apuntes física iii (parte 2)
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Resúmen Física III (2ª Parte)Resúmen Física III (2ª Parte)11
Contenido
1 Ondas.................................................................................................................................................31.1 Ondas electromagnéticas...........................................................................................................41.2 Ondas electromagnéticas armónicas..........................................................................................41.3 Ondas planas armónicas.............................................................................................................5
2 Electromagnetismo............................................................................................................................52.1 Ecuaciones de Maxwell.............................................................................................................52.2 Ley de conservación de la carga................................................................................................62.3 Fuerza de Lorentz......................................................................................................................62.4 Monopolos magnéticos..............................................................................................................72.5 Densidad de energía...................................................................................................................72.6 Vector de Poynting....................................................................................................................82.7 Irradiancia..................................................................................................................................92.8 Flujo radiante.............................................................................................................................9
3 Óptica geométrica............................................................................................................................103.1 Reflexión..................................................................................................................................103.2 Refracción................................................................................................................................103.3 Ley de Snell.............................................................................................................................113.4 Ángulo de incidencia y ángulo de refracción..........................................................................113.5 Índice de refracción.................................................................................................................123.6 Reflexión interna total.............................................................................................................123.7 Ángulo límite...........................................................................................................................12
4 Fibra óptica......................................................................................................................................134.1 Diagrama de bloques...............................................................................................................134.2 Desventajas..............................................................................................................................144.3 Composición ...........................................................................................................................144.4 Propagación.............................................................................................................................154.5 Conclusiones............................................................................................................................17
5 Principio de Fermat.........................................................................................................................175.1 Definición................................................................................................................................175.2 Demostración matemática........................................................................................................17
6 Espejo plano....................................................................................................................................186.1 Tipo de imágen........................................................................................................................196.2 Reflexión especular..................................................................................................................196.3 Reflexión difusa.......................................................................................................................20
7 Espejo esférico.................................................................................................................................207.1 Espejo cóncavo........................................................................................................................207.2 Espejo convexo........................................................................................................................227.3 Convenio de signos..................................................................................................................237.4 Aumento lateral........................................................................................................................24
8 Superficie esférica...........................................................................................................................248.1 Aumento lateral........................................................................................................................258.2 Aumento angular......................................................................................................................258.3 Ecuación de Helmohltz............................................................................................................268.4 Distancia focal imágen.............................................................................................................268.5 Distancia focal objeto..............................................................................................................268.6 Relación entre las distancias focales imágen y objeto.............................................................27
1 http://www.bloggus.com.ar/
8.7 Fórmulas de Gauss y de Newton.............................................................................................289 Lentes delgadas...............................................................................................................................28
9.1 Tipos de lentes.........................................................................................................................299.2 Fórmulas de las lentes delgadas...............................................................................................309.3 Aumento lateral ( )β .................................................................................................................309.4 Potencia de la lente..................................................................................................................309.5 Lente delgada y superficie refractante.....................................................................................31
10 Prisma óptico.................................................................................................................................3310.1 Índice de refracción...............................................................................................................3410.2 Ángulo de desviación mínima...............................................................................................3510.3 Dispersión de la luz................................................................................................................3510.4 Poder dispersivo.....................................................................................................................36
11 Instrumentos ópticos......................................................................................................................3611.1 El ojo humano........................................................................................................................3611.2 Microscopio simple (lupa).....................................................................................................3811.3 Microscopio compuesto.........................................................................................................3911.4 El telescopio...........................................................................................................................40
12 Aberración cromática....................................................................................................................4013 Interferencia...................................................................................................................................41
13.1 Experimento de Young..........................................................................................................4214 Difracción, interferencia más difracción.......................................................................................4315 Bibliografía....................................................................................................................................45
15.1 License...................................................................................................................................45
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Ondas
1 Ondas
Una onda es una perturbación que se propaga a través del espacio y transporta energía.
Matemáticamente se dice que una función cualquiera de la posición y el tiempo es unaonda si verifica la Ecuación de Ondas:
donde v es la velocidad de propagación de la onda.
Ecuación diferencial de la onda en una dimensión
d2ydx2
= 1v2
d2ydt2
Ondas periódicas armónicas
x ,t =A .sen k x−t
Con amplitud A y fase .
Número de onda: k=2
, con longitud de onda .
Velocidad de la onda: v=k=
T= . f , con período T y frecuencia angular .
Frecuancia: f=
2
En la figura siguiente se muestra una onda transversal que se desplaza en dirección x positiva(+) (también llamada dirección de propagación), y tiene una perturbación perpendicular al ejex.
Es decir, la perturbación de la onda se encuentra en el plano x . En este caso t = 0, pero setambién puede hacer x = 0.
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Ondas
1.1 Ondas electromagnéticas
Ecuación de la onda electromagnética.
Perturbación eléctrica que se propaga a lo largo del eje x.
Campo magnético que se propaga sobre el eje x a la velocidad de la luz.
con v= 1
00,
0=4x10−7[ NA2 ]
0=8.85419x10−12[ C2
Nm2]
, entonces: v luz=3x108 [m
s]
Dado que los campos eléctricos y magnéticos asociados a una onda electromagnética satis-facen la ecuación diferencial de la onda, se tendrá la siguiente forma.
1.2 Ondas electromagnéticas armónicas
Considerando un caso particular de una perturbación eléctrica
Para calcular el campo magnético asociado se utiliza
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Ondas
La onda resultante es
1.3 Ondas planas armónicas
Si las ondas (polarizadas linealmente) viajan a través del espacio libre en la dirección k, lasecuaciones para el campo electromagnético son
Reemplazando E y B en la ecuación del vector de Poynting
2 Electromagnetismo
El electromagnetismo, estudia los fenómenos eléctricos y magnéticos que se unen en una solateoría aportada por Faraday, que se resumen en cuatro ecuaciones vectoriales que relacionancampos eléctricos y magnéticos conocidas como las ecuaciones de Maxwell. Gracias a la inven-ción de la pila de limón, se pudieron efectuar los estudios de los efectos magnéticos que se origi-nan por el paso de corriente eléctrica a través de un conductor.
El Electromagnetismo, de esta manera es la parte de la Física que estudia los campos electro-magnéticos y los campos eléctricos, sus interacciones con la materia y, en general, la electricidady el magnetismo y las partículas subatómicas que generan flujo de carga eléctrica.
El electromagnetismo, por ende se comprende que estudia conjuntamente los fenómenos físicosen los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, así como los relativos alos campos magnéticos y a sus efectos sobre diversas sustancias sólidas, líquidas y gaseosas.
2.1 Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones que describen los fenómenos electromagnéti-cos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años
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Electromagnetismo
de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, intro-duciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los camposeléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. De las ecuaciones deMaxwell se desprende la existencia de ondas electromagnéticas propagándose con velocidadc:
El valor numérico de esta cantidad coincide con el valor de la velocidad de la luz en el vacío,con lo cual Maxwell identificó la luz con una onda electromagnética, unificando la óptica conel electromagnetismo.
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son resultado de aplicar el desarrollo en seriede Taylor a las siguientes ecuaciones integrales
• Ley de Gauss del campo eléctrico :
• Conservatividad del campo eléctrico : La formulación anterior implicaque el campo eléctrico es irrotacional y por tanto conservativo. Por lo tanto su integral
de línea sobre cualquier trayectoria cerrada es nula, esto es
• Teorema de Ampère-Maxwell : La ley de Ampère se escribe en forma integral como
, donde I es la intensidad de corriente que circula por el circuito
• Ley de Gauss del campo magnético , que en forma integral se escribe
2.2 Ley de conservación de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas la ley de conservación de la carga
Esta ley expresa que la carga no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, y que si dadauna superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flu-jo de corriente neto hacia el exterior del sistema.
2.3 Fuerza de Lorentz
Las ecuaciones de Maxwell expresan cómo las cargas y corrientes crean campos eléctricos ymagnéticos, pero no cómo esos campos actúan sobre la materia. Para ello necesitamos la leyde Fuerza de Lorentz
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Electromagnetismo
Esta ley nos dice qué fuerza experimenta una carga puntual en movimiento en el seno de uncampo electromagnético. Si en lugar de una carga puntual tenemos una distribución de ellas,la correspondiente fuerza de volumen es
siendo la resultante sobre un sistema la integral de esta densidad.
2.4 Monopolos magnéticos
Si expresamos la Ley de Gauss para el campo magnético en su forma integral, tenemos que
. Esto expresa que sobre una superficie cerrada, sea cual se:a ésta, no sere-mos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo. Así pues, esto expresa la no exis-tencia del monopolo magnético. En caso que algún día se encontrase evidencias de la existen-cia del monopolo magnético, la Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como
donde ρm correspondería a la densidad de monopolos magnéticos. Esta densidad de carga lle-
va aparejada una densidad de corriente , la cual obliga a modificar la ley de Faraday, quepasaría a escribirse como
Asimismo, habría que ampliar la expresión de la Ley de Fuerza de Lorentz, para incluir lafuerza sobre cargas magnéticas
con y el campo magnético y el desplazamiento eléctrico en elvacío.
2.5 Densidad de energía
Para el campo eléctrico
Para el campo magnético
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Electromagnetismo
Dado que para una onda plana se tiene E = c B
El flujo de energía de una onda a través del espacio
ó en función del campo eléctrico
En función del campo magnético
2.6 Vector de Poynting
El vector de Poynting es un vector cuyo módulo representa la intensidad instantánea de en-ergía electromagnética y cuya dirección y sentido son los de propagación de la onda electro-magnética. De una manera más general el vector de Poynting puede definirse como el produc-to vectorial del campo eléctrico y el campo magnético. Recibe su nombre del físico inglés
John Henry Poynting y se expresa mediante el símbolo: .
E representa el campo eléctrico y H y B el campo magnético siendo la μ permeabilidad mag-nética del medio.
Dado que los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética oscilan con la fre-cuencia de la onda la magnitud del vector de Poynting cambia en el tiempo. El promedio delvector de Poynting sobre un periodo de tiempo muy superior al periodo de la onda es llamadoirradiancia, I:
La irradiancia representa el flujo de energía asociado a la radiación electromagnética en la di-rección perpendicular a su dirección de propagación.
La magnitud del vector de Poynting está dada por
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Electromagnetismo
2.7 Irradiancia
La irradiancia es la magnitud utilizada para describir la potencia incidente por unidad de su-perficie de todo tipo de radiación electromagnética. En unidades del sistema internacional semide en W/m².
En electromagnetismo se define la irradiancia como el valor de la intensidad energéticapromedio de una onda electromagnética en un punto dado y se calcula como el valor prome-dio del vector de Poynting.
La irradiancia sirve de base para la definición de magnitudes físicas similares, entre las que laradiancia (energía emitida por unidad de superficie y por unidad de ángulo sólido) es la másutilizada.
También se la utiliza para definir la constante solar, cantidad de energía solar que llega a la at-mósfera superior de la Tierra por unidad de superficie y que tiene un valor aproximado de1350 vatios por metro cuadrado.
La irradiancia en función del campo magnético
La irradiancia en función del campo eléctrico
2.8 Flujo radiante
Dentro de un dieléctrico isotrópico, homogéneo y lineal, la expresión para
la irradiancia queda
• Llamamos rapidez de flujo de la energía radiante a la potencia o flujo radiante , y lo ex-presamos en (W).
• Dividiendo el flujo radiante que entra o sale de una superficie, por el área, a esto se llama
irradiancia o densidad de flujo radiante cuya unidad es (W / m2 ).
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Óptica geométrica
3 Óptica geométrica
La óptica geométrica parte de las leyes fenomenológicas de Snell (o Descartes según otrasfuentes) de la reflexión y la refracción. A partir de ellas, basta hacer geometría con los rayos lu-minosos para la obtención de las fórmulas que corresponden a los espejos, dioptrio y lentes (osus combinaciones), obteniendo así las leyes que gobiernan los instrumentos ópticos a que esta-mos acostumbrados.
3.1 Reflexión
Las leyes de la reflexión (que se muestran en la figura) son:
1. El rayo incidente forma con la normal un ángulo de incidencia que es igual al ángulo queforma el rayo reflejado con la normal, que se llama ángulo reflejado.
2. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal están en un mismo plano.
3.2 Refracción
Es el cambio de dirección que experimenta un rayo de luz cuando pasa de un medio transpar-ente a otro también transparente. Este cambio de dirección está originado por la distinta ve-locidad de la luz en cada medio. La figura [fig:Refracción-luz] muestra cómo se refracta la luzde un medio a otro.
Un rayo se refracta (cambia de dirección) cuando pasa de un medio a otro en el que viaja condistinta velocidad. En la refracción se cumplen las siguientes leyes:
1. El rayo incidente, el rayo refractado y la normal están en un mismo plano.
2. Se cumple la ley de Snell
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Óptica geométrica
3.3 Ley de Snell
sen i sen r
= cn1
cn2
=n2
n1
Por lo tanto
n1sen i=n2sen r
Como la frecuencia de la vibración no varía al pasar de un medio a otro, lo que cambia es lalongitud de onda de la luz como consecuencia del cambio de velocidad.
=vt
Por tanto, la onda al refractarse cambia su longitud de onda.
3.4 Ángulo de incidencia y ángulo de refracción
Se llama ángulo de incidencia i el formado por el rayo incidente y la normal.
La normal es una recta imaginaria perpendicular a la superficie de separación de los dosmedios en el punto de contacto del rayo.
El ángulo de refracción r' es el formado por el rayo refractado y la normal.
n1 y n2 representan los diferentes medios donde pasa el frente de onda.
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Óptica geométrica
3.5 Índice de refracción
Se llama índice de refracción absoluto n de un medio transparente al cociente entre la veloci-dad de la luz en el vacío c y la velocidad que tiene la luz en ese medio, v.
n= cv
, siendo c velocidad de la luz en el vacío ~ 3.108m /s
La siguiente tabla muestra el índice de refracción de algunos medios.
Sustancia Diamante Aire Agua PlexiglásÍndice de refracción 2,417 1,00029 1,333 1,51
3.6 Reflexión interna total
Un rayo de luz propagándose en un medio con índice de refracción n1 incidiendo sobre conun ángulo 1 con una superficie sobre un medio de índice n2 con n1>n2 puede reflejarse toθ -talmente en el interior del medio de mayor índice de refracción. Este fenómeno se conocecomo reflexión interna total y se produce para ángulos de incidencia 1 mayores que un valθ -or crítico cuyo valor es:
sin1=n2
n1
Cuando se estudia el caso en que la luz pasa de un medio menos refringente a otro más refrin-gente (esto es n2 > n1, como por ej. aire vidrio ó aire agua).→ →
El ángulo de incidencia va a ser siempre mayor que el de refracción ( 12 )
Sin embargo, cuando se produce la refracción entre un medio cualquiera y otro menos refrin-gente que él (o sea n1 > n2 , como por ej. vidrio aire ó agua aire).→ →
El ángulo de refracción va a ser siempre mayor que el incidencia ( 21 ).
3.7 Ángulo límite
Se define el ángulo límite ( límite ) como el ángulo de refracción a partir del cual desa-parece el rayo refractado y toda la luz se refleja.
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Óptica geométrica
Como el valor máximo del ángulo de refracción, a partir del cual todo se refleja, es
2,máx , podemos conocer el ángulo límite por la ley de Snell.
2,máx=90ºn1senlímite=n2
senlímite=n2
n1
4 Fibra óptica
La fibra óptica es una guía de ondas en forma de filamento, generalmente de vidrio (en realidad,de polisilicio), aunque también puede ser de materiales plásticos, capaz de guiar una potencia óp-tica (lumínica), generalmente introducida por un láser, o por un LED. Las fibras utilizadas entelecomunicación a largas distancias son siempre de vidrio, utilizándose las de plastico solo enalgunas redes de ordenadores y otras aplicaciones de corta distancia, debido a que presentanmayor atenuación que las de cristal.
Cada filamento consta de un núcleo central de plástico o cristal (óxido de silicio y germanio) conun alto índice de refracción, rodeado de una capa de un material similar con un índice de refrac-ción ligeramente menor. Cuando la luz llega a una superficie que limita con un índice de refrac-ción menor, se refleja en gran parte, cuanto mayor sea la diferencia de índices y mayor el ángulode incidencia, se habla entonces de reflexión interna total.
Así, en el interior de una fibra óptica, la luz se va reflejando contra las paredes en ángulos muyabiertos, de tal forma que prácticamente avanza por su centro. De este modo, se pueden guiar lasseñales luminosas sin pérdidas por largas distancias.
La fibra óptica ha representado una revolución en el mundo de las telecomunicaciones, por cuan-to ha desplazado a los cables de cobre para la transmisión de grandes cantidades de información,sea en forma de canales telefónicos, televisión, datos, etc.
4.1 Diagrama de bloques
El diagrama en bloques de un sistema de comunicación con fibra óptica es como se muestraen la siguiente figura.
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Fibra óptica
El principio de operación de la fibra óptica esta basado en el principio de la reflexióninterna total. Cuando n1 > n2, la fibra tiene Reflexión interna total.
4.2 Desventajas
• Mayor coste
• Necesidad de usar transmisores y receptores más caros
• Los empalmes entre fibras son más caros y difíciles.
• La fibra óptica convencional no puede transmitir potencias elevadas. [1] [2] [3] [4]
• No puede transmitir potencia eléctrica para alimentar dispositivos.
A pesar de estas desventajas, la fibra óptica se emplea en multitud de sistemas y el actual augede los sistemas de banda ancha se debe en gran medida a la elevada capacidad de tráfico quepueden transmitir las redes de las operadoras basadas en fibra óptica.
4.3 Composición
La fibra óptica básica esta compuesto de tres capas concéntricas que difieren en propiedades:
• Núcleo (Core): La parte interna que conduce la luz.
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Fibra óptica
• Revestimiento (Cladding): la capa media que sirve para con-finar la luz en el centro.
• Buffer ó Recubrimiento: la capa exterior que sirve como un "amortiguador" para prote-ger al núcleo y al cladding de algún daño.
Las capas concéntricas de una fibra óptica incluye al núcleo que lleva la luz, el cladding y elbuffer de protección.
4.4 Propagación
La fibra óptica está compuesta por dos capas de vidrio, cada una con distinto índice de refrac-ción.
El índice de refracción del núcleo es mayor que el del revestimiento, razón por la cual, y de-bido a la diferencia de índices de refracción, la luz introducida al interior de la fibra semantiene y propaga a través del núcleo.
Se produce por ende el efecto denominado de Reflexión Total.
• La luz inyectada en el núcleo choca en las interfaces nucleo-clading con un ángulo may-or que el ángulo crítico reflejándose hacia el núcleo.
• Desde que los ángulos de incidencia y reflexión son iguales, el rayo de luz continúa enzigzag sobre toda la longitud de la fibra.
La Luz que golpea las interfaces nucleo-clading con un grado menor al ángulo crítico sepierde en el cladding.
Los Rayos de Luz con ángulo menor al ángulo crítico se pierden en el cladding, las otrasson atrapadas en el núcleo por la reflexión total de la misma.
Los rayos de luz pueden entrar a la fibra óptica si el rayo se halla contenido dentro de un cier-to ángulo denominado CONO DE ACEPTACIÓN.
Cono de aceptación
Un rayo de luz puede perfectamente no ser transportado por la fibra óptica si no cumple conel requisito del cono de aceptación.
El cono de aceptación está directamente asociado a los materiales con los cuales la fibra ópti-ca ha sido construida.
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Fibra óptica
La apertura numérica (NA)
De acuerdo a la estructura de la fibra el índice del núcleo n1 es ligeramente superior a la de
revestimiento n2 y su ángulo límite o crítico esta representado por la siguiente expresión:
sen0=n2
n1
Todos a los rayos que inciden con un angulo menor que (90 – α0 ) con respecto al eje son
conducidos por la fibra.
Para acoplar al núcleo un rayo luminoso desde el exterior de la fibra (aire con índice de re-fracción n0 =1), el ángulo (entre el rayo luminoso y el eje de la fibra) se rige de acuerdo a la
ley de refracción:
0
1
0 )90( n
n
sen
sen =−Θ
αEntonces:
02
101 1cos αα sennnsen −==ΘConsiderando la condición de ángulo límite:
1
20
n
nsen =α
Se obtiene: sen=n12−n2
2
El máximo ángulo de acoplamiento Θmax se denomina ángulo de aceptación del conductor
de fibra optica y depende únicamente de los indices de refracción.
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Fibra óptica
Al (sen Θmax ) se denomina Apertura Numerica (AN) del conductor de la Fibra Optica.
4.5 Conclusiones
• Una NA alto recoge más luz, pero se reduce el ancho de banda. Una NA más bajo aumentaen ancho de banda.
• Una NA grande hace más fácil la inyección de la luz en una fibra, mientras un NA pe-queño tiende a dar un ancho de banda más gran de en la fibra.
• Una NA grande permite una dispersión modal mayor permitiendo más modos en los que laluz puede viajar. Un NA más pequeño reduce la dispersión limitando el número de modos.
5 Principio de Fermat
El Principio de Fermat en óptica establece:
La trayectoria real entre dos puntos tomada por un haz de luz es la que se atraviesa en el menortiempo.
La versión moderna, completa del principio de Fermat establece que la longitud de camino ópti-co debe ser extremal, que significa que puede ser minimal o maximal. Los máximos ocurren enuna lente gravitacional y en los puntos de inflexión.
5.1 Definición
El camino que, entre todos los posibles, sigue un rayo de luz para ir de un punto a otro, esaquel en que la luz emplea un tiempo mínimo.
Y si cumple este principio debe incidir y rebotar con los ángulos que se expresan en la ley dela reflexión y refracción (ley de Snell).
Por lo tanto el principio de Fermat y las leyes de la reflexión son la explicación del mismo he-cho desde dos puntos de vista diferentes
5.2 Demostración matemática
El medio superior aire tiene de índice de fracción n1 y el otro medio (agua) n2. La velocidad
de la luz en el vacío es c y la velocidad en cada medio v1 y v2.
n1= c/ v1 ; n2= c/ v2
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Principio de Fermat
L1 es la distancia recorrida en el medio 1 y L2 la recorrida en el medio 2. El tiempo que tar-
da la luz en recorrer el camino total AB es t.
Por el teorema de Pitágoras sabemos que las distancias L1 y L2 valen
De todos los caminos posibles, el elegido por la luz, en la refracción, es aquel en el que em-plea un tiempo mínimo.
6 Espejo plano
Un espejo es una superficie capaz de reflejar la luz y suficientemente clara como para formaruna imagen.
El ejemplo más simple es el espejo plano. En él, un haz de rayos de luz paralelos puede cambiarde dirección completamente como conjunto y continuar siendo un haz de rayos paralelos, pudi-endo producir así una imagen virtual de un objeto con el mismo tamaño y forma que el real. Sinembargo, la imagen resulta invertida.
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Espejo plano
6.1 Tipo de imágen
La imágen formada por un espejo plano es:
• simétrica, porque aparentemente está a la misma distancia del espejo;
• virtual, porque se ve como si estuviera dentro del espejo, no se puede formar sobre unapantalla pero puede ser vista cuando la enfocamos con los ojos;
• del mismo tamaño que el objeto;
• derecha, porque conserva la misma orientación que el objeto.
La cantidad de luz reflejada por un cuerpo depende de:
• La longitud de onda de la luz, y de si está o no polarizada.
• La textura de la superficie (plana, rugosa, regular, irregular, opaca, pulida , etc.)
• El ángulo de incidencia de la luz sobre la superficie.
• La naturaleza de la superficie (composición, estructura, densidad, color, entre otras)
6.2 Reflexión especular
Tiene lugar cuando los rayos de luz inciden sobre una superficie lisa. Algunos metales comola plata y el aluminio absorben poco la luz blanca y si construimos con ellos láminas metáli-cas muy pulimentadas podemos lograr que reflejen la luz de tal manera que los rayos refleja-dos se vean con una intensidad comparable a la de los rayos incidentes.
A estas superficies les llamamos espejos y pueden ser planos o curvos.
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Espejo plano
6.3 Reflexión difusa
Todos los cuerpos reflejan parte de la luz que incide sobre ellos pero la mayoría producen unareflexión difusa.
La reflexión difusa se origina en los cuerpos que tienen superficies rugosas, no pulidas: estoes lo que nos permite ver los objetos que nos rodean sin deslumbrarnos aunque que estén ilu-minados por una luz intensa.
7 Espejo esférico
Los espejos esféricos tienen forma de casquete, como una parte de una esfera hueca pueden sercóncavos o convexos.
Fórmula para el cálculo de las distancias
1s1s'=1
fComor=2f1s1s'=2
r
Esta fórmula se cumple para todos los rayos paraxiales y predice resultados correctos si se apli-can correctamente el convenio de signo descripto aquí.
7.1 Espejo cóncavo
A continuación las diferentes tipos de imágenes que pueden formarse con espejos cóncavos.Se suponen que los rayos que inciden en la superficie esférica son paraxiales.
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Espejo esférico
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Espejo esférico
7.2 Espejo convexo
La imágen que se forma en un espejo convexo puede ser:
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Espejo esférico
7.3 Convenio de signos
Como centro de coordenadas se toma el centro de la figura M (del espejo). El centro de cur-vatura es C.
Todos los puntos situados a la izquierda del centro (M) de la figura, tienen abscisa negativa,y los situados a la derecha positiva.
Todos los puntos situados por encima del eje principal (eje de abscisas) poseen ordenada pos-itiva, y los situados debajo, negativa.
Los objetos se diseñan a la izquierda del espejo y la luz va de izquierda a derecha, del objetoal espejo.
El radio de curvatura será positivo si el centro está a la derecha del vértice del espejo coloca-do frente a la luz, y será negativo si está a la izquierda. Si la luz incide en la reflejante caracóncava, el radio será negativo. Si la luz incide en la cara reflejante convexa, el radio serápositivo.
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Espejo esférico
7.4 Aumento lateral
El aumento lateral que produce un espejo es el cociente entre el tamaño (altura) de la imageny del objeto.
Aumento lateral = Altura de la imágen / Altura del objeto
8 Superficie esférica
Se considera que la luz pasa por la superficie esférica de un medio transparente, homogéneo eisótropo a otro en donde la luz se refracta.
Invariante de Abbe
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Superficie esférica
Por lo tanto la ecuación fundamental de la refracción en una superficie esférica es:
ó
8.1 Aumento lateral
Se llama aumento lateral a relación entre el tamaño de la imagen y la del objeto:
Aumento lateral = y' / y
8.2 Aumento angular
Se llama aumento angular a la relación entre el ángulo α' que forma el rayo emergentecon el eje óptico y el ángulo α que forma el correspondiente rayo incidente con el eje óptico.
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Superficie esférica
8.3 Ecuación de Helmohltz
Relacionando el aumento angular y el lateral podemos obtener una expresión invariante en losdos medios:
Invariante Helmohltz: y' n' α‘ = y n α
8.4 Distancia focal imágen
Foco imágen (F ')
Los rayos que llegan a la superficie esférica desde el infinito paralelos al eje principal se con-centran en un punto del eje llamado foco imagen, F '.
Dando a la distancia objeto el valor de infinito (s= - infinito ) y siendo s'= f '
Entonces la distancia focal
• Si n' > n los rayos se acercan a la normal y f ' > 0 y el foco imagen, F ', está a la derecha dela superficie esférica.
• Si n' < n los rayos divergen y con la ayuda de la fórmula se obtiene un f '< 0: el foco ima-gen, F ', está a la izquierda del vértice de la superficie esférica.
8.5 Distancia focal objeto
Foco objeto (F)
Es el punto del eje óptico de donde salen los rayos que una vez atravesado la superficie esféri-ca siguen paralelos al eje.
La distancia del vértice de la superficie esférica a ese punto focal se llama distancia focal ob-jeto, F.
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Superficie esférica
Dando a la distancia objeto el valor de infinito (s'= infinito ) y siendo s= f
Por lo tanto la distancia focal es
• Para sistemas de superficie esférica convexa (r >0) en los que el rayo pasa del aire al vidrio(n' > n) se obtiene que f > 0; el foco objeto F, está a la izquierda del vértice de la superfi-cie.
• Si n' < n (del agua al aire) se obtiene que f > 0; el foco objeto F, está a la derecha del vér-tice de la superficie.
8.6 Relación entre las distancias focales imágen yobjeto
Si dividimos miembro a miembro las expresiones de las distancias focales
Las distancias focales imagen y objeto están en la misma relación que los índices de refrac-ción de los dos medios que atraviesa el rayo.
La suma de las distancias focales es igual al radio de la superficie esférica
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Superficie esférica
8.7 Fórmulas de Gauss y de Newton
Fórmula de Gauss
Relaciona las distancias focales con las distancias de la imagen y del objeto al vértice de lasuperficie esférica en una única expresión.
Fórmula de Newton
Establece que el producto de las distancias focales imagen y objeto es igual al producto de ladistancias del foco objeto al objeto por la distancia del foco imagen a la imagen.
f · f '= x · x '
9 Lentes delgadas
Una lente es un medio u objeto que concentra o hace diverger rayos de luz.
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Lentes delgadas
Una lente es un sistema óptico centrado formado por dos superficies esféricas de los cuales un a,por lo menos, acostumbra a ser esférico, y los medios externos que limitan la lente y tienen elmismo índice de refracción.
9.1 Tipos de lentes
Lentes convergentes
Son aquellas cuyo espesor va disminuyendo del centro hacia los bordes. En este tipo delentes, todo rayo que pase paralelamente al eje principal, al refractarse se junta en su foco. Laslentes convergentes forman imágenes reales de objetos. Existen tres clases de lentes conver-gentes:
• Lentes bi-convexas.
• Lentes plano-convexas.
• Lentes cóncavo-convexas.
Lentes divergentes
Son aquellas cuyo espesor va disminuyendo de los bordes hacia el centro. En este tipo delentes, todo rayo que pase paralelamente al eje principal, al refractarse se separa como si pro-cediera de un foco principal. Las lentes divergentes forman imágenes virtuales de los objetos.Existen tres clases de lentes divergentes:
• Lentes bi-cóncavas.
• Lentes plano-cóncavas.
• Lentes convexo-cóncavas.
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Lentes delgadas
9.2 Fórmulas de las lentes delgadas
La fórmula de las lentes delgadas permite relacionar la posición del objeto y de la imagen conla distancia focal.
1s 1s'
= 1f '
9.3 Aumento lateral (β)
El aumento lateral de una lente es el cociente entre la altura de la imágen y la altura del obje-to.
Aumento lateral = altura de la imágen / altura del objeto
9.4 Potencia de la lente
La potencia de una lente es la inversa de su distancia focal.
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Lentes delgadas
P= 1s'
La potencia se mide en m-1 y se conoce como dioptría.
Una dioptría es la potencia de una lente que tiene una distancia focal imagen de 1 m.
El signo de la potencia es el mismo que el de la distancia focal imagen, por lo que siguiendolas normas DIN, la potencia de una lente convergente es positiva, P > 0.
La potencia amplificadora manifiesta la capacidad de la lente para aumentar la imagen, perocon la capacidad de aumento del cerebro humano, que lleva desde lo más grande a lo más pe-queño del universo.
9.5 Lente delgada y superficie refractante
Tenemos una lente, que es un medio transparente de índice de refracción n, rodeada de aire deíndice n=1.
En el proceso de formación consideramos que la imagen que forma la primera superficie sirvede objeto para la segunda.
Partiendo de la fórmula de la superficie de refracción, se tiene:
Resolviendo se obtiene la fórmula para calcular las distancias focales objeto e imágen
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Lentes delgadas
El foco imagen F ' está a la derecha de la lente y es el punto donde se concentran los rayosque vienen del infinito (s = infinito) y entran paraxiales a la lente. Por lo tanto f '= s '.
Aplicando la fórmula a la primera superficie
La expresión de la distancia focal imágen en función de los rayos de la lente
La distancia focal objeto se obtiene cuando el objeto se encuentra en el foco objeto, por locual la imágen se forma en el infinito. Por lo tanto
Luego la distancia focal objeto es
Siendo n=ninterno
nexterno
. Y si fuera del lente hay aire, entonces n=nlente
Convención de signos
El tipo de lente depende del signo del foco (f):
• Convergente: lente (+)
• Divergente: lente (-)
Generalmente se toma el lado izquierdo de la lente como negativo (-).
Por lo tanto el lado derecho de la lente toma el signo positivo (+).
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Prisma óptico
10 Prisma óptico
En óptica, un prisma es un objeto capaz de refractar, reflejar y descomponer la luz en los sietecolores del arco iris. Generalmente, estos objetos tienen la forma del prisma triangular de allí sunombre.
De acuerdo a la ley de Snell, cuando la luz pasa del aire al vidrio del prisma disminuye su veloci-dad, desviando su trayectoria y formando un ángulo con respecto a la interfase; como consecuen-cia, se refleja o se refracta la luz. El ángulo de incidencia del haz de luz y los índices de refrac-ción del prisma y el aire determinan la cantidad de luz que será reflejada, la cantidad que será re-fractada o si sucederá exclusivamente alguna de las dos cosas.
1. Los prismas reflectivos son los que únicamente reflejan la luz, como son más fáciles deelaborar que los espejos, se utilizan en instrumentos ópticos como los prismáticos, losmonoculares y otros.
2. Los prismas dispersivos son usados para descomponer la luz en el espectro del arcoiris,porque el índice de refracción depende de la frecuencia (ver dispersión); la luz blanca en-trando al prisma es una mezcla de diferentes frecuencias y cada se desvía de maneradiferente. La luz azul es disminuida a menor velocidad que la luz roja.
3. Los prismas polarizantes separan cada haz de luz en componentes de variante polar-ización.
i: ángulo de incidencia;
r y r': ángulos de refracción;
i': ángulo de emergencia;
: ángulo del prismaφ ; = r + φ r';
: ángulo de desviaciónδ ; = δ α + β;
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Prisma óptico
10.1 Índice de refracción
A partir de la ley de Snell y de la geometría se puede escribir
sen i = n sen r
sen i’ = n sen r’
r + r’ = φ
Las ecuaciones anteriores sirven para trazar el rayo. La siguiente ecuación sirve para encon-trar la desviación de la luz:
= δ i+i'-φ
La siguiente gráfica muestra el índice de refracción en función de la longitud de onda paratres tipos de materiales.
La luz blanca al estar compuesta por varios colores, cada uno con diferentes longitudes deonda, la velocidad de propagación en cada medio será diferente para cada color.
v= cn
; con v la velocidad de propagación; c la velocidad de la luz en vacío; y n el índice
de refracción del material.
• Azul ( F ), de valor aproximado a 4000 Aº (Amstroung, 10−10m )
• Amarillo ( D ), de valor aproximado a 5000 Aº.
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Prisma óptico
• Rojo ( C ), de valor aproximado a 6000 Aº.
10.2 Ángulo de desviación mínima
Existe un rayo en particular para el cual la desviación es mínima. Se obtiene haciendo
d / d i = 0δ
Derivando las ecuaciones anteriores,
di’ / di = - ( cos i cos r’ ) / ( cos i’ cos r )
La cual puede ser satisfecha si
i = i' y r = r'
Esto concluye que dentro del prisma la trayectoria del rayo es paralelo a la base del mismo.
Partiendo de la condición de mínima desviación
i = (δmin + ) / 2φ
r = / 2φ
Reemplazando en la ley de Snell
n0 .senmin
2=n.sen
2
Esta ecuación permite determinar el índice de refracción de una sustancia, hallando experi-mentalmente δmin en un prisma de ángulo conocido.φ
Para prismas de ángulo pequeño se puede escribir la ecuación
n=n0
min
, siendo n0 el índice de refracción exterior al prisma.
De esta manera, si se conoce los índice de refracción del material interno del prisma y del ex-terior del mismo, el ángulo de desviación mínima es
min= nn0
−1
10.3 Dispersión de la luz
Se define dispersión de un prisma como
D = d / d = ( d / dn ) ( d n / d )δ λ δ λ
d / d nδ depende fundamentalmente de la geometría del sistema, mientras que el factor;
d n /d λ depende del material de que está compuesto el prisma.
Si se orienta el prisma para obtener desviación promedio mínima, se tiene
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Prisma óptico
ddn
=2sen
2
cosmin
2
Para las ondas electromagnéticas en general y para la luz en particular, el índice de refracción
n = A + B / λ2
donde A y B son constantes características de cada sustancia. Así
dnd
=−2B
3
Entonces la dispersión del prisma es
D=2sen
2
cosmin
2
−2B3
Si se consideran ángulos pequeños, se aproxima el seno por el ánulo mismo, la dispersión to-tal del espectro de un prisma con índices de refracción que van de F ,DhastaC
D=F−C=nF
n0
−nC
n0
10.4 Poder dispersivo
Se define como
PD=W=DD
=nF−nC
nD−1
Tal como indica la fórmula, el poder dispersivo de un prisma no depende del ángulo del mis-mo.
11 Instrumentos ópticos
Hola mundo.
11.1 El ojo humano
El ojo humano es un sistema óptico formado por una superficie refractora esférica y una lente,que reciben el nombre de córnea y cristalino respectivamente, y son capaces de formar unaimágen de los objetos sobre la superficie interna del ojo, en una zona denominada retina, quees sensible a la luz.
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Instrume ntos ópticos
Miopía
Cuando la imágen se forma antes de la retina. Se corrije con lente divergente.
Hipermetropía
La imágen se forma detrás de la retina. Se corrije con lente convergente.
Astigmatismo
La luz que proviene de una fuente puntual forma una imágen en forma de línea.
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Instrume ntos ópticos
11.2 Microscopio simple (lupa)
Los microscopios de Leeuwenhoek constaban de una sola lente pequeña y convexa montadasobre una plancha con un mecanismo para sujetar el material que se se iba a examinar (lamuestra o especimen). Este uso de una única lente convexa se conoce como microscopio sim-ple, en el que se incluye la lupa, entre otros aparatos ópticos.
Cuanto más acercamos un objeto al ojo este los ve bajo un ángulo aparente mayor. Pero existeuna distancia mínima llamada punto próximo (25 cm.) por delante de la cual no se ven níti-damnete.
En ese punto la imagen alcanza su máximo tamaño en la retina y aún la percibimos con ni-tidez.
Aumento angular
=tgftgi
= h /fh /25
=25 [cm ]
f
De esta fórmula se puede calcular la potencia de la lente: Potencia=4.
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Instrume ntos ópticos
Máximo aumento posible
Se da cuando la imágen i se encuentra a una distancia de 25 [cm.] de la lente, es decir i = -25cm.
El objeto o se encuentra entre la lente y el foco.
1o=1f 125
o= 25. f25f
El aumento es m=−io
, entonces reemplazando los valores anteriores se tiene el aumento
angular para esta condición
=25f
1
11.3 Microscopio compuesto
Un microscopio óptico es un microscopio basado en lentes ópticas. El desarrollo de esteaparato suele asociarse con los trabajos de Anton van Leeuwenhoek.
Estos microscopios cumplen con la condición
f objetivof ocular
Resolución del microscopio
d=
2.NA
, =550.10−9m para la luz verde y, NA=0,95 si el medio es aire.
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Instrume ntos ópticos
Poder separador
P = 1 / d
Aumento M -> i(ocular) = infinito
M=mobjetivo .ocular=−iobjoobj
.25f ocular
Máximo aumento posible -> i(ocular) = -25cm.
MT=−iobjoobj
25f ocular
1
ó
Aumento=0,25.Lf obj . f ocu
, siendo L la distancia entre el f(objetivo) y el f(ocular).
11.4 El telescopio
Se denomina telescopio (palabra compuesta de las partículas tele- y -scopio, "ver lejos") acualquier instrumento que permite ver objetos lejanos. Ha sido de gran importancia parapoder determinar muchas teorías respecto al Universo. Generalmente, se atribuye su inven-ción a Hans Lippershey, un fabricante de lentes holandés, alrededor de 1608.
El telescopio cumple con la condición
f objetivof ocular
Aumento
=−f objetivof ocular
12 Aberración cromática
La aberración cromática es el efecto que se produce de los bordes coloreados alrededor de unobjeto visto a través de una lente, causado porque la lente no desvía todos los colores al mismofoco.
La luz de longitud de onda más corta (azul) es curvada más que la luz de longitud de onda máslarga (rojo), de forma que la luz azul llega a un foco más cercano de la lente que la luz roja. Elefecto puede reducirse colocando dos lentes juntas. Los espejos no sufren aberración cromática.
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Aberración cromática
13 Interferencia
La luz, como fenónemo ondulatorio también puede producir el fenónemo de interferencia. Tal ycomo lo demostró Thomas Young en su experimento de doble rejilla, en el cual una fuente lumi-nosa interfiere consigo misma al pasar por dos rejillas muy cercanas entre sí.
Intensidad para N=2 rendijas
Interferencia constructiva
a.sen=n. , para ángulos pequeños se tiene a.xD=n. ,
II0=4
Interferencia destructiva
a.sen=n12 , para ángulos pequeños se tiene a.
xD=n1
2 ,
II0=0
Intensidad para N = n rendijas
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Interferencia
Para un sistema con N ranuras, entre cada par de máximos principales hay
• N-1 mínimos,
• N-2 máximos secundarios.
13.1 Experimento de Young
El experimento de Young o experimento de la doble rendija fue realizado por ThomasYoung en 1803 en Inglaterra en un intento de comprobar la naturaleza corpuscular u ondula-toria de la materia.
El experimento consiste en la producción de un patrón de interferencias por la luz procedentede una fuente lejana al refractarse en el paso por dos rejillas. La luz impacta sobre una pan-talla receptora o una placa fotográfica produciendo franjas de interferencias. Inicialmente elexperimento constituyó el establecimiento de la naturaleza ondulatoria de la luz. Posterior-mente, ha sido considerado la experiencia fundamental a la hora de demostrar la dualidadonda corpúsculo de la materia, una característica de la mecánica cuántica. El experimentopuede realizarse con electrones, átomos o neutrones produciendo patrones de interferenciasimilares, demostrando por tanto el comportamiento dual onda-corpúsculo de la materia.
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Interferencia
14 Difracción, interferencia más difracción
La difracción es un fenómeno característico de las ondas que consiste en la dispersión y curvadoaparente de las ondas cuando encuentran un obstáculo. La difracción ocurre en todo tipo de on-das, desde ondas sonoras, ondas en la superficie de un fluído y ondas electromagnéticas como laluz y las ondas de radio. También sucede cuando un grupo de ondas de tamaño finito se propaga;por ejemplo, por culpa de la difracción, un haz angosto de ondas de luz de un láser deben final-mente diverger en un rayo más amplio a una distancia suficiente del emisor.
Patrón de difracción obtenido por una rendija simple
Comparación entre los patrones de difracción e interferencia producidos por una doble rendija(arriba) y cinco rendijas (abajo).
Intensidad con una fuente
Intensidad con dos fuentes
Gráfica de la intensidad
El máximo de la difracción se produce cuando el argumento del seno es cero, ya que
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Difracción, interferencia más difracción
Mínimos de intensidad se producen cuando b.sen= .n , para n= 1, 2, 3, ...
Máximos secundarios ocurren para x=n12. , para n = 1, 2, 3, ...
Teniendo en cuenta que sen(x) = 1. La intensidad debida a la difracción en la dirección corre-spondiente a los máximos secundarios es aproximadamente igual a
Que como vemos decrece rápidamente a medida que aumenta n.
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Bibliografía
15 Bibliografía
Diapositivas Drs. Rios y Brito:
http://www.herrera.unt.edu.ar/fisicaexperimentalii
Wikipedia, La Enciclopedia Libre:
http://es.wikipedia.org
The OpenOffice.org:
http://www.openoffice.org
15.1 License
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