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FÍSICA CUÁNTICA

1 Introducción.

La física clásica se caracteriza por ser determinista. Cuando un sistema está definido por una serie de magnitudes físicas como pueden ser la temperatura, la masa, la velocidad, una distribución de fuerzas, etc., los estados subsiguientes del mismo están perfectamente determinados y se pueden medir con una precisión infinita, entendiendo por esto que, solamente está limitado por la calidad técnica del aparato de medida pero que no existe ley alguna que nos impida mejorar indefinidamente la precisión. En contraposición a esto, la física cuántica nos dice que la naturaleza restringe la precisión con la cual podemos efectuar una medida en el mundo subatómico, básicamente porque dicha medida implica interactuar con el propio objeto medido y, tratándose de partículas muy pequeñas, la interacción interfiere notablemente con el proceso de medición, alterándolo de forma sustancial. Aparte de ello, la propia naturaleza de las partículas subatómicas no es exactamente como se pensaba en física clásica y ello condujo a una remodelación del concepto que tenemos de la naturaleza. No se puede pretender hacer un estudio exhaustivo de una materia como la teoría cuántica en unas pocas páginas, de forma que aquí se tratarán únicamente los conceptos básicos sobre este tema. Antes de continuar es menester aclarar que la física cuántica está lejos de ser intuitiva. Muy al contrario, en determinados momentos parecerá que viola las más elementales normas del sentido común y la razón, dotando a las partículas subatómicas de propiedades sorprendentes y aparentemente absurdas como sería el hecho de estar en dos sitios a la vez o que un fenómeno pueda existir y no existir a un mismo tiempo. Hay una cosa importante, y es que todas las certezas de la física clásica se transforman en simples probabilidades, y abandonaremos el concepto de determinismo diciendo, simplemente, que la probabilidad de que ocurra un determinado acontecimiento es del 80%, el 50%, etc. A menudo se dice que un buen síntoma de saber física cuántica consiste en no comprenderla. Mucho más sorprendente resulta comprobar que muchas de las leyes aparentemente absurdas que la gobiernan son plenamente cumplidas por las partículas subatómicas. 2 Operadores y valores propios. Una de las características de la mecánica cuántica es el uso de operadores. Un operador es un elemento simbólico que, al ser aplicado a una función o variable, produce algún tipo de operación matemática. Un buen ejemplo de operador simbólico es nabla, que, como es sabido, posee la forma ∇ = i ⋅ú/úx + j ⋅ú/úy + k⋅ú/úz. Además de efectuar una derivación, el resultado de aplicar nabla a una función escalar produce un vector, al cual se denomina gradiente. Si A es un operador de este tipo, al ser aplicado a una expresión, puede ser usado igual que un número, empleando operaciones habituales, como por ejemplo la distributiva:

[ ] )()()()( 2121 xAbfxAafxbfxafA +=+ , (2.1)

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donde f1(x) y f2(x) son funciones de la variable x. Nótese que los operadores se aplicarán normalmente a funciones puesto que A puede contener operaciones de derivación. Existen diferentes operaciones matemáticas que se pueden aplicar a un operador como el producto (A·B), por ejemplo, consistente en aplicar sucesivamente primero B y después A. Por ejemplo, sean dichos operadores A = x y B = d/dx, pudiendo poner que:

)()( xfxxAf ⋅= , )()( xfdx

dxBf = ,

y por tanto: [ ] )()()()( xfxxfAxBfAxABf �� === ,

Como resulta evidente, el producto no es conmutativo. En cuanto a los valores propios, o autovalores, hay que decir que en determinadas circunstancias los operadores se pueden reducir a un simple producto clásico. En el caso que hemos planteado en el ejemplo, con A=x, esto ya ocurre puesto que el operador es una mera multiplicación por x sin mayores consecuencias. La pregunta es si existen casos en los que un operador de derivación pueda simplificarse de esta manera, y citaremos el ejemplo de la función x2exf =)( , a la cual aplicaremos el operador simbólico derivada: B=d/dx, se tiene:

)()( xfxBf x2e ⋅=⋅= 22 , (2.2) lo que nos lleva a pensar que, en este caso particular, aplicar el operador B es lo mismo que multiplicar por 2. Decimos, entonces, que "2" es un valor propio o autovalor. Más adelante usaremos este concepto. En el caso en el que el autovalor sea una constante, la aplicación sucesiva del operador (B en este caso) equivale a sucesivas multiplicaciones por dicho autovalor. Si b es el autovalor constante del operador B, se tiene:

n nB f(x) b f(x)= Finalmente, cuando hay dos operadores A y B, denominamos conmutador [A,B] a la expresión:

[ ],A B AB BA= − (2.3)

Se dice que A y B conmutan cuando [A,B]=0, ya que en tales circunstancias:

0;AB BA AB BA− = = ,

lo que significa que el orden de aplicación de A o de B es indiferente (propiedad conmutativa). 3 Naturaleza de la luz

3.1 Emisión de un cuerpo negro

Antes de entrar en materia es importante analizar un fenómeno que produjo confusión en la física. La teoría electromagnética de Maxwell, presentada en 1865, no establecía relación alguna entre la frecuencia de una radiación y su energía. No obstante, los cuerpos, al calentarse, sabemos que comienzan a desprender luz, emitiendo una banda de longitudes de onda como se ve en la figura 3.1, en donde se ha puesto en ordenadas e, que es la densidad de energía emitida. Esta es la radiación de un cuerpo negro, que es aquél que

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absorbe por igual todo el espectro de una radiación. Inversamente, cuando radia, no tiene preferencia por una frecuencia en concreto. Pese a ello, a medida que la temperatura aumenta, experimentalmente se ve que el pico de la emisión se desplaza hacia longitudes de onda más cortas, es decir, frecuencias más altas. La llamada ley de Wien dice que el producto de la temperatura por la longitud de onda del pico máximo de la curva es una cantidad constante. Daba, pues, la sensación de que, a mayor energía, la frecuencia aumentaba también, y eso llevó al físico Max Planck a enunciar la ley de proporcionalidad entre energía y frecuencia:

nhE = (3.1) donde h es una constante denominada constante de Planck y n la frecuencia de la radiación. En esta ley se basarán muchos de los razonamientos posteriores. 3.2 El efecto fotoeléctrico. Un interesante fenómeno es el efecto fotoeléctrico, cuya explicación le valió a Einstein obtener el premio Nobel en 1905. El hecho consiste en arrancar un electrón de la superficie de un metal haciendo incidir en ella una radiación. Se observa entonces que para determinadas frecuencias de la luz el electrón es extraído y para otras no. Casualmente, las radiaciones de altas frecuencias eran capaces de hacerlo pero no las bajas. La explicación es la siguiente: en la superficie de un metal existe una barrera de potencial eléctrico que impide a los electrones de conducción abandonarlo. No obstante, si al electrón le suministrásemos una energía suficiente que supere el valor de dicho escalón de potencial, entonces se verá libre de ataduras y podrá salir del metal. Sea f el valor del escalón de potencial y E la energía de la onda incidente. En tal caso, la energía que le queda al electrón será la diferencia entre ambas, es decir:

fE E= − f (3.2)

Ahora bien, se observa, como dijimos, que no cualquier radiación puede extraer al electrón sino sólo cuando la frecuencia es alta. Para bajas frecuencias, aún aumentando la intensidad desmesuradamente no es posible arrancar al electrón, lo cual reafirmó que la energía de una

radiación debía depender exclusivamente de su frecuencia. En ese caso, por aplicación de (3.1) la ecuación (3.2) queda como:

fE h= −n f . (3.3)

Por lo general, lo que se desea conocer es el potencial de arranque f, para lo cual se dispone un experimento como el de la figura 3.2, en donde una lámina de metal a estudiar se bombardea con una determinada radiación de frecuencia variable. En el lado derecho se dispone una lámina también conductora y se aplica al conjunto una diferencia de potencial V, que repele al electrón recién extraído. La

Fig. Fig. Fig. Fig. 3.23.23.23.2:::: Medición del potencial de arranque de un metal por efecto

fotoeléctrico.

Fig. Fig. Fig. Fig. 3.3.3.3.1:1:1:1: Ley de Wien de la emisión de un

cuerpo negro

4

corriente se controla mediante un galvanómetro y al incidir la radiación adecuada se supone que arrancará electrones del metal, los cuales saldrán con una energía Ef dada por la ecuación (3.3) y se observará corriente en el galvanómetro. Variando V, se lleva a cero de nuevo la corriente. En ese instante está igualada la energía que la radiación ha suministrado al electrón con la del campo aplicado y se puede poner en valor absoluto:

fE eV= (3.4)

donde e es la carga del electrón. Combinando (3.3) con (3.4) se obtiene una ecuación que nos permite calcular el potencial de arranque:

eV h= −n f (3.5) La explicación del fenómeno consiste en suponer que la luz está compuesta de pequeñas partículas, llamadas fotones, y que golpean al electrón para hacerle salir. La razón de que no dependa de la intensidad sino de la frecuencia es la siguiente: Supongamos que iluminamos con una radiación de baja frecuencia que no supera el potencial de arranque. Quizá pensemos que podríamos conseguirlo aumentando la intensidad, pero ésta consiste simplemente en un aumento del número de fotones que inciden en la superficie, y cada uno de ellos sigue siendo bajo en energía, con lo que cada choque con el electrón es insuficiente para sacarlo de su estado, por muchas veces que se produzca. 4 Ondas y corpúsculos. Como se dijo anteriormente, conocidas las condiciones iniciales de un sistema, éstas producían unos efectos únicos e inamovibles que determinaban de manera precisa su posterior evolución. Decíamos, igualmente, que cuando se pretende medir algo, de alguna manera tenemos que participar en el propio fenómeno a medir, lo que perjudicaba gravemente la objetividad del experimento. Veremos a continuación un ejemplo que pone de manifiesto en qué forma una medición es alterada por el propio instrumento de medida. La práctica mostraba que las partículas, unas veces se comportaban como diminutos corpúsculos confinados en un recinto espacial bien definido, y otras lo hacían asemejando el comportamiento de ondas. Es clásico el experimento de la doble rendija en donde se hace incidir un haz luminoso sobre una pantalla en donde se han practicado dos aberturas (véase la fig. 4.1). Cuando solamente se abre una de las rendijas, el resultado es aproximadamente (sin tener en cuenta los efectos de la difracción), una mancha luminosa, a ó b en la figura, muy fácil de explicar si suponemos que la luz estuviese formada por diminutos corpúsculos, quienes se amontonarían preferentemente frente a dicha rendija. No hay que olvidar que Newton ya había postulado que la luz se componía de pequeñas partículas, y este hecho sería confirmado posteriormente por Einstein al mostrar el efecto fotoeléctrico del cual ya hemos hablado. No obstante, en el caso de abrir ambas rendijas, la teoría corpuscular predice dos manchas aisladas (que supondría la superposición de las curvas a y b de la figura), cuando la realidad es que se

a

b1

2F

b+a

Fig. Fig. Fig. Fig. 4.14.14.14.1:::: Experimento de la doble rendija. Cuando ambas están abiertas

aparece una interferencia a+b.

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forma una figura con franjas de interferencia oscuras y claras b+a, muy fácil de explicar si se considera la luz como una onda. El resultado obtenido con otras partículas como electrones o, incluso, neutrones, es análogo. Las dos teorías parecen en principio irreconciliables puesto que un corpúsculo está, por definición, localizado en un punto concreto del espacio, mientras que las ondas están dispersas en éste. Un corpúsculo pasa por una rendija o por la otra pero no puede pasar al tiempo por ambas, lo que sí puede perfectamente hacer una onda. 4.1 Las funciones de probabilidad. Principio de indeterminación de Heisenberg.

En vista de los resultados obtenidos en el experimento de la doble rendija, el físico Luis De Broglie postuló que cada partícula llevaba una onda asociada que le confería dichas propiedades. Esto acabó por convertirse en la conocida naturaleza dual de las partículas, comportándose, bien como ondas, bien como corpúsculos. En el caso de la luz, esta última circunstancia era particularmente molesta puesto que, al tratarse de partículas sin masa, debían carecer igualmente de cantidad de movimiento en el sentido clásico de la palabra. La solución de este conflicto fue llevada a cabo cuando Max Planck enunció su fórmula (3.1), que reproducimos una vez más:

nhE = . (4.1) Teniendo en cuenta que la relación clásica entre energía y cantidad de movimiento es E = pv, para ondas que se desplazan a la velocidad c,1 quedará que pc = hn. Mediante las igualdades c = ln= 2pn/k, (k = 2p/l, o número de onda) podemos obtener una última expresión para p:

khk

phk

ppc �====p

npn

2

2; , (4.2)

donde �=h/2p. Nótese que la energía también se puede escribir como:

0pnp

�== 22

hE . (4.3)

Dado que la cantidad de movimiento es un vector, se define otro vector nuevo, el kkkk que, para una onda, coincide con la dirección de propagación y es la misma que la de pppp. Entonces se establece que:

kp �= . (4.4) Se puede comprender que una partícula se manifieste de forma dual si se analiza una onda desde el punto de vista de su relación con su espectro. Sabemos que la ecuación diferencial que rige una onda unidimensional es:

2 22

2 2c

t x

∂ ∂=

∂ ∂

y y, (4.5)

donde y es una magnitud física cualquiera (campo eléctrico, magnético, elongación de un resorte, presión, etc.), y cuya solución es y= f(x ± ct), es decir, una función arbitraria de x ± ct. En nuestro caso veremos más adelante, al integrar la ecuación de Schrödinger, que la función y representa una distribución de probabilidad que, por caprichos de la naturaleza, adopta una forma ondulatoria. Se podría decir que es una onda en donde el ente físico que

1 El lector puede comprobar que si la velocidad de la partícula fuese inferior a la de la luz, la expresión no se

modifica puesto que c es un parámetro que se simplifica, sea cual sea su valor.

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vibra es la probabilidad. Supongamos que existe una determinada onda, de duración infinita, que supone una única sinusoide de una determinada frecuencia n (Figura 4.2). La parte de arriba representa una onda desarrollada en su eje de tiempos, y abajo otra gráfica con las frecuencias en abscisas y consistente en un segmento vertical de la misma dimensión que la amplitud de la onda situado en la frecuencia n de la onda. El matemático Joseph Fourier demostró que una función periódica cualquiera se puede descomponer en una serie de términos senoidales de frecuencias múltiplos enteros n, 2n, 3n, etc. A estas

ondas senoidales se las denomina armónicos, y el conjunto de ellas forma el espectro de la radiación, que es la gráfica representada en la parte inferior de la figura 4.2. También demostró que una función de forma cualquiera, sin necesidad de que sea periódica, también admite una descomposición de este tipo, excepto que ahora las frecuencias no están separadas por múltiplos enteros sino que distan una cantidad infinitamente pequeña dn, lo que constituye un espectro continuo. Una forma de visualizar esto es con la figura 4.3 en donde se han sumado unos cuantos armónicos a uno y otro lado de una frecuencia central, siendo el resultado que la onda comienza a confinarse. El espacio donde se representa al espectro de denomina espacio recíproco. Cuando una onda posee una duración finita, su espectro se ensancha presentando lo que se llama ancho de banda. Existe un teorema en teoría de Fourier que nos dice que el producto de las anchuras de la onda y de su espectro es igual a la unidad. En la figura 4.4 se ilustra este fenómeno: cuando la anchura de la onda aumenta, el ancho de banda (frecuencias en el plano recíproco) se estrecha, siendo reducido a un segmento en el límite como aparece en la figura 4.2. Inversamente, si la anchura del paquete se hace pequeña, el ancho de banda aumenta. En la figura 4.4 dichas anchuras se representan por Dt y Dn, y se verifica que:

1t · =D Dn (4.6)

Aplicando la ley de Planck (4.1): t · E h=D D (4.7)

También se puede considerar una gráfica en donde en lugar de tiempos aparezcan longitudes en cuyo caso tenemos una onda dibujada en el espacio y le corresponde un espectro de frecuencias que en este caso se llaman espaciales, y están determinadas por la inversa de la longitud de onda, y que llamaremos a, siendo a= 1/l. Se puede establecer una igualdad semejante a (4.6) pero en términos de espacio:

1x · =D Da (4.8)

De (4.2) se deduce que: h

p k h= = = al

� , y sustituyendo en (4.8) se tiene:

x · p h=D D (4.9)

Fig. 4.2Fig. 4.2Fig. 4.2Fig. 4.2 Onda y espectro.

Fig. 4.Fig. 4.Fig. 4.Fig. 4.3333 Resultado de sumar una banda de frecuencias.

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que se conoce como el principio de indeterminación de Heisenberg, y establece un valor mínimo para el producto Dx·Dp. La ley establecida en teoría de Fourier (4.6) hace alusión a la magnitud anchura equivalente, que deja encerrada la mayor parte de la energía, pero no es el límite total porque deja colas fuera de ella. Por consiguiente, a veces se alude al principio de indeterminación como x p h∆ ⋅∆ ≥ , o

x p∆ ⋅∆ > � (dependiendo de las unidades que se tomen). Ahora podemos comprender un poco más el porqué de la naturaleza dual de una partícula, ya que pasaría de extenderse para formar un tren de onda largo a comprimirse hasta formar un impulso, o delta de Dirac. En el primer caso nos encontramos ante una onda bien definida, cuyo espectro es monocromático, es decir, de una sola frecuencia o una banda infinitamente estrecha (figura 4.2). En tal caso la ecuación (4.4) nos dice que el valor de la longitud de onda l, y por tanto k y p están perfectamente definidos. Por el contrario, cuando el paquete se reduce a un impulso, la partícula se manifiesta como un corpúsculo, que ocupa una posición exacta en el espacio o, al menos, muy confinada. No obstante, su espectro se ha extendido y ahora ocupa una banda de

frecuencias casi infinita (ver parte inferior de la figura 4.4); en definitiva, la cantidad de movimiento no tiene un valor único y definido. Como vemos, cuando la cantidad de movimiento es exacta, entonces la partícula es una onda, ocupando una gran cantidad de espacio (posición indefinida). Cuando la que es exacta es la posición, la partícula es un corpúsculo y su cantidad de movimiento indefinida dentro de una banda infinitamente ancha. Volviendo a la ecuación (4.5), si suponemos que en el experimento de la doble rendija los fotones fuesen corpúsculos, el resultado coincide con la interpretación ondulatoria, a condición de decir que y(x,t) represente la probabilidad de encontrar al fotón en ese lugar del espacio y en el momento t. Dado que tiene la forma de una onda se la conoce como función de onda de la partícula, siendo su expresión general:

[ ]0( , ) exp ( )t x i kx t= −y y w (4.10)

Para entender un poco este concepto nuevo supongamos una superficie como la del

mar, en la cual se deslizan uniformemente olas de una cierta altura h. Existirá una función h=h0f(x) que permite calcular la altura de las olas a una distancia x. No obstante, estamos suponiendo que a esa distancia x las olas llegan sin traba alguna. Consideremos ahora elementos fortuitos que pudiesen constituir impedimentos para las olas, por ejemplo, la llegada a una playa. Por acción de la arena las olas tienen una probabilidad decreciente de internarse. Si se situase una hilera de rocas, la probabilidad de encontrar una ola detrás de éstas sería todavía menor. Cuando se sitúa una doble rendija, la distribución de probabilidades de encontrar al fotón está dada por la curva de trazo grueso b+a de la figura 2. Esta probabilidad tiene una forma de carácter ondulatorio capaz de crear interferencias. El porqué de esto es uno de los misterios más profundos que muestra la física cuántica; no existe ninguna explicación

Fig. 4.4Fig. 4.4Fig. 4.4Fig. 4.4: El producto de anchuras de la onda y el espectro permanece constante.

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racional ni símil alguno por el momento que pueda justificar la existencia de estos entes llamados ondas de probabilidad. De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, y según (4.2), cada partícula lleva una onda probabilística asociada cuya longitud de onda será:

ph /=l , (4.11) llamada longitud de onda de De Broglie. La cantidad y(x,t) es, además, un número complejo, lo cual añade aún mayores dificultades a una posible interpretación física. No puede haber probabilidades negativas y mucho menos imaginarias, de forma que la probabilidad auténtica debe ser un número real, que al final se traduce mediante el módulo de y(x,t), desempeñando el mismo papel que la intensidad en una onda luminosa. Podemos decir, por ejemplo, que una zona es más luminosa que otra porque a ella llegan más fotones que a la segunda (tienen mayor probabilidad de llegar). En definitiva,

t)(xt)(xt)(xtx ,,,),( *2yyy4 ⋅== , (4.12)

donde 4(x,t) es la probabilidad real y medible. Dicho con mayor propiedad, será la densidad de probabilidad, o probabilidad física (por unidad de volumen, longitud, etc.), siendo el cuadrado del módulo de y(x,t). La función de onda (4.10) se descompone en tres componentes, x, y, z, definiendo una cantidad vectorial y(r,t):

[ ]0( , ) exp ( )x xt i k x t= −rrrry y w ,

0( , ) exp ( )y yt i k y t = − rrrry y w ,

[ ]0( , ) exp ( )z zt i k z t= −rrrry y w ,

donde aparecen también las tres componentes del vector k. En ocasiones aparecen constantes resultado de integraciones que, para poder ser determinadas se recurre a lo que se entiende como normalización. Para ello se recurre a integrar la probabilidad r, extendida a la totalidad del espacio, ya que en tal caso hay total certeza de encontrar a la partícula (probabilidad igual a 1):

1(r)dVÍ∞

=r ; 1*(r) (r)dVÍ∞

⋅ =y y (4.13)

4.2 Generalización del concepto de onda

Sabemos que la ecuación clásica de ondas (4.5) tiene una solución del tipo (4.10) que ya se conocía de antiguo, tanto en sonido como en electromagnetismo. Ahora se plantea justamente la cuestión inversa, es decir, que queremos saber si, aparte de (4.5), la expresión (4.10) es también solución de otras ecuaciones que no sean (4.5). Para ello vamos a hacer unas deducciones apoyándonos en el tema de operadores que vimos en el párrafo 2. Tomemos (4.10) y apliquemos dos operadores: el B, que ya lo conocemos como ∂/∂x (parcial porque y depende de x y de t), y otro que llamaremos T y que es lo mismo pero respecto del tiempo (∂/∂t). Veamos qué sucede cuando aplicamos ambos:

[ ] [ ]0 0( , ) exp ( ) exp ( )B x t i kx t ik i kx t ikx

∂= − = ⋅ − = ⋅

∂y y w y w y

es decir, que el valor propio de B es ik. Si se aplica T el resultado es análogo:

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[ ] [ ]0 0( , ) exp ( ) exp ( )T x t i kx t i i kx t it

∂= − = − ⋅ − = − ⋅

∂y y w w y w w y

siendo ahora -iw el valor propio de T. Dado que tanto ik como -iw son constantes, según se vio en el párrafo 2, la aplicación sucesiva de B y de T (derivadas segunda, tercera etc.) traerá como consecuencia ir multiplicando cada vez por ik y por -iw. Es decir:

( ) ( )n n n nB ik T iw= ⋅ = − ⋅y y y y

Vamos a expresar (4.5) con estos operadores:

2 22 2 2 2

2 2c T c B

t x

∂ ∂= → =

∂ ∂

y yy y

o bien: 2 2 2 0(T c B− =) y ,

Si construimos un polinomio arbitrario con T2 y B2, y seguirá siendo solución de la ecuación, porque siempre equivaldrá a otro polinomio de valores propios sin derivadas. Escribiremos entonces:

2 2 0f(T , B =) y El siguiente paso es considerar potencias que sean distintas de 2 y y volverá a ser solución por la misma razón que antes. Así pues escribiremos con carácter general:

0n mf(T , B =) y . (4.14)

Con equivalencia a un polinomio de valores propios ik y -iw:

0n mf ( iw) , (ik)− = y , (4.15)

Tal como se apuntó antes, ya no tiene derivadas, y por tanto nos dice que dicho polinomio en y es lo mismo que (4.14). Decimos que (4.14) representa una onda generalizada por el hecho de no restringirse n ni m a 2, como en la forma clásica, sino a cualquier valor. Teóricamente el polinomio f(Tn,Bm) puede ser arbitrario, pero habrá que construirlo con un sentido físico claro. 5 Ecuación de Schrödinger.

Antes de comenzar es importante recordar algunos conceptos sobre energía. Para ello vamos a fijarnos en la fig. 5.1 en la cual hay una rampa y una bola de masa m. Inicialmente ésta se encuentra en reposo en la posición A. La energía que posee la bola es únicamente potencial y su valor es VT = mgH. Vamos a empujar la bola de tal manera que la energía comunicada sea muy pequeña y la estrictamente necesaria para que la bola caiga por la rampa.

Despreciaremos este pequeño impulso, pudiendo poner que en un punto cualquiera de la rampa se verifica que la energía total es la suma de las energías potencial V y cinética Ec, es

vvf

Hh

A

BC

Fig.Fig.Fig.Fig. 5.15.15.15.1:::: Ejemplo de barrera de potencial.

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decir: ET = Ec+V. La energía total es constante. Si la bola cae, la energía cinética crece a expensas de la potencial, que disminuye, y si la bola subiese por la pendiente se frena haciendo crecer la energía potencial a expensas de la cinética. En la posición A la energía total es igual a VT (mgH) porque la cinética es cero y en C es igual a la energía cinética ½mvf

2. Es fácil deducir la velocidad en cualquier punto de la trayectoria sin más que plantear:

)(; hHgvmghmv2

1VEmgH 2

c −=+=+= 2 , (5.1)

siendo H y h las alturas indicadas en 3. En el problema inverso, una bola se lanza desde C en sentido contrario con una velocidad vf. Supongamos que ésta es la velocidad justa para que la bola suba la rampa y quede inmóvil, con lo que toda la energía cinética se transforma en potencial, es decir:

mgHmv2

1 2f = . (5.2)

Si se lanza la bola con velocidad v ≥ vf, es decir Ec ≥ VT existe un excedente de energía y el objeto continuará su camino por la parte superior aunque, naturalmente, con velocidad menor. Cuando se dé la circunstancia de que Ec ≤ VT, la bola nunca podrá subir la rampa porque carece de la suficiente velocidad. Decimos entonces que la posición A está prohibida porque existe una barrera de potencial. Primeramente vamos a expresar la conservación de la energía para una partícula ayudándonos de la ley de Planck. Las leyes de la mecánica nos dicen que ET = Ec + V, que es lo que acabamos de discutir. Pondremos entonces que la energía total, para el caso de un fenómeno ondulatorio será, por aplicación de (4.3):

cw E V= +� Pero la energía cinética se puede expresar también como:

221

2 2c

pE mv

m= = ,

y ahora, según (4.4): 2

2c

( k)E

m=�

, pudiendo obtener una expresión para la conservación de la energía

en el caso de ondas: 2

2

( k)w V

m= +�

� (5.3)

Pasando todo a un miembro, haremos algunos ajustes empleando la unidad imaginaria y sabiendo que su cuadrado i2 = -1:

2

02

( k)w V

m− − =�

� 2 2

02

(ik)i ( iw) V

m− + − =

�� .

o bien: 2

2 02

i ( iw) (ik) Vm

− + − =�

� .

Acabamos de obtener un polinomio en ik y -iw del tipo (4.15), que como hemos visto, será solución de una onda general (4.14):

11

22

02

i T B Vm

+ − =

y

�� .

Sustituyendo T y B respectivamente por sus valores simbólicos ∂/∂x y ∂/∂t:

2 2

20

2i (x, t) (x, t) V (x, t)

t m x

∂ ∂+ − ⋅ =

∂ ∂y y y

�� (5.4)

conocida como ecuación de Schrödinger y que constituye la pieza clave de la física cuántica. (5.4) es la expresión en una dimensión x, pero se puede generalizar fácilmente al espacio:

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2i ( , t) ( , t) ( , t) ( , t) V( ) ( , t)

t m x m y m z

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂r r r r r rr r r r r rr r r r r rr r r r r ry y y y y

� � ��

siendo ahora y una función de r. La ecuación suele resumirse mediante el operador laplaciano (nabla cuadrado):

22

2i ( , t) ( , t) V( ) ( , t)

t m

∂+ ∇ =

∂r r r rr r r rr r r rr r r ry y y

�� . (5.5)

6 Estados estacionarios. La integración de la ecuación de Schrödinger es uno de los problemas más laboriosos de la mecánica cuántica. Vamos a probar una solución compuesta por el producto de dos funciones separadas, es decir, una dependiente únicamente del tiempo y otra del espacio:

)()(),( tt yyy ⋅= rr . Entrando en la ecuación de Schrödinger (5.4),

22

2i ( ) (t) (t) ( ) V( ) ( ) (t)

t m

∂+ ∇ =

∂r r r rr r r rr r r rr r r ry y y y y y

�� ,

2

21 1

2i (t) V( ) ( )

(t) t ( ) m

∂ = − ∇ + ∂

r rr rr rr rrrrr

y yy y

�� .

Esta ecuación tiene su primer miembro dependiente del tiempo y el segundo del espacio. Eso significa que podemos igualar ambos a una constante E (que como intuimos, será la energía según se vio en la demostración de esta ecuación):

���

/)(;/)(;)()(

iEtAetiEttLEtdt

d

ti −=−== yyy

y

1.

Como la forma general de una onda es tiAe 0− resulta ser �/E=0 , que si se compara con (4.3) se comprueba que la constante es la energía. Para el otro miembro se tiene:

12

0yy

��

==

+∇− EV

m2

2

)()()(

rrr 2

1,

22

2V( ) ( ) E ( )

m

− ∇ + =

�y yr r rr r rr r rr r r . (6.1)

El operador del primer miembro se denomina hamiltoniano H, pudiendo poner que:

)()( rr yy EH = , (6.2) encontrando una vez más que el resultado de aplicar un operador a la función y(r) es lo mismo que multiplicar por E, es decir, que E es un valor propio. Como

)()(),( tt yyy ⋅= rr , el resultado final es �iEtet −= )(),( rr yy y el problema se centra en la resolución de (6.2). A continuación estudiaremos varios casos, reduciéndolos a su forma unidimensional. 6.1 Partícula libre. Este caso implica que no existe potencial en ningún punto del espacio. Por tanto V(r) = 0, quedando (6.1) en una dimensión:

02

=+ )()(

xEdx

xd

m 2

22

yy� , (6.3)

Sustituyendo el operador derivada por su valor propio ik (-k2 para segunda derivada) se tiene:

22 2

0 ;2

mEk E k

m− + = = ±�

� , (6.7)

Como la solución se conoce: [ ]0exp(x) ikx=y y escribimos simplemente ambas soluciones:

1 0 2 0( ) exp( ) exp( )A x A ixk A ixk= + −y , (6.8)

donde k0 viene dado por (6.7) y el subíndice expresa "partícula libre". (6.7) representa una onda con su correspondiente reflejada y extendida a la totalidad del espacio.

6.2 Escalón de potencial. Estudiaremos el caso unidimensional en el cual aparece una distribución de potencial representado en la figura 6.1, es decir:

.)(

)(

∞≤≤→=

≤≤−∞→=

xVxV

xxV

0

00

En la zona A la función de onda es la de una partícula libre, adoptando la forma (6.8), con una onda que se propaga hacia la derecha y otra reflejada hacia la izquierda. Adoptaremos la notación kA y kB para los números de onda en las zonas A y B respectivamente, de

x

V

0

A B

Fig. Fig. Fig. Fig. 6.16.16.16.1:::: Escalón de potencial.

13

forma que será kA = k0. En la zona B (6.1) se expresará como:

2 2

20

2

d(E V)

m dx+ − =

yy

�,

que es igual a (6.3) pero sustituyendo E por E-V, con lo que se tiene para k:

2B

m(E V)k

−= ±

�, (6.9)

con solución:

1 2( ) exp( ) exp( )B B Bx B ik x B ik x= + −y . (6.10)

Cuando V<E, kB es real y el exponente imaginario, dando una solución periódica

con número de onda dado por (6.9). Si comparamos este valor con el de la partícula libre (6.7), que es la situación de la partícula en el semiplano OX negativo (zona A de la figura 6.1), vemos que ahora kB < kA, y como k = 2pn, la frecuencia disminuye al atravesar la barrera de potencial, o con otras palabras, según la ecuación de Planck (4.1), la energía de la partícula ha disminuido por haber sido absorbida parte de su energía en el escalón. Parte de la onda será reflejada (signo menos) y parte transmitida.

El segundo caso se produce si V>E. Ahora k es imaginario, dando exponentes reales en (6.10), produciendo una curva amortiguada (onda evanescente) y escribiremos k = - rB, siendo rB el coeficiente de amortiguamiento:

1 2( ) exp( ) exp( )B B Bx B x B x= − +y r r . (6.11) de valor

2B

m (V E)−= ±r

� (6.12)

A diferencia del caso anterior, la solución general en B no posee onda reflejada, siendo B2 =0. La razón es simple porque si una onda viaja hacia la derecha no tiene sentido que aparezca otra reflejada desde el infinito, mientras que en la zona A sí aparecerá una onda reflejada por el propio escalón. Entonces se tiene:

( ) exp( )B Bx B x= −y r . (6.13)

x

E>Vy(x)

x

y(x)E<V

V

a

b

Fig. Fig. Fig. Fig. 6.26.26.26.2:::: Distribución de la función de onda en los casos a: E > V y b: E < V.

14

Recordemos que este último caso pertenece a una barrera de potencial prohibida para la partícula en física clásica (es la bola marchando de derecha a izquierda en la figura 5.1 con velocidad insuficiente para remontar la pendiente). No obstante, en el caso cuántico se permite a ésta una probabilidad de penetrar en la zona prohibida. Por supuesto, el escalón posee un desvanecimiento con un factor V-E, que será tanto más enérgico cuanto mayor sea dicho valor, es decir, cuanto más se aparte la energía de la partícula E del potencial que debe superar (fig. 6.2). Igual que en el caso anterior tendremos onda directa y reflejada, esta vez una mayor proporción de la última.

En el tercer caso a considerar E=V, y entonces (6.1) se convierte en:

0=2

2

dx

xd )(y, es decir, 211 CxCxC

dx

xd+== )(,

)(y

y,

convirtiéndose la función de onda en una recta. Se puede demostrar que aunque atraviese un potencial discontinuo, la función de onda permanece continua y derivable, de forma que podremos hallar información adicional igualando tanto las funciones como sus derivadas en dicho punto de discontinuidad, es decir, que si éste se encuentra, por ejemplo, en x = xd, se tiene:

)()(;)()( dddd xxxx BABA yyyy �� == , (6.14) siendo yA y yB las funciones de onda a ambos lados de la discontinuidad.

En el caso V<E, el punto de discontinuidad es el origen, por lo que igualaremos yA(0) =yB(0) y sus derivadas:

BAA B21A ==+= )()( 00 yy ; 2A1AA AikAik −=)(0y� ; BikBB =)(0y� dando el sistema:

BAA 21 =+ BkAAk B21A =− )( (6.15)

Estas ecuaciones permiten conocer las relaciones de haces reflejados y transmitidos. 6.3 Barrera de potencial. Efecto túnel. Este es un caso que se puede derivar del anterior, ya que consiste en la colocación de dos escalones de potencial tal como muestra la figura 6.3. Si la partícula se desplaza de izquierda a derecha encuentra un primer escalón de potencial en x =0 y de nuevo V = 0 para x>L. Cuando V<E se produce la situación de la parte superior a de la fig. 6.2. Tanto en el origen como en x = L se producen reflexiones de la onda. Especialmente, las reflexiones en L forman ondas estacionarias en el interior de la barrera de potencial, reforzando o atenuando las transmisiones en función de su espesor. El resultado es análogo al caso de óptica con un resonador de Fabry-Pérot. Más interesante es el caso en el cual E<V, es decir, en donde la barrera es

x

y(x)

E<V

LO

Fig. 6Fig. 6Fig. 6Fig. 6.3.3.3.3:::: Efecto túnel al atravesar la función

de onda una barrera de potencial.

15

infranqueable según la física clásica. En este caso, ilustrado en la figura 6.3, se produce en el primer escalón la solución (6.13), con una curva amortiguada de coeficiente r, u onda evanescente, que alcanza el borde derecho de la barrera. En ese punto vuelve a ser V = 0 y la onda se propaga libremente de nuevo con solución (6.8) de un solo término positivo para x>L, aunque su amplitud habrá disminuido según sea el valor de L, implicando una probabilidad más baja a la salida que a la entrada. Este fenómeno se denomina habitualmente como efecto túnel, y se produce en numerosas situaciones, tales como la desintegración alfa, la inversión de la molécula de amoniaco y el efecto Josephson. 6.4 Pozo de potencial cuadrado. El problema inverso al de la figura 6.3 se plantea cuando tenemos un pozo de potencial. Esto es una zona en donde la partícula es libre rodeada por otra de potencial V (figura 6.4). Cuando E<V, en las zonas A y C la partícula se comporta como en la barrera de potencial (figura 6.2, b) con un exponente real, es decir, una onda amortiguada de coeficiente r, y de ecuaciones semejantes a (6.11), mientras que en B la solución será del tipo partícula libre (6.8):

1( ) exp( )A Ax A x=y r ;

2( ) exp( )C Cx C x= −y r ; (6.16)

1 2( ) exp( ) exp( )B B Bx B ik x B ik x= + −y .

Nótese que en estas ecuaciones se han omitido el término de exponente negativo en A y el término de exponente positivo en C ya que, según se desprende de la figura, las funciones de onda en A, y C se hallan confinadas y no se consideran ondas reflejadas desde el

infinito. Éstas corresponderían a coeficientes A2 y C1 viajando respectivamente de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Los valores correspondientes de k y r son los dados por (6.7) y (6.12) para la zona amortiguada:

�

mEkB

2= ,

�

)( EVmCA

−==

2rr .

(6.17) A continuación, para calcular los

coeficientes habría que recurrir a las condiciones (6.14) para x = 0 y x = a. Los resultados se pueden simplificar si suponemos que el pozo es de altura infinita o, lo que es lo mismo, suponer que EèV. En tal caso los amortiguamientos son infinitos, y la función de onda no existe en las zonas A y C. Si yA(0) = 0, y yC(a) = 0, para que la solución sea coherente, yB debe formar en el pozo ondas estacionarias que tendrán amplitud nula en las fronteras, es decir, yB(0) = 0, yB(a) =0. Introduciendo las condiciones x = 0 en (6.16) se obtiene:

000 =⇒= 1A A)(y ;

21B BB −=⇒= 00)(y ,

y para un punto que cumpla 0<x<a (dentro del pozo):

x

y(x)

E<VV

A B C

aO

Fig. Fig. Fig. Fig. 6.46.46.46.4: Función de onda en un pozo cuadrado de potencial.

16

[ ]2( ) exp( ) exp( ) 2 sen( )B B B i Bx B ik x B ik x B k x= + − =y , (6.18)

donde se ha simplificado B1 = B. De la segunda condición x = a, se obtiene igualmente:

00 =⇒= 2C Ca)(y

( ) 0 2 sen( ) 0B B Ba Bi k a k a n= → = → =y p , (6.19)

donde n es un número entero de medias circunferencias. Nótese que si B fuese cero no habría función de onda. Por otro lado se puede deducir para B la expresión siguiente:

2

iB

a= ± ,

y sustituyendo este resultado junto con (6.19) en (6.18):

2senB

n x(x)

a a

= ±

py , (6.20)

que demuestra que las funciones de onda posibles no forman una banda continua sino que están discretizadas para valores de n = 0, 1, 2,... igual que una cavidad resuena a diferentes armónicos. Si aplicamos la primera ecuación (6.17) junto con (6.19) se obtienen las energías correspondientes:

2

2222B

2

ma

n

m

kE

22

�� p== . (6.21)

Este es el caso de un pozo cuyos lados tienen un potencial infinito. En el caso de un potencial que fuese finito, la energía también está cuantificada, aunque siguiendo una distribución diferente a (6.21) que no sigue la ley de múltiplos enteros. El lector interesado en profundizar sobre el tema puede consultar cualquier tratado de física cuántica. La cantidad n se denomina número cuántico principal. 6.5 El oscilador armónico Otro ejemplo de aplicación de la ecuación de onda de Schrödinger es un campo en donde, al igual que un resorte, una partícula está sometida a una fuerza central que es proporcional a la distancia que la separa de dicho centro de atracción. Este caso compete a vibraciones atómicas en moléculas, y en tal caso lo que se tiene es una fuerza de la forma:

F kx= − (6.22) Sabemos por física clásica que la energía será:

21

2E d kxdx kxÍ Í= ⋅ = − = −F rF rF rF r (6.23)

Como sabemos, cuando el resorte se ha alargado hasta su posición extrema, el movimiento se detiene, habiendo almacenado toda la energía en forma de energía potencial. En ese caso, hay que sustituir el valor de (6.23) en (6.1), considerándolo como V(x):

17

2 22

2

1

2 2

dkx (x) E (x)

m dx

− − =

y y�

(6.24)

Hemos simplificado la laplaciana tridimensional por el caso en una dimensión al estar el movimiento confinado en el eje x. La integración de (6.24) no resulta sencilla, entre otras

cosas debido a que el potencial no es constante sino dependiente de la longitud. Este caso ni siquiera corresponde a un operador del tipo (4.15) y podría suceder que la ecuación (6.24) pudiera no ser siquiera una onda generalizada. No obstante, se mantiene la hipótesis de que (6.24) seguirá teniendo una solución de tipo ondulatorio dado que los fenómenos físicos no deberían depender de formalismos matemáticos. Si la resolución de la ecuación no condujese definitivamente a una onda entonces toda la base de la física cuántica se vendría abajo. De hecho la solución sigue siendo, efectivamente, una onda como la intuición física nos dice. Pasando por alto la integración de (6.24), el resultado final para los niveles de energía vienen dados por:

1

2E n

= +

w� (6.25)

siendo n un número entero de la misma manera que lo era el número cuántico principal del apartado anterior. Las soluciones de la ecuación de onda se parecen al caso de un pozo y están dibujadas en la figura 6.5. La constante k del campo (no confundir con el número de onda), igual que en el caso clásico de un resorte, tiene por valor:

2k m= w (6.26) 7 El átomo de hidrógeno. El átomo de hidrógeno es un caso de campo sometido a una fuerza central de tipo electrostático, de forma que el potencial de dicho campo lo conocemos por electricidad, y vale:

2

04

ZeV

r= −

pe (7.1)

Siendo Z el número atómico (en nuestro caso 1) y e la carga del electrón. Este potencial habrá que sustituirlo en la ecuación de Schrödinger dependiente del espacio (6.1):

2 22

02 4

e( ) E ( )

m r

− ∇ − =

�y y

per rr rr rr r (7.2)

Esta ecuación es de resolución compleja, de forma que veremos el resultado final, consistente en una serie de estados de energía cuya diferencia entre niveles vien dado por la siguiente

Fig. 6.5Fig. 6.5Fig. 6.5Fig. 6.5: Función de onda del oscilador armónico.

18

ecuación: 2

2

RhcZE

n= − , (7.3)

donde R es la llamada constante de Rydberg y Z el número atómico (=1 en nuestro caso). Los valores de la energía son negativos y se considera E = 0 cuando el electrón está en el infinito, de forma que E decrece a medida que n aumenta. Finalmente podemos pasar a comentar otra cosa importante que es sobre la posición de electrón. La física clásica predecía que el electrón perdería energía debido a la radiación provocada por su giro alrededor del núcleo, pero la física cuántica no se pronuncia en cuanto a trayectorias. Muy al contrario, explica que una trayectoria es un concepto erróneo ya que implicaría saber perfectamente su posición a cada momento y su cantidad de movimiento, lo que está en contradicción con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Por consiguiente diremos que el electrón no describe trayectorias alrededor de nadie sino que se resume en una nube de probabilidad de tipo esférico, aumentando dicha probabilidad a medida que nos acercamos al núcleo. Visto de esta manera, el electrón es más bien un campo de energía y no una pequeña esfera o corpúsculo giratorio. 8 Momento angular. Refiriéndonos una vez más a la figura 5.1, recordemos que la energía de una bola que cae por una pendiente es la suma en cada momento de su energía potencial y cinética.

cE E V= + , y que de esta igualdad se dedujo la ecuación de Schrödinger usando esta expresión de la energía como polinomio de (4.14). De la misma manera podremos construir otros polinomios de conservación, como lo es la cantidad de movimiento. A partir de (4.4), y teniendo presente que -i2 = 1, pondremos:

2p k ( i ) k i (ik)= = − = −� � � (8.1) Pero sabemos que ik es el valor propio del operador B (párrafo 4.1), con lo que obtendremos un polinomio, esta vez muy sencillo:

n nf(T , B ) i B ix

∂≡ − = −

∂� � , (8.2)

que define el operador, i / x− ∂ ∂� , cuyo autovalor es la cantidad de movimiento (8.1). Este

operador se llama igualmente operador cantidad de movimiento, usando también la letra pppp. En el caso tridimensional, es costumbre expresar las derivadas en x, y y z mediante nabla:

i= − ∇pppp � Nos encontramos con que en cuántica, las ecuaciones de la física clásica también son válidas pero a condición de expresar las ecuaciones mediante operadores, propiedad que se denomina primer principio de la física cuántica. Este mismo principio nos permite expresar otras ecuaciones de conservación. Igual que la energía o la cantidad de movimiento, se puede estudiar el momento angular, y que también se conserva en física cuántica. En este caso

19

concreto, que está definido en física clásica como el producto vectorial del vector de posición rrrr por pppp, es decir: L =L =L =L = rrrr×pppp, le corresponderá un operador LLLL:

i→ −pppp �∇∇∇∇ ; i→ − ×L rL rL rL r� ∇∇∇∇ (8.3) Tras esto, el siguiente paso es construir el polinomio de (4.14), que será simplemente el operador LLLL, aplicándolo a la función de onda correspondiente, con la salvedad de que el momento angular se da en los casos sometidos a fuerzas centrales, que son los diferentes átomos, y en ese caso es conveniente expresar la función de onda y en coordenadas esféricas, más que en cartesianas, con el cambio de notación de y a F. Si bien la ecuación de Schrödinger nos hablaba de la conservación de la energía, con el polinomio:

22

2

n nf(T , B ) i T B Vm

= + −�

� ,

ahora se tiene:

n nf(T , B ) i r≡ = − × ∇LLLL � , que expresa la conservación del momento angular. Recordemos que nabla es B en tres dimensiones, y que la aplicación del tiempo (operador T) da una solución trivial que es separable, por lo que no hace falta consignarlo en el polinomio. Solamente queda aplicar este operador a la función de onda F, con su correspondiente valor propio:

L=F FLLLL , es decir: i L− × =�rrrr F F∇∇∇∇ , (8.4) Desarrollemos el producto vectorial en cartesianas y, de momento, estudiaremos solamente la proyección del vector momento angular sobre el eje OZ, es decir, la componente Lz:

x y z

x y z

× =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i j ki j ki j ki j k

rrrr ∇∇∇∇ z i x yy x

∂ ∂= − −

∂ ∂ LLLL � (8.5)

y ahora haremos el cambio a esféricas. Recordemos las ecuaciones de transformación:

sen cos

sen sen

cos

x r

y r

z r

= ⋅

= ⋅

=

q f

q f

q

(8.6)

y que, dada una función f(x,y) se puede escribir:

f f x f y x yf

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f f f f

(8.7)

Fig. 8Fig. 8Fig. 8Fig. 8.1.1.1.1: Coordenadas esféricas.

20

y escribiéndola con la notación para operadores:

x yf f

x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f f, o sea

x y

x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂f f f (8.8)

Ahora usaremos las relaciones (8.6) para deducir las derivadas parciales de (8.8)

sen sen

sen cos

xr y

yr x

∂= − ⋅ = −

∂

∂= ⋅ =

∂

q ff

q ff

, y sustituyendo en (8.8):

Finalmente, entrando con este resultado en (8.5):

z i∂

= −∂

LLLL �f

, (8.9)

pudiendo poner finalmente para la ecuación angular (8.4), componente z:

;z z zi L i L∂

− = − =∂

LLLL� �F

F F Ff

(8.10)

Estableceremos un número ml tal que:

lL m= � , (8.11) con lo que se obtiene:

lnl l l

di m ; im d ; im

∂− = = =

∂

F FF; f F f

f F,

y por tanto: limCe= fF . (8.12)

Ahora bien, el ángulo f de esféricas, repite la posición cada 2p (una vuelta), de forma que la función f debe ser igual:

2 2l l l lim im ( ) im imCe Ce Ce e+= = =f f p f pF (8.13) deduciéndose que 2lime p =1, lo que supone que:

2 cos 2 sen 2 1liml le (m ) i (m )= − =p p p . (8.14)

Como la unidad es un número real, deberá ser 1 el coseno y nulo el seno:

cos 2 1

sen 2 0

l

l

(m )

(m )

=

=

p

p, (8.15)

es decir, que el argumento es múltiplo de 2p, lo que hace que ml sea un número entero ml = ±0, ±1, ±2, ±3, .... Así, los electrones se distribuyen según direcciones del espacio que se denominan orbitales, y cuya forma geométrica veremos después. En cuanto al valor de la componente Lz, ésta se deduce inmediatamente de (8.11):

y xx y

∂ ∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂f

21

z lL m= � . (8.16)

Al ser ml un número entero, (8.16) nos dice que la proyección del momento está cuantificada, es decir, que la dirección del vector LLLL no puede ser cualquiera sino que está gobernada por el número cuántico ml. Todo este razonamiento se ha basado en la componente Lz del momento angular. Para estudiar el módulo de LLLL es menester expresar una nueva ecuación completa en esféricas, de laboriosa resolución, que nos ofrezca todas las componentes y que nos informe sobre el módulo. No entraremos en tal demostración, sino que daremos el resultado, que nos dice que debe verificarse la siguiente relación:

2

21

Ll(l )= +

�, siendo l un entero l = 0, 1, 2, 3.... (8.17)

definiendo una vez más un nuevo número cuántico l, que muestra la cuantificación del módulo L. Se demuestra que l tiene valores de 0 hasta n-1 (número cuántico principal). Teniendo en cuenta que la proyección de un vector nunca puede ser mayor que su módulo, se tiene que zL ≤ LLLL , y de (8.16) y (8.17) se deduce:

1lm l(l )≤ + , (8.18) y teniendo presente que, tanto ml como l deben ser enteros, si ml fuese mayor que l, por ejemplo, l+1, entonces: 2 1 2 1l l l(l )+ + > + y no se cumpliría la desigualdad (8.18). De ello se desprende que los valores de ml están acotados entre 0 y ±l. Elaboramos la siguiente tabla:

n l ml Nombre del orbital 0 0 0 1 0 0 1s

2 0 0 2s 1 0, ±1 2p

3 0 0 3s 1 0, ±1 3p 2 0, ±1, ±2 3d

4

0 0 4s 1 0, ±1 4p 2 0, ±1, ±2 4d 3 0, ±1, ±2, ±3 4f

También podemos ver un esquema geométrico uniendo (8.16) y (8.17):

1z l

LL m

l(l )=

+.

Para l = 1, ml = 0, ±1, lo que da los valores 0 y 2

2 2z

LL L= = (véase figura 8.2), y

para l = 2, ml= 0, ±1, ±2, lo que da los valores 0, 6

6zL L= , y

6

3zL L= , ilustrados

22

en la misma figura. Podríamos pensar que un razonamiento análogo al que hemos empleado para deducir Lz nos llevaría a conocer igualmente Lx y Ly. No obstante, esto no es cierto. Se puede demostrar que existe una indeterminación muy semejante a (4.9), que nos dice que:

½x y zL · L L= �∆ ∆ ∆ , de forma que no nos es posible conocer la dirección del momento

angular con precisión. Este hecho nos va a dar una pista sobre la forma del orbital, ya que, si conocemos bien Lz, al menos eso nos dice que la proyección de LLLL sobre OZ es la misma, y en cuanto a LLLL lo único que vamos a poder decir es que se halla en alguna parte del cono que se describe en la fig. 8.3.

En cuanto a la forma de los orbitales, habría que determinar la función de onda, lo cual no es sencillo. Normalmente, al recurrir a coordenadas esféricas, se vuelve a probar una solución para y que sea el producto de otras dos funciones: una exclusivamente dependiente del radio y otra de los ángulos q, f, de forma que la relación sería:

(r, , ) R(r) Y( , )= ⋅y q f q f ,

y el resultado es que Y(q, f) resulta no depender de los ángulos cuando l = 0. Este tipo de orbital se denomina s, y está representado por una esfera, ya que no existen direcciones preferentes (ver fig 11). Cuando l =1, el orbital se denomina p, y la función esférica adopta las formas:

k cos , k sen cos , k sen sen⋅ ⋅ ⋅q q f q f ,

que son parejas de esferas tangentes a los planos coordenados (nuevamente figura 8.4). Estas soluciones se obtienen de multiplicar R(r) y Y(q,f):

Fig. Fig. Fig. Fig. 8.28.28.28.2: Relación entre los números cuánticos l y ml.

Fig. Fig. Fig. Fig. 8.38.38.38.3: Cono de probabilidad del momento angular LLLL.

23

Cuando l = 2 los orbitales son d y presentan las formas siguientes:

Fig. Fig. Fig. Fig. 8.48.48.48.4: Formas de los orbitales s y p. (l = 1)

Fig. Fig. Fig. Fig. 8.58.58.58.5: Formas de los orbitales d. (l = 2)

24

9. Espín 9.1. Experimento de Stern-Gerlach

En electromagnetismo se puede demostrar que cuando un objeto que posee momento magnético se encuentra en un campo magnético no homogéneo (es decir, que varía en una dirección determinada), el campo ejerce una fuerza que es proporcional, tanto a dicho momento como a la variación del campo. Si consideramos un campo magnético que varía en la dirección del eje z, escribiremos:

zz z

BF

z

∂∝

∂m

en donde Fz es la fuerza ejercida, con dirección z; Bz la componente z del campo magnético y mz la del momento magnético. El vector F tiene la dirección z, haciendo que el objeto se mueva, bien hacia arriba o bien hacia abajo según m apunte en el sentido de la variación de B o en el contrario. Para conseguir un campo creciente se utiliza un imán, como se muestra en la figura 9.1, en donde uno de los polos está afilado, produciendo que las líneas de campo se concentren (líneas azules) y que el campo varíe según nos movemos en sentido ascendente. El dispositivo tiene una pantalla (no representada para hacer la figura más clara) que se ubicaría donde están situados los puntos P y P'. A continuación vamos a mostrar que un objeto que gira en torno a otro genera un momento magnético. Vamos a considerar dos esferas cargadas (Fig. 9.2), una de las cuales es

negativa, -q, y gira alrededor de otra positiva +q. Si el radio del círculo descrito es r, el momento magnético se define como el producto de la intensidad de corriente eléctrica I por el área pr2. Supongamos igualmente que la velocidad angular de la esfera es 0, obteniendo de una manera simple la intensidad mediante el producto de la carga q por la frecuencia del giro n=0/2p, puesto que la carga pasa n veces por un mismo punto cada segundo. Por tanto,

22 2

2 2

q q rM I r r= ⋅ = =

wp wp

p (9.1)

Por otro lado, recordemos que el momento angular es L = r × p. Sabemos, por mecánica, que L también se expresa como J0, siendo J el momento de inercia. En nuestro caso J0=0mr2, siendo m la masa de la esfera, ya que ésta se encuentra concentrada en la esfera giratoria. Con todo ello podemos escribir que:

2L J mr= =w w

Combinándolo con (9.1) y estableciendo la igualdad vectorial:

2

q

m=M LM LM LM L , (9.2)

Fig. Fig. Fig. Fig. 9.9.9.9.1111: Experimento de Stern-Gerlach

+-

M

M s

Fig. Fig. Fig. Fig. 9.29.29.29.2:::: Momento magnético de dos partículas en rotación

25

en donde se ha puesto una relación vectorial por ser M y L de igual dirección, y sentido dependiendo de la carga q. Ahora que ya sabemos que el giro de un objeto alrededor de un centro de atracción genera un momento magnético, podemos volver a la figura 9.1 y haremos circular por el entrehierro un chorro de átomos2, tal como se muestra en la figura (líneas rojas). Por el principio que acabamos de citar, las partículas con momento magnético ascendente (mismo sentido que el campo creciente) serán desviadas hacia arriba y las que lo tienen descendente, hacia abajo. Este experimento se conoce con el nombre de Stern-Gerlach. Si las partículas se comportasen de acuerdo a la mecánica clásica, los momentos magnéticos estarían orientados al azar, con lo que la proyección del momento sobre la vertical podría tomar cualquier valor y se desplazarían con diversos ángulos. Como consecuencia, cada átomo sería desviado con una fuerza diferente, mostrando sobre la pantalla una mancha extensa de impactos que estaría comprendida entre los puntos P y P' de la figura 9.1. No obstante, lo que se observa es solamente dos manchas correspondientes a las posiciones extremas P y P'. Esto era de esperar puesto que sabemos que el momento angular está cuantificado, y como consecuencia también lo estará M por la relación (9.2). Sin embargo, la cosa no acaba aquí porque al cotejar los resultados del experimento Stern-Gerlach, se aprecia que no concuerdan con las predicciones teóricas del apartado anterior. Vamos a repetir el experimento, pero esta vez con átomos de hidrógeno en estado fundamental, es decir, cuando l = 0, que supondrá ml = 0 y la proyección del momento sobre z es nula. Como consecuencia, nuevamente por aplicación de (9.2), tampoco debería haber momento magnético y los átomos no tendrían que ser desviados. La experiencia dice que eso no sucede. Los átomos se desvían en dos direcciones opuestas, incidiendo en la pantalla en sendos puntos simétricos, lo que pone de manifiesto que hay un momento magnético que no hemos considerado. La pregunta es: ¿quién está produciendo ese momento? 9.2. Momento angular asociado a rotación

Los electrones que estamos estudiando están sometidos a una fuerza central pero, aparte de girar con respecto al centro de atracción, ¿no podría la propia partícula tener un movimiento de rotación sobre sí misma igual que lo haría la Tierra alrededor del Sol? En tal caso, tendríamos un momento angular adicional que bien podría ser el responsable de esta anomalía. De ser cierto, el momento angular resultante de la partícula debería componerse del L con respecto al centro de atracción, que ya conocemos, más otro nuevo momento angular asociado a una rotación sobre sí misma al que llamaremos SSSS. De esta manera la partícula poseería un momento angular total dado por:

T = +L L SL L SL L SL L S (9.3)

Por analogía con el caso anterior, si suponemos por un momento que la partícula fuese una esfera en rotación sobre su eje, y sabiendo que el momento de inercia para una esfera es

22

5J mr= , siendo r el radio de la esfera, se tendría:

22

5S J mr= =w w ; 25

2L r

m= w

y, por tanto, sustituyendo en (9.1): 5

2 2s

q

m=M SM SM SM S .

2 En el experimento se emplearon átomos de plata vaporizados.

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Ahora bien, la rotación de la partícula, y que ésta sea una esfera, no es más que una suposición puesto que el considerar un modelo así para el electrón es bastante ingenuo después de haber estudiado los complejos mecanismos cuánticos. Así pues, el razonamiento que nos lleva a deducir esta ecuación no es tan simple y debe ser corregida con una constante g, llamada factor giromagnético que permita incorporar la estructura interna de la partícula. Sustituyendo 5/2 por g, la ecuación que rige el fenómeno queda transformada entonces en:

2s

q

m=M SM SM SM Sg , (9.4)

En el caso del electrón, g= 2,0024, que no se corresponde con 2,5 como sucedería si se tratase de una esfera clásica. No obstante, no hay nada que impida que tratemos esta rotación de la misma manera que se hizo con L puesto que se trata de un fenómeno semejante, y lo vamos a hacer incorporando los conceptos cuánticos. Concretamente, podremos establecer, como siempre, una ecuación con valores propios tal que:

S=SSSSy y

La mecánica de resolución es la misma y se llega a idénticos resultados, nada más que deberemos hacer un cambio de notación para diferenciar cuándo estamos hablando de momento angular respecto del centro de atracción y cuándo lo hacemos aplicado a la rotación de la propia partícula, para lo cual, aparte de cambiar L por S, también renombraremos los nuevos números cuánticos, cambiando l por s, y ml pasará a ser ms. Repasando los ecuaciones del apartado 8, establecemos el paralelismo:

2 2

2 2( 1) ( 1)

L Sl l s s= + → = +

� �, de donde ( 1)S s s= + � , (9.5)

y para las proyecciones sobre el eje z se tiene:

z l z sL m S m= → =� � (9.6)

Hay, empero, una importante diferencia, y viene aportada directamente por el experimento de Stern-Gerlach. Se trata del hecho de que el haz de átomos de hidrógeno sean desviados únicamente en dos direcciones P y P', y nada en el centro. Esto nos crea un pequeño conflicto, y vamos a ver por qué: de acuerdo con lo dicho en el apartado 8, los valores del número cuántico ml se extienden desde -l hasta l, es decir:

{ }, ( 1), ( 2), ..., 2, 1, 0,1, 2, ... ( 2), ( 1),lm l l l l l l→ − − − − − − − − − ,

que hacen un total de l valores negativos, l positivos y el cero, es decir 2l+1 valores posibles para ml. A este número posible de valores de m lo llamaremos g. Si, por extensión, aplicamos este mismo principio al momento angular de rotación sobre sí mismo, tendremos: 2 1g s= + . Ahora bien, la cantidad 2s+1 debería ser un número impar, pero el experimento de Stern-Gerlach nos dice que el haz de átomos es desviado solamente en dos direcciones, es decir, solamente dos valores para m, lo que resulta chocante con el hecho de que g debería ser un número impar. Aplicando el resultado experimental de que, para el caso de rotación sobre sí mismo g = 2, se tiene:

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12 2 1;

2g s s= = + = . (9.7)

La solución al conflicto es que, para que el resultado sea coherente con la experiencia, esta vez el número cuántico s no puede ser entero sino fraccionario.

Sustituyendo este valor en ( 1)S s s= + � :

1 1 3

( 1) 12 2 2

S s s

= + = + =

� � � . (9.8)

Veamos ahora la proyección de S sobre z, igual que se hizo con L. Si para ml se cumplía que ll m l− < < ,

ahora deberá ser: ss m s− < < , o sea:

1 1

2 2sm− < < .

Pero el experimento de Stern-Gerlach nos dice que ms solamente puede tener dos valores, así pues, hay que eliminar el cero, que corresponde a un haz sin desviar, quedando:

1

2sm = ± (9.9)

Este nuevo número cuántico se denomina espin3. Sustituyendo en (9.6):

1

2zS = ± � (9.10)

Representemos gráficamente los resultados de las ecuaciones (9.8) y su proyección (9.10) en la figura 9.3. Todo lo dicho hasta aquí es igualmente aplicable a protones, e incluso, neutrones porque se pueden considerar estos últimos como una combinación de una partícula negativa orbitando alrededor de una positiva con un factor giromagnético de -3,8263. El espín es una magnitud cuya representación visual resulta muy poco clara puesto que, al ser un momento angular, asociado en principio a una rotación, parece evocar, tal como hemos apuntado en la demostración, la imagen de una esfera girando sobre sus polos, como si se tratase de una peonza. Naturalmente, si las partículas se considerasen corpúsculos, esta visión del espín sería correcta. El gran problema de la mecánica cuántica es que las partículas no tienen una estructura tan simple, y el concepto de espín queda nebuloso, no pudiendo concretarse en ninguna imagen física de nuestro mundo habitual. El estudio del momento angular LLLL implica que el giro de la partícula alrededor del centro de atracción es incierto y acaba formando nubes de probabilidad. Lo mismo habrá que tener en cuenta en relación al espín, ya que lo mismo que rezaba para Lx, Ly y Lz, que no se pueden determinar simultáneamente, también se aplica a Sx, Sy y Sz. Al analizar partículas como el fotón desde su faceta de onda, nos encontramos con que, al carecer de masa y de carga, no se puede aplicar ni (9.2) ni (9.3) y el razonamiento que hemos seguido no es válido. De hecho, el

3 Castellanizado de la palabra inglesa spin (giro)

Fig. Fig. Fig. Fig. 9.39.39.39.3: El espín y sus proyecciones.

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espín representa en este caso los dos estados de polarización. Si pensamos en luz circular, por ejemplo, ésta puede girar en ambos sentidos dando una imagen bastante gráfica al espín en este caso. El auténtico espín se podría imaginar como un híbrido entre el giro de una polarización circular de este tipo y la rotación de un corpúsculo. Para el caso de fotones se puede demostrar que los estados de espín no son fraccionarios y tienen por valores ±1. Al igual que para los electrones, para protones y neutrones se puede aplicar el razonamiento anterior, adoptando los valores ±1/2 que ya sabemos, pero para neutrinos, que carecen también de carga, se llega a la conclusión de que únicamente hay un estado de espín de valor 1/2. 10 Fermiones y bosones.

Si dos partículas poseen el mismo número cuántico principal n, es porque ocupan el

mismo nivel. Sin embargo puede suceder que tengan diferente momento angular, y entonces poseer números cuánticos l distintos. Por último pueden tener los mismos n y l pero diferir en sus espines, esto es, números cuánticos s diferentes.

El físico alemán Wolfgang Pauli enunció su principio de exclusión diciendo que dos partículas no pueden tener todos sus números cuánticos iguales. Las partículas que cumplen este principio son denominadas fermiones. No obstante, hay partículas que no lo cumplen sino que, muy al contrario, su tendencia es a tener todas los mismos estados cuánticos formando aglomeraciones. Estas partículas se llaman bosones. En el caso de fermiones, éstos no pueden ocupar estados cuyos números cuánticos sean idénticos. Por el contrario, en el caso de bosones la limitación no existe, pudiendo compartir dos o más partículas los mismos números cuánticos. 11 Interacciones.

En relatividad se dice que dos sucesos A y B pueden ser vistos desde dos sistemas

inerciales4 de referencia S y S'. Si suponemos que A y B son simultáneos en S no lo serán vistos desde S' y a la inversa, lo que significa que no tiene sentido hablar de acciones a distancia. Cuando se sitúa una carga eléctrica en un punto del espacio, no podemos decir que el campo que genera se propague instantáneamente hasta cualquier punto del universo. Una propagación instantánea significaría que existen al menos dos puntos separados del espacio en donde la acción de la llegada del campo es simultánea. En tal caso, siempre podríamos encontrar un sistema inercial de referencia desde el cual estos acontecimientos no fuesen simultáneos destruyendo, por consiguiente, la hipótesis de propagación instantánea. Por esta razón, no hay argumentos que permitan afirmar la acción a distancia. En la física clásica estamos acostumbrados a pensar que una carga en el espacio lleva allí desde un tiempo infinito, cuando lo cierto es que la realidad física obliga a tener que colocarla en algún momento dado. Situar una carga implica que ésta se debe desplazar desde un cierto lugar apartado hasta el punto del espacio en donde quedará ubicada, de forma que ya existe un movimiento relativo y dos sistemas inerciales de entrada: el de la carga y el de los cuerpos que serán afectados posteriormente por el campo eléctrico. Sabemos que una carga en movimiento produce un campo magnético y al experimentar éste una variación desde cero hasta un valor determinado producirá igualmente un campo eléctrico, propagándose ambos por el espacio.

Concluimos, pues, que durante la operación de colocación de la carga, ésta emite una onda electromagnética que será la responsable de la existencia posterior del campo. En definitiva, ha transcurrido un tiempo desde que la carga queda situada hasta que el campo

4 Se dice que dos sistemas son inerciales cuando se separan a velocidad constante.

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afecta a los cuerpos circundantes, justamente lo que tarda la onda en recorrer la distancia que los separa. Esta velocidad es c, y sabemos que puede considerarse como el desplazamiento de un fotón desde la carga hasta los cuerpos. El fotón es el responsable de la aparición de un campo, y debemos admitir que el intercambio de este fotón entre carga y cuerpo es quien hace aparecer una fuerza. Por un lado, el campo es creado donde no lo había por el fotón, pero por otro, un fotón es la oscilación del campo, lo que nos lleva al conocido dilema de preguntarnos quien fue antes, si el huevo o la gallina.

Ya no está tan clara la sencilla imagen de ver una onda electromagnética como la oscilación del campo eléctrico pues éste y el fotón son una misma cosa, pudiendo ambos tener carácter corpuscular y ondulatorio. En resumidas cuentas volvemos al principio, pudiendo solamente afirmar que la onda electromagnética no es otra cosa que la onda de probabilidad de encontrar al fotón.

Si el intercambio de un fotón produce la llamada interacción electromagnética, no hay razón por la cual suponer que no existan interacciones en donde la partícula intercambiada sea de otro tipo. De hecho, la atracción gravitatoria, al ser mucho más débil que la repulsión eléctrica, es insuficiente para mantener unidas las partículas de un núcleo atómico. Es menester que entre las partículas nucleares exista otra interacción fuerte que las una. Ésta recibe justamente ese nombre: interacción fuerte y consiste en el intercambio de una partícula de masa intermedia entre el protón y el electrón, llamada mesón p (o pión). También es equivalente al intercambio de partículas llamadas gluones entre quarks, siendo estos últimos los constituyentes de neutrones y protones.

Si recordamos otra de las formas del principio de incertidumbre de Heisenberg, dada por la ecuación (4.9), vemos que en un proceso hay una indeterminación entre la energía involucrada y la duración del mismo. Cuanto más corto sea este último, mayor será el rango de energía. Teniendo en cuenta que, según la relatividad especial, energía y masa son una misma cosa, relacionadas ambas mediante la ecuación E = mc2, podemos incluir en el proceso de la interacción la masa de la partícula en cuestión, llegando a la conclusión de que los procesos rápidos a distancias cortas implican grandes masas. De hecho, la interacción débil, que es la última interacción conocida, se produce por el intercambio de una partícula de masa muy elevada llamada W.

Según el modelo del físico Hideki Yukawa, cada partícula está rodeada de una aureola de partículas virtuales, constantemente emitidas y reabsorbidas, y que, en un momento dado, pueden entrar en contacto con otras partículas exteriores produciéndose así la interacción.