UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE._ ECAPMA

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

PRESENTADO POR:

YARIMA ROBLES NAVARROCÓDIGO: 68292855

TUTOR: HÉCTOR IVAN BLANCO

GRUPO: 298

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE._ ECAPMA

AGOSTO DE 201

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada

de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solución dentro del

tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de

6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L,

determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque.

Solución

v (t )=volumenen todoinstante

Q (t )=Cantidad de soluto

C ( t )=concentracionde solutoen todo instante

C (t )=Q(t)v (t )

Según el ejercicio la velocidad de entrada y salida son iguales, el volumen es constante

v (t )=1000 l

Inicialmente en el gran tanque solo hay agua, así que la concentración inicial de salmuera es = 0.

Se quiere calcular como varía la cantidad de salmuera con respecto el tiempo:

C1 C (t)

A B

v (t) Q (t )=?

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Q ( t ) esta dadaenkg

La variación del volumen será igual a la razón con que entra menos la razón con la que sale

dQdt

=R1−R2

R1=es la velocidad deentradade cantidadde salmuera

R1=(6 Lmin )(1 kgL )

R1=6kgmin

R2=es la velocidad de salidade salmuera

R2=6Lmin

∗C (t )

Recordemos que C(t) es concentración de soluto en todo instante o en el instante t

C ( t )=Q(t)V (t)

=Q(t)

1000 L¿

Con estos datos se puede armar la ecuación diferencial para iniciar a resolver el ejercicio

dQdt

=R1−R2

dQdt

=6−6Q( t)1000

Organizando la ecuación queda :

dQdt

+6Q(t )1000

=6

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ECUACIONES DIFERENCIALES

La ecuación que se trabajara será una ecuación lineal de primer orden de la forma:

y ,+ p ( x ) y=f (x)

Se utilizara el método para resolver ecuaciones diferenciales por factor integrante

F=e∫ p ( x )dx

F=e∫ 6

1000dt=e

61000

t

Se multiplica la Ecuación Diferencial por el Factor Integrante

e6

1000t∗dQdt

+e6

1000t

∗6Q ( t )1000

=6∗e6

1000t

Resolviendo:

ddt

(e 61000

t∗Q(t))=6∗e

61000

t

Integrando se tiene:e6

1000t∗Q (t )=∫ 6∗e

61000

tdt

Se resuelve la integral

e6

1000t

∗Q (t )=6e

6 t1000

61000

=1000∗e6

1000t

+c

Entonces

Q ( t )=1000∗e−6

1000t+c

Supongamos que:

Q (0 )=0→c=−1000

Q (t )=1000−1000e−6

1000t

Así que la concentración en el instante C(t) será:

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C ( t )=Q(t)v (t )

Q(t)v (t)

=1000−1000e

−61000

t

1000=1−e

−6 t1000

Ahora bien el ejercicio pide hallar t, tal que la concentración sea ½

Entonces

1−e−6 t1000=1

2

12¿e

−6 t1000

Despejando a t tenemos:

ln (0,5 )= −6 t1000

t=−1000∗ln (0,5 )

6

t=115,5245301

Así que el tanque contendrá ½ de kg/l , 4 horas 48 minutos y 48 segundos después de iniciar a fluir la salmuera