apostila de ajustamento
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8/3/2019 APOSTILA DE AJUSTAMENTO
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Material Didático
Autor: Prof. Joel Gripp Júnior
8/3/2019 APOSTILA DE AJUSTAMENTO
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2
RN1
RN2
CAPITULO 1
AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES
1.1- INTRODUÇÃO
Ao obter uma medida que se requer confiança, qualquer pessoa intuitivamente
repetirá observações e não irá confiar em apenas uma observação. Mas a partir de várias
observações de uma mesma grandeza, que resultado final representa maior confiança e que
seja único deverá ser utilizado?
O ajustamento de observações cuida da resolução de problemas deste tipo, bem
como a estimativa da precisão da solução adotada.
O ajustamento de observações leva, além de uma solução única, a coerência de
observações a modelos matemáticos apropriados a cada caso.
Nos casos mais simples realizam-se medidas sobre as próprias incógnitas.
Quando tais incógnitas se ligam por equações de condição o problema se torna um pouco
menos simples. Outras vezes medem-se grandezas que se vinculam às incógnitas através de
relações funcionais conhecidas, é o caso das observações indiretas ou parâmetros (ex.:
coordenadas, altitudes, etc.). Em qualquer caso o que se busca, é purificar as observações das
inconsistências que as acompanham, ou melhor dizendo, ajustá-las juntamente com
parâmetros (quando existem), a um modelo matemático.
Algumas dificuldades podem surgir quando se pretende ponderar as observações
onde se deve atribuir “mais peso” àquelas que merecem maior confiança; isto pressupõe o
conhecimento da precisão com que as medidas são efetuadas.
Seja os seguintes exemplos para enfatizar alguns pontos importantes do ponto de
vista prático:
Ex.: 1- A figura ao lado esquematiza uma pequena rede denivelamento geométrico; em função dos desníveis medidos. Aaltitude de RN1 pode ser transportada até RN2; como sãoinúmeros os caminhos possíveis, resultaram inúmeras soluções.
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O ajustamento, entretanto, conduzirá a uma solução única tornando as
observações coerentes com um modelo matemático.
Alternativamente, a altitude de RN2 pode ser “fixada” como a RN1; neste caso as
observações são ajustadas de tal maneira que o transporte de altitudes a partir de RN1
produza em RN2 um valor idêntico pré-fixado.
Ex.:2 – P e Q são vértices de uma cadeia detriangulação já ajustados razão pela qual suascoordenadas são consideradas “fixas”. Na poligonalPABCQ medem-se os lados (eletronicamente) e osângulos. Admitindo que tais observações sejam, numcaso ideal, isentos de erros; mesmo assim ascoordenadas transportadas a partir de P não “fecham”em Q.
Pois bem, o ajustamento deverá alterar os valores corretos para garantir aqueles fechamentosem obediência a um modelo matemático.
Ex.: 3 – Os ângulos medidos de um quadrilátero
completo de uma triangulação geodésica; após
ajustados, a soma dos ângulos de todos os triângulos
esféricos do quadrilátero deverão satisfazer à condição
matemática de que o correspondente é igual a 180º mais
o excesso esférico.
1.2- O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (M.M.Q)
Considerando o caso da medida direta de uma grandeza x; sejam b1, b2, b3......bn
os valores obtidos em uma série de n observações.
Na impossibilidade de obter o verdadeiro valor de x deve-se se contentar com
uma estimativa que seja confiável. Adotando, o valor x com base em um certo critério e
calculando as diferenças temos:
nn V b x
V b x
V b x
.22
11
ou x –bi= V i para i= 1,2,3,..........n
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Tais diferenças (Vi) são resíduos, isto é, os valores, a priori desconhecidos, que
somados às observações reproduzem o valor escolhido x.
Poderia-se, mudando o critério eleger um valor diferente x’; resultaria um novo
conjunto de resíduos: x’-bi= Vi’ e assim por diante x’’-bi=Vi’’; etc..
Qual dos valores x, x’, x’’ deve-se adotar? Em outras palavras, como escolher umcritério que permite, das observações repetidas bi, discrepantes entre si, extrair um valor
único para representar a incógnita x?
A quase dois séculos o geodesista fez sua opção, seguindo o caminho indicado
por GAUSS e LEGENDRE: ACEITAR COMO MELHOR ESTIMATIVA DE X O VALOR
QUE TORNA MÍNIMA A SOMA DOS QUADRADOS DOS RESÍDUOS.
O critério supra caracteriza o método dos mínimos quadrados (M.M.Q) instituído
independentemente pelos dois grandes matemáticos acima citados.
Até a bem pouco, o M.M.Q, quando referido, conservava a notação original deGauss, respeitada universalmente [v.v]= min, o colchete indicando somatório, com variações
subentendidas de 1 a n e sem utilizar expoentes.
Quando as observações não oferecem o mesmo grau de confiança são
“homogeneizadas” através de pesos pi:
n
i
iiv p
1
2 min ou [p.v.v]= min
Modernamente prefere-se a linguagem matricial;
sendo V o vetor coluna dos resíduos e P uma matriz quadrada(matriz dos pesos)
Como será visto com o desenvolver do assunto, o ajustamento é uma grande
ferramenta às várias áreas da engenharia de levantamentos, tais como: Topografia, Geodésia,
Fotogrametria, Astronomia, etc.
min
min
PV V
V V
t
t
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´CAPÍTULO 2
TEORIA DOS ERROS
2.1. INTRODUÇÃO
Na medida de uma determinada grandeza, certos fatores como limitação humana,
imperfeição instrumental e instabilidade da natureza fazem com que as medidas nunca
tenham exatidão absoluta. Um operador repetindo várias vezes uma mesma medida, os
resultados nunca serão idênticos, por mais que seja o cuidado utilizado nas determinações.
Assim, pode-se afirmar que todas as medidas contêm erros.
Com a finalidade de conhecer bem a teoria dos erros, serão apresentados, a
seguir, alguns conceitos importantes e de uso comum no ajustamento de observações.
2.2. ALGUNS CONCEITOS
2.2.1 Erro Absoluto Verdadeiro
É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza física e o seuverdadeiro valor.
Na prática, não se conhece o valor real ou verdadeiro da grandeza; conhece-se o
valor mais provável desta grandeza.
2.2.2 Erro Absoluto Aparente (E)
É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza (xi) e seuvalor mais provável ( x ).
x x E ii
2.2.3 Erro verdadeiro e Erro Aparente
Por analogia ao conceito anterior, só que se considerando o sinal da diferençaentre a medida.
x xe ii
2.2.4 Resíduo (v)
No ajustamento denomina-se de resíduo ao inverso do erro aparente, ou seja, é acorreção e que tem sinal contrário do erro aparente.
ii x xv
2.2.5 Discrepância
É a diferença entre os valores de duas medidas de uma mesma grandeza, obtidas
por dois operadores diferentes. As vezes é incorretamente chamada de erro.
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2.2.6 Erro Relativo (er)
É a relação entre o erro absoluto e o valor mais provável da grandeza ( x ).
x
E er
Considerando um grupo de observações resultante de repetições, o erro relativo é
mais utilizado, em ajustamento de observações, como sendo a relação entre o desvio padrão
de uma série de determinações da grandeza e o valor mais provável correspondente.
Comumente, expressa-se o erro relativo, em termos de fração, colocando-se a unidade no
numerador.
Ex.: x = 229,314m e n= 0,012m então,
109.19
1
314,229
012,0
r
r
e
e
2.2.7 Erro Tolerável (Tolerância)
Considera-se normalmente como sendo o triplo do desvio padrão da média
ntol 3 A razão de se adotar esta expressão será estudada oportunamente.
2.3. TIPOS DE ERROS EM FUNÇÃO DA SUA ORIGEM E CARACTERÍSTICAS
2.3.1 Erros Grosseiros
Erros cometidos nas medições por desatenção ou confusão do operador. Estasmedições devem ser repetidas.
Ex.: erro de anotação, erro na leitura de um ângulo, erro de cálculo, etc.
Para evitar erros grosseiros deve-se sempre repetir cuidadosamente as medições.
2.3.2 Erros Sistemáticos
Podem ser expressos por uma função matemática. Se as causas dos erros são
conhecidas, pode-se calcular o erro e eliminá-lo. São erros cumulativos.
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Caracterizam-se por ocorrer sempre em um mesmo sentido e conservarem em
medições sucessivas, o mesmo valor. Decorrem das imperfeições do observador, do
instrumento e do método usado. São três os tipos de erros sistemáticos:
a)
Erros sistemáticos introduzidos pelo observadorEx.: erros cometidos por deficiência de visão
b) Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento
Ex.: Uso de instrumentos em condições diferentes daquelas para as quais foramcalibradas ou, por exemplo:
Suponha uma distância obtida a partir de oito trenadas e supondo que cada
trenada equivale a 10m, a distância total seria de 80m. Detectando posteriormente que a trena
tem na realidade 10,10m.. Conclui-se que a distância tem um erro sistemático de 80cm.
c) Erros sistemáticos introduzidos pelo método
Ex.: Utilização de um método baseado em equação matemática nãorepresentativa da realidade do fenômeno.
Sempre que possível os erros pessoais podem ser minimizados pela substituição
do observador humano por um mecânico ou eletrônico.
Os erros instrumentais são reduzidos por meio de uma aferição ou calibração do
aparelho, por comparação com um padrão de confiança.
Às vezes pode-se corrigir o instrumento fazendo o mesmo fornecer resultados
sem erros sistemáticos ou, então calcular o erro e corrigir os resultados das medições.
2.3.3 Erros Acidentais
Ocorrem de causas desconhecidas e incontroláveis.
Caracterizam-se por ocorrerem ao acaso, qualquer que sejam os observadores, os
instrumentos e os métodos. Em geral são erros pequenos, porém inevitáveis e encontrados
em todas as observações, causando discrepâncias que a princípio apresentam sem qualquer
conformidade matemática. A sua influência sobre as observações é aleatória, não permitindo
outro tratamento se não baseado na teoria da probabilidade.
Pode-se dizer que os erros acidentais são os que ainda restam na determinação deuma grandeza, em que foram tomados todos os cuidados para eliminar os erros grosseiros e
sistemáticos.
Se for realizado um número grande de observações, a experiência tem
demonstrado que estes erros revelam alguma regularidade, ou seja, seguem uma distribuição
de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal.
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8
11
2
2
n
en
i
i
2.4. CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES
2.4.1 Diretas
As medições são efetuadas diretamente, em relação à grandeza procurada, sem
que existam meios para verificação do erro, uma vez que não se conheçam os seus valores
reais ou teóricos. Ex.: uma distância ou ângulo isolado.
2.4.2 Indiretas
As observações não são feitas diretamente sobre as grandezas procuradas, mas a
outras a elas ligadas por meio de relações conhecidas. Ex.: coordenadas, áreas, etc.
2.4.3 Diretas condicionadas
As observações são feitas diretamente, e são independentes entre si, porém se
prendem a alguma equação de condição conhecida.
Ex.: Na medida de três ângulos (a, b, c) de um triângulo plano, tem-se quea+b+c= 180º
2.5. VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRANDEZA
O valor mais provável de uma grandeza, medida diversas vezes pelo mesmo
operador, utilizando o mesmo equipamento e o mesmo método, ou seja, medidas com um
grau idêntico de confiabilidade, é a MÉDIA ARITMÉTICA dos valores encontrados.
No caso de observações obtidas com diferentes graus de confiabilidade, o valor
mais provável deverá ser obtido considerando-se um fator de proporcionalidade ao qual
denominamos de PESO.
Obs: Oportunamente o PESO será elucidado em detalhes.
2.6. MEDIDAS DE PRECISÃO
Precisão é a consistência da medida ou grau de refinamento de um grupo de
medidas. Nas medições os termos mais comumente usados para expressar a precisão são a
variância e o desvio padrão ou erro quadrático.
2.6.1 Variância
Definida como a média do quadrado dos erros aparentes. Comum para o calcula
da variância adotar o seguinte critério:
Se o número de observações (n) for menor que 30, a variância é obtida por:
Somatório do quadrado dos erros aparentes Número de observações menos um
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9
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2
n
en
i
i
n
en
i
i
1
2
Se o número de observações n for maior do que 30 teremos:
2.6.2 Desvio PadrãoÉ a raiz quadrada da Variância.
ou
Seja qual for o tipo de observação, o resultado terá maior valor, se além de
apresentado o valor para a grandeza desejada, for apresentado também a precisão com que
esta foi obtida.
Dependendo da grandeza, ao invés de se ter o desvio padrão como precisão, écomum apresentar o erro relativo no lugar deste, é o caso por exemplo de distâncias.
n
en
i
i
1
2
2 Somatório do quadrado dos erros aparentes Número de observações
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y
x
CAPÍTULO 3
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Como já foi mencionado, os erros acidentais ocorrem de forma aleatória e
tendendo a obedecer a distribuição normal ou Lei de Gauss.Considerando uma operação qualquer de medição efetuada um grande número de
vezes, nas mesmas condições (mesmo operador, instrumento e método, etc.) a teoria das
probabilidades mostra e a experiência permite verificar que os erros acidentais produzidos
gozam das seguintes propriedades:
1º) a um erro positivo corresponde um erro negativo de mesmo valor absoluto (os
erros positivos e negativos de mesmo valor absoluto têm igual probabilidade)
2º) os erros pequenos são os mais numerosos ( o erro nulo é o mais provável)
A curva que representa a Lei de Gauss tem forma de um sino e goza dasseguintes propriedades:
a) É simétrica em relação ao eixo dos y, isto é, os erros positivos e negativos demesmo valor absoluto têm igual probabilidade;
b) As ordenadas correspondentes aos erros pequenos são as maiores, isto é, os
erros pequenos têm maior probabilidade do que os grandes;
c) A curva tem por assíntota o eixo dos x, isto é, o erro tem uma
probabilidade nula;
d) A curva apresenta dois pontos de inflexão correspondentes a (desvio
padrão);
e) A probabilidade de se cometer um erro, em valor absoluto, menor que (erro
compreendido entre + e - ) é igual à área assinalada na figura.
- +
F(x)
- +x
dE E F P )(
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f) A área total limitada pela curva, isto é, a probabilidade de se cometer
simultaneamente todos os erros é, portanto, igual à unidade (100%)
A curva da lei de Gauss pode ser representada analiticamente pela:
Onde: = desvio padrão E= erro considerado, ou se temos uma medida x e uma média x ,
E= x- x.
Se for considerado na equação da Lei de Gauss desvios padrões =1, =2 e
=3, as curvas correspondentes seriam:
ou, quanto maior for o desvio padrão (menor
precisão), mais achatada será a curva.
É comum encontrar tabelas que fornecem os valores resultantes das integrais (que
representam probabilidades):
ou P= probabilidade = área sob a curva
Como aplicação simples, pode-se fazer:
1) Encontrar a probabilidade dos erros menores, em valor absoluto, do que um desvio
padrão (1 ) ,ou seja, encontrar a àrea sob a curva limitada pelas abscissas + e - .
P1 (x< - ) = 0,1587 P2= (x< + )= 0,8413 P= P2- P1= 68,26%
y
-x
2
2
2.1
21)(
E
e E F
y
-x
12
2
2
.1
2
1 X E
E
E
dE eP
y
x+
y
-x
+
-3 -2 -1 +1 +2 +3
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2) Para o esmo raciocínio anterior, considerando-se 2 , obtem-se:
P= 95,45%
3) Idem, considerando 3 :
P= 99,73%
Obs.: As aplicações anteriores serão úteis quando for apresentado o estudo da tolerância nos
levantamentos.
Na prática, se o número de observações for grande, pode-se verificar uma
concordância perfeita com a curva de Gauss, se for marcado em abscissas as grandezas dos
erros (erros aparentes), e em ordenadas, o número de ocorrências correspondentes.
y
-2x
+2
y
-3x
+3
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CAPÍTULO 4
LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS – FÓRMULA ALGÉBRICA
4.1 INTRODUÇÃO
Se a partir de uma relação matemática obtém-se alguma grandeza em função deoutras que possuem erros, então a grandeza obtida também conterá erros. Assim, por
exemplo, se for obtido a área de um quadrilátero cujos lados são L1 e L2 com desvio padrão
1 e 2, então a área obtida terá um desvio padrão A devido a propagação de L1 e L2.
Com a finalidade de conseguir variâncias (ou desvios padrões) de grandezas
obtidas assim, indiretamente, faz-se o uso da lei de propagação de erros.
A lei de propagação de erros (ou variâncias) deve ser recorrida quando deseja- se
fazer uma análise de erros visando, por exemplo, a realização de uma pré-análise.
Inicialmente será deduzida a lei de propagação de erros envolvendo apenas
grandezas não correlacionadas.
4.2 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS:
Suponha Y= F(X1, X2) função das grandezas não correlacionadas X1 e X2 de
desvios padrões conhecidos x1 e x2. Se numa dada medida da série de observações
tivermos os erros Ex1 e Ex2 nas grandezas X1 e X2, a correspondente função ficará:
Y+ Ey= F(X1+Ex1, X2+Ex2)
Desenvolvendo a função F em série de Taylor e desprezando os termos de 2ª
ordem e superiores, vem:
E então, como Y= F(X1, X2)
Que elevando ao quadrado:
Considerando que as grandezas X1 e X2 foram medidas com várias repetições e
somando os valores obtidos devido a estas repetições, vem:
22
11
21 ),( x
X
F x
X
F y E E X X F E Y
22
11
x
X
F x
X
F y E E E
2
22
2121
2
11
2 .2 x
X
F x x
X
F
X
F x
X
F E E E E Ey
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Mas sendo X1 e X2 não correlacionados, = 0, logo
Dividindo pelo número de vezes em que as grandezas forma medidas, vem:
mas
Substituindo:
Considerando Y como sendo função de m outras grandezas ou Y= F(X1, X2,......,Xm).
Que é a equação geral da lei de propagação de erros para os casos em que não há correlação
entre as grandezas medidas.
4.3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS
1º) Uma distância de aproximadamente 490m deve ser medida com uma trena de 50m
de comprimento. Sendo que o desvio padrão de cada “trenada” é conhecido e considerado
igual a d= 5mm. Qual seria o desvio padrão da distância total D? A função que relaciona a distância total D ao segmento dado é:
D= d1+d2+d3+......+d10, logo D= f (d1,d2,d3,......,d10)
As derivadas parciais, são:
11d
D ; 12d
D ; 13d
D ;............; 110d
D
n
i
x
X
F n
i
x x
X
F
X
F n
i
x
X
F n
i
E E E E Ey1
22
2
2121
211
21
2
11
2 .2
n
i
x x E E 1
21.
n
i
x
X
F n
i
x
X
F n
i
E E Ey1
22
2
21
21
2
11
2
n
i
x
X
F n
i
x
X
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i n
E
n
E
n
Ey
1
22
2
21
21
2
11
2
,1
22
n
i n
Ey y ,1
2
112
n
i n
Ex x
n
i n
Ex x
1
2
222
22
2
21
2
2
1
2 x x y
X
F
X
F
m
Xm
F
X
F
X
F x x x y2
2
22
2
2
12
2
1
2 .......
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E a equação da lei de propagação dos erros se torna:
2º) Qual o desvio padrão da área de um lote retangular que tem os seguintes lados:
L1 = 30m , L1= 50mm. L2 = 10m , L2= 30mm
A área pode ser obtida por A=L1.L2
As derivadas parciais são:
e
102
2
102
2
2
21
2
2
1
2 ....... d d d Dd
D
d
D
d
D
102
22
122
1.......11 d d d D
251.......2512512 D
22 250mm D
mm D 16
21
L L
A1
2
L L
A
22
2
21
2
2
1
2 L L A
L
A
L
A
222
1122
22
L L L L A
22222 )030,0(30)050,0(10 A
810,0250,02 A
222 )(060,1 m A
2
0296,1 m A
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n
E n
i
i
1
2
2
CAPITULO 5
LEI DE PROPAGAÇÃO DOS ERROS (COVARIÂNCIAS)
FORMA MATRICIAL
5.1 INTRODUÇÃO
5.1.1 COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
O termo covariância, aqui simbolizado por xy, é usado para denominar uma
medida numérica da correlação entre duas observações x e y ou entre duas funções medidas.
Duas medidas (ou funções) são não correlacionadas quando são independentes
entre si. Por exemplo, numa poligonal os ângulos e distâncias obtidos por diferentes
instrumentos e métodos cujas fontes de erros são também diferentes. Um outro exemplo seria
ângulos medidos em diferentes estações de uma triangulação.
Como exemplo de medidas correlacionadas pode-se citar coordenadas e ângulos
ou distâncias, um poderá ser obtido do outro. Um outro exemplo, coordenadas x e y de
estações também de uma poligonal, porque ambas (x e y) podem ser obtidas dos mesmos
ângulos e distâncias.
Para o estudo e cálculo da covariância, será estudado anteriormente, um pouco
mais, a variância e o desvio padrão.
Suponha que uma grandeza x foi medida n vezes e que somente erros acidentais
estão influenciando as medidas x1, x2, x3,......... xn. Os valores dos erros individuais serão:
Onde x0 é o valor verdadeiro da grandeza medida.
Os erros acidentais Ei das medidas repetidas ocorrem com igual probabilidade de
serem positivos (+) e negativos (- ). Se o número de observações for suficientemente grande
(tendendo a ), a soma dos erros tenderá a zero.
A variância ( 2 ) das medidas é definida como a média dos quadrados dos erros
e o desvio padrão 2
0
022
011
.................
x x E
x x E x x E
nn
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11
2
2
n
e
n
i
i
Geralmente, porém, o valor verdadeiro da grandeza medida não é conhecido na
prática e o número de medidas é limitado a um número finito. Para um pequeno número
(n<30) de repetições adota-se para o cálculo de variância:
Sendo e o erro aparente ou
Suponha duas grandezas correlacionadas x e y, medidas n vezes. Os valores doserros individuais serão:
1ª GRANDEZA 2ª GRANDEZA
Uma estimativa para a covariância xy de x e y pode ser calculado como sendouma média da soma do produto dos pares de erros escolhidos aleatoriamente nas duasgrandezas:
Combinação x e y para n tendendo ao infinito.
Se não houver correlação entre x e y então a probabilidade de erros serem (+) ou(-) serão iguais e randomicamente distribuídas, e o valor de xy, tenderá a zero para umnúmero n suficientemente grande (tendendo ao infinito)
A fim de avaliar quão forte é a correlação entre duas observações, o coeficientede correlação ( xy ) poderá ser examinado. Este pode ser obtido por:
Pode-se dizer que: -1 < xy < 1
Se xy = 1, então há uma perfeita relação entre x e y ou, a grandeza y é
função de x (ou vice-versa) Se xy = 0, então x e y são não correlacionados (x e y tendem a variar
juntos).
x xe ii
0
022
011
....................
x x E
x x E
x x E
n Xn
X
X
n
Ey Exn
i
ii
xy1
)(
0
022
011
....................
Y Y E
Y Y E
Y Y E
nYn
Y
Y
y x
xy
xy
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5.1.2 MATRIZ VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA (MVC)
Suponha inicialmente as grandezas x1, x2, e x3 de variâncias x12, x2
2, e x32 e
covariâncias x1x2, x1x3 e x2x3. A matriz quadrada cujas componentes são variâncias e
covariâncias devidamente dispostas, denomina-se Matriz Variância-Covariância (MVC)
que é comumente simbolizada por x:
ou simplesmente;
e numa forma generalizada:
A matriz x é simétrica porque ij é igual a ji e também pode ser denominada
simplesmente de Matriz Covariância, pois a variância é um caso particular da covariância
para i = j.
5.1.3 REVISÃO DE ALGUNS ELEMENTOS DE ESTATÍSTICA
a) Função de distribuição (de probabilidade) acumulada
A função de distribuição (de probabilidade) acumulada de uma variável
aleatória x no ponto x é definida por:
P(x < x ) = F( x) (probabilidade de que a v. a. assuma um valor inferior ou
igual a x).
Para o caso de uma variável aleatória discreta a f.d.a. reveste a forma:
F( xi) = P (x < xi) = , para todo i tal que xi < x.
32
2313
3222
12
312112
x x x x x
x x x x x
x x x x x
X
32
23
13
3222
12
312112
X
n
X
nn
n
n
221
222
21
11212
...
............
...
....
n
i
i x p1
)(
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19
b) Esperança Matemática
Define-se “valor esperado”, “valor médio”, “expectância”, “esperança
matemática” ou simplesmente esperança da variável aleatória discreta x por:
No caso de uma variável aleatória contínua, define-se a esperança
matemática como:
Se a variável discreta assumir um número finito de valores.
A média aritmética de n observações pode ser obtida por:
Se dos r valores distintos, xi ocorrer com uma freqüência n j, a fórmula
anterior assumirá a forma:
sendo a freqüência relativa.
Se n o f i p(xi) e x E(x) ou quando o tamanho da amostra tende
para o infinito a média amostral se avizinha da média da população da qual se
originou.
c) Variância
Em relação à esperança matemática é definida como sendo:
, que desenvolvendo resulta:
1
)()(i
i x p xi x E
dx x f x x E i
)()(
n
i
i x p xi x E
1
)()(
1
1
i
xin
x
r
i j
j j
r
i j
j j f x
n
xn x
n
n f
j
j
22 )()( x E x E x xVar
222 )()( x E x E x222 )( x x E x
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20
d) Covari ância
Considerando duas variáveis x e y, a covariância que exprime o grau de
dependência entre as duas variáveis, em relação à esperança matemática pode
ser obtida por:
Cov(x,y) = ou após o desenvolvimento
Se não houver dependência E(xy) = E(x) . E(y) e xy = 0
5.2 MATRIZ VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA – MVC
A matriz variância-covariância já foi apresentada anteriormente, e se apresenta na
forma:
Esta matriz relaciona variáveis x1, x2, ..., xn que podem estar dispostos num vetor
Simbolizando por Ux como sendo o vetor de E(x) ou
Desenvolvendo a expressão Matricial (X – Ux) . (X – Ux)T obtem-se:
)()( y y x x E xy
)()()( y E x E xy E xy
y x xy E xy )(
nnnn
n
n
X
221
2222
21
112112
...
............
...
....
n x
x
x
2
1
nn u
u
u
x E
x E
x E
Ux2
1
2
1
)(
)(
)(
))(())(())((
.......................................................
))(())(())((
))(())(())((
2211
2222221122
1122111111
nnnnnnnn
nn
nn
u xu xu xu xu xu x
u xu xu xu xu xu x
u xu xu xu xu xu x
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21
E daí conclui-se:
a) x = E{(X – Ux) . (X – Ux)T} e pode-se ver que:
b) A diagonal da matriz variância-covariância (MVC) é constituída de variâncias
e os demais elementos são covariâncias.
c) A MVC é simétrica, pois ij é igual a ji
d) A variância é um caso particular de covariância para i = j.
5.3 LEI DE PROPAGAÇÃO DE COVARIÂNCIAS
Considerando duas variáveis aleatórias y e x, onde y é uma função linear de x.
Sendo C um vetor mX1 de constantes e G umamatriz de coeficientes.
A Esperança matemática de y é:
Anteriormente foi visto que pode-se fazer:
y = E{(Y – Uy) . (Y – Uy)T} , então substituindo I e II nesta equação, vem:
que desenvolvendo, permite chegar em:
que é a Lei de propagação das covariâncias
A fórmula anterior á válida para o caso de y= F(x) ser linear. Para o caso de
função não linear, tem-se que fazer uma linearização usando desenvolvimento de Taylor
Assim, se Y = F(x) é não linear, o desenvolvimento de Taylor nos conduz a:
onde X0 contém valores aproximados
para X
)})({(
}){()})({(
221112
2111111
211
u xu x E
u x E u xu x E
111 C X GY mmnmmI
C X E GGx E Y E Ux }{}{}{II
T C xGE C GX C x E GC Gx E y )(
T G X GY
00
0 X X x
F xF xF Y
X
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22
d1
d2
d3
d
b2b1
bb3
Sendo
4
3
2
1
d
d
d
d
D (Matriz das observações)
Os elementos da matriz D são resultantes da aplicação dos valores aproximados
de x nas derivadas parciais.
Para esta função, não linear, com a aplicação da linearização de Taylor, por um
desenvolvimento idêntico da aplicação da lei de propagação das covariâncias, chega-se em:
5.4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DAS
COVARIÂNCIAS NA FORMA MATRICIAL
1º) As observações das direções di (figura) conduziu aos seguintes resultados:
ij2 =
a) Calcular a matriz variância-covariância dos ângulos bi
b) Calcular o coeficiente de correlação entre os ângulos (b1 e b2; b1 e b3; b3 e b4;
e b1 e b4)
nm
n
mmm
n
n
X
D
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
F
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
0
T D X DY
3”2 para i=j
0 para i j
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23
Do enunciado já se pode observar que a MVC das direções é:
As equações envolvidas são:
A matriz G dos coeficientes será:
O sistema na forma matricial é: B = G. D
Ou
A MVC de B (ou dos ângulos) será:
Então:
"3000
0"300
00"30
000"3
D
234
143
132
121
d d b
d d b
d d b
d d b
0110
1001
01010011
G
43
2
1
01101001
0101
0011
43
2
1
d d
d
d
bb
b
b
T G DG B
2)("
6033
0633
3363
3336
0100
1010
10010111
0330
3003
03030033
0100
1010
1001
0111
"3000
0"300
00"30
000"3
0110
1001
0101
0011
B
B
B
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24
00 4343 bbbb
b) Calcular o coeficiente de correlação entre os ângulos:
b1) b1 e b2
Da Matriz B pode-se tirar:
Há correlação entre b1 e b2, pois b1b2 0 (ou b1 e b2 tendem a variar juntos e
no mesmo sentido; para + ou para -)
b2) b1 e b3
e temos:
(idem)
b3) b3 e b4
mas
logo, não há correlação entre b3 e b4
b4) b1 e b4
e temos:
logo, há correlação entre b1 e b4 ou b1 e b4 tendem a variar juntos e em sentido
contrário (uma para + e outra para -) devido o coeficiente ser negativo.
21
21
21
bb
bb
bb
43
43
43
bb
bb
bb
41
41
41
bb
bbbb
3
66
66
41
42
4
12
1
bb
bb
bb
5,02
1
6
3
66
331bb
31
31
31
bb
bb
bb
3
66
66
31
32
3
12
1
bb
bb
bb
5,02
1
6
3
66
331bb
5,02
1
6
3
66
3
3
66
66
21
21
22
2
12
1
bb
bb
bb
bb
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25
CAPITULO 6
O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS E OS PESOS NAS OBSERVAÇÕES
6.1 O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Como já foi comentado anteriormente, quando se realiza um número redundante
de observações, necessita-se realizar um ajustamento de observações a fim de que as
observações se tornem consistentes e a solução seja única. Entre as diferentes alternativas ou
métodos que podem fornecer a solução, o método dos mínimos quadrados é o aceito como
melhor por satisfazer diversos requisitos estatísticos ( é uma solução de variância mínima, é
uma solução de máxima verossimilhança, etc...)
O método dos mínimos quadrados (M. M. Q.) tem como princípio: a soma
dos quadrados dos resíduos deve ser mínima.
Assim, tendo-se n observações, e sendo que cada observação possua um resíduo
v , o princípio diz:
= v12 + v2
2 + …+ vn2 = sendo V um vetor que contém
os resíduos V = [v1, v2, v3,…, vn]T.
Se as n observações forem obtidas com diferentes níveis de confiabilidade
necessário se torna a introdução de uma ponderação, ou seja, um peso; e nesse caso o
M.M.Q. se apresenta como: = v1
2 p1+ v22 p2+ …+ vn
2 pn =
Admitindo-se que para um problema se possa formular um modelo matemático
11 L X Anuun sendo n o número de observações e u o número de equações. Algebricamente
o modelo seria:
Se o vetor L contiver elementos oriundos de observações (neste caso
normalmente utiliza-se o símbolo Lb), o modelo matemático seria inconsistente devido ao
fato das observações possuírem erros que são inevitáveis.
,1
2mínimoV V v T
n
i
i
.1
2mínimoPV V pv T
n
i
ii
)(....
...........................................................
...........................................................
)(....
)(....
32211
22222222121
11112121111
cl xa xa xa
bl xa xa xa
al xa xa xa
nununnnn
uu
uu
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26
As correções (ou resíduos) a serem introduzidos nas observações para remover a
inconsistência devem ser obtidas a partir da aplicação do método dos mínimos quadrados.
Assim: ab LV L X A ˆ e
Aplicando o M.M.Q. : = VT.V =
Para ser mínimo a primeira derivada de tem que ser igual a zero.
Para melhor compreensão do desenvolvimento acima proposto, faz-se necessário
conhecer algumas propriedades aplicadas às matrizes.
1ª) (A + B – C)T = AT + BT – CT
2ª) (A.B.C)T = CT . BT . AT
3ª)
4ª)
Desenvolvimento
= VT.V =
Então:
Logo:
Esta última equação matricial representa o conjunto de u equações normais e u
incógnitas. A solução do sistema é única e satisfaz o princípio dos mínimos quadrados.
Qualquer método de resolução de sistemas de equações poderá ser utilizado,
porém a solução por inversão de matrizes apresenta alguma vantagem, conforme será visto
posteriormente.
Assim:
Se as observações forem feitas com desigual confiança, aplica-se o M.M.Q.considerando a matriz Peso (P), ou:
= VT.P.V = e procedendo de forma
análoga à anterior, chega-se em:
b L X AV ˆ
mínimo L X A L X A b
T
b )ˆ()ˆ(
02ˆ2ˆ b
T T L A X A A X
0ˆb
T T L A X A A
bT T
b
T T T T
b
T T
L A A A X
L A A A X A A A A
L A X A A
1
11
)(ˆ
)(ˆ)(
ˆ
mínimo L X AP L X A b
T
b )ˆ()ˆ(
AY X
AY X T
AX X
AX X T
2
mínimo L X A L X A b
T
b )ˆ()ˆ(
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27
A
Considerando-se observações com igual confiabilidade, ou seja, matriz Peso
igual à matriz identidade, o modelo matemático matricial poderá ser
apresentado algebricamente da forma a seguir, onde se consideram n equações e apenas três
incógnitas:
Uma vez estabelecido um problema, pode-se montar as equações envolvidas, e
então se estas forem lineares a solução que atende o M.M.Q. poderá ser obtida simplesmente
seguindo-se o raciocínio anteriormente elucidado. Não sendo as equações lineares, antes de
aplicar o método, estas deverão ser linearizadas, conforme será estudado à frente.
Os diferentes tipos de problemas que aparecem, podem ser subdivididos em
função de suas características, ou seja, do tipo de modelo matemático definido pelas
equações envolvidas, dando origem aos chamados métodos de ajustamento e que serão
melhor estudados nos próximos capítulos.
A seguir, será feito um exemplo numérico de aplicação do M.M.Q. ainda numa
forma geral sem definir o método de ajustamento a ser utilizado.
Exemplo numérico:
Na figura acima as distâncias AB, BC, CD, AC e BD forma medidas e os valores
observados foram 100,000m; 100,000m; 100,080m; 200,040m e 200,000m; respectivamente.
Todas as medidas são não correlacionadas e têm a mesma precisão. Se as medidas forem
ajustadas de acordo com o princípio dos mínimos quadrados, qual será o resultado da
distância ajustada entre A e D?
Solução:
Com as distâncias AB, BC e CD que serão simbolizadas por x1, x2 e x3 já se teria
a distância AD desejada, porém foram realizadas cinco medidas de distâncias, logo se tem
0ˆb
T T PL A X PA A
0ˆb
T T L A X A A
0
0
0
3333223113
2332222112
1331221111
biiiiiiii
biiiiiiii
biiiiiiii
la xaa xaa xaa
la xaa xaa xaa
la xaa xaa xaa
L5 = 200,000m
L = 200,040m
L1 = 100,000m L2 = 100,000m L3 = 100,080m
A B C D
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28
duas observações redundantes. Para cada observação se pode formular uma equação
envolvendo as grandezas ajustadas x1a, x2
a e x3a.
ou
ou
ou
ou
ou
Aplicando o M.M.Q. tem-se que a soma do quadrado dos resíduos deve ser
mínima então:
= v12 + v2
2 + v32 + v4
2 + v52 = mínimo
=( 000,1001a x )2 + ( 000,1002
a x )2 + ( 080,1003a x )2 + ( 040,20021
aa x x )++ ( 000,20032
aa x x )2 = mínimo
Para minimizar , suas derivadas parciais com relação a cada uma das distâncias
x1a, x2
a e x3a devem ser iguais a zero
Desenvolvendo e rearranjando, as três equações se tornam:
2x1a + x2
a = 300,040 (a)
x1a + 3x2
a + x3a = 500,040 (b)
x2a + 2x3
a = 300,080 (c)
As três equações anteriores que possuem três incógnitas, formam um sistema de
equações normais que uma vez resolvido, fornecerá resultados consistentes. Em se tratando de apenas três equações e do tipo como as anteriores, a resolução
pode ser feita, devido a facilidade, inclusive por meio de substituições de umas nas outras,
ou:
Dividindo (a) por 2 e subtraindo de (b) vem:
2,5x2a + x3
a = 350,020 e
x3a = 350,020 – 2,5 x2
a
aa
aa
a
a
a
x xvl
x xvl
xvl
xvl
xvl
3255
2144
333
222
111
000,200
040,200
080,100
000,100
000,100
325325
214214
3333
2222
1111
aaaa
aaaa
aa
aa
aa
x xl x xv
x xl x xv
xl xv
xl xv
xl xv
0000,2002080,1002
0000,2002040,2002000,1002
0040,2002000,1002
323
3
32212
2
211
1
aaa
a
aaaaa
a
aaa
a
x x x x
x x x x x x
x x x x
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29
substituindo na (c ) vem:
x2a = 99,990m Logo: x3
a = 100,045m e x1a = 100,025m
então, a distância ajustada entre A e D é: AD = x1a + x2
a + x3a = 300,060m.
6.2 PESO NAS OBSERVAÇÕES
O peso de uma observação é a confiança relativa de um valor observado
comparado com algum outro valor. Em outras palavras, pesos são estimativas ou expressões
das confianças relativas das observações. Uma grande precisão é indicada por um pequeno
desvio, implicando uma boa observação e um peso grande.
A expressão geral do peso é dada por: onde 02 é um valor igual à
variância de uma observação cujo peso é considerado unitário, e i2 é a variância da
observação i.
O peso de uma observação, é portanto, inversamente proporcional ao quadrado
do desvio padrão correspondente. Assim, tendo-se L1, L2, L3,…, Ln observações, de padrões
1, 2,…, n, os pesos serão:
21
20
i p ;2
2
2
20 p .......
2
2
n
n p 0
logo: p1 12 = p2 2
2 = ..... = pn n2 = 0
2
Pode-se, portanto, atribuir a uma observação um peso qualquer e calcular os
pesos dos demais.
6.2.1. Matriz dos Pesos
Seja a matriz variância-covariância X relativa às grandezas dos elementos de X.
Atribuindo a um dos seus componentes o peso unitário e designando por 02 o valor
correspondente à variância dessa componente.
A matriz dos pesos relativos aos elementos de X, que é simétrica, poderá ser
obtida por: Px = 02
X-1
2
2
i
i p 0
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30
No caso das componente de x serem independentes entre si, a matriz variância-
covariância X será diagonal, e a matriz dos pesos que também será diagonal, terá como
elementos da diagonal2
20
1
xii
ii p
6.2.2 Casos Particulares na Atribuição de Pesos
6.2.2.1 Peso no Nivelamento
Os pesos são inversamente proporcionais ao comprimento das seções a serem
niveladas. Assim, quanto maior a seção a ser nivelada menor será o peso.
6.2.2.2 Peso nas medidas angulares
Os pesos são proporcionais ao número de vezes em que os ângulos são medidos.
6.2.3 Considerações sobre a Atribuição de Pesos
Como se pode ver, a atribuição de pesos, em geral, não deve ser feita
simplesmente pelo fato do número de repetições ser diferente, mas sim considerando- se
outras causas diversas, como: que instrumento(s) foi(am) utilizado(s)? Qual(is)
operador(es)? Em que condição(es) ambiental(is)?
Assim, verifica-se que a atribuição de pesos não é tão simples como podeparecer, é um campo ainda cheio de dúvidas e tido como um dos mais complexos no
ajustamento de observações.
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31
CAPITULO 7
MÉTODOS DE AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES
7.1 MÉTODO DOS PARÂMETROS
No caso de observações indiretas, deseja-se estimar grandezas que se vinculam às
grandezas observadas através de algum modelo matemático. Para distinguir estes dois tipos
de grandezas é usual denominar as primeiras, ou observações indiretas de PARÂMETROS, o
que explica a denominação de MÉTODO PARAMÉTRICO.
Assim: Parâmetros são grandezas que não podem ser obtidas diretamente, e como
exemplo tem-se coordenadas, áreas, etc...
7.1.1. Obtenção de grandezas observadas
EQUAÇÃO DE OBSERVAÇÃO: O modelo matemático para o ajustamento pelo
método dos parâmetros é o seguinte:
onde La é um vetor (nX1) dos valores observados ajustados;
Xa é um vetor (mX1) dos parâmetros ajustados.
Como se vê, os valores observados ajustados são expressos explicitamente como
uma função dos parâmetros ajustados.
Através das operações do ajustamento aplicando o método dos mínimos
quadrados, obtém-se as observações ajustadas.
onde Lb é um vetor (nX1) dos valores observados;
V é um vetor (nX1) dos resíduos (ou correções) que transformam osvalores observados brutos (Lb) em valores ajustados (La).
E os parâmetros ajustados:
onde X0 é um vetor (mX1) cujas componentes são valores aproximados dos
parâmetros;
X é um vetor (mX1) das correções que convertem os parâmetrosaproximados (X0) em parâmetros ajustados (Xa).
)( aa X F L
V L L ba
X X X a 0
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32
Das equações La = Lb + V e La = F(Xa) pode-se fazer: Lb + V = F(Xa).
Linearizando F(Xa) pela fórmula de Taylor, vem:
Lb + V = F(Xa) = F(X0 + X) = F(X0) +
0 X Xaa
X
F
Fazendo F(X0) = L0 , ou seja, chamando de L0 o vetor (nX1) resultante da
aplicação nas funções F dos valores aproximados dos parâmetros X0.
Chamando de A a matriz (nxm) (sendo n o número de observações e m o número
de parâmetros), resultante da aplicação dos valores aproximados dos parâmetros X0 nas
derivadas parciais, ou
Pode-se escrever: Lb + V = L0 + AX V = AX + L0 - Lb
Fazendo L = Lo – Lb obtém-se o modelo matemático linearizado do método dos
parâmetros:
Esta última equação sintetiza, na realidade, sob a forma matricial, n equações de
observações, ou:
Os elementos da matriz dos coeficientes A, de n linhas e m colunas, são
representados por:
para i = 1,2,3...., n e j = 1,2,3...., m
Algebricamente, a primeira linha do sistema de equações representado
matricialmente atrás, poderá se escrever:
112121111 .... l xa xa xavmm e o mesmo ocorrerá com as outras linhas.
0 X Xaa
mn X
F A
V = AX + L
nm
Xoam
n
a
n
a
n
amaa
amaa
n l
l
l
x
x
x
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
v
v
v
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
aj
iij
xF a
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33
A solução pelo método dos mínimos quadrados é obtida fazendo-se
VTPV = min,, onde P é a matriz dos pesos das observações.
Então: = VTPV = (AX + L )T. P. (AX + L) = min.
= (XTAT +LT ).P.(AX + L)
= XTATPAX + XTATPL + LTPAX + LTPL
= XTATPAX + 2XTATPL + LTPL = min
igualando a zero a primeira derivada em relação a X tem-se:
022 PL APAX A X
T T
ou é comum fazer: N = ATPA e U =ATPL
e então
Tem-se assim um novo sistema de equações, que é denominado SISTEMA DE
EQUAÇÕES NORMAIS e cuja solução atende o princípio do método dos mínimos
quadrados.
A matriz N é quadrada (m x m) e simétrica.
Para obtenção do vetor das correções X, pode-se resolver o sistema por qualquer
método de resolução disponível, porém fazendo a resolução utilizando-se a inversão da
matriz N, alguma vantagem se terá, conforme será elucidado posteriormente, então se:NX + U = 0 NX = -U e X = -N-1U ou
e assim com os valores dos elementos do vetor X, pode-se converter os parâmetros
aproximados em ajustados por: Xa = X0 + X
De posse dos parâmetros ajustados poder-se-á também obter as observações
ajustadas utilizando-se La = F(Xa) ou calculando-se os resíduos V e aplicando em La=Lb + V
ATPAX +ATPL = 0
=
X = -(ATPA)-1ATPL
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34
7.2. OBTENÇÃO DA PRECISÃO DAS GRANDEZAS OBSERVADAS OU MATRIZ
VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA NO AJUSTAMENTO PELO MÉTODO PARAMÉTRICO.
Antes do ajustamento necessita-se estimar a precisão das medidas para compor a
MVC dos valores observados ( Lb) e, a partir do peso a priori 0
2
, chegar à matriz dospesos:
Após o ajustamento pode-se obter a MVC das variáveis aleatórias envolvidas no
processo: X, Xa , La
7.2.1. MVC DAS CORREÇÕES ( x)
Para isto faz-se o seguinte:
X = -N-1ATPL = -N-1ATP(L0 – Lb)
X = -N-1ATPL0 + N-1ATPLb
Aplicando a lei de propagação de covariância:
x = G. Lb.GT com G = N-1AP e fazendo o desenvolvimento chega-se em:
7.2.2. MVC DOS PARÂMETROS( x
a)
Na equação Xa = X0 + X o vetor X0 é constante, então
7.2.3. MVC DOS VALORES OBSERVADOS AJUSTADOS ( La):
La = Lb + V = Lb +AX + L = Lb + AX + L0 – Lb
La = AX + L0
Aplicando a Lei de Propagação: La = A. X. AT
La = 02 .A.N-1AT
P = 02 . Lb
-1
x = 02 .N-1
xa = x = 02 .N-1
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35
7.2.4. VARIÂNCIA DA OBSERVAÇÃO DE PESO UNITÁRIO:
7.2.4.1. Escolha de 02 a priori
Para iniciar o ajustamento necessita-se conhecer a matriz dos pesos das
observações:
A variância da unidade de peso 02 é dita a priori e costuma ser adotada pelo
calculista.
7.2.4.2. Variância a posteriori 20ˆ
Após o ajustamento pode-se estimar um valor 20ˆ em função dos resíduos. A
esse 20ˆ denomina-se variância da unidade de peso a posteriori .
O valor estimado de 20ˆ pode ser obtido pela fórmula:
sendo n nº de observações m nº de parâmetros
O 20 a priori deve ser comparado ao 2
0ˆ a posteriori e até deve ser realizado o
teste de hipótese aplicando x
2
(qui-quadrado). No caso de 2
0ˆ e 20 serem significativamente diferente, deve-se proceder uma
análise cuidadosa do ajustamento. Pode haver erro na MVC dos valores observados, ou
podem os resíduos estar excessivamente grandes em decorrência de uma falta grosseira ou de
erros sistemáticos; pode o modelo matemático não ser consistente com as observações, etc.
P = 02 Lb
-1
mn
PV V T 2
0
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36
7.3 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS PARÂMETROS
São conhecidas as coordenadas dos vértices P1, P2, P3 e P4 e foram observadas
as distâncias dos mesmos a uma estação desconhecida P, bem como o ângulo :
Caderneta de campo com ângulo e distâncias observadas com o respectivo desvio
padrão:
Lb distância (m)
Lb1
Lb2
Lb3
Lb4
Lb5
244,512
321,570
773,154
279,992
0,012
0,016
0,038
0,014
2,0’’
ângulo
123º38’01,4’’
SOLUÇÃO:
a) Estabelecimento de Equações (ou modelo matemático)
Como parâmetros têm-se as coordenadas ajustadas da estação P, logo
- O vetor dos parâmetros ajustados é:
- O vetor das observações ajustadas é:
a
a
a
a
a
a
l
l
l
ll
L
5
4
3
2
1
E como equação para cada observação tem-se:
x(m) y(m)P1 842,281 925,523 P2 1.337,544 996,249 P3 1.831,727 723,962 P4 840,408 658,345
P
P2
P1
P3
l1l2
l3l
P
Calcular as coordenadasajustadas da estação P
a
a
y
x Xa
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37
b) Modelo linearizado
As equações devem ser linearizadas aplicando TAYLOR e então chega-se em
equações na forma: AX + L = V
b1) – Cálculo de L L =L0 – Lb = F(X0) - Lb
Para obtermos L0 = F(X0) precisa-se obter valores aproximados para os
parâmetros ou seja coordenadas do ponto P.
Consideremos os seguintes valores: X0 = 0
0
2,825
2,1065
y
x
l20
= 321,60382
l30
=773,18353
l40
=279,95006
l50 =
2,825523,925
2,1065281,8422,825249,996
2,1065544,1337 11 tgtg
l50
= 123º38’19,87’’
Então: L = L0 – Lb =
b2) Cálculo da Matriz 5A2
´
a
a
a
aba
aiaii
b
i
a
i
y y
x xtg
y y
x xtgvll
i y y x xvll
1
11
2
21555
2
122 4e3,2,1para))()((
m y y x xl ii 65,453.244))()(( 2
12
02
00
1
''47,18
04194,0
02953,0
03382,0
05835,0
"4,01'38º123
992,279
154,773
570,321
512,244
''87,19'38º123
95006,279
18353,773
60382,321
45365,244
Xo
aa
aa
aa
Xoa
ya
l
xa
l
ya
l
xa
l
ya
l
xa
l
X
F A
55
22
11
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38
2
1
12
2
25
2
1
12
2
25
1
1
4e1,2,3 ipara
aa
a
aa
a
a
a
a
a
l
xa x
l
xa x
ya
l
l
ya y
l
ya y
xa
l
li
ya yi
ya
l
li
xa xi
xa
lsendo:
Aplicando “no ponto” xa = xo e ya = yo
573787,312.1163394,5
596017,0802972,0
130937,0991391,0531862,0846831,0
410397,0911907,0
A :então e
''573787,131200636354,0
'5,163394' 0000250.045365,244
2,1065281,842
603816,321
2,1065544,1337
596017,0 802972,0
130937,0 991391,0
531862,0 846831,0
410397,045365,244
2,825523,925
911907,045365,244
2,1065281,842
25
5
225
44
33
22
1
11
1
11
rd ya
l
rd xa
l
ya
l
xa
l
ya
l
xa
l
ya
l
xa
l
l
y y
ya
l
l
x x
xa
l
Yo
a
Xo
a
Yo
a
Xo
a
Yo
a
Xo
a
Yo
a
Xo
a
a
o
Yo
a
a
o
Xo
a
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39
c) Matriz dos Pesos
Como já se viu anteriormente:
Considerando as observações independentes entre si, a MVC se reduz a uma
matriz diagonal, cuja inversa pode ser obtida tomando na diagonal principal o inverso davariância de cada observação e fazendo ainda o
2 = 1:
d) Equações Normais
Como foi visto anteriormente: NX + U = ATPAX+ATPL = 0
X = -N-1.U
Fazendo as devidas multiplicações, chega-se em:
014281,0
055400,0.-X então e
984978,031.6
618710,649
00000230,000000059,0
00000059,000007981,0
:se-teminversa aoEncontrand
54110,811.43404304,208.3
04304,208.301960,553.12
1
1
U N
PL A
PA A
PA A N
T
T
T
e) Parâmetros Ajustados
a
aa
y
x X X X
1867,825
2554,1065
01281,02,825
055400,02,10650
120 b
LP
2
2
2
2
2
20000
0014,0000
00038,000
000016,00
0000012,0
P
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40
CAPITULO 8
8.1 MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO OU DOS CORRELATOS
O método das equações de condição (ou dos correlatos) não envolve parâmetros,o modelo matemático é função dos valores observados ajustados. Como exemplo clássico de
aplicação deste método tem-se quando são medidos os três ângulos de um triângulo, e estes
deverão satisfazer a uma equação matemática conhecida, ou seja, os valores observados,
depois de ajustados, deverão satisfazer ao modelo matemático:
Triângulo plano Triângulo esférico
(A)a + (B)a + (C)a – 180º = 0 (A)a + (B)a + (C)a – (180º+ ) = 0
Em se tratando de valores simplesmente observados, é sabido que:
(A) + (B) + (C) – 180º 0 (T. plano)
(A) + (B) + (C) – (180º+ ) 0 (T. esférico)
Por este exemplo já dá para se ver que as observações deverão ser tratadas ou
ajustadas, a fim de satisfazer a condição matemática.
O modelo matemático que caracteriza observações condicionadas, na forma
matricial é:
onde F simboliza r funções e o vetor La tem dimensão n x 1.
Assim tendo-se como resultado n observações ajustadas, que podem ser obtidas
por:
então:
aplicando a aproximação linear da série de Taylor em forma matricial, vem:
F(La) = F(Lb + V) = F(Lb) + 0V L
F
b La
A
B
C
A
B
C
F(La) = 0
La = Lb + V F(Lb + V) = 0
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41
V W
A função F(Lb) dos valores observados, tem o significado de um erro de
fechamento e será simbolizado por W.
Chamando de B a matriz r x n (sendo r o número de equações e n o número de observações)resultante da aplicação dos valores observados Lb nas derivadas parciais, ou:
E aí se pode escrever que é modelo linearizado do método dos correlatos,
representativo de r equações de condição transformadas, ligando n incógnitas vi.
Esta última equação sintetiza, na realidade, sob a forma matricial, n equações de
observações, ou:
Para que as incógnitas se subordinem no M.M.Q e ao mesmo tempo satisfaçam
às equações de condição, utiliza-se a técnica lagrangiana em forma matricial definindo a
função :
sendo K o vetor (r x 1) dos “multiplicadores de Lagrange” (ou “correlatos”)
Igualando a zero as derivadas parciais em relação a V e a K tem-se:
W = F(Lb)
B= La L
F
0
0
0
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
nn
Lban
r
a
r
a
r
anaa
anaa
w
w
w
v
v
v
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
= VTPV - 2KT(BV + W) = mínimo
0 0)(2
0 022
W BV W BV K
K BPV K BPV V
T T
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42
A primeira das equações matriciais anteriores:
I) nPn . nV1 - nBT
r . rK1 representa n equações algébricas
A segunda representa r equações algébricas lineares.
II)
Resolvendo ( I ) em relação a V ou V = P-1BTK e introduzindo este vetor na ( II)
B.P-1 BTK + W = 0, obtém-se a equação matricial representativa do sistema de r equações
normais que proporciona os r multiplicadores de Lagrange (correlatos):
Ou K = -M -1
.W com M = BP-1 B
T
Uma vez obtido o vetor dos correlatos K, chega-se no vetor dos resíduos com
Com os resíduos conhecidos, pode-se então chegar nas observações ajustadas:
8.2 M.V.C. dos Valores observados ( La)
Sem apresentar as deduções, por serem um pouco extensas, mas ciente de que é
resultado de aplicação da lei de propagação de covariâncias às equações envolvidas, a
M.V.C. das observações ajustadas poderá ser obtida utilizando-se:
111120 ... P B M BPP L T
a lembrando que M = BP-1 B
T
Pode-se reescrever a equação anterior da seguinte forma:
1112
0.. P B M B I P L T
a
Sendo I uma matriz identidade, mas pode-se ver que Lb = 120 P , logo:
11 .. P B M B I L L T
ba
Assim vê-se que a segunda parte desta última equação representa uma melhoria
às precisões, introduzida com o ajustamento.
rBn . nV1 + rW1 = 0
W BP BK T .).( 11
V = P-1 BT K
La = Lb + V
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43
VARIÂNCIA DA OBSERVAÇÃO DE PESO UNITÁRIO A POSTERIORI (2
0ˆ )
O valor estimado de 20ˆ pode ser calculado com a fórmula:
sendo r o número de equações de condição.
Pode-se demonstrar que VTPV = -KTW
r
PV V T 2
0
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44
8.3. DESENVOLVIMENTO ITERATIVO DO MÉTODO CONDICIONADO
O método condicionado é uma função apenas dos valores observados ajustados,
sendo que o modelo matemático para a i-ésima interação é: (*)
Com o desenvolvimento interativo, o vetor Lb, dos valores observados, deverá sermelhor após cada interação. Então:
A equação (*) linearizada por Taylor é:
F(Lai) = F(Lai-1 + V i) = F(Lai-1) + 0)(1
1
i
ii
aia
Laa
L L L
F
Onde: i
Laa
B L
F
ii
1
e F(Lai-1) = W i
E então Bi .Vi + Wi = 0
Após aplicar o M.M.Q, vem: W BP BK T .).( 11 e V = P-1 B
T K
e os valores ajustados são: iaaV L L
ii 1
Observações:
a) A matriz Bi deve ser recalculada para cada interação, tomando o valor da derivada
parcial no ponto observado ajustado melhorado ( Lai-1).
b) O vetor do erro de fechamento W i, também deve ser recalculado para cada interação
tomando o valor de Lai-1.
c) Quando Lai = Lai-1 ocorrerá a convergência, e então V i = 0 e conseqüentemente
F(Lai) = 0.
d) A MVC dos valores observados ajustados será:
F Lai = 0
e11 iaaab V L L L L
iii
111120 ... P B M BPP L iiT
ia
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45
8.4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS
CORRELATOS OU DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO
Ajustamento de uma rede de nivelamento geométrico pelo método das equações de condição.
Obs: As setas do esquema indicam o sentido em que o terreno se eleva
SOLUÇÃO
1) O número de observações são nove (n= 9 ) (desníveis medidos) e o número de pontoscujas altitudes não são conhecidas (incógnitas) são cinco (u = 5), então o número deequações de condição r = n – u = 4. Assim, devem ser formuladas 4 equações de condiçãoindependentes entre si.
Assim, devem ser formuladas 4 equações de condição independentes entre si.
Dentre as várias possibilidades sejam por exemplo:
0
0
0)(
0)(
6743
532
879
8621
aaaa
aaa
A B
aaa
c B
aaaa
llll
lll
hhlll
hhllll
As equações de condição transformadas se escrevem: lb1+v1 + lb2+v2 + lb6 +v6 + lb8+v8 – (h B - hC ) = 0
v1+v2+v6 +v8+ [lb1+lb2+lb6 +lb8 - (h B - hC )] = 0
logo, v1+v2+v6 +v8+w1 = 0
Esquema da rede
Altitudes conhecidashA = 33,831m hB = 19,316m hC = 2,791m
A
B
C
l8
l9
l7
l6
l3
l4
l5
l1
l2
Desníveis Observados Linha h = Lb comprimento
l1 10,038 m 1,14 km l2 8,297 2,84 l3 1,949 3,21 l4 -5,217 6,03 l5 10,244 6,75 l6 1,562 0,84
l7 4,837 2,94 l8 -3,370 2,01 l9 -15,979 5,28
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46
Por um desenvolvimento análogo chega-se nas outras equações. E as equaçõessão:
v1+v2+v6+v8+w1 = 0 v9+v7+v8 +w2 = 0 BV + W = 0 v2+v3-v5 +w3 = 0 v3+v4+v7-v6+w1 = 0
O modelo sendo linear os coeficientes dos resíduos já representam as derivadasparciais, resultando:
001101100
000010110
111000000
010100011
94 B
O vetor dos erros de fechamento:
.)(
7
2
3
2)(
)(
)(
6743
532
879
8621
mm
llll
lll
hhlll
hhllll
LF W
bbbb
bbb
C Bbbb
C Bbbbb
b
2) Equações Normais
MK + W = 0 K = - M-1W, sendo M = BP-1BT
Já são conhecidas as matrizes W e B; para escrever a Matriz dos pesos, admite-se:
a) que as observações são independentes (a matriz será diagonal);
b) que os pesos são inversamente proporcionais aos comprimentos das linhas;
c) admitir a variância da unidade de peso a priori 02 = 1
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47
3) Cálculo do vetor dos resíduos
V = P-1 BT K
57,0
07,0
06,0
37,0
094,0031,0034,0035,0 031,0097,0019,0050,0
034,0019,0117,0046,0
035,0050,0046,0185,0
02,1321,394,284,0
21,380,12084,2
94,2023,1001,2
84,084,201,283,6
0094,284,0003,621,300
000075,6021,384,20
28,501,294,2000000
001,2084,000084,214,1
280,500000000
001,20000000
0094,2000000
00084,000000
000075,60000
0000003,6000
00000021,300
000000084,20
0000000014,1
1
1
1
1
W M K
M
B BP M
BP
p
T
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48
4) Desníveis ajustados
5) Variância da unidade de peso a posteriori
6) Verificações
As equações de condição, tanto naturais como transformadas, prestam-se as
verificações, as primeiras mediante os desníveis ajustados e as segundas mediante os
resíduos. Por exemplo:
16,5251 = 16,525
O mesmo poderia ser feito com as outras equações.
(mm.)
3,0
9,0
8,1
2,0
5,0
4,3
6,1
8,0
4,0
PV
0028,50
0001,201,2
94,2094,20
84,00084,0
075,600
03,6000
21,321,300
084,2084,2
00014,1
1-1 K B BP T T
9793,15
3709,3
8352,4
5622,1
2435,10
2204,5
9474,12962,8
0376,10
V L Lba
r
PV V T 2
0
77,4
7
2
3
2
57,007,006,037,0KTW VTPV
525,163709,35622,12962,80376,108621 c Baaaa hhllll
8/3/2019 APOSTILA DE AJUSTAMENTO
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-ajustamento 49/49
7) Altitudes
As altitudes das estações novas são obtidas das altitudes fixas somando-se os
respectivos desníveis ajustados, independentemente do “caminho percorrido”; assim:
hr = hc +l1a = 2,791 + 10,038 = 12,829 ou
hr = hb – l8a –l6a –l2a = 12,829 etc.
8) MVC das observações ajustadas: La = Lb [I – BT M-1B P-1]