 0≥ β) Η συνάρτηση η οποία εκφράζει την ποσότητα της βενζίνης στη δεξαμενή είναι

( )g t 600 100t= + , t 0≥ . ii) Το βυτιοφόρο για t 0= έχει

( )f 0 2000 lt= και αδειάζει όταν

( )f t 0 2000 100t 0= ⇔ − =

t 20 min⇔ = . Άρα, η fC είναι το ευθύγραμ-

μο τμήμα με άκρα τα σημεία ( )2000,0 και ( )0,20 .

Η δεξα μενή για t 0= έχει ( )g 0 600 lt= και γεμίζει μετά

από 20 min με ( )g 20 600 20 100 2600 lt= + ⋅ = . Άρα, η gC είναι το ευθύγραμμο

τμήμα με άκρα τα σημεία ( )0,600 και ( )20,2600 . Η δεξαμενή και το βυτιοφόρο έχουν την ίδια ποσότητα βενζίνης όταν

θ

1 ω ζ

x

y

y 1 x= −

2600

2000

600

7 20

Cf

Cg

t (min)

V (lt)


( ) ( )g t f t= 600 100t 2000 100t⇔ + = − 200t 1400 t 7 min⇔ = ⇔ = .

Άρα, για t 7 min= η δεξαμενή και το βυτιοφόρο έχουνε την ίδια ποσότητα βενζίνης.

4. Το εμβαδό του τριγώνου ΜΓΔ μπορούμε να το υπο-λογίσουμε αφαιρώντας από το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΓΔ τα εμβαδά των τριγώνων ΜΑΔ και ΜΒΓ.

● Το εμβαδό του τραπεζίου είναι

( ) ( ) ( )AΔ BΓ AB 4 2 4ABΓΔ 12 τ.μ.

2 2+ + ⋅

= = =

● Το εμβαδό του ορθογωνίου τριγώνου ΜΑΔ είναι

( ) ( ) ( )ΑΜ ΑΔ 4xMAΔ 2x2 2⋅

= = = .

● Το εμβαδό του ορθογωνίου τριγώνου ΜΒΓ είναι

( ) ( ) ( ) ( )ΜΒ ΒΓ 4 x 2MBΓ 4 x

2 2⋅ −

= = = − .

Οπότε, το εμβαδό του τριγώνου ΜΔΓ είναι ( )E 12 2x 4 x 8 x= − − − = − και συνεπώς η

ζητούμενη συνάρτηση f έχει τύπο ( )f x 8 x= − . Το σημείο Μ κινείται στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Άρα, πρέπει να είναι x 4< . Και επειδή εκφράζει μήκος, πρέ-πει να είναι και x 0> . Έτσι η παραπάνω συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

( )A 0,4= . Η γραφική παράσταση της εν λόγω συνάρτησης είναι ένα ευθύγραμμο τμή-μα το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία y 8 x= − . Σχεδιάζουμε την ευθεία y 8 x= −

και στη συνέχεια θεωρούμε τα σημεία της ευθείας για τα οποία είναι 0 x 4< < . Έχουμε λοιπόν

● για x 0= είναι y 8=

● για x 4= είναι y 4=

Άρα, η γραφική παράσταση είναι το ευθύ-γραμμο τμήμα ΚΛ χωρίς τα άκρα ( )K 0,8 και

( )Λ 4,4 .

5. i) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )1h h t= είναι ευθύγραμμο τμήμα (τμήμα ευ-

θείας), Άρα, έχει τύπο της μορφής ( )1 1 1h t α t β= + . Γνωρίζουμε ότι για t 0= το

ύψος του κεριού είναι 20 cm , δηλαδή ( )1h 0 20= . Οπότε 1 1 1α 0 β 20 β 20⋅ + = ⇔ = .

Άρα, η συνάρτηση παίρνει τη μορφή ( )1 1h t α t 20= + . Επίσης, γνωρίζουμε ότι για

t 3= το κερί έχει ύψος 0 cm, δηλαδή ( )1h 3 0= . Οπότε, 1 1203α 20 0 α3

+ = ⇔ = − .

A Β Μ x

2

4

Δ

Γ

4

( )E f x=

y

K 8

Λ 4

x Ο 4


Επομένως, ο τύπος της συνάρτησης είναι ( )120h t t 203

= − + , [ ]t 0,3∈ .

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε και τον τύπο της συνάρτησης ( )2h h t= .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )2h h t= είναι επίσης ευθύγραμμο τμήμα

(τμήμα ευθείας). Άρα, έχει τύπο της μορφής ( )2 2 2h t α t β= + . Γνωρίζουμε ότι για

t 0= το ύψος του κεριού είναι 20 cm . Δηλαδή, ( )2h 0 20= . Οπότε,

2 2 2α 0 β 20 β 20⋅ + = ⇔ = . Και συνεπώς η συνάρτηση παίρνει τη μορφή ( )2 2h t α t 20= + . Επίσης, γνωρίζου-

με ότι για t 4= το κερί έχει ύψος 0 cm. Δηλαδή, ( )2h 4 0= . Επομένως,

2 2204α 20 0 α 54

+ = ⇔ = − = − .

Άρα, ο τύπος της δεύτερης συνάρτησης είναι ( )2h t 5t 20= − + , [ ]t 0, 4∈ .

ii) Για να βρούμε ποια χρονική στιγμή το κερί 2K έχει διπλάσιο ύψος από το κερί 1K θα λύσουμε την εξίσωση ( ) ( )2h t 2h t= . Δηλαδή,

205t 20 2 t 203

− + = − + ⇔

405t 20 t 403

− + = − +

40 t 5t 203

⇔ − − =8 5t t 4 t 43 3

⇔ − = ⇔ =12t h5

⇔ = (= 2 ώρες και 24 min).

iii) Στην περίπτωση κατά την οποία το ύψος των κεριών ήταν αρχικά υ, τα ύψη του παριστάνο-νται με τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος ενώ οι ζητούμενες συναρτήσεις θα είναι

( )1υh t t υ3

= − + και ( )2υh t t υ4

= − +

(στη θέση του αριθμού 20 θέσαμε υ). Για να βρούμε τη χρονική στιγμή κατά την

οποία το κερί Κ2 έχει διπλάσιο ύψος από το κερί Κ1 θα λύσουμε την ίδια εξίσωση με το προηγούμενο ερώτημα. Δηλαδή:

( ) ( )2 1h t 2h t=υ υt υ 2 t υ4 3

− + = − +

1 1t 1 2 t 14 3

⇔ − + = − +

1 2t 1 t 24 3

⇔ − + = − + 5 t 112

⇔ = 12t 2,45

⇔ = = .

Παρατηρούμε, ότι τη χρονική στιγμή t 2, 4= το κερί Κ2 θα έχει διπλάσιο ύψος από το κερί Κ1, ανεξάρτητα του αρχικού ύψους υ των δύο κεριών.

υ

Κ2

Κ1

3 4 Ο t (σε ώρες)

h (σε cm)


Κεφάλαιο 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

7.1. Μελέτη της συνάρτησης ( ) 2f x = αx Ασκήσεις Α΄ Ομάδας

1. Η δοθείσα έχει εξίσωση της μορφής 2y αx= , α 0> . Το σημείο ( )A 1,2 ανήκει στην

παραβολή οπότε 22 α 1 α 2= ⋅ ⇔ = . Άρα, η εξίσωση της παραβολής είναι 2y 2x= .

2. i) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2φ x 0,5x= είναι μια παραβολή με κο-

ρυφή την αρχή των αξόνων και επειδή α 0,5 0= > η παραβολή είναι “ανοικτή” προς τα πάνω και άξονα συμμετρίας τον άξονα y y′ .

● Επειδή ( ) ( )2f x 0,5x 2 φ x 2= + = + , η γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση της παραβολής ( )y φ x= κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.

● Επειδή ( ) ( )2g x 0,5x 3 φ x 3= − = − , η γραφική παράσταση της συνάρτησης g προ-

κύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση της παραβολής ( )y φ x= κατά 3 μονάδες προς τα κάτω. ii) ● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

( ) 2ψ x 0,5x= − είναι μια παραβολή και επειδή α 0,5 0= − < η παραβολή είναι “ανοικτή” προς τα κάτω και έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y′ .

● Επειδή ( ) ( )2h x 0,5x 2 ψ x 2= − − = − , η γραφική παράσταση της συνάρτησης h προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπι- ση της παραβολής ( )y ψ x= κατά 2 μονάδες προς τα κάτω. ● Επειδή ( ) ( )2q x 0,5x 3 ψ x 3= − + = + , η

γραφική παράσταση της συνάρτησης q προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση της παραβολής ( )y ψ x= κατά 3 μονά-δες προς τα πάνω.

x

y Cf

Cg

Cφ

2

Ο

-3

x

y

Ch

Cq

Cψ

-2

Ο

3

Kεφάλαιο 7: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 647

3. i)

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2φ x 0,5x= είναι μία παραβολή. Και επειδή α 0,5 0= > η παραβολή είναι “ανοικτή” προς τα πάνω και έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y′ .

● Επειδή ( ) ( ) ( )2f x 0,5 x 2 φ x 2= − = − , η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της παραβολής ( )y φ x= κατά 2 μο- νάδες προς τα δεξιά. ● Επειδή ( ) ( ) ( )2g x 0,5 x 2 φ x 2= + = + , η γραφική παράσταση της συνάρτησης

g προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της παραβολής ( )y φ x= κατά 2 μο- νάδες προς τα αριστερά.

ii)

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2ψ x 0,5x= − είναι μια παραβολή. Και επειδή α 0,5 0= − < , η παραβολή είναι “ανοικτή” προς τα κάτω και έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y′ .

● Επειδή ( ) ( ) ( )2h x 0,5 x 2 ψ x 2= − − = − , η γραφική παράσταση της συνάρτη

σης h προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της παραβολής ( )y ψ x= κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά.

● Επειδή ( ) ( ) ( )2q x 0,5 x 2 ψ x 2= − + = + , η γραφική παράσταση της συνάρτησης

q προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της παραβολής ( )y ψ x= κατά δύο μονάδες προς τα αριστερά.

x

y

O 2 -2

Cq Ch Cψ

x

y

O 2 -2

Cg Cf Cφ


4. i) Η γραφική παράσταση της συ-νάρτησης ( ) 2f x x= είναι η

παραβολή 2y x= . Η γραφική παράσταση της ( )g x 1= είναι η ευθεία y 1= .

Οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται στα σημεία με τε-τμημένες

1x 1= − και 2x 1= . Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g για κάθε ( )x 1,1∈ − , ενώ η fC βρίσκεται πάνω από την

gC για κάθε ( ) ( )x , 1 1,∈ −∞ − ∪ +∞ . Έτσι, η ανίσωση 2x 1≤ αληθεύει για κάθε

[ ]x 1,1∈ − ενώ η ανίσωση 2x 1> αληθεύει για κάθε ( ) ( )x , 1 1,∈ −∞ − ∪ +∞ .

ii) Έχουμε ● ( )( )2 2x 1 x 1 0 x 1 x 1 0≤ ⇔ − ≤ ⇔ − + ≤

[ ]1 x 1 x 1,1⇔ − ≤ ≤ ⇔ ∈ −

● ( )( )2 2x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1> ⇔ − > ⇔ − + > ⇔ < − ή x 1>

( ) ( )x , 1 1,⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ .


1. Από τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε

( ) ( ) x x, αν x 0

f x x xx x , αν x 0

⋅ ≥= ⋅ = ⋅ − ≤

η ισοδύναμα

( )2

2

x , αν x 0f x

x , αν x 0

≥= − ≤

Επομένως, η γραφική παράσταση της συ νάρτησης ( )f x x x= ⋅ αποτελείται από δύο τμήματα δύο διαφορετικών παραβο- λών:

● 2y x= , με x 0≥ και

● 2y x= − , με x 0≤ .

x

y

O 1 -1

Cf

1 Cg

x

y

O

2y x , x 0= ≥

2y x , x 0= − ≤


2y x , x 0

2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

( ) 2

x, αν x 0f x

x , αν x 0

− <=

≥

αποτελείται από ● την ημιευθεία y x= − με x 0< η οποία

είναι διχοτόμος της γωνίας x Oy′ και

● το τμήμα παραβολής 2y x= , x 0≥ . Από τη γραφική της παράσταση προκύπτει ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( ],0−∞ ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ )0,+∞ .

Επίσης, η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση 0x 0= με ( )f 0 0= .

3. i) α) Από το σχήμα προκύπτει ότι για 0 x 1< < είναι 3 2x x x x< < < . Δηλαδή,

( ) ( ) ( ) ( )h x g x f x φ x< < <

β) Από το σχήμα προκύπτει για x 1> είναι 3 2x x x x> > > . Δηλαδή,

( ) ( ) ( ) ( )h x g x f x φ x> > > .

ii) Για 0 x 1< < έχουμε:

● ( )3 2 3 2 2x x x x 0 x x 1 0< ⇔ − < ⇔ − < , που ισχύει διότι για ( )x 0,1∈ είναι

2x 0> και x 1 0− < .

● ( )2 2x x x x 0 x x 1 0< ⇔ − < ⇔ − < , που ισχύει διότι για ( )x 0,1∈ είναι x 0> και x 1 0− < .

● ( ) ( )2x x x x 0 x x 1 0< ⇔ − < ⇔ − < , που ισχύει διότι για ( )x 0,1∈

είναι x 0> και x 1 0− < . Επομένως, για 0 x 1< < είναι

3 2x x x x< < < . Για x 1> έχουμε: ● ( )3 2 3 2 2x x x x 0 x x 1 0> ⇔ − > ⇔ − > , που ισχύει διότι για x 1> είναι

2x 0> και x 1 0− > .

● ( )2 2x x x x 0 x x 1 0> ⇔ − > ⇔ − > , που ισχύει διότι για x 1> είναι x 0> και x 1 0− > .

● ( ) ( )2x x x x 0 x x 1 0> ⇔ − > ⇔ − > , που ισχύει διότι για x 1> είναι

x 0> και x 1 0− > . Επομένως, για x 1> είναι

3 2x x x x> > > .

x

y

O

y x, x 0


4. Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. Άρα, A 60= ° και συνεπώς ω Α 60 ,= = ° αφού AB / /x x.′ Επομένως, η ευθεία ΟΑ έχει συντελεστή διεύθυνσης α ε 60 3= φ ° =

και εξίσωση y 3x.= Οπότε, η τετμημέ-νη του Α είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης

2x 3x= , δηλαδή

x 3.=

7.3. Μελέτη της συνάρτησης ( ) 2f x = αx +βx + γ Ασκήσεις Α΄ Ομάδας

1. i) ( ) 2 2 5f x 2x 4x 5 2 x 2x2

= − + = − +

2 2 2 52 x 2 x 1 1 12

= − ⋅ ⋅ + − + =

( ) ( )2 232 x 1 2 x 1 3.2

− + = − +

Επειδή λοιπόν

( ) ( ) ( )2f x 2 x 1 3 g x 1 3= − + = + +

η γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπί-σεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g , μιας οριζόντιας κατά 1 μονάδα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά 3 μονάδες προς τα πάνω.

ii) ( ) 2 2 9f x 2x 8x 9 2 x 4x2

= − + − = − − +

2 2 2 92 x 2 x 2 2 22

= − − ⋅ ⋅ + − + =

( )2 12 x 22

− − + ( )22 x 2 1= − − − .

Επειδή ( ) ( ) ( )2f x 2 x 2 1 g x 2 1= − − − = − − ,

η γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπί-σεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g , μιας οριζόντιας κατά 2 μονάδα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά 1 μονάδα προς τα κάτω.

2. α) Για τη συνάρτηση

( ) 2f x 2x 6x 3= − +

έχουμε α 2 0= > . Άρα, η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για β 6 3x ,2α 4 2

= − = = το

x

y

O

Α Β

y=x2

ω


23 3 3 9 9 3f 2 6 3 2 9 3 6

2 2 2 4 2 2 = − ⋅ + = ⋅ − + = − = −

.

β) Για τη συνάρτηση ( ) 2g x 3x 5x 2= − − +

έχουμε α 3 0= − < . Άρα, η g παρουσιάζει μέγιστο για β 5x2α 6

= − =− το

25 5 5 49g 3 5 2 .6 6 6 12

− = − − − − + =

3. α) Για τη συνάρτηση

( ) 2f x 2x 4x 1= + + έχουμε

α 2 0= > ,

β 4 4 12α 2 2 4− − −

= = = −⋅

και ( )f 1− ( ) ( )22 1 4 1 1= − + ⋅ − +

2 4 1 1= − + = − . Επομένως, η συνάρτηση f: ● Είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ], 1−∞ − και γνησίως αύξουσα στο [ )1,− +∞ .

● Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x 1= − , το ( )f 1 1− = − . Επίσης, η γραφική παράσταση της f είναι παραβολή η οποία: ● Έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x 1= − και κορυφή το σημείο ( )K 1, 1 .− −

● Τέμνει τον άξονα x x′ στα σημεία με τετμημένες 1,24 8 4 2 2x ,2 2 4

− ± − ±= =

⋅

δηλαδή στα σημεία 2A 1 , 02

− +

και 2B 1 , 02

− −

. Επίσης, τέμνει τον

άξονα y y′ στο σημείο ( )Γ 0,1 . β) Για τη συνάρτηση

( ) 2f x 2x 8x 9= − + − έχουμε

α 2 0= − < , ( )

β 8 8 22α 2 2 4− − −

= = =⋅ − −

και ( ) 2f 2 2 2 8 2 9 8 16 9 1= − ⋅ + ⋅ + = − + − = − .

2y 2x 4x 1= + +y

x

2y 2x=

-1

O -1

( )K 1, 1− −

212

− − 21

2− +


y

x -1 ( )K 2, 1−

x 2=

2y 2x 8x 9= − + − 2y 2x= −

Επομένως, η συνάρτηση f: ● Είναι γνησίως αύξουσα στο

( ], 2−∞ και γνησίως φθίνουσα

στο [ )2,+∞ .

● Παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x 2= , το ( )f 2 1= − . Επίσης, η γραφική παράσταση της f είναι παραβολή η οποία

● Έχει άξονα συμμετρίας την ευ-θεία x 2= και κορυφή το σημείο ( )K 2, 1 .−

● Τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο ( )Α 0, 9 .− Και επειδή η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι

( ) ( )2Δ 8 4 2 9 64 72 8 0= − ⋅ − ⋅ − = − = − < , δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα x x′ . 4. ● Η παραβολή 2f παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο 0x 0> . Επομένως,

α 0< και α 0β 0 β 0 β 0

2α

<−> ⇔− < ⇔ > .

Επίσης, τέμνει τον άξονα y y′ σε σημείο με αρνητική τεταγμένη. Άρα θα είναι γ 0< . Τέλος, εφάπτεται στον άξονα x x′ σε ένα σημείο, οπότε θα είναι Δ 0= .

● Η παραβολή 3f παρουσιάζει ελάχιστο σε κάποιο 0x 0> . Επομένως,

α 0> και α 0β 0 β 0 β 0

2α

>−> ⇔− > ⇔ < .

Επίσης, τέμνει τον άξονα y y′ σε σημείο με αρνητική τεταγμένη, άρα θα είναι γ 0< και τέμνει τον άξονα x x′ σε δύο σημεία άρα θα είναι Δ 0> .

● Η παραβολή 4f παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο 0x 0> . Επομένως,

α 0< και α 0β 0 β 0 β 0

2α

<−> ⇔− < ⇔ > .

Επίσης, τέμνει τον άξονα y y′ στην αρχή των αξόνων άρα θα είναι γ 0= και τέμνει τον άξονα x x′ σε δύο σημεία, άρα θα είναι Δ 0> .

● Η παραβολή 5f παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο 0x 0> . Επομένως,

α 0< και α 0β 0 β 0 β 0

2α

<−> ⇔− < ⇔ > .

Επίσης τέμνει τον άξονα y y′ σε ένα σημείο με θετική τεταγμένη. Άρα, γ 0> και επειδή έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα x x′ θα είναι Δ 0> .

● Η παραβολή 6f παρουσιάζει ελάχιστο σε κάποιο 0x 0> . Επομένως,


α 0> και α 0β 0 β 0 β 0

2α

>−< ⇔− < ⇔ >

Επίσης, τέμνει τον άξονα y y′ σε σημείο με αρνητική τεταγμένη. Άρα, γ 0< και επειδή τέμνει τον άξονα x x′ σε δύο σημεία θα είναι Δ 0> .

● Η παραβολή 7f παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο 0x 0< . Επομένως,

α 0< και α 0β 0 β 0 β 0

2α

<−< ⇔− > ⇔ < .

Επίσης, τέμνει τον άξονα y y′ σε κάποιο σημείο με αρνητική τεταγμένη. Άρα, γ 0< και επειδή δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x x′ θα είναι Δ 0< .

Τριώνυμο 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f α + − + − − + − β 0 + − + + + − γ + − − 0 + − − Δ − 0 + + + + −


1. i) Η παραβολή εφάπτεται στον άξονα x x′ αν και μόνο αν το τριώνυμο ( )2x κ 1 x κ+ + + έχει διακρίνουσα Δ 0= . Δηλαδή,

( )2κ 1 4 1 κ 0+ − ⋅ ⋅ = 2κ 2κ 1 4κ 0⇔ + + − =

( )22κ 2κ 1 0 κ 1 0⇔ − + = ⇔ − = κ 1 0 κ 1⇔ − = ⇔ = .

ii) Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον y y′ αν και μόνο αν

β κ 10 0 κ 12α 2− +

= ⇔ − = ⇔ = − .

iii) Η κορυφή της παραβολής έχει τεταγμένη 4− . Δηλαδή, β Δf 4 4 Δ 16α2α 4α

− − = ⇔ = − ⇔ =

( )2κ 1 4 1 κ 16 1⇔ + − ⋅ ⋅ = ⋅

2κ 2κ 1 4κ 16⇔ + + − = 2κ 2κ 1 16⇔ − + =

( )2κ 1 16⇔ − = κ 1 4⇔ − = ή κ 1 4− = − κ 5⇔ = ή κ 3= − .

● Για κ 5= η παραβολή έχει κορυφή με τετμημένη β 6 32α 2 1− −

= = −⋅

.

● Για κ 3= − η παραβολή έχει κορυφή με τετμημένη ( )2β 2 1

2α 2 1 2− −−

= = =⋅

.

2. i) Η παραβολή είναι ανοικτή προς τα κάτω και συνεπώς θα είναι α 0< .


ii) Η παραβολή τέμνει τον άξονα x x′ στα σημεία ( )A 1,0 και ( )B 5,0 . Δηλαδή, το

τριώνυμο ( )P x έχει δύο ρίζες άνισες, τους αριθμούς 1 και 5. Επομένως, Δ 0> .

iii) Γνωρίζουμε ότι 1 2βx xα

+ = − . Επομένως,

6 61 5 6 α 1α α−

+ = ⇔ = − ⇔ = − .

Επίσης, 1 2γx xα

⋅ = , οπότε

γ1 5 γ 51

⋅ = ⇔ = −−

.

Άρα, ( ) 2Ρ x x 6x 5.= − + −

3. i) Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι ίσες οπότε η περίμετρός του είναι L 2x 2y= + . Όμως, L 20= . Επομένως,

2x 2y 20 x y 10 y 10 x+ = ⇔ + = ⇔ = − . Άρα,

( ) 2E x y x 10 x x 10x= ⋅ = − = − + . Δηλαδή,

( ) 2f x x 10x= − + , ( )x 0,10∈ .

ii) Η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο για ( )

β 10 10x 52α 2 1 2

− −= − = = =

⋅ − −.

Η μέγιστη τιμή της είναι ( ) 2f 5 5 10 5 25 50 25= − + ⋅ = − + = .

4. Αν υποθέσουμε ότι

( )AM x= ,

τότε είναι ( )MB 6 x= − .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΕΜ με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε

2 2 2

2 2 21

x x 3xυ x x2 4 4

= − = − =

.

Eπομένως,

13xυ2

= .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΖΒ με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε

Γ

Δ

Α Β Μ Ε Ζ

υ1

υ2 x

6 x−

6 x2−

6 x

2−

x2

x2


( ) ( ) ( ) ( )2 222 22

2

6 x 3 6 x6 xυ 6 x 6 x2 4 4

− −− = − − = − − =

,

οπότε

( )2

3 6 xυ

2−

= .

Επομένως, το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι

( )( ) ( )( )1 21 1E E E AM ΓΕ ΜΒ ΔΖ2 2

= + = + = ( ) ( )3 6 x1 3x 1x 6 x2 2 2 2

−+ − =

( ) ( ) ( )22 2 2 2 23 3 3 3x 6 x x 6 2 6 x x 2x 12x 364 4 4 4

= + − = + − ⋅ ⋅ + = − +

( ) ( )2 23 32 x 6x 18 x 6x 184 2

= ⋅ − + = − + , με [ ]x 0,6∈ .

Από την παραπάνω σχέση παρατηρούμε ότι το εμβαδό γίνεται ελάχιστο για την τιμή του x για την οποία το τριώνυμο

( ) 2f x x 6x 18= − +

παρουσιάζει ελάχιστο. Και επειδή α 1 0= > , συμπεραίνουμε ότι το τριώνυμο ( )f x παρουσιάζει ελάχιστο για

( )6β 6x 32α 2 1 2

−= − = − = =

⋅.

Άρα, το άθροισμα των εμβαδών γίνεται ελάχιστο όταν το σημείο Μ συμπέσει με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

5. Έχουμε

240 4x4x 3y 240 3y 240 4x y3−

+ = ⇔ = − ⇔ = (1)

Το εμβαδό και των δύο χώρων είναι 2240 4x 8E 2xy 2x x 160x

3 3− = = = − +

, [ ]x 0,60∈ .

Η συνάρτηση

( ) 28E x x 160x3

= − + , [ ]x 0,60∈

παρουσιάζει ολικό μέγιστο για β 160x 30

162α3

−= = − =

−

και από την (1) προκύπτει ότι 240 4 30y 40.

3− ⋅

= =

Άρα, οι διαστάσεις για τις οποίες το εμβαδό γίνεται μέγιστο είναι x 30m= και y 40m= .

archeia-me-mathimatika-olon-ton-vathmidon-tis-ekpaideysis …... · 2020. 5. 29. · to...

Documents