apunte complementarios n° 1 2016

7/26/2019 APUNTE COMPLEMENTARIOS N 1 2016

1/16

PREUNIVERSITARIO PREUTECHDEPTO. MATEMTICA.

____________________________________________________________CURSO: P.S.U. MATEMTICA. EJE TEMTICO: NMEROS

PROCESO ADMISIN: 2017

APUNTE COMPLEMENTARIO N 1VARIACIN PROPORCIONAL

INTRODUCCIN

Todo lo que nos rodea tiene una disposicin en su forma que responde a una constante presente en lanaturaleza y que arquitectos, filsofos, matemticos e incluso artistas han tratado de reproducir tomandocomo base la armona que est directamente ligada con la belleza.

En arquitectura por ejemplo vemos armona en la construccin de grandes puentes y famosas catedrales enarte tenemos el famoso esquema de las proporciones del cuerpo humano de!eonardo "a #inci, como tambi$n en las fotografas en la naturaleza misma nos encontramos con losmovimientos de los animales e incluso hasta el mismo ser humano.

En esta unidad conoceremos los principios bsicos de las proporciones que nos ayudarn a futuro a entenderla belleza que hay en la geometra que nos rodea.

RAZONES

%azn entre dos cantidadesay , es la comparacin por cuociente de ellas. &e denota por'

ab

( c , o bien a ' b( c, y se )lee aes a *

"onde !( razn

!os elementos que forman la razn se llaman antecedentes y consecuentes'

a( antecedente b ( consecuente

E"#$%&'' !us y #ctor tienen +-. y +/., respectivamente. 0l comparar estas cantidades !us diceque #ctor tiene +1. ms que $l, sin embargo e2iste otra forma de comparar estas cantidades, mediantela divisin'

-.

/. (

1

3 , lo que nos indica que cada + 1 que tiene !us, #ctor tiene +3.

&i lo quisi$ramos podramos analizarlo al rev$s y decir que cada +3 de #ctor, !us tiene +1, lo que sedenomina razn inversa.

PROPORCIONES

Es la igualdad o equivalencia entre dos razones. &ia

by

c

dson iguales, entonces la proporcin se denota

por'

a

b(

c

d, y se lee ) aes a , como !es a (*


2/16

!os t$rminos a y d se llaman e2tremos y los t$rminos b y c se llaman medios.

En el ejemplo anterior podemos decir que'-.

/.(

1

3es una proporcin.

!a igualdad entre tres o ms razones se denomina S#)*# (# )a+',#-.

P)'%*#(a(#-

a4 En toda proporcin se verifica que el producto de los medios es igual al producto de los e2tremos, es

decir' &ia

b(

c

d a 5 d ( b c

Ejemplo'/

1 (

3

3 es proporcin ya que'

/

1( 6 y

3

3( 6

0hora usando el teorema' / 3 ( 1 3 ( -

b4 7na proporcin no vara cuando se a),a, &'- $#(*'-o los e2tremos o ambos a la vez 8alternar unaproporcin es cambiar el orden de los medios o de los e2tremos4.

a

b(

c

d i4 0lternando e2tremos'

d

b(

c

a

ii4 0lternando los medios'd

c(

b

a

c4 7na proporcin no vara cuando -# &a *,/*#)#. Es decir'

a

b (

c

d

b d(

a c

d4 7na proporcin ,'vara cuando -# &a %#)$a. 8P#)$a)una proporcin es cambiar el orden de lasrazones4.

Esto es' &ia

b(

c

d

c

d(

a

b

e4 Toda proporcin se puede componer. 8C'$%',#)una proporcin es comparar la suma del antecedentey consecuente en cada razn con los antecedentes o consecuentes respectivos4. Esto es'

&ia

b(

c

d

a9b

a(

c9d

c

a9 b

b(

c9d

d

f4 Toda proporcin se puede descomponer, 8D#-!'$%',#) una proporcin es comparar la diferenciaentre el antecedente y consecuente en cada razn con los antecedentes o consecuentes respectivos4.Esto es'

&ia

b (

c

d

a:b

a(

c : d

c

a:b

b(

c : d

d


3/16

g4 7na proporcin se puede componer y descomponer a la vez. 8Esta operacin consiste en comparar lasuma con la diferencia entre el antecedente y el consecuente en cada razn4.Esto es'

&ia

b

(c

d

a9b

a:b

(c9d

c : d

P)'%')!*, D*-!',*,a'

Es aquella que tiene todos sus trminos desigualeses decir es del tipo' a :b ( c :d

Ejemplo'/

1(

3

3

Ca)a P)'%')!*',a&:

Es cada uno de los t$rminos de una %)'%')!*, (*-!',*,a.En la proporcin / :1 ( 3 :3 el 3 es la cuarta proporcional entre /, 1, 3 y anlogamente lo es 1 entre

/, 3, 3 y lo mismo ocurre con el / y el 3.

;uando no se indica el orden de la proporcin, el clculo de la cuarta proporcional queda indeterminado, yaque pueden obtenerse 6 resultados distintos.

E"#$%&':;alcular la cuarta proporcional entre 1, -, ara resolver la pregunta hay que traspasar los datos de la tabla a una ecuacin siguiendo estos pasos'

i4 @dentificar la variable >atrn 8donde se encuentra la incgnita4

ii4 @gualar esta variable con el producto del cuociente de las otras, determinndose siempre larelacin que e2iste de $stas con la variable patrn, es decir'

!as variables hombres y !itros son directamente proporcionales, sin embargo las variables Iombres y dasestn en relacin inversa, lo cual se e2presa con su reciproco en la ecuacin.

3

2(

/.3

1.5

3

&i resolvemos para 2 tenemos que 2 ( 6-, lo cual nos indica que se necesitan 6- hombres para beber 1.litros de cerveza en das.


7/16

____________________________________________________________________

EJERCICIOS RESUELTOS

4 !os artistas pensaban que para que un objeto fuera bello desde el punto de vista de la forma, debaestar proporcional la parte menor y la mayor del objeto, con la parte mayor y el total. 0 la razn quese forma se le conoce como la %azn Lurea, denotada por, tambi$n conocido como nMmero de oro.Normar la proporcin adecuada para que el trazo 0O quede dividido en una raznLurea.

@maginemos que el trazo es dividido 8en dos partes a y b4 en el punto ; como lo indica la figurainferior.

>ara formar la proporcin Lurea solo debemos seguir los pasos de la definicin'>rimero formamos la razn entre la parte menor y mayor' b :a

!uego la razn entre la parte mayor con el total' a :8a 9 b4>or Mltimo la proporcin entre las dos razones con lo que nos queda'

b :a ( a :8a 9 b4 que es la razn Lurea pedida.

;on la ayuda de tu profesor puedes encontrar el valor de la razn Lurea que es( ,-< apro2.

/4 "ibujos o planos a escala' Puchas veces has tenido la posibilidad de observar maquetas de edificios,y junto con eso ledo o escuchado la frase ) a ma&ueta est' hecha a una escala de ( : (0), locual hace referencia a que cada centmetro de la maqueta representa en la vida real a metros 8eneste ejemplo4, pues bien , dibujar a escala es tratar de hacer representaciones de la vida real pero

en pequeQo, aunque guardando las proporciones pertinentes, para que no se nos distorsione larealidad.

&i en la maqueta anterior un edificio tiene un alto de / cms. J;ul sera su tamaQorealK

>ara responder a la pregunta solo es necesario hacer una proporcin simple' cm / cm( mt 2

, donde

5son los metros reales que mide el edificio.2( mt >/cm cm ( / mts.

!uego el edificio tiene / metros de altura.


8/16

apunte complementarios n° 1 2016

Documents