Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

Punto # 1: De la siguiente Elipse 9 x2+3 y2=27 . Determine

a. Centrosb. Focosc. Vértices

9 x2+3 y2=27

9 x2

27+3 y

2

27=1

x2

3+ y

2

9=1

Elipse vertical

a. centros (0,0) = (h,k)

b. focos a2=3 , a=√3b2=9 , b=3

c2=b2−a2

c2=9−3c2=6 c=√6

F1= (h, k + c) = (0,0 + √6 ) = (0, √6)

F2= (h, k – c) = (0,0 - √6 ) = (0, -√6)

c. vértices

V1 = (h, a + k) = (0 + √3 ,0) = (√3 ,0)

V2 = (h – a, k) = (0 - + √3 ,0¿=(−√3 ,0)

B1 = (h, k + b) = (0, 0 + 3) = (0, 3)

B2 = (h, k – b) = (0, 0 – 3) = (0, -3)

Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

PUNTO # 2: Deduzca una ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices en (± 5, 0) y Focos en (± 3, 0)

V1: (5,0) , V2: (-5,0)

F1: (3,0) , F2: (-3,0)

2a=10 2c=6

a=102

c=62

a=5 c=3

(h , k )=( 5−52 ,0−02 )

(h , k )=( 5−52 ,0−02 )

(h , k )=(0,0 )

b2=a2−c2=25−9=16

b=4

Ecuación: x2

25+ y

2

16=1

Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

PUNTO # 3: De la siguiente hipérbola 9x2 – 25y2 = 225. Determine:

a. Centro b. Focos c. Vértices

9x2 – 25y2 = 225

9 x2

225+ 25 y

2

225=1

x2

25+ y

2

9=1

a2=25→a=5

b2=9→b=3

c2=a2+b2→c2=25+9→c2=34

c=√34

a) Centro = (0,0)

b) Focos F1 = ( h + c , k ) = (0 + √34 , 0) = (√34 , 0) F2 = ( h - c , k ) = (0 - √34 , 0) = (−√34 , 0)

c) Vértices V1 = ( h + a , k ) = (0 + 5 , 0) = (5, 0) V2 = ( h - a , k ) = (0 - 5 , 0) = (−5 , 0)

Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

PUNTO # 4: Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: Centro en ((1, - 3), un foco en (1, - 6) y un vértice en (1, - 5).

( h , k ) = ( 1 , -3 )

F2 = ( h , k - c) = ( 1 , -6 )F2 = ( h , k - b) = ( 1 , -5 )k – c = -6 k – b = -5k + 6 = c k – 5 = b

c = 6 – 3 = 3 b = 5 – 3 = 2a2=c2−b2→a2=9−4→a2=5

Ecuación: y2

4− x

2

5=1

PUNTO # 5: Demostrar que la ecuación x2 + y2 + 6x - 2y – 15 = 0 es una circunferencia. Determinar:

a. Centro b. Radio

x2+ y2+6 x−2 y−15=0

x2+6 x+9+ y2−2 y+1=15+9+1

( x+3 )2+( y−1 )2=25

a. Centro = ( -3 , 1)

b. Radio = 5

Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

Punto # 6: De la siguiente parábola x2+6 x+4 y=0 Determine:

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

4y + 8 = −x2- 6x

4y + 8 = - (x2+ 6x + 9) + 9

4y – 1 = - ( x+3 )2

4 ( y−14 ) = - ( x+3 )2

( y−14 ) = - 14 ( x+3 )2

a. Vértice (−3 , 14 ) = (h, k)

4p = - 14

p = - 116

b. Foco (h, k + p ) = (−3 , 14− 116 ) = (−3 , 316 )

c. Directriz y = k – p = 14 - (− 1

16 ) = 14 +

116 =

516

Directriz y=516

Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

Punto # 7: Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

x2 + y2 + 4x + 6y - 7 = 0

(x2 + 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 7 + 4 + 9

( x+2 )2 + ( y+3 )2 = 20

Centro (-2, -3)

La recta tangente es perpendicular al radio en el punto dado (-4, 1)

Hallemos pendiente del radio, (-2, -3), (-4, 1)

m = 1+3

−4+2 = 4

−2 = - 2

Luego mT = −1m = −1−2 = 12

Ecuación recta tangente

y – 1 = 12 (x + 4)

2y – 2 = x + 4

-x + 2y – 6 = 0 Ecuación general

Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

Punto # 8: Calcular las siguientes sumatorias:

a)

∑k=1

20

(20−k+1 )3=∑k=1

20

(21−k )3

∑k=1

20

9261−1323k+63k2−k3

∑k=1

20

9261−1323∑k=1

20

k+¿63∑k=1

20

k2−∑k=1

20

k3¿

¿9261n−1323( n2+n2 )+63 ( 2n3+3n2+n6 )−( n4+2n3+n24 )

¿9261(20)−1323( 202+202 )+63( 2(20)3+3 (20)2+206 )−((20)4+2(20)3+(20)2

4 )

= 185220 – 277830 + 180810 – 44100

= 44100

b)

¿∑k=1

50

(3k ¿¿2+2k−5)¿

Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

¿3∑k=1

50

k2+2∑k=1

50

k−∑k=1

50

5

¿3( 2n3+3n2+n6 )+2( n2+n2 )−5 (n )

¿3¿

= 128775 + 2550 – 250

= 131075

Punto # 9: Calcular las siguientes productorias:

A :∏K=1

3

(A−K2)

(a−12 ) (a−22 ) (a−32 )=(a−1)(a−4)(a−9)

(a2−5a+4 ) (a−9 )=a3−14a2+49a−36

B:∏K=5

6

∏J=3

4

∏i=1

2 (2 i− j )(2k+i )

¿¿

Jhon Alberto Henao López Código: 15453719

¿∏k=5

6

∏j=3

4

( 2− j2k+1 )( 4− j2 j+k )

¿∏k=5

6

( 2−32k+1 )( 4−32k+2 )( 2−42k+1 )( 4−42k+2 )

¿( 2−310+1 )( 4−310+2 )( 2−410+1 )( 4−410+2 )( 2−312+1 )( 4−312+2 )( 2−412+1 )( 4−412+1 )

(−111 )( 112 )(−211 )( 012 )(−113 )( 114 )(−213 )( 013 ) =0