apuntes fund de maths - hector m nuñez rdz
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Compendio de matemáticas básicas.TRANSCRIPT
V.2 Matemáticas fundamentales, comentarios, ejemplos y práctica. Héctor Manuel Núñez Rodríguez
V.2.1 Uso de los signos: El uso de signos en aritmética representa una temática de relativa dificultad en la
enseñanza. La comprensión de la ausencia de cantidad y su distinción con
respecto a la presencia de la misma, es un buen desafío para estudiantes con
niveles promedio de comprensión lógico-matemática.
Fundamental distinguir regla de los signos, de recta numérica. La primera se aplica
y sólo es válida en multiplicación y división y la recta numérica considerando
también su lado de valores negativos, se aplica o utiliza en suma y resta aritmética
o algebraica.
Precisamente en la aplicación de regla de los signos se presentan comúnmente
confusiones que los profesores deben trabajar con los alumnos y para ello se
sugiere poner el acento en la distinción antes mencionada.
REGLA DE LOS SIGNOS
+ x + = +
+ x - = -
- x + = -
- x - = +
(Sólo válida para multiplicación y división, nunca para suma y resta)
Para suma y resta debe utilizarse recta numérica en sus dos sentidos + y -
Ejemplos resueltos uso de signos suma y resta:
-7+5= -2
-10+6= -4
-8-5= -13
1
15-20= -5
-8+14=6
-20+30=10
-40-50= -90
-5+9-7+4=1
-6-8+7-5+3-10= -19 Se sugiere agrupar valores + y -
(-6-8-5-10= -29)
(7+3=10)
(-29+10= -19)
-3.4+2.8= -.6
½-3/4= -1/4
Ejemplos propuestos uso de signos suma y resta
-9+4=, -10+7=, -12+14=, 15- 24=, -19+9=, -9-6=, -13+17=, -8-4=, 18-27=,
-38+25=, -20-40-35 =, -17+13-16=, -8-6+4-5=, 23-34+68=, -9-5+7-3+4=,
-227+146+34=, -500+1500-3000-4500=, -5.9+2.4=, 7.8-9.6=, 2.5-4=, -3.5-4.5=,
-9.8-8.3=, 3/2-7/4=, 1/3-5/6=, -3/5 -7/10=, -2/4-4/8=
Ejemplos resueltos uso de signos multiplicación y división
(-4)(+5)= -20
(-9)(-6)= 54
(+8)(-7)= -56
(7) (-9)= -63
(-4)(-5)(-3)= -60
(-5)(+4)(+3)(-8)= 480
(-1.5)(+1.3)= -1.95
(-2.5)(-4)= 10
(-2/3)(+4/5)= -8/15
(-3/4)(+5/9)(-6/7)= 90/252
(-10) ÷ (+2)= -5
2
(+30)÷ (-5)= -6
(-63) ÷ (-9)= 7
(+400) ÷ (-10)= -40
(-3/4) ÷ (-8/7)= 21/32
(-3) ÷ (+1.5)= -2
Ejemplos propuestos uso de signos multiplicación y división
(-8)(+7)=, (-9)(-5)=, (4)(-9)=, (-11)(+10)=, (-5)(-12)=, (-3)(+4)(-7)=,
(-13)(+7)=, (+8)(-5)(+6)=, (-9)(-6)(-7)=, (+3)(+4)(-9)(-5)=, (6)(-7)(+4)(8)(-3)=,
(-1.8)(+3.2)=, (+5.9)(-6.7)=, (-3/9)(-8/5)=, (7/12)(-8/14)=, (-4/6)(+7/8)=
(-15) ÷ (+3)=, (-48) ÷ (-6)=, (81) ÷ (-9)=, (-55) ÷ (+11)=, (600) ÷ (-20)=,
(-75) ÷ (+5)= , (99) ÷ (-10)= , (-850) ÷ (-50)= , (-4/9) ÷ (+6/8)= , (-9/8) ÷ (-8/7)= ,
(-4.8) ÷ (+1.2)= , (-10.5) ÷ (-3.5)=
V.2.2 Series numéricas, espaciales y de figuras: Toda la gama de sucesiones o seriaciones numéricas, espaciales y de figuras
resultan de gran utilidad para el desarrollo y la estimulación de la habilidad
matemática.
Además de ser componentes de gran utilidad en los instrumentos de evaluación,
tanto académica, como de capacidades intelectuales, las series son elementos
clásicos en la habilidad lógico matemática.
EJEMPLOS SERIES NUMÉRICAS RESUELTAS
94 – 89 – 84 – 79 – 74 69-64-59-54
.5 – 1 – 1.5 – 2 – 2.5 – 3 3.5-4-4.5-5
3 – 7 – 12 – 18 – 25 33-42-52-63
1/2 - 2/4 – 3/8 – 4/16 5/32-6/64-7/128-8/256
2 – 4 – 8 – 16 – 32 64-128-256-512
3
SERIES NUMÉRICAS PROPUESTAS
98 – 94 – 90 – 86 – 82 ______________________
2 – 5 – 7 – 10 – 12 – 15 ______________________
10 – 12 – 15 – 19 – 24 ______________________
5 – 8 – 12 – 15 – 19 – 22 _____________________
79 – 74 – 73 – 68 – 67 – 62 ___________________
.3 - .6 - .9 - 1.2 - 1.5 - 1.8 ______________________
9.9 - 9.4 - 8.9 - 8.4 - 7.9 - 7.4____________________
1 – 3 – 9 – 27 – 81 _____________________________
125 – 121 – 116 – 112 – 107 - 103 ________________
2/3 - 4/6 - 6/9 - 8/12 - 10/15 ______________________
1/5 - 5/10 - 10/15 - 15/20 - 20/25 ___________________
.8 - 1.6 - 2.4 - 3.2 – 4 - 4.8 ________________________
10 – 19 – 28 – 37- 46 – 55 _________________________
70 – 69 – 67 – 64 – 60 – 55 ________________________
2 - 4 – 8 – 16- 32 ________________________________
10 – 100 – 1000 – 10000 ___________________________
20 – 25 – 23 – 28 – 26 – 31 – 29______________________
3 – 9 – 8 – 14 – 13 – 19 – 18 – 24_____________________
76 – 71 – 73 – 68 – 70 – 65 - 67 ______________________
49 – 45 – 46 – 42 – 43 – 39 - 40_______________________
La introducción de elementos algebraicos sencillos desde etapas relativamente
tempranas de la formación académica, resulta muy útil como tema de
conocimiento y herramienta de ejercitación intelectual. La noción de valor variable
y su paulatina combinación con manejo de signos, despejes y operaciones
aritméticas hacen de las ecuaciones sencillas, poderosas palancas de expansión
de las habilidades matemáticas.
4
Se sugiere su uso tanto en alumnos avanzados con la finalidad de que ejerciten su
potencial, como en alumnos rezagados, para estimular su desarrollo y
conocimiento.
Me atrevo a considerar que para la mayoría de los estudiantes, se da una
aproximación tardía a esta clase de saberes matemáticos y después resulta difícil
su comprensión y desarrollo.
Cosa que sucede de manera no muy distinta con los idiomas, los deportes y otros
ámbitos.
Aún enseñanzas más elementales como las operaciones con fracciones, deben ir
acompañadas de explicaciones y esquematizaciones claras y precisas, que
permitan al educando identificar y entender que tipo de operaciones tiene que
realizar.
Resulta cotidiano ver las acentuadas dificultades que presentan los estudiantes de
niveles básicos, para realizar restas, multiplicaciones y divisiones.
Y la confusión y falta de comprensión-asimilación del procedimiento es una de las
causas básicas.
El desarrollo de la capacidad y los niveles de abstracción debe comenzarse en el
grado y con los ejercicios adecuados desde etapas tempranas.
Ha resultado un evidente fracaso pretender estimular la capacidad de abstracción
lógico-matemática a ritmos lentos y dosificados, tardía y lentamente, tal vez
fundamentándose en esquemas de psicología del desarrollo interpretados de
manera muy esquemática y ortodoxa.
Situación que deja rezagos considerables en la conquista de disciplinas como la
física, la química o la propia matemática.
5
El cálculo de raíces cuadradas es un contenido que debería dominarse en la
primaria y que sin embargo al tener que aplicarse o utilizarse en diversos
procedimientos de solución resalta el desconocimiento mayoritario de esta
operación básica.
V.2.3 Cálculo de potencias y raíces: De igual modo el cálculo de potencias y raíces resulta algo problemático para
muchos estudiantes de educación elemental. La confusión básica más común en
la potencia es el multiplicar la base por el exponente en lugar de multiplicar la base
por sí misma. Aunque también el manejo de potencias de fracciones, de decimales
o de números negativos presenta algunas confusiones.
EJEMPLOS DE POTENCIAS
10P
5P=10X10X10X10X10= 100,000
-7P
3P= -7X-7X-7= - 343
-2P
4P= -2X-2X-2X-2= +16
1P
10P=1X1X1X1X1X1X1X1X1X1= 1
(2/3)P
2P= (2/3)(2/3)= 4/9
.5P
2P= .5X.5 = .25
Potencias propuestas 7P
2P, 9P
2P, 12P
2P, -6P
2P, -5P
3P , 2P
5P , 3P
4P , 6P
3P, 5P
4P , 11P
2P, -13P
2P , -2P
7P , 1P
9P , 1P
12P , 7P
0P , 9P
0P , 10P
4P, 10P
8P , -
15P
2P, 7P
3P , 2P
9P , 3P
6P, 16P
3P, (3/4)P
2P, (2/5)P
3P , (-2/7)P
2P, (4/9)P
4P, 2.5P
2P, 1.5P
2
6
RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS
a) Separar el número de dos en dos posiciones de derecha a izquierda
b) Tomar el número que queda más a la izquierda después de la separación y
buscar un número que multiplicado por sí mismo (0x0, 1x1, 2x2, 3x3, 4x4,…) nos
dé el número de la izquierda o se acerque más a él sin que se pase.
c) Obtener el residuo colocando el resultado de multiplicar el número por sí mismo,
bajo la cifra de la izquierda y restando.
d) Bajar el siguiente par de cifras y duplicar la cantidad externa.
e) Buscar y colocar un acompañante al número duplicado exterior y multiplicar el
número que se forma, por el número acompañante.
f) Obtener el residuo restando el resultado de la multiplicación, al número interior.
EJEMPLO DE RAÍZ CUADRADA
√6,25 25
4
225 45
225
00
√20,25 45
16
425 85
425
00
Raíces propuestas 121,144, 225, 625, 169, 400, 900, 289, 361, 784, 961, 1225, 1444, 1600, 2500,
2704, 3249, 4225, 6241, 7569, 8464, 9025, 15625, 21316, 54756, 66564, 316969,
622521, 970225, 1530169, 6702921, 1.44, 5.29, 9.61, 33.64, 62.41, 44.89, 166.41,
190.44, 823.69, 864.36
7
V.2.4 Productos notables y factorización: Los productos notables y la factorización constituyen interesantes elementos del
álgebra y su aplicación es común en distintos procedimientos de resolución tanto
algebraica, como en otros campos de la matemática, incluyendo la geometría
analítica al trabajar por ejemplo con las ecuaciones generales de las cónicas, o el
cálculo diferencial e integral, por ejemplo en la resolución de límites
indeterminados.
En lo que respecta a productos notables, una forma certera de obtener resultados
en su aprendizaje, es la aplicación completa del procedimiento de multiplicación
de monomios y polinomios, resultando relativamente sencillo entonces distinguir o
por lo menos obtener la resultante de un binomio al cuadrado, de binomios con un
término común o de binomios conjugados.
BINOMIO AL CUADRADO
(a+b)P
2P= (a+b)(a+b)= aP
2P+ab+ba+bP
2
Binomios al cuadrado propuestos. (a+5)P
2P,(b-9)P
2P, (2b+6)P
2P, (3c+9)P
2P, (4x+3y)P
2P, (2a-5b)P
2P,(7d-
4e)P
2P,(4xy+9w)P
2P,(5xP
2PyP
3P+9zP
4P)P
2P, (4aP
2PbP
3PcP
4P- 5dP
6P)P
2
BINOMIOS CONJUGADOS
(a+b)(a-b)=aP
2P-ab+ab-bP
2P= aP
2P-bP
2
Binomios conjugados propuestos. (2a+b)(2a-b), (4x+2y)(4x-2y), (5a+7b)(5a-7b), (2xy+3z)(2xy-3z),
(4aP
2PbP
3P-5cP
4P)(4aP
2PbP
3P+5cP
4P), (9aP
5P+8bP
6P)(9aP
5P-8bP
6P), (12dP
7P-11eP
8P)(12eP
7P+11eP
8P),
(7aP
2PbP
4PcP
6P+10dP
8PeP
10P)(7aP
2PbP
4PcP
6P-10dP
8PeP
10P), (13wP
10PxP
13P-15yP
14PzP
17P)(13wP
10PxP
13P+15yP
14PzP
17P) ,
(-4a+5c)(4a+5c)
8
BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
(a-x)(a-y)= aP
2P-ay-ax+xy
Binomios con un término común propuestos. (a+5)(a+7) , (x+8)(x+9), (y-4)(y+3), (b+7)(b-5) , (a-8)(a-4) , (x-10)(x+7),
(y- 12) (y+11), (d-6)(d-3), (f+15)(f+20), (g-13)(g-16)
Los procedimientos simplificados resultan buenos siempre y cuando el estudiante
haya entendido el proceso completo e incluso es posible prescindir de ellos en un
primer momento, aún y cuando facilitan la respuesta.
De igual manera la factorización puede resultar más inteligible si se asocia,
identifica y relaciona con los productos notables.
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
aP
2P+2ab+bP
2P=(a+b)(a+b)=(a+b)P
2
Factorizaciones propuestas de trinomios cuadrados perfectos 4aP
2P+10a+25=, 64xP
2P-32x+4=, 25aP
4P-70aP
2P+49=, 9bP
2P-36b+4=, 16cP
4P+64cP
2Pd+64dP
2P=,
25xP
6P-60xP
3PyP
2P+36yP
4P=, 49aP
4PbP
6P+112aP
2PbP
3PcP
4P+64cP
8P=, 36xP
8PyP
12P-48xP
4PyP
6PzP
8P+16zP
16P=,
81aP
2PbP
2PcP
2P+126abcde+49dP
2PeP
2P=, 144bP
18P-264bP
9PcP
7P+121cP
14P=
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA aP
2P-ay-ax+xy
aP
2P-ay-ax+xy= (a-x)(a-y)
Factorizaciones propuestas de trinomios de la forma aP
2P-ay-ax+xy
xP
2P+13x+40= , xP
2P-9x+18= , xP
2P-3x-28= , xP
2P-6x-27= , xP
2P+11x+30= , xP
2P-x-72=,
xP
2P+2x-48=, xP
2P- 15x+54=, aP
2P-2x-35=, bP
2P+17x+60=, cP
2P-12x+35=
9
FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS
aP
2P-bP
2P= (a+b)(a-b)
Factorizaciones propuestas de diferencias de cuadrados 16aP
2P-9bP
2P= , 36xP
2P-25yP
2P= , 9xP
4P-36yP
6P= , 81xP
2PyP
2P-49zP
2P= , 64aP
4PbP
6PcP
8P- 100dP
4PeP
8P= ,
25xP
12P-36yP
14P= , 4cP
2PdP
2PeP
2P-9fP
2PgP
2P= , 144bP
8PcP
10P- 121dP
12PeP
14P= , 400xP
2P-225yP
2P= ,
-81aP
4PbP
12P+64cP
6PdP
14P= , -169yP
4P+625zP
8P=
V.2.5 Ecuaciones de primer grado con una incógnita:
Trato especial nos merecen las ecuaciones de primer grado, porque a nuestro
juicio representan uno de los primeros accesos formales al álgebra, que resultará
tan importante y servirá de base para conocimientos matemáticos posteriores.
La resolución de ecuaciones de primer grado y otros conocimientos básicos dentro
del algebra, como las operaciones con monomios y polinomios, el lenguaje
algebraico, la reducción de términos semejantes, etc., pueden resultar
determinantes en el futuro académico del estudiante en el campo de las ciencias
exactas.
En especial también con la física, por su estrecha relación y vinculación con la
matemática.
Es sumamente común que quien presenta rezagos en matemáticas, también
enfrenta dificultades en física, hasta para la resolución de problemas de los
movimientos más simples: por ejemplo el movimiento rectilíneo uniforme, el
movimiento rectilíneo uniforme acelerado, la caída libre, el tiro vertical, el
movimiento circular, el movimiento parabólico.
10
Porque finalmente las fórmulas de la física requieren un conocimiento algebraico y
aritmético para su manejo y resolución. Y también más adelante la física hace uso
del Calculo diferencial e Integral para la solución de problemas.
“En los inicios del siglo XVII, el álgebra y la geometría ya habían sido
desarrolladas al grado en que era posible modelar comportamientos físicos
algebraica y geométricamente, y cada tipo de representación brindaba más
información de la otra. Los nuevos descubrimientos acerca del sistema solar
habían abierto preguntas fascinantes sobre la gravedad y sus efectos en el
movimiento planetario, de modo que la determinación de la clave matemática
para estudiar el movimiento llegó a ser la pregunta científica del día. La geometría
analítica de René descartes (1596-1650) puso las piezas finales en su lugar,
dejando el escenario para que Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz
(1646-1716) pudieran pararse 'sobre los hombros de los gigantes' por ver más allá
de las fronteras del álgebra que habían limitado a sus predecesores. Con la
geometría mostrándoles el camino, crearon la nueva forma de álgebra, que
llegaría a conocerse como cálculo.”TPF
1FPT
También se enfrenta un debate y se presentan considerables discrepancias en
torno a la forma de abordar este trascendente tema. Abordarlo a partir de
ejercicios de ecuaciones de diferente forma (sencillas, con paréntesis, con
denominador, fraccionarias, etc), o trabajar el tema a través de problemas y
derivar de ellos los planteamientos de las ecuaciones respectivas para su
solución.
Implicando está última vía por un lado un desafío intelectual de mayor
envergadura que la sola comprensión y mecanización de los procedimientos de
resolución de ecuaciones.
T1T DEMANA Franklin D. et. al. Precálculo. Gráfico, numérico, algebraico. Pearson Educación. México, 2007. P 792
11
Pero por otro lado, resulta un mecanismo de mayor alcance en el desarrollo
matemático intelectual, para aquellos estudiantes con inclinaciones y facultades en
el área e incluso a mi juicio, de mayor utilidad para los estudiantes con dificultades
de comprensión en esta disciplina.
Siempre y cuando el planteamiento de ecuaciones se utilice como herramienta
para propiciar el pensamiento y la reflexión y sirva también para avanzar en la
comprensión lectora. Capacidad de leer que es un factor a considerar, aunque no
el único, en la solución de problemas en el campo matemático.
Sin embargo y como hemos mencionado, hay que cuidarse de enfoques
reduccionistas que no propician el desarrollo de la habilidad y la práctica de
resolución y todo quieren dejarlo al mero razonamiento básico y a planteamientos
muy simples claramente insuficientes para una adecuada formación.
La mecanización y la aplicación sistemática de los procedimientos de solución, no
son eventos contradictorios con la comprensión y el razonamiento.
Entendimiento y práctica; he aquí dos elementos claves de cualquier proceso
riguroso de enseñanza-aprendizaje en el campo matemático.
Quizá podemos hacer una analogía con el aprendizaje de las lenguas: avanzamos
en su conocimiento a medida que las utilizamos y retrocedemos cuando dejamos
de estar en contacto con ellas y nos alejamos de su uso cotidiano. Incluyendo la
lengua materna y en especial en lo referente a ortografía y redacción.
En primera instancia cabe señalar que una ecuación es una expresión algebraica
que indica una igualdad. Dicha expresión está conformada por signos, números y
literales o letras. Resolver la ecuación implica aplicar un procedimiento para
conocer el valor de la literal.
12
CONCEPTO DE ECUACIÓN
“Una igualdad es un concepto matemático que indica que dos expresiones son
iguales o que tienen el mismo valor. Por ejemplo, 2n=6 y 2n +3n=5 son
igualdades.
En una igualdad, la expresión situada a la izquierda del signo igual se llama primer
miembro; la expresión de la derecha es el segundo miembro de la igualdad. (…)
Una ecuación es una igualdad en la que las letras (desconocidas o incógnitas)
solo poseen determinados valores. Una ecuación es una igualdad condicionada.
Por ejemplo 2n=12 es una ecuación, ya que n solo puede valer 6.
Una identidad es una igualdad en la letra o letras que contiene pueden tomar
cualquier valor. La identidad es una igualdad condicionada. Por ejemplo 2n+3n=5n
y x+y=y+x son identidades, puesto que n, x o y pueden tomar cualquier valor.”TPF
2FPT
A diferencia de los números que representan valores constantes, las literales
representan valores variables y específicos para cada planteamiento algebraico. El
uso o la introducción de literales en la matemática, permite el cálculo de valores
desconocidos a partir de otros elementos que sí conocemos previamente.
Criterios de despeje:
a) Lo que está sumando pasa al otro lado del igual restando
a+5=22
a=22-5
a=17
b) Lo que está restando pasa al otro lado del igual sumando
m+40=50
m=50-40
m=10
c) Lo que está multiplicando pasa del otro lado del igual dividiendo
T2T RICH, Barnet. Ph. D. Álgebra elemental. McGraw Hill, México, 1980.P 17
13
-4y=28
y=28/-4
y=-7
d) Lo que está dividiendo pasa multiplicando
w/9= 8
w=(8)(9)
w=72
e) Lo que está como potencia pasa como raíz
bP
2P= 25
b=√25
b=5
f) Lo que esta como raíz pasa como potencia
√c=7
c=7P
2
c=49
ARCOIRIS DEL DESPEJE
÷ x - + = - + ÷ x
14
Ecuaciones resueltas
2a + 5 = -19 a =U -19 -5
2 a = - U24
2 a = - 12
- 3b + 8 = 24 +5b
- 3b – 5b = 24 – 8 – 8b = 16 b = U16 -8 b = -2
2m+5=3m+8 2m-3m=8-5 -1m=3 m=U3 -1 m=-3
19.7 – 3.4 x = -10+6.5x - 3.4x-6.5x = -10 -19.7 - 9.9x = -29.7 x = U-29.7 - 9.9
x = 3
U-1 Uy + U2U = - U2U – U6U y 2 6 3 4 U-1 Uy + U6U y = - U2U + U2 2 4 3 6 - U3U y = - U2 4 6 y = U-2/6 -3/4 y = U8 18 y = U4 9
15
Ecuaciones propuestas
3n – 9 = 15, -4x + 7 = 29, 20 – 12y = 80, - 9b + 8 = 53 + 6b,
- 4 + 8x = 36 + 3x, 15a + 27 = 25a + 67, 2x – 5 = 43 -3x -x,
-29 – 4y = 2y + 70 + 3y, -9y + 8 + 4y = 25y – 28 + 18y – 12,
2.7g + 3.8 = - 1.6, 3.5 + 3.1h = -4.9 h + 1.5, -4.5 – 1.6m = 3.1 + 0.3m U 1Ux – U2U = + U3Ux - U5
2 4 2 4
- U3Uy + U2U = U7U + U5Uy
6 3 3 6
-U4bU – U2U = U3U + U2bU -U1 5 4 6 3 2
- U3U + U6aU + U4U = U8aU + U2U – U1a 6 9 3 3 4 6
Ecuaciones resueltas con paréntesis
-3(5y+12)= 39
-15y-36 =39
y=U39+36 -15 y=U75 -15
y=-5
4(4x+6)=3(2x-18)
16
16x+24=6x-54
16x-6x=-54-24
10x=-78
x=-78/10
x=-7.8
Ecuaciones propuestas con paréntesis -5(7x + 4)= 90
7(4y-3)= 7
-6(5y+10)= 30
-9(4-6x)+ 9= 0
25-5x= 10(5+2x)
-4(3x-5)= 2(-x-5)
7(7y+3)= 21y-35
8x-76= -4(9x-8-2x)
1.5 (4x-2)= 2.5 (2x-4)
1/2(1/4x-1/3)= 2/5
Ecuaciones resueltas con denominador
-10x/5+20/10= 10x/20
-10x/5+15/10= -10x/20 (20)
-40x+30= -10x
-40x+10x= -30
-30x= -30
x= -30/-30
x=1
4x/3 – 2x/4 = 15/5
4x/3 – 2x/4 = 15/5 (60)
80x – 30x = 150
17
50x = 150
x= 150/50
x= 3
10/2x + 5/4 = -15/6x
10/2x + 5/4 = -15/6x (12x)
60 + 15x = -30
15x= -30 -60
15x= -90
x= -90/15
x= -6
Ecuaciones propuestas con denominador
4x/3 + 2x/6 = 5/4 , 6x/2 – 2x/4 = 25/5 , -3y/7 + 4y/5 = 39 , 8/2x + 10/5 = -12/6x ,
-4/2x + 4/3 = 8/4x ; -3a/2 + 4/6 +2a/3 + 2/12=0 ; -3y/15 +3/10 – 2y/5 + 3/2 = 0 ;
-5x/9 + 10/12 = 5x/6 ; 3y/8 – 2y/12 + 5/4 = 0 ; -2/3x + 2/6 = 4/2x
V.2.6 Sistemas de ecuaciones: Los sistemas de ecuaciones y sus diversos métodos de solución: reducción,
igualación, gráfico, sustitución, determinantes, representan un paso más hacia la
consolidación de los conocimientos algebraicos de los estudiantes y también una
temática de mayor complejidad para alumnos que han quedado rezagados en
temas previos.
De igual forma somos partidarios de trabajar estos sistemas tanto en su nivel de
planteamiento del sistema a partir del problema, como en el nivel de mecanización
del procedimiento de resolución.
Planteamiento y solución desde está lógica son dos partes inseparables del
proceso de enseñanza aprendizaje de esta clase de ejercicios.
18
MÉTODO GRÁFICO
El método gráfico por su naturaleza, demanda contar con antecedentes de
tabulación y de ubicación de coordenadas en un plano.
Para efectos de localización, tener presente que el eje de las x siempre es el eje
horizontal y el eje de las y siempre es el eje vertical.
Y también que los números + siempre van a la derecha en x y hacia arriba en y.
Los números- siempre van hacia la izquierda en x y hacia abajo en y.
Ejemplos propuestos de localización de puntos (2,8) ; (-5,6) ; (0,-6) ; (7,0) ; (-3,-2) ; (-5,9) ; (-1,1) ; (1,-1) ; (0,-2) ; (-2,0) ; (-5,-4) ;
(10,8) ; (-6,-7) ; (9,8) ; (7,-5) , (.5, 1.5) ; (-2.5,-3) (.2,-.8) (-.3,.6) (1/2, 3/2)
(-1/3, 4/3)
Si previamente se ha trabajado la ecuación de la recta y=mx+b ó xB2B-xB1B=m(yB2B-yB1B),
lógicamente será más sencillo aplicar este saber previo para encontrar los valores
de las variables correspondientes a un sistema de ecuaciones lineales de 2 o tres
ecuaciones con dos o tres incógnitas.
Es un método que por su naturaleza requiere mucha precisión en el trazo para
precisar el punto de cruce exacto entre las rectas.
Estos procedimientos gráficos si bien no son muy precisos, si resultan de gran
utilidad para la identificación y diferenciación de ecuaciones lineales y cuadráticas
y también como herramienta para que los estudiantes ubiquen y localicen puntos
de manera correcta en el plano.
MÉTODOS ALGEBRAICOS
19
Los métodos algebraicos para la solución de sistemas de ecuaciones aportan
precisión y dependiendo del sistema a resolver podrá preferirse y aplicarse uno u
otro método.
Los sistemas de ecuaciones suelen resultar como ya dijimos, ejercicios de una
complejidad intermedia y de difícil comprensión para sectores significativos de
estudiantes.
Es recomendable comenzar con sistemas sencillos y con resultados en números
enteros, con la finalidad de que primero se interiorice el método. Se trata entonces
de poner primero el acento en el procedimiento y después aumentar
progresivamente la complejidad hasta donde las propias capacidades de
comprensión y resolución de los estudiantes lo permitan.
Si lo que nos interesa es el método o procedimiento de resolución, entonces no
hay que desviar la atención o concentración del alumno en el inicio, hacia
ejercicios que requieran combinar diversos contenidos y procedimientos con
grados considerables de dificultad.
Primero entonces es la ubicación de pasos y la comprensión y aplicación de los
mismos en ejercicios simples. Y después la introducción de elementos o
modalidades adicionales que vayan desafiando la capacidad del estudiante.
La predisposición mental es sin duda factor importante para el logro de resultados
en cualquier proceso cognitivo y en la matemática esto por supuesto no es la
excepción.
La acumulación progresiva de temáticas no entendidas y su uso combinado en
nuevos contenidos, sin su adecuada comprensión previa, sólo genera confusión,
parálisis y predisposición negativa hacia el objeto de estudio.
20
Para evitar ello es importante la exploración en el mismo proceso, de las
condiciones concretas que presentan los alumnos y para mejorar los resultados es
condición el ir retomando de manera paralela y complementaria aquellos temas
que el alumno desconoce o no domina, y que se requieren aplicar o que fungen
como base o herramienta en los nuevos conocimientos.
Los métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones básicamente
persiguen el generar las condiciones para poder trabajar con una sola incógnita a
la vez, determinando su valor y pasando a calcular el valor de la o las otras
incógnitas de una en una, en forma sucesiva.
De igual manera el desafiar al estudiante, forzándolo incluso al máximo de su
capacidad para realizar cálculos y operaciones mentales cotidianamente, resulta a
mi juicio fundamental para intensificar el progreso intelectual y académico.
Las tareas son un recurso de práctica útil y necesaria, siempre que efectivamente
se verifique su correcta realización y se corrija cada clase aquello que lo amerita.
Es a mi juicio conveniente acostumbrar a los alumnos a la revisión puntual de su
tarea cada clase y a que realicen la corrección y de ser el caso el complemento de
la misma, antes de iniciar la siguiente actividad académica. Lo anterior con la
finalidad de generar disciplina y rigor en el trabajo académico.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN (procedimiento)
2x + y =7
x - 2y=1
a) Despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones
y=7-2x
21
b) Sustituir el valor de la incógnita despejada, en la otra ecuación y resolverla.
x -2(7-2x)=1
x -14+4x=1
5x=1+14
5x=15
x=15/5
x=3
c) Sustituir el valor encontrado en la ecuación despejada inicialmente.
y=7-2x
y=7-2(3)
y=7-6
y=1
La comprobación en ecuaciones resulta un elemento útil para certificar nuestros
resultados. Sin embargo en alumnos rezagados en la materia se vuelve un
elemento de mayor confusión. Se dan los casos de soluciones correctas y
comprobaciones equivocadas, que orillan al estudiante a un clima de duda.
Una forma sencilla de resolver esto, cuando las condiciones se prestan es
propiciar el cálculo mental para cotejar la congruencia de los valores encontrados,
con los planteamientos algebraicos originales. La comprobación mental puede
también apoyarse anotando arriba del término de cada ecuación su resultado o
valor parcial para optimizar la precisión.
MÉTODO DE IGUALACIÓN (Procedimiento)
a + b = 30
a - b = 10
a) Despejar una de las incógnitas de ambas ecuaciones
a = 30 - b
a = 10 + b
22
b) Igualar los valores obtenidos de los despejes y resolver
30-b= 10+b
-b-b=10-30
-2b=-20
b= -20/-2
b=10
c) Sustituir en una de las ecuaciones despejadas inicialmente y resolver.
a=30-b
a=30-10
a=20
MÉTODO DE ELIMINACIÓN O SUMA Y RESTA
2x + y =52
3x - y =38
a) Eliminar una de las incógnitas sumando o restando las ecuaciones
2x + y =52
3x - y =38
2x + y =52
3x - y =38
5x =90
b) Resolver la ecuación resultante de la suma
5x=90
x=90/5
x=18
c) Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y resolver.
2x+y=52
2(18)+y=52
36+y=52
y=52-36
y=16
23
Es importante advertir que la aplicación de este método implica en diversas
ocasiones el manejo de conocimientos básicos relativos a los múltiplos y divisores,
para poder multiplicar o dividir las ecuaciones de tal forma que al sumarlas o
restarlas se elimine una de las incógnitas.
El mínimo común múltiplo se trabaja desde la educación primaria, por ejemplo en
la suma y resta de fracciones con diferente denominador. Su cálculo de relativa
sencillez implica la descomposición de un conjunto de números en sus factores
primos.
EJEMPLOS DE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
10 4 5 2
5 2 5 2
5 1 5 5
1 1 1 2X2X5=20
9 3 6 2
9 3 3 3
3 1 1 3
1 1 1 2X3X3=18
(ESTE PROCEDIMIENTO DEL M.C.M. SE APLICA DESDE LA SUMA Y RESTA
DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR)
Sistemas de ecuaciones propuestas. 2x + 3y = 18 4x – 2y = 4 4x + 8y = 36 5x – 6y = -9
24
6x + 9y = -3 4x – 6y = -2 3x – 4y = -1 2x + 5y = -16 4x – 2y = 28 3x – 4y = 31 2x + 3y = 13 3x + 4y = 15 8x + 10 y = 2 9x – 12y = -21 4x – 5y = 2 2x – 3y = -2 5x + 7y = -62 7x + 4y = -52 3x + 2y = 57 4x – 3y = 8 2x + 3y = 3 5x – 2y = -21 3a – 4b = 9 -2a + 6b = -26 5x + 3y = -12 -4x – 3y =15 -7x – 4y = -18 8x – 5y = -56 9a + 10 b = 38 12a + 11b = 46 8x – 2y = 12 4x – 4y = 36 9x + 3y = -12 12x + 5y = -29 14x – 9y = 23 17x – 15y = 32
25
2x + 4y = 80 3x – 5y 45 5x – 10y = 200 6x + 8y = -360
V.2.7 Ecuaciones de 2º grado: A nivel secundaria la resolución de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
representa un punto problemático, en particular por los referentes cognitivos
previos que se requieren para su adecuada solución.
Comenzando por cuestiones básicas como la tradicional raíz cuadrada y por
supuesto los diferentes casos de factorización.
La aplicación de la factorización algebraica como método de resolución de
ecuaciones cuadráticas, a pesar de su relativa facilidad, también presenta
dificultades para un número significativo de estudiantes de secundaria. Veamos
ejemplos de ecuaciones cuadráticas elementales que se pueden resolver con sólo
despejar y realizar operaciones.
Ecuaciones cuadráticas de la forma axP
2P+ c = 0 resueltas.
xP
2P – 16 = 0
x = √16
xB1B = 4 xB2B = - 4 xP
2P – 64 = 0
x = √64
26
xB1B = 8 xB2B = - 8 xP
2 P= 144
x = √144
xB1B = 12 xB2B = -12 2xP
2P – 50 = 0
X = √50/2
X = √25
xB1B =+ 5 xB2B = -5
Ecuaciones cuadráticas de la forma axP
2P+ c = 0 propuestas.
XP
2P – 9 = 0
XP
2P – 36 = 0
XP
2P –81= 0
XP
2P – 121 = 0
XP
2P – 225 = 0
XP
2P – 400 = 0
XP
2P – 625 = 0
XP
2P – 900 = 0
2XP
2P – 50 = 0
3XP
2P – 48 = 0
-2XP
2P + 18 = 0
-4XP
2P +400 = 0
5XP
2P – 20 = 0
27
XP
2P = 289
XP
2P = 729
2XP
2P = 450
-3XP
2P = -507
EJEMPLOS DE FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ecuaciones de segundo grado de la forma axP
2P + bx = 0 por factorización
xP
2P – 2x = 0 Factorizando por factor común.
( x ) ( x – 2) = 0 Igualando cada paréntesis a 0.
x= 0 x – 2 = 0 Resolviendo cada ecuación.
xB1B= 0 xB2B = +2
xP
2P – 6x = 0
( x ) ( x – 6) = 0
x= 0 x – 6 = 0
xB1B= 0 xB2B = +6
2xP
2P – 18x = 0
( x ) ( 2x – 18) = 0
x= 0 2x – 18 = 0
xB1B= 0 xB2B = 18/2
xB2B= 9
-3xB2B + 75x = 0
( x ) ( -3x + 75) = 0
x= 0 -3x + 75 = 0
xB1B= 0 xB2B = -75/-3
xB2B= 25
28
Ecuaciones de segundo grado de la forma axP
2P + bx = 0 por factorización
propuestas.
xP
2P – 5x = 0
xP
2P – 9x = 0
xP
2P – 13x = 0
xP
2P – 4.5x = 0
xP
2P – 7.9x = 0
xP
2P – ½ x = 0
xP
2P – ¼ x = 0
2xP
2P – 20x = 0
-3xP
2P + 36x = 0
-4xP
2P – 60x = 0
5xP
2P + 75x = 0
-xP
2P – 28x = 0
-xP
2P + 47x = 0
77xP
2P – 231x = 0
-125xP
2P – 625x = 0
Ecuaciones de segundo grado de la forma xP
2P + bx + c = 0 propuestas.
xP
2P – 2x -15 = 0
xP
2P + 2x - 8 = 0
xP
2P – 10x + 24 = 0
xP
2P – 11x + 30 = 0
xP
2P + 5x + 6 = 0
xP
2P + 9x + 20 = 0
xP
2P + 7x + 12 = 0
xP
2P – 9x + 18 = 0
xP
2P – x - 20 = 0
xP
2P + x - 42 = 0
xP
2P – 17x + 72 = 0
29
xP
2P – 15x + 56 = 0
xP
2P – 3x -54 = 0
xP
2P – 4x -45 = 0
xP
2P – 5x -84 = 0
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR LA FÓRMULA
GENERAL
De igual manera la resolución por la Formula General implica un reto de relativa
dificultad al tener que manejar un procedimiento elaborado de identificación y
sustitución de valores y la posterior resolución de operaciones.
Resolver la ecuación 2xP
2P-3x -2=0
a=2
b=-3
c=-2
x ‐b √ bP
2P ‐4ac/2a
x ‐ ‐3 √ ‐3P
2P ‐42 ‐2 /2 2
x 3 √ 9 16/4
x 3 √ 25/4
30
xB1B 3 5/4
XB1B =8/4
XB1B =2
XB2B 3‐5/4
XB2B= -2/4
XB2= B-1/2
Resulta importante precisar a los estudiantes las razones por las cuales una
ecuación lineal es una recta en un plano cartesiano y la ecuación de segundo
grado representa una curva. Ello permite comprender mejor por qué una ecuación
de primer grado con una incógnita tiene un solo resultado en x y una ecuación
cuadrática tiene dos soluciones.
Ecuaciones de segundo grado propuestas por fórmula general. 2xP
2P + 8x + 6 = 0 , 3xP
2P + 18x + 24 = 0 , 2xP
2P – 8x + 8 =0 , 4xP
2P – 12x -40=0 , 2xP
2P +
18x + 40 = 0 , 3xP
2P – 27x + 60 = 0 , 5xP
2P – 5x – 10= 0 , 6xP
2P – 38x +12 = 0 , -2xP
2P +
10x – 12 = 0 , -3xP
2P + 30x – 63 = 0 , 8xP
2P – 68x + 32 = 0 , 7xP
2 P+ 28x – 35 = 0 , -4xP
2P +
28x – 48 = 0 , 2xP
2P – 13x – 45 = 0 , 3xP
2 P– 12x + 9 = 0
31
V.2.8 Signos de agrupación: Un tema que tradicionalmente resulta complicado es el manejo y eliminación de
signos de agrupación, no tanto por su exigencia de profundidad, sino por la alta
demanda de orden y concentración en la solución de ejercicios. Situación que se
combina con los requerimientos de conocimientos básicos previos de manejo de
signos y de operaciones de suma, resta, multiplicación y división algebraicas. En
este caso lo recomendable es iniciar con ejercicios no muy largos y que combinen
el uso de los distintos signos en específico los tradicionales paréntesis, los
corchetes y las llaves. Y en posteriores ejercicios introducir el denominado vínculo
o barra que tiene la función de un paréntesis.
Y el criterio de resolución tradicionalmente recomendado “de adentro hacia fuera”
de la expresión algebraica puede resultar eficaz siempre que se aplique con
criterio, pues hay expresiones que permiten resolver y eliminar simultáneamente
dos o más zonas de la expresión, con signos de agrupación.
Ejemplos resueltos de signos de agrupación 2a - { 4[ 3(a – 5)] } =
2a - { 4[ 3a – 15] }
2a - { 12a – 60 }
2a - 12a + 60
-10a +60
-4(2x – 5y) - { -7x + 4[ -3x+3( -2x +2y]-4x} =
-4(2x – 5y) - { -7x + 4[ -3x -6x + 6y] -4x}
-4(2x – 5y) - { -7x + 4[ -3x -6x + 6y] -4x}
-4(2x – 5y) - { -7x - 12x - 24x + 24y -4x}
-8x + 20y +7x + 12x + 24x - 24y +4x
39x – 4y
32
Ejemplos propuestos de signos de agrupación 5x - { 4[ 2(x – 5)] } = ; -3a - { 2[ 5(a-4) ] } = ; 4x + { -3[ -6(-2x+3) ] } = ; -
5b -2{ -7[ -5(2a-4b) ] +3a } ; -3(-4a+5b) - { -2a + 3[ -5a -4( 2a– 2b] +4b} =
GEOMETRÍA
La geometría representa otro campo fundamental de la matemática y es objeto de
estudio e indagación por parte de docentes y estudiantes en los diferentes niveles
educativos.
Desde su origen en el antiguo Egipto y en otras civilizaciones de primera
generación, este campo ha resultado fundamental y ha mostrado pronunciados
progresos incluyendo los aportes de NicolasLobatchevsky.
“Con su obra <Pangeometría> este geómetra ruso rompió definitivamente con el
pasado euclidiano. Criticado duramente, nadie lo entendió ni le hizo caso hasta
que su memoria fue traducida al francés en 1837 y al alemán en 1840. Para él las
paralelas eran <rectas coplanarias que no se encuentran por mucho que se les
prolonguen>”TPF
3FPT
El tradicional trazo de polígonos regulares en la circunferencia, resulta útil para
que el estudiante progrese en la comprensión de los grados como unidad de
medida aplicable a ángulos, sin olvidar que los radianes también pueden servir
para tal efecto.
Y ya ubicados en la circunferencia y en su relación con ángulos, si este contenido
se trabaja en la educación primaria correctamente, será menos problemático para
el estudiante abordar posteriormente todo lo referente a ángulos centrales,
inscritos y semi-inscritos. Y su relación con los arcos o segmentos de la propia
circunferencia.
T3T BALDOR, Aurelio. Geometría plana y del espacio: con una introducción a la trigonometría. Publicaciones Cultural. México 1992 P 160
33
De igual manera y continuando con ángulos tenemos todo lo referente al triángulo,
que da lugar por si sólo a un espacio de la matemática.
V.2.9 Teorema de Pitágoras: La aplicación del teorema de Pitágoras que establece que en todo triángulo
rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa, es un tema que de manera tradicional presenta problemas de
comprensión en secundaria. Particularmente por su desconocimiento de los
elementos del triángulo: catetos e hipotenusa. Y claro por no saber despejar
ecuaciones sencillas.
En estos casos lo fundamental es trabajar desde la base el conocimiento
algebraico, regresando de manera complementaria y en el momento necesario a
explicaciones previas, con el objetivo de poder abordar la resolución del tema
original en cuestión.
EJEMPLOS RESUELTOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.
a=3b=4c=x
aP
2P+ bP
2 P=cP
2
32+42=cP
2
9 + 16 = cP
2
25 = cP
2
5 = c
a=8b=6c=x
aP
2P+ bP
2P =cP
2
82+62=cP
2
64+36=cP
2
100=cP
2
10 = c
34
a=24b=xc=40
cP
2P –aP
2P=bP
2
40P
2P -24P
2P =bP
2
1600-576=bP
2
1024=bP
2
32 = b
EJEMPLOS PROPUESTOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.
a=9 b=12 c=x, a=15 b=20 c=x, a=21 b=28 c= x, a=30 b=x c=50, a=x b=36 c=45,
a=12 b=16 c=x, a=x b=24 c=30, a=36 b=x c=60, a=60 b=80 c =x, a=90 b=x
c=150, a=x b=400 c=500, a= 42 b =56 c=x, a=39 b=x c=65
V.2.10 Funciones trigonométricas: Aumentando algo la complejidad entramos a la aplicación de funciones
trigonométricas en la medición y solución de problemas. La distinción y la
selección correcta de la función a partir de los elementos conocidos, es uno de los
aspectos básicos que debe realizar el estudiante.
Sabiendo elegir la función correcta y de manera complementaria, detectar el valor
(en tablas o calculadora) de la función del ángulo con el que se está trabajando,
será más simple la resolución del problema.
Aquí el docente encuentra dificultades diversas: a) desconocimiento de las
funciones trigonométricas por parte del estudiante b) desconocimiento de los
elementos del triángulo c) problemas de comprensión y abstracción para
seleccionar la función trigonométrica correspondiente.
35
SENO DE UN ÁNGULO= CATETO OPUESTO (AL ÁNGULO) /HIPOTENUSA
COSENO DE UN ÁNGULO=CATETO ADYACENTE (AL ÁNGULO)/HIPOTENUSA
TANGENTE DE UN ÁNGULO=CATETO OPUESTO/CATETO ADYACENTE
COTANGENTE DE UN ÁNGULO=CATETO ADYACENTE /CATETO OPUESTO
SECANTE=HIPOTENUSA/CATETO ADYACENTE
COSECANTE=HIPOTENUSA/CATETO OPUESTO
Ejemplos resueltos de funciones trigonométricas co= 3 ca=4 h=5
seno=3/5
coseno=4/5
tangente=3/4
cotangente=4/3
secante=5/4
cosecante=5/3
co=16 ca=18 h=20
seno=16/20
coseno=18/20
tangente=16/18
cotangente=18/16
secante=20/18
cosecante=20/16
Ejemplos propuestos de funciones trigonométricas co=5 ca=6 h=7 , co=8 ca=9 h=10 , co=25 ca=30 h=35 , co=40 ca=50 h=60 ,
co=34 ca=39 h=43 , co=1.5 ca=2.5 h=3.5 , co=2.3 ca=2.7 h=3.4 , co=12.8 ca=14.6
h=17.4 , co=1/2 ca=1/3 h=1/4 , co=3P
2Pca=4P
2P h=5P
2
36
APLICACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Un error muy común es trabajar una amplia gama de contenidos de la matemática,
utilizando la resolución de volúmenes importantes de ejercicios abstractos, sin su
aplicación directa y concreta en la solución de problemas. O en el mejor de los
casos se resuelven cantidades de ejercicios y sólo de manera complementaria o
adicional, se aplican en algunos problemas.
Sin embargo no menos equivocada es la posición ahora algo de moda, de ver una
matemática superficial a partir únicamente de problemas concretos muy simples,
sin entrar a la comprensión y la práctica necesaria para adiestrarse en este vasto y
complejo campo del conocimiento.
La cuestión no es entonces elegir entre problemas simples, sin dominio sólido de
los procedimientos de resolución. Ni tampoco conocimiento de procedimientos
abstractos sin la aplicación en problemas concretos.
Otro campo de la matemática que se trabaja desde la formación básica es la
Geometría. Este vasto e interesante campo presenta también importantes desafíos
para los estudiantes; desde cuestiones como el cálculo de perímetros, áreas y
volúmenes de diversas figuras, hasta cuestiones técnicas como el trazo de
bisectrices, mediatrices, medianas, etc.
En la geometría incluso pueden manifestarse carencias o déficits más básicos
como la coordinación para la realización correcta y precisa de trazos. Resulta
frecuente que los alumnos con insuficiencias en español y matemáticas, también
presenten trazos descuidados y descoordinados.
También en el nivel abstracto pueden presentarse algunas confusiones,
particularmente con el uso de diversas unidades de medida, situación que se
37
vuelve más caótica en física cuando en matemáticas no se ha trabajado
sólidamente.
“El considerable progreso habido en la ciencia y en la técnica durante los últimos
cien años procede en gran parte del desarrollo de las Matemáticas. La rama de la
Matemática conocida por Cálculo integral y diferencial es un instrumento natural y
poderosos para atacar múltiples problemas que surgen en Física, Astronomía,
Ingeniería, Química, Geología, Biología y en otros campos incluyendo
recientemente algunos de Ciencias sociales.”TPF
4FPT
La ausencia de una tradición matemática en México dificulta las condiciones para
el surgimiento de una ciencia matemática sólida en el país, a la altura de naciones
europeas promedio o de grandes potencias en la materia: Alemania, Rusia,
Inglaterra. El desarrollo de la física, la química y la matemática ha recibido
grandes impulsos históricos en esas latitudes.
V.2.11 Sistemas de numeración. También tradicional en secundaria y bachillerato es el estudio de diversos
sistemas de numeración, tanto de culturas antiguas, como en diferentes bases.
Como la numeración actual en base 10, o la binaria o la vigesimal en base 20.
“Los ordenadores han puesto muy de moda el sistema de numeración binario o
base 2 (se utilizan los dígitos 0 y 1) y el sistema de numeración en base 16 o
hexadecimal ( se utilizan los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F).
En el siglo XVII el matemático Gottfried Wilhelm Leibniz abogó por el uso del
sistema binario. Se utiliza el sistema de numeración binario porque la información
almacenada en última instancia en un medio que sólo admite dos estados posibles
(cargado o descargado) y estos dos estados se asocian al cero y al uno. Los
informáticos llaman a eso bit (derivado de binarydigit). T4T APOSTOL, Tom. Calculus. Reverte. Barcelona 1972. P2
38
Se utiliza el sistema de numeración hexadecimal porque los informáticos tratan la
información agrupando los bits de 4 en 4, por lo tanto hay 16 estados posibles
2P
4P.”TPF
5FPT
Ejemplos resueltos sistemas de numeración. 79 a base 2 = 1001111B2
79 ÷ 2 = 39, residuo 1
39 ÷ 2 = 19, residuo 1
19 ÷ 2 = 9, residuo 1
9 ÷ 2 = 4, residuo 1
4 ÷ 2 = 2 residuo 0
2 ÷ 2 = 1 residuo 0
(Se toma el último cociente o resultado y todos los residuos)
289 a base 3 = 101201B3
289 ÷ 3 = 96, residuo 1
96 ÷ 3 = 32, residuo 0
32 ÷ 3 = 10, residuo 2
10 ÷ 3 = 3, residuo 1
3 ÷ 3 = 1, residuo 0
347 a base 5 = 2342B5
347 ÷ 5 = 69, residuo 2
69 ÷ 5 = 13, residuo 4
13 ÷ 5 = 2, residuo 3
6987 a base 7 = 26241B7
6987 ÷ 7 = 998, residuo 1
998 ÷ 7 = 142, residuo 4
142 ÷ 7 = 20, residuo 2 T5T UMAÑA, Yáñez José Luis. Nociones básicas de álgebra. UNAM. México, 2001. P. 53
39
20 ÷ 7 = 2, residuo 6
1001111B2 B a base 10 = 79
1 (2P
0P) = 1x 1 = 1
1 (2P
1P) = 1 x 2= 2
1 (2P
2P) = 1 x 4 = 4
1 (2P
3P) = 1x 8 = 8
0 (2P
4P) = 0 x16= 0
0 (2P
5P) = 0 x 32= 0
1 (2P
6P) = 1x64 = 64
(Sumando resultados)
2342B5B a base 10 = 347
2 (5P
0P) = 2 x 1 = 2
4 (5P
1P) = 4 x 5 = 20
3 (5P
2P) = 3 x 25= 75
2 (5P
3P) =2 x 125=250
Ejemplos propuestos sistemas de numeración. (De base 10 a otras bases) 68 a base 2 ; 89 a base 2 ; 124 a base 2 ; 157 a base 2 ; 169 a base 2 ; 234 a
base 3 ; 256 a base 3 ; 278 a base 3 ; 299 a base 4 ; 325 a base 4 ; 348 a base 5 ;
456 a base 5 ; 678 a base 5 ; 760 a base 6 ; 851 a base 6 ; 987 a base 7 ; 2345
a base 7 ; 3567 a base 8 ; 4589 a base 8 ; 7896 a base 9 ; 9876 a base 9
Ejemplos propuestos sistemas de numeración. (De otras bases a base 10) 1100111B2B ; 10011100B2 B; 10000111B2B ; 111000B2B ; 10101010B2B ; 102012B3B , 120201B3B ;
210210B3 B; 13203B4B ; 230310B4B ; 34210B5B ; 1043102B5 B; 20431B5B ; 25403B6B ;
51064B6B25426B7B; 123056B7B 1020364B7B ; 3076B8B ; 17652B8B ; 38064B9B ; 7486B9
V.2.12 Conversiones: Igual tema de gran interés para la matemática y para otras ciencias, es el referente
a las conversiones de unidades y sus aplicaciones. Aquí cabe hablar de una
amplia gama de posibilidades, pero lo fundamental es que las conversiones hacen
posible la comparación y el establecimiento de equivalencias entre unidades de
40
medida de diferentes sistemas de medición y también el trabajar con múltiplos y
submúltiplos de una misma unidad de medida.
La medición es uno de los elementos fundamentales de la matemática,
potenciando su sentido. Las conversiones se comienzan a trabajar desde los
últimos grados de la educación primaria y su uso y estudio se profundiza en
secundaria y bachillerato.
Aquí los problemas más comunes que el estudiante encuentra son: el manejo
incorrecto de la proporcionalidad directa o regla de 3, la insuficiente destreza en el
manejo de tablas de equivalencias.
Ejemplos resueltos de conversiones.
7 pulgadas a centímetros.
1 pulgada ----- 2.54 cm
7 pulgadas ----- x = 17.78 cm
5 galones a litros.
1 galón -------3.7854118lts
5 galones -------- x= 18.9270590 lts
6 millas a kilómetros.
1 milla --------1.609344 km
6 millas ------- x= 9.656064 km
9 libras a kilogramos.
1 libra -------- .45359237kg
9 libras ------- x= 4.08233133 kg
4 kilogramos a libras.
1 kilogramo ------- 2.20462262 libras
4 kilogramos -------x = 8.81849048 libras
41
8 litros a galones.
1 litro ----------- .264172051 galones
8 litros --------- x= 2.113376408
5 kilómetros a millas.
1 kilómetros ---------- .621371192 millas
5 kilómetros ----------- 3.106855960 millas
8 centímetros a pulgadas.
1 centímetros -------- .3937008 pulgadas
8 centímetros --------- 3.1496064 pulgadas
Ejemplos propuestos de conversiones. 3 pulgadas a centímetros; 8 pulgadas a centímetros; 6 centímetros a pulgadas; 9
centímetros a pulgadas; 3 galones a litros; 7 galones a litros; 4 litros a galones; 6
litros a galones; 5 millas a kilómetros; 8 millas a kilómetros; 3 kilómetros a millas; 9
kilómetros a millas; 5 kilogramos a libras; 7 kilogramos a libras; 6 libras a
kilogramos; 8 libras a kilogramos.
V.2.13 Escritura y lectura de macro y micro cantidades De igual forma es importante que de manera paulatina se adiestre el estudiante en
la lectura y la escritura de cantidades o valores grandes y pequeños.
Resulta muy común que alumnos de grados avanzados de secundaria o
bachillerato tengan problemas con la escritura correcta de cantidades grandes, lo
que combinado con la también tradicional deficiencia en la comprensión de las
posiciones en el sistema decimal puede llevarnos a casos de verdadero
analfabetismo matemático.
Dicha temática podría abordarse de avanzar favorablemente si se trabaja de
manera sólida y profunda desde los últimos grados de la primaria y se va
42
reforzando e incrementando en años escolares posteriores. El conocimiento y la
conciencia del potencial y los límites de la matemática para formular valores de
gran magnitud, permiten clarificar la trascendencia del campo y también es un
dato para comenzar a ubicar las implicaciones de su escaso o pobre dominio y
desarrollo.
Las micro cantidades también han adquirido una poderosa vigencia en la medición
de partículas. Las macro cantidades se utilizan por ejemplo, para medir grandes
distancias o altas velocidades. De sobra está el resaltar, la relevancia de las micro
y macro cantidades para la física y la química, que hacen uso directo de este
conocimiento elemental, en la medición de las partículas subatómicas, en las
propiedades de los elementos, y en magnitudes como el tiempo, la velocidad, la
distancia.
Es recomendable abordar el conocimiento de números grandes utilizando un
criterio que facilite la comprensión por parte del alumno. Por ejemplo, dejar claro
que los millones comienzan después de las 6 cifras, los billones comienzan
después de las 12 cifras, los trillones después de las 18 cifras, los cuatrillones
después de las 24 cifras y así sucesivamente.
También conviene tener muy claro que los millonésimos están en la posición 6
después del punto decimal, los billonésimos en la posición 12 después del punto y
los trillonésimos en la posición 18 después del punto.
Además es importante precisar las diferencias con la forma de contar y la
nominación numérica utilizada en otros sitios. Por ejemplo, en Estados Unidos, le
llaman billón a los mil millones, en nuestro sistema denominamos billón al millón
de millones
43
Ejemplos de macro cantidades
Millones
7 315 234 ; 49 678 125 ; 678 456 328 ; 9879 564 378 ; 37 278 234 564
987 345 567 259
Billones
9 897 567 546 789 ; 45 678 789 456 203 ; 708 234 567 897 234 ;
4563 345 278 234 768 ; 27 896 267 896 453 607 ; 564 349 256 789 234 505
Trillones
5 897 567 456 345 889 547; 47 987 607 560 400 563 789;
256 786 405 345 678 210 567; 6709 120 203 708 506 078 094;
87 980 890 508 678 546 800 700
Ejemplos de micro cantidades
Millonésimos
.000 008; .987 455 ; .298 129
Billonésimos
.000 000 000 008; .768 246 234 567; .289 456 890 245
Trillonésimos
.000 000 000 000 000 007; .890 789 567 458 456 789;
.689 756 435 678 784 563
V.2.14 Notación científica En la notación científica sucede como con la raíz cuadrada, pues son temas que
se abordan y utilizan de manera intermitente durante la formación del estudiante.
Sin embargo al igual que el cálculo de raíces, la notación es una herramienta de
aplicación necesaria en otros procedimientos matemáticos y al demandarse su
uso, resalta lo poco que se práctica cotidianamente.
El desafío fundamental para el estudiante en la notación científica es el adecuado
manejo de los exponentes de la base 10, que se determinan a partir de la correcta
ubicación de posiciones.
44
Notación científica. Problemas resueltos.
3 x 10P
6 P= 3 000 000
5 x 10P
12P = 5 000 000 000 000
7 x 10P
27 P= 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000
12 x 10P
2P = 1200
75 x 10P
4P = 750 000
157 x 10P
5P = 15 700 000
2.5 x 10P
2P = 250
3.5 x 10P
3P = 3 500
4.51 x 10P
4 P= 45 000
6.519 x 10P
6P = 6 519 000
2 x 10P
-7P = .000 000 2
5 x 10P
-16P= .000 000 000 000 000 5
8 x 10P
-18P = .000 000 000 000 000 008
1.5 x 10P
-2P = .015
4.5 x 10P
-4PB B= .00045
5.87 x 10P
-7P = .000000587
25.4 x 10P
-3P = .0254
348.9 x 10P
-5P = .003489
Notación científica. Problemas propuestos.
4 x 10P
5P = , 9 x 10P
8P = , 7 x 10P
12P = , 8 x 10P
15 P= , 5 x 10P
22P = 13 x 10P
9P = , 79 x 10P
12P =,
245 x 10P
13 P= , 3.8 x 10P
2 P= , 4.7 x 10P
3P = , 9.76 x 10P
4P = , 5.897 x 10P
7P = , 3 x 10P
-6P = , 5
x 10P
-9P = , 9 x 10P
-14P = , 2.4 x 10P
-2P =, 3.6 x 10P
-5P = 4.58 x 10P
-6P = , 16.7 x 10P
-3 P=, 245.8 x
10P
-5P =
V.2.15 Funciones En las funciones resulta común que el estudiante procure su cálculo mental, sin la
sustitución escrita correspondiente. Para evitar errores de cálculo en los valores,
se deduce recomendable la escritura del procedimiento completo de sustitución y
operaciones para cada valor, excepto con estudiantes hábiles y precisos en sus
cálculos mentales.
45
Otros aspectos a cuidar son la correcta localización de los puntos y el que se den
los valores suficientes y adecuados de x, para el trazo de la gráfica de la función.
En el entendido de que funciones cuadráticas, cúbicas y exponenciales, requieren
un mayor número de puntos para su adecuada identificación gráfica. Para
funciones lineales suele funcionar por ejemplo dar los valores 1, 0, -1, aunque
pueden aumentarse a discreción.
Ejemplos de funciones resueltas y = 2x + 4
x = 2, y = 2(2) + 4, y = 8
x = 1, y = 2(1) + 4, y = 6
x = 0, y = 2(0) + 4, y = 4
x = -1, y = 2(-1) + 4, y = 2
x = -2, y = 2(-2) + 4, y = 0
(Graficar puntos en plano)
y = -3x – 5
x = 2, y = -3(2) -5, y = -11
x = 1, y = -3(1) -5, y = -8
x = 0, y = -3(0) -5, y = -5
x = -1, y = -3(-1) -5, y = -2
x = -2, y = -3(-2) -5, y = 1
y = -2xP
2
x = 2, y = -2(4), y = -8
x = 1, y = -2(1), y = -2
x = 0, y = -2(0), y = 0
x = -1, y = -2(1), y = -2
x = -2, y = -2(4), y = -8
46
Ejemplos de funciones propuestas y = 2x + 3 ; y = 3x + 5 ; y = 5x -2 ; y = 6x – 4 ; y = -2x +4 ; y = -4x + 6 ; y = -5x – 2 ;
y = -6x – 8 ; y = -3x – 6; y = 2x -10 ; y = 2xP
2P ; y = -3xP
2P ; y = 3xP
2 P; y= 2xP
3 P ; y = -2xP
3P
V.2.16 Logaritmos y antilogaritmos “John Napier, lord escocés quien no era matemático, inventó los logarítmos a fines
del siglo XVII. Fue él quien acuñó el término “logarítmo” de las palabras griegas
logos, relación y arithmos, número o potencia”TPF
6FPT
Logaritmos, ejemplos resueltos. Log 725 = 2.8603
Log 9732 = 3.9882
Log 1917 = 3.2826
Log 311 = 2.4928
Log .0005284 = 4.7229
Log .0809 = 2.9079
Log .47 = 1.6721
Log .00007241 = 5.8598
Logaritmos, ejemplos propuestos. Log 457 = , Log 786 = , Log 598 = , Log 79 , = , Log 97 = , Log 2345 = , Log 4538
= , Log 7541 = , Log 8062 = , Log 9659 = , Log .0567 = , Log .00345 = , Log
.0004572 = , Log .000007689 = , Log .00009671 = , Log .453 = , Log .6789 = , Log
.2134 = , Log .0067 =, Log .00056 =, Log .0000009879 = , Log .0003468 = , Log
.000000009999 =, Log .00000000006789, Log .9897 =
Antilogaritmos, ejemplos resueltos. Antilog 2.8126 = 649.5
Antilog 3.2192 = 1657
Antilog 4.198 = 14780
T6T ZILL, Dennis G. y DEWAR, Jaqueline M. (2008). Precálculo con avances de cálculo. Mc Graw Hill México. P 191.
47
Antilog 0.243 = 1.750
Antilog 1.318 = 20.80
Antilog 3.7168 = .005210
Antilogaritmos ejemplos propuestos. Antilog 2.4567 = , Antilog 3.5423 = , Antilog 4. 345 = , Antilog 5.8796 = , Antilog
3.789 = , Antilog 4.5634 =, Antilog 6. 7896 =, Antilog 5. 5432 = , Antilog 7. 5789 = ,
Antilog 2. 574 = , Antilog 3.789 = , Antilog 4.675 = , Antilog 5. 468 = , Antilog
7.679 = , Antilog 2.7658 = , Antilog 4.5674 = , Antilog 3.5432 = , Antilog 4.6054 =
, Antilog 6.6543 = , Antilog 7.5674 , Antilog 5.5675 = , Antilog 8.8999 =, Antilog
9. 9898 = , Antilog 6.980 = , Antilog 1.8976 = , Antilog 1. 6548 =
V.2.17 ÁNGULOS El tema de ángulos dentro del vasto campo de la geometría representa toda una
vertiente que parte desde la elemental identificación delas diferentes clases o tipos
de ángulos, hasta manifestaciones más complejas en el triángulo, en los polígonos
regulares (ángulos centrales e internos), en la circunferencia (ángulos central,
inscritos y semi-inscritos).
“Hay dos maneras de definir un ángulo; una de ellas es estática, que se
utiliza en geometría plana, donde un ángulo se define como el conjunto de
puntos determinados por dos rayos (o segmentos de rectas), lB1 y B lB2B, cuyo
origen es común O. (…) La otra forma de definir un ángulo , la dinámica es
usada en la trigonometría. En esta se interpreta a los ángulos como
rotaciones de rayos (o semirectas). Así para formar un ángulo Ө, se
comienza con un lado, llamado lado inicial, en posición fija; después un
segundo lado llamado lado terminal, parte de la misma posición del lado
inicial y gira en el plano alrededor del vértice O hasta que alcance su
posición final”TPF
7FPT
T7T PRADO, Pérez Carlos Daniel, et, al. Precalculo. Enfoque de resolución de problemas. Pearson educación. México, 2006. Pp. 293-294
48
ÁNGULOS CENTRALES
ÁNGULOS INSCRITOS
ÁNGULOS SEMI-INSCRITOS
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
En este caso los alumnos presentan dificultades en los ejercicios combinados
conformados por distintos ángulos trazados en una misma circunferencia. La
recomendación didáctica es trabajar de manera analítica, primero con ángulos
simples y sus ejercicios correspondientes; y posteriormente comenzar e
incrementar su combinación.
Cuando de entrada nos encontramos con circunferencias que demandan la
identificación de la medida de múltiples ángulos, la sugerencia es coincidente:
realizar la descomposición en sus partes, para poder ir resolviendo.
ÁNGULO CENTRAL.
Su vértice es el centro de la circunferencia y mide lo mismo que el arco que lo
delimita.
ÁNGULO INSCRITO.
Su vértice es uno de los puntos de la circunferencia y mide la mitad del arco que lo
delimita.
ÁNGULO SEMIINSCRITO
Su vértice es uno de los puntos de la circunferencia, uno de sus lados se
encuentra inscrito a la circunferencia y mide la mitad que el arco que lo delimita.
El debate sobre el aprendizaje de las matemáticas implica entonces entrar a un
terreno de corte o de carácter epistemológico y en el que no parece haber acuerdo
o consenso posible. Por un lado existen modalidades que privilegian el desarrollo
49
de la habilidad para la resolución de operaciones y ejercicios. Estas posiciones
ponen especial atención en los procedimientos, en los métodos, fomentando su
estudio y su práctica de manera rigurosa. Dando resultados cuando se trabaja
bien, en el terreno de la capacidad concreta de resolución de ejercicios.
Y si bien no garantizan (porque por su enfoque no es su objetivo) de manera
directa el desarrollo de la habilidad de pensar sobre el propio ejercicio y sobre los
procedimientos y métodos, tampoco se descarta que ello se dé por sí mismo, de
manera natural en estudiantes con facilidad para esta clase de conocimientos. Y
aún incluso para aquellos a quienes no les es tan fácil, también resulta una buena
práctica intelectual el entender y aplicar los métodos, sin descartarse tampoco
niveles de reflexión sobre los mismos.
Sin embargo el principal problema de este enfoque es que en muchas ocasiones
el estudiante no encuentra el sentido o la aplicación concreta de las operaciones
que resuelve. Situación que no puede ser menospreciada porque es un factor de
desinterés y falta de comprensión.
Por otro lado existen modalidades para el aprendizaje de la matemática que
privilegian el razonamiento por encima del procedimiento. Para estas posiciones
es más importante la habilidad de pensar que la de resolver. Enfoque que ha
cobrado cierto auge y que fundamenta la idea de privilegiar las habilidades
intelectuales por encima de los contenidos.
Enfoque que hay que dimensionar adecuadamente, porque por un lado se
propone de manera explícita propiciar el pensamiento; pero por el otro parece
olvidar o por lo menos relegar a un plano secundario el objeto de estudio sobre el
que adquiere sentido y posibilidad objetiva el desarrollo de dicho pensamiento.
Los libros de texto son una muestra de esta diversidad de enfoques, pues existen
materiales impresos que contienen una alta cantidad de ejercicios y operaciones.
50
Y otros textos carecen o son escasos en ejercicios y se orientan más al
razonamiento de las temáticas.
Algunos materiales logran la combinación de enfoques, es decir parten de la
explicación y el razonamiento, pero pasan al procedimiento y a la práctica de
resolución.
INECUACIONES Tema también tradicional en el álgebra son las inecuaciones que se definen como,
“una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades
desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las
incógnitas)TPF
8FPT
Lógicamente resolver una inecuación es encontrar los valores de las incógnitas
que cumplen o satisfacen el planteamiento. Para resolver esta clase de ejercicios
es condición saber despejar y utilizar la lógica para la comprobación de la solución
de los mismos.
V.2.18 MATEMÁTICAS Y FÓRMULAS De especial interés es el adecuado manejo de la matemática para su aplicación en
otras disciplinas. Particularmente estrecha es la relación que traba con la física.
El conocimiento del manejo matemático de formulas o ecuaciones aplicables a la
física, constituye un tema relevante para la formación del estudiante, que si bien
es cierto que bajo algunos enfoques minimalistas predominantes en la educación
básica oficial, profundiza menos en esta clase de saberes, también irrefutable es la
implicación de los conocimientos de esta naturaleza en la condición científica
técnica individual y social.
T8T BALDOR, A. Algebra. Publicaciones Cultural, México 1993, p. 279
51
Además el propio desarrollo cognitivo intelectual del educando resulta más
desafiado y estimulado cuando se va más allá de la visión superficial y
marcadamente introductoria de algunas modalidades y niveles de la educación
básica del país.
Pedagógicamente nadie ha demostrado que la dosificación lenta del saber,
prevaleciente en la rigidez de no pocos temarios oficiales, sea superior a una
visión que potencie el ritmo y las capacidades del propio estudiante para su
incursión en saberes básicos de la ciencia.
El conocimiento de la matemática resulta fundamental para introducirse en la física
y sus cálculos básicos o elementales relativos a su objeto. Desde las iniciales
formulas del movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que es el más sencillo de
todos los movimientos caracterizado entre otros aspectos, porque el móvil que lo
experimenta describe una trayectoria recta, recorre distancias iguales en tiempos
iguales y lleva una velocidad constante, por lo que no hay aceleración:
V= d/t
v t = d
t= d/v
Problemas resueltos MRU
Problema 1. Un jet tarda 3.5 horas en recorrer una distancia de 2800km.
Determina su velocidad.
Datos: t = 3.5 h
d = 2800 Km
v = x
Solución: v = UdU v = U2800U Km v = 800 Km/h
t 3.5 h
52
Problema 2. Un tren bala se desplaza a una velocidad de 350 Km/h. ¿Cuánto
tiempo tardará en recorrer 2100 Km?
Datos: v = 350 Km/h
d = 2100 Km
t = x
Solución: t = Ud U t = U2100U Km t = 6 h
v 350 Km/h
Problema 3. Un felino se desplaza a una velocidad de 20 m/s durante 14 s.
Calcular la distancia que recorre.
Datos: v = 20 m/s
t = 14 s
d = x
Solución: d = v t d = (20 m/s) (14 s) d = 280 m
Problemas propuestos MRU Problemas de velocidad.
Problema 1. Un avión tarda 8.5 h en recorrer 4250 Km. Calcular su velocidad.
Problema 2. Una bicicleta se desplaza 120 m en 10 s. Determinar su velocidad.
Problema 3. Un automóvil recorre 375 Km en 4.5 h. Encontrar su velocidad.
Problemas de tiempo.
Problema 4. Un tren se desplaza a una velocidad de 250 km/h ¿Qué tiempo
tardará en recorrer 875 Km?
Problema 5. Calcula el tiempo que tarda en recorrer 190 m un móvil que se
desplaza a una velocidad de 38 m/s.
53
Problema 6. Un misil recorre 4800 Km experimentando una velocidad de 1200
Km/h. Calcula el tiempo del recorrido.
Problemas de distancia.
Problema 7. Un helicóptero se desplaza con una velocidad de 129 Km/h durante
1.5 h. Determinar la distancia recorrida.
Problema 8. Un halcón vuela durante 89 s a una velocidad de 25 m/s. Calcular la
distancia que recorre.
Problema 9. Un globo aerostático experimenta una velocidad de 58 Km/h durante
5.75 h. Encontrar la distancia recorrida.
En un segundo momento encontramos las fórmulas del Movimiento Rectilíneo
Uniforme Acelerado (MRUA), que introduce el componente aceleración (entendida
como la variación de la velocidad en la unidad de tiempo) y que son ecuaciones
que también se aplican en la caída libre y el tiro vertical tan sólo con algunas
modificaciones en lo que a distancia y aceleración se refiere. En la caída libre
sustituimos la distancia por la altura y la aceleración corresponde únicamente al
valor de la gravedad (9.8 m/sP
2P)
vB2B = vB1B + gt
h = UvUBU2UBU + vUBU1 UB( t ) 2
vB2PB
2P = vB1PB
2P + 2gh
h = vB1Bt + ½ gtP
2
t = UvUBU2UBU – vUBU1
g
a = vB2B- vB1
tB2B-tB1
54
Problemas resueltos de MRUA y caída libre
Problema 1. Se suelta una piedra desde lo alto de un edificio y tarda en llegar al
suelo 3.5 s. Calcular la altura del edificio.
Datos: t = 3.5 s
g = 9.8 m/sP
2
vB1B = 0 m/s
h = x
Solución: h = vB1Bt + ½ gtP
2
h= (0 m/s) (3.5s) + (½) (9.8 m/sP
2P) (3.5s)P
2
h= 0 + (4.90m/sP
2P) (12.25sP
2P)
h= 60.025 m
Problema 2. Desde un avión que vuela a una altura de 200 m se suelta un objeto.
Calcular la velocidad con que el objeto llega al suelo.
Datos: g = 9.8 m/sP
2
vB1B = 0 m/s
h = 200 m
vB2 B= x
Solución: vB2PB
2P = vB1PB
2P + 2gh
vB2PB
2 P= (0)P
2P+ (2)(9.8 m/sP
2P)(200m)
vB2PB
2 P= 3920mP
2P/sP
2
Calculando raíz
vB2B= 62.6 m/s
55
Problema 3. Un objeto metálico es lanzado con una velocidad inicial de 50 m/s
desde un avión supersónico en vuelo, impactando con el suelo a una velocidad de
375 m/s ¿Cuánto tiempo tardó en caer el objeto?
Datos: g = 9.8 m/sP
2
vB1B = 50 m/s
vB2B = 375 m/s
t= x
Solución: t = UvUBU2UBU – vUBU1
g
t = U375 m/s – 50 m/s
9.8 m/sP
2
t = U325U m/s
9.8 m/sP
2
t = 33.16 s
Problemas propuestos de MRUA y caída libre Problemas de altura
Problema 1. Se suelta un martillo desde lo alto de un edificio y tarda en impactar
con el suelo 2.4 s. Calcular la altura de la caída.
Problema 2. Se deja caer una bomba desde un avión militar y tarda 8.5 s en
chocar con el suelo. Determinar la altura.
Problema 3. Desde un globo aerostático se suelta un saco de arena y tarda 4.5 s
en chocar con el suelo. Encontrar la altura desde la que cae el saco.
Problemas de velocidad final
Problema 4. Se lanza una cubeta a un pozo y tarda 3.4 s en chocar con el agua
¿Cuál es la velocidad con que la piedra impacta con el agua?
56
Problema 5. Se le cae una herramienta a un obrero que trabaja en lo alto de un
edificio, tardando 6.3 s en impactar en el suelo. Determina la velocidad con que
impacta.
Problema 6. Un águila en vuelo suelta una presa. Considerando que tarda 12.7 s
en alcanzar el suelo, calcular la velocidad con que choca.
Problema de tiempo
Problema 7. Un objeto se suelta desde lo alto de un acantilado llegando al suelo a
una velocidad de 189 m/s. Calcular el tiempo de la caída.
Problema 8. Un halcón se lanza en picada a una velocidad inicial de 15 m/s,
llegando al suelo con una velocidad de 45 m/s. Determinar el tiempo del descenso.
Problema 9. Un cohete desprende uno de sus módulos de propulsión, el cual
comienza a caer impactando con el suelo a una velocidad de 450 m/s. Encontrar
el tiempo que dura la caída del módulo de propulsión.
LEYES DE NEWTON
También de interés son las ecuaciones aplicables a la primera y segunda ley de
Newton:
a= F/m
F= ma
m= F/a
Aplicando las reglas de despeje respectivas, tenemos que la m (masa) que divide
de lado derecho del igual, pasa con su operación inversa la multiplicación al lado
izquierdo del igual. Es importante hacer notar para efectos de este despeje simple
y para los despejes en general que primero debemos escribir los términos o
elementos que ya se encuentran en el lado respectivo y después los términos o
elementos que estamos cambiando de lado.
57
Y para la tercera formula retomamos la segunda ecuación y trasladamos la a
(aceleración) del lado derecho hacia el lado izquierdo del igual con su operación
contraria: como está multiplicando pasa dividiendo a la F (fuerza) que como ya
precisamos debe escribirse primero.
Ahora, considerando cuerpos que caen la formula se escribe:
FBgB= mg
En dicha formulaFBgB es el peso y g es el valor de la aceleración de la gravedad,
que también usamos de manera regular en caída libre. De igual manera formulas
como la de cantidad de movimiento p=mv o la de impuso establece que la fuerza
por el tiempo (impulso) es igual a la masa por la velocidad final, menos la masa
por la velocidad inicial:
Ft = mvB2B-mvB1
EJEMPLOS DE LA 1RA Y 2DA LEY DE NEWTON
Las ecuaciones aplicables a trabajo energía y potencia representan también
ejemplos comúnmente utilizados por el estudiante de educación media y se
recomienda para los diferentes casos de fórmulas cerciorarse de la existencia de
un trabajo sólido previo o paralelo con las ecuaciones para una aplicación ágil y
precisa en la física y eventualmente en otros campos.
De un adecuado criterio y una correcta valoración docente depende que el
estudiante regrese y trabaje siempre que sea necesario contenidos matemáticos
paralelamente a su aplicación. Lo que no es recomendable es pretender trabajar
aplicaciones prescindiendo o sin cerciorarse del conocimiento básico subyacente a
las propias aplicaciones. Por ejemplo, desafiar al alumno a que despeje formulas
58
sin el conocimiento algebraico pertinente resultará por lo general poco efectivo y
puede generar una actitud adversa hacia el objeto.
Volviendo a nuestra fórmula establece que el trabajo (W) es igual a la fuerza (F)
multiplicada por la distancia (x):
W = Fx
W = Fh
FBgB = mg
W = mgh
La segunda fórmula se refiere a distancias y fuerzas verticales, por lo que la
distancia será la altura (h). Y la tercera y cuarta fórmula son útiles para problemas
que tienen como uno de sus datos a la masa (m).
V.2.19 ESTADÍSTICA En la educación secundaria también se dota al estudiante de ciertos elementos de
estadística, en particular se abordan las tradicionales medidas de tendencia
central, el cálculo de frecuencias absolutas y relativas, la elaboración de gráficas
para el manejo de datos y en ocasiones se trabaja con algunos problemas de
desviación.
En esta temática de la estadística elemental el punto que llega a dar alguna
dificultad es el relativo a la determinación de frecuencias.
DESVIACIÓN, DESVIACIÓN MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Como parte de los conocimientos estadísticos solicitados a los estudiantes en los
programas de educación media, se incluyen temáticas relacionadas con el manejo
de datos. Entre ellas, las típicas tablas de frecuencias absolutas y relativas y el
cálculo de medidas de desviación.
59
Conviene precisar la noción de desviación entendiéndola en términos generales
como la diferencia entre un conjunto de valores o datos y su media aritmética o
promedio. Es decir, la desviación de cada dato con respecto al valor promedio del
conjunto de datos.
Si partimos de una noción concreta y práctica como la planteada, será más
accesible la comprensión de la idea de desviación y permitirá abordar en mejores
condiciones temáticas como la desviación media, como la desviación estándar.
Si partimos de ejemplos y ejercicios básicos de desviación, se generan mejores
condiciones para la comprensión de estos elementales contenidos, por ejemplo, si
tenemos 10 datos correspondientes a medidas en centímetros: 167, 168, 170,
169, 173, 165, 160, 180, 175, 177, podemos calcular su promedio o media
aritmética con un mecanismo simple, que se trabaja desde la primaria, realizando
la sumatoria de todos los valores y dividiendo el resultado de la adición, entre el
número de valores.
x= U167+168+170+169+173+165+160+180+175+177
10
x= 170.4
La desviación del primer dato será de -3.4 con respecto al promedio, la del
segundo -2.4, del tercero -.4, la del cuarto -1.4, del quinto +2.6, del sexto -5.4, del
séptimo de -10.4, del octavo +9.6, del noveno +4.6 y del décimo +6.6
DESVIACIÓN MEDIA
Permite determinar el valor logrado promedio de desviación de los datos con
respecto a la media aritmética simple. Puede calcularse utilizando la fórmula:
DM= U∑│xUBUiUBU-x│(nUBUiUBU)
N
60
xBiBValor de cada dato o la marca de cada intervalo
x Media aritmética o promedio
nBiBFrecuencia absoluta de cada dato
N Número total de datos
Por ejemplo, si utilizamos los siguientes valores o datos, 6, 9, 8, 7, 9, 10, 5, 8, 9, 7
y deseamos determinar la desviación media de los mismos, lo podemos realizar
de la siguiente forma. Primero calculamos su media aritmética o promedio y
después utilizamos la fórmula de la desviación media sustituyendo para
posteriormente realizar operaciones:
x= U6+9(3)+8(2)+7(2)+10+5
10
x= U6+27+16+14+10+5
10
x= U78 U=7.8
10
DM= U∑│xUBUiUBU-x│(nUBUiUBU)
N
U│6-7.8│+│9-7.8│ (3)+ │8-7.8│ (2)+│7-7.8│ (2)+│106-7.8│+│5-7.8│
10
= U1.8+3.6+.4+1.6+2.2+2.8
10
= U12.4
10
DM= 1.24
61
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