apunte variable compleja.pdf

Variable Compleja

Artemio Gonzalez Lopez

Madrid, marzo de 2001

Indice General

1 Introduccion historica 1

2 Funciones analticas 32.1 Denicion y propiedades algebraicas de los

numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Modulo y argumento. Formula de de Moivre.

Races. Conjugacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Formula de de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 Races n-esimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 La funcion exponencial, funciones trigonometricas e hiperbolicas, logarit-mos y potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1 Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Funciones trigonometricas e hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.1 Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.1 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.2 Transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.3 Ecuaciones de CauchyRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.4 Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.5 Funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 El teorema de Cauchy 233.1 Integracion sobre arcos: denicion y

propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Teorema de CauchyGoursat. Homotopa.

Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1 Homotopa. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

i

INDICE GENERAL ii

3.3 Indice. Formula integral de Cauchyy sus consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1 Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2 Formula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.3 Formula integral de Cauchy para las derivadas . . . . . . . . . . 323.3.4 Desigualdades de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.5 Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.6 Teorema de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.7 Teorema fundamental del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Principio del modulo maximo. Propiedad del valor medio . . . . . . . . 353.4.1 Propiedad del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.2 Principio del modulo maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.3 Principio del modulo maximo global . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Representacion de funciones analticas mediante series 384.1 Convergencia de sucesiones y series de

funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.1 Sucesiones y series de numeros complejos . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 Sucesiones y series de funciones. Convergencia

uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Convergencia de series de potencias.

Teoremas de Taylor y Laurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.1 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.3 Teorema de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.4 Clasicacion de singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Calculo de residuos 505.1 Metodos para el calculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3 Calculo de integrales denidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1 f(x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.2 Integrales trigonometricas: 20

R(cos , sen ) d . . . . . . . . . 54

5.3.3 Transformadas de Fourier:

eixf(x) dx . . . . . . . . . . . . 55

5.3.4 Transformadas de Mellin: 0

xa1f(x) dx, a / Z . . . . . . . . 575.4 Valor principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4.1 0

f(x) log x dx, f real y par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Captulo 1

Introduccion historica

N = {1, 2, . . . } [Kronecker ] Z: solucion de x+ a = 0 (a N) Q: solucion de ax+ b = 0 (a, b Z) R: solucion de ciertas ecuaciones cuadraticas (ax2+ b x+ c = 0 con b24 a c 0) El problema es que no toda ecuacion cuadratica con coecientes reales tiene solu-cion en R:

x2 + 1 = 0

= C, formalmente denido como el conjunto de los pares x + i y (x, y R),siendo validas las leyes usuales del algebra mas la identidad i2 = 1.

Ecuacion cubica (reducida): x3 + p x+ q = 0 (p, q R)Solucion:

x =3

q2+

q2

4+p3

27+

3

q2q2

4+p3

27

= casus irreducibilis (si q24 + p3

27 < 0).En este caso las tres races reales distintas de la ecuacion cubica son

2p3cos

(

3+

2k3

), k = 0, 1, 2 ,

donde

cos = q2

27p3

.

Primer tratamiento modernode los numeros complejos: Gauss [Wessel, Argand] 1800 (plano complejo)

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION HISTORICA 2

Abel ( 1820) descubre que el seno elptico sn(x; k)

x = sn(x;k)0

dt(1 t2)(1 k2 t2) (0 k 1),

aparte del perodo real

4K(k) 4 10

dt(1 t2)(1 k2 t2) ,

tienen un perodo imaginario puro 2 iK(1 k2).

Estudio a fondo de las funciones analticas: puntos de vista de Cauchy, Weierstrass,Riemann.

Ejemplo de aplicacion del analisis complejo al analisis real:

f(x) =1

1 x =i=0

xi, |x| < 1.

Razonable (dada la singularidad de f en x = 1). Pero

f(x) = arctan x =i=0

(1)i x2i+1

2i+ 1, 1 < x 1.

Por que la serie de Taylor de f no converge a distancia mayor de 1 del origen, sif es regular en toda la recta real?Respuesta: Consideremos f(z) = arctan z, con z C. La funcion f tiene ahorados singularidades a distancia 1 del origen (en i).

Captulo 2

Funciones analticas

2.1 Denicion y propiedades algebraicas de losnumeros complejos

Denicion 2.1. C ={R2,+, }, con la suma y el producto denidos por

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)(x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + x2y1).

Justicacion:

La suma y la multiplicacion de los pares de la forma (x, 0) C coinciden con lade los numeros reales x R= (x, 0) x R= R = {(x, 0) : x R} C

i = (0, 1) = i2 = i i = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1. (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x+ i y

= (x1 + i y1)(x2 + i y2) = (x1x2 y1y2) + i (x1y2 + x2y1)

es la formula tradicional para multiplicar los numeros complejos x1 + i y1 yx2 + i y2.

z = x+ i y = x = Re z, y = Im z. Al ser C = R2 (como conjuntos), la igualdad en C se dene mediante

z = x+ i y = w = u+ i v x = u, y = v

En particular,z = x+ i y = 0 x = y = 0.

3

CAPITULO 2. FUNCIONES ANALITICAS 4

Proposicion 2.2. C es un cuerpo: para todo z,w, s C se cumplez + w = w + z z w = w z

z + (w + s) = (z + w) + s z (w s) = (z w) sz + 0 = z 1 z = z

z C t.q. z + (z) = 0 z = 0 = z1 C t.q. z z1 = 1z(w + s) = z w + z s.

Demostracion. Obviamente, z = x + i y = z = x i y. La existencia de inversoresp. del producto para todo z = x+ i y = 0 se deduce del siguiente calculo:

z1 = u+ i v = z z1 = (xu y v) + i(x v + y u) = 1

{xu y v = 1y u+ x v = 0

u = xx2 + y2

, v = yx2 + y2

(z = 0 x2 + y2 = 0)

z1 = xx2 + y2

i yx2 + y2

.

Q.E.D.

Notacion:z

w= z w1, zn = z z z

n veces

(n N).

C no es un cuerpo ordenado: si lo fuera,i2 = i i = 1 0.

Races cuadradas (metodo algebraico):Si z = x+ i y, queremos hallar todos los w = u+ i v C tales que w2 = z:

w2 = z u2 v2 + 2 i u v = x+ i y

{u2 v2 = x

2u v = y

= x2 + y2 = (u2 + v2)2 = u2 + v2 =x2 + y2

= u2 = 12(x+

x2 + y2), v2 =

12(x+

x2 + y2)

= w =

(

x+x2+y2

2 + i sig y

x+x2+y2

2

), y = 0

x, y = 0, x 0ix, y = 0, x < 0.

Las races cuadradas de un numero complejo z = 0 son dos numeros complejos distintos(de signos opuestos). Las races cuadradas de z son reales si y solo si z R+ {0}, e


imaginarias puras si y solo si z R.

Ejemplo 2.3. Las races cuadradas de 3 4 i son

(

82 i

22

)= (2 i).

Solucion de ecuaciones cuadraticas con coecientes complejos:

a z2 + b z + c = 0 z = 12a

(b

b2 4ac

).

Teorema del binomio de Newton

2.2 Modulo y argumento. Formula de de Moivre.Races. Conjugacion.

Geometra de los numeros complejos: plano complejo, eje real, eje imaginario(g. 2.1).

x

y

z

z

Figura 2.1: Plano complejo.

Modulo, conjugacion: si z = x+ i y entonces

|z| =x2 + y2 (distancia al origen)

z = x i y (reexion respecto del eje real)

= Re z = 12(z + z), Im z = 12i(z z) Propiedades:


i) z = z

ii) z + w = z + w

iii) z w = z w = 1/z = 1/ziv) |z| = |z|

v) zz = |z|2 =

z = 0 z1 = z|z|2|z| = 1 z = z1

vi) |z w| = |z| |w| (elevar al cuadrado) = z1 = |z|1vii) w = 0 = z/w = z/w, |z/w| = |z| / |w|

(consecuencia de iii) y vi))

viii) |Re z| |z| , |Im z| |z| ( |z| Re z, Im z |z|) Desigualdad triangular: |z + w| |z|+ |w|

|z + w|2 = (z + w)(z + w) = |z|2 + |w|2 + (zw + zw) = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw) |z|2 + |w|2 + 2 |zw| = |z|2 + |w|2 + 2 |z| |w| = (|z|+ |w|)2.

Consecuencias:i) ||z| |w|| |z w|

|z| = |(z w) + w| |z w|+ |w| = |z| |w| |z w| ;cambiando z por w se obtiene |w| |z| |z w|.

ii) |z| > |w| = 1|z w| 1

|z| |w|

2.2.1 Argumento

z

Figura 2.2: Denicion de argumento.

Dado 0 = z C, existe R t.q.z = |z| (cos + i sen ) (g. 2.2).


El numero esta denido modulo un multiplo entero de 2. Por ejemplo,

z = 1 = {0,2,4, . . . } = {2 k : k Z} .Denicion 2.4. arg z (argumento de z): cualquier t.q. z = |z| (cos +i sen ).= arg no es una funcion.arg z = cualquiera de los angulos orientados formados por el vector z con el ejereal positivo.

Ejemplos:

arg i {/2 + 2 k : k Z}arg(1 i) {5/4 + 2 k : k Z} = {3/4 + 2 k : k Z} .

Para que sea unico, basta imponerle la condicion adicional de que pertenezcaa un cierto intervalo semiabierto I de longitud 2 (como [0, 2), (, ], etc.)Escoger este intervalo I se conoce como tomar una determinacion del argumento= argI : C {0} I

argI(z) = unico valor de arg z que pertenece a IEjemplo: arg[0,2)(1 i) = 5/4, arg(,](1 i) = 3/4.

Determinacion principal del argumento:Arg = arg(,]

Ejemplo:1 i 1 1 i i 1 i

Arg 0 /2 3/4 /2 /4 Claramente, Arg : C{0} (, ] es discontinua en R {0}. Analogamente,arg[0,2) es discontinua en R+ {0}. En general, arg[0,0+2) (o arg(0,0+2]) esdiscontinua en la semirrecta cerrada que forma un angulo 0 con el semieje realpositivo.

Forma trigonometrica o polar de los numeros complejos:z = 0 = z = r(cos + i sen ), r = |z| , = arg z.

z,w = 0; z = w (|z| = |w| , arg z = argw mod 2). Interpretacion geometrica del producto en C:

z1z2 = r1(cos 1 + i sen 1) r2(cos 2 + i sen 2)= r1r2 [(cos 1 cos 2 sen 1 sen 2) + i(cos 1 sen 2 + sen 1 cos 2)]= r1r2 [cos(1 + 2) + i sen(1 + 2)]

De este calculo se sigue que |z1 z2| = |z1| |z2| yarg(z1 z2) = arg z1 + arg z2 mod 2. (2.1)


Arg(z1 z2) = Arg z1 +Arg z2. Por ej.,Arg(i) = /2 = Arg(1) + Arg i = 3/2.

Consecuencias:(zz1 = 1) arg(z1) = arg z mod 2

(zz = |z|2 0) arg(z) = arg z mod 2(z/w w = z ) arg(z/w) = arg z argw mod 2.

2.2.2 Formula de de Moivre

A partir de (2.1) se demuestra por induccion la formula de de Moivre:z = r(cos + i sen ) = zn = rn[cos(n) + i sen(n)], n N.

z1 = r1[cos() + i sen()] = la formula vale para todo n Z.Ejemplo:

(cos + i sen )3 = cos(3) + i sen(3)

= (cos3 3 cos sen2 ) + i(3 cos2 sen sen3 )

=

cos(3) = cos3 3 cos sen2

sen(3) = 3 cos2 sen sen3 .

2.2.3 Races n-esimas

Si z = r(cos + i sen ) = 0, hallemos todas las soluciones w C de la ecuacionwn = z (n N):

w = 0 = w = (cos+ i sen)wn = n

[cos(n) + i sen(n)

]= r(cos + i sen )

n = r = nr r1/n

n = + 2k, k Z

w = nr[cos

(

n+

2kn

)+ i sen

(

n+

2kn

)], k = 0, 1, . . . , n 1.

= un numero complejo no nulo tiene n races n-esimas distintas.Ejemplo:

w3 = i w = cos(

6+

2k3

)+ i sen

(

6+k

3

), k = 0, 1, 2

w = 12(3 + i),

12(3 + i), i.


En particular, las n races n-esimas de la unidad (z = 1) son los numeros

!k = cos(2kn

)+ i sen

(2kn

), k = 0, 1, . . . , n 1

(vertices de un polgono regular de n lados inscrito en la circunferencia unidad).

Notese que !k = !k, siendo ! = !1.Ejemplo: las races sextas de la unidad son[

cos(3

)+ i sen

(3

)]k=

12k

(1 + i3)k, k = 0, 1, . . . , 5

= 1,12(1 + i

3),

12(1 + i

3), 1, 1

2(1 + i

3),

12(1 i

3).

Ejercicio. Probar que las n races n-esimas de z = 0 estan dadas pornz !k, k = 0, 1, . . . , n 1,

donde nz denota cualquier raz n-esima de z.

2.3 La funcion exponencial, funciones trigonometricas e

hiperbolicas, logaritmos y potencias

2.3.1 Funcion exponencial

Si t R,

et =k=0

tk

k!

cos t =k=0

(1)k t2k

(2k)!

sen t =k=0

(1)k t2k+1

(2k + 1)!.

Sea z = x + i y C; la propiedad et1+t2 = et1et2 sugiere denir ez = exeiy. A su vez,procediendo formalmente se obtiene

eiy =n=0

inyn

n!=

k=0

i2ky2k

(2k)!+ i

k=0

i2ky2k+1

(2k + 1)!

= cos y + i sen y (ya que i2k = (i2)k = (1)k).Denicion 2.5. Para todo z = x+ i y C (x, y R), denimos

ez = ex(cos y + i sen y).


Nota: Si z R, la exponencial compleja se reduce a la exponencial real.

Valores particulares:

e0 = 1, ei/2 = i, ei = 1, e3i/2 = i, e2i = 1.

Propiedades: Para todo z,w C se tienei) ez+w = ezew.

ii) ez = 0, para todo z C.iii) |ez| = eRe z, arg(ez) = Im z mod 2.iv) ez = 1 z = 2ki, con k Z.v) ez es una funcion periodica, cuyos perodos son los numeros 2ki con k Z.

Demostracion:

i) z = x+ i y, w = u+ i v =

ezew = ex(cos y + i sen y)eu(cos v + i sen v)= ex+u [cos y cos v sen y sen v + i(sen y cos v + cos y sen v)]= ex+u [cos(y + v) + i sen(y + v)] = ez+w.

ii) e0 = 1 = ezez = 1 = (ez)1 = ez.iii) Obvio.

iv) ez = ex(cos y + i sen y) = 1 ex = 1, y = 0 mod 2 x = 0, y = 2k (k Z).

v) ez = ez+w ew = 1 w = 2ki (k Z). z = |z| ei arg z; ez = ez.

2.3.2 Funciones trigonometricas e hiperbolicas

Si y es real entonces

eiy = cos y + i sen y, eiy = cos y i sen y= cos y = 1

2(eiy + eiy

), sen y =

12i(eiy eiy) .

Denicion 2.6. Para todo z C se dene

cos z =12(eiz + eiz

), sen z =

12i(eiz eiz) .


(De nuevo, si z es real cos z y sen z se reducen a las correspondientes funciones reales.)

Propiedades: para todo z,w C se tienei) cos(z) = cos(z), sen(z) = sen z.ii) cos(z + w) = cos z cosw sen z senw,

sen(z + w) = sen z cosw + cos z senw.

iii) cos z = sen(2 z

)= sen

(2 + z

).

iv) cos2 z + sen2 z = 1.

v) cos z = cos(z), sen z = sen(z).

vi) sen z = 0 z = k (k Z).vii) cos z y sen z son funciones periodicas de perodo 2k, con k Z.

Demostracion:

i) Trivial.

ii) Por ejemplo

cos z cosw sen z senw = 14(eiz + eiz

) (eiw + eiw

)+

14(eiz eiz) (eiw eiw)

=12(eizeiw + eizeiw) = cos(z + w).

iii) Caso particular de las formulas anteriores

iv) Hacer w = z en la formula para cos(z + w).v) Consecuencia de ew = ew.

vi) sen z = 0 eiz eiz = 0 e2iz = 1 2iz = 2ki(k Z) z = k (k Z).

vii) Ejercicio.

tan z = sen z/ cos z, sec z = 1/ cos z (z = /2 + k, k Z);cot z = cos z/ sen z = 1/ tan z, csc z = 1/ sen z (z = k, k Z).

Funciones hiperbolicas: para todo z C se dene

cosh z =12(ez + ez

), senh z =

12(ez ez) .

cosh z = cos(iz), senh z = i sen(iz)


De aqu se deducen las propiedades de las funciones hiperbolicas. Por ejemplo:

cosh2 z senh2 z = 1. sen z = sen(x+ iy) = senx cos(iy) + cos x sen(iy)

= senx cosh y + i cos x senh y.

tanh z = senh z/ cosh z = i tan(iz) (z = i/2 + ki, k Z).

2.3.3 Logaritmos

En R, exp : R R+ (exp(t) = et) es una aplicacion biyectiva. Su inversa es lafuncion log : R+ R. Por denicion,

log x = y x = ey (= x > 0).

En C, exp no es invertible al no ser inyectiva (por ser periodica). De hecho, setiene:

ew = z = z = 0;w = u+ i v = eu(cos v + i sen v) = z = 0

{eu = |z| u = log |z|v = arg z mod 2

w = log |z|+ i arg z mod 2i .

Si z = 0, la ecuacion ew = z tiene innitas soluciones, que dieren entre s enmultiplos enteros de 2i. Si I es un intervalo semiabierto de longitud 2, podemosescribir

z = 0, ew = z w = log |z|+ i argI z + 2ki, k Z.A cada uno de estos (innitos) w se les denomina logaritmos de z = 0.Ejemplo:

ew = 2i w = log 2 i2+ 2ki (k Z).

Denicion 2.7. Se dene la determinacion I del logaritmo mediante

logI z = log |z|+ i argI z, z = 0.

Notese que logI : C {0} {s C : Im s I} es una funcion. La determinacion principal del logaritmo se dene por

Log = log(,] .


Ejemplo: Log(2i) = log 2 i2 , Log(1) = i, Log(1 i) = 12 log 2 i4 .

Propiedades:

i) Para todo z = 0, elogI z = z.ii) logI(ew) = w mod 2i. En particular, logI(ew) = w Imw I.iii) logI : C {0} {s C : Im s I} es biyectiva.iv) z,w = 0 = logI(z w) = logI z + logI w mod 2i.

Demostracion:

i) z = 0 = elogI z = elog|z|+i argI z = elog|z|ei argI z = |z| ei argI z = z.ii) w = u + i v = logI(ew) = log(eu) + i argI(ew) = u + i v mod 2i, ya que

argI(ew) = Imw mod 2i. logI(ew) = w = Imw I porque Im(logI z) Ipara todo z = 0. Recprocamente, si Imw I entonces logI(ew) = w porqueambos miembros son iguales modulo 2i y sus partes imaginarias pertenecen a I.

iii) Hay que probar que para todo w con Imw I existe un unico z C {0} talque logI z = w. Esto es cierto por los apartados anteriores, siendo z = ew.

iv) Las exponenciales de ambos miembros coinciden; por tanto, esta propiedad sesigue de la prop. ii). Otra forma de deducir esta propiedad es observando que

logI(zw) = log |zw|+ i argI(zw)= log(|z| |w|) + i(argI z + argI w) mod 2i= log |z|+ log |w|+ i(argI z + argI w) mod 2i= (log |z|+ i argI z) + (log |w|+ i argI w) mod 2i= logI z + logI w mod 2i.

Nota: En general, Log(zw) = Log z + Logw. Por ejemplo,

Log(i) = i2= Log(1) + Log i = i + i

2=

3i2.

2.3.4 Potencias complejas

Si a, b C y a = 0, e, denimosab = eb log a donde log a = logI a+ 2ki, k Z.

Por tanto, en general ab denota un conjunto de numeros complejos:

ab = e2kbieb logI a, k Z.Mas concretamente, se tiene:


i) b Z = ab tiene un valor unico ( = a a a b veces

).

ii) Si b = p/q Q, con p Z y 1 < q N primos entre s, entonces ab = ap/q tomaexactamente q valores (las q races q-esimas de ap).

iii) En los demas casos (b RQ o Im b = 0), ab tiene innitos valores que dierenentre s en un factor de la forma e2kbi, con k Z.

Ejemplo:

(1 + i)i = ei[Log(1+i)+2ki] = e2kei( 12 log 2+ 3i4 ) (k Z)= e

54+2ne

i2log 2 (n Z).

Si a = 0, cada determinacion de log dene una funcion az( = ez logI a).Ejercicio: dados a, b C con a = 0, estudiar si se cumple la igualdad

ab+c = ab ac.

2.4 Lmites y continuidad

Algunos conceptos topologicos:

i) Disco abierto de centro a C y radio r > 0 (entorno):

D(a; r) = {z C : |z a| < r} .

ii) Entorno perforado de a C D(a; r) {a} = {z C : 0 < |z a| < r}.iii) A C es abierto si contiene un entorno de cada uno de sus puntos:

a A, r > 0 t.q. D(a; r) A.

iv) A C cerrado CA es abierto.v) A C es compacto A es cerrado y acotado (R > 0 t.q. A D(0;R)).vi) A C abierto es conexo si para todo par de puntos z,w A hay una curva

continua : [0, 1] A t.q. (0) = z, (1) = w.vii) Una region o dominio es un subconjunto abierto conexo y no vaco de C.


2.4.1 Lmites

Notacion:

En lo que sigue, A y B denotan conjuntos abiertos,

f : A Cz = x+ i y f(z) = u(x, y) + i v(x, y).

u : A R2 R y v : A R2 R (la parte real e imaginaria de f , resp.) sonfunciones escalares reales.

Si f : A C esta denida en A {a} y l C, limza f(z) = l

! > 0 > 0 t.q. z A y 0 < |z a| < = |f(z) l| < !.

Propiedades de los lmites:

i) Si existe (es un numero complejo) limza f(z), dicho lmite es unico.

ii) limza f(z) = l lim(x,y)au(x, y) = Re l y lim(x,y)a v(x, y) = Im l.

iii) limza [f(z) + g(z)] = limza f(z) + limza g(z).

iv) limza [f(z)g(z)] = limza f(z) limza g(z).

v) limza g(z) = 0 = limza

1g(z)

=1

limza g(z)

.

Nota: En iii) y iv), la existencia del MD implica la del MI, pero no nec. viceversa.

Demostracion:i)iii) son propiedades conocidas de los lmites de funciones R2 R2iv)v) se demuestran como en el caso real (reemplazando el valor absoluto por el modulo).

2.4.2 Continuidad

f : A C denida en A es continua en a A si limza f(z) = f(a).

En particular, f continua en a = f denida en un entorno de a. f : A C continua en A si y solo si f es continua en todos los puntos de A.

Propiedades:

i) f y g continuas en a = f + g y fg continuas en a.


ii) Si, ademas, g(a) = 0, entonces f/g es continua en a.iii) f : A C continua en a y h : B C continua en f(a) B = h f continua en

a.

Ejemplo: los polinomios y las funciones racionales son continuos en todos los puntos desu dominio.

2.5 Derivabilidad

f : A C denida en A es derivable (en sentido complejo) en a A si existe

limza

f(z) f(a)z a f

(a).

f : A C es analtica (o holomorfa) en A si es derivable en todos los puntosde A.

f es analtica en C (conjunto arbitrario) si es analtica en un abierto A C fes analtica en un entorno de cada punto de C.En particular, f es analtica en a si es derivable en un entorno de a.(Notese que f analtica en a es mas fuerte que f derivable en a.)

f : A C derivable en a A = f continua en a:

limza [f(z) f(a)] = limza

[f(z) f(a)

z a (z a)]= lim

zaf(z) f(a)

z a limza(z a)

= f (a) 0 = 0.

Propiedades algebraicas:Si f : A C y g : A C son derivables en z A, y a, b C, se tiene:

i) a f + b g es derivable en z, siendo (a f + b g)(z) = a f (z) + b g(z).

ii) fg es derivable en z, siendo (fg)(z) = f (z)g(z) + f(z)g(z).

iii) Si g(z) = 0, f/g es derivable en z y

(f/g)(z) =g(z)f (z) f(z)g(z)

g(z)2.

Ejemplo: polinomios y funciones racionales.


2.5.1 Regla de la cadena

Si f : A C es derivable en z y g : B C es derivable en f(z) B, entonces g f esderivable en z, y se tiene

(g f)(z) = g(f(z)

) f (z). Si f : A C es analtica en el abierto A C y : [a, b] A es una curvadiferenciable, entonces (f )(t) = f

((t)

) (t), t [a, b].Nota: (t) = 1(t) + i2(t) = (t) = 1(t) + i2(t) (vector tangente a en(t)).

f : A C analtica en una region A y f = 0 en A = f constante en A.En efecto, veremos inmediatamente que f derivable en sentido complejo en a = fderivable en sentido real en a, siendo Df(a) z = f (a) z, z C. El resultadoanterior se sigue entonces del resultado analogo para funciones Rn Rm.

2.5.2 Transformaciones conformes

Denicion 2.8. Sea z0 A, con A abierto y f : A C denida en A. Se dira que f esconforme en z0 si existen [0, 2) y r > 0 tales que, para toda curva : [0, 1] Cdiferenciable en t = 0 con (0) = z0 y (0) = 0, la curva = f es diferenciable en 0,y se cumple (0) = r (0) , arg (0) = arg (0) + mod 2.

Si f es conforme en todos los puntos de A, diremos que f es conforme en A. Las transformaciones conformes preservan los angulos entre pares de curvas (de-nidos como los angulos formados por los vectores tangentes a las curvas en elpunto de interseccion).

Proposicion 2.9. Si f : A C denida en el abierto A es derivable en z0 A, yf (z0) = 0, entonces f es conforme en z0.Demostracion. Utilizando la misma notacion que en la Denicion 2.8 se tiene (dado quef (z0) = 0):

(0) = f ((0)

) (0) = f (z0) (0)= (0) = f (z0) (0) , arg (0) = arg (0) + arg f (z0) mod 2.

Se cumple la condicion de la Denicion 2.8, siendo

r =f (z0) > 0, = arg[0,2) f (z0).

Q.E.D.


2.5.3 Ecuaciones de CauchyRiemann

Sea a = a1 + i a2 C, y sea Ma : C R2 C R2 la aplicacion lineal denidapor Ma z = a z, z C. Entonces la matriz de Ma (en la base canonica {1, i} deR2) es

(a1 a2a2 a1

).

f : A C denida en el abierto A es diferenciable (en sentido real) en z0 A siexiste una aplicacion lineal Df(z0) : R2 C R2 C tal que

limzz0

|f(z) f(z0)Df(z0) (z z0)||z z0| = 0.

(Notese que el modulo de z = x+ i y es la norma del vector (x, y).) A la aplicacionDf(z0) se le denomina derivada (en sentido real) de f en z0.

Teorema 2.10. Sea f = u+ i v : A C denida en el abierto A, y sea z0 = x0+ i y0 A. Entonces f es derivable (en sentido complejo) en z0 si y solo si se cumple:

i) f es diferenciable (en sentido real) en (x0, y0).

ii) Se satisfacen las ecuaciones de CauchyRiemann

u

x(x0, y0) =

v

y(x0, y0),

u

y(x0, y0) = v

x(x0, y0).

Demostracion.=) f es diferenciable (en sentido real) en z0 = (x0, y0) con derivada Df(z0) =Mf (z0),ya que

limzz0

|f(z) f(z0) f (z0)(z z0)||z z0| = limzz0

f(z) f(z0) f (z0)(z z0)z z0

= limzz0

f(z) f(z0z z0 f (z0) = 0.

Sea ux =u

x(x0, y0), y analogamente uy, vx, vy. Igualando la matriz de Df(z0) (matriz

jacobiana) con la de Mf (z0) se obtiene(ux uyvx vy

)=(Re f (z0) Im f (z0)Im f (z0) Re f (z0)

),

de donde se obtienen las ecs. de CauchyRiemann, junto con las relaciones

f (z0) = ux + i vx = vy i uy.=) Por las ecs. de CauchyRiemann, la matriz jacobiana de f en z0 es(

ux vxvx ux

)= Mc,


siendo c = ux + i vx. De esto se sigue que Df(z0) (z z0) = c(z z0), y por tanto

0 = limzz0

|f(z) f(z0) c(z z0)||z z0| = limzz0

f(z) f(z0)z z0 c

= f (z0) = c ux + i vx = vy i uy.

Q.E.D.

De la demostracion del teorema se sigue que si f = u+ i v es derivable en sentidocomplejo en z0 = x0 + i y0 entonces

f (z0) = ux(x0, y0) + i vx(x0, y0) fx

(z0)

= vy(x0, y0) i uy(x0, y0) 1i

f

y(z0).

Derivabilidad de las funciones exponenciales y trigonometricas:

f(z) = ez = u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sen y = u y v derivables (de clase C)en R2. Ademas,

ux = ex cos y = vy, uy = ex sen y = vx.Por tanto, ez es derivable (en sentido complejo) en C, siendo

(ez) = ux + i vx = ex cos y + i ex sen y = ez, z C.

De las propiedades de la derivada compleja (linealidad y regla de la cadena) se sigue quesen y cos son derivables en C, siendo

(sen z) =i eiz + i eiz

2i= cos z, (cos z) =

12(i eiz i eiz) = sen z.

De estas formulas se deduce la derivabilidad de las restantes funciones trigonometricasen todos los puntos de sus dominios. Por ejemplo,

(tan z) =cos2 z + sen2 z

cos2 z= sec2 z, z =

2+ k (k Z).

2.5.4 Teorema de la funcion inversa

Teorema 2.11. Sea f : A C analtica en el abierto A (con f continua en A). Sia A y f (a) = 0, existen sendos abiertos U a y V f(a) tales que f no se anulaen U y f : U A V es biyectiva. Ademas, f1 : V U es analtica en V , siendo

(f1)(w) =1

f (f1(w)

) , w V.


Demostracion. f es derivable en sentido real en a, y su matriz jacobiana(ux(a) vx(a)vx(a) ux(a)

)tiene determinante u2x(a) + v

2x(a) = |f (a)|2 = 0. Por el teorema de la funcion inversa

para funciones R2 R2 (notese que la continuidad de f implica la continuidad delas derivadas parciales de u y v), hay sendos abiertos U a y V f(a) tales quef : U A V es biyectiva, Df es invertible en U y f1 : V U es diferenciable (ensentido real) en V , con

D(f1)(w) =[Df

(f1(w)

)]1, w V.

Llamando z = f1(w) se tiene

D(f1)(w) = [Df(z)]1 =1

u2x(z) + v2x(z)

(ux(z) vx(z)vx(z) ux(z)

),

de donde se deduce que f1 es derivable (en sentido complejo) en w, ya que las ecuacionesde CauchyRiemann se cumplen en w (y ya hemos visto que f1 es diferenciable ensentido real en dicho punto). Ademas, de la ecuacion anterior se sigue que

(f1)(w) =ux(z) i vx(z)u2x(z) + v2x(z)

=f (z)|f (z)|2 =

1f (z)

.

(Notese que f no se anula en U , al ser |f |2 = detDf .) Q.E.D.Derivabilidad de log:

Log : C {0} {z C : < Im z } es discontinua en R {0} (por ladiscontinuidad de Arg).

Sin embargo, Log es derivable en el abierto B = C (R {0}). En efecto, Loges la inversa global de

exp : A = {z C : < Im z < } B,y exp satisface las condiciones del teorema de la funcion inversa en A (exp = expno se anula y es continua en A).

Si z A y w = ez B, hay dos abiertos U z y V w tales que exp : U A Ves invertible en U , y

(exp1)(w) =1

exp(z)=

1ez

=1w.

Al ser U A se tiene exp1 = Log, y por tanto

(Logw) =1w, w C (R {0}).

Del mismo modo se prueba la derivabilidad de logI (I = [y0, y0+2) o (y0, y0+2])en el abierto C ({z : arg z = y0 mod 2} {0}), siendo logI(w) = 1/w.


2.5.5 Funciones armonicas

Denicion 2.12. Una funcion u : A R2 R2 es armonica en el abierto A siu C2(A), y se cumple

2u 2u

x2+2u

y2= 0 en A.

Si f : A C es analtica en el abierto A entonces u = Re f y v = Im f sonarmonicas en A. (Se dice que u y v son funciones armonicas conjugadas).

En efecto, veremos mas adelante que f analtica en A = u, v C(A). De lasecuaciones de CauchyRiemann se sigue que

uxx =vyx

= vyx = vxy = uyy

= uyy,

y analogamente para v. (Notese que vxy = vyx por ser v de clase C2(A).)

Si f = u+ i v : A C es analtica en el abierto A y f no se anula en A, las dosfamilias de curvas planas u(x, y) = c1 y v(x, y) = c2 son ortogonales.

En efecto, las dos familias de curvas son regulares, ya que de las ecs. de CauchyRiemann se sigue que

u = 0 ux = uy = 0 = vx = vy = 0 = f = 0,

y analogamente para v. Los vectores normales a las curvas u(x, y) = c1 y v(x, y) =c2 en un punto de interseccion (x0, y0) son ortogonales, ya que

u(x0, y0) v(x0, y0) = ux(x0, y0)vx(x0, y0) + uy(x0, y0)vy(x0, y0)= ux(x0, y0)uy(x0, y0) + uy(x0, y0)ux(x0, y0) = 0,

por las ecuaciones de CauchyRiemann.Nota: Otra forma de probar el resultado anterior es observar que si z0 = x0+i y0 A el TFI garantiza la existencia de inversa derivable f1 : V U (siendo U z0y V f(z0) = c1 + ic2 c abiertos, y U A). La curva {u(x, y) = c1} U es laimagen bajo f1 de la recta vertical {w : Rew = c1}V . Analogamente, la curva{v(x, y) = c2} U es la imagen bajo f1 de la recta vertical {w : Imw = c2} V .Como f1 es analtica en V y su derivada no se anula en dicho conjunto (de nuevopor el TFI), f1 es conforme en c V . Como las rectas Rew = c1 y Imw = c2se cortan ortogonalmente en c, lo mismo ocurrira con sus imagenes bajo f1 (enf1(c) = z0).

Si u : A R2 C R es armonica en A, z0 A y U A es un entorno de z0,hay una funcion f : U C analtica en U tal que Re f = u.


En efecto, si z = x+ i y U entonces v = Im f debera cumplir:

vy = ux = v(x, y) = yy0

ux(x, t) dt + h(x);

vx = yy0

uxx(x, t) dt + h(x) = yy0

uyy(x, t) dt + h(x)

= uy(x, y) + uy(x, y0) + h(x) = uy h(x) = uy(x, y0)= h(x) =

xx0

uy(t, y0) dt + c

= v = yy0

ux(x, t) dt xx0

uy(t, y0) dt+ c.

Si v esta dada por la formula anterior f = u+ i v es diferenciable (al ser u de claseC2) y cumple las ecuaciones de CauchyRiemann en U = f es analtica en U , yRe f = u.Alternativamente, la forma diferencial = uy dx+ ux dy es cerrada en U (al seru armonica) = v : U R (de clase C2(U)) tal que dv = . Esto implica quevx = uy, vy = ux, por lo que f = u+ i v es analtica en U .

En una region, v esta determinada salvo por una constante aditiva. El resultado anterior no es cierto globalmente. Por ejemplo, u : A = R2{0} R2denida por u(x, y) = log(x2 + y2) no admite una armonica conjugada en A.Localmente, v = 2argI z + c, escogiendo I de forma que argI sea continuo (y portanto C) en el entorno considerado, ya que u = 2 log |z| = u+ i v = 2 logI z+c.Si existiera f analtica en A con Re f = u entonces f y 2Log (p. ej.) diferiran enuna constante (imaginaria pura) en C (R{0}. Pero esto es imposible, ya quesi x < 0 se tendra (al ser f continua en A y f = 2Log+c en C (R {0}))4 = 2 lim

y0+[Log(x+ i y) Log(x i y)]

= limy0+

[f(x+ i y) f(x i y)] = f(x) f(x) = 0 .

Captulo 3

El teorema de Cauchy

3.1 Integracion sobre arcos: denicion ypropiedades elementales

Si h1, h2 : R R son integrables (por ej., continuas) en [a, b] R y h = h1+i h2 :R C, denimos b

ah

bah(t) dt =

bah1(t) dt + i

bah2(t) dt C.

Ejemplo: 0eit dt =

0

cos t dt+ i 0

sen t dt = 2 i.

Un arco continuo (o curva continua) es una apliacion : [a, b] C continuaen [a, b] (i.e., Re e Im son continuas en [a, b]).

El arco continuo es C1 a trozos si existe una subdivision nita a = a0 < a1 < < an1 < an = b de [a, b] tal que existe y es continua en cada subintervalo[ai1, ai] (1 i n).En otras palabras, es continua en [a, b] y C1 en [a, b] {a0, . . . , an}, y existenlimta+ (t), limtb (t) y limtai (t) para i = 1, . . . , n 1, aunque los lmitespor la izquierda y por la derecha en ai no coincidan.

Si : [a, b] C es un arco de clase C1 a trozos, f : A C C es continua en elabierto A y ([a, b]) A, denimos

f

f(z) dz =

ni=1

aiai1

f((t)

)(t) dt C.

Notese que f((t)

)(t) es continua en cada uno de los subintervalos [ai, ai1].

Si f = u + iv y (t) = x(t) + i y(t), entonces (suponiendo por sencillez que es

23

CAPITULO 3. EL TEOREMA DE CAUCHY 24

C1 en [a, b])f =

ba

[u(x(t), y(t)

)+ i v

(x(t), y(t)

)] [x(t) + i y(t)

]dt.

= ba

[u(x(t), y(t)

)x(t) v(x(t), y(t)) y(t)] dt

+ i ba

[u(x(t), y(t)

)y(t) + v

(x(t), y(t)

)x(t)

]=(u dx v dy) + i

(v dx+ u dy).

Linealidad. Para todo , C se cumple( f + g) =

f +

g.

Cadenas. Si : [a, b] C es una curva C1 a trozos, se dene la curva C1 a trozos : [a, b] C mediante

()(t) = (a+ b t), t [a, b].Si ([a, b]) A abierto y f : A C es continua en A se cumple

f =

baf((a+ b t))((a+ b t)) dt s=a+bt= a

bf((s)

)(s) ds

= baf((s)

)(s) ds =

f.

Si 1 : [a, b] C y 2 : [b, c] C son curvas C1 a trozos con 1(b) = 2(b), denimosla curva C1 a trozos 1 + 2 : [a, c] C mediante

(1 + 2)(t) =

{1(t), t [a, b]2(t), t [b, c].

De forma analoga se dene la curva C1 a trozos 1+ + n. Si 1([a, b]), 2([b, c]) Aabierto, y f : A C es continua en A, se tiene

1+2

f =1

f +2

f.

Analogamente, 1++n

f =ni=1

i

f.

Invariancia bajo reparametrizacion. Si : [a, b] C es C1 a trozos, una reparame-trizacion de es una curva C1 a trozos : [a, b] C tal que existe una aplicacion


suprayectiva de clase C1 : [a, b] [a, b] con derivada positiva en (a, b) cumpliendo = .

Notese que, al ser > 0 en (a, b), es una funcion creciente en [a, b]. De esto y dela suprayectividad de f en [a, b] se deduce entonces que (a) = a, (b) = b. Observeseademas que, por el teorema de la funcion inversa, es invertible en [a, b], siendo suinversa 1 de clase C1 en [a, b].

Ejemplo: (s) = s + i1 s2 (s [1, 1]) es una reparametrizacion de (t) = ei t(t [0, ]). En efecto, (t) = ( cos t), siendo en este caso (t) = cos t de clase C1y creciente en [0, ] (aunque (0) = () = 0).

Proposicion 3.1. Si : [a, b] C es una reparametrizacion de : [a, b] C,([a, b]) A, y f : A C es continua en el abierto A, se cumple:

f =

f.

Demostracion. Supongamos por sencillez que y : [a, b] [a, b] (tal que = )son de clase C1 en [a, b]. Entonces se tiene:

f =

baf((t)

)(t) dt =

baf(((t))

)((t)

)(t) dt

s=(t)=

baf((s)

)(s) ds =

f.

Q.E.D.

Integral respecto de la longitud de arco. Si f : A C es continua en al abierto A, : [a, b] C es C1 a trozos y ([a, b]) A, se dene

f(z) |dz| =

baf(((t)

) (t) dt.Notese que si f = u+ i v entonces

f(z) |dz| =

u ds+ i

v ds. En particular,

|dz| =

ds = l() longitud de .

Propiedades:

i)

( f(z) + g(z)

) |dz| = f(z) |dz|+ (z) |dz| , , C.ii)

1++n f(z) |dz| =

ni=1

if(z) |dz|.

iii) f(z) |dz| =

f(z) |dz|.

iv) Si es una reparametrizacion de ,f(z) |dz| =

f(z) |dz|.


Desigualdad fundamental. f(z) dz |f(z)| |dz|.

En particular, si maxt[a,b]

f((t)) = M entoncesf(z) dz

M l().En efecto, la segundad desigualdad es consecuencia de la primera (por las propiedades dela integral de funciones reales de una variable real). Si

f = 0, la primera desigualdad

se cumple trivialmente. En caso contrario, llamando = Arg( f) se tiene:

f

= Re[ei

f

]= baRe[eif

((t)

)(t)

]dt

baRe[eif

((t)

)(t)

]dt

ba

Re [eif((t))(t)] dt = ba

f((t))(t) dt = |f(z)| |dz| .

Teorema fundamental del Calculo. Sea F : A C analtica en el abierto A (conF continua en A). Si : [a, b] C es C1 a trozos y ([a, b]) A entonces se cumple:

F = F

((b)

) F ((a)).En particular, si es cerrada (i.e., (b) = (a)) se tiene

F = 0.

Demostracion.F =

baF ((t)

)(t) dt =

ba(F )(t) dt = F

((b)

) F ((a)),por el TFC para funciones R R. Q.E.D.Independencia del camino. Si f : A C es continua en una region A, las siguientesarmaciones son equivalentes:

i) f es independiente del camino:

1f =

2f para todo par de curvas C1 a trozos

1 y 2 contenidas en A que unen un punto z1 A con otro punto z2 A.ii)

f = 0 para toda curva cerrada C

1 a trozos contenida en A.

iii) f admite una antiderivada (o primitiva) en A: existe F : A C analtica enA y tal que F (z) = f(z) para todo z A.


Demostracion.

i) ii) Se basa en que si 1 y 2 son dos curvas C1 a trozos contenidas en A queunen z1 A con z2 A entonces = 1 + (2) 1 2 es una curva cerrada, y

f =

12

f =1

f 2

f.

iii) =i) Por el teorema fundamental del Calculo (F es continua, ya que F = f).i)=iii) Fijemos (arbitrariamente) un punto z0 A. Si z es un punto cualquiera de A,por ser A una region hay una curva (C1 a trozos) contenida en A que une z0 con z.Denimos entonces

F (z) =f.

Notese que F no depende de la curva A que utilicemos para unir z0 con z.Probemos nalmente que F es diferenciable en todo punto z A, con F (z) = f(z).

Si ! > 0, al ser A abierto y f continua en A, existe > 0 tal que |f() f(z)| < ! si D(z; ) A. Dado un punto cualquiera w D(z; ) distinto de z, sea L D(z; ) Ael segmento que une z con w. Entonces se tiene:

F (w) F (z) =+L

f f =

Lf.

Al ser (w z)f(z) = f(z) L 1 = L f(z) d (ya que 1 = ) se tiene:F (w) F (z)w z f(z) = |F (w) F (z) (w z)f(z)||w z|=

L f() d

L f(z) d

|w z| =

L [f() f(z)] d

|w z|

! l(L)|w z| = !.

Q.E.D.

3.2 Teorema de CauchyGoursat. Homotopa.

Antiderivadas

Una curva cerrada : [a, b] C es simple si a s < t b y (s) = (t) = s = ay t = b.

Teorema de Cauchy (version original). Si es una curva cerrada simple C1 atrozos y f : C C es analtica con derivada continua en y en el interior de ,entonces

f = 0.


Demostracion. Por el teorema de Stokes (orientando la curva en sentido antihorario, demodo que el interior D de quede a la izquierda de ), si f = u+ i v se tiene

f dz =

(u dx v dy) + i

(u dy + v dx)

= D(uy + vx) dx dy + i

D(ux vy) dx dy = 0,

en virtud de las ecuaciones de CauchyRiemann. Q.E.D.

Este resultado es insuciente, ya que no hace falta suponer que f sea continua (sededuce del resto de hipotesis). Ademas, el resultado es valido para curvas muchomas generales.

Teorema de CauchyGoursat para un rectangulo. Sea R un rectangulo cerradocon los lados paralelos a los ejes, y sea R la frontera de R. Si f : C C es analticaen R se cumple:

Rf = 0.

Demostracion. Orientemos R en sentido antihorario (obviamente, el resultado es inde-pendiente de la orientacion de R). Si dividimos R en cuatro subrectangulos congruentesR(i) (i = 1, . . . , 4) (tambien orientados en sentido antihorario) entonces

R

f =4i=1

R(i)

f.

Por tanto, existe k {1, . . . , 4} tal queR(k)

f

14R

f

.Llamemos R1 = R(k). Repitiendo indenidamente el proceso anterior, obtenemos unasucesion de rectangulos cerrados encajados R0 R R1 R2 Rn Rn+1 . . . tales que

Rn

f

14Rn1

f

=Rn

f

14nR

f

, n N.Ademas, si Pi y Di denotan respectivamente el permetro y la diagonal del i-esimorectangulo y P P0, D D0, se tiene:

Pi =P

2i, Di =

D

2i, i N.

Por el teorema de encaje de Cantor, nNRn = a R. Ademas, Rn = |z a| Dn = 2nD.


Si ! > 0, tomemos > 0 sucientemente pequeno de modo que f sea analtica en D(a; )y ademas se veriquef(z) f(a) (z a)f (a) < ! |z a| , z D(a; ), z = a.Escojamos ahora n sucientemente grande para que Dn = 2nD < , de modo queRn D(a; ). Notese que, por el teorema fundamental del Calculo,

Rn

dz =Rn

z dz = 0.

De esto se sigue queR

f

4nRn

f

= 4nRn

[f(z) f(a) f (a)(z a)] dz

4nRn

! |z a| |dz| 4n 2nD! Pn = 4n 2nD! 2nP = PD!.

Como ! > 0 es arbitrario, el teorema esta demostrado. Q.E.D.

Teorema de CauchyGoursat generalizado. Sea a un punto interior a R, y su-pongamos que f : C C es analtica en R {a} y lim

za[(z a)f(z)] = 0. EntoncesR

f = 0.

Demostracion. Sea Q R un cuadrado con lados paralelos a los ejes coordenados decentro a y lado l > 0 sucientemente pequeno de forma que que |(z a)f(z)| < ! siz Q {a}. Subdividiendo el rectangulo R adecuadamente obtenemos entonces

R

f

=Q

f

!Q

|dz||z a| !

2l 4l = 8! ,

lo que demuestra nuestra armacion. Q.E.D.

3.2.1 Homotopa. Teorema de Cauchy

Sea A C una region, y sean 1 y 2 dos curvas continuas contenidas en Acon los mismos extremos z1, z2 A (z1 = z2), o dos curvas cerradas continuascontenidas en A. Diremos que 1 y 2 son homotopas en A si 1 se puededeformar continuamente hasta transformarse en 2 sin salirse de A.En el primer caso, los extremos de las curvas deformadas han de mantenerse iguales a z1y z2, y en el segundo todas las curvas deformadas han de ser cerradas.

Una region A C es simplemente conexa si toda curva cerrada continua contenida en A es homotopa a un punto en A.

Un punto z0 A es una curva cerrada constante: (t) = z0, t [a, b].


Ejemplo: C es simplemente conexo. Un disco abierto es una region simplemente conexa.Un disco abierto sin uno de sus puntos no lo es.

Teorema de la deformacion. Sean 1 y 2 dos curvas C1 a trozos homotopas en unaregion A, y sea f : A C analtica en A. Entonces se verica

1

f =2

f.

Teorema de Cauchy. Sea una curva cerrada C1 a trozos homotopa a un punto enuna region A. Si f : A C es analtica en A se cumple

f = 0. (3.1)

Corolario 3.2. Si A C es una region simplemente conexa y f : A C es analticaen A entonces

f = 0,

para toda curva cerrada contenida en A.

Corolario 3.3. Si f : A C es analtica en una region simplemente conexa A entoncesf admite una antiderivada en A.

Necesitaremos tambien la siguiente generalizacion del teorema de Cauchy, que se pruebautilizando el teorema de CauchyGoursat generalizado:

Teorema de Cauchy generalizado. Sea : [a, b] C una curva cerrada homotopaa un punto en una region A, y sea z0 A ([a, b]). Si f es analtica en A {z0} ylimzz0

[(z z0)f(z)] = 0 entoncesf = 0.

3.3 Indice. Formula integral de Cauchy

y sus consecuencias

3.3.1 Indice

Si es una curva cerrada (C1 a trozos) y a / , denimos el ndice de a respectode mediante

n(, a) =12i

dz

z a.

Si es una circunferencia de centro a y radio r > 0 recorrida n veces en sentidoantihorario ((t) = a+ r eit, con t [0, 2n]) entonces

n(, a) =12i

2n0

ireit

reitdt = n.


Analogamente, si es la circunferencia de centro a y radio r > 0 recorrida n vecesen sentido horario,

n(, a) = n.Esto sugiere que n(, a) es el numero de vueltas que da la curva alrededor de a.

Ejemplo: Si z0 es un punto exterior a una circunferencia (o a cualquier curva cerradasimple) , entonces (z z0)1 es analtica en A = C{z0} y es homotopa a un puntoen A = n(, z0) = 0.Proposicion 3.4. n(, z0) es un entero.

Demostracion. Supongamos, por sencillez, que es C1 en [a, b]. Si : [a, b] C, sea

h(t) = ta

(s)(s) z0 ds;

entonces n(, z0) = h(b)/(2i). Por otra parte, h es derivable en [a, b] (el integrando escontinuo, ya que el denominador no se anula), y

h(t) =(t)

(t) z0 =d

dt

(eh(t) [(t) z0]

)= 0, t [a, b].

Por tanto eh(t)((t) z0

)es constante en [a, b], de donde se deduce que

(a)z0 = eh(b)((b)z0) = eh(b)((a)z0) = eh(b) = 1 = h(b) = 2ni, n Z.Q.E.D.

3.3.2 Formula integral de Cauchy

Sea f : A C analtica en una region A, sea una curva (C1 a trozos) homotopa a unpunto en A, y sea a A un punto que no este sobre . Entonces se verica

n(, a) f(a) = 12i

f(z)z a dz.

Demostracion. La funcion

g(z) =

f(z) f(a)

z a , z = af (a), z = a

es analtica en A {a} y limza[(z a)g(z)] = limza[f(z) f(a)] = 0. Por el teorema de

Cauchy generalizado,

0 =g =

f(z) f(a)z a dz =

f(z)z a dz f(a)

dz

z a=

f(z)z a dz f(a) 2in(, a).

Q.E.D.


Si z A es cualquier punto de A que no este sobre y n(, z) = 1, podemosreescribir la formula anterior como

f(z) =12i

f(w)w z dw.

Derivando esta formula formalmente respecto de z bajo el signo integral obtenemos

f (k)(z) =k!2i

f(w)(w z)k+1 dw, k N (3.2)

En particular f es innitas veces diferenciable en z. Ademas, esto se cumple de hechopara cualquier punto z A (ya que dado cualquier z A siempre podemos encontraruna curva (por ejemplo, una circunferencia de radio sucientemente pequeno) queeste contenida en A, no pase por z, tenga ndice 1 y sea homotopa a un punto en A.

3.3.3 Formula integral de Cauchy para las derivadas

Sea f : A C una funcion analtica en una region A. Entonces f es innitas vecesderivable en cualquier punto de A. Ademas, si : [a, b] C es una curva (C1 a trozos)homotopa a un punto en A y z0 A ([a, b]) se verica

n(, z0) f (k)(z0) = k!2i

f(w)(w z0)k+1 dw, k N. (3.3)

Demostracion. Consideremos la integral de tipo Cauchy

G(z) =

g(w)w z dw,

donde g es una funcion continua sobre y z / ([a, b]). Se demuestra entonces que Ges innitas veces derivable en todo punto z A ([a, b]), siendo

G(k)(z) = k!

g(w)(w z)k+1 dw.

La demostracion es por induccion, aunque nosotros solo probaremos en detalle el casok = 1. Para ello, sea z0 A ([a, b]),


Figura 3.1: integral de tipo Cauchy

2 = mint[a,b]

|(t) z0| > 0, M = maxt[a,b]

g((t)) .(Notese que > 0 y M < por la continuidad de y g en [a, b].) Si z D(z0; )con z = z0 se tiene

G(z) G(z0)z z0 =

1z z0

[1

w z 1

w z0

]g(w) dw.

Pero

1z z0

[1

w z 1

w z0

]=

1(w z)(w z0)

=1

(w z0)2w z0w z =

1(w z0)2

(1 +

z z0w z

).

Por tantoG(z) G(z0)z z0

g(w)(w z0)2 dw

= |z z0|

g(w)(w z0)2(w z) dw

|z z0| M l()42 zz0 0.

Como n(, z) es una integral de tipo Cauchy (g = 1/2i), es continua en cualquierentorno D de z0 que no corte a (por ejemplo, en D(z0; )), y como es un numeroentero ha de ser constante en dicho entorno. Si

F (z) =12i

f(w)w z dw

y z D se tieneF (z) = n(, z)f(z) = n(, z0)f(z)


y por tanto (ya que F tambien es de tipo Cauchy)

n(, z)f (k)(z) = n(, z0)f (k)(z) = F (k)(z)

=k!2i

f(w)(w z)k+1 dw.

Q.E.D.

Nota: A partir del teorema anterior se prueba facilmente que si f es analtica en unconjunto cualquiera C entonces f es innitas veces derivable en todo punto de C.

3.3.4 Desigualdades de Cauchy

Sea f analtica en una region A, sea a A, y supongamos que D(a;R) {z C : |z a| R} A. Si M = max

|za|=R|f(z)| entonces

fk(a) k!Rk

M, k = 0, 1, 2, . . . .

Demostracion. Si es el crculo de centro a y radio R orientado positivamente entonces es homotopico a un punto en A (ya que lo es en el disco cerrado o, con mas rigor,en un disco abierto ligeramente mas grande contenido en A) y n(, a) = 1. La formulaintegral de Cauchy para la k-esima derivada proporciona entoncesf (k)(a) = k!

2

f(z)(z a)k+1 dz

k!2

|f(z)||z a|k+1 |dz|

k!2

M

Rk+12R =

k!Rk

M.

Q.E.D.

3.3.5 Teorema de Liouville

Si f : C C es entera (es decir, analtica en todo C) y |f | esta acotada en C, entoncesf es constante.

Demostracion. La hipotesis implica que existe M > 0 tal que |f(z)| < M para todoz C. Si z C, de la desigualdad de Cauchy para la primera derivada se deduce que

f (z) < MR, R > 0

(ya que, al ser A = C, se puede aplicar la formula de Cauchy para las derivadas paracualquier R > 0). De esto se sigue obviamente que |f (z)| = 0 para todo z C. Al serC conexo, f ha de ser constante en C. Q.E.D.


3.3.6 Teorema de Morera

Si f : C C es continua en una region A y f = 0 para toda curva cerrada (C1 atrozos) contenida en A, entonces f es analtica en A.

Demostracion. El teorema acerca de la independencia del camino implica que existeF : C C analtica en A tal que f = F en A. Como F es analtica en A, esinnitamente derivable en A, y por tanto f = F existe en todo punto de A. Q.E.D.

3.3.7 Teorema fundamental del Algebra

Un polinomio de grado n 1 tiene al menos una raz.Demostracion. Sea p(z) =

ni=0 aiz

i, con an = 0 y n 1. Si p no tuviera ninguna raz,la funcion f = 1/p sera entera. Probaremos que esto es imposible demostrando que ental caso f sera tambien acotada en C y no constante, en contradiccion con el teoremade Liouville.

Para probar que f esta acotada, notese que si z = 0

|p(z)| |z|n(|an| |an1||z|

|a0||z|n

).

Como |ai| / |z|ni |z| 0 (i = 1, . . . , n 1), existe K > 1 tal que

|z| > K = |ai||z|ni K = |p(z)| > |an|

2|z|n > |an|

2> 0.

Por otra parte, al ser el disco cerrado de centro 0 y radio K compacto, existe M > 0 talque |p(z)| > M > 0 si |z| K (notese que M > 0, al ser, por hipotesis, p(z) = 0 paratodo z C). Por tanto, hemos probado que

|f(z)| = 1p(z)

< max(

2|an| ,

1M

), z C.

Esto contradice el teorema de Liouville, al ser f entera y no constante (p no es constante,ya que an = 0 y n 1). Q.E.D.

3.4 Principio del modulo maximo. Propiedad del valor

medio

3.4.1 Propiedad del valor medio

Si f : C C es analtica en el disco cerrado D(a; r) se verica

f(a) =12

20

f(a+ r ei

)d.


Demostracion. Antes de probar este resultado, notese que la formula anterior expresaque el valor de f en a es la media de los valores de f en el crculo de centro a y radio r.

La demostracion es una consecuencia inmediata de la formula integral de Cauchy.En efecto, por hipotesis f es analtica en un abierto A D(a; r), que puede tomarsecomo una region (de hecho, como un disco abierto de radio ligeramente mayor que r:cf. MarsdenHoman, prob. 1.4.27). La circunferencia de centro a y radio r (orientadapositivamente) es homotopa a un punto en A, ya que lo es obviamente en el disco cerrado(con mas rigor, en un disco abierto ligeramente mas grande contenido en A). Aplicandola formula integral de Cauchy se obtiene:

f(a) =12i

f(z)z a dz

z=a+rei=12i

20

f(a+ r ei)r ei

irei d

=12

20

f(a+ r ei

)d.

Q.E.D.

3.4.2 Principio del modulo maximo

Sea f : C C analtica en una region A, y supongamos que |f | tiene un maximorelativo en a A. Entonces f es constante en un entorno de a.Demostracion. Por hipotesis, existe R > 0 tal que

|f(z)| |f(a)| , z D(a;R) D A.Vamos a probar, en primer lugar, que |f | es constante en D. Para ello, supongamos queexistiera z0 = a+ rei D tal que |f(z0)| < |f(a)|. Por la continuidad de f en D A,existen ! > 0 y 0 < tales quef(a+ rei) < |f(a)| !, + .Aplicando la propiedad del valor medio obtenemos:

|f(a)| = 12

+

f(a+ rei) d

12

f(a+ rei) d+ 12

+

f(a+ rei) d+ 12

++

f(a+ rei) d

12[|f(a)| ( ) + (|f(a)| !)(2) + |f(a)| ( )]

= |f(a)| !< |f(a)| ,

lo cual es absurdo. Esto demuestra que |f | es constante en D, lo cual implica (Problema19) que f es tambien constante en D. Q.E.D.


3.4.3 Principio del modulo maximo global

Sea f : C C analtica en una region acotada A y continua en la frontera A de A.Si M = max

zA|f(z)|, entonces se cumple:

i) |f(z)| M para todo z Aii) Si |f(z)| = M para algun z A entonces f es constante en A.

Demostracion. En primer lugar M R existe, al ser A cerrado y acotado (por ser Aacotado), y |f | continua en A. En segundo lugar, la funcion |f | tambien es continuaen el compacto A = AA (union disjunta), de forma que alcanza un maximo en dichoconjunto. Si dicho maximo se alcanza en A, entonces la primera armacion se cumplepor denicion de maximo. Si se alcanza en z0 A, entonces f es constante en un entornode z0, por el principio del modulo maximo (local). Como A es conexo, esto implica que fes constante en A. (En efecto, sea B = {z A : f(z) = f(z0)}, que es cerrado respectode A por ser f continua en A. Si z B, como |f(z)| = |f(z0)| = maxzA |f(z)|, elprincipio del modulo maximo local implica que f es constante en un entorno U de z.Luego B es tambien abierto, ya que contiene un entorno de cualquiera de sus puntos.Como B es abierto y cerrado a la vez respecto de A, es no vaco (z0 B) y A es conexo,se tiene que B = A.) Por continuidad, f = f(z0) tambien en A, lo cual implica queM = |f(z0)| y demuestra la primera parte. Para probar la segunda parte, basta notarque si |f(z)| = M para algun z A, por la primera parte el maximo de |f | en A sealcanza en A, lo cual implica, como antes, que f es constante en A. Q.E.D.

Captulo 4

Representacion de funcionesanalticas mediante series

4.1 Convergencia de sucesiones y series defunciones

4.1.1 Sucesiones y series de numeros complejos

Una sucesion de numeros complejos {zn}n=1 converge a z C ( limn zn = z)si

! > 0, N N t.q. n N = |zn z| < !. lim

n zn, si existe, es unico.

limn zn = z x+ i y limnRe(zn) = x y limn Im(zn) = y.

Criterio de Cauchy: limn zn ! > 0, N N t.q. n,m N = |zn zm| < !.

Demostracion.

=) |zn zm| |zn z|+ |zm z|=) zn = xn + i yn = |xn xm| |zn zm| , |yn ym| |zn zm| ={xn}n=1 y {yn}n=1 convergentes = {zn}n=1 convergente. Q.E.D.

La seriek=1

zk converge a s C(

k=1

zk = s

)si la sucesion de sumas

parciales{n

k=1 zk}n=1

converge a s, es decir

k=1

zk = s limn

nk=1

zk = s.

38

CAPITULO 4. REPR. DE FUNC. ANALITICAS MED. SERIES 39

k=1

zk convergente = limn zn = limn

(n

k=1

zk n1k=1

zk

)= 0

k=1

zk es absolutamente convergente sik=1

|zk| es convergente.

Proposicion 4.1. Sik=1

zk es absolutamente convergente entonces es convergente.

Demostracion. Es consecuencia del criterio de Cauchy, ya que si m > n se tienen

k=1

zk mk=1

zk

=

mk=n+1

zk

m

k=n+1

|zk| =n

k=1

|zk| mk=1

|zk| .

Q.E.D.

4.1.2 Sucesiones y series de funciones. Convergenciauniforme

Una sucesion de funciones fn : A C denidas en un conjunto A C (n N)converge puntualmente a una funcion f en A si para todo z A existe lim

n fn(z) =f(z). Analogamente, la serie de funciones

k=1 gk converge puntualmente a g en A

si existe

k=1 gk(z) = g(z) para todo z A.Denicion 4.2. La sucesion de funciones {fn}n=1 denidas en A converge unifor-memente a f en A si

! > 0, N N t.q. n N = |fn(z) f(z)| < !, para todo z A.Analogamente,

k=1 gk converge uniformemente a g en A si la sucesion de funciones{n

k=1 gk}n=1

converge uniformemente a g en A, es decir si

! > 0, N N t.q. n N =n

k=1

gk(z) g(z) < !, para todo z A.

Obviamente, si una sucesion o serie de funciones fn : A C C converge uniforme-mente a f en A entonces converge puntualmente en A a la misma funcion. Sin embargo,la convergencia puntual de una sucesion o serie de funciones no implica, en general, suconvergencia uniforme.

Criterio de Cauchy: {fn}n=1 converge uniformemente en A si y solo si! > 0, N N t.q. n,m N = |fn(z) fm(z)| < !, para todo z A.

Analogamente para series de funciones.


Demostracion. En primer lugar, es claro que la convergencia uniforme de fn a f en Aimplica el criterio de Cauchy. Para demostrar el recproco notese que, por el criterio deCauchy para sucesiones numericas, la sucesion {fn}n=1 converge puntualmente a unafuncion f en A. Haciendo tender m a innito en la condicion de Cauchy uniforme seprueba que si n N entonces |fn(z) f(z)| ! para todo z A. Q.E.D.Criterio M de Weierstrass. Sea gk : A C C (k N) una sucesion de funciones,y supongamos que |gk(z)| Mk para todo z A y para todo k N. Si la serie numerica

k=1Mk es convergente, entonces

k=1 gk converge absoluta y uniformemente en A.

Demostracion. Es consecuencia del criterio de Cauchy para la convergencia uniforme,ya que si m > n

mk=n+1

gk(z)

m

k=n+1

|gk(z)| m

k=n+1

Mk.

Q.E.D.

Si {fn}n=1 converge uniformemente a f en A y fn : A C es continua en A paratodo n N, entonces f es continua en A. Analogamente, si gn es continua en A paratodo n N y k=1 gk converge uniformemente a g en A entonces g es continua en A.Lema 4.3. Sea fn continua en A para todo n N. Si {fn}n=1 converge uniformementea f en A y es una curva C1 a trozos contenida en A entonces

limn

fn =

f

limn fn.

En particular, si gk es continua en A para todo k N y

k=1 gk converge uniforme-mente en A entonces

( k=1

gk

)=

k=1

gk.

Demostracion. En primer lugar, notese que f es continua, al ser uniforme la convergenciade fn a f . Dado ! > 0, existe N N tal que |fn(z) f(z)| < ! para todo z A sin N . Entonces se tiene:

fn

f

=(fn f)

|fn(z) f(z)| |dz| ! l().

Q.E.D.

Teorema de la convergencia analtica. Sea {fn}n=1 una sucesion de funcionesanalticas en un abierto A tales que fn f uniformemente en cada disco cerradocontenido en A. Entonces f es analtica en A, y f n f uniformemente en cada discocerrado contenido en A.


Demostracion. En primer lugar, por ser uniforme la convergencia de fn a f en discoscerrados contenidos en A, f es continua en cada disco cerrado contenido en A, y portanto es continua en A. SeaD(a; r) A. Si es una curva cerrada C1 a trozos contenidaen D(a; r) entonces f es continua en D(a; r) y

f = lim

n

fn = 0,

por el Lema 4.3 y el teorema de Cauchy (fn es analtica y es homotopa a un punto enD(a; r) A). Por el teorema de Morera, f es analtica en D(a; r), y por tanto tambienen A.

Para probar que f n f uniformemente en D(a; r), notese que existe R > r talque D(a;R) A. Dado ! > 0, existe N N tal que |fn(w) f(w)| < ! para todow D(a;R) y n N . Si z D(a; r) y es la circunferencia de centro a y radio R(orientada positivamente) se tiene entonces, por la formula integral de Cauchy para laprimera derivada:

f n(z) f (z) = 12

fn(w) f(w)(w z)2 dw

12 !(R r)2 2R = !R(R r)2 .Q.E.D.

Corolario 4.4. Sea

k=1 gk una serie de funciones analticas en un abierto A unifor-memente convergente a g en cada disco cerrado contenido en A. Entonces g es analticaen A, y

k=1 g

k converge uniformemente a g

en cada disco cerrado contenido en A.

En particular, notese que

d

dz

k=1

gk =k=1

dgkdz

en A ;

en otras palabras, la serie se puede derivar termino a termino en A.

4.2 Convergencia de series de potencias.

Teoremas de Taylor y Laurent.

4.2.1 Series de potencias

Una serie de potencias centrada en z0 C es una serie del tipok=0

ak(z z0)k, ak C (k = 0, 1, . . . ). (4.1)

Teorema de Abel. Para toda serie de potencias (4.1) hay un R tal que 0 R ,llamado el radio de convergencia de la serie, tal que:


i) La serie converge absolutamente para |z z0| < R. Ademas, la convergencia esuniforme en todo disco cerrado D(z0; r) de radio r < R.

ii) La serie diverge si |z z0| > R.Si R > 0, la suma de la serie es una funcion analtica en el disco de convergenciaD(z0;R), cuya derivada se obtiene derivando termino a termino la serie dada.

Demostracion. Probaremos que

R = sup {r 0 : {|an| rn}n=0 acotada} ;en particular, R = si {|an| rn}n=1 esta acotada para todo r 0. Con esta denicion,la parte ii) es trivial: si |z z0| > R, la sucesion {|an| |z z0|n}n=0 = {|an(z z0)n|}n=0no esta acotada, y por tanto el termino general de la serie no tiende a cero cuando n.

Para probar i), notese en primer lugar que si R = 0 la serie diverge para todo z = z0,y no hay nada que probar. Sea, por tanto, R > 0. Por denicion de R, si 0 < r < Rexisten r < < R y M > 0 tal que |an| n < M para todo n. Si |z z0| r se tiene:

|an(z z0)n| = |an| n( |z z0|

)nM

(r

)n.

Por el criterioM de Weierstrass, la serie converge absoluta y uniformemente en D(z0; r);en particular, converge absolutamente en D(z0;R). La ultima parte se sigue del criteriode la convergencia analtica. Q.E.D.

El radio de convergencia de la derivada de una serie de potencias es igual al radio deconvergencia de la serie.En efecto, por el teorema de la convergencia analtica, basta ver que la serie

k=0 kak(z

z0)k1 diverge si |z z0| > R. Y, en efectok |ak| |z z0|k1 = |z z0|1 k |ak| |z z0|k |z z0|1 |ak| |z z0|k .

Por denicion de R, el ultimo termino no esta acotado cuando |z z0| > R. Luego eltermino general de la serie

k=0 kak(z z0)k1 no tiende a cero si |z z0| > R, por lo

que dicha serie diverge si |z z0| > R.Teorema 4.5. Sea 0 < R el radio de convergencia de la serie f(z) =k=0 ak(zz0)k. Entonces f es innitas veces derivable y

f (n)(z) =k=n

k(k 1) (k n+ 1)ak(z z0)kn, n N, z D(z0;R),

siendo el radio de convergencia de todas estas series de potencias igual a R. Ademas,los coecientes an vienen dados por

an =f (n)(z0)

n!, n = 0, 1, 2, . . . .


Corolario 4.6 (unicidad de las series de potencias). Si existe r > 0 tal que

k=0

ak(z z0)k =k=0

bk(z z0)k, z D(z0, r),

entonces ak = bk para todo k = 0, 1, 2, . . . .

Demostracion. ak = bk = f (k)(z0)/k!, siendo f(z) la suma de cualquiera de las dosseries. Q.E.D.

El radio de convergencia R de la serie de potencias k=0 ak(zz0)k se puede calcularmediante la formula de Hadamard

1R

= lim supn

n|an|.

(Nota: Si xn 0 para todo n N, lim supn xn = limn sup {xk : k n}. El lmitesuperior siempre existe, vale innito si y solo si {xn}n=1 no esta acotada superiormente,y coincide con el lmite ordinario cuando dicho lmite existe.)

Si existe (o vale +) limn

|an||an+1| , entonces R = limn

|an||an+1| .

Analogamente, si existe (o vale +) limn

n|an| entonces 1

R= lim

nn|an|.

Probemos, por ejemplo, la primera formula. Por el criterio del cociente, si z = z0 laserie

k=0 |ak| |z z0|k converge si

limn

|an+1| |z z0|n+1|an| |z z0|n = |z z0| limn

|an+1||an| < 1,

y diverge si

|z z0| limn

|an+1||an| > 1.

Analogamente (aplicando el criterio de la raz) se prueba la segunda.

4.2.2 Teorema de Taylor

Sea f analtica en un abierto A, sea z0 A, y supongamos que D(z0; r) A. Entoncesf admite el desarrollo en serie de Taylor

f(z) =k=0

f (k)(z0)k!

(z z0)k, z D(z0; r). (4.2)


z

w

z0

D(z0;r)

Figura 4.1: teorema de Taylor

Demostracion. Sea 0 < < r. Si es la circunferencia de centro z0 y radio (orientadapositivamente) y z D(z0; ) se tiene, por la formula integral de Cauchy:

f(z) =12i

f(w)w z dw.

Por otra parte,

1w z =

1w z0 + z0 z =

1w z0

1

1 z z0w z0

=1

w z0k=0

(z z0w z0

)k,

ya que w = |z z0| < = |w z0|. Como f(w) es analtica en , esta acotada en, por lo que f(w)w z0

z z0w z0

k < Mz z0

k , w .La serie numerica (es decir, independiente de w) M

k=0

zz0

k es convergente (se tratade una serie geometrica de razon menor que 1). Por el criterio M de Weierstrass, laserie

f(w)w z0

k=0

(z z0w z0

)kconvergente uniforme y absolutamente en . Integrando termino a termino obtenemos

f(z) =12i

k=0

f(w)(w z0)k+1 (z z0)

k dw

=k=0

(z z0)k 12i

f(w)(w z0)k+1 dw =

k=0

f (k)(z0)k!

(z z0)k,

por la formula integral de Cauchy para las derivadas. Esto prueba el desarrollo (4.2) paratodo z D(z0; ) con 0 < < r arbitrario, es decir para todo z D(z0; r). Q.E.D.


Corolario 4.7. El radio de convergencia de la serie de Taylor (4.2) de una funcion fanaltica en A es mayor o igual que la distancia de z0 a la frontera de A.

Denicion 4.8. Una funcion f analtica en un entorno de a C tiene un cero deorden k en a si

f(a) = = f (k1)(a) = 0, f (k)(a) = 0.Por el teorema de Taylor, si f tiene un cero de orden k en a entonces existe r > 0

tal que

|z a| < r = f(z) =n=k

f (n)(a)n!

(z a)n

= (z a)kn=0

f (n+k)(a)(n+ k)!

(z a)n (z a)kF (z),

con F analtica en D(a; r) (es una serie de potencias convergente) y F (a) = 0.

4.2.3 Teorema de Laurent

Una serie de la forma

f(z) =k=1

bk(z z0)k

es una serie de potencias en la variable w = (z z0)1. Por tanto, existe 0 R talque la serie converge absolutamente a una funcion analtica si |z z0| > R y diverge si|z z0| < R, siendo la convergencia de la serie absoluta y uniforme en el complementode cualquier disco D(z0; r) con r > R. Consideremos ahora la expresion

f(z) =k=0

ak(z z0)k +k=1

ak(z z0)k

k=

ak(z z0)k. (4.3)

La primera serie convergera absolutamente en un disco D(z0;R2), y la segunda para|z z0| > R1. Por tanto, f estara denida y sera analtica en la corona circular

C(z0;R1, R2) = {z : R1 < |z z0| < R2} ,(corona de convergencia), siempre y cuando sea 0 R1 < R2 . Ademas (porlos resultados sobre series de potencias) la convergencia de ambas series es absoluta yuniforme en toda subcorona cerrada contenida en C(z0;R1, R2). Una serie del tipo (4.3)se denomina serie de Laurent centrada en z0.

Teorema de Laurent. Sea f una funcion analtica en la corona C(z0;R1, R2) (con0 R1 < R2 ). Si R1 < r < R2, sea r la circunferencia de centro z0 y radio rorientada positivamente, y denamos

ak =12i

r

f(z)(z z0)k+1 dz, k Z. (4.4)


Entonces f admite el desarrollo en serie de Laurent

f(z) =

k=ak(z z0)k, (4.5)

donde la serie del miembro derecho converge absoluta y uniformemente en cada subco-rona cerrada contenida en C(z0;R1, R2).

z

w2

z0

2

1

R1

R2

w1

S

Figura 4.2: teorema de Laurent

Demostracion. Sea A = C(z0; r1, r2) con R1 < r1 < r2 < R2, de modo que la coronacerrada A esta contenida en C(z0;R1, R2). Llamemos r1 1, r2 2. La curvacerrada S+ 2 1S es homotopa a un punto en C(z0;R1, R2) (vease la g. 4.2). Porla formula integral de Cauchy,

f(z) =12i

S+21S

f(w)w z dw

=12i

2

f(w)w z dw

12i

1

f(w)w z dw f1(z) + f2(z), z A.

La demostracion del teorema de Laurent consiste, basicamente, en desarrollar f1 y f2como series de potencias en z z0 y (z z0)1, respectivamente. Para f1, repitiendo elrazonamiento que se utilizo para probar el teorema de Taylor se obtiene

f1(z) =12i

2

f(w)1

w z0k=0

(z z0w z0

)kdw

=k=0

(z z0)k 12i2

f(w)(w z0)k+1 dw,

donde el ultimo paso esta justicado por la convergencia uniforme de la serie para w 2(w 2 = |z z0| / |w z0| = |z z0| /r2 < 1). En cuanto a f2, basta observar que


si r1 < |z z0| se tiene

1w z =

1z z0

11 wz0zz0

= k=0

(w z0)k(z z0)k+1 .

De nuevo, la convergencia es uniforme para w 1 (w 1 = |w z0| / |z z0| =r1/ |z z0| < 1), por lo que

f2(z) =12i

1

f(w)k=0

(w z0)k(z z0)k+1 dw

=k=0

(z z0)k1 12i1

f(w)(w z0)k dw

=1

n=(z z0)n 12i

1

f(w)(w z0)n+1 dw.

Por el teorema de la deformacion,rf(w)(w z0)n1 dw es independendiente de r

si R1 < r < R2, lo que prueba (4.4)(4.5). La corona de convergencia de la serie deLaurent (4.4)(4.5) es por lo menos C(z0;R1, R2); por tanto, de las propiedades de lasseries de Laurent se deduce que la convergencia de dicha serie es absoluta y uniforme entoda subcorona cerrada centrada en z0 y contenida en C(z0;R1, R2). Q.E.D.

4.2.4 Clasicacion de singularidades aisladas

Denicion 4.9. Una funcion f : C C tiene una singularidad aislada en z0 C sif es analtica en algun entorno reducido C(z0; 0, r) (r > 0) de z0.

Por el teorema de Laurent, existe r > 0 tal que f admite un desarrollo en serie deLaurent (4.3) en C(z0; 0, r):

f(z) =k=1

bk(z z0)k +

k=0

ak(z z0)k, si 0 < |z z0| < r. (4.6)

i) Si bk = 0 para todo k N, se dice que z0 es una singularidad evitable de f .ii) Si bp = 0 y bk = 0 para todo k > p, el punto z0 es un polo de orden p para f .iii) Finalmente, si existen innitos coecientes bk = 0 se dice que f tiene una singu-

laridad esencial en z0.

Denicion 4.10. La seriek=1

bk(zz0)k se denomina parte principal del desarrollode Laurent de f en z0. El residuo de f en z0 es

Res(f ; z0) = b1.


Ejemplo: Las funciones f1(z) = sen z/z, f2(z) = 1/ sen2 z y f3(z) = e1/z tienen respec-tivamente una singularidad evitable, un polo de orden 2 y una singularidad esencial enel origen.

Si f tiene una singularidad evitable en z0 entonces, deniendo f(z0) = a0, f esanaltica enD(z0; r) (ya que la serie de potencias que representa a f para 0 < |z z0| < rconverge, de hecho, en un crculo abierto de radio R r). En tal caso,

limzz0

[(z z0)f(z)

]= 0. (4.7)

Recprocamente, si f es analtica en un entorno reducido de z0 y se verica (4.7) entoncesf tiene una singularidad evitable en z0. En efecto, si m N el teorema de Cauchygeneralizado proporciona

am =12i

f(z)(z z0)m1dz = 0 .

Si f tiene un polo de orden p en z0 entonces

f(z) =1

(z z0)p(bp + bp1(z z0) + + b1(z z0)p1

+k=0

ak(z z0)k+p) F (z)

(z z0)p ,

siendo F analtica en un entorno de z0 y F (z0) = bp = 0. En particular, 1/f tiene unasingularidad evitable (cero de orden p) en z0. Recprocamente (vease el comentario alnal de la demostracion del teorema de Taylor) si f tiene un cero de orden p > 0 en z0entonces 1/f tiene un polo de orden p en z0.

Si f tiene un polo de orden p en z0 entonceslimzz0

|f(z)| =; (4.8)

en particular, |f | no esta acotado en un entorno reducido de z0. (4.8) no se cumple si ftiene una singularidad esencial en z0. Por ejemplo, si f(z) = e1/z y zn = 1/(2ni)

n0 se tiene f(zn) = 1 para todo n N.Teorema de CasoratiWeierstrass. Si f tiene una singularidad aislada en z0 ya C, existe una sucesion {zn}n=1 tal que zn z0 y f(zn) a.Nota: de hecho (teorema de Picard), se puede encontrar una sucesion {zn}n=1 talque zn z0 y f(zn) = a para todo numero complejo a, con a lo sumo una excepcion(cf. f(z) = e1/z).

Supongamos que f = g/h, donde g y h son funciones analticas en z0 con ceros deorden n y m, respectivamente, en dicho punto. Entonces existe r > 0 tal que

f(z) =g(z)h(z)

=(z z0)nG(z)(z z0)mH(z) (z z0)

nmR(z), si 0 < |z z0| < r,


siendo R G/H analtica (cociente de funciones analticas con H(z0) = 0) y no nula(G(z0) = 0) en z0. Por tanto, se tiene:

i) Si n m, f tiene una singularidad evitable (cero de orden nm) en z0.ii) Si n < m, f tiene un polo de orden m n en z0.

Supongamos que f = g h, con g analtica en un entorno de z0 y g(z0) = 0, y sea z0una singularidad aislada de h. Entonces z0 es una singularidad aislada de f , del mismotipo que lo es para h.

En efecto, es claro que f tiene una singularidad aislada en z0, ya que si h es analticaen C(z0; 0, r) (r > 0) y g es analtica en D(z0; r) entonces f g h es analtica enC(z0; 0, r). Si z0 es una singularidad evitable de h entonces h admite un desarrollo enserie de Taylor convergente en un entorno reducido de z0, y por tanto lo mismo ocurre conf . Si h tiene un polo de orden p en z0 entonces h(z) = (z z0)pH(z), con H analticaen un entorno de z0 y H(z0) = 0 = f(z) = (z z0)p g(z)H(z) (z z0)pF (z),con F analtica en un entorno de z0 y F (z0) = g(z0)H(z0) = 0 = f tiene un polo deorden p en z0. Por ultimo, si h tiene una singularidad esencial en z0 entonces lo mismoha de ocurrir con f , ya que en caso contrario h = 1g f tendra una singularidad evitableo un polo en z0 (notese que 1/g es analtica en un entorno de z0, al ser g(z0) = 0).

Captulo 5

Calculo de residuos

5.1 Metodos para el calculo de residuos

Sea f(z) = g(z)/h(z), con g, h analticas en un entorno de z0, g(z0) = 0, h(z0) = 0 yh(z0) = 0. Entonces f tiene un polo simple en z0, con residuo

Res(f ; z0) =g(z0)h(z0)

.

En efecto, en un entorno de z0 se tiene

h(z) = h(z0)(z z0) H(z),

con H analtica y H(z0) = 1 (teorema de Taylor). Por tanto

f(z) =1

h(z0)(z z0) g(z)H(z)

.

Como g/H es analtica en z0 (H(z0) = 0), f tiene un polo simple en z0 con residuo1

h(z0) g(z0)H(z0)

=g(z0)h(z0)

,

ya que H(z0) = 1.

Si f tiene un polo de orden n en z0 entonces

Res(f ; z0) =1

(n 1)! limzz0dn1

dzn1[(z z0)n f(z)] . (5.1)

En efecto, en un entorno reducido de z0 es valido el desarrollo de Laurent

f(z) =bn

(z z0)n + +b1

z z0 + g(z),

50

CAPITULO 5. CALCULO DE RESIDUOS 51

con g analtica en z0 (serie de Taylor). Por tanto en un entorno reducido de z0 se cumple

(z z0)nf(z) = bn + + b1(z z0)n1 +G(z) F (z),

donde G(z) = (z z0)ng(z) es analtica en z0 y tiene un cero de orden n en dichopunto, y F es analtica en z0. Por el teorema de Taylor,

Res(f ; z0) = b1 =F (n1)(z0)(n 1)! =

1(n 1)! limzz0 F

(n1)(z)

=1

(n 1)! limzz0dn1

dzn1[(z z0)n f(z)] .

Ejercicio. Si f = g/h con g y h analticas en z0, h(z0) = h(z0) = 0 y g(z0) = 0,h(z0) = 0, probar que f tiene un polo de orden 2 en z0, con residuo

Res(f ; z0) = 2g(z0)h(z0)

23g(z0)h(z0)[h(z0)]2

.

Solucion. La funcion f tiene claramente un polo doble en z0, por lo que podemos aplicar(5.1). Por el teorema de Taylor, en un entorno reducido de z0 es valido el desarrollo

h(z)(z z0)2 = h2 + h3(z z0) +H(z) ,

con H analtica y con un cero de orden por lo menos 2 en z0. Aplicando (5.1) se obtieneentonces

Res(f ; z0) = limzz0

d

dz

[g(z)

h2 + h3(z z0) +H(z)]=

h2 g(z0) h3 g(z0)

h22.

Teniendo en cuenta que

h2 =12h(z0) , h3 =

16h(z0)

se obtiene la formula anunciada.

5.2 Teorema de los residuos

Sean z1, . . . , zn n puntos distintos pertenecientes a una region A, y sea una curvacerrada (C1 a trozos) homotopa a un punto en A y tal que ningun zi esta en . Si f esanaltica en A {z1, . . . zn} entonces se tiene:

f = 2i

nk=1

n(, zk) Res(f ; zk).


Demostracion. Por el teorema de Laurent, para cada i = 1, . . . , n hay un entorno redu-cido C(zi; 0, !i) de zi en el que es valido el desarrollo

f(z) =k=1

bik(z zi)k +k=0

aik(z zi)k Si(z) + fi(z),

con fi analtica en el disco D(zi; !i). Ademas (por las propiedades de las series deLaurent) la serie que dene la parte principal Si(z) converge absolutamente a una funcionanaltica en C {zi} y uniformemente en el exterior de todo disco abierto centrado enzi.

Sea

g(z) = f(z)n

k=1

Sk(z);

entonces g es analtica en A {z1, . . . , zn}, y ademas los puntos zi son singularidadesevitables de g. En efecto, para cada i = 1, . . . , n se tiene

g(z) = fi(z) + Si(z)n

k=1

Sk(z) = fi(z)

1k =inSk(z) , 0 < |z zi| < !i .

Deniendo g(zi) = limzzi g(z) la funcion g es analtica en A, y por el teorema deCauchy

0 =g

f =

nk=1

Sk.

Consideremos ahora la integral Sk. Al ser C abierto, existe k > 0 tal que

D(zk; k) = . Por tanto, la serie de Laurent que dene a Sk es uniformementeconvergente en , lo que nos permite escribir

Sk =

j=1

bkj(z zk)j dz =

bk1(z zk)1 dz = bk1 2in(, zk)

= 2i n(, zk) Res(f ; zk),donde se ha utilizado el teorema fundamental del Calculo (para j = 1, (zzk)j admitela primitiva (z zk)1j/(1 j) en C {zk}) y la denicion del ndice. Esto completala demostracion. Q.E.D.

5.3 Calculo de integrales denidas

5.3.1 f(x) dx

Condiciones: f analtica en H = {z C : Im z 0}, con la posible excepcion de unnumero nito de singularidades zk fuera del eje real, y p > 1, R > 0 y M > 0 t.q.

|f(z)| < M|z|p z H, |z| > R.


Resultado: 2i

Im zk>0

Res(f ; zk).

Demostracion. Sea r la semicircunferencia de radio r orientada positivamente, conr > R lo sucientemente grande para que todas las singularidades (necesariamenteaisladas) de f en H esten en el interior de r.

r

r r

zk

Figura 5.1: semicircunferencia r

Entoncesr

f = 2i

Im zk>0

Res(f ; zk) = rr

f(x) dx+ 0f(rei)irei d.

Como |f(x)| < M |x|p con p > 1 para |x| > R, la primera integral del miembro derechoconverge a

f(x) dx cuando r (criterio de comparacion). En cuanto a la

segunda, su modulo esta acotado por Mr1p, que tiende a 0 cuando r . Q.E.D.

Notas: i) Un resultado analogo vale intercambiando el semiplano superior H por elsemiplano inferior L = {z C : Im z 0}:

f(x) dx = 2i

Im zk


f(z) =g(z)

(z z0)2 , con g(z) =z

(z + 2 + 3i)2;

como g(z0) = 0, z0 es un polo doble de f , con residuo

g(z0) =1

(z0 + 2 + 3i)2 2z0

(z0 + 2 + 3i)3=

2 + 3i z0(z0 + 2 + 3i)3

=4

(6i)3=

4i63.

Por tanto, I = 863

= 27

.

5.3.2 Integrales trigonometricas:

20

R(cos , sen ) d

Condiciones: R funcion racional de dos variables cuyo denominador no se anulapara todo [0, 2).

Resultado: 2i|zk|


5.3.3 Transformadas de Fourier:

eixf(x) dx

Condiciones: > 0; f analtica en H, con la posible excepcion de un numero nitode singularidades zk / R y |f(z)| 0 cuando |z| en H, i.e.

! > 0, R > 0 t.q. |f(z)| < ! si |z| > R y z H.

Resultado: 2i

Im zk>0

Res(eizf(z); zk).

Demostracion. Dado ! > 0, sea el rectangulo de vertices x1, x2, x2 + i y1,x1 + i y1(orientado positivamente), con x1, x2, y1 mayores que R y lo sucientemente grandespara que todas las singularidades de f en H esten en el interior de (g. 5.2).

x2x1

x1+iy1 x2+iy1

zk

Figura 5.2: rectangulo

Entonceseizf(z) dz = 2i

Im zk>0

Res(eizf(z); zk)

= x2x1

eixf(x) dx+ i y10

ei(x2+iy)f(x2 + i y) dy

x2x1

ei(x+iy1)f(x+ i y1) dx i y10

ei(x1+iy)f(x1 + i y) dy

I1 + I2 I3 I4.

Si y1 se escoge lo sucientemente grande para que (x1 + x2)ey1 < 1/ se tiene:

|I2| ! y10

ey dy =!

(1 ey1) < !

,

|I3| ! (x1 + x2) ey1 < !,

|I4| !(1 ey1) < !

.


Por tanto x2x1

eixf(x) dx 2i

Im zk>0

Res(eizf(z); zk)

< 3! .Como ! > 0 es arbitrario, haciendo x1 y x2 tender a innito por separado se obtiene elresultado deseado. Q.E.D.

Notas: i) Si < 0, se obtiene un resultado analogo intercambiando el semiplanosuperior H por el semiplano inferior L:

eixf(x) dx = 2i

Im zk 0 .La integral es la parte real de

J =12

eix

x4 + x2 + 1dx .

Podemos aplicar lo anterior a la funcion racional f(z) = 12 (z4 + z2 + 1) en el semiplano

superior (f no tiene singularidades en el eje real). Las singularidades (polos) de f secalculan resolviendo la ecuacion

z4 + z2 + 1 = 0 z2 = 12(1 i

3) = e

2i3 z = ei3 .

Las unicas singularidades en el semiplano superior son

z1 = ei3 =

12(1 + i

3), z2 = e

i3 =

12(1 + i

3) = z1 .

El residuo de eizf(z) en cualquiera de estas singularidades zi se calcula facilmente, yaque eizf(z) = g(z)/h(z) con g(zi) = 0, h(zi) = 0 y h(zi) = 0:

Res(f ; zi) =14

eizi

zi(2z2i + 1).

De esto se deduce que

J =i

2

[eiz1

z1(2z21 + 1) e

iz1

z1(2z21 + 1)

]= Im

[eiz1

z1(2z21 + 1)

] ImA.

Como

A =2e

i2(1+i

3)

(1 + i3)i3=

2e2(i3)

3(i3) =

i+3

23e2(i3),

se obtiene

I = ReJ = J = ImA = 23e

32(cos

2+3 sen

2

), > 0 .


5.3.4 Transformadas de Mellin:

0

xa1f(x) dx, a / Z

Condiciones: i) f analtica en C, con la posible excepcion de un numero nito desingularidades zk / R+, y ii) M1,M2, R1 > R2 constantes positivas y c < a < b talesque

|f(z)| R1

M2|z|c , 0 < |z| < R2.

Resultado: eia

sen(a)

zk =0

Res(za1f(z); zk), za1 e(a1) log[0,2) z.

Demostracion. En primer lugar, las acotaciones de |f | implican (por el teorema de com-paracion para integrales reales impropias) que la integral es absolutamente convergente.

r r

zk

Figura 5.3: curva

Sea la curva de la g. 5.3, donde 0 < ! < R1 y r > R2 se toman de modo que todaslas singularidades de za1f(z) distintas de 0 esten en el interior de , y 0 < < /2. Sidenotamos

za1 = e(a1) log[0,2) z = |z|a1 ei(a1) arg[0,2) z,la funcion za1f(z) es analtica en C (R+ {0}). Por el teorema de los residuos setiene:

2izk =0

Res(za1f(z); zk) = I1 I2 + J,

siendo I1 e I2 las integrales de za1f(z) sobre los arcos arg[0,2) z [, 2 ] delas circunferencias (orientadas positivamente) de radios r y !, respectivamente, y J la


integral a lo largo de los segmentos:

J = r,ei(a1)xa1f(xei) ei dx

r,ei(a1)(2)xa1f(xei(2)) ei(2) dx

= r,xa1

[eiaf(xei) eia(2)f(xei(2))

]dx .

Haciendo 0+ (con ! y r jos) se obtiene

2izk =0

Res(za1f(z); zk) =r

za1f(z) dz

za1f(z) dz+(1e2ia) r,xa1f(x) dx ,

siendo la circunferencia de centro 0 y radio orientada positivamente. Por las hipote-sis sobre |f | se obtiene:

r

za1f(z) dz M1ra1b 2r = 2M1rab r 0,

za1f(z) dz M2!a1c 2! = 2M2!ac ,0+ 0 .

Haciendo ! 0+ y r (independientemente) se obtiene el resultado deseado, yaque

2i1 e2ia =

2ieia

eia eia = eia

sen(a).

Q.E.D.

Ejemplo: 0

xa1

1 + x2dx I(a) .

En este caso b = 2, c = 0. Para poder aplicar el resultado del apartado anteriornecesitamos que 0 < a < 2 y a = 1. Si esto se cumple se tiene:

I(a) = eia

sen(a)

[Res

(za1

z2 + 1; i)+Res

(za1

z2 + 1;i

)].

Los residuos se calculan facilmente, ya que ambos son claramente polos simples:

Res(

za1

z2 + 1;i

)=

(i)a12i .

La suma de estos dos residuos

apunte variable compleja.pdf

Documents