aproximación de un número real

7/26/2019 Aproximacin de Un Nmero Real

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Aproximacin de un nmero realAproximarun nmero a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un nmero con las cifras pedidas que est muy prximo al nmero

dado.Aproximacin por defecto, buscamos el nmero con un determinado nmero de cifras que es inmediatemente menor que el dado.Aproximacin por exceso, es el nmero con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor.Por ejemplo, dado el nmero 1.34! "amos a aproximarlo con dos cifras decimales#a$ por defecto es 1.34b$ por exceso es 1.3

Al dar la aproximacin en lu%ar del nmero se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son#a$ & 1.34! ' 1.34 & ( ).))!b$ & 1.34! ' 1.3 & ( ).))44s

Redondearun nmero consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestrocaso si redondeamos 1.34! a dos cifras decimales, el redondeo ser* 1.3.

+n la si%uiente tabla tenemos casos de aproximaciones y redondeo

Nmero Expresin decimal Aprox. defecto Aprox. exceso Redondeo

13 ).3333... ).33 -dos cifras decimales$ ).34 -dos cifras decimales$ ).33 -dos cifras decimales$

3 1.!!!!... 1.!!! -tres cifras decimales$ 1.!! -tres cifras decimales$ 1.!! -tres cifras decimales$

/.4/0 /.4 -una cifra decimal$ /. -una cifra decimal$ /. -una cifra decimal$

+2A256 7+ P89+8 :8A7;

na ecuacin es una i%ualdad que slo se "erifica para unos "alores concretos de una "ariable, %eneralmente llamada x.

8esol"er una ecuacin consiste en


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8ecuerda#=i un elemento est* sumando en un miembro pasa al otro restando. =i est* restando pasa sumado.=i un nmero multiplica a todoslos elementos de un miembro pasa al otro di"idiendo y si los di"ise pasa multipllicando.

8esuel"e la ecuacin

+2A256 7+ P89+8 :8A7; 2;6 PA8>6?+==

na ecuacin es una i%ualdad que slo se "erifica para unos "alores concretos de una "ariable, %eneralmente llamada x.

8esol"er una ecuacin consiste en


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8esuel"e la ecuacin

@o primero que "amos a


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=i el discriminante es mayor que )


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Cmo se indican los sitios que se encuentran por deba!o del nivel delmar"

Qu temperatura registra eltermmetro?


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$u% nmeros se utili&an para indicar la diferencia degoles"

Cmo escribir'as matemticamente que debes()**"

+ara asociar a cada par de nmeros enteros un punto del plano, se utili&a un sistema de ejescoordenadoso sistema cartesiano, construido de la siguiente manera:

Se consideran dos rectas perpendiculares, secantes en un punto Dal que llamaremosorigen.


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na graduacin de origen D, sobre una de lasrectas. -ste e!e graduado recibe el nombre de ejede abscisaso primer e!e.

na graduacin de origen D, sobre la otra recta.-ste e!e graduado recibe el nombre deeje deordenadaso segundo e!e.

-l punto asociado al par de nmeros(-5, 3)se obtieneas':

Se tra&a la paralela al segundo e!e por el punto de

abscisa -5 del primer e!e. Se tra&a la paralela al primer e!e por el punto de

abscisa 3del segundo e!e.

-l punto asociado al par (-5, 3)es el punto Adeinterseccin de esas dos rectas.

+ara ubicar un punto en el plano debemos dar un par ordenado de nmeros llamados abscisaquecolocamos primero/ y ordenadaque colocamos segundo/.

0 ese par de nmeros se le llama coordenadas del punto.


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1a abscisa la representamos sobre el e!e23ori&ontal2 y la ordenada sobre el e!e 2vertical2.

1-Cules son las abscisas de lospuntos l, n, f, i"

ltiene abscisa ntiene abscisa ftiene abscisa itiene abscisa

2--scribe las coordenadas de los puntos marcados en la siguiente grfica:


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A , /

B , /

C , /

D , /

, /

! , /


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3-4ados los nmeros 56, 5), 57, 8, 59, 7, completa:

-l mayor es

-l menor es

-l que se representa ms cerca de * en la recta es

-l que se representa ms le!os de * en la recta es

"-Completa:

-l opuesto de -#es

-l opuesto de $1%es


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-l opuesto de aes

-l opuesto de -aes

TEOREMA DE PITGORAS

En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los catetos.

a2+ b2 = c2

2ada uno de los sumandos, representa el *rea de un cuadrado de lado, a, b, c. 2on lo que la expresin anterior, en trminos de *reas se expresa en la formasi%uiente#


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El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de untringulo rectngulo, es igual a la suma de las reas de loscuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitgora generali!ado

=i en "eB de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un tri*n%ulo rect*n%ulo, construimos otra fi%ura, Cse%uir*siendo cierto, que el *rea de la fi%ura construida sobre la


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DEMOSTRA"IO#ES DE$ TEOREMA DE PITGORAS

A lo lar%o de la


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Una de las demostraciones geomtricas masconocidas, es la que se muestra a continuacin,que suele atribuirse al propio Pitgoras.

A partir de la igualdad de lostringulos rectngulos es evidentela igualdad

a2 b2! c2

P$AT'#&

La relacin que expresa el teorema de Pitgoras es especialmenteintuitiva si se aplica a un tringulo rectngulo e issceles. ste problemalo trata Platn en sus !amosos dilogos.

E("$IDES&


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@a relacin entre los catetos y la


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" #ira $

P(--$ES PITAG'RI"OS&

% continuacin se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitgoras en !orma de pu&&les. n todosellos, las pie&as en que se se 'an dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construidosobre la 'ipotenusa.

(.) Los siguientes disecciones son vlidas para cualquier tringulo rectngulo.

*e 'an ordenado de menos a ma+or nmero de pie&as que lo !orman.


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.& O!anam 2&/ Perigal -.)

0& Anaricio 1& )34ara .)


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/.) 0.)


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1.) Los pu&&les siguientes slo son validos en el caso de que el tringulo rectngulo inicial sea el que se indica.

2riangulo 3ectngulo 4ssceles


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2riangulo rectngulo -,5,6 7ateto ma+or 8 cateto menor 9 1


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:ipotenusa 8cateto menor 9- :ipotenusa8cateto menor 9 1


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-.) ;inalmente, dos pu&&les especialmente interesantes. en el intervalo que se indica en cada caso.

Para ampliar el intervalo de valide&, 'a+ que aumentar el nmero de pie&as, + no puede generali&arse con un nmero !inito.


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ngulos % + @ ma+or o igual que -A + menor o igual que A.

-A E% EAB56 E %E AB por tanto -AE@E56

stas dos disecciones muestran gr!icamente las demostraciones de uclides + de Pappus. 7on la limitacin que se 'a expresado anteriormente.

DEMOSTRA"IO#ES A$GE)RAI"AS&

Falindose de la construccin que se representa en cada caso, se


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+st*s son al%unas de las mas populares.

Pappus bn Gurra

@eonardo de Finci

:arfield

Fieta


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Ctras demostraciones algebraicas.


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*e 'a deDado para el !inal una prueba =posiblemente desarrollada por el propio Pitgoras>, que no precisa de !iguras

auxiliares. s su!iciente con un tringulo rectngulo.

%lgunos autores, 'ablan de la existencia de 'asta mil demostraciones di!erentes del 2eorema de Pitgoras. n (E1/, .*. Loomis publica The Pitagoream Proposition donde aparecen -/ pruebas.

uentes 5 1icencia 5 Cr%ditos

ic3a

&'meros para cada cosa
http://www.ceibal.edu.uy/elp/LosNumeros_ZJ5HK7_HYXFPL_Q26OTK.elp/fuentes__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/LosNumeros_ZJ5HK7_HYXFPL_Q26OTK.elp/ficha.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/LosNumeros_ZJ5HK7_HYXFPL_Q26OTK.elp/ficha.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/LosNumeros_ZJ5HK7_HYXFPL_Q26OTK.elp/fuentes__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/LosNumeros_ZJ5HK7_HYXFPL_Q26OTK.elp/fuentes__licencia__crditos.html


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1os nmeros se agrupan en con!untos. Cada con!untotiene una caracter'stica diferente y est directamente relacionada con la finalidad para la que fueroncreados.

Si bien en este recurso 3ablaremos solamente de los ;aturales ;/, es importante que sepas y recono&casque existen otros nmeros de los que los ;aturales tambi%n forman parte, pero que se ampl'a su campo yse extiende un poco ms all.

-l nmero natural est estrec3amente unido a los ob!etos. Sirve para contar cosas.1os ;aturales son representados por nmeros comprendidos entre el ) y el ... -s un con!untoinfinito de nmeros, ya que no podemos seleccionar una cifra final.

Cuando logramos contar el nmero exacto de compa#eros del saln, el nmero de regalos que nos dieronel d'a de cumplea#os, el nmero de personas que se encuentran dentro de nuestras casas... es decir,


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cuando logramos darle un nmero determinado a las cosas que contamos o cuando de!amos de contar algoporque la numeracin llega a un fin, decimos que esas cosas que contamos son !&A*, tienen fin.

+ero si tratamos de contar las estrellas del cielo, nunca lograremos contarlas en su totalidad porque lasestrellas son ?;?;?@0S, igual que los nmeros naturales, no tienen fin, son &!&+*. -n matemtica, els'mbolo de infinito se representa con un oc3o acostado as':

Sabemos entonces que los nmeros naturales son infinitos, pero que, sin embargo, solo utili&amos 4?-As'mbolos para la representacin de estos. +or esto nuestro sistema de numeracin se llama S?S@-B0 4-;B-0C?D; DCA.

&.+D/CC0&

u es4

Cmo se 3ace"

+or qu% se usa"
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;otacin cient'fica


ic3a

u es4

1a notacin cient6ficaes un recurso matemtico empleado para simplificar clculos y representar en forma concisa nmeros muygrandes o muy peque#os. +ara 3acerlo se usanpotencias de die7.

1as potencias de )* facilitan a astrnomos el traba!o con 2nmerose normes2, comola distancia en Eilmetros que nos separa de la constelacin de 0ndrmeda:

895::9:::9:::9:::9:::9:::

que la expresan: 8,5 ; 1:1#
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+ero tambi%n la usan los cient'ficos para expresar 2nmerosminsculos2, como el que representala masa de un protn, una de las part'culas del tomo:

:,:::::::::::::::::::::::1


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Feamos ejemplos:

.ecuerda@

-l nico d'gito que queda a la i&quierda de la coma debe ser un nmero entre 1y 8.

Siempre que movemos la coma decimal 3acia la i7?uierdael exponente de la potencia de )* ser positio.

Siempre que movemos la coma decimal 3acia la derec=ael exponente de la potencia de )* ser negatio.

or ?u se usa4

;otacin cient'fica


ic3a

or ?u se usa4
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+orque 3ace ms fcil traba!ar con nmeros muy grandes o muy peque#os, que son normales en traba!os cient'ficos o deingenier'a.

+or e!emplo es ms fcil escribir y leer/


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+rimero escribimos los datos en notacin cient'fica:v I 6 x )*9EmHsd I ),9 x )*JEm

t d

1uego dividimos las cifras que preceden a las potencias de )*:

),9 : 6 I *,9

03ora dividimos las potencias de )*:

)*J: )*9I )*6en este caso es fcil, se restan los exponentes/

-l resultado es: :,5 ; 1:3segundos

-n notacin cient'ficaes: 5 ; 1:2segundos.

5::segundos equivalen a #,3minutos aproximadamente.

&.+D/CC0&

.a7n

0 qu% llamamos ra&n"
http://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/a_qu_llamamos_razn.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/a_qu_llamamos_razn.html


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Calculamos ra&ones

-!ercicios

-l nmero +i

+roporcin

$u% 3as aprendido"


ic3a

.a7n

-n el e!emplo anterior, cules son las cantidades que debemos comparar"

1a cantidad de canastas encestadas y la cantidad de tiros:

Eugador 15 )J canastas encestadas en 89 tiros.

Eugador 25 = canastas encestadas en )9 tiros.

1a ra&n es una comparacin de dos nmeros mediante divisin.

1a ra&n se puede escribir de la siguiente forma:
http://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/calculamos_razones.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ejercicios1.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/el_nmero_pi.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcin.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/qu_has_aprendido.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/fuentes__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ficha.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/calculamos_razones.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ejercicios1.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/el_nmero_pi.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcin.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/qu_has_aprendido.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/fuentes__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ficha.html


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1#@"5o 1#"5y se lee 2)J es a 892, donde )J es el antecedentey 89 es el consecuente.

Si calculamos el valor de la ra&n entre las canastas encestadas y los tiros del primer !ugador obtenemos: 1#"5 :,"9

K para el segundo !ugador:


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ic3a

roporcin

1os lados de los siguientes cuadrados miden 6 cm y 9 cm, respectivamente:

Si buscamos la ra&n entre el lado del cuadrado peque#o y el del grande, obtenemos:

K la ra&n entre el per'metro del cuadrado peque#o y el del grande:
http://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ficha.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ficha.html


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Como las dos ra&ones tienen el mismo valor, podemos escribir:

A una igualdad entre dos ra7ones se le llama proporcin9

1a proporcin se lee as': F3 es a 5 como 12 es a 2:F .

+roporcionalidad inversa

$u% 3as aprendido"


ic3a

ropiedad fundamental
http://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcionalidad_inversa.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/qu_has_aprendido.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/fuentes__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ficha.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcionalidad_inversa.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcionalidad_inversa.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/qu_has_aprendido.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/fuentes__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ficha.html


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1a ra&n entre la cantidad de 3arina y la de manteca para 3acer una torta es de J a 6 JH6/.Si se toman )= ta&as de 3arina, cunta manteca se necesita"

+odemos establecer la siguiente proporcin:

2Jes a 6como )=es a =2

1os nmeros #y


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.egla de tres

-n una fiesta, por cada 9 ni#os 3ay 7 ni#as. Si el total de ni#os es )**, cuntas ni#as 3ay"

1lamemosXal total de ni#as y formemos la proporcin:

03ora apliquemos a esta proporcin la propiedad fundamental Fproducto de los e;tremos igual al producto de losmediosF:


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+or lo tanto, en la fiesta 3ay 8* ni#as.

1a regla de trestiene muc3'simas aplicaciones en la vida cotidianaL de 3ec3o, seguramente ya lo 3abrs 3ec3o algunave& sin darte cuenta o sin saber que se llamaba 2regla de tres2. -n cuanto domines su uso, vers qu% til puede ser.

+O+OC?O;01?404 4?-C@0

r.+oporci.+onalidad directa

n metro de cinta vale ( 78. Cunto valdrn 6 m, = m, )* m y )7 m"

na forma de resolver el problema es la siguiente:

Si 1 mvale G 2"

3 mvaldrn 3veces G 2"

-s decir: 3 ; 2" %2

1o mismo se 3ace para los otros casos.

+ero es me!or elaborar un cuadro donde apare&can relacionados el nmero de metros y el precio:

METROS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


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PRECIO 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288

Observa:

Si aumenta el nmero de metros, tambi%n aumenta el precio.

Si disminuye el nmero de metros, tambi%n disminuye el precio.

Si dividimos cada precio por el nmero de metros que le corresponde, podemos comprobar que:

-l cociente es siempre 78, es decir, la ra7nentre el precio y el nmero de metros esconstante.

1os metros son una magnitudy el precio es otra magnitud.

Fos magnitudes son directamente proporcionalessiG

1. Al aumentar una de las magnitudes, tambin aumenta la otra; o al disminuir una de lasmagnitudes tambin disminuye la otra, y

2. l !o!iente de las dos magnitudes es siem"re el mismo #!onstante$.

roporcionalidad inersa

-n una competencia de atletismo se fi!aron los premios para los primeros cinco puestos:


42/92

(H I /.1AA

1H I -.AA

-H I 1.5AA

5H I (.0AA

6H I (.55A

Observa que a mayor puesto le corresponde menor premio y a menor puesto le correspondemayor premio.

Si multiplicamos cada puesto por el premio que le corresponde, comprobamos que:

-l producto es siempre >.7**, es decir, el productoentre el puesto y el premio es constante.

1as magnitudes puesto ocupadoy premio obtenidoson inersamente proporcionales.

Fos magnitudes son in6eramente 7ro7orcionalesiG

(. %l aumentar una de las magnitudes la otra disminu+e, +

1. l 7rod8ctode las dos magnitudes es siempre el mismo =constante>.

&.+D/CC0&

a&n

+roporcin
http://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/razn.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcin.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/razn.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcin.html


43/92

+ropiedad fundamental

-!ercicios

+roporcionalidad directa

+roporcionalidad inversa

jemplo

$u% 3as aprendido"


ic3a

jemplo

1uis es contratado para reali&ar un traba!o y desea saber cundo puede entregarlo. Con este fin, 3ace un cuadro como elsiguiente:

Total de das quedemora en terminarlo

2 3 4 6 8

Horas de trabajo

diarias12 8 6 4 3

Calcula el nmero de 3oras, para cada caso, que 1uis gastar'a reali&ando el traba!o:
http://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/propiedad_fundamental.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ejercicios2.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcionalidad_directa.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcionalidad_inversa.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/qu_has_aprendido.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/fuentes__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ficha.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/propiedad_fundamental.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ejercicios2.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcionalidad_directa.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/proporcionalidad_inversa.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/qu_has_aprendido.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/fuentes__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/elp/Razon20y20porporcionSRealini.elp/ficha.html


44/92

2 % 12 & 4 % 6 & 3 % 8 &6 % 4 & 24

8 % 3 &

$u% puedes concluir"

Son directa o inversamente proporcionales las magnitudes =oras de trabajo diarioy total de d6as en=acerlo" .

Si representamos estos datos en una grfica de puntos, cmo ser'a la l'nea que une los puntos resultantes"

u =as aprendido4

1)-n qu% ra&n estn los nmeros = y )J" K los nmeros 7) y >"

2)4os lados de un tringulo estn en la ra&n 8Hcm, cunto mide el menor"

cm.

3)Cules de las siguientes pare!as de ra&ones pueden formar proporciones"esponde *o &+:


45/92

")Malla el valor de N en las siguientes proporciones:

X& X& X&

5)-n un pueblo por cada < mu!eres 3ay 9 3ombres. Si el total de 3ombres es =79,cuntas mu!eres 3ay"

mu!eres.


46/92

'ado de un

tri(ngulo

e)uil(tero 3 4 4,5 5 6 6,5 7

*er+metro del

tri(ngulo9

4etermina el tipo de proporcionalidad directa o inversa/: .

Con los datos elabora una grfica de puntos +uedes utili&ar la actividad SocialCalc/. Si lo deseaspuedes descargar un Banual de SocialCalc.

%)@odos los obreros que contrata una compa#'a son igualmente buenos para el traba!o. Completa elsiguiente cuadro, que muestra la relacin entre el nmero de obreros y el tiempo empleado:

Obreros 1 2 3 5 6 10 15 30

Das 30 15

4etermina el tipo de proporcionalidad directa o inversa/: .
http://activities.sugarlabs.org/es-ES/sugar/addon/4084http://ceibal.edu.uy/Userfiles/P0001/File/manual_socialcalc.pdfhttp://activities.sugarlabs.org/es-ES/sugar/addon/4084http://ceibal.edu.uy/Userfiles/P0001/File/manual_socialcalc.pdf


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Con los datos, elabora una grfica de puntos +uedes utili&ar la actividad SocialCalc/.#)-stos son los ingredientes para preparar un bud'n de coco de = porciones:

7 vasos de agua, )H7 Eg de a&car, )H8 Eg de coco rayado, >9 g de manteca y 8 3uevos.Completa la siguiente tabla:

Inredientes ! "or#iones $ "or#iones %& "or#iones

'asos de aua

( de a)*#ar

( de #o#o ra+ado

,ramos de mante#a

Hue-os
http://activities.sugarlabs.org/es-ES/sugar/addon/4084http://activities.sugarlabs.org/es-ES/sugar/addon/4084


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Caracter6sticas del lenguaje algebraico

-l lengua!e algebraico es ms preciso que el lengua!e num%rico, podemos expresar enunciados de forma breve.

-!emplo: -l con!unto de los mltiplos de 6 es 6,=,


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-!emplo: 6xQy5&I7

1os nmeros que acompa#an a las incgnitas se representan con letras: a, b, c...

-!emplo: axQy5b&

Actiidad de spacios en BlancoSi x representa la edad de 0na, escribe en lengua!e algebraico:

)/ -l doble de su edad es

7/ -l triple es

6/ 1a edad de 1uis es 9 a#os ms


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8/ 1a edad de 0na 3ace 9 a#os

9/ 1a edad de 0na dentro de )7 a#os

=/ -l nmero de a#os que !untan 0na y 1uis

1engua!e algebraico

Caracter'sticas del lengua!e algebraico

-l or'gen de la incgnita N

-xpresin algebraica, valor num%rico

@%rmino algebraico

Clasificacin

uentes consultadas 5 1icencia 5 Cr%ditos
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/caractersticas_del_lenguaje_algebraico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/el_orgen_de_la_incgnita_x.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/trmino_algebraico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/clasificacin.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/index.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/caractersticas_del_lenguaje_algebraico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/el_orgen_de_la_incgnita_x.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/trmino_algebraico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/clasificacin.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.html


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;presin algebraica, alor numrico

na expresin algebraica es una combinacin de nmeros y letras unidos por los signos de operaciones aritm%ticas.

-!emplo: xQ75y

Valor numricoes el nmero que se obtiene al sustituir las letras de una expresin algebraica por nmerosdeterminados y 3acer las operaciones indicadas en la expresin.

-!emplo: 7xQx7Q6I7R8/Q)=Q6I7>es el valor num%rico para N I 8/

4ependiendo del valor num%rico de la incgnita el resultado de una misma expresin puede cambiar.

Feamos otro e!emplo

Calculemos el valor num%rico de +x/ para x I )

+N/ I 7xQ6+)/ I 7.)Q6

+)/ I 7Q6+)/ I 9

03ora otro e!emplo:

9x7y 5 Jxy7 5


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rmino algebraico


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l signoindica si el t%rmino es positivo o negativo.l coeficientees la parte num%rica del t%rmino.a parte literales la variable del t%rmino.os e;ponentesindican el grado del t%rmino.

Actiidad de ectura

$u% es un t%rmino algebraico"


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n t%rmino 0lgebraico es un nmero o una letra o un con!unto de nmeros y letras que se relacionan

entre si por la multiplicacin o por la divisin.

-xpresin algebraica, valor num%rico

@%rmino algebraico

rado de un t%rmino algebraico

@%rminos seme!antes

Clasificacin

http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/expresin_algebraica_valor_numrico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/trmino_algebraico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/trminos_semejantes.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/clasificacin.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/expresin_algebraica_valor_numrico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/expresin_algebraica_valor_numrico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/trmino_algebraico.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/trminos_semejantes.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/clasificacin.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.html


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Hrado de un trmino algebraico

Grado absoluto:se obtiene sumando todos los exponentes de las variables.

rado I 9 Q 8 Q >

rado I )=

Grado relativo: es el valor del exponente de cada variable.


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rado de a I 9rado de b I 8rado de c I >

rminos semejantesSe denominan t%rminos seme!antes a los que tienen la misma parte literal afectados con los mismosexponentes. -!emplos:

58 a6 -s seme!ante a Q 7H6 a6

Q )J xy6 -s seme!ante a xy6

Actiidad de ectura


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Cmo reducir t%rminos seme!antes"

+ara reducir t%rminos seme!antes sumamos los coeficientes y ponemos la misma parte literal.-!emplo:

Jxy7 5)9xyQ=59xy7Q=xy IJxy7 59xy7/ 5)9xyQ=xy/ Q= I6xy75


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Clasificacin

;presiones algebraicas - ntroduccin
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/algebra1.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.html


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I l Jlgebra nos ayuda, entre otras cosas, a poder plantear un problema mediante un con!unto deoperaciones aritm%ticas que nos lleva a una frmula, operaciones que se resolvern en cuanto se sepa elvalor num%rico de cada letra de dic3a frmula.

I /na e;presin algebraicaes una combinacin de letras, nmeros y signos . 1as letras suelenrepresentar cantidades desconocidas y se denominan variables o incgnitas. 1as expresiones algebraicasnos permiten traducir al lengua!e matemtico expresiones del lengua!e 3abitual.

a$ 'eorema de "itgoras


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+n cualquier tri*n%ulo rect*n%ulo se cumple la si%uiente re%la# la


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+ste ?eorema nos permite calcular cu*nto mide la


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b$ 'eoremas de la altura

@a altura de un tri*n%ulo se mide traBando una lnea "ertical que "a desde la base


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+l se%mento A mide / cm y el se%mento J mide 0 cm.

2on estos datos ya podemos calcularla lon%itud de la altura#Altura/( //K 0/( 4 K 1 (

@ue%o#

Altura ( ( 0,// cm

c$ 'eoremas del cateto

Partiendo de un tri*n%ulo rect*n%ulo apoyado obre la


64/92

)ateto *2! Altura2 +egmento *2

Feamos un ejemplo#

2ateto A/( /K 3// K 0 ( 34

@ue%o, 2ateto A ( 34 ( ,3 cm

2ateto J/

( /

K / (

/ K 40 ( 4@ue%o, 2ateto J ( 4 ( ,!) cm


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?eorema de ?ales

ir -ecc.

=i tenemos / rectas y las cortamos con rectas paralelas, los segmentos%enerados son proporcionales.

+n la fi%ura se pueden "er dos rectas en aBul que


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A y C son proporcionales

B y D son proporcionales

'ringulos en posicin de 'ales# dos tri*n%ulos est*n en posicin de ?ales cuando tienen un ngulocomn los lados opuestos a este ngulo son paralelos.

+n la fi%ura se puede "er que los dos tri*n%ulos tienen el *n%ulo NaO comn, mientras que los ladosopuestos a este *n%ulo, los lados +7 y 2J, son paralelos.

=i dos tri*n%ulos est*n en posicin de ?ales se les pueda aplicar dic


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Los segmentos EC y DB son proporcionales

Los segmentos OC y OB son proporcionales

Feamos el si%uiente ejemplo de dos tri*n%ulos en posicin de ?ales#

Segmento OE : 5 cm

Segmento OD : 4 cm

OE / OD = 5 / 4 = 1,25


68/92

Segmento EC : cm

Segmento DB : !,4 cm

EC / DB = / !,4 = 1,25

Segmento OC : 1" cm

Segmento OB : 1#,4 cm

OC / OB = 1" / 1#,4 = 1,25

Teorema de Tales:

Existen dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos

atribuidos al matemtico griego Thales de Mileto en el siglo VI a. C.


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Primer teorema

Como definicin previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que

dos tringulos son semejantes si tienen los ngulos correspondientes iguales y

sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de

los resultados ms bsicos de la geometra, a saber, que:

:::"Si por un tringulo se traza una lnea paralela a cualquiera de sus lados, se

obtienen dos tringulos semejantes":::


70/92

Segn parece, Tales descubri el teorema mientras investigaba la condicin de

paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede

enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos tringulos

no es condicin suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicacin delteorema, y la razn de su fama, se deriva del establecimiento de la condicin de

semejanza de tringulos, a raz de la cual se obtiene el siguiente corolario.


71/92

Corolario

Del establecimiento de la existencia de una relacin de semejanza entre ambos

tringulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa

que la razn entre la longitud de dos de ellos en un tringulo se mantiene

constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos tringulos que, en virtud del teorema

de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario

que el cociente entre los lados A y B del tringulo pequeo es el mismo que el

cociente entre los lados D y C en el tringulo grande. Esto es, que como por el

teorema de Tales ambos tringulos son semejantes, se cumple que:


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Este corolario es la base de la geometra descriptiva. Su utilidad es evidente;

segn Herdoto, el propio Tales emple el corolario de su teorema para medir laaltura de la pirmide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se

demuestra la semejanza entre dos tringulos, no la constancia del cociente.

Del primer teorema de Tales se deduce adems lo siguiente (realmente es otra

variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas a,

b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que

determinan en ellas son proporcionales.

Una aplicacin inmediata de este teorema sera la divisin de un segmento en

partes iguales, o en partes proporcionales a nmeros dados (con ayuda de

comps, regla y escuadra o cartabn).

Segundo teorema


73/92

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometra

particularmente enfocado a los tringulos rectngulos, las circunferencias y los

ngulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

-----------Sea C un punto de la circunferencia de dimetro [AB], distinto de A y de

B. Entonces el ngulo ,es recto.

Tales de Mileto----------------


74/92

Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocclicos y

de la aplicacin de los ngulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostracin: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del crculo y r el

radio de la circunferencia. Por lo tanto on issceles. La suma de los ngulos

del tringulo ABC es equivalente a 2 + 2 = (radianes). Dividiendo por dos,

se obtiene:


75/92

Adems, la bisectriz de un tringulo corta al lado opuesto del ngulo con la

bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa = C + C, es decirAB=CA+CB.

En conclusin se forma un tringulo rectngulo.

?eorema de ?


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Ejem"los

. Las rectas a, b + c son paralelas. :alla la longitud de x.


77/92

2 Las rectas a, b son paralelas. Podemos a!irmar que c es paralela a las rectas a + b?

S9, porque se cumple el teorema de Tale.


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Teorema de T.ales en un tri/nulo

Fado un tring8lo A)", si se tra&a un egmento 7aralelo: );";: a uno de los ladodel triangulo, se obtiene otrotring8loA);";, cu+os ladoson 7ro7orcionalea los del tring8lo A)".

Ejem"lo0

:allar las medidas de los segmentos a + b.


79/92

1"li#a#iones del teorema de T.ales

l teorema de 2'ales se utili&a para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejem"lo0

Fividir el segmento %@ en - partes iguales.

. *e dibuDa una semirrecta de origen el extremo % del segmento.


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2 2omando como unidad cualquier medida, se seJalan en la semirrecta - unidades de medida a partir de %

< Por cada una de las divisiones de la semirrecta se tra&an rectas paralelas al segmento que une @ con la ltima divisin sobre

la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento %@ determinan las - partes iguales en que se divide.


81/92

+jercicios interacti"os del teorema de ?n correcta?

.Para poder aplicar el teorema de 2'ales necesitamos...

dos re!tas !uales)uiera y arias re!tas "aralelas entre s+ )ue !orten a las anteriores.

dos re!tas "aralelas y arias re!tas !uales)uiera )ue !ortan a las anteriores.


82/92

dos re!tas !uales)uiera y arias re!tas "aralelas entre s+ )ue "ueden serlo o no a las anteriores.

2Una de las aplicaciones del teorema de 2'ales es...

diidir un segmento en arias "artes iguales.

-ormar un segmento a "artir de arias de sus "artes.

'as dos res"uestas anteriores son !orre!tas.


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traamos re!tas "aralelas a alguno de sus lados.

traamos re!tas "er"endi!ulares a alguno de sus lados.

traamos re!tas "aralelas a alguno de sus lados )ue interse)uen a los otros dos lados del mismo.

0*abiendo que las rectas r,s+ tson paralelas, la longitud de x es


84/92

2.5 !m

3 !m.

/o se "uede !al!ular.

1*abiendo que las rectas r,s+ tson paralelas, las longitudes que !altan sonG


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% & 2.625 !m, y & 10 !m.

% & 10 !m, y & 2.625 !m.

altan datos "ara resoler el "roblema.

@*ean a+ bdos rectas cualesquiera + r+sdos rectas que las cortan. *i los segmentos que determinan a+ bson m 9 6.6, n 9 5, mK 9

1.6 + nK 9 1 entonces...

ry sson "aralelas.


86/92

ry sno son "aralelas.

ry sson "er"endi!ulares.

*abiendo que el segmento F es paralelo a la base del tringulo, las medidas de los segmentos a+ bson...

a & 8 !m y b & 10 !m.


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a & 9 !m y b & 11 !m.

/inguna de las res"uestas anteriores es !orre!ta.

B*abiendo que los segmentos que miden - cm + 5 cm son paralelos, calcular a + b.

a & 3 !m y b & 0.5 !m.


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a & 3 !m y b & 1.6 !m.

a & 3.5 !m y b & 0.6 !m.

Re8el6e lo ig8iente 7roblema?

C7ul es la altura del montn de libros situado sobre el csped?

cm


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.Cbservando la escalera que aparece en el dibuDo calcula la longitud de la cuerda que une los peldaJos de la escalera con suparte posterior.

cm

/ 0 E 1 E + , 3 4 E A 5 + ' 4 E 2 6 7

A"-#)A)#8N 4E- 'ERE9A 4E '(A-E+

'eniendo en cuenta los e:es curricularespara una +ducacin de 2alidad, en esta oportunidad para el desarrollo de la =esin de AprendiBaje,consideraremos tales ejes, como# Aprender a +er, Aprender a )onocer, Aprender a (acer Aprender a )onvivir.#. A"REN4ER A+ER;


90/92

todo su esfuerBo.?odos los que se


91/92

7e acuerdo a los %rupos formados realiBar las medidas correspondientes de los objetos desi%nados y del objeto de referencia en este caso una botellau otro objeto que crean necesario#1. @on%itud de la =;9J8A del objeto# SSSSS..S../. A@?8A del objeto de 8+U+8+62A -Jotella$# SSSSSSSS3. @on%itud de la =;9J8A del objeto de 8eferencia -Jotella$# SS

4. Aplicacin del ?eorema de ?


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A0'?E1A-0A)#8N; "R*-E9A+Ahora... 'e toca a ti a Aprender a (acer, resolviendo los "roblemas "ropuestos de la aplicacin del

'eorema de 'hales...

aproximación de un número real

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