Tema 7: Préstamos

1. CONCEPTO.

Un préstamo é unha operación financeira que consiste na entrega dun capital

por parte dun prestamista (banco) coa condición de que o prestatario ou

debedor lla devolva xunto cos intereses que xera no tempo e forma estipulados

no contrato.

Neste tipo de operación o prestatario recibe o diñeiro dende o primeiro

momento e pola súa totalidade independentemente de que logo o devolva en

varios prazos; é dicir, existe unha prestación única por parte do prestamista e

contraprestacións múltiples por parte do prestatario.

2. CLASIFICACIÓNS DOS PRÉSTAMOS.

En función da garantía:

• De garantía real o hipotecaria. Hai un ben afecto á devolución do

préstamos. A máis frecuente é a hipoteca.

• De garantía persoal. O aval é o patrimonio en xeral do prestatario, non un

ben en concreto.

Segundo o tipo de interese:

• Fixo. Márcase no contrato un tipo de interese que se devengará durante

toda a vida do préstamo.

• Variable. O tipo de interese márcase en función de certos índices de

referencia, sendo o máis frecuente o EURIBOR.

3. ELEMENTOS DO PRESTAMO

• C0. É a cantidade recibida no préstamo, tamén chamada principal ou

nominal.

• Mk. É o capital amortizado ata o período k.

• Ck. É o capital vivo ou pendente de amortizar nun momento calquera k da

operación. Calcúlase restándolle ó nominal o capital amortizado.

• ak.É o termino amortizativo, e dicir, o importe que se paga en cada cota.

Denominase anualidade se se paga cada ano, mensualidade se se paga

cada mes, .... Está dividido en:

o Ik. É a cota de interese. Calculase multiplicando o capital pendente de

amortizar polo tipo de interese.

o Ak. É a cota de amortización, é dicir, o que diminúe a débeda en cada

período.

• n. É o número de termos amortizativos da operación (meses, anos, ...).

• i. É o tipo de interese a aplicar ó préstamo expresado en %.

4. FORMAS DE AMORTIZACIÓN DUN PRESTAMO

4.1. Amortización de reembolso único. Préstamo sim ple.

Esta forma de amortizar é típica dos préstamos a moi corto prazo e tamén dos

chamados préstamos ponte, é dicir, aqueles que teñen unha duración

transitoria en espera de que se cumpra algún requisito esixido no contrato.

Neste tipo de préstamos amortizase o capital e máis os intereses xerados nun

pago único que coincide coa cancelación do préstamo.

Polo tanto:

Cn = C0 * (1 + i )n

Exemplo:

Concédese un préstamo simple de 10.000 € que se terá que devolver dentro de

5 anos a un tipo de interese do 3% anual. Calcular o capital a devolver.

Cn = C0 * (1 + i )n = 10.000 * (1 + 0,03)5 = 11.592,74 €

4.2. Amortización normal. Método americano. Présta mo simple con pago

de intereses.

Consiste nun reembolso único do principal e nun pago periódico dos intereses

que se van devengando.

Polo tanto:

• Cada período pagamos intereses: I = C0 * i

• No último período pagamos o interese máis a cantidade prestada:

Cn = C0 + C0 * i

Así: C0 = C0 * i * a n¬ i + C0 *(1 + i) -n

Exemplo:

Concédese un préstamo simple de 10.000 € que se terá que devolver dentro de

5 anos a un tipo de interese do 3% anual. Calcular o capital a devolver.

Co interese anual cada ano pagaremos intereses:

I = C0 * i = 10.000 * 0,03 = 300 €

Ó final do ano 5 pagaremos:

Cn = C0 + C0 * i = 10.000 + 10.000 * 0,03 = 10.000 + 300 = 10.300 €

4.3. Amortización mediante cotas constantes.

Neste método a cota de amortización é constante pero o termo amortizativo

varia: ak = A + Ik

Pasos para calcular o cadro de amortización :

I. Calculamos a parte constante, é dicir, a cota de amortización A:

A = C0 / n

II. Calculamos a cota de interese Ik:

Ik = Ck-1 * i

III. Calculamos o termo amortizativo ak :

ak = A + Ik

IV. Calculamos o capital amortizado Mk :

Mk = Σ Ak = A1 + A2 + … + Ak

V. Calculamos o capital pendente de amortizar.

Ck = C0 - Mk

PERÍODO

n

TERMO

AMORTIZATIVO

ak

COTA INTERESE

Ik

COTA

AMORTIZACIÓN

A

CAPITAL

AMORTIZADO

Mk

CAPITAL

VIVO

Ck

0 - - - - C0

1 a1 = A + I1 I1 = C0 . i A = C0 / n M1 = A C1 = C0 - M1

2 a2 = A + I2 I2 = C1 . i A = C0 / n M2 = A + A C2 = C0 - M2

3 a3 = A + I3 I3 = C2 . i A = C0 / n M3 = A +A + A C3 = C0 - M3

.... ... ... ... ... ...

n an = A + In In = Cn-1 . i A = C0 / n Mn = n * A Cn = C0 - Mn

Exemplo:

Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5

anos a un tipo de interese do 3% anual. Calcular o cadro de amortización.

PERÍODO

n

TERMO AMORTIZATIVO

ak

COTA INTERESE Ik

COTA AMORTIZACIÓN

A

CAPITAL AMORTIZADO

Mk

CAPITAL VIVO

Ck

0 - - - - C0 = 10.000

1 a1 = A + I1 =

2.000 + 300 = 2.300

I1 = C0 . i = 10.000 * 0.03 =

300

A = C0 / n = 10.000/5 =

2.000

M1 = A = 2.000

C1 = C0 - M1 = 10.000 – 2.000 =

8.000

2 a2 = A + I2 =

2.000 + 240 = 2.240

I2 = C1 . i = 8.000 * 0,03 =

240

2.000 M2 = 2*A = 2 * 2.000 =

4.000

C2 = C0 - M2 = 10.000 – 4.000 =

6.000

3 a3 = A + I3 =

2.000 + 180 = 2.180

I3 = C2 . i = 6.000 * 0,03 =

180

2.000 M3 = 3*A = 3 * 2.000 =

6.000

C3 = C0 - M3 = 10.000 – 6.000 =

4.000

4 a4 = A + I4 =

2.000 + 120 = 2.120

I4 = C3 . i = 4.000 * 0,03 =

120

2.000 M4 = 4*A = 4 * 2.000 =

8.000

C4 = C0 - M4 = 10.000 – 8.000 =

2.000

5 a5 = A + I5 =

2.000 + 60 = 2.060

I5 = C4 . i = 2.000 * 0,03 =

60

2.000 M5 = 5*A = 5 * 2.000 = 10.000 = C0

C5 = C0 - M5 = 10.000 – 10.000 =

0

4.4. Método de amortización Francés.

Este método caracterizase porque os temos amortizativos son constantes, o

que varía é a cota de amortización e a cotas de interese: a = Ak + Ik

Onde (tendo en conta o estudado no tema de Rendas):

Polo tanto:

sendo:

De aquí obtemos que o termo amortizativo é:

Pasos para calcular o cadro de amortización :

I. Calculamos a parte constante, é dicir, o termo amortizativo:

a = C0 / an¬i

ak = Ak + Ik

II. Calculamos a cota de interese Ik:

Ik = Ck-1 * i

Ik = Ck-1 * i

III. Calculamos a cota de amortización Ak :

Ak = a - Ik

Tamén podemos buscar a relación entre as cotas de amortización de

dous períodos consecutivos restando os seus termos amortizativos:

- Período k: a = Ck-1 * i + Ak Ak

0 = (Ck-1 - Ck) * i + Ak - Ak+1 =

- Período k-1: a = Ck-1 * i + Ak = Ak (1+i ) - Ak+1

Así, cando a é constante e o tipo de interese tamén:

Ak+1 = Ak (1+i ) ; A1 = a - c0 * i

A2 = A1 (1+i )

A3 = A1 (1+i ) (1+i) = A1 (1+i )2

....

Ak = A1 (1+i )k-1

Por outro lado, podemos ver a relación con outras variable:

A1 + A2 + A3 +... + An = c0 – Cn = c0

l

,

Por tanto:

c0 = Σ Ak

c0 = A1 + A2 + A3 +... + An = A1 + A1 (1+i ) + A1 (1+i )2 + ... + A1 (1+i )n-1

c0 = A1 * Sn¬i

Así:

A1 = c0 / Sn¬i sendo Sn¬i = ( (1+i)n -1) / i

IV. Calculamos o capital amortizado Mk :

Mk = Σ Ak = A1 + A2 + … + Ak = Mk-1 + Ak

Mk = C0 - Ck = a * an¬i - a * an-k¬i

V. Calculamos o capital pendente de amortizar.

Ck = C0 - Mk

Ck = a * an-k¬i

0

PERÍODO

n

TERMO AMORTIZATIVO

a

COTA INTERESE Ik

COTA AMORTIZACIÓN

Ak

CAPITAL AMORTIZADO

Mk

CAPITAL VIVO

Ck

0 - - - - C0

1 a = C0 / an¬i

I1 = C0 * i A1 = a – I1

M1 = A1 C1 = C0 - M1

2 a = C0 / an¬i

I2 = C1 * i A2 = a – I2

M2 = A1 + A2 C2 = C0 - M2

3 a = C0 / an¬i

I3 = C2 * i A3 = a – I3

M3 = A1 +A2+ A3 C3 = C0 - M3

.... ... ... ... ... ...

n a = C0 / an¬i

In = Cn-1 * i An = a – In

Mn = Σ Ak Cn = C0 - Mn

Exemplo:

Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5

anos a un tipo de interese do 3% anual. Calcular o cadro de amortización.

an¬i = (1- (1+i)-n) / i = ( 1 – (1+0,03)-5) / 0,03 = 4,58

PERÍODO

n

TERMO AMORTIZATIVO

a

COTA INTERESE Ik

COTA AMORTIZACIÓN

Ak

CAPITAL AMORTIZADO

Mk

CAPITAL VIVO

Ck

0 - - - - C0 = 10.000

1

a = C0 / an¬i =

10.000 / 4,58 =

2.183,41

I1 = C0 * i = 10.000 * 0.03 =

300

A1 = a – I1 = 2.183,41 – 300 =

1.883,41

M1 = A1 = 1.883,41

C1 = C0 - M1 = 10.000 – 1.883,41

= 8.116,59

2

a = C0 / an¬i =

10.000 / 4,58 =

2.183,41

I2 = C1 * i = 8.116,59 * 0,03 =

243,50

A2 = a – I2 = 2.183,41 – 243,50 =

1939,90

M2 = M1 + A2= 1883,41 +1939,90 =

3823,32

C2 = C0 - M2 = 10.000 – 3.823,32

= 6.176,68

3

a = C0 / an¬i =

10.000 / 4,58 =

2.183,41

I3 = C2 * i = 6.176,68 * 0,03 =

185,30$

A3 = a – I3 = 2.183,41 – 185,30 =

1998,11

M3 = M2 + A3= 3823,32 +1998,11 =

5.821,43

C3 = C0 - M3 = 10.000 – 5.821,43

= 4.178,57

4

a = C0 / an¬i =

10.000 / 4,58 =

2.183,41

I4 = C3 * i = 4.178,57 * 0,03 =

125,36

A4 = a – I4 = 2.183,41 – 125,36 =

2.058,05

M4 = M3 + A4= 5.821,43 +2.058,05

=7.879,48

C4 = C0 - M4 = 10.000 – 7.879,48

= 2120,52

5

a = C0 / an¬i =

10.000 / 4,58 =

2.183,41

I5 = C4 * i = 2.120,52 * 0,03 =

63,62

A5 = a – I5 = 2.183,41 – 63,62 =

2119,79

M5 = M4 + A5= 7879,48 +2.119,79 =9.999,38 ≈ 10.000

C5 = C0 - M5 = 10.000 – 9999,38

= 0,62 ≈ 0

5. PRESTAMO CON FRACIONAMENTO DE INTERESES

Neste caso o termo amortizativo a é teórico xa que se descompón nunha cota

de amortización Ak con vencemento ó final de cada ano e m cotas de interese

iguais con vencemento cada enésimo de ano.

Ik,1 = Ik,2 = .... = Ik,m = Ck-1 * im

a = Ak +Ik,1 * (1+im)m-1 + Ik,2 * (1+im)m-2 +.... + Ik,m

a = Ak + Ck-1 * im * ((1+im)m-1 + (1+im)m-2 +.... + 1)

Sm¬im

Podemos considerar o préstamo como un sen fraccionamento de intereses

calculando o tanto i equivalente a im e así calculamos todas as variables como

en calquera préstamo excepto as cotas reais de interese que terán vencemento

cada enésimo de tempo.

EQUIVALENCIA ENTRE TANTOS:

• Tanto nominal: Jk = ik * k

• Tanto anual efectivo: i = (1+ ik)k -1

Exemplo:

Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5

anos a un tipo de interese do 3% anual pagadoiro por trimestres. Calcular o

cadro de amortización.

J4 = 0,03

I4 = J4 / 4 = 0,03 / 4 = 0,0075

i = (1+ i4)4 -1 = (1+ 0,0075)4 -1 = 0,03033919

an¬i = (1- (1+i)-n) / i = ( 1 – (1+0,03033919)-5) / 0,03033919 = 4,575275335

PERÍODO

n

TERMO AMORTIZATIVO

a

COTA INTERESE

Ik

COTA AMORTIZACIÓN

Ak

CAPITAL AMORTIZADO

Mk

CAPITAL VIVO

Ck

0 - - - - C0 = 10.000

1 a = C0 / an¬i =

10.000/4,575275335

=2.185,66

I1 = C0 * i = 10.000 *

0.03033919 = 303,3919

A1 = a – I1 = 2.185,66 – 303,3919 =

1.882,2681

M1 = A1 = 1.882,2681

C1 = C0 - M1 = 10.000 – 1.882,2681=

8.117,7319

2 a = C0 / an¬i =

10.000/4,575275335

=2.185,66

I2 = C1 * i = 8.117,7319*

0,03033919 = 246,2854

A2 = a – I2 = 2.185,66 – 246,2854=

1939,3746

M2 = M1 + A2= 1.882,2681+1939,3746

= 3821,6427

C2 = C0 - M2 = 10.000 – 3821,6427=

6.178,3573

3 a = C0 / an¬i =

10.000/4,575275335

=2.185,66

I3 = C2 * i = 6.178,3573*

0,03033919 = 187,4464

A3 = a – I3 = 2.185,66 – 187,4464=

1998,2136

M3 = M2 + A3= 3821,6427+1998,2136

=5.819,8563

C3 = C0 - M3 = 10.000 – 5.819,8563=

4.180,1437

4 a = C0 / an¬i =

10.000/4,575275335

=2.185,66

I4 = C3 * i = 4.180,1437*

0,03033919 = 126,8222

A4 = a – I4 = 2.185,66 – 126,8222=

2.058,8378

M4 = M3 + A4= 5.821,43 +2.058,8378

=7.880,2678

C4 = C0 - M4 = 10.000 – 7.880,2678 =

2119,7322

5 a = C0 / an¬i =

10.000/4,575275335

=2.185,66

I5 = C4 * I = 2119,7321*

0,03033919 = 64,3110

A5 = a – I5 = 2.185,66 – 64,3109=

2121,3491

M5 = M4 + A5= 7.880,2678+2121,3491

=10.0001,61698≈ 10.000

C5 = C0 - M5 = 10.000 –10.0001,6168

= -1,6168 ≈ 0

6. AMORTIZACIÓN ANTICIPADA DUN PRÉSTAMO

Nunha operación de préstamo, o prestatario ten a opción de anticipar a

devolución do principal total ou parcialmente e en calquera momento da vida do

préstamo. Esta devolución anticipada adoita estar penalizada cunha comisión

que se calcula como unha porcentaxe sobre o importe que se amortiza.

A amortización pode ser:

6.1. Amortización total da débeda pendente.

Rescíndese a operación do préstamo e teremos que calcular a débeda viva

nese momento.

Ck = a * an-k¬i

Para rescindir a operación o importe a pagar será:

Importe = Ck ( 1 + C%)

Exemplo:

Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5

anos a un tipo de interese do 3% anual. Finalmente amortizase totalmente no

ano 3. ¿Cal é o importe a pagar nese momento se nos impoñen unha comisión

do 2% por cancelación anticipada?

an¬i = (1- (1+i)-n) / i = ( 1 – (1+0,03)-5) / 0,03 = 4,57...

a = C0 / an¬i = 10.000 / 4,57.... = 2.183,54 .....

C3 = a * a2¬i = 2.183,41 * 1,91 = 4.178,15

a2¬i = (1- (1+i)-2) / i = ( 1 – (1+0,03)-2) / 0,03 =1,913469695

IMPORTE A PAGAR: 4.178,15 * 1,02 = 4.261,713 €

6.2. Amortización parcial da contía R.

Neste caso temos dúas opcións:

• Manter o prazo da operación e consecuentemente reducir o termo

amortizativo.

Ck - R = a’ * an-k¬i

Exemplo:

Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5

anos a un tipo de interese do 3% anual. No ano 3 amortízanse 3.000 €. ¿Cal o

novo termo amortizativo se decidimos manter o prazo de devolución?

a’ = (Ck – R) / an-k¬i = (4.178,15 – 3.000) / 1,91... = 615, 71 €

C3 = a * a2¬i = 2.183,41 * 1,91 = 4.178,15

a2¬i = (1- (1+i)-2) / i = ( 1 – (1+0,03)-2) / 0,03 =1,913469695

• Manter o termo amortizativo e polo tanto reducir a duración do préstamo.

Ck - R = a * an’¬i

an’¬i = (Ck – R) / a

(1- (1+i)-n’) / i = (Ck – R) / a

n’ = (lg ( a / (a - (Ck – R) * i)) / lg (1+i)

Exemplo:

Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5

anos a un tipo de interese do 3% anual. No ano 3 amortízanse 3.000 €. ¿Cal

será a nova duración do préstamo se decidimos manter o termo amortizativo?

n’ = (lg ( a / (a - (Ck – R) * i)) / lg (1+i) = (lg (2.183,54 / (2.183,54 - (4.178,15 –

3.000) * 0,03)) / lg (1,03) = lg 1,0164 / lg 1,03 = 0,552 anos

a = C0 / an¬i = 10.000 / 4,57.... = 2.183,54

Ck = C3 = a * a2¬i = 2.183,41 * 1,91 = 4.178,15

7. PRÉSTAMOS CON TIPO DE INTERESE REFERENCIADO.

Os préstamos pódense conceder a un tipo de interese constante ou variable en

función dun índice. O máis frecuente é o EURIBOR (tipo de interese de

referencia no mercado interbancario) a un ano.

Cada ano, no momento de publicarse o índice, reprantéxase a equivalencia

financeira para que cumpra co novo tipo de interese.

C0 = a1 * an¬i

Ck = a’ * an-k¬i’

8. PRÉSTAMOS vs CRÉDITO.

Un préstamo supón:

• Unha cantidade que a entidade financeira entrega a favor do debedor.

• A débeda terá que pagar intereses sobre o total dese importe e sobre a

débeda viva en cada momento.

• Esa débeda hai que devolvela xunto cuns intereses xeralmente de forma

sucesiva e no prazo fixado no contrato.

Nun crédito:

• A entidade financeira pon a disposición do cliente unha cantidade (un límite

de disposición)

• O cliente pode utilizalo ou non e pagará intereses só pola cantidade

disposta. Sobre o resto e ata o límite paga unha comisión.

• É unha operación imperfecta posto que a posición de acredor e debedor

alternase ó largo da operación e non son coñecidas de antemán o número

de prestacións e contraprestacións a realizar.