apunts de càlcul tema 3. integració de funcions d'una variable
TRANSCRIPT
Apunts de CalculTema 3. Integracio de funcions d’una variable
Lali Barriere, Josep M. OlmDepartament de Matematica Aplicada 4 - UPC
Enginyeria de Sistemes de TelecomunicacioEnginyeria Telematica
EETAC
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 1 / 72
Continguts
Continguts
3.1 Integral indefinida
3.2 Calcul de primitivesIntegrals immediates i quasi-immediatesIntegracio per partsIntegracio de funcions racionalsCanvis de variable i formules trigonometriques
3.3 Integral definida
3.4 Aplicacions
3.5 Integrals impropies
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 2 / 72
3.1 Integral indefinida
Primitiva d’una funcioI Definicio. Siguin F, f : A ⊆ R =⇒ R. Diem que F es una primitiva
de f en A si i nomes si
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ AI Exemples.
1. F1(x) = x2 es una primitiva de f(x) = 2x.2. F2(x) = x2 + 1 es una primitiva de f(x) = 2x.
I Propietat. Siguin F1, F2 dues primitives d’una funcio f . Aleshores,la seva diferencia es una constant:
∃c ∈ R tal que F1(x)− F2(x) = c
I Exercici 1. Demostrar la propietat anterior.I Observacio. Aixo significa que, coneguda una primitiva F d’una
funcio f , totes les altres primitives son de la forma
F (x) + c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 3 / 72
3.1 Integral indefinida
Concepte d’integral indefinida
I Definicio. El conjunt de totes les primitives d’una funcio, f , rep elnom d’integral indefinida de f , i es representa per:
∫f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R
on F es una primitiva qualsevol de f .
I La constant arbitraria c rep el nom de constant d’integracio, mentreque dx es l’anomenat diferencial de x.
I Observacio. Segons la definicio anterior:∫f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R⇐⇒ F ′(x) = f(x)
I Exemple.∫
2x dx = x2 + c, c ∈ R, perque[x2]′
= 2x
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 4 / 72
3.1 Integral indefinida
Interpretacio geometrica (I)
Trobar una primitiva, F , d’una funcio, f , representa reconstruir F a partirde la informacio facilitada per la seva derivada, f , es a dir, a partir delpendent de la recta tangent a F en cada punt x.
y = F(x)
f(x) = F’(x)
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 5 / 72
3.1 Integral indefinida
Interpretacio geometrica (II)La integral indefinida de f representa la familia de funcions obtinguda per“desplacament vertical” d’una primitiva qualsevol, F .
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 6 / 72
3.1 Integral indefinida
Sobre el diferencial de x
I El diferencial de x, dx, representa una variacio molt, molt petita de x.De fet, escrivim
∆x = dx quan ∆x→ 0
I Donada una funcio y = f(x) derivable, definim el diferencial de y, dy,com:
dy = f ′(x) dx
I Exemple. Calcular dy per a y = x2.
y = x2 =⇒ dy =[x2]′dx = 2x dx
I D’altra banda, de dy = f ′(x) dx s’obte que
f ′(x) =dy
dx−→ notacio alternativa per a la derivada
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 7 / 72
3.1 Integral indefinida
Interpretacio de l’expressio dy = f ′(x) dxQuan x varia infinitesimalment, la variacio experimentada per y = f(x)coincideix amb la que experimenta la seva recta tangent:
Escrivim ∆y = f ′(x)∆x+ α.
Quan ∆x→ 0 es te
{∆x→ dx,α→ 0.
Per tant, ∆y → f ′(x) dx = dy.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 8 / 72
3.1 Integral indefinida
Primeres propietats de la integral indefinidaSigui F una primitiva de f , es a dir, tal que F ′(x) = f(x). Aleshores:
P1.
[∫f(x) dx
]′= f(x)
Prova:
[∫f(x) dx
]′= [F (x) + c]
′= F ′(x) = f(x)
P2. d
[∫f(x) dx
]= f(x) dx
Prova:
d
[∫f(x) dx
]= d [F (x) + c] = [F (x) + c]
′dx = F ′(x) dx = f(x) dx
P3.
∫dF (x) = F (x) + c, c ∈ R
Prova:
∫dF (x) =
∫F ′(x) dx =
∫f(x) dx = F (x) + c
Aquestes propietats ens indiquen que la integracio es l’operacio inversa dela derivacio.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 9 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals immediates
Son les que s’obtenen directament a partir de les taules de derivacio:
∫dx = x+ c
∫xn dx =
xn+1
n+ 1+ c, n 6= −1
∫1
xdx = ln |x|+ c
∫ax dx =
ax
ln a+ c, a > 0
∫cosx dx = sinx+ c
∫sinx dx = − cosx+ c
∫1
cos2 xdx =
∫(1 + tan2 x) dx = tanx+ c
∫1
sin2 xdx =
∫(1 + cot2 x) dx = − cotx+ c
∫1
1 + x2dx = arctanx+ c
∫1√
1− x2dx = arcsinx+ c = − arccosx+ c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 10 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Propietats de la integral indefinida: linealitat
I Propietat. Siguin f , g funcions i λ ∈ R. Aleshores:
1. Integral de la suma:
∫[f(x) + g(x)] dx =
∫f(x) dx+
∫g(x) dx
2. Integral d’un escalar per una funcio:
∫λf(x) dx = λ
∫f(x) dx
I Exercici 2. Calcular:
1.∫ (
2x2 − 3x+ 4)dx
2.∫ (−3 sinx+ 4
x
)dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 11 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates (I)S’obtenen a partir de les integrals immediates i la regla de la cadena
∫g′ (f(x)) f ′(x) dx = g (f(x)) + c, c ∈ R
∫dx = x+ c
∫f ′(x) dx = f(x) + c∫
xn dx =xn+1
n+ 1+ c, n 6= −1
∫f ′(x)(f(x))n dx =
(f(x))n+1
n+ 1+ c, n 6= −1∫
1
xdx = ln |x|+ c
∫f ′(x)
f(x)dx = ln |f(x)|+ c∫
ex dx = ex + c
∫f ′(x)ef(x) dx = ef(x) + c∫
ax dx =ax
ln a+ c
∫f ′(x)af(x) dx =
af(x)
ln a+ c∫
cosx dx = sinx+ c
∫f ′(x) cos(f(x)) dx = sin(f(x)) + c∫
sinx dx = − cosx+ c
∫f ′(x) sin(f(x)) dx = − cos(f(x)) + c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 12 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates (II)
∫1
cos2 xdx =
∫(1 + tan2 x) dx =
∫f ′(x)
cos2(f(x))dx =
∫f ′(x)(1 + tan2(f(x))) dx =
= tanx+ c = tan(f(x)) + c∫1
sin2 xdx =
∫(1 + cot2 x) =
∫f ′(x)
sin2(f(x))dx =
∫f ′(x)(1 + cot2(f(x))) dx =
= − cotx+ c = − cot(f(x)) + c∫1√
a2 − x2dx = arcsin
x
a+ c =
∫f ′(x)√
a2 − (f(x))2dx = arcsin
f(x)
a+ c =
= − arccosx
a+ c = − arccos
f(x)
a+ c∫
dx
a2 + x2=
1
aarctan
x
a+ c
∫f ′(x)
a2 + (f(x))2dx =
1
aarctan
f(x)
a+ c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 13 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates (III)Exercici 3. Provar que:
∫f ′(x) (f(x))n dx =
(f(x))n+1
n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1
Solucio. Sabem que:[(f(x))n+1]′ = (n+ 1) (f(x))n f ′(x), n 6= −1
per tant:
(f(x))n f ′(x) =
[(f(x))n+1]′n+ 1
=
[(f(x))n+1
n+ 1
]′, n 6= −1.
Fent
F (x) =(f(x))n+1
n+ 1
tenim que:∫(f(x))n f ′(x) dx =
∫F ′(x) dx = F (x) + c =
(f(x))n+1
n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 14 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates: exercicis
Exercici 4. Calcular i comprovar derivant que la solucio trobada escorrecta:
1.
∫2x(x2 + 1
)2dx
2.
∫e√x
√xdx
3.
∫3x3
x4 − 3dx
4.
∫e2x cos
(e2x)dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 15 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio per parts
Integracio per parts
Utilitza una relacio integral basada en la derivada del producte.
I Propietat. Siguin u = u(x) i v = v(x). Aleshores:
∫u · dv = u · v −
∫v · du
I Exercici 5. Demostrar la propietat anterior.Notem que:[uv]′ = u′v + uv′ =⇒ [uv]′ dx = (u′v + uv′) dx = vu′ dx+ uv′ dx.Aixı tenim que d (uv) = v du+ u dv i, per tant, u dv = d (uv)− v du.
Integrant:
∫u dv =
∫[d (uv)− v du] =
∫d(uv)−
∫v du = uv −
∫v du.
I Cal triar u i dv adequadament, de manera que∫dv i
∫v · du siguin
mes simples que∫u · dv.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 16 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio per parts
Integracio per parts: exemples (I)
1. Calcular
∫xex dx.
Triem
{u = x −→ du = dxdv = ex dx −→ v =
∫ex dx = ex
}. Aixı:
∫xex dx = xex −
∫ex dx = xex − ex + c = x (ex − 1) + c, c ∈ R
2. Calcular
∫lnx dx.
Triem
{u = lnx −→ du = 1
x dxdv = dx −→ v =
∫dx = x
}. Aixı:
∫lnx dx = x lnx−
∫x · 1
xdx = x lnx−
∫dx =
= x lnx− x+ c = x (lnx− 1) + c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 17 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio per parts
Integracio per parts: exemples (II)
3. Calcular
∫ex cosx dx.
Triem
{u = ex −→ du = ex dxdv = cosx dx −→ v =
∫cosx dx = sinx
}. Aixı:
I =
∫ex cosx dx = ex sinx−
∫ex sinx dx
Integrem tambe per parts la integral resultant.
Triem
{u = ex −→ du = ex dxdv = sinx dx −→ v =
∫sinx dx = − cosx
}. Ara,
I = ex sinx−(−ex cosx−
∫ex(− cosx) dx
)=
= ex (sinx+ cosx)−∫ex cosx dx = ex (sinx+ cosx)− I
Per tant, 2I = ex(sinx+ cosx), i tenim:∫ex cosx dx =
1
2ex (sinx+ cosx) + c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 18 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (I)
I Les integrals racionals son integrals de la forma
∫p(x)
q(x)dx
on p(x) i q(x) son polinomis.
I Es resolen descomponent el quocient p(x)q(x) en una suma de termes
d’integral immediata o quasi-immediata.
Metode de descomposicio en suma d’integrals mes senzilles
1. Si grau(p(x)) ≥ grau(q(x)), dividim p(x) entre q(x).
2. Si grau(p(x)) < grau(q(x)):
2.1 Si p(x) = kq′(x), k ∈ R =⇒ La integral es immediata.2.2 Si p(x) 6= kq′(x) =⇒ Descomposicio en fraccions simples.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 19 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (1.)
1. Si grau(p(x)) ≥ grau(q(x)), dividim p(x) entre q(x).Divisio: p(x) = c(x)q(x) + r(x), amb grau(r(x)) < grau(q(x)).
∫p(x)
q(x)dx =
∫c(x)q(x) + r(x)
q(x)dx =
∫c(x) dx+
∫r(x)
q(x)dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 20 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.)2. Si grau(p(x)) < grau(q(x))2.1 p(x) = k · q′(x), k ∈ R
I Aleshores:∫p(x)
q(x)dx =
∫kq′(x)
q(x)dx = k
∫q′(x)
q(x)dx = k ln |q(x)|+ c, c ∈ R
I Exemple. Calcular
∫3x2 + 4x+ 3
2x3 + 4x2 + 6xdx
∫3x2 + 4x+ 3
2x3 + 4x2 + 6xdx =
1
2
∫3x2 + 4x+ 3
x3 + 2x2 + 3xdx =
=1
2ln |x3 + 2x2 + 3x|+ c, c ∈ R
2.2 p(x) 6= k · q′(x)
En aquest cas, cal descomposar p(x)q(x) en suma de fraccions simples.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 21 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2)2.2 p(x) 6= k · q′(x)La descomposicio es basa en la factoritzacio de q(x) com a producte depolinomis irreduıbles.El teorema seguent ens diu que q(x) sempre factoritza en producte depolinomis reals irreduıbles de grau 1 o 2.
I Teorema. Sigui el polinomi de grau n
q(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0, ai ∈ R.
Aleshores existeixen α1, . . . , αr, β1, . . . , βs, γ1, . . . , γs ∈ R unics tals:
q(x) = an (x− α1)l1 · · · (x− αr)
lr(x2 + β1x+ γ1
)m1 · · ·(x2 + β1x+ γ1
)ms ,amb:
I α1, . . . , αr: arrels reals de q(x), amb multiplicitats respectivesl1, . . . , lr, i αi 6= αj , ∀i 6= j
I β2j − 4γj < 0, ∀j, i (βi, γi) 6= (βj , γj), ∀i 6= j
I n = l1 + · · ·+ lr + 2 (m1 + · · ·+ms)
I Observacio. Recordem que, per a β2 − 4γ < 0, tenim que:
x2 + βx+ γ = (x− a)2 + b2, a, b ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 22 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2.1)2.2.1 q(x) = (x− α) · (. . . )Es a dir, q(x) te una arrel real, α, de multiplicitat 1.
I Per a cada factor de la forma (x− α) tenim un terme en la
descomposicio de p(x)q(x) de la forma
A
x− αon A es una constant que s’ha de calcular.
I La integral d’un d’aquests termes es immediata:
∫A
x− α dx = A
∫1
x− α dx = A ln |x− α|+ c
I Exercici 6. Calcular
∫1
2x2 − 2dx.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 23 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2.2)2.2.2 q(x) = (x− β)m · (. . . )Es a dir, q(x) te una arrel real, β, de multiplicitat m.
I Per a cada factor de la forma (x− β)m tenim m termes en la
descomposicio de p(x)q(x) de la forma
B1
x− β +B2
(x− β)2+ · · ·+ Bm
(x− β)m
on B1, . . . , Bm son constants que s’han de calcular.I Les integrals de cadascun d’aquests termes son immediates:
∫B1
x− β dx = B1 ln |x− β|+ c∫
Bk
(x− β)kdx = − Bk
(k − 1)(x− β)k−1+ c, k 6= 1
I Exercici 7. Calcular
∫1
x(x− 1)2dx.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 24 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2.3)2.2.3 q(x) = ((x− a)2 + b2) · (. . . )Es a dir, q(x) te factors irreduıbles de grau 2, de multiplicitat 1.
I Per a cada factor de la forma (x− a)2 + b2, tenim un terme en la
descomposicio de p(x)q(x) de la forma
Mx+N
(x− a)2 + b2
que es pot descompondre en suma de dues parts:
Mx+N
(x− a)2 + b2=
M · (x− a)
(x− a)2 + b2+
N +M · a(x− a)2 + b2
I Les integrals de cadascun d’aquests termes son immediates:∫
x− a(x− a)2 + b2
dx =1
2ln((x− a)2 + b2) + c
∫1
(x− a)2 + b2dx =
1
barctan
x− ab
+ c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 25 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2.3)Exemple. Calcular ∫
5x
x2 − 4x+ 13dx
Notem que x2 − 4x+ 13 = (x− 2)2 + 9, per tant:∫
5x
x2 − 4x+ 13dx =
5
2
∫2x
x2 − 4x+ 13dx =
5
2
∫2x− 4 + 4
x2 − 4x+ 13dx =
=5
2
∫2x− 4
x2 − 4x+ 13dx+
5
2
∫4
x2 − 4x+ 13dx =
5
2ln |x2 − 4x+ 13|+
+10
∫1
9 + (x− 2)2dx =
5
2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10
9
∫1
1 +(x−23
)2 dx =
=5
2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10
3
∫ 13
1 +(x−23
)2 dx =
=5
2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10
3arctan
(x− 2
3
)+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 26 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals: exemple
I Exemple. Assajar la descomposicio en fraccions simples de
3x− 1
x(x− 1)3(x2 + 1)((x+ 2)2 + 32)
I Solucio.
3x− 1
x(x− 1)3(x2 + 1)((x+ 2)2 + 32)=A
x+
B
x− 1+
C
(x− 1)2+
+D
(x− 1)3+Ex+ F
x2 + 1+
Gx+H
(x+ 2)2 + 32
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 27 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio per canvi de variable (I)
Propietat. Donada
∫f(x) dx, el canvi
{x = u(t)
dx = u′(t) dt
}fa que
∫f(x) dx =
∫f(u(t)) · u′(t) dt
I La idea es trobar un canvi adequat que faci el calcul de la novaintegral mes senzill que el de l’original.
I En acabar la integral cal desfer el canvi.
I Exemple. Calcular
∫1√
9− x2dx
Amb el canvi
{x = 3tdx = 3 dt
}tenim que:
∫1√
9− x2dx =
∫1√
9− (3t)23 dt =
∫3√
9− 9t2dt =
=
∫1√
1− t2dt = arcsin t+ c = arcsin
x
3+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 28 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio per canvi de variable (II)
I A vegades el canvi es pot escriure:
{h(x) = t
h′(x) dx = dt
}.
I Exemple. Calcular
∫1
ex + e−xdx.
Fem el canvi
{ex = t
ex dx = dt −→ dx = dtex
= dtt
}. Aleshores:
∫1
ex + e−xdx =
∫1
t+ 1t
·dtt
=
∫1
1 + t2dt = arctan t+c = arctan ex+c, c ∈ R.
I Les integrals quasi-immediates tambe es poden fer amb canvis devariable.
I Exemple. Amb el canvi
{f(x) = t
f ′(x) dx = dt
}resulta que:
∫(f(x))n f ′(x) dx =
∫tn dt =
tn+1
n+ 1+ c =
(f(x))n+1
n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 29 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Productes de potencies del sinus i el cosinus
1.
∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, n senar.
Es poden resoldre amb el canvi:
sin ax = t⇒{a · cos ax · dx = dtcos2 ax = 1− t2
2.
∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, m senar.
Es poden resoldre amb el canvi:
t = cos ax⇒{−a · sin ax · dx = dtsin2 ax = 1− t2
En alguns casos, les integrals d’aquest tipus es poden reduir a integralsquasi immediates utilitzant
sin2 ax+ cos2 ax = 1
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 30 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Productes de potencies del sinus i el cosinus
3.
∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, m,n parells.
Es redueix el grau utilitzant les formules trigonometriques:
sin2A =1− cos 2A
2, cos2A =
1 + cos 2A
2
4. Integrals que contenen productes de sinus i cosinus d’angles diferents:es simplifiquen usant les identitats trigonometriques apropiades.
sin a · sin b = 12(cos(a− b)− cos(a+ b))
cos a · cos b = 12(cos(a+ b) + cos(a− b))
sin a · cos b = 12(sin(a+ b) + sin(a− b))
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 31 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Exemples
1. Calcular la integral
∫sin4 x · cos3 x dx.
Es tracta d’una integral de tipus 1. Canvi:
sinx = tcosx dx = dtcos2 x = 1− t2
∫sin4 x cos3 x dx =
∫sin4 x cos2 x cosx dx =
∫t4(1− t2
)dt =
∫ (t4 − t6
)dt =
t5
5− t7
7+ c =
sin5 x
5− sin7 x
7+ c, c ∈ R
Exercici 8. Resoldre la mateixa integral utilitzant sin2 x+ cos2 x = 1 perconvertir-la en una integral quasi-immediata.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 32 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Exemples
2. Calcular la integral
∫1
sin 2xdx.
Es tracta d’una integral de tipus 2. Canvi:
cos 2x = t−2 · sin 2x · dx = dtsin2 2x = 1− t2
∫1
sin 2xdx =
∫sin 2x
sin2 2xdx =
∫sin 2x
1− cos2 2xdx =
1
2
∫1
t2 − 1dt
Resolent la integral racional s’obte:
∫1
sin 2xdx =
1
4
(∫1
t− 1dt−
∫1
t+ 1dt
)=
1
4ln|t− 1||t+ 1| + c =
= ln 4
√∣∣∣∣cos 2x− 1
cos 2x+ 1
∣∣∣∣+ c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 33 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Exemples
3. Calcular la integral
∫sin2 x · cos2 x dx
Es tracta d’una integral de tipus 3. Usem:
sin2 x =1− cos 2x
2
cos2 x =1 + cos 2x
2∫
sin2 x cos2 x dx =
∫1− cos 2x
2· 1 + cos 2x
2dx =
∫1− cos2 2x
4dx
Ara: cos2 2x =1 + cos 4x
2=⇒
∫sin2 x cos2 x dx =
∫ (1
4− 1 + cos 4x
8
)dx =
1
8
∫(1− cos 4x) dx =
=1
8
(x− 1
4
∫4 cos 4x dx
)=
1
8
(x− 1
4sin 4x
)+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 34 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Exemples
4. Calcular la integral
∫sin 3x · cos 5x dx.
Es tracta d’una integral de tipus 4.
Utilitzem: sin 5x · cos 3x =1
2(sin 8x+ sin 2x).
∫sin 3x cos 5x dx =
∫1
2(sin 8x+ sin 2x) dx =
= −cos 8x
16− cos 2x
4+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 35 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Funcions racionals del sinus i el cosinus (I)
I Propietat. Donada la integral
∫R(sinx, cosx) dx amb
R(sinx, cosx) funcio racional del sinus i el cosinus, el canvi devariable
tanx
2= t
la converteix en∫F (sinx, cosx) dx =
∫F
(2t
1 + t2,1− t21 + t2
)· 2
1 + t2dt
es a dir, en la integral d’una funcio racional.Aquest canvi sol donar lloc a integrals racionals de resolucio llarga.
I Exercici 9. Demostrar que del canvi anterior es dedueix:
sinx =2t
1 + t2, cosx =
1− t21 + t2
, dx =2
1 + t2dt
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 36 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Funcions racionals del sinus i el cosinus (II)
Solucio.
sinx =sinx
1=
2 sin x2 cos x
2
sin2 x2 + cos2 x
2
=2 sin x
2 cos x2
cos2 x2
(1 +
sin2 x2
cos2 x2
) =
=2 tan x
2
1 + tan2 x2
=2t
1 + t2
cosx =cosx
1=
cos2 x2 − sin2 x
2
cos2 x2 + sin2 x
2
=cos2 x
2
(1− sin2 x
2cos2 x
2
)
cos2 x2
(1 +
sin2 x2
cos2 x2
) =
=1− tan2 x
2
1 + tan2 x2
=1− t21 + t2
t = tanx
2⇐⇒ x
2= arctan t⇐⇒ dx =
2
1 + t2dt
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 37 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Funcions racionals del sinus i el cosinus (III)Donada la integral
∫R(sinx, cosx) dx, amb R(sinx, cosx) funcio
racional del sinus i el cosinus:
I Si R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx), es pot fer el canvi sinx = t.
sinx = t⇒ x = arcsin t, cosx dx = dt, cos2 x = 1− t2
Inclou productes de potencies de sinus i cosinus de tipus 1.
I Si R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx), es pot fer el canvi cosx = t.
cosx = t⇒ x = arccos t, − sinx dx = dt, sin2 x = 1− t2
Inclou productes de potencies de sinus i cosinus de tipus 2.
I Si R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx), es pot fer el canvi tanx = t.
tanx = t⇒ x = arctan t,1
cos2 xdx = dt,
cosx =1√
1 + t2, sinx =
t√1 + t2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 38 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio de funcions irracionals (I)
I Les funcions irracionals son les que contenen arrels.
I Es busquen canvis que converteixin la integral en una que no tinguiarrels.
Tipus
1.
∫F (
m√ax+ b, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi m
√ax+ b = t
2.
∫F (√a2 − x2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a sin t.
3.
∫F (√a2 + x2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a tan t.
4.
∫F (√x2 − a2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a
cos t .
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 39 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio de funcions irracionals (II)
1.
∫F (
m√ax+ b, x) dx. Amb el canvi m
√ax+ b = t tenim:
m√ax+ b = t =⇒ x =
tm − ba
dx =mtm−1
adt
Exemple
∫ √x
2x−√x dx. Canvi:
{ √x = t =⇒ x = t2
dx = 2t dt
}
∫ √x
2x−√xdx =
∫ √t2
2t2 −√t22tdt =
∫2t2
2t2 − tdt =∫
2t
2t− 1dt =
∫2t− 1 + 1
2t− 1dt =
=
∫ (2t− 1
2t− 1+
1
2t− 1
)dt =
∫ (1 +
1
2t− 1
)dt =
∫dt+
1
2
∫2
2t− 1dt =
= t+1
2ln |2t− 1|+ c =
√x+
1
2ln |2√x− 1|+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 40 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio de funcions irracionals (III)2.
∫F (√a2 − x2, x) dx. Amb el canvi x = a sin t tenim:
x = a sin t =⇒ t = arcsinx
a
dx = a cos t dt√a2 − x2 = a cos t
Exemple
∫1 + x√1− x2
dx. Canvi:
{x = sin t =⇒ t = arcsinxdx = cos t dt
}
∫1 + x√1− x2
dx =
∫1 + sin t√1− sin2 t
·cos tdt =∫
1 + sin t√cos2 t
·cos tdt =∫
1 + sin t
cos t·cos tdt =
=
∫(1 + sin t) dt = t− cos t+ c = t−
√1− sin2 t+ c =
= arcsinx−√
1− x2 + c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 41 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio de funcions irracionals (IV)3.
∫F (√a2 + x2, x) dx. Amb el canvi x = a tan t tenim:
x = a tan t =⇒ t = arctanx
a
dx =a
cos2 tdt
√a2 + x2 = a
cos t
4.
∫F (√x2 − a2, x) dx. Amb el canvi x = a
cos t tenim:
x =a
cos t=⇒ t = arccos
a
x
dx =a sin t
cos2 tdt
√x2 − a2 = a tan t
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 42 / 72
3.3 Integral definida
Integral definida: definicio (I)
I Definicio. Donada f : [a, b] ⊂ R −→ R contınua i tal que f(x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b], es defineix la integral definida de f en [a, b] com l’area, A,limitada per l’eix y = 0 i la corba y = f(x) entre les rectes x = a ix = b. Aixo ho escrivim:
A =
∫ b
af(x) dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 43 / 72
3.3 Integral definida
Integral definida: definicio (II)I Definicio. Donada f : [a, b] ⊂ R −→ R contınua no necessariament
positiva, es defineix la integral definida de f en [a, b] com:I la suma de les arees limitades per l’eix y = 0 i la corba y = f(x) entre
les rectes x = a i x = b, per sobre de l’eix y = 0,I menys la suma de les arees limitades per l’eix y = 0 i la corbay = f(x) entre les rectes x = a i x = b, per sota de l’eix y = 0.
a bA1
A2
A3
y=f(x)
En la figura tindrem:∫ b
af(x) dx = A1 +A3 −A2
I Observacio. En aquest cas, la integral definida no es una area.Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 44 / 72
3.3 Integral definida
Propietats de la integral definida (I)
P1.
∫ a
af(x) dx = 0.
P2. Si f(x) ≥ 0 =⇒∫ b
af(x) dx ≥ 0. Si f(x) ≤ 0 =⇒
∫ b
af(x) dx ≤ 0.
P3.
∫ b
af(x) dx = −
∫ a
bf(x) dx.
P4. Si a ≤ c ≤ b =⇒∫ b
af(x) dx =
∫ c
af(x) dx+
∫ b
cf(x) dx.
P5.
∫ b
a(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
af(x) dx+
∫ b
ag(x) dx.
P6. λ
∫ b
af(x) dx =
∫ b
aλf(x) dx, ∀λ ∈ R.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 45 / 72
3.3 Integral definida
Propietats de la integral definida (II)
P7. Si m ≤ f(x) ≤M =⇒ m(b− a) ≤∫ b
af(x) dx ≤M(b− a).
P8. Teorema del valor mitja ∃c ∈ [a, b];
∫ b
af(x) dx = f(c)(b− a).
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 46 / 72
3.3 Integral definida
Definicio d’integral definida: consideracions finals
I Observacio. La definicio d’integral definida es pot extendre afuncions no contınues: per exemple, les que tenen un nombre finit dediscontinuıtats de salt en [a, b].
I Definicio. Quan existeix la integral definida de f en [a, b] diem que fes integrable en [a, b].
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 47 / 72
3.3 Integral definida
Calcul d’integrals definides (I)
1. Descomposem la regio en rectangles que tenen per:I Base: un interval de x.I Altura: la imatge per f d’un punt de la base.
2. Calculem el lımit de la suma de les arees dels rectangles quan la basetendeix a 0.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 48 / 72
3.3 Integral definida
Calcul d’integrals definides (II)
Exemple. Calcular l’area limitada per l’eix y = 0 i la corba f(x) = x,entre x = 0 i x = 1, usant l’aproximacio per rectangles.Notem que:
I Utilitzant l’aproximacio per rectangles: dividim l’interval d’integracio[0, 1] en n parts iguals, es a dir,cadascuna de longitud 1/n.
0n
nn
1n
2n
n!2n
n!1n
0 1
· · · · · ·
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 49 / 72
3.3 Integral definida
Calcul d’integrals definides (III)I Considerem els rectangles d’altura igual al valor maxim que pren la
funcio en cada interval, en aquest cas a l’extrem dret.f(1) = 1 = n
n
f!
2n
"= 2
n
f!
1n
"= 1
n
01n
2n
1 = nn
· · ·
I Aixı,
Sn =1
n
[f
(1
n
)+ f
(2
n
)+ · · ·+ f
(n− 1
n
)+ f(1)
]=
=1
n
(1
n+
2
n+ · · ·+ n− 1
n+n
n
)=
1
n2(1 + 2 + · · ·+ n) =
n(n+ 1)
2n2=n+ 1
2n
I Fem tendir el nombre de rectangles a ∞:
A = limn→∞
Sn = limn→∞
n+ 1
2n=
1
2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 50 / 72
3.3 Integral definida
Teorema Fonamental del Calcul i regla de BarrowI Teorema Fonamental del Calcul. Donada f contınua en [a, b]
definim, ∀x ∈ [a, b],
F (x) =
∫ x
af(x) dx
Aleshores F es una primitiva de f , es a dir, F ′(x) = f(x).I Teorema [Regla de Barrow]. Sigui f contınua en [a, b] i sigui F
una primitiva de f . Aleshores:∫ b
af(x) dx = F (b)− F (a)
Es el que fem servir a la practica!I Exemple. Calcular l’area limitada per l’eix y = 0 i la corba f(x) = x,
entre x = 0 i x = 1.
A =
∫ 1
0x dx =
[x2
2
]1
0
=12
2− 02
2=
1
2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 51 / 72
3.3 Integral definida
Teorema Fonamental del Calcul: demostracio
Teorema Fonamental del Calcul. Donada f contınua en [a, b] definim,∀x ∈ [a, b],
F (x) =
∫ x
a
f(x) dx
Aleshores F es una primitiva de f , es a dir, F ′(x) = f(x).Demostracio.
Notem que A = F (x+ h) = F (x) + ∆F (x).Pel teorema del valor mitja (P8), ∃c ∈ [x, x+ h] tal que ∆F (x) = h · f(c).
Aleshores: F (x+ h) = F (x) + hf(c)⇒ F (x+ h)− F (x)
h= f(c).
Fent pas al lımit per h→ 0: F ′(x) = limh→0
F (x+ h)− F (x)
h= lim
h→0f(c) = f(x).
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 52 / 72
3.3 Integral definida
Regla de Barrow: demostracio
Teorema. Sigui f contınua en [a, b] i sigui F una primitiva de f .Aleshores: ∫ b
af(x) dx = F (b)− F (a)
Demostracio. Sabem pel Teorema Fonamental del Calcul que, ∀x ∈ [a, b],
∫ x
a
f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R, amb F ′(x) = f(x)
Aleshores, per la propietat P1,
∫ a
a
f(x) dx = F (a) + c = 0⇒ c = −F (a), de
manera que
∫ b
a
f(x) dx = F (b) + c = F (b)− F (a).
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 53 / 72
3.3 Integral definida
Canvi de variable en la integral definidaI S’han de canviar, a la vegada, els lımits d’integracio.
I Exemple. Calcular
∫ ln 2
0
ex
ex + 2dx.
Canvi: t = ex + 2, dt = ex dx =⇒{t(x = 0) = e0 + 2 = 1 + 2 = 3t(x = ln 2) = eln 2 + 2 = 2 + 2 = 4
Aleshores:∫ ln 2
0
ex
ex + 2dx =
∫ x=ln 2
x=0
ex
ex + 2dx =
∫ t=4
t=3
dt
t=
=
∫ 4
3
dt
t= [ln t]
43 = ln 4− ln 3 = ln
4
3I Observacio. Es pot calcular primer la integral indefinida, desfer el canvi, i
despres substituir en la integral definida sense canviar els lımits:∫
ex
ex + 2dx =
∫dt
t= ln t = ln(ex + 2)
⇒∫ ln 2
0
ex
ex + 2dx = [ln(ex + 2)]
ln 20 = ln 4− ln 3 = ln
4
3
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 54 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees (I)I Problema. Al calcular una integral definida les arees “positives” i
“negatives” es compensen.I Exemple.
Integral:
∫ 1
−1x dx =
[x2
2
]1
−1=
12
2− (−1)2
2=
1
2− 1
2= 0
Area:∫ 1
−1|x| dx =
∫ 0
−1−x dx+
∫ 1
0
x dx =
[−x22
]0
−1+
[x2
2
]1
0
=1
2+
1
2= 1
|x|
I Propietat. Area limitada per l’eix y = 0, la funcio y = f(x) en [a, b]:
A =
∫ b
a|f(x)| dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 55 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees (II)I A la practica es busquen els punts de tall de la funcio amb l’eix X i es
descompon la integral en suma:
A = A1 +A2 =
∫ c
af(x) dx−
∫ b
cf(x) dx
I Observacio. Si f no canvia de signe en [a, b], aleshores
A =
∣∣∣∣∫ b
af(x) dx
∣∣∣∣
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 56 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees (III)
I En el cas de l’area limitada per dues funcions la idea es la mateixa:
A =
∫ b
a|f(x)− g(x)| dx
A = A1 +A2 =
∫ c
a[f(x)− g(x)] dx−
∫ b
c[f(x)− g(x)] dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 57 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees (IV)
I Donat que els punts de tall de f amb l’eix X ens marquen elsintervals de signe constant de f en [a, b], no cal determinar-ne elsigne en cada subinterval. Podem fer:
A =
∣∣∣∣∫ c
af(x)dx
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ b
cf(x)dx
∣∣∣∣I La tecnica es pot utilizar tambe per a calcular l’area tancada entre
dues funcions
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 58 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees: exempleCalcular l’area tancada entre y = 9− x2 i y = x+ 3
I Punts de tall:
9− x2 = 3 + x⇔ x2 + x+ 6 = 0⇔{x = −3x = 2
I Area:
A =
∫ 2
−3(9−x2−(x+ 3)) dx =
∫ 2
−3
(6− x− x2
)dx =
[6x− x2
2− x3
3
]2
−3=
=
(6 · 2− 22
2− 23
3
)−(
6 · (−3)− (−3)2
2− (−3)
3
3
)=
125
6u2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 59 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul de volums de solids de revolucio: formula dels discs
I Propietat. El volum del solid de revolucio generat pel gir dey = f(x) al voltant de l’eix de les x entre x = a i x = b es
Vx = π
∫ b
a(f(x))2 dx
I Exemple. Fent girar al voltant de l’eix de les x la regio determinadaper y = x2 entre x = 0 i x = 1 s’obte un solid de volum:
V = π
∫ 1
0x4 dx =
π
5u3
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 60 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul de volums de solids de revolucio: formula dels discs
I Propietat. El volum del solid de revolucio generat pel gir dex = g(y) al voltant de l’eix de les y entre y = c i y = d es:
Vy = π
∫ d
c(g(y))2 dy
I Exemple. Fent girar al voltant de l’eix de les y la regio determinadaper y = x2 entre y = 0 i y = 1 s’obte un solid de volum:
V = π
∫ 1
0(√y)2 dy =
π
2u3
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 61 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropiesDefinicio. Diem que una integral definida es una integral impropia si:
1. La funcio que a integrar te una assımptota vertical en algun(s)punt(s) de l’interval d’integracio. Son les integrals impropies deprimera especie o de funcio no fitada.
O be:
2. Almenys un dels lımits d’integracio es infinit. Son les integralsimpropies de segona especie o d’interval no fitat.
Observacio. Quan la integral impropia existeix diem que es convergent.Altrament diem que es divergent.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 62 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de primera especie (I)1.1 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim
x→b−f(x) =∞, aleshores
∫ b
af(x) dx = lim
z→b−
∫ z
af(x) dx = lim
z→b−[F (x)]za = lim
z→b−[F (z)− F (a)]
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 63 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de primera especie (II)1.2 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim
x→a+f(x) =∞, aleshores
∫ b
af(x) dx = lim
z→a+
∫ b
zf(x) dx = lim
z→a+[F (x)]bz = lim
z→a+[F (b)− F (z)]
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 64 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de primera especie (III)1.3 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim
x→c+f(x) =∞ i/o
limx→c− f(x) =∞, amb c ∈ (a, b), aleshores∫ b
af(x) dx =
∫ c
af(x) dx+
∫ b
cf(x) dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 65 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropies de primera especie: exemples
I Calcular
∫ 4
2
33√x− 2
dx
∫ 4
2
33√x− 2
dx = limz→2+
∫ 4
z
33√x− 2
dx = limz→2+
[9 3√
(x− 2)2
2
]4z
=
= limz→2+
9
2
[3√4− 3
√(z − 2)2
]=
9 3√4
2
I Calcular
∫ −1
−2
1
(x+ 2)3dx
∫ −1
−2
1
(x+ 2)3dx = lim
z→−2+
∫ −1
z
1
(x+ 2)3dx = lim
z→−2+
[− 1
2 (x+ 2)2
]−1
z
=
= limz→−2+
1
2
[1
(z + 2)2− 1
]=
1
2
[1
(2− 2+)2− 1
]= +∞
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 66 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de segona especie (I)Observacio. Es condicio necessaria per a la convergencia d’una integralimpropia de segona especie que f(x) tendeixi a 0 quan x tendeix al(s)extrem(s) no fitat(s).
2.1 Sigui F una primitiva de f en [a,+∞). Si limx→+∞
f(x) = 0:
∫ +∞
af(x) dx = lim
z→+∞
∫ z
af(x) dx = lim
z→+∞[F (z)− F (a)]
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 67 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de segona especie (II)2.2 Sigui F una primitiva de f en (−∞, b]. Si lim
x→−∞f(x) = 0:
∫ b
−∞f(x) dx = lim
z→−∞
∫ b
zf(x) dx = lim
z→−∞[F (b)− F (z)]
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 68 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de segona especie (III)2.3 Sigui F primitiva de f en (−∞,+∞). Si lim
x→±∞f(x) = 0:
∫ +∞
−∞f(x) dx =
∫ c
−∞f(x) dx+
∫ +∞
cf(x) dx, amb c ∈ R qualsevol.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 69 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropies de segona especie: exemples (I)
Calcular
∫ +∞
2e−3x dx.
I Comprovem que en l’extrem no fitat la funcio te lımit 0.Si no fos aixı, la integral seria divergent!
En efecte: limx→+∞
=1
e3·(+∞)=
1
+∞ = 0.
I Calculem la integral:
∫ +∞
2e−3x dx = lim
z→+∞
∫ z
2e−3x dx = lim
z→+∞−1
3
[e−3x
]z2
=
= limz→+∞
−1
3
[e−3z − e−6
]=
1
3e6
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 70 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropies de segona especie: exemples (II)
Calcular
∫ 0
−∞xex dx.
I Comprovem que en l’extrem no fitat la funcio te lımit 0.Si no fos aixı, la integral seria divergent!
En efecte: limx→−∞
xex = −∞ · e−∞ =−∞e+∞
= −∞∞Apliquem la Regla de L’Hopital:
limx→−∞
xex = limx→−∞
x
e−x= lim
x→−∞(x)′
(e−x)′=
= limx→−∞
−1
e−x=−1
e+∞=−1
∞ = 0
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 71 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropies de segona especie: exemples (III)
I Calculem la integral:
∫ 0
−∞xex dx = lim
z→−∞
∫ 0
zxex dx = lim
z→−∞[ex (x− 1)]0z =
= limz→−∞
[−1− (z − 1)ez] = −1 + limz→−∞
ez − limz→−∞
zez= −1
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 72 / 72