apuntes upc analisis de mecanismos

11/10/2010

1

Teoría y Diseño de Máquinas y Mecanismos I

ISBN 978 84 693 6455 0

Universitat Politècnica de Catalunya

Escola Universitària d'Enginyeria Tècnica Industrial de Barcelona

Amelia Nápoles AlberroDepartament d’ Enginyeria Mecànica

ISBN: 978 - 84 - 693 - 6455 - 0

Profesora: AMELIA NÁPOLES ALBERRO

[email protected]. - Despacho BC06C Planta baja

INTRODUCCIÓNFORMAS DE ESTUDIAR UN MECANISMO:

“Análisis de mecanismos”: Procedimiento que determina el movimiento es decir la Trayectoria la




Análisis de mecanismos : Procedimiento que determina el movimiento, es decir la Trayectoria, laVelocidad y la Aceleración de un punto P, conociendo la geometría del mecanismo.

“Síntesis de mecanismos”: Es el proceso inverso, se conoce el movimiento y se determinan lasdimensiones geométricas a,b,c,....

Etapas del proceso de análisis:- Análisis cinemático.-Análisis estático: para máquinas de baja velocidad.-Análisis dinámico: para maquinas de alta velocidad.

Á

2

Método utilizado en TDMM 1 ANÁLISISLa asignatura se divide en dos campos:

Cinemático: Análisis de los movimientos de las piezas independientes de las fuerzas.

Dinámico: Análisis de los movimientos de las piezas teniendo en cuenta las fuerzas y los fenómenos dinámicos resultantes.

11/10/2010

2

3

Índice de Contenidos por capítulos

1- Geometría del movimiento.




2- Velocidades.3- Aceleraciones4- Movimiento relativo.5- Análisis estático del sólido en movimiento plano.6- Análisis dinámico del sólido en movimiento plano.7- Dinámica de los sistemas con un grado de libertad

4

7- Dinámica de los sistemas con un grado de libertad.

11/10/2010

3

BIBLIOGRAFÍAMATERIAL DOCENTE

• 978-84-92954-17-9 ANALISIS DE MECANISMOS 978 84 92954 18 6 PROBLEMAS RESUELTOS DE MECANISMOS




• 978-84-92954-18-6 PROBLEMAS RESUELTOS DE MECANISMOS • 978-84-92954-19-3 AUTOAPRENDIZAJE DE ANÁLISIS DE MECANISMOS (CD ROM )

COMPLEMENTÁRIA

• NORTON, R.L.: Diseño de maquinaría. McGraw-Hill. 1995.• SHIGLEY, J.E.: Teoría de Máquinas y Mecanismos. McGraw Hill. • CALERO PÉREZ, R., CARTA GONZÁLEZ, J. A., Fundamentos de mecanismos y máquinas para

ingenieros. McGraw-Hill. 1998.• KHAMASHTA; ALVAREZ, CAPDEVILA., Problemas resueltos de cinemática de mecanismos planos.

5

pTerrassa, UPC.

• HAMILTON H. MABIE. Fred, OCVIRK W.: Mecanismos y Dinámica de Maquinaria. Editorial Limusa. 1999.

• CARDONA i FOIX, S., Clos, D. Teoria de Màquines. Barcelona. Ed. UPC. 2000.• FUNDAMENTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS, Simón, Bataller, Guerra, Ortiz, Cabrera. (Programa

winmecc 4.0. ). http:/www.uma.es/organización/idepartamentos.html.• REVISTA “MECHANISM AND MACHINE THEORY”

MOTIVACIÓN PRINCIPAL POR LA QUE APRENDER




APRENDER EL ANÁLISIS DE MECANISMOS

¿RESOLVER

6

PROBLEMAS?

11/10/2010

4

TEMA 1- Geometría del movimiento.




–Definiciones generales.

–Clasificación de las barras y de los pares cinemáticos.

–Grados de libertad.

Criterio de Grübler para calcular el grado de libertad

7

–Criterio de Grübler para calcular el grado de libertad.

–Mecanismos planos de cuatro barras.

–Ley de Grashof. Consideraciones.

Definiciones generales

MECANISMO:




Conjunto de elementos que transmitenmovimiento, desarrollan fuerzas de muy bajaintensidad y transmiten poca potencia.

Ejemplo:

Odómetro (Cuenta Kilómetros)

“Leonardo Da Vinci”

MÁQUINA

8

MÁQUINA:

Conjunto de mecanismos que transforman laenergía en trabajo útil. Contienenmecanismos que aportan fuerzas importantesy transmiten potencia.

Ejemplo:Pala Excavadora, Prensa

11/10/2010

5


TIPOS DE MECANISMOS:de Levas




de Barras

9

de Engranajes

Barras o Eslabones: nombre que recibe cada elemento o cuerpo sólido rígido encargado detransmitir el movimiento en los mecanismos.


Tipos de barras:




Cuerpos sólidos rígidos formados por un solo cuerpo: los puntos carecende movimiento relativo entre ellos, sus distancias son invariables (levas,ruedas dentadas, árboles, ejes, palanca)

Cuerpos sólidos rígidos formado por conjunto de cuerpos rígidamenteunidos: Biela (formada por cabeza, cuerpo, casquillo, cojinete y tuerca).

Cuerpos sólidos unirígidos: cadenas y correas cables y poleas

10

Cuerpos sólidos unirígidos: cadenas y correas, cables y poleas.

Elementos elásticos: Aquellos cuyas deformaciones son de gran magnitudy son comparables con sus movimientos (resortes, ballesta).

Elementos fluidos: Por ejemplo el agua, aceite o aire o transmisiones nomecánicas que emiten un campo electromagnético o magnético (elmovimiento se transmite con un electroimán, donde las líneas de fuerzasson una tercera barra a tener en cuenta.

11/10/2010

6





Elementos de enlace: forma geométrica que adoptan las barras para conectarse entre ellas.

Par cinemático o junta:

11

jUnión entre las barras que permite movimiento relativo entre ellas.

Nudo: Punto donde se interconectan las barras mediante uno o más pares cinemáticos.

Esquematización y simbología.




12

11/10/2010

7

Nomenclatura Nomenclatura Significado

n Barras

i Pares inferiores

s Pares superiores




GL Grados de libertad

V Velocidad lineal

a Aceleración lineal

w Velocidad angular

a Aceleración angular

θ Ángulo de posición de la barra

R Longitud del vector de posición o de las barras

M Par

13

M Par

F Fuerza

I Momento de inercia

Ec Energía cinética

G Centro de gravedad

Fi Fuerza de inercia

Mi Par de inercia

W Trabajo

m Masa

Clasificación de las barras.

(Barra n-aria: barra que conecta n nudos)




(Barra n-aria: barra que conecta n nudos)

1

2

BINARIA

TERCIARIA

14

3TERCIARIA

CUATERNARIA

11/10/2010

8

Grado de Libertad de los pares cinemáticos




θ

El grado de libertad es el mínimo número de parámetros independientes necesarios para definir el movimiento relativo entre las barras.

15

Par cinemático de un grado de libertad: “θ”

Clasificación de los pares cinemáticos.

Los pares cinemáticos se pueden clasificar según los siguientes criterios:




Por el número de barras conectadas

Por el tipo de contacto entre las barras: línea, punto o superficie

Inferiores

Superiores

Par n-ario

16

Por el número de grados de libertad permitidos en el par cinemático.

Por el tipo de cierre del par

Clase I, II, III, IV, V

de FUERZAde FORMA

11/10/2010

9


Tipos de pares cinemáticos según el número de barras conectadas: Par n-ario




Terciario2 Binarios o simples

Binario1 Par Simple

FB

ParTerciario

17

En un nudo hay n-1 pares simples, donde nes el número de barras que confluyen en elnudo. Por ejemplo un par pentario (5 barras)hay 4 pares simples.

Cuaternario3 Binarios o simples

AC D

Ejemplo: 5 NudosPares cinemáticos binarios o Simples A, D, FPares cinemáticos Terciarios B y C, (hay dos pares cinemáticos simples ).

Simbología de los Pares Cinemáticos.Universitat Politècnica de Catalunya



18

11/10/2010

10

Simbología de los Pares Cinemáticos.




19

Clasificación de los pares cinemáticos

según el número de grados de libertad


Denominación del Par Cinemático Tipos de Pares Cinemáticos

Par de Revolución INFERIORCLASE I / Grado de Libertad: 1




grados de libertad permitidos en el par

cinemático.

(Clase I, II, III, IV, V)

Par Prismático INFERIORCLASE I / Grado de Libertad: 1

Par Helicoidal INFERIORCLASE I / Grado de Libertad: 1

Par de Engranaje(considerando Rodadura Pura)

INFERIORCLASE I / Grado de Libertad: 1

Par de Leva SUPERIORCLASE II / Grado de Libertad: 2

20

Par Cilíndrico INFERIORCLASE II / Grado de Libertad: 2

Par Esférico INFERIORCLASE III / Grado de Libertad: 3

Par Plano INFERIORCLASE III / Grado de Libertad: 3

Par Plano – Cilindro SUPERIORCLASE IV / Grado de Libertad: 4

11/10/2010

11


Clasificación de los pares cinemáticos según el tipo de contacto entre las barras




Inferiores:

El Contacto entre las barras es superficial.

Superiores:

El contacto entre las barras es lineal o puntual.

21


Clasificación de los pares cinemáticos según el tipo de cierre del par




PAR de FUERZA PAR de FORMAMuelle

22

11/10/2010

12

Cadena cinemática: Es el conjunto de barras unidas mediante pares cinemáticos ycon movimiento relativo entre ellas.




Cerradas: Cuando sus barras están conectada como mínimo a otras dos del sistema.

Cadena cerrada de 4 barras Cadena cerrada de 5 barras

Tipos de Cadenas cinemáticas

23

Abiertas: Cuando no es cerrada.

Configuración de una cadena cinemática

es la denominación que se le da a la cadena según el número de barras y pares cinemáticos que la forman.




Nomenclatura: (b2,p2,b3,p3,b4,p4,......)7 Barras binarias (2,3,4,5,6,8,10)2 Barras Terciarias (1,9)1 Barras Cuaternarias (7)

10 Pares binarios1 Par Terciario (F)

de barras y pares cinemáticos que la forman.

1

5

7

9

10

6

A

B

C

G I

J

24

Configuración: (7,10,2,1,1)

Cuando a una cadena cinemática se fija cualquiera de sus barras, se le llamasoporte, bastidor o bancada, se obtiene el MECANISMO cuya Función estransmitir o transformar movimiento.

2

3

4

8

D

F H K

LE

11/10/2010

13

Plano de Movimiento del MecanismoUniversitat Politècnica de Catalunya



25

Grados de libertad

Tipos de movimientos en el plano

Rotación pura: Manivela o Balancín (Barra Leva o Engranaje)




Rotación pura: Manivela o Balancín (Barra, Leva o Engranaje)Rotación y traslación: Biela (Barra)Traslación Pura: Dado deslizante (Barra)

Traslación

26

Rotación

11/10/2010

14

Grados de libertad

Grado de Libertad de un mecanismo:




4

3

2

Y

θ 2

El grado de libertad es el mínimo número de parámetros independientesnecesarios para definir la configuración geométrica del mecanismo.

27

1 X

La barras 1 está fija (bancada) y con solo fijar la variable “θ 2” el mecanismo queda inmóvil.Parámetro independiente es θ2 por lo que el mecanismo tiene 1 GL.


Cuadrilátero articulado

Mecanismos Planos de 4 Barras

Mecanismo de Corredera




28

11/10/2010

15

Inversiones Cinemáticas




Cuadrilátero articulado: sin diferencias topológicas

29

Inversiones Cinemáticas

Cuadrilátero de Corredera: : tiene 3 inversiones con diferencias topológicas




Cuadrilátero de Corredera: : tiene 3 inversiones con diferencias topológicas

Motor de combustión interna.

Motor rotatorioRetorno Rápido o Whitworth(elemento 1 gira

“A”)

30

Locomotora de Vapor (elemento 3 fijo, se impulsa la rueda 2).

respecto a “A”).

Bomba de agua(elemento 4 fijo e invertido de exteriora interior).

11/10/2010

16

Esquema Cinemático de la Locomotora




14

9 10 1112

15 1617 18

31

12

Los Mecanismos son Internos a la Locomotora.

El Chasis de la Locomotora es la Bancada.

El movimiento de la Locomotora respecto a Tierra pertenece a otro Sistema Mecánico.

Locomotora: Mecanismo 1




32

11/10/2010

17





Criterios para la determinación de los GL de mecanismos planos.

Criterios analíticos:

- Criterio de Grübler– Kutzbach (o Chebyshev): Válido para mecanismos con pares inferiores y superiores.

- Criterio de Restricción: Válido para mecanismos que tengan solamente pares inferiores.

33

Ambos criterios tienen fallos, porque ninguno de ellos incluye el análisis de la geometría de los mecanismos, puesto que son analíticos.

Criterios no analíticos:

- Adición de grupos de Assur.

# GL = GL GL li i d





# GL = GL B S L – GL eliminadosP I S

BSL: barras supuestas libresPIS: Pares Inferiores y Superiores

Ecuación de Grübler

34

GL = 3 (n-1) –(2 i) - s

n - Número de barrasi - pares inferiores s - pares superiores

11/10/2010

18

Ejemplos de cálculo de los grados de libertad aplicando el Criterio de Grübler




n=3 , i=3, s=0

GL = 3(3-1) - (2 . 3) – 0 = 0

n=4 , i=4, s=0

GL = 3(4-1) - (2 . 4) – 0 = 1

Es necesario definir dos

35

n=4 , i=4, s=0

GL = 3(4-1) - (2 . 4) – 0 = 1 n=5 , i=5, s=0GL = 3(5-1) - (2 . 5) – 0 = 2

ω 2 ω 5

definir dos variables ω 2 y ω 5

Casos en los que el Criterio de Grübler da resultados incorrectos.

5 i 6 0




n=5 , i=6, s=0GL = 3(5-1) - (2 . 6) – 0 = 0Indica que es una estructuraLa barra 3 tiene Dos CIR • Hay ENGARROTAMIENTO

3

2

1

45

36

3

2

1

45

Sin embargo si la barra 5 se configura como la figura de la izquierda entonces será un mecanismo de doble paralelogramo con un grado de libertad, a pesar de que por Grübler resulte una estructura.CIR ∞, Hay MOVIMIENTO

11/10/2010

19

Casos con Adición de Elementos Elásticos y de Fluidos: Está modificación No cambia los GL del mecanismo

Por adición de Resortes: permite producir un equilibrio instantáneo, contrarrestando un peso y/o




p p q p ymanteniendo una posición, pueden sustituir a una diada o ser adicionado al mecanismo.

Por adición de pares Cilíndricos (C) (cilindros hidráulicos o neumáticos): este además del movimiento de traslación añade uno de rotación el cual puede ser indeseable en la aplicación, por lo que los pares lib d l di d ilí d i C t l d l ió (R)

37

libres de la diada cilíndrica C se conectan a los pares de revolución (R).


Criterios no analíticos: Adición de grupos de Assur.

Grupos de Assur son grupos de barras que conectadas a un mecanismo a través de sus pares libres no difi l GL d t l GL ti




modifican los GL de este, por lo que su GL tiene que ser cero.

Diada con par de revolución R

Diada con par prismático P Diada con par esfera-plano con rodadura pura

+Par usado

Pares Libres

=

38

Diada con par helicoidal

11/10/2010

20

LEY DE GRASHOF

En un mecanismo de 4 barras articuladas, la ley de Grashof, nos permitepronosticar el comportamiento de rotación de una barra.Se podrá predecir si una barra se comportará como manivela o como balancín




bc

Se podrá predecir si una barra se comportará como manivela o como balancín.Esta característica de rotabilidad de una barra determinada, depende de 3factores:

1.- Las longitudes de las barras.2.- La barra que será la bancada.3.- El orden de montaje de las barras.

Si se cumple que a < b < c < d, estas pueden ser montadas en cualquier orden.

39

a

d

b

Ley de Grashof: Para que un cuadrilátero articulado plano, una o dos barrastengan rotaciones relativas completas es necesario que la suma de las longitudes delas barras mayor y menor sea inferior a la suma de longitudes de las otras dos.

Es decir a + d < b + c

pueden ser montadas en cualquier orden.ab c d

1.- Si la bancada es la barra más corta

CONSIDERACIONES DE LA LEY DE GRASHOF




los dos elementos contiguos trabajarán como manivela y el mecanismo sería doble manivela.

40

11/10/2010

21

2 Si la bancada es na de las barras contig as a la más

CONSIDERACIONES DE LA LEY DE GRASHOF




2.- Si la bancada es una de las barras contiguas a la más corta, el elemento menor trabajará como manivela y el mayor como balancín, el mecanismo sería manivela-balancin.

41

CONSIDERACIONES DE LA LEY DE GRASHOF.




3.- Si se fija como bancada la barra opuesta a la más corta los dos elementos que giran trabajarán como balancines y el mecanismo sería doble balancín.

42

11/10/2010

22

CASO en que a + d > b + c Cuadrilátero de no Grashof

Si no se cumple la Ley de Grashof las dos barras que giran son balancines





Si no se cumple la Ley de Grashof las dos barras que giran son balancines.

Ninguna barra puede dar vueltas completas.

a) Doble balancín Nº 1 b) Doble balancín Nº 2

43

c) Doble balancín Nº 3 d) Doble balancín Nº 4

CASO + d b +





CASO en que a + d = b + c

Casos especiales de Grashof.

• Todas las inversiones serán doble manivela o manivelas balancín pero tendrán puntos decambio (o muertos) cuando los eslabones quedan colineales.

• En estos puntos el comportamiento de salida es indeterminado, por lo que el movimientod l i d b li i d

44

del mecanismo debe ser limitado.

a) Paralelogramo b) Antiparalelogramo c) Doble paralelogramo d) Deltoide

11/10/2010

23

PARTE 2




TEMA 2- Velocidades.

TEMA 3- Aceleraciones

45

TEMA 4- Movimiento relativo.

TEMA 2 V l id d




TEMA 2- Velocidades.

– Análisis del movimiento general.– Ecuación de distribución de velocidades.– Método gráfico de determinación de velocidades.– Centro instantáneo de rotación

46

– Centro instantáneo de rotación.– Teorema de los tres centros.– Método analítico de determinación de velocidades.

11/10/2010

24

M i i t l

MOVIMIENTO PLANO DE UN SÓLIDO RIGIDO




Movimiento plano:

Cuando la trayectoria de tres cualesquiera de sus puntos materiales que no estén alineados siguen trayectorias paralelas a un plano fijo.

Tipos de movimiento:

1)- Traslación pura (Pistón)

47

1) Traslación pura (Pistón)2)- Rotación pura (Manivela)3)- Rotación - Traslación (biela): Es un solo movimiento resultante respecto a bancada.4)- Rotación - Traslación (dado). Son dos movimientos, uno respecto a bancada y otro

respecto a guía móvil. (SE ESTUDIRÁ EN EL TEMA 4)

Mecanismos con movimiento respecto a referencia fija.

Los movimientos de todos sus puntos están directamente definidos respecto a la Referencia Fija (bancada).




Mecanismo Manivela – Biela - Pistón

El caso más sencillo es el cuadrilátero Manivela - Biela -Pistón.

Rotación - Traslación (biela): Es un solo movimiento resultante respecto a bancada.

Mecanismos con movimiento respecto a referencia móvil. Mecanismo de avance rápido.

48

El movimiento de uno de los puntos del mecanismo requiere ser definido respecto a una referencia que no es la bancada. Es el caso de un dado que se desliza dentro de una guía móvil, como el que muestra las figuras siguientes.

Rotación - Traslación (dado). Son dos movimientos, uno respecto a bancada y otro respecto a guía móvil.

11/10/2010

25


Traslación pura




El sólido rígido tiene movimiento de traslación cuando el vector que une dos cualesquiera de sus puntos se mantiene paralelo a si mismo.

Traslación rectilínea Traslación curvilínea

B

AB`

A`

B

A

B`

A`

Vector AB es:Módulo constanteDirección constante

49

BA

RA

RB

Y

X

B AR R AB+=( )B AdR d ABdR

dt dt dt= +

0( )d ABdt =

B AV V=


Rotación pura de B alrededor de A




Cuando todos los puntos están animados de movimiento menos unos que están sobre un eje perpendicular al plano de movimiento, que es el eje de rotación ( punto E).

Vector EP es:Módulo constanteDirección variable

E

P

R

Y

ω

E PP ER R +=

50

RP

RE

X

P E

( )P E d EPdR dRdt dt dt= +

( ) 0P E E

P

d EPV V Vdt

V EPω

= + =

= ∧

11/10/2010

26

Movimiento plano general: TRASLACIÓN –ROTACIÓN

Análisis del movimiento general.




Es el caso más general y que da origen a la ecuación fundamental de la cinemática

Traslación pura Rotación pura de B alrededor de A Movimiento General

51

A

VA

VAB+

A

B

VB

VA

=VB

VB,A

A

BVB,A

ω

Ecuación de distribución de velocidades.

En el movimiento general de una barra se tiene que:

Velocidad de B = Traslación de A + Rotación de B en relación a AY

Y’

B




Es decir

El punto A también puede tener rotación pura

X’RB

RA

B

A

X

ω

ó

B AV V A Bω+= ∧

,B A B AV V V= +

52

Interpretación

La ecuación fundamental de la cinemática en el movimiento plano o ecuación de distribución de velocidades plantea que “La velocidad del punto B es igual a la velocidad del punto A más la velocidad del punto B en relación a A, esta última debida a la rotación de B vista desde A”. Es decir el punto B tiene una velocidad en relación a A, que es VB,A.

La VB,A es definida como la diferencia de las velocidades entre dos puntos de una misma barra.

,B A B AV V V= −

11/10/2010

27

Trazado gráfico (a escala ) de la Ecuación de Distribución de VelocidadesSupongamos como datos VA y dirección de VB, se puede calcular VB y VB,A.

1. Trazar vector VA a escala y que pase por A.

Ecuación de distribución de velocidades.




Y

VA

Dirección de VB,A

2. Trasladar VA al punto B.

3. Trazar la dirección de V B, A, (es una línea perpendicular a AB) y que pase por VA,

4. Trazar la dirección de VB, pasando por el punto B.

5. Donde se interceptan las rectas trazadas en los pasos 3 y 4, encontramos V B, A y VB.

ECUACIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE

A y q p p

53X

X’

Y’

RB RA

ωB

A

VA

VB, A

VB

Dirección de VB

CU C ÓN S UC ÓNVELOCIDADES

Velocidad de B = Traslación de A + Rotación de B en relación a A(o rotación de A)

Es decir ,B A B AV V V= +

Determinación gráfica (a escala) para el “Mecanismo Motor”Calcular VB conociendo la geometría del mecanismo, ω2 y la dirección movimiento en B.

La velocidad absoluta de




Di t ib ió d l id d b l t l l d l i l

Aω2

Bθ

VA

VB

VE

E

VA

VB

VBA

ω3

VDVC

CDVCA

VDA

Los orígenes de todos los vectoresde velocidad absoluta de todos lospuntos de la biela se encuentranalineados sobre la línea dedistribución de velocidades

cualquier punto de la biela seobtiene sumando la distribuciónconstante VA y la distribuciónaparente de cada uno .

Distribución de velocidades absolutas a lo largo de la manivela.

Distribución de velocidades constante a lo largo de la biela (VA).

Distribución de velocidades aparente a lo largo de la biela.

Distribución de velocidades absolutas de cualquier punto de la biela.

Una vez conocida la velocidad VBA , se calcula analíticamente ω 3

BA 3V = . ABω B A3

V A B

ω =¿Sentido de ω 3?Se obtiene interpretando la rotación teniendo en cuenta las velocidades aparentes.

aparente (color verde), y losextremos también alineados sobrela línea de distribución develocidad constante (color rosa).

11/10/2010

28

Centro instantáneo de rotación.El movimiento plano más general siempre equivale en cada instante a una traslación (ω = 0 ) o a una rotación (ω ≠ 0 ) en torno a un punto llamado centro instantáneo de rotación o polo de velocidades cuya velocidad es nula en el instante considerado.El Centro Instantaneo de Rotación puede ser un punto propio o impropio del sólido




• El CIR está sobre la recta que pasa por el punto en cuestión y es perpendicular a la velocidad de este. (o sea la velocidad de un punto es siempre perpendicular a la recta que lo une con el CIR). Vp perpendicular a IP

(que le pertenece o no)A

VP

PI

VA ω

• Todos los puntos tienen en este instante, un movimiento de rotación alrededor de I.

Propiedades del C.I.R.

55

El CIR se puede hallar conociendo la dirección de las velocidades de dos puntos, ya queestá en la intercepción de las rectas que son perpendiculares a sus velocidades.

p AV VIP IA

ω = =

*pV IPω=• EL módulo de la velocidad de un punto es siempre proporcional a su distancia al CIR y el coeficiente de proporcionalidad es ω.Cuanto más alejado esté el punto del C.I.R. mayor es su velocidad.

Centro instantáneo de rotación.CASOS POSIBLES EN LA DETERMINACIÓN DEL CIR:

• CASOS EN QUE SE CONOCEN DOS DIRECCIONES DE MOVIMIENTO

• CASOS EVIDENTES: Cuando existe un punto O sin velocidad en un instante, este será el CIR .

ωO




• CASOS EN QUE SE CONOCEN DOS DIRECCIONES DE MOVIMIENTO.

B

VA

A

I

VB

ω

a)

VB

VA

VC

B

CI

A ω

b)

A

VA

VB

Dirección de CIR ∞

c)

B

a) Velocidades no paralelas.

56• CASOS DE INDETERMINACIÓN:

Casos en los que se desconocen datos (dirección de movimiento) por lo que hay que recurrir al teorema de los tres centros.

b) Velocidades Paralelas y Perpendiculares a la recta que los une:los puntos están alineados con CIR y por lo tanto sus velocidades.

c) Velocidades paralelas e iguales (no necesariamente perpendiculares a la recta que los une) La traslación del sólido puede ser considerada rotación entorno a un CIR que esta en el infinito en dirección perpendicular a las velocidades.

a) Velocidades no paralelas.

11/10/2010

29

Centro instantáneo de rotación.TIPOS DE CIR:CIR RELATIVO:




Son los CIR de los otros miembros al definir otra referencia diferente a la bancada. Permiten obtener información de los movimientos relativos entre miembros.El CIR Relativo es el punto que pertenece a los sólidos “a” y “b” y que tiene la misma velocidad absoluta, por lo tanto, la velocidad relativa es nula.

CIR ABSOLUTO:

57

Es el CIR definido respecto a la referencia de estudio, la bancada.El CIR Absoluto también es un centro instantáneo Relativo, con la particularidad de que la velocidad absoluta en ese punto es nula y por tanto la velocidad relativa también lo es. El Nº de CIR de un mecanismo es igual a número de combinaciones de los n miembros móviles tomados de dos en dos. ( )1

#2

n nCIR

−=




Movimiento relativo de 2 fijando la barra 4Movimiento relativo de 1 fijando la barra 3

Centro instantáneo de rotación.

I31

I43

I23

58

I24

I21 I41

Hay 6 CIR: CIR absolutos I21, I31, I41CIR relativos I32, I34, I24

11/10/2010

30

Simulación de todo el ciclo de movimiento del “Mecanismo Manivela Biela Balancin”

Cambio de Posición del CIR 31




A

B

A

B

O2 O4O2 O4




Ventaja mecánica:

Supongamos que tenemos un cuadrilátero articulado, en el que por hipótesis suponemos que no hayrozamiento, ni fuerzas de inercia.

Entonces: Pe = Ps es decir P2 = P 4

I 2 4

(2)

A

(4)

B(3)

VB

Entonces: Pe = Ps, es decir P2 = P 4Por lo que M 2 · ω2 = M 4 · ω4

2 2 24 2 21 24 2 22V O I I I pI ω ω ω= ∧ = ∧ = ∧

4 4 24 4 41 24 4 44V O I I I pI ω ω ω= ∧ = ∧ = ∧

42V VI I=

60

VI2=VI4

p2

p4

VAO2 VB O4

42

4 2= Ventaja mecánica

pp

ωω =

4 4 2

2 2 4

salida

entrada

M FVMM F

ωω

= = =

11/10/2010

31


Ó Ó




APLICACIÓN DE LA DETERMINACIÓN DEL CIR

• Conociendo el CIR de una barra se puede determinar la velocidad (módulo, dirección, sentido) de cualquiera de sus puntos, por tanto es elemento clave en este análisis.

61

• Es un dato a tener en cuenta en el diseño de un mecanismo, ya que de él dependen las condiciones a las que se someten los sólidos.

• La posición del CIR afecta a la velocidad de los puntos del mecanismo, por lo que permite predefinir la ventaja mecánica del mismo.



I51




• Conociendo el CIR de una barra se puede determinar la velocidad (módulo, dirección, sentido) de cualquiera de sus puntos, por tanto es elemento clave en este

áli i

D

5

I31

62

análisis.

O6O4

B

C

6

2 3

VB

4

A

VC

11/10/2010

32



I31




VA = ω 2 O2 A∧

VA = ω 3 I A∧

VB

VA

2ω = ω2 3O A IASí

A

ω3B4

32

63

2ωω = 2

3O AIA

Entonces

VB = ω 3 IB ∧

La relación de las velocidades de las barras depende de las distancias hasta el CIR.

Centro instantáneo de rotación.APLICACIÓN DE LA DETERMINACIÓN DEL CIR

• El CIR es un dato a tener en cuenta en el diseño de un mecanismo, ya que de él dependen las condiciones a las que se someten los sólidos.




p q

64

11/10/2010

33


• El CIR es un dato a tener en cuenta en el diseño de un mecanismo, ya que de él dependen las condiciones a las que se someten los sólidos




él dependen las condiciones a las que se someten los sólidos.

65


• El CIR es un dato a tener en cuenta en el diseño de un mecanismo, ya que de él dependen las condiciones a las que se someten los sólidos




él dependen las condiciones a las que se someten los sólidos.¿Condiciones a las que se somete la rueda de uncoche con suspensión transversal?

Premisa del Coche Automodelo: La no perdida de adherencia con el terreno.

La posición del CIR depende de la relación delongitudes de las barras del cuadrilátero del sistema de

ió l l d b ti l á t

66

suspensión, el cual debe garantizar los parámetrosestablecidos para asegurar el correcto funcionamiento.

Parámetros a cumplir:

- Ángulo de salida o “caster”, β- Ángulo de caída o “camber” α- Ángulo de avance.- Ángulo de convergencia…

11/10/2010

34


La posición del CIR afecta a la velocidad de los puntos del mecanismo, por lo que




permite predefinir la ventaja mecánica del mismo.

Posición de Acodillamiento / Brida de Amarre Rápido

La VM es infinita cuando la velocidad angular a la salida es cero.

4 2 4

2 4 2

salida

entrada

M F pVMM M p

ωω

= = = =


Posición de Acodillamiento / Plegador para Mesa




11/10/2010

35

Posición de Acodillamiento / Útil de Fijación











11/10/2010

36

TEOREMA DE LOS TRES CENTROS o de KENNEDY.

Procedimiento para la determinación de los CIR aplicando el teorema de Kennedy.•Se calcula el número de CIRs

Los centros instantáneos relativos de tres piezas cualesquiera de un mecanismo, no necesariamente consecutivas y con movimiento plano, están siempre alineados.




•Se calcula el número de CIRs.•Se identifican los CIR relativos y absolutos aplicando propiedades.•Para identificar los restantes CIR, se construye un polígono auxiliar que tenga tantos vértices como barras tenga el mecanismo en estudio. •Los C.I.R. del sistema son los lados y diagonales del polígono.•Se identifica el CIR buscado cuyo subindice corresponde a una pareja de Barras.•Se forman dos Grupos de Barras. Cada Grupo tiene en común la pareja de barras definidas anteriormente y una tercera barra diferente.

D CIR l ti d d id t

71

• Dos CIR relativos de cada grupo son conocidos y pasan por una recta.•En la intercepción de la recta de cada grupo está el C.I.R. buscado y cumple que está en línea recta con los dos anteriores. 2

31

4

I13

I12I32(132)

(134) I14I34

Grupo de Barras cuyos

CIR relativos

están alineados

Cuadrilátero de CorrederaLocalización de los CIRLocalización de los CIR

2




I34I13

I41

Mediante combinaciones de tres barras se han de buscar : I13, I24

31

4

Se localizan directamenteI12, I23, I34, I41

72

I41

I12I23I24 I13

I12I32

I14I34

(132)

(134)

I24(241)

(243)

I41I21

I23I43

11/10/2010

37

Ruleta con rodadura pura

Distribución de Velocidades




p’

ω

A

ω

B

C

ppp

A

B

C A

B’

C’

I

ppp

I

pI

La ruleta gira respecto al punto que está en contacto con la bancada, por lo que el CIR está en el punto I

TEMA 3- Aceleraciones




3 ce e ac o es

–Aceleraciones en el sólido.–Ecuación de distribución de aceleraciones.–Métodos de determinación de Aceleraciones:

74

gráfico y analítico.

11/10/2010

38

TOLERANCIA HUMANA ante las Aceleraciones




75

TOLERANCIA HUMANA ante las Aceleraciones




Actividades Valor de Aceleración

Aceleramiento suave en un auto 0.1 g

En el despegue de un avión jet 0.3 g

Aceleramiento fuerte en un auto 0.5 g

76

Frenado de pánico en un auto 0.7 g

Viraje rápido en un auto 0.8 g

Viaje en carro de “montaña rusa” 3.5 g

11/10/2010

39

Derivando respecto al tiempo (1)

( ) ( )P d JP d d JPdV JPdt d t d t d t

ω ω ω∧= = ∧ + ∧

( )P JP JPa ω ωε= ∧ + ∧ ∧

Y

JP

RP

R

ω

ε

X ‘

Y ‘

ECUACIÓN DE ACELERACIONES: ROTACIÓN PURA alrededor de un eje que pasa por JUniversitat Politècnica de Catalunya



( )P JP JPa ω ωε ∧ + ∧ ∧

Desarrollando el doble producto vectorial

( ) ( ) ( )a b c b a c c a b∧ ∧ = • • − • •( ) ( ) ( )JP JP JPω ω ω ω ω ω∧ ∧ = • • − • •

Entonces queda 2

P JP JPa ωε= ∧ − •

X

RJ X

( ) 0Si JP entonces JPω ω⊥ • =

J

Y

ω

Pε

Ta Na

φ

77

tangencial normalPa a a= −

Ta Cambio del módulo de la velocidad y es ⊥ JP

Si ε y ω son ≠ 0 entonces existe un Polo de Aceleraciones “J” que tiene aceleración cero.

2 2

4 2 2 2 4 2P

JP JP y JP JP

JP JP JPaε ω ω

ω ε ω ε

ε ∧ = • − • = •

= • + • = +2 2

T

N

JPTanJP

aa

ε εϕω ω

= ==

Na Cambio de dirección de la velocidad y es // JPX

Pa φ

A Ba a=B

ε

ω

Aa

aB

a

ECUACIÓN DE ACELERACIONES: TRASLACIÓN + ROTACIÓN




+ =

ω= 0Traslación pura

Si ω es cte entonces ε=0Rotación pura de B alrededor de A

A

BA B

A/B Aa

Traslación + Rotación

/B A B Aa a a= +

Dirección de Ba

AaA

/B AaBa

78

Interpretación: “La aceleración del punto B es igual a la aceleración de otro punto A más la aceleración del punto Brespecto de A”. Esta última es debida a la rotación de B respecto de A y será igual a la suma de la aceleración tangencial y normal.

Ecuación fundamental de la aceleración en el movimiento plano

2B A AB ABa a ωε= + ∧ − •

/ /B A B A B AT Na a a a= + +/B A B Aa a a= +

11/10/2010

40

MÉTODO GRÁFICO PARA LA DETERMINACIÓN DE ACELERACIONESMecanismo Motor: Supongamos como datos la geometría, velocidad y aceleración angular de la barra 2

Para determinar ω se puede utilizar el C I R de la biela

22

2 2 2T N

A A A O A O Aa a a ε ω= + = ∧ − • I 41 (∞)




Para determinar ω3 se puede utilizar el C.I.R. de la biela.

VA = ω 2 O2 A = ω3 * IA∧

Aa2 2

3O AIA

ωω =

2/ 3

NB A ABa ω= − •

I 31

A

ω2, e2B

79

Hasta ahora se conoce en el problema:

Aa módulo, dirección y sentido conocidos

/N

B Aa módulo, dirección y sentido conocidos

/T

B Aa dirección conocida ( ⊥ AB)

Ba dirección conocida

Cinema de aceleraciones

Dirección de /T

B Aa

Ba

Aa/

NB Aa

Dirección de Velocidad y Aceleración del Punto B

J

Cuadrilátero articulado: Se conoce la aceleración angular de la barra 2 y la aceleración normal de los diferentes puntos.

MÉTODO GRÁFICO PARA LA DETERMINACIÓN DE ACELERACIONES

B

3T l ti d l P l d l i l

22

2 2 2= + = ∧ − •ε ωT NA A A O A O Aa a a

Barra 2




CINEMA DE ACELERACIÓN

B A B Aa a a= +Barra 3

/ /T N

B A B A B Aa a a a= + +

2/2

/ 3B AN

B AVABa ω= − • = Aa

O2 O4

Aε2

ω2

24Aa

• Trazar a escala y a partir del Polo de aceleraciones la aceleración (A gira respecto a O2).

BA

a• Para calcular trazar las componentes de las aceleraciones del punto B referidas al punto A, la normal que es conocida porque se conoce la ω3 y luego se traza la dirección de la tangencial a partir de esta y perpendicular a ella.

80

/ 3B A ABAB

a ω •Barra 4

22

4 44

BN V VB O B ya que RO Ba ω ω= − • = =

T

T

Ba

BA

a

/

N

B AaN

Ba• Se traza la aceleración normal del punto B referido a otro

punto del mecanismo (O4).

• Trazar la dirección de la tangencial a partir de esta y perpendicular a ella.

AaBa• En la intercepción de las dos tangenciales está el punto de la

desde el polo de aceleraciones y la desde laB

Aa

11/10/2010

41




81

TEMA 4- Movimiento relativo




– Ecuación de velocidades.– Ecuación de aceleraciones.– Aceleración de Coriolis.

Problemas

82

– Problemas.

11/10/2010

42

ECUACIÓN DE VELOCIDADES.El movimiento de un sólido puede ocurrir según dos casos diferentes:

1º Caso: Todos los puntos del sólido se mueven respecto a un mismo sistema de referencia. Tema 2




ω

X

Y VA

VB

A B

VA

VB,A

VB

B A B,AV V V= +

B,A B AV V V= −

2º Caso: Algún punto del sólido se mueve respecto a diferentes sistemas de referencia

83

2º Caso: Algún punto del sólido se mueve respecto a diferentes sistemas de referencia. Tema 4

F

A

M

Existen 3 puntos A:· Punto AM Movimiento del punto A respecto a M: genera Velocidad Relativa.· Punto AF Movimiento del punto A respecto a F: genera Velocidad Absoluta.· Punto A propiamente dicho AM/F : Movimiento del punto AM respecto a F,

genera Velocidad Arrastre.

ECUACIÓN DE VELOCIDADES SEGÚN DOS CASOS DIFERENTES.

1º Caso: Movimiento General




1 Caso: Movimiento General

B A B,AV V V= +2º Caso: Movimiento Relativo.

= +V V V

84

F

A

MConsecuencia: Movimiento de arrastre es el queexperimenta el punto AM respecto a la referencia F:Velocidad de arrastre.

es decir Vabsoluta = Vrelativa + Varrastre

= +F M FMA A AV V V

11/10/2010

43

a b so lu ta a r ra s tre re la tiv aV V V= +ECUACIÓN DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES.




absoluta arrastre relativa ra a a 2 V= + + ω∧

ECUACIÓN DE ACELERACIONES.

Derivando la ecuación de velocidades se obtiene:

l “A l ió l i "

85absoluta arrastre relativa coriolisa a a a= + +

r c2 V aω ∧ =Es la “Aceleración complementaria" o “Aceleración de Coriolis"

Por lo que:

“Aceleración de Coriolis”




r1

r2

ω, α

Vrel

a cor

86

Fi

11/10/2010

44

ACELERACIÓN DE CORIOLIS.

La aceleración de Coriolis surge por dos razones:




• La aceleración relativa no mide la variación de la velocidad relativa desde la referencia fija sino desde la móvil.

• La aceleración de arrastre solo mide una parte de la variación de la velocidad de arrastre.

87

Casos en los que Aceleración de Coriolis es nula:

• Si el movimiento de arrastre tiene traslación pura, ω=o.

• Si la Vr=0

• Si la Vr y ω tiene la misma dirección.




88

11/10/2010

45




89

Caso Especial:Dado con Articulación Desplazada




90

11/10/2010

46




91

(6)

(5)

B

D(6)D




O

(2)

(3)

A

2

Mecanismo Máquina Herramienta de Retorno Rápido: Cepilladora

92

C

(4)

11/10/2010

47

ElevalunaUniversitat Politècnica de Catalunya



93

Guía RectaUniversitat Politècnica de Catalunya



3

3 4

4

94

2

1

2

11/10/2010

48

Guía Curva(4)




(2)

(4)

(3) A

ω2,α2

(2)(4)

(3)aT 3/4

VA 3

V3/4

aN 3/4

a 3/4

VA 4

95

( )

Ο2

γβ

Ο4

Ο

( )

Ο2

Ο4

Ο

Principios del análisis Estático -Análisis del movimiento teniendo en cuenta la acción de las fuerzas. - Se considera el sólido indeformable (Diseño).

Análisis estático del sólido en movimiento planoTEMA 5




Se considera el sólido indeformable (Diseño).-Aplicación de las Leyes de Newton.

Leyes de Newton1ª Ley de Newton 2ª Ley de Newton

3ª Ley de Newton: Las reacciones son iguales a las acciones opuestas.

Tipos de fuerzas: Con contacto físico y Sin contacto físico

( )··

d m VF m a

dt= =

0 0i ii i

F M= =∑ ∑

96

Tipos de fuerzas: Con contacto físico y Sin contacto físico.

Clasificación de las fuerzas: Internas y Externas

Tipos de fuerzas Externas:-Peso.-Fuerza Motriz (de valor positivo, aporta energía)-Fuerza de Inercia-Fuerza Resistente (se opone al movimiento).

•Útil: Realiza trabajo útil (corte de chapa)•Pasiva: Provoca pérdidas (rozamiento)

11/10/2010

49


Transmisión de esfuerzos




Transmisión de esfuerzos.

Conocidos F2 y la dirección de E

Características de la transmisión de esfuerzo.

•F2: Fuerza Motriz que aporta energía.

•R: Fuerza Transmitida en C causada por F2 CA

2

B

R

3

E

97

•R: Fuerza Transmitida en C, causada por F2.

•El aplicar F2 en P es igual que aplicar R en C.

•Para equilibrar estáticamente el sistema, el hombre tiene que hacer una fuerza E en C llamada Equilibrante de manera que:

C

F2

O2

P

O4

4

E = - R


Transmisión de esfuerzos.




El mismo comportamiento ocurre si se aplica un par M2:

A2

ME

3

B4

M2 : es el par de entradaME : es el par de equilibrio.MR : es el par transmitido.

M M

98

O2

M2ME

O4

MRE RM M= −

El par M2 substituye a la fuerza cuya acción está en el mismo sentido de F.

2 2*AM F O A=

11/10/2010

50

Reglas a cumplir:1 Las Fuerzas aplicadas a un mismo miembro del mecanismo pueden componerse o


Determinación de la Fuerza Equilibrante




1- Las Fuerzas aplicadas a un mismo miembro del mecanismo pueden componerse odescomponerse siguiendo las reglas de la estática gráfica.

2- Una fuerza sólo puede transmitirse a otro miembro o a un apoyo si pasa por el puntode contacto y es perpendicular a la superficie de contacto.

F1

I

F12

F1 + F2 = F12

F2

99

y p p p

En una articulación pueden transmitirse fuerzas de un miembro a otro en cualquierdirección con tal de que pase por el centro de la articulación.

FF

F'

F''

Determinación de la Fuerza que F2 transmite al punto C.•Trazar Línea de Prolongación de F2 y de la barra 3. En la intersección esta el punto I.•Unir O2 con I.

•Trazar paralelas a las rectas O2I y AI y que pasen por el extremo de F2. •Trasladar la magnitud de F2 al punto I.

•En las intersecciones están las componentes FA y FO 2.

•La fuerza FA en la barra 3 es la misma en A y en B..•Prolongación la dirección y magnitud de F•En la intersección de la dirección de FB y la dirección de R esta el punto II.•Prolongación la dirección y magnitud de FB.

•Trasladar la fuerza resultante transmitida R al punto C.

•Unir O4 con II.•Trazar paralelas a las rectas O4 II y C II y que pasen por el extremo de FB.•En las intersecciones están las componentes R y FO 4.

•La fuerza Equilibrante en C es igual a R pero de sentido opuesto.•Las componentes que se transmiten hacia los apoyos se anulan con las reacciones.

100

CF2

O2

P

A

2

B3

O4

4R

Fo2

FAFB

E

Fo4

R

Ro2

Fo4

Ro4

Fo2

F2I

IIFA FB

E = - R

11/10/2010

51






Principio de superposiciónEl principio de superposición dice: Si dos o más sistemas de fuerzas son capaces porseparado, de mantener en equilibrio un mismo conjunto de sólidos rígidos, el sistema queresulta de superponerlos, también lo mantendría en equilibrio.


A(3)

B

E

E′

F

101

(2)

RO2′

P

O2

RO4′

R′

R′(4)

O4

FO4′

RO4RO2

FO4

FO2FO2′

F2′

F2






Método Analítico de determinación de la Fuerza Equilibrante.

Aquí se plantean dos métodos para calcular la transmisión de fuerzas:

-Método Newtoniano.

102

- Método de los trabajos virtuales.

11/10/2010

52

Método Newtoniano:Aplicamos el Diagrama de Cuerpo Libre






Aplicamos el Diagrama de Cuerpo Libre.

M1

O2

F1

P

A

F322BARRA

M1

O2

P

(2)

F1

AC

F2

O4

(4)

(3)B

103

Aplicamos las Condiciones de Equilibrio 0 0F y M= =∑ ∑

FO2

2 1 32 0OF F F F= + + =∑

2 1 1 2 32 2 0OM M F O P F O A= + ∧ + ∧ =∑



Método de los trabajos virtuales.P i i i d l T b j Vi l V l id d i l




Principio de los Trabajos Virtuales. Velocidades virtuales.

Un sistema mecánico (sólido rígido), interconectado con pares cinemáticos, está en equilibrio sí esnulo, el trabajo producido por las fuerzas aplicadas en la realización de pequeños desplazamientosvirtuales, compatibles con las ligaduras (restricciones o enlaces) del sistema.

Tipos de fuerzas “Actuantes”

Interiores: Se transmiten de partícula en partícula.Exteriores: Fuerzas de los Enlaces y Fuerzas Aplicadas

104

Exteriores: Fuerzas de los Enlaces y Fuerzas Aplicadas

Los trabajos de las Fuerzas Interiores y de las de Enlaces se anulan.

Trabajo de las Fuerzas Aplicadas

( )int . .· · · ·

enl aplicn n nact n n n

n n

dW F dr F d r F d r F d r= = + +∑ ∑

· 0naplic aplic n

n

dW F d r= =∑

11/10/2010

53



CF

(3)B

dr




M 2 F 2

A

F 3

(4)dθ 2

drP

P

drc

d rE

(2)

E =?

O 2 O 4

Se deriva la expresión de los Trabajos Virtuales

105

Obteniéndose las Potencias Virtuales.

3 2 2·2

· · · 0P C EF V F V E V M ω+ + + =

2

2 3 2· · · · 0P C Ed r d r d r d

F F E Md t d t d t d t

θ+ + + =

Principios del análisis dinámico:• Todas sus piezas están en un plano común de simetría o un plano común de inercia.• Todas las fuerzas que actúan sobre él han de estar en ese plano y si no debe estarlo su resultante

Análisis dinámico del sólido en movimiento plano.TEMA 6

Fuerza de inercia del mecanismo.




• Todas las fuerzas que actúan sobre él han de estar en ese plano y si no debe estarlo su resultante.• Se ha de tener en cuenta la masa de los elementos del mecanismo debido a que la aceleración que

alcanzan las masas generan otras fuerzas.Se considera que la masa del cuerpo está concentrada en G y que existe movimiento de traslación de G y rotación respecto de G.

Σ Fn = m * aGΣ ΜG = IG * ε

G=

m, IG

Grn

MG

ΣFn

F1

F2

Fn

106

FUERZA DE INERCIA DEL MECANISMO.

Criterio de Newton: Plantea la ecuación para el equilibrio dinámico de una partícula o sólido rígido, cuya masa está concentrada en G.

Principio de D’Alembert: En una partícula acelerada, las sumas de las fuerzas que actúan sobre ella, incluyendo la de Inercia, es nula.

F3

iF F 0n

+ =∑

F m a=∑ i F 0m a− =∑ i

11/10/2010

54

El Criterio de D’Alembert trata la dinámica bajo los principios de la estática (no se generan esfuerzos sino que solo se transmiten).Si sobre un sólido actúan unas fuerzas y un par se puede considerar que:

Análisis dinámico del sólido en movimiento plano.TEMA 6Fuerza de inercia del mecanismo.




Si sobre un sólido actúan unas fuerzas y un par se puede considerar que:• Existe una fuerza Fi igual y contraria que se opone a su avance.• Existe un Par de Inercia Mi igual y contrario que se opone a que gire.

L “ ” i di l i t i ti ólid d j l li l t

F1

F2

F3 Fn

εm, IG

G

MG

Mi

Fi

Rn iF F 0

n

+ =∑ 0GR m a− =i

( )M 0G n Gn

F I ε− =∑M 0G in

M+ =∑

107

La masa “m” indica la resistencia que tiene un sólido a no dejarse acelerar linealmente.

El momento de Inercia “I” indica la resistencia de este a no dejarse acelerar angularmente.

POR LO QUE: A mayor MASA del SÓLIDO y mayor Momento de Inercia:

Es necesario aplicar mayor par de rotación para acelerarlo, sin embargo mayor energía cinética se acumula. Por ejemplo al utilizar un Martillo.


Centro de percusión.




108

11/10/2010

55

crp (O) cp (O')GCentro de percusión.




ωF

crp (O) p ( )

Distribución de la aG debida a la Traslación

G

El punto donde golpea la pelota se considera punto de percusión y donde está la mano el punto de rotación percusivo.

L d l ólid á

109Distribución de la aT debida a la Rotación

La masa del sólido está concentrada en O y O’ como masas puntuales.

El análisis dinámico se realiza partiendo de los principios de la estática, por lo quetambién se utiliza el Principio de los Trabajos Virtuales, pero con la consideración de

Análisis dinámico del sólido en movimiento planoTEMA 6





las fuerzas y pares de Inercia.

Trabajo Virtuales de las Fuerzas Aplicadas

0dW F d∑

A

(2)

(3)

(4)

B

ME

G2

G3

G4

F2

F3

C

110

· 0naplic aplic n

n

dW F d r= =∑

Obteniéndose las Potencias Virtuales.

2 2 3 3 4 4 2 3 42 2 2 3 4 2 3 4· · ·· · · · · · · 0A C E i G i G i G i i iF F F FM V F V M V V V M M Mω ω ω ω ω+ + + + + + + + + =

O OM2

11/10/2010

56

Debido a la complejidad geométrica de los elementos en los mecanismos o a que su masa no es homogénea (densidad variable), estos son sustituidos por otros más simples pero


Sistemas dinámicamente equivalentes.




dinámicamente equivalentes es decir que tengan los mismos comportamientos dinámicos. Este procedimiento consiste en sustituir las piezas reales de los mecanismos por otras más sencillas

cuyas masas están supuestamente concentradas en un punto.

Condiciones de sistemas dinámicamente equivalente.

G

mGm 2

m1

G

m, IG

111

1. La suma de las masas puntuales elegidas es igual a la masa real del mecanismo.m1 + m2 + .............. + mn = m

2. El centro de gravedad G debe estar en la misma posición que el mecanismo original, tal que la suma de los pares (estáticos) que producen las diferentes masas sea igual a cero, así como lo es el de la masa considerada en el centro de gravedad:m1*r1 + m2*r2 + ............+ mn*rn = m*rG = 0 ya que rG = 0

3. El momento de inercia polar IG debe ser también el mismo:m1*r1

2 + m2*r22 + ............+ mn*rn

2 = m*rG2 = IG

Comportamientos de la carga y del motor en las máquinas cíclicas:

El par de la carga es constante pero el par motor es variable:- Motores de combustión.




Dinámica de los sistemas con un grado de libertad.TEMA 7

El par de la carga es variable pero el par motor es constante: - Punzonadoras, bombas alternativas, etc.).

Debido a las elevadas fluctuaciones del el par motor y/o de la carga, se precisaVolante de Inercia, para conseguir una velocidad de régimen casí constante (o con las menores fluctuaciones posibles).

∅ 63∅ 300

Volante (Polea 2)

Eje volante

(Polea 1)

2 1

Eje motor

Eje volante

11/10/2010

57


Energía cinética de un mecanismo. En los sistemas de un GL la energía cinética total de un mecanismo es la

nc cE E= ∑




suma de las energías cinéticas de cada una de sus partes (barras):nc c

n∑

Energía Cinética de un mecanismo según los tres casos de movimiento:

Rotación Pura Movimiento general. Traslación Pura

O

GωBarra 2

21E I ω=O es el CIRA

B

(1)

(2)

G

I

VG

j

⎛ ⎞

VG

113

2c OE I ω=O es el CIR

( )22 22 2 2

1 1· · · ·2 2c O GE I I m OGω ω= = +

EC2 deRotación

EC2deTraslación

O1O2

(3)( )

2

22

12c IE I ω=

( )2

22 22 2 2

1 1· · · ·2 2c I G

E I I m IGω ω= = +

2 21 1· · ·2 2n Gnc n n G nE I m Vω⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

21 ·2nc n G n

n

E m V⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

2

22 22 2 2 2

1 1· · · ·2 2c GE I m OGω ω= +

2 22

1 1· · ·2 2n nc G n n GE I m Vω= +

2

22 22 2 2 2

1 1· · · ·2 2c GE I m IGω ω= +


Energía cinética de un mecanismo.

• Permite simplificar el análisis dinámico de los mecanismos que funcionan en Régimen no Estacionario.Teoría de la Reducción




Permite simplificar el análisis dinámico de los mecanismos que funcionan en Régimen no Estacionario.• Plantea que toda la energía cinética del mecanismo es reducida a un punto, en el que se colocará unabarra (VOLANTE) que tendrá la misma energía cinética del mecanismo.

Momento de inercia reducido (Ir) a un eje principal.Se llama momento de inercia reducido de un mecanismo al momento de inercia de un sólido con movimiento de rotación (volante), que montado en el eje de reducción y girando con él, tiene la misma energía cinética que todo el mecanismo. IR = IV

EC del mecanismo será: 2 21 1· ·2 2n n nc n G G n

nE m V I ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

114

eje de reducción

IR

O1 O2

2 2n ⎝ ⎠

Ec del sólido que rota en eje de reducción 21 · ·2VC R RE I ω=

V nC CE E=

2 2 21 1 1· · · · · ·2 2 2n nR R n G G nI m V Iω ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Si

2 2

· ·O n n

Gn nR n G

j R R

VI m I ωω ω

⎞⎛ ⎞ ⎞⎛ ⎛⎟⎜= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠

∑

11/10/2010

58


Energía cinética de un mecanismo.

Para Reducido a un Eje es el par que aplicado en el eje de reducción, produciría en un pequeñoPar reducido a un eje.




MR

R

A

VA C

FAFC

VC

3

M3

movimiento del mecanismo, el mismo trabajo que producen las fuerzas realmente aplicadas.

MR es un Par ReducidoM3 es un Par Resistente o Equilibrante

3 3· · · ·R R A A C CM F V F V Mω ω= + +

Masa reducida a un punto

115

Masa reducida a un punto.Llamaremos masa reducida a un punto R de un mecanismo, a la masa mR que colocada en ese puntoy moviéndose con él, tendría ella sola la misma energía cinética que todo el mecanismo real.

21 · ·2mRC R RE m v= La masa reducida es considerada masa puntual, por lo que desaparece la Energía

Cinética debida a la rotación.

2 2

· ·A

A A

Gn nR n Gn

n nR R

vm m Iv v

ω⎞ ⎞⎛ ⎛= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎝⎠ ⎠∑ ∑

La masa reducida depende de lasvelocidades por lo que es variable, y porende de la posición del mecanismo.

2 21 1· · · ·2 2T nC n G Gn nE m v I ω= + m TRC CE E=

apuntes upc analisis de mecanismos

Engineering