ESTRUCTURAS IA

SINTESIS TEMATICA

MOMENTOS DE INERCIA

DE

SECCIONES PLANAS

ING. ASDRÚBAL E. BOTTANI

AÑO 2010

FI - UNLP

Alfredo Hlito, Líneas tangentes, 1964

Oleo sobre tela,, MNBA

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AÑO 2010 1

SINTESIS TEMATICA

MOMENTOS DE INERCIA DE UNA SECCION

1.- DEFINICIONES:

Momento de Inercia respecto del eje z:

∫= A2

z dAyJ

Momento de Inercia respecto del eje y:

∫= A2

y dAzJ Momento de Inercia Polar respecto de O:

yA

z2

P JJdArJ +== ∫

Momento de inercia Centrífugo o Producto de inercia:

∫=A

zy zydAJ

[L]4

[L]4

[L]4

Y

Z

dA z

y

O

r

Siempre >0

Siempre >0

Siempre >0

[L]4 Puede ser >0 , <0 , =0

EN EL CASO QUE UNO DE LOS EJES Z o Y SEAN UN EJE DE SIMETRIA EL MOMENTO CENTRIFUGO ES NULO

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2.- TEOREMA DE STEINER: CG: Baricentro del Area A y´g: Coordenada según y´ del CG z´g: Coordenada según z´del CG Ejes Z CG Y: Ejes baricéntricos Ejes Z´ O Y´: Ejes cualesquiera Jx: Momento de inercia respecto eje z baricéntrico Jy: Momento de inercia respecto eje y baricéntrico

dA)´y´yy2y(dA)´yy(dA´yJA A A

2gg

22g´z ∫ ∫ ∫ ++=+==

Por definición de baricentro: ∫ =

A0ydA

Entonces:

A´yJJ 2gz´z +=

Y´

Z´

dA z

y

O

Y

Z CG

y´g

z´g

d

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ENUNCIADO: EL MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE NO BARICENTRICO ES IGUAL AL MOMENTO DE INERCIA BARICENTRICO RESPECTO DEL EJE PARALELO AL ANTERIOR MAS EL AREA POR EL CUADRADO DE LA DISTANCIA ENTRE AMBOS EJES.

A´yJJ 2gZ´Z +=

A´zJJ 2

gY´Y +=

AdJJ 2

PG´PO +=

LA APLICACIÓN: CALCULO DE INERCIAS DE SECCIONES DE FORMA CUALQUIERA A PARTIR DE LA DESCOMPOSICION EN SECCIONES SIMPLES DE INERCIAS CONOCIDAS

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EJEMPLO 1: Calcular el momento de inercia de una sección triangular como la indicada en la figura, respecto del eje baricéntrico y un eje pasante por su base. 1.- Se elije un sistema de ejes con origen arbitrario, en este caso el sistema z1,y con origen en el vértice del triángulo y se calcula el momento de inercia Jz1: El ancho b(y) a una distancia y del origen es: b y y Aplicando la definición: Jz1 bh ydyy bh y dy

Jz1 bh4

2) Por aplicación del teorema de Steiner se calcula el momento de inercia baricéntrico sabiendo que el eje zg baricéntrico está a una distancia de 1/3 de la altura medida desde la base:

z1

y

h

b

b(y) y dy

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Sabiendo por Steiner que: Jz1 Jzg Ad Jzg Jz1 Ad Siendo

3) El momento de inercia respecto de un eje pasando por la base Jz2 se calcula mediante la fórmula de Steiner conocido ahora Jzg y la distancia igual a h/3: Jz2 Jzg A h3

z1

y

h

b

2h/3

zg CG

h/3

z2

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EJEMPLO 2:

Se desea calcular el momento de inercia de la sección Z de la figura: Paso 1: Se calcula la posición de los ejes z e y baricéntricos, que en este caso por

razones de simetría resultan muy fácil ubicar

4.0

15.0

4.0

15.0 4.0 15.0

z

y

CG

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Paso 2: Se divide a la sección en secciones de forma conocida, en este caso en tres rectángulos 1, 2 y 3, y se ubican en cada una de esas secciones los ejes baricéntricos propios, en este caso los sistemas zi´-yi´, con origen en cada uno de los baricentros de esas secciones. Paso 3: Se determina para cada una de las secciones en que se dividió el área total los siguientes parámetros:

a) Ai: Area de cada sección A1:A2: 15x4: 60.0 cm2

A3: 23x4: 92.0 cm2 b) Las coordenadas yi y zi de los baricentros propios de cada sección en que se

dividió el área respecto del sistema de ejes baricéntrico z-y: z1: -9.5 cm z2: +9.5 cm z3: 0.0

y1: +9.5 cm y2: -9.5 cm y3: 0.0

c) Los momentos de inercia de cada sección individual respecto a sus propios ejes baricéntricos:

Jz1:Jz2: 15x43/12: 80.0 cm4 Jz3: 4x233/12: 4055.6 cm4 Jy1:Jy2: 4x153/12: 1125.0 cm4 Jy3: 23x43/12: 122.6 cm4

4.0

15.0

4.0

15.0 4.0 15.0

z

y

CG

y´1

z´1

z´2

y´2 z´3

y´3

z1:9.5

z2:9.5

y1:9.5

y2: 9.5

A1

A3 A2

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Paso 4: Se calculan los momentos de inercia Jz y Jy de la sección completa por aplicación directa del teorema de Steiner:

)yAJz(Jz 2iii∑ +=

Se puede observar en la tabla la influencia relativa de cada uno de los términos de la sumatoria según el lado mayor del elemento considerado sea paralelo o perpendicular respecto al eje según el cual se calcula la inercia

)zAJy(Jy 2iii∑ +=

)zyAJzy(Jzy iiii∑ +=

ElementoJzi

(cm4)Ai

(cm2)yi

(cm)AIyi

2

(cm4)Jzi+Aiyi

2

(cm4)A1 80.0 60.0 9.5 5415.0 5495.0A2 80.0 60.0 -9.5 5415.0 5495.0A3 4055.6 92.0 0.0 0.0 4055.6

15045.6Jz(cm4)

ElementoJyi

(cm4)Ai

(cm2)zi

(cm)AIzi

2

(cm4)Jyi+Aizi

2

(cm4)A1 1125.0 60.0 -9.5 5415.0 6540.0A2 1125.0 60.0 9.5 5415.0 6540.0A3 122.6 92.0 0.0 0.0 122.6

13202.6Jy(cm4)

ElementoJzyi

(cm4)Ai

(cm2)zi

(cm)yi

(cm)Aiziyi

(cm4)Jzyi+Aiziyi

(cm4)A1 0.0 60.0 -9.5 9.5 -5415.0 -5415.0A2 0.0 60.0 9.5 -9.5 -5415.0 -5415.0A3 0.0 92.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-10830.0Jzy(cm4)

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3. EJES PRINCIPALES DE INERCIA Se desea relacionar el momento de inercia respecto de los ejes rotados z´-y´ con relación a los momentos de inercia respecto de los ejes z-y conocidos TRANSFORMACION DE COORDENADAS:

θ+θ−=θ+θ+=

cos.ysen.z´ysen.ycos.z´z

Aplicando la definición: Jz´ y´A dA y. cosθ z. senθ dAA

Jz´ cos .θ yA dA sen θ z dA 2cosθsenθ yzdAAA Jz´ Jz. cos θ Jy. sen θ 2cosθsenθ. Jyz sen2θ 2. senθ. cosθ sen θ cos θ Jz´ Jz Jy Jyz. sen2θ

´ . . (1)

z

y

z´

y´ dA

θ

z

y

y´ z´

θ

ycosθ

zcosθ

ysenθ

zsenθ

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Jy´ z´A dA z. cosθ y. senθ dAA Jy´ cos .θ zA dA sen θ y dA 2cosθsenθ yzdAAA Jy´ Jy. cos θ Jz. sen θ 2cosθsenθ. Jyz Jy´ Jy Jz Jyz. sen2θ ´ . . (2) Jz´y´ z´y´A dA z. cosθ y. senθ y. cosθ z. senθ dAA Jz´y´ cos θ. Jzy senθcosθ. Jy senθcosθ. Jz sen θ. Jzy Jz´y´ Jzy cos θ sen θ Jz Jy senθcosθ ´ ´ . . (3)

LAS FORMULAS (1), (2) Y (3) PERMITEN CALCULAR LOS MOMENTOS DE INERCIA SEGÚN LOS EJES Z´-Y´ ROTADOS UN ANGULO θ CON LOS EJES Z-Y, CONOCIDOS LOS MOMENTOS DE INERCIA SEGÚN ESTOS ULTIMOS.

OBJETIVO: ENCONTRAR EL ANGULO θ QUE EXTREMIZA Jz´ y Jy´

0d

´dJz=

θ y 0

d´dJy=

θ

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J ´ Jz Jy . sen2θ 2Jyz. cos2θ Jz Jy . sen2θo 2Jyz. cos2θo 0 (4) J ´ Jz Jy . sen2θ 2Jyz. cos2θ Jz Jy . sen2θo 2Jyz. cos2θo 0 De la ecuación (4) se puede despejar Jz-Jy en función de θo: Jz Jy2 Jzytg2θo

Reemplazando en (1) y (2), teniendo en cuenta que θ=θo

)JJ(J2

2tgyz

yz1o −

−=θ

)JJ(J2

2tgyz

yz2o −

−=θ

22o1oπ

+θ=θ

LOS EJES QUE EXTREMIZAN LOS MOMENTOS DE INERCIA FORMAN ENTRE SI UN ANGULO IGUAL A π/2 Y SE DENOMINAN EJES PRINCIPALES DE LA SECION. LOS MOMENTOS DE INERCIA EXTREMOS SE DENOMINAN MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES

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2zy

2yzyz

1 J2

JJ2

JJJ +

−+

+=

2zy

2yzyz

2 J2

JJ2

JJJ +

−−

+=

Jz´ J J J cos2θo Jzysen2θo Jz´ J J J J

(1´) Análogamente: Jy´ J J J cos2θo Jzysen2θo Jz´ J J J J

(2´) Teniendo en cuenta que:

sen2θo y tg2θo JJ J

Jz Jy 2Jzy Reemplazando en (1´) y (2´) se llega a la ecuación que define los momentos de inercias respecto a los ejes principales conocidos los momentos de inercia respecto de un sistema de ejes cualquiera, llamando al eje principal z´= eje 1 y al eje principal y´=eje 2:

MOMENTOS PRINCIPALES

(5)

(6)

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Jz Jy2 . sen2θ Jzy. cos2θ 0

)JJ(J2

2tgyz

yzo −

−=θ

OBJETIVO: ENCONTRAR EL ANGULO θ QUE ANULA Jz´y´

EN CORRESPONDENCIA DE LOS EJES PRINCIPALES EL PRODUCTO DE INERCIA ES NULO

J12 = 0

EL PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO DE LOS EJES DE SIMETRIA ES NULO.

LOS EJES DE SIMETRIA SON EJES PRINCIPALES DE INERCIA

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EJEMPLO 3: Calcular la inclinación de los ejes principales y los momentos de inercia J1 y J2 del ejemplo del punto 2: Datos Jz: 15046 cm4 Jy: 13203 cm4 Jzy: -10830 cm4 Aplicando la fórmula (4) tg 2θo = 11.75 entonces 2θo1= 85.1º y 2θo2=265.1º Se obtienen las direcciones principales: θo1=42.6º y θo2=132.5º medidos respecto eje z Luego por aplicación de las fórmulas de J1 y J2 se obtienen los momentos de inercia respecto de los ejes principales 1 y 2:

J1=24993 cm4 y J2=3255 cm4

4.0

15.0

4.0

15.0 4.0 15.0

z

y

CG

1

2

Θo1

Θo2

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EJEMPLO 4: Calcular el momento de inercia de la siguiente sección hueca con dos ejes de simetría: El problema se puede interpretar como un sección maciza de dimensiones b1 x h1 a la que se le sustrae una sección maciza de dimensiones b2 x h2. Como ambas secciones tienen el mismo CG porque la sección hueca tiene simetría biaxial, directamente se puede escribir: Como los ejes z e y son ejes de simetría entonces también son principales de inercia.

z

y

b1

b2

h1 h2

CG