apuntes de algebra lineal

Algebra Lineal para Fsicos

H.G.Valqui

ndice general

1. Introduccin 5

2. Grupos 25

3. Cuerpos 47

4. Espacios Vectoriales 63

5. Algunas aplicaciones geomtricas y fsicas 105

6. Algunas ecuaciones diferenciales 133

7. Transformaciones Lineales 147

8. Vectores propios 187

9. Vector de Inercia 209

10.Oscilaciones propias 231

11.Velocidad Angular 243

12.La matriz de Euler 249

13.Cnicas 265

14.Algunas Aplicaciones 279

3

Captulo 1

Introduccin

Una especie de Introduccin para aclarar qu significa entender alguna cosa Diez desafos para que verifiquen si han entendido algunas cosas que ya conocen. Buenos y malos conjuntos. Conjuntos de pares ordenados. Un poderoso y elemental concepto de Funciones como conjuntos de pares ordenados. Operaciones con funciones. Derivada direccional (es una generalizacin ms o menos simple del concepto dea derivada; y se puede aplicar a funciones ordinarias, funciones de varias variables,

a funciones vectoriales y matriciales, funcionales y operadores, etc).

Para poder sobrevivir en el mundo hay que conocer cmo funciona el mundo que

nos rodea (Esto no es trivial: Segn las informaciones publicadas en El Comercio, so-

lamente en la Va de Evitamiento, mueren mensualmente dos o tres personas).

Para conocer cmo funciona el mundo, entre otras cosas, es indispensable poder

representarlos. Los llamados animales inferiores solamente cuentan con su memoria

para representar al mundo. Con la invencin del lenguaje el hombre logr obtener re-

presentaciones ms o menos permanentes. Dentro de la gran variedad de lenguajes que

usa el ser humano(hablado, escrito, pictrico, musical, teatral,etc), la matemtica ha

demostrado ser el ms universal, objetivo y adaptable.

5

6 CAPTULO 1. INTRODUCCIN

02) Es difcil aprender a hablar japons o chino? La experiencia muestra dos co-

sas: i) Si uno se matricula en una academia para aprender, por ejemplo japons, tendr

que esforzarse bastante para llegar a usar aceptablemente tal idioma, ii) Los japonesi-

tos de 5 aos no tienen mayor problema para hablar japons.

Uno puede aprenderla matemtica para tratar de aprobar los exmenes; por tal ca-

mino posiblemente nunca llegue a usarla eficientemente. As por ejemplo, todos ustedes

han tenido que aprobar los cursos de ingls de la secundaria, y aprobarn otros cursos

de ingls en la Facultad; pero...

Por otra parte, hay quienes usan la matemtica para expresar diversas situaciones como

los japonesitos usan el idioma japons. Ese es el camino ms fructfero para entender

la matemtica; y puede ser divertido.

03) Un aprendiz de carpintera debe preocuparse por no sufrir algn accidente con

el martillo, el formn, el serrucho o alguna otra herramienta; entonces no puede pres-

tar atencin a la tarea de, por ejemplo, construir un mueble. Cuando haya practicado

suficientemente el uso de las herramientas, tratando de descubrir y separar las fuentes

de peligro, recin estar en condiciones de enfocar su atencin en las tareas propias de

los trabajos de carpintera.

La matemtica es una herramienta indispensable para entender la fsica. Pero tambin

puede ser un estorbo, como lo es el serrucho para quien no ha aprendido a usarlo.

La Matemtica y la Fsica son cosas totalmente diferentes. La Fsica necesita a la Ma-

temtica para representar una serie de situaciones, para modelarlas y para verificar que

tales modelos son (matemticamente) consistentes. Pero si un modelo es correcto, en

el sentido que representa la situacin real, o no lo es, es algo que incumbe netamente

a la Fsica (Experimental).

04) Todos aprendemos algunas cosas difciles ... cuando realmente nos interesa. Por

ejemplo, a caminar, a hablar, a montar bicicleta, a nadar, a patinar, a correr olas, a

tocar algn instrumento musical, a sobrellevar algunas clases de matemticas sin que

se note que nos morimos de aburrimiento, a jugar voley, ftbol o ajedrez, etc. Han

odo hablar de ese joven ambulante que hace unos aos ingres como primer puesto

de la UNI; o de aqul nio de 10 aos, E.Crdova, que sin apoyo de las federaciones

deportivas, se fue en Noviembre del 2001, a participar en Espaa en el campeonato

7mundial juvenil de ajedrez?

05) Entonces el truco no est en aprender cosas fciles (lo cual puede ser una pr-

dida de tiempo), sino en aprender cosas interesantes.

Pero atencin: Caerse de la bicicleta, tragar agua dulce o salada, estar yendo a recoger

la pelota cada vez que nos la lanzan, mover los peones e intercambiar tratando de dejar

sin piezas al adversario, mantenerse despierto en un clase que no entendemos, nada de

estas cosas son interesantes ni agradables.

Una persona que piense que puede lograr cosas interesantes sin pagar un precio por el

correspondiente aprendizaje ser una vctima ilusa de algunos de esos politiqueros que

promete arreglar todo si votamos por l. Eso si es fcil.

06) Un nio que se cae de la bicicleta y vuelve a montar, con el riesgo de volver a

caerse, no hace tal cosa porque le guste golpearse. Lo hace a pesar de los golpes, por la

visin que tiene de todo lo que podr disfrutar cuando ya haya aprendido a manejar la

bicicleta. Sin esa visin, de la que podremos hacer cuando hayamos pasado

la primera etapa del aprendizaje, este aprendizaje es slo una tortura, un

sin sentido.

07) Las personas inteligentes entienden lo que se les dice, sin necesidad de plantear

preguntas, es un chiste de mal gusto. Sin embargo muchos no consideran que esto sea

un chiste, sino afirman que las personas eficientes no requieren preguntar cuando se les

dice algo claramente. Se olvidan que lo que pueda ser claro para una persona, no es

necesariamente claro para otra. En particular, lo que pueda ser claro para un profesor,

no suele serlo para un alumno. Toda afirmacin, todo discurso, es planteado bajo una

serie de asunciones que supuestamente son compartidas (lo cual frecuentemente no es

cierto) por todos los interlocutores, en particular, por el profesor y los alumnos.

Desgraciadamente, nuestro sistema de educacin desalienta - y a veces castiga - a quie-

nes creen que deben preguntar para:

i) Asegurarse que han entendido bien la informacin vertida por el profesor.

ii) Constrastar la informacin recibida, con los conocimientos que uno mismo ya posee.

iii) Demandar algunas sugerencias para completar o constrastar algunas ideas sobre el

problema en consideracin.


Sin embargo, salvo en casos triviales, es imposible entender la cuestinsi uno no

plantea preguntas complementarias. En este sentido en el curso de Algebra Lineal de

este semestre, se supone que ustedes van a esforzarse por plantear preguntas que les

permita asimilar lo que se explique en clase o lo que se presente en este Pre - texto. Por

mi parte, tratar de estimular el planteamiento de preguntas, aunque es ciertos casos

me resulte difcil mantener mi buen humor.

08) El presente Pre - Texto no pretende ensear qu es el lgebra Lineal, sino que el

estudiante, usando las Reglas del Juego y las situaciones presentadas en el texto, se

familiarize con las caractersticas principales del lgebra, que le permitirn expresar

situaciones en una serie de mbitos de la Fsica.

Aqu parto del postulado educacional segn el cual es imposible la transmisin del co-

nocimiento, pues ste es adquirido ( o no ) por cada persona como fruto de su propio

esfuerzo. Lo que se transmite es la informacin sobre las Reglas de Juego y algunos

consejos para evitar errores groseros de interpretacin o de operacin ( cmo cuando

un grupo de personas invitan a otras personas a participar en un juego desconocido

para stas).

09) Cuando se plantea un problema o pregunta, por ejemplo

Si la nica fuerza (significativa) sobre la Tierra es la que el Sol ejerce sobre ella Por

qu entonces no nos vamos hacia el Sol?

suelen ofrecerse variadas respuestas:

La fuerza de atraccin del Sol es contrarrestada por la fuerza centrfuga (con lo

cual desaparecera la aparente contradiccin).

La fuerza ejercida por el Sol es slo terica; en la prctica la fuerza sobre la

Tierra es tangencial, sino Cmo se explicara su movimiento? ( Era la visin de

los ngeles empujando a la Tierra, existen versiones ms modernas).

Ah; no s; eso no me han enseado; Cul es la respuesta correcta?

9Ese es uno de los trucos de los tericos, para que nadie los entienda. Olvdate del

asunto y dedcate a aprender cosas serias, no metafsicas.

Un momento; la Tierra est cayendo constantemente hacia el Sol. Mira, ella trata

de seguir en lnea recta y cae un poquito, luego trata de alejarse en lnea recta y

vuelve a caer un poquito ms; y as indefinidamente...

Ah; esa pregunta ya me la he planteado varias veces, y he ledo algunas respuestas

que dan en los libros; pero no me convencen. A ver, tratemos de entender qu

significa la pregunta.

Me arriesgo a decir, que este Pre - Texto est dirigido al tipo de personas de la ltima

respuesta; personas que grosso modo pueden caracterizarse as:

i) No creen que una pregunta o un problema sea fcilmente entendida por slo su

enunciado.

ii) La nica manera de entender algo es experimentar con los conceptos y las situa-

ciones que all se plantean.

iii) Estn ms interesados en entender el problema y sus consecuencias, que en obtener

la respuesta (Para la pregunta planteada ms arriba, del Sol y la Tierra, hay

una respuesta correcta y directa, que desgraciadamente no est suficientemente

difundida).

a

10) Este Pre - Texto trata de ser sensatamente consistente, pero no en base a demos-

trar la validez de todos los pasos que se dan, sino en proponer y desafiar al lector o

lectora a que l mismo, o ella misma, construya dicha justificacin. Es la nica mane-

ra de adquirir confianza personal de haber entendido (o de ir enetendiendo) el tema

desarrollado. El otro camino es recurrir a una seguidilla de actos de fe, posiblemente

significativos en un creyente, pero venenosos para un cientfico en formacin.

11) Como desafos iniciales (pero tambin como una manera de medirhasta qu punto

el lector ha desarrollado su propio aprendizaje) se presentan algunos problemitas que

no requieren mayor informacin que la que se suele usar en secundaria.


ALGUNOS PROBLEMITAS:

Para que quienes se sienten desafiados por situaciones que no son tpicas, pero no son

complicadas.

01: Para comenzar con algo fcil; resuelva la siguiente ecuacin:

x

x+ 2+

2

x+ 1= 1

02: Usted seguramente es de las personas que creen que tienen una estatura bien deter-

minada, por ejemplo, 1.68m. Mida su estatura al levantarse y luego antes de acostarse.

Se convencer que tal crencia es infundada.

03: Posiblemente usted tambin cree que si una afirmacin es falsa, entonces la ne-

gacin de tal afirmacin debe ser verdadera. Pero...

ESTA FRASE EST CONSTRUIDA CON OCHO PALABRAS [falso]

ESTA FRASE NO EST CONSTRUIDA CON OCHO PALABRAS [falso]

04: De entre las afirmaciones que aqu presento, cuatro son falsas; descbralas:

i) x, y R , x2 + xy + y2 = 0 x = y = 0

ii) x 6= 0 , x1 + x2

=1

1 + 1x2

iii)x2 1x 1 = x+ 1

iv) x, y R , x2 xy + y2 = 0 x = y = 0

v) (a)(b) =

(ab)

vi)Nk=1

ak1Xk =N+6j=7

aj7Xj6

11

05: Sobre un piso plano se colocan dos postes verticales, que sobresalen 10 y 15 metros

sobre el nivel de suelo, separados por una distancia L. Por medio de tirantes (recti-

lneas) se conectan los extremos superiores da cada poste con el extremo inferior del

otro poste (formando una especie de X).

Si la altura del punto de corte de los tirantes es de 6 metros Cunto vale la distancia

L entre los postes?

06: Conecte las casillas de las letras iguales, trazando lneas que no salgan del rec-

tngulo, ni se corten entre s.

A

AB

B

C

C

D

D

07: De AB = 0 muchos deducen que A = 0 B = 0. Tal cosa es cierta en el caso de

los nmeros reales y de los nmeros complejos; pero tal cosa no tiene porque ser vlida

en el caso de las matrices ... por ejemplo:

A =

(r 1

r 1

), B =

(p q

rp rq

), C =

(1 1

r r

), D =

(r 1

r2 r

)

Verifique que AC = CA = 0, AB = 0, pero BA = (p q)D

08: El bloque reposa sobre una mesa fija al suelo. La fuerza F, aplicada al bloque

no es suficiente para romper el estado de equilibrio. [DCL=Diagrama de Cuerpo Li-

bre] Puesto que el DCL mostrado al centro es incorrecto, se prefiere el DCL, del lado

derecho Su opinin?

F

G

F

W

N

fG

F

W

N

f


09:En algunos textos de Fsica General se suele encontrar las dos siguientes afirmacio-

nes:

i) La friccin se opone al movimiento

ii) La fuerza de un auto se encuentra en el motor

Cmo es que entonces un auto reposando sobre un piso horizontal, completamente

liso, no puede iniciar el movimiento cuando se pone en funcionamiento su motor?

10: Sobre la Tierra prcticamente acta slo la fuerza de atraccin del Sol (las fuerzas

de los otros planetas son insignificantes).

Cmo se explica que la Tierra no se precipite sobre el Sol. Peor an, que durante

algunos meses del ao la Tierra se aleje del Sol? (es decir, aumenta la distancia entre

la Tierra y el Sol).

12) CONJUNTOS (esto es una revisin y una aclaracin de ciertos conceptos)

12.1) Existen buenos y malos conjuntos. Malos conjuntos seran por ejemplo:

{ mi primera idea de ayer, alguna cosa } , { x / x es un da caluroso },

{p / p es uno de los pensamientos de Einstein },

{z / z es un peruano}, {h / h es una hoja de este rbol } Estos, Por qu?

Cuando uno se refiere a un conjunto (matemtico) est suponiendo que se trata de un

buen conjunto, pero tal cosa puede no ser cierta. Por eso es conveniente tener cuidado.

Un buen conjunto, C, se caracteriza por lo siguiente: Dado un objeto cualquiera, X, no

existen dudas para afirmar una de las dos posibilidades, X C X / C.{Las hojas de este rbol, los das calurosos, las personas inteligentes, los libros desco-

nocidos, los peruanos, las mujeres altas, etc}

12.2) En un conjunto no interesa el orden en el que se escriben sus elementos, ni

tampoco interesa si algunos de los elementos estn repetidos:

{1, 2, 3 ,4 } = { 3, 1, 4, 2} = { 2, 2, 1, 3, 1, 3, 3, 4}

13

{ UNA, CHINA, EN, LA, UNIVERSIDAD} = { UNA, UNIVERSIDAD, EN LA CHI-

NA}

{c, a, r, r, e, t, e, r, a} = { c, a, r, r, e, t, a} = { c, r, e, t, a}

12.3) ATENCIN: El conjunto { l, l, l, l}

Est constituido por cuatro hojas, tres hojas, dos hojas; o por una sola?

A veces conviene considerar conjuntos ordenados. Cuando se especifica que un

conjunto es ordenado, entonces los elementos de tal conjunto deben ser escritos en

el orden especificado. Sus elementos suelen mostrarse encerrados entre dos parn-

tesis, o de alguna otra forma que no causa confusin. Por ejemplo, una palabra es

un conjunto ordenado de ciertas letras, (c, a, r, r, e, t, a) carreta 6= careta. Cuan-do en un conjunto ordinario algn elemento aparece repetidamente dichas repeticiones

pueden ser suprimidas. En cambio, en un conjunto ordenado tal simplificacin no se

puede realizar.

{e, l, e, m, e, n, t, a, l, m, e, n, t, e} = {m, e, n, t, a, l}, pero (e, l, e, m, e, n, t, a, l,

m, e, n, t, e) 6= (m, e, n, t, a, l)

El conjunto ordenado 05 08 01 significa en el Per, el da 5 de agosto del ao

2001, en cambio en EEUU significa el da 8 de mayo del ao 2001.

La escritura posicional de un nmero en la base decimal (o cualquier otra base)

es un conjunto ordenado de nmeros naturales; por ejemplo 334602 6= 334620

Para pares ordenados (a, b)= (c, d) a = c y b = d

{ A los alumnos de la FC que han odo sobre la escritura de los nmeros en la base

dual se les puede clasificar en 10 clases: i) Los que no entendieron el asunto, ii) Los que

s lo entendieron}

CONJUNTOS DE PARES ORDENADOS:

13) Sea g un conjunto de pares ordenados de objetos, por ejemplo,

g = {(a, 1), (, ), (, 4), (Y,Y), (Y,Y), (a, 1), (,

), (,), (a, 1)}


donde debemos recordar que no interesa en qu orden se escriban los elementos de g

(es decir, el conjunto g no es ordenado; los elementos de cada par s son ordenados).

Al conjunto de las primeras componentes de g lo designaremos con Dg y le damos el

nombre de dominio de g , al conjunto de las segundas componentes lo llamaremos rango

de g y lo designaremos con Rg

Dg = {a, , , Y,Y,,} Rg = {1, , 4,Y,

,}

13.1) Por otra parte, definimos el conjunto gin , llamado conjunto inverso de g , como

el conjunto de pares ordenados que se obtiene al intercambiar, en cada par, la primera

con la segunda componente, es decir,

(x, z) gin (z, x) g

13.2) Ahora, el conjunto h de pares ordenados:

h = {(a, 1), (a, ), (, 4), (Y,Y), (Y,Y), (Y,), (,), (23, 0), (0, 0)}

se diferencia del conjunto g, entre otras cosas por lo siguiente:

1. En el conjunto g no existen dos pares ordenados diferentes que posean la

misma primera componente. [Notemos que el par ordenado (a, 1) est repetido;

no se trata de dos pares diferentes. Notemos tambin que en g existen pares

ordenados diferentes que tienen la misma segunda componente]

2. En el conjunto h si existen (por lo menos) dos pares ordenados diferentes que

tienen la misma primera componente, por ejemplo, (a, 1) y (a, )

Determine a cul tipo de conjuntos (al tipo g , o al tipo h) pertenece cada uno de los

siguientes conjuntos:

f1 = {(r, s)/r R , r2 + 4r + s = 4}f2 = {x, y)/x R , x4 + y4 = 1}f3 = {(y, x)/x, y R , x > 0, y2 + x2 = 1}f4 = {(p, q)/p R , p3 + q3 = 1}f5 = {(g, h)}

15

f6 = {(sen, cos), (cos,sen), (tan, sec2), (exp, exp), (In, n In1), (sen3, 3cos3)}donde In, sen3 y cos3, son funciones tales que: In(x) = xn, sen3(x) = sen(3x),

cos3(x) = cos(3x)

f7 = {(sen, cos), (cos, cos), (tan, cos), (exp, cos), (In, cos), (sen3, cos)}f8 = {(x, y) / x R , y = ax+bcx+d , las constantes son reales}f9 = {(x, y) / x R, y = (cxa)dxb , las constantes son reales}f10 = {(,,,), (2,,), (_,[), (D,8), (QPPPPPPR,)}

Consideremos dos pares de f1 que posean la misma primera componente, (r, s) y (r, t).

Si resultase que necesariamente s = t , entonces se trata de un nico par, repetido, y

f1 sera del tipo g. Si existiesen objetos s , t diferentes, entonces f1 ser del tipo h.

Ahora (r, s) , (r, t) f1 r2 + 4r + s = 4 r2 + 4r + t = 4(restando) s t = 0 s = t.Para f2 tendremos: (x, w), (x, z) f2 x4 + w4 = 1 x4 + z4 = 1 w4 z4 = 0 (w2 + z2)(w2 z2) = 0 a) w2 + z2 = 0 w = z = 0 ,b) w2 z2 = 0 (w+ z)(w z) = 0 b1) w = z , b2) w = z en cuyo caso, no siendonulos, w, z son nmeros diferentes y f2 resulta ser del tipo h.

Para f3 tendremos: (y, x), (y, z) f3 y2 + x2 = 1, y2 + z2 = 1 x2 z2 = 0 a) z = x , b) z = x pero en f3 las segundas componentes de sus pares ordenadosson positivas, luego z = x se cumplir solamente cuando z = x = 0; f3 es del tipo g.Por otro lado (p, q), (p, r) f4 q3 r3 (q r)(q2 + qr + r2) = 0 a) q = r , b) q2 + qr+ r2 = 0 q2 +2qr+ r2 = qr (q+ r)2 = qr 0 si qr > 0entonces en w2 + qr + r2 los tres sumandos seran positivos, y la suma no podra ser

nula qr = 0 q2 + r2 = 0 q = r = 0. Es decir, slo queda la posibilidad q = r.Entonces f4 es del tipo g.

13.3) Sean los conjuntos de pares ordenados:

M = {(x, z) / x4 + z4 = 16 con x real, z < 0}N = {(p, q) / p4 + q4 = 16 con p, q reales}P = {(1, 1), (1, 2), (p, q), (x, y) / p, q, x, y son letras del abecedario}

13.4) Los conjuntos N y P anteriores son tales que si uno conoce el conjunto (es

decir conoce todos sus elementos) y conoce la primera componente de uno de sus pa-


res, a veces NO ES POSIBLE determinar (en forma nica) el correspondiente segundo

elemento del par. Es decir, existen pares diferentes que tienen la misma primera com-

ponente; por ejemplo, (0, 2), (0,2) N , (1, 1), (1, 2) P

13.5) Por otra parte, supongamos que en el conjunto M existan dos pares diferen-

tes con la misma primera componente: (a, b), (a, c) M , entonces a4 + b4 = 16 ,a4 + c4 = 16 . restando obtenemos b4 c4 = 0 , es decir, (b c)(b + c)(b2 + c2) = 0 ;pero por la condicin del conjunto M tanto b como c son negativos, entonces b+ c < 0

, b2 + c2 > 0 . Es decir, b c = 0 , con lo cual los dos pares resultan ser iguales. Nues-tra suposicin de que existan dos pares diferentes con la misma primera componente

result contradictoria; luego dicha suposicin es falsa.

14) DEFINICIN: Un conjunto de pares ordenados (pares de objetos cualesquiera,

pero bien definidos) en el que no existan dos pares diferentes con la misma prime-

ra componente, ser bautizado con el nombre de funcin.

Identifique, entre los conjuntos fk de 13.2, aquellos que son funciones.

{ f1, f3, f4 son funciones; f2 no lo es. Es claro que f5 es del tipo g , pues no exis-

ten dos pares diferentes, luego es una funcin. }

14.1) Ntese que dada una funcin f , y dada una de las primeras componentes de sus

pares, x , entonces la correspondiente segunda componente, z , queda bien determi-

nada (esto no se cumple en un conjunto de pares ordenados que no sea una funcin).

Es decir, podemos afirmar que z [f, x] , lo que suele escribirse as: z = f(x) .O tambin f es una funcin 7 { z = f(x) (x, z) f}

14.2) Cules de las siguientes conjuntos son funciones?

A = {(1,2), (, ), (, )}B = {(p, p)}C = {(p, q) / p2eq = 1, con p racional, q entero} Atencin!

17

D = {(sen, cos), (cos,sen), (tan, sec2), (cotan,cosec2), (I7, 7I6), (sen3, 3sen2 cos)}D0 = {(f, g) / f, g son funciones reales de una variable, donde g(x) = lm

h0f(x+ h) f(x)

h}

E = {((x, y, z); (xyz, x2 + yz))/ 0 < x < 1, 2 < y < 10, 7 < z < 0}

F = {(g, 72

g(x)dx) donde g es una funcin integrable de variable real}Fa = {(g, g(a)) donde g es una funcin continua de variable real; a es un nmero real}G = {(A, 1), (B, 2), (C, 3), (D, 4), (E, 5), (F, 6) donde;A,B,C,D,E, F,G son los conjuntos

dados ms arriba}I = {(s, s) / s A R} En realidad deberamos escribir IaIn = {(p, q) / q = pn, con p S R}senw = {(, sen(w)) / U R} Cuantas funciones sen1 existen?ew = {(, ew), / es un entero}M = {(x, y) / x4 + y4 = 16 con x real , y > 0}N = {(p, q) / p4 + q4 = 16 con p, q reales}P = {(1, 1), (1, 2), (p, q), (x, y) / p, q, x, y son letras del abecedario}

14.3) Usualmente se escribe una funcin solamente dando la frmula para la segunda

componente, sin especificar el rango; por ejemplo la funcin: y =

sin(x)

81 x2Qu significa tal cosa? Se trata de la funcin:

f = {(x, y) / y =

sin(x)

81 x2 con x A R}

Donde el conjunto A es el mximo posible, tal que las dos componentes existan y re-

sulten reales. En el ejemplo no est permitido x = 9 ni x = 252

; en cambio es claro

que f(0) = 0; pero f(327) = 0 ? Tampoco est permitido x = 9 ni x = 19. Es decir,

cuando no se especifique el dominio de la funcin, entonces deber suponerse que se

trata del dominio mximo.

14.5) Las funciones se pueden graficar de muchas maneras. Lo importante es que

la representacin usada no sea confusa. Normalmente slo las funciones de pares de

nmeros reales pueden ser representadas (en el plano) en forma pticamente correcta.


14.4) Grfico de una funcin con dos

puntos de discontinuidad:

Ecuacin de una funcin con dos pun-

tos de discontinuidad f(x) =x4 1x2 1

Un ejemplo de representacin que no puede ser fiel: Si se nos diceque la figura presentada es un cubo, entonces debemos aceptar que el

ngulo ABC es recto, y que las longitudes de los segmentos AB, BC y

CD son iguales, aunque parezca que eso no es as Cunto vale la suma

de los tres ngulos que forman los tres segmentos que concurren en C? A BC

D

15) Dadas dos funciones f, g se construye una nueva funcin, denominada la funcin

compuesta de g con f , designada con g f

g f = {(p, q) / p Df , f(p) Dg , q = g(f(p))}

f g

Df Rf Dg Rg

gof

15.1)Construir las funciones f5 f5 , f6 f7, f8 f9 , f9 f8 , f8 f8 , con los fk de

19

ms arriba.

16) Si f es una funcin, y su conjunto inverso, f in , tambin es una funcin, en-

tonces diremos que f es invertible y que f in es la funcin inversa de f .

Verifique que f f in = f in f = I donde DI = Df .

16.1) Verifique que si f es invertible f(x) = f(z) x = z

17) Sea n un nmero natural; consideremos las funciones de la forma:

f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), , (k, ak), , (n, an)} donde ak [n] {1, 2, 3, , n}y, por supuesto, f(k) = ak. Ntese los ak no tienen porque ser diferentes entre s.

17.1) Cuando una funcin de 17: sea invertible recibir el nombre de permutacin

(del conjunto [n]). Diremos que f g, es el producto de composicin de tales funciones.

[Ntese que en este producto s importa el orden de los factores] Verifique que si p es

una permutacin, entonces pj = k (pin)k = j

17.2)Designemos con Pn al conjunto de todas las funciones invertibles de la forma

dada en 17(formadas por n pares de nmeros naturales).

Entonces verifique que:

i) f, g Pn f g Pn

ii) (f g) h = f (g h)

iii) Existe una funcin I Pn tal que I f = f I = f para toda f Pn

iv) Para toda f Pn existe otra funcin f in Pn tal que f f in = f in f = I

v) Pn , con la operacin composicin, es grupo.

.

17.3) Sean las funciones f , g tales que f(x) =1

x 1 , g(x) =1

x

.[NOTA: Cuando no se define explcitamente el dominio de una funcin debe supo-

nerse que se trata del mximo. dominio posible].


Resolver las dos siguientes ecuaciones: f u = g , v f = g.

f u = g f(u(x)) = g(x) 1u(x) 1 =

1

x u(x) 1 = x u(x) = x+ 1

v f = g v(f(x)) = g(x) v( 1x1) =

1

x.

Por otra parte f(x) =1

x 1 x = 1 +1

f(x)

Entonces v(f(x)) =1

x=

1

1 + 1f(x)

=f(x)

1 + f(x), de donde podemos escribir v(z) =

z

1 + z

Verifique que ambas soluciones son correctas

18) Suma de dos funciones: f + g = h h(x) = f(x) + g(x) x Df Dg

18.1) Suma de dos funciones: f g = h h(x) = f(x) g(x) x Df Dg

18.2) Suma de dos funciones:f

g= h g(x) 6= 0, h(x) = f(x)

g(x) x Df Dg

18.3) OTROS: Para una funcin se puede definir su valor mximo, sus puntos es-

tacionarios, su norma (de muchas maneras), regiones de continuidad, regiones de deri-

vabilidad, etc.

19) Sea la funcin F = {(p, q) / p = (x, z) R2 , q = (x2, xz, z1 + |x|)}

i)Verifique que F es invertible

ii)Determine F in

19.1) Sea la funcin F = {(p, q) / p = (x, y, z) R3 , q = (x2 + y2, xyz)}i)Vea si ella es invertible

ii)Determine F (1,2, 3) y F (2, 1,3)

19.2) Sea la funcin Z = {((r, s), m) / m = r + s2}, construya la funcin f talque f(x, y) = F (x, y, Z(x, y))

19.3) Sean las funciones f1(t) = 2sen(t), f2(t) = exp(t), f3(t) = t; construya la

funcin g(t) = F (f1(t), f2(t), f3(t))

21

19.4) Construya la funcin u tal que u(x) = F (x, f2(x), Z(f1(x), x))

20) La Derivada Direccional. Sea una funcin F con dominio DF y rango RF

tales que la operacin

[F (p+ h v) F (p)]h

tenga sentido, siendo h un nmero real pequeo. Por ejemplo, para la funcin de

19.1: tendramos , con v = (r, s, t) , que p + h v = (x+ hr, y + hs, z + ht) , de dondeF(p+hv) F(p) = (x+ hr)2 + (y + hs)2 + (x+ hr)(y + hs)(z + ht) x2 + y2 + xyz ; esdecir, F(p+hv) F(p) = h(2xr + 2ys+ xyt+ xzs+ yzr) + h2(r2 + s2 + xst+ yrt+ zrs), de donde F (p+hv)F (p)

h= (2xr+2ys+ xyt+ xzs+ yzr) + h(r2 + s2 + xst+ yrt+ zrs)

20.1) Supongamos que v sea una cantidad unitaria (por el momento no interesa mucho

el significado de tal afirmacin), entonces el nmero h ser, de alguna manera, la me-

dida de la distancia entre los objetos p y p+ hv. As F (p+hv)F (p)h

es el cociente entre

la diferencia de los valores de F en los puntos p y p+ hv, y la distancia entre dichos

puntos. Recordemos que, en el caso de funciones ordinarias, [f(x+h1)f(x)]h

es la pen-

diente de la secante de la recta que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x+h 1, f(x+h 1)).

20.2) Como en el caso de la derivada ordinaria, cuando h tienda a cero, a veces existir

el lmite del cociente F (p+hv)F (p)h

, pero otras veces l no existir. Cuando dicho lmite

exista diremos que l es la derivada direccional de la funcin F en el punto p y

en la direccin v.

[DvF ](p) lmh0

F (p+ h v) F (p)h

20.3)Ejemplos:

i) F(p,q,r) = [pq,qr], es decir, Df R3, Rf R2 derivada en la direccin k = [a, b, c].

Con x = [p, q, r], tendremos


F (x+ hk) F (x) = [(p+ ha)(q + hb), q + hbr + hc

] [pq, qr]

= [(p+ ha)(q + hb) pq, q + hbr + hc

qr]

= [h(pb+ aq) + h2ba,h(br qc)r(r + hc)

]

= h[(pb+ aq) + hba,br qcr(r + hc)

]

Entonces DkF (p, q, r) = [pb+ aq,br qcr2

]

ii) G(p, q, r) = p q2 + q r2 R , que es un ejemplo de una funcin de 3 variables(reales), con valores reales, lo que se conoce como un campo escalar. En la direccin

v = (x, y, z). Ahora:

G(p+ hx, q + hy, r + hz)G(p, q, r) = (p+ hx)(q + hy)2 + (q + hy)(r + hz)2 p q2 q r2= h(xq2 + 2ypq) + h2(y2p+ 2qxy) + h3y2 + h(yr2 + 2zqr)+

h2(z2q + 2ryz) + h3z2

Entonces, DvG(p, q, r) = xq2 + 2ypq + yr2 + 2zqr

iii) J(g) = ba

[g2 + gg] , donde se supone que g es una funcin integrable en elintervalo (a, b) , y tambin que posee 2a derivada continua. La direccin, es ahora

una cierta funcin. As,

J(g + h) J(g) = ba

{[(g + hv)2 + (g+hv) (g + hv)] [g2 + gg]}

=

ba

{2h g v + h2v2 + h(gv + gv) + h2vv}

Entonces, DvJ(g) = ba

{2 g v + (gv + gv)}

iv) Sea la funcin G anterior.

Ahora construimos la funcional J(f) = ba

G[f(t), f (t), t]dt Calcular DvJ(g) , donde

es una funcin dada.

Primeramente recordemos que podemos escribir el desarrollo en serie de Taylor:

G(p+h, q+h, r) = G(p, q, r)+hG1(p, q, r)+hG2(p, q, r)+(h)2

2G11+

(h)2

2G22+

.h2

2G12 +O(h

3)

23

donde los subndices indican con respecto a cual de las variables (la 1a, la 2a la

3a variable).

Ahora: J(f + hv) J(f) = ba

{G[f(t) + hv(t), f (t) + hv(t), t]G[f(t), f (t), t]}dtPero, teniendo presente que f(t)+hv(t) , f (t) + hv(t) , t , f(t) , f (t) , son 5 nmeros,

y considerando el desarrollo de Taylor anterior, tendremos:

J(f + h) J(f) = ba

{hv(t)G1(p, q, r) + hv(t)G2(p, q, r) + (hv(t))2

2G11 +

(hv(t))2

2G22+

(hv(t)v(t))2

G12 +O(h3)}dt

donde por supuesto, p = f(t), q = f (t), r = t.

Entonces, DvJ(f) = ba

{v(t)G1(p, q, r) + v(t)G2(p, q, r)}dt

20.4) Sea una funcin F tal que DF Rn , entonces la variable independiente p ,como la direccin v, sern vectores n-dimensionales. En particular podemos tomar la

direccin v = ek del k-simo eje de coordenadas; as tenemos Dk Dek . Dicha derivadadireccional suele escribirse

xk, es decir,

F (x)xk

DkF (x)

20.5)Sea F (p, q, r) = p2qr +ep

rQu significan las siguientes expresiones?

i)F (p, q, r)

xii)

F (p, q, r)

xiii)

F (3, 4, 3)

x

iv)F (p, x, r)

xv)

F (x, x, x)

xvi)

F (z, z, z)

x

vii)F (xyz, x2, 1

x)

xviii)

F (p, g(x), r)

xix)

F (g(x), q, r)

x

x)F (g(p), g(q), g(r))

x

donde g(t) = 2 t2 + 3 t


20.6) Para la misma funcin F (p, q, r) = p2qr +ep

rQu significan las siguientes

expresiones?

i) D1F (p, q, r) ii) D1F (p, q, r) iii) D1F (3, 4, 3)

iv) D1F (p, x, r) v) D1F (x, x, x) vi) D1F (z, z, z)

vii) D1F (xyz, x2, 1

x) viii) D1F (p, g(x), r) ix) D1F (g(x), q, r)

x) D1F (g(p), g(q), g(r))

De 20.5 y 20.6 podemos apreciar las ventajas de usar D1F , D2F , D3F , en vez

deF

x,F

y,F

z.

20.7) [Una tarea trabajosa] Sean las funciones dadas en 19:

F = {(p, q) / p = (x, y, z) R3 , q = (x2 + y2, xyz)}Z = {((r, s), m) / m = r + s2}f1(t) = 2sen(t) , f2(t) = exp(t) , f3(t) = t

g(t) = F (f1(t), f2(t), f3(t)) , u(x) = F (x, f2(x), Z(f1(x), x))

Determine las derivadas DkF (x) , DkZ(a, b) , Dg(x) , Du(x) , donde Df f .

Captulo 2

Grupos

Definicin y un ejemplo. Algunos teoremas sobre las principales propiedades de los grupos. 30 ejemplos de grupos. Tabla de un Grupo (como una especie de Tabla de Multiplicacin) Grupo de permutaciones. Grupos de rotaciones de figuras geomtricas que poseen algunas simetras. Subgrupo

Sean un conjunto y una funcin g : . Diremos que el par (, g) es ungrupo si se satisfacen los siguientes postulados:

1) El dominio de la funcin g es todo y el rango es todo .2) La funcin (operacin) es asociativa: g(g(x, y), z) = g(x, g(y, z)) x, y, z .3) e tal que x se cumple g(x, e) = x (identidad por la derecha)4) x x tal que g(x, x) = e (inversa por la derecha)

25

26 CAPTULO 2. GRUPOS

Ejemplo: Sean p, q nmeros racionales, tales que p2 + q2 6= 0 . Sea el conjuntode los nmeros reales de la forma z = p +

2q . Por otra parte, definimos la funcin

g como el producto ordinario de dos nmeros reales, es decir, g(p +2q, u +

2v) =

pu+ 2qv +2(pv + qu) . Es un grupo el par (, g)? Veamos:

1. a) Es el dominio de la funcin g, todo ? Se verifica directamente.b) Es el rango de g todo ? Es decir, dado un elemento p +

2q , Existen

a +2b y c+

2d , tales que (a+

2b)(c +

2d) = p+

2q?

Verifique que tal cosa es cierta. Tenga presente que ni a2 2b2 ni c2 2d2pueden ser nulos.

2. Es asociativa la funcin (operacin) g ; es decir, g(g(x, y), z) = g(x, g(y, z))

x, y, z ?Verifquelo.

3. e tal que x se cumple g(x, e) = x ?Sea p+

2q un elemento de tal que para todo a +

2b se cumple

(a+2b)(p+

2q) = a +

2b ap+ 2bq = a , aq + bp = b p = 1 , q = 0.

4. x x tal que g(x, x) = e ?Verifique que (a +

2b) =

(a2b)(a2 2b2)

Qu sucede si a =2b? (a, b racionales)

el par (, g) de este ejemplo, es un grupo. Adems es un grupo abeliano (es decir,conmutativo).

Teorema 1 Si g(x, x) = e g(x, x) = e [La inversa por la derecha es tambininversa por la izquierda]

En efecto, sea x tal que g(x, x) = e, entonces:

g(x, x) = g(g(x, x), e) = g(g(x, x), g(x, x)) = g(g(g(x, x), x), x) = g(g(x, g(x, x)), x)

= g(g((x, e), x) = g(x, x) = e

es decir, g(x, x) = e.

27

Otro: Sean los elementos g(x, x) y g(x, z) con z arbitrario.

g(g(x, x), g(x, z)) = g(g(g(x, x), x), z) = g(g(x, g(x, x)), z) = g(g(x, e), z) = g(x, z)

g(g(x, x), g(x, z)) = g(x, z) , z arbitrario g(x, x) = e

Teorema 2 g(e, x) = x [Identidad por la izquierda tambin resulta ser identidad por

la derecha]

En efecto, g(e, x) = g(g(x, x), x) = g(x, g(x, x)) = g(x, e) = x.

Teorema 3 La identidad e es nica.

En efecto, g(x, f) = x x g(e, f) = e . Por otra parte, para la identidad f se cumpleg(x, f) = g(f, x); es decir, e = g(e, f) = g(f, e) = f .

Teorema 4 La inversa x es nica

En efecto, sea g(zx, x) = e, entonces:

x = g(x, e) = g(x, g(x, zx)) = g(g(x, x), zx) = g(e, zx) = zx . Adems x 6= z x 6= z

Teorema 5 (x) = x

En efecto, x (x) = g(x, g(x, x)) = g(g(x, x), x) = g(e, x)

Teorema 6 g(x, z) = g(z, x)

En efecto:g(x, z) = g(g(x, z), e) = g(g(x, z), g(g(x, z), g(z, x)))

= g(g(g(x, z), g(x, z)), g(z, x)) = g(e, g(z, x)) = g(z, x)

Teorema 7 g(a, x) = c x = g(a, c)

Teorema 8 g(x, b) = c x = g(c, b)

Teorema 9 g(a, x) = g(b, x) a = b g(x, a) = g(x, b) a = b


Teorema 10 Supongamos que exista un elemento q C tal que g(q, x) = g(x, q) , esdecir, q conmuta con todos los elementos de C.

Entonces, con la nueva operacin K, tal que K(x, z) = g(g(x, z), q), el par (C, K) es

un grupo (caracterizado por el elemento q)

En efecto, K(x, E) = x x = g(g(x, E), q) = g(x, g(E, q)) g(E, q) = e E = q.Por otra parte, para el elemento inverso xo (segn K) tendremos E = K(x, xo)

q = g(g(x, xo), q) = g(q, g(x, xo)) pues q conmuta e = g(q, q) = g(g(q, q), g(x, x)) = g(g(q2, x), x) xo = g(q2, x) , donde q2 g(q, q)

NOTA: Puede ser ms cmodo usar x z g(x, z).As, por ejemplo, para el primer teorema, con x (x) , tendramos:x x = (x x) e = (x x) (x x) = ((x x) x) x = (x (x x)) x

= (x e) x = x x = e x x = e

EJEMPLOS de grupos:

E01) Los nmeros reales de la forma a = x + z3 , con x , z racionales; y la ope-

racin suma (x + z3) + (u + v

3) = x + u + (z + v)

3 . Aqu obtenemos que:

e = 0, (x+ z3) = x z3.

Verifque la asociatividad.

E02) a = x+ z3 y el producto (x+ z

3)(u+ v

3) = (xu+3zv) + (xv+ zu)

3 con

e = 1 + 03 , (x+ z

3) =

x3z2 x2 +

z

3z2 x23 .

Verifique la asociatividad. [Vea qu pasa si se considera a = x+ z4]

E03) Las seis funciones f0(x) = x , f1(x) = 1 x , f2(x) = 1x

, f3(x) =1

1 x ,

f4(x) = 1 1x, f5(x) =

x

x 1 y la composicin. Dominio de las funciones?

e = f0 . Note que f0 f0 = f1 f1 = f2 f2 = f3 f4 = f4 f3 = f5 f5 = e ; en

29

cambio f3 f3 = f4 , f4 f4 = f3 . Note que del dominio comn de las funciones debe

excluirse a los nmeros x = 0, x = 1. Verifique la asociatividad

E04) Las 3 funciones I(x) , f(x) =x 1x

, g(x) =1

1 x y la composicin.Dominio?

E05) Los enteros y la suma.

E06) Los racionales no nulos y el producto.

E07) Grupos con 1 , 2 3 elementos.

i) Si el grupo tiene un nico elemento, dicho elemento tendr que ser la identidad.

ii) Si tiene dos elementos, ellos sern e, a .El resultado de g(a, a) slo puede ser e ; pues

de g(a, a) = a obtenemos g(g(a, a), a) = g(a, a) g(a, g(a, a)) = e a = e loque es falso. Es decir, a = a.

iii) Para 3 elementos tendremos e, a, b.

La operacin g(a, b) = x , donde x no puede coincidir ni con a ni con b [pues,

x = a g(a, g(a, b)) = g(a, a) g(g(a, a), a) = e g(e, a) = e a = e]:luego g(a, b) = e.

Entonces g(a, a) ni g(b, b) pueden ser iguales a e [Pues g(a, a) = e = g(a, b) &

Teorema 9 a = b]. Pero g(a, a) 6= a g(a, a) = b. Anlogamente g(b, b) = a .

.

ATENCIN: Por convencin, en una tabla, para la operacin g(p, q) se toma p en la

primera columna de la izquierda; q en la primera fila superior.


E07.1) Grupos con n = 4 elementos:

e, a, b, c. (ver figura)

) Supongamos que g(a, a) = b,

luego g(a, b) = e c.

i) g(a, b) = e g(a, c) 6= b, e; perog(a, c) 6= a, c g(a, c) 6= e, a, b, cii) g(a, b) = c g(a, c) = e

Adems, de g(a, a) = b obtenemos que

g(a, b) = g(a, g(a, a)) = g(g(a, a), a)

g(a, b) = g(b, a) (ya tenemos todoslos resultados g(a, x)).

e a b c

a e c b

b c a, e e, a

c b e, a a, e

Resultan 2 posibilidades. Los 2 grupos resultan abelianos En una Tabla de grupo podemosintercambiar el nombre de las letras; eso

no es interesante.

.

Ahora veamos g(b, x) : g(b, a) = g(a, b) = c. Luego g(b, b) = a e. Pero g(b, b) = a

g(b, c) = e , y como g(a, c) = e resultara que b = a. Entonces debe ser g(b, b) = e

g(b, c) = a. Para los g(c, x) se obtiene entonces g(c, a) = e, g(c, b) = a, g(c, c) = b.

) Ahora g(a, a) = e, entonces g(a, b) no puede ser ni e , ni a , ni b ; es decir, g(a, b) = c

g(a, c) = b.

Para g(b, x) : Tenemos que g(b, a) no puede ser ni e , ni a , ni b ; entonces g(b, a) = c

Esto est indicado en la Tabla de grupo, al lado derecho. Para g(b, b) surgen dos op-

ciones i) g(b, b) = a , ii) g(b, b) = e. Note que g(b, b) = c c = e.

Complete el anlisis y verifique la asociatividad.

As que para 4 elementos existen 3 grupos diferentes:

e a b c

a b c e

b c e a

c e a b

e a b c

a e c b

b c e a

c b a e

e a b c

a e c b

b c a e

c b e a

ACLARACIN 1: Supongamos que, por ejemplo, tenemos un grupo constituido por

los elementos que representamos por las letras e, a, b, c, u, v. Luego de esto, alguien

podra denominar al tercer elemento con la letra v (en vez de la letra b), y al ltimo

elemento lo denomina con la letra b (en vez de la letra v), Habr obtenido un nuevo

31

grupo? A los grupos que tienen la misma estructura de grupo (tienen la misma tabla

de grupo), slo que sus elementos han sido designados con diferentes nombres se los

denomina isomorfos (que tienen la misma forma de grupo). Los grupos isomorfos no

son considerados como grupos diferentes. [El concepto de isomorfismo es ms amplio;

pero, el isomorfismo por cambio de nombres es un caso sencillo particular]

ACLARACIN 2: Note que si en una tabla de grupo se permutan las filas (o se per-

mutan las columnas), entonces la operacin de grupo no es modificada. Es decir, no

interesa en que orden se escriben las columnas (o en que orden se escriben las filas).

Pero puede ser conveniente escribirlas en determinado orden.

E07.2) Verifique que la segunda y la tercera tablas representan a un mismo grupo. Es

decir,existen nicamente dos (diferentes) grupos de 4 elementos.

E07.3) Construya la tabla para los posibles grupos:

i) De dos elementos {e, a}

ii) De tres elementos {e, a, b}; verifique que g(a, a) = b

iii) De cuatro elementos; y verifique que existen slo dos grupos diferentes (ver arriba)

.

E07.4) En una de las Tablas de grupo para n = 4 (son dos Tablas de grupo; una para

cada grupo) con los elementos e, a, b, c, obtenga un nuevo grupo(aparentemente)

diferente al elegido por usted, cuando intercambia las letras; por ejemplo, escriba c en

vez de a, y a en vez de c.

xx) GRUPOS EQUIVALENTES o isomorfos: Sean dos grupos G = (C1, g) , H(C2, h)

tales que C1 y C2 son dos conjuntos de igual nmero de elementos. Sea f una fun-

cin invertible de C1 en C2 ; es decir, para p C1 , q C2 tal que f(p) = q yf1(q) = p ; entonces diremos que dichos grupos son equivalentes si y slo si se cum-

ple que f(g(p, r)) = h(f(p), f(r)). A continuacin presento un ejemplo en 07.5 ; otros


ejemplos sern mostrados ms abajo.

E07.5) En el caso de los grupos de 4 elementos, en (E07.1) mostramos que existen

3 grupos, cuyas tablas de grupo se exhiben en dicho prrafo.

En este caso C1 = C2 = C3, en cambio las operaciones de grupo son diferentes; pues si

bien g1(a, b) = g2(a, b) = g3(a, b) = c ; en cambio g1(c, c) = b , g2(c, c) = e , g3(c, c) = a.

Considere la funcin invertible f = {(e, e), (a, a), (b, c), (c, b)} de los conjuntos C2 y C3.Verifique que el segundo y el tercer grupo son equivalentes o isomorfos.

E08) Sea m > 1 un nmero natural, y sean z, r ciertos enteros. Diremos, por de-

finicin, que z es igual a r mdulo m , lo cual escribiremos as z = r md(m) , as

z =m r , si y slo si, existe un entero q tal que z = mq + r.

El conjunto Jn {0, 1, 2, 3, , n 1} recibe el nombre de Conjunto de los Enterosmdulo n.

E09) Verifique que [Jn,+] es un grupo, donde g(p, q) = p+ q md(n).

Es claro que e = 0. Para el elemento inverso tendremos p+p =n 0 =n n p = np,donde, puesto que 0 p < n n p n , n p > 0, es decir, p = n p Jn.Verifique la asociatividad

E10) Es [Jn 0, ] , con g(p, q) =n pq , un grupo?

Por una parte, si fuese un grupo, el elemento identidad debe ser el nmero 1.

A) Sea n un entero producto de otros dos enteros, n = pq , con p, q < n entonces,

pq = 0 y no se tratara de un grupo.

B) Sea n un nmero primo.

B1) p, q Jn pq 6= n pq 6=n 0B2) 0 < p Jn, 0 q < n & pq = 0 q = 0B3) p, q, r Jn & pq =n pr q = r

33

B4) Sea 0 6= p Jn p, 2p, 3p, (n 1)p son todos diferentes, entonces, alguno deellos pp =n 1 g(p, p) = e. La propiedad asociativa se cumple porque dicha propie-dad se cumple para los nmeros enteros. Luego, si n es un nmero primo J n [Jn0,]es un grupo}

E10.1) Para q 6= 0 definimos pq= r p = rq.

Construya las fracciones del grupo [Jn {0},]

E10.1.1) Dados los enteros positivos p , q , m , (verifique que) existe un entero no

negativo k, tal que p+mk es divisible entre q.

E11) Pares ordenados de reales, [x, z] , y la suma. En general, n-uplas y la suma

por componentes.

Para pentuplas, e = [0, 0, 0, 0, 0], p = [p1, p2, p3, p4, p5] , p = [p1,p2,p3,p4,p5],y la asociatividad se cumple por componentes

E12) Pares ordenados de reales [x, z] , con g([p, q], [x, z]) = [px qz, pz + qx]. Aquresulta e = [1, 0] , [x, z] =

[x

x2 + z2,z

x2 + z2

], donde debe descartarse el par [0, 0].

E13) Grupo contnuo G(u) = [cos(u), sen(u)] , como un caso particular de E12, resul-

tando g(G(u), G(v)) G(u)G(v) = G(u+ v)

G(u)G(v) = g([cos(u), sen(u)], [cos(v), sen(v)])

= [cos(u)cos(v) sen(u)sen(v), cos(u)sen(v) + sen(u)cos(v)]= [cos(u+ v), sen(u+ v)] = G(u+ v)

Adems e = G(0) = [1, 0] ; G(u)G(u) = G(0) G(u) = G(u).


Verifique el cumplimiento de la propiedad asociativa.

E14) Las n-uplas con la suma de las componentes.

E15) G(m,n) = m+ n+mn md(p), donde m, n {0, 1, 2, 3, , p 2; p es primo}

Para la inversa tener presente que dadom < p, siempre existe

m < p tal quem(m+1) = kpm (k es un entero adecuado),por ejemplo, 1 = 3 , 5= 5 .

Adems e = 0. [G(p 2, p 2) = p2 2p =p 0]Por qu no se considera p 1 en la tabla?Note que G(m, p 1) =m p 1 , con m arbitrario.Ver la tabla para p = 7.

G md 7

0 1 2 3 4 5

1 3 5 0 2 4

2 5 1 4 0 3

3 0 4 1 5 2

4 2 0 5 3 1

5 4 3 2 1 0

E16) Las n-uplas con ningn elemento nulo, y el producto de sus componentes g([xk], [zk]) =

[xkzk] , donde [xk] [x1 x2 x3 xn] {usar x , x ek = xk}

e = [1 1 1 1], [xk] =[1

xk

], donde se ve la necesidad de que ningn elemento

sea nulo. La asociatividad se cumple porque las componentes son asociativas.

E17) Para p , x , z, reales, p no nulo; g(x, z) = x+ z + pxz , con:

e = 0 , x =x

1 + px, x 6= 1

p. Verifique la asociatividad.

Halle todas las soluciones de la ecuacin g(x, x) + g(1, x) = 0

2x+ px2 + 1 + x+ px = 0 px2 + 2x(3 + p)2

+ 1 = 0

*(px+

p

2+

3

2

)2=

(p+ 3)2

4 1 0 (p+ 3)2 4

p 5 p 1es la condicin para que exista solucin, la misma que se obtiene de *

35

E18) [Desafo] Cmo deben ser las matrices A, B, C, para que los ternas-columnas

de nmeros reales, con la operacin: p3q = [pTAq , pTBq , pTCq] constituya un

grupo?

E19) Las simetras de un polgono regular (rotaciones y reflexiones especulares):

Tringulo ABC, Cuadrado ABCD, Polgono ABCD LM

Tringulo:e(ABC) = ABC , R1(ABC) = BCA , R2(ABC) = CAB

F1(ABC) = ACB , F2(ABC) = CBA , F3(ABC) = BAC

(6 elementos que pueden verse como 6 posibles permutaciones)

Cuadrado:

e(ABCD) = ABCD , R1(ABCD) = BCDA , R2(ABCD) = CDAB

R3(ABCD) = DABC , F12(ABCD) = BADC , F23(ABCD) = CDBA

V1(ABCD) = ADCB , V2(ABCD) = CBAD

(8 elementos de las 24 posibles permutaciones)

Tetraedro:

e(ABCD) = ABCD , R11(ABCD) = ACDB , R12(ABCD) = ADBC

R21(ABCD) = CBDA , R22(ABCD) = DBAC , R31(ABCD) = BDCA

R32(ABCD) = DACB , R41(ABCD) = BCAD , R42(ABCD) = CABD

R12(ABCD) = BADC , R13(ABCD) = CDAB , R14(ABCD) = DCBA

(12 elementos de las 24 posibles permutaciones)

Verifique usted: Cubo , Crculo , Cilindro , Esfera.

Traslacin sobre una recta, sobre una circunferencia, sobre una curva, sobre el plano.

Sean a, b, c tres nmeros reales; p , q , r tres enteros, , , {0, 1}. Diremos queel paraleleppedo cuyos 8 vrtices son (pa + a, qb + b, rc + c) es la celda (p, q, r).

Es decir, el espacio tridimensional puede ser partido en celdas.

A continuacin consideremos un paraleleppedo P , que puede encajar perfectamenteen cualquiera de las celdas. Entonces P puede ser trasladado de una celda a cualquier


otra por medio de desplazamientos paralelos a las tres direcciones determinadas por

los lados de las celdas. Verifique que estas traslaciones constituyen un grupo, donde la

operacin de grupo consiste en realizar una traslacin a continuacin de otra. [Esta es

la operacin de grupo caracterstica de los cristales]

E20) Las matrices de mn (m filas y n columnas), y la operacin suma.

E21) Las funciones definidas en un intervalo, y la operacin suma.

E21.1) Las funciones que no se anulan en un intervalo, y la operacin producto de

funciones.

E21.2) Las funciones definidas en un intervalo y la operacin composicin de funciones.

E21.3) Las funciones definidas en un intervalo, y la operacin f g = f + g + fg ,donde es un nmero real no nulo.

E22) Funciones invertibles, Df = Rf , con dominio U , y la composicin. Es lo que se

conoce como PERMUTACIN.

E23) Cualquiera de estos conjuntos:

{1, i, 1, i}, {Y , [0 1; 1 0], Y , [0 1; 1 0]} , {Y , Y , 1, 1}, y la operacinproducto son representaciones de un mismo grupo; as tambin (J4, +). Aqu [a b; c d]

es una matriz con dos columnas [a b] y [c d]; Y es la matriz identidad; por otra parte

la matriz 1 = [0 1; 1 0].

Si designamos con E (identidad), A, B, C, los elementos

de cada uno de los cuatro conjuntos anteriores, tendremos

la Tabla de Grupo: La lectura B de la 3a fila, y C de la 4a

columna da g(B,C) = A, que se encuentra en la interseccin

de la fila y columna mencionadas.

E A B C

E E A B C

A A B C E

B B C E A

C C E A B

E24) El conjunto de la matrices de nn , invertibles, y la operacin producto.

37

E24.1) Conjunto de matrices de nn y la operacin A B = A + B + AB , con real no nulo, y det(Y + A) 6= 0.

Para el elemento identidad:

A E = A A+ E + AE = A E(Y + A) = 0 (matriz nula).Si det(Y + A) 6= 0, entonces E = 0.Por otra parte, para el elemento inverso de A, tendremos:

A + A + AA = E A(Y + A) = A , y como existe la inversa de la matriz delparntesis: A = A(Y + A)1.Para la asociatividad:

(A+B+AB)+C +(A+B+AB)C = A+(B+C +BC)+A(B+C +BC)

E25) Dado un grupo g , y dos de sus elementos a, b, construimos la nueva opera-

cin: G(x, z) = g(g(x, a), g(b, z)). Por comodidad simplificaremos g(p, q) pq , dedonde G(x, z) = xabz . Entonces, G(x, E) = x x = xabE E = (ab).Por otra parte G(x, x) = E xabx = (ab) x = (xab)(ab) = (abxab).Tambin G(x, p) = q x = q(abp) = qpE

E26) Permutaciones:

p = {(1, p1), (2, p2), (k, pk), , (n, pn)} (

1 2 3 k np1 p2 p3 pk pn

)(

k

pk

)

p(k) = pk; donde no interesa el orden en el

que se escriban los pares=

(a r t m jpa pr pt pm pj

)

p =

(p1 p2 p3 pk pn1 2 3 k n

)(

pk

k

)

g(p, q) p qp q(j) = p(q(j)) j p(qj)

(qj

p(qj)

)

(j

qj

)=

(j

p(qj)

)

p q =

(q1 q2 q3 qk qnpq1 pq2 pq3 pqk pqn

)

(1 2 3 k nq1 q2 q3 qk qn

)


p q =

(1 2 3 k npq1 pq2 pq3 pqk pqn

)

Ntese que (k, pk) p (pk, k) p o tambin pk = m pm = k

E27) El conjunto de los reales no nulos: g(x, z) = Mxz para M 6= 0.

Aqu e =1

M, x =

1

xM2. Para la asociatividad: M(Mpq)r = Mp(Mqr)

E28) Verifique que la operacin f(x, z) = x z , donde x, z son enteros, no es asocia-tiva.

E29) Sea el conjunto R {0} , y la operacin f(x, z) = |x|z . Verifique que:

i) La operacin es asociativa.

ii) Existen dos identidades izquierdas, pero no existe identidad derecha.

Pregunta: Es un grupo?

E30) Constituido por las dos funciones I, f , y la operacin composicin, donde:

f(x) =A(Bx+ A)

(1 A2)xAB , con A 6= 0, B arbitrarios.

Teorema 11 Sea a cierto elemento de un grupo. Verifique que

{z/z = g(a, x) con x C)} = C

Concluya que en una Tabla de Grupo, tanto cada fila (as como cada columna) tiene

todos sus elementos diferentes.

x

39

Teorema 12 Sea un grupo finito de 2N elementos; entonces para (por lo menos) uno

de ellos, p 6= e, se cumple g(p, p) = e.

Consideremos los 2N elementos (diferentes entre s), xk , con x1 = e ; entonces sus

elementos inversos xk tambin sern diferentes entre s y por lo tanto, entre ellos apa-

recern todos los elementos del grupo. Es decir, si C = {xk, k = 1, , 2N}, entonces,tambin {xk, k = 1, , 2N} = C. Por una parte x1 = e g(x1, x1) = e. Para unelemento xk 6= e tenemos dos posibilidades: i) xk = xk , ii) xk = xm con m 6= k. Cadavez que no se cumpla el primer caso, tendremos dos elementos, donde uno es el inverso

de otro. As tendremos, cada vez, un nmero par de elementos, donde la mitad de ellos

son los inversos de la otra mitad. Pero, descartando la identidad, slo disponemos de

2n 1 elementos.

SUBGRUPO: Sea S C, donde [g,C] es un grupo. Si [g,S] es tambin grupo,se dice que l es un subgrupo de [g,C], y se escribe [g,S] [g,C]

Teorema 13 El subconjunto S C, con la operacin g (del grupo) es un subgrupo siy slo si x, z S g(x, z) S.

Por una parte: Sea [g,S] un grupo. Entonces x, z S x, z S g(x, z) S.Por otra parte:

i) x S e = g(x, x) S (la identidad est en S)ii) e, x S x = g(e, x) S (la inversa de un elemento de S est en S)iii) x, z S x, z S g(x, z) = g(x, z) S (la operacin es cerrada en S)iv) La distributividad se cumple para 3 elementos cualesquiera de C .

Luego S es un grupo

Teorema 14 Todo grupo finito de N elementos es un subgrupo del grupo de permu-

taciones PN

{Si para cada elemento z definimos la funcin fz tal que fz(x) = g(z, x), entonces fz

es invertible; es decir, es una permutacin. Por otra parte, fw fz(x) = fw(fz(x)) =

g(w, fz(x)) = g(w, g(z, x)) = g(g(w, z), x) = fg(w,z)(x), x arbitrario fw fz = fg(w,z)


ALGUNOS CASOS PARTICULARES

Sean A, B, C tres puntos equidistantes,

fijos en el espacio; M es el baricen-

tro del tringulo equiltero ABC. Sea

EA una recta orientada, determinada

por M y A, en el sentido de M hacia

A. Anlogamente definimos las rectas

orientadas (ejes orientados) EB y EC.

Adems definimos el eje orientado EM ,

que pasa por M y es perpendicular al

plano determinado por A, B y C, y en

el sentido de avance de un tirabuzn que

gira en el sentido ABC, como se muestra

en el dibujo. Un eje que est desactivado

es invisible; se vuelve visible al ser activado.

A la derecha se muestra la Regla del

Tirabuzn, que conecta el sentido de

avance de un tirabuzn con el sentido de

rotacin del mismo.

EB

EA

EC

EM

MB

A

C

41

PARA EL TRINGULO:

A

B C

1

2 3

A

1

B C

2

3

La celda ABC, fija

en el espacio

Un triangulo

equilatero con

vertices 1 2 3

El triangulo 123,

encajado en la celda

ABC, en una de las

muchas maneras

posibles

Existen 6 maneras cmo el tringulo 123 puede encajar en la celda ABC(A B C

1 2 3

) (A B C

1 3 2

) (A B C

2 3 1

) (A B C

2 1 3

) (A B C

3 1 2

) (A B C

3 2 1

)

Lo que en forma simplificada escribiremos simplemente:

a[1 2 3] [1 3 2] [2 3 1] [2 1 3] [3 1 2] [3 2 1]

ATENCIN: Los elementos del grupo son las rotaciones. La celda y el tringulo son

solamente objetos auxiliares para representar (los efectos de) las rotaciones.


OPERACIONES DE GRUPO: [las rotaciones sern orientadas segn la Regla del Tirabuzn]

Con X {A,B,C} diremos que RX es una rotacin de 180 alrededor del eje EX . RM es unarotacin de 120 alrededor del eje EM . Con p, q, r, la igualdad RZ [p q r] = [s t u] significa que

al tringulo en la posicin [p q r] se le ha aplicado una rotacin RZ , como consecuencia de la

cual ha pasado a tomar la posicin [s t u]. Por ejemplo RA[3 1 2] = [3 2 1], donde debe notarse

que el vrtice 3, que ocupaba el punto fijo A, no ha cambiado su posicin.

Tambin RM [3 2 1] = [1 3 2]. Obsrvese que [1 3 2] = RM [3 2 1] = RM(RA[3 1 2]), lo cual

escribiremos, sencillamente, [1 3 2] = RM(RA[3 1 2]). Es decir, RXRYRZRW [3 2 1] significa que

al tringulo en la posicin inicial [3 2 1] se le ha aplicado, primeramente la rotacin RW , luego

RZ , luego RY , luego RX . Ntese que RA[p q r] = [p r q], RA(RA[p q r]) = RA[p r q]=[p q r]

o tambin R2A[p q r] = [p q r]. Es decir, la operacin R2A es una operacin que no modifica la

posicin del tringulo; por ello escribiremos R2A = Y {operacin identidad}. AnlogamenteR2B = R

2C = Y .

Por otra parte RM [p q r] = [r p q], R2M [p q r] = [q r p], R3M [p q r] = [p q r] R3M = Y . Como

ya hemos dicho, las rotaciones indicadas se realizan segn la Regla del Tirabuzn; cuando

deseemos realizar una rotacin en sentido contrario al del tirabuzn escribiremos una tilde. As

RM indica una rotacin de 120 alrededor del eje EM , en sentido antihorario; entonces RMtambin indicar una rotacin de 120 alrededor del eje EM , pero en sentido horario; es decir,

RMRM = Y , R

MRM = Y . De acuerdo con lo dicho tendremos que, por ejemplo, R

A = RA,

RM = R2M

Tabla de Multiplicacindel Grupo Triangular

Y RA RB RC RM R2M

RA Y RM R2M RB RC

RB R2M Y RM RC RA

RC RM R2M Y RA RB

RM RC RA RB R2M Y

R2M RB RC RA Y RM

Los subgrupos:

{Y ,RA},

{Y ,RB},

{Y ,RC},

{Y ,RM ,R2M}

nn) Construir las diferentes equivalencias (ver 07.1) entre el grupo triangular y el

grupo de permutaciones de 3 elementos.

43

PARA EL CUADRADO:

{Para distinguir mejor la operaciones construya, en cartulina, la figura correspondiente}

EA EV ED

EH

EM

A D

BC

M

1

23

4

La celda cuadrada ABCD y los cinco

ejes de rotacin EA, EV , ED, EH , EM

con las ocho rotaciones:

E[p q r s]=[p q r s]

RA[p q r s]=[p s r q]

RV [p q r s]=[s r q p]

RD[p q r s]=[r q p s]

RH [p q r s]=[q p s r]

RM [p q r s]=[s p q r]

R2M [p q r s]=[r s p q]

R3M [p q r s]=[q r s p]

Tabla de Multiplicacindel Grupo del Cuadrado

Y RA RV RD RH RM R2M R

3M

RA Y RM R2M R

3M RV RD RH

RV R3M Y RM R

2M RD RH RA

RD R2M R

3M Y RM RH RA RV

RH RM R2M R

3M Y RA RV RD

RM RH RA RV RD R2M R

3M Y

R2M RD RH RA RV R3M Y RM

R3M RV RD RH RA Y RM R2M

Los subgrupos:

{Y ,RA},

{Y ,RV },

{Y ,RD},

{Y ,RH},

{Y ,RM ,R2M ,R3M}

mm) Construir la equivalencia con un subgrupo de permutaciones de 4 elementos.


Tabla de Multiplicacindel Grupo del Tetraedro ABCD

.[Son 7 ejes de rotacin: 4 pasando por cada vrtice y el baricentro de la cara opuesta,

ms 3 que pasan por los puntos medios de dos aristas no concurrentes]

Y RA R2A RB R

2B RC R

2C RD R

2D RAB RAC RAD

Subgrupos:

{Y , RA, R2A},

{Y , RB, R2B},

{Y , RC , R2C},

{Y , RD, R2D},

{I, RAB},

{Y , RAC},

{Y , RAD}

B C

D

A

.

45

Tabla de Multiplicacindel Grupo del Cubo ABCDABC D

Son 13 ejes: (3 perpendiculares a las caras) + (4 diagonales mayores) + (6 que conectan

los centros de dos aristas opuestas), y 24 elementos.

RAC(90) RAB(90) RAD(90) 1 + 3 3RAC(120) RBD(120) RCA(120) RDB(120) 4 2RAB(180) RAD(180) RAA(180) RBC(180) RBB(180) RCD(180) 1 6

A

B C

D

B C

D

RAC

RDD

RBD

.

ss) Construir la equivalencia con el grupo de permutaciones de 4 elementos.

Captulo 3

Cuerpos

Llamados tambin Field(Ingls), Krper(Alemn) Un conjunto G y dos operaciones de grupo: una operacin de suma, , y unaa operacin de producto, . Propiedad distributiva. El cuerpo de los nmeros reales. El cuerpo de los pares de nmeros reales ( cuerpo de los nmeros complejos). El sub-cuerpo de los pares con segunda componente nula ( al cuerpoa de los nmeros reales).

Representacin geomtrica de los nmeros complejos. Polgonos regulares en el Plano Complejo. Nmeros complejos rotantes La funcin exponencial compleja. Las ecuaciones z 1N + p = 0 y zN + p = 0

01) Sean (G, ) un grupo con identidad e ; (G {e}, ) un grupo con identidadu, donde , , son las operaciones de grupo (usualmente llamadas suma y produc-

to, respectivamente). Ahora, si para elementos cualesquiera x, y, z G se cumple ladistributividad:

i) (x, (z, w)) = ((x, z), (x, w)) x (z w) = (x z) (x w)

47

48 CAPTULO 3. CUERPOS

ii) ((x, z), w) = ((x, w), (z, w)) (x z) w = (x w) (z w)

Diremos que la terna (G, , ) es un cuerpo.

Ejemplos: (Q, +, ), (R, +, ), (Jp, +, ), donde p es primo.

01.1) De esto:

i) u u = u

ii) e x+ z = e x+ z 1x x = (e + z 1

x) x = z 1

x x = z e x = e

iii) u x = x, pues x+ u x = u x+ u x = (u+ u) x = e x = e

iv) u u = u = u

Aqu se est usando puntoy cruzen vez de y , respectivamente

02) Verifique que:

i) El conjunto de los nmeros reales, R, con la operacin de suma, (R, +), es un

grupo.

ii) Que (R {0},) es tambin un grupo.

iii) Que se cumple la propiedad de distributividad.

Entonces (R, +, ) es un cuerpo

02.1) Verfique que los pares ordenados de nmeros reales [r, s], con la operacin

[r, s] [u, v] = [r + u, s+ v]

02.1)aconstituyen un grupo.

Identidad, e = [0, 0] ; inversa [p, q] = [p,q]

49

02.2) Verifique que el conjunto de los pares ordenados de nmeros reales, excluyendo

al par [0, 0], con la operacin

[r, s] [u, v] = [ru sv, rv + su]

tambin constituye un grupo.

Identidad u = [1, 0]; inversa [p, q] =[

p

p2 + q2,q

p2 + q2

].

Para la asociatividad:([p, q] [r, s]) [v, w] = [pr qs, ps+ qr] [v, w]

= [(pr qs)v (ps+ qr)w, (pr qs)w + (ps+ qr)v]= [p(rv sw) q(rw + sv), p(rw + sv) + q(rv sw)]= [p, q] [rv sw, rw + sv]= [p, q] ([r, s][v, w])

02.3) Si z es un par ordenado de nmeros reales, definimos iterativamente z0 = u,

zn+1 = zn z, para n = 0, 1, 2, 3, Verifique que:

i) .[p, q]2 = [p2 q2, 2pq].[p, q]3 = [p3 3pq2, 3p2q q3].[p, q]4 = [p4 6p2q2 + q4, 4p3q 4pq3]

ii) .[cos(), sen()] [cos(), sen()] = [cos( + ), sen( + )].[cos(), sen()]N = [cos(N), sen(N)]

Directamente se verifica que:

..[cos(), sen()] [cos(), sen()] = [cos( + ), sen( + )], entonces

..[cos(), sen()]2 = [cos(), sen()] [cos(), sen()] = [cos(2), sen(2)]; as mismo.[cos(), sen()]3 = [cos(), sen()]2 [cos(), sen()] = [cos(2), sen(2)] [cos(), sen()]

= [cos(3), sen(3)].

En general:.[cos(), sen()]n+1 = [cos(), sen()]n [cos(), sen()] = [cos(n), sen(n)] [cos(), sen()]

= [cos((n+ 1)), sen((n+ 1))]


por induccin:[cos(), sen()]n = [cos(n), sen(n)]

02.4) Verifique que, con las dos operaciones definidas para los pares ordenados, se

cumplen las leyes de distributividad:

Z1 (Z2Z3) = (Z1Z2) (Z1Z3) (Z1Z2)Z3 = (Z1Z3) (Z2Z3)

Donde, por supuesto, los Zk son pares ordenados de nmeros reales.

03) Dado un conjunto C y las dos operaciones y , de manera que (C,) seaun grupo con identidad e, y tambin (C {e},) sea un grupo, con identidad u; yadems se cumplan las dos leyes de distribucin mostradas en 2.3, entonces diremos

que (C,,, ecuaciones 02.3) es CUERPO (campo, field)

03.1) El conjunto de los pares ordenados de nmeros reales, R2, con las dos operacio-

nes de grupo mencionadas en 02, cumple con las dos leyes de distribucin; entonces

(R2,,) es un cuerpo, se le conoce con el nombre de (Cuerpo de los) NmerosComplejos

Recordemos que la identidad aditiva es e = [0, 0], Cmo son las componentes del

par [a, b] tal que [a, b] = [0, 0]? Es decir, [a, b] = e; pero e es nica, es decir, a = 0,

b = 0. De aqu tambin obtenemos que [p, q] = [r, s] p = r, q = s

03.2) Dentro del cuerpo de los nmeros complejos consideremos el subconjunto R1

de los nmeros complejos de la forma [x, 0]. Verifique que (R1,,) es un cuerpo (unsubcuerpo del cuerpo de los nmeros complejos)

[x, 0] [z, 0] = [x + z, 0] & [x, 0] [z, 0] = [xz, 0]; es decir, en las operaciones in-terviene solamente la primera componente.

51

03.3) Verifique que el conjunto de los nmeros reales, con las operaciones de suma

y producto, constituyen un cuerpo (Cuerpo de los Nmeros Reales)

Note que el cuerpo (R1,,) y el cuerpo (R,+,) de los reales se comportan igua-lito, donde al par ordenado [x, 0] le corresponde el nmero real x

03.4) En adelante simplificaremos la escritura

Z1 Z2 Z1 + Z2 Z1 Z2 Z1Z2

de manera que las igualdades anteriores se escribirn:

i) [r, s] + [v, w] = [r + v, s+ w]

ii) [r, s][v, w] = [rv sw, rw + sv]

iii) Z1(Z2 + Z3) = (Z1Z2) + (Z1Z3)

iv) (Z1 + Z2)Z3 = (Z1Z3) + (Z2Z3)

.

04) Sean los nmeros complejos io [1, 0], i [0, 1]. Verifique que todo nmerocomplejo Z = [v, w] se puede escribir como Z = io [v, 0] i [w, 0]; lo que tambinpodremos escribir simplemente Z = io[v, 0] + i[w, 0]

io[p, q] = [p, q] , i[p, q] = [q, p], [p, q] = [p, 0] + [0, q]

05) En 03.2 hemos visto que los nmeros complejos de la forma [x, 0] constituyen

un cuerpo. Este cuerpo es totalmente equivalente al cuerpo de los nmeros reales.

Por ello se los identifica: [x, 0] x. Ahora, todo nmero complejo Z = [v, w], podrescribirse como Z = iov+ iw , teniendo presente la identificacin io = 1, simplemente

Z = v + iw, con el producto i2 = ii = [1, 0] 1


De i2 = 1 viene la expresin i = 1. En el campo de los nmeros reales noexiste solucin para la ecuacin x2 + 4 = 0; en cambio, en el campo de los (nme-

ros) complejos z2 + 4 = 0 z2 = 4 = 4i2 = (2i)2 z = 2i z = 2i. O enforma detallada z2 + 4 = 0 significa z2 + [4, 0] = [0, 0]; con z = [a, b], podemos es-

cribir, [a2 b2, 2ab] + [4, 0] = [0, 0] [a2 b2 + 4, 2ab] = [0, 0] a2 b2 + 4 = 0,2ab = 0 a = 0 b = 0. Pero b = 0 a2+4 = 0 que no tiene solucin. Es decir, debeser a = 0; entonces, b2 + 4 = 0 b = 2 b = 2. Es decir, existen dos soluciones[0, 2] y [0,2], o si se prefiere 2i, 2i

06) Ahora tiene sentido multiplicar un nmero real por un nmero complejo:

[x, y] = [, 0][x, y] = [x, y]

Por otra parte z + w = p w = p z , zw = p w = pzsi z 6= 0 [0, 0]

Verifique que para dos complejos se cumple zw = 0 z = 0 w = 0

z = [a, b], w = [p, q]; entonces zw = 0 [ap bq, aq + bp] = [0, 0] ap bq = 0 & aq + bp = 0 a(p2 + q2) = 0 & b(p2 + q2) = 0.Ahora existen dos posibilidades:

i) p2 + q2 = 0 p = q = 0 w = 0ii) p2 + q2 6= 0 a = 0, b = 0 z = 0

07) Dado un nmero complejo z = [x, y] = x + iy se define su conjugado comple-

jo z = [x,y] = x iy. Por otra parte, se tiene el nmero real zz 0, por lo que sedefine el mdulo de z como el nmero real |z| = zz 0.Verifique que |z|2 = x2 + y2

|z|2 = zz = [x, y][x,y] = [x2 + y2, 0] Note, adems, que el mdulo del nmerocomplejo [x, 0] es el valor absoluto del nmero real x; es decir, |[x, 0]| = |x|. Por eso,cuando se trata de un nmero real, x, la expresin |x| se puede interpretar como elvalor absoluto del nmero real x, como el mdulo del nmero complejo [x, 0]

53

08) Verifique que:

i) x, y |z|

ii) | z|z| | = 1

iii)1

z=

z

|z|2

iv) |[cos(), sen()]| = 1, siendo un nmero real arbitrario.

v) zw = 0 z = 0 w = 0

x2 + y2 = |z|2 |x|2, |y|2 |z|2

09) Sean los nmeros complejos z = x+ iy, w = u+ iv; verifique que:

i) 2xyuv x2v2 + y2u2

ii) (xu+ yv)2 |z|2|w|2

iii) |z||w| xu+ yv |z||w|

iv) 2|z||w|+ x2 + u2 + y2 + v2 (x+ u)2 + (y + v)2 2|z||w|+ x2 + u2 + y2 + v2

v) |z| |w| |z + w| |z| + |w|

i)(xv yu)2 0ii)(x2 + y2)(u2 + v2) = x2u2 + y2v2 + x2v2 + y2u2 x2u2 + y2v2 + 2xuyv = (xu+ yv)2iii)x2 a2 0 |a|2x2 0 (|a|x)(|a|+x) ambos factores son no negativos(pues ambos no pueden ser negativos; verifquelo)

v) Note que iv se puede escribir as:

2|z||w|+ |z|2 + |w|2 |z + w|2 2|z||w|+ |z|2 + |w|2 (|z| |w|)2 |z + w|2 (|z|+ |w|)2; adems, recuerde que x,x |x|

10) Sea () cos() + isen(). Verifique que todo nmero complejo z = x + iypuede esciribirse en la forma z = |z|(), donde tan() = y

x


x2 + y2 = |z|2 x2 |z|2 |z| x |z| 1 x|z| 1, con |z| > 0.Entonces existe el ngulo , tal que cos() =

x

|z| x = |z|cos() por otra partey2 = |z|2 x2 = |z|2sen2() y = |z|sen().Entonces z = x+ iy = |z|(cos()+ isen()). Note que, adems tan() = y

x, donde para

x = 0 se considera =

2

11) Verifique que: i)() = (), ii)()() = ( + ), iii)|()| = 1

Note que, adems (2k) = (0) = 1, donde k es un nmero entero.

12) Sean z = x+ iy, w = u+ iv. Verifique que zw = |z||w|(+ ) donde tan() = yx,

tan() =v

u

13) Representacin geomtrica:

iy

x

Z

|Z|

Z

Re

Im

Sobre un sistema de coordenadas cartesiano

en el plano se representan las componentes

del nmero complejo z ; la componente real

en el eje real, y la componente imaginaria

en el otro eje, como se muestra. El plano

recibe el nombre de PLANO COMPLEJO.

El nmero complejo z queda representado

por una flecha que partiendo del origen llega

al punto de coordenadas (x, y). El ngulo

se mide partiendo del eje real, en sentido

antihorario. A veces conviene representar al

nmero z no por una flecha, sino por un

punto (cabeza de la flecha).

55

Note que si al nmero z le corresponde el ngulo , medido en sentido contrario a

las agujas del reloj; entonces a z le corresponde el ngulo , y al nmero z lecorresponde el ngulo + . Note tambin que 1 = (0), i =

(2

)}

14) Verifique que, geomtricamente, el nmero iz se obtiene rotar al nmero z en

sentido antihorario, en 90.

14.1) Verifique la validez de los siguientes dibujos (Son figuras regulares, con el bari-

centro en el origen ; p, q, r son nmeros reales):

Los 3 numeros

complejos

representados por

los puntos cumplen

con z3 p3 = 0

Cumplen los 4

puntos con

z4 4q4 = 0?

Como es

z4 + 4q4 = 0?

Para los cinco

puntos z5 + r5 = 0

o z5 r5 = 0 ?

p q r

{p, q, r son nmeros reales positivos.

i)Los vrtices del tringulo son los nmeros complejos z1 = p.(0), z2 = p.(23

),

z3 = p.(43

)y, como puede verificarse z3k = p

3.(k) = p3, con k = 0, k = 2, k = 4

ii) Para el rectngulo, los vrtices son zk =2q.

(k4

), con k = 1, 3, 5, 7

z4k = 4q4(k). Para k impar obtenemos (k) = 1 z4k4q4 = 0 simplementez4 4q4 = 0. Por otra parte, podemos escribir z4k + 4q4 = 0 z4k 4q4 = 0,(4

)4= () = 1 (

4

)4z4k

(4

)44q4 = 0 [ (

4

)zk]4

+ 4q4 = 0. Es decir,

las soluciones de z4 + 4q4 = 0 son las soluciones de z4 4q4 = 0, rotadas 4en sentido

antihorario; es decir, es un cuadrado con los vrtices sobre los ejes.

iii) Tenga presente que (25

)5= 1,

(5

)5= 1}


Z(t)

wt +

w

15) Verifique que, en el plano comple-

jo, la funcin Z(t) = (wt + ), donde

w > 0, son constantes reales, repre-

senta a un punto que se encuentra a la

distancia unidad del origen, y rota con

velocidad angular w en sentido antiho-

rario.

Es claro que |(wt+)| = 1. Por otraparte (t) = wt + es el ngulo que,

en el instante t, forma la flecha que re-

presenta a Z(t), con el eje de los reales.

Adems,d

dt= w

16) Sea x un nmero real. Verifique que de la condicin x2 + y2 = 0 se deduce que:

i) x = y = 0 si se ha exigido que y tambin sea un nmero real.

ii) Ninguno de los dos tiene porque ser nulo, si se ha permitido que y sea complejo.

.

17) A la funcin f(x) = ex, donde es una constante, la podemos caracterizar por

las siguientes propiedades:

i) f(0) = 1

ii) f(x+ z) = f(x)f(z)

iii) Df(x) = f(x)

Por otra parte: (0) = 1 , (x+ z) = (x)(z) ,

D(x) = D(cos(x) + isen(x)) = sen(x) + icos(x) = i2sen(x) + icos(x) = i(x)Por ello se identifica (x) = eix, o si se prefiere () = ei.

Verifique entonces que: sen() =ei ei

2i, cos() =

ei + ei

2, sen(i) =

e e2i

,

cos(i) =e + e

2

57

Las expresiones para sen() y cos() se obtienen directamente. Las expresiones para

sen(i), cos(i) son definiciones formales

18) (cos(M) + isen(M)(cos(N) + isen(N)) = cos(M +N) + isen(M +N)

O tambin (M)(N) = (M +N)

19) Sean las sumas SN =N

k=1 sen(k), CN =N

k=1 cos(k). Para calcular dichas

sumas, construya ZN = CN + iSN y halle el valor de la serie geomtrica.

A continuacin determine la parte real y la parte imaginaria de dicho nmero ZN

ZN =Nk=1

[cos(k) + isen(k)] =

Nk=1

()

=Nk=1

(k) =Nk=1

(ei)k = (ei)N1k=0

(ei)k = ei(ei)N 1ei 1

[multiplicando numerador y denominador por (ei 1)]

ZN =(eiN 1)(1 ei)

|ei 1|2 , donde

|ei 1|2 = |cos() + isen() 1|2 = (1 cos())2 + sen2() = 2(1 cos())

20) Anlogamente al caso de los nmeros reales, se define la funcin exponencial com-

pleja como el lmite de una suma ez =

n=0

zn

n!Verifique que: i) ez ex+iy = ex.eiy , ii) ez+w = ez.ew ; z , w son complejos.


Para los nmeros reales x, r, tenemos:

(x+ r)N =N

k=0C(N,k)xkrNk, donde C(N,k) N !

k!(N k)!

Para la funcin exponencial real:

e(x+r) =

n=0

(x+ r)n

n!=

n=0

1

n!

nk=0C(n,k)x

krnk

e(x+r) =

n=0

nk=0

C(n,k)xkrnk

n!=

n=0

nk=0

[xk

k!

] [rnk

(n k)!]

Por otra parte, para una suma doble:

Q =

j=0

k=0 F (j, k), con j + k = n, podemos escribir,

Q =

n=0

nk=0 F (n k, k). Entonces,

e(x+r) =

n=0

nk=0

[xk

k!

] [rnk

(n k)!]=

j=0

k=0

[xk

k!

] [rj

j!

], o tambin,

e(x+r) =

j=0

[xj

j!

]k=0

[rk

k!

]= ex.er

Puesto que tambin eiy =

j=0

[(iy)j

j!

], entonces podemos escribir,

ex+iy =

k=0

[xk

k!

]j=0

[(iy)j

j!

]= ex.eiy o tambin

ez = ex+iy = ex.eiy

20.1) Asumiendo la validez de que (ez)w = ezw, verifique que:

i) ii es un nmero real cuyo valor es aproximadamente (2,7)1,6

ii) 1i = e2

iii) i = eipi2

iv) (ii)i = ivi) e2Ki = 1 donde K es un nmero entero

vii) (e2piKiN z)N = zN , para K = 0, 1, 2, , N 1

59

ii = (eipi2 )i = e

i.ipi2 = e

pi2 = 1

epi2, pero e 2,72,

2 1,6

21) Sea N un entero. Existe un nico nmero complejo que satisface la ecuacin

z1N + 1 = 0, pero existen N nmeros complejos, diferentes entre s, que satisfacen la

ecuacin zN + 1 = 0.

Calcule las soluciones de z12 + 1 = 0 y de z112 + 1 = 0

[z112 + 1 = 0 z 112 = ei z = e12i = 1. Pero no es la nica ecuacin que

tiene tal solucin. En vez de 1 = e2i podra haberse escrito ei(1+2kN), k arbitrario,

N = 12. En efecto, las ecuaciones z1N + ei(1+

2kN) = 0 z 1N = ei( 2kN ) tienen la solucin

z = ei(2k) = 1]

Por otra parte zN = 1 = ei = ei+i2k, k entero z = e ipiN + i2pikN = e ipi(1+2k)N , dondepodemos elegir N valores para k = 0, 1, 2, , N 1; note que para k = N se obtieneel mismo resultado que para k = 0. En general, z

1N = 1 = ei = ei+i2k, k entero

z = eiN+i2kN = eiN , pues para todo k entero se cumple que ei2kN = 1

.[ANEXO]

ANILLOS Y CUERPOS

Y01) Un anillo es un conjunto A en el cual se han definido dos operaciones, lla-

madas SUMA () y MULTIPLICACIN () de manera que se cumplen los siguientespostulados:

i) (A,) es un grupo abeliano.

ii) La multiplicacin es asociativa.

iii) Para tres elementos cualesquiera, x, z, w se cumple:

x (z w) = (x z) (x w) & (x z) w = (x w) (z w)


Y02) Verifique que (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) son anillos, donde se trata dela suma y multiplicacin corrientes.

Y03) Es Jn un anillo con las operaciones de suma y producto mdulo n?

Y04) ISOMORFISMO. Diremos que dos anillos (A,,) y (A,,) son isomorfossi y slo si, existe una funcin inversible, f , tal que x, z A se cumple que:

i) f(x z) = f(x) f(z)

ii) f(x z) = f(x) f(z)

.

Y05) Sea 7Z el conjunto de todos los enteros mltiplos de 7.

Verifique que:

i) Tanto (Z,+) como (7Z,+) son grupos isomorfos.

ii) (Z,+, ) y (7Z,+, ) son anillos.

iii) Pero no son anillos isomorfos.

.[Verifique que (7Z,+, ) no posee elemento identidad para la multiplicacin]

Y06) Verifique que las matrices cuadradas, de orden n > 1 constituyen un anillo

no conmutativo.

Y07) El anillo trivial ({0},+, ) es el nico donde el nmero 0 es la identidad multi-plicativa.

Y08) Verifique que si un anillo posee una unidad multiplicativa, entonces dicha unidad

es nica.

Y09) CUERPO = Campo = Anillo de divisin conmutativo, este anillo posee uni-

dad , y todos los elementos tienen inversa.

61

Y10) Verifique que (Z,+, ) no es un cuerpo; pero (Q,+, ), (R,+, ) y (C,+, ) slos son.

Y11) Sean (G,) un grupo con identidad e ; (G {e}, ) un grupo, de manera quepara elementos cualesquiera se cumple:

i) (x, (z, w)) = ((x, z), (x, w))

ii) ((x, z), w) = ((x, w), (z, w))

Verifique que (G,, ) es un cuerpo.

Y12) Sea n un nmero natural mayor que cero. Jn {0, 1, 2, 3, , n 1}Es (Jn,+, ) un anillo?

Y13) Bajo cuales condiciones sera (Jn,+, ) un anillo con unidad?

Y14) El cuerpo de los reales vs el cuerpo de los complejos. Los vectores (1, 0, 0, 0)

y (i, 0, 0, 0) son LI.

Y15) El cuerpo de los racionales vs el cuerpo de los reales. Si el nmero r es racional

y el nmero ir es irracional, entonces, en los vectores (r, 0) y (ir, 0) son LI. Adems, en

el cuerpo de los racionales, los vectores (i1, 0), (i2, 0), (i3, 0), (i4, 0), (i5, 0), (i6, 0), con ik

irracional (sin factores racionales comunes) son LI. El espacio sera infinito dimensional.

Y16) Sea el intervalo [0, p) en la recta. El cuerpo de los reales mdulo p. Cul

es su efecto en un espacio de n-uplas reales?

64 CAPTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

Captulo 4

Espacios Vectoriales

Definicin. Algunos teoremas. Simplificacin de la escritura. 23 Ejemplos de espacios vectoriales. Combinaciones lineales de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores. Conjunto generador del espacio V . Base de un espacio V . Sistema (algebraico) de ecuaciones lineales simultneas y sus soluciones. El espacio de los vectores aritmticos (columnas de nmeros complejos). La base cannica. El espacio vectorial de la funciones. Dimensin de un espacio. Definicin del Determinante de un conjunto de vectores. Valores del determinante y dependencia lineal. El espacio vectorial de las soluciones de una ecuacin diferencial lineal homognea. El producto vectorial de n-1 vectores de un espacio n-dimensional. El producto interno de dos vectores. Norma de un vector (tamao). Ortogonalidad de vectores. El teorema de Schwartz. Proceso de ortonormalizacin. Espacios vectoriales de dimensin infinita.

65

00) Un campo tiene dos identidades: la identidad aditiva , con x = x, y laidentidad multiplicativa x = x , as mismo, la inversa aditiva xx = y la inversamultiplicativa x x = (para x 6= ). Dichas inversas las escribiremos as: x x,x

x x1

i) = ii) x+ z = x+ z ( 1

x) x = (+ z 1

x) x = z ( 1

x) x = z x =

iii) x = x, pues x+ x = + x = (+ ) x = x = iv) = =

01) Sea un grupo (C, ) con identidad , y sea K = (C,,) un cuerpo con identidadaditiva , e identidad multiplicativa . Definamos la funcin : K C C, demanera que se cumplan los 4 postulados siguientes:

i)(, x) = x ii)(a, (x, z)) = ((a, x), (a, z))

iii)(a b, x) = ((a, x), (b, x)) iv)(a, (b, x)) = (a b, x)

NOTA: Mientras no surja confusin, en K escribiremos simplemente a+ b, ab, aben vez

de a b, a b, a (1b), respectivamente.

02) Verifique que (, x) = .

En efecto, x = ( , x) = ((, x), (, x)) = (x, (, x))

03) Verifique que x = (, x)

En efecto, = (+ , x) = ((, x), (, x)) = (x, (, x)) (, x) = x.O tambin x = (, x)


04) Verifique que (a , ) =

En efecto, (a , x) = (a , (x , )) = ((a , x), (a , ))

05) (a , x) = a = 0 x =

En efecto, a 6= 0 x = (, x) = (aa, x) = (

a, (a, x)) = (

a, ) =

06) (x, z) = (z, x).

En efecto

(x, z) = ((, x), (, z)) = (, (x, z)) = (x, z) = (z, x) = (z, x)

07) En general usaremos la escritura z + x (z, x) x (, x)Entonces los postulados de espacio vectorial toman las formas:

i) (x+ z) + w = x+ (z + w), lo cual permite escribir simplemente x+ z + w

ii) x+ = x para todo x

iii) Para todo x existe x tal que x+ x =

iv) x = x simplemente 1 x = x

v) a(x+ z) = ax+ az

vi) (a+ b)x = ax+ bx

vii) a(bx) = (ab)x simplemente abx

.

NOTA 1: Debido a que x = ()x, escribiremos sencillamente x = x

67

NOTA 2: En 06) se ha demostrado que x + z = z + x (la conmutatividad; lo que

en los textos aparece como un postulado).

08) Ejemplos de Espacios Vectoriales:

i) Las columnas y las filas de nmeros reales.

ii) Los nmeros complejos. Los Espacios vectoriales complejos.

iii) Los espacios vectoriales aritmticos, Rn Cn.

iv) Las soluciones de ecuaciones lineales algebraicas homogneas.

v) Las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales lineales, como es el caso del

Oscilador Armnico.

vi) Los polinomios.

vii) Los conjuntos de funciones (que poseen determinadas caractersticas)

viii) Las soluciones aproximadas del pndulo.

ix) Las soluciones aproximadas de los pndulos acoplados.

x) El espacio afn [AB] (AB/OE1, OE2, OE3)

xi) Los Vectores de Inercia

xii) Los cuadrivectores.

xiii) Las matrices (posteriormente).

xiv) El espacio dual (de las funcionales lineales).

xv) El producto tensorial de espacios o espacio tensorial.

xvi) Las series (finitas o infinitas).

xvii) Los espacios finitamente enumerables.

xviii) Los espacios de las soluciones de las ecuaciones parciales lineales.

xix) (Jn,+) y (Jp,+)


xx) Dados los nmeros a, b, c, las columnas [x, y, z] que cumplen con la condicn

ax+ by + cz = 0

xxi) Dados los tres cuartetos de nmeros (a1, a2, a3, a4), (b1, b2, b3, b4), (c1, c2, c3, c4), los

vectores de [x1, x2, x3, x4] que satisfacen las condiciones:

. a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 = 0, b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 = 0,

. c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 = 0

xxii) Sean n-uplas de nmeros complejos x [x1, x2, x3, , xn] (para n = 2 se dicepares ordenados ; para n = 3, se dice ternas).

Definiendo la suma x+y = [x1+y1, , xn+yn], y el producto x = [x1, x2, , xn]podemos obtener dos espacios vectoriales diferentes, segn que los pertenezcan

al campo de los reales o al campo de los complejos.

.

08.1) Sea Rn el conjunto de las n-uplas de nmeros reales, y Cn el conjunto de las

n-uplas de los nmeros complejos. Verifique que (Rn,R), (Cn,R), (Cn,C) son espacios

vectoriales, mientras que (Rn,C) no puede serlo.

Consideremos (Rn,C), es decir, las n-uplas de nmeros reales, y el cuerpo de los com-

plejos. Si u es una n-upla de nmeros reales, entonces, por la operacin , el producto

(u), donde es un complejo, debera ser tambin una n-upla de nmeros reales.

Pero, por ejemplo, para la terna u = [u1, u2, u3] se tiene (,u) = [u1, u2, u3], que

no es una terna de nmeros reales.

En el caso contrario (Cn,R), es decir, las n-uplas de nmeros complejos, y el cuerpo

de los reales, si u = [u1, u2, u3] es una terna de complejos se tendr, con real, que

(,u) = [u1, u2, u3], es una terna de nmeros complejos.

69

Dependencia e independencia lineal:

09) Si dado un vector v, y m vectores xk, con k = 1, 2, , m; existen m nmeros(elementos del campo K) k , k = 1, 2, , m, tales que se cumple:

v = 1x1 + 2x2 + + mxm

diremos que el vector v es una combinacin lineal de los m vectores xk.

09.1) Sean n vectores xk y n elementos k K.Consideremos la igualdad

k kxk = . Notemos que dicha igualdad ser satisfecha si

los nmeros k son todos nulos. Esa es una condicin suficiente, pero no necesaria

para que se cumpla la igualdad, por ejemplo: 2[0, 1, 1] + 3[2, 3,2] + [6,11, 4] = .

09.2) Sean n vectores xk, pregunta: Existen n nmeros k, no todos nulos, tales

que se cumpla la igualdad

k kxk = ?

Ahora surgen dos posibilidades:

i) Existen nmeros k, no todos nulos, tales que se cumple la igualdad anterior.

En tal caso diremos que los n vectores son Linealmente Dependientes, LD.

Considere, por ejemplo, las 3 funciones sen, f , g, h con dominio en (0, 2), tales

f(x) = sen(x+ 6) , g(x) = sen(x+

3) , h(x) = sen(x+

2)

ii) Los nicos nmeros para los cuales se cumple la igualdad son todos nulos; entonces

diremos que los n vectores xk son Linealmente Independientes, LI. Considere,

por ejemplo, el caso de las funciones f , g, anteriores.

.

09.3) De entre los conjuntos de vectores dados, seale aqullos que sean LI, y aquellos

que sean LD.

i) {[1, 2, 0, 3, 1], [7, 14, 0, 21, 7], [2,3,5, , 2]}

ii) {[1, 2, 0, 3, 1], [7, 14, 0, 21, 7], [8, 16, 0, 24, 8]}


iii) {sen, cos, f}, donde f(x) = cos(x+ 20,3)

i

apuntes de algebra lineal

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