apuntes de capitulo 1 y 2 de evaristo de algebra lineal

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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012 Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1 Autor Autor Autor Autor Autor Autor Autor Autor: : : : : : : : Lic Lic Lic Lic Lic Lic Lic Lic. EVARISTO MAMANI CARLO . EVARISTO MAMANI CARLO . EVARISTO MAMANI CARLO . EVARISTO MAMANI CARLO . EVARISTO MAMANI CARLO . EVARISTO MAMANI CARLO . EVARISTO MAMANI CARLO . EVARISTO MAMANI CARLO UNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS UNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA SAN PABLO UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA SAN PABLO ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR “PEDRO ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR “PEDRO DOMINGO MURILLO” DOMINGO MURILLO” APUNTES DE ALGEBRA LINEAL 1 Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2 CAPITULO 1 MATRICES Y DETERMINANTES 1. DEFINICIÓN Una matriz es una tabla de mxn elementos dispuestos en m filas y n columnas Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3 Se representan por letras mayúsculas A,B,C,D y a sus elementos de la forma a ij donde el primer subíndices indica la fila y el segundo la columna al que pertenece dicho elemento. Asi pues una matriz ( ij a A = Con 1i m; 1j m es de la forma Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4

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Apuntes de Capitulo 1 y 2 de Evaristo de Algebra Lineal

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  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1

    AutorAutorAutorAutorAutorAutorAutorAutor: : : : : : : : LicLicLicLicLicLicLicLic. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO

    UNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRSUNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRS

    UNIVERSIDAD CATLICA BOLIVIANA SAN PABLOUNIVERSIDAD CATLICA BOLIVIANA SAN PABLO

    ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR PEDRO ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR PEDRO DOMINGO MURILLODOMINGO MURILLO

    APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

    11Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 22

    CAPITULO 1

    MATRICES Y DETERMINANTES

    1. DEFINICIN

    Una matriz es una tabla de mxnelementos dispuestos en m filas y ncolumnas

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 33

    Se representan por letrasmaysculas A,B,C,D y a suselementos de la forma aij donde elprimer subndices indica la fila y elsegundo la columna al quepertenece dicho elemento.

    Asi pues una matriz ( )ijaA =

    Con 1 i m; 1 j m es de la forma

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 44

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 55

    2. ORDEN DE UNA MATRIZUna matriz de m filas y n columnas se dice quetiene DIMENSIN o que es de orden mxn, y alconjunto de todas las matrices de orden mxnlo denotaremos por Rmxn (en el supuesto deque los elementos de la matriz A seanelementos de R).

    Dos matrices A,B Rmxn se dice que sonequidimensionales.Dos matrices A,B Rmxn ,se dice que soniguales si:

    njymiba ijij ,...,3,2,1,...,3,2,1, ===

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 66

    3. MATRIZ FILA Y MATRIZ COLUMNA

    Se denomina matriz fila a aquella que constade una nica fila

    Se denomina matrizcolumna a aquella queconsta de una nicacolumna

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 77

    4. MATRIZ CUADRADA

    Se denomina matriz cuadrada de orden n aaquella que tiene n filas y n columnas.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 88

    Se denomina diagonal principal de unamatriz cuadrada a la formada por:

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 99

    5. MATRICES DIAGONALES, ESCALARES Y UNIDAD

    Se denomina matriz diagonal a aquellamatriz cuadrada cuyos elementos nodiagonales son todos nulos, es decir:

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1010

    Se denomina matriz escalar a aquellamatriz diagonal cuyos elementosdiagonales son todos iguales.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1111

    Se denomina matriz unidad de orden n aaquella matriz escalar cuyos elementosdiagonales son todos nulos. Es decir:

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1212

    6. MATRICES TRIANGULARES YESCALONADASSe denomina matriz triangularsuperior(inferior) a aquella matriz cuadradacuyos elementos situados por debajo(encima)de su diagonal principal son todos nulos.

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1313

    El equivalente para matrices rectangularesde una matriz triangular son lasdenominadas MATRICES ESCALONADASque son aquellas matrices en las que:

    jisiaij >= ,0

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1414

    En caso de tratarse de una matriz cuadradase tendra una triangular superior.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1515

    7. ARITMTICA DE MATRICES.

    SUMA DE MATRICES

    Sean A,B Rmxn se denomina MATRIZSUMA de A y B y se denota por C=A+B,a la matriz C Rmxn tal que:

    njymibac ijijij ,...,3,2,1,...,3,2,1, ==+=

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1616

    PROPIEDADES

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1717

    Por tanto:

    ( )+,mxnREs un grupo conmutativo

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1818

    PRODUCTO POR UN ESCALAR

    Sean A Rmxn y R se definePRODUCTO POR UN ESCALAR de porA a la matriz Rmxn tal que sus elementosson los de A multiplicados por . Sedenota A.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1919 Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2020

    Por tanto: ( ),*,+mxnREs un espacio vectorial sobre el cuerpo Rde los nmeros reales.

    Para matrices: ( ),*,+mxnCSera un espacio vectorial sobre el cuerpoC de los nmeros complejos.

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2121

    PRODUCTO DE MATRICES

    Si A Rmxn y B Rnxp (nmero decolumnas de A igual al nmero de filasde B), se define la MATRIZ PRODUCTOde A por B como la matriz C Rmxp talque:

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2222

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2323 Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2424

    MATRIZ TRANSPUESTA

    Sea A Rmxn . Se denomina MATRIZTRANSPUESTA de A y se denota por ATa la matriz resultante de cambiar,ordenadamente las filas por lascolumnas de la matriz A de tal manera,que si llamamos A=(aij) y AT=(aij),tenemos:

    Por lo que si A Rmxn AT Rnxm

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 7

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2525 Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2626

    8. MATRIZ SIMTRICA

    Una matriz cuadrada A se dice que essimtrica si coincide con su transpuesta. (Essimtrica respecto a su diagonal principal)

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2727

    9. MATRIZ ANTISIMTRICA

    Una matriz cuadrada A se dice que esantisimtrica si coincide con la opuesta de sutranspuesta. (Los elementos simtricosrespecto de la diagonal principal sonopuestos y su diagonal es de ceros.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2828

    10. MATRIZ ORTOGONAL

    Una matriz cuadrada y no singular se diceORTOGONAL si su transpuesta coincide consu inversa, es decir si AT= A-1 , lo que es lomismo:

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 8

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2929

    11. TRAZA DE UNA MATRIZ

    Se define la traza de A y se denota por tr(A)como la suma de los elementos de sudiagonal principal:

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3030

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3131

    12. TRANSFORMACIONES ELEMENTALESSe denomina transformaciones elementales a ciertastransformciones que se realizan en una matriz y quenos sern de gran utilidad en la resolucin desistemas de ecuaciones lineales as como en otrasoperaciones.

    Estas transformaciones modifican de determinadasformas los elementos de una fila o una columna de lamatriz o intercambian dos filas o columnas de esta.Las clasifican en dos grupos:

    Transformaciones elementales filaTransformaciones elementales columna

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3232

    12. 1 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES FILA

    TRANSFORMACIONES Fij:

    Intercambian las filas i y j de una A Rmxn .Este efecto se produce al multiplicarPOR LA IZQUIERDA, la matriz A por lamatriz Fij siendo esta el resultado deintercambiar las filas i y j de la matrizIm.

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 9

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3333

    EJEMPLO. Consideremos la matriz:

    Para intercambiar las filas 2 y 3aplicamos F23 cuya matriz es:

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3434

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3535

    Dada una matriz A=(aij) de ordenmxn, se llama:

    a) Matriz opuesta a ella a la matrizde orden mxn.

    -A=-(aij)=(- aij)

    b) Matriz transpuesta a ella, a lamatriz de orden nxm.

    At=(at ij)Donde: at ij= aji

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3636

    c) Matriz conjugada a ella, a lamatriz de orden mxn.

    ( ) ( )ijij aaA ==d) Matriz transconjugada a ella, a lamatriz de orden nxm.

    ( )jiij

    ij

    aadonde

    aA

    =

    =

    :

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 10

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3737

    TEOREMA

    ( )( )( )( ) AAd

    AAc

    AAb

    AAa

    tt

    =

    =

    =

    =

    )

    )

    )

    )

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3838

    TEOREMA

    Toda matriz cuadrada A puedeexpresarse, de manera nica,como la suma de una matrizsimtrica y una matrizantisimtrica.

    ( ) ( )tt AATAAS =+=2

    1;

    2

    1

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3939

    DEFINICIN

    Para toda matriz A, y n naturaltomaremos:

    AAA

    AA

    IA

    nn =

    =

    =

    +1

    1

    0

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4040

    TEOREMA

    Si k y n son enteros no negativosy A matriz cuadrada, se tiene:

    knkn AAA =+

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 11

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4141

    COROLARIO

    Si n es entero positivo, se tiene:

    ( ) ( )nttn AA =( ) ( ) ( )ntttttttn AAAAAAAAAAAA === .........

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4242

    DEFINICIN

    Una matriz cuadrada A0, se dicenulpotente si existe un enteropositivo p, tal que:

    0=pAUna matriz cuadrada A0, se diceperiodica si existe un enteropositivo p, tal que:

    AA p =+1

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4343

    El menor entero p que verifique laigualdad precedente se dirperiodo de la matriz.Particularmente si A2=A, lamatriz se dice IDEMPOTENTE.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4444

    INVERSA DE UNA MATRIZCUADRADASean A y B dos matrices de nxn.Suponga que: IBAAB ==Entonces B se llama la inversa deA y se denota por A-1 . Entoncesse tiene:

    IAAAA == 11Si A tiene inversa, se dice que Aes invertible.

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 12

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4545

    Una matriz cuadrada que no esinvertible se llama singular y unamatriz invertible se llama nosingular.TEOREMASi una matriz A es invertible,entonces su inversa es nica.TEOREMASean A y B dos matricesinvertibles de nxn. Entonces ABes invertible y:

    ( ) 111 = ABABAutor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4646

    PROCEDIMIENTO PARAENCONTRAR LA INVERSA DE UNAMATRIZ CUADRADA A1) Se escribe la matriz aumentada (A|I).2) Se utiliza la reduccin por renglones para

    poner la matriz A a su forma escalonadareducida por renglones.

    3) Se decide si A es invertible:3.1 Si la forma escalonada reducida por

    renglones de A es la matriz identidad I,entonces A-1 es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.

    3.2 Si la reduccin de A conduce a un renglonde ceros a la izquierda de la barravertical, entonces A no es invertible.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4747

    TEOREMASea A una matriz de 2x2,entonces:1) A es invertible si y solo si:

    det(A)0.2) Si det(A)0, entonces:

    ( )

    =1121

    12221

    det

    1

    aa

    aa

    AA

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4848

    DETERMINANTES

    1. DETERMINANTE DE 2X2Sea:

    =

    2221

    1211

    aa

    aaA

    Se define el determinante de Apor: ( ) 21122211det aaaaA =

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 13

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4949

    Se denota det(A) por:

    2221

    1211||

    aa

    aaA

    2. DETERMINANTE DE 3X3Sea:

    =

    333231

    232221

    311211

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5050

    ( )

    3231

    222113

    3331

    232112

    3332

    232211det

    aa

    aaa

    aa

    aaa

    aa

    aaaAA

    +

    ==

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5151

    DEFINICINMenor: Sea A una matriz de nxn ysea Mij la matriz de (n-1)x(n-1)obtenida de A eliminando elrenglon i y la columna j. Mij sellama el menor ij de A.DEFINICINCofactor: Sea A una matriz nxn. Elcofactor ij de A, denotado por Aijest dado por: ( ) ijjiij MA += 1

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5252

    DEFINICIN

    Determinante nxn: Sea A unamatriz de nxn. Entonces eldeterminante de A, denotado pordet(A) o |A|, est dado por:

    ( )( ) =

    ==

    +++==nk

    kkk

    nn

    AaA

    AaAaAaAA

    111

    1112121111

    det

    ....det

    La expresin en el lado derecho sellama expresin por cofactores.

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 14

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5353

    TEOREMASea A=(aij) una matriz de nxntriangular superior o inferior.Entonces:

    ( ) nnaaaaA = 332211detPROPIEDADES DE LOSDETERMINANTES

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5454

    TEOREMA 1Sean A y B dos matrices de nxn.Entonces:

    ( ) ( ) ( )BAAB detdetdet =TEOREMA 2

    ( ) ( )AAt detdet =

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5555

    TEOREMA 3Sea:

    ( )( ) =

    ==

    +++=nk

    kikik

    ininiiii

    AaA

    AaAaAaA

    1

    2211

    det

    ....det

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5656

    ( )( ) =

    ==

    +++=nk

    kkjkj

    njnjjjjj

    AaA

    AaAaAaA

    1

    2211

    det

    ....det

    PROPIEDAD 1Si cualquier renglon o columna deA es un vector cero, entoncesdet(A)=0

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 15

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5757

    PROPIEDAD 2

    Si el renglon i o la columna j de Ase multiplica por un escalar c,entonces det(A) se multiplica porc.PROPIEDAD 3El intercambio de cualesquierados renglones(o columnas)distintos de A tiene el efecto demultiplicar det(A) por -1.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5858

    PROPIEDAD 4Si A tiene dos renglones ocolumnas iguales, entoncesdet(A)=0.PROPIEDAD 5Si un rengln(columna) de A esun mltiplo escalar de otrorengln (columna), entoncesdet(A)=0.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5959

    PROPIEDAD 6Si se suma un mltiplo escalar deun rengln(columna) de A a otrorengln(columna) de A, entoncesel determinante no cambia.

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6060

    PROPIEDAD 7 Sea:

    =

    nnnjnn

    nj

    nj

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    ......

    ......

    ......

    ......

    ......

    ......

    21

    222221

    111211

    =

    nnnjnn

    nj

    nj

    aaa

    aaa

    aaa

    B

    ......

    ......

    ......

    ......

    ......

    ......

    21

    222221

    111211

    +

    ++

    =

    nnnjnjnn

    njj

    njj

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    C

    ......

    ......

    ......

    ......

    ......

    ......

    21

    2222221

    1111211

    Entonces:

    ( ) ( ) ( )BAC detdetdet +=

  • Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 16

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6161

    DETERMINANTES E INVERSASTEOREMA

    Si A es invertible, entoncesdet(A)0 y:

    ( ) ( )AA det1

    det 1 =

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6262

    DEFINICIN

    LA ADJUNTA: Sea una matriz denxn y sea B la matriz de suscofactores. Entonces la adjuntade A escrito como Adj(A) es latranspuesta de la matriz B decofactores, es decir:

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6363

    ( )

    ==

    nnnn

    n

    n

    t

    AAA

    AAA

    AAA

    BAAdj

    ...

    ............

    ....

    ....

    21

    22212

    12111

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6464

    TEOREMA

    Sea A una matriz de nxn.Entonces A es invertible si y solosi det(A)0. Si det(A)0,entonces:

    ( ) ( )AAdjAA det11 =

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1

    AutorAutorAutorAutorAutorAutorAutorAutor: : : : : : : : LicLicLicLicLicLicLicLic. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO

    UNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRSUNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRS

    UNIVERSIDAD CATLICA BOLIVIANA SAN PABLOUNIVERSIDAD CATLICA BOLIVIANA SAN PABLO

    ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR PEDRO ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR PEDRO DOMINGO MURILLODOMINGO MURILLO

    APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

    11Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 22

    CAPITULO 2

    SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

    1. NOTACIN Y DEFINICIN

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 33

    Clasificacin de sistemas

    4

    Sistema INCOMPATIBLE

    No tiene solucin

    Sistema COMPATIBLE S tiene solucin

    DETERMINADO: solucin nica INDETERMINADO: infinitassoluciones

    51)

    1

    2x y x y

    + = =

    ( )1 , 2:Solucin

    23)

    2 2 0

    x y

    x y

    + = + =

    . .C S =

    24)

    2 2 4

    x y

    x y

    + = =

    ( ){ }. . ,2 :CS x x x=

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 55

    Los sistemas lineales admiten unarepresentacin matricial sencillacomo:

    Existen varios mtodos para resolver sistemas de Existen varios mtodos para resolver sistemas de

    ecuaciones, entre ellos,ecuaciones, entre ellos,

    1. Mtodo grfico2. Mtodo de sustitucin

    3. Mtodo de Igualacin

    4. Metodo de Reduccin

    5. Regla de Cramer

    6. Mtodo de Gauss

    7. Mtodo de Gauss Jordan

    8. Metodo de matrices

    6

    Sistemas de Ecuaciones

    Mtodo de Gauss para resolver sistemasEn la matriz ampliada (A|b) se aplican transformaciones elementales hasta llegar a una matriz escalonada que representa un sistema equivalente al inicial. Este nuevo sistema se resuelve por sustitucin regresiva.

    ( )11 12 1 1

    21 22 2 2

    1 2

    |

    ||

    |

    |

    n

    n

    m m mn m

    a a a b

    a a a bA b

    a a a b

    =

    L

    L

    M M M M M

    L

    matriz ampliada del sistema

    |

    0 |

    0 |

    0 0 |

    M

    L

    ( )|A b KKKKKKKKKKKKKKtransformaciones

    elementales

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 88

    2. METODO DE ELIMINACINGAUSSIANA

    Ejemplo 1. Sea el sistema:

    Sol. La matriz ampliada delsistema es:

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 99 Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1010

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1111

    Procedimiento general del mtodo:

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1212

    a) conduce siempre a la solucinel proceso de eliminacingaussiana?

    b) bajo que condiciones puedefallar el mtodo?

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo1313

    Ejemplo 2. Sea el sistema:

    Sol. procedemos a escalonar lamatriz ampliada

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1414

    Sistema equivalente:

    Sistema compatible indeterminado

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo1515

    Ejemplo 3. Sea el sistema:

    Sol. procedemos a escalonar la matrizampliada

    Sistemaincompatible

    Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por

    el mtodo de gauss jordan

    Paso 1. Se forma la matriz aumentada

    Este es el sistema de ecuaciones a resolver

    2 3

    2 5 4

    3 2 2

    x y z

    x y z

    x y z

    + + =+ = =

    1 2 1 3

    2 5 1 4

    3 2 1 2

    NOTA IMPORTANTE: El objetivo del mtodo es lograr formar una matriz identidad de esta forma.

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    a

    b

    c

    Donde el sistema tiene la siguiente solucin:

    x = ay = bz = c

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5

    Solucin por el mtodo de gauss jordan

    Paso 1. Se forma la matriz aumentada

    1 2 1 3

    2 5 1 4

    3 2 1 2

    Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de 1 en el primer rengln ya tenemos un nmero 1. Nuestro objetivo ahora ser hacer obtener ceros debajo de este nmero 1

    Al numero 1 de la diagonal se le denomina elemento pivote; sobre ste vamos a apoyarnos para hacer ceros los nmeros arriba y debajo de dicho numero con operaciones de eliminacin rengln

    [ ]1 2 1 3 1 2 1 3

    Solucin por el mtodo de gauss jordan

    Columna pivote

    Rengln pivote

    Seleccionamos el rengln pivote

    Seleccionamos un rengln diferente al rengln pivote

    2 5 1 4 2 5 1 4

    Identificamos Rengln, Columna y elemento pivote

    1 2 1 3

    2 5 1 4

    3 2 1 2

    Como el objetivo es hacer 0 el nmero debajo del rengln pivote Por qu nmero debemos multiplicar el rengln pivote?

    0

    Elemento pivote

    (-2) [ ]1 2 1 3 1 2 1 3

    Solucin por el mtodo de gauss jordan

    2 5 1 4 2 5 1 4

    Modificamos el segundo rengln con la operacin de eliminacin rengln

    1 2 1 3

    2 5 1 4

    3 2 1 2

    10 -3 -2Ahora modificamos el tercer rengln Por qu nmero multiplicamos el rengln pivote ahora?

    [ ]1 2 1 3 1 2 1 3

    -80 -4 -7

    3 -2 -1 2(-3)

    Cmo queda la nueva matriz?

    1 2 1 3

    0 1 3 2

    0 8 4 7

    Solucin por el mtodo de gauss jordan

    1 2 1 3

    0 1 3 2

    0 8 4 7

    Ya transformamos la primera columna, ahora vamos con la segunda; afortunadamente ya hay un 1 como nuevo elemento pivote

    1

    1

    Qu hacemos ahora? Hay que transformar en ceros los nmeros arriba y abajo del nuevo elemento pivote

    [ 0 1 -3 -2 ]

    Nuevo rengln pivote

    Se repite la eliminacin rengln

    0

    (-2) 1 2 1 3

    1 7 7

    [ 0 1 -3 -2 ]

    0 -8 -4 -7

    (8)

    0 0-28

    -23

    La siguiente matriz queda:

    1 0 7 7

    0 1 3 2

    0 0 28 23

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6

    1 0 7 7

    0 1 3 2

    0 0 23 / 28

    Solucin por el mtodo de gauss jordan

    El siguiente elemento pivote es 28; el cual debe ser transformado en 1 sin alterar la ecuacin Cmo lo hacemos?

    1 0 7 7

    0 1 3 2

    0 0 28 23

    En otras palabras: Cada rengln representa una ecuacin, si dividimos todo el rengln entre -28 obtenemos el 1 que estamos buscando

    Convertimos el elemento pivote en 1 para facilitar las operaciones; dividimos todo el rengln entre el nmero pivote (-28) obteniendo el siguiente resultado

    11

    11

    1

    Solucin por el mtodo de gauss jordan

    Realizamos la operacin de eliminacin rengln

    [ 0 0 1 23/28 ]

    1 0 7 7

    (-7)

    1 0 5/4

    1 0 7 7

    0 1 3 2

    0 0 1 23 / 28

    0

    [ 0 0 1 23/28 ]

    0 1 -3 -2

    (3)

    0 0 13/28

    1

    1 0 0 5 / 4

    0 1 0 13 / 28

    0 0 1 23/ 28

    Finalmente la matriz queda

    Nuevo rengln pivote

    Leyndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28

    Respuestas: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28

    Sistema de ecuaciones original

    2 3

    2 5 4

    3 2 2

    x y z

    x y z

    x y z

    + + =+ = =

    Solucin por el mtodo de gauss jordan

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2424

    1. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES HOMOGNEOS

    Se puede clasificar a los sistemas homogneos en:

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 7

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo2525

    Ejemplo 4. Resolver el sistemahomogno:

    Sol. procedemos a escalonar la matrizampliada

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2626

    Sistema equivalente:

    Teorema de Rouch-Frobenius

    27

    ( ) ( ) | ?rang A rang A b n= =

    Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incgnitas, se dice:

    Sistema COMPATIBLE ( ) ( )|rang A rang A b =( ) ( ) | ?rang A rang A b=

    Sistema compatible determinado

    Sistema compatible indeterminado

    ( ) ( )|rang A rang A b n=

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 8

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2929

    Se puede desarrollar un mtodopara encontrar esa solucin sinreduccin por renglones y sincalcular inv(A).Sea D=det(A). Se definen nnuevas matrices:

    =

    nnnn

    n

    n

    aab

    aab

    aab

    A

    ...

    ............

    ....

    ....

    2

    2222

    1121

    1 .....

    =

    nnnn

    n

    n

    aba

    aba

    aba

    A

    ...

    ............

    ....

    ....

    1

    2221

    1111

    2

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3030

    Es decir, Ai es la matriz obtenidaremplazando la columna i por deA por b. Por ltimo sea:D1=det(A1), D2=det(A2),,Dn=det(An)

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3131

    TEOREMASea A una matriz de nxn ysuponga que det(A)0. Entoncesla solucin unica del sistemaAx=b est dada por:

    D

    Dx

    D

    Dx

    D

    Dx

    D

    Dx nn

    ii ==== ,...,,....,

    22

    11

    Regla de Cramer

    32

    1

    5 1 1

    6 2 7

    0 4 9 281

    28 28x

    A

    = = = =

    2 1 1

    3 2 7 28 0

    1 4 9

    A

    = =

    Ejemplo: 2 5

    3 2 7 6

    4 9 0

    x y z

    x y z

    x y z

    + = = + + =

    2

    2 5 1

    3 6 7

    1 0 9 562

    28 28y

    A

    = = = =

    3

    2 1 5

    3 2 6

    1 4 0 281

    28 28z

    A

    = = = =

  • Apuntes de Electromagnetismo Avanzado

    13/04/2012

    Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 9

    Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3333

    Que puede escribirse en la forma:

    bAx =Si det(A)0, entonces el sistematiene una solucin nica dadapor:

    bAx 1=

    Resolucin mediante la matriz inversa

    34

    Sea el sistema AX = b, con la matriz A cuadrada (mismo nmero de ecuaciones que de incgnitas). Si existe la matriz inversa de A, entonces la solucin viene dada por:

    1X A b= Ejemplo:

    2 5

    3 2 7 6

    4 9 0

    x y z

    x y z

    x y z

    + = = + + =

    2 1 1

    3 2 7

    1 4 9

    A

    =

    1

    5 14 13 28 9 28

    17 14 19 28 11 28

    1 2 1 4 1 4

    A

    =

    1

    10 13 9 5 11 34 19 11 6 2

    2814 7 7 0 1

    X A b

    = = =

    1

    2

    1

    x

    y

    z

    =

    = =