apuntes de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales

8/9/2019 Apuntes de Matemticas Aplicadas a Las Ciencias Sociales

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TEMA 1 FUNDAMENTOS1.1 LGICA DE PROPOSICIONES.

Proposiciones. Ejercicios (1.1-1.7)

Proposicin , oracin que siempre podemos afirmar que es verdadera o falsa. Proposicin simple , se limita a enunciar una cualidad de un ser o cosa. Proposicin compuesta , se obtiene combinando una o ms proposiciones simples.

1.1.2 Conectores lgicos. Ejercicios (1.8-1.16)

Se utilizan para combinar proposiciones simples.Un conector lgico es una partcula que se utiliza para formar las proposiciones compuestas.Estn ordenadas por orden de preferencia. Las conexiones lgicas son:

Negacin p Conjuncin p q Disyuncin p q Condicional p q p q

Una tabla de verdad representa todas las posibilidades lgicas que pueden tomar las proposicionessimples, son 2n .Variables proposicionales: p, q, rConstantes proposicionales: V, F.

p q p p q p q p qV V F V V VV F F F V FF V V F V VF F V F F V

1.1.3 Clculo de valores de verdad. Ejercicios (1.17-1.32)

Construccin de tablas de verdad.

1.1.4 Razonamientos. Ejercicios (1.33-1.39)

Un razonamiento es una conclusin que resulta ser verdadera y que deducimos de unas premisas.Un razonamiento eslgicamente vlido si siempre que las premisas son verdaderas lo es tambin laconclusin. Un razonamiento que no es lgicamente vlido se llama falacia .Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser vlido cuando

1 2 ... n p p p q Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusin yse comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad V tambin la conclusin toma elvalor de V.Para mostrar que un razonamiento no es lgicamente vlido basta encontrar un caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusin falsa.


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Reglas de inferencia.

Lo que afirma cada regla es que una estructura lgica produce siempre razonamientos vlidos,cualesquiera que sean las proposiciones particulares que se sustituyan.

Modus ponendo ponens

Para analizar la validez del razonamiento, formamos la tabla de verdad y se observa que siempre que las premisas p y p q son verdaderas tambin lo es la conclusinq. Por lo tanto el razonamiento eslgicamente vlido.

Modus tollendo tollens p q

q

p

Modus tollendo ponens

p q p

q

p q

q

p

Silogismo hipottico

p q

q r p r

Una deduccin o demostracin es el proceso que partiendo de las premisas nos lleva a la conclusin atravs de una serie de proposiciones intermedias obtenidas a partir de las reglas de inferencia.

Premisas Conclusin p q p p q qV V V V VV F V F FF V F V VF F F V F

Premisas Conclusin p q p q 5 q 5 pV V V F FV F F V FF V V F VF F V V V

Premisas Conclusin p q pw q 5 p qV V V F VV F V F FF V V V VF F F V F

Premisas Conclusin p q pwq 5 q pV V V F VV F V V VF V V F FF F F V F

Premisas Conclusin p q r p q q r p rV V V V V VV V F V F FV F V F V VV F F F V FF V V V V VF V F V F VF F V V V VF F F V V V

p q

p

q


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1.2 CONJUNTOS

1.21 Conceptos bsicos. Ejercicios (1.40-1.51) Losconjuntos se representan con letras maysculas, A, B,C ,Loselementos se representas con minsculas, a, b, c, x, y, z.

Relacin de pertenencia: El elementoa pertenece al conjunto X,a X El elementoa no pertenece al conjunto Z,a Z

Formas de definir un conjunto: Enumeracin: enumeramos todos y cada uno de los elementos. Descripcin: definimos alguna caracterstica comn a todos los elementos.

Conjunto definidos porenumeracin :

S = {lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo}V = {a, e, i, o, u}

Conjunto definidos por descripcin :

S = {das de la semana}V = {vocales del espaol}

Por descripcin podemos definir de la siguiente manera los conjuntos:

es vocalV x A x V es el conjunto de los elementos x que pertenecen al conjunto de las letras del alfabeto espaol

A, tales que x es una vocal.

Relacin de inclusin:Dados dos conjuntos A y B, se dice que A est incluido en B y se escribe A B cuando todos loselementos de A pertenecen a B.Si A est contenido en B se dice que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B.

Propiedades de la inclusin de conjuntos.

Reflexiva: todo conjunto A est contenido en s mismo. A A .

Transitiva: Si un conjunto A est contenido en otro B, y B est contenido en otro conjunto C,entonces A est contenido en C.Si B y B C , entonces A C .

Si A y B son dos conjuntos tales que A B y B A entonces son iguales A B .

Conjunto universal, es el conjunto que contiene a todos los conjuntos que se analizan en un determinadocontexto y se representa porU .

Conjunto vaco es un conjunto que no tiene elementos, se representa por.

Cualquiera que sea el conjunto A se cumple A .


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El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntosde A. Se representa por ( ) P A .

Si el conjunto A tienen elementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos.

DIAGRAMAS DE VENN

Los conjuntos suelen representarse por medio de unos dibujos denominados diagramas de Venn. Elconjunto universal lo representamos por un rectngulo y los conjuntos por crculos dentro del conjuntouniversal.

1.2.2 Operaciones con conjuntos. Ejercicios (1.52-1.54)

La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene como elementos los comunes a ambosconjuntos, se representa por A B .

Dosconjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes, A B .

La unin de los conjuntos A y B es el conjunto que tiene como elementos los que pertenecen a algunode los conjuntos, se representa por B .

El conjunto complementario de A est formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A, se representa porC A .

La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecena B, se representa por A B .

La diferencia de dos conjuntos A y B es igual a la interseccin de A con el complementario de B, serepresenta por C A B A B .Cuando A B A o B A B entonces A B .

1.2.3 Propiedades de las operaciones con conjuntos. Ejercicios (1.55-1.79)

Propiedades de la interseccin.

La interseccin de cualquier conjunto con el conjunto vaco es igual al conjunto vaco, A .

La interseccin de cualquier conjunto con el universal es el mismo conjunto, A U A .

Idempotencia: La interseccin de cualquier conjunto consigo mismo es igual al mismo conjunto, A A A .

Conmutativa: La interseccin de un conjunto A con otro B es igual a la interseccin de B con A, A B B A .

Asociativa: B C A B C .

La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan, A B A y A B B .

Si B est contenido en A, entonces la interseccin de A y B es igual a B, Si B A entonces A B B .


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Propiedades de la unin.

La unin de cualquier conjunto con el conjunto vaco es igual al conjunto, A .

La unin de cualquier conjunto con el universal es igual al conjunto universal, A U U .

Idempotencia: La unin de cualquier conjunto consigo mismo es igual al mismo conjunto, A A A .

Conmutativa: La unin de un conjunto A con otro B es igual a la unin de B con A, A B B A .

Asociativa: A B C A B C .

La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los conjuntos que se unen, A A B y B A B .

Si B est contenido en A, entonces la unin de A y B es igual a A, Si B A entonces A B A .

Propiedades de la complementacin.

El complementario del conjunto vaco es el conjunto universal, U C .

El complementario del conjunto universal es el conjunto vaco,C U .

El complementario del complementario de un conjunto es el mismo conjunto, C C A A .

Propiedades que relacionan varias operaciones.

La interseccin de un conjunto y su complementario es igual al conjunto vaco,C A A .

La unin de un conjunto y su complementario es igual al conjunto universal,C

A A U

.Propiedad distributiva de la interseccin respecto de la unin: A B C A B A C .

Propiedad distributiva de la unin respecto de la interseccin: A B C A B A C .

Primera ley de Morgan: C C C A B A B .

Segunda ley de Morgan: C C C A B A B .

Dados dos conjuntos cualesquiera A, B y C se cumple: C C A B A B A B A B A B A B B A .

Dados tres conjuntos cualesquiera a y b se cumple:

C C C C C

C C C C

A B C A B C A B C A B C A B C A B C

A B C A B C


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Resumen de las propiedades

A A U A A A A A B B A

A B C A B C A B A A B B Si B A entonces A B B A A A U U A A A A B B A

A B C A B C A A B B A B Si B A entonces A B A

U C C U

C C A A

C A A C A A U A B C A B A C A B C A B A C

C C C A B A B C C C A B A B

C C A B A B A B A B

A B A B B A

C C

C C C C C

C C

A B C A B C A B C A B C

A B C A B C A B C

A B C


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1.3 APLICACIONES.1.3.1 Concepto de aplicacin. Ejercicios (1.80)

Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento delconjunto A en un nico elemento del conjunto B.

El conjunto A se llama conjunto inicial o dominio de la aplicacin.El conjunto B se llama conjunto final o rango de la aplicacin.Las aplicaciones suelen designarse por las letras f, g, h y se representan por B A f : o B A f .Si el elemento A x se transforma en el elemento B y se escribe x f y , se dice que y es laimagen de x mediante la aplicacin f.

1.3.2 Imagen e inversa de un Subconjunto. Ejercicios (1.81-1.86)

Sea B A f : una aplicacin y AC . Se denominaimagen del subconjunto C al conjunto de lasimgenes de los elementos de C. la imagen de C se representa por C f

En esta aplicacin la imagen del subconjunto 1,2,3C A es igual , f C a b B

Sea B A f : una aplicacin y B D . Se denomina imagen inversa del subconjunto D alsubconjunto formado por las preimagenes de los elementos de D, se representa por D f 1

En esta aplicacin la imagen inversa del subconjunto 1,3 D B es igual 1

, , f D b c d A

B

a bc

d

123

4

f

A

B

1234

a bcd

f

A

B

a bc

1234

f

A


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1.3.3 Tipos de aplicacin. Ejercicios (1.87-1.98) Una aplicacin : f A B es inyectiva si a cada valor del conjunto A le corresponde un valor distinto enel conjunto B de f . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor de B tal que,en el conjunto A no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.

Una aplicacin : f A B es, sobreyectiva cuando cada elemento de "B" es la imagen de como mnimoun elemento de "A".

Una aplicacin : f A B es, biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todoslos elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cadaelemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva

1.3.4. Composicin de aplicaciones. Ejercicios (1.99-1.102) Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x) , de modo que el dominio de la 2 est incluido en el recorrido de la1, se puede definir una nueva funcin que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)] .

B

1234

a bcd

A

f

C

uv

x z

1234B

ga b c d

2

4

1

3

z

x v u

f

f

f

f

g

g

g

g

A B

123

a bcd

A B

1234

a bc

A B

1234

a bcd


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1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO.El cardinal de un conjunto A es su nmero de elementos y se representa por A# .

1.4.1 Clculo de cardinales con dos conjuntos. Ejercicios (1.103-1.120)

Si dos conjuntos A y B son disjuntos, el cardinal de la unin es igual a la suma de los cardinales.

Si B A , entonces B A B A ###

Si A y B son dos conjuntos, siempre se cumple que el cardinal de su unin B A es igual al cardinalde A ms el cardinal de B menos el cardinal de la interseccin B A .

B A B A B A ####

Podemos razonar la frmula de otra manera:

# # # # A B A B B A A B

Tenemos que A A B A B , siendo A B y A B disjuntos, por lo tanto:

# # # A A B A B y # # # B B A A B

# 7 A # 5 B # 10 A B # 2 A B # 5 A B # 3 B A

B A B A B A #### 10 7 5 2 # # # # A B A B B A A B 10 5 3 2

# # # A B A B 7 5 2

UA B

X X X

X X

X X

X

X

X


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TEMA 1 FUNDAMENTOS ....................................................................................................................... 1 1.1 LGICA DE PROPOSICIONES. ........................................................................................................ 1

Proposiciones. Ejercicios (1.1-1.7) ......................................................................................................... 1 1.1.2 Conectores lgicos. Ejercicios (1.8-1.16) ...................................................................................... 1 1.1.3 Clculo de valores de verdad. Ejercicios (1.17-1.32) .................................................................... 1 1.1.4 Razonamientos. Ejercicios (1.33-1.39) .......................................................................................... 1

1.2 CONJUNTOS ....................................................................................................................................... 3 1.21 Conceptos bsicos. Ejercicios (1.40-1.51) ...................................................................................... 3

1.2.2 Operaciones con conjuntos. Ejercicios (1.52-1.54) ....................................................................... 4 1.2.3 Propiedades de las operaciones con conjuntos. Ejercicios (1.55-1.79) ......................................... 4 Propiedades de la interseccin. ........................................................................................................... 4 Propiedades de la unin. ..................................................................................................................... 5 Propiedades de la complementacin. .................................................................................................. 5 Propiedades que relacionan varias operaciones. ................................................................................. 5 Resumen de las propiedades ............................................................................................................... 6

1.3 APLICACIONES. ................................................................................................................................. 7 1.3.1 Concepto de aplicacin. Ejercicios (1.80) ..................................................................................... 7 1.3.2 Imagen e inversa de un Subconjunto. Ejercicios (1.81-1.86) ........................................................ 7 1.3.3 Tipos de aplicacin. Ejercicios (1.87-1.98) ................................................................................... 8

1.3.4. Composicin de aplicaciones. Ejercicios (1.99-1.102) ................................................................. 8 1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO. ...................................................................................................... 9 1.4.1 Clculo de cardinales con dos conjuntos. Ejercicios (1.103-1.120) .............................................. 9


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TEMA 2 ARITMTICA Y LGEBRA2.1 NMEROS NATURALES.

2.1.1 Concepto de nmero natural. Ejercicios (2.1-2.5)

1,2,3,4,...

2.1.2 Operaciones con nmeros naturales.

Suma. Resta. Multiplicacin. Divisin.

2.1.3 Sistemas de numeracin. Ejercicios (2.6-2.32)

En los sistemas posicionales el valor de un smbolo depende de su posicin respecto de los dems.

En la potencia 310 , el 10 es la base y el 3 es el exponente y es igual a10 10 10 1000

Cualquier nmero natural b puede ser base de un sistema de numeracin.Un sistema de numeracin de baseb necesita deb smbolos que hagan el papel de cifras del sistema.

Cambio de base: calcular la expresin de un nmero en un sistema de numeracin a partir de suexpresin en otro sistema.

A base decimal. 2 1 02101 1 2 0 2 1 2 5 De base decimal a otra.

2.1.4 Divisibilidad.Ejercicios (2.33-2.55) Un nmeronatural c es divisible por otro a cuandola divisin es exacta . El cociente es otro nmeronatural y el resto de la divisin es cero.

a divide a c a es un divisor de c c es mltiplo a

Factorizacin, seana, b, c nmeros naturales sic a b se denomina factorizacin en factores dec.

Un nmero primo es un nmero natural mayor que 1, que tiene nicamente dos divisores distintos: lmismo y el 1

Un nmero compuesto tiene uno o ms divisores distintos a 1 y a s mismo.

432 113 39 11 6 3


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Criterios de divisibilidad

Un nmero es divisible por2, si termina en cero o cifra par. Un nmero es divisible por3, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 3. Un nmero es divisible por5, si termina en cero o cinco.

Descomposicin en factores primos,Los nmeros compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de nmeros primos, a dichaexpresin se le llama descomposicin de un nmero en factores primos.

La descomposicin de un nmero es muy til pues ayuda a poder calcular el mximo comn divisor omnimo comn mltiplo de varios nmeros.

Mximo comn divisor. Comunes al menor exponente.El mximo comn divisor (abreviado mcd ) de dos o ms nmeros es el mayor nmero que los dividesin dejar resto.

Ejemplo: elmcd de 20 y 10:

20: 1, 2, 4, 5,10 y 2010: 1, 2, 5 y10

Mnimo comn mltiplo. Comunes y no comunes al mayor exponente.El mnimo comn mltiplo ( mcm ) de dos o ms nmeros naturales es el menor nmero natural que esmltiplo de todos ellos.

72361893

1

22233

502551

255

3 272 2 3 250 2 5

3 2 272,50 2 3 5 1800mcm

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

3 2 272,50 2 3 5 1800mcm

, ,a b mcm a b mcd a b

,

,a b

mcm a bmcd a b


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2.2 NMEROS ENTEROS.

2.2.1 Concepto de nmero entero. Ejercicios (2.56-2.62)

,...,0,1,2,3,,...

El opuesto de un nmero entero es el nmero que hay que aadir para que la suma sea 0.Valor absoluto.El valor absoluto o mdulo de un nmero real es su valor numrico sin tener en cuenta susigno , seaeste positivo (+) o negativo (-).

2.2.2 Operaciones con nmeros enteros.

Suma.o Conmutativa.a b b a o Asociativa. a b c a b c

Resta.

Multiplicacin.o Conmutativa.a b b a o Asociativa. a b c a b c

Divisin.

Los signos: Iguales + Desiguales

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

a b c a b a c

2 2 2 2a b a b ab

2 2 2 2a b a b ab


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2.3 NMEROS RACIONALES.2.3.1 Concepto de nmero racional.

1 1 1, , ,...2 3 4

Fraccin

ab

numerador denominador

Fracciones equivalentes.

ab

y cd

a d b c

2.3.2 Operaciones fracciones. Ejercicios (2.63-2.69)

Igual denominador

Sumaa c a cb b b

Restaa c a cb b b

Distinto denominador

Suma y restaa c a d b cb d b d

Productoa c a cb d b d

Divisin a c a d b d b c

Fraccin inversa, dos fracciones son inversas si su producto es 1.

1a bb a


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2.3.3 Expresin decimal de nmeros racionales. Ejercicios (2.70-2.74)

Forma de representar un nmero decimal.68 60 8 6 8 0,6 0,08 0,68

100 100 100 10 100

Paso expresin fraccin a decimal, Utilizamos el algoritmo de la divisin.

Fraccin peridica. Fraccin con parte decimal que se repite indefinidamente. El periodo es la parteque se repite.

Pura: 9,5

Mixta: 9,435

Paso de decimal a fraccin.569756,97100

Expresin decimal peridica.

2,051 2,051...1000 2051,051...999 2049

x

x x

2049 683

999 333 x

2.3.4 Porcentajes. Ejercicios (2.75-2.89) ab

Hallar la expresin decimal fraccionaria y multiplicar por 100. %100

cc

Porcentaje de variacin: % 100medida actual medida anterior variacinmedida anterior

El signo de la diferencia: medida actual medida anterior da el sentido de la variacin. Si la diferencia es positiva el porcentaje ser de aumento . Si la diferencia es negativa el porcentaje ser de disminucin .

2.3.5 Nmeros fraccionarios definidos por expresiones literales.Por cadab individuos u objetos de cierto colectivo, haya que tienen una cualidad,b a

b.

Por cadaa individuos u objetos de cierto colectivo, hayb que no la tienen,

La fraccin del total que cumple la propiedad esa

a b . La fraccin del total que no la cumple esb

a b.

2.3.6 Ordenacin de nmeros racionales.

ab

es mayor quecd

si 0a cb d

, 0a d b c .

Mtodo 2:

2051 2 2049 683

999 999 333


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2.4 NMEROS REALES.2.4.1 Concepto de nmero real. Ejercicios (2.90-2.94)

13, , 4, 8, 2.71, 2... Nmero irracional : es un nmero decimal infinito no peridico. 2 , , etc

2.4.2 Operaciones con nmeros reales.

Suma. Resta. Multiplicacin. Divisin.

2.4.3 Ordenacin de nmeros reales.

Seana, b, c y d nmero reales. Se cumple:

1. Si a b entoncesa c b c

a c b c

2. Si a b y c d entoncesa c b d

a d b c

3. Si a b y 0c entoncesa c b c 4. Si a b y 0c entoncesa c b c

2.4.4 Potencias. Ejercicios (2.95-2.101)

Si a es un nmero real yn es un nmero natural no nulo el producto

....n veces

a a a a se representa por na y

se denomina potencia de basea y exponenten, o a elevado an.Si 0n entonces 0 1a .

m n m na a a ( )n n na b a b

n

m m na a 1 1nn

na a a

mm n

n

aa

a nn

n

a ab b


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2.4.5 Races.

Dado un nmero natural n no nulo y un nmero real positivo a, siempre existe un nmero real positivo btal que nb a .

Se dice que b es la razn-esima de a y se escribe nb a o1nb a

Potencia con exponente fraccionado.

1 1mm

mn n na a a

2.5 ECUACIONES.2.5.1 La idea de ecuacin. Ejercicios (2.102-2.120)

o Ecuacin , es toda igualdad que relaciona nmeros con letras. Las letras se denominan incgnitas

y son las que debemos hallar.o Plantear , traducir las condiciones literales a smbolos matemticos.o Resolver , halar el valor de las incgnitas.

Clasificacin:

o Nmero de incgnitas. Una, dos, etco Mayor exponente, es el que determina el grado.o Nmero de ecuaciones.

2.5.2 Soluciones de una ecuacin.o Ecuaciones de una incgnita.

Tenemos que hallar nmeros tales que al reemplazar las incgnitas se cumple la igualdad de los dosmiembros.

o Ecuaciones con ms de una incgnita.

La solucin son tantos nmeros como incgnitas.

o Sistemas de ecuaciones.

La solucin del sistema son nmeros que son solucin de todas las ecuaciones

2.5.3 Reglas generales para resolver ecuaciones.

Dos ecuaciones sonequivalentes si tienen las mismas soluciones.Si sumamos o restamos a ambos miembros de una ecuacin un mismo nmero se obtiene unaequivalente.

Si multiplicamos o dividimos a ambos miembros de una ecuacin un mismo nmero distinto de cero seobtiene una equivalente.Podemos pasar cualquier trmino de una ecuacin de un miembro a otro sin ms que cambiarle el signo.


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2.5.4 Ecuaciones lineales con una incgnita.

Si a y b son dos nmeros reales, una ecuacin lineal con una incgnita x de la formaax b est enforma normal .El nmeroa es elcoeficiente de la incgnita.El nmerob se denominatrmino independiente .

Dada la ecuacinax b , dondea y b son nmeros reales y x es la incgnita se cumple:

o Si 0a la ecuacin tiene una nica solucin b xa

.

o Si 0a hay dos casos: Si 0b la ecuacin tiene infinitas soluciones ya que 0 0 x . Si 0b no hay solucin ya que no se puede cumplir 0 x b .

2.5.5 Sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas. Mtodo de sustitucin.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas. Mtodo de eliminacin.


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TEMA 2 ARITMTICA Y LGEBRA..................................................................................................... 1 2.1 NMEROS NATURALES. ................................................................................................................. 1

2.1.1 Concepto de nmero natural. Ejercicios (2.1-2.5)......................................................................... 1 2.1.2 Operaciones con nmeros naturales. ............................................................................................. 1 2.1.3 Sistemas de numeracin. Ejercicios (2.6-2.32).............................................................................. 1 2.1.4 Divisibilidad. Ejercicios (2.33-2.55).............................................................................................. 1

2.2 NMEROS ENTEROS........................................................................................................................ 3 2.2.1 Concepto de nmero entero. Ejercicios (2.56-2.62) ...................................................................... 3

2.2.2 Operaciones con nmeros enteros. ................................................................................................ 3 2.3 NMEROS RACIONALES................................................................................................................. 4 2.3.1 Concepto de nmero racional. ....................................................................................................... 4 2.3.2 Operaciones fracciones. Ejercicios (2.63-2.69)............................................................................. 4 2.3.3 Expresin decimal de nmeros racionales. Ejercicios (2.70-2.74)................................................ 5 2.3.4 Porcentajes. Ejercicios (2.75-2.89) ................................................................................................ 5 2.3.5 Nmeros fraccionarios definidos por expresiones literales. .......................................................... 5 2.3.6 Ordenacin de nmeros racionales. ............................................................................................... 5

2.4 NMEROS REALES........................................................................................................................... 6 2.4.1 Concepto de nmero real. Ejercicios (2.90-2.94).......................................................................... 6 2.4.2 Operaciones con nmeros reales.................................................................................................... 6

2.4.3 Ordenacin de nmeros reales....................................................................................................... 6 2.4.4 Potencias. Ejercicios (2.95-2.101) ................................................................................................. 6 2.4.5 Races............................................................................................................................................. 7

2.5 ECUACIONES. .................................................................................................................................... 7 2.5.1 La idea de ecuacin. Ejercicios (2.102-2.120)............................................................................... 7 2.5.2 Soluciones de una ecuacin. .......................................................................................................... 7 2.5.3 Reglas generales para resolver ecuaciones. ................................................................................... 7 2.5.4 Ecuaciones lineales con una incgnita........................................................................................... 8 2.5.5 Sistemas de ecuaciones lineales..................................................................................................... 8


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3.2.3 Posicin relativa de dos rectas. Ejercicios (3.42-3.55)

El punto de interseccin de dos rectas es la solucin del sistema de ecuaciones.

Rectas paralelas. Las rectas de ecuaciones:

y ax b

y a x b

Son paralelas sia a

La ecuacin de la recta paralela a la recta y ax b por el punto 0 0, x y es 0 0 y a x x y .En el caso de una recta vertical x k , la paralela por 0 0, x y es la vertical 0 x x .

Rectas perpendiculares. Ejercicios (3.56-3.80)

La ecuacin de la perpendicular a la recta y ax b por el punto 0 0, x y es 0 01

y x ya

x

Si 0a la recta es paralela al eje de abscisas y su perpendicular por el punto 0 0, x y es la paralela aleje de ordenadas 0 x x .Simtricamente la perpendicular a la recta vertical x k por 0 0, x y es la paralela al eje de abscisas

0 y y .

3.3 FIGURAS GEOMTRICAS PLANAS.3.3.1 Polgonos. Ejercicios (3.81-3.93)

Permetro, es la longitud total de su contorno.

rea de un rectngulo. Es el producto de sus lados, A a b .

rea de un paralelogramo. Es el producto de su base por su altura. A b h

rea de un tringulo. Es la mitad del producto de su base por su altura.2

b h A

3.3.2 La circunferencia.Ejercicios (3.94-3.100)

Ecuacin de la circunferencia: 2 2

20 0 x x y y r .Centro y radio de una circunferencia:La ecuacin de la forma 2 2 0 x y ax by c representa una circunferencia con:

Centro: : ,2 2a b

c

.

Radio 2 21 42

r a b c .

Crculo: dada la circunferencia de centro 0 0, x y su crculo es 2 2 2

0 0 x x y y r .

Longitud de la circunferencia: 2 L r .rea del crculo: 2 A r .


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TEMA 4 ANLISIS4.1 FUNCIONES.

4.1.1 Concepto de funcin. Ejercic ios (4.1 - 4.3)

Una funcin es una relacin entre dos variables, de forma que a cada valor de lavariable independiente x, le asocia un nico valor de lavariable dependiente y, que llamaremosimagen de x. Decimos que y es funcin de x y lo representamos por y f x

Una funcin es una aplicacin . Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es unatransformacin que convierte cada elemento del conjunto A en un nico elemento del conjunto B.

Rango de variacin de una magnitud numrica.

Intervalo cerrado [a,b] al conjunto de los nmeros reales x, a x b. Intervalo semiabierto [a,b) al conjunto de los nmeros reales x, a x < b .Intervalo semiabierto (a,b] al conjunto de los nmeros reales x, a < x b .Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los nmeros reales x, a < x < b .

0 02

; 30

; 4 0.

4.1.2 Representacin grfica de una funcin. Ejercicios (4.4 - 4.15)

La grfica de una determinada funcin f , definida en un intervalo I , es el conjunto de puntos del plano

cuya abscisa es un valor x I y ordenada f x .

4.1.3 Caractersticas de las funciones. Ejercicios (4.16 - 4.21)

Funcin creciente , cuando x aumenta dentro de un intervalo tambin aumenta f x . Funcin decreciente , cuando x aumenta dentro de un intervalo entonces f x disminuye. Mximos y mnimos relativos , la derivada en un mximo o mnimo local o relativo vale 0, siendocondicin necesaria del mximo o mnimo, si bien esta condicin es necesaria no es suficiente, noobstante nos limita los posibles mximos o mnimos. Estos se encontrarn entre los valores que anulan

la derivada. 0 f x

. Asntotas verticales , las asntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. Asntotas horizontales , hay asntota horizontal en las funciones racionales cuando el numerador tienegrado menor o igual al denominador. lim

x f x

Asntotas oblicuas , se presentan cuando el grado del numerador excede en una unidad del grado deldenominador, son incompatibles con las asntotas horizontales.Son rectas del tipo y ax b

( )lim

lim( ( ) ) x

x

f xa

xb f x ax


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4.3.2 Tangente a una curva. Ejercicios (4.66 - 4.81) La derivada 0 f x es la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f en el punto

0 0 x f x .La ecuacin de dicha recta tangente es 0 0 0 y f x x x f x y adems pasa por el punto

0 0 x f x .

4.3.3 Clculo de derivadas. Ejercicios (4.43 - 4.52), Ejercicios (4.53 - 4.65)

Suma f g f g

Producto f g f g fg

Cociente 2 f f g fgg g

Funcin constante 0 f x si f x c Funcin identidad 1 f x si f x x

Potencia de f 1c c f c f f

Funcin compuesta f g x f g x g x

4.3.4 Aplicaciones de las derivadas. Ejercicios (4.82 - 4.85)

Si f es una funcin definida y derivable en un intervalo I:

Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que 0 f .

Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que 0 f .

Si f es una funcin derivable en0 x y tiene en 0 x un mximo o mnimo relativo tiene que ser 0 0 f x .Para una funcin f derivable en todos los puntos de un intervalo ,a b , la resolucin de la ecuacin

0 0 f x con , x a b proporciona todas las abscisas candidatas a ser mximos o mnimos relativosde f en ,a b .

Derivada segunda de una funcin. Ejercicios (4.86 - 4.90) Sea f derivable en todos los puntos de un intervalo alrededor de0 x y f la funcin derivada de f . La

derivada de f en 0 x , si existe, se denomina derivada segunda de f y se representa por f

Si f tiene derivada f que es derivable en 0 x , se cumple 0 0 f x y: Ejercicios (4.91 - 4.97)

0 0 f x , entonces f tiene un mnimo relativo en0 x . 0 0 f x , entonces f tiene un mximo relativo en0 x .

La funcin se denomina:Ejercicios (4.98 - 4.100) Convexa en aquellos intervalos en que la pendiente de la tangente, f x crece. Cncava cuando la pendiente de la tangente f x decrece.

Los puntos en los que pasa de ser cncava a ser convexa o viceversa se llamanpuntos de inflexin .


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TEMA 4 ANLISIS ................................................................................................................................... 14.1 FUNCIONES. ....................................................................................................................................... 1

4.1.1 Concepto de funcin. Ejercicios (4.1 - 4.3) ............................................................................... 14.1.2 Representacin grfica de una funcin. Ejercicios (4.4 - 4.15) ................................................. 14.1.3 Caractersticas de las funciones. Ejercicios (4.16 - 4.21) .......................................................... 1

4.2 LMITES Y CONTINUIDAD. ............................................................................................................. 24.2.1 Lmite de una funcin en un punto. Ejercicios (4.22 - 4.30) ..................................................... 24.2.2 Funciones continuas. Ejercicios (4.31 - 4.41) ............................................................................ 2

4.3 CLCULO DIFERENCIAL. ............................................................................................................... 24.3.1 Concepto de derivada. ................................................................................................................ 24.3.2 Tangente a una curva. Ejercicios (4.66 - 4.81) .......................................................................... 34.3.3 Clculo de derivadas. Ejercicios (4.43 - 4.52), Ejercicios (4.53 - 4.65) .................................... 34.3.4 Aplicaciones de las derivadas. Ejercicios (4.82 - 4.85) ............................................................. 3


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5.2.3 Modelo matemtico de la probabilidad.

Una probabilidad sobre un espacio de posibilidades es una funcin que a cada subconjunto A de leasocia un nmero P(A), esta funcin cumple las cuatro condiciones siguientes:

1. 0 1 P A .2. 1 P .3. Si A, B , son dos sucesos con interseccin vaca, entonces P A B P A P B .4. Si A es un suceso, la probabilidad del sucesos contrario es igual a 1c P A P A .

5.2.4 Asignacin de probabilidades en un espacio finito. Ejercicios (5.12 - 5.13)

Para definir una probabilidad en un espacio que tenga un nmero finito de resultados posibles:

Asignamos una probabilidad a cada suceso simple. Deben ser entre 0 y 1. La suma tiene que ser 1.

La probabilidad de los restantes sucesos se calculan sumando las probabilidades de los sucesos simplesque los componen.

5.2.5 Asignacin de probabilidad en los modelos uniformes finitos.

Regla de Laplace. Ejercicios (5.14 - 5.25)

nmero de casos favorables a A

P Anmero de casos posibles

5.3 PROBABILIDADES CONDICIONADASEjercicios (5.26 - 5.36)

La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denominaprobabilidad de B condicionada por A y se designa por el smbolo P B A .La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la informacin adicional que nos

proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene.

P A B

P B A P A

5.3.1 Clculo con probabilidades condicionadas.

Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es igual a la probabilidad deque ocurra primero A, por la probabilidad de que ocurra B si ya ha ocurrido A.

P A B P A P B A


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5.3.2 Frmula de la probabilidad total. Ejercicios (5.37 - 5.40)

1 1 2 2 ... n n P A P B P A B P B P A B P B P A B

5.3.3 Regla de Bayes. Ejercicios (5.41 - 5.44)

Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede calcular mediante la regla de Bayes.

P B A

P A B P A P B

5.3.4 Independencia de sucesos. Ejercicios (5.45 - 5.48)

En un fenmeno aleatorio determinado diremos que el suceso B es independiente del suceso A si secumple P B A P B Dos sucesos A y B son independientes si se cumple P A B P A P B En la probabilidad condicionada un suceso A modifica la probabilidad de que ocurra otro B, pero nosiempre la probabilidad condicionada es distinta de la inicial, en este caso un suceso es independientedel otro.

5.3.5 Series independientes de fenmenos aleatorios. Ejercicios (5.49 - 5.50)

La probabilidad de que ocurran simultneamente todos estos sucesos es igual al producto de sus probabilidades.

1 2 1 2... ...n n P A A A P A P A P A

5.4 VARIABLES DE LA ESTADSTICA DESCRIPTIVA

5.4.1 Conceptos bsicos en estadstica. Ejercicios (5.51 - 5.61)

Poblacin , conjunto de seres u objetos acerca de los que se desea obtener informacin.

Individuo , cada uno de los elementos de los miembros de la poblacin.

La estadstica es la ciencia que estudia mediante mtodos cuantitativos, caractersticas de las poblaciones obtenidas como sntesis de la observacin de unidades estadsticas.

Censo , consiste en anotar determinadas caractersticas de todos los individuos de una poblacin.

La estadstica descriptiva es la parte de la estadstica que estudia las ideas, mtodos y tcnicas para ladescripcin grfica y numrica de los conjuntos numerosos.

Muestra , subconjunto de individuos que son observados para obtener informacin sobre el total de la

poblacin a que pertenecen.

Inferencia estadstica , parte de la estadstica que estudia los mtodos para establecer conclusionessobre una poblacin a partir de una muestra de la misma.


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5.4.2 Variables y observaciones.

Los atributos o magnitudes que se observan en los individuos de la poblacin se denominan variablesestadsticas.

De los atributos presentan modalidades . De las magnitudes toman valores .

El conjunto de modalidades o valores de cada variable medidos en un individuo constituye unaobservacin.

5.4.3 Clasificacin de las variables.

Variable Cualitativa mide atributos y sus modalidades no son numricas sino simples etiquetas.

Variable Cuantitativa cuando los valores que toma son numricos.

Discretas , si toman valores discretos como 0, 1, 2, Continuas , si es razonable suponer que puede tomar cualquier valor intermedio.

Variables nominales son las que representan atributos cuyas modalidades no pueden ser ordenadas nioperadas conforme a las reglas aritmticas.

Variables ordinales son las que tienen modalidades que pueden ser ordenadas de mayor a menor.

Variables medidas en escala de intervalos son las que valoran alguna cualidad cuantificable de losindividuos en la que el 0 de la escala de medida tiene un carcter relativo.

Variables medidas en escala de razn son las que valoran una cualidad de modo que el 0 tiene un

sentido absoluto. Tomar el valor 0 significa ausencia absoluta de la cualidad.

5.4.4 Distribucin de frecuencias de una variable. Ejercicios (5.62 - 5.72)

La frecuencia absoluta de una modalidad o valor de la variable es el nmero de observaciones que presentan esa modalidad o valor.

La suma de frecuencias absolutas 1 2 ... k F F F N

La frecuencia relativa de la modalidad o valor i es la proporcin de observaciones que presentan el

valor i , se representa por ii F f N .

La suma de las frecuencias relativas de todas las modalidades o valores es igual a 1.

El porcentaje de una modalidad o valor i x es igual a multiplicar por 100 su frecuencia relativa, se

representa por 100i i p f .

La frecuencia absoluta acumulada del valor j es la suma de las frecuencias absolutas de todos los

valores menores o igual que j , se representa por 1 2 ... j j N F F F .

La frecuencia relativa acumulada del valor j x es la suma de las frecuencias relativas de todos los

valores menores o igual que j , se representa por 1 2 ... j jn f f f .


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5.5 DESCRIPCIN GRFICA DE UNA DISTRIBUCIN DEFRECUENCIAS.

5.5.1 Variables cualitativas.

Diagramas de sectores.Diagramas de barras.

Pictogramas.

5.5.1 Variables cuantitativas.

Histogramas.

5.6 DESCRIPCIN NUMRICA DE UNA DISTRIBUCIN DEFRECUENCIAS.

5.6.1 Medidas de centralizacin. Ejercicios (5.73 - 5.89)

La media aritmtica es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el nmero de sumandos.

1 2

1

...1 n ni

i

x x x x

n n

La media aritmtica de una distribucin de frecuencias absolutas.

1 1 2 2 1

1 2

......

n

i in n i

n

x F x F x F x F

x F F F N

La media aritmtica de una distribucin de frecuencias relativas.

1 1 2 21...

n

n n i ii x x f x f x f x f

5.6.2 Medidas de dispersin. Ejercicios (5.90 - 5.)

El rango o recorrido de una variable es la diferencia entre los valores mximo y mnimo de la variable,se representa por: max min R x x .

La varianza es la media aritmtica de los cuadrados de sus desviaciones respecto de la media, se

representa por: 2 2 2

21 22

1

...1

n

n ii

x x x x x x s x xn n

.


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La desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza, se reprenda por:

2 2 2

21 22

1

... 1 nni

i

x x x x x x s x x

n n

Varianza de una distribucin de frecuencias absolutas:

2 2 221 1 2 22

11 2

... 1...

nn n

i iin

x x F x x F x x F s x x F F F F N

Varianza de una distribucin de frecuencias relativas:

2 2 2 22 1 1 2 21

...n

n n i ii

s x x f x x f x x f x x f

La varianza es igual a la media de los cuadrados de los datos menos el cuadrado de la media, se

representa por:2 2 2

2 2 2 21 2

1

... 1 nni

i

x x x s x x x

n n

Coeficiente de variacin al cociente entre la desviacin tpica y la media, suele expresarse en forma de

porcentaje. CV

apuntes de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales

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