Aprender matematica en lo tecnologicoSergio Andres Rubio-Pizzorno

Estudiante de Maestrıa en Cienciascon Especialidad en Matematica EducativaCinvestav-IPN. Cuidad de Mexico, Mexico

sergio.rubio@cinvestav.mx

Gisela Montiel EspinosaInvestigadora Cinvestav-IPN.

Cuidad de Mexico, Mexicogmontiele@cinvestav.mx

ResumenLa humanidad ha vivido uno de sus mayores cambios debido a la aparicion de latecnologıa digital. Este ha impactado a la dimension social, economica y polıtica y, na-turalmente, educativa -como manifestacion de la sociedad-. En esta ultima, los efectosde dicho cambio demandan mas que una reforma, una revolucion de la educacion.La sociedad y la educacion se han adaptado al cambio modificando sus practicas desdedos vertientes opuestas: lo oficial, atendiendo a sus necesidades institucionales; y lono oficial, supliendo las necesidades personales y colectivas.En consecuencia a este cambio y respuestas a el, es posible declarar que aprender enestos tiempos no es lo mismo que el aprendizaje que conocıamos el siglo pasado. Yano es suficiente la preocupacion sobre que se aprende, sino que es necesario ampliara como se aprende, atendiendo las consideraciones del ambiente y del proceso deaprendizaje.Estas tres caracterısticas, tecnologıa digital, organizacion social, junto a que y comoaprender, configuran el objeto de estudio desarrollado en este artıculo, denominadocomo aprender en lo tecnologico. En particular, se plantea desde la matematica educa-tiva para estudiar el aprender matematica en lo tecnologico.

Palabras clave: Tecnologıa digital, Tercera Revolucion de la Humanidad, aprender enlo tecnologico

La Tecnologıa ha penetrado e impactado a la Educacion.La relacion entre educacion y tecnologıa comenzo a mediados del siglo XX (Freiman,2014), y a partir de ese momento la tecnologıa ha penetrado e impactado en la educa-cion a distintos niveles, tanto en sala de clases, escuelas, sistemas educativos, polıticasgubernamentales, e incluso acuerdos de organizaciones internacionales preocupadaspor la educacion. Vemos como en la actualidad las aulas estan equipadas con apa-ratos electronicos como proyectores, pizarras digitales interactivas y computadores;las escuelas cuentas con conexion a Internet y laboratorios de computo; institucioneseducativas brindan cursos de formacion a distancia por medio de aulas virtuales; los go-biernos promulgan leyes y planes para entregar un computador o tablet por estudiante.Esta penetracion se condensa y converge a declaraciones de organismos internacio-nales preocupados de la educacion, refiriendose, por ejemplo, a la importancia de lascompetencias digitales como parte de las ocho competencias fundamentales de losciudadanos del siglo XXI, por parte de la Agenda de Lisboa (Cobo y Moravec, 2011), ola tecnologıa como un dominio de aprendizaje del siglo XXI, por la Unesco (LearningMetrics Task Force - Unesco, 2013).

1. Tercera Revolucion en la Humanidad

Pero esta penetracion tecnologica no es exclusiva de la educacion, otros ambitos dela humanidad, como la sociedad, el trabajo y la vida privada, se han visto modificadaspor la integracion tecnologica a sus practicas. Estos cambios se fueron gestandodurante la segunda mitad del siglo XX, y detonaron la aparicion de las tecnologıasdigitales. Lo cual dio origen a lo que Serres (2013) denomina como una de las la tresrevoluciones principales en la historia de la humanidad, luego de la creacion de laescritura e invencion de la imprenta. Esta Tercera Revolucion de la Humanidad (3RH)cambio, entre otros, la manera en que se articula la sociedad y como se entiende laeducacion.Cobo y Moravec (2011) caracterizan el cambio social a raız de la 3RH, describiendoun cambio de paradigma social, desde el paso de la sociedad 1.0 (analoga, jerarquica,mecanica y determinista) a la sociedad 3.0 (digital, intencionada y autoorganizada,sinergica y disenada).

La sociedad 1.0 refleja las normas y practicas que prevalecieron desde lasociedad preindustrial hasta la sociedad industrial. Por su parte, la sociedad2.0 hace referencia a las enormes transformaciones sociales que estanteniendo lugar en la sociedad actual y que encuentran su origen, princi-palmente, en el cambio tecnologico. Por ultimo, la sociedad 3.0 alude a lasociedad de nuestro futuro mas inmediato, para la que se pronostican enor-mes transformaciones producto del cambio tecnologico acelerado. (Cobo yMoravec, 2011, p. 48)

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El paradigma de la sociedad 1.0 prevalecio durante los siglos XVII a finales del XX.En el, la actividad economica paso de generarse a traves de empresas familiares auna economıa industrial, donde el orden laboral era predominantemente jerarquico, yla educacion tenıa el proposito de formar a los trabajadores, para que estos fuerancapaces de interpretar la informacion.Por su parte, la sociedad 2.0 se asocia con la aparicion de la sociedad del conocimientocuya materializacion tiene lugar en el siglo XX (Cobo y Moravec, 2011, p. 50). Eneste paradigma, ya no basta solo con interpretar datos y generar informacion, sinoque existe la necesidad de interpretar la informacion para generar conocimiento. Elorden social y laborar tiende a ser heterarquico, entendido como “una organizacionhorizontal y bidireccional, generando ası una ausencia de poder de unos sobre otrosaunque se haga presente la influencia entre pares” (Errasti, 2009). En cuanto al efectode la 3RH en la educacion, Freiman (2014) identifica que en su mayorıa, los orga-nismos oficiales se preocuparon de incorporar la tecnologıa teniendo en cuenta susnecesidades institucionales, por sobre atender a las necesidades educativas de laspersonas. Es decir, atender las directrices establecidas por polıticas de los paıses, quefomentan el uso de tecnologıa en las escuelas, pero sin considerar como llevar a cabomagna tarea. Por ejemplo, las instituciones oficiales generaban entornos de aprendizajevirtual, cuya estructura estaba pensada en abarcar los objetivos curriculares, comola organizacion de informacion a traves de cursos, calendarizacion de evaluaciones ytoma de examenes.

La descripcion realizada sobre los efectos de la 3RH en el paradigma social domi-nante y el desempeno de la educacion, se enmarca en un nivel de desarrollo oficial,entendiendo esto como las instituciones, centros de ensenanzas u otras instancias,que ejercen cierta autoridad sobre los miembros o conjunto de la sociedad, la nacion,el estado o entidades territoriales.Sin embargo gracias a la proliferacion y expansion de Internet, herramienta insigne de lasociedad 2.0 que emerge como instancia de democratizacion social y apertura a la libredisponibilidad de la informacion, tambien sucedieron cambios sociales y educativos aun nivel no oficial, motivados por la posibilidad de las personas para incidir en cambioslocales, personales y colectivos, con efectos y resultados instantaneos.

En terminos sociales, a partir de la 3RH, el avance tecnologico y la omnipresenciade Internet, la sociedad y la ciudadanıa tambien se comenzaron a vivir de maneradigital. Emergieron las redes sociales, plataformas para compartir informacion personaly comunitaria (YouTube, Flickr, Wikipedia, etc.), las cuales permitieron no solo compartirideas, sino tambien generar nuevas interpretaciones de estas. Cobo y Moravec (2011)denominan a este cambio social a nivel no oficial como el paradigma cultural del “corta-pega”, aludiendo a la caracterıstica de remezclar y reutilizar informacion ya existente,para dar para dar lugar a significados tan exclusivos y personales como los de las obrasoriginales en las que se basaron (p. 51). Los blogs son un claro ejemplo de esta culturadel “corta-pega”, espacio en el cual los autores comparten sus ideas personales con lacomunidad global, valiendose de la informacion compartida y disponible en esta red,

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expresada en distintos y diversos formatos, tales como audio, video, texto, imagenes.Actualmente, en el contexto de la educacion, existen modalidades de aprendizajemediadas por la tecnologıa que nacen de manera independiente al ambito oficial ya lo que este determina que se debe aprender. Estas modalidades, como videostutoriales en YouTube, plataformas de aprendizaje personalizado como Khan Academy,comunidades mundiales alrededor de software libre como GeoGebra, aplicacionesy sitios web para aprender idiomas como Duolingo, etc., nace en la busqueda porsatisfacer las necesidades colectivas y personales de los miembros de la comunidad.

Figura 1: Tercera Revolucion de la Humanidad.

A finales del siglo XX, la humanidad se vio envuelta en una revolucion solo compa-rable con grandes hitos de la historia, que permitieron avanzar al siguiente nivel en elproceso de evolucion del conocimiento humano.Esta revolucion afecto de manera ıntegra a la humanidad, y en consecuencia, a lasociedad como una dimension de ella, ası como a la educacion como manifestacionsocial.La Figura 1 muestra la focalizacion del fenomeno, comenzando desde los cambiosgenerados en la humanidad y transitando hacia los efectos que provoco en la sociedady en la educacion, para situar nuestra investigacion en los efectos de la 3RH en laeducacion matematica.Por lo tanto, es de interes en este trabajo, dirigir el analisis realizado hacia los efectosde esta revolucion en la educacion matematica. Para lo cual se describe a continuacion,la relacion durante el proceso evolutivo entre tecnologıa y educacion matematica.

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2. La tecnologıa en la Educacion Matematica

La Tecnologıa ha penetrado e impactado a la Educacion y, por lo tanto, a la Educa-cion Matematica.La relacion entre la educacion matematica y la tecnologıa ha vivido un proceso evolutivono lineal, a partir de 1950, cuando los computadores penetraron por primera vez enla educacion (Freiman, 2014), hasta nuestros dıas, donde los dispositivos portatiles(smartphone o tablet), tecnologıa educativa (pizarras interactivas digitales, softwareeducativo, entre otros), e Internet son herramientas habituales, tanto en nuestra vidacotidiana, como en el trabajo y en la escuela.Al declarar que la relacion entre educacion matematica y tecnologıa se ha dado a partirde mediados del siglo XX, puede parecer extrano si se piensa en la tecnologıa en unamplio sentido, como el que se refiere a la “rama del conocimiento que se ocupa dedisenar artefactos y procesos, ası como de la normalizacion y el diseno de la accionhumana” (Bunge, 2007, p. 206). Este amplio sentido permite pensar, ademas de lasherramientas digitales, en artefactos fısicos como representantes de la tecnologıa,como por ejemplo tablillas de arcilla, huesos tallados, regla y compas. Al respecto,Roberts y otros (2013) afirma que la tecnologıa y la matematica han estado relacio-nadas durante gran parte de la historia, a veces en una simbiosis sinergica, dondela tecnologıa nace para el desarrollo y la realizacion concreta de la matematica, y enotras donde la tecnologıa realiza su aporte a la matematica, viniendo desde otras areas,como el comercio o la ciencia.A pesar de estas validas consideraciones, en este escrito se adopta la postura de Frei-man (2014), la cual permite referirnos a la tecnologıa en terminos mas contemporaneos,denotando por este termino a las nuevas tecnologıas, las mas prominentes y las masrecientes y modernas herramientas, concepcion que alberga tanto a las herramientasanalogas, mecanicas o digitales. Sin embargo, luego de la 3RH, el progreso tecnologicoesta cada vez mas ligado al desarrollo del ambito digital y virtual, para lo cual se empleael termino tecnologıas digitales para referir a dispositivos fısicos o virtuales, con unaclara conexion al desarrollo digital, vale decir: hardware y software. Finalmente, elconcepto de TIC (Tecnologıas de la Informacion y la Comunicacion) se refiere a soft-ware genericos, tales como procesadores de texto, hojas de calculo, herramientas depresentacion y comunicacion (como gestores de presentaciones y el correo electronico).

Nutriendo el analisis de la relacion tecnologıa-educacion matematica con la concep-cion de tecnologıa recien descrito, se tiene una perspectiva mas atingente al procesoevolutivo, que entrega la posibilidad de estudiarlo de manera mas fina. La relacionentre tecnologıa y educacion matematica comienza a partir de 1950 y sigue hastanuestros dıas, es decir, alrededor de 65 anos, durante los cuales la 3RH es el hito queprovoca un cambio importante en esta relacion, pasando de un paradigma estatico auno dinamico.En el paradigma estatico, que norma la interaccion entre la tecnologıa y educacionmatematica desde la mitad del siglo XX hasta la 3RH, se llevo a cabo la primeraincursion del uso de computadores en la educacion, reflejo de la tendencia a adaptar

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tecnologıas cientıficas e industriales al contexto educativo.

No obstante, existıan herramientas tecnologicas creadas con proposito educativoen general, y para estudiar matematicas en particular, tales como las herramientas dealmacenamiento (libros), herramientas para la visualizacion (pizarras), para la demostra-cion (compas) y para el calculo (abaco, regla de calculo y calculadora) (Roberts y otros,2013). Estas herramientas, en su conjunto, permitıan casi exclusivamente el trabajo ytratamiento de los objetos matematicos en ambientes materiales. Esto implica una ma-nipulacion con caracterısticas estaticas de tales objetos (Moreno-Armella y otros, 2008).

En las ultimas decadas de este paradigma, comenzaron a aparecen programascomputacionales con intencionalidad didactica, basados en ideas constructivistas y conun campo de manipulacion limitado a objetos matematicos especıficos (Freiman, 2014).El desarrollo de estos software estaban a cargo de pequenos grupos de trabajos cerra-dos y su uso era predominantemente independiente. Ambas situaciones son muestradel tipo de relaciones sociales generadas alrededor del software, tıpicas del paradigmadominante.En sıntesis, el paradigma de relacion estatico tiene como caracterısticas el trabajoen ambientes materiales, la manipulacion estatica de los objetos matematicos, el usode herramientas tecnologicas monotematicas y trabajo independiente alrededor delsoftware.

El paradigma dinamico que describe la relacion entre la tecnologıa y la educacionmatematica, toma protagonismo a partir de la 3RH, donde las tecnologıas digitalesaparecen para cambiar de manera radical todo el panorama. A partir de este hito, el usode tecnologıa en la educacion se masifico a tal extremo que polıticas publicas de ciertospaıses, entregaron un computador o tablet a cada estudiante de una determinadaregion; ası como tambien, se comienza generar tecnologıas educativas cuyo propositoes ser usadas en la escuela o en ambientes formativos.Las herramientas digitales, ademas de poseer caracterısticas propias del paradigmadinamico, del cual son nativas, tambien cuentan con todas las caracterısticas de lasherramientas del paradigma estatico, lo que amplıa y fortalece sus potencialidades.En conjunto, tales caracterısticas propician el trabajo en ambientes hıbridos, a saber,ambientes materiales, propios del paradigma estatico, y ambientes digitales o virtuales,inherentes al paradigma vigente. Estas herramientas permiten, permiten una manipula-cion dinamica de objetos matematicos (Moreno-Armella y otros, 2008), lo cual suponeuna mayor interaccion entre estudiantes y objetos matematicos.

En respuesta a que las instituciones oficiales no quisieron suplir las necesidadeseducativas de las personas, las comunidades comienzan a utilizar Internet como laherramienta que les permite atender estas necesidades educativas que hasta el mo-mento han sido descuidadas. El uso de Internet con este proposito, tuvo implicacionesen el tipo de software educativos que se comienzan a construir, los cuales comenzarona emplear multiples representaciones de un mismo objeto, con la opcion de trabajar

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de manera simultanea con todas ellas. Tambien, hubo cambios en la manera de arti-cular la informacion, valiendose de pequenas “piezas que combinan el uso discreto,pero complementario, de herrameintoas y servicios web -tales como blogs, wikis yotras redes sociales- para apoyar la creacion de comunidades de aprendizaje ad hoc”(Freiman, 2014, p. 626). Ambas implicaciones tienen el proposito de integran distintasrepresentaciones o formatos para enriquecer la ilustracion y estudio de los objetos oprocesos a analizar.En el ano 2006 nace la plataforma de aprendizaje personal llamada Khan Academy,que encarna las caracterısticas descritas en esta seccion, para el caso particular deestudiar matematicas. En esta, las personas configuran su propia ruta de aprendizaje apartir de declarar sus necesidades y reconocer sus falencias en el area. Sumado a esto,las lecciones cuentan con una convergencia de distintos formatos digitales, integradosen una actividad con intencionalidad didactica. En la Figura 2 se observa a la izquierdala ruta de actividades del tema a estudiar, en el centro la pregunta enriquecida conimagenes y animaciones, a la derecha el boton Me gustarıa una pista el cual muestraindicaciones sucesivas que permiten resolver el problema, y por ultimo la posibilidad dever un video en el que se tratan los contenidos puesto en juego en la actividad.

Figura 2: Actividad de Khan Academy.

Ademas de estas implicaciones por el uso de Internet, tambien se comienzan aconstruir y organizar comunidades sin fronteras, preocupadas tanto de desarrollarambientes de aprendizajes, ası como de utilizarlos para estudiar y atender sus necesi-dades educativas. En este sentido se habla de comunidades globales de aprendizaje,cuya organizacion social corresponde a redes interconectadas.Por lo tanto, el paradigma dinamico se diferencia del estatico, al revolucionar la manerade entender el mundo educativo, fomentando el trabajo en ambientes hıbridos, mani-pulando objetos de manera dinamica, generando y organizando el conocimiento de

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forma integradora y cimentando comunidades globales interconectadas, de trabajo ydesarrollo, alrededor del conocimiento.

Por lo tanto, la relacion tecnologıa-educacion matematica paso de darse en am-bientes materiales, ser estatica, monotematica e independiente, a desarrollarse enambientes materiales, ser dinamica, integradora e interconectada (Freiman, 2014;Moreno-Armella y otros, 2008; Roberts y otros, 2013), como sintetiza la Tabla 1.

Paradigma estatico Paradigma dinamicoAntes de la 3RH A partir de la 3RH

Ambientes Materiales HıbridosManipulacion de objetos Estatica Dinamica

Herramientas Monotematicas IntegradorasDesarrollo y Trabajo Independiente Interconectado

Tabla 1: Diferencia entre Paradigma estatico y dinamico.

3. GeoGebra como manifestacion de la Sociedad 3.0

Esta investigacion reconoce como uno de sus principios de investigacion, que de-bido al impacto global que ha provocado la aparicion de la tecnologıa digital en elpanorama educativo, las distintas disciplinas comparten de manera general algunasdescripciones y caracterizaciones. Sin embargo, cada una de estas tiene sus propiasy privativas caracterısticas, lo que obliga a considerar las particularidades de cadauna al momento de realizar investigacion. Es posible declarar que, de manera general,aprender en ambientes materiales es diferente de aprender en ambientes hıbridos. Masaun, cuando se aprende en un ambiente hıbrido, aprender matematica es distinto deaprender, por ejemplo, lengua o historia.

Reconocer este principio, permite enfocar las investigaciones a su campo disciplinar,en el caso de esta investigacion es la Matematica Educativa, disciplina que “se ocupade los fenomenos didacticos ligados al saber matematico” (Cantoral y Farfan, 2003).De este modo se hace necesario dar luces del Paradigma dinamico en la MatematicaEducativa.Para mostrar estas evidencias, se analiza la herramienta digital GeoGebra, de granrepresentatividad en las practicas desarrolladas por una Matematica Educativa propiadel Paradigma vigente.

GeoGebra es un software educativo que cuyo proposito inicial fue combinar en unasola interfaz grafica, las bondades de un procesador geometrico y de un sistema decalculo algebraico simbolico (CAS), de ahı su nombre: GEOmetrıa y alGEBRA.

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3.1. Manipulacion dinamica

Una de las caracterısticas emblematicas de GeoGebra es la capacidad de dinamizarel tratamiento de los objetos matematicos involucrados en las construcciones y activi-dades realizadas en el software. Tan relevante es esta caracterıstica, que desde losinicios de la Geometrıa Dinamica se ha teorizado acerca de la “transformacion continuaen tiempo real, a menudo llamada arrastre” (Goldenberg y Cuoco, 1998, p. 351), lacual permite diferenciar a los software de geometrıa dinamica de otros software degeometrıa.El arrastre permite manipular los objetos matematicos abstractos de una forma enla cual, solo con herramientas mecanicas o analogas, era imposible de realizar. DelCastillo y Montiel (2009) mencionan respecto de los ambientes informaticos que “permi-ten al usuario operar de una forma directa los objetos matematicos y sus relaciones,concretando de alguna manera los conceptos matematicos abstractos” (p. 462).Al reflexionar en los objetos matematicos, es posible darse cuenta de su inmaterialidad,es decir, la incapacidad humana de poder acceder a ellos de manera fısica o perceptible.No podemos tomar una funcion entre nuestras manos, ni mirar a lo lejos como caminael dos. De ahı la importancia, en este campo disciplinar, de la representacion de losobjetos matematicos para poder interactuar con ellos.En consecuencia, la representacion dinamica de los objetos, en este caso la cualidad dearrastre en el software GeoGebra, emerge como un gran avance a la hora de interactuarcon los abstractos objetos matematicos.

3.2. Herramientas integradoras

Debido al proposito inicial de GeoGebra, se concibio como un software que permitıadistintas representaciones de los objeto matematicos de manera simultanea. La rele-vancia de esta multirepresentacion es que “contribuyen al entendimiento de una nocionespecıfica, facilitada por el uso de software que ofrecen una conexion de diferentesaplicaciones” (Aldon, 2015, p.367). En la actualidad, GeoGebra cuenta con un variadonumero vistas (ver Figura 3), donde cada una de ellas se asocia a una representacionde los objetos matematicos: vista algebraica, vista grafica (x2), calculo simbolico (CAS),hoja de calculo, vista grafica 3D, entre otros.La puesta en funcionamiento de estas multirepresentaciones se produce gracias a laintegracion de todas las vistas de GeoGebra, por ejemplo, al crear un punto en la vistagrafica, se obtendra su representacion visual, ademas de sus coordenadas cartesia-nas en la vista algebraica, como se muestra en la Figura 3. Pero esta caracterısticapor sı sola, no asegura que el trabajo realizado en el ambiente propicie un mejorentendimiento del objeto matematico en cuestion, ya que si bien se puede asegurarla multirepresentacion simultanea de un objeto, esto no es garantıa de su integracionpara generar una actividad con intencion didactica.

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Figura 3: Diferentes vistas de GeoGebra.

La multirepresentacion habla del potencial productivo del software (eficiencia, costoy campo de validez), llamado valor pragmatico de la herramienta. Pero no se refiere a loque se esta estudiando con el software, ni como este ambiente ayuda al entendimientodel objeto de estudio. Cuando el software afecta el como se comprende el objeto ma-tematico y genera preguntas sobre este, habla de su valor epistemico (Artigue, 2002).Por lo tanto, la multirepresentacion, como valor pragmatico, corresponde solo a unacondicion necesaria para generar una herramienta integradora. Se requiere tambienintegrar tales representaciones con una intencionalidad didactica, que de cuenta delvalor epistemico de la herramienta.

3.3. Desarrollo y Trabajo interconectado

Esta caracterıstica habla de la manera en que se construye y articula una herra-mienta en el Paradigma dinamico. Los grupos que desarrollan el software ya no sonpequenas y cerradas, por el contrario, se constituyen una comunidad global alrededorde la herramienta digital. Pero no solo en el desarrollo del programa, sino tambien en laposibilidad de compartir el conocimiento de manera libre y sin fronteras.Esta organizacion social alrededor del software es natural cuando se habla de SoftwareLibre, un concepto desarrollado por Richard Stallman en la decada de 1980, comorespuesta a la hegemonıa de los sistemas operativos privativos, y la imposibilidadde hallar una alternativa que no estuviese vinculada al monopolio comercial de talessoftware.La propuesta de Stallman, que se sigue desarrollando de manera fructıfera en estos

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dıas a traves del Proyecto GNU1 y la Free Software Foundation2, propone que unprograma es software libre, si sus usuarios tienen las cuatro libertades esenciales:

Libertad 0 : La libertad de ejecutar el programa como se desea, con cualquier proposi-to.

Libertad 1 : La libertad de estudiar como funciona el programa, y cambiarlo para quehaga lo que usted quiera. El acceso al codigo fuente es una condicion necesariapara ello.

Libertad 2 : La libertad de redistribuir copias para ayudar a su projimo.

Libertad 3 : La libertad de distribuir copias de sus versiones modificadas a terceros.Esto le permite ofrecer a toda la comunidad la oportunidad de beneficiarse de lasmodificaciones. El acceso al codigo fuente es una condicion necesaria para ello.

(Free Software Foundation, 2016)

Para el proposito de este trabajo, es de interes analizar que la definicion de softwarelibre, a traves de la declaracion y cumplimiento de las cuatro libertades, tiene que vermas con efectos eticos, sociales y polıticos, que con cuestiones tecnicas. Como declaraStallman en una de sus conferencias sobre el software libre: “es el que respeta tulibertad y la solidaridad social de tu comunidad” (Stallman, 2013). Ademas enfatizaque el uso del software libre implica desarrollo social, ya que permite y fomenta el libreacceso a la informacion.Conjugar las propuestas del software libre y el potencial de Internet, propicia de ma-nera natural, el establecimiento y desarrollo de una comunidad colaborativa y global,alrededor de las herramientas digitales involucradas.

Volviendo al caso de GeoGebra, queda de manifiesto lo natural que se vuelve lacolaboracion entre los miembros de la comunidad. En palabras de Markus Hohenwar-ter en su conferencia Dynamic Mathematics for Everyone: “para mı y para todos losque trabajamos con GeoGebra, la idea de compartir materiales educativos gratuitoscon otros es muy importante” (Hohenwarter, 2013). Un dato interesante en cuanto ala articulacion social alrededor del software, es que, segun Markus Hohenwarter, elorigen de la Comunidad GeoGebra ocurrio solo despues que el programa pasara a sersoftware libre.

3.4. Ambientes hıbridos

GeoGebra fue creado con la intencion de ayudar a los profesores de matematicas ensu quehacer docente. Junto con esto, las caracterısticas propias del software (descritasde manera general en la Seccion 2), permiten integrar el programa a una clase escolar,a traves de la proyeccion digital de su interfaz, su uso en tablet y telefonos inteligentes,

1http://www.gnu.org/gnu/thegnuproject.es.html2https://fsf.org/es/blogs/richard-stallman-y-tedx/

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al aprovechar su potencial dinamico en una pizarra digital interactiva, compartir o buscarconstrucciones de manera libre en su plataforma web, etc.Todas estas maneras de integrar GeoGebra al quehacer educativo, propician unahibridacion en los ambientes de trabajo, desarrollando actividades tanto en ambientesmateriales (sala de clase), como en ambientes digitales (plataforma web, dispositivosmoviles, proyecciones digitales).

4. Lo tecnologico en la Educacion Matematica

En la investigacion educativa, el principal cuestionamiento ha dejado de ser si acasola tecnologıa digital contribuye a que los estudiantes puedan aprender mas y mejor.El tono de la investigacion ha cambiado, pues se reconoce que la tecnologıa digitalesta inserta en el panorama educativo o, de manera mas precisa, es parte natural ennuestra ecologıa de la educacion. Lo cual invita a pensar que el cuestionamiento enestos tiempos, respecto de las tecnologıas digitales en la educacion, es mas cercano apreguntarse como aprovecharlas para potenciar los aprendizajes de nuestros estudian-tes?Un ejemplo de este nuevo tono en las investigaciones educativas lo entrega Aldon(2015), quien posiciona su investigacion sobre tecnologıa y educacion, declarando quela ensenanza y aprendizaje a traves del uso efectivo de la tecnologıa es una metacomun ente investigadores, profesores, estudiantes y otros ciudadanos.

Un elemento trascendental en este cambio de tono en la investigacion, es el recono-cimiento de la tecnologıa como parte de la ecologıa educativa. Es decir, se declara quees un elemento con una presencia casi permanente en los fenomenos educativos en laactualidad.Cabe destacar, que la tecnologıa digital no es solo un elemento mas, en la ampliagama de variables, que estan configurando la educacion en la actualidad, sino por elcontrario es el elemento que ha revolucionado la manera de entender que, como y enque modalidad se aprende.

Esta trascendencia de la tecnologıa digital en el ecosistema educativo, la llamadaTercera Revolucion en la Humanidad, ha permeado la manera en que se configura laeducacion en el Paradigma dinamico, y conforma ciertas caracterısticas de esta nuevamanera de entender la educacion. Tales caracterısticas se dejan entrever a lo largode este escrito, y configuran lo que caracterizamos como aprender en lo tecnologico,y de manera particular para esta investigacion representa lo que significa aprendermatematica en lo tecnologico.

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4.1. Aparicion de la tecnologıa digital en el panorama educativo

Esta investigacion esta en sintonıa con este nuevo tono en la investigacion educativay la tecnologıa digital. En consecuencia se declara que aprender con tecnologıa, consi-derando esta solo como una herramienta que aporta sus cualidades pragmaticas a lasituacion de aprendizaje, es en esencia distinto a aprender en un ecosistema educativo,en el cual la tecnologıa digital es uno de los elementos inherentes que la constituyen.Serres (2013) da pistas sobre este cambio al describir los efectos de la 3RH en nuestrasociedad y educacion. Sumado a esta descripcion, en la seccion 2 se caracteriza losparadigmas que norman la relacion entre tecnologıa y educacion matematica antes ydespues de la 3RH, lo que da cuenta de esta distincion ente aprender matematica contecnologıa y aprender matematica en un nuevo ecosistema educativo, vale decir, en lotecnologico.

4.2. Organizacion social alrededor de la tecnologıa digital

En el desarrollo de las secciones anteriores, fueron mencionados varios ejemplosde reaccion social frente a que lo oficial no quiso suplir las necesidades educativas delas personas, y que gracias a la proliferacion de Internet, las comunidades se lograronorganizar para saciar ellas mismas, las necesidades de los individuos que la constituyeny de las propias comunidades.

La 3RH provoco cambios a distintos niveles, donde lo oficial respondio atendiendosus propias necesidades. A nivel social, se produjo el cambio de la sociedad 1.0 a la2.0, a nivel de educacion, lo oficial se preocupo de atender. En respuesta, lo no oficialreacciono haciendo emerger una cultura del corta-pega, y a nivel educacion, suplieronlas necesidades educativas personales y colectivas.En cuanto al Paradigma dinamico que describe la relacion entre tecnologıa y educa-cion matematica, una de sus propiedades es el desarrollo y trabajo interconectado,concretizado en comunidades de caracter publico, colaborativo y global (Contreras,2003). Comunidades que nacieron en respuesta al trabajo independiente que se dabaen comunidades cerradas y restringidas, propias del Paradigma estatico.El software libre nace tambien, como respuesta a la desidia de lo oficial por suplir las ne-cesidades de los usuarios, preocupandose mas por desarrollar estrategias economicas,cuyo fin es establecer un oligopolio. En cuanto a la organizacion en torno al softwarelibre, el uso de este implica desarrollo social, ya que sus principios se preocupan porrespetar la libertad individual y la solidaridad social de la comunidad.

En sıntesis, al considerar la tecnologıa digital en el panorama educativo, este nuevoparadigma dinamico da cuenta de una evidente organizacion social alrededor de latecnologıa digital, permitiendo la constitucion de comunidades globales, de caracterpublico y colaborativo.

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4.3. Enfasis en que y como se aprende

Es importante volver a enfatizar que lo relativo al saber compete a cada campo disci-plina, ya sea matematicas, historia, arte u otro. Por esta razon es necesario manifestarcomo una de las caracterısticas de aprender, la consideracion de que se aprende en lotecnologico. Este trabajo se centra en aprender matematica en lo tecnologico, objetode estudio de disciplinas como la Matematica Educativa.Las teorıas tradicionales de Educacion Matematica se preocupan de estudiar losfenomenos asociados a la ensenanza y aprendizaje de la matematica escolar, en lacual el foco de atencion ha sido tradicionalmente preguntarse que es lo que se aprenderen los ambientes escolares. Esto denota una preocupacion por los objetos matematicossusceptibles de ser ensenados o aprendidos.La tecnologıa digital anade al cuestionamiento sobre que aprender, la posibilidad deestudiar las particularidades del ambiente y el proceso involucrado en esta aprendizaje.Es decir, la posibilidad de analizar tambien como se aprende.

Por lo tanto, aprender matematica en lo tecnologico debe considerar que de la ma-tematica se aprende, junto a como se esta aprendiendo, tanto en terminos de procesocomo de ambiente.

En conclusion, es posible declarar que aprender matematica con tecnologıa esdistinto de aprender matematica en lo tecnologico, si se considera que esta ultimaesta caracterizada por el uso de tecnologıa digitales, la cual fomenta cierto tipo deorganizacion social alrededor de la tecnologıa, y por ultimo la ampliacion en el enfasisde tomar en cuenta que y como se aprende.

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