apuntes de símbolos de latex.pdf
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Apuntes de LatexCaptulo 3: Frmulas
matemticas Conceptos bsicos
En ste captulo se exponen de forma bre-ve unas nociones bsicas acerca de la escri-tura de expresiones matemticas. Es im-portante, para disponer de todas las capa-cidades matemticas de LATEX en un do-cumento, cargar con \usepackage{...}los paquetes amsmath (capacidades ma-temticas extra) y amssymb (librera desmbolos). Como fuente de documenta-cin adicional, se recomienda consultar lagua Mathmode de escritura matemti-ca, colgada en el apartado de BIBLIOGRA-FA de la web de la asignatura.
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Seccin 1 Modos matemticos 2SECCIN 1
Modos matemticos tipo texto yextendido.
A la hora de escribir expresiones matemticas de formaelegante y precisa, TEX dispone de un modo de escrituraespecial, el modo matemtico. As por ejemplo, para tener:
La ecuacin de una recta en el plano cartesiano es dela forma ax + by + c = 0, donde a, b, c son constantes.
escribiramos:
La ecuacin de una recta en el plano cartesianoes de la forma $ax+by+c=0$,donde $a$, $b$, $c$ son constantes.
$ es el comando a utilizar para entrar y salir del modomatemtico en modo texto (es decir, cuando queremos las ex-presiones matemticas escritas dentro del texto principal,con un tamao apropiado para ello). En el ejemplo anteriorvemos varias cosas importantes; primero, aunque tecleamos$ax+by+c=0$ sin espacios, TEX introduce espacios en la fr-mula de acuerdo a sus propias reglas (teclear $ ax + by + c = 0$producira exactamente el mismo resultado); en general, enmodo matemtico TEX asigna espacios entre variables mate-mticas de acuerdo con los distintos tipos de separadores (=,
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Seccin 1 Modos matemticos 3
+,
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Seccin 1 Modos matemticos 4
dos tipos (texto y resaltado):
Texto Resaltado$ ... $ \( ... \) $$ ... $$ \[ ... \]\begin{math} \begin{displaymath}
... ...\end{math} \end{displaymath}
En el ejemplo siguiente puede verse ms claramente la di-ferencia entre ambos modos:
Tenemos la equivalencia $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, vlida para todo$a$, $b$, $c$, $d$ \\ \\Tenemos la equivalencia $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ vlida para todo$a$, $b$, $c$, $d$
Tenemos la equivalencia ab =cd , vlida para todo a, b,
c, d
Tenemos la equivalencia
ab
=cd
vlida para todo a, b, c, d
Otra alternativa para escribir frmulas en modo resaltado
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Seccin 1 Modos matemticos 5
es el entorno equation, como muestra el siguiente ejemplo:
La ecuacin de una recta en elplano cartesiano es de la forma\begin{equation*}ax+by+c=0\end{equation*}donde $a$, $b$, $c$ son constantes.
que producira:
La ecuacin de una recta en el plano cartesiano es dela forma
ax + by + c = 0
donde a, b, c son constantes.
Cul es el efecto del * tras equation? Eliminndolo ob-tenemos lo siguiente:
La ecuacin de una recta en el plano cartesiano es dela forma
ax + by + c = 0 (1)
donde a, b, c son constantes.
La ecuacin es entonces numerada. LATEX utiliza un con-tador para numerar ecuaciones, segn la seccin a la quepertenezcan (en el formato article) segn el captulo yseccin (en el formato book). En captulos posteriores, se
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Seccin 2 Smbolos 6
mostrar cmo referenciar ecuaciones, escribir ecuacionesen varias lneas, manejar teoremas, etc... Por el momentonos limitaremos simplemente a la escritura en s de la diver-sa simbologa matemtica que soporta LATEX.
SECCIN 2
Smbolos
Las siguientes tablas proporcionan los comandos necesa-rios para obtener una amplia variedad de smbolos mate-mticos. Una gran parte de ellos puede obtenerse a travsdel icono en el programa WinEdt, que abre una serie depestaas con una aplica coleccin de smbolos. La coleccincompleta de smbolos matemticos puede consultarse en laComprehensive LaTeX symbol list, colgada en la pginade la asignatura. Es importante remarcar que, debido a queson smbolos matemticos, su utilizacin en medio del textorequiere incluirlos entre signos $.
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Seccin 2 Smbolos 7
Tabla 1: Letras griegas
\alpha \theta o o \tau \beta \vartheta pi \pi \upsilon \gamma \iota $ \varpi \phi \delta \kappa \rho \varphi \epsilon \lambda % \varrho \chi \varepsilon \mu \sigma \psi \zeta \nu \varsigma \omega \eta \xi
\Gamma \Lambda \Sigma \Psi \Delta \Xi \Upsilon \Omega \Theta \Pi \Phi
Tabla 2: Operadores binarios
\pm \cap \diamond \oplus \mp \cup 4 \bigtriangleup \ominus \times unionmulti \uplus 5 \bigtriangledown \otimes \div u \sqcap / \triangleleft \oslash \ast unionsq \sqcup . \triangleright \odot? \star \vee C \lhd \bigcirc \circ \wedge B \rhd \dagger \bullet \ \setminus E \unlhd \ddagger \cdot o \wr D \unrhd q \amalg+ + -
Tabla 3: Operadores de relacin
\leq \geq \equiv |= \models \prec \succ \sim \perp \preceq \succeq ' \simeq | \mid \ll \gg \asymp \parallel \subset \supset \approx ./ \bowtie \subseteq \supseteq \cong Z \Join@ \sqsubset A \sqsupset , \neq _ \smilev \sqsubseteq w \sqsupseteq \doteq ^ \frown \in 3 \ni \propto = =
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Seccin 2 Smbolos 8
` \vdash a \dashv < < > >: :
Tabla 4: Signos de puntuacin
, , ; ; : \colon . \ldotp \cdotp
Tabla 5: Smbolos de flechas
\leftarrow \longleftarrow \uparrow \Leftarrow = \Longleftarrow \Uparrow \rightarrow \longrightarrow \downarrow \Rightarrow = \Longrightarrow \Downarrow \leftrightarrow \longleftrightarrow l \updownarrow \Leftrightarrow \Longleftrightarrow m \Updownarrow7 \mapsto 7 \longmapsto \nearrow \hookleftarrow \hookrightarrow \searrow \leftharpoonup \rightharpoonup \swarrow \leftharpoondown \rightharpoondown \nwarrow
\rightleftharpoons { \leadsto
Tabla 6: Smbolos varios
. . . \ldots \cdots... \vdots
. . . \ddots \aleph \prime \forall \infty~ \hbar \emptyset \exists \Box \imath \nabla \neg ^ \Diamond \jmath
\surd [ \flat 4 \triangle
` \ell > \top \ \natural \clubsuit \wp \bot ] \sharp \diamondsuit< \Re \| \ \backslash \heartsuit= \Im \angle \partial \spadesuitf \mho . . | |
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Seccin 2 Smbolos 9
Tabla 7: Operadores de tamao variable\sum
\bigcap
\bigodot
\prod
\bigcup
\bigotimes\coprod
\bigsqcup
\bigoplus
\int
\bigvee
\biguplus\oint
\bigwedge
Tabla 8: Funciones
\arccos \cos \csc \exp \ker \limsup \min \sinh\arcsin \cosh \deg \gcd \lg \ln \Pr \sup\arctan \cot \det \hom \lim \log \sec \tan\arg \coth \dim \inf \liminf \max \sin \tanh
Tabla 9: Delimitadores
( ( ) ) \uparrow \Uparrow[ [ ] ] \downarrow \Downarrow{ \{ } \} l \updownarrow m \Updownarrowb \lfloor c \rfloor d \lceil e \rceil \langle \rangle / / \ \backslash| | \|
Tabla 10: Delimitadores grandes \rmoustache \lmoustache \rgroup \lgroup \arrowvert wwww \Arrowvert \bracevertTabla 11: Acentos en modo matemtico
a \hat{a} a \acute{a} a \bar{a} a \dot{a}a \breve{a} a \check{a} a` \grave{a} ~a \vec{a}
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Seccin 2 Smbolos 10
a \ddot{a} a \tilde{a}
Tabla 12: Otras construcciones
abc \widetilde{abc} abc \widehat{abc}abc \overleftarrow{abc}
abc \overrightarrow{abc}
abc \overline{abc} abc \underline{abc}abc \overbrace{abc} abc \underbrace{abc}abc \sqrt{abc}
nabc \sqrt[n]{abc}
f f abcxyz \frac{abc}{xyz}
Tabla 13: Delimitadores AMS
p \ulcorner q \urcorner x \llcorner y \lrcorner
Tabla 14: Flechas AMS
d \dashrightarrow c \dashleftarrow \leftleftarrows \leftrightarrowsW \Lleftarrow \twoheadleftarrow \leftarrowtail " \looparrowleft \leftrightharpoons x \curvearrowleft \circlearrowleft \Lsh \upuparrows \upharpoonleft \downharpoonleft ( \multimap! \leftrightsquigarrow \rightrightarrows \rightleftarrows \rightrightarrows \rightleftarrows \twoheadrightarrow \rightarrowtail # \looparrowright
\rightleftharpoons y \curvearrowright \circlearrowright \Rsh \downdownarrows \upharpoonright \downharpoonright \rightsquigarrow
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Seccin 2 Smbolos 11
Tabla 15: Flechas de negacin AMS
8 \nleftarrow 9 \nrightarrow : \nLeftarrow; \nRightarrow = \nleftrightarrow < \nLeftrightarrow
Tabla 16: Letras griegas AMS
z \digamma \varkappa
Tabla 17: Letras hebreas AMS
i \beth k \daleth \gimel
Tabla 18: Smbolos varios AMS
~ \hbar } \hslash \square \lozenge] \measuredangle @ \nexistsa \Game k \BbbkN \blacktriangle H \blacktriangledownF \bigstar ^ \sphericalangleupslope \diagup \diagdownM \vartriangle O \triangledowns \circledS \anglef \mho ` \Finv8 \backprime \varnothing \blacksquare \blacklozenge{ \complement \eth
Tabla 19: Operadores binarios AMS
u \dotplus r \smallsetminus e \CapZ \barwedge Y \veebar [ \doublebarwedge \boxtimes \boxdot \boxplus
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Seccin 2 Smbolos 12
n \ltimes o \rtimes h \leftthreetimesuprise \curlywedge g \curlyvee \circleddash} \circledcirc \centerdot \intercaluniondbl \Cup \boxminus > \divideontimesi \rightthreetimes ~ \circledast
Tabla 20: Operadores de relacin AMS
5 \leqq 6 \leqslant 0 \eqslantless/ \lessapprox u \approxeq l \lessdot \lessgtr Q \lesseqgtr S \lesseqqgtr: \risingdotseq ; \fallingdotseq v \backsimj \subseteqq b \Subset @ \sqsubset2 \curlyeqprec - \precsim w \precapproxE \trianglelefteq \vDash \Vvdasha \smallfrown l \bumpeq m \Bumpeq> \geqslant 1 \eqslantgtr & \gtrsimm \gtrdot \ggg \gtrlessT \gtreqqless P \eqcirc $ \circeq \thicksim \thickapprox k \supseteqqA \sqsupset < \succcurlyeq 3 \curlyeqsuccv \succapprox B \vartriangleright D \trianglerighteqp \shortmid q \shortparallel G \between \varpropto J \blacktriangleleft \thereforeI \blacktriangleright \because . \lesssim \lll + \doteqdot w \backsimeq4 \preccurlyeq C \vartriangleleft ` \smallsmile= \geqq ' \gtrapprox R \gtreqless, \triangleq c \Supset % \succsim
\Vdash t \pitchfork \backepsilon
Tabla 21: Negacin de operadores de relacin AMS
\nless \nleq \nleqslant \lneq \lneqq \lvertneqq \lnapprox \nprec \npreceq \precnapprox / \nsim . \nshortmid
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Seccin 2 Smbolos 13
0 \nvdash 2 \nvDash 6 \ntriangleleft* \nsubseteq ( \subsetneq \varsubsetneq& \varsubsetneqq \ngtr \ngeq \ngeqq \gneq \gneqq \gnsim \gnapprox \nsucc \nsucceq \succnsim \succnapprox/ \nshortparallel \nparallel 2 \nvDash7 \ntriangleright 4 \ntrianglerighteq + \nsupseteq) \supsetneq ! \varsupsetneq % \supsetneqq \nleqq \lnsim \precnsim- \nmid 5 \ntrianglelefteq $ \subsetneqq \ngeqslant \gvertneqq \nsucceq \ncong 3 \nVDash # \nsupseteqq' \varsupsetneqq
Tabla 22: Alfabetos matemticos
Paquete requerido
ABCdef \mathrm{ABCdef}ABCdef \mathitABCdefABCde f \mathnormal{ABCdef}ABC \mathcal{ABC}ABC \mathcal{ABC} euscript con la opcin: mathcalABCdef \mathfrak{ABCdef} eufrakABC \mathbb{ABC} amsfonts amssymbABC \mathscr{ABC} mathrsfs
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Seccin 3 Subndices y superndices 14SECCIN 3
Subndices y superndices
Los superndices exponentes se producen con el smbolo^
El teorema de Fermat establece que para n > 2, no hayenteros x, y, z que cumplan:
xn + yn = zn
se produce escribiendo:
El teorema de Fermat establece que para $n > 2$,no hay enteros $x$, $y$, $z$ que cumplan:$$x^y + y^n = z^n$$
Debe tenerse en cuenta que, si el superndice tiene ms deun carcter de longitud, debe utilizarse {superindice} paraagrupar el superndice; por ejemplo:
$(x^m)^n=x^{mn}$ (xm)n = xmnpero si tecleamos $x^mn$ se obtiene xmn.
Tambin podemos tener superndices de superndices, agru-pndolos de la siguiente manera:
Los nmeros de la forma $2^{2^n}+1$,
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Seccin 3 Subndices y superndices 15
donde $n$ es un nmero natural,se denominan nmeros de Fermat
Los nmeros de la forma 22n+1, donde n es un nmero
natural, se denominan nmeros de Fermat
La forma en que los agrupamos es crtica; probando:$2^2^n+1$ 22n + 1${2^2}^n$ 22n + 1obtenemos resultados diferentes (comprese en especial eltamao de la n).
Para producir subndices vase el siguiente ejemplo:La sucesin $(x_n)$ definida por $$x_1=1,\quad x_2=1,\quad x_n=x_{n-1}+x_{n-2}\;\;(n>2)$$ se llama sucesin de Fibonacci.
La sucesin (xn) definida por
x1 = 1, x2 = 1, xn = xn1 + xn2 (n > 2)
se llama sucesin de Fibonacci.
(ntese como introducimos espacios con el comando \quad).Al igual que en el caso de los superndices, se pueden obte-ner sub-subndices con un agrupamiento adecuado.
Con facilidad, podemos agrupar juntos sub- y superndi-ces; por ejemplo:$(x_n^2)$y$(x^2_n)$producen el mismoresultado: (x2n) De nuevo, ha de tenerse cuidado con el modo
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Seccin 4 Races 16
de agrupamiento; comprense los siguientes casos:
$x_m^n$ xnm${x_m}^n$ xmn${x^n}_m$ xnm
SECCIN 4
Races
La raz cuadrada se introduce con el comando:\sqrt{Argumento}
As, $\sqrt{2}$ produce
2. Este comando tiene un ar-gumento opcional, para escribir races cbicas, cuartas, n-simas:
$\sqrt[4]{5}$, $\sqrt[5]{4}$ 45, 54El tamao del signo de raz se ajusta automticamente
al tamao del argumento; sta caracterstica permite anidarraces con facilidad, por ejemplo:
La sucesin$$ 2\sqrt{2}\,,\quad 2^2\sqrt{2-\sqrt{2}}\,,\quad 2^3\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\,, \quad2^4\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}\,,\;\ldots $$converge a $\pi$.
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Seccin 5 Delimitadores 17La sucesin
2
2 , 22
2 2 , 23
2
2 +
2 , 24
2
2 +
2 +
2 +
2 , . . .
converge a pi.
Para obtener lo anterior, ntese como se ha hecho usode los comandos \, y \;, abreviaturas de \thinspace y\thickspace, respectivamente. En modo matemtico, tam-bin puede utilizarse \: (\medspace), que produce un espa-cio intermedio. Otra alternativa, si queremos reducir espa-cios, es utilizar los comandos:\negthinspace ( su abreviatura \!)\negmedspace\negthickspace
que introducen espacios anlogos, pero de longitud negativa.
SECCIN 5
Delimitadores
Llamamos delimitadores a signos de la forma ( ), { }, etc...Una de las capacidades ms potentes del modo matemticoes el ajuste automtico del tamao del delimitador al tama-o del argumento que contiene. Por ejemplo, escribiendosimplemente:
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Seccin 5 Delimitadores 18
\[ a + (\frac{b}{c}) = \frac{ac+b}{c} \]
se obtiene:a + (
bc
) =ac + bc
Obtenemos delimitadores de tamao adecuado utilizando\left( ... \right), en vez de simplemente ( ... ). Vase ladiferencia:
a +(bc
)=ac + bc
La lista de smbolos al final del captulo ofrece una lista detodos los delimitadores disponibles.
Un punto interesante de la pareja \left y \right es que, apesar de que siempre han de ir conjuntados, no es necesarioque los delimitadores a los que se aplican sean iguales (po-demos abrir con parntesis y cerrar con llaves). Incluyendoun punto, se puede incluso eliminar la apertura y el cierre;por ejemplo:
ux = vyuy = vx
}Ecuaciones de Cauchy-Riemann
se obtiene con:
\begin{equation*}\left.\begin{aligned}
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Seccin 5 Delimitadores 19
u_x & = v_y\\u_y & = -v_x
\end{aligned}\right\}\quad\text{Ecuaciones de Cauchy-Riemann}\end{equation*}
(Ntese cmo en el ejemplo anterior se utiliza el comando\text{...} para incluir un trozo de texto normal dentro deuna frmula matemtica)
A veces los delimitadores producidos automticamentecon \left y \right son demasiado grandes pequeos.Por ejemplo:\begin{equation*}(x+y)^2-(x-y)^2=\left((x+y)+(x-y)\right)\left((x+y)-(x-y)\right)=4xy\end{equation*}
produce:
(x+ y)2 (x y)2 = ((x + y) + (x y)) ((x + y) (x y)) = 4xyUtilizando los modificadores \bigl y \bigr en su lugar:
\begin{equation*}(x+y)^2-(x-y)^2=\bigl((x+y)+(x-y)\bigr)\bigl((x+y)-(x-y)\bigr)=4xy\end{equation*}
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Seccin 6 Matrices y determinantes 20
tenemos:
(x+ y)2 (x y)2 =((x+ y) + (x y)
)((x+ y) (x y)
)= 4xy
Existen otros modificadores de tamao predefinido, ma-yores que \bigl, que por tamao creciente se ordenan como:\Bigl, \biggl y \Biggl (con versiones anlogas para r).
SECCIN 6
Matrices y determinantes
Para escribir datos en forma matricial, dentro del modo ma-temtico se puede utilizar el entorno array,que funciona deforma similar al tabular:
\begin{array}[Posicin]{FormatoColumnas}A11 & A12... & A1N \\A21 & A22... & A2N \\......
\end{array}
Por ejemplo:
\[\begin{array}{crl}x &3 &m+n^2 \\x+y &5 &m-n \\x^z &\sqrt{75} &m \\
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Seccin 6 Matrices y determinantes 21
(x+y)z &100 &1+m\end{array}\]
produce:
x 3 m + n2
x + y 5 m nxz
75 m
(x + y)z 100 1 + m
(ntese como debemos iniciar el modo matemtico antesde comenzar array)
Basndonos en array, podemos construir una matriz uti-lizando los delimitadores \right( y \left), un determi-nante con \right| y \left|, etc... Un mtodo alternativoes usar los entornos especficos pmatrix, bmatrix, Bmatrix,vmatrix y Vmatrix, anlogos a array, y que respectivamen-te aaden automticamente los delimitadores (), [], { }, | |y || ||. Adems, no requieren de especificacin del formatode columnas; a diferencia de array, stos entornos siempreproducen columnas centradas. Por ejemplo:
\begin{pmatrix}A_1 & A_2 & A_3 & A_4 \\B_1 & B_2 & B_3 & B_4 \\C_1 & C_2 & C_3 & C_4 \\D_1 & D_2 & D_3 & D_4 \\\end{pmatrix}
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Seccin 6 Matrices y determinantes 22
produce: A1 A2 A3 A4B1 B2 B3 B4C1 C2 C3 C4D1 D2 D3 D4
Dentro de estos entornos es posible utilizar el comando:
\hdotsfor[Factor]{NmeroDeColumnas}
que produce un lnea de puntos suspensivos en la ma-triz que abarca tantas columnas como se especifique enNmeroDeColumnas. El argumento (opcional) Factor esca-la la separacin entre puntos (el valor por defecto es 1).
Para escribir matrices en modo texto, se utiliza el en-torno smallmatrix (que no produce delimitadores!!!); porejemplo:
Dado que a h gh b fg f c
= 0, la matriz ( a h gh b fg f c)
no es invertible.
Dado que$\left|\begin{smallmatrix}
a & h & g\\h & b & f\\g & f & c
\end{smallmatrix}\right|=0$,
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Seccin 7 Puntos suspensivos 23
la matriz$\left(\begin{smallmatrix}
a & h & g\\h & b & f\\g & f & c
\end{smallmatrix}\right)$
no es invertible.
SECCIN 7
Puntos suspensivos
Para introducir puntos suspensivos en modo matemticotenemos una amplia coleccin de comandos. El comando\dots produce puntos suspensivos cuya unicacin verticalobedece a determinadas reglas, segn le sigan signos +, , (puntos centrados), una coma (puntos abajo), etc... Loscomandos \ldots . . . y \cdots producen siemprepuntos abajo y centrados, respectivamente. Adems, los co-
mandos \vdots ...y \ddots . . . producen puntos suspen-sivos verticales diagonales, que son tiles en la escriturade matrices.
Por otra parte, existe otra serie de comandos ms especia-
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Seccin 8 Fracciones y binomios 24
lizados:
\dotsc Para puntos separados por comas\dotsb Para puntos separados por operadores bi-narios (+, , etc...)\dotsm Para puntos separados por multiplicacio-nes implcitas
\dotsi Para puntos separados por signos integra-les
\dotso Otros puntos suspensivos
SECCIN 8
Fracciones y binomios
La forma general de un fraccin se obtiene con el comando:
\frac{numerador}{denominador}
Para formas binomiales, se utiliza el comando anlogo:
\binom{numerador}{denominador}
para el cual se carece de barra horizontal, y que incluyeparntesis. Por ejemplo, con:
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Seccin 9 Unos smbolos sobre otros 25
\begin{equation*}1-\binom{n}{1}\frac{1}{2}+\binom{n}{2}\frac{1}{2^2} - \dotsb -\binom{n}{n-1}\frac{1}{2^{n-1}}=0\end{equation*}
se obtiene:
1 (n1
)12
+
(n2
)122
(n
n 1)
12n1
= 0
SECCIN 9
Unos smbolos sobre otros
Podemos subrayar poner una lnea sobre el argumentocon los comandos:\underline{Objeto} Coloca una lnea bajo Objeto\overline{Objeto} Coloca una lnea sobre ObjetoAsimismo, \underbrace{Objeto}_{Indice} y\overbrace{Objeto}^{Indice} colocan llaves bajo sobreun objeto, pudindose incluso aadir el argumento Indicebajo la llave:
4 x + y + z
2
+w
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Seccin 9 Unos smbolos sobre otros 26
\[ \overbrace{x+\underbrace{y+z}_{2} +w}^{4} \]
De carcter ms general son los comandos:\underset{Debajo}{Objeto} y\overset{Encima}{Objeto},que colocan los smbolos Encima y Debajo, respectivamente,encima y debajo de Objeto. El comando\stackrel{Encima}{RelacinBinaria}puede utilizarse para poner argumentos encima de signos =y similares. Por ltimo, es til conocer el comando\sideset{Derecha}{Izquierda}Operador:
k+1b
a
dc
j=1
\[ \sideset{_{a}^{b}}{_{c}^{d}}\prod_{j=1}^{k+1} \]
Para colocar flechas, se dispone de la siguiente coleccinde comandos:
\overleftarrow{Objeto} \overrightarrow{Objeto}
\underleftarrow{Objeto} \underrightarrow{Objeto}
\overleftrightarrow{Objeto} \underleftrightarrow{Objeto}
\xleftarrow[Debajo]{Encima} \xrightarrow[Debajo]{Encima}
Los tres primeros comandos colocan la flecha debajo en-cima del objeto, y el ltimo se utiliza para poner objetos
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Seccin 10 Operadores... 27
encima debajo de una flecha (que es autoextensible, de-pendiendo de la longitud de los objetos que tenga enci-ma/debajo). Por ejemplo:
\[ \underleftarrow{z+w} \neq \underrightarrow{z+q}\neq \overleftrightarrow{zw} \]
\[ \xleftarrow[T]{a+b} \quad \xleftarrow[a+b+c+d]{T} \]
z + w , z + q ,zw
a+bT
Ta+b+c+d
SECCIN 10
Operadores de tamao variable:integrales, sumatorios,...
Los signos de integral y sumatorio se obtienen, respecti-vamente, con los comandos \int y \sum. El tamao de stossignos depende, al igual que ocurra con las fracciones, delmodo matemtico que se est utilizando, texto resaltado.Por ejemplo:
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Seccin 10 Operadores... 28
Euler demostr que la serie$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$converge, pero adems que:\begin{equation*}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\end{equation*}
Euler demostr que la serie
n=11n2 converge, pero
adems que:n=1
1n2
=pi2
6
Se observa tambin que la posicin de los subndices delsumatorio cambia si estamos en modo texto (sub/superndicesa un lado) en modo resaltado (sub/superndices debajo yencima). ste comportamiento es comn a casi todos losoperadores de tamao variable (
,
,
, etc..) y tamben afunciones (como la expresin para el lmite: \lim).
En el caso de que queramos, para el modo texto, cambiar laposicin de los sub/superndices (para que aparezcan aba-jo/arriba), podemos utilizar el comando \limits inmediata-mente a continuacin del comando de operador de tamaovariable (\sum, \proc, etc...). Por contra, si deseamos que, enmodo resaltado, los sub/superndices aparezcan a un lado, sedebe utilizar el comando \nolimits; por ejemplo:
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Seccin 10 Operadores... 29
Euler demostr que la serie$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$converge, pero adems que:\begin{equation*}\sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}\end{equation*}
Euler demostr que la serien=1
1n2 converge, pero ade-
ms que: n=1
1n2
=pi2
6
Todo lo anterior es vlido para cualquier signo de tamaovariable, excepto los de tipo integral; para stos, tanto enmodo texto como en resaltado, los lmites se colocan a unlado:
As, $\lim\limits_{x\to\infty}\int_0^x\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}$ y por definicin,\begin{equation*}\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\end{equation*}
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Seccin 11 Varias lneas de subndices 30
As, lmx
x0
sin xx dx =
pi2 y por definicin,
0
sin xx
dx =pi2
Si queremos lmites abajo/arriba, el comando\limits cam-bia su ubicacin.
SECCIN 11
Varias lneas de subndices
En caso de que se quiera colocar varias lneas de subn-dices, se puede utilizar el comando \substack, como en elsiguiente ejemplo:
pk(x) =ni=1i,k
( x titk ti
)
se obtiene con:\begin{equation*}p_k(x)=\prod_{\substack{i=1\\i\ne k}}^n\left(\frac{x-t_i}{t_k-t_i}\right)
\end{equation*}
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Seccin 12 Integrales mltiples 31
Se observa que todas las lneas de subndices aparecencentradas. Si se quiere justificarlas a la izquierda, se debeutilizar el entorno:\begin{subarray}{l}Lneas\end{subrray}
como por ejemplo:\[ \sum_{\begin{subarray}{l} 1\leq i\leq 100\\
i
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Seccin 13 Nombres de funciones 32
\[ \iint f(x,y) dxdy \quad \iiint f(x,y,z) dxdydz \quad\idotsint_M dx_1\dots dx_n \]
"f (x, y)dxdy
$f (x, y, z)dxdydz
(Mdx1 . . . dxn
Finalmente, \oint produce el smbolo de integral cerrada(vanse las tablas en "The comprehensive LATEX symbol
list"para versiones ms complejas del smbolo integral).
SECCIN 13
Nombres de funciones
La forma correcta de escribir una funcin genrica, comopor ejemplo, f (x), es en itlica, la forma estndar en mo-do matemtico. Sin embargo, existen funciones especialescomo cos, lim, log, etc..., que poseen un nombre especficopara designarlas. Estas funciones se escriben habitualmen-te en fuente de tipo roman. Existen las siguientes fun-ciones disponibles, que se obtienen a travs del comando\NombreFuncin
\arccos \cos \csc \exp \ker \limsup \min \sinh\arcsin \cosh \deg \gcd \lg \ln \Pr \sup\arctan \cot \det \hom \lim \log \sec \tan\arg \coth \dim \inf \liminf \max \sin \tanh
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Seccin 13 Nombres de funciones 33
Adems, si tenemos el paquete babel con la opcin spa-nish cargado, se pueden utilizar los nombres castellanizadosde algunas funciones:
sen \sen arcsen \arcsen tg \tg arctg \arctg
Algunos de stos comandos (\lim, \det, ...) funcionan deforma similar a los smbolos
,
, etc..., y al igual questos, puede cambiarse su comportamiento con el comando\limits:
Ejemplo de frmula tipo texto$\lim_{x \rightarrow \infty} 3x+1$\[ \text{y resaltada:} \quad\lim_{x \rightarrow \infty} 3x+1 \]con el comando limits: \$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} 3x+1$
Ejemplo de frmula tipo texto lmx 3x + 1
y resaltada: lmx 3x + 1
con el comando limits tenemos: lmx 3x + 1 (en modo
texto)
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Seccin 14 Fuentes ... 34SECCIN 14
Fuentes en modo matemtico
Se ha mencionado al comienzo que las letras que son partede una frmula aparecen en itlica. Para seleccionar un tipode letra diferente se tienen los siguientes comandos:
\mathbb{Texto} A B C D E (slo maysculas)\mathbf{Texto} A B C D E\mathcal{Texto} A B C D E (slo maysculas)\mathfrak{Texto} A B C D E (maysculas y minsculas)\mathit{Texto} A B C D E\mathnormal{Texto} A B C D E (similar a la itlica)\mathrm{Texto} A B C D E\mathsf{Texto} A B C D E\mathtt{Texto} A B C D E
Podemos obtener otro tipos de letras caligrficas cargandoel paquete mathrsfs. Con ste paquete cargado, el nuevocomando \mathscr{Texto} produce el siguiente conjuntode letras caligrficas: A B C D E (slo maysculas).
Si en vez de cargar el paquete mathrsfs, cargamos el eucalcon la opcin mathscr(\usepackage[mathscr]{eucal}), el comando\mathscr{Texto}produce ahora letras tipo Euler script en lugar de caligr-ficas:
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Seccin 14 Fuentes ... 35
A B C D E (tambin slo para maysculas)
Cuando tratamos con signos matemticos en vez de conletras, los cambios de tipo de letra anteriores no siemprefuncionan adecuadamente. sto es especialmente inconve-niente cuando se desea poner en negrita una frmula; porejemplo, $\mathbf{a+b=c}$ produce: a + b = c, con los sig-nos + e = no resaltados. Para estas situaciones se disponedel comando:
\boldsymbol{Objeto}
que proporciona smbolos en negrita:
$\boldsymbol{a+b=c}$ a + b = c(adems, puede verse que este comando sirve asimismo pa-ra obtener letras en negrita itlica, ya que$\mathbf{Texto}pone el texto en negrita romana).
Para ciertos smbolos especiales, \boldsymbol{Objeto}puede no funcionar; por ejemplo, comprese:
$\oint f$ f$\boldsymbol{\oint f}$ fEl comando \boldsymbol no tiene efecto para la integral ce-rrada\oint. Es stos casos, se utiliza el comando\pmb{Objeto}(poor mans bold), que proporciona a cada smbolo el aspec-to de estar en negrita reescribindolo con pequeos despla-zamientos:
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Seccin 15 Frmulas a color 36
$\pmb{\oint f}$ f f f(con una buena lupa puede verse que la letra f negrita noes idntica con \boldsymbol y con \pmb).
SECCIN 15
Frmulas a color
El paquete color soporta sin problemas la inclusin decolor dentro de expresiones matemticas a travs del co-mando \textcolor{NombreColor}{Texto}. ste comandopuede emplearse sin problemas dentro del modo matem-tico. Por ejemplo:
Texto... $\textcolor{green}{\int_0^\inftyf(x)d(x) = g(x) + C}$ ...Texto
produce:
Texto...
0 f (x)d(x) = g(x) + C...Texto
tambin:
$$\int_0^\infty \textcolor{blue}{f(x)d(x)}= \textcolor{red}{g(x)} + C$$
que produce:
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Seccin 15 Frmulas a color 37
0
f (x)d(x) = g(x) + C