apuntes ana olga 2011
DESCRIPTION
apuntes matematicas 2º bachTRANSCRIPT
AAAAAAAANNNNNNNNÁÁÁÁÁÁÁÁLLLLLLLLIIIIIIIISSSSSSSSIIIIIIIISSSSSSSS
TEMA 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Conceptos preliminares: Definición de función real de variable real. Dado un subconjunto A de números reales, una función f real de variable real definida sobre A, es una aplicación que relaciona cada valor x de A con un único valor real, llamado imagen de x.
( )x
:
fyx
Af
=→ℜ→
x v. independiente; y v. dependiente
Dominio de definición de una función . Es el subconjunto de los números reales donde la variable independiente x toma valores. O dominio de una función contiene todos los números reales que permiten realizar las operaciones que caracterizan a f. ( ) AfD ⊂ Recorrido de una función. Es el subconjunto de los números reales de forma ( )xf cuando x recorre todos los valores del dominio.
( ) ( ){ }fDxxff ∈= /)Rec( Grafo de una función. Es la representación de la función en el plano cartesiano. Funciones elementales. Constante: su expresión es: axf =)( .
Dominio: R. Gráfica: recta horizontal que pasa por (0,a).
su expresión es: mxxf =)( donde m es la pendiente. Lineal: Dominio: R.
Gráfica: es una recta que pasa por el origen.
decrecem
crecem
→<→>
0
0
Afín: su expresión es: nmxxf +=)( donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. Dominio: R.
Gráfica: es una recta que no pasa por el origen.
decrecem
crecem
→<→>
0
0
k>0 k<0
Cuadrática: es ( )0;)( 2 ≠++= acbxaxxf . Dominio: R.
Gráfica: una parábola de eje vertical, de vértice
−−a
bf
a
bV
2,
2
Proporcionalidad inversa: es x
kxf =)( , siendo k un número real no nulo.
Dominio: { }0−= RD Gráfica: hipérbola equilátera. Decreciente si 0>k Creciente si 0<k Es simétrica respecto al origen. Definidas a trozos: Son varias “fórmulas”, cada una de las cuales rige el comportamiento de la función en un cierto tramo. Se representa cada tramo, prestando atención a su comportamiento en los puntos de empalme. Función valor absoluto
≥<−
==0,
0,
xsix
xsixxy ;
Valor absoluto de una función:
( ) ( ) ( )( ) ( )
≥<−
==0,
0,
xfcuandoxf
xfcuandoxfxfy
a>0 a<0
a<1
Exponenciales: Rxaxf x ∈= ,)( de base 10 ≠< a . Dominio R. Las gráficas de estas funciones tienen una forma
característica y se deben distinguir dos casos: 1>a creciente y 10 << a decreciente. Ambas pasan por el punto (0,1)
Resuelve las ecuaciones exponenciales: a) 42 =−x b) 112222 21 =++ ++ xxx c) 81369 1 −=⋅− +xx d) 250055 212 =− ++ xx Definición de logaritmo: xabx b
a =⇔=log ; 10 ≠< a
Propiedades:
( )
( ) xyx
yxy
x
yxyx
ay
a
aaa
aaa
loglog
logloglog
logloglog
⋅=
−=
+=⋅
Función logarítmica: es xxf alog)( = de base 10 ≠> ya . Su dominio es R+ . Es la inversa de la función
exponencial de la misma base y, por tanto, sus representaciones gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del 1 y 3 cuadrante. Igualmente distinguiremos dos casos : 1>a creciente y 10 << a decreciente. Pasa por (1,0).
Trigonométricas: función seno y función coseno senxxf =)( y xxf cos)( = . Su dominio es R. son
periódicas de período π2 .
La función tangente tgxxf =)( . Es periódica de período π . Su dominio es ( ) Zk ∈
;
21-2k-R
π
Composición de funciones Es una operación propia de las funciones. Se representa por el símbolo “o ” se calcula en orden inverso a como actúan.
a<1 a>1
a>1
( )( ) ( )( )xfgxfg =o
( ) ( )( )xfgxfxgf
→→
La composición de funciones no es conmutativa. Límite de una función en un punto Se dice que un número real L es el límite de una función ( )xfy = en el punto a si al tomar valores de x cada
vez más próximos a a, los valores de las imágenes ( )xf están también más próximas a L . Lo escribiremos ( ) Lxf
ax=
→lim .
La definición formal es:
0>∀ε /0>∃δ ( ) ( ) ( )εεδδ +−∈⇒≠+−∈ LLxfaxaax ,,,
Límites laterales El tipo de tendencia de una función puede ser diferente cuando x se aproxima a a con valores mayores o menores que a (por la derecha o por la izquierda de a).
Se representan ( ) ( )xfxfaxax +− →→
lim;lim
Ejemplo: +∞=−∞=+− →→ xx xx
1lim;
1lim
00
Cuando los límites laterales no coinciden, la función no tiene límite en ese punto. Cálculo de límites de funciones En la práctica, para calcular ( )xf
ax→lim , hacemos la sustitución de x por a y efectuamos las operaciones
indicadas, igual que con las sucesiones. Operaciones
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0;limlim
0lim
limlim
lim)(limlim
limlimlim
lim >=
≠=
⋅=⋅
±=±
→
→→
→
→
→
→→→
→→→
xfxfxf
xg
xfx
g
f
xgxfxgf
xgxfxgf
xg
ax
xg
ax
ax
ax
ax
axaxax
axaxax
ax
Límites de funciones en el infinito El cálculo de límites de funciones es igual que el de sucesiones, sólo hay que tener en cuenta que en las funciones la variable x puede tender a un número ó a ∞+ y a ∞− . Por lo tanto, sólo hemos de tener en cuenta la regla de los signos. Las indeterminaciones que se presentan son del mismo tipo que para las sucesiones:
∞−∞ ∞±∞±
0
0 ( )∞±⋅0 00 ( )0∞+ ∞1
Asíntotas. Las asíntotas son rectas a las que se aproxima infinitamente la gráfica de la función. Pueden ser de tres tipos: a) Asíntotas verticales. Son rectas de la forma ax = (a es un número), y se dan cuando
±∞=→
)(lim xfax
, o cuando alguno de los límites laterales da ∞± . Para encontrarlas se comprueba
en puntos que no están en el dominio (o en puntos en los que cambia la expresión de la función en funciones a trozos).
b) Asíntotas horizontales. Son rectas de la forma ay = (a es un número), y se dan cuando axf
x=
∞→)(lim o axf
x=
−∞→)(lim . (Sólo puede haber una para cada lado de la gráfica y no tienen
porqué coincidir). c) Asíntotas oblicuas. Son rectas de la forma nmxy += (m y n son números). Si la función ya
tiene asíntotas horizontales no puede tener oblicuas. Se da por la derecha cuando
0)(
lim ≠=∞→
mx
xfx
, en este caso se obtiene ( )mxxfnx
−=∞→
)(lim . (La asíntota por el lado izquierdo
se halla con −∞→x ) La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas horizontales u oblicuas, pero nunca a las verticales.
Función continua en un punto. Una función f es continua en un punto a si cumple las tres condiciones siguientes: a) Existe el límite (finito) de la función )(xf en ax = . b) La función está definida en ax = ; es decir, existe )(af . c) Los dos valores anteriores coinciden:
)()( afxflimax
=→
Si una función no es continua en un punto a, diremos que es discontinua en dicho punto. Continuidad lateral. Una función es continua por la derecha en un punto a si existe límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto:
)()( afxflimax
=+→
Una función es continua por la izquierda en un punto a si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto:
)()( afxflimax
=−→
Tipos de discontinuidades. a) Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide
con el valor de la función en el mismo (o este no existe). El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama valor verdadero de la función en el mismo.
b) Una función tiene una discontinuidad de salto en un punto cuando existen los límites laterales
(finitos) en él y son distintos.
c) Una función tiene una discontinuidad infinita en un punto si alguno de los límites laterales es infinito (o menos infinito).
Continuidad en un intervalo. Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos. Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es todos los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Teorema de Bolzano. “Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que 0)( =cf .” Interpretación geométrica del Teorema de Bolzano. Si una gráfica continua pasa de ser positiva a ser negativa (o viceversa), entonces atraviesa el eje de abscisas en al menos un punto. a b a b El Teorema de Bolzano es muy práctico para probar que determinadas ecuaciones poseen solución.
Teorema de Weierstrass "Si una función es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, , entonces alcanza un valor máximo M y un valor mínimo m en ese intervalo". Interpretación geométrica del Teorema de Weierstrass Si una función es continua en [ ]ba, , los puntos ( )( )afa, y ( )( )bfb, pueden unirse por medio de una curva
continua. Así, se obtienen dos puntos 1x y 2x del intervalo [ ]ba, en los que la función toma, respectivamente, el menor y el mayor valor posible dentro de ese intervalo.
Consecuencias de los teoremas a) Si una función f es continua en un intervalo [a,b] y k es un número comprendido entre los valores
)(af y )(bf , entonces existe algún c en [a,b] tal que kcf =)( . b) Si una función es continua en el intervalo [a,b], la función toma en ese intervalo todos los valores
comprendidos entre el máximo y el mínimo. c) Si dos funciones f y g son continuas en un intervalo [a,b]; ( ) ( )agaf > y ( ) ( )bgbf > o viceversa,
entonces existe algún c en [a,b] tal que ( )cgcf =)( .
[ ] a c b b
( )xfy =
( )xgy =
[ ] a 2x 1x b
M m [ ]
a b b
M m
BLOQUE I: ANÁLISIS TEMA 1: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1) Calcula el dominio:
a) ( ) 433 +−= xxxf c) ( )36
12 −
=x
xf e) ( ) xxf = g) ( )x
xxf
2+=
b) ( )63 +
=x
xxf d) ( )
16
14
2
−−=
x
xxf f) ( )
xxf
1= h) ( )3
2
xxf =
2) Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:
a) ( )
≥+<+
=01
01`22 xsix
xsixxf b)
≤<+−
≤≤+=
82 si 252
5
20 si 44)(
2
xx
xxxf
c)
≤<+−
≤≤+=
822525
2044 2
tt
tttP
si
si )( d) xxy 82 +−=
3) El número y de miles de socios de un club de fútbol, a lo largo de los últimos 12 años viene dado por la
función
≤<+≤<≤≤+−
==127 si 17-
75 si 10
50 si 54
)(
2
tt
t
ttt
tfy .
a) ¿En qué intervalos de tiempo creció o disminuyó el número de socios? b) ¿Durante cuánto tiempo se superaron los 5000 asociados?
4) Calcula los siguientes logaritmos:
a) 8log2 c) 32log2
1 e) 4
1log2
b) 81log3 d) 243log3 f) 1000log
5) Calcula x en las siguientes expresiones:
a) 236log =x b) 2log7 −=x c) x=27
1log
3
1
6) Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas:
a) ( )x
xf
=2
1 b) ( ) xexf = c) ( ) xxf 31log=
7) Representa gráficamente las siguiente función: senxy =
8) Calcula la composición de las siguientes funciones:
a) 1+x=f(x) y x-1=g(x) d) 1-2x=f(x) y 1+x
1=g(x)
b) 1+x
x=f(x) y
2-xx=g(x)
2
e) x-x
x=f(x)2
2
y 5-x=g(x)
c) 3x-x2
3+x=f(x)2
2
y 1+x=g(x) 2
9) Calcula los siguientes límites:
a) ( )86lim 2
0−+−
→xx
x { }8− c)
1472
410lim
2
2
3 −−+−
→ xx
xxx
{ }1
b) ( )1523lim2
−−+→
xxx
{ }4 d) ( )1
1lnlim +
→
x
xe { }2
10) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 2
922 12 =+ −+ xx { }0=x
b) 82722 =⋅− xx { }3=x
c) 012 2 =−−x { }2=x
d) 3363 12 =⋅− −xx { }1=x
e) 02421122 =+⋅− xx
==
3log
3
2x
x
b) 01833
113 12 =+⋅− +xx
===
63093'02log
2
3x
x
11) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) ( ) 21log10log +−= xx
=
9
10x
b) ( ) ( ) 25log16log =++− xx { }20=x
c) ( ) 010log9log2 2 =+− xx
== 2
5
10;100 xx
12) Calcula los siguientes límites:
a) 1
12lim
2 −+
+∞→ x
xx
{ }0 d) 1
122lim
5
3
−−+
−∞→ x
xxx
{ }0
b) ( )xxx
−−∞→
42lim { }∞+ e) 1
123lim
3
3
−−+−
−∞→ x
xxx
{ }3−
c) 1
122lim
2
3
−−+
−∞→ x
xxx
{ }∞− f) 1
122lim
2
3
−−+−
−∞→ x
xxx
{ }∞+
13) Calcula los siguientes límites:
a)
+−−+
+∞→ x
x
x
xx
1
1
4lim
2
2
3
{ }0 c)
++−÷+
−∞→ 12
625lim
32 x
x
x
xx
{ }∞+
b)
−⋅−+
−∞→ x
x
x
xx 4
4
3
15lim
2
2
4
5 d) ( )532lim 22 +−−
+∞→xx
x { }∞−
14) Calcula los siguientes límites:
a) 2
35lim
2
2 −−+
→ x
xx
3
2 d)
xx
xxx −
−+∞→ 3 2
3 28lim { }2
b) 462
5lim
5 −+−
→ x
xx
{ }4 e) 2
13
2
2
2
3
5lim
+
−∞→
−−
x
x x
x { }3−e
c) ( ) 33
83lim −→
− x
x
xx { }9e f) ( ) 3
12
01lim x
xxx ++
→ { }∞+
15) Dibuja el recinto limitado por las curvas: 2+= xey ; xey −= ; 0=x .
16) Considera la función ( )
=
≠−
−
=
2
3 si 1
2
3 si
23
9 2
x
xx
mx
xf . Deduce el valor de m para que la función tenga límite
finito en el punto 2
3=x y calcula su valor. { }6lim;4 ==m
17) Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:
a) ( )2
13
+−=
x
xxf c) ( ) 2xexf −=
b) ( )1
42
23
++=
x
xxxf d) ( )
1
524
25
−−+=
x
xxxf e) ( ) 1
22 += x
x
exf
18) Considera la función ( )6
8
++
=bx
axxf . Obtén los valores de a y b para que las rectas 2=x e 4−=y
sean, respectivamente, la asíntota vertical y horizontal de la función. { }3;12 −== ba CONTINUIDAD 1) Estudia la continuidad de las funciones:
a) 2
22)(
2
23
−−−+−=
xx
xxxxf b)
>+=<
=12
11
12
)(
xsix
xsi
xsi
xg
c)
=
≠=00
01
)(2
xsi
xsix
senxxh d) (s)
=
≠−−
=36
33
9)(
2
xsi
xsix
xxf
2) Calcula a y b para que sean continuas en R las funciones:
a)
>+≤
=02
0)(
xsiax
xsiexf
ax
=
2
1a
b) 2
6)(
2
−−+=
x
bxxxg {si ( )2g está definida y vale 5; }1=b
c)
≥
<<+≤+
=
1
102
01
)(
2xsi
x
bxsixa
xsisenx
xh { }3;1 == ba
3) Determina )1(−f para que la función ( )1
1sen13)(
+⋅++=
xxxf sea continua en R.
4) Demuestra que las ecuaciones siguientes tienen al menos una raíz real, y localiza un intervalo donde se encuentre: a) xx ln2 =− b) xx sen3+= c) 2−=− xe x
5) ¿Se puede afirmar utilizando el teorema de Bolzano que las funciones 3
5)(
−=
xxf y
17)( 23 +−+= xxxxg , cortan al eje de abscisas en algún punto de los intervalos [2,4] y [-1,0] respectivamente?
6) Halla a y b de forma que sea aplicable el teorema de Bolzano a la función
≤≤
<<+≤≤−
=
π
π
xsix
bxsixa
xsix
xf
1
10
0cos
)( 2 Halla el punto del interior del intervalo [ ππ ,− ], al que hace mención
dicho teorema.
7) Prueba que la función x
xfsen2
5)(
+= alcanza el valor 2 en el intervalo
2,0π
, y resuélvase, de ser
posible.
8) La función tgxy = toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo
4
3,
4
ππ y, sin embargo,
no se anula en él. ¿ Contradice esto el teorema de Bolzano?.
9) Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuación 01723 =xxx +−+ tiene una solución en el intervalo [0,1].
10) Razona la respuesta correcta. Si f(x) es continua en [5,8] y además ( ) ( ) 38;15 == ff , entonces: a) Todos los valores de f están en el intervalo [1,3]. b) Existe un valor c del intervalo (5,8) tal que ( ) 4'1=cf . c) La función se anula en un punto. 11) Se puede afirmar que la ecuación 0122 =−+ xxsen tiene al menos una raíz real?. Si es así, halla un
intervalo en el cual se encuentre dicha raíz. 12) Si f es una función continua en un intervalo [ ]ba, y además, el signo de ( )af y el de ( )bf
coinciden, ¿es posible que f tenga algún cero en ese intervalo? 13) Determina los valores de a y b para que se pueda aplicar el teorema de Bolzano a la siguiente
función: ( )
≤<+
<<≤≤−+
=
πππ
π
2cos
0cos
03
xsibx
xsia
xxsisenx
xf . Indica el punto ( )ππ 2,−∈c en el que la función se anula.
{ }2;2;31 π=−== cba
14) Calcula el valor de k para que la siguiente tenga una discontinuidad infinita en 2−=x .
( )42
43 2
+−+=
x
kxxxf { }4≠k
15) Comprueba que la función ( ) 13 2 += xtgxf alcanza el valor 2 en el intervalo ( )4,0 π y calcula el valor
c de ese intervalo para que ( ) 2=cf . { }6π=c
16) Dada la función ( )2
3
1+=
x
xy . Estudia su continuidad y calcula sus asíntotas.
{continua en { }1−−R ; asíntotas: vertical 1−=x ; oblicua 2−= xy }
SELECTIVIDAD: (Junio 2003)
A) Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Bolzano. B) Se puede asegurar, utilizando el teorema de Bolzano, que la función ( ) tgxxf = tiene una raíz en
el intervalo
ππ4
3,
4. Razone la respuesta. Esboce la gráfica de f en ese intervalo.
(Junio 1998) ¿Puede ocurrir que exista el ( )xf
xx 0
lim→
y que la función f no sea continua en x0?. Razonar la respuesta.
(Septiembre 2007)
a) Enunciado del teorema de Bolzano.¿Podemos asegurar que la gráfica de f(x)= 5 42 4x x+ − corta al eje OX en algún punto del intervalo (1,2)?
b) Dada la función g(x)=
−>+−−≤
22
202 xsix
xsi ¿Es g(x) continua en x= 2− ?
(Junio 2007)
Dada la función f(x)=
≥+<+
− 22
212
2
xsie
xsiaxx
, calcula a para que f(x) sea continua en x=2
(Septiembre 2006)
Definición de función continua en un punto. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene en x=0 la función
f(x)=x
x2
?
(Junio 2009)
Definición de función continua en un punto. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función
f(x)=( )
x
x21ln + en x = 0?
(Septiembre 2009) A. Enuncia e interpreta geométricamente el teorema del valor medio de Bolzano. Dada la
función ( )21ln3)( xxexf x ++= , justifica si podemos asegurar que su gráfica corta al eje OX en algún punto del intervalo [-1,0].
(Junio 2109) Definición de función continua en un punto. ¿Cuándo se dice que una discontinuidad es
evitable? ¿Para qué valores de k, la función kx
exf
x
+=
2)( es continua en todos los puntos de la
recta real?
1) Calcula:
a) ( )( )
−+
−+⋅−
→ 22 2
1
2
112lim
xxx
x b)
−+→ x
xx
24lim
0
c)
−−
−+
→ 416
1lim
24 x
x
x
xx
d) 12
2
2
1 1
54lim
+
−→
−−−
x
x x
xx
2) Calcula:
a) xxx
xxxx 410
135lim
23
23
++++−
∞→ b)
xxx
xxxx 44
863lim
23
23
2 +++++
−→ c)
x
xx 1664
64lim
3
4 ++
−→
d) 254
35lim
23
23
1 −+−+−+
→ xxx
xxxx
e) xxx
xxxx 410
135lim
23
23
++++−
∞→ f)
458lim
23
4
+−+π∞→ xexx
xx
g) 4
2 100045lim
x
xx
+−∞→
h) 5
lim3 xx
x
+∞→
i) 1
lim3
++
∞→ x
xxx
3) Resolver, indicando la indeterminación:
a) ( )
+⋅++
−→1
1
2lim 3
1x
x
xx
b) ( ) ( )[ ]14
111lim −
→−⋅− xx
x c)
−
+∞→x
x
xx 1lim
2
d) ( )31lim 22 +−++∞→
xxxx
e) ( )321lim xxx
+−+∞→
4) Calcula los siguientes límites, usando cambio de variable si es necesario.
a) 3
5 1lim
x
xx
−∞→
b) 1
1lim
3
4
1 −−
→ x
xx
c) ( ) 331lim
ee
eex
x
x −−
→ d) ( ) 330
limee
eex
x
x −−
→
e) 13
13lim
2
0 −−
→ x
x
x
5) Calcula los límites relacionados con el número e.
a) x
x x
3
2
11lim
+∞→
b) 1
31lim
−
∞→
−x
x x c)
x
x x
3
2
11lim
−
∞→
+ d) ( )( ) 4
1
2
221lim +−→
−+ xx
x
e) x
x x
x3
3
4lim
++
∞→ f)
x
x x
x
++
∞→ 32
42lim g)
1
3 2
3
23lim
+
∞→
− x
x
x x
x h) ( )x
xx
1
021lim +
→
TEMA 2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Definición de tasa de variación media. Se define la tasa de variación media de una función en un intervalo [ ]haa +, como el cociente entre el
incremento que experimenta la función en ese intervalo ( ) ( )af-haf=f +∆ , y la amplitud del intervalo, h.
[ ]( ) ( )
h
afhafMVT haa
−+=+,...
Ejemplo: La velocidad media de un móvil (variación de espacio con respecto al tiempo). La variación de temperatura en el interior de la Tierra con respecto a la profundidad. Definición de tasa de variación instantánea o derivada en un punto. Se llama derivada de la función f en el punto a al siguiente límite, si es que existe:
h
afhaflimafh
)()()('
0
−+=→
Si el límite existe se dice que la función es derivable en el punto a. La derivada de una función en un punto es un número real. Interpretación geométrica de la derivada. “La derivada de una función f en un punto a es igual a la pendiente de la recta tangente a la función f en ese punto a.” Demostración: )( haf + )(af a a + h Si consideramos la recta que pasa por los puntos ()(, afa ) y ( )(, hafha ++ ), vemos que tiene por
pendiente h
afhaf )()( −+, pero si h se acerca a 0, esta recta se acerca a la recta tangente, por tanto:
pendienterecta tangente= )(')()(
0af
h
afhaflimh
=−+→
Nota: Si la función crece, la pendiente de la recta tangente en un punto a es positiva, por tanto )(' af es positivo; en cambio, si la función decrece, la pendiente de la recta tangente en ese punto es negativa, por tanto )(' af es negativo. Como consecuencia, si el punto a es un máximo o mínimo relativo entonces 0)(' =af . Derivadas laterales. Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto a al siguiente límite, si es que existe:
h
afhaflimafh
)()()('
0
−+=−→
−
Análogamente, se llama derivada por la derecha de la función f en el punto a al siguiente límite, si es que existe:
h
afhaflimafh
)()()('
0
−+=+→
+
Evidentemente, una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden. Ecuación de la recta tangente en un punto. La ecuación punto-pendiente de una recta es: ( )00 xxmyy −=− .
Dado que ( )afm '= en el punto ( )( )afa, , tenemos que la ecuación de la recta tangente en ese punto es:
( ) ( )( )axafafy −=− '
Ecuación de la normal. La recta normal de una función en un punto dado es aquella que es perpendicular a la recta tangente a la gráfica en dicho punto.
La pendiente de la recta normal está dada por m
m1
' −= , entonces:
La ecuación de la normal será: ( ) ( ) ( )axaf
afy −−=−'
1
Relación entre continuidad y derivabilidad. “Si una función es derivable en un punto a, entonces es continua en ese punto.” (El recíproco no es cierto). Demostración: Hay que probar que )()( afxflim
ax=
→, que es lo mismo que )()(
0afhaflim
h=+
→.
Como la función es derivable en a, existe )(' af :
( ) 00)('lim)()(
lim)()(
lim)()(lim0000
=⋅=⋅−+=
⋅−+=−+→→→→
afhh
afhafh
h
afhafafhaf
hhhh
( ) )()(0)()(00
afhaflimafhaflimhh
=+⇒=−+→→
Función derivada. Derivadas de orden superior. Si una función )(xf es derivable en todos sus puntos se puede definir una nueva función )(' xf , que le hace corresponder a cada punto su derivada, a esta función se le llama función derivada de )(xf . Si a su vez la función )(' xf es derivable en el punto a, entonces a esta derivada se le llama derivada segunda de )(xf en a. Si una función )(xf es derivable dos veces en todos sus puntos se define una nueva función )('' xf , que le hace corresponder a cada punto su derivada segunda, a esta función se le llama función derivada segunda de
)(xf .
Repitiendo el proceso se pueden obtener las derivadas sucesivas )(''' xf , )(xf iv , etc. Reglas de derivación. Aplicando la definición de derivada, se obtienen las derivadas de las funciones elementales: TABLA DE DERIVADAS
Función Derivada Kxf =)( 0)( =′ xf
( ) xxf = ( ) 1' =xf nxxf =)( 1.)( −=′ nxnxf
( ) n xxf = ( )n nxn
xf1
1'
−=
xexf =)( xexf =′ )( xaxf =)( aaxf x ln.)( .=′
xxf ln)( = x
xf1
)( =′
xxf alog)( = ax
xfln.
1)( =′
senxxf =)( xxf cos)( =′
xxf cos)( = senxxf −=′ )(
tgxxf =)( x
xtgxf2
2
cos
11)( =+=′
gxxf cot)( = xsen
xgxf2
2 1cot1)(
−=−−=′
arcsenxxf =)( 21
1)(
xxf
−=′
xxf arccos)( = 21
1)(
xxf
−−=′
arctgxxf =)( 21
1)(
xxf
+=′
gxarcxf cot)( = 21
1)(
xxf
+−=′
Operaciones con derivadas.
Suma: ( ) ( ) )()( xgxfxgf ′±′=′±
Producto por un escalar: ( ) ( ) )(.. xfkxfk ′=′
Producto: ( ) ( ) )()()()( xgxfxgxfxgf ′⋅+⋅′=′⋅
Cociente: 2)(
)()()()()(
xg
xgxfxgxfx
g
f ′⋅−⋅′=
′
Regla de la cadena. La derivada de la composición de dos funciones es igual al producto de la derivada que actúa en segundo lugar, valorada en la función que actúa en primer lugar, por la derivada de la que actúa en primer lugar.
( ) ( ) ( )( ) ( )xfxfgxfg ''' ⋅=o TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS
Función compuesta Derivada ( ) ( )xuxf = ( ) ( )xuxf '' =
( )nxuxf =)( ( )( ) ( )xuxunxf n '.)( 1 ⋅=′ −
( ) ( )n xuxf = ( ) ( )( )( )n nxun
xuxf
1
''
−=
( )xuexf =)( ( ) ( )xuexf xu ')( ⋅=′ ( )xuaxf =)( ( ) ( ) axuaxf xu ln.')( ⋅=′
( )( )xuxf ln)( = ( )( )xu
xuxf
')( =′
( )( )xuxf alog)( = ( )
( ) axu
xuxf
ln.
')( =′
( )( )xusenxf =)( ( )( ) ( )xuxuxf 'cos)( ⋅=′
( )( )xuxf cos)( = ( )( ) ( )xuxusenxf ')( ⋅−=′
( )( )xutgxf =)( ( )
( )( )xu
xuxf
2cos
')( =′
( )( )xugxf cot)( = ( )( )( )xusen
xuxf
2
')(
−=′
( )( )xuarcsenxf =)(
( )( )( )21
')(
xu
xuxf
−=′
( )( )xuxf arccos)( =
( )( )( )21
')(
xu
xuxf
−
−=′
( )( )xuarctgxf =)( ( )( )( )21
')(
xu
xuxf
+=′
( )( )xugarcxf cot)( = ( )( )( )21
')(
xu
xuxf
+−=′
BLOQUE I: ANÁLISIS
TEMA 2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 1) Halla la tasa de variación media (t.v.m.) de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:
a) 234)( xxf += en [ ]5,2 b) 5
13)(
++=
x
xxg en [ ]2,1−
c) x
xf1
)( = en [ ]3,1 d) )1(3)( 2xxg +−= en [ ]1,1−
2) Dada la función xxxf 2)( 2 −= Calcula la ecuación de la recta secante a su gráfica que pasa por los puntos de abscisa x=1 y x=3.
3) El espacio recorrido por un móvil responde a la ecuación 123 +t+2t=e(t) . Halla la velocidad media
del móvil entre t=2 y t=5. 4) La población de una ciudad crece de acuerdo con la ecuación: e+=N(t) 1t0′2'010
siendo N(t) el número de individuos en miles y t el tiempo en meses. Calcular: a) La velocidad media de crecimiento de la población al cabo de dos años. b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la ciudad tenga cien mil habitantes?.
5) Un material radioactivo se desintegra en función del tiempo, medido en días, según la función:
( ) teMtM 1'00
−= en la que ( )tM es la masa, en mg. existente en el instante t y M0 es la masa al
comienzo del proceso. Si la masa inicial es de 50mg, calcula: a) La masa existente al cabo de 10 días y al cabo de 20 días. b) ¿Cuándo se desintegró más rápido, en los diez primeros o en los diez siguientes?
6) Calcula la tasa de variación media de la función ( ) xxxf 42 −= en los intervalos [ ]2,1 y [ ]4,2 . Representa la función y explica, gráficamente, por que una de las tasas es positiva y la otra es negativa.
7) La expresión ( ) 10001102 ++−= xxxN representa el número de oyentes de un programa local de
radio en función del porcentaje de tiempo, x, dedicado a la información deportiva. Calcula la tasa de variación media en los intervalos porcentuales [ ]2,0 y [ ]55,53 . ¿Cómo interpretas el hecho de que los resultados sean tan diferentes?
8) Comprobar que la función ( ) xxf = no es derivable en 0.
9) Deriva las siguientes funciones:
a) 2325 346 −+−−= xxxxy b) tgxxsenxy ⋅⋅= cos c) x
xy
ln=
d) 1
12
2
+−
xx=y e)
1
1
+=
xy f)
x
x=ym
m
−+
1
1
10) Deriva, aplicando la regla de la cadena, si es preciso:
a) 123 +⋅= xey x b) ( )1ln 2 += xy c) xseny 4=
d) 4senxy = e) xy 2cos5= f) ( )23 += xseny
g) xtgy 32= h) 3xey = i) xy 23=
k) ( )xey x 5ln 3 += l) 5 4xy = m) xarcseny 5=
11) Deriva: a) 2arcsenxy = b) xy 2arccos= c) ( )3arccosxy =
d) 2arctgxy = e) xy 2arccotg= f) ( )1ln 3 += xy
g) xy 2ln= h) ( )23 ln xxy ⋅= i) x
y2tg
1=
j) 1
ln2 −
=x
xy k)
xy
1= l) xy 21sen −=
m) xxy arccos2 ⋅= n) xxey += 1 ñ) x
y1
arcsen=
12) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 1
1
−+=
x
xy en el punto de abscisa 2.
13) Halla los puntos en los que las rectas tangentes a la curva 201243 234 +−+= xxxy son paralelas al eje de abscisas.
14) Deriva:
a) xsenx
xsenxy
cos
cos
−+= b)
xx
xx
ee
eey −
−
−+= c)
x
xy
−+=
1
1arctg
15) Si ( ) xn exxf ⋅= , determina n sabiendo que ( ) 03' =f
16) Si ( ) xexxf −⋅= , comprueba que: ( ) ( ) ( )xfxxfx ⋅−=⋅ 1'
17) Si xexy ⋅= 2
2
1, comprueba que: xeyyy =+− '2''
18) Sea ( )x
x
e
exf
+=
1 ¿hay algún punto que anule a ( )xf , ( )xf ' ó ( )xf '' ?
19) Siendo ( )3
2xx eexf
+= , halla ( )1''f
20) Comprueba si la función xxxy 22cos2sen2 ++= verifica la ecuación xyy 84'' =+
21) Comprueba si la función xxx eeey 23
3
1−+= − verifica la ecuación xeyyy 23'2'' =−−
22) Halla la derivada de las siguientes funciones por derivación logarítmica:
a) ( )xxxy += 2 b) xxy = c) senxxy =
d) ( )xxy arctg= e) ( )senxxy cos= d) xy lnx=
23) Deriva y simplifica :
a) 42
2 −= xx
y
−
−=4
2'
2
2
x
xy b)
xsenx
xsenxy
cos
cosln
−+= { }xy sec2'=
c) xxxy 4ln2 −=
=
x
xy
ln' d)
x
xy
−+=
1
1ln
−=
21
1'
xy
e) xy tgln=
⋅=
xxy
cossen
1' f)
xey
−+=
1
e1arctg
x
+=
x
x
e
ey
21'
g) ( ) gxxsenxy cotln ⋅−=
=
xsen
xy
2' h)
ax
xy
−+=
1
aarctg
+=
21
1´
xy
i) 1tg
1tg
+−=
x
xy
+=
xseny
21
2' j)
2
2
1
x-1arcsen
xy
+=
+−=
21
2'
xy
24) Usa la derivación logarítmica:
a) 3 xxy =
+=
x
x
x
xxy x
3
3 23
ln'
3
b) ( ) xxy ln2= ( )
+=x
xxxy x ln2ln
2' ln
c) ( ) 2
2 xxseny = ( ) ( )
⋅+⋅=xsen
xxxsenxxseny x
2
2cos22ln22'
22
d) xexxy ⋅=
2
( ){ }xxxex xexexxxexyx
++= ⋅ lnln2' 22
25) Obtener k en la función ( )12
1
++=
x
kxxf sabiendo que la pendiente de la recta tangente a su gráfica en
10 −=x es -1.
26) Halla las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 1
2
+−=
x
xy en el punto de corte de ésta
con el eje de abscisas. 27) Dada la función ( ) cbxxxf ++= 2 , halla b y c para que la curva sea tangente a la recta xy 2= en el
punto ( )4,2P . 28) Estudia la derivabilidad de las funciones:
a)
=
≠=00
01
sen)(3
xsi
xsix
xxf c)
−≤−−<<−
≥=
112
01
0sen
)( 2
xsix
xsix
xsix
xh
b) 1)( −+= xxxg
29) Sea la función xxxf ⋅=)( . Halla )(' xf y )('' xf .
30) Calcula a y b para que sea derivable en R la función ( )( )
>−−≤+
=24
23)(
2
2
xbxx
xxaxxf
31) Determina los puntos de la curva 3xy = , en los que su tangente es paralela a la recta 143 += xy .
32) Determina los valores del parámetro a, para que las tangentes a la curva 187223 −+−= xxaaxy en
los puntos de abscisas 1=x y 2=x sean paralelas. 33) Demostrar que la recta 4+−= xy es tangente a la curva xxxy 86 23 +−= . Calcular el punto de
tangencia, y estudiar si la recta dada corta a la curva en otro punto distinto al de tangencia. 34) Sea RRf →: la función dada por: ( ) 28 xxf −= . Dibuja la gráfica. Calcula los puntos de corte de
la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa 2−=x . ( ) ( ) ( ){ }6820,622;6820,622;4,2 ++−−−
35) Se sabe que la función [ ] Rf →5,0: , dada por ( )
≤≤−+<≤+
=521
202
xsixc
xsibxaxxf es derivable en el
intervalo ( )5,0 y verifica ( ) ( )50 ff = . ¿Cuánto valen a, b y c?
−==−= 2;
2
1;
2
3cba
36) Sean las funciones ( ) bxxf −= ln , ( ) bxaxg +=
a) Determina a y b para que ambas funciones sean tangentes entre sí al pasar por 1=x . { }1;2 −== ba
b) Determina en qué puntos se anula cada una de estas funciones. { }41;10 1 =→=→ − xgxf
c) Determina cual es el dominio de la función producto ( ) ( ) ( )xgxfxh = . ( ) ( ){ }+∞= ,0hD
37) Hallar los valores de a, b y c para que las gráficas de las funciones ( ) baxxxf ++= 2 y
( ) cxxg += 3 pasen por el punto ( )2,1 y en este punto tengan la misma tangente. { }1;0;1 === cba
38) Se define la función f del siguiente modo: ( )
≤++>−
=12
11ln2 xsibaxx
xsixxf
Encuentra los valores de a y b para que la función sea continua y pase por el origen de coordenadas. Demuestra que es derivable en todo R { }0;3 =−= ba
39) Dada la función f definida por: ( )
≤−<≤−+
−≤=
xsix
xsibxax
xsi
xf
21611
21
103 . Se pide:
a) Hallar a y b para que la función sea continua en todo x real. { }1;1 −== ba b) Analizar su derivabilidad. {derivable en todo R, salvo en x=-1}
40) Dada la función: ( )
>+−≤+−
=1
152
2
xsinxx
xsimxxxf se pide calcular los valores de los parámetros m y n
para que sea continua y derivable en el intervalo [ ]20,20− .
{ }1;2 −== nm
41) Dada la función: ( )
>+≤−
=1
123
xsibax
xsixxxf se pide calcular los valores de los parámetros a y b para
que sea derivable en todos sus puntos. { }1;1 −== ba SELECTIVIDAD:
(Septiembre 2001) A) ¿Puede haber dos funciones distintas que tengan igual función derivada? Si la respuesta es afirmativa, ponga un ejemplo. Si, por el contrario, la respuesta es negativa razónese. B) Calcule la derivada de la función ( ) 2−= xxf en 2=x , si es posible. Represente la gráfica de la
función, y sobre ella razone la respuesta. (Junio 2000) A) Definición de función continua en un punto. Definición de derivada de una función en un punto. B) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:
=
≠−−
=36
33
9)(
2
xsi
xsix
xxf en el punto 3=x . {es continua y derivable en 3=x }
(Septiembre 2004)
A. Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
B. Determine las abscisas de los puntos de la curva 133
23
+−−= xxx
y en los que la
recta tangente forma un ángulo de 135º con sentido positivo del eje de abscisas. (Junio 2007)
A. Dada la función
≥+
<+=
− 22
21
)(2
2
xsie
xsiax
xfx
. Calcula a para que f(x) sea continua en x=2.
Para el valor obtenido de a, ¿es f(x) derivable en x = 2?
(Septiembre 2010) Definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
TEMA 3. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Teorema de Rolle. Enunciado. “Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el abierto (a,b) y )()( bfaf = , entonces existe un punto c del intervalo (a,b) tal que 0)(' =cf ” Interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el abierto (a,b) y )()( bfaf = , entonces existe un punto c en el interior del intervalo (a,b) en el cual la recta tangente a la gráfica de la función tiene pendiente cero, es decir, es paralela al eje de abscisas. a c b El Teorema de Rolle se suele utilizar en combinación con el Teorema de Bolzano para estimar o incluso conocer con exactitud el número de soluciones de una ecuación. Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (o de los Incrementos Finitos). Enunciado. “Si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el abierto (a,b), entonces existe un
punto c del intervalo (a,b) tal que ( )abcfafbf −=− )(')()( , o lo que es lo mismo, ab
afbfcf
−−= )()(
)(' ”
Interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. a c b Si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el abierto (a,b), entonces en algún punto del interior del intervalo la tangente a la gráfica es paralela a la secante, recta que une a los puntos
( ))(, afa y ( ))(, bfb , ya que la pendiente de esta recta es ab
afbf
−− )()(
.
Regla de l’Hôpital. Si f y g son dos funciones derivables, se cumple que:
1) Si 0)(lim =→
xfax
, 0)(lim =→
xgax
y existe )('
)('lim
xg
xfax→
, entonces existe )(
)(lim
xg
xfax→
y además
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xfaxax →→
= .
2) Si ∞=→
)(lim xfax
, ∞=→
)(lim xgax
y existe )('
)('lim
xg
xfax→
, entonces existe )(
)(lim
xg
xfax→
y además
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xfaxax →→
= .
(a puede ser −∞∞, o un número) Nota: La Regla de l’Hôpital sirve para hallar límites con indeterminaciones del tipo (0/0) y (∞ / ∞ ). Hay otros tipos de indeterminaciones como (0·∞ ), ( ∞−∞ ) que se reducen a uno de los anteriores transformando adecuadamente las expresiones. Las indeterminaciones de tipo exponencial como 00 ,0,1 ∞∞ se resuelven considerando sus logaritmos. Definición de función creciente y decreciente Se dice que una función f es creciente en un punto 0x si existe un intervalo abierto I que contiene a 0x en el
que se cumple:
≥⇒>≤⇒<
∈∀)()(
)()(
00
00
xfxfxx
xfxfxxIx
Se dice que una función f es estrictamente creciente en un punto 0x si existe un intervalo abierto I que
contiene a 0x en el que se cumple:
>⇒><⇒<
∈∀)()(
)()(
00
00
xfxfxx
xfxfxxIx
Se dice que una función f es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto I que contiene a a en el que se cumple:
≤⇒>≥⇒<
∈∀)()(
)()(
afxfax
afxfaxIx
Se dice que una función f es estrictamente decreciente en un punto 0x si existe un intervalo abierto I que
contiene a 0x en el que se cumple:
<⇒>>⇒<
∈∀)()(
)()(
00
00
xfxfxx
xfxfxxIx
Se dice que una función f es creciente en un intervalo (a,b), si es creciente en todos los puntos de ese intervalo, o intuitivamente, si se cumple: f(y) )()(/),(, yfxfyxbayx ≤⇒<∈∀ f(x) x y Análogamente, una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b), si es estrictamente creciente en todos los puntos de ese intervalo, o si se cumple:
)()(/),(, yfxfyxbayx <⇒<∈∀ Una función f es decreciente en un intervalo (a,b), si es decreciente en todos los puntos de ese intervalo, o también si: )()(/),(, yfxfyxbayx ≥⇒<∈∀
f(x) f(y) x y Una función f será estrictamente decreciente en un intervalo (a,b), si es estrictamente decreciente en todos los puntos de ese intervalo, o si: )()(/),(, yfxfyxbayx >⇒<∈∀ Función monótona. Una función se dice monótona en un intervalo I si es creciente en I o decreciente en I. Determinación de los intervalos de monotonía de una función. La mayoría de las funciones que manejamos no son ni crecientes ni decrecientes en todo su dominio de definición. Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es sólo creciente o sólo decreciente. Teorema: Sea f una función derivable en 0x :
- Si ( ) 00 >′ xf , entonces la función es creciente en 0x .
- Si ( ) 00 <′ xf , entonces la función es decreciente en 0x .
Demostración: Sean yx < dos puntos del intervalo (a,b), aplicando el Teorema del Valor Medio resulta que existe un punto
c perteneciente al intervalo (x,y) tal que ( )xycfxfyf −⋅=− )(')()( , teniendo en cuenta que 0>− xy , entonces si 0)(' >cf se cumple que )()(0)()( yfxfxfyf <⇒>− y por tanto la función es creciente, en cambio si 0)(' <cf tenemos que )()(0)()( yfxfxfyf >⇒<− con lo que la función es decreciente. Definición de extremos relativos y absolutos. Se dice que un punto 0x es un máximo relativo de la función f si existe un intervalo abierto I que contiene a
0x tal que Ixxfxf ∈∀≤ )()( 0 .
Se dice que un punto 0x es un mínimo relativo de la función f si existe un intervalo abierto I que contiene a
0x tal que Ixxfxf ∈∀≥ )()( 0 .
Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de ser creciente a ser decreciente, y un mínimo relativo es un punto donde pasa de decreciente a creciente. Se dice que un punto 0x es un máximo absoluto de la función f si ( )fDxxfxf ∈∀≤ )()( 0 .
Se dice que un punto 0x es un mínimo absoluto de la función f si ( )fDxxfxf ∈∀≥ )()( 0 .
Criterios para el cálculo de extremos relativos. Teorema. “Si f es una función derivable y 0x es un máximo o mínimo relativo entonces 0)(' 0 =xf ”
El enunciado recíproco no es cierto. Así, por ejemplo la función ( ) 3xxf = , verifica que ( ) 00' =f y, sin
embargo, en 0=x no tiene extremo (es creciente). El teorema anterior nos permite hallar los puntos candidatos a máximos o mínimos en un intervalo abierto. Estos puntos son las raíces o ceros de la ecuación 0)(' =xf . Obtenidos estos puntos, los siguientes criterios precisan si en ellos existe máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas. Criterio 1. Variación del signo de la derivada primera en el entorno del punto. Sea 0xx = un punto donde la función puede alcanzar un máximo o un mínimo relativo.
- Si al izquierda de 0xx = es 0'>f (función creciente) y a la derecha 0'<f (función decreciente), entonces
la función alcanza un máximo relativo en ese punto. - Si al izquierda de 0xx = es 0'<f (función decreciente) y a la derecha 0'>f (función creciente), entonces
la función alcanza un mínimo relativo en ese punto. Criterio 2. Valor de la derivada segunda en el punto. Si f es una función dos veces derivable en el punto 0x y además, ( ) 0' 0 =xf . En 0xx = la función puede
alcanzar un máximo o un mínimo, - Si ( ) 0'' 0 >xf , entonces la función alcanza un mínimo relativo en 0xx = .
- Si ( ) 0'' 0 <xf , entonces la función alcanza un máximo relativo en 0xx = .
Concavidad y convexidad. Se dice que una función f es convexa en un intervalo si en cualquier punto de ese intervalo la recta tangente a la gráfica está por debajo de ella. Se dice que es cóncava si la recta tangente está por encima de la gráfica. Convexa Cóncava Teorema. “Si una función f es dos veces derivable en el intervalo abierto (a,b), se cumple que si
),(0)('' baxxf ∈∀> entonces la función es convexa, y si ),(0)('' baxxf ∈∀< entonces es cóncava.”
Puntos de inflexión. Los puntos donde la función pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión. Teorema “Si f es una función dos veces derivable y 0x es un punto de inflexión entonces 0)('' 0 =xf .”
Criterio para el cálculo de puntos de inflexión - Si en la función se anula la derivada segunda en 0xx = , y ésta cambia de signo de la izquierda a la derecha
entonces es un punto de inflexión. Si la derivada segunda no cambia de signo no lo es. Representación gráfica de funciones. Para representar gráficamente una función vamos a seguir los siguientes pasos: 1) Dominio.
Es el conjunto de puntos en los que está definida la función (el conjunto de puntos que tienen imagen). Hay que tener en cuenta que los denominadores no pueden ser cero, no existen raíces de índice par de números negativos, no existen logarítmos de cero ni de números negativos, etc.
2) Simetrías. Una función es simétrica par si )()( xfxf =− . Una función es simétrica impar si )()( xfxf −=− Si una función tiene alguna de estas simetrías podemos estudiarla sólo para la parte positiva del eje de abscisas y después se amplía a la parte negativa.
3) Puntos de corte con los ejes de coordenadas. Con el eje de abscisas serán los puntos donde 0)( =xf . Con el eje de ordenadas será el punto ))0(,0( f .
4) Asíntotas. Las asíntotas son rectas a las que se aproxima infinitamente la gráfica de la función. Pueden ser de tres tipos: a) Asíntotas verticales. Son rectas de la forma 0xx = , y se dan cuando ( ) ±∞=
→xf
xx 0
lim , o cuando
alguno de los límites laterales da ∞± . Para encontrarlas se comprueba en puntos que no están en el dominio (o en puntos en los que cambia la expresión de la función en funciones a trozos).
b) Asíntotas horizontales. Son rectas de la forma ay = (a es un número), y se dan cuando axf
x=
∞→)(lim o axf
x=
−∞→)(lim . (Sólo puede haber una para cada lado de la gráfica y no tienen
porqué coincidir). c) Asíntotas oblicuas. Son rectas de la forma nmxy += (m y n son números), si la función ya tiene
asíntotas horizontales no puede tener oblicuas, se da por la derecha cuando 0)(
lim ≠=∞→
mx
xfx
, en
este caso se obtiene ( )mxxfnx
−=∞→
)(lim . (La asíntota por el lado izquierdo se halla con −∞→x )
La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas horizontales u oblicuas, pero nunca a las verticales.
5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
Se calculan las raíces de la derivada de la función (nos darán los posibles máximos o mínimos). En los intervalos abiertos que hay entre estos puntos (teniendo en cuenta el dominio), la derivada será positiva o negativa. Los intervalos donde la derivada es positiva son los intervalos de crecimiento, los que tienen derivada negativa nos dan los intervalos de decrecimiento.
Un punto donde la derivada es cero será máximo si antes de él la función crece y después de él decrece, y será mínimo si antes la función decrece y después crece; (si antes y después crece, o si antes y después decrece, no es ni máximo ni mínimo).
6) Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. Se calculan las raíces de la derivada segunda de la función (nos darán los posibles puntos de inflexión). En los intervalos abiertos que hay entre estos puntos (teniendo en cuenta el dominio), la derivada segunda será positiva o negativa. Donde sea positiva la función es convexa y donde sea negativa cóncava. Un punto donde la derivada segunda es cero será de inflexión si antes de él la función es convexa y después cóncava, o viceversa.
7) Finalmente, se hace la representación gráfica teniendo en cuenta todos los pasos anteriores. Ejemplo de representación gráfica.
9)(
2 −=
x
exf
x
1) Dominio.
Los puntos que anulan el denominador (3 y –3) no pertenecen al dominio, por tanto: ( ) ( ) ( )∞∪−∪−∞−= ,33,33,D
2) Simetrías.
( ) 99)(
22 −=
−−=−
−−
x
e
x
exf
xx
, como no coincide con )(xf ni con )(xf− , no es simétrica ni par ni
impar. 3) Cortes con el eje X.
⇒=⇒=−
⇒= 009
02
xx
ex
ey no tiene solución, no corta al eje X.
Corte con el eje Y.
⇒−=−
⇒=9
1
900
2
0ex lo corta en el punto
−9
1,0
4) Asíntotas verticales. Buscamos en los puntos que no están en el dominio.
39
lim23
−=⇒±∞=−−→
xx
ex
x es asíntota vertical
39
lim23
=⇒±∞=−→
xx
ex
x es asíntota vertical
Asíntotas horizontales. Vamos a necesitar aplicar l’Hôpital.
⇒∞===− ∞→∞→∞→ 2
lim2
lim9
lim2
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
eno tiene asíntota horizontal por la derecha
009
lim2
=⇒=−−∞→
yx
ex
x es asíntota horizontal por la izquierda
Asíntotas oblicuas. Por la izquierda no tiene pues ya la tiene horizontal.
⇒∞===−
=−
==∞→∞→∞→∞→∞→ 6
lim6
lim93
lim9
lim)(
lim23
x
x
x
x
x
x
x
xx
e
x
e
x
e
xx
e
x
xfm no tiene asíntota oblicua por la
derecha.
5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y Mínimos. ( )( ) 101,1010920
9
92)(' 21
222
2
−=+=⇒=−−⇒=−
−−= xxxxx
xxexf
x
son los posibles máximos
o mínimos.
intervalos ( )3,−∞− ( )101,3 −− ( )3,101− ( )101,3 + ( )∞+ ,101
)(' xf + + - - + crece crece decrece decrece crece Crece en ( ) ( ) ( )∞+∪−−∪−∞− ,101101,33,
Decrece en ( ) ( )101,33,101 +∪−
Hay un máximo en ( )03'0,101101 −−⇒−=x
Hay un mínimo en ( )7'7,101101 +⇒+=x 6) Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.
( )( ) ⇒=++−−⇒=
−
++−−= 0993612409
9936124)('' 234
32
234
xxxxx
xxxxexf
x
no tiene solución,
por tanto no hay puntos de inflexión. intervalos ( )3,−∞− ( )3,3− ( )∞,3
)('' xf + - +
convexa cóncava convexa Es convexa en ( ) ( )∞∪−∞− ,33,
Es cóncava en ( )3,3−
7) Representación gráfica.
Problemas de optimización. El cálculo de máximos y mínimos mediante derivadas permite resolver de una manera sencilla y
rápida muchos problemas que aparecen tanto en matemáticas como en otras disciplinas científicas. Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, minimizar los costes de una producción, buscar la forma adecuada para comercializar un producto, etc.
Para resolverlos seguiremos el esquema general: 1) Mediante los datos del problema se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
La mayoría de las veces tiene dos variables. 2) Si la función tiene más de una variable hay que relacionar las variables mediante
ecuaciones a fin de conseguir expresar la función inicial planteada (punto 1) en función de una sola variable. 3) Se hallan los máximos y mínimos de esta función. 4) Se interpretan los resultados obtenidos rechazando aquellos que por la naturaleza del
problema no sean posibles.
BLOQUE I: ANÁLISIS TEMA 3. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1) Comprobar que se verifica el teorema de Rolle, para las funciones: a) 12)( 23 ++−= xxxxf , en [ ]1,0 ( ){ }1,031 ∈=c
b) xxxf 12)( 3 −= , en [ ]32,0 ( ){ }32,02∈=c 2) ¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a las funciones:
a) xxf tg)( = , en [ ]π,0 b) 3 2)( xxf = , en [ ]1,1−
c) 2)( xxxf −= , en [ ]0,1− d) 2)( xxxf −= , en [ ]1,0
e)
≤<−≤≤
=313
102)(
xsix
xsixxf
3) Sea
≥+<++
=21
2)(
2
xsicx
xsibaxxxf . Calcula a, b y c para que verifique el teorema de Rolle en [ ]4,0 , y
halla el punto del interior del intervalo que cumple dicho teorema. { }23;1;5;3 ===−= puntocba
4) Comprueba que la función ( )
≤<=
=10
01
xsix
xsixf x verifica las condiciones del teorema de Rolle y
encuentra un punto que verifique la tesis. { }ec 1=
5) Si ( )23 22)( −+= xxxf , probar, sin calcular la derivada, que la ecuación 0)(' =xf posee al menos una
raíz real positiva menor que 2. Después, calcúlala. {intervalo [0,2]; 56=c }
6) Probar que la ecuación 0123 =−+ xx tiene una y sólo una solución en el intervalo (0,1). 7) Comprobar que la ecuación 010932 23 =+−− xxx tiene una sola solución en el intervalo (2,3). 8) Comprobar que se verifica el teorema del Valor Medio para las funciones y determina el punto en que la
recta tangente a la gráfica es paralela a la secante: a) 22)( 3 −−= xxxf en [ ]2,1
b) xxxf sen3)( −= en [ ]π,0 { }2π=c
9) ¿Es aplicable el teorema del Valor Medio a la función
≤≤−−
−<≤−=
012
3
121
)( 2
xsix
xsixxf , en el intervalo
[ ]0,2− ? En caso afirmativo, encontrar el punto interior al que hace mención dicho teorema.
10) Si
≥<<+
≤+=
13
10
01
)(
xparax
xparabax
xparax
xf , determinar a y b para que sea continua. ¿Se puede aplicar el
teorema del Valor Medio a )(xf en el intervalo [ ]1,0 ? Justifica la respuesta. { 1;2 == ba ; sí porque es derivable en (0,1)}
11) Hallar el punto en el que la recta tangente a la curva 24 xy −= es paralela a la cuerda que une los
puntos de la gráfica A( ))1(,1 −− f y B( ))2(,2 f .
12) Comprueba que la función ( ) [ )[ ]
∈+∈−α
=3,23
2,012 xsix
xsixxf cumple el teorema del Valor Medio.
Encuentra el valor de α y comprueba todas las hipótesis. ¿Qué punto c satisface la tesis? { }613;4 ==α c
13) Calcula los siguientes límites:
a) x
xx
tglim
0→
b) 4
limx
ex
x ∞±→
c) xx
xee xx
x sen
2lim
0 −−− −
→ { }0
d)
−→ xxx sen
11lim
0
e) 30
senlim
x
xxx
−→
{ }61
f) ( )bx
axx
+→
1lnlim
0
g) x
xx
lnlim
+∞→ { }0
h) x
ba xx
x 2lim
0
−→
i) ( )
( ) axa
ee axa
x sensenlim
sensen
0 −+−+
→ { }aesen
j) xxx
lnlim 2
0+→
k)
−−→ xxx ln
1
1
1lim
1 { }21−
l) ( )123lim 2 +−+−∞→
xxxx
m) ( )
x
xxx cos1
1lnlim
0 −+
→
n)
−−
→ 1
11lim
0 xx ex { }21
ñ) ( )tgx
xxcos1lim
0−
→
o) x
xx
+→0lim
{ }1
p) tgx
x x
+→ 20
1lim
q) ( ) 21
0coslim x
xx
→ { }21−e
r) x
xx1lim
∞→ { }1
s) x xx
xeex 2lim ++
∞→ { }2e
t) ( )2
1lim 2
1
xtgx
x
π⋅−+→
{ }0
u) ( )20 arctg
sen1lim
x
ex x
x
−+→
14) ¿Para qué valores de a y b es 03sen
lim230
=
++→
bx
a
x
xx
? { }29;3 =−= ba
15) Determina el dominio de la función ( ) ( )( )2
2
1
ln
−⋅=x
xxxf , y averigua si se puede
asignar a f(x) algún valor en los puntos de discontinuidad para que sea continua en el intervalo [ )∞,0 . {( ) ( ) ( )∞∪= ,11,0fD ; ( ) ( ) 11;00 == ff }
16) Determina b y c para que la función ( ) ( )
>+≤++
=0
1ln02
xsix
xxsicbxx
xf sea derivable
en 0=x , y utilizando el teorema del valor medio, demostrar que existe un punto
0x del intervalo ( )1,0 −e tal que ( )( )20
1
2'
−−=
e
exf . { }1;21 =−= cb
17) La función ( ) cbxaxxxf +++= 23 , tiene un punto de derivada nula en (1,1), que no es un extremo relativo. Razona el valor de a, b y c.
18) Sea f una función real definida en todo R. Se conocen sobre f los siguientes datos: es derivable en 1−=x , es discontinua en 0=x , es derivable en ( )∞,2 , ( ) 73 =f ,
( ) 54 =f , y ( ) 75 =f . Razona si estas afirmaciones son verdaderas o falsas: A) La función f es continua en –1. B) La función f es derivable en 0. C) En el intervalo [10,15] alcanza un máximo y un mínimo. D) En algún punto entre 3 y 5 la derivada vale 0. E) En algún punto entre 4 y 5 la derivada vale 2.
19) Obtener los intervalos de monotonía y extremos relativos de las funciones: a) ( )xx eexf −+= ln)(
b) xxexxf 32
)( −⋅=
c) 22 ln)( xxxf −= 20) ¿Puede tener algún extremo relativo la función xxy cos2 += ? 21) Hallar los intervalos de concavidad y convexidad (curvatura), y los puntos de
inflexión de las funciones: a) ( ) xexxf −⋅−= 1)(
b) xxxf ⋅=)(
22) Calcular el valor de a (número real) para que la gráfica de la función
22 1
)(x
axxf += tenga un punto de inflexión en P( ))1(,1 f , y obtener la ecuación
de la recta tangente a la curva en dicho punto. 23) Demostrar que la ecuación xex += 1 tiene únicamente la solución real 0=x . 24) Hallar los extremos absolutos de la función 106)( 23 +−= xxxf en el intervalo
[ ]7,1− . 25) Representa gráficamente las siguientes funciones, calculando: dominio de
definición, simetrías, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de monotonía y extremos relativos, e intervalos de curvatura y puntos de inflexión:
a) 1
12
2
−+=
x
xy b)
22
2
−=
x
xy c)
82 2
3
−=
x
xy d)
2
1
x
xy
−=
e) ( )9ln 2 −= xy f) x
xy
ln= g) x
yln
1= h) 2xey −=
i) ( )1−= xey x j) ( ) xexy −⋅−= 1 k) xexy −⋅= 2 l) xxy ln⋅=
m) x
ey
x
−=
−
1 n) xxy −= 2 ñ)
1
9 3
−=
x
xy
26) Representa gráficamente: a)
( )
>=
<+
=0
ln00
01 2
xsix
xxsi
xsix
x
y b) ( )senxy ln=
27) Determina la función polinómica dcxbxax +++ 23 sabiendo que tiene como
derivada segunda 1−x y que tiene un mínimo relativo en el punto
−3
1,4 .
( )
+−−= 134
2
1
6
1 23 xxxxP
28) Encuentra una función cuadrática f que verifique las siguientes condiciones: a. ( ) 43'' =f
b. tiene un extremo relativo en 41=x
c. su gráfica pasa por P( )6,1 .
SELECTIVIDAD: (Septiembre 2004) Definición de función continua en un punto. Explique brevemente los tipos de discontinuidad que existen. Estudie la continuidad en toda la recta real (Septiembre 2003)
Dada la parábola ( ) cbxaxxf ++= 2 , determine los valores de a, b y c sabiendo que f tiene
un máximo en el punto de abscisa 2
1−=x y la recta tangente a f en el punto ( )3,1 es
63 +−= xy . { }5;1;1 =−=−= cba (Junio 2003)
A) ¿Qué es un punto de inflexión de una función?
B) Halle la condición que debe cumplir λ para que el polinomio 234 xxx λ++ sea cóncavo en algún intervalo. Determine el intervalo de concavidad en función de λ .
{ ;83>λ
λ−+−λ−−−12
2493,
12
2493}
(Junio 2002)
Dada ( )4
222
−+−=
x
xxxF , escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos
( )( )2,2 −− F y ( )( )2,2 F .
¿Existe un punto c en el intervalo [ ]2,2− verificando que la tangente a la gráfica de F en
( )( )cFc, es paralela a la secante que ha hallado? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule c, en caso negativo razone porqué no existe.
{recta secante: ( )26
11 −=+ xy ; sí existe (th del valor medio), ( )2,2324 −∈−=c }
(Septiembre 2000)
A) Puede tener una función polinómica de grado dos un punto de inflexión? Razone la respuesta. {No}
B) Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función
( )x
xxf
ln= .{ ( ) →23,0 e cóncava;( ) →∞,23e convexa; →= 23ex punto de inflexión}
(Junio 1999)
La curva γ+β+α+= xxxy 23 corta al eje OX en 1=x y tiene un punto de inflexión en
( )2,3 . Calcular los puntos de la curva que tengan tangente paralela al eje OX.
{ 16;24;9 −=γ=β−=α ; los puntos son ( ) ( )0,4;4,2 } (Junio 1998)
A) ¿Puede ocurrir que exista el ( )xfxx 0
lim→
y que la función no sea continua en 0x ? Razona
la respuesta.
B) Calcular el límite: ( ) xx
xxe
1
0lim −
→ {Sí; límite=1}
(Junio 1997)
A) Enunciado de la Regla de L’Hopital.
B) Calcular el siguiente límite: ( )
xsen
ex x
x 20
11lim
+−→
{ }21
(Junio 2005)
A) Enunciado de la Regla de L’Hopital. B) Calcule la relación entre a y b para que sea continua en toda la recta real la función
ℜ→ℜ:f definida por:
=
≠−
=
0
02
1
)(
xsib
xsix
e
xf
ax
(Septiembre 2004)
A. Definición de continuidad lateral de una función en un punto. B. Analice la continuidad, en el punto x=0 , de la función f dada por:
≥+
<−
=
01
)cos(
012
)(
2xsi
x
x
xsix
xf
x
(Junio 2002)
A. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) xexxf −⋅+= 1)( en el punto de corte de f(x) con el eje OX.
B. Calcula, para ( ) xexxf −⋅+= 1)( : intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.
C. Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.
(Septiembre 2004)
A. Definición de función continua en un punto. Explique brevemente los tipos de discontinuidades que existen.
B. Estudie la continuidad en toda la recta real de la función f dada por:
≤+
>=
01
0)(
)(
xsix
xsix
xsen
xf
(Septiembre 2006)
A. Calcula los valores de a y b para que la gráfica de x
baxxf +=)( tenga un mínimo
relativo en el punto
4,2
1. Para esos valores de a y b calcula: asíntotas e intervalos de
crecimiento y decrecimiento de f(x).
B. Calcula 1cos2
2
0lim −→ x
ex x
x
(Junio 2007)
A. Dada cbxaxxg ++= 4)( , calcula los valores de a, b, c para que g(x) tenga en el punto (1, -1) un mínimo relativo y la recta tangente a la gráfica de g(x), en x = 0, sea paralela a la recta y = 4x.
B. Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.
C. Dada xxxf 9)( 3 −= , calcula para f(x): puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.
(Septiembre 2007)
A. Calcula 42
0 2lim xx
xsenxex
x +−
→
B. Dada la función g(x)=
−>+−−≤
22
202 xsix
xsi ¿Es g(x) continua en
x= 2− ?¿y derivable en ese punto?
(Junio 2008) A. Definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto
B. Calcula los valores de a y b para que la función
−≥−
−<+=
14
1
)(2 xsixx
xsibax
xf sea
continua y derivable en x = -1. C. Enunciado del teorema de Weierstrass. Si una función f(x) es continua en [a,b] y es
estrictamente decreciente en ese intervalo, ¿dónde alcanza la función el máximo y el mínimo absoluto?
D. Calcula el valor de m para que : ( ) 0cos1
2
2
0lim =+−
→ xsen
xmx
x
(Septiembre 2008)
A. Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.
B. Sea ( )12)( −= xexf x . Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 0.
C. Calcula a, b, c, para que
( )
>++
≤++=
01ln
0
)(2
2
xsixx
xsicbxax
xf sea continua y
derivable en R y tenga un extremo relativo en x = -2. (Nota: ln = logaritmo neperiano)
D. Sea ( ) 20,1)( ≤≤−= xxxxg . Razona si g(x) tiene máximo y mínimo absolutos en el intervalo [0,2}. En caso afirmativo calcúlalos.
(Junio 2009)
A. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los
puntos de inflexión de la función 23 32)( xxxg −= . B. Enuncia e interpreta geométricamente el teorema del valor medio del cálculo
diferencial.
C. Calcula un punto de la gráfica de la función ( )21
)(x
x
e
exg
+= en el que la recta
tangente sea paralela al eje OX; escribe la ecuación de esa recta tangente. Calcula las asíntotas, si las tiene, de g(x).
(Septiembre 2009)
A. Calcula los valores de a y b para que la función
>+
≤+=
01)2(
0
)(
xsixsen
xsibax
xf
sea continua y derivable en x=0.
B. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) xexxf −+= 21)( en el punto de abscisa x=0.
C. Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y
los extremos relativos de la función 1
)(2
2
−=
x
xxf
(Junio 2010)
A. Dibuja la gráfica 1
3)(
2
++=
x
xxxf , estudiando: dominio, puntos de corte con los
ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad.
B. Determina los valores a, b, c, d para que la función dcxbxaxxg +++= 23)( tenga un máximo relativo en el punto (0,4) y un mínimo relativo en el punto (2,0).
(Junio 2010)
A. Calcula: ( )20
cos2lim xsen
xee xx
x
−+ −
→
B. Dibuja la gráfica 2
)(2
−=
x
xxf , estudiando: dominio, puntos de corte con los ejes,
asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad
TEMA 4. PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN Definición. Se llama primitiva de una función f a cualquier función F que tenga por derivada la función f, es decir )()(' xfxF = . Teorema. Todas las primitivas de una función se diferencian en una constante. (Por tanto las primitivas de una misma función tienen gráficas paralelas). Definición. Se llama integral indefinida de una función f al conjunto de todas sus primitivas, y se representa ∫ dxxf )( .
Sea F una cualquiera de las primitivas de f, entonces:
∫ += CxFdxxf )()( (al número real C se le llama constante de integración)
Propiedades lineales. Como consecuencia de las propiedades de derivación: a) ( )∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgf )()()(
b) ∫ ∫= dxxfadxxaf )()( (esta relación permite introducir constantes dentro
del signo de integración o sacarlas fuera, según convenga) Cálculo de integrales inmediatas. Teniendo en cuenta que la integración es el proceso recíproco de la derivación, llega con utilizar la tabla de derivadas para obtener:
Cn
xdxx
nn +
+=
+
∫ 1
1
1−≠n ∫ += Cxxdx sencos
∫ += Cxdxx
ln1
Cxdxxdxx
+=+=∫ ∫ tgtg1cos
1 22
∫ += Cedxe xx ∫ +=−
Cxdxx
arcsen1
12
∫ += Ca
adxa
xx
ln ∫ +=
+Cxdx
xarctg
1
12
Cxxdx +−=∫ cossen
Cálculo de primitivas: Método de integración por partes. Se basa en la derivada del producto de funciones: ( ) )(')()()('')()( xvxuxvxuxvxu ⋅+⋅=⋅ integrando:
∫ ∫∫ ∫ ⋅−⋅=⋅⇒⋅+⋅=⋅ dxxvxuxvxudxxvxudxxvxudxxvxuxvxu )()(')()()(')()(')()()(')()(
Haciendo dxxvdv )('= y dxxudu )('= , se obtiene:
∫ ∫−= vduuvudv
A la hora de aplicar esta fórmula, hay que elegir u y dv en el integrando (lo que exige intuición y entrenamiento), si la nueva integral es más complicada que la de partida hay que cambiar de elección. Ej: ∫ ⋅ xdxx cos
En algunos casos hay que aplicar este método varias veces. Ej: ∫ ⋅ dxex x2
A veces vuelve a aparecer en el segundo miembro la integral de partida, en este caso se despeja. Ej: ∫ ⋅ senxdxex
Método de cambio de variable. Se basa en la regla de la cadena: Se utiliza cuando dentro de la integral aparece la derivada de alguna función que está también dentro de la integral; es decir, cuando la integral tiene una forma como:
( )∫ ⋅ dxxuxuf )(')(
Haciendo el cambio de variable: )(xut = , tenemos que dxxudt )('= , por tanto la
integral quedará: ∫ dttf )(
De esta manera la integral resulta más fácil de resolver. Una vez resuelta hay que deshacer el cambio )(xut = .
Ej: ∫ +dx
x
x
32; ∫ ⋅
+dx
xx 2
1
1
1; xdxxsen cos5 4 ⋅∫
Integración de funciones racionales. Las integrales a resolver son de la forma:
∫ dxxQ
xP
)(
)(, donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Si el grado de P es mayor o igual que el de Q, se hace la división y quedaría:
)(
)()(
)(
)(
xQ
xRxC
xQ
xP += , donde C(x) es el cociente y R(x) es el resto. Por tanto:
∫ ∫ ∫+= dxxQ
xRdxxCdx
xQ
xP
)(
)()(
)(
)(, además ∫ dxxC )( es fácil de integrar pues es la
integral de un polinomio.
Nos queda por integrar ∫ dxxQ
xR
)(
)(, que es una función racional, pero ahora el grado del
numerador es menor que el grado del denominador. La integración de estas funciones depende del tipo de raíces del denominador. Veamos los siguientes casos: El denominador sólo tiene raíces reales sencillas: Si Q(x) tiene n raíces reales sencillas naaa ,...,, 21 , se puede descomponer como:
n
n
n ax
A
ax
A
ax
A
axaxax
xR
xQ
xR
−++
−+
−=
−⋅⋅−⋅−= ...
)(...)()(
)(
)(
)(
2
2
1
1
21
Siendo iA constantes que se hallan haciendo las sumas del último miembro e igualando
el numerador obtenido con el numerador del principio. Para despejar estas constantes lo más rápido es darle valores a las “x” (preferentemente las raíces ia ).
La integral quedará descompuesta de la manera:
∫ ∫ ∫∫ −++
−+
−= dx
ax
Adx
ax
Adx
ax
Adx
xQ
xR
n
n...)(
)(
2
2
1
1
donde cada sumando es fácil de integrar puesto que: ∫ +−=−
CaxAdxax
Aii
i
i ln
Ej: ∫ +−dx
x 45
3; ∫ −+
+dx
xx
x
232
552
El denominador tiene raíces reales, pero algunas múltiples: Si el denominador tiene una raíz múltiple, al descomponerlo ésta da lugar a tantas fracciones como su orden de multiplicidad: Si, por ejemplo, 1x es raíz real simple, 2x es raíz real doble y 3x es raíz real triple.
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
3
62
3
5
3
42
2
3
2
2
1
1 AAAAAA
xx+
xx+
xx+
xx+
xx+
xx=
xQ
xP
−−−−−−
donde los Ai son constantes que hay que determinar.
Ej: ( )∫ −−
dxx 523
7; ∫ +−
+−dx
xxx
xx23
2
2
153
El denominador tiene raíces complejas simples: Si en el denominador aparece un factor cuadrático irreducible (que no tiene raíces
reales), en la descomposición le corresponde una fracción de la formacbxax
NMx
+++
2,
siendo M y N constantes a determinar.
Tenemos que calcular una integral del tipo: dxcbxax
NMx
+++
∫ 2
Esta integral se descompone en dos: una de tipo neperiano y otra de tipo arco tangente. Para la primera integral, se hace que en el numerador aparezca la derivada del denominador manejando las constantes y luego la segunda integral queda de la
forma∫ ++dx
cbxax
K2
. La integración se hace fácilmente utilizando la formación de
cuadrados. El truco que facilita el proceso consiste en multiplicar numerador y denominador por 4a, tal como se hace en la resolución de la ecuación de segundo grado; se evita así operar con números fraccionarios.
Ej: ∫ +++
dxxx
x
32
332
; ∫ +−−
dxx
x
1
12
; ∫ ++
dxx
x
94
122
; ∫ +−+
dxxx
x
532
12
TEMA 4. PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN Calcula las siguientes integrales indefinidas: 1) ( )∫ − dxxx1
2)∫−+
dxx
xx2
23 45
3) ( )∫ +dx
x
x33
2
2
4)∫+
dxx
x21
5)∫ dxxx 2cotg
6) ( )∫ + dxx 2tg1
7)∫ xdxe x 2sen2cos3
8)∫ −dx
xx cotgcosec
1
9)∫ −dx
x
x3
2
1
10) ( )∫ − dxxx 2sencos
11)∫ −
+dx
x
x21
3
12)∫ +dx
x
x
12
2
13)∫ −dx
x291
1
14)∫ + dxx2sen1
15)∫ +−−
dxxx
x
263
12
16)∫ xdxxcossen
17)∫ dxx
e x
2
ln
18)∫ +dx
x24
1
19)∫ −dx
x
x
sen1
cos
20)∫+
dxx
xx
cos
sentg
21)∫ xdxxsen
22)∫ xdxx ln3
23) ( )∫ − dxx1ln
24)∫ xdxx cos2
25)∫+−
dxe
xxx
522
26)∫ dxe
xx
27)∫ dxex x2
28)∫ xdxarctg
29) ( )∫ dxx 2ln
30)∫ dxx
x2
ln
31)∫ xdxarcsen
32)∫ xdxxarctg
33)∫ xdxex sen
34)∫ xdxx arctg2
35)∫ xdx2sen
36)∫ xdx3cos
37)∫ xdxxsencos3
38) ( )∫ +dx
xx arctg1
12
39) dxx
x∫
cos
40) ( )∫ −dx
x
x32
2
1sen
41)∫ dxx
e x
2
cotg
sen
42)∫ +dx
x
x41
5
43)∫ +dx
x24
1
44)∫ +dx
x23
1
45)∫ −dx
x29
1
46)∫ −dx
x22
1
47)∫ −dx
x249
1
48)∫ −dx
x2
1
49)∫ −⋅ dxxx 1
50)∫ dxxx ln
1
51)∫−
dxe
ex
x
2
1
52)∫ +dx
x
x
41
2
53)∫ −dx
x 1
12
54)
∫ −−−−−
dxxxx
xxx
2
23323
24
55)∫ −++
dxxx
x
2
52
56)∫ +−+
dxxx
x
45
12
3
57)∫ +−−
dxxxx
x
44
323
58)∫ ++dx
xx
x
122
2
59) ( )dx
xx∫ −⋅ 21
1
60)∫ +−dx
xx 84
12
61)∫ +
+dx
x
x
12
3
2
1
2
62)∫ −+−dx
xxx
x
123
63)∫ +dx
x 1
13
64) ( ) ( )∫ +−−
dxxx
x
11
4222
65)∫ ++dx
x 11
1
66) ∫ +dx
ex1
1
67)∫ +dx
ex1
1
68)∫+
dxx 1
1
69)∫ −dx
xx 3
1
70)∫+
dxx
x 4
71)∫ ⋅ dxxx 32 cossen
72)∫ dxx5cos
73)∫ dxx2sen
74) dxx∫4cos
75)∫ dxx
x4
2
cos
sen
76)∫ dxx2cotg
77)∫ +dx
x
x
sen1
cos3
78)∫ +dx
xtg1
1
79)tx
dxx
sen
1 2
=
−∫
80)tx
dxx
sen3
3 2
=
−∫
81)
tx
dxx
x
sec
13
2
=
−∫
82)
tx
dxxx
tg1
122
=+∫
83)( )tx
dxx
=∫ln
lnsen
84)tx
dxe xa
=∫arcsen
rcsen
85)tx
dxxx
sen
arcsen
=
⋅∫
86) ∫ −+−+−−
dxxxx
xx
573
623
2
+−−−−−− C
xarctgxxx
2
1
2
352ln1ln 2
87) ∫ +−−
dxxxx
x
32
3223
+−++−+− Cx
arctgxxx2
1
2
232ln
2
1ln 2
88) ∫ +−−+
dxxxx
xx
1222
1123
2
+−++−++− Cx
arctgxxx2
2
2
2764ln2ln 2
89) Hallar la función definida en todo número real que verifica las dos condiciones siguientes: a) ( ) xexxf 2' =
b) Su gráfica pasa por ( )2,0 .
SELECTIVIDAD (Septiembre 1998) Calcular las siguientes integrales:
a. ∫ + 22 x
dx
+ Cx
arctg22
2
b. ∫ xsenxdx { }Csenxxx ++− cos
(Septiembre 2004)
Calcule: ∫ ++−
dxxx
x
1
232
(Junio 2005) A. Explique BREVEMENTE el método de integración de funciones racionales P(x)/Q(x), en el caso de que el polinomio del denominador, Q(x), tenga sólo raíces reales.
B. Calcule: ∫ +−
dxxx
x2)1(
12
(Septiembre 2005)
Calcule. ∫ +++
dxx
xx
3
22
3
(Junio 2008)
Calcule: ∫ +++
dxxx
x
34
52
(Septiembre 2010) Calcule: ( )∫ + dxxx 21ln
SOLUCIONES:
1) Cxx +−
5
2
3
2 53
2) Cx
xx +++ 4
52
2
3) ( ) Cx
++
−23 26
1
4) Cx
x ++5
22
5
5) Cxgsenx ++−= 222 cot1ln4
1ln
2
1
6) Cxtgxxtgtgx +−=++ cosln21ln 2
7) Ce x +− 2cos3
6
1
8) Cx +− cos1ln
9) Cx +−− 313
2
10) Cxx ++ 2cos
11) Carcsenxx ++−− 31 2 12) Carctgxx +−
13) Cxarcsen +33
1
14) Csenxx ++− cos
15) Cxx ++− 263ln6
1 2
16) Cxsen +2
2
1
17) Cx +2
1
18) Cx
arctg +22
1
19) Csenx+−− 1ln
20) Cxx
+− coslncos
1
21) Cxxsenx +− cos
22) Cxxx +− 44
16
1ln
4
1
23) Cxxxx +−−−− 1ln1ln
24) Cxxsenxsenxx ++− cos222 25) Cexe xx +−− −− 52 26) Cexe xx +−− −−
27) Cexexe xxx ++− 222
28) Cxxarctgx ++− 21ln2
1
29) Cxxxxx ++− 2ln2ln2
30) Cxx
x +− 1ln
31) Cxxarcsenx +−+ 21
32) Cxarctgxarctgxx +−+2
1
2
1
2
1 2
33) Csenxexe xx ++−2
1cos
2
1
34) Cxxarctgxx +−++ 223
6
11ln
6
1
3
1
35) Cxxsenx ++−2
1cos
2
1
36) Csenxxsenx ++3
2cos
3
1 2
37) Cx +− 4cos4
1
38) Carctgx +ln
39) Cxsen +2
40) ( ) Cxg +− 31cot3
1
41) Ce gx +− cot
42) Carctgx +2
2
5
43) Cx
arctg +22
1
44) Cx
arctg +33
1
45) Cx
arcsen +3
46) Cx
arcsen +2
47) Cx
arcsen +3
2
2
1
48) Cx +−− 22
49) ( ) ( ) Cxx +−+− 53 15
21
3
2
50) Cx +lnln
51) Cee xx
++− 1
2
12
52) Carctg x
+2ln
2
53) Cxx ++−− 1ln2
11ln
2
1
54) Cxxxx
x +−−+−++ 2ln3
21ln
3
1ln
2
2
55) Cxx +−++− 1ln22ln
56) Cxxx
x +−−−++ 1ln3
24ln
3
65
25
2
57) ( ) Cxxx
+−+−−
2ln4
3ln
4
3
22
1
58) Cx
xx ++
−+−1
11ln2
59) Cx
xx +−
−−−1
11lnln
60) Cx
arctg +
−2
2
2
1
61) Carctgxx +++2
31ln
4
1 2
62) Carctgxxx +++−−2
11ln
4
11ln
2
1 2
63) Cx
arctgxxx +
−++−−+3
12
3
31ln
6
11ln
3
1 2
64) Carctgxxx
x +−+−−
+− 1ln1
11ln2 2
65) Cxx +++−+ 11ln212
66) Cex x ++− 1ln
67) Cee xx +++−−+ 11ln11ln
68) Cxx
+
+−
+
13
14
3
69) Cxxxx +−+++ 1ln6632 666 26 3
70) Cxxx +++−−+++ 24ln224ln242
71) Cxsenxsen +−
53
53
72) Cxsenxsen
senx ++−53
2 53
73) Cxxsen ++−2
12
4
1
74) Cxsenxsenx +++
32
4
4
2
8
3
75) Cxtg +
3
3
76) Cxgx +−− cot
77) Cxsen
senx +−2
2
78) Cxxtgtgx +++−+2
11ln
4
11ln
2
1 2
79) Cxx
arcsenx +−+ 2122
1
80) Cxxx
arcsen +−+ 23232
3
81) Cxxx
+
−−
2
11
11arccos
2
1
82) Cx
x ++−21
83) [ ]
Cxxsenx
+−2
lncosln
84) ( )
Cxxearcsenx
+−+2
1 2
85) Cxx
arcsenxarcsenxx +−+− 2
2
144
1
2
89) ( ) ( )222 +−= xxexf x
TEMA 5. INTEGRAL DEFINIDA Sumas superiores e inferiores de Riemann de una función asociada a una partición. Se llama partición de un intervalo [a,b] a un conjunto ordenado y finito de números reales { }nxxxxP ,...,,, 210= tales que bxxxxa n =<<<<= ...210 .
La partición divide el intervalo [a,b] en n intervalos más pequeños: [ ] [ ] [ ] [ ]nnii xxxxxxxx ,,...,,,...,,,, 112110 −−
Sea f (x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b], vamos a intentar calcular el área comprendida entre la gráfica de esta función y el eje OX , y entre a y b. Por ser f continua en [a,b] también lo es en cada intervalo [ ]ii xx ,1− y por tanto alcanza
un mínimo im y un máximo iM en cada uno de ellos.
a b a b
Se llama suma inferior de Riemann de f asociada a la partición P al número real:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=
−−− ⋅−=⋅−++⋅−++⋅−=n
iiiinnniii mxxmxxmxxmxxPfI
1111101 ......,
Esta suma corresponde al área de los rectángulos inferiores o inscritos a la gráfica de la función; es una aproximación por defecto del área que buscamos. Se llama suma superior de Riemann de f asociada a la partición P al número real:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=
−−− ⋅−=⋅−++⋅−++⋅−=n
iiiinnniii MxxMxxMxxMxxPfS
1111101 ......,
Esta suma corresponde al área de los rectángulos superiores o circunscritos a la gráfica de la función; es una aproximación por exceso del área que buscamos. Si en la partición aumentamos el número de puntos los intervalos se hacen más pequeños, y tanto la suma inferior como superior de Riemann se aproximan más al área buscada. Por tanto:
( ) ( )nn
nn
PfSPfI ,lim,lim∞→∞→
= y este número será el área.
Integral definida. Se llama integral definida de la función f en [a,b] al límite:
( ) ( )nn
nn
b
a
PfSPfIdxxf ,lim,lim)(∞→∞→
==∫
Los números a y b se llaman límites inferior y superior de integración, respectivamente. La función f recibe el nombre de integrando.
Interpretación geométrica de la integral definida. El cálculo de los valores mínimo y máximo de f en cada subintervalo no siempre es fácil, por lo que en la práctica se toma el valor de f en un punto cualquiera de ese subintervalo. a dx b dx representa la longitud de cada subintervalo, cuando el número de ellos, n, tiende a infinito. f(x)dx representa el área de rectángulos en los que dx sería la base y f(x) la altura. Cuando x se “desplaza” de a a b, se van obteniendo esos rectángulos y la integral, se “encarga” de sumar sus áreas. Propiedades de la integral definida.
a) ( )∫ ∫ ∫±=±b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgf )()()(
b) ∫ ∫⋅=⋅b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()(
c) ∫ ∫ ∫+=b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()( , siendo bca <<
d) ∫ =a
a
dxxf 0)(
e) ∫ ∫−=b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. “Si f es una función continua en [a,b], existe al menos un punto c del intervalo [a,b] tal
que ( )∫ ⋅−=b
a
cfabdxxf )()( ”
Interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. El área limitada por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas ax = y bx = es igual al área del rectángulo de base (b-a) y altura f(c), siendo c un determinado punto de [a,b].
f(c) recibe el nombre de altura media o valor medio de f(x) en [a,b].
a c b Teorema Fundamental del Cálculo Integral.
“Sea f continua en [a,b], entonces la función de área ∫=x
a
dttfxF )()( es derivable en
(a,b) y además, ),()()(' baxxfxF ∈∀= ” Regla de Barrow.
“Si f es continua en [a,b] y G es una primitiva de f, entonces:∫ −=b
a
aGbGdxxf )()()( ”
Cálculo de áreas planas limitadas por funciones. 1) Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje X.
a) Si la función f es positiva en [a,b]:
∫=b
a
dxxfA )(
a b
b) Si la función f es negativa en [a,b]:
∫∫ =−=b
a
b
a
dxxfdxxfA )()(
a b c) Si la función f no tiene signo constante en [a,b]:
En este caso es necesario calcular el área de todos los recintos que se forman entre la función y el eje X. Para ello primero se hallan los puntos de corte de la función con el eje X que están entre a y b, en el ejemplo c y d:
R1
R2
f(b) f(c) f(a)
En este ejemplo, llegaría con tomar c de manera que las áreas residuales R1 y R2 fueran iguales .
∫∫∫ ++=b
d
d
c
c
a
dxxfdxxfdxxfA )()()(
a c d b 2) Cálculo de áreas limitadas por dos funciones:
Primero es necesario hallar los puntos de corte entre las dos funciones, por ejemplo a y b:
( )∫∫ ∫ −=−=b
a
b
a
b
a
dxxgfdxxgdxxfA )()()( f
Si no queremos comprobar cuál de las dos funciones va por encima, podemos utilizar el valor absoluto: g
( )∫ −=b
a
dxxgfA )( a b
Si las gráficas se cortan en más de dos puntos, se calcula independientemente el área de cada región. Por ejemplo si se cortan en cuatro puntos a, b ,c y d:
( ) ( ) ( )∫∫∫ −+−+−=d
c
c
b
b
a
dxxgfdxxgfdxxgfA )()()(
f g a b c d
TEMA 6. INTEGRAL DEFINIDA 1) Calcula:
a) ∫ +
4
22 xx
dx
5
6ln b) ∫
e
dxxx1
3 ln
+
16
13 4e
c) ∫+∞
+021 x
dx
π
2
2) Calcula sin deshacer el cambio: ∫− +++
0
1 11 xx
dx. { }4ln
3) Comprueba el teorema del valor medio del cálculo integral, para:
a) ( ) [ ]ππ ,cos21 −+= enxxf
π±
2
b) ( ) ( ) [ ]π,02 enxsenxf =
ππ
4
3
4y
c) [ ] ( ) 13,0: +=→∈ xxfxf
81
115
d) ∫e
dxx1
ln
−1
1
ee
4) ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la función
21)(
x
xxf
+= en el intervalo [0,1]? En caso afirmativo, comprueba su
verificación. { }0'46c ≅ 5) Comprueba la siguiente igualdad y calcula el valor de c.
cxdtt
tx
++=+∫ 3sen2ln
2
1
3sen2
cos
0
{ }3ln−=c
6) Dada ( )1,sen
)(1
≥= ∫ xdtt
txF
x
, calcula )(' πF y )('' πF . ( ) ( )
π−=π=π 1
'';0' FF
7) Sea ∫+−=
x
tdt
e
ttxF
0
2 34)( . Calcula sus extremos relativos e intervalos de
monotonía. {M en 1=x ; m en 3=x ; crec: [ ) ( )∞∪ ,31,0 ; decrec: ( )3,1 }
8) Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función xxxf 4)( 2 +−= y el eje
de abscisas.
3
32
9) Área del recinto limitado por las dos parábolas de ecuaciones xxy 22 −= , e
xxy 42 +−= . { }9
10) Calcula el área limitada por la curva 52 −= xy y la recta 32 += xy . Representa
gráficamente esta área. { }36
11) Área delimitada por las gráficas de las parábolas 2xy = , e xy = .
3
1
12) Calcula el área de la región del semiplano 0≥y limitada por la curva xy ln= , su
tangente en 1=x y la recta 3=x . { }27ln4−
13) Área encerrada entre la curva xey = y la cuerda de la misma que tiene por
extremos los puntos de abscisas 0 y 1.
−
2
3 e
14) Área comprendida entre la gráfica de xxf sen)( = y las tangentes a ésta en los
puntos de abscisas 0 y π.
−π
4
82
15) Calcula el área del recinto limitado por la parábola 22 2 −= xy , el eje de abscisas y la tangente a la parábola paralela a la recta 32 −= xy . Hacer un dibujo del recinto
descrito.
12
1
16) Calcula a y b para que la función x
baxxf8
)( ++= tenga una tangente horizontal
en el punto (-2,-6), y determina el área limitada por la gráfica de )(xf , el eje OX y
las rectas 1=x y 2=x . { }2ln85;2 +=== areaba 17) Utiliza el cálculo integral para obtener la fórmula que expresa el área de un
triángulo en función de una base y su correspondiente altura. (Indicación: supóngase que los vértices del triángulo son los puntos (0,0), (b,0) y (a,h), con a, b y h positivo, y razónese separadamente los casos a=b, a<b y a>b).
18) Comprobar la verificación de la tesis del teorema del valor medio del cálculo
integral para la función 3
1)(
++=
x
xxf en el intervalo [ ]3,2 −− e .
19) Calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función 1
)(2 −
=x
xxf ,
el eje X y la recta 2
1=x .
20) Hallar el área de la región del plano limitada por las rectas 3
1−=x , 3
1=x , el eje X
y la gráfica de la función xexxf 3)( ⋅= . 21) Dada la función xxxf 23)( −⋅= , determinar su campo de definición y las zonas
de crecimiento y decrecimiento. Calcular el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de f y el eje OX.
22) Obtener el área de la región del plano acotada por las rectas 0=x , π=x y las
gráficas de las funciones xexf x sen)( = y xexg −=)( .
SELECTIVIDAD: (Junio 1997)
A. Se sabe que ( )∫ =b
a
dxxf 0. ¿Se puede asegurar que ba = ? Razonar la respuesta.
B. Calcular, utilizando la regla de Barrow, la integral definida ∫−
−3
3
1dxx . { }10
(Junio 1998)
A. Sea f una función continua positiva tal que ( )∫ ≤≤1
0
21 dxxf . ¿Se puede asegurar
que ( ) 1≥xf para todo [ ]1,0∈x ? Razonar la respuesta.
{No, considera la función ( ) xxf2
3
2
1 += como contraejemplo}
B. Calcular la integral: ∫π
π
2
4
cosxdxx
−π−π
2
2
8
2
2
(Junio 1999) Teniendo en cuenta que la función ( ) α+−= 23 32 xxxf toma valores positivos y
negativos. Hallar el valor de α de forma que el área de la región limitada por el eje OX, la recta 1−=x , la recta 2=x y la curva ( ) α+−= 23 32 xxxf quede dividida por el
eje OX en dos partes con igual área.
=α
2
1
(Septiembre 1999) Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las siguientes curvas:
3;;1 2 === xxyxy . Hacer un dibujo del recinto descrito.
{Área= 23ln3
26u− }
(Junio 2000) A. Enunciado de la regla de Barrow.
B. Sea ( ) ∫=x
dtt
xf1
1, y sean +∈ Rba, . Demuestra que ( ) ( ) ( )bfafbaf +=⋅ .
(Septiembre 2000)
A. Si f es una función continua en [ ]ba, , ¿puede ser ( )∫ =b
a
dxxf 0?. Razona la
respuesta con un ejemplo. {ej: ( ) senxxf = ; 02
0
=∫π
dxsenx }
B. Calcula ∫ +3
0
21 dxxx
3
7
(Junio 2001) Sabiendo que ( )xP es un polinomio de tercer grado con un punto de inflexión en ( )0,1
y con ( ) 241''' =P , donde, además, la tangente al polinomio en ese punto es horizontal,
calcula ( )∫1
0
xxP . {-1}
(Junio 2001)
Dadas ( )2
xxxf
−= y ( )
>≤
=0
032 xx
xxxg , calcula ( )( )∫
−
0
1
2 dxxfgx o ( fg o ) denota la
composición de funciones)
−
4
3
(Septiembre 2001) A. Enunciado del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. B. Sean f y g, dos funciones continuas, definidas en el intervalo [ ]ba, , que verifican
que ∫∫ =b
a
b
a
gf . Demuestra que existen [ ]ba,, ∈βα tales que ( ) ( )β=α gf .
(Junio 2002) Dibuja la gráfica de ( ) 42 −= xxf en el intervalo [ ]3,3− y calcula su integral en ese
intervalo.
3
46
(Septiembre 2002) Calcula el número positivo α tal que el valor del área de la región limitada por la recta
α=y y la parábola ( )22−= xy sea 36. { }9=α (Septiembre 2003) Determina el área de la región limitada por la gráfica de la función ( ) 52 ++= xxxf , el
eje OX y las rectas 2
1−=x e 6+= xy .
= 2
12
179uA
(Junio 2004)
Demuestre que la función f dada por ( )2
42 −+
=xx
xf es estrictamente positiva en
[ )+∞,2 y halle el área de la región determinada por la gráfica de f, el eje de abscisas y
las rectas 2=x y 3=x .
(Junio 2005) A. Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del
cálculo integral para funciones continuas.
B. Sea ℜ→ℜ⊂− ]2,2[:f continua en [-2,2] tal que ∫∫ =−
−
2
1
1
2)()( dttfdttf , ¿se
puede asegurar que existen b y c en [-2,2] tales que )()(1,1 cfbfycb =−≥−≤ ?. Justifique la respuesta
(Septiembre 2005)
A. Enunciado e interpretación geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo Integral para funciones continuas.
B. Sea ∫=x
dttsenxF0
2 )()( . Calcule la segunda derivada de la función F (sin
intentar resolver la integral). (Junio 2006)
A. Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo integral.
B. Calcula el valor de m, para que el área del recinto limitado por la recta mxy = y la curva 3xy = , sea 2 unidades cuadradas.
(Septiembre 2006)
A. Definición de primitiva e integral indefinida de una función. Enunciado de la regla de Barrow.
B. Calcula el área del recinto limitado por la recta xy −= 2 ; y la curva 2xy = .
(Septiembre 2006) A. Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Dada la función
dtexFx t
∫−=
0
2
)( , ¿tiene F(x) puntos de inflexión?. Justifica tu respuesta.
B. Calcula el área de la región del plano limitada por el eje OX y la curva xxy 93 −= .
(Septiembre 2007)
A. Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Calcula la ecuación
de la recta tangente a la gráfica de ( )[ ]dttxFx
∫ +=0
2cos2)( , en el punto de
abscisa x = 0. B. Calcula el área de la región del plano limitada por las gráficas de
g(x)=
−>+−−≤
22
202 xsix
xsi y xxh =)(
(Junio 2008) A. Calcula el área del recinto limitado por las parábolas xxy 42 −= ;
xxy 22
1 2 +−=
(Septiembre 2008)
A. Calcula: ( )∫ −1
012 dxxex
B. Definición de primitiva de una función. Enunciado de la regla de Barrow. (Junio 2009)
A. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 23 32)( xxxg −= y la recta xy 2= .
B. Calcula: ( )∫ +
5ln
0 21
dxe
ex
x
; (Nota: ln = logaritmo neperiano)
(Septiembre 2009)
A. Calcula el área del recinto limitado por el eje OX y la parábola xx
y −=4
2
.
B. Enuncia e interpreta geométricamente el teorema del valor medio del cálculo integral.
(Junio 2010)
A. Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. Sabiendo que
( )xxdttfx
+=∫ 1)( 2
0, con f una función continua en todos los puntos de la
recta real, calcula f(2).
B. Calcula ∫ ++2
1 2
1dx
xx
x
C. Dibuja y calcula el área de la región limitada por la recta x+y=7 y la gráfica de la parábola 5)( 2 += xxf . (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad)
(Septiembre 2010)
Enuncia e interpreta geométricamente el teorema fundamental del cálculo integral.
AAAAAAAALLLLLLLLGGGGGGGGEEEEEEEEBBBBBBBBRRRRRRRRAAAAAAAA
TEMA 1. MATRICES Definición y elementos de una matriz.
Cualquier conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas de la forma A= se llama matriz m x n. (o de dimensión m x n)
Ej: A=
−353
042 es una matriz
2 x 3
También se puede denotar A=( )nxmija ; mientras
que ija representa un elemento de la misma.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Tipos de matrices. Matriz fila es aquella que tiene sólo una fila. Ej: A=( )4623
Matriz columna es aquella que sólo tiene una columna. Ej: A=
−
3
2
8
Una matriz se dice que es nula si todos sus elementos son 0. Se representa por O y se llama también matriz cero.
Ej: O=
000
000
Matriz opuesta es la formada por los elementos opuestos.
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se denota por At, a la matriz que se obtiene intercambiando filas por columnas.
Ej: A=
65
43
21
At=
642
531
Una matriz n x n se dice que es una matriz cuadrada de orden n (tiene igual número de filas que de columnas).
Ej: A=
857
031
524
es una matriz de orden 3
En caso contrario, se llama matriz rectangular. En una matriz cuadrada los elementos nnaaa ,...,, 2211 (elementos de la forma iia ) forman
la diagonal principal, y los elementos 12,31,21 ,...,,, nnnn aaaa −− (elementos ija con
1+=+ nji ) forman la diagonal secundaria. Ej: En el ejemplo anterior la diagonal principal es 4, 3, 8; y la diagonal secundaria es 5,3,7.
Dentro de las matrices cuadradas también se pueden distinguir las siguientes: • Matriz diagonal, si 0; =≠∀ ijaji (los elementos no pertenecientes a la diagonal
principal son nulos)
mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
..........
..........................................
..........
..........................................
..........
..........
21
21
222221
111211
Ej: A=
−
400
050
002
• Matriz unidad, o matriz identidad, es una matriz con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se representa con I o Id.
Ej: I=
100
010
001
• Matriz triangular superior, si 0=ija , siempre que ji > (los términos por debajo de
la diagonal principal son nulos).
Ej: A=
900
520
462
• Matriz triangular inferior, si 0=ija , siempre que ji < (los términos por encima de
la diagonal principal son nulos).
Ej: A=
971
035
007
Se llama matriz simétrica a la que coincide con su traspuesta.
Ej: A=
653
542
321
Una matriz es antisimétrica o hemisimétrica si su opuesta coincide con su traspuesta.
Ej: A=
−−−
032
301
210
Suma de matrices. La suma de dos matrices A=( )ija y B=( )ijb de la misma dimensión es otra matriz de esa
dimensión que se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar, A+B= ( )ijij ba +
Ej:
−−=
−+
−−
231
1008
103
615
332
413
Propiedades. a) Asociativa. b) Conmutativa. c) Elemento neutro: la matriz nula. d) Elemento simétrico: la matriz opuesta (la formada por los elementos opuestos) Producto de una matriz por un escalar.
( )( )( )( )
=
⋅=⋅
+=+
=
tt
ttt
ttt
tt
kAkA
ABBA
BABA
AA
El producto de un escalar k∈ℝ por una matriz A=( )ija es otra matriz de la misma
dimensión que A que se obtiene multiplicando sus elementos por k, kA=( )ijak ⋅ .
Ej:
=
⋅
82
64
41
322
Propiedades. a) k(A+B)=kA+kB b) (k+h)A=kA+hA c) k(hA)=(kh)A d) 1 A=A Nota. El conjunto de matrices de la misma dimensión con la suma y el producto por un escalar ( )⋅+,,mxnA es un espacio vectorial sobre ℝ.
Producto de matrices. Dadas dos matrices A y B, sólo se puede hacer el producto AB si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. El producto de la matriz A=( )ija de dimensión m x n por la matriz B=( )ijb de dimensión
n x p es otra matriz C=( )ijc de dimensión m x p, tal que cada elemento ijc se obtiene
multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda:
∑=
=+++=n
kkjiknjinjijiij babababac
12211 ...
Ej:
=
⋅
61310
434
211
023
101
021
3104
1021
Propiedades. a) Asociativa: A(BC)=(AB)C b) Distributiva respecto de la suma: A(B+C)=AB+AC c) Sólo las matrices cuadradas tienen elemento neutro: la matriz unidad. Notas. El producto de matrices NO cumple, en general, la propiedad conmutativa. El producto de matrices sólo es una operación interna con las matrices cuadradas. Potencias de una matriz cuadrada: AAAA
n
n ⋅⋅⋅⋅=
nmnm AAA +=⋅ Propiedades de la traspuesta de una matriz:
(orden cambiado)
⋅=⋅=
⋅=⋅=⋅=
==
−− 11
223
2
1
0
...
)(
nnn AAAAA
asociativaAAAAA
AAA
AA
IA
TEMA 1. MATRICES
1) Dadas las matrices
−=
221
152A ,
−=
312
142B y
=
128
642C . Halla
2/34 CBA +− . 2) Determina dos matrices cuadradas, X e Y, de orden 2 tales que:
−=−
02
122YX y
−=+
50
392 YX
3) Dadas las matrices
−=
204
321A ,
−−−=
110
132
101
B y
−−−=
1240
2102
2301
C , calcula el producto ABC de las dos formas posibles.
4) Dadas
=
10
1 aA y
=
10
1 bB , halla AB. ¿Conmutan A y B cualesquiera que
sean a y b? Da una fórmula para An. 5) Si A y B son matrices cuadradas de la misma dimensión e I es la matriz unidad correspondiente, saca factor común: 22 53 ABBAAB +− .
6) Escribe ejemplos (si no es posible explica por qué) de:
a) Una matriz simétrica de orden 3. b) Una matriz simétrica de dimensión 2 x 3. c) Una matriz antisimétrica de orden 3 no nula. d) Una matriz a la vez simétrica y antisimétrica. e) Una matriz triangular superior de dimensión 3 x 4. f) Una matriz a la vez triangular superior e inferior.
7) Dada la matriz
=
0000
1000
0100
0010
J . Halla las potencias de J hasta obtener la
matriz nula. Sea A una matriz cualquiera de orden 4. Describe el efecto que tiene sobre A la multiplicación JA. ¿Cuántas veces es necesario repetir el proceso para obtener la matriz nula?
8) Determina la matriz X, de modo que BXA =+ 32 , siendo
−−
=32
21A y
−−
=21
01B .
−−
=341
341X
9) Calcula X si ObIaX =+ , siendo
=
10
01I y
=
00
00O .
10) Si
−−
−=
222
301
132
A ,
=3143
1110
2152
B y
−−−
−=
0215
3424
3211
C .
Calcula:
a) CA2
−−−−24683022
1558213
3920870
b) ( )CBA +
−−−−
01806
46923
1910202
c) ( )CBA 32 −
−−
−−
044208
2328834
3730541
11) Dada
−−
=32
11A . Determina todas las matrices X que conmutan con A.
12) Halla las matrices A que verifican
=⋅
200
100
20
10A .
=
100
cbaA
13) Si
−=
314
125
211
A y
−
−=
213
102
312
B . Halla:
a) ( )tBA +
− 521
020
773
b) tt BA +
−−213
101
322
c)( )tAB
−−−
5110
141
19176
d) tt AB
−−−−
5110
141
19176
e)( )tBA
−−−−
−
1174
313
665
f) ( )ttA { }A
15) Dada la matriz
=
b
aA
1
0, ¿cómo deben ser las constantes a y b para que
se verifique la igualdad AA =2 ? { }10;01 ==== ybayba
16) Obtén las matrices que conmutan con
=
10
21A .
a
ba
0
17) Sabiendo que
=
11
01A , calcula 32350 AA + .
=
=
132
01;
1350
01 32350 AA
18) Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que AA =2 , e I es la matriz unidad (n x n), ¿qué matriz es 2B , si IAB −= 2 ?
SELECTIVIDAD (Junio 1999)
Dada una matriz P, ¿existe una matriz Q, tal que el producto QP ⋅ , o bien el producto PQ ⋅ sea una matriz de una sola fila?
A. Calcular la matriz IPPM 232 −−= , siendo I la matriz identidad de orden 2 y
−=
12
31P .
−=
26
98M
(Septiembre 1999) A. Sean P y Q dos matrices cuadradas nn× . Bajo qué condiciones se verifica la
igualdad ( )( ) 22 QPQPQP −=−+ ? B. Comprobar si se verifica la igualdad anterior para las matrices:
−=
12
11P
−=
11
12Q {no}
(Junio 2001) A. Propiedades del producto de matrices (solo enunciarlas)
B. Sean
=000
100
110
M y N = M + I, donde I denota la matriz identidad de
orden n, calcule N2 y M3. ¿Son M o N inversibles?. Razone la respuesta. (Junio 2002)
A. Definición de producto de matrices. B. Dadas tres matrices A, B y C se sabe que CBA ⋅⋅ es una matriz de orden 32× y
que CB ⋅ es una matriz de orden 34× , ¿cuál es el orden de A? Justifícalo. (Junio 2003)
Se consideran dos matrices A y B que verifican
=+
07
23BA y
−=−
01
32BA .
Calcula la matriz 22 BA − . { }219211
213231
(Junio 2004) Demuestra que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. (Septiembre 2004)
a. Exprese la condición que tienen que cumplir dos matrices M y N para que pueda realizarse su suma. Y, si lo que pretendemos es multiplicarlas, ¿qué condición deben cumplir las matrices?
b. Dada las matrices
−=
12
21A y
=
5
5B , halle una matriz X tal que
0=+ BAX .
−−
=1
3X
(Septiembre 2010) a) Pon un ejemplo de matriz simétrica de orden 3 y otro de matriz antisimétrica
de orden 3.
TEMA 2. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada. Es un número que se asocia a cada matriz cuadrada; depende de sus elementos y de la posición que ocupan en ella. Este número resulta de sumar (o restar) todos los productos que pueden obtenerse tomando un factor y sólo uno de cada fila y un factor y sólo uno de cada columna. Determinante de orden 2.
Dada la matriz cuadrada de segundo orden A=
2221
1211
aa
aa se llama determinante de A a:
det(A)=|A|= 211222112221
1211 aaaaaa
aa−=
El determinante de una matriz de orden 2 es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Propiedades. a) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. (Esta propiedad
permite aceptar para las columnas las propiedades que se demuestren para filas y viceversa).
b) Si una matriz tiene una fila (o columna) de ceros, su determinante es cero. c) Si cambiamos las dos filas (o columnas) de una matriz, su determinante cambia
de signo. d) Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales, su determinante es cero. e) Si multiplicamos cada elemento de una fila (o columna) de una matriz por un
número, el determinante de la matriz queda multiplicado por ese número. f) Si una matriz tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es
cero. g) Si una fila (o columna) de una matriz es suma de dos, su determinante puede
descomponerse en la suma de los determinantes que tienen en esa fila (o columna) los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
2221
1211
2221
1211
2221
12121111 ''''
aa
aa
aa
aa
aa
aaaa+=
++
h) Si a una fila (o columna) de una matriz le sumamos otra fila (o columna) multiplicada por un número, el determinante de la matriz no varía.
Determinante de orden 3. Dada una matriz cuadrada de tercer orden A su determinante es:
|A|= 332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−++=
Regla de Sarrus. Para recordar el desarrollo del determinante de orden 3 se puede usar la regla de Sarrus: Los productos con signo positivo están formados por los elementos de la diagonal principal, y los de las dos diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Análogamente se forman los productos con signo negativo pero tomando como referencia la diagonal secundaria.
Definiciones. Si en una matriz cuadrada de orden n suprimimos la fila y la columna del elemento aij se obtiene otra matriz de orden n-1. Al determinante de esta matriz se le llama menor complementario de aij. Lo denotaremos por α ij. Se llama adjunto de aij y se designa por Aij al número ( ) αji +−1 ij.
Ej: En la matriz A=
−
−
5640
2214
7024
11373
el menor complementario de 132 −=a es 198
560
704
1133
32 =−
=α
y su adjunto es A32= ( ) 1981 3223 −=− + α
Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A, y se representa por Adj(A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto correspondiente Aij. Determinante de orden n. El determinante de una matriz de orden n es el número que se obtiene al sumar los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos.
nn
nnnn
n
n
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
1112121111
21
22221
11211
...
...
............
...
...
+++=
Definición. Una fila (o columna) de una matriz se dice que es combinación lineal de otras filas (o columnas) si esa fila (o columna) la podemos obtener como suma de las otras, cada una de ellas multiplicada por un número real. Si alguna fila (o columna) es combinación lineal de otras filas (o columnas), se dice que el conjunto formado por todas ellas es linealmente dependiente. En caso contrario es linealmente independiente. Propiedades. Las propiedades dadas para los determinantes de orden 2, también son válidas para los determinantes de orden n. Además añadiremos: i) Si una fila (o columna) de un determinante es combinación lineal de otras filas
(o columnas), entonces el valor del determinante es cero. (ver propiedades f y g) j) Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces:
det(A·B)=det(A)·det(B) Nota importante. Debido a la propiedad i), para que los vectores (fila o columna) de un determinante sean linealmente independientes, una condición necesaria y suficiente es que el determinante sea distinto de cero.
TEMA 2. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
1) Comprueba el valor de los siguientes determinantes:
12
1111
27810
9410
3210
−=
0
5121
3100
1412
1301
=
−
−
40
2130
2211
0103
1024
=−−
2058
5211
1019
8076
5432
−=
−−−
−
672
100064278
1001694
10432
1111
=
0
12121
11111
20113
14012
11131
=−
−−
( )( )3313
3
3
3
3
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
−+=
xyz
yxzz
yzxy
xxzy
4=+
++
( )( )313
111
111
111
111
−+= aa
a
a
a
a
1860
104321
123013
608642
112413
015430
124312
−=
−
−−
−−
720
600000
1050000
1284000
1296300
1086420
654321
=
( )( )11
011
111
11
011
22 +−−=
−−
−−−−
xxx
x
x
xx
x
2) Halla los “valores propios” de la matriz
=211
422
001
A , es decir, los valores de
x tales que 0=⋅− IxA .
3) Resolver la siguiente ecuación: 0
1
1
1
1
=
−−
−−
xxx
xxx
xxx
xxx
.
4) Enunciar las propiedades de los determinantes que permiten comprobar “sin
hacer el desarrollo” que el determinante de esta matriz es nulo:
+++
pfcfc
pebeb
pdada
.
SELECTIVIDAD
(Junio 2003) Calcula, por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y
justificando los pasos, el determinante:
cba
cba
cba
++
+
2
2
2
. { ( )cba +++24 }
(Junio 2005) Halle todas las matrices ( )ijaA = , cuadradas de orden tres, tales que 03221 == aa y
IAA t 4=+ , siendo I la matriz identidad de orden tres, y tA la matriz traspuesta de A, de las que además se sabe que su determinante vale 10. (Junio 2008)
Dada la matriz
−
−=
011
00
02
m
m
A
Sean F1, F2 y F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada M de orden 3, con det(M) = -2. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas F1 - F2 , 2F1 y F2 + F3.
(Junio 2009)
Sea M una matriz cuadrada de orden 3 con det(M) = -1 y que además verifica 03 =++ IMM , siendo I la matriz unidad de orden 3. Calcula los determinantes de las
matrices: M+I y 3M+3I. (Septiembre 2010)
b) Sea M una matriz simétrica de orden 3, con det(M) = -1. Calcula, razonando la respuesta, el determinante de M+ Mt, siendo Mt la matriz traspuesta de M.
TEMA 3. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES
Definición. Se llama rango de una matriz al número de filas o columnas linealmente independientes. Propiedad. El rango de una matriz es el orden del mayor determinante distinto de cero que se puede formar con las filas y columnas de la matriz. Es decir, es el máximo orden de los menores no nulos. Esto se basa en dos resultados recíprocos:
▹ Si dos vectores fila o columna de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, su determinante es cero.
▹ Si el determinante de una matriz cuadrada es cero, sus filas y columnas son linealmente dependientes.
Ej: Si una matriz 4 x 5 tiene rango 3, significa que existen tres vectores fila o columna linealmente independientes, los correspondientes al menor de orden 3 distinto de cero, y los demás son combinación lineal de ellos.
Cálculo del rango de una matriz. Dada una matriz, se elige en ella un menor no nulo de orden k. Se llama orlar el menor a formar un determinante de orden k+1 añadiendo una fila y una columna al menor, para así buscar el menor no nulo de orden máximo.
Ej: La matriz
−− 3221
4102
1321
puede tener como máximo rango 3, pero
0402
21≠−= pero orlando 0
221
102
321
=−−
0
321
402
121
=−
, por tanto el rango es 2.
También se podía hacer directamente viendo que la segunda fila es suma de las otras dos. Transformaciones elementales Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe. Es fácil comprobar que estas transformaciones no varían el rango usando las propiedades de los determinantes Si se permutan 2 filas ó 2 columnas el rango no varía. Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no cambia. Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no nulo el rango no varía. Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, las filas o columnas que sean proporcionales a otras, sin que el rango de la matriz varíe. Cálculo del rango por el método de Gauss El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0, i>j). Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula.
Una vez aplicado este proceso de triangulación, el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es consecuencia de las propiedades de los determinantes. Definición de matriz inversa de una matriz cuadrada. Dada una matriz cuadrada A llamaremos matriz inversa de A a otra matriz A-1 que cumple: A-1·A=A·A-1=I, siendo I la matriz unidad. Matriz regular (o invertible): Si tiene inversa. Matriz singular (o no invertible): Si no tiene inversa. Teorema. Condición necesaria y suficiente para la existencia de matriz inversa: “Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero.” Demostración: “ ⇒ ” Si la matriz A tiene inversa A-1 entonces A·A-1=I,
por tanto det(A·A-1)=det(I), usando la propiedad j de los determinantes det(A)·det(A-1)=1
y por consiguiente )det(
1)det( 1
AA =− y 0)det( ≠A
“ ⇐ ” Si el determinante de la matriz A es distinto de cero, se puede calcular la matriz inversa como veremos a continuación.
Cálculo de la matriz inversa. “La suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de otra fila (o columna) distinta es nula.” Demostración:
Cojamos la fila i de una matriz cuadrada A y los adjuntos de otra fila j, tenemos que probar que: 0...2211 =+++ jninjiji AaAaAa
Por otro lado, consideremos el determinante donde la fila j ha sido sustituida por la fila i, y desarrollémoslo por los elemento de la fila j:
pero por otro lado sabemos que este determinante es cero pues tiene dos filas iguales,
entonces0...2211 =+++ jninjiji AaAaAa
Multipliquemos una matriz cuadrada A por la traspuesta de su adjunta (lo haremos en el caso de una matriz de orden 3, en cualquier otro orden se hace de forma análoga):
=
⋅
=⋅
332313
322212
312111
333231
232221
131211
)(
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AAdjA t
jninjiji
nnnn
inii
inii
n
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
aaa
jfila
...
...
............
...
............
...
............
...
2211
21
21
21
11211
++=→
++++++++++++++++++
=
333332323131233322322131133312321131
332332223121232322222121132312221121
331332123111231322122111131312121111
AaAaAaAaAaAaAaAaAa
AaAaAaAaAaAaAaAaAa
AaAaAaAaAaAaAaAaAa
==
A
A
A
00
00
00
entonces =⋅⋅ tAAdjA
A )(1
I, por tanto A-1= tAAdjA
)(1 ⋅ .
Análogamente se demuestra que A-1·A=I Propiedades:
1) La matriz inversa, si existe, es única.
2) ( ) AA =−− 11 (involutiva)
3) ( ) 111 −−− ⋅= ABAB (orden cambiado)
TEMA 3. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES 1) Sean P y Q matrices cuadradas de orden n que tienen inversa, ¿tiene inversa
la matriz PQ? Razona la respuesta.
2) Calcula la inversa de la matriz
−−
−=
131
102
211
P .
3) Resuelve la ecuación CBAX =− , siendo:
−=
01
14A ,
−−−
=3154
2031B y
−−−−
=3125
2120C .
4) Si
−−
=x
x
x
A
00
020
202, halla los valores de x para los que A tiene inversa. Halla la
matriz Y de orden 3, que es solución de la ecuación IBAY =+ , siendo A la
matriz anterior para 3=x , I la matriz identidad y
−=
013
002
101
B .
5) Dada
−−−=431
541
430
A , demuestra que OIA =+3 (O es la matriz nula).
Justifica que A es inversible y obtén 1−A . Calcula razonadamente 10A .
6) Resuelve la ecuación matricial CAXB= , siendo
−=
10
01A ,
=
21
11B y
=
00
11C .
7) Resuelve la ecuación matricial CCXABX 2=− , siendo
=10
12
21
A ,
−=
112
113B y
−−=
111
121
011
C .
8) Calcula a y b para que la matriz
ba 03
0101
1312 tenga rango 2.
9) Calcula el rango de la matriz
−−−
−−
312100
134523
224202
101110
112101
.
10) Resuelve DCBXA =+− 32 ,siendo
−=
11
32A ,
=
41
02B ,
=
02
30C y
−=
63
45D .
11) ¿Para qué valores del parámetro k, la siguiente matriz admite inversa?
−=
k
A
23
102
121
12) Siendo A una matriz cuadrada de tercer orden y tA su traspuesta, demostrar que tAA + es una matriz simétrica. Obtener la matriz inversa de ( )tAA+ , donde
=302
010
121
A .
13) Dada la matriz
=
25
13A , construir la matriz IAAY t 23 −= , y resolver la
ecuación
=
10
02AX .
14) ¿Para qué valores del parámetro k tiene inversa la matriz
=21
00
101
k
kA ?
Calcular la inversa para 1=k . 15) Sea A una matriz cuadrada de orden 3 diagonal. a) ¿Qué condiciones deben cumplir los elementos de A para que admita
inversa? b) ¿Y cuáles para que dicha inversa coincida con A? 16) Obtén un vector no nulo ( )cba ,, de manera que las matrices siguientes tengan,
simultáneamente, rango 2:
c
b
a
11
01
11
y
−c
b
a
13
10
02
.
17) Supongamos que c1, c2, c3 y c4 son las cuatro columnas de una matriz cuadrada A, cuyo determinante vale 3. Calcula razonadamente:
a) El determinante de la inversa de A. b) El determinante de la matriz A2 . c) El determinante de una matriz cuyas columnas son: 2c1-c3, c4, 5c3 y c2. SELECTIVIDAD (Junio 2000) Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden nn× , son semejantes si existe
una matriz inversible, P, tal que APPB 1−= , donde 1−P denota la matriz
inversa de P. Determina si son semejantes las matrices
=
10
21A y
−=
10
01B . {no son semejantes}
(Junio 2001) A. Propiedades del producto de matrices (sólo enunciarlas) B. Sean y IMN += , donde I denota la matriz identidad de
orden n, calcula 2N y 3M . Son M o N inversibles? Razone la respuesta.
(Junio 2001) A. Propiedades de los determinantes (sólo enunciarlas)
=000
100
110
M
B. Sean 321 ,, FFF y 4F las filas de una matriz cuadrada P de orden 44× , cuyo
determinante vale 3. Calcule razonadamente el valor del determinante de la inversa de P, el valor del determinante de la matriz Pα , donde α denota un número real no nulo, y el valor del determinante de la matriz cuyas filas son
412 FF − , 3F , 27F y 4F . { 42det;3;3
1 41 −=α=α=− PP }
(Septiembre 2001) Calcula los valores del parámetro α para los que la matriz M no tiene inversa.
Calcula la matriz inversa de M para 2=α , si es posible
α−α
−=
14
30
101
M .
{
−−−
−−==α=α −
218
3212
217
;3;1 1M }
(Septiembre 2002) Halla, si existe, una matriz X que verifique la ecuación: BXBXXB =+−2 ,
siendo
−=
30
12B .
{
=
730
21532X }
(Septiembre 2003)
Demuestra que la matriz
=
21
12A verifica una ecuación del tipo
02 =β+α+ IAA , determinando α y β (I denota la matriz identidad). Utiliza este hecho para calcular la inversa de A.
{ ( )
−−
=−−==β−=α −
3231
31324
3
1;3;4 1 IAA }
(Junio 2004) A. Explique BREVEMENTE (en no más de cinco líneas) como se aplica el
método de Gauss para calcular el rango de una matriz.
B. Determine, utilizando el método de Gauss, el rango de la matriz
−
1111
7723
3101
7012.
(Septiembre 2004) a. Exprese la condición que tienen que cumplir dos matrices M y N para que
pueda realizarse su suma. Y, si lo que pretendemos es multiplicarlas, ¿qué condición deben cumplir las matrices?
b. Dada las matrices
−=
12
21A y
=
5
5B , halle una matriz X tal que
0=+ BAX .
−−
=1
3X
(Septiembre 2005) Resuelva la ecuación matricial: BCXA =+⋅ , siendo
−=
01
14A ,
−−−
=0112
1021B ,
−−
=0301
1210C
(Junio 2006)
−=
010
01
10
m
m
A
Dada la matriz a)Calcula los valores del parámetro m para los que A tiene inversa. b) Para 0=m , calcula 3A y 25A . c) Para 0=m , calcula la matriz X que verifica BAX =⋅ , siendo ( )110 −−=B . (Septiembre 2006) a) Sean A, B y C tres matrices tales que el producto CBA ⋅⋅ es una matriz 23× y
el producto tCA⋅ es una matriz cuadrada, siendo tC la traspuesta de C. Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de A, B y C.
b) Dada
−−
=11
01M , obtén todas las matrices X que conmutan con M, es decir,
verifican XMMX ⋅=⋅ . c) Calcula la matriz Y que verifica IYMYM =⋅+⋅ −1 , siendo M la matriz dada en
b), 1−M la matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden 2. (Junio 2007)
Dada la matriz
=
12
11C , encuentra dos matrices X e Y que verifiquen:
=+
=+−
−
tCYX
CYX1
1
, siendo Ct la matriz traspuesta de C.
(Septiembre 2007)
Dada la matriz
+−=
110
00
00
m
m
m
A
a) Estudia según los valores de M el rango de A b) Para m = -1, calcula la matriz X que verifica IAAX 2=+⋅ , siendo I la
matriz unidad de orden 3. (Junio 2008)
Dada la matriz
−
−=
011
00
02
m
m
A
a) Calcula los valores de m para los que A tiene inversa b) Para m = 1, calcula la matriz X que verifica: 02 =−+⋅ AXAX (Septiembre 2008) a) Estudia según los valores de m, el rango de la matriz
−−
−−=
mm
m
M
2
001
01
b) Para el valor m = 1, resuelve la ecuación matricial ´3AMX = , siendo ( )101=A y A´= matriz traspuesta de A. Para este valor de m, ¿cuánto
valdrá el determinante de la matriz 2M21 ?
(Junio 2009)
Dada la matriz
=
a
aA
01
01 , calcula los rangos de A·A´, siendo A´ la matriz
traspuesta de A. Para el valor a = 1, resuelve la ecuación matricial BXAA =´ ,
siendo
=
3
0B .
(Septiembre 2009) a) Estudia según los valores de m, el rango de la matriz
+=128
22
321
m
mmM
b) Resuelve la ecuación matricial BXA =2 , siendo
−=
−−
=0
1,
12
10BA .
(Junio 2010)
Dada la matriz
−
−=
110
010
011
A
a) Si I es la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que IA λ+ no tiene inversa. Calcula si existe la matriz inversa de IA 2− .
b) Calcula la matriz X tal que XAXA t 2=+ , siendo At la matriz traspuesta de A.
(Septiembre 2010) c) Pon un ejemplo de matriz simétrica de orden 3 y otro de matriz antisimétrica
de orden 3. d) Sea M una matriz simétrica de orden 3, con det(M) = -1. Calcula, razonando
la respuesta, el determinante de M+ Mt, siendo Mt la matriz traspuesta de M. e) Calcula una matriz X simétrica y de rango 1 que verifique
−=
−−⋅
00
22
21
21X
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Definiciones. Se llama ecuación lineal con n incógnitas a una relación del tipo:
bxaxaxa nn =+++ ...2211
donde nxxx ,...,, 21 son las incógnitas; naaa ,...,, 21 los coeficientes y b el término
independiente. Los n números reales ( )nsss ,...,, 21 son una solución de la ecuación si al sustituirlos por
las incógnitas se verifica la ecuación. Se llama sistema de m ecuaciones con n incógnitas a todo sistema de relaciones de la forma:
=+++
=+++=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
............................................
...
...
2211
22222121
11212111
Donde los números reales ija son los coeficientes del sistema; los números reales ib
son los términos independientes; y ix son las incógnitas del sistema.
Los n números reales ( )nsss ,...,, 21 son una solución del sistema si al sustituirlos por las
incógnitas verifican a la vez las m ecuaciones. Sistemas homogéneos. Un sistema se llama homogéneo cuando todos los términos independientes son cero. Un sistema homogéneo siempre es compatible, pues tiene al menos la solución (0,0,...,0) que se llama solución trivial. Sistemas de ecuaciones equivalentes. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces tienen el mismo número de incógnitas, aunque no es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones. A veces, para resolver o estudiar un sistema de ecuaciones conviene encontrar otro sistema equivalente pero más sencillo, para ello se pueden utilizar los criterios de equivalencia: → Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un
número real distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al primero. → Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta
un sistema equivalente. → Si en un sistema de ecuaciones una ecuación es combinación lineal de otras, puede
suprimirse y el sistema resultante es equivalente al dado.
Forma matricial de un sistema. Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas también se puede escribir de forma matricial:
=
⋅
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
Es decir, M·X=B, donde M es la matriz del sistema (de dimensión mxn) y está formada por los coeficientes del sistema, X es la matriz columna formada por las incógnitas y B la matriz columna formada por los términos independientes. Se llama matriz ampliada del sistema (de dimensión mx(n+1)) a la matriz que resulta de añadirle a la matriz del sistema la columna formada por los términos independientes:
M*=
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
...............
...
...
21
222221
111211
Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones. Los sistemas que no tienen ninguna solución se llaman incompatibles. Los sistemas que tienen alguna solución se llaman compatibles, en este caso, pueden ser: → sistema compatible determinado, si la solución es única, → sistema compatible indeterminado, si tiene infinitas soluciones.
TEMA 5. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES. Enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius. “Un sistema de ecuaciones lineales es compatible, si y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes M es igual al rango de la matriz ampliada M*.” Discusión de sistemas de ecuaciones lineales. → Si el sistema es compatible, el rango indica el número de ecuaciones linealmente
independientes, por lo que se puede prescindir de las ecuaciones linealmente dependientes.
→ Si el rango es igual al número de incógnitas, el sistema tiene solución única (compatible determinado).
→ Si el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado), en este caso, alguna o algunas de las incógnitas quedarán en función de las demás.
Resumiendo: ♦ rango(M) = rango(M*) ⇒ sistema compatible
� rango(M) = n ⇒ sistema compatible determinado � rango(M) < n ⇒ sistema compatible indeterminado
♦ rango(M) ≠ rango(M*) ⇒ sistema incompatible En el caso particular de los sistemas homogéneos que ya sabemos que siempre son compatibles, según el teorema de Rouché-Frobenius: → Si rango(M) = n, el sistema es compatible determinado, la solución es la trivial. → Si rango(M) < n, el sistema es compatible indeterminado. Algunos sistemas dependen de uno o más parámetros y habrá que estudiar, según los valores de estos parámetros, si el sistema es o no compatible. (Habrá que discutir el rango de la matriz del sistema según los parámetros). Enunciado de la Regla de Cramer. “En el caso de los sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de incógnitas y que la matriz de coeficientes tiene determinante distinto de cero, se puede obtener cualquier incógnita xi como el determinante de la matriz que se obtiene al cambiar la columna i del determinante de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes, todo ello dividido por el determinante de la matriz de coficientes”. Método de Gauss o eliminación. Se llama sistema triangular a un sistema de la forma:
=++
=++++=+++++
mnmnmmm
nnmm
nnmm
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
...
............................................
......
......
222222
111212111
Los sistemas triangulares tienen la ventaja de que son más fáciles de resolver.
En un sistema el rango de la matriz de coeficientes siempre es menor o igual que n, por lo que si el número de ecuaciones es mayor que el rango de M podemos eliminar las que son combinación lineal de otras para obtener un sistema equivalente que tiene como mucho tantas ecuaciones como incógnitas. El método de Gauss consiste en transformar el sistema de ecuaciones en otro equivalente que sea de forma triangular. Pasos: a) Eliminamos las ecuaciones que veamos que son proporcionales a otra. b) Intercambiamos las ecuaciones y las incógnitas de forma que quede primero la más sencilla y, a poder ser, que tenga un coeficiente que sea divisor de los demás. c) Por transformaciones sucesivas columna a columna, empezando por la primera, conseguimos ceros en el triángulo inferior; operando por filas. d) Si nos quedan más incógnitas que ecuaciones, pasamos las incógnitas sobrantes al 2º miembro. e) Despejamos la incógnita de la última ecuación y volvemos hacia arriba sustituyendo y despejando.
Ejemplo:
=+−−−=−+−=−+
937
9723
843
zyx
zyx
zyx
Escribo la incógnita y de primera:
=+−−−=−+
−=−+
973
9732
843
zxy
zxy
zxy
trabajo
con la matriz ampliada:
−−−−−−
9173
9732
8431
opero
por”filas”:
13'
3
12'
2
3
2
FFF
FFF
+=
−=obtengo:
−−−
−−
151120
7130
8431
23'
3 23 FFF +=
obtengo
−−−
−−
313100
7130
8431
pasando a sistema:
==+
−=−+
-3131z-
7z3x-
843 zxy
lo
resolvemos empezando por la última ecuación y hacia arriba sustituyendo:
281.4)2(3
2713
1
=⇒−=−−+−=⇒=+−=
yy
xx
z
Discusión:
Sea un sistema de m ecuaciones y n incógnitas. Después de reducirlo a forma triangular: a) Se obtiene alguna ecuación de forma: 0=c , con c distinto de cero, el sistema es incompatible. b) En otro caso es compatible. Si r es el número de ecuaciones no triviales (distintas de 00 = ) b1) Si nr = , solución única (S.C.D.) b2) Si nr < , soluciones infinitas (S.C.I.)
Ejemplo:
a)
=+−=−+
=+−
15
32
1432
zx
zyx
zyx
−−−
−→−=
−−−−
−→
−=−=
−−−
7000
31750
14321
2
6914100
31750
14321
5
2
1105
3112
14321
23'
313
'3
12'
2 FFFFFF
FFF
pasando a sistema:
−=−=−
=+−
70
3175
1432
zy
zyx
Entonces sistema incompatible.
b1) Ejemplo caso anterior 3 ecuaciones y 3 incógnitas.
b2)
=+−=−+
=+−
85
32
1432
zx
zyx
zyx
−−−
→−=
−−−−
−→
−=−=
−−−
0000
31750
14321
2
6214100
31750
14321
5
2
8105
3112
14321
23'
313
'3
12'
2 FFFFFF
FFF
pasando a sistema:
=−=−
=+−
00
3175
1432
zy
zyx
Entonces como tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas,
S.C.I., pasamos una incógnita (que sobra a parámetro). Hacemos α=z y queda:
+−=−=−
αα7315
3142
y
yxresolvemos igual que antes:
5
731 α+−=y sustituyendo en la primera: 5
8 α−=x ; solución del sistema:
+−− ααα,
5
731,
5
8 .
Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro. Se explicará en clase.
TEMA 4-5. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1) Clasifica por el teorema de Rouché-Frobenius :
A.
=+−=+
0
22
yx
yx { }... DCS B.
=+−=−+
=+−
1223
03
1352
zyx
zyx
zyx
{ }... ICS C.
=−+=+−
=++=++
32
14
2223
232
zyx
zyx
zyx
zyx
{ }..IS
2) Comprueba que los siguientes sistemas son compatibles determinados y revuélvelos por la Regla de Cramer:
A.
=−+=++=++
423
21554
18642
zyx
zyx
zyx
( ){ }3,2,4− B.
−=+−=−+
−=−+
7425
5643
1732
zyx
zyx
zyx
( ){ }2,5,1−
C.
−=−=−+
=+
12
83
1
yx
zyx
zy
( ){ }1,2,3 −
3) Clasifica según sus soluciones, utilizando el método de Gauss, los sistemas
siguientes. Resuelve los casos de compatibilidad.
A.
−=+−=++
=++
132
1
323
zyx
zyx
zyx
−→3
1,
3
2,
3
2... DCS B.
=−+=+−
1
122
zyx
zyx ( ){ }yyICS ,,1... →
C.
−=−+=−+=−+
=−+−=−+
1575
4444
3333
1
4242
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
( ){ }zzICS ,3,4... −+→ D.
=+=++=++
=+
7
112
22
5
zy
zyx
zyx
yx
{ }..IS
E.
−=−+−=+−=+−
164102
825
1723
zyx
zyx
zyx
−−−−→ zzz
ICS ,13
23,
13
1131...
4) Discute, según los valores del parámetro:
=−+=+
=−
14
23
1
azyx
zay
zx
⇒=⇒=⇒≠≠
..1
..3
...1;3
ISa
ISa
DCSaa
5) Discute, según el parámetro, y resuelve cuando sea posible:
A.
( )( )
( )
+=++++=+++
=+++
211
11
11
azayx
azyax
zyxa
( )
( )
⇒−=−−⇒⇒=
++
++−
⇒⇒−≠≠
..3
,,1...03
2,
3
3,
3...3;0
ISa
zyzyICSaa
aa
aa
aDCSaa
B.
=++=++−
=+−
aazyx
zayx
aazayx
1 ( )
( )
+−−⇒⇒−=⇒⇒−≠
zyzyICSa
DCSa
,,1...1
1,0,0...1
SELECTIVIDAD (Junio 1997) Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro α . Resolver, si es posible, para 10=α .
=+−=+−=−+
αzyx
zyx
zyx
255
32
12
⇒≠α
−+→⇒=α
..10
,5
53,
5
5...10
IS
zzz
ICS
(Junio 1998)
A. En un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas se conocen tres soluciones. ¿Existen más soluciones? ¿Qué valores puede tomar el rango de la matriz asociada al sistema y el de la matriz ampliada?
B. Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro α . Y, si es posible, resolverlo para 0=α .
( )
=−+α+α=++
133
32
zyx
zyx
+−⇒=α
⇒α∀
zzz
ICS
,3
31,
3
970
...
(Septiembre 1998) Hallar α para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga soluciones distintas de la trivial. Resolverlo e interpretarlo geométricamente.
=−=+−
=−
023
0
02
zy
zyx
yx
α
⇒⇒=α
2
3,,
2...2
yy
yICS
(Junio 1999)
A. El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es uno, ¿qué rango puede tener la matriz ampliada? En base a eso, ¿cuántas soluciones tiene el sistema?
B. Discutir el siguiente sistema según los valores de α e interpretarlo geométricamente,
−=−=−
12
1
ααα
yx
yx
→⇒±≠α→⇒=α→⇒−=α
puntoun en cortan se que rectas dos...1
escoincident rectas dos...1
paralelas rectas dos..1
DCS
ICS
IS
(Septiembre 1999) A. ¿Puede ocurrir que un sistema de ecuaciones lineal homogéneo no tenga solución? Y, ¿puede ocurrir que tenga infinitas soluciones? Razonar las respuestas.
B. Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro α :
=++=+−−
=−+
0643
024
033
zyx
zyx
zyx
α
⇒≠α
⇒=α
...3
46
...3
46
DCS
ICS
(Junio 2000) Discuta, según los valores de α , el siguiente sistema de ecuaciones lineales e interprételo geométricamente:
=α+=+α=+−
42
42
0
zy
zy
zyx
⇒±≠α⇒=α⇒−=α
...2
...2
..2
DCS
ICS
IS
(Septiembre 2000) A. Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas, ¿puede ser
compatible y determinado? En caso afirmativo ponga un ejemplo. B. Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α , el siguiente sistema:
22
1
=++=++
zyx
zyx
αα
( )
( )
+−⇒=α
−α−α
−α−α+α−
⇒≠α
⇒α∀
0,,12
,2
2,
2
212
...2
yy
zzzz
ICS
(Septiembre 2001) Calcule α para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor de α y dé una interpretación geométrica del sistema de ecuaciones y de su solución.
0
02
02
=−−=−+=−+
zyx
zyx
zyx
α ( ){ }zz ,0,2⇒=α
(Junio 2002)
A. Enunciado del Teorema de Rouché- Frobenius.
B. ¿Es compatible determinado el sistema de ecuaciones
=+−=+=+
342
125
233
zyx
yx
zx
?
Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifique si tiene una, ninguna o más de una solución ese sistema.{Sí es S.C.D. porque rango (M) =rango (M*)=3 sólo tiene una solución}
(Septiembre 2002) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de α y revuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado.
1
2
1
=α++α=++α
−α=++
zyx
zyx
zyx
( )
+−⇒⇒=α⇒=α
⇒≠α≠α
0,,1...2
..1
...2;1
yyICS
IS
DCS
(Septiembre 2003) Discuta e interprete geométricamente, según el parámetro a el sistema de ecuaciones:
azzy
ayzyx
axyx
=+=++=−
34
25
3
⇒=⇒=⇒=
⇒⇒≠≠≠
...4
...3
...0
trivialsol...4;3;0
ICSa
ICSa
ICSa
DCSaaa
(Junio 2004)
Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, si al doble del primero le restamos seis resulta la suma del segundo y el tercero y, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho.
(Septiembre 2004) 1.A. Enunciado de la regla de Cramer
B. Determine los coeficientes del polinomio de grado dos tal que su gráfica pasa por los puntos (0,5), (1,7) y (-1,5). ¿Puede haber otro polinomio de segundo grado, que pase por esos tres puntos?. Razone la respuesta.
(Junio 2005)
Discuta e interprete geométricamente , según los diferentes valores del parámetro m, el siguiente sistema:
423
2224
1
−=+−−=+−
−=−+−
mzyx
mzyx
zyx
(Septiembre 2004) Discute y resuelve según los valores del parámetro α, el siguiente sistema de ecuaciones. Interprételo geométricamente en cada caso:
035
03
032
=−+=−−=+−
zyx
zyx
zyx
α
(Junio 2006)
Discute e interpreta geométricamente, según los valores del parámetro m, el sistema:
0
2
02
=+−=+−=+−
zymx
mzyx
zyx
Resuélvelo, si es posible, para los casos m = 0 y m = 2.
(Septiembre 2006) a. Si en un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, el rango de
la matriz de los coeficientes es 3 ¿podemos afirmar que el sistema es compatible?. Razona la respuesta.
b. Discute , según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales::
mymx
zx
mzy
=−=+=+0
0
c. Resuelve el sistema anterior para m=0
(Junio 2007) Discute , según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales::
02
1
0
=++=−−=++
zyx
zmyx
zymx
Resuélvelo, si es posible, para el caso m = 2.
(Septiembre 2007) Discute , según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales::
mmzmy
mmzmyx
mzmyx
4
1
=+=++=++
Resuélvelo, si es posible, para el caso m = 1.
(Junio 2008)
Discute , según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales::
123
22
32
=++=+−=++
zyx
zyx
mzyx
Resuélvelo, si es posible, para el caso m = -1.
(Septiembre 2008) Discute , según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales::
323
1
33
=++=−+=−−
zymx
zyx
mzyx
Resuélvelo, si es posible, para el caso m = 0.
(Junio 2009) Resuelve , si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones lineales::
222
5
=−+=−+zyx
zyx
Calcula el valor de m para que al añadir al sistema anterior la ecuación: mzyx =−+ 2
resulte un sistema compatible indeterminado.
(Septiembre 2009) Discute , según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales::
mzyx
zyx
zyx
=+−=−−=+−
42
02
0
Resuélvelo, si es posible, para el caso m = 0.
(Junio 2010) Discute , según los valores del parámetro a, el sistema de ecuaciones lineales::
azyx
zyx
azyax
=+−=++
=++
22
0
22
Resuélvelo, si es posible, para el caso a = 0.
(Septiembre 2010) Discute , según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales::
mzyx
zyx
zymx
=+−=++
=−+0
02
Resuélvelo, si es posible, en los casos m = 0 y m = -1.
GGGGGGGGEEEEEEEEOOOOOOOOMMMMMMMMEEEEEEEETTTTTTTTRRRRRRRRÍÍÍÍÍÍÍÍAAAAAAAA
EL ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL TEMA 1. POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS. Vectores en el espacio
Dados dos puntos A y B del espacio, diremos que →
AB es un vector fijo de origen A y extremo B:
• La dirección es la de la recta que pasa por A y B.
• El módulo es la longitud del segmento AB. Se representa por →
AB .
• El sentido del vector fijo es el que se define sobre la recta determinada por A y B cuando nos trasladamos de A a B.
Dos vectores fijos son equipolentes si tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Se llama vector libre al conjunto de vectores fijos equipolentes a uno dado. Operaciones con vectores libres. Suma de vectores libres: vu
rr + , es el vector libre obtenido así: - Tomamos representantes de u
r y de v
r de modo que el origen de v
r coincida con
el extremo de ur
. El vector suma tiene como origen el de ur
y como extremo el de v
r.
Producto por un escalar: ukr
, es el vector libre que tiene la misma dirección que ur
, el módulo de u
r multiplicado por el valor absoluto de k y el mismo sentido que u
r, si k es
positivo, y el opuesto, si k es negativo. Dependencia e independencia lineal de vectores. Dado un conjunto de vectores, diremos que son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario, diremos que son linealmente dependientes. -Dos vectores son dependientes si tienen la misma dirección, y son independientes en caso contrario. -Tres vectores son dependientes si son coplanarios, e independientes en caso contrario. -Más de tres vectores en E3 son siempre linealmente dependientes. El espacio afín E3. Para que a cada punto del espacio se le pueda asignar, sin ambigüedad, unas coordenadas, es necesario adoptar un buen sistema de referencia: Tomamos un punto fijo O (origen de coordenadas). Cualquier punto P del espacio
determina con O un único vector →→
= OPx , que llamaremos vector de posición del punto P.
Para designar vectores se necesita una base de vectores
→→→
321 ,, eee , así se puede escribir
de forma única →→→→→
⋅+⋅+⋅== 332211 exexexOPx , por tanto las coordenadas del vector →x son ( )321 ,, xxx , o también se pueden considerar como coordenadas del punto P.
Por tanto O con la base de vectores forma un sistema de referencia.
A partir de ahora utilizaremos una base de vectores ortonormal (vectores de longitud
unidad y perpendiculares entre si)
→→→
kji ,, .
Ecuaciones de la recta. Una recta r del espacio queda determinada por un punto P=( )000 ,, zyx de dicha recta y
un vector con su dirección ( )321 ,, uuuu =→
, que se llama vector director de la recta.
Para hallar cualquier punto X de la recta, podemos escribir: →→→
⋅λ+= uOPOX , que se llama ecuación vectorial de la recta. O también ( ) ( ) ( )321000 ,,,,,, uuuzyxzyx ⋅λ+=
Igualando cada coordenada, obtenemos:
⋅λ+=⋅λ+=⋅λ+=
30
20
10
uzz
uyy
uxx
que se llaman ecuaciones paramétricas de la recta.
Despejando el parámetro k, se obtiene:
3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx −=
−=
− que son las ecuaciones continuas de la recta.
(Estas ecuaciones tienen sentido aunque los denominadores sean cero) Multiplicando estas ecuaciones en cruz, tendremos:
( ) ( )( ) ( )
⋅−=⋅−⋅−=⋅−
1030
1020
uzzuxx
uyyuxx que son las ecuaciones ímplicitas o reducidas de la
recta. (Veremos que cada una de ellas representa un plano, y por tanto, la recta se escribe como la intersección de dos planos) Ecuaciones del plano. Un plano π en el espacio queda determinado por un punto P=( )000 ,, zyx y dos vectores
( )321 ,, vvvv =→
y ( )321 ,, wwww =→
no nulos y con distinta dirección (linealmente
independientes), que se llaman vectores direccionales. Para hallar cualquier punto X del plano se puede escribir:
→→→→⋅µ+⋅λ+= wvOPOX , que se llama ecuación vectorial del plano.
O también: ( ) ( ) ( ) ( )321321000 ,,,,,,,, wwwvvvzyxzyx ⋅µ+⋅λ+=
Igualando cada coordenada, obtenemos:
⋅µ+⋅λ+=⋅µ+⋅λ+=⋅µ+⋅λ+=
330
220
110
wvzz
wvyy
wvxx
que son las ecuaciones paramétricas del plano.
Por otra parte, el vector →
PX tiene que ser combinación lineal de los vectores →v y
→w ; al
ser estos tres vectores dependientes se tiene que:
0
321
321
000
=−−−
www
vvv
zzyyxx
Desarrollando el determinante, obtenemos una expresión de la forma: 0=+++ DCzByAx , que es la ecuación implícita o general del plano.
Posiciones relativas de dos planos. Dos planos pueden ser secantes, paralelos o coincidentes. Si los planos tienen ecuaciones 0: =+++ DCzByAxπ y 0'''':' =+++ DzCyBxAπ ,
habrá que estudiar el sistema formado por ambas ecuaciones:
−−
'''' D
D
CBA
CBA
⇒ Si rango(M)=rango(M*)=2, (los coeficientes no son proporcionales), el sistema es compatible indeterminado, al ser tres incógnitas, dos de ellas dependerán de la tercera, es decir al resolverlo aparecerá un parámetro, la solución será una recta; los planos son secantes.
⇒ Si rango(M)=1 y rango(M*)=2, (los coeficientes son proporcionales pero el término independiente no), el sistema es incompatible, no tiene solución, los planos no se cortan, por tanto son paralelos.
⇒ Si rango(M)=rango(M*)=1, (los coeficientes y el término independiente son proporcionales), el sistema es compatible indeterminado, como sobra una de las ecuaciones, una de las incógnitas quedará en función de las otras dos, por tanto las soluciones vendrán dadas por dos parámetros, la intersección es un plano, por tanto los planos son coincidentes.
RANGO(M) RANGO(M*) POSICIÓN 2 2 secantes 1 2 paralelos 1 1 coincidentes
Posiciones relativas de tres planos. En el caso de tres planos el sistema a estudiar tiene la siguiente matriz
ampliada:
−−−
''
'
''''''
'''
D
D
D
CBA
CBA
CBA
⇒ Si rango(M)=rango(M*)=3, el sistema es compatible determinado, tiene solución única, por tanto los tres planos se cortan en un punto.
⇒ Si rango(M)=2, rango(M*)=3, el sistema es incompatible, los tres planos no tienen ningún punto común. Como rango(M)=2, al menos dos planos se cortan en una recta. (Puede ocurrir que los tres planos se corten dos a dos en rectas paralelas o que dos de ellos sean paralelos y el otro plano corte a ambos).
⇒ Si rango(M)=rango(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado, como hay tres incógnitas, dos de ellas dependerán de la tercera, por tanto al haber un solo parámetro la solución es una recta, los tres planos se cortan en una recta. (Puede ocurrir que los planos sean distintos y se corten en una recta o que dos de ellos coincidan y el otro los corte en una recta).
⇒ Si rango(M)=1, rango(M*)=2, el sistema es incompatible. Como rango(M)=1 los tres planos son paralelos.(Puede que coincidan dos de ellos).
⇒ Si rango(M)=rango(M*)=1, el sistema es compatible indeterminado. Como sobran dos de las ecuaciones y hay tres incógnitas, una de estas incógnitas depende de las
otras dos, es decir, las soluciones vienen dadas con dos parámetros, por lo tanto, las soluciones forman un plano: los tres planos son coincidentes.
RANGO(M) RANGO(M*) POSICIÓN 3 3 secantes en un punto
2 3 a) secantes dos a dos b) dos planos paralelos cortados por el otro
2 2 a) planos secantes en una recta distintos b) dos coincidentes y uno secante
1 2 a) planos paralelos distintos b) paralelos y dos coincidentes
1 1 coincidentes Posiciones relativas de una recta y un plano. Puede ocurrir que se corten en un punto, que la recta esté contenida en el plano o que la recta sea paralela al plano. Si el plano viene dado por la ecuación 0: =+++ DCzByAxπ y la recta por
=+++=+++
0''''''''
0'''':
DzCyBxA
DzCyBxAr
La matriz ampliada a estudiar será:
−−−
''
'
''''''
'''
D
D
D
CBA
CBA
CBA
Hay que tener en cuenta que el rango mínimo de M es 2, ya que los planos que determinan la recta son secantes. Por tanto, los casos posibles son: ⇒ Si rango(M)=rango(M*)=3, el sistema es compatible determinado, la solución es un
único punto, plano y recta se cortan en un punto, son secantes. ⇒ Si rango(M)=2, rango(M*)=3, el sistema es incompatible, al no tener solución la
recta y el plano son paralelos. ⇒ Si rango(M)=rango(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado, como la
solución viene dada con un parámetro es una recta, por tanto la recta está contenida en el plano.
RANGO(M) RANGO(M*) POSICIÓN
3 3 recta y plano secantes 2 3 recta y plano paralelos 2 2 recta contenida en el plano
Nota: Si la recta viene dada por ecuaciones paramétricas es más sencillo sustituir estas ecuaciones en la implícita del plano, quedará como única incógnita el parámetro:
0)()()( 302010 =+⋅++⋅++⋅+ DukzCukyBukxA
Si esta ecuación tiene una única solución la recta y el plano son secantes. Si no tiene solución son paralelos. Y si tiene infinitas soluciones la recta está contenida en el plano. Posiciones relativas de dos rectas. Dos rectas pueden ser secantes, paralelas, cruzadas o coincidentes. Si las rectas son:
=+++=+++
0''''
0:
DzCyBxA
DCzByAxr
=+++=+++
0''''''''''''
0'''''''':
DzCyBxA
DzCyBxAs
El sistema a estudiar tendrá la siguiente matriz de coeficientes y
ampliada:
−−−−
'''
''
'
'''''''''
''''''
'''
D
D
D
D
CBA
CBA
CBA
CBA
Hay que tener en cuenta que como mínimo rango(M)=2, pues las dos primeras (o las dos últimas) ecuaciones forman una recta y son independientes. ⇒ Si rango(M)=3, rango(M*)=4, el sistema es incompatible, no tiene solución, además
las rectas no pueden ser paralelas porque sería rango(M)=2, por tanto las rectas son cruzadas.
⇒ Si rango(M)=rango(M*)=3, el sistema es compatible determinado, al tener una única solución, las rectas se cortan en un punto.
⇒ Si rango(M)=2, rango(M*)=3, el sistema es incompatible, como rango(M)=2 las rectas tienen la misma dirección, por tanto son paralelas.
⇒ Si rango(M)=rango(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado, las soluciones vienen dadas por un parámetro, es una recta, las rectas son coincidentes.
RANGO(M) RANGO(M*) POSICIÓN 3 4 se cruzan 3 3 se cortan 2 3 son paralelas 2 2 son coincidentes
Nota: Si las rectas vienen dadas por las ecuaciones paramétricas, podemos encontrar un vector director de cada una fácilmente. ⇒ Si los vectores son proporcionales, las rectas tienen que ser paralelas o coincidentes.
Para saber cúal de estos casos es, cogemos cualquier punto de una de ellas y vemos si pertenece a la otra, en caso afirmativo son coincidentes y en caso contrario son paralelas.
⇒ Si los vectores no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan. Para saber de qué caso se trata, habrá que ver si el siguiente sistema tiene o no solución:
⋅µ+=⋅λ+⋅µ+=⋅λ+⋅µ+=⋅λ+
3030
2020
1010
'
'
'
vzuz
vyuy
vxux
Si tiene solución las rectas se cortan, si no la tiene las rectas se cruzan.
TEMA 1. EL ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL. POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS.
1) Calcula las coordenadas del punto medio del segmento AB, siendo ( )3,4,3 −=A y
( )4,0,1=B .
2) Dados los vectores del espacio ( )3,2,1=ur
y ( )6,5,4=vr
, determina el módulo de los
vectores vurr + y vu
rr − . 3) Halla todas las posibles ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(3,-1,0) y
B(5,4,7). 4) Halla unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(0,1,2) y B(1,2,-1).
Decide si P(-2,-1,8) y Q(1,1,-3) pertenecen a esa recta. 5) Expresa en paramétricas la recta:
=++−=++−02
0422
zyx
zyx
6) Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1,-1,2) y es paralela a la recta:
=−=−+1
02
yx
zyx
7) Halla todas las posibles ecuaciones del plano determinado por los puntos A(1,3,4), B(2,7,1) y C(3,1,7).
8) ¿Qué ocurre si intentas obtener el plano determinado por A(2,1,4), B(3,2,6) y C(4,3,8)?
9) Halla la ecuación (implícita) del plano que contiene al punto P(-3,2,1) y a la recta ( )ttt −−+ 3,21,1
10) Halla las ecuaciones continuas de la recta que está contenida en los planos: 01:1 =−+− zyxπ y 012:2 =−+ zxπ
11) Halla las ecuaciones reducidas de la recta que pasa por A(1,0,-1) y es paralela a los planos: 022:1 =−−+ zyxπ y 0:2 =−+ zyxπ
12) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P(3,1,-2) y a la recta:
0
1
3
1
2
4 +=−=−+ zyx
13) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas:
1
1
3
3
2
2
−+=
−+=− zyx
y 1
4
3
1
2
4 +=−=−+ zyx
14) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta zyx == y es paralela a:
21
1
2
3 zyx =+=−
15) Estudia la posición relativa de los siguientes planos y en los casos posibles su intersección:
a) 45: −=−+ zyxα 123: =+− zyxβ b) 45: −=−+ zyxα 11533: =+−− zyxβ c) 45: −=−+ zyxα 121533: =+−− zyxβ d) 023: =++ zyxα 02: =+− zyxβ 0354: =−− zyxδ e) 0: =+− zyxα 1223: =−+ zyxβ 15: =xδ f) 07532: =+−+ zyxα ; 01323: =−++ zyxβ ; 013787: =+−+ zyxδ
16) Determina el valor de k para que los siguientes planos se corten a lo largo de una recta:
2: =++ zyxα 332: =++ zyxβ 11410: =++ zykxδ 17) Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los valores de a:
1: =++ zyaxα 1: =++ zayxβ 1: =++ azyxδ 18) Discute la posición de los siguientes planos según los valores de a:
( ) 0123: =−−+− azayxα 01352: =−+− zyxβ ( ) 013: =−−+ zayxδ
19) Halla el punto de intersección del plano 051123: =−−+ zyxα y la
recta: ( )tttr ,13,2: +
20) Halla el valor de k para que las rectas
=−=+
3
2:
zy
yxr y
=−=−
22
3:
zy
kzys se corten.
Halla el punto de corte. 21) Estudia la posición relativa del plano determinado por los puntos A(1,3,2),
B(2,0,1) y C(1,4,3), y la recta:
=+=−=
tz
ty
tx
2
2
13
{se cortan en un punto}
22) Determina m y n para que los siguientes planos sean paralelos: 0946: =++− zmyxα 039: =−+− nnzyxβ { }6;2 == nm
23) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y si tienen algún punto común hállalo:
a)
+=−=
=
tz
ty
tx
r
31
2: y
+=−=+=
sz
sy
sx
s
67
2
22
: ( )
+− ttt 31,2,
coinciden
b) zyxr −=−=:
+==
2
2:
xy
xs {se cruzan}
c)
−=−=
zy
zxr
32
1:
−==−
34
54:
zy
zxs {se cruzan}
d)2
121:
−=−=− zyxr
2
1
1
3
2
3:
+=−−=
−− zyx
s {se cortan ( )1,2,1 }
24) Estudiar las posiciones relativas del plano 1=−+ zayx y de la recta
−=−−=−+
1
22
azyx
azyx según los valores del parámetro a. { 2;1 ≠−≠ aa se cortan; 1−=a paralelos;
2=a recta contenida en plano} 25) ¿Cuál es la posición relativa de estos tres planos? Justifica la respuesta.
=−+=−+−=−+−
043
01352
04253
zyx
zyx
zyx {secantes dos a dos porque
( )( ) 3
2* =
=Mr
Mr}
26) Estudiar si los puntos ( ) ( ) ( )1,2,1;1,0,3;0,1,2 −− CBA están alineados. Calcular a y
b para que el punto ( )2,1, +baD pertenezca a la recta AB. {No; 0;4 == ba }
27) Estudiar, según los valores del parámetro λ, la posición relativa de los planos: 0=++≡ zyx λα 0=++≡ zyx λβ 0=++≡ zyx λλγ
¿Existe algún valor de λ para que los planos se corten en el punto ( )3,3,0 ? {No} 28) Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,1,1) y contiene a la
recta
==−+
0
01111
z
yx { }0112311 =+−+ zyx
29) Estudiar la posición relativa de la recta
−==+=
λλ
λ
21
21
z
y
x
y el plano 3=++ zyx y
obtener, si fuese posible, puntos de contacto. {son secantes; ( )1,1,3 − }
30) Dadas: la recta r definida por los planos 1−= zx , zy 32−= , y la recta s por los
planos zx 54 =− e 34 −= zy , estudiar su posición relativa y hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. {se cruzan; 0151947 =−++− zyx }
31) Obtener la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano
06: =+−+ zyxπ con la recta 123
: +=−= zyx
s , y es paralelo a la recta
=−+−=−+
0134
043:
zyx
yxr ( ){ }ttt 134,31,9 −−−−+−
SELECTIVIDAD
Interpretación geométrica de los ejercicios de selectividad del tema 5 de álgebra:
(Septiembre 1998)
⇒⇒=α
2
3,,
2...2
yy
yICS Tres planos secantes en una recta de ecuaciones
paramétricas:
=
=
=
2
3
2
kz
ky
kx
(Junio 2000)
→⇒±≠α→⇒=α
→⇒−=α
punto.un en secantesson planos tresLos...2
ellos.con secante es primero ely escoincidentson planos últimos dos Los...2
ellos.con secante es primero ely paralelosson planos últimos dos Los..2
DCS
ICS
IS
(Septiembre 2001) ( ){ }zz ,0,2⇒=α Tres planos secantes en una recta de ecuaciones paramétricas:
===
kz
y
kx
0
(Septiembre 2003)
( )
→⇒=→⇒=→⇒=
→⇒≠≠≠
recta. unaen secantesy distintosson planos tresLos...4
ellos.con secante segundo ely escoincidentson último ely primero El...3
recta. unaen secantesy distintosson planos tresLos...0
0,0,0 punto elen secantesson planos tresLos...4;3;0
ICSa
ICSa
ICSa
DCSaaa
(Septiembre 1998) A. ¿Cuál es la forma general de los planos paralelos al plano OXY? Razonar la respuesta. { }0=+ Dz
B. Hallar la ecuación general del plano π que pasa por ( )1,1,1=A y contiene a la recta r, dada por:
α−=α−−=
α+=
2
1
2
z
y
x
{ }053: =+−−−π zyx
(Junio 2001) A. ¿En qué posición relativa pueden estar tres planos en el espacio que no tienen
ningún punto en común? B. Determine la posición relativa de los planos 432: =+−π zyx ;
012: =+++σ zyx y 0642: =−+−ϕ zyx {rango(M)=2; rango(M*)=3 →Los planos π y ϕ son paralelos y σ es secante con ellos}
(Septiembre 2003)
A. ¿Qué significa geométricamente que tres vectores del espacio tridimensional sean linealmente dependientes?
B. Dados los vectores ( )1,2,11 =ur
, ( )2,3,12 =ur
, ( )0,1,11 =vr
y ( )5,8,32 =vr
,
demuestre que los vectores 1ur
y 2ur
dependen linealmente de los vectores 1vr
y
2vr
. Determine la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene a
los vectores 1vr
y 2vr
, y determine la posición relativa de los vectores 1ur
y 2ur
respecto a ese plano. { 0=+− zyx ; 1ur
y 2ur
están contenidos en el plano} (Septiembre 2004) Compruebe que los puntos A = (1,0,3), B = (-2,5,4), C = (0,2,5) e D = (-1,4,7) son coplanarios. De todos los triángulos que se pueden construir teniendo como vértices tres de esos cuatro puntos,¿cuál es el de mayor área? Obtenga el valor de dicha área. (Junio 2005)
Demuestre que los puntos ( ) ( ) ( ) ( )1,0,3;4,3,2;3,3,3;04,0 ==== SRQP son coplanarios y determine el plano que los contiene.
{ }012323 =−+− zyx
(Junio 2007)
Dadas las rectas:
+=+=
=
λλ
22
2
1
:
z
y
x
r ; 2
2
2
1
1:
+=+= zyxs
a) Estudia su posición relativa. b) Calcula la ecuación del plano que contiene las dos rectas.
(Septiembre 2007)
Dadas las rectas: 3
2
1
1
1:
−−=
−−= zyx
r ;
+=+=+=
λλ
λ
1
23
1
:
z
y
x
r ;
a) Estudia su posición relativa. b) Calcula la ecuación del plano que contiene la recta r y es paralelo a la recta s.
(Junio 2008)
Dadas las rectas: 2
1
2
1
3
3:
+=−=− zyxr ;
−==
+=
λλ
λ
4
4
61
:
z
y
x
r ;
a) Estudia su posición relativa. b) Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,1,1) y contiene la recta r.
(Junio 2009)
Sea r la recta que pasa por los puntos P(0,8,3) y Q(2,8,5) y s la recta
=−=+−
02
07:
zy
yxs ;
a) Estudia la posición relativa de r y s. Si se cortan, calcula el punto de corte b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular al plano que contiene a r y a s.
TEMA 2. PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO VECTORIAL Y PRODUCTO MIXTO.
Producto escalar de dos vectores.
Dados dos vectores →u y
→v , se llama producto escalar de dichos vectores al número real:
⋅⋅=⋅→→→→→→v,ucos|v||u|vu
Propiedades del producto escalar.
1) Definido positivo: 0≥⋅→→uu
2) Conmutativa: →→→→
⋅=⋅ uvvu
3) Homogénea:
⋅⋅=⋅
⋅=
⋅⋅→→→→→→vkuvukvuk
4) Distributiva respecto de la suma: →→→→→→→
⋅+⋅=
+⋅ wuvuwvu
Interpretación geométrica del producto escalar. “El producto escalar de dos vectores coincide con el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.”
→→→→→→→→
⋅=
⋅⋅=⋅ vproy|u|v,ucos|v||u|vu u
Expresión analítica del producto escalar.
++⋅
++=⋅→→→→→→→→kvjvivkujuiuvu 321321
Aplicando las propiedades del producto escalar: →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
++++++++=⋅ kkvujkvuikvukjvujjvuijvukivujivuiivuvu 332313322212312111
teniendo en cuenta que 1===→→→→→→kkjjii y 0===
→→→→→→kjkiji
llegamos a que 332211 vuvuvuvu ++=⋅→→
Módulo de un vector.
Teniendo en cuenta que 20 |u|cos|u||u|uu→→→→→
=⋅⋅=⋅ podemos obtener el módulo de un vector utilizando que
23
22
21 uuuuu|u| ++=⋅=
→→→
Se cumplen las siguientes propiedades:
1) →→→
=⇔= 00 u|u|
2) |v||u||vu|→→→→
+≤+ (desigualdad triangular)
3) |u||k||uk|→→
⋅= Un vector se llama unitario si su módulo vale 1. Ángulo que forman dos vectores. Podemos obtener el ángulo que forman dos vectores a partir de su coseno, despejándolo de la fórmula del producto escalar:
23
22
21
23
22
21
332211
||||,cos
vvvuuu
vuvuvu
vu
vuvu
++⋅++
++=
⋅
⋅=
→→
→→→→
Nota: Como consecuencia, dos vectores no nulos son perpendiculares (ortogonales), si y sólo si, su producto escalar es cero. Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos A y B se puede obtener
calculando el módulo del vector →
AB. Producto vectorial de dos vectores.
El producto vectorial de dos vectores →u y
→v es otro vector
→→× vu que se
obtiene: a) En el caso de que los dos vectores sean proporcionales o alguno de
ellos sea nulo, su producto vectorial es el vector cero. b) En caso contrario, es otro vector que tiene por módulo el producto de
los módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman, su dirección es perpendicular a ambos vectores, y su sentido el del avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo del primer vector al segundo.
Propiedades del producto vectorial.
1) Anticonmutativa:
×−=×→→→→uvvu
2) Homogénea:
⋅×=
×⋅=×
⋅→→→→→→vkuvukvuk
3) Distributiva respecto de la suma:
×+
×=
+×→→→→→→→wuvuwvu
Expresión analítica del producto vectorial.
=
++×
++=×→→→→→→→→kvjvivkujuiuvu 321321
+
×+
×+
×+
×+
×+
×+
×=→→→→→→→→→→→→→→ikvukjvujjvuijvukivujivuiivu 13322212312111
→→→→→→→→→→−++−−=
×+
×+ ivujvuivukvujvukvukkvujkvu 2313321231213323
Para recordar esta expresión se puede utilizar:
321
321
vvv
uuu
kji
vu
→→→
→→=×
Interpretación geométrica del producto vectorial. “El módulo del vector producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman esos dos vectores”.
hbh|u|sen|v||u||vu| ⋅=⋅=⋅⋅=×→→→→→
α Cálculo del área de un triángulo. Si conocemos los tres vértices de un triángulo OAB, para obtener su área llega con calcular:
||2
1 →→×= OBOAÁrea
Producto mixto de tres vectores.
Se llama producto mixto de tres vectores →u ,
→v y
→w al número real:
×⋅=
→→→→→→wvuw,v,u .
Expresión analítica del producto mixto. Utilizando las expresiones analíticas del producto escalar y vectorial se llega a que:
321
321
321
www
vvv
uuu
wvuw,v,u =
×⋅=
→→→→→→
Propiedades del producto mixto.
1)
=
=
→→→→→→→→→v,u,wu,w,vw,v,u
2) ⇔=
→→→0w,v,u los tres vectores son linealmente dependientes (están en el
mismo plano)
3)
=
⋅⋅⋅→→→→→→w,v,uabcwc,vb,ua
4)
+
=
+→→→→→→→→→→wvuwvuwvuu ,,',,,,'
Interpretación geométrica del producto mixto. “El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores”.
bhwvhwvuwvu ⋅=×⋅=⋅×⋅=
→→→→→→→→|||cos|||||,, α
Cálculo del volumen de un tetraedro.
Si conocemos los vértices de un tetraedro ABCD, su volumen se puede calcular como:
=→→→
ADACABVolumen ,,6
1
TEMA 2. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Producto e scalar, producto vectorial y producto mixto.
1) Los vectores ur
y vr
cumplen 5=ur
y 2=vr
, y además 10=⋅ vurr
. Calcula vurr× .
2) Dados los vectores ( )3,2,1=ur
y ( )4,1,2−=vr
, calcula: a) Su producto escalar. b) El módulo de cada vector. c) El ángulo que forman. d) El valor de m para que ( )mw ,3,0=r
sea ortogonal a vr
.
e) La proyección de ur
sobre vr
, y viceversa. f) Su producto vectorial. g) El área del paralelogramo que forman.
3) Comprueba si los vectores
−=5
4,
5
3,0a
r y ( )3,1,2=b
r son unitarios.
4) Sabiendo que 5=ur
, 2=vr
, 1=wr
y que 4−=⋅vurr
, 3=⋅ wurr
y 1=⋅ wvrr
,
determina el valor de k para que los vectores wkvkuxrrrr −+= 2 e wvuy
rrrr3−+= sean
ortogonales. { }6=k 5) Si dos vectores tienen la misma dirección, ¿cómo será su producto escalar, según
tengan el mismo u opuesto sentido? 6) Sabiendo que 8=+ vu
rr y 6=− vu
rr, calcula vu
rr ⋅ . { }7
7) La tercera componente de un vector ur
del espacio es 1. Determina las otras dos componentes sabiendo que u
r es perpendicular al vector ( )0,2,1− y que, además, es
combinación lineal de los vectores ( )1,0,1 y ( )0,1,1 . ( ){ }1,1,2
8) Sean ( )3,6,1 −=ur
y ( )6,3,7−=vr
. Calcular cuánto mide:
a) La proyección ortogonal de vr
sobre ur
.
4
7
b) La proyección ortogonal de ur
sobre vr
.
8
7
9) Dados los vectores ( )2,1,1−=ur
y ( )1,3,2 −=vr
, calcula el área del paralelogramo
determinado por ur
y vr
. { }83
10) Halla el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores ( )0,1,2=ur
,
( )0,1,0=jr
y ( )1,2,3=vr
.
11) Calcula el valor de x para que los vectores ( )1,2,2+= xur
, ( )3,1,1 −−= xxvr
y
( )6,1,12 +++= xxxwr
sean linealmente dependientes. { }2;1;0 −=== xxx
12) Calcula el volumen del tetraedro de vértices ( )1,1,xA = , ( )2,1,1−=B , ( )3,1,−= xC y
( )yyD 22,2,1 −−+= , sabiendo que las aristas AB y BD son perpendiculares y que las
aristas AB y AC forman un ángulo de 45º. { }33uV =
13) Calcular razonadamente un vector unitario (de módulo uno) en el espacio Euclídeo, que sea perpendicular simultáneamente a los vectores ( )3,2,1=v
r,
( )2,1,1 −=wr
y ( )5,1,0=ur
.
−=75
1,
75
5,
75
7xr
14) Determinar la ecuación del plano perpendicular al segmento AB donde A(-1,0,3) y B(1,4,-1), por su punto medio.
15) Los puntos ( )4,3,1−=P y ( )2,3,5 −=Q son simétricos respecto a un plano. Calcula la ecuación de ese plano. { }02 =−− zx
SELECTIVIDAD (Junio 1998)
Estudiar la posición relativa de las rectas
−+==−≡2
1
23
zyxr y
( ) ( ) ( ){ }1,2,10,1,3,, −λ+−=≡ zyxs . Calcular el punto de r más próximo a la recta s.
{se cruzan; el vector →
srQP es perpendicular a rur
y a svr
−=53
37,
53
90,
53
114rP }
(Septiembre 1998) A. Producto mixto de tres vectores. Definición y propiedades (sin demostración) B. ¿Los puntos ( ) ( ) ( ) ( )2,2,1Sy 1,3,3,0,1,1,1,1,3 =−−=== RQP son coplanarios?
{sí} (Junio 1999) Hallar la ecuación general del plano determinado por los puntos
( ) ( ) ( )1,-2,0Cy 1,0,2,1,1,1 =−−== BA .
{ }01935 =+−+ zyx
Calcular el volumen del tetraedro que limita con los planos cartesianos.
= 3
810
1uV
(Junio 2000) Halle el volumen del tetraedro de vértices el punto ( )1,1,1=P y los puntos de corte del plano 01232: =−++π zyx con los ejes coordenados. Halle también el punto de corte del plano π y la recta, perpendicular a π , que pasa por el punto P.
==7
10,
7
16,
7
13';24 3 PuV
(Septiembre 2000) Calcule α para que los puntos ( ) ( ) ( ) ( )α=−=== ,1,2,2,2,5,2,0,3,1,1,1 DCBA sean
coplanarios. Calcule el área del polígono ABCD. { 2=α ;A= 2
2
33u }
(Septiembre 2001) A. Sean u
r y v
r dos vectores. Compruebe que si ( )( ) 0=−+ vuvu
rrrr entonces vu
rr = .
B. Calcule los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores ( )1,4,3−=u
r y ( )0,1,2−=v
r.
−
−−30
5,
30
2,
30
1;
30
5,
30
2,
30
1
(Junio 2002) Determine el vector ( o vectores) unitarios, ( )cbav ,,=r (con 0,0,0 >>> cba ), que
forman un ángulo de 6
π radianes con el vector ( )1,1,1=u
r y un ángulo de
4
π radianes con
( )2,0,2=wr
.
−+
+−4
22,
2
1,
4
22;
4
22,
2
1,
4
22
(Septiembre 2002) A. Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores. B. Dados los vectores ( )4,0,2−=u
r y ( )α−= ,0,1v
r, ¿para qué valores de α el
módulo del vector ( ) ( )vuvurrrr −×+ vale 4?
{ }1=α (Junio 2003)
A. Definición de módulo de un vector. Propiedades. B. Determine los valores de a y b, 0>a , para que los vectores
( ) ( ) ( )abbvbabvbbav ,,,,,,,, 321 === rrr sean unitarios y ortogonales dos a dos.
−==
==
3
2;
3
1
0;1
ba
ba
(Septiembre 2005) A. Definición de producto mixto de tres vectores. ¿Puede ocurrir que el producto mixto de tres vectores sea cero sin ser ninguno de los vectores el vector nulo? Razone la respuesta. B. Para u
r , v
r, wr
tres vectores en el espacio tales que 2=ur
, 3=vr
, 5=wr
encuentre los valores mínimo y máximo del valor absoluto de su producto mixto.
(Junio 2008) A. Sean u
r , vr
dos vectores tales que 3=ur
, 4=vr
, 5=− vurr
. Calcula el ángulo
que forman los vectores ur
y vr
. Calcula el producto mixto [ ]vuvurrrr ×,, , siendo vu
rr×
el producto vectorial de ur
y vr
.
TEMA 3. ÁNGULOS Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS Y PL ANOS.
Vector característico de un plano. Un plano puede estar definido por un punto( )cbaA ,,= y un vector
perpendicular a dicho plano ( )321 ,, nnnn =→
que se llama vector
característico del plano.
Si cogemos cualquier punto ( )zyxX ,,= del plano se cumple que →
AX y →n
son perpendiculares, por lo que su producto escalar es cero. Por tanto:
( ) ( ) ( ) 000 321321321 =−−−++⇒=⋅−+⋅−+⋅−⇒=⋅→→
cnbnanznynxnncznbynaxnAX
Es decir, obtenemos la ecuación implícita del plano: 0=+++ DCzByAx donde
( )CBAn ,,=→
Ángulo que forman dos rectas. El ángulo que forman dos rectas que se cortan es el menor de los dos ángulos que forman. En el caso de dos rectas que se cruzan, el ángulo que forman es el ángulo que forman dos rectas secantes paralelas a las dadas. Para calcular el ángulo que forman dos rectas r y s, se calcula el coseno del ángulo que forman sus vectores directores, teniendo en cuenta que el ángulo obtenido puede ser el suplementario del que buscamos. Para solucionar esto llega con tomar el valor absoluto del coseno del ángulo que forman los vectores directores.
( )→→
→→
→→
⋅
⋅=
=sr
sr
sr
vu
vuvusr ,cos,cos
Condición de perpendicularidad de dos rectas. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto escalar de sus vectores directores es cero. Ángulo que forman dos planos. El ángulo de dos planos que se cortan es el menor de los ángulos diedros que determinan. El ángulo que forman dos planos π y α , coincide con el ángulo que forman sus vectores característicos o con su suplementario. Para solucionarlo, al igual que con las rectas, cogemos el valor absoluto del coseno de dicho ángulo.
( )→→
→→
→→
⋅
⋅=
=απ
απ
απαπnn
nnnn ,cos,cos
Condición de perpendicularidad de dos planos. Dos planos son perpendiculares si y sólo si el producto escalar de sus vectores característicos es cero. Ángulo que forman recta y plano.
Se llama ángulo de una recta r y un plano π que se cortan, al ángulo agudo que forma la recta con su proyección sobre el plano. Para calcular el ángulo que forman, primero hallamos el ángulo que forman el vector director de la recta y el vector característico del plano, o su suplementario en el caso de que no sea agudo.(Como siempre, para no tener problemas, cogemos el valor absoluto del coseno).
→→
→→
→→
⋅
⋅=
=β=αnv
nvnv,coscossen
Pero el ángulo que buscamos es el complementario de éste, por tanto: ( ) βαπ −== º90,r Condición de perpendicularidad de recta y plano. Una recta y un plano son perpendiculares si y sólo si el vector director de la recta y el característico del plano son proporcionales.
TEMA 3. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: ángulos y
perpendicularidad de rectas y planos. 1) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(3,-1,2) y cuyo vector normal es
( )8,1,2nr
. 2) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(3,2,-1) y B(4,0,2), y es
perpendicular al plano dado por 0625 =−+− zyx . 3) Halla el ángulo que forman:
a) Las rectas 2
4
32
1 +=−
=+ zyx y z
yx =−=+2
1
0
2.
b) Las rectas 32
azyx
−== y 112
1 czbyx −=−=−.
c) La recta 2
zyx == con el plano 0=z .
d) La recta 21
1
3
2 zyx =−=+ y el plano 0563 =++− zyx .
e) Los planos 062 =+x y 0153 =−+− zyx
f) La recta ( ) ( ) ( )4,2,10,1,2,,: −+= kzyxr y el plano 013: =−+−π zyx
{ }º7'80=α 4) Calcula el valor del parámetro k para que los planos 0562: =+−π yx y
013:' =−+−π zkyx sean perpendiculares e indica un vector director de la recta
intersección para el valor de k obtenido. ( ){ }10,1,3;1 −=−= ukr
5) Dada la recta 11
1
2
1:
zyxr =+=−
y el plano 04: =−++ zyxπ , hallar la
ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre π. 6) Hallar el punto simétrico del punto A(2,0,1) respecto de la recta
21
3
2−=
−−= z
yx.
{se calcula el plano ortogonal a la recta que contiene al punto, después el punto de
corte del plano con la recta (P) y como →→
= 'PAAP entonces se calcula ( ){ }5,4,2'=A } 7) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(3,5,0), es perpendicular al
plano 03 =−+− zyx y paralelo a la recta
=+−=−+
012
012
zx
yx
8) Dada la recta
=−−=+−
04
032:
zy
zxr y el plano 0132: =−++ zyxπ , se pide hallar
la ecuación de una recta situada en el plano π, que pase por el punto P(2,1,-1) y sea perpendicular a r.
9) Determinar la ecuación del plano que contiene a la recta
=++=−+
043
02:
zy
zyxr y es
paralelo a la recta 5
5
32
1:
+==− zyxs .
10) Determina λ para que exista un plano que contenga a la recta
=−−=−−
6322
162
zyx
zyx
y que sea perpendicular al vector (-6,8,λ). Explica bien el porqué de la respuesta. 11) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-1,1) y se apoya en las
rectas:
=+−=+−
≡2
43
zyx
zyxr
1
1
1
2
3 −−=+=≡ zyx
s
{es la recta intersección del plano perpendicular a r que pasa por A, con el plano perpendicular a s que pasa por A} 12) Hallar el punto simétrico de (-1,2,5) respecto al plano 22 =++ zyx .
13) Hallar la ecuación del plano σ que es perpendicular al plano 0122 =+++ zyx
y que contiene a la recta de ecuación
−=+−=+=
tz
ty
tx
r
21
21
1
:
SELECTIVIDAD (Junio 1999) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s, calcula el ángulo que forman.
==−
432
1:
xyxr
λ+=λ+=
λ+=
34
23
3
:
z
y
x
s { se cortan en un punto; ''57'58º6=α }
(Junio 2001)
A. Ángulo que forman dos rectas. B. Determine el ángulo que forman la recta r, que pasa por el punto ( )0,1,1− y cuyo
vector director es ( )1,0,2−=vr
, y la recta s de ecuación: 24
6
4
7 zyx =+=−
{ }''6'26º63=α (Septiembre 2002)
A. Deduzca las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita ( o general) de un plano determinado por un punto y dos vectores directores.
B. Dados los puntos ( )1,4,3P y ( )7,2,7Q , determine la ecuación general del plano
que es perpendicular al segmento PQ y que pasa por el punto medio de ese
segmento. { }038624 =−+− zyx (Junio 2003)
A. Ángulo que forman recta y plano. B. Determine el ángulo que forman el plano 0432: =+−+π zyx y la recta
=+=−
1223
02:
zy
yxr . { }º0=α
(Septiembre 2003)
A. Definición de producto escalar de dos vectores. Interpretación geométrica.
B. Determine la ecuación que satisfacen los vectores ortogonales a la recta
=+−=−+
03
02:
zyx
zyxr . Interprete geométricamente el resultado obtenido.
{ }paralelos planos de haz0372 →=+++− Dzyx (Junio 2004)
A. Ángulo que forman dos rectas. Condición de perpendicularidad. B. Determine el ángulo que forman la recta que pasa por los puntos ( )1,0,1 −=A y
( )2,1,0 −=B y la recta de ecuación: 1
2
2
1
−−=−= zy
x .
(Septiembre 2005) A. ¿Que condición deben cumplir los coeficientes de las ecuaciones generales de
dos planos para que éstos sean perpendiculares? B. Halla el ángulo que forman los planos π: 2x – y + z – 7 = 0 y σ: x + y + 2z = 11.
(Septiembre 2006) A. Dados los vectores , ( )1,0,1 −=u
r, ( )0,1,1=vr
calcula los vectores unitarios de 3ℜ que son ortogonales a los dos vectores dados.
B. Sea π el plano determinado por el punto P(2, 2, 2) y los vectores ( )1,0,1 −=ur
,
( )0,1,1=vr
. Calcula el ángulo que forma o plano π con la recta que pasa polos puntos O(0, 0, 0) e Q(2, -2, 2).
C. Calcula el punto simétrico de O(0, 0, 0) respecto do plano x - y + z - 2 = 0.
(Septiembre 2009) Dados los planos 01:1 =−++ zyxπ ; 02:2 =+− zyπ ; y la recta
1
1
1
1
2:
−=+=−
zyxr
A. Calcula el ángulo que forman π1 y π2. Calcula el ángulo que forman π1 y r. B. Estudia la posición relativa de la recta r y la recta intersección de los planos π1 y π2.
(Septiembre 2010)
Dadas las rectas
−=−=−=
6
4
33
:
z
y
x
r λλ
;
=−−=−−
0445
01234:
zy
yxs
a) Estudia la posición relativa de r y s. Si se cortan, calcula el punto de corte y el ángulo que forman r y s.
b) Calcula, si existe, el plano que las contiene.
TEMA 4. APLICACIONES DE LOS PRODUCTOS ESCALAR, VECT ORIAL Y
MIXTO AL CÁLCULO DE DISTANCIAS. Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos ( )321 ,, aaaA = y ( )321 ,, bbbB = se puede obtener
calculando el módulo del vector →
AB.
( ) ( ) ( )233
222
211 abababAB −+−+−=
→
Distancia de un punto a un plano. Para hallar la distancia de un punto P(p1,p2,p3) a un plano 0: =+++ DCzByAxπ al que no pertenece, habría que hallar Q, punto proyección ortogonal de P sobre el plano y después calcular la distancia entre P y Q.
Esta distancia viene a ser el módulo del vector →
QP. Si tomamos cualquier otro punto A(a1,a2,a3) del plano se cumple que:
→→→+= QPAQAP , si multiplicamos escalarmente esta expresión
por el vector normal del plano: →→→→→→→→
⋅=⋅+⋅=⋅ QPnQPnAQnAPn , ya que →→
⊥ AQn .
Además como →→
QPn // , se tiene que:
( )→
→→
→→→→→→→→→⋅
=⇒⋅=⋅⇒±⋅⋅=⋅n
APnQPQPnAPnQPnAPn 1
Como ),,( CBAn =→
y ),,( 332211 apapapAP −−−=→
222
321321),(CBA
CaBaAaCpBpApQPPd
++
−−−++==
→π
pero por pertenecer A al plano, cumple su ecuación:
321321 0 CaBaAaDDCaBaAa −−−=⇒=+++ , queda por tanto:
222
321),(CBA
DCpBpApPd
++
+++=π
Aplicaciones: a) Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la
distancia de un punto de uno de ellos al otro plano. b) Para calcular la distancia entre una recta y un plano paralelos, se
halla la distancia de un punto de la recta al plano.
Distancia de un punto a una recta. La distancia entre un punto ( )321 ,, pppP y una recta r a la que ese punto no pertenece,
coincide con el módulo del vector →
QP, siendo Q la proyección de P sobre esa recta. Si tomamos cualquier otro punto A(a1,a2,a3) de la recta, tenemos que:
→→→+= QPAQAP , si multiplicamos vectorialmente esta expresión por el
vector director de la recta: →→→→→→→→
×=×+×=× vQPvQPvAQvAP , ya que →
AQ y →v tienen la misma
dirección.
Además como →→
⊥ vQP se tiene que →
→→
→→→→→×
=⇒⋅=×v
vAPQPvQPvAP , por tanto
→
→→×
=v
vAPrPd ),(
Distancia entre dos rectas La distancia entre dos recta, r y s, ( )srd , es la mínima distancia entre un punto cualquiera de r y un punto cualquiera de s.
- Si las rectas son coincidentes o secantes, su distancia es cero. - Si las rectas son paralelas, su distancia se calcula tomando un punto cualquiera
de una de las rectas, y calculando su distancia a la otra recta. - Si las rectas se cruzan:
Consideramos un punto A y un vector director ur
de la recta r y un punto B y un vector director v
r de la recta s.
Unimos los puntos A y B. El volumen del paralelepípedo determinado
por uABr
,→
y vr
, es el valor absoluto del producto mixto de estos
vectores,
=→
vuABVrr
,, .
Pero, este volumen es el producto del área de la base por la altura, dvuV ⋅×= rr
. Por lo tanto,
( )vu
vuAB
srd rr
rr
×
=
→,,
,
Nota: También se puede calcular la distancia (mínima) entre dos rectas que se cruzan: Se halla el plano que contiene a una de ellas y es paralelo a la otra, y luego se calcula la distancia de un punto de esta última recta a dicho plano.
TEMA 4. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacion es de los productos escalar, vectorial y mixto al cálculo de distancias.
1) Halla la distancia del punto P(1,0,-1)
a) A la recta
=−−+=−+−03
032
zyx
zyx
b) Al plano 0=− yz 2) Sea el plano de ecuación 532 =++ zyx .
a) Encuentra la ecuación de un plano paralelo a π y cuya distancia al origen sea 3. ¿Cuántas soluciones hay? b) Calcula el punto P del plano π que está más próximo al origen. c) Sea Q el punto (1,1,1). Se sabe que los segmentos OP y OQ son dos lados de un paralelogramo. Hallar los vértices y el área de dicho paralelogramo.
3) Hallar la distancia entre las siguientes rectas:
2
6
3
2
1
1:
+=−=−− zyx
r
=+−=−+
022
32:
zyx
zyxs
4) a) Determina si los puntos P(0,1,0), Q(0,0,-1), R(1,0,1) y S(1,1,1) están en el mismo plano.
b) Hallar la ecuación del plano π que pasa por P, Q y R, y de la recta r que es perpendicular a π y pasa por S. c) Hallar la distancia de S a π.
5) Calcular la distancia entre las rectas r y s, siendo:
2
3
1
1
0:
+=−= zyxr
31
1
1
1:
zyxs =
−+=−
Obtener la ecuación de la recta perpendicular común a ambas. 6) Calcular la longitud del segmento de la recta r comprendido entre los planos α y
β:
=−=−0
02:
zx
yxr 53: =+ zxα 0: =−− zyxβ .
7) Dados el punto A(1,0,-1) y el plano 432 =+−≡ zyxπ , calcular:
a) La ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a π. b) El punto simétrico de A respecto a π. c) Ecuación del plano que pasa por A y es paralelo a π.
8) Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
−=−=
++=
stz
ty
stx
2
31
:α 032: =+++ zyxβ
Calcular la distancia entre ambos planos. 9) Poner un ejemplo de dos rectas (distintas a los ejes coordenados) que se crucen
en el espacio euclídeo y calcular la distancia entre ellas.
10) Determinar la distancia entre las rectas:
+−==
+=≡
1
1
3
λ
λ
z
y
x
r
=+−=
≡02
0
zyx
ys
11) Dada la recta r, determinada por los puntos ( )3,1,2−=A y ( )2,0,1−=B .
Calcular los puntos de r tales que su distancia al punto ( )0,3,2−=C es de 18 unidades. Calcular la distancia del punto C a la recta r
. ( )
=
−−−3
263;
3
4,
3
2,
3
1;4,2,3 d
SELECTIVIDAD (Junio 1998) Calcular los puntos de la recta r que pasa por los puntos ( )3,2,1−=P y ( )0,5,3=Q cuya
distancia al punto ( )1,0,1−=C es de 12 unidades. ( ) ( ){ }9,4,9;3,8,7 −−− (Septiembre 1999) Calcular el conjunto de puntos de R3 que están a la misma distancia de los puntos
( )5,2,1−=P y ( )1,4,3−=Q . ¿A qué distancia se encuentra el punto P de dicho
conjunto? {es un plano 012: =−+−π zyx ; ( ) 6, =πPd } (Junio 2000) Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del plano determinado por los puntos ( )00,1=A , ( )2,1,2−=B y ( )1,1,5−=C . Halle la distancia del punto
( )3,7,2=P al plano.
{ ( ) ( ) ( ) ( )1,1,42,1,10,0,1,, −+−+= stzyx ;
+−−=
++=
st
sty
stx
2
41
; 0137 =−++ zyx ;
( ) 59, =πPd } (Septiembre 2000) Dado el plano 63:1 =+α+π zyx . Calcule α para que la recta que pasa por el punto
( )2,1,1=P y es perpendicular a este plano ( )1π sea paralela al plano 3:2 =−π yx .
Calcule la distancia de la recta r al origen. ( )
==α19
50,:3 rOd
(Septiembre 2001) A. Definición de distancia mínima entre dos rectas en el espacio. Casos posibles. B. Calcule la distancia entre las rectas r y s, donde r tiene por ecuaciones
{ }zyxr 53: == y la recta s pasa por los puntos ( )1,1,1=A y ( )3,2,1 −=B .
( )
=
4354
52,srd
(Junio 2002)
Halle la distancia del plano 12104: −=+−π zyx al plano
µ−λ=µ+λ=
µ+λ=σ
z
y
x 32
: .
( )120
1, =σπd
(Junio 2004) A. Distancia entre dos rectas que se cruzan.
B. Halle la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones:
β==
β+=
α−=−=α=
2
2
1
:
1
1:
z
y
x
s
z
y
x
r
(Septiembre 2004) A. Encuentre la ecuación general del plano π que contiene a la recta
r:
=−=−
24
1
2
1 zyx y es paralelo a la recta s que pasa por los puntos P =
(2,0,1) y Q = (1,1,1). Calcule la distancia de s a π.
(Junio 2005)
Calcule la distancia entre las rectas de ecuaciones r:
−=−=
7
4
3
1 zyx y s:
−=−=−
4
3
3
22
zyx
(Junio 2006)
Dado o plano π: 2x + λy + 3 = 0 ; y la recta
=−−=+−+027
0622:
zyx
zyxr
a) Calcula o valor de λ para que la recta r y el plano π sean paralelos. Para ese valor de λ, calcula la distancia entre r y π. b) ¿Para algún valor de λ , la recta está contenida en el plano π? Justifica la respuesta. c) ¿Para algún valor de λ , la recta y el plano π son perpendiculares? Justifica la respuesta.
(Junio 2006) A. Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores en . 3ℜ . B. Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores ( )2,2,1−=u
r y
( )1,0,1=vr
. C. Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto (1,1,1) y los vectores ( )2,2,1−=u
r y ( )1,0,1=v
r.
(Septiembre 2006)
Los lados de un triángulo están sobre as rectas
2
1
1
1
1
1:1
+=−−=− zyx
r ;
−=+=+=
1
2
2
:2
z
ty
tx
r ;
=−=−−−
0
01:3 zx
zyxr
a) Calcula los vértices del triángulo. ¿Es un triángulo rectángulo? Razona la respuesta
b) Calcula a ecuación do plano π que contiene al triángulo. Calcula a intersección do plano π con los ejes OX, OY e OZ.
(Junio 2007) Los puntos A(1,1,0), B(0,1,1) e C(-1,0,1) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD. Calcula las coordenadas del vértice D y el área del paralelogramo. b) Calcula la ecuación del plano que pasa polo punto B(0,1,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(1,1,0) e C(-1,0,1).
(Septiembre 2007) A. Calcula m para que os puntos A(2,1,-2), B(1,1,1) e C(0,1,m) estén alineados. B. Calcula el punto simétrico del punto P(-2,0,0) respecto de la recta que pasa polos puntos A(2,1,-2) e B(1,1,1).
(Junio 2008) A. ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(3,1,0), C(1,1,1) e D(3,0,–1)? En caso afirmativo, calcula la distancia del origen de coordenadas al plano que los contiene. B. Calcula el punto simétrico del punto P(0,0,1) respecto del plano π : x – 2y + 2z –
1 = 0.
(Septiembre 2008) A. Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano que pasa por el punto
P(1,1,2) y es perpendicular a la recta
=+=−+0
04:
zy
zyxr
B. Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección del plano π : x –2y + 2z –3 = 0 con los ejes de coordenadas. ¿Es un triángulo rectángulo?
(Septiembre 2008)
A. Dados los planos π1 : x –2y + 2z –1 = 0;
−+==−=++=
µλµλµλ
π31
22
223
:2
z
y
x
estudia su posición relativa y calcula la distancia entre ellos. B. Dado el punto P(2,1,7), calcula su simétrico respecto al plano π2 .
(Junio 2009) Sea π el plano que pasa por los puntos A(1, -1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por
2
3
1
6
2
7:
+=−+=− zyx
r
A. Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π. Calcula el punto de intersección de r y π.
B. Calcula los puntos de la recta r que distan 6 unidades del plano π.
(Septiembre 2009) A. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,3,5) y es perpendicular
al plano
++==++=
+−=
µλµλ
λπ
32
22
21
:
z
y
x
B. Calcula la distancia d el punto P(2,3,5) al plano π. Calcula el punto de π que está más próximo al punto P(2,3,5).
(Junio 2010) Sea r la recta que pasa por el punto P(1, -1, -2) y es perpendicular al plano α: x+2y+3z+6=0. Sea s la recta que pasa por los puntos A(1,0,0) y B(-1, -3, -4).
A. Estudia la posición relativa de las rectas r y s. Si se cortan, calcula el punto de corte.
B. Estudia la distancia del punto A(1,0,0) al plano β que pasa por el punto P(1, -1,-2) y es paralelo a α.
(Junio 2010)
Sea la recta
=+−=
04
1:
zx
yr
A. Calcula la ecuación del plano α que pasa por el punto Q(0,2,2) y contiene a la recta r. Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección de α con los ejes de coordenadas.
B. Calcula la ecuación general del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano α.