apuntes de algebra lineal

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Algebra Lineal para Físicos H.G.Valqui

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Page 1: Apuntes de Algebra Lineal

Algebra Lineal para Físicos

H.G.Valqui

Page 2: Apuntes de Algebra Lineal

2

Page 3: Apuntes de Algebra Lineal

Índice general

1. Introducción 5

2. Grupos 25

3. Cuerpos 47

4. Espacios Vectoriales 63

5. Algunas aplicaciones geométricas y físicas 105

6. Algunas ecuaciones diferenciales 133

7. Transformaciones Lineales 147

8. Vectores propios 187

9. Vector de Inercia 209

10.Oscilaciones propias 231

11.Velocidad Angular 243

12.La matriz de Euler 249

13.Cónicas 265

14.Algunas Aplicaciones 279

3

Page 4: Apuntes de Algebra Lineal
Page 5: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 1

Introducción

• Una especie de Introducción para aclarar qué significa entender “alguna cosa”

• Diez desafíos para que verifiquen si han entendido algunas cosas que “ya conocen”.

• Buenos y malos conjuntos.

• Conjuntos de pares ordenados.

• Un poderoso y elemental concepto de Funciones como conjuntos de pares ordenados.

• Operaciones con funciones.

• Derivada direccional (es una generalización más o menos simple del concepto de

a derivada; y se puede aplicar a funciones ordinarias, funciones de varias variables,

a funciones vectoriales y matriciales, funcionales y operadores, etc).

Para poder sobrevivir en el mundo hay que conocer cómo funciona el mundo que

nos rodea (Esto no es trivial: Según las informaciones publicadas en El Comercio, so-

lamente en la Vía de Evitamiento, mueren mensualmente dos o tres personas).

Para conocer cómo funciona el mundo, entre otras cosas, es indispensable poder

representarlos. Los llamados animales inferiores solamente cuentan con su memoria

para representar al mundo. Con la invención del lenguaje el hombre logró obtener re-

presentaciones más o menos permanentes. Dentro de la gran variedad de lenguajes que

usa el ser humano(hablado, escrito, pictórico, musical, teatral,etc), la matemática ha

demostrado ser el más universal, objetivo y adaptable.

5

Page 6: Apuntes de Algebra Lineal

6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

02) ¿Es difícil aprender a hablar japonés o chino? La experiencia muestra dos co-

sas: i) Si uno se matricula en una academia para aprender, por ejemplo japonés, tendrá

que esforzarse bastante para llegar a usar aceptablemente tal idioma, ii) Los japonesi-

tos de 5 años no tienen mayor problema para hablar japonés.

Uno puede “aprender”la matemática para tratar de aprobar los exámenes; por tal ca-

mino posiblemente nunca llegue a usarla eficientemente. Así por ejemplo, todos ustedes

han tenido que aprobar los cursos de inglés de la secundaria, y aprobarán otros cursos

de inglés en la Facultad; pero...

Por otra parte, hay quienes usan la matemática para expresar diversas situaciones como

los japonesitos usan el idioma japonés. Ese es el camino más fructífero para entender

la matemática; y puede ser divertido.

03) Un aprendiz de carpintería debe preocuparse por no sufrir algún accidente con

el martillo, el formón, el serrucho o alguna otra herramienta; entonces no puede pres-

tar atención a la tarea de, por ejemplo, construir un mueble. Cuando haya practicado

suficientemente el uso de las herramientas, tratando de descubrir y separar las fuentes

de peligro, recién estará en condiciones de enfocar su atención en las tareas propias de

los trabajos de carpintería.

La matemática es una herramienta indispensable para entender la física. Pero también

puede ser un estorbo, como lo es el serrucho para quien no ha aprendido a usarlo.

La Matemática y la Física son cosas totalmente diferentes. La Física necesita a la Ma-

temática para representar una serie de situaciones, para modelarlas y para verificar que

tales modelos son (matemáticamente) consistentes. Pero si un modelo es correcto, en

el sentido que representa la situación real, o no lo es, es algo que incumbe netamente

a la Física (Experimental).

04) Todos aprendemos algunas cosas difíciles ... cuando realmente nos interesa. Por

ejemplo, a caminar, a hablar, a montar bicicleta, a nadar, a patinar, a correr olas, a

tocar algún instrumento musical, a sobrellevar algunas clases de matemáticas sin que

se note que nos morimos de aburrimiento, a jugar voley, fútbol o ajedrez, etc. ¿Han

oído hablar de ese joven ambulante que hace unos años ingresó como primer puesto

de la UNI; o de aquél niño de 10 años, E.Córdova, que sin apoyo de las federaciones

deportivas, se fue en Noviembre del 2001, a participar en España en el campeonato

Page 7: Apuntes de Algebra Lineal

7

mundial juvenil de ajedrez?

05) Entonces el truco no está en aprender cosas fáciles (lo cual puede ser una pér-

dida de tiempo), sino en aprender cosas interesantes.

Pero atención: Caerse de la bicicleta, tragar agua dulce o salada, estar yendo a recoger

la pelota cada vez que nos la lanzan, mover los peones e intercambiar tratando de dejar

sin piezas al adversario, mantenerse despierto en un clase que no entendemos, nada de

estas cosas son interesantes ni agradables.

Una persona que piense que puede lograr cosas interesantes sin pagar un precio por el

correspondiente aprendizaje será una víctima ilusa de algunos de esos politiqueros que

promete arreglar todo si votamos por él. Eso si es fácil.

06) Un niño que se cae de la bicicleta y vuelve a montar, con el riesgo de volver a

caerse, no hace tal cosa porque le guste golpearse. Lo hace a pesar de los golpes, por la

visión que tiene de todo lo que podrá disfrutar cuando ya haya aprendido a manejar la

bicicleta. Sin esa visión, de la que podremos hacer cuando hayamos pasado

la primera etapa del aprendizaje, este aprendizaje es sólo una tortura, un

sin sentido.

07) “Las personas inteligentes entienden lo que se les dice, sin necesidad de plantear

preguntas”, es un chiste de mal gusto. Sin embargo muchos no consideran que esto sea

un chiste, sino afirman que las personas eficientes no requieren preguntar cuando se les

dice algo claramente. Se olvidan que lo que pueda ser claro para una persona, no es

necesariamente claro para otra. En particular, lo que pueda ser claro para un profesor,

no suele serlo para un alumno. Toda afirmación, todo discurso, es planteado bajo una

serie de asunciones que supuestamente son compartidas (lo cual frecuentemente no es

cierto) por todos los interlocutores, en particular, por el profesor y los alumnos.

Desgraciadamente, nuestro sistema de educación desalienta - y a veces castiga - a quie-

nes creen que deben preguntar para:

i) Asegurarse que han entendido bien la información vertida por el profesor.

ii) Constrastar la información recibida, con los conocimientos que uno mismo ya posee.

iii) Demandar algunas sugerencias para completar o constrastar algunas ideas sobre el

problema en consideración.

Page 8: Apuntes de Algebra Lineal

8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Sin embargo, salvo en casos triviales, es imposible entender la “cuestión”si uno no

plantea preguntas complementarias. En este sentido en el curso de Algebra Lineal de

este semestre, se supone que ustedes van a esforzarse por plantear preguntas que les

permita asimilar lo que se explique en clase o lo que se presente en este Pre - texto. Por

mi parte, trataré de estimular el planteamiento de preguntas, aunque es ciertos casos

me resulte difícil mantener mi buen humor.

08) El presente Pre - Texto no pretende enseñar qué es el Álgebra Lineal, sino que el

estudiante, usando las Reglas del Juego y las situaciones presentadas en el texto, se

familiarize con las características principales del álgebra, que le permitirán expresar

situaciones en una serie de ámbitos de la Física.

Aquí parto del postulado educacional según el cual es imposible la transmisión del co-

nocimiento, pues éste es adquirido ( o no ) por cada persona como fruto de su propio

esfuerzo. Lo que se transmite es la información sobre las Reglas de Juego y algunos

consejos para evitar errores groseros de interpretación o de operación ( cómo cuando

un grupo de personas invitan a otras personas a participar en un juego desconocido

para éstas).

09) Cuando se plantea un problema o pregunta, por ejemplo

Si la única fuerza (significativa) sobre la Tierra es la que el Sol ejerce sobre ella ¿Por

qué entonces no nos vamos hacia el Sol?

suelen ofrecerse variadas respuestas:

La fuerza de atracción del Sol es contrarrestada por la fuerza centrífuga (con lo

cual desaparecería la aparente contradicción).

La fuerza ejercida por el Sol es sólo teórica; en la práctica la fuerza sobre la

Tierra es tangencial, sino ¿Cómo se explicaría su movimiento? ( Era la visión de

los ángeles empujando a la Tierra, existen versiones más modernas).

Ah; no sé; eso no me han enseñado; ¿Cuál es la respuesta correcta?

Page 9: Apuntes de Algebra Lineal

9

Ese es uno de los trucos de los teóricos, para que nadie los entienda. Olvídate del

asunto y dedícate a aprender cosas serias, no metafísicas.

Un momento; la Tierra está cayendo constantemente hacia el Sol. Mira, ella trata

de seguir en línea recta y cae un poquito, luego trata de alejarse en línea recta y

vuelve a caer un poquito más; y así indefinidamente...

Ah; esa pregunta ya me la he planteado varias veces, y he leído algunas respuestas

que dan en los libros; pero no me convencen. A ver, tratemos de entender qué

significa la pregunta.

Me arriesgo a decir, que este Pre - Texto está dirigido al tipo de personas de la última

respuesta; personas que grosso modo pueden caracterizarse así:

i) No creen que una pregunta o un problema sea fácilmente entendida por sólo su

enunciado.

ii) La única manera de entender algo es experimentar con los conceptos y las situa-

ciones que allí se plantean.

iii) Están más interesados en entender el problema y sus consecuencias, que en obtener

la respuesta (Para la pregunta planteada más arriba, del Sol y la Tierra, hay

una respuesta correcta y directa, que desgraciadamente no está suficientemente

difundida).

a

10) Este Pre - Texto trata de ser sensatamente consistente, pero no en base a demos-

trar la validez de todos los pasos que se dan, sino en proponer y desafiar al lector o

lectora a que él mismo, o ella misma, construya dicha justificación. Es la única mane-

ra de adquirir confianza personal de haber entendido (o de ir enetendiendo) el tema

desarrollado. El otro camino es recurrir a una seguidilla de actos de fe, posiblemente

significativos en un creyente, pero venenosos para un científico en formación.

11) Como desafíos iniciales (pero también como una manera de “medir”hasta qué punto

el lector ha desarrollado su propio aprendizaje) se presentan algunos problemitas que

no requieren mayor información que la que se suele usar en secundaria.

Page 10: Apuntes de Algebra Lineal

10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

ALGUNOS PROBLEMITAS:

Para que quienes se sienten desafiados por situaciones que no son típicas, pero no son

complicadas.

01: Para comenzar con algo fácil; resuelva la siguiente ecuación:

x

x+ 2+

2

x+ 1= 1

02: Usted seguramente es de las personas que creen que tienen una estatura bien deter-

minada, por ejemplo, 1.68m. Mida su estatura al levantarse y luego antes de acostarse.

Se convencerá que tal crencia es infundada.

03: Posiblemente usted también cree que si una afirmación es falsa, entonces la ne-

gación de tal afirmación debe ser verdadera. Pero...

ESTA FRASE ESTÁ CONSTRUIDA CON OCHO PALABRAS [falso]

ESTA FRASE NO ESTÁ CONSTRUIDA CON OCHO PALABRAS [falso]

04: De entre las afirmaciones que aquí presento, cuatro son falsas; descúbralas:

i) x, y ∈ R , x2 + xy + y2 = 0 → x = y = 0

ii) x 6= 0 ,x√

1 + x2=

1√

1 + 1x2

iii)x2 − 1

x− 1= x+ 1

iv) x, y ∈ R , x2 − xy + y2 = 0 → x = y = 0

v) (√a)(√b) =

(ab)

vi)N∑

k=1

ak−1Xk =

N+6∑

j=7

aj−7Xj−6

Page 11: Apuntes de Algebra Lineal

11

05: Sobre un piso plano se colocan dos postes verticales, que sobresalen 10 y 15 metros

sobre el nivel de suelo, separados por una distancia L. Por medio de tirantes (recti-

líneas) se conectan los extremos superiores da cada poste con el extremo inferior del

otro poste (formando una especie de X).

Si la altura del punto de corte de los tirantes es de 6 metros ¿Cuánto vale la distancia

L entre los postes?

06: Conecte las casillas de las letras iguales, trazando líneas que no salgan del rec-

tángulo, ni se corten entre sí.

A

AB

B

C

C

D

D

07: De AB = 0 muchos deducen que A = 0 ó B = 0. Tal cosa es cierta en el caso de

los números reales y de los números complejos; pero tal cosa no tiene porque ser válida

en el caso de las matrices ... por ejemplo:

A =

(

r 1

−r −1

)

, B =

(

p q

−rp −rq

)

, C =

(

1 1

−r −r

)

, D =

(

r 1

−r2 −r

)

Verifique que AC = CA = 0, AB = 0, pero BA = (p− q)D

08: El bloque reposa sobre una mesa fija al suelo. La fuerza F, aplicada al bloque

no es suficiente para romper el estado de equilibrio. [DCL=Diagrama de Cuerpo Li-

bre] Puesto que el DCL mostrado al centro es incorrecto, se prefiere el DCL, del lado

derecho ¿Su opinión?

F

G

F

W

N

fG

F

W

N

f

Page 12: Apuntes de Algebra Lineal

12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

09:En algunos textos de Física General se suele encontrar las dos siguientes afirmacio-

nes:

i) La fricción se opone al movimiento

ii) La fuerza de un auto se encuentra en el motor

¿Cómo es que entonces un auto reposando sobre un piso horizontal, completamente

liso, no puede iniciar el movimiento cuando se pone en funcionamiento su motor?

10: Sobre la Tierra prácticamente actúa sólo la fuerza de atracción del Sol (las fuerzas

de los otros planetas son insignificantes).

¿Cómo se explica que la Tierra no se precipite sobre el Sol. Peor aún, que durante

algunos meses del año la Tierra se aleje del Sol? (es decir, aumenta la distancia entre

la Tierra y el Sol).

12) CONJUNTOS (esto es una revisión y una aclaración de ciertos conceptos)

12.1) Existen buenos y malos conjuntos. Malos conjuntos serían por ejemplo:

mi primera idea de ayer, alguna cosa , x / x es un día caluroso ,

p / p es uno de los pensamientos de Einstein ,

z / z es un peruano, h / h es una hoja de este árbol Estos, ¿Por qué?

Cuando uno se refiere a un conjunto (matemático) está suponiendo que se trata de un

buen conjunto, pero tal cosa puede no ser cierta. Por eso es conveniente tener cuidado.

Un buen conjunto, C, se caracteriza por lo siguiente: Dado un objeto cualquiera, X, no

existen dudas para afirmar una de las dos posibilidades, X ∈ C ó X /∈ C.

Las hojas de este árbol, los días calurosos, las personas inteligentes, los libros desco-

nocidos, los peruanos, las mujeres altas, etc

12.2) En un conjunto no interesa el orden en el que se escriben sus elementos, ni

tampoco interesa si algunos de los elementos están repetidos:

1, 2, 3 ,4 = 3, 1, 4, 2 = 2, 2, 1, 3, 1, 3, 3, 4

Page 13: Apuntes de Algebra Lineal

13

UNA, CHINA, EN, LA, UNIVERSIDAD = UNA, UNIVERSIDAD, EN LA CHI-

NA

c, a, r, r, e, t, e, r, a = c, a, r, r, e, t, a = c, r, e, t, a

12.3) ATENCIÓN: El conjunto l, l, l, l

¿Está constituido por cuatro hojas, tres hojas, dos hojas; o por una sola?

A veces conviene considerar conjuntos ordenados. Cuando se especifica que un

conjunto es ordenado, entonces los elementos de tal conjunto deben ser escritos en

el orden especificado. Sus elementos suelen mostrarse encerrados entre dos parén-

tesis, o de alguna otra forma que no causa confusión. Por ejemplo, una palabra es

un conjunto ordenado de ciertas letras, (c, a, r, r, e, t, a)≡ carreta 6= careta. Cuan-

do en un conjunto ordinario algún elemento aparece repetidamente dichas repeticiones

pueden ser suprimidas. En cambio, en un conjunto ordenado tal simplificación no se

puede realizar.

e, l, e, m, e, n, t, a, l, m, e, n, t, e = m, e, n, t, a, l, pero (e, l, e, m, e, n, t, a, l,

m, e, n, t, e) 6= (m, e, n, t, a, l)

El conjunto ordenado 05 08 01 significa en el Perú, el día 5 de agosto del año

2001, en cambio en EEUU significa el día 8 de mayo del año 2001.

La escritura posicional de un número en la base decimal (o cualquier otra base)

es un conjunto ordenado de números naturales; por ejemplo 334602 6= 334620

Para pares ordenados (a, b)= (c, d) ⇐⇒ a = c y b = d

A los alumnos de la FC que han oído sobre la escritura de los números en la base

dual se les puede clasificar en 10 clases: i) Los que no entendieron el asunto, ii) Los que

sí lo entendieron

CONJUNTOS DE PARES ORDENADOS:

13) Sea g un conjunto de pares ordenados de objetos, por ejemplo,

g = (a, 1), (♯, ♯), (′′, 4), (Y,Y), (Y,Y), (a, 1), (

,

), (♦,♦), (a, 1)

Page 14: Apuntes de Algebra Lineal

14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

donde debemos recordar que no interesa en qué orden se escriban los elementos de g

(es decir, el conjunto g no es ordenado; los elementos de cada par sí son ordenados).

Al conjunto de las primeras componentes de g lo designaremos con Dg y le damos el

nombre de dominio de g , al conjunto de las segundas componentes lo llamaremos rango

de g y lo designaremos con Rg

Dg = a, ♯,′′ , Y,Y,

,♦ Rg = 1, ♯, 4,Y,

,♦

13.1) Por otra parte, definimos el conjunto gin , llamado conjunto inverso de g , como

el conjunto de pares ordenados que se obtiene al intercambiar, en cada par, la primera

con la segunda componente, es decir,

(x, z) ∈ gin ⇐⇒ (z, x) ∈ g

13.2) Ahora, el conjunto h de pares ordenados:

h = (a, 1), (a, ♯), (′′, 4), (Y,Y), (Y,Y), (Y,

), (♦,♦), (23, 0), (0, 0)

se diferencia del conjunto g, entre otras cosas por lo siguiente:

1. En el conjunto g no existen dos pares ordenados diferentes que posean la

misma primera componente. [Notemos que el par ordenado (a, 1) está repetido;

no se trata de dos pares diferentes. Notemos también que en g existen pares

ordenados diferentes que tienen la misma segunda componente]

2. En el conjunto h si existen (por lo menos) dos pares ordenados diferentes que

tienen la misma primera componente, por ejemplo, (a, 1) y (a, ♯)

Determine a cuál tipo de conjuntos (al tipo g , o al tipo h) pertenece cada uno de los

siguientes conjuntos:

f1 = (r, s)/r ∈ R , r2 + 4r + s = 4f2 = x, y)/x ∈ R , x4 + y4 = 1f3 = (y, x)/x, y ∈ R , x > 0, y2 + x2 = 1f4 = (p, q)/p ∈ R , p3 + q3 = 1f5 = (g, h)

Page 15: Apuntes de Algebra Lineal

15

f6 = (sen, cos), (cos,−sen), (tan, sec2), (exp, exp), (In, n · In−1), (sen3, 3cos3)donde In, sen3 y cos3, son funciones tales que: In(x) = xn, sen3(x) = sen(3x),

cos3(x) = cos(3x)

f7 = (sen, cos), (cos, cos), (tan, cos), (exp, cos), (In, cos), (sen3, cos)f8 = (x, y) / x ∈ R , y = ax+b

cx+d, las constantes son reales

f9 = (x, y) / x ∈ R, y = −(cx−a)dx−b

, las constantes son realesf10 = (,,,), (2,,), (_,[), (D,8), (QPPPPPPR,)

⁅Consideremos dos pares de f1 que posean la misma primera componente, (r, s) y (r, t).

Si resultase que necesariamente s = t , entonces se trata de un único par, repetido, y

f1 sería del tipo g. Si existiesen objetos s , t diferentes, entonces f1 será del tipo h.

Ahora (r, s) , (r, t) ∈ f1 → r2 + 4r + s = 4 ∧ r2 + 4r + t = 4

→(restando) s− t = 0→ s = t.

Para f2 tendremos: (x, w), (x, z) ∈ f2 → x4 + w4 = 1 ∧ x4 + z4 = 1

→ w4 − z4 = 0→ (w2 + z2)(w2 − z2) = 0→ a) w2 + z2 = 0→ w = z = 0 ,

b) w2− z2 = 0→ (w+ z)(w− z) = 0→ b1) w = z , b2) w = −z en cuyo caso, no siendo

nulos, w, z son números diferentes y f2 resulta ser del tipo h.

Para f3 tendremos: (y, x), (y, z) ∈ f3 → y2 + x2 = 1, y2 + z2 = 1→ x2 − z2 = 0

→ a) z = x , b) z = −x pero en f3 las segundas componentes de sus pares ordenados

son positivas, luego z = −x se cumplirá solamente cuando z = x = 0; f3 es del tipo g.

Por otro lado (p, q), (p, r) ∈ f4 → q3 − r3 → (q − r)(q2 + qr + r2) = 0

→ a) q = r , b) q2 + qr+ r2 = 0→ q2 +2qr+ r2 = qr → (q+ r)2 = qr ≥ 0→ si qr > 0

entonces en w2 + qr + r2 los tres sumandos serían positivos, y la suma no podría ser

nula → qr = 0 → q2 + r2 = 0 → q = r = 0. Es decir, sólo queda la posibilidad q = r.

Entonces f4 es del tipo g.⁆

13.3) Sean los conjuntos de pares ordenados:

M = (x, z) / x4 + z4 = 16 con x real, z < 0N = (p, q) / p4 + q4 = 16 con p, q realesP = (1, 1), (1, 2), (p, q), (x, y) / p, q, x, y son letras del abecedario

13.4) Los conjuntos N y P anteriores son tales que si uno conoce el conjunto (es

decir conoce todos sus elementos) y conoce la primera componente de uno de sus pa-

Page 16: Apuntes de Algebra Lineal

16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

res, a veces NO ES POSIBLE determinar (en forma única) el correspondiente segundo

elemento del par. Es decir, existen pares diferentes que tienen la misma primera com-

ponente; por ejemplo, (0, 2), (0,−2) ∈ N , (1, 1), (1, 2) ∈ P

13.5) Por otra parte, supongamos que en el conjunto M existan dos pares diferen-

tes con la misma primera componente: (a, b), (a, c) ∈ M , entonces a4 + b4 = 16 ,

a4 + c4 = 16 . restando obtenemos b4 − c4 = 0 , es decir, (b − c)(b + c)(b2 + c2) = 0 ;

pero por la condición del conjunto M tanto b como c son negativos, entonces b+ c < 0

, b2 + c2 > 0 . Es decir, b− c = 0 , con lo cual los dos pares resultan ser iguales. Nues-

tra suposición de que existan dos pares diferentes con la misma primera componente

resultó contradictoria; luego dicha suposición es falsa.

14) DEFINICIÓN: Un conjunto de pares ordenados (pares de objetos cualesquiera,

pero bien definidos) en el que no existan dos pares diferentes con la misma prime-

ra componente, será bautizado con el nombre de función.

Identifique, entre los conjuntos fk de 13.2, aquellos que son funciones.

f1, f3, f4 son funciones; f2 no lo es. Es claro que f5 es del tipo g , pues no exis-

ten dos pares diferentes, luego es una función.

14.1) Nótese que dada una función f , y dada una de las primeras componentes de sus

pares, x , entonces la correspondiente segunda componente, z , queda bien determi-

nada (esto no se cumple en un conjunto de pares ordenados que no sea una función).

Es decir, podemos afirmar que z ≡ [f, x] , lo que suele escribirse así: z = f(x) .

O también f es una función 7−→ z = f(x) ⇐⇒ (x, z) ∈ f

14.2) ¿Cuáles de las siguientes conjuntos son funciones?

A = (1,2), (ϕ, κ), (λ, µ)B = (p, p)C = (p, q) / p2eq = 1, con p racional, q entero ¡Atención!

Page 17: Apuntes de Algebra Lineal

17

D = (sen, cos), (cos,−sen), (tan, sec2), (cotan,−cosec2), (I7, 7I6), (sen3, 3sen2 · cos)D0 = (f, g) / f, g son funciones reales de una variable, donde g(x) = lım

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

E = ((x, y, z); (xyz, x2 +y

z))/ 0 < x < 1, 2 < y < 10, −7 < z < 0

F = (g,∫ 7

2

g(x)dx) donde g es una función integrable de variable realFa = (g, g(a)) donde g es una función continua de variable real; a es un número realG = (A, 1), (B, 2), (C, 3), (D, 4), (E, 5), (F, 6) donde;A,B,C,D,E, F,G son los conjuntos

dados más arribaI = (s, s) / s ∈ A ⊂ R En realidad deberíamos escribir Ia

In = (p, q) / q = pn, con p ∈ S ⊂ Rsenw = (θ, sen(wθ)) / θ ∈ U ⊂ R ¿Cuantas funciones sen1 existen?

ew = (θ, ewθ), / θ es un enteroM = (x, y) / x4 + y4 = 16 con x real , y > 0N = (p, q) / p4 + q4 = 16 con p, q realesP = (1, 1), (1, 2), (p, q), (x, y) / p, q, x, y son letras del abecedario

14.3) Usualmente se escribe una función solamente dando la fórmula para la segunda

componente, sin especificar el rango; por ejemplo la función: y =

sin(x)

81− x2

¿Qué significa tal cosa? Se trata de la función:

f = (x, y) / y =

sin(x)

81− x2con x ∈ A ⊂ R

Donde el conjunto A es el máximo posible, tal que las dos componentes existan y re-

sulten reales. En el ejemplo no está permitido x = −9 ni x = 25π2

; en cambio es claro

que f(0) = 0; pero ¿ f(327π) = 0 ? Tampoco está permitido x = 9 ni x = 19. Es decir,

cuando no se especifique el dominio de la función, entonces deberá suponerse que se

trata del dominio máximo.

14.5) Las funciones se pueden graficar de muchas maneras. Lo importante es que

la representación usada no sea confusa. Normalmente sólo las funciones de pares de

números reales pueden ser representadas (en el plano) en forma “ópticamente correcta”.

Page 18: Apuntes de Algebra Lineal

18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

14.4) Gráfico de una función con dos

puntos de discontinuidad:

Ecuación de una función con dos pun-

tos de discontinuidad f(x) =x4 − 1

x2 − 1

•Un ejemplo de representación que no puede ser fiel: Si se nos dice

que la figura presentada es un cubo, entonces debemos aceptar que el

ángulo ABC es recto, y que las longitudes de los segmentos AB, BC y

CD son iguales, aunque parezca que eso no es así ¿Cuánto vale la suma

de los tres ángulos que forman los tres segmentos que concurren en C? A B

C

D

15) Dadas dos funciones f, g se construye una nueva función, denominada la función

compuesta de g con f , designada con g f

g f = (p, q) / p ∈ Df , f(p) ∈ Dg , q = g(f(p))

f g

Df Rf DgRg

gof

15.1)Construir las funciones f5 f5 , f6 f7, f8 f9 , f9 f8 , f8 f8 , con los fk de

Page 19: Apuntes de Algebra Lineal

19

más arriba.

16) Si f es una función, y su conjunto inverso, f in , también es una función, en-

tonces diremos que f es invertible y que f in es la función inversa de f .

Verifique que f f in = f in f = I donde DI = Df .

16.1) Verifique que si f es invertible f(x) = f(z)⇒ x = z

17) Sea n un número natural; consideremos las funciones de la forma:

f = (1, a1), (2, a2), (3, a3), · · · , (k, ak), · · · , (n, an) donde ak ∈ [n] ≡ 1, 2, 3, · · · , ny, por supuesto, f(k) = ak. Nótese los ak no tienen porque ser diferentes entre sí.

17.1) Cuando una función de 17: sea invertible recibirá el nombre de permutación

(del conjunto [n]). Diremos que f g, es el producto de composición de tales funciones.

[Nótese que en este producto sí importa el orden de los factores] Verifique que si p es

una permutación, entonces pj = k ⇔ (pin)k = j

17.2)Designemos con Pn al conjunto de todas las funciones invertibles de la forma

dada en 17(formadas por n pares de números naturales).

Entonces verifique que:

i) f, g ∈ Pn ⇒ f g ∈ Pn

ii) (f g) h = f (g h)

iii) Existe una función I ∈ Pn tal que I f = f I = f para toda f ∈ Pn

iv) Para toda f ∈ Pn existe otra función f in ∈ Pn tal que f f in = f in f = I

v) Pn , con la operación composición, es grupo.

.

17.3) Sean las funciones f , g tales que f(x) =1

x− 1, g(x) =

1

x

.[NOTA: Cuando no se define explícitamente el dominio de una función debe supo-

nerse que se trata del máximo. dominio posible].

Page 20: Apuntes de Algebra Lineal

20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Resolver las dos siguientes ecuaciones: f u = g , v f = g.

⁅f u = g → f(u(x)) = g(x)→ 1

u(x)− 1=

1

x→ u(x)− 1 = x→ u(x) = x+ 1

v f = g → v(f(x)) = g(x)→ v( 1x−1

) =1

x.

Por otra parte f(x) =1

x− 1→ x = 1 +

1

f(x)

Entonces v(f(x)) =1

x=

1

1 + 1f(x)

=f(x)

1 + f(x), de donde podemos escribir v(z) =

z

1 + z

Verifique que ambas soluciones son correctas⁆

18) Suma de dos funciones: f + g = h⇔ h(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ Df ∩Dg

18.1) Suma de dos funciones: f · g = h⇔ h(x) = f(x) · g(x) ∀ x ∈ Df ∩Dg

18.2) Suma de dos funciones:f

g= h⇔ g(x) 6= 0, h(x) =

f(x)

g(x)∀ x ∈ Df ∩Dg

18.3) OTROS: Para una función se puede definir su valor máximo, sus puntos es-

tacionarios, su norma (de muchas maneras), regiones de continuidad, regiones de deri-

vabilidad, etc.

19) Sea la función F = (p, q) / p = (x, z) ∈ R2 , q = (x2, xz,z

1 + |x|)i)Verifique que F es invertible

ii)Determine F in

19.1) Sea la función F = (p, q) / p = (x, y, z) ∈ R3 , q = (x2 + y2, xyz)i)Vea si ella es invertible

ii)Determine F (1,−2, 3) y F (2, 1,−3)

19.2) Sea la función Z = ((r, s), m) / m = r + s2, construya la función f tal

que f(x, y) = F (x, y, Z(x, y))

19.3) Sean las funciones f1(t) = 2sen(t), f2(t) = exp(t), f3(t) = t; construya la

función g(t) = F (f1(t), f2(t), f3(t))

Page 21: Apuntes de Algebra Lineal

21

19.4) Construya la función u tal que u(x) = F (x, f2(x), Z(f1(x), x))

20) La Derivada Direccional. Sea una función F con dominio DF y rango RF

tales que la operación

[F (p+ h · v)− F (p)]

h

tenga sentido, siendo h un número real “pequeño”. Por ejemplo, para la función de

19.1: tendríamos , con v = (r, s, t) , que p + h · v = (x+ hr, y + hs, z + ht) , de donde

F(p+h·v) − F(p) = (x+ hr)2 + (y + hs)2 + (x+ hr)(y + hs)(z + ht)− x2 + y2 + xyz ; es

decir, F(p+h·v) − F(p) = h(2xr + 2ys+ xyt+ xzs+ yzr) + h2(r2 + s2 + xst+ yrt+ zrs)

, de donde F (p+h·v)−F (p)h

= (2xr+2ys+ xyt+ xzs+ yzr) + h(r2 + s2 + xst+ yrt+ zrs)

20.1) Supongamos que v sea una cantidad unitaria (por el momento no interesa mucho

el significado de tal afirmación), entonces el número h será, de alguna manera, la me-

dida de la distancia entre los objetos p y p+ hv. Así F (p+h·v)−F (p)h

es el cociente entre

la diferencia de los ‘valores’ de F en los puntos p y p+ hv, y la distancia entre dichos

puntos. Recordemos que, en el caso de funciones ordinarias, [f(x+h·1)−f(x)]h

es la pen-

diente de la secante de la recta que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x+h ·1, f(x+h ·1)).

20.2) Como en el caso de la derivada ordinaria, cuando h tienda a cero, a veces existirá

el límite del cociente F (p+h·v)−F (p)h

, pero otras veces él no existirá. Cuando dicho límite

exista diremos que él es la derivada direccional de la función F en el punto p y

en la dirección v.

[DvF ](p) ≡ lımh→0

F (p+ h · v)− F (p)

h

20.3)Ejemplos:

i) F(p,q,r) = [pq, qr], es decir, Df ⊂ R3, Rf ⊂ R2 derivada en la dirección k = [a, b, c].

Con x = [p, q, r], tendremos

Page 22: Apuntes de Algebra Lineal

22 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

F (x+ hk)− F (x) = [(p+ ha)(q + hb),q + hb

r + hc]− [pq,

q

r]

= [(p+ ha)(q + hb)− pq,q + hb

r + hc− q

r]

= [h(pb+ aq) + h2ba,h(br − qc)

r(r + hc)]

= h[(pb+ aq) + hba,br − qc

r(r + hc)]

Entonces DkF (p, q, r) = [pb+ aq,br − qc

r2]

ii) G(p, q, r) = p · q2 + q · r2 ∈ R , que es un ejemplo de una función de 3 variables

(reales), con valores reales, lo que se conoce como un campo escalar. En la dirección

v = (x, y, z). Ahora:

G(p+ hx, q + hy, r + hz)−G(p, q, r) = (p+ hx)(q + hy)2 + (q + hy)(r + hz)2 − p · q2 − q · r2

= h(xq2 + 2ypq) + h2(y2p+ 2qxy) + h3y2 + h(yr2 + 2zqr)+

h2(z2q + 2ryz) + h3z2

Entonces, DvG(p, q, r) = xq2 + 2ypq + yr2 + 2zqr

iii) J(g) =

∫ b

a

[g2 + g’·g] , donde se supone que g es una función integrable en el

intervalo (a, b) , y también que posee 2a derivada continua. La “dirección”, es ahora

una cierta función. Así,

J(g + h)− J(g) =

∫ b

a

[(g + hv)2 + (g’+hv’) · (g + hv)]− [g2 + g’·g]

=

∫ b

a

2h · g · v + h2v2 + h(g’v + gv’) + h2v’v

Entonces, DvJ(g) =

∫ b

a

2 · g · v + (g’v + gv’)

iv) Sea la función G anterior.

Ahora construimos la funcional J(f) =∫ b

a

G[f(t), f ′(t), t]dt Calcular DvJ(g) , donde

es una función dada.

Primeramente recordemos que podemos escribir el desarrollo en serie de Taylor:

G(p+hα, q+hβ, r) = G(p, q, r)+hαG1(p, q, r)+hβG2(p, q, r)+(hα)2

2G11+

(hβ)2

2G22+

.h2αβ

2G12 +O(h3)

Page 23: Apuntes de Algebra Lineal

23

donde los subíndices indican con respecto a cual de las variables (la 1a, la 2a ó la

3a variable).

Ahora: J(f + hv)− J(f) =

∫ b

a

G[f(t) + hv(t), f ′(t) + hv′(t), t]−G[f(t), f ′(t), t]dtPero, teniendo presente que f(t)+hv(t) , f ′(t) + hv′(t) , t , f(t) , f ′(t) , son 5 números,

y considerando el desarrollo de Taylor anterior, tendremos:

J(f + h)− J(f) =

∫ b

a

hv(t)G1(p, q, r) + hv′(t)G2(p, q, r) +(hv(t))2

2G11 +

(hv′(t))2

2G22+

(hv(t)v′(t))

2G12 +O(h3)dt

donde por supuesto, p = f(t), q = f ′(t), r = t.

Entonces, DvJ(f) =

∫ b

a

v(t)G1(p, q, r) + v′(t)G2(p, q, r)dt

20.4) Sea una función F tal que DF ⊂ Rn , entonces la variable independiente p ,

como la dirección v, serán vectores n-dimensionales. En particular podemos tomar la

dirección v = ek del k-ésimo eje de coordenadas; así tenemos Dk ≡ Dek . Dicha derivada

direccional suele escribirse∂

∂xk, es decir,

∂F (x)∂xk

≡ DkF (x)

20.5)Sea F (p, q, r) = p2qr +ep

r¿Qué significan las siguientes expresiones?

i)∂F (p, q, r)

∂xii)

∂F (p, q, r)

∂xiii)

∂F (3, 4, 3)

∂x

iv)∂F (p, x, r)

∂xv)

∂F (x, x, x)

∂xvi)

∂F (z, z, z)

∂x

vii)∂F (xyz, x2, 1

x)

∂xviii)

∂F (p, g(x), r)

∂xix)

∂F (g(x), q, r)

∂x

x)∂F (g(p), g′(q), g′′(r))

∂x

donde g(t) = 2 · t2 + 3 · t

Page 24: Apuntes de Algebra Lineal

24 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

20.6) Para la misma función F (p, q, r) = p2qr +ep

r¿Qué significan las siguientes

expresiones?

i) D1F (p, q, r) ii) D1F (p, q, r) iii) D1F (3, 4, 3)

iv) D1F (p, x, r) v) D1F (x, x, x) vi) D1F (z, z, z)

vii) D1F (xyz, x2, 1x) viii) D1F (p, g(x), r) ix) D1F (g(x), q, r)

x) D1F (g(p), g′(q), g′′(r))

De 20.5 y 20.6 podemos apreciar las ventajas de usar D1F , D2F , D3F , en vez

de∂F

∂x,∂F

∂y,∂F

∂z.

20.7) [Una tarea trabajosa] Sean las funciones dadas en 19:

F = (p, q) / p = (x, y, z) ∈ R3 , q = (x2 + y2, xyz)Z = ((r, s), m) / m = r + s2f1(t) = 2sen(t) , f2(t) = exp(t) , f3(t) = t

g(t) = F (f1(t), f2(t), f3(t)) , u(x) = F (x, f2(x), Z(f1(x), x))

Determine las derivadas DkF (x) , DkZ(a, b) , Dg(x) , Du(x) , donde Df ≡ f ′.

Page 25: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 2

Grupos

• Definición y un ejemplo.

• Algunos teoremas sobre las principales propiedades de los grupos.

• 30 ejemplos de grupos.

• Tabla de un Grupo (como una especie de Tabla de Multiplicación)

• Grupo de permutaciones.

• Grupos de rotaciones de figuras geométricas que poseen algunas simetrías.

• Subgrupo

Sean un conjunto ζ y una función g : ζ × ζ → ζ . Diremos que el par (ζ, g) es un

grupo si se satisfacen los siguientes postulados:

1) El dominio de la función g es todo ζ × ζ y el rango es todo ζ .

2) La función (operación) es asociativa: g(g(x, y), z) = g(x, g(y, z)) ∀ x, y, z ∈ ζ .

3) ∃ e ∈ ζ tal que ∀ x ∈ ζ se cumple g(x, e) = x (identidad por la derecha)

4) ∀x ∈ ζ ∃ x′ ∈ ζ tal que g(x, x′) = e (inversa por la derecha)

25

Page 26: Apuntes de Algebra Lineal

26 CAPÍTULO 2. GRUPOS

Ejemplo: Sean p, q números racionales, tales que p2 + q2 6= 0 . Sea ζ el conjunto

de los números reales de la forma z = p +√2q . Por otra parte, definimos la función

g como el producto ordinario de dos números reales, es decir, g(p +√2q, u +

√2v) =

pu+ 2qv +√2(pv + qu) . ¿Es un grupo el par (ζ, g)? Veamos:

1. a) ¿Es el dominio de la función g, todo ζ × ζ ? Se verifica directamente.

b) ¿Es el rango de g todo ζ? Es decir, dado un elemento p +√2q , ¿Existen

a +√2b y c+

√2d , tales que (a+

√2b)(c +

√2d) = p+

√2q?

Verifique que tal cosa es cierta. Tenga presente que ni a2 − 2b2 ni c2 − 2d2

pueden ser nulos.

2. ¿Es asociativa la función (operación) g ; es decir, g(g(x, y), z) = g(x, g(y, z))

∀ x, y, z ∈ ζ?

Verifíquelo.

3. ¿∃ e ∈ ζ tal que ∀x ∈ ζ se cumple g(x, e) = x ?

Sea p+√2q un elemento de ζ tal que para todo a +

√2b se cumple

(a+√2b)(p+

√2q) = a +

√2b⇒ ap+ 2bq = a , aq + bp = b⇒ p = 1 , q = 0.

4. ¿∀ x ∈ ζ ∃ x′ ∈ ζ tal que g(x, x′) = e ?

Verifique que (a +√2b)′ =

(a−√2b)

(a2 − 2b2)¿Qué sucede si a =

√2b? (a, b racionales)

⇒ el par (ζ, g) de este ejemplo, es un grupo. Además es un grupo abeliano (es decir,

conmutativo).

Teorema 1 Si g(x, x′) = e ⇒ g(x′, x) = e [La inversa por la derecha es también

inversa por la izquierda]

En efecto, sea x′′ tal que g(x′, x′′) = e, entonces:

g(x′, x) = g(g(x′, x), e) = g(g(x′, x), g(x′, x′′)) = g(g(g(x′, x), x′), x′′) = g(g(x′, g(x, x′)), x′′)

= g(g((x′, e), x′′) = g(x′, x′′) = e

es decir, g(x′, x) = e.

Page 27: Apuntes de Algebra Lineal

27

⁅Otro: Sean los elementos g(x′, x) y g(x′, z) con z arbitrario.

g(g(x′, x), g(x′, z)) = g(g(g(x′, x), x′), z) = g(g(x′, g(x, x′)), z) = g(g(x′, e), z) = g(x′, z)

⇒ g(g(x′, x), g(x′, z)) = g(x′, z) , z arbitrario ⇒ g(x′, x) = e ⁆

Teorema 2 g(e, x) = x [Identidad por la izquierda también resulta ser identidad por

la derecha]

En efecto, g(e, x) = g(g(x, x′), x) = g(x, g(x′, x)) = g(x, e) = x.

Teorema 3 La identidad e es única.

En efecto, g(x, f) = x ∀x⇒ g(e, f) = e . Por otra parte, para la identidad f se cumple

g(x, f) = g(f, x); es decir, e = g(e, f) = g(f, e) = f .

Teorema 4 La inversa x′ es única

En efecto, sea g(zx, x) = e, entonces:

x′ = g(x′, e) = g(x′, g(x, zx)) = g(g(x′, x), zx) = g(e, zx) = zx . Además x 6= z ⇒ x′ 6= z′

Teorema 5 (x′)′ = x

En efecto, x′′ ≡ (x′)′ = g(x′′, g(x′, x)) = g(g(x′′, x′), x) = g(e, x)

Teorema 6 g(x, z)′ = g(z′, x′)

En efecto:g(x, z)′ = g(g(x, z)′, e) = g(g(x, z)′, g(g(x, z), g(z′, x′)))

= g(g(g(x, z)′, g(x, z)), g(z′, x′)) = g(e, g(z′, x′)) = g(z′, x′)

Teorema 7 g(a, x) = c⇒ x = g(a′, c)

Teorema 8 g(x, b) = c⇒ x = g(c, b′)

Teorema 9 g(a, x) = g(b, x)⇒ a = b g(x, a) = g(x, b)⇒ a = b

Page 28: Apuntes de Algebra Lineal

28 CAPÍTULO 2. GRUPOS

Teorema 10 Supongamos que exista un elemento q ∈ C tal que g(q, x) = g(x, q) , es

decir, q conmuta con todos los elementos de C.

Entonces, con la nueva operación K, tal que K(x, z) = g(g(x, z), q), el par (C, K) es

un grupo (caracterizado por el elemento q)

En efecto, K(x, E) = x ⇒ x = g(g(x, E), q) = g(x, g(E, q)) ⇒ g(E, q) = e ⇒ E = q′.

Por otra parte, para el elemento inverso xo (según K) tendremos E = K(x, xo)

⇒ q′ = g(g(x, xo), q) = g(q, g(x, xo)) pues q conmuta

⇒ e = g(q, q′) = g(g(q, q), g(x, x)) = g(g(q2, x), x)

⇒ xo = g(q2, x)′ , donde q2 ≡ g(q, q)

NOTA: Puede ser más cómodo usar x⊗ z ≡ g(x, z).

Así, por ejemplo, para el primer teorema, con x′′ ≡ (x′)′ , tendríamos:

x′ ⊗ x = (x′ ⊗ x)⊗ e = (x′ ⊗ x)⊗ (x′ ⊗ x′′) = ((x′ ⊗ x)⊗ x′)⊗ x′′ = (x′ ⊗ (x⊗ x′))⊗ x′′

= (x′ ⊗ e)⊗ x′′ = x′ ⊗ x′′ = e

⇒ x′ ⊗ x = e

EJEMPLOS de grupos:

E01) Los números reales de la forma a = x + z√3 , con x , z racionales; y la ope-

ración suma (x + z√3) + (u + v

√3) = x + u + (z + v)

√3 . Aquí obtenemos que:

e = 0, (x+ z√3)′ = −x− z

√3.

Verifque la asociatividad.

E02) a = x+ z√3 y el producto (x+ z

√3)(u+ v

√3) = (xu+3zv) + (xv+ zu)

√3 con

e = 1 + 0√3 , (x+ z

√3)′ =

−x3z2 − x2

+z

3z2 − x2

√3 .

Verifique la asociatividad. [Vea qué pasa si se considera a = x+ z√4]

E03) Las seis funciones f0(x) = x , f1(x) = 1 − x , f2(x) =1

x, f3(x) =

1

1− x,

f4(x) = 1− 1

x, f5(x) =

x

x− 1y la composición. ¿Dominio de las funciones?

⁅e = f0 . Note que f0 f0 = f1 f1 = f2 f2 = f3 f4 = f4 f3 = f5 f5 = e ; en

Page 29: Apuntes de Algebra Lineal

29

cambio f3 f3 = f4 , f4 f4 = f3 . Note que del dominio común de las funciones debe

excluirse a los números x = 0, x = 1. Verifique la asociatividad ⁆

E04) Las 3 funciones I(x) , f(x) =x− 1

x, g(x) =

1

1− xy la composición.

¿Dominio?

E05) Los enteros y la suma.

E06) Los racionales no nulos y el producto.

E07) Grupos con 1 , 2 ó 3 elementos.

⁅ i) Si el grupo tiene un único elemento, dicho elemento tendrá que ser la identidad.

ii) Si tiene dos elementos, ellos serán e, a .El resultado de g(a, a) sólo puede ser e ; pues

de g(a, a) = a obtenemos g(g(a, a), a′) = g(a, a′) ⇒ g(a, g(a, a′)) = e ⇒ a = e lo

que es falso. Es decir, a′ = a.

iii) Para 3 elementos tendremos e, a, b.

La operación g(a, b) = x , donde x no puede coincidir ni con a ni con b [pues,

x = a ⇒ g(a′, g(a, b)) = g(a, a′) ⇒ g(g(a′, a), a) = e ⇒ g(e, a) = e ⇒ a = e]:

luego g(a, b) = e.

Entonces g(a, a) ni g(b, b) pueden ser iguales a e [Pues g(a, a) = e = g(a, b) &

Teorema 9⇒ a = b]. Pero g(a, a) 6= a⇒ g(a, a) = b. Análogamente g(b, b) = a .⁆

.

ATENCIÓN: Por convención, en una tabla, para la operación g(p, q) se toma p en la

primera columna de la izquierda; q en la primera fila superior.

Page 30: Apuntes de Algebra Lineal

30 CAPÍTULO 2. GRUPOS

E07.1) Grupos con n = 4 elementos:

e, a, b, c. (ver figura)

α) Supongamos que g(a, a) = b,

luego g(a, b) = e ó c.

i) g(a, b) = e →g(a, c) 6= b, e; pero

g(a, c) 6= a, c →g(a, c) 6= e, a, b, c

ii) g(a, b) = c →g(a, c) = e

Además, de g(a, a) = b obtenemos que

g(a, b) = g(a, g(a, a)) = g(g(a, a), a)

⇒ g(a, b) = g(b, a) (ya tenemos todos

los resultados g(a, x)).

e a b c

a e → c → b

b c → a, e e, a

c b e, a a, e

• Resultan 2 posibilidades.

• Los 2 grupos resultan abelianos

• En una Tabla de grupo podemos

intercambiar el nombre de las letras; eso

no es interesante.

.

Ahora veamos g(b, x) : g(b, a) = g(a, b) = c. Luego g(b, b) = a ó e. Pero g(b, b) = a

→g(b, c) = e , y como g(a, c) = e resultaría que b = a. Entonces debe ser g(b, b) = e

→g(b, c) = a. Para los g(c, x) se obtiene entonces g(c, a) = e, g(c, b) = a, g(c, c) = b.

β) Ahora g(a, a) = e, entonces g(a, b) no puede ser ni e , ni a , ni b ; es decir, g(a, b) = c

→g(a, c) = b.

Para g(b, x) : Tenemos que g(b, a) no puede ser ni e , ni a , ni b ; entonces g(b, a) = c

Esto está indicado en la Tabla de grupo, al lado derecho. Para g(b, b) surgen dos op-

ciones i) g(b, b) = a , ii) g(b, b) = e. Note que g(b, b) = c →c = e.

Complete el análisis y verifique la asociatividad.

Así que para 4 elementos existen 3 grupos diferentes:

e a b c

a b c e

b c e a

c e a b

e a b c

a e c b

b c e a

c b a e

e a b c

a e c b

b c a e

c b e a

ACLARACIÓN 1: Supongamos que, por ejemplo, tenemos un grupo constituido por

los elementos que representamos por las letras e, a, b, c, u, v. Luego de esto, alguien

podría denominar al tercer elemento con la letra v (en vez de la letra b), y al último

elemento lo denomina con la letra b (en vez de la letra v), ¿Habrá obtenido un nuevo

Page 31: Apuntes de Algebra Lineal

31

grupo? A los grupos que tienen la misma estructura de grupo (tienen la misma tabla

de grupo), sólo que sus elementos han sido designados con diferentes nombres se los

denomina isomorfos (que tienen la misma forma de grupo). Los grupos isomorfos no

son considerados como grupos diferentes. [El concepto de isomorfismo es más amplio;

pero, el isomorfismo por cambio de nombres es un caso sencillo particular]

ACLARACIÓN 2: Note que si en una tabla de grupo se permutan las filas (o se per-

mutan las columnas), entonces la operación de grupo no es modificada. Es decir, no

interesa en que orden se escriben las columnas (o en que orden se escriben las filas).

Pero puede ser conveniente escribirlas en determinado orden.

E07.2) Verifique que la segunda y la tercera tablas representan a un mismo grupo. Es

decir,existen únicamente dos (diferentes) grupos de 4 elementos.

E07.3) Construya la tabla para los posibles grupos:

i) De dos elementos e, a

ii) De tres elementos e, a, b; verifique que g(a, a) = b

iii) De cuatro elementos; y verifique que existen sólo dos grupos diferentes (ver arriba)

.

E07.4) En una de las Tablas de grupo para n = 4 (son dos Tablas de grupo; una para

cada grupo) con los elementos e, a, b, c, obtenga un “nuevo grupo”(aparentemente)

diferente al elegido por usted, cuando intercambia las letras; por ejemplo, escriba c en

vez de a, y a en vez de c.

xx) GRUPOS EQUIVALENTES o isomorfos: Sean dos grupos G = (C1, g) , H(C2, h)

tales que C1 y C2 son dos conjuntos de igual número de elementos. Sea f una fun-

ción invertible de C1 en C2 ; es decir, para ∀ p ∈ C1 , ∃ q ∈ C2 tal que f(p) = q y

f−1(q) = p ; entonces diremos que dichos grupos son equivalentes si y sólo si se cum-

ple que f(g(p, r)) = h(f(p), f(r)). A continuación presento un ejemplo en 07.5 ; otros

Page 32: Apuntes de Algebra Lineal

32 CAPÍTULO 2. GRUPOS

ejemplos serán mostrados más abajo.

E07.5) En el caso de los grupos de 4 elementos, en (E07.1) mostramos que existen

3 grupos, cuyas tablas de grupo se exhiben en dicho párrafo.

En este caso C1 = C2 = C3, en cambio las operaciones de grupo son diferentes; pues si

bien g1(a, b) = g2(a, b) = g3(a, b) = c ; en cambio g1(c, c) = b , g2(c, c) = e , g3(c, c) = a.

Considere la función invertible f = (e, e), (a, a), (b, c), (c, b) de los conjuntos C2 y C3.

Verifique que el segundo y el tercer grupo son equivalentes o isomorfos.

E08) Sea m > 1 un número natural, y sean z, r ciertos enteros. Diremos, por de-

finición, que z es igual a r módulo m , lo cual escribiremos así z = r mód(m) , ó así

z =m r , si y sólo si, existe un entero q tal que z = mq + r.

El conjunto Jn ≡ 0, 1, 2, 3, · · · , n − 1 recibe el nombre de Conjunto de los Enteros

módulo n.

E09) Verifique que [Jn,+] es un grupo, donde g(p, q) = p+ q mód(n).

⁅Es claro que e = 0. Para el elemento inverso tendremos p+p′ =n 0 =n n⇒ p′ = n−p,

donde, puesto que 0 ≤ p < n ⇒ n − p ≤ n , n − p > 0, es decir, p′ = n − p ∈ Jn.

Verifique la asociatividad⁆

E10) ¿Es [Jn − 0, ×] , con g(p, q) =n p×q , un grupo?

⁅Por una parte, si fuese un grupo, el elemento identidad debe ser el número 1.

A) Sea n un entero producto de otros dos enteros, n = p×q , con p, q < n entonces,

p×q = 0 y no se trataría de un grupo.

B) Sea n un número primo.

B1) p, q ∈ Jn ⇒ pq 6= n ó pq 6=n 0

B2) 0 < p ∈ Jn, 0 ≤ q < n & pq = 0⇒ q = 0

B3) p, q, r ∈ Jn & pq =n pr ⇒ q = r

Page 33: Apuntes de Algebra Lineal

33

B4) Sea 0 6= p ∈ Jn ⇒ p, 2p, 3p, · · · (n − 1)p son todos diferentes, entonces, alguno de

ellos p′p =n 1 ⇒ g(p′, p) = e. La propiedad asociativa se cumple porque dicha propie-

dad se cumple para los números enteros. Luego, si n es un número primo J ′n ≡ [Jn−0,×]

es un grupo

E10.1) Para q 6= 0 definimosp

q= r ⇔ p = r×q.

Construya las fracciones del grupo [Jn − 0,×]

E10.1.1) Dados los enteros positivos p , q , m , (verifique que) existe un entero no

negativo k, tal que p+mk es divisible entre q.

E11) Pares ordenados de reales, [x, z] , y la suma. En general, n-uplas y la suma

por componentes.

⁅Para pentuplas, e = [0, 0, 0, 0, 0], p = [p1, p2, p3, p4, p5] , p′ = [−p1,−p2,−p3,−p4,−p5],y la asociatividad se cumple por componentes⁆

E12) Pares ordenados de reales [x, z] , con g([p, q], [x, z]) = [px − qz, pz + qx]. Aquí

resulta e = [1, 0] , [x, z]′ =

[

x

x2 + z2,−z

x2 + z2

]

, donde debe descartarse el par [0, 0].

E13) Grupo contínuo G(u) = [cos(u), sen(u)] , como un caso particular de E12, resul-

tando g(G(u), G(v)) ≡ G(u)G(v) = G(u+ v)

⁅ G(u)G(v) = g([cos(u), sen(u)], [cos(v), sen(v)])

= [cos(u)cos(v)− sen(u)sen(v), cos(u)sen(v) + sen(u)cos(v)]

= [cos(u+ v), sen(u+ v)] = G(u+ v)

Además e = G(0) = [1, 0] ; G(u)G(−u) = G(0)⇒ G(−u) = G(u)′.

Page 34: Apuntes de Algebra Lineal

34 CAPÍTULO 2. GRUPOS

Verifique el cumplimiento de la propiedad asociativa.⁆

E14) Las n-uplas con la suma de las componentes.

E15) G(m,n) = m+ n+mn mód(p), donde m, n ∈ 0, 1, 2, 3, · · · , p− 2; p es primo

Para la inversa tener presente que dado m < p, siempre existe

m′ < p tal que m′(m+1) = kp−m (k es un entero adecuado),

por ejemplo, 1’ = 3 , 5’= 5 .

Además e = 0. [G(p− 2, p− 2) = p2 − 2p =p 0]

¿Por qué no se considera p− 1 en la tabla?

Note que G(m, p− 1) =m p− 1 , con m arbitrario.

Ver la tabla para p = 7.

G mód 7

0 1 2 3 4 5

1 3 5 0 2 4

2 5 1 4 0 3

3 0 4 1 5 2

4 2 0 5 3 1

5 4 3 2 1 0

E16) Las n-uplas con ningún elemento nulo, y el producto de sus componentes g([xk], [zk]) =

[xkzk] , donde [xk] ≡ [x1 x2 x3 · · · xn] usar x , x • ek = xk

⁅e = [1 1 1 · · · 1], [xk]′ =

[

1

xk

]

, donde se ve la necesidad de que ningún elemento

sea nulo. La asociatividad se cumple porque las componentes son asociativas.⁆

E17) Para p , x , z, reales, p no nulo; g(x, z) = x+ z + pxz , con:

e = 0 , x′ =−x

1 + px, x 6= 1

p. Verifique la asociatividad.

Halle todas las soluciones de la ecuación g(x, x) + g(1, x) = 0

⁅2x+ px2 + 1 + x+ px = 0⇒ px2 +2x(3 + p)

2+ 1 = 0

⇒ *

(

px+p

2+

3

2

)2

=(p+ 3)2

4− 1 ≥ 0⇒ (p+ 3)2 ≥ 4

⇒ p ≤ −5 ó p ≥ −1es la condición para que exista solución, la misma que se obtiene de *⁆

Page 35: Apuntes de Algebra Lineal

35

E18) [Desafío] ¿Cómo deben ser las matrices A, B, C, para que los ternas-columnas

de números reales, con la operación: p3q = [pTAq , pTBq , pTCq] constituya un

grupo?

E19) Las simetrías de un polígono regular (rotaciones y reflexiones especulares):

Triángulo ABC, Cuadrado ABCD, Polígono ABCD · · ·LM

Triángulo:e(ABC) = ABC , R1(ABC) = BCA , R2(ABC) = CAB

F1(ABC) = ACB , F2(ABC) = CBA , F3(ABC) = BAC

(6 elementos que pueden verse como 6 posibles permutaciones)

Cuadrado:

e(ABCD) = ABCD , R1(ABCD) = BCDA , R2(ABCD) = CDAB

R3(ABCD) = DABC , F12(ABCD) = BADC , F23(ABCD) = CDBA

V1(ABCD) = ADCB , V2(ABCD) = CBAD

(8 elementos de las 24 posibles permutaciones)

Tetraedro:

e(ABCD) = ABCD , R11(ABCD) = ACDB , R12(ABCD) = ADBC

R21(ABCD) = CBDA , R22(ABCD) = DBAC , R31(ABCD) = BDCA

R32(ABCD) = DACB , R41(ABCD) = BCAD , R42(ABCD) = CABD

R12(ABCD) = BADC , R13(ABCD) = CDAB , R14(ABCD) = DCBA

(12 elementos de las 24 posibles permutaciones)

Verifique usted: Cubo , Círculo , Cilindro , Esfera.

Traslación sobre una recta, sobre una circunferencia, sobre una curva, sobre el plano.

• Sean a, b, c tres números reales; p , q , r tres enteros, α, β, γ ∈ 0, 1. Diremos que

el paralelepípedo cuyos 8 vértices son (pa + αa, qb + βb, rc + γc) es la celda (p, q, r).

Es decir, el espacio tridimensional puede ser partido en celdas.

• A continuación consideremos un paralelepípedo P , que puede encajar perfectamente

en cualquiera de las celdas. Entonces P puede ser trasladado de una celda a cualquier

Page 36: Apuntes de Algebra Lineal

36 CAPÍTULO 2. GRUPOS

otra por medio de desplazamientos paralelos a las tres direcciones determinadas por

los lados de las celdas. Verifique que estas traslaciones constituyen un grupo, donde la

operación de grupo consiste en realizar una traslación a continuación de otra. [Esta es

la operación de grupo característica de los cristales]

E20) Las matrices de m×n (m filas y n columnas), y la operación suma.

E21) Las funciones definidas en un intervalo, y la operación suma.

E21.1) Las funciones que no se anulan en un intervalo, y la operación producto de

funciones.

E21.2) Las funciones definidas en un intervalo y la operación composición de funciones.

E21.3) Las funciones definidas en un intervalo, y la operación f ⊗ g = f + g + αfg ,

donde α es un número real no nulo.

E22) Funciones invertibles, Df = Rf , con dominio U , y la composición. Es lo que se

conoce como PERMUTACIÓN.

E23) Cualquiera de estos conjuntos:

1, i, −1, −i, Y , [0 −1; 1 0], −Y , [0 1; −1 0] , Y , −Y , σ1, −σ1, y la operación

producto son representaciones de un mismo grupo; así también (J4, +). Aquí [a b; c d]

es una matriz con dos columnas [a b] y [c d]; Y es la matriz identidad; por otra parte

la matriz σ1 = [0 1; 1 0].

⁅Si designamos con E (identidad), A, B, C, los elementos

de cada uno de los cuatro conjuntos anteriores, tendremos

la Tabla de Grupo: La lectura B de la 3a fila, y C de la 4a

columna da g(B,C) = A, que se encuentra en la intersección

de la fila y columna mencionadas.⁆

E A B C

E E A B C

A A B C E

B B C E A

C C E A B

E24) El conjunto de la matrices de n×n , invertibles, y la operación producto.

Page 37: Apuntes de Algebra Lineal

37

E24.1) Conjunto de matrices de n×n y la operación A ⊗ B = A + B + αAB , con α

real no nulo, y det(Y + αA) 6= 0.

⁅Para el elemento identidad:

A⊗ E = A⇒ A+ E + αAE = A⇒ E(Y + αA) = 0 (matriz nula).

Si det(Y + αA) 6= 0, entonces E = 0.

Por otra parte, para el elemento inverso de A, tendremos:

A + A′ + αAA′ = E ⇒ A′(Y + αA) = −A , y como existe la inversa de la matriz del

paréntesis: A′ = −A(Y + αA)−1.

Para la asociatividad:

(A+B+αAB)+C +α(A+B+αAB)C = A+(B+C +αBC)+αA(B+C +αBC)⁆

E25) Dado un grupo g , y dos de sus elementos a, b, construimos la nueva opera-

ción: G(x, z) = g(g(x, a), g(b, z)). Por comodidad simplificaremos g(p, q) ≡ pq , de

donde G(x, z) = xabz . Entonces, G(x, E) = x⇒ x = xabE ⇒ E = (ab)′.

Por otra parte G(x, x′) = E ⇒ xabx′ = (ab)′ ⇒ x′ = (xab)′(ab)′ = (abxab)′.

También G(x, p) = q ⇒ x = q(abp)′ = qp′E

E26) Permutaciones:

p = (1, p1), (2, p2), · · · (k, pk), · · · , (n, pn) ≡(

1 2 3 · · · k · · · n

p1 p2 p3 · · · pk · · · pn

)

≡(

k

pk

)

p(k) = pk; donde no interesa el orden en el

que se escriban los pares=

(

a r t · · · m · · · j

pa pr pt · · · pm · · · pj

)

p′ =

(

p1 p2 p3 · · · pk · · · pn

1 2 3 · · · k · · · n

)

≡(

pk

k

)

g(p, q) ≡ p q

p q(j) = p(q(j)) ⇐⇒ j −→ p(qj)

(

qj

p(qj)

)

(

j

qj

)

=

(

j

p(qj)

)

p q =

(

q1 q2 q3 · · · qk · · · qn

pq1 pq2 pq3 · · · pqk · · · pqn

)

(

1 2 3 · · · k · · · n

q1 q2 q3 · · · qk · · · qn

)

Page 38: Apuntes de Algebra Lineal

38 CAPÍTULO 2. GRUPOS

p q =

(

1 2 3 · · · k · · · n

pq1 pq2 pq3 · · · pqk · · · pqn

)

Nótese que (k, pk) ∈ p⇐⇒ (pk, k) ∈ p′ o también pk = m⇐⇒ p′m = k

E27) El conjunto de los reales no nulos: g(x, z) = Mxz para M 6= 0.

⁅Aquí e =1

M, x′ =

1

xM2. Para la asociatividad: M(Mpq)r = Mp(Mqr)⁆

E28) Verifique que la operación f(x, z) = x− z , donde x, z son enteros, no es asocia-

tiva.

E29) Sea el conjunto R − 0 , y la operación f(x, z) = |x|z . Verifique que:

i) La operación es asociativa.

ii) Existen dos identidades izquierdas, pero no existe identidad derecha.

Pregunta: ¿Es un grupo?

E30) Constituido por las dos funciones I, f , y la operación composición, donde:

f(x) =A(Bx+ A)

(1− A2)x−AB, con A 6= 0, B arbitrarios.

Teorema 11 Sea a cierto elemento de un grupo. Verifique que

z/z = g(a, x) con x ∈ C) = C

Concluya que en una Tabla de Grupo, tanto cada fila (así como cada columna) tiene

todos sus elementos diferentes.

x

Page 39: Apuntes de Algebra Lineal

39

Teorema 12 Sea un grupo finito de 2N elementos; entonces para (por lo menos) uno

de ellos, p 6= e, se cumple g(p, p) = e.

Consideremos los 2N elementos (diferentes entre sí), xk , con x1 = e ; entonces sus

elementos inversos x′k también serán diferentes entre sí y por lo tanto, entre ellos apa-

recerán todos los elementos del grupo. Es decir, si C = xk, k = 1, · · · , 2N, entonces,

también x′k, k = 1, · · · , 2N = C. Por una parte x′

1 = e ó g(x1, x1) = e. Para un

elemento xk 6= e tenemos dos posibilidades: i) x′k = xk , ii) x′

k = xm con m 6= k. Cada

vez que no se cumpla el primer caso, tendremos dos elementos, donde uno es el inverso

de otro. Así tendremos, cada vez, un número par de elementos, donde la mitad de ellos

son los inversos de la otra mitad. Pero, descartando la identidad, sólo disponemos de

2n− 1 elementos.

SUBGRUPO: Sea S ⊂ C, donde [g,C] es un grupo. Si [g,S] es también grupo,

se dice que él es un subgrupo de [g,C], y se escribe [g,S] ⊂ [g,C]

Teorema 13 El subconjunto S ⊂ C, con la operación g (del grupo) es un subgrupo si

y sólo si x, z ∈ S ⇒ g(x, z′) ∈ S.

⁅Por una parte: Sea [g,S] un grupo. Entonces x, z ∈ S⇒ x, z′ ∈ S⇒ g(x, z′) ∈ S.

Por otra parte:

i) x ∈ S⇒ e = g(x, x′) ∈ S (la identidad está en S)

ii) e, x ∈ S⇒ x′ = g(e, x′) ∈ S (la inversa de un elemento de S está en S)

iii) x, z ∈ S⇒ x, z′ ∈ S⇒ g(x, z) = g(x, z′′) ∈ S (la operación es cerrada en S)

iv) La distributividad se cumple para 3 elementos cualesquiera de C .

Luego S es un grupo⁆

Teorema 14 Todo grupo finito de N elementos es un subgrupo del grupo de permu-

taciones PN

Si para cada elemento z definimos la función fz tal que fz(x) = g(z, x), entonces fz

es invertible; es decir, es una permutación. Por otra parte, fw fz(x) = fw(fz(x)) =

g(w, fz(x)) = g(w, g(z, x)) = g(g(w, z), x) = fg(w,z)(x), x arbitrario ⇒ fw fz = fg(w,z)

Page 40: Apuntes de Algebra Lineal

40 CAPÍTULO 2. GRUPOS

ALGUNOS CASOS PARTICULARES

Sean A, B, C tres puntos equidistantes,

fijos en el espacio; M es el baricen-

tro del triángulo equilátero ABC. Sea

EA una recta orientada, determinada

por M y A, en el sentido de M hacia

A. Análogamente definimos las rectas

orientadas (ejes orientados) EB y EC.

Además definimos el eje orientado EM ,

que pasa por M y es perpendicular al

plano determinado por A, B y C, y en

el sentido de avance de un tirabuzón que

gira en el sentido ABC, como se muestra

en el dibujo. Un eje que está desactivado

es invisible; se vuelve visible al ser activado.

A la derecha se muestra la Regla del

Tirabuzón, que conecta el sentido de

avance de un tirabuzón con el sentido de

rotación del mismo.

EB

EA

EC

EM

MB

A

C

Page 41: Apuntes de Algebra Lineal

41

PARA EL TRIÁNGULO:

A

B C

1

2 3

A

1

B C

2

3

La celda ABC, fija

en el espacio

Un triangulo

equilatero con

vertices 1 2 3

El triangulo 123,

encajado en la celda

ABC, en una de las

muchas maneras

posibles

Existen 6 maneras cómo el triángulo 123 puede encajar en la celda ABC(

A B C

1 2 3

) (

A B C

1 3 2

) (

A B C

2 3 1

) (

A B C

2 1 3

) (

A B C

3 1 2

) (

A B C

3 2 1

)

Lo que en forma simplificada escribiremos simplemente:

a[1 2 3] [1 3 2] [2 3 1] [2 1 3] [3 1 2] [3 2 1]

ATENCIÓN: Los elementos del grupo son las rotaciones. La celda y el triángulo son

solamente objetos auxiliares para representar (los efectos de) las rotaciones.

Page 42: Apuntes de Algebra Lineal

42 CAPÍTULO 2. GRUPOS

OPERACIONES DE GRUPO: [las rotaciones serán orientadas según la Regla del Tirabuzón]

Con X ∈ A,B,C diremos que RX es una rotación de 180° alrededor del eje EX . RM es una

rotación de 120° alrededor del eje EM . Con p, q, r, la igualdad RZ [p q r] = [s t u] significa que

al triángulo en la posición [p q r] se le ha aplicado una rotación RZ , como consecuencia de la

cual ha pasado a tomar la posición [s t u]. Por ejemplo RA[3 1 2] = [3 2 1], donde debe notarse

que el vértice 3, que ocupaba el punto fijo A, no ha cambiado su posición.

También RM [3 2 1] = [1 3 2]. Obsérvese que [1 3 2] = RM [3 2 1] = RM(RA[3 1 2]), lo cual

escribiremos, sencillamente, [1 3 2] = RM(RA[3 1 2]). Es decir, RXRYRZRW [3 2 1] significa que

al triángulo en la posición inicial [3 2 1] se le ha aplicado, primeramente la rotación RW , luego

RZ , luego RY , luego RX . Nótese que RA[p q r] = [p r q], RA(RA[p q r]) = RA[p r q]=[p q r]

o también R2A[p q r] = [p q r]. Es decir, la operación R2

A es una operación que no modifica la

posición del triángulo; por ello escribiremos R2A = Y ≡ operación identidad. Análogamente

R2B = R2

C = Y .

Por otra parte RM [p q r] = [r p q], R2M [p q r] = [q r p], R3

M [p q r] = [p q r] ⇒ R3M = Y . Como

ya hemos dicho, las rotaciones indicadas se realizan según la Regla del Tirabuzón; cuando

deseemos realizar una rotación en sentido contrario al del tirabuzón escribiremos una tilde. Así

RM indica una rotación de 120° alrededor del eje EM , en sentido antihorario; entonces R′M

también indicará una rotación de 120° alrededor del eje EM , pero en sentido horario; es decir,

RMR′M = Y , R′

MRM = Y . De acuerdo con lo dicho tendremos que, por ejemplo, R′A = RA,

R′M = R2

M

Tabla de “Multiplicación”del Grupo Triangular

Y RA RB RC RM R2M

RA Y RM R2M RB RC

RB R2M Y RM RC RA

RC RM R2M Y RA RB

RM RC RA RB R2M Y

R2M RB RC RA Y RM

Los subgrupos:

Y ,RA,

Y ,RB,

Y ,RC,

Y ,RM ,R2M

nn) Construir las diferentes equivalencias (ver 07.1) entre el grupo triangular y el

grupo de permutaciones de 3 elementos.

Page 43: Apuntes de Algebra Lineal

43

PARA EL CUADRADO:

Para distinguir mejor la operaciones construya, en cartulina, la figura correspondiente

EA EV ED

EH

EM

A D

BC

M

1

23

4

La celda cuadrada ABCD y los cinco

ejes de rotación EA, EV , ED, EH , EM

con las ocho rotaciones:

E[p q r s]=[p q r s]

RA[p q r s]=[p s r q]

RV [p q r s]=[s r q p]

RD[p q r s]=[r q p s]

RH [p q r s]=[q p s r]

RM [p q r s]=[s p q r]

R2M [p q r s]=[r s p q]

R3M [p q r s]=[q r s p]

Tabla de “Multiplicación”del Grupo del Cuadrado

Y RA RV RD RH RM R2M R3

M

RA Y RM R2M R3

M RV RD RH

RV R3M Y RM R2

M RD RH RA

RD R2M R3

M Y RM RH RA RV

RH RM R2M R3

M Y RA RV RD

RM RH RA RV RD R2M R3

M Y

R2M RD RH RA RV R3

M Y RM

R3M RV RD RH RA Y RM R2

M

Los subgrupos:

Y ,RA,

Y ,RV ,

Y ,RD,

Y ,RH,

Y ,RM ,R2M ,R3

M· · ·

mm) Construir la equivalencia con un subgrupo de permutaciones de 4 elementos.

Page 44: Apuntes de Algebra Lineal

44 CAPÍTULO 2. GRUPOS

Tabla de “Multiplicación”del Grupo del Tetraedro ABCD

.[Son 7 ejes de rotación: 4 pasando por cada vértice y el baricentro de la cara opuesta,

más 3 que pasan por los puntos medios de dos aristas no concurrentes]

Y RA R2A RB R2

B RC R2C RD R2

D RAB RAC RAD

Subgrupos:

Y , RA, R2A,

Y , RB, R2B,

Y , RC , R2C,

Y , RD, R2D,

I, RAB,

Y , RAC,

Y , RAD

B C

D

A

.

Page 45: Apuntes de Algebra Lineal

45

Tabla de “Multiplicación”del Grupo del Cubo ABCDA′B′C ′D′

Son 13 ejes: (3 perpendiculares a las caras) + (4 diagonales mayores) + (6 que conectan

los centros de dos aristas opuestas), y 24 elementos.

RAC(90) RAB′(90) RAD′(90) 1 + 3× 3

RAC′(120) RBD′(120) RCA′(120) RDB′(120) 4× 2

RAB(180) RAD(180) RAA′(180) RBC(180) RBB′(180) RCD(180) 1× 6

A

B C

D

B′ C ′

D′

RAC

RDD′

RBD′

.

ss) Construir la equivalencia con el grupo de permutaciones de 4 elementos.

Page 46: Apuntes de Algebra Lineal

46 CAPÍTULO 2. GRUPOS

Page 47: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 3

Cuerpos

• Llamados también Field(Inglés), Körper(Alemán)

• Un conjunto G y dos operaciones de grupo: una operación de “suma”, ⊕, y una

a operación de “producto”, ⊗.

• Propiedad distributiva.

• El cuerpo de los números reales.

• El cuerpo de los pares de números reales (⇔ cuerpo de los números complejos).

• El sub-cuerpo de los pares con segunda componente nula (⇔ al cuerpo

a de los números reales).

• Representación geométrica de los números complejos.

• Polígonos regulares en el Plano Complejo.

• Números complejos “rotantes”

• La función exponencial compleja.

• Las ecuaciones z1N + p = 0 y zN + p = 0

01) Sean (G, χ) un grupo con identidad e ; (G − e, η) un grupo con identidad

u, donde χ, η, son las operaciones de grupo (usualmente llamadas suma y produc-

to, respectivamente). Ahora, si para elementos cualesquiera x, y, z ∈ G se cumple la

distributividad:

i) η(x, χ(z, w)) = χ(η(x, z), η(x, w)) ó x⊗ (z ⊕ w) = (x⊗ z)⊕ (x⊗ w)

47

Page 48: Apuntes de Algebra Lineal

48 CAPÍTULO 3. CUERPOS

ii) η(χ(x, z), w) = χ(η(x, w), η(z, w)) ó (x⊕ z)⊗ w = (x⊗ w)⊕ (z ⊗ w)

Diremos que la terna (G, χ, η) es un cuerpo.

Ejemplos: (Q, +, ·), (R, +, ·), (Jp, +, ·), donde p es primo.

01.1) De esto:

i) u · u = u

ii) e · x+ z = e · x+ z · 1x· x = (e + z · 1

x) · x = z · 1

x· x = z ⇒ e · x = e

iii) u′ · x = x′, pues x+ u′ · x = u · x+ u′ · x = (u+ u′) · x = e · x = e

iv) u′ · u′ = u′′ = u

⁅Aquí se está usando “punto”y “cruz”en vez de ⊗ y ⊕, respectivamente⁆

02) Verifique que:

i) El conjunto de los números reales, R, con la operación de suma, (R, +), es un

grupo.

ii) Que (R− 0,×) es también un grupo.

iii) Que se cumple la propiedad de distributividad.

⁅Entonces (R, +, ×) es un cuerpo⁆

02.1) Verfique que los pares ordenados de números reales [r, s], con la operación

[r, s]⊕ [u, v] = [r + u, s+ v]

02.1)aconstituyen un grupo.

⁅Identidad, e = [0, 0] ; inversa [p, q]′ = [−p,−q] ⁆

Page 49: Apuntes de Algebra Lineal

49

02.2) Verifique que el conjunto de los pares ordenados de números reales, excluyendo

al par [0, 0], con la operación

[r, s]⊗ [u, v] = [ru− sv, rv + su]

también constituye un grupo.

⁅Identidad u = [1, 0]; inversa [p, q]′ =

[

p

p2 + q2,−q

p2 + q2

]

.

Para la asociatividad:([p, q]⊗ [r, s])⊗ [v, w] = [pr − qs, ps+ qr]⊗ [v, w]

= [(pr − qs)v − (ps+ qr)w, (pr − qs)w + (ps+ qr)v]

= [p(rv − sw)− q(rw + sv), p(rw + sv) + q(rv − sw)]

= [p, q]⊗ [rv − sw, rw + sv]

= [p, q]⊗ ([r, s][v, w]) ⁆

02.3) Si z es un par ordenado de números reales, definimos iterativamente z0 = u,

zn+1 = zn ⊗ z, para n = 0, 1, 2, 3, · · ·Verifique que:

i) .[p, q]2 = [p2 − q2, 2pq]

.[p, q]3 = [p3 − 3pq2, 3p2q − q3]

.[p, q]4 = [p4 − 6p2q2 + q4, 4p3q − 4pq3]

ii) .[cos(θ), sen(θ)]⊗ [cos(φ), sen(φ)] = [cos(θ + φ), sen(θ + φ)]

.[cos(θ), sen(θ)]N = [cos(Nθ), sen(Nθ)]

⁅Directamente se verifica que:

..[cos(θ), sen(θ)]⊗ [cos(φ), sen(φ)] = [cos(θ + φ), sen(θ + φ)], entonces

..[cos(θ), sen(θ)]2 = [cos(θ), sen(θ)]⊗ [cos(θ), sen(θ)] = [cos(2θ), sen(2θ)]; así mismo

.[cos(θ), sen(θ)]3 = [cos(θ), sen(θ)]2 ⊗ [cos(θ), sen(θ)] = [cos(2θ), sen(2θ)]⊗ [cos(θ), sen(θ)]

= [cos(3θ), sen(3θ)].

En general:.[cos(θ), sen(θ)]n+1 = [cos(θ), sen(θ)]n ⊗ [cos(θ), sen(θ)] = [cos(nθ), sen(nθ)]⊗ [cos(θ), sen(θ)]

= [cos((n+ 1)θ), sen((n+ 1)θ)]

Page 50: Apuntes de Algebra Lineal

50 CAPÍTULO 3. CUERPOS

⇒ por inducción:

[cos(θ), sen(θ)]n = [cos(nθ), sen(nθ)]⁆

02.4) Verifique que, con las dos operaciones definidas para los pares ordenados, se

cumplen las leyes de distributividad:

Z1⊗ (Z2⊕Z3) = (Z1⊗Z2)⊕ (Z1⊗Z3) (Z1⊕Z2)⊗Z3 = (Z1⊗Z3)⊕ (Z2⊗Z3)

Donde, por supuesto, los Zk son pares ordenados de números reales.

03) Dado un conjunto C y las dos operaciones ⊕ y ⊗, de manera que (C,⊕) sea

un grupo con identidad e, y también (C − e,⊗) sea un grupo, con identidad u; y

además se cumplan las dos leyes de distribución mostradas en 2.3, entonces diremos

que (C,⊕,⊗, ecuaciones 02.3) es CUERPO (campo, field)

03.1) El conjunto de los pares ordenados de números reales, R2, con las dos operacio-

nes de grupo mencionadas en 02, cumple con las dos leyes de distribución; entonces

(R2,⊕,⊗) es un cuerpo, se le conoce con el nombre de (Cuerpo de los) Números

Complejos

⁅Recordemos que la identidad aditiva es e = [0, 0], ¿Cómo son las componentes del

par [a, b] tal que [a, b] = [0, 0]? Es decir, [a, b] = e; pero e es única, es decir, a = 0,

b = 0. De aquí también obtenemos que [p, q] = [r, s]⇒ p = r, q = s⁆

03.2) Dentro del cuerpo de los números complejos consideremos el subconjunto R1

de los números complejos de la forma [x, 0]. Verifique que (R1,⊕,⊗) es un cuerpo (un

subcuerpo del cuerpo de los números complejos)

⁅[x, 0] ⊕ [z, 0] = [x + z, 0] & [x, 0] ⊗ [z, 0] = [xz, 0]; es decir, en las operaciones in-

terviene solamente la primera componente.⁆

Page 51: Apuntes de Algebra Lineal

51

03.3) Verifique que el conjunto de los números reales, con las operaciones de suma

y producto, constituyen un cuerpo (Cuerpo de los Números Reales)

⁅Note que el cuerpo (R1,⊕,⊗) y el cuerpo (R,+,×) de los reales se comportan “igua-

lito”, donde al par ordenado [x, 0] le corresponde el número real x⁆

03.4) En adelante simplificaremos la escritura

Z1 ⊕ Z2 ≡ Z1 + Z2 Z1 ⊗ Z2 ≡ Z1Z2

de manera que las igualdades anteriores se escribirán:

i) [r, s] + [v, w] = [r + v, s+ w]

ii) [r, s][v, w] = [rv − sw, rw + sv]

iii) Z1(Z2 + Z3) = (Z1Z2) + (Z1Z3)

iv) (Z1 + Z2)Z3 = (Z1Z3) + (Z2Z3)

.

04) Sean los números complejos io ≡ [1, 0], i ≡ [0, 1]. Verifique que todo número

complejo Z = [v, w] se puede escribir como Z = io ⊗ [v, 0]⊕ i⊗ [w, 0]; lo que también

podremos escribir simplemente Z = io[v, 0] + i[w, 0]

⁅io[p, q] = [p, q] , i[p, q] = [−q, p], [p, q] = [p, 0] + [0, q]⁆

05) En 03.2 hemos visto que los números complejos de la forma [x, 0] constituyen

un cuerpo. Este cuerpo es totalmente equivalente al cuerpo de los números reales.

Por ello se los identifica: [x, 0] ≡ x. Ahora, todo número complejo Z = [v, w], podrá

escribirse como Z = iov+ iw ó, teniendo presente la identificación io = 1, simplemente

Z = v + iw, con el producto i2 = ii = [−1, 0] ≡ −1

Page 52: Apuntes de Algebra Lineal

52 CAPÍTULO 3. CUERPOS

⁅De i2 = −1 viene la expresión i =√−1. En el campo de los números reales no

existe solución para la ecuación x2 + 4 = 0; en cambio, en el campo de los (núme-

ros) complejos z2 + 4 = 0 ⇒ z2 = −4 = 4i2 = (2i)2 ⇒ z = 2i ó z = −2i. O en

forma detallada z2 + 4 = 0 significa z2 + [4, 0] = [0, 0]; con z = [a, b], podemos es-

cribir, [a2 − b2, 2ab] + [4, 0] = [0, 0] ⇒ [a2 − b2 + 4, 2ab] = [0, 0] ⇒ a2 − b2 + 4 = 0,

2ab = 0⇒ a = 0 ó b = 0. Pero b = 0⇒ a2+4 = 0 que no tiene solución. Es decir, debe

ser a = 0; entonces, −b2 + 4 = 0 ⇒ b = 2 ó b = −2. Es decir, existen dos soluciones

[0, 2] y [0,−2], o si se prefiere 2i, −2i⁆

06) Ahora tiene sentido multiplicar un número real por un número complejo:

λ[x, y] = [λ, 0][x, y] = [λx, λy]

Por otra parte z + w = p⇔ w = p− z , zw = p⇔ w =p

zsi z 6= 0 ≡ [0, 0]

Verifique que para dos complejos se cumple zw = 0⇒ z = 0 ó w = 0

⁅z = [a, b], w = [p, q]; entonces zw = 0⇒ [ap− bq, aq + bp] = [0, 0]

⇒ ap− bq = 0 & aq + bp = 0⇒ a(p2 + q2) = 0 & b(p2 + q2) = 0.

Ahora existen dos posibilidades:

i) p2 + q2 = 0⇒ p = q = 0⇒ w = 0

ii) p2 + q2 6= 0⇒ a = 0, b = 0⇒ z = 0⁆

07) Dado un número complejo z = [x, y] = x + iy se define su conjugado comple-

jo z∗ = [x,−y] = x− iy. Por otra parte, se tiene el número real zz∗ ≥ 0, por lo que se

define el módulo de z como el número real |z| =√zz∗ ≥ 0.

Verifique que |z|2 = x2 + y2

⁅|z|2 = zz∗ = [x, y][x,−y] = [x2 + y2, 0] Note, además, que el módulo del número

complejo [x, 0] es el valor absoluto del número real x; es decir, |[x, 0]| = |x|. Por eso,

cuando se trata de un número real, x, la expresión |x| se puede interpretar como el

valor absoluto del número real x, ó como el módulo del número complejo [x, 0]⁆

Page 53: Apuntes de Algebra Lineal

53

08) Verifique que:

i) x, y ≤ |z|

ii) | z|z| | = 1

iii)1

z=

z∗

|z|2

iv) |[cos(θ), sen(θ)]| = 1, siendo θ un número real arbitrario.

v) zw = 0⇒ z = 0 ó w = 0

⁅x2 + y2 = |z|2 ⇒ |x|2, |y|2 ≤ |z|2⁆

09) Sean los números complejos z = x+ iy, w = u+ iv; verifique que:

i) 2xyuv ≤ x2v2 + y2u2

ii) (xu+ yv)2 ≤ |z|2|w|2

iii) −|z||w| ≤ xu+ yv ≤ |z||w|

iv) −2|z||w|+ x2 + u2 + y2 + v2 ≤ (x+ u)2 + (y + v)2 ≤ 2|z||w|+ x2 + u2 + y2 + v2

v) |z| − |w| ≤ |z + w| ≤ |z| + |w|

⁅ i)(xv − yu)2 ≥ 0

ii)(x2 + y2)(u2 + v2) = x2u2 + y2v2 + x2v2 + y2u2 ≥ x2u2 + y2v2 + 2xuyv = (xu+ yv)2

iii)x2 ≤ a2 ⇒ 0 ≤ |a|2−x2 ⇒ 0 ≤ (|a|−x)(|a|+x)⇒ ambos factores son no negativos

(pues ambos no pueden ser negativos; verifíquelo)

v) Note que iv se puede escribir así:

−2|z||w|+ |z|2 + |w|2 ≤ |z + w|2 ≤ 2|z||w|+ |z|2 + |w|2

⇒ (|z| − |w|)2 ≤ |z + w|2 ≤ (|z|+ |w|)2; además, recuerde que x,−x ≤ |x|⁆

10) Sea σ(θ) ≡ cos(θ) + isen(θ). Verifique que todo número complejo z = x + iy

puede esciribirse en la forma z = |z|σ(θ), donde tan(θ) =y

x

Page 54: Apuntes de Algebra Lineal

54 CAPÍTULO 3. CUERPOS

⁅x2 + y2 = |z|2 ⇒ x2 ≤ |z|2 ⇒ −|z| ≤ x ≤ |z| ⇒ −1 ≤ x

|z| ≤ 1, con |z| > 0.

Entonces existe el ángulo θ, tal que cos(θ) =x

|z| ⇒ x = |z|cos(θ) por otra parte

y2 = |z|2 − x2 = |z|2sen2(θ)⇒ y = |z|sen(θ).Entonces z = x+ iy = |z|(cos(θ)+ isen(θ)). Note que, además tan(θ) =

y

x, donde para

x = 0 se considera θ =π

2⁆

11) Verifique que: i)σ(θ)∗ = σ(−θ), ii)σ(θ)σ(φ) = σ(θ + φ), iii)|σ(θ)| = 1

⁅Note que, además σ(2πk) = σ(0) = 1, donde k es un número entero.⁆

12) Sean z = x+ iy, w = u+ iv. Verifique que zw = |z||w|σ(θ+ φ) donde tan(θ) =y

x,

tan(φ) =v

u

13) Representación geométrica:

iy

x

Z

|Z|

Z∗

θ

Re

Im

Sobre un sistema de coordenadas cartesiano

en el plano se representan las componentes

del número complejo z ; la componente real

en el eje real, y la componente imaginaria

en el otro eje, como se muestra. El plano

recibe el nombre de PLANO COMPLEJO.

El número complejo z queda representado

por una flecha que partiendo del origen llega

al punto de coordenadas (x, y). El ángulo

se mide partiendo del eje real, en sentido

antihorario. A veces conviene representar al

número z no por una flecha, sino por un

punto (cabeza de la flecha).

Page 55: Apuntes de Algebra Lineal

55

⁅Note que si al número z le corresponde el ángulo θ, medido en sentido contrario a

las agujas del reloj; entonces a z∗ le corresponde el ángulo −θ, y al número −z le

corresponde el ángulo θ + π. Note también que 1 = σ(0), i = σ(π

2

)

14) Verifique que, geométricamente, el número iz se obtiene rotar al número z en

sentido antihorario, en 90°.

14.1) Verifique la validez de los siguientes dibujos (Son figuras regulares, con el bari-

centro en el origen ; p, q, r son números reales):

Los 3 numeros

complejos

representados por

los puntos cumplen

con z3− p

3 = 0

¿Cumplen los 4

puntos con

z4− 4q4 = 0?

¿Como es

z4 + 4q4 = 0?

Para los cinco

puntos ¿z5 + r5 = 0

o z5− r

5 = 0 ?

p q r

p, q, r son números reales positivos.

i)Los vértices del triángulo son los números complejos z1 = p.σ(0), z2 = p.σ(

2π3

)

,

z3 = p.σ(

4π3

)

y, como puede verificarse z3k = p3.σ(kπ) = p3, con k = 0, k = 2, k = 4

ii) Para el rectángulo, los vértices son zk =√2q.σ

(

πk4

)

, con k = 1, 3, 5, 7

⇒ z4k = 4q4σ(πk). Para k impar obtenemos σ(πk) = −1⇒ z4k−4q4 = 0 ó simplemente

z4 − 4q4 = 0. Por otra parte, podemos escribir −z4k + 4q4 = 0 ⇒ z4k − 4q4 = 0,

σ(

π4

)4= σ(π) = −1 ⇒ σ

(

π4

)4z4k − σ

(

π4

)44q4 = 0 ⇒

[

σ(

π4

)

zk]4

+ 4q4 = 0. Es decir,

las soluciones de z4 + 4q4 = 0 son las soluciones de z4 − 4q4 = 0, rotadasπ

4en sentido

antihorario; es decir, es un cuadrado con los vértices sobre los ejes.

iii) Tenga presente que σ(

2π5

)5= 1, σ

(

π5

)5= −1

Page 56: Apuntes de Algebra Lineal

56 CAPÍTULO 3. CUERPOS

Z(t)

wt + α

w

15) Verifique que, en el plano comple-

jo, la función Z(t) = σ(wt + α), donde

w > 0, α son constantes reales, repre-

senta a un punto que se encuentra a la

distancia unidad del origen, y rota con

velocidad angular w en sentido antiho-

rario.

⁅Es claro que |σ(wt+α)| = 1. Por otra

parte σ(t) = wt + α es el ángulo que,

en el instante t, forma la flecha que re-

presenta a Z(t), con el eje de los reales.

Además,dθ

dt= w⁆

16) Sea x un número real. Verifique que de la condición x2 + y2 = 0 se deduce que:

i) x = y = 0 si se ha exigido que y también sea un número real.

ii) Ninguno de los dos tiene porque ser nulo, si se ha permitido que y sea complejo.

.

17) A la función f(x) = eνx, donde ν es una constante, la podemos caracterizar por

las siguientes propiedades:

i) f(0) = 1

ii) f(x+ z) = f(x)f(z)

iii) Df(x) = νf(x)

Por otra parte: σ(0) = 1 , σ(x+ z) = σ(x)σ(z) ,

Dσ(x) = D(cos(x) + isen(x)) = −sen(x) + icos(x) = i2sen(x) + icos(x) = iσ(x)

Por ello se identifica σ(x) = eix, o si se prefiere σ(θ) = eiθ.

Verifique entonces que: sen(θ) =eiθ − e−iθ

2i, cos(θ) =

eiθ + e−iθ

2, sen(iθ) =

e−θ − eθ

2i,

cos(iθ) =eθ + e−θ

2

Page 57: Apuntes de Algebra Lineal

57

⁅Las expresiones para sen(θ) y cos(θ) se obtienen directamente. Las expresiones para

sen(iθ), cos(iθ) son definiciones formales⁆

18) (cos(Mθ) + isen(Mθ)(cos(Nθ) + isen(Nθ)) = cos(M +N)θ + isen(M +N)θ

⁅O también σ(Mθ)σ(Nθ) = σ(Mθ +Nθ)⁆

19) Sean las sumas SN =∑N

k=1 sen(kθ), CN =∑N

k=1 cos(kθ). Para calcular dichas

sumas, construya ZN = CN + iSN y halle el valor de la serie geométrica.

A continuación determine la parte real y la parte imaginaria de dicho número ZN

⁅ZN =

N∑

k=1

[cos(kθ) + isen(kθ)] =

N∑

k=1

σ(θ)

=N∑

k=1

σ(kθ) =N∑

k=1

(eiθ)k = (eiθ)N−1∑

k=0

(eiθ)k = eiθ(eiθ)N − 1

eiθ − 1

⇒ [multiplicando numerador y denominador por (eiθ − 1)∗]

ZN =(eiNθ − 1)(1− eiθ)

|eiθ − 1|2 , donde

|eiθ − 1|2 = |cos(θ) + isen(θ)− 1|2 = (1− cos(θ))2 + sen2(θ) = 2(1− cos(θ))⁆

20) Análogamente al caso de los números reales, se define la función exponencial com-

pleja como el límite de una suma ez =∑∞

n=0

zn

n!Verifique que: i) ez ≡ ex+iy = ex.eiy , ii) ez+w = ez.ew ; z , w son complejos.

Page 58: Apuntes de Algebra Lineal

58 CAPÍTULO 3. CUERPOS

Para los números reales x, r, tenemos:

(x+ r)N =∑N

k=0C(N,k)xkrN−k, donde C(N,k) ≡

N !

k!(N − k)!

Para la función exponencial real:

e(x+r) =∑∞

n=0

(x+ r)n

n!=∑∞

n=0

1

n!

∑nk=0C(n,k)x

krnk ⇒

e(x+r) =∑∞

n=0

∑nk=0

C(n,k)xkrn−k

n!=∑∞

n=0

∑nk=0

[

xk

k!

] [

rn−k

(n− k)!

]

Por otra parte, para una suma doble:

Q =∑∞

j=0

∑∞k=0 F (j, k), con j + k = n, podemos escribir,

Q =∑∞

n=0

∑nk=0 F (n− k, k). Entonces,

e(x+r) =∑∞

n=0

∑nk=0

[

xk

k!

] [

rn−k

(n− k)!

]

=∑∞

j=0

∑∞k=0

[

xk

k!

] [

rj

j!

]

, o también,

e(x+r) =∑∞

j=0

[

xj

j!

]

∑∞k=0

[

rk

k!

]

= ex.er

Puesto que también eiy =∑∞

j=0

[

(iy)j

j!

]

, entonces podemos escribir,

ex+iy =∑∞

k=0

[

xk

k!

]

∑∞j=0

[

(iy)j

j!

]

= ex.eiy o también

ez = ex+iy = ex.eiy

20.1) Asumiendo la validez de que (ez)w = ezw, verifique que:

i) ii es un número real cuyo valor es aproximadamente (2,7)−1,6

ii) 1i = e−2π

iii) iα = eiαπ2

iv) (ii)i = −ivi) e2πKi = 1 donde K es un número entero

vii) (e2πKiN z)N = zN , para K = 0, 1, 2, · · · , N − 1

Page 59: Apuntes de Algebra Lineal

59

⁅ii = (eiπ2 )i = e

i.iπ2 = e

−π2 = 1

eπ2, pero e ≈ 2,72, π

2≈ 1,6⁆

21) Sea N un entero. Existe un único número complejo que satisface la ecuación

z1N + 1 = 0, pero existen N números complejos, diferentes entre sí, que satisfacen la

ecuación zN + 1 = 0.

Calcule las soluciones de z12 + 1 = 0 y de z112 + 1 = 0

⁅[z112 + 1 = 0 ⇒ z

112 = eiπ ⇒ z = e12iπ = 1. Pero no es la única ecuación que

tiene tal solución. En vez de 1 = e2iπ podría haberse escrito eiπ(1+2kN

), k arbitrario,

N = 12. En efecto, las ecuaciones z1N + eiπ(1+

2kN

) = 0⇒ z1N = eiπ(

2kN

) tienen la solución

z = eiπ(2k) = 1]

Por otra parte zN = −1 = eiπ = eiπ+i2πk, k entero ⇒ z = eiπN

+ i2πkN = e

iπ(1+2k)N , donde

podemos elegir N valores para k = 0, 1, 2, · · · , N − 1; note que para k = N se obtiene

el mismo resultado que para k = 0. En general, z1N = −1 = eiπ = eiπ+i2πk, k entero

⇒ z = eiπN+i2πkN = eiπN , pues para todo k entero se cumple que ei2πkN = 1⁆

.[ANEXO]

ANILLOS Y CUERPOS

Y01) Un anillo es un conjunto A en el cual se han definido dos operaciones, lla-

madas SUMA (⊕) y MULTIPLICACIÓN (⊗) de manera que se cumplen los siguientes

postulados:

i) (A,⊕) es un grupo abeliano.

ii) La multiplicación es asociativa.

iii) Para tres elementos cualesquiera, x, z, w se cumple:

x⊗ (z ⊕ w) = (x⊗ z)⊕ (x⊗ w) & (x⊕ z)⊗ w = (x⊗ w)⊕ (z ⊗ w)

Page 60: Apuntes de Algebra Lineal

60 CAPÍTULO 3. CUERPOS

Y02) Verifique que (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) son anillos, donde se trata de

la suma y multiplicación corrientes.

Y03) ¿Es Jn un anillo con las operaciones de suma y producto módulo n?

Y04) ISOMORFISMO. Diremos que dos anillos (A,⊕,⊗) y (A′,⊕′,⊗′) son isomorfos

si y sólo si, existe una función inversible, f , tal que ∀ x, z ∈ A se cumple que:

i) f(x⊕ z) = f(x)⊕′ f(z)

ii) f(x⊗ z) = f(x)⊗′ f(z)

.

Y05) Sea 7Z el conjunto de todos los enteros múltiplos de 7.

Verifique que:

i) Tanto (Z,+) como (7Z,+) son grupos isomorfos.

ii) (Z,+, ·) y (7Z,+, ·) son anillos.

iii) Pero no son anillos isomorfos.

.[Verifique que (7Z,+, ·) no posee elemento identidad para la multiplicación]

Y06) Verifique que las matrices cuadradas, de orden n > 1 constituyen un anillo

no conmutativo.

Y07) El anillo trivial (0,+, ·) es el único donde el número 0 es la identidad multi-

plicativa.

Y08) Verifique que si un anillo posee una unidad multiplicativa, entonces dicha unidad

es única.

Y09) CUERPO = Campo = Anillo de división conmutativo, este anillo posee uni-

dad , y todos los elementos tienen inversa.

Page 61: Apuntes de Algebra Lineal

61

Y10) Verifique que (Z,+, ·) no es un cuerpo; pero (Q,+, ·), (R,+, ·) y (C,+, ·) sí

los son.

Y11) Sean (G,α) un grupo con identidad e ; (G − e, β) un grupo, de manera que

para elementos cualesquiera se cumple:

i) β(x, α(z, w)) = α(β(x, z), β(x, w))

ii) β(α(x, z), w) = α(β(x, w), β(z, w))

Verifique que (G,α, β) es un cuerpo.

Y12) Sea n un número natural mayor que cero. Jn ≡ 0, 1, 2, 3, · · · , n− 1¿Es (Jn,+, ·) un anillo?

Y13) ¿Bajo cuales condiciones sería (Jn,+, ·) un anillo con unidad?

Y14) El cuerpo de los reales vs el cuerpo de los complejos. Los vectores (1, 0, 0, 0)

y (i, 0, 0, 0) son LI.

∗Y15) El cuerpo de los racionales vs el cuerpo de los reales. Si el número r es racional

y el número ir es irracional, entonces, en los vectores (r, 0) y (ir, 0) son LI. Además, en

el cuerpo de los racionales, los vectores (i1, 0), (i2, 0), (i3, 0), (i4, 0), (i5, 0), (i6, 0), con ik

irracional (sin factores racionales comunes) son LI. El espacio sería infinito dimensional.

∗Y16) Sea el intervalo [0, p) en la recta. El cuerpo de los reales módulo p. ¿Cuál

es su efecto en un espacio de n-uplas reales?

Page 62: Apuntes de Algebra Lineal

62 CAPÍTULO 3. CUERPOS

Page 63: Apuntes de Algebra Lineal

63

Page 64: Apuntes de Algebra Lineal

64 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

Capítulo 4

Espacios Vectoriales

• Definición.

• Algunos teoremas.

• Simplificación de la escritura.

• 23 Ejemplos de espacios vectoriales.

• Combinaciones lineales de vectores.

• Dependencia e independencia lineal de vectores.

• Conjunto generador del espacio V .

• Base de un espacio V .

• Sistema (algebraico) de ecuaciones lineales simultáneas y sus soluciones.

• El espacio de los vectores aritméticos (columnas de números complejos).

• La base canónica.

• El espacio vectorial de la funciones.

• Dimensión de un espacio.

• Definición del Determinante de un conjunto de vectores.

• Valores del determinante y dependencia lineal.

• El espacio vectorial de las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea.

• El producto vectorial de n-1 vectores de un espacio n-dimensional.

• El producto interno de dos vectores.

• Norma de un vector (tamaño).

• Ortogonalidad de vectores.

• El teorema de Schwartz.

• Proceso de ortonormalización.

• Espacios vectoriales de dimensión infinita.

Page 65: Apuntes de Algebra Lineal

65

00) Un campo tiene dos identidades: la identidad aditiva ϑ, con x ⊕ ϑ = x, y la

identidad multiplicativa x⊗µ = x , así mismo, la inversa aditiva x⊕x′ = ϑ y la inversa

multiplicativa x⊗ x− = µ (para x 6= ϑ). Dichas inversas las escribiremos así: x′ ≡ −x,

x− ≡ µ

x≡ x−1

⁅i)µ · µ = µ

ii)ϑ · x+ z = ϑ · x+ z · ( 1x) · x = (ϑ+ z · 1

x) · x = z · ( 1

x) · x = z ⇒ ϑ · x = ϑ

iii)µ′ · x = x′, pues x+ µ′ · x = µ ·+µ′ · x = (µ+ µ′) · x = ϑ · x = ϑ

iv)µ′ · µ′ = µ′′ = µ⁆

01) Sea un grupo (C, σ) con identidad ê, y sea K = (C,⊕,⊗) un cuerpo con identidad

aditiva ϑ, e identidad multiplicativa µ. Definamos la función π : K × C −→ C, de

manera que se cumplan los 4 postulados siguientes:

i)π(µ, x) = x ii)π(a, σ(x, z)) = σ(π(a, x), π(a, z))

iii)π(a⊗ b, x) = σ(π(a, x), π(b, x)) iv)π(a, π(b, x)) = π(a⊗ b, x)

NOTA: Mientras no surja confusión, en K escribiremos simplemente a+ b, ab, ab

en vez

de a⊕ b, a⊗ b, a⊗ (1b), respectivamente.

02) Verifique que π(ϑ, x) = ê.

⁅En efecto, x = π(µ⊕ ϑ, x) = σ(π(µ, x), π(ϑ, x)) = σ(x, π(ϑ, x))⁆

03) Verifique que x′ = π(µ′, x)

⁅En efecto, ê = π(µ+ µ′, x) = σ(π(µ, x), π(µ′, x)) = σ(x, π(µ′, x))⇒ π(µ′, x) = x′.

O también x′ = π(−µ, x)⁆

Page 66: Apuntes de Algebra Lineal

66 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

04) Verifique que π(a , ê) = ê

⁅En efecto, π(a , x) = π(a , σ(x , ê)) = σ(π(a , x), π(a , ê))⁆

05) π(a , x) = ê ⇒ a = 0 ó x = ê

⁅En efecto, a 6= 0⇒ x = π(µ, x) = π(aa, x) = π(µ

a, π(a, x)) = π(µ

a, ê) = ê⁆

06) σ(x, z) = σ(z, x).

⁅En efecto

σ(x, z) = σ(π(−µ, x′), π(−µ, z′)) = π(−µ, σ(x′, z′)) = σ(x′, z′)′ = σ(z′′, x′′) = σ(z, x)⁆

07) En general usaremos la escritura z + x ≡ σ(z, x) λx ≡ π(λ, x)

Entonces los postulados de espacio vectorial toman las formas:

i) (x+ z) + w = x+ (z + w), lo cual permite escribir simplemente x+ z + w

ii) x+ ê = x para todo x

iii) Para todo x existe x′ tal que x+ x′ = ê

iv) µx = x ó simplemente 1 · x = x

v) a(x+ z) = ax+ az

vi) (a+ b)x = ax+ bx

vii) a(bx) = (ab)x ó simplemente abx

.

NOTA 1: Debido a que x′ = (−µ)x, escribiremos sencillamente x′ = −x

Page 67: Apuntes de Algebra Lineal

67

NOTA 2: En 06) se ha demostrado que x + z = z + x (la conmutatividad; lo que

en los textos aparece como un postulado).

08) Ejemplos de Espacios Vectoriales:

i) Las columnas y las filas de números reales.

ii) Los números complejos. Los Espacios vectoriales complejos.

iii) Los espacios vectoriales aritméticos, Rn ó Cn.

iv) Las soluciones de ecuaciones lineales algebraicas homogéneas.

v) Las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales lineales, como es el caso del

Oscilador Armónico.

vi) Los polinomios.

vii) Los conjuntos de funciones (que poseen determinadas características)

viii) Las soluciones aproximadas del péndulo.

ix) Las soluciones aproximadas de los péndulos acoplados.

x) El espacio afín [AB] ≡ (AB/OE1, OE2, OE3)

xi) Los Vectores de Inercia

xii) Los cuadrivectores.

xiii) Las matrices (posteriormente).

xiv) El espacio dual (de las funcionales lineales).

xv) El producto tensorial de espacios o espacio tensorial.

xvi) Las series (finitas o infinitas).

xvii) Los espacios finitamente enumerables.

xviii) Los espacios de las soluciones de las ecuaciones parciales lineales.

xix) (Jn,+) y (Jp,+)

Page 68: Apuntes de Algebra Lineal

68 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

xx) Dados los números a, b, c, las columnas [x, y, z] que cumplen con la condicón

ax+ by + cz = 0

xxi) Dados los tres cuartetos de números (a1, a2, a3, a4), (b1, b2, b3, b4), (c1, c2, c3, c4), los

vectores de [x1, x2, x3, x4] que satisfacen las condiciones:

. a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 = 0, b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 = 0,

. c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 = 0

xxii) Sean n-uplas de números complejos x ≡ [x1, x2, x3, · · · , xn] (para n = 2 se dice

‘pares ordenados’ ; para n = 3, se dice “ternas”).

Definiendo la suma x+y = [x1+y1, · · · , xn+yn], y el producto λx = [λx1, λx2, · · · , λxn]

podemos obtener dos espacios vectoriales diferentes, según que los λ pertenezcan

al campo de los reales o al campo de los complejos.

.

08.1) Sea Rn el conjunto de las n-uplas de números reales, y Cn el conjunto de las

n-uplas de los números complejos. Verifique que (Rn,R), (Cn,R), (Cn,C) son espacios

vectoriales, mientras que (Rn,C) no puede serlo.

⁅Consideremos (Rn,C), es decir, las n-uplas de números reales, y el cuerpo de los com-

plejos. Si u es una n-upla de números reales, entonces, por la operación π, el producto

π(λu), donde λ es un complejo, debería ser también una n-upla de números reales.

Pero, por ejemplo, para la terna u = [u1, u2, u3] se tiene π(λ,u) = [λu1, λu2, λu3], que

no es una terna de números reales.

En el caso contrario (Cn,R), es decir, las n-uplas de números complejos, y el cuerpo

de los reales, si u = [u1, u2, u3] es una terna de complejos se tendrá, con λ real, que

π(λ,u) = [λu1, λu2, λu3], es una terna de números complejos.⁆

Page 69: Apuntes de Algebra Lineal

69

Dependencia e independencia lineal:

09) Si dado un vector v, y m vectores xk, con k = 1, 2, · · · , m; existen m números

(elementos del campo K) αk , k = 1, 2, · · · , m, tales que se cumple:

v = α1x1 + α2x2 + · · ·+ αmxm

diremos que el vector v es una combinación lineal de los m vectores xk.

09.1) Sean n vectores xk y n elementos αk ∈ K.

Consideremos la igualdad∑

k αkxk = ê. Notemos que dicha igualdad será satisfecha si

los números αk son todos nulos. Esa es una condición suficiente, pero no necesaria

para que se cumpla la igualdad, por ejemplo: 2[0, 1, 1] + 3[−2, 3,−2] + [6,−11, 4] = ê.

09.2) Sean n vectores xk, pregunta: ¿Existen n números αk, no todos nulos, tales

que se cumpla la igualdad∑

k αkxk = ê?

Ahora surgen dos posibilidades:

i) Existen números αk, no todos nulos, tales que se cumple la igualdad anterior.

En tal caso diremos que los n vectores son Linealmente Dependientes, LD.

Considere, por ejemplo, las 3 funciones sen, f , g, h con dominio en (0, 2π), tales

f(x) = sen(x+ π6) , g(x) = sen(x+ π

3) , h(x) = sen(x+ π

2)

ii) Los únicos números para los cuales se cumple la igualdad son todos nulos; entonces

diremos que los n vectores xk son Linealmente Independientes, LI. Considere,

por ejemplo, el caso de las funciones f , g, anteriores.

.

09.3) De entre los conjuntos de vectores dados, señale aquéllos que sean LI, y aquellos

que sean LD.

i) [1, 2, 0, 3, 1], [7, 14, 0, 21, 7], [√2,√3,√5, π, π2]

ii) [1, 2, 0, 3, 1], [7, 14, 0, 21, 7], [8, 16, 0, 24, 8]

Page 70: Apuntes de Algebra Lineal

70 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

iii) sen, cos, f, donde f(x) = cos(x+ 20,3π)

iv) e, f, g, h, son funciones.

v) [0, 0, 0, 0], [1, 2,−3, 0, 7], [sen(α), sen(β), sen(χ), sen(δ)]

vi) [p, q], [u, v] donde pv − qu 6= 0

vii) [a1, a2, a3], [b1, b2, b3], [c1, c2, c3] con det(a1, a2, a3|b1, b2, b3|c1, c2, c3) 6= 0

viii) [a1, a2, a3], [b1, b2, b3], [c1, c2, c3], [d1, d2, d3] arbitrarios.

ix) Sean los N vectores p1, p2, p3, · · · , pN LI; verifique que cualquier subconjunto no

vacío, formado por (algunos de) esos vectores, también es LI.

⁅i) p[1, 2, 0, 3, 1] + q[7, 14, 0, 21, 7] + r[√2,√3,√5, π, π2] = [0, 0, 0, 0, 0]

⇒ p + 7q + r√2 = 0, 2p + 14q + r

√3 = 0, 0 + 0 + r

√5 = 0, 3p + 21q + πr = 0,

p+ 7q+ π2r = 0⇒ r = 0, p+7q = 0, 2p+14q = 0, 3p+21q = 0, p+7q = 0⇒ r = 0,

p = −7q, q arbitrario. Como verificación, reemplace estos valores en la ecuación.

ii) [1, 2, 0, 3, 1] + [7, 14, 0, 21, 7]− [8, 16, 0, 24, 8] = [0, 0, 0, 0, 0]

iii) α = 20,3π , tendremos: cos(α)cos− sen(α)sen− f = 0 (la función cero)

iv) Mientras no se especifiquen las funciones...

v) Si designamos con u, v, w a esos 3 vectores, podemos escribir 9u+ 0v + 0w = 0

vi) α[p, q] + β[u, v] = [0, 0]⇒ αp+ βu = 0, αq + βv = 0⇒ α(pv − qu) = 0⇒ α = 0

⇒ βu = 0, βv = 0, pero [u, v] es no nulo⇒ β = 0⇒ [p, q] y [u, v] son LI.

vii) Procediendo como en el caso anterior, resultan LI.

viii) Se puede demostrar que N + 1 de las N-uplas son LD. Ver más adelante.

ix) Suponga que m ≤ N de esos vectores son LD; de allí obtenga que, como consecuen-

cia, los N vectores serían LD.⁆

09.4) Las columnas [3 + i,−2i+ 1] y [3i− 1, 2 + i] pertenecen a C2.

Verifique que como vectores del espacio vectorial (C2,R) dichas columnas son LI; mien-

tras que como vectores de (C2,C) son LD.

⁅Designemos con u, v a tales vectores; sean:

i) α, β ∈ R; entonces αu+ βv = 0

Page 71: Apuntes de Algebra Lineal

71

⇒ (3 + i)α + (3i − 1)β = 0, (−2i + 1)α + (2 + i)β = 0 ⇒ 3α − β + i(α + 3β) = 0,

α + 2β + i(β − 2α) = 0, α, β ∈ R ⇒ 3α − β = 0, α + 3β = 0, α + 2β = 0,

β − 2α = 0⇒ α = β = 0⇒ u,v LI.

ii) α, β ∈ C⇒ (3+i)α+(3i−1)β = 0, (−2i+1)α+(2+i)β = 0⇒ (3+i)α+i(3+i)β = 0,

(−2i+ 1)α + i(−2i+ 1)β = 0⇒ β = −iα⇒ u, v LD⁆

09.5) Sean las funciones f , g definidas en el intervalo (0, π), de la siguiente mane-

ra f(x) = sen(x), g(x) = 0 para x ∈ (0, π3); f(x) = 0, g(x) = sen(x) para x ∈ [π

3, π).

Verifique que f , g son LI.

⁅αf + βg = ô (función nula) ⇒ αf(x) + βg(x) = 0 ∀ x ∈ (0, π)

⇒ αf(x) + βg(x) = 0 ∀ x ∈ (0, π3) & αf(x) + βg(x) = 0 ∀ x ∈ [π

3, π)

⇒ αsen(x) = 0 ∀ x ∈ (0, π3) & βsen(x) = 0 ∀ x ∈ [π

3, π)⇒ α = β = 0⁆

10) Diremos que el conjunto de vectores q1, q2, q3, · · · , qn de un espacio V es un

conjunto generador de V , si y sólo si, todo vector del espacio puede ser expresado como

combinación lineal de los vectores del conjunto.

Por ejemplo, sea el espacio vectorial U1 de los vectores [x1, x2, x3] que cumplen las con-

diciones: 3x1 + 2x2 − x3 = 0, −x1 + 5x2 + 2x3 = 0. Dicho espacio puede ser generado

por cualquiera de los conjuntos:

A = [1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3] B = [2, 1, 2], [1, 10,−7]C = [18,−10, 34], [1, 1, 1] D = [18,−10, 34]

⁅De las dos ecuaciones se obtiene, por ejemplo, que x1 = −1,8x2 , x3 = −3,4x2 ;

es decir, los vectores deben ser de la forma proporcionales a [1,8 , −1 , 3,4], o si se

prefiere, proporcionales al vector [18 , −10 , 34], que es generado por A con los coefi-

cientes 18 , −5 , 343

; es generado por B con los coeficientes 10 , −2 ; es generado por

C con los coeficientes 1 , 0 ; por D con el coeficiente 1⁆

Page 72: Apuntes de Algebra Lineal

72 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

10.1) Sean m vectores, u1 , u2 , u3, · · · , um de un cierto espacio vectorial V . Conside-

remos el conjunto de vectores U=u/ u es una combinación lineal de los m vectores;

es decir, ∃ m números α1, α2, α3,· · · , αm con u = α1u1 + α2u2 + α3u3 + · · ·+ αmum.

Verifique que U es un espacio vectorial (llamado subespacio de V )

⁅Este es un ejercicio básico que debería realizarse con mucha paciencia.⁆

11) Diremos que un conjunto de vectores es una base de cierto espacio vectorial cuan-

do:

i) Dicho conjunto es un conjunto generador

ii) Los vectores del conjunto son LI.

Analice el ejemplo dado en el párrafo anterior.

⁅Los 4 conjuntos contienen vectores LI. Por ejemplo, sea u el vector que constituye

el conjunto D. De αu = 0, obtenemos que α = 0 ó u = 0; pero u es no nulo; luego

α = 0⇒ u es LI⁆

NOTA: En (10), cada uno de los conjuntos A, B, C y D, están constituidos por vecto-

res linealmente independientes, y por otra parte “generan” al subespacio U1, entonces,

aparentemente cada uno de dichos conjuntos sería una base de U1, ¿Qué pasó? Todos

los vectores del conjunto D pertenecen a U1, luego constituyen una base. En cambio,

ni todos los vectores de A, ni todos los de B, ni todos los de C pertenecen a U1.

11.1) Sea el espacio vectorial de las columnas [x1 , x2 , x3 , · · · , xn], verifique

que el conjunto e∗k = [δk1 , 2δk2 , 3δk3 , · · · , nδkn] con k = 1, 2, · · · , n es una base,

donde δjk = 0 si j 6= k, δjj = 1.

⁅i)∑

k αke∗k = 0⇒ ∑

k αkδkj = 0⇒ αj = 0⇒ los e∗k son LI.

ii) Para un vector cualquiera podemos escribir,

Page 73: Apuntes de Algebra Lineal

73

.[x1, x2, x3, · · · , xn] = [x1, 0, 0, · · · , 0] + [0, x2, 0, · · · , 0] + [0, 0, x3, 0, · · · , 0] + · · ·+ [0, 0, · · · , 0, xn]

= x1[1, 0, 0, · · · , 0] + x2[0, 1, 0, · · · , 0] + x3[0, 0, 1, · · · , 0] + · · ·+ xn[0, 0, 0, · · · , 0, 1]

=(x1

1

)

e∗1 +(x2

2

)

e∗2 +(x3

3

)

e∗3 + · · ·+(xn

n

)

e∗n

=∑

k

(xk

k

)

e∗k

.

Entonces e∗k es una base⁆

11.2) Sea la ecuación diferencial F ′′ + w2F = 0. Verifique que las funciones so-

lución constituyen un espacio vectorial, y que las funciones f1(x) = sen(wx + α),

f2(x) = sen(wx+ β) constituyen una base de dicho espacio, ¿Condiciones?

⁅Las funciones cumplen, en general, los postulados de un espacio vectorial. El proble-

ma consiste en verificar que dados dos o más vectores, U , V , W , del supuesto espacio

vectorial, entonces cualquier combinación lineal de los mismos, resulte también vector

de dicho espacio. Es la verificación de las dos operaciones de grupo originales.

Sea cada una de las funciones p, q, r, solución de dicha ecuación diferencial; es decir,

p′′ + w2p = 0, q′′ + w2q = 0, r′′ + w2r = 0. Construimos la función f como una combi-

nación lineal arbitraria de dichas soluciones f = αp+ βq + γr

⇒ f ′′ = αp′′ + βq′′ + γr′′ = α(−w2p) + β(−w2q) + γ(−w2r) = −w2(αp+ βq + γr)

⇒ f ′′ + w2f = 0⇒ f pertenece también al conjunto de soluciones.

Por otra, parte, derivando f1 y f2 obtenemos:

f ′′1 = −w2sen(wt + α), f ′′

2 = −w2sen(wt + β) ⇒ f1 y f2 pertenecen al espacio de

soluciones. ¿Son LI?

pf1 + qf2 = 0

⇒ p(sen(wt)cos(α) + cos(wt)sen(α)) + q(sen(wt)cos(β) + cos(wt)sen(β)) = 0 ∀ t (es

decir, esas ecuaciones son válidas para cualquier t que elijamos)

⇒ (pcos(α) + qcos(β))sen(wt) + (psen(α) + qsen(β))cos(wt) = 0, ∀ t. Eligiendo t = 0,

t = (π2)w, obtenemos: pcos(α)+qcos(β) = 0, psen(α)+qsen(β) = 0⇒ psen(α−β) = 0,

qsen(α− β) = 0. Si α− β = 2πk, con k entero, entonces f1 = f2.

Es decir, α− β 6= 2πk ⇒ p = q = 0⇒ f1, f2 son LI.

Por otra parte, un teorema de matemática afirma que una ecuación lineal de

orden N tiene, a lo más, N soluciones linealmente independientes ⇒ f1, f2 generan

Page 74: Apuntes de Algebra Lineal

74 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

cualquier solución. Entonces f1, f2 es una base del espacio de soluciones⁆

11.3) Consideremos las columnas [x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ] con infinitas componentes,

con la condición de que: Para cada columna existe un entero positivo N , de manera

que después de la N -ésima componente, las demás son ceros (donde el mencionado en-

tero N puede ser diferente para cada columna). La suma de dos de estas columnas y el

producto de un número por una columna se define como en el caso finito. Es conocido

como Espacio Vectorial de la n-uplas finitamente no nulas. Verifique que el conjunto

(infinito) de los vectores ǫk = [δk1, δk2, δk3, · · · , δkn, · · · ] constituye una base (Ver 15.2)

⁅Primeramente notemos que los ǫk satisfacen la condición especificada: después de la

k-ésima componente, las componentes siguientes son ceros.

i) Elija arbitrariamente un número entero positivo, M ; verifique que M vectores ǫk son

LI; entonces diremos que el conjunto de todos los ǫk son LI.

ii) Considere un vector arbitrario (que deberá tener un número finito de componentes

no nulas), v = [v1, v2, v3, · · · , vS, 0, · · · ]⇒ v =∑

k vkǫk. Entonces ǫj es una base del

espacio especificado⁆

11.4) Verifique que toda n-upla compleja z puede ser expresada en la forma z = x+iy,

donde x, y, son n-uplas reales.

⁅z = [z1, z2, · · · , zk, · · · , zn], donde los zk son complejos ⇒ zk = ak + ibk, etc⁆

11.5) Las n-uplas reales ek = [δk1, δk2, δk3, · · · , δkn] serán llamadas n-uplas canóni-

cas. Verifique que las n-uplas canónicas constituyen una base tanto en (Rn,R) como

en (Cn,C); en cambio no son base del espacio vectorial (Cn,R)

⁅Para el caso (Cn,R). Si ek, k un número natural fuese una base; entonces las combi-

naciones lineales, con coeficientes reales, de dichos vectores reales generarían vectores

también reales; por ejemplo, no sería posible representar al vector complejo [1, i, 0]⁆

Page 75: Apuntes de Algebra Lineal

75

11.6) Sean las n-uplas e#k = (iδ1k, iδ2k, · · · , iδnk). Verifique que el conjunto ej , e

#k ;

con j, k = 1, 2, · · · , n constituye una base de (Cn,R)

⁅Sea z = [z1, z2, · · · , zn] una n-upla compleja; pero zk = ak + ibk ⇒ z = a + B,

donde a ≡ [a1, a2, · · · , an] =∑

k akek, es una n-upla de números reales, mientras que

B ≡ [ib1, ib2, · · · , ibn] =∑

j ibjej es una n-upla de números imaginarios. También po-

demos escribir, B =∑

j bj i ej =∑

j bje#j ⇒ z =

k akek +∑

j bje#j .⁆

NOTA: El espacio vectorial (Rn,R) será llamado el espacio vectorial aritmético

real; el espacio vectorial (Cn,C) será llamado el espacio vectorial aritmético com-

plejo. Por abuso se denomina simplemente Rn y Cn a dichos espacios, respectivamente.

12) Sean las dos ecuaciones simultáneas ax + by = 0, px + qy = 0, donde a, b, p,

q son números complejos dados. Verifique que:

i) Si aq − pb 6= 0, entonces x = y = 0

ii) Si aq − pb = 0, entonces existen infinitas soluciones complejas.

⁅i) (aq − pb)y = 0, (aq − pb)x = 0, ii) Los valores tanto de x como de y son arbi-

trarios⁆

12.1) Sean las ecuaciones simultáneas:

a1x+ b1z + c1w = 0, a2x+ b2z + c2w = 0, a3x+ b3z + c3w = 0

y sea D ≡ a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1c2 − b2c1)

Verifique que:

i) Si D 6= 0, entonces x = z = w = 0

ii) Si D = 0, entonces existen infinitas soluciones.

⁅Eliminado w de entre la 1a y la 2a: (a1c2 − a2c1)x + (b1c2 − b2c1)z = 0. Eliminan-

do w de entre 2a y la 3a: (a2c3 − a3c2)x+ (b2c3 − b3c2)z = 0. Recordando el problema

Page 76: Apuntes de Algebra Lineal

76 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

de 10: aq − pb = (a1c2 − a2c1)(b2c3 − b3c2) − (b1c2 − b2c1)(a2c3 − a3c2) = c2D, donde

c2 aparece porque la 2a ecuación ha sido usada 2 veces. Si se eliminase w de la 1a y la

2a ; luego de la 1a y la 3a, se obtendría aq − bp = c1D. Si se eliminase w de la 1a y 3a,

luego de la 2a y 3a se obtendría aq − bp = c3D⁆

12.2) La ecuación homogénea con dos incógnitas a11x1 + a12x2 = 0 posee infinitas

soluciones.

⁅Es claro que alguno de los coeficientes debe ser no nulo; por ejemplo, a11 6= 0, en-

tonces x1 = −(a12a11)x2, donde x2 es arbitrario.⁆

12.2.1) La ecuación no homogénea con dos incógnitas a11x1 + a12x2 = a1 posee infini-

tas soluciones.

⁅Es claro que alguno de los coeficientes debe ser no nulo; por ejemplo, a11 6= 0, en-

tonces x1 = a1a11− (a12

a11)x2, donde x2 es arbitrario. Nótese que la ecuación dada es la

ecuación de una recta en el plano; cada solución corresponde a un punto de dicha recta⁆

12.3) La ecuación homogénea con N (>1) incógnitas,∑N

k=1 a1kxk = 0 posee infini-

tas soluciones.

⁅Es claro que alguno de los coeficientes debe ser no nulo; por ejemplo, a13 6= 0, en-

tonces podemos despejar x3 : x3 =∑∗N

*k=1(a1ka13

)xk, donde la ∗ significa que k no puede

tomar el valor 3; y esta ecuación es equivalente a la inicial. Aquí x1, x2, x4, x5, · · · , xN ,

pueden tomar valores arbitrarios, con lo cual x3 tomará el valor que resulte.⁆

12.3.1) La ecuación no homogénea con N (>1) incógnitas,∑N

k=1 a1kxk = a1, po-

see infinitas soluciones.

Page 77: Apuntes de Algebra Lineal

77

12.4) El sistema de 2 ecuaciones homogéneas, con 3 incógnitas∑3

k=1 a1kxk = 0,∑3

k=1 a2kxk = 0 posee infinitas soluciones.

⁅Dicho sistema se puede reducir (eliminando x1 ó x2 ó x3) a una única ecuación con

dos incógnitas, y tendríamos el caso 12.2.1⁆

12.4.1) El sistema de 2 ecuaciones no homogéneas, con 3 incógnitas,∑3

k=1 a1kxk = a1,∑3

k=1 a2kxk = a2 posee infinitas soluciones, o no posee ninguna solución.

⁅Veamos los diferentes casos posibles.

Definiendo D12 ≡ a11a22−a12a21, D23 ≡ a23a12−a13a22, D31 ≡ a13a21−a23a11; entonces

de las dos ecuaciones obtenemos:

D12x1 −D23x3 = a1a22 − a2a12 −D12x2 +D31x3 = a1a21 − a2a11

−D31x1 +D23x2 = a1a23 − a2a13

A) Dos de los D son nulos, por ejemplo, D12 = D23 = 0⇒ D31 = 0 & existe p tal que

a2k = p.a1k ⇒ a2 = p.a1

i) Ahora, si a1 y a2 cumplen realmente tal condición, tendremos que, la segunda ecua-

ción se obtiene de la primera, multiplicándola por p. Es decir, se trata de una sola

ecuación, con 3 incógnitas: a11x1+ a12x2+ a13x3 = a3, donde alguno de los coeficientes

deberá ser no nulo; por ejemplo, a11 6= 0, entonces podemos despejar x1 en función de

x2, x3, que pueden tomar valores arbitrarios.

ii) En el caso que a2 6= p.a1, entonces se ha llegado a una contradicción, lo cual significa

que el sistema de ecuaciones no tiene solución (las dos ecuaciones son incompatibles)

B) (Por lo menos) Uno de los Djk es no nulo (es decir, no es cierto que los 3 Djk sean

nulos, como en el caso A). Por ejemplo, D12 6= 0 ⇒ x1 = (D23

D12)x3 + (a1a22−a2a12

a12) &

x2 = (D31

D12)x3 − (a1a21−a2a11

a12), donde x3 puede tomar valores arbitrarios⁆

12.4.2) Un sistema lineal homogéneo, de 2 ecuaciones con N > 2 incógnitas, po-

see infinitas soluciones.

Page 78: Apuntes de Algebra Lineal

78 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

⁅Si N = 3 estaríamos en el caso 12.4. Para N = 7, a cuatro de las incógnitas po-

dríamos asignarle el valor 0, y nuevamente estaríamos en el caso 10.3⁆

12.4.3) Un sistema lineal no homogéneo, de 2 ecuaciones con N > 2 incógnitas,

posee infinitas soluciones.

12.5) Un sistema lineal homogéneo o no homogéneo, de N ecuaciones con más de

N incógnitas posee infinitas soluciones.

⁅Ver más adelante, con métodos de matrices⁆

13) Verifique que 3 vectores aritméticos 2-dimensionales son LD.

⁅Dados los vectores p, q, r ∈ C2. Entonces ap+ bq+ cr = [0, 0]⇒ ap1 + bq1 + cr1 = 0,

ap2 + bq2 + cr2 = 0. Esto es un sistema de dos ecuaciones homogéneas, con tres incóg-

nitas, a, b, c, que según 12.4 posee infinitas soluciones. Luego a, b, c no tienen porque

ser iguales a cero ⇒ los vectores son LD.

Otra forma: De las dos ecuaciones anteriores ⇒ a(p1r2 − p2r1) + b(q1r2 − q2r1) = 0,

a(p1q2 − p2q1)− b(q1r2 − q2r1) = 0, −c(p1r2 − p2r1) + b(q1p2 − q2p1) = 0

i) Si alguno de los paréntesis es nulo, por ejemplo, q1r2 − q2r1 = 0

⇒ q1r = [q1r1, q1r2] = [q1r1, q2r1] = r1[q1, q2]⇒ q1r − r1q = 0⇒ r, q son LD

⇒ p, q, r son LD

ii) Los 3 paréntesis son diferentes de cero, entonces, podemos tomar b y c como múl-

tiplos de a 6= [0, 0] (con ello, las dos ecuaciones iniciales poseerán infinitas soluciones,

puesto que a se puede elegir arbitrariamente)⁆

13.1) Sean 4 vectores aritméticos tridimensionales: p, q, r, u ∈ C3. Verifique que

dichos cuatro vectores son LD.

Page 79: Apuntes de Algebra Lineal

79

⁅En efecto, ap+ bq+ cr+ du = [0, 0, 0]

⇒ ap1 + bq1 + cr1 + du1 = 0, ap2 + bq2 + cr2 + du2 = 0, ap3 + bq3 + cr3 + du3 = 0

Operando: 1a × u3 − 3a × u1 = 0, 2a × u3 − 3a × u2 = 0 obtenemos:

a(p1u3 − p3u1) + b(q1u3 − q3u1) + c(r1u3 − r3u1) = 0

a(p2u3 − p3u2) + b(q2u3 − q3u2) + c(r2u3 − r3u2) = 0

Aquí tenemos el caso de dos ecuaciones homogéneas con tres incógnitas: a, b, c que, de

acuerdo con el ejercicio anterior, poseen infinitas soluciones⁆

13.2) Sean n + 1 vectores, uk ∈ Cn (y el cuerpo de los complejos); verifique que

ellos son necesariamente LD. [Vea también 16.4]

⁅∑n+1

k=1 αkuk = 0. Sea αm 6= 0, entonces la ecuación anterior la escribimos así:∑∗n+1

*k=1 αkuk + αmum = 0 (1°), donde * significa que k 6= m.

Ahora, con uk = [uk1, uk2, · · · , ukn], podemos escribir:∑∗n−1

*k=1 αkukj +αmumj = 0, para

j = 1, 2, · · · , n− 1, y∑∗n−1

*k=1 αkukn + αmumn = 0, para la n-ésima componente. Multi-

plicando la j-ésima ecuación por umm y restándole la última ecuación multiplicada por

umj, obtendremos la n− 1 ecuaciones homogéneas:

n−1∑

k=1

αk(ukjumm − uknunj) = 0, j = 1, 2, · · · , n− 1 (2°)

Así hemos reducido un sistema homogéneo (1°), de n ecuaciones con n+1 incógnitas, a

otro, (2°), de n−1 ecuaciones con n incógnitas. A continuación reducimos este sistema

a otro de n− 2 ecuaciones, con n− 1 incógnitas. En general tendremos un sistema de

r ecuaciones con r + 1 incógnitas. Para r = 4 (es decir, 4 vectores tridimensionales)

estaremos en el caso de 13.1⁆

14) Verifique que n vectores aritméticos LI constituyen una base de Cn.

⁅Como los n vectores uk son (por hipótesis) LI, sólo nos basta demostrar que ellos

generan todo el espacio Cn. Sea x ∈ Cn un vector arbitrario. Ahora los n+ 1 vectores

x, u1, u2, · · · , un son necesariamente LD ⇒ en αx+∑

k αkuk = 0 alguno de los coefi-

cientes puede ser no nulo. Pero α = 0⇒ (por ser los uk LI) αk = 0, lo cual significaría

Page 80: Apuntes de Algebra Lineal

80 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

que los n+ 1 vectores de Cn serían LI. Es decir, deberá cumplirse necesariamente que

α 6= 0, entonces podemos despejar: x = −∑

k(αk

α)uk⁆

14.1) Verifique que los vectores unitarios canónicos ek ≡ [δk1, δk2, · · · , δkn] constituyen

una base de Cn. Ésta es llamada la base canónica.

⁅z = [z1, z2, · · · , zn] = [z1, 0, 0, · · · , 0]+[0, z2, 0, · · · , 0]+· · ·+[0, 0, · · · , 0, zn] =∑

k zkek⁆

14.2) Verifique que los vectores [1, 0, 0, · · · , 0], [1, 2, 0, 0, · · · , 0], [1, 2, 3, 0, · · · , 0], · · · ,[1, 2, 3, 4, · · · , n] constituyen una base de Cn.

⁅uk = [1, 2, 3, · · · , k, 0, 0, · · · , 0]⇒ uk − uk−1 = kek, para k = 2, 3, · · · , n; u1 = e1,

z = [z1, z2, · · · , zn] =n∑

k=1

zkek = z1e1 +n∑

k=2

(1

k)zk(uk − uk−1)

= z1e1 +n∑

k=2

(1

k)zkuk −

n−1∑

k=1

(1

k+ 1)zk+1uk

= (1

n)znun +

n−1∑

k=1

( 1k)zk − (

1

k + 1)zk+1uk

Con lo cual un vector cualquiera, z, se ha escrito como combinación lineal de los uk.

Por otra parte,∑

k αkuk = 0, pero uk =∑k

j=1 jej ⇒∑n

k=1 αk

∑kj=1 jej = 0, para

j = 1, 2, · · · , n⇒∑n−1

k=1 αk

∑kj=1 jej + αn

∑nj=1 jej = 0. Nótese que en al 1a sumatoria

el valor máximo que puede tomar j es n−1. Es decir, el coeficiente de en (que se encuen-

tra en la 2a sumatoria) es nαn, que debe ser nulo, pues los ek son LI, es decir, αn = 0.

Análogamente,∑n−1

k=1 αk

∑kj=1 jej = 0⇒

∑n−2k=1 αk

∑kj=1 jej +αn−1

∑n−1j=1 jej = 0, don-

de en la primera sumatoria el máximo valor de j es n − 2; entonces, el coeficiente de

en−1 debe ser, (n−1)αn−1, que también deberá ser nulo; es decir, αn−1 = 0. Procedien-

do en forma análoga, podemos demostrar que αn−2, αn−3, · · · , α1, son todos nulos. Es

decir, los vectores uk son LI.⁆

14.3) Sean pjk números complejos [p11 , 0 , 0 ,· · · , 0] , [p21 , p22 , 0 , 0 ,· · · , 0],

Page 81: Apuntes de Algebra Lineal

81

[p31 , p32 , p33 , 0 , · · · , 0] , · · · , [pn1 , pn2 , pn3 , pn4 , · · · , pnn], donde los pkk son no

nulos. Verifique que estos vectores constituyen una base de Cn.

⁅Para demostrar que ellos son LI, procedemos similarmente al caso anterior, con uk =∑k

j=1 pkjej . Así,∑

k αkuk = 0 ⇒ ∑nk=1 αk

∑kj=1 pkjej = 0, para j = 1, 2, · · · , n ⇒

∑n−1k=1 αk

∑kj=1 pkjej +αn

∑nj=1 pkjej = 0. En la 1a sumatoria el valor máximo que pue-

de tomar j es n−1. Es decir, el coeficiente de en (que se encuentra en la 2a sumatoria)

es pnnαn, y debe ser nulo, pues los ek son LI, es decir, αn = 0, etc.

Demostrar que ellos generan todo el espacio vectorial es más laborioso y lo dejamos

para más adelante⁆

14.4) Verifique que las funciones I0, I, I2, I3, · · · , In son LI, donde I0(x) = 1.

⁅∑

k αkIk = ô (función nula) ⇒∑n

k=0 αkIk(x) = 0 ∀ x ⇒∑n

k=0 αkxk = 0 ∀ x (1)

Para x = 0 obtenemos que α0 = 0. Derivando (1):∑n

k=1 kαkxk−1 = 0 ∀ x (2).

Ahora, para x = 0 obtenemos α1 = 0. De esta manera podemos mostrar que todos los

coeficientes αk = 0⁆

〈Otro camino se obtiene considerando que la m-ésima derivada de la función Im es

igual al factorial de m; es decir, m!〉

14.5) Las funciones sen, sen2, sen3, · · · , senn son LI. [Recuerde, senk(x) = sen(kx)]

⁅∑n

k=1 αksenk = ô (#) ⇒∑nk=1 αksen(kx) = 0 ∀ x (1).

Derivando dos veces, obtenemos∑n

k=1 k2αksen(kx) = 0 ∀ x (2).

Ahora (2)-(1):∑n

k=2(k2−1)αksen(kx) = 0 ∀ x (3), que es una ecuación similar a (1),

pero con sólo n-1 sumandos.

Derivando (3) dos veces:∑n

k=2 k2(k2 − 1)αksen(kx) = 0 ∀ x (4).

Ahora (4)-22.(3) nos da:∑n

k=3(k2 − 22)(k2 − 1)αksen(kx) = 0 ∀ x (5), donde puede

observarse que los paréntesis son no nulos. Continuando de esta manera obtenemos fi-

nalmente: (n2−(n−1)2)(n2−(n−2)2) · · · (n2−22)(n2−1)αnsen(nx) = 0 ∀ x⇒ αn = 0.

Entonces la ecuación (#) se reduce a n − 1 funciones,∑n−1

k=1 αksenk = 0 (##), con

Page 82: Apuntes de Algebra Lineal

82 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

las cuales se puede proceder como en el caso anterior, obteniendo αn−1 = 0. A conti-

nuación αn−2 = 0, hasta α1 = 0⁆

14.6) Las funciones ex, e2x, e3x,· · · , enx son LI.

⁅Proceder como en 14.5, pero considerando sólo las primeras derivadas ¿Por qué no

es necesario recurrir a las segundas derivadas?⁆

14.7) Las funciones σ(x), σ(2x), σ(3x),· · · , σ(nx) son LI ; donde σ(x) = [cos(x), sen(x)]

⁅Proceder como en 14.6⁆

15) Teorema: Dos bases diferentes de un espacio vectorial tienen el mismo núme-

ro de vectores.

⁅En efecto, sean las bases uk, con k = 1, 2, · · · , n y vk, con k = 1, 2, · · · , m de

un mismo espacio vectorial (no necesariamente n-uplas). Supondremos que el número

de elementos de las dos bases es diferente; es decir, uno sería mayor que el otro; sea

m > n. Entonces vj =∑n

k=1 qjkuk. En la combinación nula∑m

j=1 pjvj = 0 tenemos∑n

k=1

∑mj=1 pjqjkuk = 0, de donde

∑mj=1 pjqjk = 0 para k = 1, 2, · · · , n, que es un sis-

tema de n ecuaciones con m > n incógnitas, pj : Para este sistema existirán infinitas

soluciones; es decir, los coeficientes pj no tendrían porque ser nulos ⇒ los vj no serían

LI. Esta contradicción surge de haber supuesto que m > n; entonces no es posible que

m > n y, por supuesto, tampoco podrá ser que n > m.

El número de elementos de una base recibe el nombre de dimensión del espacio vecto-

rial.⁆

15.1) El espacio Cn es n-dimensional; el espacio de los polinomios de orden no mayor

que N tiene dimensión N + 1; el espacio vectorial de las matrices de m× n (m filas y

Page 83: Apuntes de Algebra Lineal

83

n columnas) tiene dimensión m× n, el espacio (Cn,R) tiene dimensión 2n.

⁅i) Para Cn ver 11.5 y 13.2

ii) Para (Cn,R) ver 11.6 y 13.2

iii) Para los polinomios, ver 14.4

iv) Una matriz de m× n puede ser considerada como una n×m-upla⁆

15.2) Se dice que un espacio vectorial tiene dimensión infinita si no existe ningún

conjunto finito de vectores que lo genere. Por ejemplo, el espacio de las sucesiones fini-

tamente no nulas (ver 11.3) tiene dimensión infinita.

⁅Es fácil demostrar que M vectores ǫk son LI. Esto vale para cualquier M . Por ello

se dice que los infinitos vectores ǫk son LI. Supongamos que N de esos vectores pu-

diese generar todo el espacio. Entonces basta considerar un vector que tenga N + 1

componentes no nulas, el cual no podrá ser expresado como combinación lineal de los

N vectores ǫk mencionados⁆

15.3) Al conjunto de vectores xk ∈ Rn, tales que satisfacen la condición∑n

k=1 akxk = 0,

donde m(< n) de dichos vectores son LI, se dice que generan al (sub)espacio vectorial

constituido por todas las combinaciones lineales de dichos m vectores.

Verifique que tales vectores generan un espacio vectorial n-m-dimensional.

⁅x = [x1, x2, · · · , xn] , y = [y1, y2, · · · , yn] ; ¿x, y ∈ S ⇒ αx+ βy ∈ S ∀ α, β?⁆

16) Determinante: Dados n vectores n-dimensionales v1, v2, v3,· · · , vn (de un es-

pacio vectorial n-dimensional cualquiera) definimos la función D(v1, v2, v3, · · · , vn) por

las siguientes propiedades:

i) D(v1, v2, · · · , αu+βw, · · · , vn) = αD(v1, v2, · · · , u, · · · , vn)+βD(v1, v2, · · · , w, · · · , vn)[Se dice que D es lineal en cada uno de sus argumentos]

Page 84: Apuntes de Algebra Lineal

84 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

ii) D(v1, v2, · · · , vj, · · · , vk, · · · , vn) = −D(v1, v2, · · · , vk, · · · , vj, · · · , vn), j 6= k

.[Se dice que D es totalmente antisimétrico]

iii) D(e1, e2, e3, · · · , en) = 1, donde ek es una base.

.[Nótese que, según la base que se elija, se obtendrán diferentes determinantes. Para

evitar confusiones se elige una base que toma el nombre de base canónica, y que en el

caso del espacio aritmético es precisamente la base ya bautizada como canónica]

16.1) Verifique que:

i) Si uno de los vectores es el vector nulo ê, entonces el determinante es nulo.

ii) Si uno de los vectores es múltiplo de otro de los vectores, entonces el determinante

es nulo.

iii) Si los n vectores son LD, entonces el determinante es nulo.

⁅i) α ê = ê

⇒ D(v1, v2, v3, · · · , ê , · · · , vn) = D(v1, v2, v3, · · · , α ê , · · · , vn). = αD(v1, v2, v3, · · · , ê , · · · , vn)⇒ (1− α)D(v1, v2, v3, · · · , ê , · · · , vn) = 0 .

Eligiendo α 6= 1 se obtiene D(v1, v2, v3, · · · , ê , · · · , vn) = 0 .

ii) Propiedad (II) del determinante⇒ D(v1, v2, v1, v4, · · · , vn) = −D(v1, v2, v1, v4, · · · , vn)⇒ D(v1, v2, v1, v4, · · · , vn) = 0

Entonces

D(v1, v2, v3, v4, · · · , vn) = D(v1, v2, λv1, v4, · · · , vn) = λD(v1, v2, v1, v4, · · · , vn) = 0

iii)∑

k αkvk = ê, donde alguno de los αk es no nulo, por ejemplo, α1 6= 0.

Por otra parte D(ê, v2, v3, v4, · · · , vn) = 0

⇒ D(∑

k αkvk, v2, v3, v4, · · · , vn) = 0⇒∑

k αkD(vk, v2, v3, . v4, · · · , vn) = 0, pero, pa-

ra k = 2, 3, · · · , n , aparecen dos vectores que se repiten

⇒ α1D(v1, v2, v3, v4, · · · , vn) = 0 & α1 6= 0⇒ D(v1, · · · , vn) = 0⁆

Page 85: Apuntes de Algebra Lineal

85

16.2) Sean n vectores vk, y sea A = D(v1, v2, v3, · · · , vn). Sea, por otra parte el con-

junto j1, j2, j3, · · · , jn tal que jk ∈ 1, 2, 3, · · · , n.Verifique que el número D(vj1, vj2, vj3, · · · , vjn) sólo puede tomar 3 valores: A, 0 ó −A.

⁅Si en D(vj1, vj2, vj3, · · · , vjn) algunos subíndices están repetidos, entonces el deter-

minante será nulo. Si los subíndices no están repetidos, es decir, todos ellos son di-

ferentes entre sí, entonces, permutando los vectores se puede obtener el orden natu-

ral. Tenemos D(v1, v2, v3, · · · , vn) = A × D(e1, e2, e3, · · · , en); realizaremos las mis-

mas permutaciones a ambos lados de la igualdad, entonces ella no se alterará; por

ejemplo, D(v3, vn, v1, · · · , v2) = A×D(e3, en, e1, · · · , e2); en general podemos escribir:

D(vj1, vj2, vj3, · · · , vjn) = A×D(ej1, ej2 , ej3, · · · , ejn), donde todos los subíndices son di-

ferentes entre sí (pues son fruto de permutaciones. Pero el factor D(ej1, ej2 , ej3, · · · , ejn)sólo puede tomar los valores 1 ó -1.⁆

16.3) Sea ek una base de un espacio vectorial, para la cual D(e1, e2, e3, · · · , en) = 1

Sean los n vectores vk, tales que vk =∑

j ak,jkejk ; verifique que

D(v1, v2, v3, · · · , vn) =∑

j1,j2,··· ,jn a1,j1 a2,j2 a3,j3 · · · an,jnD(ej1, ej2, · · · , ejn), donde se

trata de una sumatoria múltiple, una para cada uno de los j1, j2, · · · , jn = 1, 2, 3, · · · , n.

⁅D(v1, v2, v3, · · · , vn) = D(∑

j1a1,j1ej1,

j2a2,j2ej2 , · · · ,

jnan,jnejn)⁆

16.4) Sean 5 vectores 4-dimensionales, v0, v1, v2, v3, v4. Verifique que de la combi-

nación lineal nula p0v0 + p1v1 + p2v2 + p3v3 + p4v4 = 0, con D0 ≡ D(v1, v2, v3, v4), se

obtienen las 4 ecuaciones:

p0D(v0, v2, v3, v4) + p1D0 = 0 p0D(v1, v0, v3, v4) + p2D0 = 0

p0D(v1, v2, v0, v4) + p3D0 = 0 p0D(v1, v2, v3, v0) + p4D0 = 0.

i) Deduzca que los 5 vectores son LD (note que si cualquiera de los 4 posibles cuar-

tetos mostrados es LD, entonces los 5 vectores serán LD. Entonces debe suponer

que los cuartetos son LI. Ahora, si D0 = 0, entonces los pk serían arbitrarios.

Finalmente, si D0 6= 0, entonces podemos elegir los pk proporcionales a p0 ; por

ejemplo:

Page 86: Apuntes de Algebra Lineal

86 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

p3D0 = D(v1, v2, p3v3, v4) = D(v1, v2,−∑

k 6=3

pkvk, v4)

= −∑

k 6=3

pkD(v1, v2, vk, v4) = −p0D(v1, v2, v0, v4)

.

17) Verifique que n vectores LI, vj, de un espacio vectorial n-dimensional tienen deter-

minante no nulo. [Dichos vectores constituyen una base; exprese los vectores ek de la

base tal que D(e1, e2, e3, · · · , en) = 1, en función de los vectores vj . Entonces muestre

que la suposición de que el determinante de los vj es nulo, implica que 0 = 1]

⁅Los vectores vj constituyen una base; entonces podemos expresar ek =∑

εkjvj , para

k = 1, 2, · · · , n.

Ahora:1 = D(e1, e2, e3, · · · , en) = D(

j1

ε1j1vj1 ,∑

j2

ε2j2vj2, · · · ,∑

jn

εnjnvjn)

=∑

j1,j2,··· ,jnε1j1ε2j2 · · · εnjnD(vj1, vj2 , · · · , vjn)

donde sólo quedan los sumandos con subíndices no repetidos. Si D(v1, v2, · · · , vn) = 0,

entonces para todas las permutaciones tendríamos D(vj1, vj2 , · · · , vjn) = 0⇒ 1 = 0⁆

18) Considere la ecuación F ′′ + w2F = ô, donde w es real. Verifique que:

i) Las funciones de la forma f(x,B) = sen(wx+B), con B real, son soluciones.

ii) Dichas funciones generan un espacio vectorial bi-dimensional.

iii) Sean las funciones p, q tales que p(x) = sen(wx− π3), q(x) = sen(wx+ π

3); verifique

que ellas constituyen una base del espacio de las soluciones.

iv) Si D(p, q) = 1, calcule D(senw , cosw), donde senw(x) = sen(wx)

⁅ii) Por el Teorema mencionado en 11.2 sólo pueden existir, en este caso, a lo más

dos soluciones linealmente independientes. Por otra parte, sean dos funciones f(x,B1),

f(x,B2), donde B2 − B1 6= πk, para k ∈ Z. Mostremos que dichas funciones son LI.

En efecto, αsen(wx + B1) + βsen(wx + B2) = 0 ∀ x; entonces también vale para

Page 87: Apuntes de Algebra Lineal

87

x = −B1

w⇒ βsen(−B1 +B2) = 0⇒ β = 0, etc.

iii) Son LI , y el espacio es bidimensional.

iv) p = ( 1w)senw − (

√32)cosw , q = (1

2)senw + (

√32)cosw

⇒ 1 = D(p, q) = D((12)senw − (

√32)cosw , (1

2)senw + (

√32)cosw)

⇒ 1 = (12)D(senw , (1

2)senw + (

√32)cosw)− (

√32)D(cosw , (1

2)senw + (

√32)cosw)

⇒ 1 = (12)D(senw , (

√32)cosw)− (

√32)D(cosw , (1

2)senw)

⇒ 1 = (√34)D(senw , cosw)− (

√34)D(cosw , senw)

⇒ 1 = (√32)D(senw , cosw)

⇒ D(senw , cosw) =2√3D(p , q) = ( 2√

3)⁆

18.1) Las funciones f(x) = eiwx, g(x) = e−iwx, también son soluciones de la ecua-

ción F ′′ + w2F = 0.

18.2) Las funciones h(x,A,B) = A eiwx + B e−iwx, con A, B complejos arbitrarios,

también son soluciones de la ecuación F ′′ + w2F = 0.

18.3) Verifique que las funciones p(x) = sen(wx− π3) , q(x) = eνx son soluciones de

la ecuación diferencial

(νsenw − wcosw)F′′ − (ν2 + w2)senwF

′ + wν(νcosw + wsenw)F = ô

18.4) Determine si las funciones p(x) = sen(wx−π3) , q(x) = sen(wx+ π

3) , s(x) = e−iwx

son soluciones de la ecuación diferencial

F ′′′ − wF ′′ + w2F ′ − w3F = ô

18.5) Verifique que las funciones p(x) = sen(wx− π3) , q(x) = sen(wx+ π

3) , r(x) = eivx,

s(x) = e−ivx son soluciones de la ecuación diferencial

F (4) + (w2 − v2)F (2) − w2v2F = ô

Page 88: Apuntes de Algebra Lineal

88 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

⁅f (2) = −z2f , f (4) = z4f , con z = w ó v⁆

19) Sea el conjunto M2×2 de la matrices de 2 por 2, con elementos complejos. Da-

das las operaciones A + B y λA, verifique que dicho conjunto, con tales operaciones,

constituye un espacio vectorial.

i) Verifique que las 4 matrices Qk tales que

(Q1)pq = δp1δq1 ,

(Q2)pq = 2δp1δq2 ,

(Q3)pq = 3δp2δq1 ,

(Q4)pq = 4δp2δq2 ,

constituyen una base de M2×2 .

ii) Si D(Q1, Q2, Q3, Q4) = 1, calcule el determinante de las 4 matrices: Y (identidad)

y las de Pauli.

.

⁅[a b , c d] significa dos columnas, [a b] y [c d] ,

Q1 = [1 0, 0 0] ,

Q2 = [0 0, 2 0] ,

Q3 = [0 3, 0 0] ,

Q4 = [0 0, 0 4] ,

estas matrices pueden tratarse como columnas 4-dimensionales.

ii) Y = Q1 + (14)Q4 , σ1 = [0 1, 1 0] = (1

2)Q2 + (1

3)Q3 ,

σ2 = [0 i, −i 0] = −( i2)Q2 + ( i

4)Q3 , σ3 = [1 0, 0 −1]= Q1 − (1

4)Q4 ; entonces

Page 89: Apuntes de Algebra Lineal

89

D(Y, σ1, σ2, σ3) = D(Q1 + (1

4)Q4, (

1

2)Q2 + (

1

3)Q3,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3, Q1 − (

1

4)Q4)

= D(Q1, (1

2)Q2 + (

1

3)Q3,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3, Q1 − (

1

4)Q4)

+ (1

4)D(Q4, (

1

2)Q2 + (

1

3)Q3,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3, Q1 − (

1

4)Q4)

= D(Q1, (1

2)Q2 + (

1

3)Q3,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3,−(

1

4)Q4)

+ (1

4)D(Q4, (

1

2)Q2 + (

1

3)Q3,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3, Q1)

= (1

2)D(Q1, Q2,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3,−(

1

4)Q4)

+ (1

3)D(Q1, Q3,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3,−(

1

4)Q4)

+ (1

8)D(Q4, Q2,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3, Q1)

+ (1

2)D(Q4, Q3,−(

i

2)Q2 + (

i

3)Q3, Q1)

= (1

2)D(Q1, Q2, (

i

3)Q3,−(

1

4)Q4) + (

1

3)D(Q1, Q3,−(

i

2)Q2,−(

1

4)Q4)

+ (1

8)D(Q4, Q2, (

i

3)Q3, Q1) + (

1

12)D(Q4, Q3,−(

i

2)Q2, Q1)

= (1

2)(i

3)(−14)D(Q1, Q2, Q3, Q4) + (

1

3)(−i2)(−14)D(Q1, Q3, Q2, Q4)

+ (1

8)(i

3)D(Q4, Q2, Q3, Q1) + (

1

12)(−i2)D(Q4, Q3, Q2, Q1)

= etc ⁆

20) Sean las 4 funciones p(x) = sen(x− π3) , q(x) = sen(x+ π

3) , r(x) = ex−3sen(x+ π

6),

s(x) = ex + 5sen(x+ π6)

i) Verifique que cada una de ellas es solución de la ecuación f ′′′ − f ′′ + f ′ − f = 0

ii) Verifique que dichas 4 funciones son LD.

iii) Verifique que 3 de ellas son LI.

iv) Halle la forma general de la solución.

v) Si D(q, r, s) = 1, calcule el determinante de las funciones sen, cos, sen(x+ π2)

vi) Calcule el determinante de las funciones sen, cos, g, donde g(x) = e−x.

Page 90: Apuntes de Algebra Lineal

90 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

vii) Calcule el determinante de las funciones sen, cos, exp.

.

⁅ii) 8p+ 16q +√3r −

√3s = ô

iii) De la combinación lineal nula de las 4 funciones: αp + βq + γr + ηs = ô resulta

β = 2α, γ = −η = α√3

8; de manera que considerar solamente 3 de las funciones,

equivale a haber tomado alguno de los coeficientes igual a cero. Por ejemplo, β = 0 (es

decir, la combinación lineal de p, r, s), resultando que α = γ = η = 0, con lo cual p, r,

s son LI. El mismo resultado se obtiene si consideramos inicialmente α, γ ó η igual a

cero.

iv) Como p, q, r son LI, la forma general será f = αp + βq + γr, donde α, β, γ, son

constantes arbitrarias.

v) De q = 12sen+

√32cos , r = exp− 3

√3

2sen− 3

2cos , s = exp+ 3

√3

2sen+ 3

2cos , obtenga

sen = (−√3

9)(r − s+ 2

√3q) , cos = (1

3)(r − s+ 8

√3q) , exp = (1

3)(2r + s+

√3q)⁆

21) Siendo a un número real, definamos las funciones εa , εia , tales que εa(x) = eax,

εia(x) = cos(ax) + isen(ax) = [cos(ax), sen(ax)]

i) Verifique que una de ellas satisface la ecuación diferencial f ′′ + a2f = 0 ; y la otra

satisface la ecuación f ′′ − a2f = 0

ii) Halle otras soluciones para las ecuaciones diferenciales indicadas.

iii) Encuentre la forma general de la solución de cada una de las ecuaciones.

iv) Construya una base en el espacio de las soluciones de cada una de las ecuaciones.

v) Halle la solución general de la ecuación diferencial f (4) − a4f = 0 , donde el

superíndice (n) indica la n-ésima derivada.

.

⁅v) sen(ax) , cos(ax) , eax , e−ax , e−iax , eiax son soluciones⁆

22) Verifique que las funciones εa y εia se comportan análogamente, en el sentido

de que, para x, y, reales:

Page 91: Apuntes de Algebra Lineal

91

i) εa(x)εa(y) = εa(x+ y) , εia(x)εia(y) = εia(x+ y)

ii) εa(0) = 1 , εia(0) = 1

iii) εa(x)n = εa(nx) , εia(x)

n = εia(nx)

iv) εa(x)−1 = εa(−x) , εia(x)

−1 = εia(−x)

v) Derivada: ε′a = a εa , ε′ia = ia εia

vi) Halle los números reales p, q tales que εa(p) = 0 , εia(q) = 0

vii) Halle los números reales p, q donde εa(p) = e2 , εia(q) = e2

viii) Verifique que el valor de εa(x+2πk), para x real, k entero, depende de los valores

que tomen la variable x y el parámetro k ; mientras que el valor de εia(x+ 2πk)

es independiente del valor de k.

ix) Calcule todas las soluciones (llamadas raíces) de las ecuaciones algebraicas

ε5(x) − 32 = 0, ε5i(x) − 32 = 0, ε5(x) + 32 = 0, ε5i(x) + 32 = 0, ε5(x) − 1 = 0,

ε5i(x) + 1 = 0.

.

⁅vi) No existen.

vii) εia(x+2πk) = εia(x)εia(2πk) ; pero εia(2πk) = ei2πka es igual a la unidad solamente

cuando el producto ka es un entero.

viii) Por ejemplo, ε5(x)− 32 = 0

⇒ e5x − 32 = (ex − 2)(e4x + 2e3x + 4e2x + 8ex + 16) = 0 ⇒ ex = 2, puesto que los 4

sumandos del paréntesis son positivos.

Por otra parte, ε5i(x)− 32 = 0

⇒ ei5x = 25 ⇒ ei5x = 25 × ei2πk = (2 × ei2πk5 )5, k entero ⇒ eix = 2 × e

i2πk5 , para

k = 0, 1, 2, 3, 4 ; son 5 soluciones. Pero x no puede ser real x = p + iq, con p, q reales

⇒ e−q = 2, eip = ei2πk5 ⇒ p = 0, 2π

5, 4π

5, 6π

5, 8π

5⁆

22.1) Debido a la similitud mostrada, se define eix ≡ σ(x) [la función exponencial

de un número imaginario puro ix]. Si x, y son reales tendríamos exeiy = ex+iy, con lo

cual también queda definida la función exponencial del número complejo z = x+ iy.

Page 92: Apuntes de Algebra Lineal

92 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

NOTA: En lo anterior debe tenerse presente que el cuerpo de los números complejos

tiene ‘casi’ el mismo comportamiento que el cuerpo de los números reales.

23) Sean, en C5, los 3 vectores (filas):

a = [a1, a2, a3, a4, a5] por ejem: [1 0 0 0 0]

b = [b1, b2, b3, b4, b5] [0 2 0 0 0]

c = [c1, c2, c3, c4, c5] [0 0 3 0 0]

y los 5 vectores (columnas) de C3, de la forma [ak, bk, ck]

Verifique:

i) Si los 3 vectores-filas son LI, entonces existe (por lo menos) una terna de vectores-

columnas que es LI.

ii) Si los 3 vectores-filas son LD, entonces cada una de las ternas de vectores-columnas

son LD.

iii) Si existe alguna terna de vectores-columnas que es LI, entonces los 3 vectores-filas

son LI.

iv) Si cada terna de vectores-columnas es LD, entonces los 3 vectores-filas son LD.

.

⁅pa + qb+ rc = 0 ⇒ pa1 + qb1 + rc1 = 0 , pa2 + qb2 + rc2 = 0 , pa3 + qb3 + rc3 = 0 ,

pa4 + qb4 + rc4 = 0 , pa5 + qb5 + rc5 = 0⁆

23.1) Trate de generalizar lo anterior para el caso de m vectores de Cn.

⁅Ver, 27.3, usando el producto interno⁆

24) Sean ek una base de un espacio vectorial U , con D(e1, e2, · · · , en) = 1, y sean

dados n− 1 vectores v2, v3, v4, · · · , vn de U . Ahora construimos el vector (que llamare-

mos producto vectorial de los n− 1 vectores

W (v2, v3, v4, · · · , vn) ≡∑

k

D(ek, v2, v3, · · · , vn)ek

Page 93: Apuntes de Algebra Lineal

93

Verifique que:

i) Si uno de los vectores es nulo, entonces el producto vectorial es también nulo

W = ê

ii) Si se permutan dos vectores cualesquiera, entonces el producto cambia de signo.

iii) Si los n− 1 vectores son LD, entonces W = ê.

.

⁅i) Si uno de los vectores es nulo, entonces todos los determinantes serán nulos.

ii) Si se permutan dos vectores en los determinantes, ellos cambian de signo.

iii) Entonces uno de ellos será combinación lineal de los otros.⁆

24.1) Verifique que:

W (e2 , e3 , · · · , en) = e1 ,

W (e1 , e3 , e4 , · · · , en) = −e2 ,

W (e1 , e2 , e4 , e5 , · · · , en) = e3 ,

Wk ≡W (e1 , e2 , · · · , ek−1 , ek+1 , · · · , en) = (−1)k+1ek

⁅En Wk falta el vector ek; Wk =∑

j D(ej, e1, e2, · · · , ek−1, ek+1, · · · , en)ej y el único de-

terminante que no se anula es aquel donde j = k, Wk = D(ek, e1, e2, · · · , ek−1, ek+1, · · · , en)ek.Ahora, ek debe permutar con e1, e2, · · · , ek−1; es decir, deben realizarse k − 1 permu-

taciones ⇒ D(ek, e1, e2, · · · , ek−1, ek+1, · · · , en) = (−1)k−1 = (−1)k+1⁆

24.2) Dada la base ‘especial’, para la cual D(e1, e2, · · · , en) = 1, definiremos el símbolo

∆(k1, k2, k3, · · · , kn) ≡ D(ek1, ek2 , ek3, · · · , ekn), donde kj ∈ 1, 2, 3, · · · , n.Verifique que ∆(k1, k2, k3, · · · , kn) sólo puede tomar los valores 1,0 ó -1.

Page 94: Apuntes de Algebra Lineal

94 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

24.3) Verifique que:

i)∑

k1k2···kn ∆(k1 , k2 , k3 , · · · , kn) = 0

ii)∑

k1k2···kn |∆(k1 , k2 , k3 , · · · , kn)| = n!

iii) ∆(k1 , k2 , k3 , · · · , kn)D(v1 , v2 , v3 , · · · , vn) = D(vk1 , vk2 , vk3 , · · · , vkn)[ver 16.2]

.

⁅Primeramente notemos que basta considerar los determinantes donde todos los subín-

dices son diferentes entre sí. El primer subíndice k1 puede tomar n valores diferentes;

el segundo, que debe ser diferente del primero, puede tomar n − 1 valores diferentes,

el tercero (diferentes a los dos anteriores) podrá tomar n − 2 valores; finalmente, el

penúltimo (una vez elegidos los anteriores) sólo podrá tomar dos valores; y el último

tomará el valor restante. Es decir, en total, existen n! determinantes diferentes de ce-

ro; algunos toman el valor 1, otros toman el valor -1, por otra parte, consideremos

un determinante D(ek1, ek2, ek3 , · · · , ekn), donde n− 2 de los índices están fijos, y (por

ejemplo) los índice k2 y k3 pueden tomar los valores restantes, p, q. Entonces, en

A =∑

k2,k3D(ek1, ek2, · · · , ekn) = D(ek1, p, q, · · · , ekn) +D(ek1, q, p, · · · , ekn) = 0.

Entonces,∑

k1,k2···kn ∆(k1, k2, k3, · · · , kn) =∑

k1,k4,··· ,kn∑

k2,k3∆(k1, k2, k3, · · · , kn), don-

de la sumatoria según k2 y k3 es nula, luego toda la suma es nula.⁆

25) Producto Interno: Sea un espacio vectorial U construido sobre un cuerpo de

los complejos, C. Definamos la función ρ : U × U −→ C ; es decir, la función

ρ = ( (u, v) , z ) tal que z ∈ C; u, v ∈ U de manera que se cumpla:

i) ρ(u, av + bw) = aρ(u, v) + bρ(u, w), linealidad en el segundo argumento.

.[Atención: en Matemática suele exigirse la linealidad del primer argumento]

ii) ρ(v, u) = ρ(u, v)∗ donde la estrellita, ∗ , indica el conjugado complejo.

iii) ρ(u, u) > 0 si u 6= eo Note que si ρ(u, u) = 0 no puede ser u 6= eo

Siendo eo el elemento neutro aditivo del espacio U .

Page 95: Apuntes de Algebra Lineal

95

NOTA: A veces escribiremos sencillamente: 〈u,v〉 en vez de ρ(u,v).

⁅ρ(eo, eo) = ρ(eo, beo) = bρ(eo, eo)⇒ (1− b)ρ(eo, eo) = 0⇒ ρ(eo, eo) = 0.

Por otra parte ρ(u, u) = 0⇒ u 6= eo ó u = eo, pero u 6= eo ⇒ ρ(u, u) > 0 por (iii)⁆

26) Verifique que:

i) ρ(u, eo) = 0 con u arbitrario.

ii) Si ρ(u, v) = 0 para todo vector v, entonces debe ser u = eo

iii) ρ(u, v) = ρ(u, w) ∀ u ⇒ v = w

iv) Sea ek una base del espacio, sean u =∑

k αkek, v =∑

k βkek, entonces

ρ(u, v) =∑

jk α∗jβkρ(ej , ek)

Cuando se cumpla que ρ(u, v) = 0 se dirá que los vectores u, v, son ortogonales.

⁅i) ρ(u, λeo) = λρ(u, eo), pero λeo = eo

ii) Supongamos que u 6= eo, con ρ(u, v) = 0; elegimos u = v, obteniendo que ρ(u, u) = 0,

lo cual no es posible.

iii) ρ(u, v) = ρ(u, w) ∀ u⇒ ρ(u, v)− ρ(u, w) = 0 ∀ u⇒ ρ(u, v − w) = 0 ∀ u

⇒ v − w = eo ⇒ v = w

iv) ρ(u, v) = ρ(∑

j αjej ,∑

k βkek) =∑

k βkρ(∑

j αjej , ek) =∑

k βkρ(ek,∑

j αjej)∗

. =∑

k βk[∑

j αjρ(ek, ej)]∗ =

kj βkα∗jρ(ek, ej)

∗ =∑

kj βkα∗jρ(ej , ek) ⁆

27) El número real ρ(u, u) es no negativo, por lo cual su la raíz cuadrada será un

número real; entonces definimos la norma de un vector u:

N(u) ≡ ||u|| ≡√

(ρ(u, u)) ≥ 0

Cuando ||u|| = 1 se dirá que u es unitario. Si u 6= eo, verifique queu

||u|| es unitario.

⁅ρ( u||u|| ,

u||u||) =

(

1||u||

)(

1||u||

)∗ρ (u, u) =

(

1||u||

)2

ρ (u, u) = 1⁆

Page 96: Apuntes de Algebra Lineal

96 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

27.1) Sea el espacio aritmético CN , verifique que la función f(u,v) =∑N

k=1 u∗kvk

es un producto interno.

⁅Para el tercer postulado, f(u,u) =∑N

k=1 u∗kuk =

∑Nk=1 |uk|2 como todos los su-

mandos son no negativos, entonces f(u,u) = 0 ⇒∑N

k=1 |uk|2 = 0 ⇒ uk = 0 para

k = 1 · · ·n⇒ u = 0⁆

27.2) Sean N números reales positivos, νk ; verifique que en el espacio aritmético

CN la función g(u,v) =∑N

k=1 νku∗kvk es un producto interno.

⁅Para el tercer postulado: g(u,u) = 0 ⇒ ∑Nk=1 νk|uk|2 = 0, donde (por ser los νk

positivos) todos los sumandos son no negativos ⇒ νk|uk|2 = 0 ⇒ |uk|2 = 0, para

k = 1 · · ·n⇒ u = 0⁆

27.3) Sean a1, a2, · · · , am, m vectores de Cn, con m < n. Sea akj la j-ésima com-

ponente del vector ak ; y sean los n vectores m dimensionales: A1,A2, · · · ,An, donde

A1 ≡ [a11, a21, · · · , ak1, · · · , am1]; en general, Aj ≡ [a1j , a2j , · · · , akj, · · · , amj ]

⁅Sea∑

k αkak = 0⇒∑

k αkakj = 0, para j = 1, 2, · · · , n⇒ 〈α,Aj〉 = 0, j = 1, 2, · · · , n.

Ahora:

i) Los vectores Aj generan todo Cm (para lo cual m de ellos deben ser LI) ⇒ ∃ los

números sj tales que α =∑

j sjAj ⇒ 〈α,α〉 = 0 ⇒ α = 0 ⇒ ∀ αk = 0 ⇒ ak son

LI.

ii) Los vectores Aj no generan todo Cm (es decir, cada conjunto de m de dichos vecto-

res de LD)⇒ ∃ vectores u ∈ Rm que no pueden ser expresados como∑

j sjAj ⇒ para

tales vectores no tiene porque cumplirse que 〈α,u〉 = 0⇒ α no tiene porque ser nulo

⇒ algún αt 6= 0, ⇒ ak son LD ⁆

Page 97: Apuntes de Algebra Lineal

97

27.4) Sea el espacio vectorial solución de la ecuación F ′′ + w2F = 0, en el interva-

lo (0, a)

Verifique que la función p, definida para dos funciones solución, como p(f, g) =∫ a

0f ∗g

es un producto interno [Tenga presente que si∫ a

0G = 0, y si G es continua y no nega-

tiva, en todo el intervalo, debe ser nula ¿Por qué continua?]

⁅Los dos primeros postulados son directos.

Para el tercer postulado: p(g, g) =∫ a

0g∗g =

∫ a

0|g|2. Pero la solución general de la ecua-

ción es g = Asenw + Bcosw ⇒ |g|2 = |A|2sen2w + |B|2cos2w + (A∗B + AB∗)senwcosw.

Para integrar,2|g|2 = |A|2(1− cos2w + |B|2(1 + cos2w) + (A∗B + AB∗)sen2w

= |A|2 + |B|2 + (|B|2 − |A|2)cos2w + (A∗B + AB∗)sen2w

⇒ 2p(g, g) = (|A|2 + |B|2)a+ ( 12w)(|B|2 − |A|2)sen(2wa)

. + ( 12w)(A∗B + AB∗)(1− cos(2wa)) ≥ 0

⇒ 4wp(g, g) = (|A|2 + |B|2)[2wa− sen(2wa)] + (|B|2 − |A|2)sen(2wa). + (A∗B + AB∗)(1− cos(2wa))

⇒ Tener presente que |A|2 + q2|B|2 ≥ q(A∗B + AB∗), q real.

28) Sean u, v, dos vectores arbitrarios; p ≡ ρ(u, v); z, w dos números complejos.

Verifique que:

i) ||u− z∗v||2 = ||u||2 + |z|2||v||2 − z∗p− zp∗

ii) |wp− zw∗|2 = |w|2|p|2 + |z|2

|w|2 − z∗p− zp∗

iii) ||u||2 + |z|2||v||2 + |wp− zw∗|2 − |w|2|p|2 − |z|2

|w|2 ≥ 0

.⁅i) ||u− z∗v||2 = 〈u− z∗v, u− z∗v〉

= 〈u, u〉+ 〈−z∗v,−z∗v〉 − 〈u, z∗v〉〈z∗v, u〉= N(u)2 +N(z∗v)2 − z∗〈u, v〉 − z〈u, v〉∗

= N(u)2 + |z|2N(v)2 − z∗〈u, v〉 − z〈u, v〉∗

ii) |wp− zw∗|2 = (wp− z

w∗)(w∗p∗ − z∗

w) = |w|2|p|2 + |z|2

|w|2 − z∗p− zp∗

iii) De las expresiones anteriores:

0 ≤ ||u− z∗v||2 = N(u)2 + |z|2N(v)2 + |wp− zw∗|2 − |w|2|p|2 − |z|2

|w|2 ⁆

Page 98: Apuntes de Algebra Lineal

98 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

28.1) Sea ek una base de un espacio vectorial V . Verifique que si un vector u ∈ V

es ortogonal a cada elemento de la base, entonces u = eo (vector nulo).

⁅〈u, ek〉 = 0⇒ 〈u,∑

k αkek〉 con αk arbitrarios. Como ek es un base, podemos elegir

los coeficientes de manera que u =∑

k αkek ⇒ 〈u, u〉 = 0⇒ u = eo⁆

28.2) Verifique que si los vectores vk generan un espacio vectorial V , entonces, si u

es ortogonal a cada vk, dicho vector debe ser nulo, u = eo.

⁅Como vk genera el espacio, entonces existirán coeficientes αk de manera que se

cumpla u =∑

k αkvk ⇒ 〈u, u〉 = 〈u,∑

k αkvk〉 =∑

k αk〈u, vk〉 = 0 ⁆

29) Verifique que, siendo w un número complejo arbitrario se cumple:

i) ||u||2 + |p|2||v||2|w|4 ≥ 2|w|2|p|2 , p = ρ(u, v)

ii) ||u||2||v||2 + |p|2(|w|2||v||2 − 1)2 ≥ |p|2

.

⁅i) En 28iii, considere z = |w|2pii) ||u||2||v||2 + |p|2||v||4|w|4 ≥ 2|w|2|p|2||v||2

⇒ ||u||2||v||2 + |p|2||v||4|w|4 − 2|w|2||v||2 + 1 − |p|2 ≥ 0 ⁆

30) Teorema de Schwartz: Para dos vectores cualesquiera se cumple:

|ρ(u, v)| ≤ ||u||.||v||

⁅En 29ii elija |w| = 1N(v)

⇒ ||u||2||v||2 ≥ |p|2. Note que 29ii parece ser una exigencia

más débil que el Teorema de Schwarz. Pero tal cosa no es cierta⁆

Page 99: Apuntes de Algebra Lineal

99

30.1) Verifique que si u, v son LD entonces |ρ(u, v)| = ||u||.||v||

⁅Tenga presente que el lado izquierdo de 28iii es ||u − z∗v||2, cuyo valor mínimo se

obtiene con u− z∗v = ê. Por otra parte, u, v LD, u 6= ê ⇒ ∃λ 6= 0 tal que v = λu

⇒ |ρ(u, v)| = |ρ(u, λu)| = |λ||ρ(u, u)| = |λ|N(u)N(u) = N(λu)N(u) = N(v)N(u)⁆

30.2) Verifique que si |ρ(u, v)| = ||u||.||v||, entonces u, v son LD.

⁅De |ρ(u, v)| = ||u||.||v||, eligiendo adecuadamente z se obtiene que ||u− z∗v||2 = 0⁆

30.3) Verifique que en el caso de Rn, podemos escribir simplemente: ρ(u, v) ≤ ||u||.||v||

⁅x ∈ R⇒ x,−x ≤ |x| ⁆

31) Verifique que en el caso real, para dos vectores unitarios uo, vo, se cumple:

−1 ≤ ρ(uo, vo) ≤ 1

lo cual, para dos vectores arbitrarios, no nulos, permite definir un ángulo real θ tal que:

cos(θ) =ρ(u, v)

||u||.||v||

⁅x, a ∈ R, a > 0⇒ −a ≤ x ≤ a⇒ −||u||.||v|| ≤ ρ(u, v) ≤ ||u||.||v||⇒ −1 ≤ ρ(u,v)

||u||.||v|| ≤ 1⇒ ∃θ tal que cos(θ) = ρ(u,v)(||u||.||v||) ó, si se prefiere,

ρ(u, v) = ||u||.||v||cos(θ)⁆

32) Sean Ak n números reales positivos. Sea una base ek, u =∑

αkek, v =∑

k βkek .

Verifique que la función f(u, v) =∑n

k=1Akα∗kβk es un producto interno. Ver 25.2 .

Page 100: Apuntes de Algebra Lineal

100 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

33) Sea ek una base ortonormal, ρ(ej , ek) = δjk, verifique que:

i) u =∑

k ρ(ek, u)ek

ii) ρ(u, v) =∑

k ρ(u, ek)ρ(ek, v)

iii) ρ(u,W (v2, v3, v4, · · · , vn)) = D(u, v2, v3, · · · , vn), donde puede verse que el pro-

ducto vectorial W es ortogonal a cada uno de sus argumentos, y el vector u tiene

componentes reales en la base ek

.

33.1) Sean dados dos vectores, p, q, LI.

Construyamos los vectores v1 =p

||p|| , u = q − ρ(v1, q)v1 y v2 =u

||u|| .

Verifique que v1 y v2 son ortonormales.

⁅〈v1, v2〉 = ( 1||p||.||u||)〈p, u〉 = ( 1

||p||.||u||)〈p, q−ρ(v1, q)v1〉 = ( 1||p||.||u||)[〈p, q〉−ρ(v1, q)〈p, v1〉],

pero 〈p, v1〉 = ||p||⇒ 〈v1, v2〉 = ( 1

||p||.||u||)[〈p, q〉 − ρ(v1, q)||p||] = ( 1||p||.||u||)[〈p, q〉 − ρ(||p||v1, q)]

. = ( 1||p||.||u||)[〈p, q〉 − ρ(p, q)] = 0 ⁆

33.2) Sean p, q, r tres vectores LI. Después de construir v1, v2 como en el párrafo

anterior, verifique que los vectores r y z = r − ρ(v1, r)v1 − ρ(v2, r)v2 son LI, y z es

ortogonal a los vectores v1, v2.

⁅Por ejemplo, 〈v1, z〉 = 〈v1, r − ρ(v1, r)v1 − ρ(v2, r)v2〉 = 〈v1, r〉 − ρ(v1, r)〈v1, v1〉 −ρ(v2, r)〈v1, v2〉 = 〈v1, r〉 − ρ(v1, r)− ρ(v2, r)〈v1, v2〉 = −ρ(v2, r)〈v1, v2〉, pero v1, v2 son

ortogonales por construcción ⁆

33.3) Sean los vectores v1, v2, v3, v4 LI, tenemos:

i) u1 =v1

||v1||

ii) w2 = v2 − ρ(u1, v2)u1 , u2 =w1

||w1||

Page 101: Apuntes de Algebra Lineal

101

iii) w3 = v3 − ρ(u1, v3)u1 − ρ(u2, v3)u2 , u3 =w3

||w3||

iv) w4 = v4 − ρ(u1, v4)u1 − ρ(u2, v4)u2 − ρ(u3, v4)u3 , u4 =w4

||w4||

Verifique que los vectores u1, u2, u3, u4 son ortonormales.

⁅¡Proceda! ⁆

33.4) Sea vk una base de un espacio vectorial n-dimensional, Vn. Construya una

base ortonormal para tal espacio.

⁅Esto es lo que se conoce como un proceso de ortonormalización (para construir vec-

tores unitarios y ortonormales); este proceso es la generalización del caso visto en el

párrafo anterior. ⁆

33.5) Proceso de ortonormalización: Sean m vectores LI, v1, v2, · · · , vm. Estos

vectores generan un subespacio vectorial U , de dimensión m (que podría ser todo el

espacio). A partir de ellos queremos construir otro conjunto u1, u2, · · · , um de vecto-

res ortonormales (según un producto interno p), que generen el mismo subespacio U .

Verifique que el siguiente proceso iterativo cumple el objetivo mencionado:

i) w1 = v1

ii) Para k = 1, 2, · · · , m− 1 definimos wk+1 = vk+1 −∑k

j=1 ρ(uj, vk+1)uj

iii) uk =wk

||wk|| , k = 1, 2, · · · , m.

.

⁅Entonces se puede escribir, ρ(uj, uk) = δjk. Note que wk+1 se construye retando a vk+1

las componentes de vk+1 “paralelas” a los u1, u2, · · · , uk⁆

34) Sea p cierto vector no nulo de Vn.

Verifique que el conjunto de vectores U = u tal que ρ(u, p) = 0 es un espacio vecto-

rial, que será llamado subespacio ortogonal al vector p, de dimensión n− 1.

Page 102: Apuntes de Algebra Lineal

102 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

⁅Si u, v ∈ U ⇒ αu+ βv ∈ U para α, β, arbitrarios ⁆

34.1) Si uk es una base ortonormal de un espacio V , entonces todo vector z ∈ V se

puede escribir así: z =∑

k ρ(uk, z)uk.

⁅z =∑

k βkuk ⇒ ρ(uj, z) =∑

k ρ(uj,∑

k βkuk) =∑

k βkρ(uj, uk) =∑

k βkδkj = βj

⇒ z =∑

j ρ(uj, z)uj⁆

34.2) Sean p, q, r, vectores LI, de un espacio vectorial n-dimensional, Vn.

Verifique que:

i) El conjunto U = u tal que ρ(u, p) = 0, ρ(u, q) = 0, ρ(u, r) = 0 es un espacio

vectorial.

ii) Cada vector de U es ortogonal a cada vector del subespacio W , generado por, p,

q, r; y cada vector de W es ortogonal a cada vector de U .

.[Por ello se dice que los subespacios U , W son ortogonales entre sí]

iii) Cada vector z ∈ Vn se puede expresar como una suma de dos vectores z′ ∈ W ,

z′′ ∈ U

iv) La dimensión de U es n− 3.

.

⁅i) Por 34, U es un espacio vectorial.

ii) Sea x ∈ U ⇒ ρ(x, p) = 0, ρ(x, q) = 0, ρ(x, r) = 0

⇒ ρ(x, αp+βq+γr) = αρ(x, p)+βρ(x, q)+γρ(x, r) = 0⇒ x es ortogonal a todo vector

de W . Por otra parte, sea uj una base de U , entonces, ρ(uj, p) = 0, ρ(uj, q) = 0,

ρ(uj, r) = 0, entonces, cualquier combinación lineal de los vectores uj también cumplirá

esas 3 ecuaciones.

iii) Por 33.3, a partir de p, q, r, podemos construir unitarios, w1, w2, w3, ortogonales

entre sí, que generarán también W , entonces dichos vectores constituyen una base de

W . Ahora sea z ∈ Vn; definimos z′′ = z −∑3

j=1 ρ(wj , z)wj ⇒ ρ(wk, z′′) = 0⇒ z′′ ∈ U .

Page 103: Apuntes de Algebra Lineal

103

Pero z = z′′ +∑3

j=1 ρ(wj, z)wj , donde es claro que∑3

j=1 ρ(wj , z)wj ∈ W .

iv) Cualquier vector z ∈ Vn lo podemos escribir como z = z′ + z′′, con z′ ∈ W , z′′ ∈ U .

Como wj, uk son bases en W , U , respectivamente, entonces podemos escribir,

z′ =∑3

j=1 αjwj , z′′ =∑m

k=1 βkuk ⇒ z =∑3

j=1 αjwj +∑m

k=1 βkuk ⇒ z es generado por

3 +m vectores de Vn, que tiene dimensión n; es decir, 3 +m = n ⁆

34.3) Sea w = W (v2, v3, · · · , vn); verifique que ρ(ek, w) = det(ek, v2, v3, · · · , vn)

⁅ρ(ek, w) = ρ(ek,∑

j det(ej , v2, v3, · · · , vn)ej) =∑

j det(ej , v2, v3, · · · , vn)ρ(ek, ej) ⁆

34.4) Verifique que ρ(u, w) = det(u∗, v2, v3, · · · , vn) donde si u =∑

k xkek entonces

u∗ =∑

k x∗kek

⁅ρ(u, w) = ρ(∑

k xkek, w) =∑

k x∗kρ(ek, w) =

k x∗kdet(ek, v1, v2, · · · , vn)

. = det(∑

k x∗kek, v2, v3, · · · , vn) = det(u∗, v2, v3, · · · , vn) ⁆

35) Sea PN [0,1] el espacio vectorial de los polinomios reales de grado no mayor

que N , definidos en el intervalo [0,1]. Para dos polinomios p, q, definimos la función

h(p,q) ≡∫ 1

0p(x)q(x)dx.

i) Verifique que h es un producto interno.

ii) Verifique que los monomios I0, I, I2, · · · , IN no constituyen una base ortonormal.

iii) Construya una base ortonormal.

.

⁅i) Para el tercer postulado: N(p)2 =∫ 1

0p(x)2dx ≥ 0. En cada pequeño subintervalo

(a, b) ⊂ (0, 1) tenemos que∫ b

ap(x)2dx ≥ 0, entonces N(p)2 = 0 ⇒

∫ b

ap(x)2dx = 0;

pero p es una función continua, ⇒ p(x) = 0 en todo (a, b) ⊂ (0, 1)⇒ p(x) = 0 en todo

(0, 1)⁆

Page 104: Apuntes de Algebra Lineal

104 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

Page 105: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 5

Algunas aplicaciones geométricas y

físicas

• La recta; el plano.

• Sistema de coordenadas y la Regla del Tirabuzón.

• Correlación entre conceptos geométricos y conceptos algebraicos.

• Truco matemático para convertir un circuito físico, de elementos reales en un

• circuito matemático de elementos complejos.

• Un modelo matemático (ecuación diferencial) para tres procesos físicos diferentes.

• Campos de fuerzas.

• Un cierto desafío experimental.

A

B

C

36) El Espacio Euclidiano E3. En el es-

pacio tridimensional, para 3 puntos cuales-

quiera, A, B, C, se cumple que |AB| ≤|AC|+ |BC|, donde las barras verticales in-

dican la distancia euclidiana. Por otra par-

te, se dice que tres puntos A, B, C, son co-

lineales si se satisface (por lo menos) una

de las condiciones:

i) |AB|+ |BC| = |AC|ii) |BC|+ |CA| = |BA|iii) |CA|+ |AB| = |CB|

105

Page 106: Apuntes de Algebra Lineal

106 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

Verifique que esas tres condiciones se pueden escribir como una sola condición, de

la siguiente manera:

0 = |AB|3 + |BC|3 + |CA|3 − |AB|2(|BC|+ |CA|)− |BC|2(|CA|+ |AB|)0 =− |CA|2(|AB|+ |BC|) + 2|AB||BC||CA|

⁅Con x ≡ |AB|, y ≡ |BC|, z ≡ |CA|, y designando con Q la suma total, tendre-

mos:Q = x3 − y2x− z2x+ 2xyz + y3 + z3 − y2z − z2y − x2(y + z)

= x[x2 − (y − z)2] + (y + z)(y2 + z2 − yz)− yz(y + z)− x2(y + z)

= x[x2 − (y − z)2] + (y + z)[y2 + z2 − 2yz − x2]

= x[x2 − (y − z)2] + (y + z)[(y − z)2 − x2] = (y + z − x)[(y − z)2 − x2]

⇒ Q = (y + z − x)[(y − z)− x][(y − z) + x]. Entonces, Q = 0⇒ · · ·

A

B

P

RECTA: Dados dos puntos no coinciden-

tes, A, B, definimos la recta RAB (determi-

nada por A y B) como el conjunto de pun-

tos P del espacio, que son colineales con A

y B. Verifique que:

i) A, B ∈ RAB

ii) Grafique los puntos L, M , N ∈ RAB,

donde |LA| = α|AB|,|LB| = (1 − α)|AB|; |MA| = β|AB|,|MB| = (1 + β)|AB|; |NA| = γ|AB|,|NB| = (γ − 1)|AB| siendo α, β, γ

reales.

iii) |MN | 6= 0, M , N ∈ RAB ⇒ RMN =

RAB

⁅i) A, A y B son colineales ⇒ A ∈ RAB; así mismo A, B y B son colineales.

ii) |AL|+ |LB| = |AB| ⇒ A, B y L son colineales;

|MB| = |MA| + |AB| ; |NB|+ |BA| = |NA| ⇒ L , M , N ∈ RAB

Page 107: Apuntes de Algebra Lineal

107

iii) M , N ∈ RAB ⇒ (por ejemplo) |AM |+ |MB| = |AB|; |AB|+ |BN | = |AN |⇒ |AM |+ |MB|+ |BN | = |AN | ⇒ |AM |+ |MN | ≤ |AN |. Pero, por otra parte, debe

cumplirse que |AM |+ |MN | ≤ |AN |; entonces, |AM |+ |MN | = |AN | ⇒ A ∈ RMN . Si-

milarmente puede mostrarse que |MB|+ |BN | = |MN |, lo que implica que B ∈ RMN ⁆

B

A

C

D

Diremos que cuatro puntos del espacio, A,

B, C, D, son coplanares si alguno de los

conjuntos RAB∩RCD ó RAC∩RBD ó RAD∩RBC es no vacío. Para la interpretación geo-

métrica de esta definición, tenga presente

que ABC y BCD son triángulos (cada uno

define un plano) con un lado, BC, común.

A

B

−→AB

−→BA

PLANO: Dados tres puntos A, B, C no

colineales definimos al plano PABC como el

conjunto de todos los puntos del espacio

que son coplanares con A, B y C.

SEGDO ≡ Segmento orientado. Todo

par de puntos A, B define dos segmentos

orientados−→AB y

−→BA

L1

L2

L3

O

P

SdC ≡ Sistema de Coordenadas diestro (se-

gún la Regla del Tirabuzón). Consideremos, en

el espacio geométrico 3-dimensional, un SdC,

con origen en un punto O y sus tres rectas orien-

tadas L1, L2 y L3, perpendiculares entre sí. De

esta manera, cada punto del espacio queda ca-

racterizado por 3 números reales, que son sus

coordenadas.

Por otra parte, el par de puntos A, B determinan el segdo−→AB, al cual le haremos

Page 108: Apuntes de Algebra Lineal

108 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

corresponder un vector

AB ≡ (xB − xA , yB − yA , zB − zA)

formado por la diferencia de las coordenadas indicadas. El vector OA recibe el nombre

de vector de posición de A.

Nótense tres cuestiones:

iii) Si en vez del SdC mostrado se usase otro SdC paralelo al mostrado, entonces el

iii) vector AB será el mismo.

iii) Si en vez del SdC mostrado se usase otro, rotado con respecto al mostrado, entonces

iii) al segdo corresponderá otro vector diferente al primero.

iii) Recurriendo en dos SdC diferentes es posible que a dos segdos diferentes (pero de

iii) la misma longitud) corresponda un mismo vector.

36.1) Consideremos las restas orientadas, L1 y L2, perpendiculares entre sí; enton-

ces, para orientar la tercera recta, L3, tenemos dos opciones: la diestra (o dextrógira) y

la siniestra (o levógira). La opción diestra es el sentido en que avanzaría un tirabuzón

diestro que rotase de manera de llevar L1 a coincidir con L2 barriendo el ángulo de

90 que ellas forman.

Verifique que así como el sentido de L3 se obtiene girando de L2 a L3 según la REGLA

DEL TIRABUZÓN, así también se podría obtener el sentido de L2 girando de L3 a L1

según la RdT, y el sentido de L3 girando de L1 a L2 según la RdT.

37) Los segdos y sus correspondientes vectores (en un único SdC):

i)−→AB y

−−→CD paralelos ⇔ AB y CD son LD.

ii)−→AB y

−−→CD perpendiculares ⇔ AB y CD son ortogonales.

iii) [Longitud de−→AB]≡ |AB| ⇔ Norma de AB ≡ ||AB||

iv) ABCD es un paralelogramo ⇔ AB = DC y AD = BC

v)−→AB y

−−→MN son paralelamente congruentes ⇔ AB = MN

Page 109: Apuntes de Algebra Lineal

109

vi) Triángulo ABC ⇔ AB+BC = AC (A, B, C no necesariamente colineales)

vii) áng(−→AB,−−→MN )= θ ⇔ AB •CD = ||AB|| ||CD|| cos(θ)

NOTA: Aquí el producto interno (real) será escrito:

p • q = p1q1 + p2q2 + p3q3

38) Sean los puntos colineales A, M , N , B tales que |AM | = 13|AB|, |AN | = 1

2|AB|,

escriba los vectores de posición de los puntos M , N en función de los vectores de po-

sición de los puntos A y B.

⁅AM = ±(13)AB, AN = ±(1

2)AB, OB = OA+AB; entonces,

OM = OA± (13)(OB−OA), ON = OA± (1

2)(OB−OA)⁆

38.1) Verifique que si 3 puntos A, B, C son no colineales, entonces se cumple que

AB •AC < |AB||AC|

⁅i) Por el Teorema de Schwarz.

ii) (p21 + p22 + p23)(q21 + q22 + q23) = p1q1 + p2q2 + p3q3)

2 + (p2q3 − p3q2)2 + (p3q1 − p1q3)

2

. + (p1q2 − p2q1)2

⇒ p • q < ||p||2 ||q||2 pues los otros 3 sumandos no pueden ser nulos ⁆

39) Sean A y B dos puntos no coincidentes. Verifique que

RAB = P tal que AP = αAB ∀ α ∈ R

es la ecuación de una recta.

⁅AP = αAB⇒ |AP | = |α||AB|; BP = BA+AP = AP−AB⇒ |BP | = |α−1||AB|.Ahora:

i) α < 0⇒ α− 1 < 0⇒ |α| = −α, |α− 1| = −α + 1

⇒ |BP | = |α− 1||AB| = −α|AB|+ |AB| = −|AP |+ |AB| ⇒ |AP |+ |PB| = |AB|

Page 110: Apuntes de Algebra Lineal

110 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

ii) Proceda similarmente para 0 ≤ α < 1

iii) Proceda similarmente para 1 ≤ α ⁆

39.1) Sean A un punto del espacio, u un vector no nulo.

Verifique que el conjunto RAu= P tal que AP = αu ∀ α ∈ R es una recta.

⁅Sea AB = u (α = 1) ⇒ AP = αAB ⁆

39.2) Sean A un punto del espacio, u, v dos vectores LI. Verifique que el conjunto

PAuv= P tal que AP = αu+ βv ∀ α, β ∈ R es un plano.

⁅Considere tres puntos (casi) cualesquiera (pero fijos) del conjunto, B, C, D dados

por AB = α1u + β1v, AC = α2u + β2v, AD = α3u + β3v, de manera que dichos

segmentos no sean paralelos ¿Condición? Ahora mostremos que las rectas RAD y RBC

se intersecan (tienen un punto común). Los puntos P de RAD serán AP = µAD, y los

puntos Q de RBC serán BQ = νBC. Para un punto Po, común a ambas rectas tendre-

mos APo = µoAD, BPo = νoBC⇒ AB = νoBC− µoAD = νoAC− νoAB− µoAD

⇒ (1 + νo)AB − νoAC + µoAD = 0, que es una ecuación vectorial con incógnitas νo

y µo .

Ella implica que: (1 + νo)(α1u + β1v) − νo(α2u + β2v) + µo(α3u + β3v) = 0 ⇒[(1+νo)α1−νoα2+µoα3]u+[(1+νo)β1−νoβ2+µoβ3]v = 0⇒ (1+νo)α1−νoα2+µoα3 = 0,

(1+νo)β1−νoβ2+µoβ3 = 0⇒ α1 = −νo(α1+α2)+µoα3 , β1 = −νo(β1+β2)+µoβ3 , que

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la existencia de cuyas soluciones

exige que (α1 + α2)β3 − α3(β1 + β2) 6= 0 ⁆

40) ABC es un triángulo tal que |AB| + |BC| > |AC|. Determine las soluciones

de la ecuación xAB+ yAC+ zBC = 0

⁅AB+BC = AC⇒ xAB+ yAC+ z(AC−AB) = 0

⇒ (x− z)AB + (y + z)AC = 0, como el triángulo es no degenerado

Page 111: Apuntes de Algebra Lineal

111

⇒ x− z = 0 & y + z = 0⇒ x = x , y = −x , z = x , es decir, se obtiene una familia

(monoparamétrica) de soluciones. ⁆

41) Verifique que las 3 medianas de un triángulo se intersecan en un punto.

⁅Triángulo ABC; L, M , N sus medianas: AL = 12AB , BM = 1

2BC , CN = 1

2CA.

Sea Q el punto en el cual se intersecan AM y BN : AQ = αAM , BQ = βBN.

Pregunta: ¿Pasa por Q la mediana CL? ó ¿Existe χ tal que CQ = χCL?

i) AB = αAM− βBN = α(AB+ 12BC)− β(BC+ 1

2CA)

. = α(12AB+ 1

2AC)− β(1

2AC−AB)⇒ (1− α

2− β)AB+ (−α

2+ β

2)AC = 0

⇒ 1− α2− β = 0 & −α

2+ β

2= 0

⇒ α = β = 23

⇒ AQ = (13)(AB+AC) = 1

3(AB+AC)

ii) CQ = CA+AQ = CA+ 13(AB+AC) = 1

3(AB−2AC) = 2

3(CA+ 1

2AB) = (2

3)CL⁆

41.1) Verifique que las 3 alturas de un triángulo se intersecan en un punto.

⁅Triángulo ABC; con L ∈ RAB, M ∈ RBC , N ∈ RCA, tales que AM • BC = 0,

BN •CA = 0, CL •AB = 0.

Sea Q el punto en el cual se intersecan AM y BN : AQ = αAM , BQ = βBN .

Pregunta: ¿Pasa por Q la altura CL? ó ¿Es CQ perpendicular a AB?

AM •BC = 0 , BN •CA = 0⇒ AQ •BC = 0 , BQ •CA = 0

⇒ (AC+CQ) •BC = 0 , (BC+CQ) •CA = 0

⇒ (sumando) CQ •BC+CQ •CA = 0⇒ CQ •BA = 0 ⁆

42) Verifique que las diagonales de un paralelogramo se intersecan en sus puntos me-

dios.

⁅Sea el paralelogramo ABCD. Sus diagonales AC y BD se intersecan en Q, enton-

ces AQ = αAC, BQ = βBD⇒ AQ = α(AB+BC) , BQ = β(BC−AB)

Page 112: Apuntes de Algebra Lineal

112 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

⇒ AB = α(AB+BC)− β(BC−AB)

⇒ (α + β − 1)AB+ (α− β)BC = 0 & AB, BC LI

⇒ α + β − 1 = 0 , α− β = 0⇒ α = β = 12⇒ se intersecan en el punto medio. ⁆

43)Verifique que, dados 3 puntos cualesquiera A, B, C, con B 6= C, el conjunto de

puntos P tal que AP = zBC, z real es una recta.

⁅Ver 39.1 ⁆

44) En caso de dos vectores de R3 el producto vectorial de dos vectores lo escribi-

remos p× q ≡W (p,q). Verifique que:−→AB y

−−→MN paralelos ⇔ AB×MN = 0

⁅−→AB y

−−→MN paralelos ⇒ AB, MN son LD ⁆

45) Sean los puntos Q, A, B, C tales que−→QA es perpendicular tanto a

−−→QB como

a−→QC , y está orientado según la regla del tirabuzón, de

−−→QB hacia

−→QC, cumpliéndose

|AQ| = 2 Área(QBC). Verifique que, en tal caso QA = QB×QC

QA = QB×QC

A

B

C

Q

|AQ|

θ

⁅i) Q, B y C determinan un plano. Sea P un punto (cualquiera) de dicho plano:

QP = αQB+ βQC⇒ QP •QA = QP • (αQB+ βQC)

⇒ QA es perpendicular a cualquier recta del plano, por otra parte,

QB×QC •QB = 0 , QB×QC •QC = 0⇒ QB×QC es perpendicular a toda recta

Page 113: Apuntes de Algebra Lineal

113

del plano ⇒ QB×QC = λQA

ii) En 36.1 se tiene que (p •q)2 + (p×q)2 = p2q2, donde p2 ≡ p •p = ||p||2, entonces

(QB •QC)2 + (QB×QC)2 = (QB)2(QC)2

⇒ |QB||QC|cos(θ)2 + λQA2 = |QB|2|QC|2 ⇒ λQA2 = |QB||QC|sen(θ)2

⇒ λ|QA| = ±|QB||QC|sen(θ) = ±Aparalelogramo QBC ⇒ λ = ±1, donde el signo positi-

vo queda determinado por la regla del tirabuzón. ⁆

46) Sea un tetraedro cuyos vértices son los puntos A, B, C, D, verifique que el volu-

men del tetraedro es igual al valor absoluto del número αAB×AC•AD ; determine α.

⁅V = (13)AbaseH , pero Abase = ||AB×AC||, H = Proyección de AD sobre AB×AC

(aquí se abusa del lenguaje) H = AD •[

AB×AC

||AB×AC||

]

47) Verifique que las 4 medianas de un tetraedro se intersecan en un punto (bari-

centro). ¿Se intersecan las alturas?

⁅Halle el punto de intersección de dos de las medianas ¿Existe tal punto de inter-

sección?; luego verifique que las otras dos medianas pasan por dicho punto. ⁆

48) Verifique que en el ‘producto mixto’ p × q • r se pueden intercambiar el punto

con el aspa.

49) Verifique que p× q • r = D(p,q, r)

50) Verifique que:

i) p× (q× r) = (p • r)q− (p • q)r

ii) (p× q)× r = (p • r)q− (q • r)p

Page 114: Apuntes de Algebra Lineal

114 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

.

51) Desarrollando el producto (p × q) × (u × v), exprese uno de ellos como com-

binación lineal de los otros tres.

⁅Por 50, (p×q)×(u×v) = ((p×q)•v)u−((p×q)•u)v = (p•(u×v))q−(q•(u×v))p⁆

51.1) Verifique que, dados los vectores p, q, se cumple (p× q)2 + (p • q)2 = p2q2

⁅(p× q)2 = (p× q) • (p× q) = p • [q× (p× q)], etc ⁆

52) Verifique que p× q = (p2q3 − p3q2 , p3q1 − p1q3 , p1q2 − p2q1) donde debe notarse

el orden cíclico 123, 231, 312 para los primeros sumandos de cada componente.

52.1) Dados los 3 puntos no colineales A, B, C, verifique que el conjunto

C (ABC) = P tal que AP = αAB+ βAC, con α, β reales

define un plano.

⁅Ver 39.1 ⁆

52.2) Verifique que para el plano anterior se cumple AP • AB × AC = d, donde

d es un número bien determinado, ¿d?

⁅Considere el tetraedro ABCP , y su volumen. ⁆

52.3) Sean dados un punto del espacio, A, un vector unitario, n, y un número real d.

Verifique que los puntos P , tales que AP • n = d , se encuentran sobre un plano que

Page 115: Apuntes de Algebra Lineal

115

dista d unidades del punto A.

⁅Sean P1, P2 y P3 puntos del conjunto así definido, es decir, AP1 • n = d ,

AP2 •n = d , AP3 •n = d⇒ P1P2 •n = 0 , P1P3 •n = 0 . Para ver lo de la distancia,

dibuje el plano. ⁆

53) Sean f , g funciones ordinarias. Verifique que, siendo A, B, C no colineales, entonces

el conjunto

P tal que AP = f(t)AB+ g(t)AC , t real

define a una curva plana.

⁅AP • n = 0, con n = AB×AC ⁆

54) Sean dados un punto A y un vector (unitario) u. Verifique que los puntos P

tales que AP = γu, donde γ es un número real, se encuentran sobre una recta.

⁅Ver 39.1 ⁆

54.1) Sea una recta AP = γu , u unitario y Q un punto del espacio, M es un punto

de la recta tal que−−→QM es perpendicular a la recta, verifique que:

i) AM = (AQ • u)u , QM = u× (QA× u)

ii) La distancia del punto Q a la recta es igual a ||QA× u||

.

⁅u×(QA×u) = QA−(QA•u)u⇒ QA = (QA•u)u+u×(QA×u) ; dichos sumandos

son paralelo y perpendicular a u, respectivamente; además son perpendiculares entre

sí. ⁆

Page 116: Apuntes de Algebra Lineal

116 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

54.2) Sea Au la proyección de A sobre u ; y sean u, v, w = u × v tres vectores

unitarios ortogonales entre sí; entonces(Av)

2 = ((v •A)u)2 = ((v •A)u− (v • u)A)2

= (v × (u×A))2 = (v × (u×A)) • (v × (u×A))

= v • [(u×A)× (v× (u×A)]

= (u×A)2 − (v • (u×A))2

= [A2 − (u •A)2]− (v× u •A)2

⇒ (Au)2 + (Av)

2 + (Aw)2 = A2

⁅Tenga presente que (pu)2 = p2 , v • u = 0 , p • (q× r) = (p× q) • r ,

p× (q× r) = (p • r)q− (p • q)r⁆

54.3) Para los u, v, w, anteriores,

vjvk = (vju) • (vku) = v × (u× ej) • v × (u× ek) = v • [(u× ej)× (v× (u× ek))]

. = v • [(u× ej) • (u× ek)v − (u× ej • v)u× ek]

. = (u× ej) • (u× ek)− (u× ej • v)(v • u× ek)

⇒ vjvk = (u× ej) • (u× ek)− (w • ej)(w • ek)⇒ ujuk + vjvk + wjwk = δjk

⁅Note que vju = (ej • v)u = (ej • v) • u− (u • v)ej ,

(u× ej) • (u× ek) = u • [ej × (u× ek)] = δjk − ujuk ⁆

55) Cómo resolver una ecuación diferencial de 2° orden, homogénea, con coeficientes

constantes:

Af ′′ +Bf ′ + Cf = 0

i) Sea E un cierto número, por ahora indeterminado; verifique que la ecuación dada

se puede escribir como [Af ′ + (B − E)f ]′ + [Ef ′ + Cf ] = 0

ii) Con K ≡ B−EA

, verifique que A[f ′ +Kf ]′ + E[f ′ + (CE)f ] = 0

iii) Como E “está en el aire”, exija que E satisfaga E = CK

, y deduzca que la solución

de la ecuación A[f ′ +Kf ]′ +E[f ′ +Kf ] = 0 es f ′ +Kf = M1e−(E

A)t donde M1 es

Page 117: Apuntes de Algebra Lineal

117

una constante de integración.

iv) Para f ensaye una solución del tipo f(t) = M(t)e−Kt (en el caso homogéneo M1

sería constante), de donde f ′ = M ′e−Kt −Kf ⇒ f ′ +Kf = M ′(t)e−(EA)t)

v) Entonces M(t) debe satisfacer la ecuación diferencial M ′(t)e−Kt = M1e−(E

A)t, es

decir, M ′(t) = M1e(K−E

A)t ⇒M(t) = M2+[ AM1

AK−E]e(K−E

A)t, siendo M2 una segunda

constante de integración.

vi) Verifique que f(t) = M2e−Kt + [ AM1

AK−E]e−(E

A)t es solución de la ecuación dada

[obtenga f ′, f ′′ y verifique que Af ′′ +Bf ′ + Cf es efectivamente igual a cero]

vii) De la exigencia dada en (iii), verifique que E = B2+ ( ǫ

2)(B2 − 4AC)

12 , donde

ǫ ≡ ±1.

viii) Verifique K = 12A[B − ǫ(B2 − 4AC)

12 ], E

A= 1

2A[B + ǫ(B2 − 4AC)

12 ] es decir:

a) K = 12A[B − (B2 − 4AC)

12 ], E

A= 1

2A[B + (B2 − 4AC)

12 ] ó

b) K = 12A[B + (B2 − 4AC)

12 ], E

A= 1

2A[B − (B2 − 4AC)

12 ]

ix) Verifique que la solución general de la ecuación dada puede escribirse como

f(t) = e(−B2A

)t[N1eqt +N2e

−qt] con q ≡ 12A(B2 − 4AC)

12 , siendo N1, N2, dos cons-

tantes arbitrarias.

.

⁅Para la solución de la ecuación diferencial también puede recurrirse al ensayo f(t) = eλt

y determinar los posibles valores de la constante λ ⁆

ALGUNAS CONSIDERACIONES FÍSICAS:

56) [Adaptado de Apuntes de Electromagnetismo, hgv, 1999]

εo

L

R

CConsidere el circuito de la izquierda, donde

el condensador está descargado. Verifique

que después de cerrar el circuito, se cumple

que:

εo =qC+ iR + Ldi

dt[01]

Page 118: Apuntes de Algebra Lineal

118 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

De manera que para la carga del condensador se tendrá εo =qC+Rq′ +Lq′′ o también

(q−Cεo)′′LC+(q−Cεo)

′RC+(q−Cεo) = 0⇒ q(t) = Cεo+e−αt(Meβt+Ne−βt) donde

α = R2L

, β = 12L(R2 − 4L

C)12 , siendo M , N constantes que dependen de las condiciones

iniciales (carga y corriente iniciales). En el circuito descrito todas las magnitudes que

intervienen están representadas por números reales, lo cual corresponde a los datos

reales que se obtienen con los aparatos de medición.

⁅Para f(t) ≡ q − Cεo se tiene el caso descrito en 55 ⁆

56.1) Analice lo que sucede en el caso anterior:

i) Si tanto la carga inicial del condensador como la corriente inicial del circuito son

nulas.

ii) Si existe una carga inicial no nula, pero la corriente inicial es nula.

iii) Para t muy grande si R2C > 4L

iv) En el caso R2C < 4L

v) Verifique que si R = 0, en el caso anterior se obtiene una corriente senoidal, y un

proceso senoidal de carga y descarga del condensador.

.

⁅i) q(0) = Cεo + (M +N) = 0 , q′(0) = −α(M +N) + β(M −N) = 0.

ii) q(0) = Cεo + (M +N) = qo , q′(0) = −α(M +N) + β(M −N) = 0

iii) R2C > 4L ⇒ α real, β < α ⇒ e−αt+βt tiende a cero cuando t → ∞. Puesto que

β > 0, sucede lo mismo con e−αt−βt. Es decir, para t → ∞ tanto la carga como la

corriente tienden a anularse (R consume la energía)

iv) En este caso β es imaginario, y podemos escribir β = iν, con ν real. Entonces,

q(t) = Cεo + e−αt[M(cos(νt) + isen(νt)) + N(cos(νt) − isen(νt))], que corresponde a

una función armónica amortiguada.

v) R = 0⇒ α = 0⇒ q(t) = Cεo + (M +N)cos(νt) + (M + iN)sen(νt) ⁆

Page 119: Apuntes de Algebra Lineal

119

ε = εocos(wt + α)

L

R

C

A continuación examinaremos también un

circuito ‘real’, pero posteriormente usare-

mos un truco matemático para conver-

tirlo en un circuito ‘complejo’(es decir, un

circuito donde algunas de las magnitudes

que intervienen serán representadas por nú-

meros y por funciones complejos)

56.2) Considere el circuito mostrado, donde la fem ya no es constante, sino que varía

según:

. ε(t) = εocos(wt+ α) [02]

Verifique que, en tal caso la ecuación del circuito es:qC+RI + LdI

dt= εocos(wt+ α) donde q(t) es la carga del condensador o también:

5 Lq′′ +Rq′ +q

C= εocos(wt+ α) [03]

⁅I(t) = q′(t) ,dI

dt= q′′(t) ⁆

56.3) Para resolver la ecuación anterior ensaye una solución de la forma:

. q(t) = A · cos(wt+ θ) [04]

donde A y θ son ciertas constantes a ser determinadas. Verifique que entonces la ecua-

ción diferencial se transforma en:

. ( 1C− w2L)A · cos(wt+ θ)− wRA · sen(wt+ θ) = εocos(wt+ θ) [05]

Esta ecuación es válida para todo valor de t, entonces:

. t = − θw⇒ ( 1

C− w2L)A = εocos(α− θ) [06]

. t = − (θ+π2)

w⇒ wRA = εocos(α− θ − π

2) = εosen(α− θ) [07]

de donde,

. A = εo[(1C− w2L)2 + w2R2]−

12 , tan(α− θ) =

wE1C− w2L

[08]

Nótese que, con respecto a los ángulos, sólo interesa la diferencia de ellos; por ejemplo,

Page 120: Apuntes de Algebra Lineal

120 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

podríamos reemplazar θ con θ +X y α con α +X, sin que el resultado cambie.

Con esto hemos obtenido la solución real de la carga q(t) = A · cos(wt + θ). De ella

obtenemos la corriente en el circuito I(t) = −wAsen(wt+ θ) = wAcos(wt+ θ + π2)

Grafique la fem y la corriente, y verifique que para R = 0 ,

i) wL > 1wC

la corriente I se “adelanta”a la fem en π2

ii) 1wC

> wL la corriente se “atrasa”en π2, con respecto a la fem.

.

⁅I(t) = −wAsen(wt + θ) = wAcos(wt+ θ + π2).

Ahora, R = 0⇒ sen(α−θ) = 0 & ( 1C−w2L)A = εocos(α−θ) = ±εo , con A, εo > 0⇒

i) 12C

> wL⇒ cos(α− θ) > 0⇒ α = θ⇒ I(t) = wAcos(wt+α+ π2), en el gráfico I(t)

está π2

hacia la izquierda de ε(t)

ii) 1wC

< wL⇒ cos(α− θ) < 0⇒ α = θ + π ⇒ I(t) = Acos(wt+ α− π + π2)

⇒ I(t) = Acos(wt+ α− π2), en el gráfico I(t) está π

2hacia la derecha de ε(t) ⁆

56.4) Como se ha dicho más arriba, la respuesta [08] no cambia si los ángulos fue-

sen cambiados por un mismo incremento, verifique que si reemplazamos α por α + π2,

y reemplazamos θ por θ+ π2, la ecuación diferencial [05] se transforma en una ecuación

equivalente;

. −( 1C− w2L)A · sen(wt+ θ)− wRA · cos(wt+ θ) = −εosen(wt+ α) [05*]

56.5) De [05] y [05*] podemos construir una tercera ecuación equivalente a la ecuación

real [05]. Para esto multipliquemos [05*] por la unidad imaginaria; restemos [05]−i[05*],

entonces obtenemos la ecuación:

. ( 1C− w2L)A · ei(wt+θ) + iwRA · ei(wt+θ) = εoe

i(wt+α)

es decir,

. [R + i(wL− 1wC

)]iwA · ei(wt+θ) = εoei(wt+α) [05**]

O también,

. [R + i(wL− 1wC

)]iwA = εoei(α−θ) [09]

donde, como era de esperarse la parte real da la respuesta [06], y la parte imaginaria

Page 121: Apuntes de Algebra Lineal

121

da la respuesta [07].

56.6) Del ensayo [04] obtenemos que la corriente del circuito es

I(t) = q′(t) = −wAsen(wt+θ). Cuando consideramos los ángulos incrementados en π2,

reemplazamos θ por θ+ π2, tendremos q(t) = A ·cos(wt+θ+ π

2) = −A ·sen(wt+θ), y la

corriente sería, I(t) = q′(t) = −wAcos(wt+ θ). Siguiendo el procedimiento menciona-

do para las ecuaciones, la “corriente compleja” la obtenemos de multiplicar la segunda

corriente por la unidad unitaria y restar de la primera corriente:

IC(t) = −wAsen(wt+ θ)− i[−wAcos(wt+ θ)] = i2wAsen(wt+ θ) + iwAcos(wt+ θ)]

⇒ IC(t) = iwAei(wt+θ) [10]

Reemplazando esta expresión en [09], obtenemos la “ley de Ohm compleja”

. RC × IC(t) = εC(t) [11]

donde,

RC ≡ R + i(wL− 1wC

) , εC(t) ≡ εoei(α−θ)

⁅El subíndice C en IC , RC , εC es para indicar el carácter “complejo”⁆

56.7) Hemos visto que

• Definiendo: El voltaje complejo E(t) ≡ εoei(wt+α)

• La carga compleja Q(t) ≡ Aei(wt+θ), de donde se obtiene la corriente compleja

I(t) ≡ iwAei(wt+θ) = wAei(wt+θ+π2) = wAei(wt+β), con β ≡ θ + π

2

• La impedancia (resistencia compleja) Z ≡ R + i(wL − 1wC

) la ecuación diferen-

cial [05] toma la forma

. Z · I(t) = E(t) [11*]

donde, teniendo presente que A , εo , w son reales, Z = [ εowA

]ei(α−β), la ecuación dife-

rencial real se convirtió primeramente en una ecuación para una función compleja, y

luego ella se convirtió en una ecuación algebraica [11*].

Page 122: Apuntes de Algebra Lineal

122 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

La ecuación [11*], como ya hemos mencionado, puede ser interpretada como la ley de

Ohm para circuitos complejos.

.[Los circuitos son, por supuesto, reales. Pero, el truco de la forma compleja permite

que la ecuación diferencial tome la apariencia de una ecuación algebraica sencilla y,

como veremos a continuación, se convierta en una ecuación algebraica bastante simple

· · · para quien sepa operar con números complejos]

56.8) Verifique que:

i) 1 + itan(φ) = eiφsec(φ)

ii) tan(φ+ π2) = −cot(φ)

.

⁅1 + itan(φ) = 1cos(φ)

(cos(φ) + isen(φ)) = eiφ

cos(φ)⁆

56.9) Verifique que Z ≡ R + i(wL− 1wC

)⇒ Z = |Z|ei(α−β)

⁅Todo número complejo z puede escribirse como z = |z|eiφ, donde |z| =√

z21 + z22 ,

tan(φ) = z2z1

56.10) Verifique que para el instante t = 0 se tiene:

IC(0) = iwAeiθ = wAeiβ εC(0) ≡ εoeiα

entonces también se cumple:

. Z · IC(0) = εC(0) [11°]

que es una ecuación algebraica sencilla, cuya solución, para E ≡ Eoeiwt, permite obte-

ner la corriente I ≡ Ioeiwt con

Z = [ εowA

]ei(α−β) tan(α− β) = 1R(wL− 1

wC)

donde α− β es la diferencia de fase entre el voltaje y la corriente.

Page 123: Apuntes de Algebra Lineal

123

56.11) Es claro que el ángulo α − β, que forma Z con el eje real es el mismo ángulo

que forman entre sí los números complejos I y E (que son las amplitudes complejas de

la corriente y de la fem, respectivamente), o los números complejos Io y Eo.

• Los datos (reales) del circuito son los números reales R, L, C y la función real

ε(t) = εocos(wt+α). Ellos nos permiten construir directamente los números complejos

Z ≡ R+ i(wL− 1wC

) y Eo ≡ εoeiα; y construir el número complejo Io ≡ wAeiβ; el que,

a su vez nos permite calcular la corriente compleja I ≡ Ioeiwt, cuya componente real

será la corriente medida en el laboratorio.

• A continuación presento unos dibujos que representan a la impedancia y la variación

temporal del voltaje y de la corriente:

i · wL

iwC

Z

R

α− β

α− β > 0 si w2 > LC

α− β = 0 si w2 = LC

α− β < 0 si w2 < LC

El triángulo rígido

formado por Ec é Ic

rota antihorariamente

con velocidad angular

w.

w

Ic

Ecα− β

recta real

• Debemos recordar que la fem es:

ε(t) = εocos(wt+ α) ≡ parte real de la fem compleja, Ec = εoei(wt+α)

la carga del condensador es:

q(t) = Acos(wt+ θ) ≡ parte real de la carga compleja, qc = Aei(wt+θ)

y la corriente que circula por el circuito es:

I(t) = −wAsen(wt+ θ) ≡ parte real de la corriente, Ic = wAei(wt+θ+π2)

Es decir, matemáticamente trabajamos con las magnitudes complejas de voltaje, carga

y corriente, cuyas componentes reales (o sus componentes imaginarias) son las corres-

pondientes magnitudes físicas.

Page 124: Apuntes de Algebra Lineal

124 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

De otro lado, no debemos olvidar que, por ejemplo, en Ec = εoei(wt+α) = (εoe

iα)eiwt el

factor eiwt se interpreta (en el plano complejo) como que la variable Ec se obtiene de

la rotación del número complejo εoeiα con velocidad angular w, en sentido antihorario.

56.12) Verifique las dos reglas para resolver circuitos reales:

i) La ley de Kirchhoff o de conservación de la carga eléctrica: Las suma de las

corrientes entrantes a un nudo debe ser igual a la suma de las corrientes salientes

del mismo nudo,∑

Ientrantes =∑

Isalientes

ii) Las diferencias de potencial entre dos puntos se suman seccionalmente, es decir,

por ejemplo, entre dos puntos A y F :

VAF = VAB + VBC + VCD + VDE + VEF

también son (matemáticamente) válidas para los circuitos complejos

(donde hay impedancias, corrientes y voltajes complejos)

.

⁅Este es un verdadero reto ⁆

57) FUERZAS. En la mayoría de los libros de texto, y en las clases, se afirma que

una fuerza es un vector, en el sentido de que una fuerza está bien representada por un

vector. Pero tal afirmación es incorrecta; pues si tal cosa fuese cierta, no existirían los

llamados pares de fuerzas, donde la suma de los vectores, que representan a las fuerzas,

es nula: Un vector no representa bien a una fuerza, pues ésta posee una Línea de

Acción (de la fuerza). Para verificar tal cosa, se presentan 3 situaciones de un bloque

reposando sobre una mesa, apoyada en Tierra. Dibuje los correspondientes Diagramas

de Cuerpo Libre. En los 3 casos los vectores de la fuerza horizontal son iguales:

Page 125: Apuntes de Algebra Lineal

125

⁅En el bloque apoyado sobre una mesa, la interacción entre la mesa y el bloque se reali-

za por contacto, y es representada por una fuerza distribuida sobre dicha superficie de

contacto; luego, la resultante de dicha fuerza distribuida también debe ser colocada en

dicha superficie de contacto. Ello trae como consecuencia que la componente normal

de la fuerza de rozamiento no puede pasar por el centro de masa del bloque. ⁆

58) Suponga que para describir el movimiento de los planetas se considera que una

Referencia Solar es una buena referencia inercial (lo cual es equivalente a considerar

la aproximación 1 + mM≈ 1) Verifique que, entonces con el Sol en el origen, se puede

escribir mOP•• = −GmM OP|OP |3 . De aquí, obtenga que el momento angular del planeta

con respecto al origen, Lo , es un vector constante, y que el movimiento del planeta se

realiza en un plano que pasa por el origen.

⁅Revise Física I ⁆

59) Sean Q y P los puntos extremos de un resorte ideal, de longitud normal λo ,

cuya constante elástica es k, estirado o contraído.Verifique que el vector de la fuerza

aplicada al resorte en su extremo P tiene la forma:

Q

PF

F = k(|QP | − λo)QP

|QP |donde λo es la longitud natural del resorte

Page 126: Apuntes de Algebra Lineal

126 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

⁅Tenga presente tres consideraciones:

i) La fuerza pasa por el punto P , con lo cual (al especificar el vector de la fuerza) queda

determinada la Línea de Acción.

ii) La magnitud de la fuerza es proporcional al estiramiento

F = k(|QP | − λo)

iii) La fuerza sigue la dirección del eje del resorte, entonces tiene la dirección y sentido

de QP si el resorte está estirado; y la dirección y sentido de PQ si el resorte está

contraído. ⁆

60) Sea una masa m fija al extremo P de un resorte, cuyo otro extremo Q está fijo a

Tierra. El resorte se mantiene vertical. Verifique que sobre la masa, de posición P (su

centro de masa), actúan las dos fuerzas verticales su peso W y F = −k(|QP |−λo)QP

|QP |Si consideramos una referencia fija a Tierra, cuyo tercer eje es vertical hacia abajo, y

designamos con x(t) la longitud del resorte en el instante t, entonces verifique que:

i) W = mge3

ii) QP = xe3

iii) F = −k(x− λo)e3

iv) La Segunda Ley de Newton da la ecuación del movimiento:

mx•• = mg − k(x− λo)

v) Definiendo la nueva variable z = x+ mgk− λo, la ecuación toma la forma:

z•• + w2z = 0, donde w =√

km

.

⁅Física I ⁆

60.1) Verifique que las soluciones del problema anterior son las funciones eiwt y e−iwt,

que son LI, y generan un espacio de soluciones de la forma z(t) = Aeiwt + Be−iwt,

donde A y B son números complejos arbitrarios. Pero la posición x(t) es real, es decir,

Page 127: Apuntes de Algebra Lineal

127

los números A y B deben ser elegidos de manera que

x(t) = Aeiwt +Be−iwt − mg

k+ λo

sea un número real. Nótese que, según las condiciones iniciales:

x(0) = A+B − mgk

+ λo v(0) = iw(A−B)

⁅Verifique, pues ⁆

61) De un punto Q pende un péndulo de masa m y longitud l. Verifique que:

i) El DCL mostrado es correcto.

ii) W = −mge3

iii) T = −Tn, donde n =QP

|QP | = sen(θ)e1 − cos(θ)e3

iv) QP = l n

v)dn

dt=

dt(cos(θ)e1 + sen(θ)e3)

d2n

dt2=

d2θ

dt2(cos(θ)e1 + sen(θ)e3) +

(

dt

)2

(−sen(θ)e1 + cos(θ)e3)

vi) Si el punto Q está fijo a Tierra se puede escribir W +T = md2OP

dt2ó

W +T = m l

d2n

dt2.

Q

P

θ

O1

3T

W

Page 128: Apuntes de Algebra Lineal

128 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

.

61.1) Verifique que las incógnitas θ, T deben satisfacer las ecuaciones diferenciales:

m l (θ••cos(θ)− θ• 2sen(θ)) = −Tsen(θ)

m l (θ••sen(θ) + θ• 2cos(θ)) = −mg + Tcos(θ)

de donde se obtiene θ•• +(g

l

)

sen(θ) = 0 , T = m l (θ• 2 +g

l

cos(θ)).

62) Verifique que:

i) La ecuación diferencial θ•• +(g

l

)

sen(θ) = 0 no es lineal.

ii) De ella se obtiene θ• 2 +(g

l

)

cos(θ) = C, que es una constante.

.

⁅Sean p•• +(g

l

)

sen(p) = 0 , q•• +(g

l

)

sen(q) = 0 , dos funciones que satisfacen la

ecuación diferencial (es decir, son soluciones de ella).

De allí obtenemos (Ap + Bq)•• +(g

l

)

(Asen(p) + Bsen(q)) = 0 . Si la ecuación fuese

lineal deberíamos obtener (por definición de linealidad) (Ap + Bq)•• +(g

l

)

sen(Ap +

Bq) = 0⁆

62.1) Verifique que cuando el ángulo θ

es suficientemente pequeño, el error que

se comete al reemplazar sen(θ) por θ

es bastante pequeño (del orden de θ3).

Verifique también que cuando de aplica

tal aproximación a la ecuación no lineal

θ••+(g

l

)

sen(θ) = 0 , ella se convierte

en una ecuación lineal.

π

2

π

2

1

⁅El desarrollo en serie sen(x) = x − x3

6+ x5

125· · · para x = 10° = π

18= 0,1745, da

sen(x) = 0,1745− 0,0009 + 0,0000013 ≈ x, hasta los milésimos. ⁆

Page 129: Apuntes de Algebra Lineal

129

63) Verifique que los 3 casos:

i) Una masa sujeta al extremo de un resorte, en movimiento unidimensional.

ii) Un circuito en el que se encuentran un condensador (inicialmente cargado) y una

inductancia en serie, con R = 0

iii) Un péndulo simple, en movimiento en un plano vertical, con amplitud angular no

muy grande (de manera que su ecuación sea lineal)

Se comportan matemáticamente de la misma manera; es decir, sus movi-

mientos están gobernados por una misma ecuación diferencial (posiblemente con

parámetros distintos) y, por lo tanto, tienen el mismo tipo de solución.

Q

m

C

L

Q

P

θ

En los tres casos el movimiento es descrito en un espacio vectorial bidimensional.

⁅En el circuito Lq•• + qC= 0⇒ q•• + ( 1

LC)q = 0 ⁆

64) Considere una bloque apoyado sobre

una mesa con la cual tiene los coeficientes

de fricción µo y µ (estático y cinético), está

fijo al extremo de un resorte de longitud

natural l y constante elástica k.Q

m

P2

3

Si Q y P son los extremos del resorte, verifique que sobre el bloque actúan las fuerzas

Page 130: Apuntes de Algebra Lineal

130 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

F = −k(|QP | − l )QP , W = −mge3 , N = Ne3 , f = −µoNF

Fsi el bloque está

detenido, ó f = −µN v

vsi el bloque está en movimiento, donde v ≡ dOP

dt(F y v son

los valores de las normas de F y v)

⁅F es la fuerza que ejerce el resorte sobre el bloque, W es la fuerza que ejerce la

Tierra sobre el bloque, N + f es la fuerza que ejerce la mesa sobre el bloque. Si el

bloque está detenido, tenderá a moverse según la fuerza que el resorte ejerce sobre él,

y la componente de fricción se opondrá, frustrando, a tal ‘intento’ de movimiento. Si el

bloque se está deslizando, la componente de fricción se opondrá a dicho deslizamiento⁆

64.1) Verifique que si se toma Q como origen, entonces QP = xe2 ,

F = −k(x − l )e2 , con f = ±µoNe3 , en el caso de reposo, donde el signo + corres-

ponde al caso x > l ó, en el caso de movimiento, f = −µN( x•

|x•|)e2 , x• ≡ dxdt

⁅Como puede apreciarse por el uso de µo el asunto se refiere al bloque detenido, y

el signo de F dependerá de la diferencia x− l . Además, x > 0 hacia la izquierda. ⁆

64.2) Verifique que la ecuación del movimiento es −k(x− l )− sµmg = mx••, donde

s = 1 si el movimiento es hacia la izquierda, s = −1 si es hacia la derecha. Por ello,

para cada desplazamiento (de izquierda a la derecha o de la derecha hacia la izquierda)

hay que considerar una ecuación del movimiento diferente (caracterizada por el signo

de s)

64.3) Verifique que la ecuación del movimiento se puede escribir

−k[x− l + sµmgk

] = mx•• , ó f ••+w2f = 0 , con f(t) = x(t)− l + sµgw2 donde puede

observarse que la fuerza de fricción no ha influido sobre la frecuencia del movimiento.

Entonces x(t) = l − sµgw2 +Aeiwt+Be−iwt, de donde v(t) = x•(t) = iw(Aeiwt−Be−iwt).

Aquí hay que poner mucho cuidado, pues en cada ‘viaje’ se trata de un problema dife-

rente, y el valor de las constantes cambiará.

Page 131: Apuntes de Algebra Lineal

131

⁅Supongamos que el bloque parte del reposo de xo , con vo = 0 . Aquí debe notar-

se que el estiramiento inicial xo− l debe ser suficiente para vencer la fricción estática;

es decir, k|xo − l | > µoN . Ahora, la energía inicial, dada por el estiramiento inicial

no se mantendrá, sino que existirán pérdidas por el trabajo realizado por la fuerza de

fricción, de manera que el bloque no llegará al punto simétrico de xo , sino al punto

x1 , donde se detendrá instantáneamente. A partir de x1 el proceso anterior se repite,

hasta que el bloque llega a un punto xn , donde la fuerza del estiramiento |xn− l | no

es suficiente para vencer la fricción estática, y el bloque quedará detenido. ⁆

65) CAMPOS DE FUERZA. Decimos que tenemos un campo de fuerzas cuan-

do a cada punto de cierta región del espacio físico (todo el espacio o parte de él) le

hacemos corresponder una fuerza. Por ejemplo, si en un punto Po del espacio hay una

carga eléctrica puntual de valor Q, entonces, de acuerdo con la Ley de Coulomb, en

cada punto P 6= Po del espacio queda definido un vector de campo eléctrico

E(P ) = KQPoP

|PoP |3, donde K es una cierta constante, y Q puede ser un número posi-

tivo o negativo.

Aplicando la citada Ley, podemos verificar que E(P ) es la fuerza que actuaría sobre

una carga de valor +1. Como podemos apreciar, a todo punto del espacio, exceptuando

al punto Po , le corresponde un vector de campo, cuya magnitud será mayor mientras

más cerca se encuentre P de Po .

⁅Note que en el caso de un bloque sobre una mesa, con la cual tiene fuerzas de fricción,

no existe un campo de fuerzas sobre la superficie de la mesa. A cada punto de la mesa

no le corresponde una fuerza bien determinada⁆

65.1) Sea un resorte cuyo extremo Q está fijo a un punto del espacio, y el otro ex-

tremo, P , va a quedar localizado en cualquier punto entre dos superficies esféricas de

radios R1 y R2 . El radio menor corresponde a la longitud mínima que puede adquirir

el resorte; el radio mayor corresponde a la longitud máxima para la cual el resorte

todavía se comporta elásticamente. Este es un ejemplo de un campo limitado por las

Page 132: Apuntes de Algebra Lineal

132 CAPÍTULO 5. ALGUNAS APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS

dos superficies mencionadas.

65.2) [Un desafío experimental] Sean 3 varillas rígidas, AA′, BB′ y CC ′, de longi-

tud L y masa m. Ahora:

i) Conectamos los extremos A, B y C por medio de cuerdas, formando un triángulo

equilátero de lado p. Análogamente conectamos los extremos A′, B′ y C ′, formando

también un triángulo equilátero de lado p.

ii) A continuación conectamos, por medio de cuerdas de igual longitud, los extremos

A con B′, B con C ′ y C con A′ (por ahora la mencionada longitud está indetermi-

nada). Si ahora, con las “varillas” verticales, dejamos la “figura geométrica” sobre

una mesa, se derrumbará.

iii) Para evitar que la figura se derrumbe, mantenemos fijo el triángulo inferior, y

rotamos el triángulo superior (manteniéndolo horizontal). Determine el ángulo de

rotación necesario para que la figura se mantenga sin derrumbarse.

iv) En lo anterior es más o menos fácil calcular ciertas condiciones para el ángulo de

estabilidad; calcular el mismo ángulo no es tan simple.

.

⁅El desafío ha sido presentado inicialmente como experimental; luego puede ser justifi-

cado teóricamente. ⁆

Page 133: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 6

Algunas ecuaciones diferenciales

• Ensayos de soluciones.

• La ecuación diferencial −ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ.

• Verificación de que la solución encontrada es correcta.

• Solución particular de una ecuación lineal no homogénea.

• Conversión de una ecuación para funciones reales en otra para funciones complejas.

• Similitud de la ecuación de un circuito y la ecuación del oscilador armónico.

• Operadores diferenciales.

• Ecuaciones diferenciales no lineales.

01) Verifique si la función f(t) = t2sen(t) + 1t

es solución de la ecuación diferen-

cial: xg′ − (2 + xcot(x))g = −( 3x+ cot(x))

⁅f ′(z) = 2zsen(z) + z2cos(z) − 1z2

, donde por supuesto, no interesa que letra t, x,

z, empleemos como variable, siempre que ello no cause confusión (por ejemplo, no de-

beríamos emplear la letra f , ni la letra g)

⇒ zf ′(z) = 2z2sen(z) + z3cos(z)− 1z

⇒ zf ′(z)− (2 + zcot(z))f(z) = 2z2sen(z) + z3cos(z)− 1

z− (2 + zcot(z))(z2sen(z) +

1

z)

⇒ zf ′(z)− (2 + zcot(z))f(z) = −3z− cot(z) ⁆

133

Page 134: Apuntes de Algebra Lineal

134 CAPÍTULO 6. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES

02) Verifique si la función f(t) = t2sen(t) + 1t

es solución de la ecuación diferen-

cial: x3g′′ − 4x2g′ + x(6 + x2)g = 4 + x2

⁅f ′(z) = 2zsen(z) + z2cos(z)− 1

z2⇒ f ′′(z) = 2sen(z) + 4zcos(z)− z2sen(z) +

2

z3abc

⇒ z3f ′′(z) = 2z3sen(z) + 4z4cos(z)− z5sen(z) + 2abc

⇒ z3f ′′(z)− 4z2f ′(z) = 2z3sen(z) + 4z4cos(z)− z5sen(z) + 2

= − 4z2[2zsen(z) + z2cos(z)− 1

z2]

⇒ z3f ′′(z)− 4z2f ′(z) = −6z3sen(z)− z5sen(z) + 6

⇒ z3f ′′(z)− 4z2f ′(z) + z(6 + z2)(z2sen(z) +1

z) =− 6z3sen(z)− z5sen(z) + 6

+ z(6 + z2)(z2sen(z) +1

z) = −2 + 6 +

z3

z

⇒ z3f ′′(z)− 4z2f ′(z) + z(6 + z2)(z2sen(z) +1

z) = 4 + z2 ⁆

03) Para encontrar la solución de una ecuación diferencial es necesario realizar al-

gunos ensayos de solución. Por ejemplo, sea dada la ecuación diferencial de segundo

orden −ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ , donde el parámetro E es arbitrario (es decir, para cada valor

de dicho parámetro E se encontrará una solución particular). Para resolver tal ecuación

nos sugieren realizar el ensayo f(x) = exp(bx2), para un cierto valor de b, que debería

ser elegido adecuadamente.

⁅f(x) = exp(bx2)⇒ f ′(x) = 2bx exp(bx2)⇒ f ′′(x) = 2b exp(bx2) + 4b2x2 exp(bx2)

⇒ −f ′′(x) + x2f(x) = −2b exp(bx2)− 4b2x2 exp(bx2) + x2 exp(bx2)

⇒ −f ′′(x) + x2f(x) = (1− 4b2)x2 exp(bx2)− 2b exp(bx2) = (1− 4b2)x2f(x)− 2bf(x).

Entonces, la función ensayada será solución si elegimos b2 = 14

y E = −2b , con lo cual

obtenemos dos soluciones LI.⁆

03.1) Verifique que, para la función f(x) = exp(bx2) sea un ensayo exitoso de la

ecuación diferencial anterior, deberá exigirse que:

i) b = 12

y E = −1 ó ii) b = −12

y E = 1

Page 135: Apuntes de Algebra Lineal

135

04) Verifique que dos soluciones de la ecuación −ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ tienen la forma

ϕ(x) = A exp(x2

2), para E = −1 y ϕ(x) = B exp(−x2

2), para E = 1, donde A y B

son constantes arbitrarias.

05) Verifique que si ϕ es solución de la ecuación −ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ , entonces la

función p = ϕ′ satisface la ecuación −p′′ + x2p = Ep− 2xϕ

⁅−p′′ + x2p = −(ϕ′′)′ + x2ϕ′ = (Eϕ− x2ϕ)′ + x2ϕ′ = Eϕ′ − 2xϕ = Ep− 2xϕ⁆

05.1) Verifique que si ϕ es solución de la ecuación −ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ , entonces la

función q(x) = xϕ(x) satisface la ecuación −q′′ + x2q = Eq − 2ϕ′

⁅q′′ = (ϕ+ xϕ′)′ = 2ϕ′ + xϕ′′ = 2ϕ′ + x(x2ϕ− Eϕ) = 2ϕ′ + x2q −Eq⁆

06) Verifique que si ϕ es solución de la ecuación −ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ , entonces la

función g, tal que g(x) = ϕ′(x) + xϕ(x) satisface la ecuación −g′′ + x2g = (E − 2)g

⁅−(p+q)′′+x2(p+q) = −p′′+x2p−q′′+x2q = Ep−2xϕ+Eq−2ϕ′ = Ep−2q+Eq−2p =

(E − 2)(p+ q)⁆

06.1) Verifique que si ϕ es solución de la ecuación −ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ , entonces la

función g, tal que g(x) = ϕ′(x)− xϕ(x) satisface la ecuación −g′′ + x2g = (E + 2)g

⁅Similarmente al caso anterior⁆

Page 136: Apuntes de Algebra Lineal

136 CAPÍTULO 6. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES

07) Eligiendo (cada vez) el parámetro E determine 5 soluciones de la ecuación dife-

rencial −ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ. Las soluciones encontradas deben ser muy pequeñas cuando

la variable x sea muy grande; es decir, ϕ(x) −→ 0 para x −→∞.[Tener presente 03.1]

⁅Según 3.1, f(x) = exp(x2

2) es una solución para la cual E = −1 ; g(x) = exp(−x2

2)

también es solución para la cual E = 1. Pero la primera solución es no acotada; enton-

ces sólo podemos considerar la segunda solución ϕo(x) = exp(−x2

2) que se mantiene

acotada para todo valor de x (además existe la integral, sobre toda la recta, del cua-

drado de dicha función).

Ahora tenemos: −ϕ′′o +x2ϕo = ϕo. Entonces, con p(x) ≡ ϕ′

o(x) , q(x) ≡ xϕo(x) obtene-

mos −p′′+x2p = p−2q y −q′′+x2q = q−2p. Multiplicando la primera ecuación por el

número A y la segunda por el número B , y sumando miembro a miembro, obtenemos

−(Ap +Bq)′′ + x2(Ap+Bq) = (Ap+Bq)− 2(Aq +Bp) = (A− 2B)p+ (B − 2A)q.

Allí vemos que la función Ap+Bq será solución de la ecuación−ϕ′′+x2ϕ = Eϕ , si logra-

mos expresar el segundo miembro (A−2B)p+(B−2A)q como un múltiplo de la función

Ap+Bq. Notemos que A y B son dos números todavía indeterminados. Ahora exigire-

mos que dichos números cumplan las condiciones A−2B = λA , B−2A = λB, en cuyo

caso, la ecuación diferencial toma la forma −(Ap+Bq)′′ +x2(Ap+Bq) = λ(Ap+Bq),

es decir, Ap + Bq es una solución de la ecuación diferencial inicial. Por otra parte

de las ecuaciones para A y B obtenemos que B = [1−λ2]A , λ = 1 ± 2, con A arbi-

trario. Con λ = 1, tenemos las dos soluciones ϕ′o(x) + xϕo(x) = 0, que no interesa, y

ϕ1(x) = ϕ′o(x)−xϕo(x) = −2xϕo, con λ = 3. Es decir, −ϕ′′

1+x2ϕ1 = 3ϕ1, lo cual puede

verificarse directamente. Ahora, a partir de la ecuación −ϕ′′1 + x2ϕ1 = 3ϕ1 repetimos

el procedimiento anterior, p(x) ≡ ϕ′1(x) , q(x) ≡ ϕ1(x), con lo cual Ap + Bq será una

solución, −(Ap + Bq)′′ + x2(Ap + Bq) = (3A − 2B)p + (3B − 2A)q, si exigimos que

3A−2B = λA , 3B−2A = λB ⇒ i)λ = 1, con B = A, lo que da Ap+Bq = −2ϕo que

es la solución inicial (multiplicada por -2), ii) λ = 5, con B = −A, lo que da la nueva

solución ϕ2(x) = ϕ′1(x)− xϕ1(x) = (4x2 − 2)ϕo(x). En forma similar podemos obtener

las nuevas soluciones ϕ3(x) = ϕ′2(x)− xϕ2(x) con λ = 7 , ϕ4(x) = ϕ′

3(x)− xϕ3(x), con

λ = 9, etc.

−ϕ′′ + x2ϕ = Eϕ , p ≡ ϕ′ , q ≡ xϕ⇒ −p′′ + x2p = Ep− 2q , −q′′ + x2q = Eq − 2p ⁆

Page 137: Apuntes de Algebra Lineal

137

08) Consideremos la ecuación diferencial (1− x2)φ′′(x)− 2xφ′(x) + λφ(x) = 0 , (ecua-

ción de Legendre) donde λ es un parámetro indeterminado. Determine el valor de λ

para que:

i) La función identidad sea solución de la ecuación diferencial.

ii) La función p = 3I2 − 1 sea solución de la ecuación diferencial.

iii) La función q = 5I3 − 3I sea solución de la ecuación diferencial.

⁅i) φ(x) = x⇒ φ′(x) = 1 , φ′′(x) = 0⇒ (1− x2)0− 2x+ λx = 0⇒ λ = 2

ii) φ(x) = 3x2 − 1⇒ φ′(x) = 6x , φ′′(x) = 6⇒ (1− x2)6− 2x(6x) + λ(3x2 − 1) = 0

⇒ λ = 6

iii) φ(x) = 5x3 − 3x⇒ λ = 12⁆

08.1) Verifique que los polinomios Po(x) = 1 , P1(x) = x , P2(x) = 12(3x2 − 1) ,

P3(x) = 12(5x3 − 3x) , P4(x) = 1

8(35x4 − 30x2 + 3) , P5(x) = 1

8(63x5 − 70x3 + 15x)

satisfacen la ecuación de Legendre para λ = 0, 2, 6, 12, 20, 30; respectivamente.

⁅Verifique, pues⁆

08.2) Verifique que para las 6 funciones de Legendre dadas arriba se cumple la re-

lación (n+ 1)Pn+1(x) = (2n+ 1)xPn(x)− nPn−1(x). Esta fórmula permite calcular los

valores de los polinomios Pn recursivamente.

⁅Note que se trata de una relación entre 3 polinomios consecutivos: Po , P1 y P2

ó P1 , P2 y P3 ó P2 , P3 y P4 ó P3 , P4 y P5⁆

09) Sean φ1 ≡ Dφ , φ2 ≡ D2φ , φn ≡ Dnφ. Verifique que si φ satisface la ecuación

diferencial (1− x2)φ′′(x)− 2xφ′(x) + λφ(x) = 0 entonces:

i) φ1 cumplirá con la ecuación diferencial (1− x2)φ′′1 − 4xφ′

1 + [λ− 2]φ1 = 0

Page 138: Apuntes de Algebra Lineal

138 CAPÍTULO 6. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES

ii) φ2 cumplirá con la ecuación diferencial (1− x2)φ′′2 − 6xφ′

2 + [λ− 6]φ2 = 0

iii) φm será solución de la ecuación diferencial:

(1− x2)φ′′m(x)− 2(m+ 1)xφ′

m(x) + [λ−m(m+ 1)]φm(x) = 0

⁅La ecuación (1− x2)φ′′(x)− 2xφ′(x) + λφ(x) = 0 se puede escribir,

(1− x2)φ′1(x)− 2xφ1(x) + λφ(x) = 0

⇒ (derivando) [(1− x2)φ′′1(x)− 2xφ′

1(x)]− 2[φ1(x) + xφ′1] + λφ1(x) = 0

⇒ (1− x2)φ′′1(x)− 4xφ′

1(x) + (λ− 2)φ1(x) = 0.

Esta última ecuación diferencial se puede escribir como:

(1 − x2)φ′2(x) − 4xφ2(x) + (λ − 2)φ1(x) = 0, luego en forma similar al caso anterior,

derivamos esta ecuación, etc.⁆

10) Sea la ecuación diferencial Af ′′ + Bf ′ + Cf = 0, donde A, B, C son números

dados. Ensaye una solución de la forma f(x) = exp(rx), y verifique que la constante

r debe satisfacer la ecuación algebraica: Ar2 +Br + C = 0.

11) Determine la forma general de las soluciones de la ecuación diferencial:

. Af ′′+Bf ′+Cf = 0 (A, B, C son parámetros dados) (*)

⁅f(x) = exp(rx)⇒ f ′(x) = r exp(rx), f ′′(x) = r2 exp(rx), etc⁆

12) Suponga que conoce una solución particular, fp, de la ecuación diferencial:

. Af ′′+Bf ′+Cf = g (**)

Verifique que la solución general de la ecuación (**) es igual a la suma de fp+fo, donde

fo es la solución general de la ecuación homogénea (*)

⁅Af ′′+Bf ′+Cf = g & Af ′′p +Bf ′

p+Cfp = g ⇒ A(f−fp)′′+B(f−fp)′+C(f−fp) = 0,

que es una ecuación diferencial homogénea, cuyas dos soluciones LI son las funciones

er1x y er2x, donde r1 y r2 son las raíces de la ecuación Ar2 + Br + C = 0. Entonces

la solución general será f(x) = fp(x) + Mer1x + Ner2x, donde M , N son constantes

Page 139: Apuntes de Algebra Lineal

139

arbitrarias⁆

12.1) Teniendo presente que (Isenw)′′ = 2wcosw − w2Isenw, halle la solución general

de la ecuación diferencial g′′ + w2g = 2wcosw

⁅(Isenw)′′ + w2(Isenw) = 2wcosw , g′′ + w2g = 2wcosw

⇒ (g − Isenw)′′ + w2(g − Isenw) = 0⇒ g − Isenw = Asenw +Bcosw⁆

13) Considere un circuito con estos 4 elementos en serie: un condensador de capa-

citancia C, una resistencia R, una inductancia L, y una fuente de voltaje (o fem)

ε(t) = εocos(wt+ α). Verifique que:

i) Si Q(t) es la carga en el condensador, entonces la ecuación diferencial para el

circuito toma la forma: LQ′′ +RQ′ + QC= ε

ii) Si se ensaya una solución de la forma Q(t) = Qocos(wt+ θ), donde Qo, θ son las

incógnitas, entonces la ecuación diferencial toma la forma:

( 1C− w2L)cos(wt+ θ)− wRsen(wt+ θ) = ε(t) = ( εo

Qo)cos(wt+ α)

iii) Derivando, con respecto al tiempo esta última ecuación, se obtiene:

( 1C− w2L)sen(wt + θ) + wRcos(wt + θ) = ε(t) = ( εo

Qo)sen(wt + α), que equivale

a que la fem sea de la forma ε(t) = sen(wt + α) y el ensayo realizado haya sido

Q(t) = Qosen(wt+ θ).

iv) Las dos ecuaciones son válidas para cualquier valor de la variable t.

Eligiendo t = − θw

y t = − (θ+π2)

wobtenemos, de la primera ecuación, por una

parte 1Cw2L = ( εo

Qo)cos(α− θ), y por otra wR = sen(α− θ).

v) Eligiendo ahora, t = − (θ+π2)

wy t = − θ

w, para la segunda ecuación, obtenemos

1C− w2L = ( εo

Qo)cos(α − θ) y wR = sen(α − θ), que es el mismo resultado

anterior.

vi) Lo que hemos hecho en la segunda ecuación es reemplazar α y θ por α + π2

y

θ+ π2, respectivamente. Pero en las ecuaciones para determinar θ y Qo no aparece

Page 140: Apuntes de Algebra Lineal

140 CAPÍTULO 6. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES

el valor de θ aisladamente, sino aparece la diferencia α − θ ; en el segundo caso

aparecerá la diferencia (α + π2) − (θ + π

2) = α − θ. Es decir, en la solución de la

ecuación diferencial no interesan las fases α y θ, sino la diferencia α− θ.

14) Para la ecuación LQ′′ +RQ′ + QC= εocos(wt+ α) se ensayó la solución

Q(t) = Qocos(wt+ θ). Verifique que tal cosa equivale a ensayar la solución

Q(t) = Qoewt+θ para la ecuación LQ′′ +RQ′ + Q

C= εoe

wt+α

15) Verifique que si para la ecuación diferencial LQ′′ +RQ′ + QC= εoe

i(wt+α) se ensaya

la solución Q(t) = Qoei(wt+θ) entonces la ecuación diferencial se reduce a la ecuación

algebraica: −w2L + iwR + 1C

= ( εoQo

)ei(α−θ), de donde se pueden obtener los mismos

valores para los parámetros buscados, Qo y θ, como se obtuvieron en 13iii y 13iv.

⁅Q(t) = Qoei(wt+θ) ⇒ I(t) = iwQoe

i(wt+θ), dIdt

= −w2Qoei(wt+θ)⁆

16) Una masa ‘puntual’ m apoyada en una mesa lisa, está conectada a un resorte

de longitud λ y constante elástica k. El movimiento (horizontal) de la masa está amor-

tiguado por ‘amortiguador’ de constante γ > 0, y forzado por una fuerza de la forma

F (t) = Acos(wt+ α).

Verifique que si se toma el origen de coordenadas en el extremo fijo del resorte, en-

tonces la ecuación del movimiento tiene la forma x′′ + bx′ + w2o(x − λ) = F (t) con

b ≡ γm

wo ≡√

km

⁅Si u es el vector unitario de la recta del movimiento, entonces para la posición

x = xu (x > 0), la fuerza que actúa sobre el resorte (anclado en el origen) será

FR = k(x−λ)u, la fuerza del amortiguamiento (que se opone a la velocidad) se escribe

Famort = −γ(xu), la fuerza externa F (t) = Acos(wt+ α)u⁆

16.1) Verifique: Con p = x− λ la ecuación toma la forma p′′ + bp′ + w2op = F (t)

Page 141: Apuntes de Algebra Lineal

141

17) Verifique que la ecuación p′′ + bp′ + w2op = Acos(wt + α) puede ser considera-

da como la parte real de la ecuación P ′′ + bP ′ + w2oP = Aei(wt+α), para cuya solución

podemos ensayar la función P (t) = Poei(wt+θ), con lo cual la ecuación diferencial se

reduce a una ecuación algebraica: (−w2 + iwb+ w2o)Po = Aei(α−θ)

⁅P (t) = Poei(wt+θ) ⇒ P ′(t) = iwPoe

i(wt+θ) , P ′′(t) = −w2Poei(wt+θ)⁆

17.1) Verifique que: (w2o − w2)Po = Acos(α− θ) , wbPo = Asen(α − θ)

⁅(−w2 + iwb+ w2o)Po = Aei(α−θ) = Acos(α− θ) + iAsen(α − θ)⁆

18) Verifique que el movimiento del resorte amortiguado forzado, descrito por la

ecuación diferencial p′′ + bp′ + w2op = Acos(wt + α) tiene una solución de la forma

p(t) =√

(w2o − w2)2 + w2b2 Acos(wt + θ), con tan(α − θ) = wb

w2o−w2 donde debemos

tener presente que se trata de la diferencia de fase entre el voltaje y la carga.

19) OPERADORES diferenciales

Las ecuaciones diferenciales:

i) xg′(x)− (2 + xcot(x))g(x) = −( 3x+ cot(x))

ii) x3g′′(x)− 4x2g′(x)− x(6 + x2)g(x) = x2 + 12

iii) −ϕ′′(x) + x2ϕ(x) = Eϕ(x)

iv) −g′′ + x2g = (E + 2)g

v) (1− x2)φ′′(x)− 2xφ′(x) + λφ(x) = 0

vi) (1− x2)φ′′n(x)− 2(n+ 1)xφ′

n(x) + [λ− n(n+ 1)]φn(x) = 0

vii) Af ′′ +Bf ′ + Cf = 0

viii) pf ′′ + qf ′ + rf = g

Page 142: Apuntes de Algebra Lineal

142 CAPÍTULO 6. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES

ix) g′′ + w2g = 2wcosw

x) LQ′′ +RQ′ + QC= ε

xi) p′′ + bp′ + w2op = F (t)

Pueden ser escritas en forma simplificada si recurrimos a los operadores diferenciales

(que son combinaciones de los operadores D, D2, D3 etc).

Verifique que las ecuaciones diferenciales anteriores pueden ser escritos como:

i) Dg − (2 + Icot)g = −(3I+ cot)

ii) I3D2g − 4I2Dg − I(6 + I2)g = I2 + 12

iii) −D2ϕ+ I2ϕ = Eϕ

iv) −D2g + I2g = (E + 2)g

v) (1− I2)D2φ− 2IDφ+ λφ = 0

vi) (1− I2)D2φn − 2(n+ 1)IDφn + [λ− n(n + 1)]φn = 0

vii) AD2f +BDf + Cf = 0

viii) pD2f + qDf + rf = g

ix) D2g + w2g = 2wcosw

x) LD2Q +RDQ+ QC= ε

xi) D2p+ bDp+ w2op = F

⁅Recuerde: I(x) = 1 , I(x) = x , In(x) = xn ; (fg)(x) = f(x)g(x) , Dg = g′ ,

ep(x) = epx⁆

20) Sea la ecuación diferencial g′′(x)+w2g(x) = epx ó g′′+w2g = ep ó D2g+w2g = ep.

Definamos el operador Ω ≡ D2 +w2Y , donde Y es el operador identidad, Y g = g. Ve-

rifique que:

i) La ecuación diferencial es de la forma Ωg = ep , es decir, el operador Ω transforma

la función g en la función ep

Page 143: Apuntes de Algebra Lineal

143

ii) El operador Ω es lineal, es decir, Ω(αf + βg) = αΩf + βΩg, para números arbi-

trarios α , β.

⁅Ω(αf + βg) = α(Ωf) + β(Ωg) = αΩ(f) + βΩ(g) ≡ αΩf + βΩg⁆

21) Verifique que los operadores del lado izquierdo de las 11 ecuaciones diferencia-

les anteriores son, respectivamente:

i) ID − (2 + Icot)Y

ii) I3D2 − 4I2D − I(6 + I2)Y

iii) −D2 + I2Y

iv) (1− I2)D2 − 2ID + λY

v) (1− I2)D2 − 2(n+ 1)ID + [λ− n(n + 1)]Y

vi) AD2 +BD + C

vii) pD2 + qD + r

viii) D2 + w2

ix) LD2 +RD + ( 1C)Y

x) D2 + bD + w2oY

⁅Note que si A, B son operadores, g una función, entonces: (AB)f = A(Bf) ,

(gA)f = g(Af).

Así [(2 + Icot)Y ]f = (2 + Icot)f = 2f + I(cot)f ⇒ 2f(x) + (xcot(x))f(x)QC= ( 1

C)Q = ( 1

C)Y Q ó (Y

C)Q⁆

21.1) Verifique que todos los operadores anteriores son lineales.

Page 144: Apuntes de Algebra Lineal

144 CAPÍTULO 6. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES

⁅Por ejemplo:

.[(1− I2)D2 − 2ID + λY ](αf + βg) = (1− I2)D2(αf + βg)− 2ID(αf + βg)

+ (1− I2)D2(αf + βg) + Y (αf + βg)

= (1− I2)(αf + βg)′′ − 2I(αf + βg)′ + λ(αf + βg)

= (1− I2)(αf ′′ + βg′′ − 2I(αf ′ + βg′ + λαf + λβg

= α(1− I2)f ′′ + β(1− I2)g′′ − 2αIf ′ + 2βIg′ + λαf + λβg

= α[(1− I2)f ′′ − 2If ′ + λf ] + β[(1− I2)g′′ − 2Ig′ + λg]

= α[(1− I2)D2f − 2IDf + λY f ] + β[(1− I2)D2g − 2IDg + λY g]

= α[(1− I2)D2 − 2ID + λY ]f + β[(1− I2)D2 − 2ID + λY ]g.

Es decir, Ω(αf + βg) = αΩf + βΩg⁆

22) Sean las ecuaciones diferenciales g′′ + 4g′ + g2 = 0 , If ′′ + ff ′ + I8f = senw,

y sean los operadores Qg = gg′ , Rg = g2. Entonces, verifique que:

i) Las ecuaciones anteriores pueden ser escritas como:

(D2 + 4D +R)g = 0 , (ID2 +Q+ I8Y )f = senw

ii) Ninguno de los dos operadores (entre paréntesis) es lineal.

⁅Q(αf +βg) = (αf +βg)(αf +βg)′ = (αf +βg)(αf ′+βg′) = α2ff ′+αβ(fg′+ f ′g)+

β2gg′ 6= αff ′ + βgg′⁆

23) Determine alguna solución de la ecuación diferencial no lineal

(g′)2 + w2g2 = A2, donde w,A son números conocidos

Verifique que esta ecuación no es lineal, y que g′′ + w2g = 0

⁅D(g′)2 = 2g′Dg′ = 2g′g′′ , D(g2) = 2gDg = 2gg′ , DA2 = 0. Así tenemos que,

multiplicando la ecuación g′′ + w2g = 0 por g′, obtenemos D(g′)2 + w2D(g2) = 0

⇒ D[(g′)2 + w2(g2)] = 0 ⇒ (g′)2 + w2(g2) = constante, donde dicha constante debe

ser no negativa; es decir, g′′ + w2g = 0⇒ (g′)2 + w2g2 = A2.

Page 145: Apuntes de Algebra Lineal

145

Recíprocamente (g′)2 +w2g2 = A2 (con g 6= ô ⇒ g′′ +w2g = A, es decir, las soluciones

de una de las ecuaciones son también soluciones de la otra ecuación; y de una de las

ecuaciones ya conocemos sus soluciones⁆

ESPACIO

VECTORIAL

DE

FUNCIONES

ESPACIO

VECTORIAL

DE

FUNCIONES

OPERADOR

Page 146: Apuntes de Algebra Lineal

146 CAPÍTULO 6. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Page 147: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 7

Transformaciones Lineales

• Operadores como funciones.

• Operadores lineales.

• El operador de rotación.

• Inversa de un operador.

• Núcleo de un operador.

• El caso de las ecuaciones diferenciales homogéneas.

• Postulado sobre el espacio de soluciones.

• Representación de un vector y de un operador en el espacio aritmético (columnas

• y matrices complejas).

• Solución de las ecuaciones algebraicas lineales.

147

Page 148: Apuntes de Algebra Lineal

148 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

U V

x •z •

Ω

Ω = (x, z) ∈ U×V tal que Dω ⊂ U, en general, de Ω se dice que es un operador; que

transforma un vector x (de un espacio U) en otro vector z (de otro espacio V , donde

eventualmente V = U).

Ω es lineal ⇔ Ω(α1x1 + α2x2) = α1Ω(x1) + α2Ω(x2) , α1 , α2 ∈ C

NOTA 1: A veces escribiremos simplemente Ωx , en vez de Ω(x). Además tenga pre-

sente que, por definición, el operador Ω es una función.

NOTA 2: Al operador identidad lo designaremos con Y ; es decir, Y x = x

NOTA 3: No olvide que las funciones también constituyen un espacio vectorial.

U V

DΩ = U

x

RΩ ⊂ V

eveu

Page 149: Apuntes de Algebra Lineal

149

01) Sean las ecuaciones a1x+ a2y+ a3z = p1 , b1x+ b2y+ b3z = p2. Consideremos la

siguiente interpretación: La terna (x, y, z) ∈ C3 es transformada en el par (p1, p2) ∈ C2

por medio de la matriz A =

(

a1 a2 a3

b1 b2 b3

)

, de tres columnas.

Entonces la matriz A es un operador. Verifique que es un operador lineal.

⁅Sean las ternas-columnas m = [x1 x2 x3] y n = [y1 y2 y3]

⇒ αm+ βn = [αx1 + βy1 αx2 + βy2 αx3 + βy3].

Entonces:

A(αm+βn) = [a1(αx1+βy1)+a2(αx2+βy2)+a3(αx3+βy3) b1(αx1+βy1)+b2(αx2+

βy2)+ b3(αx3+βy3)] = [α(a1x1+ a2x2+ a3x3)+β(a1y1+ a2y2+ a3y3) α(b1x1+ b2x2+

b3x3)+β(b1y1+b2y2+b3y3)] = [α(a1x1+a2x2+a3x3) α(b1x1+b2x2+b3x3)]+[β(a1y1+

a2y2 + a3y3) β(b1y1 + b2y2 + b3y3)] = α[(a1x1 + a2x2 + a3x3) (b1x1 + b2x2 + b3x3)] +

β[(a1y1 + a2y2 + a3y3) (b1y1 + b2y2 + b3y3)] = αAm+ βAn⁆

02) Sea dado un cierto vector u ∈ U , y sea ρ un producto interno. Verifique que

la función φ , definida así: φ(v) = ρ(u, v), para todo v ∈ U , es un operador lineal.

⁅ρ(u, αv + βw) = αρ(u, v) + βρ(u, w) , por propiedad del producto interno.⁆

03) Verifique que los operadores R, D, R2, D2, definidos así: Rf ≡ If , Df ≡ f ′,

R2f ≡ R(Rf) , D2f ≡ D(Df) , son operadores lineales.

⁅Por ejemplo, R(αf + βg) = I(αf + βg) = αIf + βIg = αRf + βRg⁆

04) Verifique que ninguno de los operadores B, T , Q, es lineal: B(x, y, z) = (xy, z2) ,

T (x, y) = (2, 1x, 1y) , Q(f) = f 2 + (f ′)2

⁅Por ejemplo, T (αx1+βy1, αx2+βy2) = (2, 1αx1+βy1

, 1αx2+βy2

) 6= α(2, 1x1, 1y1)+β(2, 1

x2, 1y2)⁆

Page 150: Apuntes de Algebra Lineal

150 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

05) Verifique que la operación J , definida como J(g) =∫ b

a(g′ + 10g′′), es una ope-

ración lineal, pero la operación K tal que K(g) =∫ b

a(g′g′′) no es una operación lineal.

Las funciones J y K son conocidas como funcionales; no son llamados operadores.

⁅Por ejemplo:

J(αf + βg) =

∫ b

a

(αf + βg)′ + 10(αf + βg)′′

=

∫ b

a

(αf)′ + 10(αf)′′+ (βg)′ + 10(βg)′′

=

∫ b

a

α(f ′ + 10f ′′) + β(g′ + 10g′′)

=

∫ b

a

α(f ′ + 10f ′′) +

∫ b

a

β(g′ + 10g′′)

= α

∫ b

a

(f ′ + 10f ′′) + β

∫ b

a

(g′ + 10g′′)

= αJ(f) + βJ(g) ⁆

06) Sea a ∈ (Dominio de funciones continuas); verifique que la función δ tal que

δ(g) = g(a) es una operación lineal, que tampoco es llamada operador. La operación δ

es conocida como la delta de Dirac.

⁅δ(αf + βg) = (αf + βg)(a) = αf(a) + βg(a) = αδ(f) + βδ(g)⁆

06.1) Verifique que la función G = (sen, cos), (cos,−sen), (I2, 2I), (tan, sec2), (exp, exp)es un operador. Verifique que no es un operador lineal, especificando la razón.

⁅Las funciones sen, cos,−sen, etc , son vectores del espacio vectorial de funciones.

Por otra parte, si G(u) = v , G(w) = z , para u, w vectores cualesquiera del dominio

de G , entonces deberá cumplirse (para que sea lineal)

G(αu+ βw) = αG(u) + βG(w) = αv + βz

Ahora, por ejemplo, si escribimos G(sen+ I2) , dicha expresión no tiene sentido, pues

la función sen + I2 no pertenece al dominio del operador G dado. Note que G es una

Page 151: Apuntes de Algebra Lineal

151

restricción del operador D (es decir, el dominio ha sido restringido)⁆

07) Operadores de derivadas parciales.

Sea la función F (x1, x2, x3, · · · , xn) , conocida como función de n variables (indepen-

dientes), F : Rn → C , es decir, F = (p, q), donde p ∈ Rn , q ∈ C , tal que · · · Consideremos el caso en que mantenemos fijas n−1 de las variables, x1, x2, x3, · · · , xk−1,

xk+1, xk+2, · · · , xn, de manera que la función variará sólo al variar la variable xk.

A la derivada de la función F según la variable xk la designaremos con Dk; es de-

cir, DkF (x1, x2, x3, · · · , xn) = lım( 1h)[F (x1, x2, · · · , xk+h, · · · , xn)−F (x1, x2, · · · , xn)]

cuando h→ 0.

Así por ejemplo, para G(x, y, z) = x2y + 2(xz)12 tendremos:

D1G(x, y, z) = 2xy + ( zx)12 , D2G(x, y, z) = x2 , D3G(x, y, z) = (x

z)12

Nótese que, por ejemplo:

D1G(a, b, c) = 2ab+ ( ca)12 , D2G(z, z, x) = z2 , D3G(x, x, x) = 1 ,

D1G(z, x, y) = 2zx+ (yz)12 , D2G(z, x, y) = z2 , D3G(z, x, y) = ( z

y)12 ;

no existen ni D1G(0, x, x) , ni D3G(x, x, 0)

⁅D2G(z, z, x) indica que la función D2G es evaluada en el punto (z, z, x). Por otra

parte, la escritura usual sería ∂G(z,z,x)∂y

, que resulta un tanto confusa⁆

08) Sea w un número real; el operador L ≡ D2 + w2Y transforma, por ejemplo, a la

función g(x) = sen(wx) + sen2(wx) en la función p(x) = 2w2cos(2wx) + w2sen(2wx)

i) Verifique que se trata de un operador lineal.

ii) Calcule las funciones Lf, Lq y Ls , donde:

f(x) = x2 − e3x , q(t) = 1t+ wt3 , s(y) = sen(y)ewy

iii) ¿Cómo son las funciones φ tales que Lφ = 0 ?

⁅L(αf + βg) = D2(αf + βg) + w2Y (αf + βg) = αf ′′ + βg′′ + w2(αf + βg)

= α(f ′′ + w2f) + β(g′′ + w2g) = αL(f) + βL(g)

Lφ = 0⇒ φ′′ + w2φ = 0 , cuyas soluciones ya conocemos φ = Asenw +Bcosw⁆

Page 152: Apuntes de Algebra Lineal

152 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

09) Sea un vector unitario u = (u1, u2, u3) ∈ R3 y la matriz de 3 columnas

U ≡ [0 − u3 u2 | u3 0 − u1 | − u2 u1 0].

Verifique que:

i) El operador U es lineal.

ii) Up = u× p , para todo p ∈ R3

iii) U2p ≡ U(Up) = u× (u× p)

iv) U3 = −U

v) U(U2 + Y ) = 0

vi) U9 = U , U15 = −U , U8 = −U2 , U10 = U2

⁅ii) Up = [−u3p2 + u2p3 | u3p1 − u1p3 | − u2p1 + u1p2] = u× p

i) U(αp+ βq) = u× (αp+ βq) = u×αp+u× βq = αu×p+ βu×q = αUp+ βUq

iv) U3p = U(U(Up)) = U(U(u × p) = U(u× (u× p)) = u× u× (u× p)

= u · (u× p)u− u · u(u× p) = 0− u× p = −Up

es decir: U3p = −Up , donde p es arbitrario.

vi) U11 = U9+2 = (U3)3U2 = (−U)3U2 = −(U)3U2 = −(−U)U2 = UU2 = U3 = −U⁆

09.1) Si a es un vector columna de n componentes ; aT el correspondiente vector

transpuesto (fila) ; ad el vector fila cuyas componentes son los números conjugados

complejos del vector aT ; (ad es llamado vector adjunto de del vector a).

Verifique que:

i) aTb ≡ a • b y adb ≡ 〈a,b〉 son números reales o complejos.

ii) abT y abd son matrices de n× n

iii) U2 = uuT − Y

Page 153: Apuntes de Algebra Lineal

153

⁅i) aTb =∑

k akbk , adb =

k a∗kbk

ii) (abT )jk = ajbk , (abd)jk = ajb∗k

iii) U2p = u× (u× p) = (u · p)u− (u · u)p = u(u · p)− p = u(uTp)− Y p

= (uuT )p− Y p = (uuT − Y )p

es decir: U2p = (uuT − Y )p, con p arbitrario⁆

09.2) Sean u,v,w tres vectores unitarios, reales, ortogonales entre sí, de manera que

u× v = w; sean U ,V ,W las correspondientes matrices definidas como en 09.

Verifique que:

i) uuT + vvT +wwT = Y

ii) U2 + V 2 +W 2 = −2Y

iii) U2V 2 = V 2U2 = wwT , V 2W 2 = uuT , W 2U2 = vvT

iv) U2V 2 + V 2W 2 +W 2U2 = Y

v) U2V 2W 2 = O

⁅i) uuT + vvT +wwT = A

⇒ Ax = u(uTx) + v(vTx) +w(wTx)

⇒ (u · Ax) = (u · x) , (v ·Ax) = (v · x) , (w · Ax) = (w · x)⇒ u · (x− Ax) = 0 , v · (x− Ax) = 0 , w · (x−Ax) = 0

⇒ (x− Ax) · (αu+ βv + γw) = 0, para α, β, γ números arbitrarios

⇒ x− Ax = 0⇒ (Y − A)x = 0 , siendo x un vector arbitrario

⇒ Y − A = O ⇒ A = Y

ii) U2 + V 2 +W 2 = uuT − Y + vvT − Y +wwT − Y = Y − 3Y

iii) U2V 2p = U2(V 2p) = U2[v × (v × p)]

= u× u× [v× (v × p)]= u× u · (v × p)v − (u · v)(v× p)= u× vu · (v × p) − 0

= u× vu× v · p= w(w · p)= wwTp

Page 154: Apuntes de Algebra Lineal

154 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

es decir: (U2V 2)p = wwTp, con p arbitrario.

v) (U2V 2W 2)p = U2(uuTp) = (uTp)U2u = 0 , con p arbitrario.⁆

09.3) Para los vectores u,v,w, anteriores, verifique que ujuk + vjvk + wjwk = δjk

también Aek = uku+ vkv + wkw ⇒ ujuk + vjvk + wjwk = δjk

⁅A = uuT + vvT +wwT ⇒ Aek = uuk + vvk +wwk ⇒ ek = uuk + vvk +wwk

⇒ ej · ek = ej · uuk + ej · vvk + ej ·wwk ⇒ δjk = ujuk + vjvk + wjwk⁆

10) Sea un operador lineal Ω : U −→ U , entonces definimos el operador Ωd como

⟨p,Ωdq⟩ = ⟨Ωp, q⟩ para todo par de vectores p, q. Verifique que Ωd es lineal.

⁅Es decir, ⟨p,Ωd(α1q1 + α2q2)⟩ = ⟨p, α1Ωdq1 + α2Ω

dq2⟩ para todo p⁆

10.1) Un operador es unitario si y solo si ΩΩd = ΩdΩ = Y

Es autoadjunto si y solo si Ωd = Ω

Es isométrico si y solo si ⟨Ωp,Ωq⟩ = ⟨p, q⟩ para todo par p, q.

10.2) Al operador R(u, θ) ≡ Y +Usen(θ) +U2(1− cos(θ)) lo llamaremos operador de

rotación en R3. [Apuntes de Física General I, hgv, 1970]

Verifique que:

R(u, θ)x = x+ u× xsen(θ) + u× (u× x)(1− cos(θ))

.

11) Verifique que R(u, θ)ek = (1− cos(θ))uku+ ekcos(θ) + u× eksen(θ)

⁅R(u, θ)ek = ek + u× eksen(θ) + u× (u× ek)(1− cos(θ))

= ek + u× eksen(θ) + (uku− ek)(1− cos(θ)) ⁆

Page 155: Apuntes de Algebra Lineal

155

12) Verifique que el vector R(u, θ)ek también es unitario.

⁅[R(u, θ)ek · R(u, θ)ek] = [(1− cos(θ))uku+ ekcos(θ) + u× eksen(θ)]2

= (1− cos(θ))2u2k + cos2(θ) + (u× ek)

2sen2(θ) + 2(1− cos(θ))u2kcos(θ)

= sen2(θ)u2k + cos2(θ) + (u× ek)

2sen2(θ)

= sen2(θ)u2k + cos2(θ) + (1− u2

k)sen2(θ)

= 1 ⁆

13) Verifique que:

i) R(u, θ)u = u

ii) R(u, θ1)R(u, θ2) = R(u, θ1 + θ2)

iii) R(u, 0) = Y

iv) R(u,−θ)R(u, θ) = Y ≡ 1

⁅ii) R(u, θ2)b = b+ u× bsen(θ2) + u× (u× b)(1 − cos(θ2))

R(u, θ1)R(u, θ2)b = R(u, θ1)b+ R(u, θ1)(u× b)sen(θ2) + R(u, θ1)[u× (u× b)](1− cos(θ2))

= b+ u× bsen(θ1) + u× (u× b)(1− cos(θ1)) + u× [b+ u× bsen(θ1)

= .+ u× (u× b)(1− cos(θ1))]sen(θ2) + u× u× [b+ u× bsen(θ1)

= .+ u× (u× b)(1− cos(θ1))](1− cos(θ2))

= b+ u× bsen(θ1) + u× (u× b)(1− cos(θ1)) + [u× b+ u× (u× b)sen(θ1)

= .+ u× u× (u× b)(1− cos(θ1))]sen(θ2) + [u× (u× b)

= .+ u× (u× u× b)sen(θ1) + u× (u× u× (u× b))(1− cos(θ1))](1− cos(θ2))

= b+ u× bsen(θ1) + u× (u× b)(1− cos(θ1)) + [u× b+ u× (u× b)sen(θ1)

= .− (u× b)(1− cos(θ1))]sen(θ2) + [u× (u× b)− u× bsen(θ1)= .− u× (u× b)(1− cos(θ1))](1− cos(θ2))

= etc ⁆

NOTA: En lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, debe entenderse que los ope-

radores considerados son operadores lineales.

Page 156: Apuntes de Algebra Lineal

156 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

14) Inversa de un operador. Como hemos visto, un operador es una función, para

la cual puede existir (o no) una función inversa. Cuando exista el operador inverso (o

simplemente) la inversa del operador Ω, lo designaremos con Ω−1. Muchos operadores

importantes no poseen inversa. Por supuesto que cuando Ω el operador inverso se cum-

plirá Ωp = q ⇔ Ω−1q = p , o también (p, q) ∈ Ω⇔ (q, p) ∈ Ω−1

15) Verifique que si Ω es un operador invertible, entonces:

i) Ωp = eV ⇒ p = eU , donde eU y eV son los vectores nulos en U y V , respectiva-

mente.

ii) Ωp = Ωq ⇒ p = q

⁅i) Existe Ω−1 ⇒ Ω−1Ωp = Ω−1eV = eU ⇒ Y p = eU ⇒ p = eU

ii) Ωp = Ωq ⇒ Ωp− Ωq = eV ⇒ Ω(p− q) = eV ⇒ p− q = eU ⇒ p = q ⁆

15.1) Teniendo presente que Ωu = v significa que el par (u, v) pertenece a la función

Ω, es decir, (u, v) ∈ Ω. ¿Pueden existir otros pares (w, v) ∈ Ω, con w 6= u? La respuesta

es inmediata. Por otra parte, ¿Pueden existir otros pares (u, s) ∈ Ω, con s 6= v? La

respuesta también es inmediata. Ahora supongamos que (u, v) ∈ Ω , (w, v) ∈ Ω , con

w 6= u ¿Existiría el operador inverso Ω−1?

15.2) Verifique que si el operador Ω no es invertible, entonces existe por lo menos

dos vectores diferentes, u, w , tales que Ωu = v , Ωw = v

⁅El asunto es simple si se considera que Ω es una función⁆

15.3) Sean m vectores, v1, v2, · · · , vm , de un espacio n-dimensional, y Ω un opera-

dor lineal en dicho espacio.

Page 157: Apuntes de Algebra Lineal

157

Verifique que:

i) Si Ω es invertible, entonces los vectores Ωv1,Ωv2, · · · ,Ωvm , serán LI ó LD según

que los vectores v1, v2, · · · , vm , sean LI ó LD, respectivamente.

ii) Si Ω es no invertible, entonces los vectores Ωv1,Ωv2, · · · ,Ωvm , serán LD.

⁅α1Ωv1+α2Ωv2+ · · ·+αmΩvm = eV (∗)⇒ Ω[α1v1+α2v2+ · · ·+αmvm] = eV & ∃Ω−1

⇒ α1v1+α2v2+ · · ·+αmvm = eU . Entonces, si los vk son LI los coeficientes αj deberán

ser nulos, con lo cual, por (*), los Ωvk serán LI; recíprocamente, si ...

Si no existe la inversa ⇒ existirá p 6= eV , tal que α1v1 + α2v2 + · · ·+ αmvm = p⇒ no

todos los coeficientes pueden ser nulos⁆

16) Verifique que el operador L, de 08, (en el espacio vectorial de las funciones defini-

das en un intervalo de la recta, o toda la recta) no tiene inversa.

⁅Sabemos que en Lf = ô o equivalentemente f ′′ + w2f = 0, la función f no es

la función nula⁆

17) Verificar que el operador de rotación, para u fijo, en R3 es invertible.

⁅R(u,−θ)u× b = −u× (u× b)sen(θ) + u× b cos(θ) ,

R(u,−θ)u× (u× b) = u× b sen(θ) + u× (u× b)cos(θ)

⇒ R(u,−θ)R(u, θ)b = R(u,−θ)[b+ u× b sen(θ) + u× (u× b)(1− cos(θ))]

= b− u× b sen(θ) + u× (u× b)(1− cos(θ)) + [−u× (u× b)sen(θ)

= . + u× b cos(θ)]sen(θ) + [u× b sen(θ) + u× (u× b)cos(θ)](1− cos(θ))

= b

Es decir: R(u,−θ)R(u, θ)b = b, siendo b arbitrario. ⁆

Page 158: Apuntes de Algebra Lineal

158 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

18) Núcleo de un operador Ω

NΩ = x ∈ U tal que Ωx = eV

UV

eU •

eV •

Ω

19) Verifique que:

i) eU ∈ NΩ

ii) p, q ∈ NΩ entonces ap + bq ∈ NΩ, con a, b arbitrarios.

iii) El núcleo de un operador es un (sub)espacio vectorial.

iv) NΩ = eU ⇔ Ω es invertible

⁅i) ΩeU = eV

ii) p, q ∈ NΩ ⇒ Ωp = eV , Ωq = eV ⇒ aΩp = eV , bΩq = eV

⇒ Ω(ap) = eV , Ω(bq) = eV ⇒ Ω(ap + bq) = eV

iii) Por ii

iv) Recordar que una función es invertible si f(x) = f(z)⇒ x = z.

Sean p, q dos vectores tales que Ωp = Ωq ⇒ Ωp − Ωq = eV ⇒ p − q ∈ NΩ (que tiene

un único elemento) ⇒ p− q = eU ⁆

20) Sea el operador L = D2 + w2Y sobre el espacio de la funciones (diferenciables)

cuyo dominio es el intervalo (a, b).

Determine el núcleo de tal operador (¡Se trata de un espacio que usted ya conoce!)

⁅Son las soluciones de la ecuación diferencial Lf = 0, es decir, f ′′ + w2f = ô ⁆

21) Ecuaciones diferenciales no homogéneas. Sea la función g = I + ε, con

ε(x) = ex. Verifique que, con L de 20) , Lg = (1 + w2)ε+ w2I

Page 159: Apuntes de Algebra Lineal

159

Ahora consideremos el siguiente problema: Determinar la solución general de la ecua-

ción diferencial:

Lf = (1 + w2)ε+ w2I

Notemos primeramente que si f, g son soluciones, entonces L(f −g) = 0, cuya solución

ya conocemos, f(x) − g(x) = A senw + B cosw, con A,B arbitrarios. Entonces, la

solución general buscada será f = g + A senw +B cosw

Es decir, Dado un operador lineal Q, y dado un vector b ∈ V , para hallar todos los

vectores x ∈ U tales que Qx = b existirán dos posibilidades:

i) Q es invertible, entonces x = Q−1b

ii) Q no es invertible; entonces necesitamos conocer una solución particular xo, es

decir, Qxo = b. La solución del problema planteado será la suma de dicha solución

particular más la solución general del núcleo de operador, es decir, Qx − Qxo =

0⇒ Q(x− xo) = 0.

iii) Siendo Q no invertible, podría ser que b /∈ RQ, entonces no existiría solución.

⁅Recuerde que si Qx = b⇒ b ∈ RQ⁆

22) Verifique que para las matrices de 2× 2 se cumple que:

(

a b

c d

)(

d −b−c a

)

= (ad− bc)Y

y que si det(e1, e2) = 1 , donde e1 = [1 0] , e2 = [0 1] , entonces det([a c], [b d]) = ad−bc

NOTA: Dada una matriz M de n × n definimos el determinante det(M) de dicha

matriz como det(M) ≡ det(columnas de M).

⁅[a c] = ae1 + ce2 , [b d] = be1 + de2 ⇒ det(M) = det(ae1 + ce2 , be1 + de2) = etc ⁆

22.1) Sea la matriz M = [1 − 1 | 13

16] hallar los vectores x tales que Mx = [1 1]

Page 160: Apuntes de Algebra Lineal

160 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

⁅M [p q] = [p+ q3− p+ q

6] = [1 1] ⇒ p + q

3= 1 , −p + q

6= 1 ⇒ q = 4 , p = −1

3

⇒ x = [−13

4]⁆

22.2) Sea la matriz T = [2 − 1 | 13

16] hallar los vectores x tales que Tx = [1 1]

⁅T [p q] = [2p+ q3− p+ q

6] = [1 1] ⇒ 2p+ q

3= 1 , −p+ q

6= 1 ⇒ q = 9

2, p = −1

4⁆

22.3) Sean A0k la k-ésima columna, y sea Aj0 la j-ésima fila de la matriz A.

Verifique que:

i) Aek = A0k

ii) Ax =∑

j xjA0j

iii) (AB)ek = AB0k =∑

j BjkA0j

iv) eTj A = Aj0

v) zTA =∑

j zjAj0

vi) eTj AB = Aj0B =∑

k AjkBk0

vii) (Ax)j = x ·Aj0

⁅i) (Aek)j =∑

i Aji(ek)i =∑

i Ajiδki = Ajk = (A0k)j

ii) Ax =∑

j xjAej

iii) (AB)ek = A(Bek) = A∑

j(Bek)jej =∑

j(Bek)jAej =∑

j(Bek)jA0j

v) (Ax)j =∑

k Ajkxk ⁆

22.4) Verifique que para una matriz de m columnas se cumple que:

. [A01 A02 · · ·A0m][b1 b2 · · · bm] =∑m

k=1 bkA0k

⁅¡Verifíquelo!⁆

Page 161: Apuntes de Algebra Lineal

161

22.5) Sea la matriz de n× n:

A = [A01 A02 · · ·A0m

m∑

k=1

pk m+1A0k

m∑

k=1

pk m+2A0k · · ·m∑

k=1

pk nA0k]

Verifique que Ax = b⇒ b es una combinación lineal de las m columnas A0k

⁅Note que las sumatorias están en las posiciones m+ 1, m+ 2, m+ 3, · · · , n.

Ax =∑m

k=1 xkA0k +∑n

j=m+1 xj

∑mk=1 pkjA0k =

∑mk=1A0k(xk +

∑nj=m+1 xjpkj)⁆

22.6) Con a · b = aTb =∑n

k=1 akbk , donde a es un vector-columna, aT es un vector-

fila; B0k es la k-ésima columna de la matriz B, y Bj0 es la j-ésima fila de dicha matriz,

verifique que Bx =∑

k xkB0k = [B10 · x B20 · x B30 · x · · · Bn0 · x]

⁅La k-ésima componente del vector Bx es (Bx)k =∑m

j=1 bkjxj , de donde se puede

formar un vector columna, o se pueden formar m productos internos ⁆

22.7) Verifique que en la ecuación Ax = [0 0 0 b4 b5 · · · bn] el vector x debe

ser ortogonal a las 3 primeras filas de la matriz A.

⁅(Ax)j = Aj0 · x⁆

23) Dada una matriz M (con elementos complejos) definimos la matriz MT y la ma-

triz Md (llamadas matriz transpuesta y matriz adjunta de M) de la siguiente manera

(MT )jk = Mkj , (Md)jk = M∗kj donde la ‘estrellita’ indica el conjugado complejo.

Por ejemplo:

(

3i+ 4 5i −1−7 6− 2i π

)T

=

3i+ 4 −75i 6− 2i

−1 π

,

(

3i+ 4 5i −1−7 6− 2i π

)d

=

−3i+ 4 −7−5i 6 + 2i

−1 π

Page 162: Apuntes de Algebra Lineal

162 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

24) Sea el vector producto vectorial tridimensional w ≡W (a,b).

Verifique que:

i) wk = det(ek, a,b)

ii) W (a,b) · c = det(a,b, c)

⁅i) w ≡W (a,b) =∑3

k=1 det(ek , a , b)ek ⇒ wk = det(ek , a , b)

ii) W (a,b) · c = w · c =∑

k wkck =∑3

k=1 det(ek , a , b)ck =∑3

k=1 det(ckek , a , b)

⇒W (a,b) · c = det(c , a , b)⁆

24.1) Sea el producto vectorial 6-dimensional.

Verifique que a5 ·W (a1, a2, a3, a4, a6) = (−1)5−1D(a1, a2, a3, a4, a5, a6)

25) Sean las matrices de 3 columnas P = [a | b | c] y Q = [b× c | c× a | a× b].

Verifique que:

i) P TQ = QTP = (a× b · c)Y

ii) det(P ) = a× b · c

iii) det(Q) = det(P )2

⁅(P TQ)jk =∑

s(PT )jsQsk =

s(P )sjQsk =∑

s(P0j)s(Q0k)s = P0j ·Q0k.

Pero P01 = a , P02 = b , P03 = c , Q01 = b× c , Q02 = c× a , Q03 = a× b , etc⁆

Note que (i) permite calcular la inversa de una matriz de 3 por 3

25.1) Sean P , Q , matrices de n columnas n-dimensionales, Pk0 = ak ,

Qk0 = (−1)k−1W (a1, a2, · · · , a3, ak−1, ak+1, ak+2, · · · , an)

Verifique que:

P TQ = Y D(a1, a2, · · · , a3, ak−1, ak, ak+1, ak+2, · · · , an))

Page 163: Apuntes de Algebra Lineal

163

26) Sea la matriz de 3 columnas A = [ p r 1 | q 0 0 | 0 s 0 ] y el vector columna

b = [1 0 − 1].

Determine los vectores x tales que Ax = b

⁅Ax = [ px1 + qx2 rx1 + sx3 x1 ] = [ 1 0 − 1 ] ⇒ x1 = −1 , −p + qx2 = 1 ,

−r + sx3 = 0 (q, s 6= 0) ⇒ x1 = −1 , x2 =p+1q

, x3 =rs

¡Verifique que esta respuesta es correcta!⁆

26.1) Sea la matriz de 3 columnas K = [ p r 0 | q 0 qr | 0 s − ps ] y el vector

columna b = [ 1 0 − 1 ]. Determine los vectores x tales que Kx = b

⁅Kx = [ px1 + qx2 rx1 + sx3 qrx2 − psx3 ] = [ 1 0 − 1 ]

⇒ px1 + qx2 = 1 , rx1 + sx3 = 0 , qrx2 − psx3 = −1⇒ (1a × r − 2a × p) qrx2 − psx3 = r & qrx2 − psx3 = −1.Entonces, si (el número dado):

i) r 6= −1 existe una contradicción y el problema no tiene solución (es decir, no puede

existir el vector x)

ii) r = −1 , no existe inconsistencia, pero la 3a ecuación “está demás” , pues se deduce

de las dos primeras; de ellas se obtiene (para q, s no nulos) que x2 =(1−px1)

q,

x3 = −( rs)x1 , con x1 arbitrario ⁆

26.2) Determinar los x tales que R(u, π3)x = e2 , donde 13u = [3 4 − 12]

⁅R(u, θ)x = e2

⇒ (pues R(u, θ) es invertible) x = R(u,−θ)e2⇒ x = e2 − u× e2sen(

π3) + u× (u× e2)(1− cos(π

3)) , etc ⁆

27) Sean las 5 ecuaciones no homogéneas:

i) x1 + 2x2 + 3x3 = 14 ii) 4x1 − 5x2 + 6x3 = 12 iii) 7x1 + 8x2 − 9x3 = −4iv) 8x1 − 23x2 + 6x3 = 20 v) 8x1 − 23x2 + 6x3 = −20

Page 164: Apuntes de Algebra Lineal

164 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

• Halle las soluciones de las ecuaciones i , ii , iv

• Halle las soluciones de las ecuaciones i , ii , v

• Halle las soluciones de las ecuaciones i , ii , iii

⁅Note que las ecuaciones i) y iv) pueden ser reemplazadas por una de las siguien-

tes: −6x1 + 27x2 = 8 ó 39x1 + 81x3 = 362 ó 39x2 + 18x3 = 92

De las dos primeras ecuaciones obtenemos: x2 = 19(2x1 + 16) , x3 = 1

9(−13x1 + 94).

Esto reemplazado en la 3a ecuación da x1 = 1.

Por otra parte, p ≡ 8x1 − 23x2 + 6x3 = −1809

= −20. Es decir, la 4a ecuación es incon-

sistente con las dos primeras, mientras que la 5a ecuación se deduce de las dos primeras

(por lo cual no aporta nada nuevo a las soluciones halladas), en función de x1 , que

sería arbitrario.

Entonces, a) Para i , ii y iii existe una solución única , b) Para i , ii y iv no existe

solución , c) Para i , ii y v existe una familia mono-paramétrica de soluciones⁆

28) Sean las 4 ecuaciones homogéneas:

i) x1 + 2x2 + 3x3 = 0 ii) 4x1 − 5x2 + 6x3 = 0 iii) 7x1 + 8x2 − 9x3 = 0

iv) 8x1 − 23x2 + 6x3 = 0

• Halle las soluciones de las ecuaciones i , ii , iv

• Halle las soluciones de las ecuaciones i , ii , iii

• Halle las soluciones de las ecuaciones i , ii

⁅De las dos primeras ecuaciones hallamos a) x2 = (29)x1 , x3 = −(1327)x1 ,

b) Reemplazando esto en iii , obtenemos que x1 = 0 , c) Reemplazando x2 y x3 en

iv se obtiene 8x1 − 8x1 = 0 , con lo cual x1 es arbitrario, con lo cual obtenemos una

familia mono-paramétrica de soluciones.⁆

29) Sean m vectores n-dimensionales a0k , k = 1, 2, · · · , m , con m ≤ n. Dichos

vectores pueden ser considerados como las m columnas de una matriz A de n×m , es

decir, n filas y m columnas.

Page 165: Apuntes de Algebra Lineal

165

i) De la combinación lineal nula∑m

k=1 xka0k = 0 obtenemos n ecuaciones∑m

k=1 xkajk = 0 para j = 1, 2, · · · , n

ii) De entre esas n-ecuaciones podemos elegir m de ellas en n![m!(n−m)!]

formas diferen-

tes.

iii) Cada uno de esos sistemas de m ecuaciones con m incógnitas, xk1, xk2, · · · , xkm

puede escribirse como A(m)x = 0, donde A(m) es una matriz de m×m , formada

por los coeficientes de las m ecuaciones elegidas.

iv) Ahora surgen dos posibilidades: Cada una de las n![m!(n−m)!]

matrices de m×m es

no invertible, entonces x no tiene porque ser un vector nulo; es decir, algún xk 6= 0

con lo cual los m vectores a0k (en i) serán linealmente dependientes.

Ejemplo: m = 3 , n = 5

a = [ a1 a2 a3 a4 a5 ]

b = [ b1 b2 b3 b4 b5 ]

c = [ 2a1 + b1 2a2 + b2 2a3 + b3 2a4 + b4 2a5 + b5 ]

x1a+ x2b+ x3c = 0←− 2a+ b− c = 0

v) En otro caso, alguna de las matrices de m × m es invertible, entonces resultará

que necesariamente x = 0 ; es decir, todos los xk = 0, y los m vectores dados

serán linealmente independientes.

.[Alguna m-upla es LI ⇒ los a0k son LI].

Ejemplo: m = 3 , n = 5

a = [ a1 a2 a3 a4 a5 ]

b = [ b1 b2 b3 b4 b5 ]

c = [ 2a1 + b1 2a2 + b2 2a3 + b3 2a4 + b4 a5 − b5 ]

x1a+ x2b+ x3c = 0↔ 0× a+ 0× b+ 0× c = 0

vi) Por otra parte, si los a0k son LD no puede existir alguna m-upla LI (ya que ello

implicaría que necesariamente x = 0), y si los a0k son LI no puede ser que todas

las m-uplas sean LD (pues ello implicaría que x no tendría que ser necesariamente

nulo)

Page 166: Apuntes de Algebra Lineal

166 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

Es decir, el número de vectores n-dimensionales linealmente independientes es

igual al número de sus filas tranversales linealmente independientes.

.

29.1) Verifique que el resultado anterior también vale para el caso m > n.

⁅Para m > n consideraremos los vectores aj0 ∈ Rm, cuya 1a componente es la j-ésima

componente de a01 , la 2a componente es la j-ésima componente de a02 ; en general,

la k-ésima componente es la j-ésima componente de a0k. A estos nuevos vectores les

aplicamos el análisis y el resultado de 29.⁆

30) Verifique que en una matriz (en general, rectangular), B , el número de columnas

linealmente independientes es igual al número de filas linealmente independientes. Di-

cho número recibe el nombre de rango de la matriz B, que designaremos con r(B).

⁅Las columnas B0k serán los vectores a0k de 29.⁆

31) TEOREMA/POSTULADO. Aquí aceptaremos el siguiente teorema de las ecua-

ciones diferenciales: Una ecuación diferencial lineal homogénea, de orden N , tiene (a

lo más) N soluciones linealmente independientes.

⁅Es decir, el espacio vectorial de las soluciones de una ecuación diferencial lineal, por

ejemplo,∑N

k=1 akf(k) = 0 , donde f (k) es la k-ésima derivada, no puede tener una di-

mensión mayor que N⁆

32) Ya sabemos que las familias biparamétricas de funciones Fw,α(x) = sen(wx + α)

pertenecen al núcleo del operador Ω = D2 + w2. Verifique que:

i) Las funciones Fw,π3

y Fw,−π4

son LI, y por lo tanto constituyen una base de NΩ

ii) senw = (√3− 1)Fw,π + (

√62)(√3− 1)Fw,−π

4

cosw = (√3− 1)Fw,π − (

√22)(√3− 1)Fw,−π

4

Page 167: Apuntes de Algebra Lineal

167

iii) DFw,π = −w(2−√3)Fw,π − w(

√2)(√3− 1)Fw,−π

4

iv) DFw,−π4= w(

√2)(√3− 1)Fw,π + w(2−

√3)Fw,−π

4

v) D2Fw,π = −w2Fw,π

vi) D2Fw,−π4= −w2Fw,−π

4

⁅Verifique, pues.⁆

33) Representación de un operador en bases dadas: Sea el operador Γ : U → V ,

y sean uk, k = 1, 2, · · · , n una base en U y vj, j = 1, 2, · · · , m una base en V .

Como sabemos, si p ∈ U , q ∈ V , con p =∑

k αkuk , q =∑

j βjvj , entonces los

vectores aritméticos α = [α1, α2, · · · , αn] ∈ Cn y β = [β1, β2, · · · , βm] ∈ Cm represen-

tan a los vectores p y q en la bases indicadas, lo cual podríamos escribir, por ejemplo,

α = p/uk , β = q/vj. Por otra parte, puesto que Γuk ∈ V , entonces podemos

escribir Γuk =∑

j gjkvj (note el orden en que están escritos los sub-índices). Diremos

que la matriz G, de m × n (filas × columnas) , de componentes gjk , representa al

operador Γ en las bases mencionadas.

⁅Lo cual podría ser escrito como G = Γ/uk, vj⁆

33.1) Verifique que Γp = q ⇔ Gα = β

⁅Γp = q ⇒ Γ∑

k αkuk =∑

j βjvj ⇒∑

k αkΓuk =∑

j βjvj

⇒∑

k αk

j gjkvj =∑

j βjvj ⇒∑

j(∑

k αkgjk)vj =∑

j βjvj

⇒∑

k αkgjk = βj ⇒∑

k gjkαk = βj⁆

34) En el caso Γ : U → U , la matriz G será cuadrada, de n× n.

⁅Puesto que m = n⁆

Page 168: Apuntes de Algebra Lineal

168 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

34.1) Verifique que, en el caso de 32: los vectores senw y cosw estarán representa-

dos, en la base Fw,π, Fw,−π4 , por los vectores aritméticos [

√3 − 1, 1

2(√18 −

√3)] y

[√3− 1,−1

2(√6−√2)] , respectivamente.

⁅32ii⁆

34.2) En el caso 32: verifique que los operadores D,D2 y Ω están representados por

las matrices

w

(

−(2−√3)

√2(√3− 1)

−√2(√3− 1) 2−

√3

)

, −w2

(

1 0

0 1

)

,

(

0 0

0 0

)

respectivamente.

⁅DFw,π = −w(2−√3)Fw,π − w(

√2)(√3− 1)Fw,−π

4⇒ G11 = −w(2−

√3) ,

G21 = −w(√2)(√3− 1) ; DFw,−π

4= w(

√2)(√3− 1)Fw,π + w(2−

√3)Fw,−π

4

⇒ G12 = w(√2)(√3− 1) , G22 = w(2−

√3)

D2Fw,π = w2Fw,π ⇒ (G2)11 = −w2 , (G2)21 = 0 ; D2Fw,−π4= −w2Fw,−π

4

⇒ (G2)12 = 0 , (G2)22 = −w2

D2Fw,π = −w2Fw,π , D2Fw,−π4= −w2Fw,−π

4

⇒ (D2 − w2)Fw,π = ô , (D2 − w2)Fw,−π4= ô ⇒ D2 − w2 es el operador nulo⁆

35) Consideremos los siguientes polinomios Po(x) = 1 , P1(x) = x , y la fórmula

de recurrencia, Pk(x) = (2 − 1k)xPk−1(x) − (1 − 1

k)Pk−2. Son llamados Polinomios de

Legendre. Verifique que dichos polinomios son LI.

⁅Por ejemplo: α + βx+ (γ2)(3x2 − 1) + (µ

2)(5x3 − 3x) = 0 ∀ x

⇒ α− γ2+ (β − 3

2µ)x+ (3

2)γx2 + (5

2)µx3 = 0 con x ∈ [1, 1]

Para x = 0 se obtiene α− γ2= 0 & (β − 3

2µ)x+ (3

2)γx2 + (5

2)µx3 = 0

⇒ (para x 6= 0) (β − 32µ) + (3

2)γx+ (5

2)µx2 = 0 [1]

& (x→ −x) (β − 32µ)− (3

2)γx+ (5

2)µx2 = 0 [2];

y sumando [1] + [2] (β 32µ) + (5

2)µx2 = 0 [3].

Page 169: Apuntes de Algebra Lineal

169

Luego [1]− [3] ⇒ γ = 0⇒ α = 0. Derivando [3] se obtiene 5µx = 0⇒ µ = 0 , etc⁆

35.1) Considere el espacio vectorial de los polinomios de orden N . Construya la base

de los polinomios de Legendre. Represente en dicha base al polinomio

FN = I0 + I1 +2I2 +3I3 + · · ·+NIN y al operador de derivación D, considere el caso

N = 3.

⁅I0 = P0 , I = P1 , P2 = (32)I2 − 1

2⇒ I2 = (2

3)P2 + (1

3)P0 , P3 = (5

2)I3 − (3

2)I

⇒ I3 = (25)P3 + (3

5)P1. Nótese que para calcular In+1 se requiere conocer Ik , desde

k = 0, 1, 2, · · · , n , lo cual ya ha sido calculado previamente. Note que, matricialmente

P0

P1

P2

P3

=

1 0 0 0

0 1 0 0

−12

0 32

0

0 −32

0 52

I0

I1

I2

I3

I0

I1

I2

I3

=

1 0 0 0

0 1 0 013

0 23

0

0 35

0 25

P0

P1

P2

P3

Una matriz es la inversa de la otra⁆

36) Sobre los determinantes:

• det(A) ≡ det(Ae1 Ae2 Ae3 · · ·Aen)

• det[Ω en base uk] ≡ det(Ae1 Ae2 Ae3 · · · Aen) , donde A = Ω/uk

• det[u1, u2, u3, · · · , un] = det(e1 e2 e3 · · · en)

• i) det[ek1 ek2 ek3 · · ·ekn ] ∈ 0, 1,−1. Son nn determinantes posibles; de entre ellos,

n! determinantes no se anulan, la mitad de las cuales es igual a la unidad. Los nn−n!determinantes restantes son nulos.

• ii) det[ak1 ak2 · · ·akn ] = det[ek1 ek2 · · · ekn ]det[a1 a2 a3 · · ·an]

⁅Partiendo de det[a1 a2 · · ·an] = det[e1 e2 · · · en]det[a1 a2 a3 · · ·an] realizar entre

los argumentos del primer factor del 2do miembro las mismas transposiciones que

entre los argumentos del primer miembro.⁆

Page 170: Apuntes de Algebra Lineal

170 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

• iii) det[ak1 ak2 · · ·akn ]det[ej1 ej2 · · · ejn] = det[aj1 aj2 · · ·ajn ]det[ek1 ek2 · · · ekn ]⁅Partir de la identidad: det[a1 a2 · · ·an]det[e1 e2 · · · en] = det[a1 a2 · · ·an]det[e1 e2 · · · en]⁆

• A veces, por comodidad, escribiremos M(p, q) para indicar los subíndices de la ma-

triz M . La expresión∑

[k1 k2 ··· kn] indica n “sumatorias”, según k1 , según k2 , · · ·

• iv)∑

[k1 k2 ··· kn] det[ak1 ak2 · · · akn]det[ek1 ek2 · · · ekn ] = (n!)det[a1 a2 a3 · · · an]

⁅det[ek1 ek2 · · · ekn] 6= 0 ⇒ (det[ek1 ek2 · · · ekn ])2 = 1 , entonces, de ii) también

se obtiene que det[ak1 ak2 · · · akn ]× det[ek1 ek2 · · · ekn] = θdet[a1 a2 a3 · · · an]

donde θ = 1 si det(ek) 6= 0 ó θ = 0 si det(ek) = 0. Entonces, en iv, todas los

sumandos que no son nulos, serán iguales a det[a1 a2 a3 · · · an], y el número de

dichos sumandos es n!⁆

• v) det[ak1 ak2 · · · akn ] =∑

[j1 j2 ··· jn] a(k1,j1)a(k2,j2) · · · a(kn,jn)det[ej1 ej2 · · · ejn ]⁅a(k1,j1) es la j1-ésima componente del vector ak1 , de índice k1⁆

• Tenemos:vi) n! det(M) = n! det[Me1 Me2 · · · Men]

=∑

[k1 k2···kn]det[Mek1 Mek2 · · · Mekn ]det[ek1 ek2 · · · ekn ]

=∑

[k1 k2···kn][j1 j2···jn]M(k1,j1)M(k2,j2) · · ·M(kn,jn)det[ej1 ej2 · · · ejn]det[ek1 ek2 · · · ekn]

=∑

[j1 j2···jn]det[eTj1M eTj2M · · · eTjnM ]det[eTj1 eTj2 · · · e

Tjn]

= n! det(MT )

de donde obtenemos que det(MT ) = det(M)

• (AB)ek = AB0k =∑

j BjkAej =∑

j BjkA0j (combinación lineal de las filas de A)

⁅(AB)ek = A(Bek) = AB0k = A∑

j Bjkej =∑

j BjkAej =∑

j BjkA0j⁆

Page 171: Apuntes de Algebra Lineal

171

• Tenemos:

vii) det(AB) = det[ABe1 ABe2 · · · ABen]

=∑

[j1 j2···jn]B(j1,1)B(j2,2) · · ·B(jn,n)det[Aej1 Aej2 · · · Aejn ]

=∑

[j1 j2···jn]B(j1,1)B(j2,2) · · ·B(jn,n)det[ej1 ej2 · · · ejn]det[Ae1 Ae2 · · · Aen]

= det[Ae1 Ae2 · · · Aen]det[Be1 Be2 · · · Ben]

= det(A)det(B)

⇒ det(AB) = det(A)det(B)

• viii) det(A−1) =1

det(A)

• ix) det(v1 v2 · · · vm) = det(v1 v2 · · ·vm) , det(Ω) = det(matrizΩ/εj)

⁅vk = [vk1 vk2 vk3 · · · vkn] =∑

j vkjej , cuando vk =∑

j vkjεj en la base εj⁆

• Dada una matriz M , construimos la matriz M#, tal que

(M#)pq = det[Me1 Me2 · · · Mep−1 eq Mep+1 · · · Men]

donde el vector eq está situado en la p-ésima posición. Es decir, (M#)pq es el deter-

minante de la matriz que se obtiene del borrar la p-ésima fila y la q-ésima columna

de la matriz M .

M =

m11 m12 m13 m14 m15

m21 m22 m23 m24 m25

m31 m32 m33 m34 m35

m41 m42 m43 m44 m45

m51 m52 m53 m54 m55

, (M#)42 = det

m11 0 m13 m14 m15

m21 0 m23 m24 m25

m31 0 m33 m34 m35

0 1 0 0 0

m51 0 m53 m54 m55

• (M#M)pk =∑

q(M#)pqMqk = det[Me1 Me2 · · · Mep−1 Mek Mep+1 · · · Men]

abcdefghi = det[Me1 Me2 · · · Mep−1 Mep Mep+1 · · · Men]δpk

• ix) M#M = Y det(M), es decir, la matriz M es ‘casi’ la inversa de la matriz M .

Page 172: Apuntes de Algebra Lineal

172 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

⁅(M#M)pk =∑

q

(M#)pqMqk

=∑

q

Mqkdet[Me1 Me2 · · · Mep−1 eq Mep+1 · · · Men]

= det[Me1 Me2 · · · Mep−1

q

Mqkeq Mep+1 · · · Men]

= det[Me1 Me2 · · · Mep−1 ek Mep+1 · · · Men]

= det[Me1 Me2 · · · Mep−1 Mep Mep+1 · · · Men]δpk

pues si k 6= p , k tendrá que ser igual a alguno de los otros números ⇒ la matriz

M#M es un múltiplo de la matriz identidad, M#M = Y det(M) ⁆

.

37) Si a es un vector columna, entonces aT es su vector transpuesto (dicho vector

considerado como fila), mientras que ad es su vector adjunto (dicho vector considerado

como fila, pero cuyos elementos son los conjugados complejos de los elementos de a),

es decir:

(aT )k = ak (ad)k = (ak)∗

38) Sean m vectores columna n-dimensionales p1 , p2 , p3 , · · · , pm , considerando

las columnas canónicas e1 = [1, 0, 0, 0, · · · , 0], e2 = [0, 1, 0, · · · , 0], donde los corchetes

indican columnas, mientras que []T indicarán filas; podemos escribir , pk =∑n

j=1 pjkej.

Ahora, con las primeras componentes de los vectores, pk construimos un vector q1 que

será m-dimensional; con las segundas construimos un vector, q2, · · · , con las n-ésimas

componentes construimos un vector, qn, es decir, qj =∑m

k=1 pjkek. También escribire-

mos P0k ≡ pk , Pj0 ≡ qTj , para representar las columnas o las filas de la matriz P ,

respectivamente.

Así, una matriz de n filas y m columnas la podemos describir de dos formas diferentes:

P = [p1 p2 · · · pm] =

qT1

qT2...

qTn

Page 173: Apuntes de Algebra Lineal

173

que es una matriz de m columnas y n filas.

39) Dados dos (vectores) columnas, u , v, escribiremos

u • v ≡ uTv =∑

k

ukvk 〈u,v〉 ≡ udv =∑

k

u∗kvk

Nótese que si las columnas son reales, entonces ambas expresiones coinciden.

40) Verifique que si se aplica la matriz P a un vector x se obtiene:

Px =

m∑

k=1

xkpk =

n∑

j=1

(x • qj)ej

donde los pk, ej son n-dimensionales, mientras que x,qj son m-dimensionales.

⁅(Px)k =∑m

k=1 Pkjxj ⇒ Px =∑n

k=1

∑mj=1 Pkjxjek =

∑mj=1P0jxj . Por otra parte,

∑nk=1

∑mj=1 Pkjxjek =

∑nk=1

∑mj=1(Pk0)jxjek =

∑nk=1(Pk0 • x)ek = · · · ⁆

41) Verifique que los siguientes vectores filas son unitarios:

• (sen(θ1), cos(θ1))

• (sen(θ2)sen(θ1), sen(θ2)cos(θ1), cos(θ2))

• (sen(θ3)sen(θ2)sen(θ1), sen(θ3)sen(θ2)cos(θ1), sen(θ3)cos(θ2), cos(θ3))

• (sen(θ4)sen(θ3)sen(θ2)sen(θ1), sen(θ4)sen(θ3)sen(θ2)cos(θ1), sen(θ4)sen(θ3)cos(θ2),

sen(θ4)cos(θ3), cos(θ4))

Si al primero lo designamos u1 , al segundo u2 , entonces, en general, podemos escribir

un+1 = (unsen(θn+1), cos(θn+1))

⁅(un+1)2 = (unsen(θn+1))

2 + (cos(θn+1))2 = (un)

2(sen(θn+1)2 + (cos(θn+1))

2.

Page 174: Apuntes de Algebra Lineal

174 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

Es una manera de construir iterativamente vectores unitarios n-dimensionales a partir

de un vector unitario 2-dimensional.⁆

42) Sean m (≤ n) columnas, N1,N2, · · · ,Nm , del espacio Rn ; verifique que el con-

junto x tal que x •Nk = 0 , k = 1, 2, · · · , m es un subespacio vectorial (es decir,

si r vectores pertenecen al conjunto, entonces cualquier combinación lineal de dichos

vectores también pertenece a dicho conjunto).

⁅(∑

j αjxj) •Nk =∑

j αj(xj •Nk)⁆

O

Pd

N

43) Si x ≡ OP es el vector posición de un punto P

(en Rn) , y N es el vector que representa a cierto

segdo, entonces x • N = d , con d ∈ R , es la

ecuación de un hiperplano. Verifique que, en el caso

n = 3, se trata de la ecuación de un plano que dista

d unidades del origen de coordenadas.

Distancia del plano al origen = proyección de OP

sobre dirección N =OP •N||N ||

⁅Sean x • N = d , z • N = d , entonces

(z − x) • N = 0 ⇒ z − x = OQ − OP = PQ

es perpendicular a N ; es decir, para dos puntos

cualesquiera que satisfacen la ecuación, la recta

que une dichos puntos es perpendicular a N ⇒ la

ecuación es la ecuación de un (hiper)plano.⁆

44) Verifique que en Rn , dado el vector N, el conjunto x tal que x • N = 0 es

un subespacio vectorial de dimensión n-1.

⁅x • N =∑n

k=1 xkNk = x1N1 +∑n

k=2 xkNk = 0 ⇒ x1 = (− 1N1

)∑n

k=2 xkNk , donde

x2, x3, · · · , xn son arbitrarios ó x =∑n

k=1 xkek =∑n

k=2 xk[ek − (Nk

N1)e1]⁆

Page 175: Apuntes de Algebra Lineal

175

45) Verifique que el conjunto x tal que x • Nk = 0 , k = 1, 2 es un subespacio

vectorial de dimensión n− 2 ¿Condiciones?. Atención que N1 y N2 pueden ser LD

⁅x1N11 + x2N12 = −∑n

k=3 xkN1k , x1N21 + x2N22 = −∑n

k=3 xkN2k , donde, si los

vectores Nk son LI, podremos despejar x1 y x2 en función de los restantes xk⁆

46) Verifique que si los Nk son LI, entonces el conjunto

Γ(m) = x tal que x •Nk = 0 , k = 1, 2, · · · , m

es un subespacio vectorial de dimensión n−m

⁅Si los m vectores Nk son LI, entonces existirán m columnas (de un total de n co-

lumnas) que serán LI. Por comodidad podemos suponer que las primeras m columnas

son LI; entonces:

N11 N12 · · · N1m

N21 N22 · · · N2m

......

. . ....

Nm1 Nm2 · · · Nmm

x1

x2

...

xm

+

N1 m+1 N1 m+2 · · · N1n

N2 m+1 N2 m+2 · · · N2n

......

. . ....

Nm m+1 Nm m+2 · · · Nmn

xm+1

xm+2

...

xn

= 0

P [x1 x2 · · · xm] +Q[xm+1 xm+2 · · · xn] = 0

⇒ [x1 x2 · · · xm] = −P−1Q[xm+1 xm+2 · · · xn]

⇒ xk = −ek · P−1Q[xm+1 xm+2 · · · xn]

⇒ x =∑m

k=1 xkek +∑n

j=m+1 xjej

Es decir, n−m componentes, xm+1, xm+2, · · · , xn , son arbitrarias.⁆

Quizás previamente demostrar que si U es m + p dimensional, V es m-dimensional,

entonces la aplicación lineal tiene rango no mayor que m

Page 176: Apuntes de Algebra Lineal

176 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

47) Dados los m vectores Nk y los m vectores ak , de Rn , construimos los n vectores

n-dimensionales ξj = Nj1a1 +Nj2a2 + · · ·+Njmam.

Verifique que:

i) x •Nk = 0 ∀ k ⇔∑

j xjξj = 0

ii) Si los ak son LI, entonces∑

j xjξj = 0⇒ x •Nk = 0 ∀ k

.

⁅∑

j xjξj =∑

j xj

∑mk=1Njkak =

∑mk=1(x •Nk)ak⁆

48) Verifique que Γ(m) es el núcleo de la matriz (operador) [ξ1 ξ2 ξ3 · · · ξn]

⁅Tenga presente 46⁆

49) i) Construya el subespacio S1 de los vectores que son ortogonales al vector [1 2 −1]ii) Construya una matriz A, tal que NA = S1.

⁅i) x1 + 2x2 − x3 = 0 , entonces x = x1[1 0 1] + x2[0 1 2] , con x1, x2 arbitrarios.

ii) Si x pertenece al núcleo, deberá cumplirse Ax = 0⇒ A10 • x = 0 ,

A20 • x = 0 , A30 • x = 0 ; entonces, basta tomar Ak0 = pk(1 2 − 1)⁆

50) i) Construya el subespacio S2 de los vectores que son ortogonales a los vecto-

res [1 2 − 1] y [−1 0 1]

ii) Construya una matriz B, tal que NB = S2.

⁅i) x = t[1 0 1] , ii) Bx = 0⇒ B10 = p1(1 2 − 1) , B20 = p2(−1 0 1) ,

B30 = q1B10 + q2B20⁆

51) i) Construya el subespacio S3 de los vectores que son ortogonales a los vecto-

res [1 2 − 1] y [−1 0 1] , [0 2 0]

Page 177: Apuntes de Algebra Lineal

177

ii) Construya una matriz B , tal que NB = S3.

⁅Los 3 vectores son LD; es el caso anterior⁆

52) ) i) Construya el subespacio S4 de los vectores que son ortogonales a los vec-

tores [1 2 − 1] y [−1 0 1] , [1 0 1]

ii) Construya una matriz B , tal que NB = S4.

⁅Sólo el vector 0 puede ser ortogonal a los 3 vectores dados, LI ⇒ S4 = 0. En-

tonces B debe ser tal que, B0 = 0⁆

53) Dado un vector unitario u = [u1 u2 u3] construimos el operador antisimétrico (de

3 columnas) U = [0 u3 − u2 | − u3 0 u1 | u2 − u1 0] = [u× e1 , u× e2 , u× e3] y

los operadores P = uuT , Q = −U2.

Verifique que:

i) Ua = u× a

ii) U2a = u× (u× a)

iii) P +Q = Y

iv) Interprete los siguientes dibujos:

u

Pa

Qa

a

Ua Qa

Pa

a

cuadrado

Page 178: Apuntes de Algebra Lineal

178 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

⁅i) Ua = [ −u3a2 + u2a3 | u3a1 − u1a3 | − u2a1 + u1a2 ]

ii) U2a = U(Ua) = U(u× a) = u× (u× a)

iii) (P +Q)a = Pa+Qa = uuTa− U2a = uuTa− u× (u× a) = (uTu)a

iv) Pa y Qa son dos componentes, perpendiculares entre sí, de a. Por otra parte,

Pa , Qa y Ua forman un triedro tri-rectángulo, diestro en ese orden⁆

54) Sea A una matriz de m × n (m filas, n columnas). Sean e(n)k , e

(m)j las colum-

nas canónicas en Rn y Rm , respectivamente, verifique que:

i) e(m) Tj A es la j-ésima fila de A.

ii) Ae(n)k es la k-ésima columna de A.

iii) e(m) Tj Ae

(n)k = e

(m)j · Ae(n)k = Ajk , es el elemento de A, que se encuentra en la

intersección de la k-ésima columna y la j-ésima fila.

iv) ABe(n)k = AB0k =

j BjkA0j la k-ésima columna del producto como combinación

lineal de las columnas de A (la matriz de la izquierda)

v) e(m) Tj AB = Aj0B =

k AjkA0j la j-ésima fila del producto como combinación

lineal de las filas de B (la matriz de la derecha).

vi) Verifique cada columna de la matriz producto de r matrices es una combinación

lineal de las columnas de la primera matriz de la izquierda.

vii) Verifique que cada fila de la matriz producto de r matrices es una combinación

lineal de las filas de la primera matriz de la derecha.

viii) Verifique que si las columnas de una matriz B pertenecen al núcleo de una matriz

A, entonces AB = O.

ix) Verifique que si las (transpuestas de las) columnas de una matriz A pertenecen al

núcleo de la transpuesta de una matriz B, entonces AB = O.

⁅vii) Si Bk0 pertenecen al núcleo de A entonces ABk0 = 0 = (por iv)ABek para todo

k ⇒ ABx = 0 , para x arbitrario⁆

Page 179: Apuntes de Algebra Lineal

179

55) Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales existen muchos métodos

diferentes. El objetivo es cambiar el sistema de ecuaciones dados por otro sistema equi-

valente pero, de alguna manera “más simple”. Aquí mostramos el “método de reducción

triangular”: Sea el sistema de ecuaciones (1) , (2) y (3) que será transformado en otro

sistema equivalente (1’), (2’) y (3’):

x1 − 2x2 + 3x3 − x4 + 4x5 = 5 (1) x1 − 2x2 + 3x3 − x4 + 4x5 = 5 (1′)

−x1 − 8x2 − x3 + 4x4 − x5 = 4 (2) − 10x2 + 2x3 + 3x4 + 3x5 = 9 (2′)

2x1 − 4x2 + 7x3 − x4 − x5 = −1 (3) − x3 − x4 + 9x5 = 11 (3′)

donde (1′) = (1) , (2′) = (1) + (2) , (3′) = 2(1)− (3). Se puede ver que los valores de

x4 y x5 son arbitrarios. De (3′) se obtiene x3 = −x4 +9x5− 11 , lo que reemplazado en

(2′) da 10x2 = 2(−x4 + 9x5 − 11) + 3x4 + 3x5 − 9 ; es decir, x2 = 0,1x4 + 2,1x5 − 3,1.

Finalmente, reemplazando x2 y x3 en (1′) obtenemos x1 = 2(0,1x4 + 2,1x5 − 3,1) −3(−x4 + 9x5 − 11) + x4 − 4x5 + 5 , es decir, x1 = 4,2x4 − 26,8x5 + 31,8. Verifique que

tales x1, x2, x3 satisfacen las ecuaciones (1), (2) y (3).

En general, se trata de transformar el sistema dado:A1x1 + A2x2 + A3x3 + A4x4 + A5x5 = a

B1x1 +B2x2 +B3x3 +B4x4 +B5x5 = b

C1x1 + C2x2 + C3x3 + C4x4 + C5x5 = c

D1x1 +D2x2 +D3x3 +D4x4 +D5x5 = d

F1x1 + F2x2 + F3x3 + F4x4 + F5x5 = f

G1x1 +G2x2 +G3x3 +G4x4 +G5x5 = g

en un sistema triangular (quizás cambiando el orden de las líneas):

A1x1 + A2x2 + A3x3 + A4x4 + A5x5 = a

M2x2 +M3x3 +M4x4 +M5x5 = m

N3x3 +N4x4 +N5x5 = n

P4x4 + P5x5 = p

Q5x5 = q

R5x5 = r

donde ya es fácil ‘despejar’ las incógnitas.

Page 180: Apuntes de Algebra Lineal

180 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

⁅Primeramente, eliminar x1 en la segunda y siguientes ecuaciones. Por ejemplo, pa-

ra eliminar x1 en la 3a ecuación: reemplazar la 3a ecuación por: 3a×A1 − 1a×C1. Así

quedan (en este caso) 5 ecuaciones con las incógnitas x2, x3, · · · , x5. Ahora, con estas

5 ecuaciones , proceder como antes, para eliminar la incógnita x2 en la 3a ecuación y

siguientes ⁆

56) En el proceso anterior pueden suceder diferentes situaciones. Por ejemplo:

i) P4 = P5 = 0 , p 6= 0, lo cual es una contradicción, no existe ninguna solución para

el sistema dado.

ii) P4 = P5 = 0 , p = 0 , con lo cual dicha ecuación es superflua (en el sistema dado

sobraba una ecuación, por ser combinación lineal de las otras.

iii)Q5

R5=

q

r, con lo cual las dos últimas ecuaciones son equivalentes.

iv)Q5

R5

6= q

r, con lo cual se ha obtenido una contradicción; no existe solución.

v) Varias ecuaciones resultan superfluas, con lo cual se trata de menos de 5 ecuaciones

para 5 incógnitas; entonces el sistema tendrá infinitas soluciones, donde si, por

ejemplo, quedan solamente dos ecuaciones (LI), entonces 5−2 = 3 de las incógnitas

serán arbitrarias.

a

57) Si consideramos los vectores columnas x ≡ [x1 x2 x3 x4 x5] , p = [a b c d e f ] ,

entonces el sistema de ecuaciones puede ser escrito Wox = p , donde Wo es una matriz

de 6× 5 , formada por los coeficientes en las ecuaciones.

Verifique que:

i) Las 6 filas son necesariamente LD.

ii) Eliminando una de las filas, que debe ser una combinación lineal de las otras filas,

obtenemos un matriz W de 5× 5. Exprese la solución si las 5 columnas son LI.

Page 181: Apuntes de Algebra Lineal

181

iii) Si las 5 columnas son LD el núcleo de W es un subespacio vectorial de dimensión

por lo menos igual a 1, y el rango de la función W es un subespacio de dimensión

menor que 5.

iv) Si el vector p no está en el subespacio rango de W , entonces no existe solución

válida.

v) Si el vector p pertenece al subespacio rango de W , entonces existen infinitas

soluciones (cuando se cumple iii)

⁅i) El número de filas LI es igual al número de columnas LI.

ii) Si las 5 columnas son LI entonces la matriz es invertible ⇒ x = W−1p

iii) El rango de una matriz es la dimensión del espacio RW , igual al número de colum-

nas LI.

iv) Wx =∑

k xkWk0

v) W transforma un vector en un vector del RW ⁆

58) Interprete los pasos dados para resolver el siguiente sistema homogéneo:

2x1 + x2 + 5x3 = 0 (1) 7x2 − 7x3 = 0 (1)− 2(2) ≡ (1′)

x1 − 3x2 + 6x3 = 0 (2) x1 − 3x2 + 6x3 = 0 (2) ≡ (2′)

3x1 + 5x2 + 4x3 = 0 (3) 14x2 − 14x3 = 0 3− 3(2) ≡ (3′)

7x2 − 7x3 = 0 (4) 7x2 − 7x3 = 0 (4) ≡ (4′)

(3′)− 2(1′) 0 = 0 quedan 2 ecuaciones:

x1 − 3x2 + 6x3 = 0

14x2 − 14x3 = 0

(4′)− (1′) 0 = 0 las ecuaciones que sobreviven son:

x1 + 3x3 = 0 (1′) + 314(2′)

x2 − x3 = 0 114(2′)

Verifique que el vector solución puede escribirse x = α[−3 1 1] , donde α es un

número arbitrario.

Page 182: Apuntes de Algebra Lineal

182 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

59) Considere el sistema homogéneo:

4x1+12x2−7x3+6x4 = 0 (1) x3+2x4 = 0 (1)−4(2) ≡ (1′)

x1 + 3x2 − 2x3 + x4 = 0 (2) x1 + 3x2 − 2x3 + x4 = 0 (2) ≡ (2′)

3x1+9x2−2x3+11x4 = 0 (3) 4x3+8x4 = 0 (3)−3(2) ≡ (3′)

x3 + 2x4 = 0 (1′) ≡ (1′′)

x1 + 3x2 + 5x4 = 0 (2′) + 2(1′) ≡ (2′′)

0 = 0 (3′)− 4(1′) ≡ (3′′)

Verifique que la solución (4-dimensional) puede escribirse:

x = α[5 0 2 − 1] + β[0 5 6 − 3], con α, β arbitrarios.

⁅Del último sistema obtenemos: x4 = −(15)x1 − (35)x2 , x3 = (2

5)x1 + (6

5)x2

⇒ x = [x1 x2 (25)x1 + (6

5)x2 − (1

5)x1 − (3

5)x2] = (x1

5)[5 0 2− 1] + (x2

5)[0 5 6 − 3]⁆

60) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones de un parámetro:

Ax1 − x2 + 2x4 = −7 (1)

−x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 10 (2)

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 2 (3)

5x1 − x2 + 3x3 = −9 (4)

3x1 + 3x2 − x4 = −10 (5)

7x1 + 6x2 + 15x3 + 10x4 = 19 (6)

⁅De 4, 5 y 6 resulta: x2 = −3641− (12

41)x1 , x3 = −135

41− (217

123)x1 , x4 = 302

41− (87

41)x1

lo cual reemplazado en 2 , resulta x1 = −3 , x2 = 0 , x3 = 2 , x4 = 1. Entonces, en 1 ,

resulta A = 3. Pero A es un número dado previamente; entonces, si A 6= 3 , el sistema

de ecuaciones no tiene solución.⁆

Page 183: Apuntes de Algebra Lineal

183

61) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

3x1 − x2 + 2x4 = −7 (1)

−x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 10 (2)

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 2 (3)

5x1 − x2 + 3x3 = −9 (4)

4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 (5)

62) Verifique que las funciones I0 , con I0(x) = 1 , I , I2 , I3 , I4 , I5 , con

dominio el intervalo (a, b) son LI.

⁅∑n

k=0 αkIk = ô ⇒

∑nk=0 αkx

k = 0 para x ∈ (a, b).

Derivando una vez, dos veces, hasta 5 veces:∑n

k=1 kαkxk = 0

∑nk=2 k(k − 1)αkx

k = 0∑n

k=3 k(k − 1)(k − 2)αkxk = 0

∑5k=4 k(k − 1)(k − 2)(k − 3)αkx

k = 0

5 · 4 · 3 · 2 · 1 α5 = 0⇒ α5 = 0 , lo cual reemplazado en la 4a derivación da α4 = 0 , y

así sucesivamente⁆

63) Sean las funciones p = I0 − cI , q = aI0 + I2 , r = bI − I2

i) Determine la condición para que ellas sean LI.

ii) Determine la dimensión del espacio vectorial generado por ellas, cuando son LI y

cuando no las son.

iii) Exprese las funciones I0, I2 como combinaciones lineales de p, q, r.

iv) Para det(p, q, r) = 1 , determine det(I0, I, I2)

v) Dado el operador W = ID (D ≡ derivada), determine las funciones Wp,Wq,Wr,WI0,WI,WI2

vi) Determine el núcleo del operador W.

Page 184: Apuntes de Algebra Lineal

184 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

⁅i) αp+ βq + γr = ô

⇒ α(I0 − cI) + α(aI0 + I2) + γ(bI − I2) = 0 ,

(α + βa)I0 + (γb− αc)I + (β − γ)I2 = 0

⇒ α + βa = 0 , γb− αc = 0 , β − γ = 0

⇒ α + βa = 0 , βb− αc = 0

⇒ β(ac+ b) = 0

⇒ ac + b 6= 0

⇒ β = 0 , α = 0 , γ = 0.

ii) 3, 2 pues son LI dos a dos.

iii) Sólo en el caso de LI, pues I0, I, I2 son LI.

iv) 1 = det(I0 − cI , aI0 + I2 , bI − I2)

= det(I0, aI0 + I2 , bI − I2)− c det(I , aI0 + I2 , bI − I2)

= det(I0, I2 , bI − I2)− c det(I , aI0 + I2,−I2)= det(I0, I2, bI)− c det(I , aI0 , −I2)= b det(I0 , I2 , I) + ac det(I , I0 , I2)

= −(b+ ac)det(I0 , I , I2)

v) Wp = −cI , Wq = 2I2 , Wr = bI − 2I2

⇒Wbp = −bcI , W (q + r) = bI

⇒W [bp + c(q + r)] = 0.

Es decir, bp+ c(q + r) = (ac+ b)I0 está en el núcleo de W ⁆

64) Considere los 16 operadores, Wmn ≡ ImDn , para m,n = 0, 1, 2, 3 · · · , actuando

sobre el espacio de los polinomios, ¿Cuáles de ellos tienen un núcleo con dimensión

mayor que cero?

⁅Tenemos:

D0Ik I0 I I2 I3 I0D0Ik I0 I I2 I3

DIk 0 1 2I 3I2 IDIk 0 I 2I2 3I3

D2Ik 0 0 2 6I I2D2Ik 0 0 2I2 6I3

D3Ik 0 0 0 6 I3D3Ik 0 0 0 6I3

Es decir,i) p ≤ k ⇒ IpDpIk = k(k − 1)(k − 2) · · · (k − p+ 1)Ik =

[

k!

(k − p)!

]

Ik

Page 185: Apuntes de Algebra Lineal

185

ii) p > k ⇒ IpDpIk = 0⁆

65) Considere las funciones fp tales que fp(x) = exp(px2), sobre toda la recta.

i) Verifique que si p 6= q , entonces fp y fq son LI.

ii) Sean dos operadores R y H , tales que Rf = If , H = −a2D2 + w2R2

Determine p para que Hfp y fp sean LD.

⁅i) αfp + βfq = ô ⇒ αexp(px2) + βexp(qx2) = 0 ∀ x ∈ R ; para x = 0 y x = 1 ,

obtenemos: α + β = 0 , αep + βeq = 0⇒ α = β = 0

ii) Dfp = 2pIfp , D2fp = (2p+4p2I2)fp , Hfp = [−2pa2+(w2−4p2a2)I2]fp ; entonces

deberá tomarse w2 − 4p2a2 = 0⇒ Hfp + 2pa2fp = 0 , con p = ± w

2a⁆

66) Verifique la igualdad de operadores:

HD −DH = −2w2R , D2R− RD2 = 2D , HR−RH = −2a2Des decir, para cualquier función ϕ se cumple,

(HD −DH)ϕ = −2w2Rϕ , (D2R −RD2)ϕ = 2Dϕ , (HR− RH)ϕ = −2a2Dϕ

⁅(HD −DH)ϕ = Hϕ′ − (Hϕ)′

= −a2D2ϕ′ + w2R2ϕ′ − (−a2D2ϕ+ w2R2ϕ)′

= −a2ϕ′′′ + w2I2ϕ′ + a2ϕ′′′ − w2(I2ϕ)′

= w2I2ϕ′ − w2(I2ϕ)′

= w2I2ϕ′ − w2(2Iϕ+ I2ϕ′)

= −w2(2Iϕ)

= −2w2Rϕ

es decir, (HD −DH)ϕ = −2w2Rϕ (ϕ arbitrario) ⇒ HD −DH = −2w2R⁆

Page 186: Apuntes de Algebra Lineal

186 CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

Page 187: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 8

Vectores propios

• Isomorfismo de los espacios de dimensión N .

• El espacio aritmético complejo.

• El operador de rotación.

• Representaciones de los vectores y operadores abstractos por vectores columna y

a. matrices (en ciertas bases dadas en cada uno de los dos espacios).

• Los valores propios de un operador autoadjunto son reales.

• Si dos valores propios de un operados son diferentes, entonces los correspondientes

a. vectores propios son ortogonales.

• Espacio propio de valores degenerados.

• Ejemplos de valores y vectores propios.

• Diagonalización de una matriz.

• El operador de conmutación de dos operadores.

• Vectores propios comunes.

• Algunos Teoremas.

187

Page 188: Apuntes de Algebra Lineal

188 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

EQUIVALENCIA DE ESPACIOS VECTORIALES

01) Consideremos un espacio vectorial m-dimensional Um . Sea uk una base de

este espacio; entonces para cualquier vector tendremos u =∑m

k=1 µkuk

Con los coeficientes µk construyamos una columna (de números complejos)

u ≡ [µ1, µ2, · · · , µm]←→ u =m∑

k=1

µkuk

Diremos que el vector-columna u ∈ Cm representa al vector u ∈ Um según la base ukde Um.

02) Sea Ω : Um −→ V n un operador lineal, donde para p ∈ Um se tiene Ωp = q ∈ V n

Sean uk , vj bases de los espacios Um y V n, respectivamente; entonces los vectores

Ωuk ∈ V n , y podemos escribir

Ωuk =n∑

j=1

wjkvj (observe el orden de los subíndices)

Ahora diremos que la matriz de n filas y m columnas, W , con componentes wjk es la

representación del operador lineal Ω según las bases uk y vj.Además, p =

∑mi=1 pkuk , q =

∑nj=1 qjuj con pk , qj ∈ C y p ≡ [ p0 , p1 , p2 · · · pm ] ,

q ≡ [ q0 , q1 , q2 · · · qn ] columnas. Entonces,

Ωp = q ←→Wp = q

02.1) Verifique quen∑

i=1

[

m∑

k=1

pkwik − qi

]

vi = 0

03) Sea el operador Ω ≡ (D2 + p2Y )(D2 + q2Y ) que, en adelante escribiremos simple-

mente Ω ≡ (D2 + p2)(D2 + q2) , y la ecuación diferencial Ωf = 0 ; es decir, el espacio

vectorial de las funciones f constituyen el núcleo del operador Ω.

Verifique que:

Page 189: Apuntes de Algebra Lineal

189

i) senp , cosp , senq , cosq son soluciones LI de Ωf = 0 .

ii) Las funciones f1(x) = sen(px+ π2) , f2(x) = sen(px+ π

3) ,

f3(x) = sen(qx+ π6) , f4(x) = sen(qx+ π

6) , constituyen una base del núcleo.

iii) Determine las representaciones de las funciones F (x) = sen(px+ α) y

G(x) = sen(qx+ β) en C4 , según la base fk

.

04) Determine las representaciones de los operadores Y,D,D2, D3, D4,Ω, ID según

la base fk.[¡Atención con el operador ID!]

05) Sea V n un espacio vectorial n-dimensional; sea uk una base de V n , enton-

ces la transformación ℜ : V n −→ Cn , tal que ℜ(uk) = ek , donde los ek son los

vectores de la base canónica, es invertible.

⁅Sean x =∑

pkuk , z =∑

qkuk dos vectores de V n tal que ℜ(x) = ℜ(z) , ¿ x = z ó

x 6= z?

ℜ(x) =∑

pkℜ(uk) , ℜ(z) =∑

qkℜ(uk)⇒∑

pkek =∑

qkek ⇒∑

(pk − qk)ek = 0

⇒ pk = qk ⇒ x = z ⇒ ℜ es invertible⁆

06) Verifique que si U , V son dos espacios vectoriales de igual dimensión (finita)

entonces existe un transformación lineal, T : U −→ V , invertible. Por ello se dice que

todos los espacios vectoriales de igual dimensión (finita) son isomorfos.

⁅Por ejemplo, la que aplica una base en la otra base⁆

Page 190: Apuntes de Algebra Lineal

190 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

07) Sean U , V espacios vectoriales de dimensiones

m y n , respectivamente; sea A una transformación

de U en V .

i) Interprete el dibujo adjunto, donde la transfor-

mación B es la que representa a la transformación

A según una base en U , y una base en V .

ii) Verifique que B = QAP−1

⁅Af = g ⇒ QAf = Qg ⇒ QAP−1Pf = Qg⁆

−→U V

P

A

Q

Cm CnB

−→

08) Sean U , el espacio de los polinomios de grado n. Considere en U las bases Ik y

Pk , polinomio de Legendre. Construya los operadores D2 , P , Q , B.

⁅Conociendo los operadores D , D + p , D2 + p2 , D2 − q2 , y teniendo presente

que dichos operadores conmutan, se pueden construir los operadores polinomios de

dichos operadores, obteniéndose un conjunto interesante de espacios vectoriales de di-

mensión, 3, 4, 5, · · · Aquí es importante ver que si A = D− q , B = D2+ p2 , Q = AB

entonces N(A), N(B) ⊃ N(AB).

Por otra parte, las ecuaciones de vectores y valores propios de dichos operadores,

crean problemas similares a los de hallar el núcleo; por ejemplo, (D2 + p2)F = λF ⇒[D2 + (p2 − λ)F ] = 0 , donde hay que tener cuidado con el signo de p2 − λ .⁆

VECTORES Y VALORES PROPIOS

09) Dado un operador lineal

Ω : U −→ U

diremos que el vector u , no nulo, es un vector pro-

pio del operador Ω si y solo si Ωu = λu , donde

λ es cierto número complejo, llamado valor propio

correspondiente al vector propio u

u

Ωu

Verifique que:

Page 191: Apuntes de Algebra Lineal

191

i) Las funciones f tales que f(x) = sen(wx+q) son vectores propios de los operadores

D2 , D4 , D2 + w2 , D4 − w4 , D2 − w2 , D4 + w4.

ii) Las funciones g tales que g(x) = exp(wx+q) son vectores propios de los operadores

D , D2 , D3 y D4

iii) Las funciones f tales que f(x) = sen(wx+q) son vectores propios de los operadores

D2 + w2 y (D2 + w2)(D2 + p2)

iv) El vector u es vector propio de la matriz de rotación R(u, θ)

v) Cualquier vector no nulo de un espacio V , es vector propio del operador identidad

de dicho espacio V.

vi) Un operador invertible no puede tener un vector propio con valor propio igual a

cero.

vii) Los vectores [ p 2q − p − q ] y [ 2 1 2 ] , con p, q , arbitrarios, son vectores

propios de la matriz de 3 columnas [ 3 2 4 | 2 0 2 | 4 2 3].

⁅El tercer vector propio es [ p+ 5q − 4p+ 2 p− q] con valor propio -1⁆

10) En un cierto espacio vectorial, sea Au = λu. Construya un vector propio, y su

correspondiente valor propio, para el operador Ω = 2A3 − 7A2 + 3A− 5Y .

11) Sea P un cierto polinomio; verifique que si Au = λu , entonces P (A)u = P (λ)u.

12) Sea Au = λu en un cierto espacio V ; sean MA y u la matriz y el vector co-

lumna que representan al operador A y al vector u en una cierta base de V . Verifique

que entonces se cumple MAu = λu

13) Sean, Auk = λkuk , m vectores y valores propios de un operador A. Verifique

que si los valores propios son diferentes entres sí, entonces los vectores propios son LI.

Page 192: Apuntes de Algebra Lineal

192 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

⁅i) Para m = 1 se cumple.

ii) Supongamos que para m > 1 se cumpla la implicación,∑m

k=1 pkuk = eU ⇒ pk = 0

verifiquemos que también∑m+1

k=1 pkuk = eU ⇒ pk = 0.

En efecto∑m+1

k=1 pkuk = eU ⇒∑m+1

k=1 pkAuk = eU ⇒∑m+1

k=1 pkλkuk = eU

⇒∑m+1

k=1 pkλkuk − αj

∑m+1k=1 pkuk = eU ⇒

∑m+1k=1 pk(λk − λj)uk = eU , donde λj es uno

de los valores propios no nulos. Entonces la última suma tiene solamente m sumandos,

de donde obtenemos que los m coeficientes pk(λk − λj) = 0 . Pero los paréntesis no

pueden ser nulos ya que los valores propios son diferentes dos a dos ⇒ pk = 0 para

k 6= j , es decir, m coeficientes son nulos. Luego, a continuación, también pj = 0

⇒los m+ 1 vectores propios uk son LI⁆

14) Verifique que si B es autoadjunto, Bd = B , entonces:

1. Sus valores propios son reales.

2. Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes, son ortogona-

les.

⁅i) 〈u,Bu〉 = 〈Bu, u〉 ⇒ 〈u, λu〉 = 〈λu, u〉ii) Bu = λu , Bv = βv ⇒ 〈v, Bu〉 = 〈Bv, u〉 ⇒ (α− β)〈v, u〉 = 0⁆

15) Sea xo un cierto vector (fijo), y sea el operador A tal que Au = u + xo. Halle,

por lo menos un vector propio de A.

⁅Si u = xo · · · ⁆

16) Sea uk una base de un espacio V . Sea x =∑n

k=1 pkuk y el operador A tal

que Ax = pnu1 +∑n−1

k=1 pkuk+1. Determine, por lo menos, un vector propio de A.

⁅Por ejemplo p1 = pj , todo j⁆

Page 193: Apuntes de Algebra Lineal

193

17) Dado el número real w , consideremos el operador Ω ≡ D2 + w2 ; hallemos las

soluciones de Ωf = λf , con λ real.

Verifique que para:

i) λ > w2 ⇒ n2 = λ− w2 los vectores propios son En y E−n

ii) λ = w2 los vectores propios son I , I0.

iii) λ < w2 ⇒ n2 = w2 − λ los vectores propios son senn , cosn.

18) Verifique que si los vectores uk son ortogonales, entonces ellos son vectores propios

de la matriz∑

k αkukudk

⁅∑

k αkukudkuj = αj||uj||2uj⁆

19) Teniendo presente que A ≡ [A01,A02, · · · ,A0n] , la ecuación Ax = λx se puede es-

cribir∑n

k=1(A0k−λek)xk = 0 , donde, para que x no sea nulo, los vectores (A0k−λek)

deben ser LD, es decir, det(A01 − λe1,A02 − λe2, · · · ,A0k − λek, · · · ,A0n − λen) = 0

que es una ecuación de grado n para λj, que (si A es autoadjunto) tendrá n raíces

reales. La dependencia lineal de los vectores A0k − λjek para cada λj puede ser desde:

i) Todos esos vectores son LD dos a dos, hasta

ii) n− 1 de dichos vectores son LI.

Si existiesen m de los vectores LI, pero cada m + 1 son LD, entonces expresaremos

cada uno de los n−m vectores en función de los m vectores que son LI.

20) Verifique que la matriz de dos columnas [ a b | c d ] tiene los valores propios

λǫ =(d+ a)

2+ ǫ

[(d − a)2 + 4bc]2

2correspondientes a los vectores propios [ b λǫ − a ]

Page 194: Apuntes de Algebra Lineal

194 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

21) Verifique que para la matriz de rotación [ cos(θ) −sen(θ) | sen(θ) cos(θ) ] los va-

lores propios son eiǫθ , y los correspondientes vectores propios son [sen(θ) cos(θ)−eiǫθ]

o si se prefiere, [ i ǫ]

21.1) Para simplificar el análisis de la rotación R(u, θ), lleve al vector u a coinci-

dir, por ejemplo, con e1 ; luego realice la rotación alrededor de e1 , y vuelva; es decir,

en general, verifique que:

R(R(v, φ)u, θ) = R(v, φ)R(u, θ)R(v,−φ)

.[Describa los productos V UV, V UV 2, V U2V, V U2V 2, V 2UV, V 2UV 2, V 2U2V, V 2U2V 2

teniendo presente que Uk0 = (u× ek)T , U0k = ek × u , Y − U2 = uuT ,

Wa ≡ (UV − V U)a = (u × v)× a , WU = uwT ó si prefiere, efectúe pacientemente

el producto de las tres matrices del lado derecho de la expresión dada]

22) Sea Eo(x) = exp(−αx2) ; verifique que:

D2(IkEo) = k(k − 1)Ik−2 − 2α(2k + 1)Ik + 4α2Ik+2Eo

22.1) Para F (x) =∑N

k=0 ckIkEo , verifique que:

D2F =

[

N−2∑

k=0

(k + 1)(k + 2)ck+2Ik − 2α

N∑

k=0

(2k + 1)ckIk + 4α2

N+2∑

k=2

ck−2Ik

]

Eo

23) Sea el operador H = −a2D2 + w2R2 , verifique que la ecuación de vectores y

valores propios HF = λF implica:

Page 195: Apuntes de Algebra Lineal

195

k = 0 −→ −a2[2c2 − 2αco] = λco

k = 1 −→ −a2[6c3 − 6αc1] = λc1

k = 2 · · ·N − 2 −→ −a2[(k + 1)(k + 2)ck+2 − 2α(2k + 1)ck + 4α2ck−2] + w2ck−2 = λck

k = N − 1 −→ −a2[−2α(2N − 1)cN−1 + 4α2cN−3] + w2cN−3 = αcN−1

k = N −→ −a2[−2α(2N + 1)cN + 4α2cN−2] + w2cN−2 = αcN

k = N + 1 −→ −a24α2cN−1 + w2cN−1 = αcN+1 ≡ 0

k = N + 2 −→ −a24α2cN + w2cN = αcN+2 ≡ 0

es decir,

−2a2c2 + (2αa2 − λ)co = 0

− 6a2c3 + (6αa2 − λ)c1 = 0

[2αa2(2N − 1)− λ] cN−1 + (w2 − 4α2a2)cN−3 = 0

[2αa2(2N + 1)− λ] cN + (w2 − 4α2a2)cN−2 = 0

(w2 − 4α2a2)cN−1 = 0

(w2 − 4α2a2)cN = 0

y , para 2 ≤ k ≤ N − 2

[2αa2(2k + 1)− λ]ck + (w2 − 4α2a2)ck−2 = a2(k + 1)(k + 2)ck+2

⁅HF = −a2[N−2∑

k=0

(k + 1)(k + 2)ck+2Ik − 2α

N∑

k=0

(2k + 1)ckIk + 4α2

N+2∑

k=2

ck−2Ik]Eo + w2

N∑

k=1

ckIk+2Eo

= λN∑

k=1

ckIkEo

Es decir:

−a2[

N−2∑

k=0

(k + 1)(k + 2)ck+2Ik − 2α

N∑

k=0

(2k + 1)ckIk + 4α2

N+2∑

k=2

ck−2Ik

]

+w2N+2∑

k=2

ck−2Ik−λ

N∑

k=0

ckIk = 0

⇒ separar k = 0 , 1 por un lado, y k = N − 1, N,N + 1, N + 2 , por otro ⁆

24) Verifque que la matriz de dos columnas A = [ cos(wt) −isen(wt) | isen(wt) cos(wt) ]

tiene su vector propio A[ i ǫ ] = (cos(wt) + ǫsen(wt))[ i ǫ ] con ǫ2 = 1.

Page 196: Apuntes de Algebra Lineal

196 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

25) Verifique que B = [ a (a− c)√2 | (a− c)

√2 c ] cumple con:

B[√2 1 ] = (2a− c)[

√2 1 ] B[ 1 −

√2 ] = (2c− a)[ 1 −

√2 ]

26) Verifique que la matriz A = [ 2a 0 b | 0 a 0 | b 0 e ] con a2 + b2 = ae

tiene los vectores propios u1 = [ 0 1 0 ] , u2 = [ b 0 − a ] , u3 = [ a 0 b ] ,

cumpliéndose Au1 = au1 , Au2 = au2 , Au3 = (a+ e)u3

26.1) Con la matriz B = [ 0 0 1 | 0 1 0 | 1 0 0 ] , la matriz Ap = A + pB

tiene los vectores propios [ b+ p 0 λ− 2a] donde (λ− 2a)(λ− e)− (b+ p)2 = 0.

27) A = [ a a 0 | a a c | 0 c a ] , con u = [ c 0 − a] , vλ = [ a λ− a c ] , siendo

λ = a+ λ√a2 + c2

28) Verifique que la matriz A = [ a u v | r b w | s t c ] con la condición

a(vs+ ur)vrt+ wus− bvs− cur = 0 tiene los valores propios

λ1 = a , λǫ =(b+ c)

2+ ǫ

[

(b− c)2

4+ wt+ vs+ ur

]12

29) Sean las matrices A = [ a pa | b pb ] , B = [ b − a | qb − qa]. Verifique

que para pq = −1 los dos productos son nulos: AB = BA = O

30) Sea el producto vectorial de 3 vectores 4-dimensionales, W (ek,u,v) , igual a la

k-ésima fila de una matriz M (antisimétrica) de 4× 4. Al actuar M sobre un vector a,

la k-ésima componente del vector resultante será

W (ek,u,v) • a = det(a, ek,u,v) = −ek • W (a,u,v) = ek • W (a,v,u) ; es decir,

Ma = W (a,v,u) es un vector ortogonal al vector a. Lo cual puede generalizarse a n

dimensiones.

Page 197: Apuntes de Algebra Lineal

197

Nótese que Wu = 0 , Wv = 0 , a • (Wa) = 0.

31) Calcule los vectores propios del operador de rotación R(u, θ)

⁅R(u, θ)z = λz⇒ (1− λ)z+ u× zsen(θ) + u× (u× z)(1− cos(θ))⇒ (1− λ)u · z = 0

pero u • z = 0 ⇒ θ = 0 , λ = 1 , que es una posibilidad. De λ = 1 se obtiene

u× zsen(θ) + u× (u× z)(1− cos(θ)) = 0⇒ (θ 6= 0)u× z = 0 ⁆

32) Dado el operador Q; considere la ecuación de vectores propios Qu = λu. Pero

teniendo presente que en un espacio n-dimensional la ecuación para λ es de n-ésimo

grado, con n raíces λk (algunas de las cuales pueden ser coincidentes), a cada una de

las cuales corresponderá un vector propio uk , escribiremos Quk = λkuk.

Por otra parte, recordemos que un operador queda definido por su efecto sobre cada

uno de los vectores del espacio vectorial, para lo cual basta conocer su efecto sobre

cada uno de los vectores de alguna base del espacio.

Sea entonces una cierta base νk , en la cual los vectores uk estarán caracterizados

por n números Ukj , uk =∑

j Ujkνj , y el operador Q estará caracterizado por n2

números complejos qjk , Qνj =∑

i qijνi. Asimismo podemos considerar que los n nú-

meros Ujk definen un cierto operador U tal que Uνk =∑

i Uikνi , con lo cual se cumple,

Uνk = uk , es decir, QUνk = λkUνk . Si, por otra parte, definimos un operador Γ tal

que Γνk =∑

i λkδikνi = λνk ; siendo νI una base, podemos escribir: QU = UΓ.

Por otra parte, si los vectores propios uk son LI, al resolver la ecuación Uv = O , pode-

mos escribir, v =∑

βkνk ⇒ O =∑

βkUνk =∑

βkuk ⇒ (uk LI)βk = 0⇒ v = ev ⇒ U

es inversible. Entonces, QUνk = λkUνk ⇒ (U−1QU)νk = λkνk , es decir, los vectores de

la base inicial νk resultan ser los vectores propios del operador U−1QU = Γ (lo que

en su representación matricial significa que Γ es diagonal).

⁅(QU0k)j = (U0kλk)⇒∑

iQjiUik =∑

i Ujiδikλk ⇒ QU = UM , con Mik = δikλk⁆

33) Representemos al espacio vectorial en el espacio Cn. Allí la ecuación Quk = λkuk

Page 198: Apuntes de Algebra Lineal

198 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

estará representada por la ecuación Quk = λkuk , donde el vector columna uk repre-

senta al vector uk , y la matriz Q representa al operador Q , en la base elegida, νj.Designando con Ujk a la j-ésima componente del vector columna uk , verifique que:

i) (Quk)j = (QU)jk

ii) (λkuk)j = (UΓ)jk , donde Γ es una matriz diagonal que cumple Γjk = λkδjk

iii) Quk = λkuk ⇔ QU = UΓ

.

34) Verifique que si los vectores propios uk son LI, entonces existe la matriz W ≡ U−1,

de manera que Q = UΓW , con lo cual UΓWuk = λkuk , de donde se deduce la

ecuación Γ(Wuk) = λk(Wuk). Es decir, si existe W , entonces

Quk = λkuk ⇔ QU = UΓQ = UΓW ⇔ Γ(Wuk) = λk(Wuk)

Se dice que la matriz Γ es la diagonalización de la matriz Q. Obsérvese que uk son

los vectores propios del operador Q, mientras que uk son los correspondientes vectores

(aritméticos) propios de la matriz Q (que representa al operador) y Wuk son los vecto-

res propios de la matriz diagonal Γ que, como puede demostrarse, también representa

al operador Q (precisamente en la base uk)

Page 199: Apuntes de Algebra Lineal

199

Q , uk

νj

uj

Q , uk

W = U−1

Γ , Wuk

35) Si designamos con νj a la base en la que

la matriz Q representa al operador Q , entonces

dichos vectores de base estarán representados por

las columnas canónicas ej ; los vectores propios

uk =∑

j(uk)jej representan a los vectores propios

uk =∑

j(uk)jνj

i) Verifique que por ser W inversible, entonces

Wek es también una base en Cn

ii) Así como los vectores ek representan a los vec-

tores νk , así existirán otros vectores υk que son

representados por los vectores Wek

iii) En la base υk ≡ uk el operador Q es repre-

sentado por la matriz diagonal Γ, y los vector

uk por las columnas Wuk.

36) Sea la matriz de 3 columnas

A =

[

(a+ b)

20

(a− b)

2

00

0b 0

(a− b)

20

(a + b)

2

]

Verifique que [ 1 0 1 ] , [ 1√2 − 1 ] y [ 1 −

√2 − 1 ] son sus vectores

propios, correspondientes a los valores propios, a , b y b, respectivamente. Construya

las matrices U y W , y verifique que la matriz WAU es diagonal, y que en la diagonal

se encuentran precisamente los valores propios.

⁅4W = [ 2 1 1 | 0√2 −

√2 | 2 − 1 − 1 ]⁆

37) Verifique que dada la matriz de 3 columnas [ a b c ] se cumple:

[ b× c c× a a× b ]T [ a b c ] = [ a b c ]T [ b× c c× a a× b ] = (a× b • c)Y

Lo cual permite hallar la inversa de una matriz de 3× 3.

Page 200: Apuntes de Algebra Lineal

200 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

38) Definimos el operador [A,B] ≡ AB − BA. Diremos que dos matrices conmu-

tan si y solo si AB = BA, es decir, [A,B] = O.

Verifique que la forma más general de la matriz B que conmuta con la matriz

A = [ a c | b d ] es B = [ p(a − d) b(p − q) | c(p− q) q(a − d) ] para el caso en que

d 6= a ; y es B = [ bp bq | cq bp ] si d = a.

38.1) Verifique que las matrices autoadjuntas [ ad bd cd ] y

[ a + αb × c b + βc × a c + γa × b ] , donde α, β, γ , son números arbitrarios,

conmutan.

39) Calcule los vectores propios de las matrices A y B, y verifique que ellos coin-

ciden.

⁅[ 2b d− a + ǫ√

(d− a)2 + 4bc ] [√b ǫ√c ]⁆

40)Sean las matrices A =[

(a+b)2

0 (a−b)2

∣ 0 00b 0

(a−b)2

0 (a+b)2

]

y

B = [ p − q p | − q z q | p q p ].

i) Verifique que dichas matrices conmutan.

ii) Vea cuáles vectores propios de A (conocidos de 36) son también vectores propios

de B.

iii) Determine el valor de t de manera que A y B tengan un vector propio común.

iv) Determine el valor de t para que A y B tengan sólo dos vectores propios comunes.

v) Determine el valor de t para que A y B tengan tres vectores propios comunes.

⁅Los vectores propios de A son u = [ 1 0 1 ]a , v = [ 1 0 − 1 ]b , w = [ 0 1 0 ]b ,

donde, por supuesto, A(rv + sw) = b(rv + sw).

El vector u también es vector propio de B; pero ni v ni w son vectores propios de B.

Page 201: Apuntes de Algebra Lineal

201

Pero los vectores qv − λw sí son vectores propios de B (y también de A) con valor

propio λ , donde 2λ = z + ǫ(8q2 + z2)12 .⁆

41) Cuando dado un operador Q , se considera la ecuación Qu = λu , entonces puede

suceder:

i) Que el valor propio λ es no degenerado; es decir, a él le corresponde un único vector

propio LI, es decir, le corresponde un espacio propio unidimensional (constituido

por todos los múltiplos no nulos del vector propio mencionado.

ii) λ es degenerado; es decir, a λ le corresponden más de uno vectores propios LI. Se

dice que es ν-degenerado si a dicho valor propio le corresponden ν vectores propios

LI; es decir, le corresponde un subespacio propio ν-dimensional, sin el “cero”.

.

42) ¿Cierto? Dos operadores pueden conmutar en todo el espacio, o solamente en

algún subespacio.

Sean uk un total de m vectores propios LI, comunes a los operadores A y B; es decir,

Auk = αkuk , Buk = βkuk.Verifique que [A,B]u = 0 , para todo vector del espacio m-

dimensional generado por los mencionado vectores propios (posiblemente existen otros

vectores propios de A que no son vectores propios de B, y recíprocamente). Es decir,

[A,B] = 0 en el citado subespacio.

43) Ahora supongamos que [A,B] = 0 en un cierto subespacio S del espacio vec-

torial V . Sea u un cierto vector de S que es vector propio de A, es decir, Au = λu.

Verifique que:

i) También A(Bu) = λ(Bu)

ii) Si λ es no degenerado, entonces u es vector propio de u.

.

Page 202: Apuntes de Algebra Lineal

202 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

44) [Continuando el caso anterior] Suponga que α es m-degenerado; es decir, exis-

ten m vectores uk LI, tales que Auk = αuk , verifique que, en tal caso, los vectores Buk

para k = 1, 2, · · · , m , son vectores del subespacio m-dimensional Sα.

Teniendo presente que tanto los vectores uk como los vectores Buk pertenecen al subes-

pacio Sα , entonces B deberá tener vectores propios en dicho subespacio, Bvj = βjvj ,

donde los vj son combinaciones lineales de los uk. Verifique que en Sα los dos operado-

res conmutan.

⁅Note que tanto uk como Buk pertenecen al subespacio Sα⁆

45) Verifique que si U diagonaliza a la matriz A, es decir, U−1AU es diagonal, en-

tonces:

i) Los vectores propios de U−1AU son los vectores de la base canónica , ek

ii) Los vectores Uek son los vectores propios de la matriz A.

iii) Si M es una matriz diagonal, entonces , en general, U−1MU no es diagonal.

.

46) TEOREMA 1: Si existe una matriz Q que diagonaliza simultáneamente a dos

matrices A y B (es decir, Q−1AQ y Q−1BQ son diagonales) entonces [A,B] = 0.

i) Verifique que dos matrices diagonales conmutan entre sí.

ii) Verifique que si existe Q, entonces Q−1AQ y Q−1BQ conmutan.

iii) Verifique que si Q−1AQ y Q−1BQ conmutan, entonces A y B también conmutan.

.

47) TEOREMA 2: Si dos matrices conmutan, AB = BA, entonces existe una matriz

Q que las diagonaliza simultáneamente; es decir, Q−1AQ y Q−1BQ son diagonales.

i) A y B conmutan; sea U la matriz que diagonaliza A, es decir AU ≡ U−1AU es

diagonal (BU ≡ U−1BU no tiene porque ser diagonal), de donde AU0j = αjU0j ;

verifique que AU y BU conmutan y que (αj − αk)(BU)jk = 0

Page 203: Apuntes de Algebra Lineal

203

ii) Verifique que si todos los valores propios de A son diferentes entre sí , entonces

BU es diagonal, con lo cual Q = U

iii) En el caso de que no todos los valores propios de A sean diferentes entre sí, suponga

que A tiene un total de m valores propios diferentes, α1 , α1 , · · · , α1 (r1 veces),

α2 , α1 , · · · , α2 (r2 veces), · · · , αm , αm , · · · , αm (rm veces). Verifique que

BU tiene, como consecuencia de (αj − αk)(BU)jk = 0, la forma de una matriz de

m bloques cuadrados de ri × ri [Note que para los elementos que no están en los

bloques cuadrados se cumple que j y k son tales que αj 6= αk]

iv) Considere uno de los bloques, por ejemplo, el segundo bloque, que es una matriz

de r2 × r2. Sea V2 la matriz de r2 × r2 que diagonaliza a dicho bloque. Construya

una matriz V (2) que es ‘casi igual’ a la unidad, excepto el segundo bloque que es la

matriz V2. Verifique entonces que V −12 AUV2 = AU , y que V −1

2 BUV2 (cuyo segundo

bloque ya está diagonalizado) se diferencia de BU solamente en el segundo bloque.

Así se muestra que la matriz BU puede ser diagonalizada bloque por bloque, sin

que las matrices de diagonalización parcial afecten a la matriz diagonal AU .

v) Verifique que la matriz V = V (1)V (2) · · ·V (m) , producto de las matrices que dia-

gonalizaron cada bloque de BU es una matriz de bloques, tal que V −1AUV y

V −1BUV son diagonales; es decir, Q = UV es la matriz que diagonaliza simulta-

neamente a las matrices A y B.

vi) Verifique que los vectores propios de A son Uek , mientras que los vectores propios

de B son UV ek

¿Bajo qué condiciones coinciden los correspondientes vectores propios?

a11 0 0 0 0 0

0 a22 0 0 0 0

0 0 a22 0 0 0

0 0 0 a22 0 0

0 0 0 0 a33 0

0 0 0 0 0 a33

b11 0 0 0 0 0

0 b22 b23 b24 0 0

0 b32 b33 b34 0 0

0 b42 b43 b44 0 0

0 0 0 0 b55 b56

0 0 0 0 b65 b66

Page 204: Apuntes de Algebra Lineal

204 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

48) Sean u,v vectores propios comunes a las matrices A y B; es decir, Au = pu ,

Av = qv , Bu = ru , Bv = tv. Verifique que si p = q , entonces los vectores αu+ βv,

con α, β arbitrarios, son vectores propios de A, pero no de B.

49) Verifique que la matriz mostrada a continuación tiene los 3 vectores propios indi-

cados

a b c

0 r 0

a− c 0 2c

b(2c− r)

(r − c)(a+ c− r)

b(c− a)

r

c

0

c− a

c

1

0

1

a+c

50) Verifique que la matriz mostrada tiene los vectores propios indicados

a b c

b r 0

c 0 e

(λ− e)(λ− r)

b(λ− e)

c(λ− r)

λ

c

c

r − a

b+r

Donde

[

λ− a+ b+ e

2

]2

= [(a+ b− e)2 + 4(r − a)2(b+ r − e)2]12

Ao =

a b c

0 2c 0

a− c 0 2c

, B =

0 0 0

0 1 0

0 0 0

51)Determine los vectores y valores

propios de la matriz Ao . Verifique que

la matriz A = Ao+ εB tiene dos vecto-

res propios comunes con Ao

Page 205: Apuntes de Algebra Lineal

205

Ao =

a b c

0 c 0

a− c 0 2c

, B =

0 0 0

0 1 0

0 0 0

52)Verifique que:

i) Ao tiene sólo dos vectores propios.

ii) A tiene 3 vectores propios.

iii) Dos de los vectores propios de A

tienden a confundirse cuando ε tiende

a cero.

53) TEOREMA: Una matriz autoadjunta, de N×N posee N vectores propios lineal-

mente independientes. Este teorema no será demostrado aquí. Debe tenerse presente

que el mencionado teorema establece una condición de suficiencia, no de necesidad

(Existen matrices no autoadjuntas que también poseen N vectores propios linealmente

independientes)

54) Verifique que la matriz Ao tiene un

valor propio 2-degenerado, por lo cual

directamente no se pueden obtener dos

vectores propios ortogonales.

Ao =

2 0 1

0 1 0

1 0 2

, B =

0 0 0

0 1 0

0 0 0

Obtenga los vectores y valores propios de la matriz A = Ao + εB y, pasando al lí-

mite cuando ε tienda a cero, obtenga dos vectores ortogonales para Ao.

55) Sea A una matriz no necesariamente autoadjunta, y sean λ1, λ2, · · · , λm las raíces

de la ecuación det(A − λ) = 0. Verifique que para cada λk existe (por lo menos) un

vector (no nulo) propio uk , es decir, Auk = λkuk

⁅El sistema de n ecuaciones homogéneas∑

k qjkxk = 0 tiene solución no nula cuan-

do det(qjk) = 0⁆

56) Sea Q(x) un cierto polinomio. Verifique que si Au = λu⇒ Q(A)u = Q(λ)u

Page 206: Apuntes de Algebra Lineal

206 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

57) Teorema: Sea A una matriz de n× n , y P (λ) = det(A− λ), entonces P (A) = 0

[Auk = λkuk ⇒ P (A)uk = P (λk)uk , con uk 6= 0]

57.1) Sea la matriz de 3 columnas A = [ a 0 a− c | b c 0 | c 0 2c ]

i) Verifique que c, a+ c son los valores propios de A.

ii) Verifique que (A− c)2(A− a− c) = O

57.2) Sea la matriz de 3 columnas A = [ 0 0 − c | b r 0 | c 0 2c ]

i) Verifique que c, r son los valores propios de A.

ii) Verifique que (A− c)2(A− r) = O

57.3) Sea la matriz de 3 columnas A = [ a 0 a− c | b a+ c 0 | c 0 2c ]

i) Verifique que c, a+ c son los valores propios de A.

ii) Verifique que (A− c)(A− a− c)2 = O

57.4) Sea la matriz de 3 columnas A = [ a 0 a− c | b r 0 | c 0 2c ]

i) Verifique que r, c, a+ c son los valores propios de A.

ii) Verifique que (A− r)(A− c)(A− a− c) = O

57.5) Sea la matriz de dos columnas A = [ a c | b e ] con b 6= 0. Verifique que:

i) λ1 =a+e2

+[

bc + (a−e)2

4

]12, λ2 =

a+e2−[

bc + (a−e)2

4

]12

son los valores propios de A

ii) (A− λ1)(A− λ2) = O

58) Una manera de obtener ciertos vectores propios (cuando se conocen los valores

propios): Sea la matriz de 3 columnas A = [ a 0 a− c | b r 0 | c 0 2c ]. Verifique

que si [ p q r ] es un vector cualquiera, entonces [ p q r ] ó (A − λ1)[ p q r ] ó

(A− λ2)(A− λ1)[ p q r ] es un vector propio de A.

Page 207: Apuntes de Algebra Lineal

207

⁅Tener presente que (A− λ3)(A− λ2)(A− λ1) = O⁆

59) Sea la matriz de dos columnas A = [ a c | b e ] con c = − (a−e)2

4b.

Verifique que:

i) λ1 =a+e2

es el único valor propios de A.

ii) (A− λ1)2 = O

iii) Tome un vector cualquiera [ p q ] y verifique que (A − λ1)[ p q ] es vector propio

de A.

iv) Siendo p, q arbitrarios, de lo anterior se obtienen una combinación lineal de dos

vectores propios ¿Qué ha pasado?

⁅λ1 es degenerado⁆

Page 208: Apuntes de Algebra Lineal

208 CAPÍTULO 8. VECTORES PROPIOS

Page 209: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 9

Vector de Inercia

• Vector de inercia Y(Q,u) y momento de inercia I(Q,u) para una partícula y para

• n partículas con respecto al eje (Q,u).

• Propiedades; aditividad.

• El vector de inercia y el momento angular.

• El momento de inercia y la energía de rotación.

• Los ejes principales de inercia, EPI.

• La matriz de inercia con respecto a un punto Q.

• EPI para un cuerpo homogéneo con simetría de revolución, y para un cuerpo con

• simetría planar.

• Ejemplos de valores y vectores propios.

• Otras simetrías.

• Momento de Inercia para anillos, discos, cilindros, cáscaras esféricas y esferas.

• Momento de Inercia para una varilla, una plancha y un bloque.

209

Page 210: Apuntes de Algebra Lineal

210 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

01) Sea un conjunto de N cuerpos muy pequeños que interactúan entre sí, donde,

j-ésimo cuerpo está sometido a las N − 1 fuerzas internas Fji más una fuerza externa

Fjj. Entonces cada cuerpo estará sometido a N fuerzas: N − 1 internas y una externa

(algunas de las cuales pueden ser nulas). Sea Fj la fuerza total sobre el j-ésimo cuerpo; F

la fuerza total sobre el conjunto de las N partículas. Entonces Fj =∑

i Fji , F =∑

j Fj

02) Verifique que 2F =∑

jk Fjk +∑

kj Fkj = 2∑

j Fjj +∑

j

k/k 6=j(Fjk + Fkj), de

manera que F =∑

j Fjj

⁅Fjk + Fkj = 0 por acción y reacción ; Fjj ≡ Fj exterior⁆

03) Para el anterior conjunto definimos (con respecto a cierto sistema de referencia):

i) LQ =∑

k mkQPk ×OP•k

ii) MQ =∑

k QPk × Fk

iii) Y(Q,u) =∑

k mkQPk × (u×QPk)

iv) I(Q,u) = u •Y(Q,u)

v) Ptot =∑

k mkOP•k

vi) Ecin =∑

k(mk

2)(OP•

k)2

Llamados, respectivamente, momento angular con respecto al punto Q, torque con

respecto al punto Q, vector de inercia y momento de inercia con respecto al eje

orientado (Q,u) (donde u es un vector unitario), momentum total, y energía ciné-

tica total con respecto a la referencia considerada.

Nótese que para calcular Y(Q,u), I(Q,u) no interesa si las partículas están,

o no están, en movimiento.

Page 211: Apuntes de Algebra Lineal

211

Para la figura de la derecha:

QP = QT+TP

QP’= QT−TP

QP”= −QT+TP

La masa m es la misma en los 3 puntos

P, P ’y P ”⇒Y(Q,u) = m[|TP |2u− (u •QT)TP]

Y’(Q,u) = m[|TP |2u+ (u •QT)TP]

Y”(Q,u) = Y’(Q,u)

mP ’

m

P”

m

P

u

Y (Q,u)

Q

T

Y ’(Q,u) = Y ”(Q,u)

Y(Q,u)k

I(Q,u)k mk

Pk

Q

u

⁅QP = QT+TP , QP’ = QT+TP’ = QT−TP ,

QP’× (u×QP’) = (QT−TP)× [u× (QT−TP)]

= QT× [u× (QT−TP)]− TP × [u× (QT−TP)]

= QT× [u× (−TP)]−TP× [u× (−TP)]

= −QT× (u×TP) +TP× (u×TP)

= (TP)2u− (u •QT)TP

.

Por otra parte, debe notarse que

QP” = −QP’⇒ QP” × (u×QP”) = QP’× (u×QP’).

Por otra parte, resulta que I(Q,u) =∑

k mkd(Pk al eje)2⁆

Page 212: Apuntes de Algebra Lineal

212 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

03.1) Sea G es el centro de masa, A un punto arbitrario, verifique que entonces

mAG =∑

k mkAPk.

⁅OG ≡ (∑

k mkOPk)

m⇒ mAG =

k mkAO+mOG =∑

k mk(AO+OPk)⁆

03.2) Sea Mk un punto del eje (Q,u) tal que QMk •MkPk = 0.

Verifique que para una distribución de masas puntuales:

Y(Q,u) = I(Q,u)u−∑k mk(QMk • u)MkPk

⁅QPk = QMk +MkPk ⇒ u×QPk = u×MkPk

⇒ QPk × (u ×QPk) = QPk × (u ×MkPk) = (QMk +MkPk) × (u ×MkPk), etc;

note que MkPk × (u×MkPk) = ||MkPk||2u = d2ku⁆

04) Verifique que LQ = mQG×OQ• +∑

k mkQPk ×QP•k

⁅LQ =∑

k

mkQPk ×OP•k

=∑

k

mkQPk × (OQ+QPk)•

=∑

k

mkQPk ×OQ• +∑

k

mkQPk ×QP•k⁆

05) Verifique que, en una referencia inercial: MQ = mOQ• ×OG• + L•Q

⁅MQ =∑

k QPk × Fk & inercial, entonces:

Page 213: Apuntes de Algebra Lineal

213

MQ =∑

k

QPk × (mkOP•k)

=

[

k

QPk × (mkOP•k)

]•

−∑

k

QP•k × (mkOP•

k)

= L•Q −

k

QP•k ×mk(OQ+QPk)

= L•Q −

k

QP•k ×mkOQ•

= L•Q −mQG• ×OQ•

= L•Q −m(QO +OG)• ×OQ•⁆

06) Verifique que si cada cuerpo del conjunto rota con velocidad angular θ•u alre-

dedor del eje (Q,u), entonces QP•k = θ•u×QPk.

⁅Q está en el eje de rotación, entonces debería ser que |QPk| = const.

En efecto, |QPk|2 = QPk •QPk ⇒ d|QPk|2dt

= 2QPk •QP•k = 2QPk • (θ•u×QPk) = 0.

Por otra parte, la velocidad debería ser perpendicular al eje; en efecto

QP•k • u = (θ•u×QPk) • u = 0.

Por otra parte pk ≡ u •QPk debería ser constante (como en el caso de un CR); pero

u •QP•k = 0⇒ p•k ≡ u• •QPk = u• • (QMk +MkPk) = u• •MkPk.

Entonces, p•k = u• •MkPk = 0 ∀ x ⁆

07) Verifique que en el caso de que todo el conjunto rote como un cuerpo rígido

alrededor del eje (Q,u), con velocidad angular w = θ•u, entonces se cumple que:

i) LQ = m QG×OQ• + θ• Y(Q,u)

ii) Ptot = m OQ• + θ• m u×QG

iii) Ecin =(m

2

)

(OQ•)2 + θ• m OQ• • u×QG+

(

1

2

)

(θ•)2I(Q,u)

iv) Para los ejes (Q,u) y (Q,v) se cumple que u •Y(Q,v) = v •Y(Q,u)

v) Si u , u1 , u2 , u3 , son 3 vectores unitarios tales que u = α1u1 + α2u2 + α3u3 ,

entonces Y(Q,u) = α1Y(Q,u1) + α2Y(Q,u2) + α3Y(Q,u3)

Page 214: Apuntes de Algebra Lineal

214 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

vi) Para dos ejes paralelos, que pasan por Q y S, se cumple:

Y(S,u)−m SG× (u× SG) = Y(Q,u)−m QG× (u×QG)

I(S,u)−m(u× SG)2 = I(Q,u)−m(u×QG)2

con lo cual se puede ver que tales diferencias dependen de la orientación de los

ejes, pero no de las posiciones de los mismos.

.

⁅i) LQ =∑

k mkQPk× (OQ•+QP•k) =

k mkQPk×OQ•+∑

k mkQPk× (w×QPk)

ii) Ptot =∑

k mkOP•k =

k mk(OQ +QPk)• = (

k mkOQ)• +∑

k mk(QPk)•

. = mOQ• +∑

k mk(w×QPk) = m OQ• +∑

k mk(θ•u×QPk)

iii) Ecin =∑

k(mk

2)(OP•

k)2

⇒ 2Ecin =∑

k

mk(OQ• + θ• u×QPk)2

=∑

k

mk(OQ•)2 + (θ•)2∑

k

mk(u×QPk)2 + 2

k

mk(OQ• • θ• u×QPk)

= m(OQ•)2 + 2θ•∑

k

mk(OQ• • u×QPk) + (θ•)2∑

k

mk(u×QPk) • (u×QPk)

= m(OQ•)2 + 2θ•m(OQ• • u×QG) + (θ•)2 u •∑

k

mkQPk × (u×QPk)

iv) v •Y(Q,u) =∑

k

mkv •QPk × (u×QPk)

=∑

k

mk(v×QPk) • (u×QPk)

=∑

k

mk(u×QPk) • (v ×QPk)

=∑

k

mku •QPk × (v ×QPk)

= u •Y(Q,u)

v) Y(Q,u) =∑

k

mkQPk × (α1u1 + α2u2 + α3u3)×QPk

= α1

k

QPk × (u1 ×QPk) + α2

k

QPk × (u2 ×QPk) + α3

k

QPk × (u3 ×QPk)

= α1Y(Q,u1) + α2Y(Q,u2) + α3Y(Q,u3)

Page 215: Apuntes de Algebra Lineal

215

vi) Y(Q,u) =∑

k

mk(QS+ SPk)× [u× (QS+ SPk)]

=∑

k

mkQS× (u×QPk) +∑

k

mkSPk × (u×QS) +∑

k

mkSPk × (u× SPk)

= m QS× (u×QG) +m SG× (u×QS) +Y(S,u)

= m(QG− SG)× (u×QG) +m SG× (u×QS) +Y(S,u)

= m QG× (u×QG)−m SG× (u×QG) +m SG× (u×QS) +Y(S,u)

= m QG× (u×QG)−m SG× (u×QG)−m SG× (u× SQ) +Y(S,u)

= m QG× (u×QG)−m SG× (u× SG) +Y(S,u) ⁆

08) Diremos que un eje (Q,u) es un EPI, eje principal de inercia (para una cierta

distribución de masa) si el correspondiente vector de inercia es paralelo al eje; es decir,

Y(Q,u) = λu.

Verifique que:

i) λ = I(Q,u)

ii) Si (Q,u) y (Q,v) son ejes principales de inercia (para una misma distribución de

masa, entonces:

ii.1) I(Q,u) 6= I(Q,v) implica que u • v = 0

ii.2) I(Q,u) = I(Q,v) implica que para t = αu + βv, el eje (Q, t) es también un

EPI para α, β , arbitrarios (pero los elegimos de modo que t sea unitario para

simplificar cálculos).

1. Para que un eje (Q,u) sea un EPI basta que su cumpla∑

k mk|QMk|MkPk = 0.

.

⁅i) I(Q,u) = u •Y(Q,u) = u • (λu) = λ

ii.1) Y(Q,u) = λ1u , Y(Q,v) = λ2v. Pero, por 7, u •Y(Q,v) = v •Y(Q,u)

⇒ u • λ2v = v • λ1u⇒ (λ2 − λ1)u • v = 0. Entonces, λ2 6= λ1 ⇒ u • v = 0

ii.2) t = λu+ βv

⇒ Y(Q, t) = αY(Q,u) + βY(Q,v) & Y(Q,u) = λu , Y(Q,v) = αv

⇒ Y(Q, t) = αλu+ βλv = λt

Page 216: Apuntes de Algebra Lineal

216 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

iii) De 03.2, Y(Q,u) = I(Q,u)u+∑

k mk|QMk|MkPk⁆

09) Sea el vector unitario u = (µ1, µ2, µ3), y sean Yk ≡ Y(Q, ek), donde los ek son los

vectores columnas [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 0 ] y [ 0 , 0 , 1 ]; entonces podemos escribir

Y(Q,u) = µ1Y1 + µ2Y2 + µ3Y3.

Si exigimos que (Q,u) sea un EPI, es decir, Y (Q,u) = Iu , entonces deberá cumplirse

que ek • Y(Q,u) = Iek • u , es decir, u • (Yk − Iek) = 0, para k = 1, 2, 3. Como u

es no nulo, entonces los tres vectores del paréntesis deberán LD o, si se prefiere, ser

paralelos a un mismo plano, es decir,

(Y1 − Ie1)× (Y2 − Ie2) • (Y3 − Ie3) = 0

que es una ecuación cúbica en I. Es decir, existirán tres raíces I1, I2, I3 , que satisfacen la

ecuación anterior (y puede demostrarse que ellas son reales). A cada raíz corresponderá

un vector, uk , de manera que Y (Q,uj) = Ijuj , cumpliéndose, como anteriormente

que uj • (Yk − Ijek) = 0 , para j, k = 1, 2, 3. Es decir, cada uj es perpendicular a los

tres vectores Yk − Ijek correspondientes, los mismos que deberán ser paralelos a un

mismo plano. Entonces, si dos de dichos 3 vectores son linealmente independientes (ya

que los 3 sí son linealmente dependientes), el vector uj será igual al producto vecto-

rial de ellos dividido entre su módulo (pues es un vector unitario). Si los 3 vectores

son linealmente dependientes, es decir, son paralelos, entonces uj será perpendicular a

cualquiera de ellos (con lo cual existirán infinitos vectores propios uj). Notemos que

los vectores Y(Q, ek) son conocidos.

[Para mayores detalles, ver 45), 46), 47)]

10) 10) Sean (Q,u1), (Q,u2), (Q,u3) tres ejes principales de inercia de un cuerpo rígi-

do, LI. Designemos por comodidad Y (Q,uj) = Yj , I(Q, uj) = Ij , entonces podemos

escribir; Y(Q,u) =∑

j Ijνjuj , donde u =∑

j νjuj .

Si los mencionados ejes están fijos al cuerpo rígido en consideración, entonces los mo-

mentos de inercia, Ij , permanecerán inalterados con los movimientos del CR. Ahora,

derivando con respecto al tiempo, tendremos que:

Y(Q,u)• =∑

j Ij(ν•juj + νju

•j) =

j Ij(ν•juj + νjw× uj).

Page 217: Apuntes de Algebra Lineal

217

Pero w = θ•u =∑

k θ•νkuk =

k wkuk , donde wk = θ•νk ; entonces,

Y(Q,u)• =∑

j

Ij

(

ν•juj + νj

k

wkuk × uj

)

⁅I•j = 0 , u•j = w × uj⁆

11) 11) Verifique que:

i) LQ = m QG×OQ• +∑

j Ijwjuj

ii) (LQ)• = m OG• ×OQ• +m QG×OQ•• +

j Ij(w•juj + wj

k wkuk × uj)

.

⁅i) Ver 07i

ii) L•Q = m(QG×OQ•)• + (

j

Ijwjuj)•

= m(QG×OQ•)• +∑

j

Ijw•juj +

j

Ijwju•j

= m(QG×OQ•)• +∑

j

Ij [w•juj + wjw× uj ] , con w =

k

wkuk ⁆

12) Verifique que en una referencia inercial (donde Fk = mkOP••k y u1 , u2 , u3

ortonormales), se cumple MQ = m QG×OQ•• +∑

j Ij(w•juj +wj

k wkuk ×uj), de

donde:

u1 •MQ = m u1 •QG×OQ•• + I1w•1 − (I2 − I3)w2w3

u2 •MQ = m u2 •QG×OQ•• + I2w•2 − (I3 − I1)w3w1

u3 •MQ = m u3 •QG×OQ•• + I3w•3 − (I1 − I2)w1w2

que son las llamadas ecuaciones (de Euler) para el cuerpo rígido, CR.

⁅De 05 y 11ii , MQ = mOQ• ×OG• + L•Q

⇒MQ = m QG×OQ•• +∑

j Ij(w•juj + wj

k wkuk × uj)⁆

Page 218: Apuntes de Algebra Lineal

218 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

13) Para una distribución de partículas, definimos la matriz de inercia (de 3 × 3)

con respecto a un punto Q.

M(Q) =∑

k

mk[QPTkQPk −QPkQPT

k ]

O, en el caso de una distribución continua:

M(Q) =

dm(P )[QPTQP−QP QPT ]

donde debe entenderse que el producto escalar está multiplicado por la matriz identi-

dad.

Verifique que se trata de una matriz simétrica: M(Q)T = M(Q)

⁅[QPTkQPk −QPkQPT

k ]T = [QPT

kQPk]T − [QPkQPT

k ]T , con (AB)T = BTAT ⁆

14) Verifique que si un cuerpo (o conjunto de partículas), C, está constituido por

dos partes, C = C1

C2 , entonces M(Q) = M1(Q) + M2(Q)

⁅∑

k(Pk ∈ C) =∑

k(Pk ∈ C1) +∑

k(Pk ∈ C2)⁆

15) Verifique que si u es un vector unitario, entonces Y(Q,u) = M(Q)u

⁅M(Q)u =∑

k mk[QPTkQPk −QPkQPT

k ]u =∑

k mk[QPk •QPku−QPkQPk • u]⇒ M(Q)u =

k mkQPk × (u×QPk)⁆

16) Verifique que el momento de inercia de una distribución de masas, I(Q,u), con

respecto a un eje (Q,u) es el “valor promedio de la matriz de inercia en la dirección u”:

I(Q,u) = ⟨u,M(Q)u⟩

[La versión cuántica de la frase entre comillas sería: el valor promedio del operador (o

matriz) de inercia el estado u], y que I(Q,u) es un número real no negativo.

Page 219: Apuntes de Algebra Lineal

219

17) Verifique que AP = αv es la ecuación para los puntos P de una recta que pasando

por el punto A es paralela al segdo representado por el vector u.

⁅α = 0⇒ P = A ⁆

17.1) Teniendo presente que cualquier vector p puede escribirse como la suma,

p = (u • p)u + u × (p × u), de su componente paralela al vector unitario u, más su

componente perpendicular a u, verifique que la distancia de un punto Q a la recta

anterior es ||u×QA||

⁅α =áng(AQ,u) , d = dist(Q, recta)⇒ d = |AQ|sen(α) = ||u|| ||AQ||sen(α)⁆

18) Considere tres masas puntuales:

i) m1 en [ a 0 0 ]

ii) m2 en [ 0 b 0 ]

iii) m3 en [ 0 0 c ]

Verifique que:

i) La matriz de inercia de las 3 masas con respecto a un eje (O,u) es

M(O) = m1a2(1− e1e

T1 ) +m2b

2(1− e2eT2 ) +m3c

2(1− e3eT3 )

ii) El vector de inercia de las tres masas con respecto al eje (O,u) es

Y(O,u) = m1a2(u− u1e1) +m2b

2(u− u2e2) +m3c2(u− u3e3)

iii) El momento de inercia de las tres masas con respecto al eje (O,u) es

I(O,u) = m1a2(1− u2

1) +m2b2(1− u2

2) +m3c2(1− u2

3)

iv) Verifique que si se cumple que m1a2 = m2b

2 = m3c2(≡ R), entonces cualquier eje

(O,u) es un EPI del sistema constituido por las 3 partículas.

Page 220: Apuntes de Algebra Lineal

220 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

⁅M(O) = m1(OATOA−OA OAT ) +m2(OBTOB−OB OBT )

. +m3(OCTOC−OC OCT ).

Pero OA = ae1 ⇒ OATOA−OA OAT = a2(eT1 e1 − e1eT1 ) ⁆

19) Sea un polígono regular P0P1P2 · · ·PN−1PN , donde PN ≡ P0 , con centro en

el punto O.

Verifique que∑N

k=1OPk = 0

⁅Sea el sistema de coordenadas en el plano del polígono, de manera que el eje OX

coincida con OP0 ; y sea θ = 2πN

el ángulo que forman dos “radios” consecutivos.

Las coordenadas del punto P0 serán: OP0 = r[ 1 0 ] ; también OP1 = r[ cos(θ) sen(θ) ];

en general, OPk = [ cos(kθ) sen(kθ) ] ; OPN = [ cos(2π) sen(2π) ].

Para la suma [ p q ] =∑N

k=0OPk ⇒ p =∑N−1

k=0 cos(kθ) , q =∑N−1

k=0 sen(kθ)

⇒ p.cos(θ)− q.sen(θ) =∑N−1

k=0 cos((k + 1)θ) = p , p.sen(θ) + q.cos(θ) = q

⇒ p = q = 0.

Note que cos(Nθ) = cos(0× θ)⇒∑Nk=1 cos(kθ) =

∑N−1k=0 cos(kθ)⁆

20) Sean n masas puntuales de igual valor,

m, situadas formando un polígono regular.

Verifique que el eje perpendicular al polí-

gono, pasando por el centro del mismo, es

un EPI.

⁅Considerar 08iii y 20 ; QPk = QM+MPk⁆

m

Q

u

m

m

m

m

m

21) Verifque que una masa puntual en el punto P le corresponde el mismo vector

de inercia Y que dicha masa colocada en el punto P ’ simétrico de P con respecto a

Q, es decir, QP+QP’ = 0

Page 221: Apuntes de Algebra Lineal

221

22) Verifique que si (Q,u) es un eje de simetría poligonal o de revolución de un cuerpo

homogéneo, entonces dicho eje es un EPI.

23) Verifique que si un cuerpo posee un plano de simetría (especular), entonces to-

do eje perpendicular a dicho plano, con Q en el plano, es un EPI del citado cuerpo.

u

Eje de simetrıa

Q

u

Q

Plano de simetrıa

24) Verifique que si (Q,u) y (Q,v) son dos ejes principales, con momentos de inercia

diferentes, M(Q)u = λu , M(Q)v = βv , entonces dichos ejes son perpendiculares

entre sí, u • v = 0 .

25) Teniendo presente que∑

k mkAPk = mAG , verifique que para dos ejes para-

lelos, (Q,u) y (Q’,u) se cumple que:

i) Y(Q,u) = Y(Q’,u) +m QQ’× (u×QG) +m Q’G× (u×QQ’)

ii) I(Q,u)−m(u×QG)2 = I(Q’,u)−m(u×Q’G)2 = I(G,u) ¿||u×QG||?

.

Page 222: Apuntes de Algebra Lineal

222 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

26) Sea una plancha homogénea (en general,

de forma irregular) y tres ejes perpendiculares

dos a dos, de manera que dos de los ejes se

encuentran sobre la plancha.

Verifique que la suma de los momentos de

inercia con respecto a los ejes sobre la plancha

es igual al momento de inercia de la plancha

con respecto al eje perpendicular a ella.

27) Sea una distribución de masa sobre un plano, y un eje (Q,u) perpendicular a

dicho plano que lo interseca en su centro de masa, donde Q no está (necesariamente)

en el plano de las masas.

Verifique que tal eje es un EPI.

27.1) Sea un anillo de masa m y radio r. Verifique que el momento de inercia con

respecto al eje central es Ianillo = mr2.

28) Sea I(r) el momento de inercia de un disco de radio r con respecto a su eje

central. Verifique que, con h ≈ 0 , podemos escribir:

i) I(r+ h) ≈ I(r) + σ(2πrh)r2 , donde σ =m

(πR)

ii)dI

dr= σ(2π)r3

iii) I(r) = σ(π

2

)

r4 + C

iv) C = 0 , con lo cual Idisco , eje central =(m

2

)

R2

r

R

.

Page 223: Apuntes de Algebra Lineal

223

29) Verifique que Idisco , eje diametral =(m

4

)

R2

30) Sea un cilindro homogéneo cuyo eje de simetría es el eje OZ, de radio R y al-

tura b− a, donde (0, 0, b) y (0, 0, a) son las posiciones de la tapa superior y de la tapa

inferior, respectivamente. Sea I(z) ≡ Idiam(desde a hasta z); verifique que si ρ es la

densidad de masa del cilindro, entonces:

i) Icilindro , eje central =

(

M

2

)

R2

ii) I(z + h)− I(z) = (πR2h)ρ

[(

1

4

)

R2 + z2]

iii)dI

dz= (πR2)ρ

[(

1

4

)

R2 + z2]

iv) I(z) = (πR2)ρ

[

(z

4

)

R2 +z3

3

]

+ C

v) I(a) = 0⇒ C = −(πR2)ρ

[

(a

4

)

R2 +a3

3

]

vi) I(z) = (πR2)ρ

[

(z − a)

4R2 +

(z3 − a3)

3

]

vii) Icilindro , eje diametral que pasa por origen O = M

[

R2

4+

(a2 + ab+ b2)

3

]

viii) Todos los ejes diametrales que pasan por el origen tienen el mismo momento

de inercia. En total el cilindro posee 1 + ∞ EPI que pasan por el origen de

coordenadas.

ix) Para a2 + ab + b2 =3R2

2cualquier recta que pasa por el origen es un EPI del

cilindro.

.

Page 224: Apuntes de Algebra Lineal

224 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

31) Considere una superficie esférica de radio

R. Verifique que un anillo caracterizado por los

ángulos θ y θ+ α , como se muestra, tiene área

(aproximadamente) igual a (2πRsen(θ))Rα , de

manera que su momento de inercia con respecto

a su “eje polar” es:

Ianillo ≈ σ(2πR2sen(θ))α(Rsen(θ))2

Rsen(θ)Rα

θ

θ + α

32) Si I(θ) ≡ I(casquete desde 0 hasta θ), verifique que:

i) I(θ + α)− I(θ) ≈ σα2πR4sen3θ

ii) I ′(θ) = σ2πR4sen3θ

iii) I(θ) = σ2πR4(−cos(θ) + 13cos3(θ)) + C

iv) Teniendo presente que I(0) = 0 ,

entonces Icáscara =2

3mR2

v) Calcule los momentos de inercia para un casquete

caracterizado por el ángulo θ, tanto con relación a

un ‘eje polar’, como con relación a un eje transver-

sal.

33) Para calcular el momento de inercia de una esfera homogénea con respecto a

un eje diametral, considere que:

i) I(r) es el momento de inercia de una esfera de radio r, entonces I(r+h)− I(r) =

Icáscara, de donde se obtiene I ′(r) = (8π3)ρr4 ; luego Iesfera =

25MR2

ii) El momento de inercia de un casquete, caracterizado por el ángulo θ, con respecto

a un eje polar es I(θ); entonces I(θ + α) − I(θ) = Ianillo , de donde se obtiene

I ′(θ), y luego Iesfera = I(π) = 25MR2

Page 225: Apuntes de Algebra Lineal

225

iii) El momento de inercia de un cilindro de radio r, que tiene como tapas casquetes

esféricos, es I(r) ; entonces I(r + h)− I(r) ≈ Icáscara cilíndrica , de donde se obtiene

I ′(r), y luego Iesfera = I(R) = 25MR2

.

34) 27) Sea una varilla uniforme AB, de densidad de masa k ; P un punto de la

varilla con |AP | = s ; entonces, siendo v unitario OP = OA+ sv

Verifique que:

i) La distancia de P al eje (O,u) es igual a ||u×OP||

ii) Para I(s) = I(desde A hasta P ) se cumple que

I(s+ h)− I(s) = kh(u×OP)2

iii) I ′(s) = k[(u×OA)2+2s(u×OA)•(u×v)+s2(u×v)2]

iv) Ivarilla ≡ I(λ) = m[(u×OA)• (u×OB)+1

3(u×AB)2]

v) Si la varilla es paralela al eje, entonces I = m(u×OA)2

O

u A

B

v

35) Considere el caso de un paralelogramo ABCD, AB = pv , AD = qw, densi-

dad σ. Sea I(t) ≡ I(paralelogramo ABPS) ; verifique que:

i) I(t+ h)− I(t) = ph||v×w||σ[(u×OP) • (u×OP+ pu× v) + p2

3(u× v)2]

ii) OP = OA+ tw

iii) I ′(t) = pσ||v×w||(u×OA) • (u×OA+ pu× v) + p2

3(u× v)2

. + t(u×w) • (2u×OA+ pu× v) + t2(u×w)2

iv) I = M(u×OA) • [u× (OA+ pv + qw)] + p2

3(u× v)2 + pq

2(u×w) • (u× v) + q2

3(u×w)2

v) Itabla = M(u×OA)2 + (u×OA) • (u×AB) + 13(u×AB)2

+ (u×OA) • (u×AD) + 13(u×AD)2 + 1

2(u×AB) • (u×AD)

vi) Para AB ≈ 0 se obtiene, como en 35, I = m[(u×OA) • (u×OD) + q2

3(u×w)2]

Page 226: Apuntes de Algebra Lineal

226 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

.

u

O

A

B

C

D

v

w

t

.

36) Para un paralelepípedo de lados pv , qw , rn. Tomar OP = OA+ sn.

Tener presente que I(s+ h)− I(s) = I(paralelogramo ‘horizontal’ con vértice en P )

i) Verifique que para el paralelogramo ∆m = hpq ρv×w •n donde ρ es la densidad

de masa del bloque homogéneo.

ii) I ′(s) = pqv ρv ×w • n(u×OP) • [u× (OP+ pv + qw)] + p2

3(u× v)2

. + pq2(u×w) • (u× v) + q2

3(u×w)2

iii) I = M(u×OA) • [u× (OA+ pv + qw + rn)] + p2

3(u× v)2 + q2

3(u×w)2

. + r2

3(u×n)2+(1

2)[pq(u×v)•(u×w)+qr(u×w)•(u×n)+rp(u×n)•(u×v)]

iv) Vea los casos en el que el paralelepípedo tiene un vértice en el origen, y en el que

centro de masa se encuentra en el origen.

v) Determine los momentos de inercia con respecto a cualquiera de 12 aristas.

Page 227: Apuntes de Algebra Lineal

227

A

P

w

n

v

.

37) Considere dos ejes (Q,u) y (Q,u’) y determine las condiciones para las cuales

los dos momentos de inercia coincidan. Repita el asunto con tres ejes no coplanares.

38) Verifique que, para el caso de la varilla AB se cumple:

Y (O,u)varilla = m[OA× (u×OA) + 12OA× (u×AB) + 1

2AB× (u×OA)

. + 13AB× (u×AB)]

39) Verifique que para el caso de la “tabla” (paralelogramo) AB , AD se cumple:

Y(O,u)tabla = m[OA× (u×OA) + 12OA× (u×AB) + 1

2AB× (u×OA)

. + 13AB× (u×AB) + 1

2OA× (u×AD) + 1

2AD× (u×OA)

. + 13AD× (u×AD) + 1

4AB× (u×AD) + 1

4AD× (u×AB)]

Page 228: Apuntes de Algebra Lineal

228 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

40) Verifique que en el caso del bloque AB , AD , AN se obtiene:

Y(O,u)bloque =mOA× (u×OA) +1

2[OA× (u×AB) +AB× (u×OA)

+OA× (u×AD) +AD× (u×OA) +OA× (u×AN) +AN× (u×OA)]

+1

3[AB× (u×AB) +AD× (u×AD) +AN× (u×AN)]

+1

4[AB× (u×AD) +AD× (u×AB) +AD× (u×AN) +AN× (u×AD)

+AN× (u×AB) +AB× (u×AN)]

41) Verifique que a partir de los 3 últimos casos se obtienen los momentos de iner-

cia ya obtenidos anteriormente.

42) Verifique que, para el caso del vector de inercia con respecto a un eje (A,u),

que pasa por el vértice A, las fórmulas anteriores se simplifican:

Y(A,u)varilla =m3[AB× (u×AB)]

Y(A,u)tabla =m12[4AB× (u×AB) + 4AD× (u×AD) + 3AB× (u×AD)

. + 3AD× (u×AB)]

Y(A,u)bloque =m124[AB× (u×AB) +AD× (u×AD) +AN× (u×AN)]

. + 3[AB× (u×AD) +AD× (u×AB) +AD× (u×AN)

. +AN× (u×AD) +AN× (u×AB) +AB× (u×AN)]

I(A,u)varilla =(

m3

)

(u×AB)2

I(A,u)tabla =m6[2(u×AB)2 + 2(u×AD)2 + 3(u×AB) • (u×AD)]

I(A,u)bloque =m124[(u×AB)2 + (u×AD)2(u×AN)2] + 3[(u×AB) • (u×AD)

. + (u×AD) • (u×AN) + (u×AN) • (u×AB)]

Page 229: Apuntes de Algebra Lineal

229

43) Verifique que si u = p1e1 + p2e2 + p3e3 , entonces:

Y(Q,u) = p1Y(Q, e1) + p2Y(Q, e2) + p3Y(Q, e3)

Donde los vectores de inercia Y(Q, ek) son conocidos. Esto permite atacar el problema

de hallar el (o los) EPI de una distribución de masa, Y(Q,u) = λu

44) Sea el vector u = [x1, x2, x3] =∑

k xkek , y los vectores conocidos a1 , a2 , a3 ; se

trata de resolver la ecuación x1a1 + x2a2 + x3a3 = λ∑

k xkek , es decir,

x1(a1 − λe1) + x2(a2 − λe2) + x3(a3 − λe3) = 0 , verifique que

(a1 − λe1)× (a2 − λe2) • (a3 − λe3) = 0 , y que se trata de una ecuación cúbica en λ ;

es decir, en general se obtienen tres soluciones λ1 , λ2 , λ3

Verifique también que dichas raíces son los momentos de inercia correspondientes a los

ejes buscados.

45) Para cada una de las raíces , los vectores a1 − λje1 , a2 − λje2 , a3 − λje3

son LD. Suponga que para cierta raíz λj ellos son LD dos a dos, por ejemplo,

a2 − λje2 = p(a1 − λje1) , a3 − λje3 = q(a1 − λje1), pero que (Q, e1) no es un EPI ;

verifique que, en tal caso, tanto [−p, 1, 0] como [−q, 0, 1] son vectores propios correspon-

dientes al valor λj [note que a2−λje2 = p(a1−λje1)⇒ −pa1+a2 = λj(−pe1+e2) · · · ]

46) El segundo caso sucede cuando, para cierta raíz λj , dos de los vectores, por

ejemplo, a1 − λje1 y a2 − λje2 son LI . Verifique que, en tal caso:

i) Se obtienen las ecuaciones:

x1(a1 − λje1)× (a2 − λje2) + x3(a3 − λje3)× (a2 − λje2) = 0

x2(a1 − λje1)× (a2 − λje2) + x3(a1 − λje1)× (a3 − λje3) = 0

ii) a3−λje3 y a2−λje2 LD⇒ x1 = 0 , (a1−λje1)× (a3−λje3) 6= 0 , quedando la

ecuación x2(a1−λje1)× (a2−λje2)+x3(a1−λje1)× (a3−λje3) = 0 de donde se

puede obtener x3 en función de x2 , lo que dará el vector propio correspondiente.

Page 230: Apuntes de Algebra Lineal

230 CAPÍTULO 9. VECTOR DE INERCIA

iii) a3−λje3 y a1−λje1 LD⇒ x2 = 0 , (a3−λje3)× (a2−λje2) 6= 0 , quedando la

ecuación x1(a1− λje1)× (a2− λje2) + x3(a3− λje3)× (a2− λje2) = 0 , de donde

se puede obtener x3 en función de x1.

iv) Los 3 vectores a1 − λje1 , a2 − λje2 y a3 − λje3 son LI dos a dos, en cuyo caso

en las ecuaciones

x1(a1 − λje1)× (a2 − λje2) • p+ x3(a3 − λje3)× (a2 − λje2) • p = 0

x2(a1 − λje1)× (a2 − λje2) • p+ x3(a1 − λje1)× (a3 − λje3) • p = 0

los coeficientes vectoriales son no nulos, habiendo elegido p de manera que no sea

ortogonal los tres productos vectoriales. Entonces (un múltiplo de) el correspon-

diente vector propio [x1, x2, x3] será:

[(a1 − λje1)× (a2λje2) • p][x1, x2, x3]

⇒ [(a3 − λje3)× (a2 − λje2) • p , (a1 − λje1)× (a3 − λje3) • p , −(a1 − λje1)×(a2 − λje2) • p]

Page 231: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 10

Oscilaciones propias

• El caso de N bloquecitos, sobre una mesa horizontal lisa, conectados a N + 1

• resortes.

• El sistema de ecuaciones lineales acopladas que describen el movimiento de cada

• uno de los bloquecitos.

• Forma matricial del sistema de ecuaciones.

• La matriz de los resortes, KN .

• Gran simplificación del sistema de ecuaciones en función de los vectores propios de

• KN .

• Fórmula recursiva para los determinantes.

• La ecuación sen(θ) · det(KN − λ) = sen[(N + 1)θ] para los valores propios de KN .

• Fórmula recursiva para las componentes del vector propio correspondiente al valor

• propio λk = −4 · cos2( θk2 )• Otras simetrías.

• Los estados propios del sistema (donde todos los bloques se desplazan con la misma

• frecuencia, la misma fase, pero diferentes amplitudes y sentido).

• La solución general del sistema de bloque y resorte como combinación lineal de los

• estados propios.

231

Page 232: Apuntes de Algebra Lineal

232 CAPÍTULO 10. OSCILACIONES PROPIAS

00) Consideremos N bloquecitos de masas m , acoplados por medio de N + 1 resortes

ideales (masa insignificante) de constantes elásticas de valor k.

xo = 0 x1 xj xN L = xN+1· · · · · · · · · · · ·

X

· · · · · ·

k0 k1 kj−1 kj kN−1 kN

m1 en x1 mj en xj mN en xN

.

01)Verifique la validez de los siguientes esquemas:

Fuerzas sobre el j-ésimo resorte

• •

kj

xj xj+1

Fj −Fj

−Fj = k[(xj+1 − xj)− (x0 j+1 − x0 j)]

− Fj = k[(xj+1 − x0 j+1)− (xj − x0 j)]

Es decir,

−Fj = k(zj+1 − zj) , y también

F0 = −kz1 , FN = kzN

Fuerzas sobre el j-ésimo bloquecito

(del lado izquierdo del j-ésimo resorte)

−Fj

mj

Fj−1

Notar que: x0 0 = x0 = 0

x0 N+1 = xN+1 = L

entonces z0 = zN+1 = 0

donde, por definición zj es la desviación, zj = xj − x0 j

[Verifique que cuando el j-ésimo resorte está estirado Fj debe señalar hacia la izquierda,

es decir, Fj < 0 ; mientras que cuando está contraído Fj debe señalar hacia la derecha]

¿Qué pasaría si las fuerzas sobre un resorte no sumasen cero?

Page 233: Apuntes de Algebra Lineal

233

01.1) Verifique que si se tratase de un único bloque, entonces,

−k0(x− xo) + k1[(L− x)− (L− xo)] = mx•• ⇒ −(k0 + k1)z = mz••

⁅−k0(x− x0)− k1[x− x0] = mx•• ⁆

01.2) Verifique que para el caso de dos bloques se obtiene:

−(k0 + k1)z1 + k1z2 = m1z••1 , k1z1 − (k1 + k2)z2 = m1z

••2

⁅−k0(x1 − x0) + k1[x2 − x1 − (x20 − x10)] = mx••1 ,

− k1[x2 − x1 − (x20 − x10)] + k2[L− x2 − (L− x20)] = mx••2 ⁆

02) Verifique que, para el caso de N bloques, las ecuaciones diferenciales del movi-

miento son:

j = 1 F0 − F1 = −kz1 + k(z2 − z1) = mz••1

j = 2 · · ·N − 1 Fj−1 − Fj = −k(zj − zj−1) + k(zj+1 − zj) = mz••j

j = N FN−1 − FN = −k(zN − zN−1)− kzN = mz••N

03) Verifique que, con w2 ≡ k

m, las ecuaciones toman las formas:

w2(−2z1 + z2) = z••1 , w2(z1 − 2z2 + z3) = z••2

w2(zj−1 − 2zj + zj+1) = z••j , w2(zN−2 − 2zN−1 + zN ) = z••N−1

w2(zN−1 − 2zN) = z••N

Page 234: Apuntes de Algebra Lineal

234 CAPÍTULO 10. OSCILACIONES PROPIAS

La matriz, de N ×N , de constante elástica (matricial) de los resortes K = kKN

KN =

−2 1 0 0 0 · · · 0

1 −2 1 0 0 · · · 0

0 1 −2 1 0 · · · 0

0 0 1 −2 1 · · · 0...

......

. . . . . . . . ....

0 0 0 0 1 −2 1

0 0 0 0 0 1 −2

Es una matriz simétrica.

04) Verifique que con z = [ z1 z2 z3 · · · zj · · · zN ] , las ecuaciones del movi-

miento toman la forma

w2 KN z = z••

[ Si los vectores z fuesen vectores propios de KN , entonces la ecuación matricial se

reduciría a N ecuaciones de osciladores armónicos]

KN =

−2 1 0

1 KN−1

0

det(KN ) = −2 det(KN−1)− det(KN−2)

det(KN − λ) = −(2 + λ)det(KN−1− λ)− det(KN−2− λ)

05) Verifique que para calcular los valores propios de la matriz KN , se puede recurrir

a la relación iterativa:

det(KN − λ) = −(2 + λ)det(KN−1 − λ)− det(KN−2 − λ)

Page 235: Apuntes de Algebra Lineal

235

05.1) Verifique que:

i) det(K1 − λ) = −(2 + λ)

ii) det(K2 − λ) = (2 + λ)2 − 1

iii) det(K3 − λ) = (λ+ 2)[−(2 + λ)2 + 2] = −2 det(K2 − λ)− det(K1 − λ)

iv) En los tres casos se cumple 0 > λ ≥ −4

.

⁅Note que si la matriz es de orden N×N , entonces deberá cumplirse det(KN−λ) = 0⁆

06) Comparando las expresiones

det(KN − λ) + det(KN−2 − λ) = −(2 + λ)det(KN−1 − λ)

sen[Mθ] + sen[(M − 2)θ] = (2 · cos(θ))sen[(M − 1)θ]

se puede ensayar la transformación: −(2 + λ) = 2 · cos(θ)Verifique que (reemplazando −2− λ por 2 · cos(θ)) se puede escribir:

i) det(K1 − λ) = 2 · cos(θ)

ii) det(K2 − λ) = 4 · cos2(θ)− 1

iii) det(K3 − λ) = 4 · cos(θ)[2 · cos2(θ)− 1]

.

⁅Note que: sen(M −1+1)θ+sen(M −1−1)θ = 2 · cos(θ)sen(M −1)θ. La com-

paración se ha realizado para justificar la elección de λ. Para hallar los determinantes,

reemplace los −2 − λ de la diagonal, por 2 · cos(θ). Por otra parte, deberá elegirse el

parámetro M convenientemente; conviene M = N + 1⁆

07) Verifique que podemos escribir (con θ 6= 0):

i) sen(θ) · det(K1 − λ) = sen(2θ)

Page 236: Apuntes de Algebra Lineal

236 CAPÍTULO 10. OSCILACIONES PROPIAS

ii) sen(θ) · det(K2 − λ) = sen(3θ)

iii) sen(θ) · det(K3 − λ) = sen(4θ)

.

08) Verifique, por inducción matemática, que para N = 1 , 2 , 3 · · ·

sen(θ) · det(KN − λ) = sen[(N + 1)θ]

.

08.1) Verifique que los valores propios deben satisfacer la condición

sen[(N + 1)θ] = 0 , λ = −2(1 + cos(θ))

09) Verifique que los N valores propios de la matriz KN son:

λk = −4 · cos2(

θk2

)

, donde θk =kπ

N + 1, para k = 1, 2, · · · , N

.

10) Verifique que, para determinar uno de los vectores propios u = [u1, u2, · · · , uN ], de

la matriz KN , debemos resolver las ecuaciones:

−2u1 + u2 = λu1 o también sen(θ)u2 = −sen(2θ) · u1

u1 − 2u2 + u3 = λu2 sen(θ)u3 = −2cos(θ) · u2 − u1 = sen(3θ) · u1

u2 − 2u3 + u4 = λu3 sen(θ)u4 = −sen(4θ) · u1

uk−1 − 2uk + uk+1 = λuk sen(θ)uk = (−1)k+1sen(kθ) · u1

uN−2 − 2uN−1 + uN = λuN−1 sen(θ)uN−1 = (−1)Nsen[(N − 1)θ] · u1

uN−1 − 2uN = λuN sen(2θ)uN = (−1)N+1sen[(N − 1)θ] · u1

[Tenga presente que las ecuaciones anteriores valen para cada uno de los N valores,

θk , del parámetro θ ]

Page 237: Apuntes de Algebra Lineal

237

⁅sen(θ)[uk−1 + uk+1] = (λ+ 2)sen(θ)uk

⇒ sen(θ)uk+1 = (λ+ 2)sen(θ)uk − sen(θ)uk−1

= [−2cos(θ)(−1)k−1sen(kθ)− (−1)k−2sen((k − 1)θ)]u1

= (−1)k−1u1[−cos(θ)sen(kθ) − cos(θ)sen((k − 1 + 1)θ) + sen((k − 1)θ)]

= · · · ⁆

11) Verifique que las expresiones arriba obtenidas para uN−1 y uN , realmente sa-

tisfacen la última ecuación, uN−1 − 2uN = λuN , es decir,sen(2θ)

sen(θ)=

sen(N − 1)θ

sen(Nθ).

⁅sen(θ)uN−1 = (λ+2)sen(θ)uN ⇒ (−1)Nsen[(N −1)θ] = −2cos(θ)(−1)N−1sen(Nθ)u1

⇒ sen[(N − 1)θ] = −2cos(θ)sen(Nθ) ⁆

12) Para u1 = sen(θ) , verifique que el vector propio U0k = uk toma la forma:

U0k = [ sen(θk) −sen(2θk) sen(3θk) · · · (−1)Nsen((N−1)θk) (−1)N+1 [sen((N − 1)θk)]

2cos(θk)]

cuyo correspondiente valor propio es λk = −4 · cos2( θk2) , y cuya última componente

se puede escribir simplemente (−1)N+1sen(Nθk)

13) Verifique que:

i) La matriz de N columnas, U = [ U01 U02 U03 · · · U0N ] es invertible.

ii) La matriz U−1KNU es diagonal.

iii) Los elementos de la matriz diagonal son precisamente los valores propios

λk = −4 · cos2( θk2 ) .

.

14) Sea q = U−1z ; verifique que la ecuación del movimiento w2KNz = z•• es equiva-

lente a la ecuación diferencial w2(U−1KNU)q = q••

Page 238: Apuntes de Algebra Lineal

238 CAPÍTULO 10. OSCILACIONES PROPIAS

15) Verifique la validez de las deducciones: w2(U−1KNU)q = q••

⇒ λjw2qj = q••j ⇒ w2

j qj + q••j = 0 , donde w2j = −4w2cos2(

θj2) .

16) Verifique que qk(t) = Aksen(wkt + αk) , donde Ak , αk son constantes arbitra-

rias de integración. Verifique también que estas funciones qk son LI. Las funciones qj(t)

son conocidas como coordenadas normales (o principales, o propias) del sistema.

Estas son coordenadas del sistema, no son coordenadas de los bloques.

17) Teniendo presente que U0k = Uek y que q(t) =∑

k Aksen(wkt+ αk)ek ;

verifique que

z(t) = Uq(t) =∑

k

Aksen(wkt+ αk)U0k

18) Definamos el ν-ésimo estado propio del sistema, Zν(t) , como aquél para el cual

Ak = δkν . Verifique que:

Zν(t) = Uq(t) = sen(wνt + αν)U0ν

En cada estado propio todos los bloques se mueven con la misma frecuencia.

[Observe que Zv(t) , así como z(t) , es el conjunto ordenado constituido por las coor-

denadas de todos los bloques]

18.1) Verifique que el estado general del sistema constituido por los N bloques se

comporta como una combinación lineal de los estados propios del sistema:

z(t) =∑

k

AkZk(t)

Page 239: Apuntes de Algebra Lineal

239

19) Caso N = 3 . Consideremos este caso como un ejemplo ‘visible’.

F0 − F1 = −kz1 + k(z2 − z1) = mz••1

F1 − F2 = −k(z2 − z1) + k(z3 − z2) = mz••2

F2 − F3 = −k(z3 − z2)− kz3 = mz••3

Es decir,

k

−2 1 0

1 −2 1

0 1 −2

z1

z2

z3

= m

z1

z2

z3

••

19.1) Verifique que det(K3 − λ) = 0⇒ λ = −4 · cos2( θ2) , con sen(4θ) = 0 .

19.2) Verifique que las valores propios quedan caracterizados por los ángulos

θ1 =π4, θ2 =

π2, θ3 =

3π4

, y son: λ1 = −2−√2 , λ2 = −2 , λ3 = −2 +

√2

19.3) Verifique que los correspondientes vectores propios (ortogonales entre sí, pero

no normalizados) son:

u1 = [ 1 −√2 1 ] u2 = [ 1 0 − 1] u3 = [ 1

√2 1 ]

19.4) Los vectores propios han podido obtenerse de las 3 ecuaciones (K − λk)uk = 0 ,

o de las fórmulas: [ sen(α) − sen(2α) sen(3α)] , [ sen(2α) − sen(4α) sen(6α) ] ,

[ sen(3α) − sen(6α) sen(9α) ] , donde α = π3+1

19.5) Verifique que:

U =

1 1 1

0√2 −

√2

−1 1 1

U−1 =

1

4

2 1 −21√2 1

1 −√2 1

Page 240: Apuntes de Algebra Lineal

240 CAPÍTULO 10. OSCILACIONES PROPIAS

19.6) Escriba y resuelva la ecuación diferencial para q = U−1z

19.7) Verifique que los estados propios del sistema son:

Z1(t) = sen(w1t+ α1)[ 1 −√2 1 ] w1 =

2 +√2

Z2(t) = sen(w2t+ α2)[ 1 0 − 1 ] w2 =√

2−√2

Z3(t) = sen(w3t+ α3)[ 1√2 1 ] w3 =

√2

19.8) Verifique que en el estado:

i) Z1 , los 2 bloques de los extremos avanzan con la misma amplitud y en el mismo

sentido, mientras el bloque de en medio avanza en sentido opuesto y con mayor

amplitud (que los bloques de los extremos), los tres con frecuencia angular w1 .

Los tres bloques tienen la misma fase inicial, α1 .

ii) Z2 , el bloque de en medio permanece quieto, mientras que los bloques de los

extremos avanzan en sentido opuesto, con frecuencia angular w2 . Los tres bloques

tienen la misma fase incial, α2 .

iii) Z3 , los 3 bloques avanzan en el mismo sentido, con frecuencia w3 ; el bloque de

en medio con mayor amplitud que los de los extremos. Los tres bloques tienen la

misma fase inicial, α3 .

.

19.9) Verifique que el movimiento de los bloques, dado por la función vectorial z(t) se

puede escribir como una combinación lineal (superposición) de los estados propios. Ve-

rifique que no puede existir ningún estado de movimiento en el que se mueva solamente

uno de los bloques.

Page 241: Apuntes de Algebra Lineal

241

20) En cada uno de los dibujos mostrados tienen la misma frecuencia ; pero ¿Son

dibujos correctos?

Zk

z1

z2z3

T

t = 0

¿ Un estado propio? .

Zk

z1

z2

z3

T

t = 0

¿ Otro estado? .

• Note que los vectores propios se pueden obtener de [ sen(θk) −sen(2θk) sen(θk) ]

donde la tercera componente se obtiene de sen(θk) = −[−sen(2θk)

2cos(θk)

]

, y los

valores de θk quedan determinados por sen(4θk) = 0 , lo que como hemos visto,

da θ1 =π4, θ2 =

π2, θ3 =

3π4, de donde los vectores propios serían

[√22− 1

√22

] , [ 1 0 − 1 ] , [√22

1√22

] , los mismos que coinciden con

Page 242: Apuntes de Algebra Lineal

242 CAPÍTULO 10. OSCILACIONES PROPIAS

los hallados anteriormente.

.

21) Considere el caso de tres resortes y tres

bloques, donde el resorte de la izquierda es-

ta fijado a una pared, el del extremo derecho

está libre.

Verifique que, en tal caso, las ecuaciones del

movimiento toma la forma matricial:

w2

−2 1 0

1 −2 1

0 1 −1

z = z••

⁅−kz1 + k(z2 − z1) = mz••1 , −k(z2 − z1) + k(z3 − z2) = mz••2 , −k(z3 − z2) = mz••3 ⁆

21.1) Calcule los vectores y valores propios de la matriz mostrada, y determine los

estados propios del sistema formado por los tres bloques.

22) Considere el caso de tres bloques co-

nectados por dos resortes.

Verifque que, en tal caso, las ecuaciones del

movimiento toman la forma:

w2

−1 1 0

1 −2 1

0 1 −1

z = z••

⁅k(z2 − z1) = mz••1 , −k(z2 − z1) + k(z3 − z2) = mz••2 , −k(z3 − z2) = mz••3 ⁆

22.1) Determine los estados propios del sistema constituido por los tres bloques y

dos resortes (sólo el bloque de en medio está ligado a dos resortes). Verifique que en

uno de los estados propios los tres bloques se desplazan como un sistema rígido.

22.2) Considere el caso de tres bloques y cuatro resortes, en posición vertical.

22.3) Considere el caso de tres bloques y tres resortes, en posición vertical.

Page 243: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 11

Velocidad Angular

• Para un punto P fijo a un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo, es

propiamente obvio que la velocidad es perpendicular al eje de rotación (tangente

a la trayectoria circular), y que su velocidad angular es paralela al eje de rotación.

Pero, ¿Es cierto tal hecho cuando el eje se mueve más o menos arbitrariamen-

te? Por ejemplo, cuando el eje mantiene un punto fijo, alrededor del cual oscila

rápidamente, mientras el punto P rota lentamente alrededor del citado eje.

01) Un CR, cuerpo rígido, se caracteriza porque la distancia entre dos puntos cua-

lesquiera de él permanece invariante durante cualquier movimiento que realice.

Es decir, A,B ∈ CR ⇒ |AB| no cambia con el tiempo, od|AB|dt

= 0 .

Entonces, durante el movimiento dos puntos A , B describirán ciertas trayectorias, pero

. |AB|2 = AB •AB [01]

permanece constante con respecto al tiempo.

02) De lo anterior se puede deducir que si A,B,C ∈ CR , el triángulo ABC permanece

invariante durante el movimiento; es decir, tanto |AB| como |AC| y el ángulo entre

dichos segmentos permanecerán invariantes. Es decir, el producto AB •AC [02]

es constante con respecto al tiempo.

243

Page 244: Apuntes de Algebra Lineal

244 CAPÍTULO 11. VELOCIDAD ANGULAR

03) Sean Q , A , B , C ∈ CR cuatro puntos no coplanares, entonces los vectores

QA , QB y QC serán LI por no ser coplanares, y, en cada instante, constituirán una

base del espacio vectorial 3-dimensional. Es decir, si P ∈ CR existirán 3 números reales

α, β, γ , tales que podemos escribir:

. QP = αQA+ βQB+ γQC [03]

Al pasar el tiempo, los 5 puntos describirán ciertas trayectorias; sin embargo, como

demostraremos a continuación, los coeficientes α, β, γ son independientes del tiempo;

es decir, α• = β• = γ• = 0. En efecto, de [03] obtenemos,

QP •QA = αQA •QA+ βQB •QA+ γQC •QA

QP •QB = αQA •QB+ βQB •QB+ γQC •QB

QP •QB = αQA •QC+ βQB •QC+ γQC •QC

Según [02] los diferentes productos escalares son independientes del tiempo; entonces,

derivando:

0 = α•QA •QA+ β•QB •QA+ γ•QC •QA

0 = α•QA •QB+ β•QB •QB+ γ•QC •QB

0 = α•QA •QC+ β•QB •QC + γ•QC •QC

Estas tres ecuaciones las podemos escribir en forma matricial:

. M[ α• β• γ• ] = 0 [04]

, donde

. M =

QA •QA QB •QA QC •QA

QA •QB QB •QB QC •QB

QA •QC QB •QC QC •QC

[04a]

[El determinante es el producto mixto de las 3 columnas, lo cual da [QA•(QB×QC)]2]

03.1) Si designamos como M01 , M02 , M03 , las 3 columnas de M, entonces, co-

mo sabemos det(M) = M01 ×M02 •M03 .

Verifique que:

i) M01 ×M02 = [ (QA×QB) • (QB×QC) , (QA×QB) • (QC×QA) ,

. (QA×QB) • (QA×QB) ]

Page 245: Apuntes de Algebra Lineal

245

ii) M01 ×M02 •M03 = (QA×QB) • [(QB×QC)(QC •QA)

. + (QC×QA)(QC •QB) + (QA×QB)(QC •QC)]

. = (QA×QB) • [QC× (QC× (QA×QB))

. + (QA×QB)(QC •QC)]

. = [QA×QB •QC]2

Pero, puesto que los vectores QA , QB , QC , son no coplanares, entonces su produc-

to mixto será diferente de cero; es decir, detM 6= 0 , con lo cual, de [04] resulta que:

. [ α• β• γ• ] = 0 ó α• = β• = γ• = 0 [05]

04) |QA|• = 0 ⇒ (QA • QA)• = 0 ⇒ QA • QA• = 0 ⇒ existe un vector p tal

que QA• = p×QA , donde debe tenerse presente que p no es único, solamente se le

puede exigir que no sea paralelo a QA; por ejemplo, también p’ = p + λQA cumple

la relación anterior. Entonces elegiremos p en la intersección del plano perpendicular

a QA , con el plano determinado por Q , B , C ; es decir, tendremos que:

. p = x1QB+ x2QC , p •QA = 0 [06a]

Similarmente, existirán q , r , tales que QB• = q×QB , QC• = r×QC , los cuales

elegiremos de manera que q •QB = 0 , r •QC = 0 , de donde podemos escribir,

. q = x3QA+ x4QC [06b]

. r = x5QA+ x6QB [06c]

05) Por otra parte, de 02 , (QA • QB)• = 0 ⇒ QA • QB• + QB • QA• = 0 ⇒QA•(q×QB) +QB • (p×QA) = 0⇒ (p− q) •QA ×QB = 0⇒ p− q está en el

plano QAB

⇒ p− q = x7QA+ x8QB [07a]

En forma similar obtenemos:

. q− r = x9QB+ x10QC [07b]

. q− r = x11QA+ x12QC [07c]

06) De [07a]+[07b] y [07c] , teniendo presente que QA , QB y QC son LI, obte-

nemos que x11 = x7 , x12 = x10 , x9 = −x8 ; es decir:

Page 246: Apuntes de Algebra Lineal

246 CAPÍTULO 11. VELOCIDAD ANGULAR

. p− q = x7QA+ x8QB

. q− r = −x8QB+ x10QC [08]

. p− r = x7QA+ x10QC

07) De [06a] , [06b] y [06c] obtenemos:

. p− q = x1QB− x3QA+ (x2 − x4)QC

. p− r = (x1 − x6)QB+ x2QC− x5QA [09]

. q− r = x4QC− x6QB+ (x3 − x5)QA

08) De [08] y [09] , por independencia lineal, obtenemos x4 = x2 , x8 = x1 ,

x7 = −x3 ; x5 = x3 , x8 = x6 , x10 = x4 ; x6 = x1 , x10 = x2 , x7 = −x5 .

Es decir:

. p = x1QB+ x2QC , q = x3QA+ x2QC , r = x3QA+ x1QB [10]

09) Teniendo en cuenta lo dicho en 04 sobre la no unicidad de los vectores p , q , r ,

ellos pueden ser complementados con múltiplos de QA , QB , QC , respectivamente:

p+ x3QA = q + x1QB = r+ x2QC = x1QB+ x2QC + x3QA ≡ w

y podemos verificar que, efectivamente,

. QA• = p×QA = w ×QA

. QB• = q×QB = w ×QB [11]

. QC• = r×QC = w×QC

10) Para un punto P cualquiera del CR , como se ha señalado en [03], podemos escribir

QP = αQA + βQB + γQC , y teniendo en cuenta la constancia de los coeficientes

con respecto al tiempo,

QP• = αQA• + βQB• + γQC• = αq×QA+ βw×QB+ γw×QC = w ×QP .

Es decir, para un punto cualquiera del CR se cumple:

. QP• = w ×QP [12]

Donde el vector w , común para cualquier punto P del CR, recibe el nombre de veloci-

Page 247: Apuntes de Algebra Lineal

247

dad angular del CR, alrededor del eje orientado que pasa por el punto Q, que ha sido

elegido arbitrariamente.

11) Para describir la velocidad, OP• de un punto P del CR con respecto a una referen-

cia cuyo origen es el punto O, podemos escribir, OP• = (OQ+QP)• = OQ• +QP•

⇒ OP• = OQ• +w ×QP [13]

Es decir, el movimiento de cualquier punto, P , de un CR, puede descomponerse en

el movimiento de traslación paralela (especificada por el movimiento del punto Q del

CR), más la rotación del CR alrededor de un eje orientado que pasa por dicho punto

Q del eje , donde, en general, w dependerá del tiempo; es decir, el CR está rotando

alrededor de un eje móvil.

12) Debe notarse que Q es arbitrario, de manera que si consideramos algún otro punto

M , existirá otro vector de velocidad angular, n , de manera que se cumplirá:

OP• = OQ• +w ×QP = OM• + n×MP

O, en otra forma:

. OP• = OQ• +w(Q)×QP [13a]

especificando que la velocidad angular del CR dependerá del punto Q elegido.

t = 0 t = 7 t = 14

P

El punto P se desplaza sobre la circunferencia con velocidad constante, y la circunfe-

rencia se mueve horizontalmente, ¿Es el vector de velocidad, del punto sobre la circun-

ferencia, tangente a dicha circunferencia?

[Note que el vector de velocidad, con respecto a la referencia, es bastante horizontal]

Page 248: Apuntes de Algebra Lineal

248 CAPÍTULO 11. VELOCIDAD ANGULAR

Page 249: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 12

La matriz de Euler

• La máquina de rotar segdos y la matriz de “rotación” de vectores:

• R(u, θ) = Y + Usen(θ) + U2(1− cos(θ))

• Efecto de la rotación en un producto escalar y en un producto vectorial.

• La matriz de rotación alrededor de un eje rotado, R[R(v, ϕ)u, θ]

• Construcción de la matriz de Euler, E(ϕ, θ,Ψ).

• La matriz W de velocidad de rotación, donde E(ϕ, θ,Ψ)• = W E(ϕ, θ,Ψ)

249

Page 250: Apuntes de Algebra Lineal

250 CAPÍTULO 12. LA MATRIZ DE EULER

00) DESPLAZAMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO:

i) Un TRIÁNGULO define la posición de un CuRí, excepto por simetría con respecto

al plano de dicho triángulo (como si el plano fuese un espejo: enantiomorfismo)

ii) Traslación Pura + Rotación alrededor de cierto eje (en cualquier orden de prio-

ridad; son movimientos independientes), generan cualquier desplazamiento de un

triángulo; entonces, de un CuRí.

∆(ABC) ∆(A’B’C’)

∆(A’B’C’) ∆(A”B”C”)

TRASLACION PURA segun AA’

ROTACION PURA alrededorde RA,

.

A

B

C

A’= A”

C’

B’

C”

B”

Traslacion pura

Rotacion pura

Vector AA’requiere 3 parametros

Eje necesita 2 parametros

La rotacion requiere 1 parametro

Page 251: Apuntes de Algebra Lineal

251

01) CONSTRUCCIÓN DE LA MÁQUINA DE ROTACIÓN.

NOTA: Aquí consideramos una única referencia S , en la cual representamos tanto los

segdos como la máquina de rotación. Por ello podemos operar tranquilamente con seg-

dos o con sus representaciones. Sea la recta orientada (Q,u) que tomaremos como eje

de rotación. Rotemos los puntos del espacio Po , en un ángulo θ , para llevarlo a la

posición P .

Q

α

α

Po

P

TM

u

Según el dibujo:

QP = QPo +PoT +TP

donde, por construcción TP⊥PoM ,

siendo M el centro de la circunferen-

cia. Entonces:

TP⊥u,QPo ; PoT⊥u,TP

Entonces, podemos escribir:

TP = λu×QPo , PoT = µu×TP

01.1) Encuentre bajo que condiciones los coeficientes λ , µ son positivos.

01.2) Verifique que |TP | = λr , |PoT | = µ|TP | bajo las condiciones anteriores.

01.3) Verifique que λ = sen(θ) , µ =(1− cos(θ))

sen(θ)¿Condiciones?

Page 252: Apuntes de Algebra Lineal

252 CAPÍTULO 12. LA MATRIZ DE EULER

01.4) Verifique que:

. QP = QPo+u×QPo ·sen(θ)+u× (u×QPo) · (1−cos(θ)) [01]

01.5) Sea la matriz antisimétrica U =

0 −u3 u2

u3 0 −u1

−u2 u1 0

, con u = [ u1 , u2 , u3 ]

Verifique que:

i) Up = u× p siendo p un vector arbitrario.

ii) U2p = u× (u× p)

iii) u× [u× (u× p)] = −u× p

iv) U3 = −U

v) k > 0 : U2k = (−1)k+1U

2 , U2k+1 = (−1)kU

.

01.6) Definimos la matriz R(u, θ) ≡ Y + Usen(θ) + U2(1− cos(θ)) verifique que:

. QP = R(u, θ)QPo [02]

por lo cual se la denomina matriz de rotación.

01.7) Verifique que:

i) 〈QP , QP〉 = 〈QPo , QPo〉 , es decir 〈R(u, θ)q , R(u, θ)p〉 = 〈q , p〉 , siendo

q , p vectores arbitrarios.

ii) QP • u = QPo • u[(i) significa que P está sobre una superficie esférica con centro en el origen y radio

|QPo| , mientras que (ii) dice que P está sobre un plano que pasando por Po es

perpendicular a u . La intersección de esas dos superficies es una circunferencia]

iii) R(u, 0) = Y

Page 253: Apuntes de Algebra Lineal

253

iv) R(u, θ)−1 = R(u,−θ)

v) R(u, θ1) • R(u, θ2) = R(u, θ1 + θ2)

.

01.8) Por comodidad escribamos R ≡ R(u, θ). Verifique que:

i) (Rp) • (Rq) = p • q

ii) p • (Rq) = (R−1p) • q , (Rp) • q = p • (R−1q)

.

01.9) Verifique que:

R[p× (q× r)] = (p • r)Rq− (p • q)Rr

01.10) Verifique que:

R[p× (q× r)] = (Rp • Rr)Rq− (Rp • Rq)Rr = (Rp)× [(Rq)× (Rr)]

⁅Note que en 01.9 se puede reemplazar p • q por (Rp) • (Rq) ⁆

01.11) Definimos A ≡ [p+ αu× p+ βu× (u× p)]× [q + αu× q+ βu× (u× q)]

Verifique que:A = [p+ αu× p+ βu× (u× p)]× [q+ αu× q+ βu× (u× q)]

= p× q+ α[p× (u× q) + (u× p)× q] + β[p× (u× (u× q)) + (u× (u× p))× q)]

+ αβ[(u× p)× (u× (u× q)) + (u× (u× p))× (u× q)] + α2(u× p)× (u× q)

+ β2[u× (u× p)]× [u× (uq)]

= p× q+ α[u× (p× q)] + β[u× (u× (p× q))− 2(u • (p× q))u] + αβ[0]

+ (α2 + β2)[u • (p× q)u], es decir,[p+ αu× p+ βu× (u× p)]× [q+ αu× q+ αu× (u× q)] = p× q+ α[u× (p× q)]

+ β[u× (u× (p× q))]

+ (α2 + β2 − 2β)[u • (p× q)u]

Page 254: Apuntes de Algebra Lineal

254 CAPÍTULO 12. LA MATRIZ DE EULER

01.12) Verifique que si α = sen(θ) , β = 1− cos(θ) , entonces α2 + β2 − 2β = 0 .

01.13) Verifique que:

. [R(u, θ)p]×[R(u, θ)q] = R(u, θ)[p×q] [03]

01.14) Verifique que:

p× [R(u, θ)q] = R(u, θ)[(R(u,−θ)p)× q]

01.15) Verifique que:

R[R(v, ϕ)u, θ]p = p+ [R(v, ϕ)u]× p · sen(θ) + [R(v, ϕ)u]× [R(v, ϕ)u]× p · (1− cos(θ))

= p+ [R(v, ϕ)u× [R(v,−ϕ)p] · sen(θ) + u× (u× [R(v,−ϕ)p]) · (1− cos(θ))= R(v, ϕ)R(v,−ϕ)p+ u× [R(v,−ϕ)p] · sen(θ)+ u× (u× [R(v,−ϕ)p]) · (1− cos(θ))

= R(v, ϕ)R(u, θ)[R(v,−ϕ)p]= [R(v, ϕ)R(u, θ)R(v,−ϕ)]p

Es decir,

R[R(v, ϕ)u, θ]p = [R(v, ϕ)R(u, θ)R(v,−ϕ)]p

01.16) Verifique que:

. R[R(v, ϕ)u, θ] = R(v, ϕ)R(u, θ)R(v,−ϕ) [04]

⁅Tener en cuenta que p es un vector arbitrario⁆

Page 255: Apuntes de Algebra Lineal

255

u v

R(v, ϕ)u

ϕ

v vu

P

P0

θP0

P1 −ϕ P1

P2

θ P2P3

La rotación alrededor de un eje girado, R(v, ϕ)u , es equivalente a 3 procesos de rota-

ción sucesivos.

02) En cada instante t un cuerpo rígido queda bien representado por una figura geomé-

trica. En dos instantes, t1 y t2 , el CuRí quedará representado por dos figuras geomé-

tricas congruentes. Si los puntos P y P ∗ representan, en figuras congruentes, al mismo

punto material de cierto CuRí, diremos que P y P ∗ son puntos homólogos. Ya hemos

visto cómo dos figuras congruentes, que poseen un punto homólogo común, pueden ser

llevadas a coincidir por medio de una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho

punto común. En seguida mostraremos cómo esa coincidencia puede ser realizada por

medio de tres rotaciones.

Page 256: Apuntes de Algebra Lineal

256 CAPÍTULO 12. LA MATRIZ DE EULER

CONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ DE EULER

e3

e1η

e2

P

ϕ

e∗

3

e∗

1

e∗

2

P ∗

η es la recta de interseccion de los planosP(e1, e2) y P(e∗1, e

2) que son los pisos delladrillo.

Sean dos paralelepípedos congruentes,

“ladrillos” , con vértices en el origen:

Posición inicial, PI: [ e1 , e2 , e3 ]

Posición final, PF: [ e∗1 , e∗2 , e∗3 ]

Sea η la recta de intersección de los pla-

nos P(e1, e2) y P(e∗1, e∗2) .

Sean Ψ = ∠(η, e∗1)

ϕ = ∠(e1, η)

θ = ∠(e3, e∗3)

Pasaremos de PF a PI por medio de 3

rotaciones:

i) R(e∗3,−Ψ) hasta que e∗1 coincida con

η ; seguida de

ii) R(η,−θ) hasta que e∗3 coincida con

e3 ; seguida de

iii) R(e3,−ϕ) para que η coincida con

el.

Nótese que dados el ladrillo inicial y el ladrillo final:

i) El ángulo θ queda bien determinado por las aristas e3 y e∗3

ii) La recta η , es decir e1’ queda bien determinada por la intersección de los pisos

de los ladrillos.

iii) Entonces ϕ =áng(e1, e1’) , Ψ =áng(e1’, e1∗)

Page 257: Apuntes de Algebra Lineal

257

02.1) Primera rotación:

P P ’R(e3, ϕ)

Es decir:

OP’ = R(e3, ϕ)OP

P y P ’ son puntos homólo-

gos del “ladrillo inicial” y del

“ladrillo final”, respectivamente.

Lo mismo sucede cualquiera de

los puntos homólogos.

e3’= e3

e1

e1’

e2

e2’P P ’

ϕ

e3’

e1”= e1’

e2’P ’

e3”

e2”

θ

P”

02.2) Segunda rotación:

P ’R(e1’, θ)

P”

Es decir:

OP” = R(e1’, ϕ)OP’

Lo mismo sucede con cualquiera

de los puntos homólogos

Page 258: Apuntes de Algebra Lineal

258 CAPÍTULO 12. LA MATRIZ DE EULER

02.3) Tercera rotación:

R(e3”,Ψ)P” P ∗

Es decir:

OP∗ = R(e3” ,Ψ)OP”

Lo mismo sucede con cualquiera

de los puntos homólogos

e1”

e∗

3= e3”

e2”

P”

Ψ e∗

1

e∗

2

P∗

NOTA. Si designamos con εk a los vectores unitarios fijos al ladrillo, entonces podemos

decir que;

i) Inicialmente εk coincidía con ek .

ii) Luego de la primera rotación εk coincidía con ek’ .

iii) Como resultado de la segunda rotación εk coincidía con ek” .

iv) Finalmente, como resultado de la tercera rotación, las aristas εk del ladrillo coin-

ciden con e∗k .

.

02.4) Teniendo presente 01.16 verifique que:

. R(e3”,Ψ) · R(e1’, θ) · R(e3, ϕ) = R(e3, ϕ) · R(e1, θ) · R(e3,Ψ) [05]

.[ Note que si al producto de la izquierda se le borran las comillas, entonces resulta muy

similar al producto de la derecha. Esta igualdad puede aclarar algunas de las confusio-

nes que suelen aparecer en los textos de Mecánica Clásica - ver, por ejemplo, Goldstein ]

Page 259: Apuntes de Algebra Lineal

259

⁅Q ≡ R(e3”,Ψ) R(e1’, θ) R(e3, ϕ)

= R(R(e1’, θ)e3’,Ψ) R(e1’, θ) R(e3, ϕ)

= R(R(e1’, θ)e3,Ψ) R(e1’, θ) R(e3, ϕ)

= R(e1’, θ) R(e3,Ψ) R(e1’,−θ) R(e1’, θ) R(e3, ϕ)

= R(e1’, θ) R(e3,Ψ) R(e3, ϕ)

= R(e1’, θ) R(e3, ϕ) R(e3,Ψ)

= R(R(e3, ϕ)e1, θ) R(e3, ϕ) R(e3,Ψ)

= R(e3, ϕ) R(e1, θ) R(e3,−ϕ) R(e3, ϕ) R(e3,Ψ)

= R(e3, ϕ) R(e1, θ) R(e3,Ψ) ⁆

02.5) Al producto anterior se le denomina Matriz de rotación de Euler:

. E(ϕ, θ,Ψ) ≡ R(e3”,Ψ) · R(e1’, θ) · R(e3, ϕ) = R(e3, ϕ) · R(e1, θ) · R(e3,Ψ) [06]

02.6) Dada una matriz de Euler, construya una matriz R(u, χ) = E(ϕ, θ,Ψ)

[Ver 01, donde se construye tanto el eje de rotación, como el ángulo de rotación ]

⁅Tenga presente que si para un vértice del “ladrillo”, A y A∗ son dos puntos homólogos,

entonces el plano mediatriz de AA∗ pasa por el origen; y que todos esos planos media-

trices, de cada vértice y su homólogo, deben intersecarse en una misma recta que pasa

por el origen . Los puntos P del plano mediatriz satisfacen la ecuación OP •AA∗ = 0

, es decir, OP • [OA− E OA] = 0 ⁆

02.7) Expresar ek en la base εk (de la posición final), y recíprocamente, exprese εk en

la base ek .

03) Considere el eje (Q,u) fijo; verifique la validez de lo siguiente:

R(u, θ)• = θ•(U cos(θ) + U2sen(θ)) = θ•(−U

3cos(θ) + U2sen(θ))

= θ•U(−U2cos(θ) + U sen(θ) + Y + U

2)

Page 260: Apuntes de Algebra Lineal

260 CAPÍTULO 12. LA MATRIZ DE EULER

⇒ R(u, θ)• = θ• U R(u, θ) = θ• R(u, θ) U [07]

03.1) Sean U , V las matrices correspondientes a los vectores unitarios u , v , res-

pectivamente. Verifique que:

i) [ U , V ] = vuT − uvT

ii) UV2 + V

2U = −U− (u • v)V

iii) UVU = −(u • v)U

.

04) Designando con Ek a las matrices correspondientes a los vectores unitarios ek ,

verifique que:

E(ϕ, θ,Ψ)• = ϕ• E3 R(e3, ϕ) R(e1, θ) R(e3,Ψ) + θ• R(e3, ϕ) E1 R(e1, θ) R(e3,Ψ)

. +Ψ• R(e3, ϕ) R(e1, θ) E3 R(e3,Ψ)

05) Con Rϕ ≡ R(e3, ϕ) , Rθ ≡ R(e1, θ) , RΨ ≡ R(e3,Ψ) y designando con Rϕ’ , Rθ’ , RΨ’ ,

las correspondientes inversas Rϕ’ = R(e3,−ϕ) , con Rϕ Rϕ’ = Y , podemos escribir:

E(ϕ, θ,Ψ)• = ϕ•E3 Rϕ Rθ RΨ + θ• Rϕ E1(Rϕ’ Rϕ) Rθ RΨ +Ψ•

Rϕ Rθ E3(Rθ’ Rϕ’ Rϕ Rθ) RΨ

= [ϕ•E3 + θ• Rϕ E1 Rϕ’ +Ψ•

Rϕ Rθ E3 Rθ’ Rϕ’]Rϕ Rθ RΨ

es decir, con

. W ≡ ϕ• E3 + θ• Rϕ E1 Rϕ’ +Ψ• Rϕ Rθ E3 Rθ’ Rϕ’ [08]

entonces,

. E(ϕ, θ,Ψ)• = W E(ϕ, θ,Ψ) [09]

05.1) Verifique que, con b arbitrario, se cumple:

i) [Ej ,Ek]b = ej × (ek × b)− ek × (ej × b) = (ej × ek)× b

ii) [E1,E2] = E3 , [E2,E3] = E1 , [E3,E1] = E2

iii) (Ej E2k +E

2k Ej)b = ej × [ek × (ek×b)]+ ek× [ek× (ej ×b)] = −(1+ δjk)(ej ×b)

Page 261: Apuntes de Algebra Lineal

261

iv) j 6= k ⇒ Ej E2k + E

2k Ej = −Ej

v) Ej Ek Ej = −δjk Ej

.

05.2) Verifique que:

i) Rϕ E1 Rϕ’ = E1 cos(ϕ) + E2 sen(ϕ)

ii) Rϕ E2 Rϕ’ = −E1 sen(ϕ) + E2 cos(ϕ)

iii) Rϕ E3 Rϕ’ = E3

iv) Rθ E1 Rθ’ = E1

v) Rθ E2 Rθ’ = E2 cos(θ) + E3 sen(θ)

vi) Rθ E3 Rθ’ = −E2 sen(θ) + E3 cos(θ)

.

⁅Por ejemplo:

Rϕ E1 Rϕ’ = [Y + E3 sen(ϕ) + E23 (1− cos(ϕ))] E1 [Y − E3 sen(ϕ) + E

23 (1− cos(ϕ))]

= [Y + E3 sen(ϕ) + E23 (1− cos(ϕ))] [E1 − E1 E3 sen(ϕ) + E1 E

23 (1− cos(ϕ))]

= [E1 − E1 E3 sen(ϕ) + E1 E23 (1− cos(ϕ))]

+ E3 sen(ϕ)[E1 − E1 E3 sen(ϕ) + E1 E23 (1− cos(ϕ))]

+ E23 (1− cos(ϕ))[E1 − E1 E3 sen(ϕ) + E1 E

23 (1− cos(ϕ))]

= E1 − E1 E3 sen(ϕ) + E1 E23 (1− cos(ϕ)) + E3 sen(ϕ) E1 + E

23 (1− cos(ϕ))E1

= E1 + (E3 E1 − E1 E3)sen(ϕ) + (E1 E23 + E

23 E1)(1− cos(ϕ))

= E1 + E2 sen(ϕ)− E1 (1− cos(ϕ))

= E1 cos(ϕ) + E2 sen(ϕ) ⁆

05.3) Verifique que los siguientes pasos son correctos:

Rϕ Rθ E3 Rθ’ Rϕ’ = Rϕ [−E2 sen(θ) + E3 cos(θ)] Rϕ’

= −[−E1 sen(ϕ) + E2 cos(ϕ)] sen(θ) + E3 cos(θ)

= [E1 sen(ϕ)− E2 cos(ϕ)] sen(θ) + E3 cos(θ)

Page 262: Apuntes de Algebra Lineal

262 CAPÍTULO 12. LA MATRIZ DE EULER

06) Verifique que la matriz W tiene la forma:

W = ϕ• E3+θ•(E1 cos(ϕ)+E2 sen(ϕ))+Ψ•[(E1 sen(ϕ)−E2 cos(ϕ)) sen(θ)+E3 cos(θ)]

O también:

W = (θ• cos(ϕ) +Ψ• sen(ϕ) sen(θ))E1 + (θ• sen(ϕ)−Ψ• cos(ϕ) sen(θ))E2

. + (ϕ• +Ψ• cos(θ))E3

[10]

06.1 Verifique que Wq = w× q , siendo q arbitrario, donde:

w = (θ• cos(ϕ) + Ψ• sen(ϕ) sen(θ))e1 + (θ• sen(ϕ)−Ψ• cos(ϕ) sen(θ))e2

. + (ϕ• +Ψ• cos(θ))e3[11]

[Por supuesto que este mismo vector w puede ser expresado en cualquier otra ba-

se; por ejemplo, como veremos más adelante, la base ε1, ε2, ε3 , fija al cuerpo]

07) Para los ángulos de Euler dependientes del tiempo, verifique que el vector ini-

cial QP(t) = E(ϕ, θ,Ψ)QPo tiene la velocidad QP• = w × QP , de manera que la

velocidad del punto P , perteneciente a un CuRí tiene la forma:

. OP• = OQ• +w ×QP [12]

08) Sea w = w1e1 + w2e2 + w3e3 , verifique que

i) θ• = w1 cos(ϕ) + w2 sen(ϕ)

ii) Ψ• sen(θ) = w1 sen(ϕ)− w2 cos(ϕ)

iii) ϕ• sen(θ) = w3 sen(θ)− (w1 sen(ϕ)− w2 cos(ϕ)) cos(θ)

.

Page 263: Apuntes de Algebra Lineal

263

08.1) Verifique que:

w2 = θ• 2 +Ψ• 2 + ϕ• 2 + 2 Ψ• ϕ• cos(θ)

09) Analice los casos en los que dos de los ángulos de Euler son constantes.

09.1) Analice los casos en los que uno de los ángulos de Euler es constante.

09.2) Analice el caso en el que el módulo de w es constante.

09.3) Analice el caso en el que la dirección de w es constante.

09.4) Analice el caso en el que w es constante.

10) Verifique que los vectores

p1 = [ sen(A) cos(B) , sen(A) sen(B) , cos(A) ]

p2 = [ cos(A) cos(C) , cos(A) sen(C) , −sen(A) cos(B − C) ]

p3 = p1 × p2 son mutuamente perpendiculares.

Sean p1 , p2 , p3 , las aristas de un “ladrillo” con un vértice en el origen de coordenadas.

i) Determine las rotaciones de Euler que lo lleven a la posición en la que la arista

que inicialmente estaba en pk caiga en ek , k = 1, 2, 3 .

ii) Determine una única rotación que produzca el efecto anterior.

.

⁅p3 = sen(A) sen(B − C) p1 + [ sen(C) , −cos(C) , 0 ]

Más generalmente: p2 = [ M cos(A) , N cos(A) , −M sen(A) cos(B)−N sen(A) sen(B) ]

, con M , N , arbitrarios. ⁆

Page 264: Apuntes de Algebra Lineal

264 CAPÍTULO 12. LA MATRIZ DE EULER

Page 265: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 13

Cónicas

• Construcción de las secciones cónicas: La elipse, la parábola y la hipérbola.

• Obtención de las ecuaciones canónicas (en las que no existen los términos cruzados).

• La intersección de un plano que pasa por el origen de coordenadas con un

• elipsoide cuyos tres semiejes son diferentes (para (dos) ciertos planos, tales

• intersecciones son circunferencias)

• Si el elipsoide es de revolución sólo existe una circunferencia de intersección.

265

Page 266: Apuntes de Algebra Lineal

266 CAPÍTULO 13. CÓNICAS

01) Dada una recta R , un punto Q y un número real positivo ε , queremos construir,

en el plano determinado por (Q,R) el lugar geométrico de los puntos P tales que

|PQ| = ε|PR|

Donde |PR| representa la distancia mínima del punto P a la recta R

i) Verifique que, de la figura mostrada,

|PR| = r · cos(θ) + σ , si P y Q

están en el mismo lado de la recta,

mientras que

|P ’R| = −r · cos(θ)− σ , si están en

lados opuestos, donde cos(θ) < 0 .

ii) Verifique también que:

r(1− ε · cos(θ)) = ε · σcon cos(θ) < 1

ε, mientras que

r’(−1− ε · cos(θ)) = ε · σcon cos(θ) < −1

ε, donde, en ambos

casos, la curva r(θ) es simétrica con

respecto a la recta que pasa por Q

y M (perpendicular a la recta origi-

nal), llamada eje de simetría.

r

QM

P

R

P ’

σ θ

02) Verifique que:

i) Si ε < 1 , entonces P describe una curva cerrada, mientras que P ’ no existe.

ii) Para ε = 1 el punto P ’ no existe, mientras que el punto P describe una curva que

corta sólo una vez al eje de simetría.

iii) Para ε > 1 , designando con cos(θo) ≡ 1ε

se cumple θo < θ < 2π − θo para los

puntos P , mientras que debe cumplirse π − θo < θ < π + θo <1ε

para los puntos

P ’ .

.

Page 267: Apuntes de Algebra Lineal

267

cos

θo 2π − θoπ

π − θo π + θo

Para el caso ε > 1

.

03) Sean (x, y) las coordenadas del punto P ó P ’ , siendo (σ, 0) la coordenada de Q ,

con lo cual tenemos r =√

(x− σ)2 + y2 .Entonces la ecuación de los puntos P ó P ’

será: r = ε · |x| . Verifique que, en ambos casos, la ecuación toma la forma:

(1− ε2)x2 − 2xσ + y2 + σ2 = 0

Page 268: Apuntes de Algebra Lineal

268 CAPÍTULO 13. CÓNICAS

04) Verifique que para ε = 1 la curva es una parábola que se extiende hacia la derecha,

y corta al eje de simetría en el punto (σ2, 0)

05) Verifique que para ε < 1 la curva de P se puede escribir

[

x− σ

1− ε2

]2

+y2

1− ε2=

ε2σ2

(1− ε2)2

que es la ecuación de una elipse:

i) Con centro en el punto[

σ1−ε2

, 0]

ii) Corta al eje de simetría en los puntos [ σ1+ε

, 0] y [ σ1−ε

, 0]

iii) Tiene sus focos en los puntos [σ , 0] y [σ(1+ε2)1−ε2

, 0]

iv) Sus ‘diámetros’ 2 · a y 2 · b tienen longitudes a = εσ1−ε2

, b = εσ√1−ε2

σ

1+εσ σ

1−ε2

(1+ε2)σ1−ε

1−ε

.

06) Verifique que para ε > 1 la curva de P se puede escribir

[

x− σ

1− ε2

]2

− y2

ε2 − 1=

ε2σ2

(1− ε2)2

que es la ecuación de una hipérbola (de 2 ramas) :

i) Con centro en el punto[ −εσ1−ε2

, 0]

ii) Corta al eje de simetría en los puntos [ −σ1−ε

, 0] y [ σ1+ε

, 0]

iii) Tiene sus focos en los puntos [σ , 0] y [−σ(ε2+2ε−1)1−ε2

, 0]

Page 269: Apuntes de Algebra Lineal

269

iv) Sus ‘diámetros’ 2 · a y 2 · b tienen longitudes a = εσε2−1

, b = εσ√ε2−1

σ

1+εσ−

σ

ε2−1

(1+ε2)σε2−1

σ

ε−1

.

06.1) Verifique que en el caso de la hipérbola, para puntos muy alejados del origen la

ecuación toma la forma[

x− y√ε2 − 1

] [

x+y√

ε2 − 1

]

= 0

que es la ecuación de dos rectas que se cruzan en el origen, con pendientes√ε2 − 1 y

−√ε2 − 1 , respectivamente. Esas rectas son llamadas asíntotas.

07) Una manera práctica de graficar una elipse:

Alfiler Alfiler

Lapiz

.

Coloque una cartulina sobre una mesa. Clave dos alfileres a cierta distancia uno del

otro. Tome un trozo de hilo y una sus extremos, para obtener lo que topológicamente

sería una O. Ponga la O alrededor de los alfileres. Ahora, manteniendo el hilo ‘pegado’ a

la mesa, meta un lápiz dentro de la O y estire el hilo para formar un triángulo. Desplace

el lápiz y obtendrá una figura ...

.

Page 270: Apuntes de Algebra Lineal

270 CAPÍTULO 13. CÓNICAS

08) ¿Por qué las figuras anteriores se llaman cónicas?

Tome un cilindro hueco, opaco, y coloque en su centro un

foquito de luz. Encienda el foquito e ilumine una super-

ficie plana. Verifique que según la inclinación que el eje

del cilindro tenga con respecto a la superficie, se obten-

drá una figura iluminada que será un círculo, una elipse,

una parábola o una hipérbola (¿de dos ramas?) .

.

y

x

P

O

αβ

u

v

pq

(x , y) ≡ (p , q)

09) En el plano es usual representar las

funciones y las posiciones en coorde-

nadas cartesianas (rectangulares) que

suelen designarse con (x, y) , de mane-

ra que el punto P considerado tiene la

posición vectorial OP = x e1 + y e2

Pero, por supuesto, también se pueden

usar otras coordenadas, no necesaria-

mente rectangulares

OP = p u+ q v

La figura que se considere quedará ex-

presada por alguna función y = f(x)

, o varias funciones. En el otro caso se

tendrá que q = ϕ(p) .

El caso que aquí nos interesa es cuando existe una matriz invertible, A , de mane-

ra que se puede escribir [ p q ] = A[ x y ] , o si se prefiere

q = a11 x+ a12 y p = a21 x+ a22 y x = b11 p+ b12 q y = b21 p+ b22 q

Escriba las ecuaciones de las cónicas en coordenadas (p, q) y verifique que ellas toman

la forma general:

α11 p2 + (α12 + α21) p q + α22 q

2 + α3 p+ α4 q + α5 = 0

Verifique que tal expresión se puede escribir como:

[ p q ]TM [ p q ] + [ α3 α4 ] • [ p q ] + α5 = 0

Page 271: Apuntes de Algebra Lineal

271

10) Verifique que, en función de los ángulos α y β , se cumple:(

x

y

)

=

(

cos(α) cos(β)

sen(α) sen(β)

)(

p

q

)

(

p

q

)

=1

sen(α− β)

(

−sen(β) cos(β)

sen(α) −cos(α)

)(

x

y

)

11) ATENCIÓN: Usualmente no se distingue entre un segdo (segmento orientado)

y el vector algebraico que lo representa. Esto se debe a que en un único sistema de

coordenadas a cada segdo de posición OP le corresponde un único vector (llamado vec-

tor de posición). Pero cuando se usan más de un sistema de referencia sí es importante

marcar la diferencia:

Por ejemplo, diremos−−→OP ó −→x es el segdo de posición del punto P cuyas coordenadas

son dadas por el vector (algebraico) OP ó x = [ x1 x2 x3 ]

Así,−−→OP = x −→e1 + y −→e2 = p −→u + q −→v de manera que dicho segdo de posición

−−→OP

estará representado:

i) Por el vector [ x y ] en la referencia See ≡ O , −→e1 , −→e2

ii) Por el vector [ p q ] en la referencia Suv ≡ O , −→v , −→u .

Nótese que el vector algebraico e1 ≡ [ 1 0 ] representa tanto al segdo −→e1 en See , como

al segdo −→u en Suv .

Asímismo e2 ≡ [ 0 1 ] representa tanto al segdo −→e2 como al segdo −→v .

12) Sean −→a1 , −→a2 , −→a3 , tres segdos no paralelos a un mismo plano; entonces para

un punto P tendremos−−→OP =

k

xk−→ek =

k

αk−→ak

Por otra parte, para los segdos de base:

−→ak =∑

j

Ajk−→ej

Page 272: Apuntes de Algebra Lineal

272 CAPÍTULO 13. CÓNICAS

Verifique que:

i) x = [ x1 x2 x3 ] = Aα con α = [ α1 α2 α3 ]

ii) La representación de los segdos −→ak en la referencia O , −→ek son las correspon-

dientes columnas de la matriz A .

iii) A01 ×A02 •A03 α = [ A02 ×A03 A03 ×A01 A01 ×A02 ]Tx

.

O

−→a1 −→

a3

−→a2

P[ α1 α2 α3 ]∼= [ x1 x2 x3 ]

.

13) Asumiendo que las constantes A , B , C , E son positivas, describa las siguientes

superficies:

i) Ax2 +By2 + Cz2 = E

ii) Ax2 +By2 − Cz2 = E

iii) Ax2 − By2 − Cz2 = E

iv) Ax2 +By2 + Cz = E

v) Ax2 − By2 + Cz = E

Page 273: Apuntes de Algebra Lineal

273

vi) Ax2 +By + Cz = E

[ Vea que, por ejemplo, en el caso Ax2 − By2 − Cz2 = E , para cada valor de z se

trata de una hipérbola, Ax2 − By2 = Cz2 + E ; lo mismo vale para cada valor de y ;

en cambio, sólo para ciertos valores de x se tiene una elipse , Ax2 − E = By2 + Cz2 ]

14) Verifique que las 4 primeras ecuaciones de 13 se pueden escribir en la forma

xTMx = E , donde M es una matriz diagonal. Verifique también que para los puntos

de coordenadas z , tales que z = x+ a , la ecuación toma la forma

xTMx + aT (MT +M)x + aTMa = E

15) Para reconocer la superficie xTQx = E , donde Q no es una matriz diagonal,

pero sí es diagonalizable por la matriz U , es decir, M = U−1QU es diagonal:

i) Verifique que se cumple (UTx)TM(U−1x) = E

ii) Exprese la condición para que tal ecuación sea de la forma dada en 14.

.

16) Sea la matriz de dos columnas M = [ A S | S B ] . Verifique que sus dos

vectores propios pueden tomar la forma:

i) [ S λǫ −A ] ó

ii) [ λǫ − B S ] donde 2λǫ = A+B + ǫ√

(A− B)2 + 4S2

.

16.1) Sea la matriz Q = [ S λ+ − A | λ− − B S ]

i) Calcule la matriz Q−1

ii) Verifique que la matriz Q−1MQ es diagonal.

Page 274: Apuntes de Algebra Lineal

274 CAPÍTULO 13. CÓNICAS

.

17) Sea la ecuación Ax2 + By2 + 2Sxy = 1 . Sean Mu+ = λ+u+ , Mu− , con

M ≡ [ A S | S B ] . Verifique que para [ x , y ] = αu+ + βu− , la ecuación

anterior puede ser escrita como λ+α2 + λ−β

2 = 1 ecuación de elipse

18) Sean el elipsoide Ax2 + By2 + Cz2 = 1 y el plano Mx + Ny + Lz = 0 (cu-

ya normal es el vector [ M N L ] . Sea Γ la curva de intersección de dichas dos

superficies. Verifique que la proyección de Γ sobre el plano XOY es la elipse:

(AL2 + CM2)x2 + (BL2 + CN2)y2 + 2CMN xy = L2

18.1) Verifique que la proyección de Γ sobre el plano XOZ es la elipse :

(AN2 +BM2)x2 + (BL2 + CN2)z2 + 2BMLxz = N2

y sobre el plano Y OZ la elipse :

(AN2 +BM2)y2 + (AL2 + CM2)z2 + 2ANLyz = M2

19) Sea el caso particular en el que el plano de Γ pasa por el eje OX . Verifique

que entonces, la proyección de la curva Γ sobre el plano XOY tiene la forma:

AL2x2 + (BL2 + CN2)y2 = L2

19.1) Verifique que el ángulo, α , que forma el plano de Γ (cuando él pasa por el

eje OX) con el plano XOY , es tal que, cos(α) =L√

N2 + L2

⁅Los vectores normales unitarios, salvo signo forman el ángulo tal que

cos(α) = e3 • [ 0 N L ]1√

N2 + L2⁆

Page 275: Apuntes de Algebra Lineal

275

19.2) Sean (x, y, z) las coordenadas de un punto sobre el plano anterior; verifique

que la distancia de dicho punto al origen de coordenadas es igual a x2 + y2sec2(α)

19.3) Verifique que la distancia ρ de los puntos (x, y, z) de la curva Γ hasta el ori-

gen de coordenadas está dada por

ρ2 = x2 + y2sec2(α) = x2 +

[

L2 +N2

L2

]

y2

lo que, teniendo presente que (BL2 + CN2)y2 = L2 −AL2x2 , toma la forma

ρ2 =

[

L2 +N2

BL2 + CN2

]

+Wx2

BL2 + CN2

donde W = BL2 + CN2 − A(L2 +N2) = (B − A)L2 + (C − A)N2

19.4) Teorema : Entre la curvas de intersección del

elipsoide Ax2 + By2 + Cz2 = 1 con los planos de ecua-

ción Ny + Lz = 0 hay dos circunferencias. En efecto, la

normal al plano que pasa por el eje OX queda determi-

nada por los números N y L , siendo (0, N, L) un vector

perpendicular al plano, y cos(α) =L√

N2 + L2para el

ángulo α que forma el plano de la curva con el plano

XOY . Entonces basta elegir N y L de manera que W

se anule.

Verifique que:

i) W se anula para

(

L

N

)2

=A− C

B − A

ii) W = 0⇒ ρ2 =1

A

.

Page 276: Apuntes de Algebra Lineal

276 CAPÍTULO 13. CÓNICAS

19.5) Verifique que la existencia de las mencionadas circunferencias exige que se cum-

pla la condición (A− C)(A− B) < 0 A debe ser el semieje intermedio

19.6) ¿Qué significa que tal condición no se cumpla?

[ Tener presente que hemos tomado arbitrariamente un plano que pasa por el eje OX.

Pero podría ser un plano que pasase por alguno de los otros dos ejes coordenados ]

19.7) Verifique que si B correspondiese al semieje intemedio, entonces debería con-

siderarse el plano que pase por el eje OY ; y si el semieje intermedio fuese C, entonces

debe considerarse el plano que pasa por el eje OZ .

19.8) Verifique que si el elipsoide fuese de revolución, entonces solamente existe una

circunferencia de intersección del elipsoide con algún plano que pasa por el origen.

20) Consideremos el elipsoide re revolución A(x2 + y2) + Cz2 = 1 .

Verifique que:

i) Las intersecciones de dicho elipsoide con los planos Mx+Ny son elipses “igualitas”.

ii) Las intersecciones con planos de la forma Ny + Lz son las elipses

L2A(x2+y2)+CN2y2 = L2 , entre las cuales solamente existe una circunferencia,

que se encuentra sobre el plano XOY .

.

21) Los cristales son materiales sólidos, cuyos átomos forman figuras geométricas que

se repiten espacialmente formando una especie de red. Algunos cristales tienen las

constantes dieléctricas ε1 , ε2 , ε3 , iguales, y se dice que son cristales isotrópicos. Los

cristales anisotrópicos pueden tener dos constantes dieléctricas iguales (y la tercera

constante diferente), y son llamados cristales birefringentes (corresponden al caso de

un elipsoide de rotación); o pueden tener las tres constantes dieléctricas diferentes, y

corresponden a los elipsoides sin simetría de rotación. Si un rayo de luz incide sobre

Page 277: Apuntes de Algebra Lineal

277

una cara de un cristal isotrópico, se refracta según la ley de Snell. Si el rayo incide sobre

un cristal birefringente uniaxial, entonces resultan dos rayos refractados: el ordinarios,

que obedece la ley de Snell, y el extraordinario que no la obedece. Si el rayo incide

sobre un cristal birefringente biaxial, entonces también resultan dos rayos refractados,

pero ninguno de los dos obedece la ley de Snell.

Page 278: Apuntes de Algebra Lineal

278 CAPÍTULO 13. CÓNICAS

Page 279: Apuntes de Algebra Lineal

Capítulo 14

Algunas Aplicaciones

• Péndulos acoplados: Una solución linealizada.

• Geometría.

• Geometría del cuerpo rígido.

d

α α

θ φe1

e2

Origen de coordenadas

a

b

a

b

Los ángulos que forman las cuerdas con el vector e1 son positivos en sentido anti-

horario. Es la Regla del Tirabuzón con la dirección e3.

279

Page 280: Apuntes de Algebra Lineal

280 CAPÍTULO 14. ALGUNAS APLICACIONES

01) Acoplando 2 péndulos como muestra el gráfico mas arriba, tenemos:

r1 = [a · cos(α) + b · cos(θ)]e1 + [a · sen(α) + b · sen(θ)]e2

r2 = [a · cos(α) + b · cos(φ)]e1 + [d+ a · sen(α) + b · sen(φ)]e2

01.1) Los Diagramas de Cuerpo-Libre, DCL (considerando los 2 péndulos de masa m)

F1

F2

T −T

F3

F4

−F2

mge1mge1

−F4

• •

Dinámica de las fuerzas:

−F1 · sen(α) + F2 · sen(θ) + T = 0 [1]

−F1 · cos(α) + F2 · cos(θ) = 0 [2]

−F3 · sen(α) + F4 · sen(φ)− T = 0 [3]

−F3 · cos(α) + F4 · cos(φ) = 0 [4]

−F2 · sen(θ) = m(a · sen(α) + b · sen(θ))•• [5]

mg − F2 · cos(θ) = m(a · cos(α) + b · cos(θ))•• [6]

−F4 · sen(φ) = m(a · sen(α) + b · sen(φ))•• [7]

mg − F4 · cos(φ) = m(a · cos(α) + b · cos(φ))•• [8]

Son 8 ecuaciones con 8 incógnitas: F1 , F2 , F3 , F4 , T , α , θ , φ

01.2) Para obtener las ecuaciones del movimiento:

[1] y [2]⇒ F2·sen(−α+θ)+T ·cos(α) = 0 [9]

[3] y [4]⇒ F4·sen(−α+φ)−T ·cos(α) = 0 [10]

[5] y [6]⇒ g·sen(θ) = −(a·sen(α)+b·sen(θ))••cos(θ)+(a·cos(α)+b·cos(θ))••sen(θ) [11]

[7] y [8]⇒ g·sen(φ) = −(a·sen(α)+b·sen(φ))••cos(φ)+(a·cos(α)+b·cos(φ))••sen(φ) [12]

[5] y [6]⇒ g · sen(α)− F2 · sen(−α + θ) = −(a · sen(α) + b · sen(θ))••cos(α). + (a · cos(α) + b · cos(θ))••sen(α)[7] y [8]⇒ g · sen(α)− F4 · sen(α + φ) = −(a · sen(α) + b · sen(φ))••cos(α). + (a · cos(α) + b · cos(φ))••sen(α)

Page 281: Apuntes de Algebra Lineal

281

De donde, teniendo en cuenta [9] y [10], y sumando las 2 últimas ecuaciones, obte-

nemos:

2g·sen(α) = −(2a·sen(α)+b·sen(θ)+b·sen(φ))••cos(α)+(2a·cos(α)+b·cos(θ)+b·cos(φ))••sen(α) [13]

Las ecuaciones [11] , [12] y [13] describen el movimiento de los dos péndulos acoplados.

01.3) Para estas ecuaciones diferenciales conocemos la expresión de la energía, E ,

como una constante del movimiento:(m

2

)

v 21 +

(m

2

)

v 22 −mg e1 • r1 −mg e1 • r2 = E

es decir,(

m2

)

[α•a · (cos(α),−sen(α)) + θ•b · (cos(θ),−sen(θ))]2

+(

m2

)

[α•a · (cos(α),−sen(α)) + φ•b · (cos(φ),−sen(φ))]2

−mg(a · cos(α) + b · cos(θ))−mg(a · cos(α) + b · cos(φ)) = E

de donde,

2α• 2a2+b2(θ• 2+φ• 2)+2abα•θ•cos(θ−α)+φ•cos(θ−α)]−4ga·cos(α)−2gb(cos(θ)+cos(φ)) =

(

2

m

)

E

01.4) Deducir la conservación de la energía, a partir de las ecuaciones del movimiento.

(Esta tarea requiere bastante ingenio)

01.5) Verifique que, en primera aproximación se puede escribir

(sen(α))•• = (α•cos(α))• = α••cos(α)− α• 2sen(α)⇒ α•• − α• 2α

(cos(α))•• = −(α•sen(α))• = −α••sen(α)− α• 2cos(α)⇒ −α••α− α• 2

Considere, además, que θ2 , α2 , φ2 , y productos como θα , θ•α , θ•α• son insignifi-

cantes.

Page 282: Apuntes de Algebra Lineal

282 CAPÍTULO 14. ALGUNAS APLICACIONES

01.6) Las ecuaciones del movimiento son ecuaciones diferenciales no lineales, cuyas

soluciones deben ser calculadas numéricamente. Entonces realizaremos algunas sim-

plificaciones que las conviertan en ecuaciones lineales. Supondremos (y las soluciones

valdrán en tales condiciones) que los ángulos de desviación son bastante pequeños co-

mo para tomar sen(θ) ≈ θ , cos(θ) ≈ 1 . Similarmente para los otros dos ángulos.

Entonces, las ecuaciones [11], [12] y [13] toman las formas (lineales):

. gθ + (aα + bθ)•• = 0 [14]

. gφ+ (aα + bφ)•• = 0 [15]

. 2gα+ (2aα+ bθ + bφ)•• = 0 [16]

de donde, [14] + [15] − [16] , resulta que θ + φ = 2α [17]

01.7) Multiplicando [14] por (aα + bθ)• , [15] por (aα + bφ)• , y teniendo presente

que θ + φ = 2α , verifique que, en el modelo lineal

g[2aα2 + b(θ2 + φ2)] + (aα• + bθ•)2 + (aα• + bφ•)2

es una constante de movimiento.

01.8) Considerando la aproximación especificada en 01.6, verifique que, ahora, la ex-

presión de la energía toma la forma

(m

2

)

(aα• + bθ•)2 +(m

2

)

(aα• + bφ•)2 − 2mg(a+ b) = E

01.9) Verifique que, en determinado instante, uno de los péndulos se detiene, de mane-

ra que el otro posee toda la energía cinética; y que tal proceso se repite periódicamente.

01.10) Verifique que, de [16] se obtiene:

. 2gα+ (2aα + b(2α))•• = 0 ⇒ gα+ (a+ b)α•• = 0 [18]

Page 283: Apuntes de Algebra Lineal

283

Con lo cual, para w 2α =

g

a+ bse obtiene

. α(t) = A · sen(wαt + ς1) [19]

Restando [14] − [15]

. g(θ − φ) + b(θ − φ)•• = 0 [20]

Con w2 ≡ g

bobtenemos

. θ − φ = 2B · sen(wt+ ς2) [21]

Entonces, de [17] y [21]

. θ(t) = A · sen(wαt+ ς1) +B · sen(wt+ ς2) = B · sen(wt+ ς2) + α(t) [22]

. φ(t) = A · sen(wαt + ς1)− B · sen(wt+ ς2) = −B · sen(wt+ ς2) + α(t) [23]

01.11) Las tres ecuaciones [19], [22] y [23] describen el movimiento pendular, con

cuatro constantes de integración: A, B, ς1 y ς2 .

A

B

.

Page 284: Apuntes de Algebra Lineal

284 CAPÍTULO 14. ALGUNAS APLICACIONES

01.12) (Trigonometría) Verifique que:

i) A · sen(α) +B · sen(β) =[

A+B2

+ A−B2

]

sen(α) +[

A+B2− A−B

2

]

sen(β)

ii) sen(α) + sen(β) = 2 · sen[α+β2] · cos[α−β

2]

iii) sen(α)− sen(β) = 2 · sen[α−β2] · cos[α+β

2]

.

01.13) Verifique que, con M = A+B , N = A− B , podemos escribir:

θ(t) =M

2[sen(wαt + ς1) + sen(wt+ ς2)] +

N

2[sen(wαt + ς1)− sen(wt+ ς2)]

φ(t) =N

2[sen(wαt+ ς1) + sen(wt+ ς2)] +

M

2[sen(wαt + ς1)− sen(wt+ ς2)]

01.14) Con w1 =wα + w

2, w2 =

wα − w

2, δ1 =

ς1 + ς22

, δ2 =ς1 − ς2

2

θ(t) = M · sen(w1t + δ1) · cos(w2t+ δ2) +N · sen(w2t+ δ2) · cos(w1t+ δ1)

φ(t) = N · sen(w1t+ δ1) · cos(w2t+ δ2) +M · sen(w2t+ δ2) · cos(w1t+ δ1)

A continuación mostramos el caso cuando M = 0 ó N = 0 .

t

Page 285: Apuntes de Algebra Lineal

285

01.15) Verifique que el dibujo anterior representa a alguna de las dos funciones, cuando

se cumple la condición M = 0 ó N = 0 . Allí puede apreciarse que, en deteminados

instantes uno de los péndulos queda en reposo.

GEOMETRÍA

• Sean 2 triángulos congruentes ABC y A’B’C’ , usaremos la siguiente notación para

2 triángulos congruentes ∆(ABC) ∼= ∆(A’B’C’) .

B

B’

B*

B’*

C

C’

M

Los 2 planos horizontales son paralelos.

Los 2 planos verticales son mediatrices de

BB’ y de CC’ ; |B’C’| = |BC|Entonces |C’M | = |CM | , |B’M | = |BM | .B∗B’∗ es proyección de BB’ , entonces

|BB∗| = |B’B’∗| , |B’∗M | = |B∗M |Los triángulos rectángulos ∆(BB∗C) y

∆(B’B’∗C’) tienen un cateto y la hipote-

nusa ‘iguales’

⇒ |C’B’∗| = |CB∗|⇒ ∆(MC’B’∗) ∼= ∆(MCB∗)

⇒ θ(C’MB’∗) = θ(CMB∗)

Pero

θ(B∗MC’) = θ(B∗MC) + θ(CMC’)

. = θ(B∗MB’∗) + θ(B’∗MC’)

⇒ θ(CMC’) = θ(B∗MB’∗)

⇒ θ(CMC’) = θ(BMB’)

Page 286: Apuntes de Algebra Lineal

286 CAPÍTULO 14. ALGUNAS APLICACIONES

B

C

C’

B’

M

BB’ es un segmento cualquiera. Las

circunferencias, con centro en B y en

B’ tienen radios iguales, arbitrarios. C

es un punto arbitrario sobre una de las

circunferencias, C’ sobre la otra circun-

ferencia.

Entonces existe un punto M tal

que θ(CMC’) = θ(BMB’)

Note que ∆(BCM) ∼= ∆(B’C’M)

⇒ θ(BMC) = θ(B’MC’) .

También θ(CMB) + θ(BMB’) =

θ(CMC’) + θ(C’MB’)

⇒ θ(BMB’) = θ(CMC’)

Verifique que si BB’ es paralelo a CC’ también es posible encontrar el punto M me-

diante otro método.

• Sean A , B , C , D , E los vertices consecutivos de un polígono cerrado para

él se definen dos orientaciones:

i) De A hacia B, luego hacia C, luego hacia D, luego hacia E y luego hacia A

cerrando el circuito.

ii) De A hacia E, luego hacia D, luego hacia C, luego hacia B y luego hacia A

cerrando el circuito.

.

Page 287: Apuntes de Algebra Lineal

287

• Consideremos dos triángulos congruentes ABC y A’B’C’ , coplanares e igualmente

orientados. Entonces existe en el plano un punto Q, tal que rotando el triángulo ABC

alrededor del punto Q se lo puede llevar a coincidir con el triángulo A’B’C’ .

∆(ABC) ∼= ∆(A’B’C’)

⇒ θ(BAC) = θ(B’A’C’)

Ya se ha encontrado Q para hacer coincidir

AB con A’B’

⇒ ∆(QAB) ∼= ∆(QA’B’)

⇒ θ(QAB) = θ(QA’B’)

⇒ θ(QAC) = θ(QAB)− θ(CAB)

. = θ(QA’B’)− θ(C’A’B’)

. = θ(QA’C’)

⇒ |QA| = |QA’| , |AC| = |A’C’| ,. θ(QAC) = θ(QA’C’)

⇒ ∆(QAC) ∼= ∆(QA’C’)

⇒ |QC| = |QC’|

A

B

C

A’

B’

C’

Q

Page 288: Apuntes de Algebra Lineal

288 CAPÍTULO 14. ALGUNAS APLICACIONES

GEOMETRÍA DEL CUERPO RÍGIDO

• Coincidencia, por rotación, de dos triángulos congruentes con un vértice común:

Sean los triángulos congruentes

∆(ABC) ∼= ∆(ABoCo)

B

BoC

Co

A

I

En el caso en que: BB//CC

⇒ Los planos mediatrices (no mostrados) de dichos seg-

mentos son también paralelos, uno al otro , además tie-

nen el punto A común

⇒ los planos mediatrices coinciden ≡M

El punto A ∈M ; B y Bo son simétricos con respecto a

M ; así mismo C Y Co

⇒ las rectas R(B,C) y R(Bo, Co) resultan simétricas con

respecto a M

⇒ [ellas son paralelas o] se intersecan en I ∈M

⇒ al rotar el plano P (ABoCo) alrededor de R(A, I) has-

ta que coincida con P (ABC)

⇒ Bo coincidirá con B ; Co coincidirá con C.

Page 289: Apuntes de Algebra Lineal

289

Co

A C

C∗

B∗

B

Bo

RA

Plano mediatriz

A C

Co

C∗

BC

BoC

Cuando BBo y CCo no son paralelos:

Sea RA = la recta de intersección de los planos

mediatrices.

Sean B∗ y C∗ tales que P (BBoB∗),

P (CCoC∗)⊥RA ⇒|B∗C∗| = distanciaP (BBoB∗) , P (CCoC∗)Sean BC y Bo

C las proyecciones de B y de Bo

sobre el plano P (CCoC∗)

⇒ |BBC | = BoBC |Además son rectángulos y |BC| = |BoCo| ,

entonces: ∆(BBCC) ∼= ∆(BoBoCC

o) con lo cual

⇒ |CBC | = |CoBoC|Por otra parte: ∆(BB∗Bo) ∼= ∆(BCC

∗BoC) con

lo cual ⇒ |C∗BC | = |C∗BC |Como, además |CC∗| = |CoC∗| tendremos

⇒ ∆(CC∗BC) ∼= ∆(CoC∗BoC) de donde

∠(CC∗BC) = ∠(CoC∗BoC).

[ Siendo falso que BBo//CCo , también es falso

que BCBoC//CCo ; entonces los triángulos no

pueden ser simétricos; es decir, BC y BoC no

pueden ser, a la vez, interiores, ni exteriores, al

triángulo CC∗Co ]

Page 290: Apuntes de Algebra Lineal

290 CAPÍTULO 14. ALGUNAS APLICACIONES

C

C∗

BC

Co

BoC

RA es ⊥P (CCoC∗)

⇒ al girar ∆(ABBC) hasta que BC

coincida con BoC también B coincidirá

con Bo .

Por otra parte,

∠(CC∗BC) = ∠(CoC∗BoC)

⇒ BC coincide con BoC ⇒ C con Co

⇒ El giro alrededor de RA para que C

coincida con Co , produce que, a la vez,

B coincida con Bo .