apunte estatica v2
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7/31/2019 Apunte Estatica v2
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FACULTAD DE INGENIERAUNIVERSIDAD DE LOS ANDES
APUNTE DE EJERCICIOS
ESTTICA
Rodrigo Astroza Euluf
2008
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AGRADECIMIENTOS
Se agradece al alumno Simn Torrealba Jaque en la transcripcin de varios problemas presentes en
este apunte.
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NDICE
1) SISTEMAS DE FUERZAS ............................................................................................................ 1
2) EQUILIBRIO DE LA PARTCULA............................................................................................ 18
3) EQUILIBRIO DE SISTEMA DE PARTCULAS ........................................................................ 35
4) EQUILIBRIO DE SLIDOS RGIDOS ..................................................................................... 44
5) ESFUERZOS AL INTERIOR DE UN SLIDO.......................................................................... 65
6) PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUELES Y CARGAS MVILES .................................. 144
7) PROBLEMAS PROPUESTOS.................................................................................................. 166
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Esttica Pgina 1 Apunte de Ejercicios
1) SISTEMAS DE FUERZAS
Ejercicio 1
La losa de hormign de la figura soporta las seis fuerzas verticales mostradas. Hallar lascoordenadas x e y del punto de la losa por el que pasa la recta soporte de la resultante (considere el
sistema de referencia indicado en la figura).
Dimensiones en metros
Solucin
a) Vectores posicin de acuerdo al sistema de referencia mostradoir 81 =
jir 4.262 +=
jir 0.68.23 +=
jr 8.84 =
jir 8.885 +=
b) Fuerza resultantekF 400 =
kF 481 =
kF 642 =
kF 323 =
kF 724 =
kF 565 =
kFFi
iR184
5
0
== =
c) Momento del sistema
( ) [ ] [ ] jmkNimkNFrMi
iiR6.5378.1164
5
0
+== =
d) Ubicacin de la fuerza resultanteDel teorema de Varignon se sabe que:
( )
( ) ( ) [ ] [ ] 6.537184;11641846.5378.1164184
5
0
==+=+
== =
xyjmkNimkNkjyix
FrFrMi
RRRRR
[ ] [ ]mxmy 92.233.6 ==
48 kN 40 kN
72 kN56 kN
32 kN64 kN
2.0 2.83.2
2.4
3.6
2.8
X
Y
Z
-
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Esttica Pgina 2 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 2
Sustituir las dos fuerzas y el momento mostrados en la figurapor un sistema fuerza-momentoequivalente en el punto A
Solucin
[ ] ikNFA 201 =
( ) ( ) [ ] jmkNikFrM AAA 20201111 ===
[ ]
+
= kjkNFA
10
1
10
3402
( ) [ ] [ ] kmkNjmkNkjkjiFrM AAA 9.753.2510
40
10
12032222 +=
++==
( ) [ ][ ] [ ] kmkNjmkNkMMM
kNkjiFFF
AAR
AAR
9.403.4535
9.376.1220
21
21
+=+=
+=+=
40 kN
Y
Z
X
35 kNm
1 m
1 m
3 m
1 m
1 m
A
20 kN
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Esttica Pgina 3 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 3
Dos camiones tratan de derribar un rbol a travs de las fuerzas mostradas en la figura. Represente
cada fuerza como un vector cartesiano (para el sistema de referencia mostrado) y luego determine la
magnitud y la direccin de la fuerza resultante.
Vista 3D Vista en planta
Solucin
( )6.0;306;306 senoscA = ( )0.9;0;0=B ( )9.0;0.3;5.2=C
Los vectores direccin se obtienen mediante )iif
PP
kjioscrAB 4.80.3306 =
kjirBC 1.80.35.2 +=
Luego, las fuerzas se expresan mediante:ijijij rFF =
( ) ( ) ( ) 32.10
4.80.319.5
4.80.3306
4.80.3306
222
kji
osc
kjiosc
r
rr
AB
ABAB
=
++
==
60 cm
FAB=670 N
30
90 cm
9 mFAB=450 N
A
B
C
Z
X
Y
3 m
2.5 m30
6 m
X
Y
-
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Esttica Pgina 4 Apunte de Ejercicios
Anlogamente9.8
1.80.35.2
kji
r
rr
BC
BCBC
+==
[ ] ( ) [ ]
( ) [ ]NkjiF
NkjikjiNF
BC
AB
405150125
1.5457.1948.33632.10
4.80.319.5670
+=
==
( )[ ]( )[ ]NkjirRR
NkjiFFR BCAB89.0042.044.01057
9507.448.461
==
=+=
Ejercicio 4
Para el poste de alumbrado de la figura determine las fuerzas verticales que debe resistir cada pernode anclaje. Asuma que por la simetra del sistema de anclaje, las fuerzas de los pernos actan como
un par. Suponga que el tubo del poste posee un peso por unidad de longitud (constante en toda laaltura H).
Datos: W=100 [kgf], H=7 [m], h=1.5 [m], d=20 [cm], =2.8 kgf/m
Solucin
d d
H
W
h
d d
Poste
Placa de
apoyo
Pernos
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________________________________________________________________________________Esttica Pgina 5 Apunte de Ejercicios
En la base del poste las solicitaciones (fuerzas y momentos) sern:
Cada perno resistir la mitad de la fuerza vertical, mientras que el momento ser resistido medianteun par de fuerzas en los pernos:
Como el momento es transmitido mediante un par defuerzas:
[ ]kgfd
MFdFM MM 375
22 =
==
Luego, las fuerzas netas en los pernos son:
[ ] ( )
[ ] ( )abajohaciakgfF
FF
arribahaciakgfF
FF
VMDERECHOPERNO
VMIZQUIERDOPERNO
8.4342
3152
=+=
==
F1= H
F2=W
M=Wh
2d
FM FM
FV/ 2 FV/ 2
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Esttica Pgina 6 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 5
En la siguiente figura se muestra una canaleta que esta empotrada en la zona del punto A. Sobre ella
actan tres fuerzas tal como se muestra en la figura.
a) Descomponga las fuerzas en un sistema de ejes cartesianos elegidos convenientemente.b) Determine el sistema fuerza-momento equivalente en el punto A.c) Calcule la proyeccin de la fuerza que acta en B en la direccin de la normal al plano que
pasa por los puntos (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1).
b/2
t/2
C
b = cte.b = cte.
t = cte
t
t
b = cte.
A
B
D
5 tonf
5 m 15 tonf
8 tonf
7 m
4 m
30
40
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Esttica Pgina 7 Apunte de Ejercicios
Solucin
Sistema de referencia de acuerdo a los ejes cartesianos:
a) Descomposicin de vectores fuerza de acuerdo al sistema de referencia mostrado
ysenxF 301530cos151 +=
xF 52 =
zsenyF 40840cos831
=
zyF
xF
yxF
14.513.6
5
5.713
3
2
1
=
=
+=
b) Fuerza equivalente:
zyxFFi
iR 14.537.183
1
+== =
Ahora veamos el momento equivalente:
zyxr 025.01.051 =
zyxr 775.61.052 ++=
zyxr 975.69.353 ++=
( ))14.513.6()97.69.35(
)5()77.61.05()5.713()025.01.05(
3
1
zyzyx
xzyxyxzyxFrM iiiR
+++
++++===
( ) zyxFrMi
iiR 65.85.88.223
1
+== =
X
Y
Z
A
-
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Esttica Pgina 8 Apunte de Ejercicios
c) Proyeccin normal de la Fuerza resultante, al plano que pasa por los puntos dados.
Se genera el siguiente plano ortonormal:
(0, 0, 1)
X
Y
Z
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
1V
2V
Para encontrar el vector normal, basta hacer producto cruz a dos vectores que pertenezcan al plano,
en particular elegimos 21 VyV
.
)1,1,1()()(
)1,1,0()0,1,0()1,0,0()0,1,1()0,0,1()0,1,0(
12
1
2
=++=++==
====
xyzzyyxVVn
VV
Normalizando el vector
)1,1,1(3
1 = n
Finalmente la proyeccin de la fuerza segn la normal del plano, se calcula con producto escalar.
84.11),,(3
1)5.713(1 =+= zyxyxnF
nFn 84.11 =
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Esttica Pgina 9 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 6
Un estanque horizontal de longitud L y seccin transversal circular de dimetro D que opera en una
planta industrial debe resistir las solicitaciones mostradas en la figura, las cuales son producidas por
las caeras que se conectan a l.
Si el estanque se apoya en una sola pata central cuyo sistema de anclaje se muestra en la figura se le
pide determinar la solicitacin resultante (fuerza y momento) que producen las solicitacionesexternas en el centro de gravedad del sistema de anclaje (a nivel de la placa de apoyo).
Solucin
Sea iF
vector de fuerza i
id
vector de punto de aplicacin de fuerza i considerando un sistema de coordenadas
cartesianas con origen en el centro de gravedad del sistema de anclaje
jFF 11 =
)kseniscoFF 303022 =
kMM 11 =
kjikD
hjD
iL
d 2.15.05.22
2
2
1 ++=
+++=
( ) kikD
hiLDd 2.132
2
12 +=
+++=
Placa de apoyo
Pernos de anclaje
D
L
ELEVACION LATERAL
F2
PLANTA
F1
M1
F2
ELEVACION FRONTAL
30
L
D
h
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________________________________________________________________________________Esttica Pgina 10 Apunte de Ejercicios
13 dd
=
[ ]tonfkjiFRi
iO6539.10
2
1
== =
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]mtonfkjiM
kkikijkjiMFdM
O
iiiO
++=
+++++=+= =
5.3333.56
21639.102.1352.15.05.22
1
1
Ejercicio 7
En la figura siguiente se muestra un sistema que permite al camin transportar objetos. Si las barras
que forman el sistema estn rotuladas en ambos extremos determine las fuerzas que se desarrollanen ellas cuando se transporta una caja cuya masa es 500 [kg].
Calcule la resultante de fuerza y momento que estas tres fuerzas ejercen en el vrtice E de la bandeja
del camin.
2.5 m
A
D
B
C
0.75 m
1.25 m
2 m 2 m
D
C
B
1 m
E
Bandeja
Vista Isomtrica
Vista en planta
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________________________________________________________________________________Esttica Pgina 11 Apunte de Ejercicios
Solucin
Ubicando el origen del sistema de referencia en A:
Sea ijn el vector direccin de la fuerza ijF
, la cual se escribe como ijijij nFF =
jiji
nAB 64.0768.05.23
5.23
22=
+
=
kjikjinAC 443.0133.0886.05.275.05
5.275.05222
+=+++=
kjikji
nAD 436.0218.0873.05.225.15
5.225.15
222=
++
=
Luego las fuerzas en las barras se encuentran a partir del equilibrio de la partcula en A, el cual
corresponde a:
[ ]kNF
F
F
F
F
F
AD
AC
AB
AD
AC
AB
=
=
23.5
58.8
84.15
8.9500
0
0
436.0443.064.0
218.0133.00
873.0886.0768.0
Obviamente la fuerza resultante en E es:
[ ]kNkRE 91.48.9500 ==
X
Z
Y
A
D
CB
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Esttica Pgina 12 Apunte de Ejercicios
La resultante de momento es:
( ) )kdFFFdM EADACABEE 91.4=++=
) )kkjiME 91.425.11 ++=
[ ]mkNjiME = 91.414.6
Ejercicio 8
Sobre un sistema de tuberas actan las fuerzas y momentos mostrados en la figura. Se le pidedeterminar la resultante de fuerza y momento en el punto de unin entre la tubera principal y el
estanque vertical. A partir de este resultado determine la resultante de fuerza y momento en el
extremo C de la tubera principal.
45
180 Nm
200 N
300 N
100 Nm
100 N
0.5 m 0.6 m 0.8 m
C
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Esttica Pgina 13 Apunte de Ejercicios
Solucin
Enumerando las fuerzas como se
muestra en la figura:
=
300
0
0
1F
=
22200
0
22200
2F
=
0
100
0
3F
=
100
0
0
1M
=
22180
0
22180
2M
Y los puntos de aplicacin son:
=
0
0
5.0
1r
=
0
0
1.1
2r
=
0
0
9.1
3r
De este modo la resultante fuerza-momento en A esta dada por:
( )
=
=
+
+
==
=58.158
100
42.141
23100
100
2100
0
100
0
2100
0
2100
300
0
03
1iiA FF
=
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=+=
==
72.162
56.5
28.127
290290
1502110
290
290
0
290
100
0
0
190
0
0
0
2110
0
0
150
0
290
0
290
100
0
0
0
100
0
0
0
9.1
2100
0
2100
0
0
1.1
300
0
0
0
0
5.02
1
3
1 i
i
i
iiA MFrM
F1
F2
F3
M1
M2
x
z
-
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Esttica Pgina 14 Apunte de Ejercicios
Trasladando el sistema fuerza-momento resultante en el punto de unin entre la tubera principal y el
estanque al extremo libre C de la tubera se tiene:
==
58.158
100
42.141
AC FF
=
+
=
+
=+=
42.431
56.5
02.174
7.268
0
3.301
72.162
56.5
28.127
58.158
100
42.141
0
9.1
0
72.162
56.5
28.127
ACAAC FrMM
Ejercicio 9
Determine la componente de la fuerza F que acta a lo largo de la barra AC y la componente queacta perpendicular a ella. Considere que el punto B est ubicado a 3 [m] a lo largo de la barra
medido desde el punto C.
4 [m]
4 [m]
3 [m]
4 [m]
6 [m]
A
C
B
D
F=600 [N]
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Esttica Pgina 15 Apunte de Ejercicios
Solucin
Se considera el siguiente sistema de referencia:
El vector CA se puede escribir como:
kjirCA 443 +=
403.6443 222 =++=CAr
CA
CACA r
rr
=
Luego, el vector CB se puede escribir como:
kjirr CACB 8741.18741.14056.1403.6
3+==
Finalmente se puede escribir el vector direccin BD en funcin de los vectores conocidos:
kjirjirrr CBCBOCOB 8741.11259.25944.143 ++=+=+=
0582.78741.18741.35944.5
8741.18741.35944.544
222 =++=
+=+==
+=
BD
OBOBODBD
BDOBOD
r
kjirjirrr
rrr
BD
BDBD
r
rr
=
La fuerza F
vectorialmente expresada es:
kjirNF BD 311.159326.329568.475][600 +==
4 [m]
4 [m]
3 [m]
4 [m]
6 [m]
A
C
B
D
F=600 [N]
Z
Y
X
O
-
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Esttica Pgina 16 Apunte de Ejercicios
La direccin AC se puede encontrar directamente de:
kjirr CAAC 443 +==
CA
AC
AC
ACAC
r
r
r
rr
==
Luego, la componente de la fuerza F
que acta a lo largo de la barra AC es:
( ) ( )
[ ]NF
kjikjirFF AC
4.82
403.6
443311.159326.329568.475
//
//
=
++==
Finalmente, la componente perpendicular a la barra corresponde a:
[ ]NFFFF
594600
2222
//
===+
El momento que ejerce la fuerza F con respecto al punto A se calcula directamente como:
( ) ( ) [ ] [ ]
[ ]mNM
mNrFLFMAF
CAAF
=
===
4.2021
403.359433
Otra forma de obtenerlo es a travs del producto cruz:
( ) ( jikjiFrFrM ACABAF 311.159326.329568.4751259.21259.25944.1403.6
403.3++=
==
( )ijikjkMAF 114.700010.1011679.338010.1011005.254077.525 +=
( )
[ ]mNM
kjiMAF
AF
=++=
=
5.2022087.1536015.1265435.361
087.1536015.1265435.361
222
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Esttica Pgina 17 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 10
Para el sistema de fuerzas mostrado en la figura se le pide determinar un sistema equivalente fuerza-
momento en el punto A de empotramiento.
OBS: La fuerza de 10 [kgf] de la derecha solo posee componentes en la direccin vertical y en ladireccin perpendicular a la pared.
Solucin
De acuerdo al sistema de referencia de la figura se pueden escribir las fuerzas y sus vectores
posicin como:
=
0
10
0
1F
=
0
5
2
1r
=
20
0
0
2F
=
7
8
2
2r
( )( )
=
3010
3010
0
3
sco
senF
=
0
8
2
3r
Luego, la fuerza y el momento equivalentes en el empotramiento son:
==
=34.11
5
03
1iiA FF
=
+
+
== =
10
68.22
72.90
66.8
5
0
0
8
2
20
0
0
7
8
2
0
10
0
0
5
23
1iiiA FrM
5 [m]
3 [m]
2 [m]
7 [m]
10 [kgf]
20 [kgf]
10 [kgf]30
Y
X
Z
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Esttica Pgina 18 Apunte de Ejercicios
2) EQUILIBRIO DE LA PARTCULA
Ejercicio 11
Un cuerpo de masa M=250 kg. cuelga de un sistema de cables tal como se indica en la figura.
Determinar las tensiones en los cables A, B, C, D y E suponiendo que el sistema se encuentra en
equilibrio. Datos: g = 10 m/s y M= 250 Kg
60
40
60A
B
C
E
D
M
Solucin
Condicin de equilibrio en el punto 0
= 0YF MgTE = (1)
Condicin de equilibrio en el punto 1
= 0XF 60cosCD TT = (2) = 0YF 60senTT CE = (3)
60
40
60A
B
C
E
D
M0
1
2
601
DT
CT
ET
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Esttica Pgina 19 Apunte de Ejercicios
Condicin de equilibrio en el punto 2
= 0XF 6060cos40cos senTTT BCA =+ (4)
= 0YF 6060cos40 senTTsenT CBA =+ (5)
40
60
260
AT
BT
CT
De (1) [ ]NTE 2500= (6)
(6) en (3)[ ]
= CTsenN
60
2500 [ ]NTC 2887= (7)
(7) en (2) = 60cosCD TT [ ]NTD 1443= (8)
(6) en (5) 25005.0643.0 =+ BA TT (9)
(6) en (4) BA TT 866.01443766.0 =+ (10)
(9)*0.766 (10)*0.643 BB TT 557.0191585.927383.0 =
[ ]NTA 3024= [ ]NTB 1537=
-
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Esttica Pgina 20 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 12
Una cuerpo de masa M=150 kg. cuelga de dos cables que estn sujetos a la parte superior de una
pared vertical como se indica en la figura. Adems, existe un resorte de constante K=2000 N/m que
conecta la masa M con la pared (perpendicular a la pared).Sobre dicho cuerpo acta una fuerza F de 500 N (perpendicular a la pared).
Determinar la deformacin del resorte (magnitud y sentido) de modo que el sistema se encuentre en
equilibrio. Establezca claramente si el resorte est alargado (traccionado) o acortado (comprimido).
Solucin
Descomposicin de fuerzas
zTyTxTT ZYx 1111 ++=
DCL
T2
T1
Fr F
W
Suponemos Resorte
estirado
3 m
Z
Y
2m
F X
7 m
8 m
2 m
-
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Esttica Pgina 21 Apunte de Ejercicios
= KFR
22
1
72
8
+
=tg 7.471 =
2
71 =tg 05.741 =
1111 7.0 TsenTTZ ==
11111 185.0cos)cos( TTTX ==
11111 647.0)cos( TsenTTY ==
Anlogamente:
74.65)32
8(
222 =
+= arctg 31.56)
2
3(2 == arctg
2222 912.0 TsenTTZ ==
22222 228.0cos)cos( TTT X ==
22222 342.0)cos( TsenTTY ==
Condicin de equilibrio
= 0XF 0228.0185.0 21 =+ FKTT (1) = 0YF 0342.0647.0 21 =+ TT (2) = 0ZF [ ]NWTT 1500912.074.0 21 ==+ (3)
De (2) 12 89.1 TT = (4)
(4) en (3) [ ]NWTT 1500)89.1(912.074.0 11 ==+ [ ]NT 6091 = (5)[ ]NT 11512 = (6)
(5) y (6) en (1)05001151228.0609185.0 =+ K
1
1
-
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________________________________________________________________________________Esttica Pgina 22 Apunte de Ejercicios
[ ]
mm
NK
062.02000
125
125
==
=
[ ]cm24.6= Por lo tanto el resorte est alargado.
Ejercicio 13
Una bola de 350 [N] est suspendida de un anillo horizontal por medio de tres resortes, cada uno de
los cuales posee una longitud sin deformar (largo natural) de 45 [cm] y una rigidez de 730 [N/m].Determine la distancia vertical h desde el anillo al punto A cuando el sistema se encuentra en
equilibrio. Considere =120
HINT: Considere la simetra del problema.
Vista 3D Vista en planta
Solucin
Debido a la simetra del problema se tiene que los tres resortes tienen la misma fuerza RF . Luego, laecuacin de equilibrio esttico de la bola es:
0350cos3 = RF (1)
Pero ( )[ ]
[ ]
=== cmsen
cm
m
NllKKFR 45
457300
(2)
A
45 [cm] 45 [cm]
h
-
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________________________________________________________________________________Esttica Pgina 23 Apunte de Ejercicios
Reemplazando (2) en (1):
[ ] [ ]
( ) 350
350cos45.045.0
7303
=
=
f
myN
sen
Resolviendo iterativamente:
[] f()10 4618.5
30 853.5
40 419.5
50 193.5
45 288.6
43 336.142 362.1
42.5 348.9
42.46 350
[ ]( )
[ ]cmcm
hEQ
EQEQ 18.49tan
4546.42 ===
Ejercicio 14
Para el sistema de la figura se pide encontrar una ecuacin para el ngulo de equilibrio cuando enB acta un peso W. El resorte de constante K tiene su largo natural cuando las barras estn
horizontales (=0). Desprecie el peso de las barras.
RuedaK
LL
B
W
A
-
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________________________________________________________________________________Esttica Pgina 24 Apunte de Ejercicios
Solucin
Condicin de equilibrio en B:
sen
WF
WsenFF
FFFF
Y
X
=
==
===
2
20
021
En la rueda se tiene:
ant
WK
oscsen
WK
scoFFF RX
=
=
==
2
2
0
La posicin inicial del sistema es:
( )( )
scoL
scoLll
lscoLlL
=
=
+=+
12
12
22
0
0
( )
222
212
WsenLKntaLK
ant
WscoLK
=
=
LK
Wsennta
=
4
W
F1 F2
F
FR
Sin deformar
l0L
B
L
-
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Esttica Pgina 25 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 15
Una fuerza vertical P=45 [N] es aplicada
a travs de la cuerda AB, la cual posee
una longitud de 60 [cm]. Si el resortetiene una longitud de 60 [cm] en su
estado sin deformar, determine una
ecuacin para el ngulo de equilibrio.
Considere k=220 [N/m]
B
A
P
L= 60 [cm] L= 60 [cm]
k
HINT: Teorema del coseno
Solucin
Diagrama de cuerpo libre
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )20450
100
=+=
==
senTsenFF
scoTscoFF
RV
RH
Adems, se tienen las siguientes relaciones trigonomtricas:
( )
( )
scoL
oscL
=
+=
4560
12060212060 222
T FR
P
60cos Lcos( )
L
-
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Esttica Pgina 26 Apunte de Ejercicios
( ) ( )
( )( )
( )
sco
oscosc
oscLosc
=
=+
45
2
12060
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
sco
sensen
scosensenh
=
==
45
456060
Para obtener la fuerza en el resorte, se obtiene el largo final del resorte mediante el teorema del
coseno en el ABC.
( ) ( ) ( ) scoscoscoL ==+= 4560144001800060120260120 22
( )( )14560 == scokxkFR
De la ecuacin (1):
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
==
scosco
scoscok
sco
scoFT R
1
45
214560
Reemplazando en la ecuacin (2):
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 452
145
14560 =
+
sco
sco
sco
senscok
( )
( )( )
knta
sco
sco
=
60
452
45
145
=
=cm
N
m
Nkcon 2.2220
Resolviendo se obtiene = 35
-
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Esttica Pgina 27 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 16
Se colocan dos paquetes sobre una cinta transportadora que forma
un ngulo con la horizontal de 15 y se encuentra en reposo. Los
coeficientes de rozamiento entre la cinta y el paquete A valen
S=0.2 y K=0.15; entre la cinta y el paquete B valen S=0.3 yK=0.25. Los paquetes, cuyas masas son mA=6 kg y mB=4 kg, secolocan sobre la cinta de modo que estn en contacto entre s y en
reposo. Determinar:
a) Si se movern uno o los dos paquetesb) La fuerza de rozamiento que acta sobre cada paquete
Solucin
DCL Bloque B DCL Bloque A
( )( )=+=
1540
1540
senfP
oscN
B
B
( )( )
[ ]
mueveseABloque
fP
NNf
fsenP
oscN
MAXA
ASAMAXA
A
A
>+
==
=+
=
_
_
53.15
59.11
1560
1560
Si B no se mueve P=0
( ) [ ][ ]
muevesenoBBloque
NNfPero
Nsenf
BSBMAXB
B
==
==
59.11
35.101540
_ [ ]
[ ]
=
==
Nf
Nff
A
MAXAA
35.10
59.11_
NA
fA
P60
15
NB
fB
P
40
-
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Esttica Pgina 28 Apunte de Ejercicios
TAB
m2g
m1g
Ejercicio 17
Dos masas m1 y m2 se encuentran suspendidas por medio de un sistema de cables tal como se
muestra en la figura. Sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio, hallar las fuerzas que
transmiten los tres cables conectados a B.
Nota: - El sistema de cables es coplanar.
- La polea en E puede girar sin rozamiento.
Datos: m1=50 kg m2=100kg
Solucin
Equilibrio en el punto A
)1(cos 1 gmTAB =
)2(2 gmsenTAB =
4.63tan)1(
)2(
1
2 == mm
NTAB 1096cos
8.950=
=
-
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Esttica Pgina 29 Apunte de Ejercicios
Equilibrio en el punto A
45 30
TAB
TBDTBC
)3(3045 senTsenTsenT ABBDBC =+
)4(30coscos45cos =+ BDABBC TTT
)5(9805.0707.0 =+ BDBC TT )6(866.0491707.0 =+ BDBC TT
BDBD TT = 866.09804915.0)6()5(
NTBD 1077= NTBC 5.624=
Ejercicio 18
Una masa de 250 kg cuelga del sistema de cables tridimensional que se muestra en la figura.
Se pide determinar: - Las fuerzas en los cables AB, BC y BD.
- El momento que genera la tensin del cable BC (aplicada en el punto B) conrespecto al origen del sistema de ejes cartesianos mostrado en la figura.
Nota: - Utilice el sistema de ejes cartesianos mostrado en la figura para resolver el problema.- Los puntos A y B estn en el planoyz.- Las coordenadas de los puntos del sistema se resumen en la tabla.
Punto X [m] Y [m] Z [m]
A 0 -3.6 3.7
B 0 -3.6 2.7
C 3 0 0D -1.2 0 0
-
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Esttica Pgina 30 Apunte de Ejercicios
Solucin
Equilibrio en el punto B
J
I
K
( ) ( )[ ]Nj
j
5.2452
81.9250
=
=
:,, sonrrrsdireccioneLas BDBCBA
TAB
TBD
C
D
A
TBC
=mg
-
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Esttica Pgina 31 Apunte de Ejercicios
( ) ( ) ( )
kr
k
kjikji
kjikjir
BA
BA
1
1
1
7.26.307.36.30
7.26.307.36.30
21
=
=
++
++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
kjir
kji
kjikji
kjikjir
BC
BC
4992.06656.05547.0
7.26.33
7.26.33
7.26.30003
7.26.30003
21
222
+=
++
+=
+++
+++=
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
kjir
kji
kjikji
kjikjir
BD
BD
5797.0773.02577.0
7.26.32.1
7.26.32.1
7.26.30002.1
7.26.30002.1
21
222
+=
++
+=
+++
+++=
Notar que:
( )
( )( )
0.5547 0.6656 0.4992
0.2577 0.773 0.5797
1
BC BC BC BC
BD BD BD BD
BA BA BA BA
T T r T i j k
T T r T i j k
T T r T k
= = +
= = +
= =
Con el equilibrio: = 0
F
( ) ( )( ) 05.24521
5797.0773.02577.04992.06656.05547.0
=+
+++
jkT
kjiTkjiT
BA
BDBC
En componentes:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 0.5547 0.2577 0
2 0.6656 0.773 2452.5
3 0.4992 0.5797 0
BC BD
BC BD
BC BD BA
T T i
T T j
T T T k
=
+ =
+ =
-
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Esttica Pgina 32 Apunte de Ejercicios
De (1)
( )
0.5547 0.2577
2.1525 5
BC BD
BD BC
T T
T T
=
=
(5) en (2)
( )
[ ]
0.6656 0.773 2.1525 2452.5
2.3295 2452.5
1052.8
BC BC
BC
BC
T T
T
T N
+ =
=
=
En (5)
[ ]2.1525 1052.8 2266.15BDT N= = En (3)
[ ]NT
T
BA
BA
25.1839
15.22665797.08.10524992.0
=
+=
( ) 1052.8 0.2577 0.773 0.5797 271.3 813.8 610.3BCT i j k i j k = + = +
irC 3 =
( ) ( )[ ]
( ) ( ) [ ]1
2 2 2
3 271.3 813.8 610.3
1830.9 2441.4
1830.9 2441.4 3051.7
BC C BC
BC
BC
M r T i i j k
M j k N m
M N m
= = +
= +
= + =
Ejercicio 19
Un peso W cuelga de tres cables que estn
sujetos a un aro y atados juntos en D. El
dimetro del aro es d y la longitud de cadacable es L se le pide determinar la tensin encada cable dados los ngulos y (todosmenores a 180).
W
D
-
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Esttica Pgina 33 Apunte de Ejercicios
xy
zF1
F3
F2
Solucin
Escogemos el sistema de coordenadas en el punto de unin
de las cuerdas de modo que el eje X quede paralelo a la
proyeccin de la cuerda 1 (que produce la fuerza 1) sobre elplano del aro.
De este modo podemos escribir las fuerzas de la siguiente
manera:
111 nFF =
, 222 nFF =
y 333 nFF =
. Con los iF la
magnitud de la i-sima fuerza y in su vector de direccin.
Recordando que la longitud de las cuerdas es L, estosvectores se escriben de la siguiente manera:
LkoscLi
dn
1
21
+=
LkoscLjsen
diosc
dn
1
2
22
++=
LkoscLjsen
diosc
dn
1
2
23
+=
Con:2
42
1
=
L
dsco
El vector del peso que cuelga es:
kWW =
Sumando fuerzas en el origen:
0 332211 =++ kWnFnFnF
kWnFnFnF 332211 =++
-
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Esttica Pgina 34 Apunte de Ejercicios
Esto nos lleva a escribir el sistema de ecuaciones:
=
WF
F
F
oscoscosc
senL
dsen
L
d
oscL
dosc
L
d
L
d
0
0
220
222
3
2
1
Que se puede reescribir como:
=
scoWF
FF
sensenscosco
0
0
111
0
1
3
2
1
La solucin de este sistema, y de nuestro problema, es entonces:
( )( )( )
( ) ( ) ( )[ ]
++
+
=
sensensen
W
sen
sen
sen
F
F
F
cos3
2
1
O escrito de otra manera:
( )( )( )
( ) ( ) ( )[ ]
sensensen
W
sen
sen
sen
F
F
F
++
=
cos3
2
1
-
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Esttica Pgina 35 Apunte de Ejercicios
3) EQUILIBRIO DE SISTEMA DE PARTCULAS
Ejercicio 20
Calcule la fuerza resultante ms simple producida por el agua y donde acta en la presa de 60 [m] dealtura y 800 [m] de largo.
Dato: =1000 [kg/m3]
HINT:2
4
2101
sm
kg
cm
N
=
Solucin
Prisma de presiones El peso especfico del agua vale:
=
=
==
3
2223
9800
98008.91000
m
N
sm
kg
s
m
m
kgg
La presin mxima que el agua ejerce sobre la presa es:
[ ]
=
==
23588000609800
m
Nm
m
NhP
Luego la fuerza que ejerce el agua sobre la presa est dada
por el volumen del prisma de presiones:
[ ]NVF prisma1010696.180058800011.72
2
1===
[ ]
[ ] [ ] baseladesdemedidommd
GNF
04.2411.7231
96.16
==
=
60 [m]
40 [m] 10 [m] 120 [m]
d
F
72.11 m
P= h
-
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Esttica Pgina 36 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 21
Para el sistema de dos estanquesesquematizado en la figura, se pide
encontrar una ecuacin para el ngulo de equilibrio de la compuerta, la cual es
de forma rectangular y de peso W
(densidad homognea), despreciando el
efecto del roce entre ella y el muro.
Solucin
Diagrama de cuerpo libre de la compuerta: Existen tres fuerzas, la presin del lquido 1, la presindel lquido 2 y el peso de la compuerta.
i) Fuerza de presin del lquido 1
111HP = ( )( ) senRHP += 112
Volumen del prisma de presiones bRPP
V +
=2
21
( ) bRsenR
HF
+= 2
111
R
P1
P2
-
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Esttica Pgina 37 Apunte de Ejercicios
El centro de presiones (punto de aplicacin de la fuerza) coincide con el centro de gravedad del
prisma de presiones. Descomponiendo en dos:
RRG =3
21
22
RRG =
Volumen prisma 1( )
bRsenR
bRPP
=
=22
112
Volumen prisma 2 bRHbRP == 111
( )
( )
( )
( )
senR
H
H
R
sen
R
bRsenR
H
bRH
R
bR
senR
RV
VRRi
iGi
G
+
+=
+
+
==
2
23
2
223
2
1
1
2
11
11
1
1
ii) Fuerza de presin del lquido 2
223HP = ( )( ) senRHP += 224
Volumen del prisma de presiones bR
PP
V
+
= 243
( ) bRsenR
HF
+= 2
222
El centro de presiones (punto de aplicacin de la fuerza) coincide con el centro de gravedad delprisma de presiones. Descomponiendo en dos:
RRG =32
1 2
2 RRG =
Volumen prisma 1( )
bRsenR
bRPP
=
=22
234
Volumen prisma 2 bRHbRP == 223
P1
(P2-P1)
RG1
RG2
P3
P4
P3
(P4-P3)
RG1
RG2
-
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Esttica Pgina 38 Apunte de Ejercicios
( )
( )
senR
H
HR
senR
V
VRR
i
iGi
G
+
+=
=
2
23
2
2
2
2
iii) Peso de la compuerta
WF =3
2
RRG =
Ecuacin de equilibrio:
( ) 02
cos0 221
1 =+= GGO RFRFR
WM
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )0
2
23
2
2
23
22cos
2
2
2
22
1
1
2
11
=+
+
+
+
+
++
senR
H
HR
senR
bRsenR
H
senR
H
HR
senR
bRsenR
HR
W
( ) ( ) ( ) ( ) 023
cos2
2211
2
21 =++R
bHHsenR
bW
R/2
W
-
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Esttica Pgina 39 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 22
Para el sistema de la figura determinar una ecuacin que permita obtener el ngulo de equilibriode la compuerta semicilndrica de peso W y longitud unitaria, la cual separa los lquidos de pesos
especficos 1 y 2 y se encuentra articulada en el punto O.Datos: R, 1, 2, W.
HINT: el centro de masa de una seccin semicilndrica se ubica a una distancia
3
4 Rmedido
horizontalmente desde su lado recto.
Solucin
Fuerzas de presin del lquido 1:
Superficie donde
se ejerce la presin.
O
2R
2Rcos
2Rcos
2Rsen
-
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2Rcos
2Rsen
Fuerza horizontal
22
11
11
cos2
)(12
cos2cos2
=
=
RF
anchoRRF
xP
xP
Fuerza vertical
12
cos2211
=
RsenRF zP (Peso del agua donde se ejerce la presin)
Distancia desde 0 al centro de la aplicacin de la fuerza horizontal.(medida en forma
vertical)
3
cos21
=
Rdx
Distancia desde 0 al centro de la aplicacin de la fuerza vertical.(medida en formahorizontal)
3
21
senRd z
=
OBS:
Las distancias se miden perpendicularmente a la fuerza, ya que ste es el brazo que genera el torque.
Fuerzas de presin del lquido 2:
Fuerza horizontal
Sabemos que las isbaras son
horizontales, luego, se observa que laspresiones ms debajo de la profundidad2Rcos se anulan al actuar en forma
idntica por ambos lados de la
compuerta, con signos opuestos.
-
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Esttica Pgina 41 Apunte de Ejercicios
O
Superficie donde las
actuan hacia abajo
O
22
22
22
cos2
)(12
cos2cos2
=
=
RF
anchoRR
F
xP
xP
Fuerza vertical
Dividiremos el anlisis en presiones con direccin arriba y abajo.
En ambos casos las presiones estn dadas por el peso de la zona achurada. Como existen partes de
las reas que se intersectan, y las fuerzas que representan tienen signo contrario, se anulan y la
fuerza queda dada por el peso de la siguiente zona:
2Rcos
2Rsen
-
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Esttica Pgina 42 Apunte de Ejercicios
O d
x
O
C.M
Rsen
Separando las fuerzas en el triangulo y el semicrculo:
)(12
)(1
2
2cos2
2
22
22
osemicirculR
F
triangulosenRR
F
xP
zP
=
=
Distancia desde 0 al centro de la aplicacin de la fuerza horizontal.(medida en formavertical)
3
cos22
=
Rd x
Distancia desde 0 al centro de la aplicacin de la fuerza vertical.(medida en forma horizontalpara el triangulo y para el semicrculo)
Peso de la compuerta
WF= )..(3
cos4compuertaladeGCenactuasenRdW
+=
3
22
senRd z
=
+=
==+=
3
cos4
c3
4cos.
2
2
senRd
RMCxdondexsenRd
z
z
-
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Esttica Pgina 43 Apunte de Ejercicios
Luego, la condicin de equilibrio es:
0cos3
4cos
3
4
2
3
2)cos2(
3
cos2)cos2(
3
2)cos2(
3
cos2)cos2(0
2
2
2
2
22
2
2
1
22
10
=
+
+
+
+
+
+
=
RsenRW
RsenR
R
senRsenR
RR
senRsenR
RRM
0cos34
23cos4)(
co3
4
23
cos4)(
3
cos4)(
2
2
3
12
2
2
23
12
33
12
= +
+
+
+
+
RsenRWRR
RsenRW
RsenRR
7.4=
-
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Esttica Pgina 44 Apunte de Ejercicios
4) EQUILIBRIO DE SLIDOS RGIDOS
Ejercicio 23En la figura se muestra una estructura en la cual la polea sin rozamiento en D tiene una masa de 200
[kg]. Hallar las fuerzas que se transmiten de una barra a otra a travs de la rtula C, despreciando las
masas de las barras.
Solucin
Diagrama de Cuerpo Libre de la polea
[ ]
[ ] ( )
[ ]kNHTHM
roceinspoleacondicinkNT
kNVF
D
DO
DV
5
00
5
70
==+=
=
==
A
2.5 m
2.5 m1.7 m2 m
0.3 m
7 N/m
BC D
W
R=600 mm
VD
HD
T
5000 N
2000 N
-
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Esttica Pgina 45 Apunte de Ejercicios
Diagrama de Cuerpo Libre Barra BD
[ ][ ][ ]kNVkNV
kNV
VVM
HHHF
VVVF
B
C
D
DCB
DCBH
DCBV
375.3
375.10
7
9.540
0
0
=
=
=
==
=+=
=+=
Diagrama de Cuerpo Libre Barra AC
[ ]
[ ][ ][ ]
[ ][ ]
[ ]kNHkNH
kNH
kNH
kNV
kNHTHVM
THHF
NVVF
D
C
B
A
A
C
CCA
CAH
CAV
0.5
8.22
8.17
8.17
36.10
8.22
01.35.24143.10
0
140
=
=
=
=
=
===
+==
==
14 N
HA
VA
HC
VC
T
0.3 1.0 2.7
0.6
2.5
4 [m]
HC
VCHD
VD
1.9 [m]
VB
HB
-
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Esttica Pgina 46 Apunte de Ejercicios
Ejercicio 24
La barra doblada AD soporta una carga uniforma y est articulada (rtula) con otra barra CB en el
punto C. Las dos barras estn conectadas, adems, por un resorte de rigidez k=10 [kN/m] y de
longitud natural 0.8 [m]. Hallar las fuerzas de soporte en Ay B.
Solucin
Diagrama de Cuerpo Libre Barra BC
==+=
==
=+=
0452452450
0
0
senHoscVscoFM
HHF
VFVF
BBRC
CBH
CRBV
k
D
0.8 m
45
C
A
B
45
1.0 m
1.0 m
1.0 m
5 kN/m
45
HBVB
FR
cos(45)
sen(45)
sen(45)
cos(45)
HC
VC
-
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Diagrama de Cuerpo Libre Barra AD
( )
=+++==
==
+=+=
04.04544545450
0
40
scooscFoscVsenHM
HHF
FVVF
RAAC
CAH
RCAV
Resorte ( ) ( ) [ ]kNsenFsenLperoLLKKF RR 14.68.0452104520 =====
Luego,
4.124.12
14.10
07.307.3
14.6
==
=+
==
====
HVVH
VV
HVVH
VVHHHH
AA
CA
BB
BC
CBA
407.34.124 =+=+ HHVV BA
[ ][ ]
[ ][ ]kNV
kNV
kNV
kNHHHH
C
A
B
CBA
8.12
66.2
66.6
74.9
=
=
=
====
0.4 m
45
4 kN
0.4 m
HA
VA
HC
VC
cos(45) cos(45)
sen(45)
sen(45)
FR