apunte 4 ondas guiadas

Parte I

2.1 Guías de Ondas Rectangulares.

a

b

x

z

y

x z

y

z E

H

Guías de Ondas Capítulo

II

Capítulo

II

Con el objeto de determinar las configuraciones de

campo electromagnético en el interior de una GG.OO.

rectangular.

Se debe:

Resolver las ecuaciones de Maxwell, con

las condiciones de borde apropiadas.

0 nt HE

Guías de Ondas Rectangulares

Capítulo

II

EjHx

HjEx

EE

22 HH

22

Las ecuaciones de Maxwell que interesan son:

Las ecuaciones de onda:

donde:

jjwjw

Constante de propagación


Capítulo

II

Para una región conductora, estas ecuaciones llegan a

ser, en coordenadas rectangulares:

a) Interior de la GG.OO. (dieléctrico):

yzx Ej

x

H

z

H

zxy

Ejy

H

x

H

x

yz Ejz

H

y

H

yzx Hj

x

E

z

E

zxy

Hjy

E

x

E

x

yz Hjz

E

y

E


Capítulo

II

Ez

E

y

E

x

E

2

2

2

2

2

2

2

Hz

H

y

H

x

H

2

2

2

2

2

2

2

Mientras tanto las ecuaciones de onda quedan:

Obs: Estas ecuaciones, escritas para cada una de las

componentes rectangulares de , deben satisfacer

la ecuación general de Helmholtz: HyE

22


Capítulo

II

: escalar

esto es:

2

2

2

2

2

2

2

zyx

donde:

= X(x) Y(y) Z(z)

La solución a esta ecuación puede alcanzarse usando

la técnica de separación de variables (S.V):


Capítulo

II

Z(z) X(x) Y(y)

222222cyxg kkk

222

yxc kkk donde:

: Número de onda

de corte.

Se define la cte. de propagación por la GG.OO.,

para la onda que se propaga en la dirección z como:

=(Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy)(Esen kzz+Fcos kzz)


Capítulo

II

Además se sabe que: 22

22

cg k

22

cg k

22

cg kj


Capítulo

II

1° No hay Propagación:

022 ck 0g

cc

c fk

2

2

22

yx

c

kkf

Frecuencia de corte

g De acuerdo a la expresión anterior existirán tres casos

de interés para .


Capítulo

II

2° Hay Propagación (sin aten., sólo cambio de fase):

022 ck gg j

Así, 22

cg kj

2

2

2 1 cg

kj

2

1

f

fj c

g cff ;


Capítulo

II

3° No hay Propagación (sólo existe atenuación):

022 ck gg

1

2

f

fcg

La onda será atenuada para f <fc .

No hay Propagación ( ) cteg


Capítulo

II

Para condición , la ecuación de

Helmholtz queda:

= (Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy) e-jgZ


Capítulo

II

a) Modo TEm n

Los subíndices m y n, representan el número de

medios ciclos de la magnitud del campo en la

dirección x e y, respectivamente.

Estos modos se caracterizan por Ez = 0 ( sólo E

transversal), esto implica que existe Hz .

22

es solución para: zz HH 22

2.1.1 Modos de Transmisión.

Por tanto,


Capítulo

II

cuya solución es de la forma:

Donde fue sustituido

a

mxk

b

nky

z

nnmmZ eyb

nDy

b

nCxBxAH

cossen

a

mcos

a

msen


Capítulo

II

Volviendo a las ecuaciones de Maxwell:

EjHx

HjEx

0zE

gjz

y considerando

Las ecuaciones para cada una de las

componentes quedan:


Capítulo

II

XYg HwE YXg HwE

XYgZ EjwHj

y

H

0

y

H

x

H XY

ZXY Hjw

y

E

x

E

yZ

Xg Ejwx

HHj


Capítulo

II

Las ecuaciones anteriores se resuelven en función

de HZ , quedando:

y

H

k

jwE Z

c

X

2

x

H

kH Z

c

g

X

2

x

H

k

jwE Z

c

Y

2

y

H

kjH Z

c

g

Y

2

0ZE conocidoHZ


Capítulo

II

donde 222

gck

Ahora derivando la solución para HZ (respecto de

x e y) y reeplazando en las ecuaciones anteriores se

obtiene:

Hn = 0 ( normal)

Et = 0 ( tangencial)

En la superficie de

los conductores.

A estas ecuaciones se les aplica las condiciones

de borde:

Un nuevo conjunto de ecuaciones. de campo.


Capítulo

II

Obs: suponiendo

conductor perfecto.

x

y

i) Et = 0

a) Ex = 0 en y = 0,b by

y

HZ

,0

= 0

Cn= 0

Ey Ey

Ex

Ex

a

b

0


Capítulo

II

b) Ey = 0 en x = 0,a ax

x

HZ

,0

= 0

Además la derivada normal de Hz debe ser nula en las

superficies conductoras:

0

n

HZ

Am=0


Capítulo

II

Las Ecuaciones de Campo para

todo modo TEmn quedan:

zj

XXge

b

yn

a

xmEE

sencos0

zj

YYge

b

yn

a

xmEE

cossen0

0ZE


Capítulo

II

donde: m= 0, 1, 2,........

n = 0, 1, 2,.......

Obs: m y n no pueden ser cero simultáneamente.

zj

XXge

b

yn

a

xmHH

cossen0

zj

YYge

b

yn

a

xmHH

sencos0

zj

ZZge

b

yn

a

xmHH

coscos0


Capítulo

II

Entonces,

; a,b en [m]

22

yxc kkk

22

b

n

a

mkc

cc wk

Se definen diversos parámetros de las GG.OO para

los modos TEm,n.


Capítulo

II

22

2

1

b

n

a

mfc

Constante de propagación (o cte. de fase):

2

1

f

fw c

g

Frecuencia de corte:


Capítulo

II

Velocidad de fase en la guía, en dirección

del eje z es:

2

1

f

f

vwV

c

pd

g

pg

1pdv

donde

Velocidad de fase en

un dieléctrico abierto


Capítulo

II

Impedancia de onda característica

20

1 ff

w

H

E

H

EZ

cgx

y

y

xg

donde

0

00

Impedancia intrínseca

del medio abierto.

Obs.:Sólo en caso en que

el dieléctrico sea vacío


Capítulo

II

Longitud de onda en la guía

20

1 ffc

g

donde

f

vpd0

Longitud de onda en

el medio abierto


Capítulo

II

Estos modos se caracterizan por tener Hz = 0 (H

es transversal ) debe existir Ez para Tx. de

energía en la guía.

zz EE 22

cuya solución es de la forma:

b) Modo TMm n

zj

nnmmzgey

b

nDy

b

nCxBxAE

cossen

a

mcos

a

msen


Capítulo

II

A la cual se le aplican las condiciones de borde, de

manera similar al modo TE

0tE

En x = (0,a) 0zE

0zE En y = (0,b)

Bm = 0

Dn = 0

zj

ozzge

b

yn

a

xmEE

sensen

donde: m= 1, 2, 3,........

n = 1, 2, 3,.......

Obs: m,n 0 para que exista

campo propagándose en el

interior de la guía.


Capítulo

II

Evaluando las ecuaciones de Maxwell para:

EjHx

0zH

xygz HjEj

y

E

yz

xg Hjx

EEj

0

y

E

x

Exy

xyg EH

yxg EH

zxy

Ejy

H

x

H


Capítulo

II

Las ecuaciones anteriores se resuelven en función de EZ

y

E

k

jwH Z

c

X

2

x

E

k

jE Z

c

g

X

2

x

E

k

jwH Z

c

Y

2

y

E

k

jE Z

c

g

Y

2

0ZHconocidoEZ


Capítulo

II

donde 222

cg k

Ahora, derivando la solución para EZ , (respecto de x e y)

y reemplazando en las ecuaciones anteriores, se obtienen

las ecuaciones de campo para los modos TMm n.

zj

XXge

b

yn

a

xmEE

sencos0

zj

YYge

b

yn

a

xmEE

cossen0


Capítulo

II

zj

ZZge

b

yn

a

xmEE

sensen0

zj

XXge

b

yn

a

xmHH

cossen0

zj

YYge

b

yn

a

xmHH

sencos0

0ZH


Capítulo

II

A continuación, se pueden obtener las ecuaciones

para los parámetros característicos de los modos TMmn:

22

2

1

b

n

a

mfc

Frecuencia de corte:

2

1

f

fw c

g

Constante de propagación (o cte. de fase):


Capítulo

II

2

1

f

f

vV

c

pd

pg

Velocidad de fase en dirección del eje z :

Impedancia de onda característica

2

0 1

f

f

wZ cg

g


Obs.: 0 sólo en caso en que el dieléctrico sea vacío

Capítulo

II

2

0

1

f

fc

g

Longitud de onda en la guía


Capítulo

II

Frecuencias de corte de modos (TE/TM)mn: (fc)mn/fc ; a>b


Obs: modo dominante: TE10 modo con la fc más baja,

para a>b.

TE10

1

1,5

2

3

1 1 1,414 2 2 2,236

1

1

1 3

2

1,5 1,803

2,236

3,162

2

2 3

4 2,828

2,500

f01/f10

a/b

2 6 3,606

TE01

Modo TE11

TM11 TE20 TE02

TE21

TM21

Capítulo

II

2.1.2 Tx. de Potencia en GG.OO. rectangulares.

Asumiendo que la GG.OO. está bien terminada (no

existe reflexión de potencia).

Para el caso de un dieléctrico sin perdidas, el flujo de

potencia está dado por:

A

g

Agtr dAH

ZdAE

ZP

22

22

1


Capítulo

II

222

yx EEE 222

yx HHH

Así para los modos TEm,n y TMm,n se tiene:

donde

x

y

y

xg

H

E

H

EZ


Capítulo

II

TMm,n

dxdyEE

ffP

b a

yx

c

tr

0 0

22

2

0 12

1

TEm,n

dxdyEE

ffP

b a

yxc

tr

0 0

22

0

2

2

1


Capítulo

II

2.1.3 Pérdida de Potencia en GG.OO. Rectángulares.

a) En el dieléctrico:

Obs: Para un dieléctrico de bajas pérdidas ( )

1

022

d

La constante de atenuación de una OEM plana

que se propaga en el dieléctrico (abierto) viene dada

por:


Capítulo

II

La atenuación debido al dieléctrico de baja

pérdida para una GG.OO rectangular será:

20

12 ffc

gd

TEm,n

TMm,n

20 12

ffcgd


Capítulo

II

donde:

b) En las paredes de la GG.OO.:

dAHZ

dsHR

Ag

s Ts

g 2

2

2

222

YX HHH 222

TYTXT HHH

2m

fRs


Capítulo

II

Puesto que la frecuencia de corte (fc) es una función

de los modos (m,n) y de las dimensiones de la guía;

Las dimensiones físicas

determinarán la propagación de los

modos.


Capítulo

II Guías de Ondas Rectangulares

2.1.4 Configuración de campos EM y métodos de

excitación en GG.OO. Rectángulares.

Capítulo

II Guías de Ondas Rectangulares

apunte 4 ondas guiadas

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22c gk

hay propagacin

para

gt

dxdy

obs