Ingeniería Meca trónica

Universidad de los Ángeles

Alejandro Juárez Pérez

DISEÑO DE ÁRBOLES

Árboles y ejes Los árboles y ejes son elementos de máquinas, generalmente de sección transversal circular, usados para sostener piezas que giran solidariamente o entorno a ellos. Algunos elementos que se montan sobre árboles y ejes son ruedas dentadas, poleas, piñones para cadena, acoples y rotores. Los ejes no transmiten potencia y pueden ser giratorios o fijos. Por otro lado, los árboles o flechas son elementos que giran soportando pares de torsión y transmitiendo potencia. Las figuras 7.1 a 7.3 muestran transmisiones por cadenas, por correas y por ruedas dentadas, respectivamente, en las cuales la transmisión de potencia se lleva a cabo mediante árboles, poleas, correas, ruedas dentadas, estrellas y cadenas, entre otros elementos.

TRANSMISION DE CADENAS

Transmisión de tornillo sinfín Transmisión por correas

Los árboles están sometidos a torsión, flexión, carga axial y fuerzas cortantes, y al menos alguna de estas cargas es variable (en un árbol girando sometido a un momento flector constante, actúan esfuerzos normales variables).

Configuración y accesorios de los árboles Usualmente, los árboles son cilindros escalonados , con el fin de que los hombros o resaltos sirvan para ubicar axialmente los diferentes elementos. Además, los hombros sirven para transmitir cargas axiales. En los árboles se usan diferentes elementos para la transmisión de potencia o para posicionar o fijar las piezas que se montan sobre éstos. Algunos métodos utilizados para transmitir pares de torsión y potencia son las cuñas o chavetas , ejes estriados, espigas o pasadores , ajustes a presión , ajustes ahusados (con superficies cónicas) y conectores ranurados. Para evitar movimientos axiales de las piezas se usan, por ejemplo, hombros, tornillos de fijación o prisioneros , anillos de retención (, pasadores , collarines de fijación, tornillos y manguitos . Algunos métodos sirven tanto para fijar axialmente las piezas, como para transmitir par de torsión (por ejemplo, los pasadores). Las chavetas y los pasadores actúan como „fusibles‟, es decir, son elementos , débiles‟ (y baratos) que tienden a fallar en caso de una sobrecarga, protegiendo así las piezas caras.

Etapas del diseño de árboles El diseño de árboles comprende básicamente: Selección del material

Diseño constructivo (configuración geométrica)

Verificación de la resistencia: - estática - a la fatiga - a las cargas dinámicas (por ejemplo cargas pico)

Verificación de la rigidez del árbol: - deflexión por flexión y pendiente de la elástica - deformación por torsión

Análisis Modal (verificación de las frecuencias naturales del árbol)

El diseño constructivo consiste en la determinación de las longitudes y diámetros de los diferentes tramos o escalones, así como en la selección de los métodos de fijación de las piezas que se van a montar sobre el árbol. En esta etapa se deben tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos:

Fácil montaje, desmontaje y mantenimiento. Los árboles deben ser compactos, para reducir material tanto en longitud

como en diámetro (recuérdese que a mayores longitudes, mayores tenderán a ser los esfuerzos debidos a flexión y, por lo tanto, los diámetros).

Permitir fácil aseguramiento de las piezas sobre el árbol para evitar movimientos indeseables.

Las medidas deben ser preferiblemente normalizadas. Evitar discontinuidades y cambios bruscos de sección, especialmente en

sitios de grandes esfuerzos. Generalmente los árboles se construyen escalonados para el mejor

posicionamiento de las piezas. Generalmente los árboles se soportan sólo en dos apoyos, con el fin de

reducir problemas de alineamiento de éstos. Ubicar las piezas cerca de los apoyos para reducir momentos flectores. Mantener bajos los costos de fabricación. Basarse en árboles existentes o en la propia experiencia, para configurar

el árbol (consultar catálogos y analizar reductores y sistemas de transmisión de potencia).

resonancia. Los árboles, junto con las piezas que se montan sobre ellos, tienden también a vibrar excesivamente cuando giran a las velocidades críticas. El diseñador debe asegurar que la velocidad de rotación del árbol sea bastante diferente de cualquier velocidad que produzca resonancia; de lo contrario, las deflexiones o deformaciones del árbol tenderían a ser grandes y a producir la falla.

RESISTENCIA DE LOS ÁRBOLES

Esfuerzos en los árboles

Los elementos de transmisión de potencia como las ruedas dentadas, poleas y estrellas transmiten a los árboles fuerzas radiales, axiales y tangenciales. Debido a estos tipos de carga, en el árbol se producen generalmente esfuerzos por flexión, torsión, carga axial y cortante. La figura 7.5 muestra esquemáticamente un árbol en el cual está montado un engranaje cónico y una estrella. Se muestran las fuerzas sobre el engranaje, las cuales producen los cuatro tipos de solicitación mencionados.

Análisis estático de árboles dúctiles uniformes de sección transversal circular sólida El análisis estático de un árbol consiste en verificar que éste no fallará inmediatamente después de aplicar ciertas cargas. Este análisis podría efectuarse para: (a) Comprobar su resistencia “estática” a las cargas nominales3. Esto es poco usual ya que debe verificarse la resistencia a la fatiga de los árboles (las ecuaciones de fatiga dadas en el capítulo 5 cubren también las fallas “estáticas”). (b) Comprobar su resistencia estática a las cargas dinámicas (cargas pico). Esta comprobación sí debe hacerse ya que normalmente en los arranques o cuando hay sobrecargas, los árboles están sometidos a esfuerzos mayores a los nominales. Como se prevé que estas cargas se repiten un número muy pequeño de veces, éstas no tenderían a producir falla por fatiga, siendo suficiente el análisis de diseño estático.

En un diseño para cargas estáticas, se aplica una teoría de falla estática adecuada al punto o puntos más críticos del árbol, los cuales tienen estados de esfuerzo como el de la figura y esfuerzos dados por las ecuaciones y si la sección es circular sólida.

A un material dúctil se le aplica la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo (TECM) o la teoría de von Mises-Hencky(teoría de la energía de distorsión), la cual es equivalente a la Teoría del Esfuerzo Cortante Octaédrico (TECO). Las ecuaciones de diseño de estas teorías, para el estado de esfuerzo de nuestro punto crítico , están dadas por:

Cálculo de las reacciones:

En la figura 7.10 se presentó el diagrama de cuerpo libre teniendo en cuenta sólo los pares de torsión. Los diagramas de cuerpo libre para las fuerzas axiales y las fuerzas transversales y momentos flectores se dan en la figura 7.11.

Diagramas de fuerza cortante, momento flector y carga axial:

Con los resultados anteriores se construyen los diagramas de fuerza cortante, de momento flector y de carga axial (figura 7.12). Como normalmente las fuerzas cortantes no se tienen en cuenta en el diseño, los diagramas de fuerza cortante sólo interesan para la construcción de los de momento flector. Como interesa el momento total en las diferentes secciones (no sus componentes en xy y xz), se construye, además, un diagrama de momento flector resultante. En una sección particular, la magnitud del momento resultante está dada por la ecuación 7.5.