aproximación de funciones y ajuste de datos
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11Equation Section (Next)Tema 6. Aproximación de funciones y ajuste de
datos.
Análisis numérico I. Doctora: Ras Patnaik.
6.0. Introducción.
El estudio de la teoría de aproximación involucra dos tipos generales
de problemas. Un problema surge cuando se tiene explícitamente una
función pero se desea encontrar un tipo de función “más simple”, como un
polinomio, que se puede usar para determinar los valores aproximados a la
función dada. Esta idea se usa en calculadoras y computadoras. El otro
problema en la teoría de aproximación es el consiste en ajustar las funciones
a datos dados y en encontrar la “mejor” función dentro de cierta clase que
pueda usarse para representar a los datos. No sería una interpolación debido
al error en el procedimiento de reelección de datos.
En el estudio de polinomios de Chebyshev y la aproximación de
Chebyshev tenemos dos objetivos:
a) una colocación optima de los puntos de interpolación para minimizar el
lugar en la interpolación de lugares y
b) un medio para reducir el grado de un polinomio aproximadamente con
una perdida mínima de precisión.
También, en este tema comparamos la aproximación de Taylor y la
aproximación φ minimax.
En el caso de ajuste de datos, no sería razonable pedir que la función
aproximante coincidiera exactamente con los datos dados; en realidad, tal
función aproximante introduciría oscilaciones que no ocurrían originalmente.
Un mejor enfoque para un problema de este tipo sería encontrar la “mejor”
(en algún sentido) función que se pudiera usar como función aproximante,
aun cuando pudiera no coincidir precisamente con los datos dados. Se
estudiara aproximación discreta de mínimos cuadrados y aproximación de
mínimos cuadrados por funciones no lineales.
6.1. Polinomios de Chebyshev.
A. Definición de Polinomios de Chebyshev T n(x).
B. Relación entre polinomios y T n(x).
C. Propiedades de T n(x).
6.1A. Definición de los polinomios de Chebyshev T n(x).
Consideremos las graficas de funciones cosθ,cos2θ,cos3θ,… cos nθ
sobre [0, π].
Se alcanzan los valores extremos (±1) en forma regular. Los valores
extremos de cos iθ y cos kθ ( j ≠ k) no se alcanzan en el mismo punto θ.
Con cambio de variable: 0≤θ≤π←→−1≤ x≤1. (1)
Definimos T n ( x )=cosnθ cosθ=cos−1 x, n=0,1,2 ,….
Así que: T o (x )=1 (2)
T 1 ( x )=x
T 2 ( x ) (¿cos2θ=2cos2θ−1 )=2 x2−1
y otros.
Se llaman polinomios de Chebyshev.
La relación de recurrencia, entre tres miembros sucesivos viene dada
por la propiedad trigonométrica:
cos nθ=2cosθ× cos(n−1)θ−cos (n−2)θ
y tenemos T n ( x )=2 xT n−1 ( x )−Tn−2(x ), n=2,3,4 ,… (3)
6.1B. Relación entre polinomios y T n ( x ).
De las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos los siguientes polinomios de
Chebyshev:
T o (x )=1−1≤x ≤1
T 1 ( x )=x
T 2 ( x )=2 x2−1
T 3 ( x )=22 x3−3 x
T 4 ( x )=23 x4−8 x2+1(4)
T 5 ( x )=24 x5−20x3+5 x
T 6 ( x )=25 x6−48x 4+18x2−1
T 7 ( x )=26 x7−112 x5+56 x3−7 x
T 8 ( x )=27 x8−256 x6+160 x4−32 x2+1
T 9 ( x )=28 x9−576 x7+432 x5−120 x3+9 x
Graficando las primeras cuatro funciones:
Los monomios 1 , x , x2 ,… pueden expresarse como combinaciones
lineales de los polinomios de Chebyshev como lo siguiente:
1=T o
x=T 1
x2=12(T o+T 2)
x3= 1
22(3T1+T 3 )
x4= 1
23(3T o+4T2+T 4 )
x5= 1
24(10T 1+5T 3+T 5 ) (5)
x6= 1
25(10T o+15T 2+6T 4+T 6 )
x7= 1
26(35T 1+21T 3+7T5+T 7 )
x8= 1
27(35T o+56T2+28T 4+8T 6+T 8)
x9= 1
28(126T1+84T 3+36T 5+9T 7+T 9)
6.1C. Propiedades de T n ( x ).
i. T n ( x )≔cos (ncos−1 x )⟹|T n (x )|≤1 ,n=0,1,2 ,….
ii. La suma de los coeficientes de T n ( x ), n=0,1,2 ,…. es 1 (véase ec. (4)).
iii. El coeficiente principal de cada T n ( x ) es 2n−1(n=1 ,2 ,….)
iv. Simetría en el siguiente sentido:
T n (−x )=(−1)nT n ( x ) , n=0 ,1 ,2 ,… (6)
v. T n ( x ) tiene n ceros, ξ1 ,ξ2 ,…ξn (digamos) en el intervalo abierto (-1, 1)
con ξk=cos2k−12n
π (k=1 ,2 ,….n) (7)
vi. T n ( x ) tiene n+1 valores extremos (y son ±1) en el intervalo cerrado [-1,
1] y alcanza a estos valores alternativamente en los n+1 puntos
siguientes α k:
α k=coskπn, k=0 ,1,2 ,…. ,n en [-1, 1]. (8)
Nótese que T n (αk )=T n(cos kπn )=cos nkπn =(−1)kk=0 ,1 ,2 ,…. , n
vii. La siguiente sucesión de polinomios mónicos (el coef. de xn es 1)
(x)Tn
¿ = 1
2n−1T n ( x ) ,−1≤ x≤1 (9)
se llama polinomios de Chebyshev “normalizados” más linealmente
independiente que {1 , x , x2 ,… ,xk } en el intervalo [0, 1] aunque anbos
conjuntos son bases del espacio vectorial Pk (el conjunto de todos los
polinomios de grado ≤k y con coeficientes reales). Véase las graficas
{T n(x )∨[0 ,1 ]}n=03 y {1 , x , x2 , x3 } en [0, 1].
6.2. Polinomios ortogonales.
A. Espacios de funciones ¿ F y ¿ Pk.
B. Producto interno (casos continuo y discreto) y ortogonalidad.
C. Sucesión de polinomios ortogonales {ϕn ( x ) }
D. Propiedades de polinomios ortogonales {ϕn ( x ) }
E. Polinomios de Legendre, Chebyshev, Hermite y Laguerre.
F. Evaluación de polinomios usando polinomios ortogonales.
6.2A. Espacios de funciones ¿ F y ¿ Pk.
En esta sección discutimos brevemente algunas propiedades
pertinentes y ejemplos específicos de sucesiones ortogonales. Aunque,
nuestra motivación inmediata para esta discusión proviene del problema de
aproximación de mínimos cuadrados por polinomios (los veremos en las
siguientes secciones), se usan los polinomios ortogonales en la
economización de Chebyshev de serie de potencias y en diferentes
contextos.
Sea ¿ F=¿F [a ,b ] el conjunto de todas las funciones definidas en el
intervalo [a ,b ] .
f , g ϵ∨F⟹ f +g también ∈∨F como ( f +g ) (x ) : f ( x )+g ( x )
α f (α escalar) ∈∨F como (α f ) (x )≔α f (x ) (1)
Además se dice que el conjunto de funciones {f o , f 1 , f 2…f n} en ¿ F es
linealmente independiente en [a ,b] si co f o ( x )+c1 f 1 ( x )+…+cn f n ( x )=0 ,para todo
x∈[a ,b ] entonces co=c1=…=cn=0. Cuando esto no se satisface se dice que
el conjunto de funciones es linealmente independiente. Nótese que ¿ F es un
espacio vectorial y ¿ Pk es el conjunto de todos los polinomios con coeficiente
reales de grado menor o igual a k .
Una función integrable w (x) se denomina función de peso en [a ,b], si
w (x)≥0 para todo x∈[a ,b ], pero w (x)≠0 en cualquier subintervalo de [a ,b].
El propósito de una función de peso consiste en asignar diferentes
grados de importancia a las aproximaciones en diferentes porciones del
intervalo. Por ejemplo, la función de peso w (x )= 1
√1−x2pone menos énfasis
cerca del centro del intervalo (-1, 1) y más énfasis cuando ¿ x∨¿ está cerca
de uno. Esta función de peso se usará en el conjunto ortogonal de
polinomios de Chebyshev.
6.2B. Producto interno (Casos contínuo y discreto) y ortogonalidad.
Sea f , g ,w ϵ∨F [a ,b ] , f , g : [a ,b ]⟶Ry w : [a ,b]⟶ R+¿U {0 }¿ (función de
peso). Definimos el producto interno <, > en ¿ así:
¿ f , g>∫a
b
f ( x ) g ( x )w (x )dx(Caso continuo) (2)
∑k=1
N
f (xk )g (xk )w (xk) (Caso discreto), {xk }k=1N (fijos) ∈[a ,b] (3)
Nota: A veces se toma w (x)≡1.
El producto interno cumple las siguientes relaciones: (f , g , h :[a ,b ]⟶ R
).
¿ f , g>¿<g , f >¿ (4)
¿c1 f +c2g ,h>¿c1< f , h>+c2<g ,h>, c1 ,c2=¿const. arbitraria
¿ f , f >≥0 y ¿ f , f >¿0⟺ f ≡0
Tomando ec. (4) como axiomas el espacio vectorial de funciones ¿ F
puede convertirse en un espacio con producto interno (¿ F ,< ,>¿). Para
funciones complejas (con valores números complejos) se utiliza g ( x ) , g(xk )
(complejo conjugado) en (2) y (3) y cambios adecuados en ec. (4).
Ortogonalidad. Dados: f , g∈(¿ F ,< ,>¿). Decimos que f y g son
(mutuamente) ortogonales si:
¿ f , g>¿0. Lo denotamos por f⊥ g (5)
Ejemplos (i) f (x)≡1, g ( x )=x , [a ,b ]=[−1,1 ] ,w ( x )≡1⟹<f , g>¿=0. (2)
(ii) f ( x )≡1 , g ( x )=x , [a ,b ]=[−1,1 ] ,w ( x )= 1
√1− x2⟹ f⊥ g. (2)
(iii) f ( x )=sinnx , g ( x )=sinmx ,h ( x )=cosmx , [a ,b ]=[0,2π ], entonces con
w (x )≡1, ¿ f , g>¿0=¿ f ,h>(n≠m), n ,m son enteros positivos.
6.2C. Sucesión de polinomios ortogonales {ϕn ( x ) }= ortogonalidad de
{T n ( x )}.
Decimos que ϕo ( x ) , ϕ1 ( x ) , ϕ2 ( x ) ,…, es una sucesión (finita o infinita) de
polinomios ortogonales, siempre que los {ϕk ( x ) }k≥ 0 sean todos mutuamente
ortogonales y cada ϕk es un polinomio de grado exacto k .
O sea, grado (ϕk ¿=k , k=0,1,2 ,… (5)
y ¿ϕk , ϕ j>¿0 , (k ≠ j )
Por ejemplo, los polinomios ortogonales de Chebyshev {T n ( x )}k ≥0
forman una sucesión de polinomios ortogonales con
[a ,b ]= [−1,1 ] ,w ( x )= 1
√1−x2 (6)
¿T k ,T j>¿∫−1
1
T k ( x )T j(x )w ( x )dx
Puesto que ∫0
π
cosmθ cosnθdθ=¿ 0 ,m≠n
π2,m=n≠0
π ,m=n=0
Tenemos con θ=cos−1 x (⟺−1≤ x≤1)
∫−1
1 Tm ( x )T n(x )
√1−x2dx=0 ,m≠n
π2,m=n≠0
π ,m=n=0
Caso discreto: Sean x j=cosπjN
(los puntos extremos de T N (x)), 0≤ j ≤N
.
Luego {x j }j ≥0⊂ [−1,1 ]
Conjunto de pesos: w ( x0 )=12,w (xk )=1,1≤k≤ N−1,w (x N )=1
2 .
Así que: ¿T r ,T s>¿≝∑j=0
N
T r (x j )T s(¿¿x j)w (x j )=0 , r ≠ s ,0≤r , s≤ N ¿¿
N2, r=s ,0<r<N (8)
N ,r=s=0ó N
Nótese que se obtiene (8) expresando c/u T r(x ) como función coseno
y usando la siguiente identidad trigonométrica:
cos kθ=¿¿
6.2D. Propiedades de polinomios ortogonales {ϕn ( x ) }.
(¿ Pk : El conjunto de todos los polinomios de grado ≤k)
(i) Si p ( x )ξ∨Pk , {ϕn}n≥0dados, entonces p(x ) puede expresarse
unívocamente p ( x )=d0ϕ0+d1ϕ1+…+¿ dkϕk ¿ (9)
Demostración: sea p ( x )=ak xk+¿un polinomio de grado ≤k−1.
Sea βk el coef. principal de ϕk.
Entonces tomando dk=ak
βk
(k=k , k−1 ,…0) se obtiene (9) por el método
de inducción sobre k .
(ii) Dados: pϵ∨Pk
{ϕn}n≥0 S.P.O (suc. de polin. ortog.)
Demostración: Sea p ( x )=d0ϕ0+d1ϕ1+…+¿ dkϕk ¿
Ahora ¿ p ,ϕl>¿<d0ϕ0+…+dk ϕk , ϕl>¿
(4)
¿d0 ¿ϕ0 , ϕl>+…+dk<ϕk , ϕl>( l ≥ k+1 )
¿0¿ {ϕn}n≥0es S.P.O) (l>R)
(iii) Dado {ϕn ( x ) } S.P.O sobre [a ,b ] ,entonces ϕk tienen kceros reales
simples en el intervalo [a ,b ] (Dem.: Véase conte/De Boor).
(iv) La sucesión de polinomios ortg {ϕn}n≥0 satisface una relación de
recurrencia de tres términos:
⟹ p⊥ϕk +1 , ϕk +2 ,…
(ϕ−1 ( x )≡0 )
ϕi+1 ( x )=Ai (x−β i )ϕi ( x )−C iϕi−1 ( x ) ,i=0,1,2,… (ϕ−1(x)≡0) (10)
donde:
Ai=β i+1βi
, i≥0¿ coef. principal de ϕi ¿, ϕ−1 ( x )≡0
Bi=¿ x ϕi , ϕi>¿ /¿ ϕi , ϕi>¿¿¿ (11)
C i=¿
6.2E. Polinomios de Legendre, Chebyshev, Hermite y Laguerre.
Polinomios de Legendre {Pn ( x ) }
Se genera como solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
EDO: (1−x2 ) y−2 x y+n (n+1 ) y=0
n=¿ Constante, intervalo [−1,1 ] ,
Solución: y=A1 y1+A2 y2 ,donde
y1=Pn ( x )=1.3….(2n−1)n!
[xn−n (n−1 )2 (2n−1 )
xn−2+n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 )2.4 . (2n−1 ) (2n−3 )
xn−4+…],
y2=Qn ( x )=12Pn ( x ) ln x+1
x−1−∑
k=0
∞1kPk−1 ( x )Pn−k ( x ) ,(n=0,1,2 ,…)
Relaciones:
Pn ( x )= 12nn !
dn
dxn(x2−1)n
Pn+1 ( x )=2n+1n+1
Pn ( x )− nn+1
Pn−1 (x ) , n=1,2 ,…
0 ,m≠n
22n+1
,m=n
Arbitrario, i=0
Ai<ϕi , ϕi>¿/ Ai−1<ϕi−1 , ϕi−1>¿ , i>0¿¿.
∫−1
+1
Pm ( x )Pn ( x )dx=¿
Primeros 5 términos
P0 ( x )=1
P1 (x )=x
P2 (x )=12(3 x2−1)
P3 ( x )=12(5 x3−3 x)
P4 ( x )=18(35 x4−30 x2+3)
Polinomios de Chebyshev {T n ( x ) }
Intervalo [−1,1 ]
Función de peso:w (x )= 1
√1−x2
EDO: (1−x2 ) y−x y+n2 y=0
n=¿ Constante.
Intervalo [−1,1 ]
Func. De Peso w (x)≡1
Solución: y=A1 y1+A2 y2 ,donde
y1=T 2n ( x )=[ x− n2
2 !x2+
n2 (n2−4 )4 !
x4−n2 (n2−4 ) (n2−16 )
6 !x6+…],
y2=T 2n+1 ( x )=[ x− (n2−1 )3!
x3+(n2−1 ) (n2−9 )
5 !x5−
(n2−1 ) (n2−9 ) (n2−25 )7 !
x7+…]Para n=0 , y=A1 y1+A2sin
−1 x
Relaciones
T n ( x )= (−2 )nn!(2n )!
√1−x2dn
dxn(1−x2)
n−12
T n+1 ( x )=2x T n ( x )−T n−1 ( x ) , n=1,2,3 ,…
∫−1
+1 Tm ( x )T n(x )
√1−x2dx=¿
Primeros 5 términos:
T 0 ( x )=1
T 1 ( x )=x
T 2 ( x )=2 x2−1
T 3 ( x )=22 x3−3 x
T 4 ( x )=23 x4−8 x2+1
Polinomios de Laguerre {ln x }
Intervalo: [0 ,∞ )
Función de peso: w (x )=e−x
EDO: x y+ (1−x ) y+ny=0 , n=¿Const.
Solución: y=A1 y1+A2 y2 ,donde
y1=ln (x)=n ![1−nx+n (n−1 )
(2! )2x2−
n (n−1 ) (n−2 )(3 !)2
x3+… xn
n !]
y2=ln (x) ln( x)+[(1+2n ) x+ 1+n−3n2
4x2+ 2−4 n−24n
2−11n3
108x3+…],n=0,1,2 ,. .
Relaciones:
ln x=exdn
dxn(xn e−x )
ln n+1 (x )=(2n+1−x ) ln x−n2 lnn−1 (x ) , n=1,2,3.
∫0
∞
ex lm ( x )ln ( x )dx=¿
Primeros 5 términos:
L0 ( x )=1
L1 ( x )=−x+1
L2 (x )= x2−4 x+2
L3 (x )=−x3+9x2−18 x+6
0 ,m≠n
(n!)2 ,m=n
L4 ( x )=x4−16 x3+72 x2−96 x+24
Polinomios de Hermite {H n ( x ) }
Intervalo: (-∞, ∞)
Función de peso: w (x )=e−x2.
EDO: y−2xy+2ny=0 ,n=¿Constante.
Solución: y=A1 y1+A2 y2 ,donde
y1=H 2n ( x )=1−2n2 !
x2+22n(n−2)4 !
x4−23n (n−2 )(n−4)
6 !x6+…
y2=H 2n−1 ( x )=x−2(n−1)3 !
x3+22 (n−1 )(n−3)
5 !x5−23
(n−1 ) (n−3 )(n−5)7 !
x7+… (para
todo n)
Relaciones:
H n ( x )=(−1 )n ex2 dn
dxn(e−x2)
H n+1 ( x )=2 x H n ( x )−2n H n−1 ( x ) , n=1,2 ,…
∫−∞
∞
e−x2Hm ( x )H n ( x )dx=¿¿
Primeros 5 términos:
H o ( x )=1
H 1 (x )=2x
H 2 ( x )=4 x2−2
0 ,m≠n
2nn!√π ,m=n
H 3 ( x )=8 x3−12x
H 4 ( x )=16 x4−48 x2+12
6.2F. Evaluación de polinomios usando polinomios ortogonales.
Dados: p ( x )∈∨Pk [a ,b ], {ϕi ( x )}i=0k (polin. ortogonales), x ϵ [a ,b ].
Entonces tenemos:
p ( x )=d0ϕ0 (x )+d1ϕ1 ( x )+…+dk ϕk (x) (Representación única) (9)
ϕk ( x )=Ak−1 (x−Bk−1 )ϕk−1 ( x )−C k−1ϕk−2(x) (Relación de recurrencia)
(10).
Luego de (9) y (10)
p ( x )=d0ϕ0 (x )+…+dk−3ϕk−3 ( x )+{dk−2−dkC k−1 }ϕk−2 ( x )+{dk−1+dk Ak−1 (x−Bk−1 ) }ϕk−1 ( x )
Con las abreviaciones:
dk≔dk ;dk−1≔ dk−1+dk Ak−1 (x−Bk−1 ) (11)
Tenemos
p ( x )=d0ϕ0 (x )+…+dk−3ϕk−3 ( x )+{dk−2−dkC k−1 }ϕx−2 (x )+dk−1ϕk−1 ( x ) (12)
Obtenemos:
p ( x )=d0ϕ0 (x )+…+{dk−3−dk−1C k−2}ϕk−3 (x )+dk−2ϕ x−2 ( x )
Procediendo de esta manera, calculamos secuencialmente,
d j=d j+d j+1 A j (x−B j )−d j+2C j+1( j=k−2 ,…0) (13)
Con lo que se obtiene finalmente que
p ( x )=d0ϕ0 (x )
¿d0 β0 (β i=¿Coeficiente principal de ϕi) (14)
6.3. Aproximación de minimax y aproximación de Chebyshev.
A. Introducción a la aprox. minimax.
B. Formulación de la aproximación de Chebyshev.
C. Aproximación minimax a polinomios.
D. Algoritmo de economización de la serie de potencia.
E. Economización de Chebyshev para funciones particulares.
6.3A. Introducción a la aprox. minimax.
Dada f : [a ,b]⟶ R continua.
Definición de polinomio minimax (o aproximación polinomial óptima):
Minimizar (1)
p(x )∈Pn
Motivación viene del siguiente teorema de Weierstrass:
f continua en [a ,b ]⟹∃ p(x) polinomio tal que |f ( x )−p (x )|∈ ,∀ x∈[a ,b ].
Existencia y unicidad del polin. minimax en ¿ Pn:
f continua en [a ,b ]⟹∃: (único) polinomio de minimax p(x ) de grado a
lo sumo n que cumple (1).
max
¿ f ( x ) p ( x )∨¿
a≤ x≤b
Nota: Para poder usar polinomios de Chebyshev en la aproximación
minimax necesitamos el intervalo [-1,1]. Con siguiente cambio de variable
esto puede hacerse:
y=2 x−b−ab−a
nos da a≤ x≤b⟺−1≤ y ≤1 (2)
Aproximación de Taylor y aprox. de minimax.
Función de error en la interpolación polinomial en los puntos
x0 , x1 ,…xn∈[−1,1].
f ( x )−Pn ( x )=f (n+1 ) ( f ( x ) )
(n+1 )! (x−x0 ) (x−x1 )…(x−xn), min {x1 }<ε={x<max {x }} .
(3)
Si tenemos la oportunidad de elegir los puntos x0 , x1 ,…xn sobre el
intervalo [−1,1], entonces elegirlos de tal manera que:
minimiza
x0 , x1 ,…xn∈[−1,1] max ¿ (x−x0 ) (x−x1 )…(x−xn)|
−1≤x ≤1
Propiedad minimax del polinomio de Chebyshev: (¿ Pn+1(polinomicos)
⊂Pn+1).
De todos los polinomios mónicos ¿ Pn+1(x ) de grado n+1, el polinomio
de Chebyshev normalizado T n+1 ( x )= 1
2nTn+1(x) tiene la minima cota superior
en valor absoluto sobre el intervalo [−1,1].