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APUNTES DE LEVAS
Una leva es un elemento mecánico que sirve para impulsar a otro elemento, llamado seguidor para
que desarrolle un movimiento especificado, por contacto directo. Los sistemas de leva-seguidor se usan
con frecuencia en todo tipo de máquinas. Las levas son fáciles de diseñar para dar una función específica
de salida. Las levas son una forma de eslabonamiento de cuatro barras donde se ha remplazado el eslabón
acoplador por una semijunta. A efectos sería el equivalente a tener un eslabón con longitud variable.
Las levas se pueden diseñar para la función de salida que se desee.
El seguidor puede ser de traslación si su movimiento es una traslación a lo largo de un eje. U
oscilante si su movimiento es de rotación alrededor de un eje. En las figuras se pueden ver diferentes tipos
de levas.
Figura 1. Diferentes tipos de seguidores
.
Figura 2. Diferentes tipos de levas.
2
En definitiva, las levas son elementos mecánicos muy versátiles debido a la gran cantidad de
geometrías del disco que hay y al número de combinaciones leva-seguidor.
El primer problema al que se enfrenta el diseñador de levas es seleccionar las funciones matemáticas
que se utilizarán para definir el movimiento del seguidor. Y para ello se procede a linealizar la leva en una
gráfica en un eje cartesiano. Con una abscisa donde se representa el giro de la leva o el tiempo y un eje de
ordenadas donde se representa el desplazamiento del seguidor. En el diseño el diagrama de
desplazamiento se compone de una secuencia de tramos de ascenso, reposo y descenso. Teniendo en
cuenta que los tramos de reposo no encierran ninguna dificultad y que los tramos de descenso se pueden
estudiar por simetría con los de ascenso, será suficiente con estudiar detalladamente la forma de
especificar los tramos de ascenso.
A la hora de elegir las funciones debemos tener en cuenta que los diagramas de desplazamiento z(θ)
deben satisfacer ciertas condiciones de continuidad en las uniones entre tramos. Las discontinuidades en
la función velocidad provocarán la existencia de percusiones, fuerzas de magnitud infinita y de duración
infinitesimal, que causarán un mal funcionamiento de la leva. La discontinuidad en la función y”(θ) equivale
a la aparición y desaparición súbita de fuerzas lo que provoca vibraciones, ruidos, fatiga y desgaste.
También es deseable mantener un valor absoluto de y”(θ) lo más bajo posible ya que la aceleración del
seguidor se incrementa en un valor
Estas aceleraciones elevadas provocan fuerzas de inercia elevadas, con sus correspondientes tensiones,
vibraciones y desgaste.
Se debe cumplir la siguiente “Ley fundamental de diseño de levas”: “Para que una función y(θ) sea
considerable como función de desplazamiento de una leva, se debe cumplir que y(θ) sea de clase C(3)”
Esto quiere decir que se la función f(θ) debe ser continua y finita hasta la tercera derivada inclusive. Con
esto se evita que existan discontinuidades en las funciones del desplazamiento, en la velocidad y en la
aceleración del componente palpador.
Figura 3. Nomenclatura de una leva.
2y y ω′′= ⋅&&
3
Figura 4. Diagrama de desplazamiento.
Diseño gráfico del perfil de leva
Figura 5. Desarrollo del perfil de leva para un seguidor de rodillo
4
Trazado del perfil de leva para un seguidor excéntrico alternativo de rodillo.
Figura 6. Trazado de un perfil de leva para un seguidor excéntrico.
Para construir el perfil de leva para seguidor excéntrico se traza una circunferencia con radio igual
a la excentricidad en el eje de rotación de la leva. Sobre el circulo que hemos trazado hacemos tantas
divisiones como divisiones hagamos en el diagrama de desplazamientos. Se dibuja una recta tangente en
el extremo de cada linea radial que hemos dibujado sobre el círculo. Esta linea cortará en la circunferencia
del circulo primario. En el punto de corte con la circunferencia primaria se prolonga la línea la dimensión
que corresponda en el diagrama de desplazamientos desde la base al corte sobre la curva. El final de la
recta es el centro del rodillo del seguidor. Al dibujar todos los rodillos, el perfil de leva es tangente a todas
las circunferencias de rodillo por el interior.
5
Figura 7. Trazado tomando medidas directamente del diagrama de desplazamiento.
Trazado del perfil de leva para un seguidor alternativo de cara plana.
Figura 8. Trazado de un perfil de leva para un seguidor de cara plana.
Para la construcción del perfil de leva se procede igual que hicimos para el caso del seguidor de
rodillo, haciendo divisiones en el diagrama y sectores en el círculo primario y prolongando los radios según
el diagrama de desplazamiento. Teniendo en cuenta que para cada extremo del segmento se trazara una
recta perpendicular que representa el seguidor en esa posición. El perfil se dibuja mediante una curva suave
que es tangente a todas estas rectas que ocupan la posición momentánea del seguidor.
6
Trazado del perfil de leva para un seguidor oscilante de rodillo.
Figura 9. Trazado de un perfil de leva para un seguidor de rodillo oscilante.
Funciones de desplazamiento
El esquema más sencillo de movimiento del seguidor durante una elevación o descenso es el de
velocidad constante. Y= Aθ+B aun cuando la idea de una aceleración igual a cero es atractiva, los extremos
de este esquema de movimiento causan problemas. El salto instantáneo de cualquier valor constante de
velocidad genera una aceleración infinita. Lo que sobre una masa significa una aceleración infinita.
Movimiento parabólico.
Ecuaciones de la primera mitad Ecuaciones de la segunda mitad
2
2
2
4
4
0
y L
Ly
Ly
y
θβθ
β β
β
=
′ =
′′ =
′′′ =
2
2
1 2 1
41
4
0
y L
Ly
Ly
y
θβ
θβ β
β
= − −
′ = −
′′ = −
′′′ =
7
Figura 10. Diagrama de desplazamientos y derivadas del movimiento parabólico de subida.
El movimiento con aceleración constante durante la secuencia de elevación o descenso genera los
menores valores posibles de aceleración en un intervalo de tiempo y elevación determinados.
El diagrama de desplazamiento de un intervalo de elevación se divide en dos mitades iguales, una de
aceleración constante y la otra de deceleración constante. Las formas de cada mitad son parábolas de
imágenes especulares. Este esquema tiene aceleraciones constantes positivas y negativas, pero presenta
un cambio brusco de aceleración en el punto de inflexión lo que supone fuerzas inerciales que causan
vibraciones y gasto prematuro. Por lo que solo se utiliza en aplicaciones de baja velocidad.
Existen un conjunto de curvas de desplazamiento que es posible utilizar para resolver los requisitos
exigidos por el movimiento de levas de gran velocidad. Son las que vamos a ver a continuación.
Movimiento armónico simple.
Ecuaciones de subida completa Ecuaciones de retorno completo
2
2
3
3
1 cos2
2
cos2
2
Ly
Ly sen
Ly
Ly sen
πθβ
π πθβ β
π πθβ βπ πθ
β β
= −
′ =
′′ =
′′′ = −
2
2
3
3
1 cos2
2
cos2
2
Ly
Ly sen
Ly
Ly sen
πθβ
π πθβ β
π πθβ β
π πθβ β
= +
′ = −
′′ = −
′′′ =
8
Figura 11. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento armónico simple de subida completa.
Figura 12. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento armónico simple de bajada completa.
Movimiento cicloidal.
Ecuaciones de subida completa Ecuaciones de retorno completo
2
2
3
1 2
2
21 cos
2 2
4 2cos
y L sen
Ly
Ly sen
Ly
θ πθβ π β
πθβ β
π πθβ βπ πθβ β
= −
′ = −
′′ =
′′′ =
2
2
3
1 21
2
21 cos
2 2
4 2cos
y L sen
Ly
Ly sen
Ly
θ πθβ π β
πθβ β
π πθβ βπ πθβ β
= − +
′ = − −
′′ = −
′′′ = −
9
Figura 13. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento cicloidal de subida completa.
Figura 14. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento cicloidal de bajada completa.
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Movimiento armónico modificado.
Ecuaciones de subida completa Ecuaciones de retorno completo
2
2
3
3
1 21 cos 1 cos
2 4
1 2
2 2
2cos cos
2
22
2
Ly
Ly sen sen
Ly
Ly sen sen
πθ πθβ β
π πθ πθβ β β
π πθ πθβ β βπ πθ πθ
β β β
= − − −
′ = −
′′ = −
′′′ = − −
2
2
3
3
1 21 cos 1 cos
2 4
1 2
2 2
2cos cos
2
22
2
Ly
Ly sen sen
Ly
Ly sen sen
πθ πθβ β
π πθ πθβ β β
π πθ πθβ β β
π πθ πθβ β β
= + − −
′ = − +
′′ = − +
′′′ = +
Figura 15. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento armónico modificado de subida completa.
Figura 16. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento armónico modificado de bajada completa.
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movimiento semiarmónico.
Existen dos trazados diferentes:
Ecuaciones de subida Ecuaciones de retorno
2
2
3
3
1 cos2
2 2
cos4 2
8 2
y L
Ly sen
Ly
Ly sen
πθβ
π πθβ β
π πθβ βπ πθ
β β
= −
′ =
′′ =
′′′ = −
2
2
3
3
cos2
2 2
cos4 2
8 2
y L
Ly sen
Ly
Ly sen
πθβ
π πθβ β
π πθβ β
π πθβ β
=
′ = −
′′ = −
′′′ =
Figura 17. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento semiarmónico. 1er trazado.
Ecuaciones del segundo trazado.
Ecuaciones de subida Ecuaciones de retorno
2
2
3
3
2
cos2 2
4 2
8 2
y L sen
Ly
Ly sen
Ly cos
πθβ
π πθβ βπ πθ
β βπ πθ
β β
= ⋅
′ =
′′ = −
′′′ = −
2
2
3
3
12
cos2 2
4 2
cos8 2
y L sen
Ly
Ly sen
Ly
πθβ
π πθβ β
π πθβ β
π πθβ β
= −
′ = −
′′ =
′′′ =
12
Figura 18. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento semiarmónico. 2 trazado.
Movimiento semicicloidal.
Existen dos trazados diferentes:
Ecuaciones de subida Ecuaciones de retorno
2
2
3
1
1 cos
cos
y L sen
Ly
Ly sen
Ly
θ πθβ π β
πθβ βπ πθβ βπ πθβ β
= −
′ = −
′′ =
′′′ =
2
2
3
11
1 cos
cos
y L sen
Ly
Ly sen
Ly
θ πθβ π β
πθβ βπ πθβ βπ πθβ β
= − +
′ = − −
′′ = −
′′′ = −
Figura 19. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento semicicloidal. 1er trazado.
13
Ecuaciones de subida Ecuaciones de retorno
2
2
3
1
1 cos
cos
y L sen
Ly
Ly sen
Ly
θ πθβ π β
πθβ β
π πθβ βπ πθβ β
= +
′ = +
′′ = −
′′′ = −
2
2
3
11
1 cos
cos
y L sen
Ly
Ly sen
Ly
θ πθβ π β
πθβ β
π πθβ βπ πθβ β
= − −
′ = − +
′′ =
′′′ =
Figura 20. Diagrama de desplazamientos y derivadas para el movimiento semicicloidal . 2 trazado.
Otro método común para el diseño de levas consiste en sintetizar las curvas de movimiento usando
ecuaciones polinomiales. Mediante los valores frontera y el orden del polinomio es posible aproximar
cualquier curva. A partir de la ecuación básica:
2 3
0 1 2 3.....y C C C C
θ θ θβ β β
= + + + +
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Derivada de la función desplazamiento respecto al tiempo.
dy dy y
d dt
θ ωθ
′= ⋅ = ⋅&
2 2 22
2 2 2
d dy d dy d d y d d dy dy y y
dt d dt d dt d dt dt d dt
θ θ θ θ θ ω αθ θ θ θ
′′ ′= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
&&
22 2 3 3 2
2 2 3 2 22
d d d y d d y d d dy d d dyy
dt dt d dt d dt dt d dt dt d
θ θ θ θ θ θθ θ θ θ
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
&&&
33 y y yω α ω α′′ ′′′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅&
En la mayoría de los casos la ω=cte luego α=0
Datos de trazado. Radio primitivo, Angulo de presión y excentricidad.
Una vez trazado el diagrama de desplazamientos es posible trazar el perfil de la leva. Sin embargo hay
que tener en cuenta que existen otros parámetros que afectan al buen funcionamiento y que hay que
conocer para evitar problemas. Estos parámetros son la excentricidad, el radio del círculo primario, el
ángulo de presión y el radio del rodillo.
En la siguiente figura se puede ver uno de los problemas que surgen cuando no se eligen bien estos
parámetros.
La socavación produce un perfil de leva que se cruza a si mismo. Fenómeno que surge cuando se
intenta una gran elevación en el diagrama de desplazamientos para una pequeña rotación de leva en una
leva de dimensiones reducidas.
2
3
y y
y y
y y
ωωω
′= ⋅′′= ⋅′′′= ⋅
&
&&
&&&
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Figura 21. Perfil que se cruza a sí mismo. Socavación
Figura 22. Estudio de una leva de seguidor de cara plana.
Donde:
u es el vector horizontal para la posición θ=0.
C es el vector de posición del centro de curvatura de la leva en el punto de contacto.
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R es el vector de posición del punto de contacto de la leva.
R0 es el radio del círculo primario.
Derivando las dos ecuaciones respecto a θ
0
cos( )
( )
r s
r sen R y
θ αθ α ρ
⋅ + =⋅ + + = +
( )
cos( )
dsr sen
d
r y
θ αθ
θ α
− ⋅ + =
′⋅ + =
Con lo que:
s y′= y su derivada:
dsy
dθ′′=
Sustituimos y obtenemos la ecuación:
0R y yρ ′′= + +
Está ecuación permite hallar el radio de curvatura para cada valor de rotación de la leva conociendo
únicamente las ecuaciones de desplazamiento y el radio primitivo. Permite a su vez evitar la socavación
eligiendo un radio de la circunferencia primitiva lo suficientemente grande para que el radio de curvatura
no cambie de signo positivo a negativo, señal de que se está produciendo la socavación.
Como R0 e y son siempre positivos la situación crítica se produce cuando y” tiene el menos valor
negativo. También, se suele elegir un valor de ρ mínimo para evitar una situación crítica.
0 min minR y yρ ′′> − −
Si la ecuación s y′= la utilizamos para obtener el valor máximo y mínimo del desplazamiento horizontal
al punto de contacto, podremos conocer las dimensiones de la anchura de la cara de la placa que evita el
no contacto.
max minAnchura de la cara y y′ ′> −
Otro de los problemas a evitar es que exista en algún punto del perfil un ángulo de presión excesivo.
Al fin de evitar una gran fuerza de fricción en el movimiento de deslizamiento del seguidor. Se puede
considerar razonable mantener un ángulo de presión máximo de 30º a 35º en seguidores de traslación de
rodillo.
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Figura 23. Angulo de presión en una leva con seguidor de rodillo.
Figura 24. Cálculo del ángulo de presión para una leva con seguidor alternativo de rodillo.
18
24 224 0P PV y Rω= = ⋅&
24 20( ) tan
P
yy R a yε ϕ
ω′= = = + + ⋅
&
1
2 2
0
tan (ángulo de presión)y
R y
εϕε
− ′−=− +
Mediante esta ecuación podemos elegir el radio primitivo y la excentricidad para obtener un
ángulo apropiado. Con lo que, hay que buscar los valores extremos de ϕ.
Otro problema surge cuando el radio del seguidor es mayor que la curvatura en algun punto del
perfil de la leva. Se pierde el contacto en ese tramo. Para evitar esta situación hay que verificar el radio de
curvatura en todo el perfil de leva.
Figura 25. Puntos del perfil donde se pierde el contacto y punto anguloso