Apuntes Método de los Elementos Finitos

- El modelado de sistemas físicos usualmente está dado por ecuaciones diferenciales parciales que se resuelven mediante este método.

- La idea que sigue este método es dar una aproximación a las variables desconocidas, de modo que se puedan transformar las ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones algebraicas.

- El método emplea las matrices de rigidez (stiffness), mediante las que se construye un sistema de ecuaciones algebraicas que permitan verificar la continuidad del desplazamiento y el balance de fuerzas en los nodos que se consideran del sistema físico. La solución del sistema de ecuaciones que corresponde a las cargas aplicadas al sistema lleva a los desplazamientos de todos los nodos en la estructura.

- Los aspectos que se requieren para la aplicación del método de los elementos finitos involucran:

o Entendimiento del problema físico y conocimiento intuitivo de la naturaleza de la solución buscadao La representación del fenómeno físico en forma de ecuaciones diferenciales parciales con formulaciones

integrales o variacionales débileso Técnicas de discretización para producir un modelo algebraico o discretoo Organización matricial de los datoso Métodos numéricos para la integración de funciones con solución de varias variables de ecuaciones

algebraicas lineales y no linealeso Herramientas de computación para programar el manejo de archivos de datos masivos

- Con respecto al modelado numérico, lo que se hace es partir del sistema físico como tal y describirlo en términos de ingeniería (modelo físico), luego se traduce el problema de ingeniería en una forma matemática (modelo matemático), se construye un modelo numérico (o algebraico) que usa métodos de discretización como el de elementos finitos y se puede resolver por computadora, y el desarrollo de código que simule el comportamiento del sistema físico (modelo computacional).

- Durante todo el proceso de modelamiento pueden ocurrir tres tipos de errores, donde la idea es reducirlos al mínimo posible para acercar el modelo a la realidad:

o Errores en la elección del modelo matemático, representando la diferencia de entre la solución exacta al modelo matemático y el comportamiento real del sistema.

o Errores de discretización, representando la diferencia entre la solución exacta al modelo matemático y la solución exacta al modelo numérico.

o Errores de computación, debido a la precisión limitada del cálculo, y errores de programación.

- La descripción del modelo físico incluye:

o Una representación de su geometríao La selección de las variables desconocidas de las que se quiere evaluar sus variaciones espacio-temporaleso Las leyes físicas que gobiernan sobre el comportamiento del sistemao Los valores de las propiedades físicas que se asumen son conocidaso Fuerzas aplicadas, condiciones de frontera, y donde sea aplicable, condiciones iniciales para problemas

transitorios.