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CALCULO DIFERENCIAL

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APOYO Calculo diferencial

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Page 1: APOYO Calculo diferencial

CALCULO

DIFERENCIAL

Page 2: APOYO Calculo diferencial

CONTENIDO

1. Límites de funciones y continuidad

2. Derivación de funciones y aplicaciones

Page 3: APOYO Calculo diferencial

1. Límites de funciones y continuidad

El cálculo diferencial es un área de las matemáticas, específicamente del cálculo

infinitesimal que permite modelar situaciones o fenómenos de la vida real que

implican variaciones o movimientos, hallando la derivada de una magnitud

respecto de otra de la que es función.

Y para llegar a concepto de derivación, primero debemos entender el concepto de

límite.

1.1 Definición del límite de una función

Se escribe:

Y se lee: “El límite de f(x), cuando x se aproxima a a, es igual a L

Ejemplo:

Sea la función definida por

Determinemos el comportamiento de la función para valores de x próximos a 2,

pero no iguales a 2:

Page 4: APOYO Calculo diferencial

Observamos que cuando nos aproximamos a 2, tanto por la derecha(2+) como por

la izquierda(2 -), la función f(x) se acerca a 4. Es decir, el límite de la función

f(x) =x2 – x +2 cuando x se aproxima a 2 es 4, y se escribe:

Ejercicio 1: Estimar el valor del siguiente limite haciendo tabla de valores.

Comprobar el resultado con una grafica

Ahora, preguntémonos: ¿Los límites siempre existen?

La respuesta es No necesariamente. Es posible que un límite no exista, y esto

ocurre cuando la función no se aproxima a un número finito.

Como ejemplo tenemos:

a) Determinar

Observamos que cuando x se acerca a 0, la expresión 1/x2 se hace cada

vez más grande sin aproximarse a un número finito, de hecho tiende a

infinito. Con ello se dice que su límite no existe.

Page 5: APOYO Calculo diferencial

Analicemos ahora la siguiente función:

Observemos que cuando t se aproxima a cero por la izquierda, H(t) se

aproxima a cero. Y cuando t se aproxima a cero por la derecha, H(t) se

aproxima a 1. Como estos valores son diferentes, se dice que el límite

bilateral no existe.

Es decir:

Ejercicio 2: Sea f la función definida por

Graficar la función y según su gráfica, hallar:

VIDEO LIMITES LATERALES:

https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk

1.2 Calculo de límites de forma algebraica

Ahora se usaran métodos algebraicos mediante uso de leyes y propiedades

para calcular los límites de las funciones, a diferencia del apartado anterior

que se hacía por aproximación numérica y gráficamente.

Page 6: APOYO Calculo diferencial

Ejemplos: Calcula el valor de los siguientes límites, aplicando las leyes

anteriores

a)

Solución:

Page 7: APOYO Calculo diferencial

b)

Solución:

De los dos ejemplos anteriores podemos concluir que si f es polinomial o una

función racional y a está en el dominio de f, entonces:

Es decir, calculamos el límite por simple sustitución directa del número al que

tiende x.

Casos especiales:

a) Calculo del límite por cancelación de factor común

Determinar el siguiente limite

Observemos que no podemos calcular este límite por sustitución directa por

que en ese valor la función no está definida, teniendo en cuenta que el

Page 8: APOYO Calculo diferencial

denominador se hace cero. Además el numerador también es cero,

dándonos una forma indeterminada 0/0.

Entonces, factorizando el denominador como una diferencia de cuadrados y

cancelando el factor común arriba y abajo, tenemos:

b) Calculo de limite por racionalización

Determinar el siguiente límite

Si aplicamos sustitución directa, nos encontramos con que el denominador

se hace cero. En este caso racionalizaremos el numerador:

c) Calculo de límite de una función definida por tramos

Determinar si existe el siguiente limite

Donde

Para x > 4 tenemos que:

Page 9: APOYO Calculo diferencial

Entonces

Para x < 4 tenemos que:

Entonces

Como los limites izquierdo y derecho son iguales, entonces concluimos que

este límite si existe y es igual a cero

VIDEO LIMITE CON RACIONALIZACION Y FACTORIZACION:

https://www.youtube.com/watch?v=Z5_GyMKJTVk

1.3 Continuidad de funciones

La continuidad de una función se puede entender de forma sencilla,

como que dicha función no tiene saltos o huecos.

La siguiente grafica muestra condición de discontinuidad(no

continuidad) en x=c

A continuación se presentan los tres criterios que debe cumplir una

función para que la misma sea continua en un punto x = c:

Page 10: APOYO Calculo diferencial

Es importante resaltar que si se incumple en al menos unos de estos

criterios, la función se vuelve discontinua.

Ahora, si una función es continua en cada punto de un intervalo abierto

(a,b), se dice que es continua en dicho intervalo

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada una de las siguientes

funciones

a)

Si graficamos esta función, nos encontramos que el dominio de la

misma lo constituyen todos los números reales excepto x=0. Por lo

que se concluye que es discontinua en x=0

b)

Esta es una función por tramos, cuya grafica es:

Page 11: APOYO Calculo diferencial

Si consideramos los tres criterios de continuidad en x=0, tenemos

que:

1. h(0) = 1, es decir, está definido.

2. Límite de h(x) cuando x tiende a cero es igual a 1(limite por la

izquierda y por la derecha son iguales), es decir existe.

3. El valor del criterio 1 y el criterio 2 es el mismo.

Como cumple con los tres criterios, decimos que la función h(x)

es continua en x = 0

VIDEO CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

https://www.youtube.com/watch?v=lBNB7mPC8YU

EJERCICIOS DE LA PRIMERA UNIDAD

1. Estime el valor del límite haciendo tabla de valores y comprueba con la

gráfica, en:

a) b) c)

2. Para la función que se muestra en la grafica a continuación, exprese el

valor de la cantidad dada si existe y si no existe explique por qué.

Page 12: APOYO Calculo diferencial

3. Suponga que

Con esta información, encuentre el valor del límite dado y si no existe

explique por qué.

a) b) c)

4. Evalúe el límite si existe:

a) b) c)

d) e) f)

++++++++++++++++++++++++++++++

g) h) i)

j)

5. En los siguientes ejercicios, grafique la función y determine el limite indicado

con ayuda de las propiedades respectivas de limites laterales. Si el limite no

existe, diga por qué?

Page 13: APOYO Calculo diferencial

6. En los ejercicios siguientes hacer la gráfica de cada función y por medio de los

criterios de continuidad en un punto, determinar cuáles son continuas y

cuáles discontinuas.

Page 14: APOYO Calculo diferencial

7. En la siguiente funcion, determinar los valores de c y k, que hagan que dicha

funcion sea continua en todo numero. Dibuje la grafica de la funcion

resultante

Page 15: APOYO Calculo diferencial