apuntes columnas e inestabilidad 2015
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7/25/2019 Apuntes Columnas e Inestabilidad 2015
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COLUMNAS EINESTABILIDAD
Julio
Vergara
Aimone
ICM 2082
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J.Vergara ICM2082
En otras sesiones se ha visto que las cargas ex-ternas se traducen a la superficie e interior de uncomponente mecnico, configurando estados de
esfuerzos en elementos diferenciales de volumen.Han visto los tipos de carga elemental a las quepodra estar sometido un componente mecnico,lo que permite revisar sus puntos crticos.
Dentro del lmite elstico, se pueden superponerestas cargas (esfuerzos) y aplicarles algn con-centrador de esfuerzo en caso que se justificara.
INTRODUCCION
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J.Vergara ICM2082
En esta sesin veremos que ciertos elementos demquinas y estructuras pueden ser sometidos acargas de compresin aparentemente bajas, que
se tornan inestables y colapsan.Veremos este fenmeno y el efecto en el diseo.Esto es comn en soportes, cilindros y placasbajo cargas crticas, que experimentan cambios
notables de geometra (comba, arruga, flexin opandeo) y deflexiones, que conlleva al colapso,con un nivel de esfuerzo inferior al admisible. Deeste modo, tendremos otro mdulo para diseo.
INTRODUCCIN
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TEMARIO
COLUMNAS
INESTABILIDADPANDEO
CONCLUSIONES
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La columna fue una estructura arquitectnica delarga data, utilizada para soportar techos, lozasy monumentos sin requerir de paredes, dejandoadems vas de luz. Tambin se usaron aisladas.
Las primeras columnas sofisticadas datan de laEdad del Bronce (3000-1000 aC). Las columnasegipcias eran de piedra, las minoicas eran slo
troncos invertidos, que no eran tan durables.Evolucionaron hacia 3 grandes clases: Dricas,Jnicas y Corintias. Peor hay otras: Toscana,compuestas, etc.
COLUMNAS
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El edificio ms famoso fue el Partenn griego.
COLUMNAS
440 aC, Marmol blanco, columnas de 10.4 m de alto.
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Entablamiento
Columna
EquinoAbaco
Collarin
Nomenclatura de columnas:
COLUMNAS
Zcalo
Fuste
CapitelDrico Jnico Corintio
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Tambin son usadas en el presente:
COLUMNAS
1680 dC, Columnas toscanas, Plaza Oval de San Pedro
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Tambin en el interior de la Baslica de San Pedro.
COLUMNAS
Columnas salomnicas de bronce, de 20 m
Altar PapalBaldaquino
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Columnas modernas.
COLUMNAS
Columnas en el aeropuerto de Barajas, Madrid
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Descripcin de inestabilidad estructural
INESTABILIDAD
Ciertas estructuras y elementos de mquinas (i.e.soportes, cilindros, placas, etc. pueden ser some-
tidos a cargas de compresin que adquieren cier-to nivel crtico, y experimentan un cambio mayorde geometra (comba, arruga, flexin o pandeo) ynotables deflexiones que conlleva a un colapso, aun nivel de esfuerzo menor que el admisible.
Esta falla se define como inestabilidad o pandeo,la cual no depende de la resistencia del material,sino que de la geometra y del mdulo de Young.
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Descripcin de inestabilidad estructural
INESTABILIDAD
Esta falla impone un factor adicio-nal al diseo mecnico, pues un
acero de alta resistencia no estmejor calificado que uno de bajaresistencia de similar geometra.
El principio del pandeo se puede
representar por este mecanismoarticulado sujeto lateralmente porresortes que no actan cuando lacolumna est alineada.
A
C
D E
B
Pa
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Descripcin de inestabilidad estructural
INESTABILIDAD
Con Pa hay un desplazamiento (B) :Pa
d
A
C
D EB
A
C
B
Pa
Pa
L
L/2 cosa
Mom. (C) alterador: MAMom. (C) resistente: MR
C
Bd
PR= kdMA MR
L/2
tan = d
cos
2
L
Pa
Pa
Pa tan
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Descripcin de inestabilidad estructural
INESTABILIDAD
Mom :
Mom : MR = (kd) cosL
2Si MA > MR Pandeo
C
B
Pa
Pad
PR= kdMA MR
Pa tan
MA = (Pa tan)L
2cos + Pad =
L
2
Pa 2d
L coscos + Pad
2Pacd = (kd) cosL
2
Pac = coskL
4
Pac kL
4 es f (forma)tan =
d
cos
2
L
-
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Inestabilidad en columnas
INESTABILIDAD
Una columna tiene un comportamiento anlogoal mecanismo pivoteado en B. La diferencia es
que ac el momento resistente (MR) lo debe pro-veer la propia columna.
En este caso, la fallano es por compresin
sino por flexin, conuna deflexin lateralde modo inestable ypor debajo de sADM.
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Inestabilidad en columnas (cilndricas)
INESTABILIDAD
La industria del vino chileno,reemplaz, hace una dcada,
las tradicionales cubas demadera por acero inoxidable.
El cambio se realiz para
automatizar y replicar elproceso de fermentacin,aunque se perdiera algo dela artesana tradicional.
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Winery_with_fermentation_tanks.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Winery_with_fermentation_tanks.jpg -
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Inestabilidad en columnas (cilndricas)
INESTABILIDAD
Las cubas de acero ino-xidable sufrieron pandeo
en el pasado terremoto.Pandeo en so-portes de otrosestanques
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Inestabilidad en columnas (cilndricas)
INESTABILIDAD
Casco de Presin
L= 1 a 2 D CubiertaTransiciones
Conos
Cabezal
o Domo
Los submarinos se disean para no sufrir inesta-bilidad.
d = 0.1 a 0.2 D
t = f( h, TT, D, s,...)
Mamparos
Cuadernas (refuerzo,
profunda, o tipo T)
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Inestabilidad en columnas (cilndricas)
INESTABILIDAD
D
L
Deformacin (pliegues)entre cuadernas (n ~ 8):
Fluencia de Cascoentre cuadernas:
Inestabilidad o ColapsoGeneralizado (n ~ 3,4):
Modo preferible de falla
(predecible en Diseo).
Cuadernas algo espaciadas
y casco algo delgado
Cuadernas despreciables ycasco ms delgado
ModosdeFalla:
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INESTABILIDAD
Inestabilidad en columnas (estanques, F1)
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INESTABILIDAD
Inestabilidad en columnas (seccin de casco)
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INESTABILIDAD
Inestabilidad en columnas (rieles)
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Inestabilidad en columnas (ingeniera)
INESTABILIDAD
Este fenmeno puede ser usado positivamentepara absorber energa, en forma progresiva. Por
ejemplo, en el impacto en automviles.
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Inestabilidad en columnas
INESTABILIDAD
Ejemplo, qu deformacin toleraran 2 absorbe-dores de energa de un automvil de 1.2 ton a 15
km/h y un shock admisible de 3 g?
EA =1
2mv2 = 2 Fd
EA
=1
2=12004.22 2(120039.8)d
d = 15 cm
= 2 mad
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Para una seccin elstica(y pequea) cualquiera :
L
P
P
P
P
P
y
d
e
y
P
e d
x
y
x
M
M = P [ e + (d - y) ]
M = EId2ydx2
d2y
dx2=
P
EI[ e + (d - y) ]
= k2 [ e + (d - y) ]y
=k2P
EI
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Una ecuacin diferencial describe este sistema:
P e
y
d
PM
= k2
(e +d
)y + k2
y
= A sen kx + B cos kx + Cy
= k2 (A sen kx + B cos kx)yDefinir A,B,C:
= k2 ( y - C )y
= k2 (e + d)k2 ( y - C ) + k2 y C = e + d
sol. homo. sol. part.
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Condiciones de borde del caso:
= - (e +d
) cos kx + (e +d
)yLuego:
y (x=0) = 0
P e
y
d
PM
y(x=0) = 0
= B + C0 B = - (e + d)
A = 0= A k0
= (e + d) [ 1 - cos kx ]y
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Mxima flecha yMAX = d, ocurre en x = L/2:
P e
y
d
PM
y = (e +d
) [ 1 - cos kx ]d
= (e + d) [ 1 - cos ]kL2
kL2
kL2
= e + d - e cos -dcos
d = e (1 - cos )kL2cos kL2
1
= e [ sec - 1 ]kL2
d = e [ sec - 1 ]L2
PEI =k
2 P
EI
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Es fcil notar que si P = 0, sec(0) = 1, y d = 0
P e
y
d
PM
d = e [ sec - 1 ]L2
PEI
e = 0PPCR
d
e > 0
sec kL2
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
La flechad
aumenta sin lmite a medida queP PCR, el cual est determinado haciendo:
sec L2
PCREI
P e
y
d
PM
n = 1, 2, 3, L2
= np2
PCREI
El modo fundamental n = 1:
=p
2EIL2
PCR Carga crtica
9PCRPCR 4PCR
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
El mismo resultado se obtiene para e = 0, ya quela flecha ser nula para kL/2 = p/2:
P e
y
d
PM
= P ( e + d )MMAX
El mximo M ocurre en L/2:
d
= e [ sec - 1 ]L2
PEICon:
MMAX = PesecL2
PEILuego:
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Por superposicin, se conoce el mximo esfuerzode compresin:
P e
y
d
PM
Se define Radio de Giro:
SE =L
k
=I
AI = Ak2
Se define adems laRazn de Esbeltez (SE):
Ejemplos: = D4 = h63
=MAX + PAMMAXc
I
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Por superposicin, se conoce el mximo esfuerzode compresin (cont):
P e
y
d
PM
=MAX + PAMMAXc
I
c
Ak2Pesec
L
2
P
EI=MAX+
P
A
eck
2sec
L
2
P
EI=MAX+
P
AP
A
Se define excentricidad:
eck
2
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Por superposicin, se conoce el mximo esfuerzode compresin (cont):
P e
y
d
PM
secL
2
P
EI=MAX
eck
2
P
A1 +
secL
2kP
EA=
eck
21 +P
AsMAX
-1
=MAX + PAMMAXc
I
Frmula dela secante:
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Si se establece un esfuerzo mximo, se acota elvalor de P a un valor crtico PCR:
PCR e
y
d
PCR
M
Ecuacin
de Euler:
PCR =p
2EIL2
=p
2EAk2
L2
=p
2E
(L/k
)2
=p
2EA(L/k)2
PCR
A
= sCR
Es la carga sobre la cual una columna rectacolapsara (es independiente del material).
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Graficando la ecuacin de Euler:
P/A
sy
L/kRazn de Esbeltez
=p
2E
(L/k)2PCRA
PandeoCedencia
A B
C
> E< E
Zona de Falla
Zona de Falla
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Experimentalmente:
P/A
sy
L/kRazn de Esbeltez
=p
2E
(L/k)2PCRA
PandeoCedencia
A B
C
Zona de Falla
Zona de Falla
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Similar utilidad tiene la frmula de la secante:
P e
y
d
PM
PCRA
secL
2kPCREA
= eck
21 +
sy
Esta expresin no es fcil de resolver, ya
que PCR est en ambos lados.En rigor, PCR/A no se debe tratar como unesfuerzo, debido a su carcter no lineal,aun cuando tiene las mismas unidades.
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P/A
syA B
C
L/kRazn de Esbeltez
Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Grficamente la frmula de la secante
Euler:
secL
2kPCREA
eck
21 +
sy
eck
2
1.0
0.60.30.1
Zona de Falla
-
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Los datos experimentales son dispersos, en es-pecial cerca del punto B. Esto se debe a que es
difcil construir un arreglo experimental en estacondicin (esfuerzo residual, defectos, carga nocentrada, etc.). Una forma de suplir este proble-ma es mediante la frmula parablica (Johnson).
FrmulaParablica:
=PCRA
L
k
a b2
a y b = constantes
de ajuste
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
La forma parablica ms usada se logra igualan-do el intercepto con sy y haciendo que las curvas
de Euler y Johnson sean tangentes en P/A =s
y/2.PCRA
=p
2E
(L/k)2=sy
2
L
k
2
=2p2E
sy
= sy b 2p2Esy
s
y
2
sy2
4p2E=
PCRA
L
k
y2
b = sy24p2E
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J.Vergara ICM2082
P/A
syA B
C
L/kRazn de Esbeltez
Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Graficando la ecuacin Parablica:
B PCRA
=sy
2
4p2E
L
k
sy2
sy
2 p2E(L/k)2
Zona de Falla
Johnson
Columnas cortas
Columnasmedianas
Columnas largasEuler
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Hay otras relaciones empricas para ajustar estainformacin al diseo de columnas:
=PCRA L
k
1 + b2
a Frmula deGordon-Rankine
Los sistemas normativos adoptan las constantes,
pero podemos repetir el procedimiento anterior,con
sy cuando la razn de esbeltez es cero y unatangente de Euler y G-R en P/A = sy/2
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
En forma anloga al caso parablico:
=PCRA =p
2
E(L/k)2s
y2 L
k
2
= 2p
2
Esy
b =sy
2
2p2E=y
2
1 + b
sy
2p2E
s
y
=PCRA L
k
1 +2
sy
sy2
2p2E
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P/A
syB
C
L/kRazn de Esbeltez
Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Graficando la ecuacin de Euler y Johnson:
Zona de Fallasy
2
4p2E
L
k
sy2
Euler
Johnson
Columnas largas
Columnas medianas
p
2E(L/k)2
sy
2
B
C
D
A
Columnas cortas
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Descripcin de inestabilidad en columnas
PANDEO
Para diferentes materiales:
P/A
L/k
Zona de FallaA
CEuler
p
2E(L/k)2
sy1
sy2
sy3
Bsy
2
4p2E
L
k
y2A52-34
A42-27
A37-24
D1
Johnson
D2D3
115100
Razn de Esbeltez
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Efecto de los extremos en la inestabilidad
PANDEO
Tanto la frmula de la Secante cono la frmulade Euler se dedujeron con la hiptesis de mo-mento flector M nulo en los extremos.
Para considerar otras posibilidadesde apoyo en los extremos, la longitud(l) de la columna en estas ecuaciones
deber ser reemplazada por un largoefectivo (le).
PCRe
y
d
PCR
M
M
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Efecto de los extremos en la inestabilidad
PANDEO
Los casos de los extremos son los siguientes:
a) Ambos libres.
b) Ambos empotrados.c) Uno empotrado, otro articulado.d) Uno empotrado, otro con traslacin.e) Ambos articulados.
f) Uno empotrado, otro libre.g) Uno articulado, otro con traslacin.
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(g)(f)(e)(d)(c)(b)(a)
Efecto de los extremos en la inestabilidad
PANDEO
Le
Terico
Norma
1.0L
1.0L
0.5L
0.6L
0.7L
0.8L
1.0L
1.2L
1.0L
1.0L
2.0L
2.1L
2.0L
2.0L
-
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Efecto de los extremos en la inestabilidad
PANDEO
Uso de la longitud equivalente (extremos):
P/A
sy
L/k
Zona de FallaA B
C
sy2
4p2E
Lek
sy2
p
2E(L/k)2
sy
2Le=L
D
Le=0.8L
Le=2.0L
Razn de Esbeltez
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Ejemplo de inestabilidad en columnas
PANDEO
3 m
2 m
El pescante doble rebatiblesostiene el bote de la figura
Interesa evaluar la estabili-dad de las columnas (A-B)para soportar un bote de 1ton, con un factor de segu-
ridad 1.5. La seccin B delsistema es una gua.
A
B
C
PANDEO
-
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Ejemplo de inestabilidad en columnas
PANDEO
3 m
Las barras de acero A37-24disponibles, son:
kg/m A(cm2) W(cm3) k(cm)31.6 40.3 154 5.67
28.3 36.0 139 5.70
25.4 32.3 126 5.73
24.0 30.6 120 5.7422.3 28.4 112 5.76
20.8 26.4 105 5.77
20.1 25.7 102 5.78
A
B
C
A
B
P=500 kgM=1000 kgm
2 m
PANDEO
-
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Ejemplo de inestabilidad en columnas
PANDEO
Con n=1.5, PCR= 750 kg (7358 N).
Adems, Le = 2 L
A
B
P=500 kgM=1000 kgm
sy2
4p2E
Lek
sy2
s
CR < sADM
Relacin de esbeltez (mink
):
Lek
=2300
5.67= 105.8 < 115 (parbola de Johnson)
Criterio:
+F
A
Mc
I