Calculo: Integracion.

Antonio Garvın

Curso 04/05

1 Integracion

1.1 Particion de un intervalo y sumas de Rieman

Consideremos un intervalo [a, b]. Una particion de [a, b], es un conjuntoP = {x0, x1, · · · , xn}, tal que x0 = a, xn = b y cada xi < xi+1.

Sea f una funcion definida en [a, b], f : [a, b] → R y P una particion de[a, b].

Consideremos ahora una eleccion de un punto en cada subintervalo quela particion determina, x∗i ∈ [xi−1, xi], es decir, elegimos x∗1 ∈ [a, x1], x∗2 ∈[x1, x2], x∗3 ∈ [x2, x3], · · · , x∗n ∈ [xn−1, b].

La suma de Riemann de f , S(f), asociada a la particion P y a la eleccionde los puntos x∗i , se define como:

S(f) =n∑

i=0

f(x∗i )(xi − xi−1)

1.2 Integral definida

Sea f una funcion acotada en [a, b], decimos que f es integrable en [a, b] sipara cualquier sucesion de sumas de Riemann, de particiones con longitudesde los subintervalos que tiendan a cero, e independientemente de la eleccion,existe el lımite de la correspondinte sucesion de sumas de Riemann, y essiempre el mismo numero l. En este caso escribimos

∫ b

af = l

Tambien se usa la notacion ∫ b

af(x)dx

1

1.3 Propiedades

• Toda funcion (acotada y) continua, salvo quizas en un numero finito depuntos, en [a, b], es integrable en [a, b].

Ademas se tiene:• Si f : [a, b] → R es continua y positiva∫ b

af(x)dx = area encerrada entre el eje OX, x = a, x = b, y la grafica de f

• Si f es una funcion continua, y consideramos una sucesion de parti-ciones Pn tales que las longitudes de los subintervalos [xi−1, xi] tiendan acero cuando n →∞, entonces

∫ b

af(x)dx = lim

n→∞

n∑

i=1

f(x∗i )(xi − xi−1) = limn→∞Sn(f)

1.4 Propiedades:

Sean f, g: [a, b] → R continuas

1.∫ b

a(αf + βg) = α

∫ b

af + β

∫ b

ag

2. Si f ≥ 0 en [a, b] =⇒ ∫ ba f ≥ 0

3. f ≤ g en [a, b] =⇒ ∫ ba f ≤ ∫ b

a g

4. c ∈ [a, b],∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf

5. −∫ b

af =

∫ a

bf

6.∫ a

af = 0

1.5 Teoremas basicos

Enunciamos a continuacion y damos ejemplos de los principales resultadosteoricos sobre funciones integrables. En particular el resultado que relacionaintegrales con primitivas, el teorema fundamental del calculo, asi como suforma equivalente conocida clasicamente como la regla de Barrow.

2

1.6 Teorema fundamental del calculo:

Sea f : [a, b] → R una funcion continua y sea F : [a, b] → R la funcion definidapor

F (x) =∫ x

af = (

∫ x

af(t)dt)

Entonces F es derivable y F ′(x) = f(x)[El que el lımite inferior de la integral de la integral sea otro punto

distinto de a no varia el resultado del teorema.]

1.7 Ejemplos:

(1)d

dx(∫ x

0

√1 + t2dt) =

√1 + x2

(2)d

dx(∫ x2+1

0cos t2dt) = 2x · cos(x2 + 1)

xG7→ u = x2 + 1 F7→

∫ u

0cos t2dt =

∫ x2+1

0cos t2dt

F ′(x) = 2x G′(u) = cosu2

(F ◦G)′(x) = F ′(G(x))G′(x) = F ′(u)2x = cosu22x = 2x · cos(x2 + 1)

(3) f(x) =∫ ∫ x

a1

1+ sen 2tdt

a1 + sen 2tdt

f ′(x) =1

1 + sen 2(∫ xa

11+ sen 2t

dt)1

1 + sen 2x

1.8 Regla de Barrow

Si g es una primitiva de f ( es decir si g′(x) = f(x)), entonces

∫ b

af(x)dx = g(b)− g(a) := g(x) ]ba

1.9 Teorema del valor medio de la integral

Sea f : [a, b] → R, continua. Existe c ∈ [a, b] talque

f(c) =1

b− a

∫ b

af(x)dx

3

”El valor medio de f entre a y b, esto es,1

b− a

∫ b

af(x)dx, seb alcanza en

algun punto intermedio f(c)”

1.10 Teorema del valor medio generalizado

Sean f, g: [a, b] → R, continuas y g(x) ≥ 0 en [a, b]. Existe c ∈ [a, b] talque∫ b

af(x)g(x)dx = f(c)

∫ b

ag(x)dx

1.11 Nota

Tomando g(x) = 1 se obtiene el resultado anterior.

1.12 Calculo de primitivas

g es primitiva de f si g′ = f . El simbolo∫

f , o tambien∫

f(x)dx denota unaprimitiva( o a veces todas las primitivas) de f . Cualesquiera dos primitivasse diferencian en una constante.

El cambio de variable y la integracion por partes son dos tecnicas paracalcular primitivas.

1.13 Cambio de variable

∫ b

af(g(x))g′(x)dx =

∫ g(b)

g(a)f(u)du

se suele recordar haciendo ”g(x) = u” y por tanto ”g′(x)dx = du”. Encuanto a los lımites de integracion, si x ∈ [a, b], entonces u = g(x) esta entreg(a) u g(b), u ∈ [g(a), g(b)] y por tanto estos son los lımites de integracionpara u.

1.14 Integracion por partes

∫ b

af(x)g′(x)dx = f(x)g(x) ]ba −

∫ b

af ′(x)g(x)dx

Se suele recordar haciendo ”u = f(x), v = g(x)” y formalmente se tiene”du = f ′(x)dx, dv = g′(x)dx” y queda

∫udv = uv −

∫vdu

4

Los limites de integracion no cambian.

1.15 Ejemplos:

(1)∫

cosn xdx =∫

cosn−1 x︸ ︷︷ ︸u

cosxdx︸ ︷︷ ︸dv

= (∗)

u = cosn−1 x du = (n− 1) cosn−2 x(− sen x)dx

dv = cosxdx v = sen x

(∗) = cosn−1 x sen x +∫

(n− 1) cosn−2 x sen 2xdx =

= cosn−1 x sen x +∫

(n− 1) cosn−2 x(1− cos2 x)dx =

= cosn−1 x sen x + (n− 1)∫

cosn−2 xdx− (n− 1)∫

cosn xdx =

Ası tenemos∫cosn xdx

︸ ︷︷ ︸= cosn−1 x sen x + (n− 1)

∫cosn−2 xdx− (n− 1)

∫cosn xdx

︸ ︷︷ ︸

Despejando∫

cosn xdx

n

∫cosn xdx = cosn−1 x sen x + (n− 1)

∫cosn−2 xdx

o lo que es lo mismo

cosn xdx =1n

cosn−1 x sen x +n− 1

n

∫cosn−2 xdx

(2)∫

1x2 − x + 1

dx =∫

44x2 − 4x + 4

dx = (∗)

(2x− 1)2 = 4x2 − 4x + 1; 4x2 − 4x + 4 = (2x− 1)2 + 3

(∗) =∫

43 + (2x− 1)2

dx =43

∫1

1 + (2x−1√3

)2dx = (∗)(∗)

t =2x− 1√

3; dt =

2√3dx; dx =

√3

2dt

(∗)(∗) =43

∫1

1 + t2

√3

2dt =

2√3

arctag t =

=2√3

arctag (2x− 1√

3) + C

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1.16 Funciones racionales simples

1.∫

1x− a

dx = log | x− a |

2.∫

1(x− a)n

dx =1

(1− n)(x− a)n−1si n ≥ 2

3.∫

1x2 + bx + c

dx se busca un cuadrado (2x+ b)2 = 4x2 +4bx+ b2, se

ajusta a 1 + (algo)2 y luego se hace el cambio t =2x + b√4c− b2

. Al final

se obtiene ∫1

x2 + bx + cdx =

2√4c− b2

arctag (2x + b√4c− b2

)

4.∫

x + a

x2 + bx + cdx =

12

∫2x + b

x2 + bx + cdx +

12

∫22− b

x2 + bx + cdx =

=12

log(x2 + bx + c) +2a− b√4c− b2

arctag (2x + b√4c− b2

)

En los casos anteriores x2 +bx+c es irreducible, de lo contrario hacemoslo siguiente: x2 + bx + c = (x− α)(x− β) con α 6= β (el caso α = β ya estacomtemplado, ¿no?)

Descomponemos en fracciones simples

1x2 + bx + c

= [1

(x− α)(x− β)=

A

x− α+

B

x− β]

determinamos A y B, y estamos en el caso 1.∫

1x2 + bx + c

dx = A log | x− α | +B log | x− β |

Este ultimo ejemplo se basa en un hecho mas general, la descomposiciondel denominador en fracciones simples de las del tipo anterior, que ya sabe-mos resolver.

1.17 Teorema:(Descomposicion en fracciones simples)

Sean p(x) y q(x) dos polinomios con grado de p(x) < grado de q(x). Supong-amos que q(x) se descompone en factores lineales y cuadraticos (descom-posicion real) como

(x−α1)r1(x−α2)r2 · · · (x−αk)rk(x2+β1x+γ1)s1(x2+β2x+γ2)s2 · · · (x2+βjx+γj)sj

6

Entonces el cocientep(x)q(x)

se expresa como

a11

x− α1+

a12

(x− α1)2+· · ·+ a1r1

(x− α1)r1+

a21

x− α2+

a22

(x− α2)2+· · ·+ a2r2

(x− α2)r2+

· · · · · · · · · · · · · · · · · · +ak1

x− αk+

ak2

(x− αk)2+ · · ·+ akrk

(x− αk)rk+

+b11x + c11

x2 + β1x + γ1+

b12x + c12

(x2 + β1x + γ1)2+ · · ·+ b1s1x + c1s1

(x2 + β1x + γ1)s1+

+b21x + c21

x2 + β2x + γ2+

b22x + c22

(x2 + β2x + γ2)2+ · · ·+ b2s2x + c2s2

(x2 + β2x + γ2)s2+

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·+

bj1x + cj1

x2 + βjx + γj+

bj2x + cj2

(x2 + βjx + γj)2+ · · ·+ bjsjx + cjsj

(x2 + βjx + γj)sj

1.18 El metodo de Hermite

Supongamos las mismas condiciones que enunciabamos para la descom-posicion en fracciones simples, esto es, grado q(x) > grado de p(x), siendo

q(x) = (x− α1)r1 · · · (x− αk)rk(x2 + β1x + γ1)s1 · · · (x2 + βjx + γj)sj

Entonces siempre es posible expresar el cocientep(x)q(x)

en la forma

d

dx(A(x)B(x)

) +C1

x− α1+ · · ·+ C1

x− α1+

D1x + E1

x2 + β1x + γ1+ · · ·+ Djx + Ej

x2 + βjx + γj

donde A(x) tiene grado a lo sumo, uno menos que el grado de B(x), y donde

B(x) = (x−α1)r1−1 · · · (x−αk)rk−1(x2+β1x+γ1)s1−1 · · · (x2+βjx+γj)sj−1

es decir, B(x) tiene las raices de q(x) con multiplicidad de cada raiz unamenos.

1.19 Metodo de Hermite para fracciones irracionales

Analizamos un caso mas, variante del metodo de Hermite

P (x)√ax2 + bx + c

=d

dx

(Q(x)

√ax2 + bx + c

)+

M√ax2 + bx + c

con M ∈ R y donde Q(x) tiene grado a lo sumo el de P (x) menos uno.

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1.20 Mas tecnicas

Existen cambios especıficos para transformar trigonometricas en racionales.Dependiendo de los casos los cambios t = sen x, t = cosx o t = tag xsuelen funcionar. En cualquier caso podemos siempre aplicar el cambiot = tag (x

2 ).Cuando aparecen raices cuadradas de polinomios cuadraticos los cambios

con hiperbolicas o trigonometricas permiten reducir a expresiones conocidaspara integrar. La idea basica es recordar las derivadas de las trigonometricasy de las hiperbolicas asi como de sus inversas. Por ejemplo puede ser utilrecordar que

( arcsen x)′ =1√

1− x2, ( argsenh x)′ =

1√1 + x2

, ( argcosh x)′ =1√

x2 − 1

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