LEYES DE LOS EXPONENTE

e,mon - a,m+n

(o*)" = ?*n(ab)n

-

anbn

em

dr, = *-n'a * fr

tT,fl an(.;J = w'b+o

PROPIEDADES DE LA DEIGUALDADE

Sia ( b,entoncesa * c 1 b * c.5ia < b y c > 0,entonces ac 1 bc.

Si a < b y c 1 ,entonces ac > bc.

TOREMA DEL BINOMIO

+{a+b}SUCESIONE GEOMTYRICA

a+ar*arZ+...+

SERIES GEOMTRICAS

PERMUTACIONES Y COMBINACIONE

1 =1 Ll = Lr

n! -

n(n -

1)..... (3X2)(t)

P(n,r) = , nl' (n -

r):

c(m, r) = (:) = nl

(a + bln : a - )bsn-1 . ) 62nn-? IUCIONE ARITMNC*S

(n -

r)lrI

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMO

lognMN =logoM* logolos*(f) = logo M - log,oNllogoMr

-

rlagoM

losM lnMlogoM =- =

-

ou loga ln a

+ (a + ad) + ...* [a + (n * 1]dl : ,,* * l0tl6

1-rTl-1,arn-L: a-1*r

. {l) bn*l*+ }n

oc

: Y ark-1 :/-tk=1

Si 4. 1,a+ cr + ei.rz + l--r

Grar,nyAlR,,

A Ynryal,wYnnOY

frtulo OrQinol de la Obro:"Mstemticos Brsicos poro Economo

e fngeni era Comerc iol,,

Autor: fng. rtAoiss Villena MuozDerechos del Autor No 019791-IEPIrsBN -9978 - s10 - 03 -7Titulor de los Derechos de Autor yEditor: fn9. Rubn Villocs InfontTodos los Derechos ReservodosDireccin: Cdla. Albotros, PeliconoO*te 105 y Av. Plaza Don.fmpreso por: fmprenta fNGRAFDir.: Rumichaco 2810 y GmezRendn.Guoyoquil - EcuadorNinguno porte de este libro puedeser reproducido o tronsmitido encuolguier formo o en cuolguier medioelectrnico o mecrnco, incluyendofotocopiodo, grabacin o por' cuol-guier sistemo de olmacenomiento ocopocitocin sin permiso escrito porel titulor de los derechos de ouior.

E5TRUCTURA DEL TEXTO

Este texto ho sido eloborodo con el propsito de que se convierta en un instrumento de'.abojo poro un curso donde se desee fundomentor nociones de MATE nttCeS gsfces.

5e presenton teoro, ejemplos, ejercicios modelos y ejercicios propuestos, gue permitrn.r los estudiontes ovoncen poulotinomente en su oprendizaje y se orienten de uno mejorErero poro los evoluociones.

Los Coptulos se estructuron de lo siguiente monero:. OgEtlvos del coptulo. Estos son declorodos ol comenzar el coptulo poro gue el

estudionte conozco lo gue se pretende de 1. Si los objetivos son muy extensos selos decloro por temos.

. CoNrENrDo. Esto estructurodo por temos. Los temos responden o ospectospedaggicos, psicolgicos e higincos

. EE,ttpLos LUsrRATrvos poro consolidor lo teoro. Troslodon los conceptos omomntos prcticos. Es decir, von enlozondo lo teora con lo prctica.

. EEncrcos REsuElros. Poro orientor ql estudionte en los estrotegios que puedeseguir en lo consecucin de lo resolucin de los ejercicios y problemos. Problemosgue personificon lo evoluocin porcial y finol. El formoto de los ejercicios son deopcin mltiple.

i. EEpcrfios PnopuEsros. Porte de estos ejercicios (depende de lo ptonificocin del

instructor) deben ser resueltos en close, por el studionte con oyudo del profesor.Con el objeto de que el estudionte reolice lo ejercitocin preliminor gue le vo opermitir consolidor estrotegios generales en lo resolucin de ejercicios yproblemos. Aqu debe existr uno outoevoluocin del estudionte, uno reflexinquele permito carocterizar el problemo; los posos quese siguieron; los otros posiblesvos de solucin; el onlisis e tnterpretacin de lo respuesto.

El resto de Eencrcros PnopuEsros deben ser resueltos por el estudionte, fuerode lo close. Pueden se considerados como lo todeo poro el trobojo independiente.

. MtscElueos DEL CAPTUuo. Poro uno outoevoluocin globol sobre todos los temostrotodos en lo Unidad. Pueden ser enviodos como toreo fuero de close, todos oolgunos, depende de lo plonificocin del instructor.

1.

2.

3.

4.-.6.

7.

8.

9.10.

Pag

LOGIC UETEMATICA 1CONJUNTOS LOGICA Y TEORA DE CONJUNTOS - . 49RELACIONESYFUNCIONES ... LOS rnpnos .... .. 9L

INECUACIONES, 155NUMEROS NATURATES . 175FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 2AIFUNCIU PXPONENCIAT Y FUNCTULOGARTMICA .... . 277

11. FUNCIONES POLINOMIALES 309

13. MATRICES Y DETERMINANTES 34914. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES . 37115. GEOMETRE PIENA . 39916. GEOMETRE UPI ESPACIO .. 437

18. GEOMETRA erelrtce I 48s19. NMEROS COMPLEIOS 529

Moiss Villena Muoz Cep. 7 Log.t cw Matemfir,w

1.1 Pnoposlcloxps1.2 OppneooREs Lcrcos1.3 PnoposlclouEs Mor,pcuLAREsL.4 Fonnes PRoPosrcroNArEs1.5 RezoreurENTos

Cotidionomente trotomos de pensor y octuor inteligentemente.Nuestros acciones estn dirgidos q gue seon o porezcm coherentes,.Pe?o, ptro situociones formoles un tonto complicados,.nuestrosorgumetos elementales no nos oyUdon a resolverlos.,Es ogu'donde entrola necesidod de consideror meconismos"obstroctos poro el onrlisisformol. Lo Lgico Motemrtico nos permite hocer estos onlisis, hociendogue todoi los verddd'es de la rozn san reducidos o una especie declculo. , . '

4

Con lo Lgica lrtotemtico podemos pregiir lo eguivolencia entre "expresones obstroctqs, podemos onolizor lo vqlidez de orgumentos o

rozonqmientos, podemos reolizor dernostrociones formoles,...

Moiss Villena Muoz C@p. 7 L6gr, l4aft/ruf,/

1.1 PROPOSICIONES

En nuestro cotidiano vivir usamos frases sencillas que nos permitencomunicarnos. Existen interrogantes, exclamaciones, deseos, mandatos,oraciones, con las cuales informamos o nos informan. La LgicaMatemtica, hace uso exclusivo de expresiones que manifiestan o unaverdad o una falsedad. A estas expresiones se las llamanPROPOSrcIONES; y la cualidad de estas, de manifestar una verdad o unafalsedad, la llamaremos VALOR DE VDRDAD.

Entonces:

EelnAlD"1. 'Hoy es lunes' lsuponga que efectivamente estamos en el da lunes de la semana, entonces esta expresin ser

una afirmacin vERDADERA).

"Estoy en la clase de Matemticas'lsuponga que la persona que emite esta afirmacin, efectivamente estpresenciando la clase de Matemticas; en este caso, esta expresin ser una afirmacin tambin vrRonorm).

'Estoy en Espaa" (suponga ahora que la persona que emite esta frase se encuentra en Ecuador y no enEspaa, entonces esta afirmacin ser una proposicin m-se),

Otras expre,siones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos omandatos; no son consideradas como proposiciones y por tanto no Sonobjetos de estudio para la Lgica Matemtica.

ten4DW

2.

1.2.3.

Ojal Llueva!Hiciste el deber de Matemticas?Sintate y qudate quieto.

Moiss Villena Muoz

1.1.1 NOTACIN

C@p. 1 Lol7r/ l4atemrn,

Los sunolos que se adoptan para las proposiciones suelen ser laspRIMERAS LETRAS DEL ABECEDARIo en minscula.

De aqu en adelante adoptaremos los siguientes smbolos para losVelonss DE VERDAo de una proposicin:

VERDADERO I

F ALSO 0

Ei,@?ropy@7,1lndique cules de los siguientes enunciados son proposiciones y cules no?:

a) Esta fruta est verde.b) Ests contenta?c) Atiende la clased) 3 + 7 = 10e) El gato subi a la mesa.f) Maana se acabar el mundo!S) Lus debe pagar su deuda a menos que quiera ser demandado.h) Es feo Juan?i) La edad del universo es de unos 15 mil millones de aos.i) rMrchatel

Ahora bien en nuestro lenguaje comn usamos frecuentementeproposiciones ms extensas como:

. No hice el deber de Matemticas.

. Estoy en Ecuador y estoy feliz.

. Estudio juego ftbol.

. Si estudio, entonces sacar buena calificacin en elexamen.

Surge entonces la necesidad de definir a los nexos de estasproposiciones, los llamados Conectores u Operadores lgicos.

Moiss Villena Muoz Ctup.7 L@tn*laatumtuw

!.2 OPERADORES (CONECTORESI LGICOS

&fqEB.ST'DI^NE:r Conozc h miocin poro los operodorer lgicos.r bchzea, con eJanplos, h essncio de los operodoies lgicos y lo iablo ds verdod poro los

opcluioms lEcos.o Amlice a interprctc hs condiciones suficiatcs y lc coriciones necesorios en um

codicioml.r CorFrcrdo c irterprete lo reclpnoco. h inverso y lo contrcrecproco de uo condicioml'o Tduico del leunnje comn ol lcrgrnje formol'

T.2.L NEGACIONLa negacin se presenta con los trminos:

El sMsolo que se emplea paratraducirla es:

Aunque tambin se suele emplear el simbolo: -

Een4Dl,ot

.Noa

a

No es verddd gueNo es cierto gue

1. supoNGA euE ESTAMoS EN EL DA LUNES DE LA SEMANA, entonces al decir:

a'."Hoy es lunes"{Ser una orooosicin vERDADERA)

--a'."Hoy no es lunes "lEn cambio esta oroposicin ser FALSA).

2. supoNGA euE No EsT LLovlENDo, entonces al decir:a:"Est lloviendo"

(ser una prooosicin FALSA)--:a i"No est lloviendo"len cambio esta orooosicin ser vERDADEM)

Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique todasestas posibilidades formamos 1o que llamaremos TABLA DE VERDAI)para el operador lgico. Que para la negacin seria:

Observe que:

El operodor NEOAaN cAMBTA EL vALoR DEVERDAD de uno p rcton.

a=A

1

o01

Moiss Villena Muoz

!.2.2 CONJUNCIN

Cep. 7 L6giq/ Ma.tun,f,.,a,

Este operador 1o tenemos cuando err.lazamos proposiciones con eltrmino ffi.

En lenguaje- formal se 1o traduce con el sMBoLo:

Ejen4pl,ColstorRruos LAS stcuIENTES pRopostctoNEs:

ab

"Tengo un bolgrafo negro"" Tengo un bolgrafo,rojo"

LA CONJUNCION oe us Dos pRopostctoms seRh:a n b :"Tengo un bolgrafo negro y uno roio"

Entonces al suponer que:

1. Si se tienen los dos bolgrafos (a =l;b = I ) entonces decir'Tengo un bolignfo negroy uno rojo', ser una vERDAo.

2. Si setieneel bolfgrafonegroynoel rojo(a =l;b= 0 ), la proposicin "Tengounbolgrafonegroyunorolo", serFALSA.

Si no se tiene el bolgrafo negro y si el rojo (a =0;b = I ), la proposicin 'Tengo un bolgrafo negro y uno rojo",ser tambin FALSA.

Si no se tienen los dos bolgrafos ( a =

0 ;b = 0 ), la proposicin "Tengo un boligrafo negro y. uno rojo'i tambin seFALSA.

Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la conjuncin seria:

Observe que:

4.

I

I I l:1

00

01

0

000

Moiss Villena Muoz C@p.|LogwltffiD

L.2.9 DISYUNCIN INCLUSIVALa disyuncin inclusiva aparece cuand o enlazanrrros proposicftmes con

el trmino f \,-Se la traduce formalmente con el susoLo' m

Ejevn+loConsiderando las mismas proposiciones anteriores:

a;" Tengo un bolgrafo negro"b :" Tenoo un bolorafo roio"

LA DISYUNCION oe us Dos pRoposrqoues srRfR:

a v b :" Tengo un bolgrafo negro o uno roio "

Entonces al suponer que:

1. Si se tienen los dos bolgrafos (a=l;b =l)entonces decir "Iengo un bolignfo nqoo t o rif, ser una

VERDAD.

2. Si setieneel bolgrafonegroynoel rqo(a:l;b:0), laproposicin'Tengounbdignqnournir',sertambn una VERDAD.

3. Si no se tiene el bolgrafo negro y si el rojo (a =0;b= I ), la proposicin'Tengomrfglra.rqootroft$',ser tambin una vERDAD.

4. Si no se tienen los dos bolgrafos (c =

0 ; - 0 ), la proposicin "Tengo un Mgnb nqrc o uo nit', ser unaFALSEDAD.

Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la disyuncin inclusivasera:

II0

I01

1

1

...1.0i0 0

Note que:

Moiss Villena Muoz Cep. 7 Lqr, l4atunrat

1.2.4 DISYUNCIN EXCLUSIVASeguramente usted ha expresado disyuntivas en donde se admite, lo

uno 1o otro, pero no ambas cosas.qet tpl

_

1. "Daniel est en Espaa o ltalia"2. 'Vessica tiene una altura de 1.70m. o 1.65m.,,3. "El motivo del crimen fue o bien el robo o bien ta

Estos ejemplos se los interpreta de la siguiente manera:' "Daniel est en Espaa o est en ltalia, pero no puede estar en arnbos fugares a la vez,'' "Jessica tiene una altura de 1.70m. o una altura de t.65 m., pero no puede tener ambas staturas a la vez".

"El motivo del crimen fue slo el robo o slo la venganza,,

En el ltimo ejemplo, con el trmino "slo", desecharnos la idea de queel motivo del crimen sea el robo y la vengaflza alavez.

Entonces el trmino para la disyuncin excrusiva en. As como tambin el trmino

..'.,.;,

EL stugoLo que se emplea para traducirla formalmente es: riV .Sin embtr8o, la disyuncin exclusiva se Ia trad.uce en trmino de la

disyuncin inclusiva de la forma: ffiLA TABLA DE VERDAD para la disyuncin exclusiva sera:

a b.......a.ub........

i1 1 o:1

00

01

11

o Ol

Por 1o tanto, se podra decir que:

{|l:l..

l.+

IIIl,-

7Moiss Villena Muoz Cep. 7 Lol7ir,& l.lo.;-,

L.2.5 ENUNCIACIN HIPOTTICAEs el conector lgico ms importante. Llamado tambin conCc--:-=- :

implicacin. Se presenta cuando enlazarnos dos proposiciones s -.- :ela forma: "Si A entonces b". Simblicamente se traduce :':-:':o

->bEn este caso a la proposicin " " se la llama:

YalaOtros

proposicirr " b" se la llama: Consecuenfe

LBNcue.lBS RELACISNADo5 con la enunciacin hipotetica sor:

F tt si "

ail

porQue aUea

Eiovtnplb' ISupngase que un padre le dice a su ho:

"Si apruebas el preuniversitario, entonces te dar un premio".

Bien, ahora suponga que:

1. Efectivamente el hijo aprueba el preuniversitario, y que el padre le da el premio. Entonces el padre hadicho una vERDAD,

2. Si el hijo aprueba el preuniversitario y el padreuemnn (rnlsrono).

no le da el premio. Entonces el padre ha dicho una

3. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y sin embargo el padre le da el premio, aunque no est obligado ahacerlo. Entonces el padre ruo ha dicho una MENTIM.

4, Si el hijo no aprueba el preuniversitario y el padre no le da el premio. El padre tampoco ha dicho unaIVlENTIRA-

Antecedente

que

II

I

I

II

I

III

Moiss Villena Muoz Cep. 7 Logioa, Mq,te%r,t na/

Entonces, LA TABLA DE VERDAD para la enunciacin hipottica sera:& b a,4 b1:- - -:1

1 I0 0i

0o

1

01

1

Por 1o tanto, se podra decir que:

Vale la pena recalcar que, no es necesario que exista relacin entre lasproposiciones. El valor de verdad de la proposicin resultante depende delos valores de verdad de cada una de 1as proposiciones que la "orifor*"rr.

1.2.5.1 Condiciones necesarias y suficientesEn ocasiones, en Llna enunciacin hipottica verdadera donde existe

relacin causal entre e1 antecedente a y el consecue nte b , se interpreta1o siguiente:

.

"d es condicin suficiente para b,," es condicin necesaria para a,,

Lo cual nos indica otras dos formas de lenguaje relacionado para laenunciacin hipottica.

"Si un nmero es divisible para 4 , enfonces es divisible para 2 ,.

Este enunciado puede ser interpretado, parafrasendolo de Ia siguiente manera:> "Es suFtctENTE que un nmero sea divisible para 4 para que sea divisible para 2 ,,

O tambin:

> "Es NECESARP que un nmero sea divisible para 2 , para que sea divisible para 4 " (tambin: ,,si un nmero esdivisible Dara 4 . neceserimcnte spr divicihla rr ?'\

i

II

Es importante mencionar queel consecuente la enunciqcin

si se intercambia el antecedente conhipottica cqmbia.

I

Lo ENtll{Cracrtslo cuondo el onteced enteconsecuente fotso.

CA es 'FALSAverdad?-ro y el

considerando el ejempto anterior, ar enunciar Ia proposicionGGifiuienia:"Si un nmero es divisible para 2

, enfonces es divisibte para 4 ,,Es FALSA; porque es indudable que existen nmeros divisibles para 2 queno son divisibles para

t-Moiss Villena Muoz Ctup. 7 Lolina, l4atuntifrat

Adems, el enunciado anterior tambin puede ser parafraseado de lassiguientes formas:

. " La divisibilidad para 4 implica la divisibilidad para 2 n

. " Un mero es divisible para 4 slo si es divisible 2 "o "Basta que un nmero sea divisible para 4 para que sea divisible para 2'. " Un nmero es divisible para 2 siempre que sea divisible para 4 " " Un nmero es divisible para 2 si es divisible para 4 ". " Un nmero es divisible para 2 puesto que es divisible paru 4 ". " Un nmero es divisible para 2 ya que es divisible para 4 "o " Un nmero es divisible para 2 cada vez que sea divisible para 4'. " Un nmero es divisible para 2 cuando es divisible paru 4 ". " Un nmero es divisible para 2 debido a que es divisible para 4 '. ' Un nmero es divisible paa 2 porque es divisible paru 4 "

T.2.5.2 VARIACIONES DE LA CONDICIONAL

qWb "Sea ta proposicin: "lr a trabaiar, si me pagan"

para expresar su recproca, su inversa y su contranecproca es mejor tener la enunciacin hipottica de la

forma: Si 4-entonces- -.

Observe que la proposicin dada, est de la forma " b si aEntonces el antecedente es d : Me paganY el consecuente es. : ir a trabajarLuego tenemos:

"Si me pagan, entonces ir a trabaja/'De aqu:

RECPROCA:"Sivoy a trabajar, entonces me pagan"INVERSA: 'Si no me pagan, entonces no ir a trabajai'CONTMRRECPNOCR:,.Si NOIOY3 entonces no me

cuando se ,observa qne la implicacin no es slo en un sentido, sinoqLle se da en ambos slntidos, hay la necesidad de expresarse de otraforma y surge la definicin de un nuevo operador lgico, la dobleimplicatin, llamado tambin BICONDICIONAL'

10

Moiss Villena Muoz

L.2.6 BICONDICIONAL

Cep. 7 Logr, l,latunur,fimt

El smbolo empleado es: is eue enlazando dos proposicioness:b'. Que signinca {.', ffi. y se tee .,a s U slo s b,,.

Su tabla de verdad sera:

Se observa que:

Si se tienen las proposiciones:A : "La matriz tiene inversa,,b : "Eldeterminante de la matriz es diferente de cero,,

Si se quiere decir que una makiz tenga inversa implica que su determinante es diferente de cero; yrecprocamente, si el determinante de una matriz es diferente de cero entonces tiene inversa; se lo expresarde la forma:a

Moiss Villena MuozCeP. 7 LaglcwMaemtlnw

k) nicamente mediante el error autntico y el trabaio espontneo y creativo puede el ser humano cpeta' cl

angustia y soledad.

Considerando las ProPosiciones: :Yo termin mi deber antes de comer' : Yo iuego tennis Por la tarde'

c : Hoy hace sol.

d : Hoy haY Poca humedad.

Escribir en LENGUAE stugLlco: 1..-^r^ ^^ ,a) Es necesario que termine de hacer mi deber antes de comer y que haya poca humedad para $le

hace sol yo iuegue tennis por la tarde'b) Para m es sulcient qr. no 'n,Vt toiy haya poca humedad para que no salga a iugar taris por b

tarde.

Dada la Proposicin::liaiiilii*tngulo si est circunsctito en un sqniclrcuto"Escriba lirecproca, la irwersa y la contranecproca'

5. Sea ra proposicin: "Et autobs ttesa tarde, sienpry:1i'-":,,::!!!,::":,.::i:f.*'"d'"' St'eonendooed ro vvPwsrvrv" -

------il6nces una proposicin eQulvlLENTEa la?nterior' es:que la proposicin es verdadera.

^,.^ ^r ^^^,irn o he,:i" Ail'5ilff;ifi;"ffi: ;';;;;iti^ ffi :*.tX ::: :l :1111i:: : [f ffi;i H :l,l#ffi"'ffi:ffi i:' ffi ;ilii'ili;',',"-':':'* :: 1Y:^ :1 :11',,:':l : Hn ffi:i ffi ::lili:il ffi# ;;!; ir;-,,l,.ue hrde es que er conductor se haya desviado;i i autotis llega tarde, el coMuctor.se ha dewiad-oesta opcin sn proporcin anterior corresponde'

1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES

Las proposiciones atmicas para este ejemplo serian a ' b y c '

El valor de verdad de una proposicin molecular depende del valor de

verdad de las proposiciones atmicas que la componen'

t2

Moiss Villena Muoz Cq. 7 Logira, faa.tuntira,

Ejen4ploParalaproposicinmolecularanteriorsuponga quei a=l; b=0 y c =1 ,entoncessuvalorde verdad es vERDADERo, porque:

Bajo la suposicin de que los valoes de verdad de las proposiciones atmicas arbrcrdre y / sonrespectivamente 0,0,1,1,0,1; determinar el vALoR DE VERDAD de cada una de las proposiciones molecularessiguientes:

r. (" --> r)n(n.- o)l-+ "

z. fu -(a" -o)]"(" -+ d) n(evla - flj -+ (a -+ b)g. [" (-

" a)] (, n

-an {-e (a "

-y')] -+ (, --> )}

L.4 FORMAS PROPOSICIONALES

r)l(*"f)"- l-[E"r)[--r- T ) =-

l

I

ii

((p" q)"-.r)+ (p "q)

Donde p, q y r son VARIABLES PROPOSIGONALES, que pued.enrepresentar proposiciones atmicas o proposiciones moleculares.

si reemplazamos d p, q y r por proposiciones Ios resultados sonproposiciones moleculares, por tanto, su valor de verdad est supeditadoal valor de verdad de las proposiciones atmicas que intervengan.

l3

aSi nos propusirrrnos elaborarproposicional, sta tend.r" n filas,propoSicionales.

cq.7t*la tabla de verdad de una fumadonde n es el nmero de variables

Moiss Villena Muoz

Para el ejemplo anterior, como la formavariables proposicionales, entonces su tabla d.e verdadfilas, tal como se muestra a continuacin:

Observe que con tres variables, para no repetir casos, las dc tiimasvariables q y r mantienen las cuatro combinaciones bsicas (ambasverdad.eras, rna de ellas verdadera mientrad h otra falsa y ambap qsas)y la primera variable p es verdadera. Lego, 1o mismo para lai dosltimas variables, pero con la primera falsa.

Si hubiesen 4 variables proposicionales, se hacen lan ochocombinaciones anteriores con las ltimas tres variables y la pimeravariable verdadera; luego, 1o mismo que 1o anterior pero con lia pimerafalsa, es decir:

0101

oIo0

I1oo

oooo

oooo00oo

11

1

1

ooo0

1

1oo1

1o0

l4

Para ms variables repetir el proceso de forma anoga.

Moiss Villena Muoz C@p. 7 Lgir, Mafu,ruLfirnt

Existen formas proposicionales muy singulares que van a ser demucho inters para nuestras necesidades.

Si las formas proposicionales no son Tautologa o Contradiccin se lasllama CONTINGENCIA.

Ejen4pl.cAl observar la tabla de verdad de la forma prposicional:

(p -

q)+ (---,p "

q)

Notamos que el valor de verdad de las proposiciones que se generan es siempre verdadero, sin importar el valor de verdadde las variables proposicionales intervinientes. Por tanto es una TAUTOLOGIA.

L.4.1 IMPLICACIONES I,CCES

1

1

oo

Io1

o

0o

-11

1

01I

Io11

1

1I1

En este caso se escrib. I

l5

Moiss Villena Muoz

Algunas implicaciones lgicas tipicas son:

Cep. 7 Ltgltca, laatuntfrt*

1.

2.

DEMUESTRE las lmplicaciones Lgicas anteriores.

Escriba la rnsLA oE vERDAD de las siguientes formas proposicionales:a) p -+ (-p -+ p)b) (pnq)x(p-+-q)c) ((p -+ q) n(-p -+ q))-+ sd) (pvq)->(pv(-ps))

Cul de las siguientes formas proposicionales t'to ES TAUToLcoA?a) (p S)+ pb) (p"(p-+d)>pc) (p q)= (pv q)d) (-p(p-+d)=-ne)

-\pv q)=(-p n-q\Una de las siguientes formas proposicionales No ES TAUToLGrcn, identifquela.

a) lp "(p - -q)l+ -qb) l--p "(q " -p)l> --pc) [-z n(p -+

-q)]> -qd) l(q -+,) ^{,! -+ q)l+(, -+ r)e) (1p"q)"-q].+-?Sean p,q,r variables proposicionales, entonces la forma proposicional que NO ES fAUToLclcA es:

a) -Qru q)+(q - -p)b) lQ, -+ q)"-q7= -p

c (pnq)-+ r]* (p -+ ')"(q -+ r)]d) (p -+ q)"(-q -+ r)]+ Q, -+

-r)e) (p -+ r)".(q +')]=+ l(p" q) -+ rl

La expresin 8 para que laforma proposicionat: {{-lp "

(-e "

q)]- -q\; q\ = a

r'ro sE TAuTorctcn es:a)

-G"q) b) -pvq c)s d)p el-pHunn el operador 'V ' para que la forma proposicional sea tautolgica:

lb - il"b -+ r)]= (-q v r)+ (-q'-r)]

'p+lpv s Adicinp

^ql= p Simplificacionp ^lp'+ q))> q Modus Ponens

Lb -

q)" -q)+ -p Modus Tollens

pv q)n-pf= q Silogismo Disyuntivop >lq -+ (p

" q)l

p -+ q)^(q -,

p)r Silogismo Hipotelicop -+ sl> (p v r)-+ (q

" ,)l

? -+ sl+ (p n r)-+ (q "

4J.p

+ s)=lQ -,

_> (p -,(p-q)"(r+s)l

(p -

q\ "(, -+ ,)] +

(pu,(p n,

-(qvs+(qn s

Dilemas consudivc

lb - q)"(, -+,)(p -

q)" (, -+ s) -q v

-s)-) (-p v -r)l-q n:s)-+ (-p n -r)]

Dilemas desudivc

t6

T Moiss Villena Muoz Cep. 1 Logirn, l4aterurff.r/

A= Bsiguientes dos formas

p q-p AR

..4- ---lp

-

q)*(-pv ql __q_ ^__4_(*" ql*G -

qlI1

0o

101

0

1

0ii

00i1

1

01

i

i11

1

1

1

1

1

En ambos sentidos la implicacin con estas dosproposicionales es tautolgica, lo cual quiere decir que sonLgicamente Equivalentes. Es decir, p -+ q =-pv Q

Como conclusin se puede decir que:

Dos formos proposicionoles son LQICAI*ENTEEQUVALENTE si tienen el MIS,ttO VALORDE VERDAD bojo iguoles condiciones de voloresde verdad de los voriobles intervinientes.

Aqu se puede observar la importancia de 1a lgica de smbolos. Esmuy dificil precisar con nuestros sentidos que la xpresin "Sl estudioentonces aprender" es Lgicamente Equivalente a " No estudo oaprendo".

Ahora analicemos estas otras dos formas proposicionales---Q 1=p

Por lo tanto, p -) q--Q)=p. contrarrecproca

formasformas

p-q v

L.4.2 EQUMLENCIAS tcICASSeon Ay B dosformosproposicionoles.Decmos que A es terceUgrurgEQUfiVALENTE o B si y slo s A

uos Villena Muoz Cep. 7 Logi,c, l4atefilifir,o'

lnvestioue si las siquientes EQUIVALENCIAS SON CORRECTAS O NO:

.i(, -

qi" ,l=l, '+ (q "

,)lu) (p -+ q)"rl=lp -+ (q

"r)]c) (p

^ q)" ,f=lp

"(q" ,))o) (p

" q)- ,)=f,

"(q -+,))e) (p" q)nr)=lp"(q

"r))0 b

" q) -+ ,l=lp

"

(q '+ ,)l

T.4.2.1 ALGEBRA DE PROPOSICIONES

clasificando algunas Equivalencias Lgicas, resulta:

(p, q

NEGACIN

DISYUNCIN

(p" q =(q" p\

(p, p)= p(pv0)= P(pv1)=l

-.(p n q)=--p., --q I-(p v q)=--p n-QJ

-.0=1---,1

= 0

-(-p) :p doblenegacin

I*ges de De Morgan

(p "q)=(q p6;ilr=pn(qnr)(pnp)=p(pn0)=0

l;G;i=(p, q)"(p",)p(qvr)=(pnq)"(p"r)

(pv'-p)=l I*g deltercer excluldo(p n

-p)= 0 I*g de la contradiccin(p

-

q)=('-q -+ --p) cont opotitid o cont"r'"cprocc'lp - q)=(-pv qpv q)=("-p -+ q6" il=--,(p -+'-q)7p - ,)

"(q -+ r)]= (p ' q) -- rG;d^b -,)]:-Lp -(g.:(p

-, d=lb n--q) -+ 0l R.d"".itu *'tuG, e q)=lb - q) "(q --> p)] Equiaatencia(p*q)=(q+>p)

l8

No olvide demostrarlas!

TlI

I

Moiss Villena Muoz Cep. 7 Logina, l4aterur*,al

I.4.2.2 APLICACION DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONESUna utilidad de las Equivalencias Lgicas la observamos a

continuacin.Ejovtlplo 7La rmouccrn al lenguaje formal de la siguiente proposicin:

"Si f eres inteligente y no actas con prudencia, eres un ignorante en la materia"Siendo: rn :t eres inteligente

n: t actas con prudenciap :t eres un ignorante en la materia

Es:Sor-ucrr:La traduccin sera: (m ,.,

-n)-+ p . Pero tiene apariencia diferentea las opciones de respuestas, entonces empleando el lgebra deproposicionestenemos:

-(^ n-n\u p-tllY t7v p-*,

(n, p)*

->(nu p)RESPUESTA: Opcin "a".

a) ^

-+(n" p)b) p -+(*

"-n)C) ^r(nu p)d) (m n-pi) -->

-ne)

^ -+

-(nu pi)

qW,,\2Dada la proposicin molecular:

"Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si hay huelga,enfonces no voy a la Universidad'

y las proposiciones atmicas:a : Hoy es jueves.c : Hay huelga.

: Tengo que dar un examen.d : Me voy a la Universidad.

Entonces la rnnouccrru al lenguaje formal de la proposicin molecular es:a)(anbnc)-+d b)(a-+-c)n(anb) c) (an)+(cv-d)d) {a nb)n(-c -+ d) e)(c -+ a)n(a ,',b)

Analicemos este otro tipo de ejercicio.

Traduciendo tenemos (a,^,b)n(..;;"lj , por ta contrarrecproca(a nb) n(-(-a)-+

-") entonces(a n b) n(a

-+ -c) que es to mismo que (a -> -c) n(a n o)

RESPUESTA: Opcin "b".

Si la proposicin:VERDAD que:

a) pvQ=0d)q=I

b) qns=1e) pxr-l

[-.(p -

--q)) (, n *)]" l, n(--rn r)] .s vERDADERA, entonces esc)(rvs)n4=0

t9

Moiss Villena Muoz Cep. 7 Logi,c,1'lafunuifi'q'

SOLUCN: debemos ir analizando desde la proposicin molecular hasta llegar a las propos'ac.esatmicas.

f,-P -)I

--q *)0

,|

l^-J]"tlA'-rrns] -l0lr0l

-/ I '-:0l

trIDel anlisis se concluye Or. l.

= ; Itil

Ahora que hemos encontrado los valores de verdad depodemos analizar una a una las opciones proporcionadas:

a) (p"q)=(t"O)=1 masno 0 comoseindicab) (q

" r)= (O n t)= 0 mas no I como se indica

Considerando las proposiciones atmicas :

o\ (p -+ q)-+ r

Euro*?tfutmfuY7.61. Seleccione la rmoucclru conecta de la siguienteafirmacin:

"Si retiro el dinero del banco, compro un cano o una casa"

\__vJI\-------v.J

1

cada una de las proPosiciones

p : Retiro el dinero del bancoq : Compro un carror : Compro una clsa

c) -.pv(qnr) g(pva)+r e)

!-nJ1\----YJ0

0

#1

a\ (p -+ q)v rp --(q

"r)2. La TRADUCCIN al lenguaje formal de la proposicin :

"Si me voy a casa, me voy de compras y si no me voy a casa, enfonces voy al cine"siendo las proposiciones atmicas:a : Me voy a casa

es:

al(avb)x(avc)b) (-a v ) z' (-a v c)

: Me voy de compras

c)(-an)v(aac)d) (- -+

-a) (-c -+ a)

c : Voy al cine

a\ (b -- a) (c -+

Moiss Villena Muoz Cep. 7 L%ina, l4atenurr/

6. La rorma proposicionat: lb" il" p)^K-p -+ q)" -q]n ( p -+ q)(q -+ p) e. EeurvALENrE a:

a) q) p b) -P c)q

d) Elija esta opcin si la forma proposicional es siempre falsa.e) Elija esta opcin si la forma proposicional es siempre verdadera.

7. La colrRqRREcipRocAde la proposicin:"si Et lv,o es un fenmeno o un desastre natural, entonces no es una simple lluvia o un malpasajero" es:a) Si Et NllVo es una simple lluvia y no un mal pasajero, no es un fenmeno ni un desastre natural.b) EL N0 no es un fenmeno ni un desastre natural, porque es un mal pasajero y no una simple lluvia.c) Er- Nro es un fenmeno, desastre natural, simple lluvia y un mal pasajero.d) Et N/0 no es un fenmeno ni desastre nalural, si es una simple lluvia y un mal pasajero.e) El Nlo no es una simple lluvia o un mal pasajero solo si no es un fenmeno.

8. Si se da la proposicin:"Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no dar un mal examen o mispadres estarn contentos"

Entonces su proposicin coNTRARREcpRocA es:a) Si no doy un mal examen y mis padres no estn contentos, no he estudiado ni

suficiente.b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no dar un mal examen y

contentos.c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarn contentos y dar

un mal examen.d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres estncontentos.

e) No dar un mal examen o mis padres estarn conlentos slo si he estudiado mucho.Dadas las proposiciones atmicas:p : Me estoy baando. q : Me voy a una fiesta.r :Quiero dormir s : Estoy cansado.Entonces, Ia coNTRARREcpnoct de la proposicin (p

" -") _+ (4

"

_") es:a) si me estoy baando y no quiero dormir, entonces, me voy a una fiesta y no estoy cansado.b) No es verdad que me voy a una fiesta y estoy cansado y no me estoy baando o (uiero dormir.c) si no me voy a una fiesta y estoy cansado, entonces no me estoy baando o quiero dormir.d) Si no me estoy baando o quiero dormir, entonces me voy a una fiesta o estoy cansado.e) si me voy a una fiesta o no estoy cansado, entonces me estoy baando y no quiero dormir.

Si laproposicin: (an-a) + dlv-(ave) es rersr,entoncesesvERDADque:a)(va)=0b) (-e v

-d)= 0c(dvo)=0d) (a -+ )= 0e) (e

- a)= 0si la proposicin l(p

"-q)-+(r., q)] es FALSA, entonces una de las siguientes proposicionesFALSA, identifquela:a) (p + a)n (r

" -q)]= ob) (q n r)v (-1p

" a)]= o

c) (-r -+ p)a (-r -+ -q)]= t

d) (p v r)v (a -+ -r)]= t

e) (r+q)n(r+p)]=o12. Si la proposicin lb - il "r] - h -+ 4] es FALSA, entonces es VERDAD que:

a) El valor de verdad de p es verdadero.b) El valor de verdad de q es verdadero.c) El valor de verdad de p es falso.d) El valor de verdad de r es falso.e) El valor de verdad de p no puede ser definido.

me he preparado lo

mis padres estarn

10.

11.

2t

Moiss Villena Muoz

1.5. RAZONAMIENTOS

Ctup. 7 Logir,a, l,late.nfi,cw

5E PRETENDE QUE EL E5TUDIANTE:. Defino rozonominto.. Defino rozonomiento vlido.' Determine lovalidez d un rozonomiento suponiendo gue ste es folso.. Infiriero uno conclusin vlido poro un rozonomiento, dodos los hiptesis. Justifigue lo volidez de un roonomiento.

un rozonomiento combiondo lo conclusin gue seo vlido en el coso de gue no io sec

Bien ya podemos dedicarnos a una estructura lgica muy importante.que es el objetivo que nos habamos propuesto.

El tipo de razonamiento que vamos a considerar estar constitudo poruna enunciacin hipottica que tiene como antecedente una con-juncionde hiptesis o premisas. Es decir, su estructura 1gica ser de la forma:

I

PREMISAS O HIPOTESIS?-[H, ^Hr.^Hr^...Hn] =\-----rJ

OPERADOR PRINCIPAL

Estamos interesados en saber si un razonarniento es viido o no, esdecir si la conclusin es lgicamente inferida de las hiptesis.

1.5.1. VALIDEZDE UN RAZONAMIENTO

Como la estructura lgica de los razorlamientos presenta la formaH + C , entonces podemos dedicarnos a determinar si se produce elsiguiente caso H =t y C = 0 que es el nico caso cuando la EnunciacinHipottica sera falsa, entonces no sera una tautologa y por tanto elrazorLarniento no es vlido.

,e,vr4pl,alDetermine si el siguiente razonamiento es vlido o no:.. 'Si aumenta la produccin, aumentan los ingresos; si aumentan los ngresos, se

recupera la inversin. Por lo tanto, si aumenta la produccin, se recupera la inversin"SOLUCN:Considerando las proposiciones almicas:

a :Aumenta la produccin

: Aumentan los ingresos.c : Se recupera la inversin.

El razonamiento se haduce al lenguaie formal por la proposicin molecular:(a -+ b)n (r -+ .)

= (o -+

").Entonces la forma proposicional correspondiente sera lb n q)

"(q -+ ,)] ==, (p - ,)Que debera ser tautolgica para que el razonamiento sea vlido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitarlal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad.

t

Un rozonomento es WLOO cuondo lo formoproposcional que se obtiene de lo proposicinmoleculor gue lo define, es TAUToLaTIA. Esdecir uno Implicocin Lgico.

22

--

Moiss Villena Muoz Cq. 7 L%4na, l4atun.fi,ow

Para que la enunciacin hpottica sea falsa, se requiere que el antecedente sea verdadero mienhas que el consecuente esfalso,paralocual (p.+.) =0 entonces p=l y r=0.Ahoraexaminandoel antecedente,observamosqueparaque la primera hiptesis sea verdadera se requiera que q: l, pero la segunda hiptesis se hace falsa. Esto nos hacepensar que no va a existir por lo menos una proposicin falsa, por lo tanto el razonamiento es VALIDO.

IrryeY,Determine si el siguiente razonamiento es vlido o no:

"si soy estudioso, aprobar el curso; si soy fiestero, no aprobar el curso. por^ _ _lq!*to, no puedo ser estudioso y fiestero al mismo tiempo,,SOLUCIN:6on-IileIl6l as proposicio nes atm ica s :

a : Soy estudioso

: Aprobar el curso.c : Soy fiestero.

El razonamiento se traduce al lenguaje formal por la proposicin molecular:[(" + )" (c -+

-)]= -(a n c)Entonces la forma proposicional correspondiente seria Kp - q) "(, -+ -q\)+ -(t n r)Que debera ser tautolgica para que el razonamiento sea vlido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitartal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad.

Para que la enunciacin hipottica sea falsa, ,rr.oqrirra que el antecedente sea verdadero mientras que el consecuente esfalso,paralocual

-(pnr):O entonces (pnr)=l;estosignificaque p:1y r:l .Ahoraexaminandoelantecedente, observamos que para que la primera hiptesis sea verdadera se requiera que q: l, pero la segundahiptesis se hace falsa porQue

-{ = 0 . Esto nos hace pensar que no va a existir por lo menos una proposicin falsa, porlo tanto el razonamiento es VALIDO.

Dadas las siguientes hiptesis:H

,: La Lgica es difcil o no les gusta a muchos estudiantes.11, : Si la Matemtica es fcil, entonces la Lgica no es difcil.Entonces una CONCLUSItrl VttOR es:

a) La Lgica es difcil.b) La Matemtica es fcil.c) si la Matemtica no es fcil, a muchos estudantes no les gusta la Lgica.d) Si a muchos estudiantes les gusta la Lgica, la Matemtica no es fcil.e) La Matemtica no es fcil o la Lgica es difcil.

SOLUCIN:Definamos las proposiciones: a : La Lgica es difcil.

: La Lgica le gusta a muchos estudiantes.c : La Matemtica es fcil.

Entonces la traduccin de las hiptesis dadas sera: H1 ; a v -b

H2:c)-aCada opcin dada sera una posible conclusin, analicemos con cada una;

r \r \ I )[i-1.J"[1'il=[i-;,JL---v...J \_vJ

-v__-i100

23

Moiss Villena Muoz cep.TUgrela@

No vlido

a) (Pv -4 )A(f +---pll= p\r./lLrJ\,00160\r\/l1

-.J-YJtl

( DY --o l.r') --1D ) r \\r r r a yU!IVT O i Olral lr/l0

-/J

\-/J

No vlido

No vlido

g-------Y---.JI

c) f(pv--q\^(f -+ --pll= t---f +'-r{ I NovlidoYT-.9T- !i/ -l- l-00r(.)

a----- g--YJ !--vJ

d) f( P v -Q )^ (f + "-p ll)lQ ) --r I vALlDo|*Jr/:VYI

tlrll.-j--o00g-vJ

--/ -1J100

(Respuesta)

f(Pv -Q)^(f -+ -tpll)l+v Plg/+J:vrY0J'+T0

1l\---rJ L=_J \-YJlt0

a

IFtIaa

a

,a

e)

1. Con las proposiciones: rr : Yo gano las elecciones.n : Guayaquil tiene autobuses artculadosp : Ustedes tienen transporte.

Se construye los siguientes razonamientos. Determine cual de ellos N0 es vlido.a) l(*-+ n)"("+ pI-+ @- p)b) l(* --> -")"(" -+ p)]-+ (p" -")c) l(--+n)n-*l--nd) l* n(-n - *))-+ ne) l(* -+

")"(" -+ p)n-pf-+ -^

2. Dadas las siguientes premisas: .[1 : Si veo mucha TV, entonc,es no tengo tiempo para estudiar.H 2:Yeo mucha TV.

considerando las proposiciones: p : Veo mucha TV y q i Tengo tiempo para estudiar.Entonces una conclusin para un RAZoNAMIENTo vALlDo es:a)

-Pb) q.c)

-p AQd)

-PvQ t rt )e) pv-Q rg.D

3. Dadas las siguientes premisas: .tI1 : SilestuQio mucha Lgica, fton':3ry,'y93 ""?H,

'I,d'o rr:|1!pQl ) C\

24

Y.- -b

Moiss Villena Muoz C@p. 7 L6gi,c,, f4afu,rurfimt

un RAZoNAMtENTovALtDo, es:Entonces, una CONCLUSION pana) No estudio mucha Lgica{3 er. Ib) Reprobar el curso. (b Ic) Estudio mucha Lgica no reprobar el curso. (o. v rDl

ib.GAb)

2.

d) No estudio mucha Lgica y estudio mucha Lfuie) No estudio mucha Lgica reprobar el curso. 'trx v b

1. .

Si la forma propgsicional -+ q)n r] -+ 0 -

q) es rru-sr, entonces es.vERDAD que:a) p es verdadera.b) p es falsa y r es verdadera.c) r es falsa.d) Elvalordeverdadde p nopuedeserdefinido.e) q es verdadera.Una de las siguientes proposiciones es vERDADERA, identifiquela.a)(p-+q)rr= p-+(qur)b) (p -+ q)n, : p -+(q nr)rl (p"s)- r: pn(q-+r)d) (-pv-q)=p-+qe). (-qv p) =- p-+qSean las proposiciones:

p : Todos los alumnos cumplen con sus obligaciones.q : Todos los alumnos aprueban el examen.r : El profesor recompensa a los alumnos con una semana de vacaciones.

Entonces la lnmucclN al lenguaje simblico de la proposicin:"i todos los alumnos cumplen con sus obligaciones y logran aprobar el examen, el profesor losrecompensar con una semana de vacaciones; puo, si algn alumno resultara reprobado, elprofesor no adophr esa medida";

ES:

a) [q "

r]-+ , nlq u -r)b) f(q

"-p)-+ r)"lq" r]c) [qr.-r]+>lpnq"rJd) V-ql"b"q)-+,1e) lb"d-r)nl-r-+-slLa NEGACIN de la proposicin: p )

-Q es'.b) l)-pc) P^qd) -!v

-8e)

-p A-QLa TRADUCCIN al lenguaje formal de la proposicin: ' resuelvo bien el examen y no est difrcil, mispadres me felicitarn."Siendo las proposiciones:

a: Yo resuelvo bien el examen.b: El examen est difcil.c; Mis-padres me felicitarn.

Es:

a) o -+(ou ")b) (a n

-c)c av(avc)d) a -+

-(tu ")e) o -+ (o n-")

I

II

a

II

t

II

Ia

I

I

a

lrl

j

25

Moiss Villena Muoz

8.

Ctup.7 Lol7na"l4affietu

6. La proposicin:"Junior es dbil, siempre que no coma pescado"

es EQUIVALENTE a:

7.

a) Junior es fuerte o come pescado.b) Junior es dbil y mme pescado.c) Junior es dbil cuando come pescado.d) Junior es fuerte o n0 come pescado.e) Junior es dbil o come pescado.La CONTRARRECPRoCA de la proposicin:

'Si estudio y apruebo el Preuniversitario, eqtonces estar alegre'. es.a) Si estoy alegre, entonces estudi y aprob el Preuniversitario.b) Estudio y estoy alegre, entonces aprobar el Preuniversitario.c) Si no estoy alegre, entonces no estudi o no aprob el Preuniversitario.d) Apruebo el Preuniversitario y estoy alegre, porque estudi.e) Si no he estudiado, entonces no aprobar el Preuniversitario.Considerando la forma proposicional

.

-(p "

C)-+ (, "

t) Entonces una e as sg.silesproposiciones es FALSA, identifquela.a) La recproca .r (r r, r) -+ Fp

" -q) .b) La contranecproca es (-r ,. -r) -+ (p

"

q) .

c) La inversa es (p,, q) + (-r "

-s).d) La inversa es equivalente

"

(p" q)" (, "

t) .e) La forma proposicional dada es equivalente a (p

" a),, ("

" s) .

Una de las siguientes proposiciones NO ES TAUTOLGlCA, identifquela.a) (p-c)"(q-+")]-+(p-r)b) (p

-

q)-[(p"")-+ k",)].l (qe,),.b-c)]-(,-p)d) p -+lq -, (c

" p)]

e) (pnqnr)-+-(r"q)'10. Considerandolassiguientesproposiciones:

p : Daniel es feliz.q : Daniel estudia todos los das.r : Daniel aprueba el preuniversitario.

Entonces la TMDUCCTN al lenguaje formal de: "Daniel es feliz slo si esfudia fodos los das y ryua elpreuniversitario"Es:

a) , -+(p "q)b) (q nr)-> p

c) (c n r), -p

d) -(q n'r)u p

e) --p -+ -(q

" r)

1 1. La siguiente proposicin: "La empresa no hace publicidad y no cambia su produccin siempre que lademanda aumenfe" es EQUTVALENTE a: I

a) Si la empresa no hace publicidad y no cambia su produccin, entonces la demanda aumenta. )b) Si la empresa hace publicidad o cambia su produccin, entonces la demanda no aumenta.c) Si la demanda no aumenta, entonces la empresa hace publicidad y cambia su produccin.d) La empresa hace publicidad y cambia su produccin, o la demanda aumenta.e) La empresa hace publicidad o, si cambia su produccin entonces la demanda no aumenta.

12. Dadas las siguientes premisas: n YP : Si ?e paga el reFcate,entonce_s.,81.*.ot petrob?os aparecern viv91,y_y:ylry:lygnsgn/ Pz : S_pg!,cE-lntge. entonces los tcnicos petroleros no retornarn a sus paises de origen. I

-rL -

- |P, , S. p.g3rlr.t!_UEntonces una coNcLUSlN vlton para un razonamiento es:a) Los tcnicos pekoleros no agarecen vivos. -'t 'b) No se paga el rescate. n f. S lor icicos petroleros no retornan a sus pases de origen, entonces la polica interviene. -L,y.q> td) La polica interviene. Je) Los tcnicos petroleros no retoman a sus pases de origen. ' / h

_

( ,,.,f t; ry\

.Lll?t' - YYt'. N

'( .(]

26

Moiss Villena Muoz C ep. 7 Logir,a, L4qtenuifi,c,a/

1 3. Dadas las proposiciones atmicas: p : Yoy a rendir el examen.4: Me presenio al examen.

La TMDUCCTN at tensuaje rormat de l;Xill?l3f "r" y a rendir etexamen potque si no mepresenfo al examen entonces reprobar"

ES:

a) (q" r)-+ pb) (q" r)" pc p -+(qv r)d) ,-+(-pnq)e) ,-+-(pnq)

l+"^la.proposicin: pgansfe a c/ases f r*r**siempre y ccuan$no"rrrn, o*,Entonces, su proposicin CONTMRECPROCA es:a) Si Juan asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones. - , ,i - -r 2b) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces asiste a clases.

-O- QJgL !S sCiste a class, entonces tiene otras ocupaciones.-91 Si .luan tiene ie) Si Juan no asiste a clases, entnces no tiene otras ocupaciones.

'1 5. Si la forma proposicional (-p v q) -+ l(-, n p) ) (, "

l)] .r FALSA. Entonces una de las siguientesprposiciones es VERDADERA, identifquela.a) (p-+l)=0b) (-s ,r t)= tc) (-r n p)= Od) (p n

-r),, s]= te) (svr)= t

16. Considere las proposiciones: a: La dolarizacin es un proceso adecuado para el pas.b: El pas debe salir de la crisis econmica.

La TRADUCCToN ar rensuaje r#,i:: H;',ffi,[il'l:t'lJffi['#flf111'j'X]3;... adecuado para erpas si las personas mantienen una mentalidad positiva, pero si las personas no mantienen unamentalidad positiva, el pas no sale de la crisis econmica. Es:a) (c +

-a)r' (- a -+ -b)b) (, -+ o)n(-o -+ -")

c) a n (-c --> -b)d) (-c v a)". (c v

-a)e) o -s (-b -+

-")/ 1lr/ Considere la proposicin molecular: TEs suficiente qu-

, con Juan entonces a ella no]e Slslajos-hgl0Ee

()-

P-+:l'1*

'^' T--v P 1..)*-y

- t I

-+( {t|.r';P tt."-t vY')).r * &-o:,

Enton ce na p-o posi ci na)Es necesario que Lul termine'b),Lul quiere a Andrspero no c) R-fiaiielue Lut termintid)Es suficiente que a Lul le gusten los hombres feos para que termine con Juan y quiera a Andrs.

18. Si se tiene un razonamiento con las siguienles premisas:Hr:La dolarizacin es difcil o no les gusta a muchas personas.Hz:Si las medidas econmicas son viables, entonces la dolarizacin no es difcil.

_ Una CONCLUSION que lo hace vlido, es:q a) La dolarizacin es difcil.+ bi Las medidas econmicas son viables.c) Si las medidas econmicas no son viables, a muchas personas no les gusta la dolarizacin.d) Si a muchas personas les gsta la dolarizacin, las medidas econmicas no son viables.e) Las medidas econmicas no son viables o la dolarizacin es dificil.

19. Si se da la proposicin: "Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no darun mal examen o mis padres estarn contentos',

Entonces su proposicin CONTMRECIPROCA es:a) Si no doy un mal examen y mis padres no estn contentos, no he estudiado ni me he preparado lo

suficiente.b) He estudiado mucho, me he preparado

contentos.lo suficiente, no dar un mal examen y mis padres estarn

?/ -.;

,

., !4,iYo -,r, p) ei esnecesarioqueLulterm'ineconJuanparaqueaLultegustenloshombresieosyquieraaAndrs.-

-\'.'-*'tl''[.

)i , 'r-1p{ tl?t

7, (', A?

27

Moiss Villena Muoz Cq- l l,QielWminrnt\ c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mb pdcs,t esi frentos y dar

un mal examen.d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, s doy

' r'El rrlltr ! rrs padres estncontentos.

e) No dar un mal examen o mis padres estarn contentos slo si he eshla n.c=

20. Dado el razonamiento P1 n P2 rr P3 n P4 =

C ; donde:P1 : Si estudio, aprender.

P2 : Si aprendo, aprobar el curso.

P3 : O practico tenis o no pracco tennsP4 : No apruebo el curso.

Entonces una conclusin C que hace el RAzoNAMIENTo vALlDo es:a) Estudio b) No estudio c) Apruebo el curso d) Aprendo e \A

21. Analice la vnltoez de los siguientes razonamientos:a) Si t mueshas la verdad, revelars lo ridculo de las pretensiones del hombre. Si ei hdre es prepotente,

es porque no se ha revelado lo ridculo de sus pretensiones, El hombre es prepolente Pr consrguiente, tno muestras la verdad.

b) Si Genaro tom el iren especial, entonces estuvo en el accidente, y si estuvo en el acodente. entonces noasisti a la reunin. Genaro tom el tren especial o no asisti a la reunin. Luego. Genaro estuvo en elaccidente.

c) O Caldern tiene enemigos en la administracin o, si excede su cuota, reobi un lscenso Caldern norecibir un ascenso. Luego, Caldern tiene enemigos en la administracin o no excedera s! orota.

d) Si pago al sastre no me quedar dinero. Solamente puedo llevara mi novia al bale $ terqo dinero. Si no lallevo al baile, se sentir desdichada. Pero si le pago al sastre, no me entregar el ra1, y sin el traje nopuedo llevar a mi novia al baile. O le pago al sastre o no le pago. Luego, mi novra tendr que sentirsedesdichada.

Si se tiene un razonamiento con lasosiguientes premisas:* VH t: Si.el frendfagggcamino esthela4o..entonceq el coc\ypgat!r, : si glre r!9lLs_o,g!ry$Srrq:.EerqrtrI3 : Pero.el coche no se revis. I Fl.r zt ? v q,,1f

Una conclusin que lo hace VLIDO es:a) El coche no parar. 1Y

- -^ HLt ', - -1 fb) El freno falla y el camino no est helado. e n4cj Si no falla el freno.y el camino no est helado, el coche parar. l I g

-

-1 5di El cochenoparaoel caminonoesthehdfr ,/-'4 ) i.-

-

e) Ninguna de las conclusiones es vlida. \ / ) ? .

- lf23. Considere las siguientes hiptesis:

H 1 t El Banco del Pueblo cer sus puertas y sus clientes recuperarn su dinero.

,EI2 : Si los clientes del Banco del Pueblo recuperarn su dinero entonces no existe intranquilidad.

H.3 : El Banco del Pueblo no cer sus puertas o no existe inhanquilidad.Entonces una CONCLUSIN VLIDA para un razonamiento, es:a) Si no existe intranquilidad entonces los clientes del Banco del Pueblo no recuperarn su dinero.b) El Banco del Pueblo no cen sus puertas.c) No existe intranquilidad y los clientes del Banco del Pueblo recuperarn su dinero.d) Ni el Banco del Pueblo cer sus puertas, ni sus clientes recuperarn su dinero.e) Ninguna de las conclusiones anteriores es vlida.

Q! Considere las siguientes hiptesis: p + _ /r. , n\H,,Err!91j99!t49!&Tadedolarizacisy,Pretendemejoraisueconom4 v- \t /' t/H2 : Sillaclg1petelds mljorar rr..onorilgiton*rn.u .t*ntento t..t.'l

'4'+ 1fl3:@glgtrbftryntentqsocjiL [ -, P V r kEntonces, una CONCLUSION VALIDA para un razonamiento es:

-

a) No habr descontenlo social y Ecuadoi pretende mejorar su Economa.( h A 4 )b) Ni Ecuador adopt el sistema de dolarizcin, ni prelende mejorar su fhbmia.' .-, n 1 Ic) Ecuador no adopt el sistema de dolarizacin. 1 \'d) Si no hay deseontento social entonces Ecuador no pretende mejorar su Economa' ) f -D ? ?

r))

e) Ninguna de las conclusiones anteriores es vlida

Moiss Villena Muoz

&.9 ' osruTo"

2to^

Cep. 2 Conunto

;1'

. tl

*1 -

.t-

f r'.

- f ;'

'2.L'i {'

i: nDprrn*rv?.2 "llrtbreirrv :2.3 CenoruerDru)2.4 REPREENTAcIr GnIrce2.5

" IGu"ALDAD

,,4,6 ugbg*ryrts2.8 ,csgh DE"costruTo

".a|.Y...'....s,'pertenecemos, t'lo *cedsd donde viviro, io universa efestomos ilrscritos,

.

o I correrolue vomos o "!r3r, ...

29

-aIrloiss Villena Muoz Cottjttttto"

2.I DEFINICIN

2.2 NOTACTNpara denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras letrqs

del abecedario, en magsctila.

Podemos 'referirnos a un conjunto indicando cada uno de suselementos.

Ejr+"tplc -

St queremos referimos al conjunto de las vocales, se lo puede hacer nombrando a cada vocal, esdecir:

1= {a,e,i,o,u\

Esta manera de referirnos a los conjuntoso tabulacin.

Tambin podemos referirnos a uncaractersticas de sus elementos.

se denomina por extensin

conjunto indicando las

1= {x I x es una vocal\Podemos referimos al conjunto de las vocales de esta otra forma:

Esta otra forma decomprensin.

Esto ltimo se haceelementos.

referirnos a un conjunto se denomina por

necesario cuando un conjunto tiene muchos

30

Moiss Villena Muoz Cap. 2 Cortunfu

t'EernplpSi queremos referimos al conjunto de los nmeros reales, es mejor hacerlo por comprensin, esdecir:

p = {xr x es un nmero rear\

Para decir que un elemento pertenece a un conjunto empleamos elsmbolo f.

tr,,Para decir que la vocal 4 pertenece al conjunto

-4 , lo haremos as:

aeAI

t

III

Ii_Ii

I

i

2.3 CARDINALIDAI'Para denotar al nmero de elementos de

simbolog" Iun coqiunto A, se emplea la

Eon4pl,cPara los dos ejepplos anteriores, tenemos:

N(A) = 5N(.B) = oo i donde el smbolo oo signica lnfinito.

De aqu surgen las siguientes definiciones:

3l

r--

2.4 RtPRtsENTA'cru cn'rcaMoiss Villena Muoz

Otra manera de -rePresentar acrculos, rectngulos, etc. Esta esDIAGRAMA DE VENN.

los conjuntos esuna forma grfica

C-qtttrtut

haciendo uso demuy til llamada

Generalmente son crculos, aunquecualquier otra figura geomtrica.

2.6 IGUALDN)

Grficamente, tenemos :

2.5.I CONJUITOS DISYUNTOS

Grficamente tenemos: A

tambin se Puede emPlear

A=B

L.

Moiss Vlllena Muoz

2.6 SUBCONJUNTOS

Grficamente tenemos:

Cap. 2 Coafitntb?

hrede ocurrir lo contrario.

Grficamente tenemos:

si se cumple q.-," m, se dice que A es suBCoNJuNToPROPIO de B. Y se escribe f.

Adems se cumple que,

Bien, ahora en el siguiente ejemplo sede todos los subconjuntos de un conjunto

para cualquier conju

MInto A:

ilustradado.

la tcnica de bsquedat33

F*issVittenaMuoz Cort!utttw

te*Lpl 'Sea el conjunto A={1,*,V},entonces todos los conjuntos que se pueden formar con loselementos de A, seran:

s, = {.} s, = {v} con cada elementoSo = {r,*} s, = {r, v} S6 = {*, v} con dos elementoss,=t)s7 = {t,*,v}= I

Y obviamente Sa = Ocon tres elementos (ya es el conlunto ,4 )

Note que: N(A) = 3 ,Entonces la regla ParaA, seria:

total de subconjuntosde subconjuntos de un

y que el nrneroel nmero total

es 8 = 23'.conjunto

2.6.L CONJUNTO POTENCIA

Para el caso anterior tenemos que:

P(A) =ftt), {*},{v},{1,x}, {1,V},{*,V}, l,(D}

leAObserve que es correcto decir que: {t} c- e

[]e r(,1)El Ntupno DE ELEMENTos DEL coNJUNTo PoTENCIA de un conjunto I est

dado por:

Eeulpb2Sea elconjunto B =[, {e,o}}' Hallar P(B) .SOLUCN: Los subconiuntos del conjunto -B seran:

-s,

= {,} s, = {{e'o}}Portanto P(B)={{r} {{e,o}}, r, o}

34

S: =.B S =o

Moiss Villena Muoz Cqp. 2 Co{uno

b) P(.s) = ({:},s,(r,+}4}d) P(s)

= {{l}s,{r,+}{6}}

1. Seaelconjunto = entonces el CONJUNTO POTENCIA de , es:a) p(s) = (I {r}, {O},s, {r,+}, {:,+},Jr,r},4}c) P(s) 7 (l),s,{r,+}{rp,4},0}e) P(^S) = (s}{l,+}}

Sea el conjunto B = {o,{}}, entonces es VERDAD que:a)acB b) {a}cr c{a}ea olr(r())=z

"2x(r(a))=4Dadostosconjuntos ,l={a,{tl,cl y B=,Z|.

Determine cul de las siguientes proposiciones es FALSA?a) r(r(,r))r(r(r))=od) {{a}}=r(,e)

b) r(r(r(a))=ro cl (,))cp(,r)e) r(r(,a)) r(r(a)) = :2

2.7 OPERACIONESLos conjuntos pueden ser operados, dando a lugar nuevos conjuntos.

2.7.I INTERSECCIN

Grficamente tenemos:

Para tres conjuntos sera:

35

Moiss Villena Muoz Coatjtttttw

Para otros cass tenemos:

@ @AaB

-

B Ar-tB -

A AaB-Q2.7.2 UNIN

renjuntos. La uNrNde Acon B , d,enotodo Por Av B , 2s el coniuntoconstituido por elementos gue ??tenecen olconjunto A ool coniunto B ooambos.Esdcir:

AvB={xlxeAvxeB\Grficamente tenemos:

La unin de tres conjuntos sera:

N(Av 81 = 1,4+iv(8) - N(l

Aw BvC ={x I x e Av x e Bvx e C}

Observe que:

Y que

Para otros casos tenemos:

AwB-A AwB-B

Moiss Villena Muoz Cq. 2 Cof,jtmfot

2.7.3 DIFERENCIA

Seon A y B dos conjuntos. La DIFPENCIAde A con B , denotodo por A- B , es elconjunto consttudo por elementos guepe?tenecen ol

.conjunto A y no ?e?lenecen olconjunto B. Es decir:

A-B-{, lxeAnxB\Conjunto formado por los elementosslo del conjunto L

La DIFPENCIA de B con A, denotodo porB

- A , es el conjunto constituido por

elementos gue pertenecen ol conjunto B y nopertenecen ol conjunto . Es decir:

B-A-{, lxeBxA}Conjunto formado por los elementosslo del conjunto B.

.tt

Moiss Villena Muoz Coat!tl,nfrot

2.7.4 DIFERENCIA SIMTRICA

,e*LplaSean los conjuntos A = {,*', 8,V,C)} y B = {a,?,@,Y}, entoncesAw B = [, *, 8,V,O, o, ?]76 = {e,v}A

- B = {t, *, O} el conjunto I menos los elementos del conjunto I '

B -

A = {a,?\ elconiunto B menos los elementos del coniunto ,4 'AM ={1,*,O,a,?}

2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOSLas operaciones entre conjuntos cumplen las siguientes propiedades:

AaB = B rA.na(nnC)= (ton)acAnA= AAa@ =@

ConmutatividadAsociatividad

ldentidad

Absorcin

AwB=BvA,ew(nuc)= (twn)wcAwA=AAwQ=A

Zu@c)=(.quB)n (ewc),e n(au C) = (,t a a)v (d a c)A-(B^c)= (,a-n)v(d-c)A-(B u c): (e- n)a(,q- c)tw(a

- A)= Av B

A-(A^ B)= A- B

38

Moiss Villena Muoz Cep. 2 Coat!Luto"

Ei@oPrcpuarb2.2Demuestre formalmente las propiedades anteriores.

Suqerencia: Por ejemplo para demostrar la propiedad distributivalu @ n C) = (tv a)a(,tw c)Debemos probar que: * .flv (a r.c)]

= , . (,e u a)n (ev c)l

Para lo cual, aplicando las definicione_s dadas para las operaciones de conjuntos, tenemos:* .l,t w(a n C)]= (x e ,t)v x e (a n c)

=(xeA)v(xeBnreC)Ahora, aplicando las leyes distributivas del lgebra de proposiciones, tenemos:

(x e A)v(r e Bnr e C): (x e Avx e B)n (x e Av x e C)Finalmente; por las definiciones resulta:

(x e Av r e B)n (x e Avx e C) =(x e (eua))n (* =(,ewc))

= *.1(uB)n (tvc)]

2.9 CONJUNTO REFERENCIALEn muchas ocasiones un conjunto A estar referido a otro conjunto

que 10 contiene, llamado CONJUNTO REFERENCIAL.

Ahora surge la siguiente definicin:

2.9.I CONJUNTO COMPLEMENTO

Seo A un conjunto. El conjuntoCOIPLE*&&NTO de A, derwtqdo cssw,Ac ,define como:

Ac --Re-,

ACEs decir,conjunto I

est constituido por los elementos que le faltan alllegar a ser el referencial.para

Adems se cumple que:

39

Moiss Villena Muoz

Y se pueden verificar las LEYES DE DEMORGAN:

Coil,ju,vtto,

evBf =Ac t\(ennf

-- Ac v Bc

No olvide demostrarlas formalmente.

e = \t,z,t,a,t,tolEntonces: a -- {t,z,t,t,z,o\

c = {:,+,ro}

e@b1Determine los conjuntos A,B ,Y C , conociendo que el conjunto referencia! espe

= [,2,3,4,5,6,7,8,9,10] yArB ={t,z,l,+\ 1-g ={t,z,t) (n-c)-,a = {s,s}(ew a w c)c = ls,a\ u(t)=r(r)= 6

SOLUCN: Represenlando la infonnacin en un diagrama de Venn generalizado, resultai

La regin sombreada de la figura mostrada corresponde a:a) (,eon)- nb) (a

- ,q)'

c) (,ec ucc)n@ae)d) (,ec ..cc)nae) (.s-c)'n(n-c)cSOLUGIN: Un mtodo podra ser asignarle un nmero a cada regin del grfico dado, lo cual nos quedara: (NOTA: noimporta el orden de asignacin)

Re lrr\ l4.4 Il

,

{/,\ ,0

C &,1)\-8-

Entonces, los conjuntos se definiran de lasiguiente manera:p.

= {t,2,:,+,s,6,7,8,9,1 o,t 1,t2,13,14\t = \t,z,z,+,s,e,t,t\r = l+,s,e,o,rol'c = \2,s,i,11,12,13\

Realizando la operacin de conjunto para cada opcin dada, enconhamos a la " C " como respuesta, es decir al hacer

(ra r.l aa )^ 1, n ,l) se outiene {4,6} que corresponde a los nmeros dados a las regiones sombreadas.

Moiss Villena Muoz Ca.p. 2 Conimbt

b,c,d,e,f ,g| y ={a,b,c,d}, B =1",f ,g,b}, :Gj,e-itEnionces et conjunto ko - ,)' ., (,n t , r" )f , ..'a) Re b) O c) \s,f ,"\ O {r} el la,b,g}sea Re un conjunto referencial, A y B subconjuntos de Re ;entonces elconjunto:f(en(aw e))lnlc, es isuata:a)A b) B c)Ac d) Re e) OSea Re = $,2,3,4,5,6) y bs conjuntos A y B no vacos, tales que:

t-a=lz'l\ AwBc ={z,,t,s\; c _14,s1,a}Entonces es VERDAD que:

a) tt(n- t)=zo N(r(e))=z

b) ,au(znr)=5 c) x(auec)=ne) ,rr(a)= r

4. considere el conjunto Re = ,2,3,4,5,6,7,g,9,10,11,12]ivacos, tates qr., (,lt nsc)*c = ltz]-(,lwc)- a = [,2,3,r0,1l]

Entonces el conjunto C es:

ylosconjuntos A,By C noQv n)-c ={25,4,5,8,91(r u c)- z = {z,t,e,to,r r}c {t,z,to,t t}a {t,6,7,t o,l t}

d {4,5,6,7,8,9\a $,2,3,4,s|e {4,5,8,9,7}

Sean I , B y C subconjuntos no vacos de un conjunto referencial Re , tales que:pg = {1,2,3,4,s,6,7,g,9,10,11,12] A= {25,4,5,6,10,11,12]1 B nC = {3,7,g,9}

c -(,qua)=4 B-(luc) = {l}

Entonces el conjunto A * (,1 n o) es:a {t,z,s,e}d) [,5,6,7,g,9]

c {1,3,5,6,7,8,9}u {t,s,o}.t {r}

Dados los conjuntos: 'Re=$,2,3,4,s,6,7,9,9,10]t l-.B =,6\, A-c =AJ,6|, (g-c)- 1=\+,s1,(ewawc)c ={ro} c

-(.tw n)=0,a,glEntonces es VERDAD que:a)c-A={z,s,s} b) B=$,4,5,6,9} eAnB..,c={1,9}dl C-B={t,z,s} e (ruc)c ={2,:} :una expresin que representa.a la regin sombreada del diagrama de Venn adjunto es:a) l(taa)9 r:(twalu[c-(,lna)] fb) (,tw owc)*[(eaa)w(c-(,eur[c) [Qne)' n(.tw owc]-[c.,(,

Moiss Villena Muoz Cotriuxttor,

Si A ,, B y C son conjuntos no vacios representadosentonies la reqin sombreada conesponde a:

a) [.n'' .,(,,clj'[r' -1r.,c$b) (n n.a' ).,(c.,2'' ).r[,r -(r.,c)]c) (an,l)u,(cn 4-.'(a.'rc)cld) l(.,c).,

^l'lula-(a.rc)le) (a' ^.

IMoiss Villena Muoz

2.TO PROBLEMAS DE CARDINALIDAD

Cep. 2 Cafli.,tr1toy

Hay situaciones problmicas que para su solucin se requiere plantearconjuntos. Analicemos los siguientes ejemplos:

fenlplplDe los 180 profesores de una universidad, 135 tienen ttulo de Doctor, 145 tienen ttulode lnvestigador; de los doctores I l4 son investigadores. Entonces es VERDAD que:' a) 3l profesoresnosondoctores.

b) 167 son investigadores o doctores.c) 22 doctores no son investigadores.d) 14 profesores no son investigadores ni doctores,e) 2l profesores no son investigadores.

SOLUCIN:Primero se hace la interpretacin de la informacin en un diagrama de Venn:El referencial estara compuesto por un total de 180 profesores de la universidad. Como se dice que hay

I I 4 que son lnvestigadores y Doctores, y que en total son I 35 Doctores; entonces haciendo una diferencia(135

-1 14) se obtiene que hay 2l profesores que son slo Doctores (Doctores pero no lnvestigadores).lgualmente, Como se dice que hay en total 145 lnvestigadores, entonces (145-114) hay

3 I que son slo lnvestigadores (lnvestigadores pero no doctores).Se observa que en total hay (21 + I 14 + 3l) 166 que son doctores o invesligadores. Lo cual

quiere decir que (l 80 -

1 66) I 4 no son ni doctores ni investigadores.

Prusrcs c la Udvrrridai: 180

Analizando cadaproposicin dada nosdamos cuenta que lanica verdadera es la "d

Eierntpl,c2En un curso preuniversitario, ocurri que, de I600 estudiantes:

o 801 aprobaron Matemtcao 900 aprobaron Economao 752 aprobaron Contabildado 435 aprobaron Matemtica y Economao 398 aprobaron Matemtica y Contabilidado 412 aprobaron Economa y Contabilidad; y,o 310 aprobaron Matemtica , Economa y Contabilidad

Determinar cuntos de esios 1600 estudiantes aprobaron:a) Slo una materiab) Exactamente 2 materias d)Al menos una materiae) Cuando mucho 2 materias.c) Ninguna materia

SOLUCIN:Como se dice que hay 310 estudiantes que aprobaron las tres materias y que 4l 2 aprobaron Economa yContabilidad, entonces (412

-310) I 02 aprobaron s&o Economa y Contabilidad; Tambin se dice 398aprobaron Matemtica y Contabilidad entonces (398

- 3 10) 88 aprobaron sto Matemtica y

Contabilidad. Y, tambin se dice 435 aprobaron Matemtica y Economa entonces (435-310) 125aprobaron slo Matemtica y Economa.Como se dice que 752 agrobaron Contabilidad entonces (752-88-310-102) 252 aprobaron sloContabilidad.

43

Moiss Villena Muoz Co{iutrto

Como se dice que 900 aprobaron Economia entonces (900-125-310-102) 363 aprobaron sloEconoma.Como se dice que 801 aprobaron Matemticas entonces (801-88-310-125) 278 aprobaron sloMatemticas.

El diagrama de Venn correspondiente, sera:

Entonces, la respuestaseria:a) 893, b) 315, c) 82d) 1sl8 d) 1208

eie*tpto Ena fbrica produce 100 artculos por hora de los cuales pasan el control de calidad 60 . Elresto de artculos tuvieron fallas del tipo I , tipo B y tipo C, y Se repartieron del modosiguiente:

o 8 artculos con fallas del tpo A y lipo Bo l2 artculos con slo falla de tipo Io 3 artculos con fallas de los 3 tiposo 5 artfculos con fallas de tiPo A Y Cr 2 artlculos con slo falla de tipo C y tipo B El nmero de artculos que tuvieron una sola falla de tipo C o de tipo B fue el

mismo.

Determine:

a) Cuntos artculos tuvieron fallas de tipo B, ?b) Cuntos artculos tuvieron slo una falla?

SOLUCIN: El diagrama de Venn conespondiente sera fiustifquelo):

Vemos que-r+x+12+5+3 +2+2=40resolviendo se obtiene QUe r = 8 lo quenos permite responder a lo solicitado:a)18y b)28

Moiss Villena Muoz

4.

Se realiza una encuesta a 660 estudiantes del Preuniversitario y se obtiene que 350 estudian tr,tatmrlcac450 estudian Qumica,350 estudian Fsica, 150 estudian las 3 materias,200 estudian Matemticas yQumica, 250 estudian Fisica y Qumica, 210 estudian Fsica o Matemlicas pero no eumica.Determinar:a) Cuntos estudian SLo MATEMT|CAS?b) Cuntos estudian POR L0 MENOS una materia?c) Cuntos estudian CUANDO lr4AS dos materias?d) Cuntos estudian SOLO una materia?e) Cuntos estudian SOLO dos materias?Un curso de 40 alumnos que fenen que aprobar Ed. Fsica, y para ello todos deben escoger entre tres

deportes: fhol, bsquet y volley, 6 alumnos prefieren slo volley, 4 alumnos eligen volley y bsquet. Etnmero.de alumnos que eligen slo bsquet es la mitad de lo que eligen rtbol y es el AbUie de los que:lqq{ytll y folley. No hay ningn alumno que elija ftbol y bsquet. Entonces el nmero de alumnos queELIGEN.voLLEY, el nmero de alumnos que ELIGEN FTBOL y el nmero de alumnos que ELGNSLO BASQUET ES, respeclivamente:

a)15,20y10 b)10,20y1s c)'10, i0y10 d)15, 15y15 e)20, 10y15En una entrevista a 40 estudiantes del Preuniversitario acerca de qu deporte les gusta practicar?, seobtiene_que: 12 gustan iugar bsquet, 14 volley y 16 fritbol. No hay estudiantes que piactiquen bsquet y1..|l:y.,_1.qtrylq bsquel y tutbol, 20 practican volley o fritbol pero no bsquet. entonces ei nfUenb OESTUDIANTES QUE N0 PMCTICAN DEPORTE ALGUNO es:

a) I b)0 c)1 d) 3 e)sEn una encuesta a 500 esludiantes se tiene que: 220 estudian Algebra, 180 estudian Lgica, 300 esludianClculo, 150 estudian Lgica y Clculo, 120 estudian Algebra y Cbub,50 estudian lasires mateias, 120estudian Algebra o Lgica pero no clculo. Entonces Los euE EsruDlAN soLo LGEA soN:a)24 b) 100 c) 60 d) 30 e) 150En una encuesta realizada a 100 damnificados por los efectos del fenmeno de "El Nio", se encuenlra que30 de ellos han perdido sus viendas y sus rebaos, 35 sus viviendas y sus cultivos, mientras que 25perdieron sus cultivos.pero no sus rebaos, 40 perdieron sus cultivos y iebaos y 'f5 slo sus cultivos.ENTONCES EL NUMERO DE DAMNIFICADOS QUE PERDIERON O SLO SUS VIVENDAS O SLO SUSREBAOS ES IGUAL A:a) 60 b) 15 c)25 d) 30 e) 10Una agencia de Autos vendi durante un a0 1 80 unidades con las siguientes caractersticas:- 57 tenan transmisin automtica- 77 lenian aire acondicionado- 45 tenan transmisin automlica y aire acondicionado- 10 tenan transmisin automtica pero no tenan ni aire acondicionado ni radio estreo- 28 tenian transmisin automtica y aire acondicionado, pero no tenian radio estreo- 90 tenan ninguna de las tres caracteristicas mencionadas- l9 tenan aire acondicionado y radio estreo '

ENTONCES EL NMERO O UUIOROES QUE TENIAN MDIO ESTREO ES:al22 b) 1 c) 91 d) 30 e\21

Un campamento de 100 estudiantes tiene 3 tipos de actividades, pescar, nadar y escalar. Setenta (70)estudiantes prefieren pescar, veinticinco (25) prefieren pescar y nadar, dieciocho (18) prefieren nadar escalar pero no pescar y diez (10) se dedican a las kes actividades durante su estancia en elcampamento. De todos ellos doce {12) se enfermaron al llegar al campamento y no pueden hactrninguna actividad, enlonces, EL NMERO DE ESTUDIANTES QUE SE DEDIoN A PESCR Y NADAR,PERONOAESCALARSON: a)15 b) 10 c) 20 c)30 d) 25En una encueslta a 100 aficionados del ftbol, sobre qu equipo juega mejor en la Copa Libertadores deAmrica, se obfuvieron los siguientes resullados;- 50 opinan que es el Nacional- 50 opinan que es el Emelec- 40 opinan que es el Palmeiras- 20 opinan que es Nacional y Emelec- 10 opinan que es Emelec y Palmeiras- 30 opinan que es Nacional y Palmeiras-

'10 opinan que ninguno juega bienCUANTOS A FAVOR SOLAMENTE DE EMELEC?a) 0 b) 30 c) l0 d) 20 e) 25En una encuesta a 100 inversionistas se observa lo siguiente:

- 5 slo poseen acciones- 15 poseen solamente valores- 70 son propietario de bonos-

'13 poseen acciones y valores- 23 tienen valores y bonos- 1 0 son propietarios de acciones y bonos

7.

45

Ithiss Villena Muoz Citmtoy.'

- Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo.ENIONCES, EL NMERO DE INVERSIONISTAS QUE SLO TIENEN BONOS ES IGUAL :a) 40 b) 45 c) 67 d) 30 el 27

10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres peliculas (A, B y Q y determinan que 4 personas no hanvisto alguna de las tres peliculas, la mitad del nmero de personas que han visto solo la pelicula Bes igual alnmero de personas que han visto la pelcula C el nmero de personas que han visto las pelculas Ay Besigual a la tercera parte del nmero de personas que han visto slo la pelicula @ 7 personas han visto lapelcula A y 5 perconas han visto slo la pelcula ,4. Las personas que ven la pelcula Cno han visto las otraspeliculas.Determine:a) El nmero de personas que han visto las pelculas.4 y 8.b) El nmero de personas que han visto Ia pelicula ,4 o la pelcula Bc) El nmero de personas que ven slo una pelicula.d) El nmero de personas que no ven la pelcula B.

11. Pararealizar una encuesta se reparte el mismo nmero de productos A, By Centre 1270 consumidores; losresultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas consumen (Ay 0 o (Ay Q o (By Q,370persona$ consumen slo C el nmero de persionas que @nsumen slo A es igual al de personas queconsumen solo & 30 personas consumen los tres productos.Entonces el nmero de personas que consumen slo el producto l, es:a) 530 b) 370 c) 700 d) 180 e) 350

12. Se hace una encuesta a un grupo de personas sobre los lugares de compra de iuguetes para Navidad,anojando los siguientes resu[dos: 14 personas compraron en Mi Juguetera y en Juguetn; 1'l personas*rprrrn sb n Juguetn, 9 personas compraron slo en Juguetelandia, 5 personas compraron en los treslugaies; el nmero d personas que compraron solo en Juguetelandia y Juguetn es igual al nmero depersonas que compraron solo en Mi Juguetera y Juguetelandia. Se supo adems que en Juguetnbornpraron

'3 personas ms de las que compraron en Juguetelandia y 3 personas ms de las que compraron

en ,i Jugu.teria. Entonces et NMERO DEPERSONASQUE COMPRARoN EN CUALQUIERA DE ESToS

c) 13 d) 28 e) 1513. En una encuesta realizadar PACTFICTEL a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una

llamada, sea sta, local, nacional o intemacional, se gbtuvo la siguiente informacin:r 23 abonados han realizado llamadas nacionales o intemacionales'. 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales.o 12 abonados han hecho llamadas intemacionales pero no locales. El nmero de personas que han hecho slo llamadas nacionales es igual al doble de

personas que han hecho llamadas intemacionales y locales pero no nacionales.ENTONCES EL NMERO DE ABONADOS QUE HAN HECHO LLAMADAS LOCALES ES:a)10 b)4 c)o dt2 e) 14

,14. Los estudiantes que estn en el Preuniversitario de Auditora se encuentran registrados en los paralelos

A,B y C.Enel paralelo I hay35estudiante,enel paralelo B hay4lestudiantesyenel paraleloC hay 49 estudiantes. De estos estudiantes, 5 asisten a los tres paralelos, 13 estudiantes asisten a losparalelos A y C,y11 estudiantesasistenaESTUDTANTES que asisten st-oal paralelo C es:

a)B b)36 c)30los paralelos B y C. Entonces, el NMERo DE

d) 38 e) 49

TRES LUGARE, ES:a) 93 b) 58

15. De un coniunto de '1200 estudiantes de la Universidad se determin que hay 400 estudiantes que hablaningls,600quehablanfrancs,500quehablanalemn. Deellosl20hablaninglsyfrancs, 130hablanfrnces y alemn, 50 hablan ingls, francs y alemn, 180 slo hablan ingls y 750 hablan ingls o alemn,poTtant EL NMERO DE ESTDHNTES QE HABLAN INGLES Y ALEMAN PERO NO FRANCS ES:lloo b) so c)'l5o d) 180 e)270

Dados los conjuntos no vacos A,B,C Yconesponde a:a) (ean)n(cv )b) (,ew s\w(c w )cc) (Avc)c n(our)d) (,awc)w(nw )ce) (ew r)c w(cw )c

entonces la REGN SoMBREADA del grfico adlunto

46

Moiss Villena Muoz

lc n(n-z)l= {o,s}

a) {2.,s} e .nd) {{2,{:}}} Pe@))

u {2, {:}}e r1,e"t A,{z,t}}e P@)

c {{2.,2\l e ,Ac.cBc(.t- r

^B s c)* {c s.s)(ec uncf =AwB(,< n S= @)* A B no son conjuntos disyuntos ..t-(rwc)=(e- n)o(a-c)

Se hlzo una entrevista a 885 estudiantes del Preuniversitario de lngenieria y se obtuvo la siguienteinformacin respecto a las materias que ms les gustan. !> A 600 les gusta Matemticas.> A 400 les gusta Fsica.> A 620 les gusta Qumica.> A 195 les gusta Matemticas y Flsica.> A 190 les gusta Fisica y Qumica.> A 400 les gusta Matemticas y Qumica.i A todos los enkevistados les gustaba al menos una de las materias mencionadas.Entonces el nmero de estudiantes que les gustan LAS TRES lr4ATERlAS, es:a)5 b) 25 c) 35 d) 50 e) 0Sea el conjunto S = {t,2, {:}} . Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifiqueta.a) ru(r1s)=sb) {:}e rlstc) {{}}.sd) f )e r1s)e) {t,2,{:}}e P(s)

b)40 c)15 d) 25

a)b)

c)d)e)

Cep. 2 Coytunto,

2, Considereel conjunto te = {t,2,:,...,15} ybscon,juntos A,B y C novacios,talesque:

{n-r'}={:,2,r r}(a

- ,s)= {s,o,s,s}

ABaC ={enr)-c =

Entonces el coxuNto B es:a {s,o,z,s,s} b) {1,2,3,4,s} c {t,s,l,t:,ts} d) {6,8} e {s,o,a,e,t t}

3. En una encuesta realizada a 2580 personas en el Malecon 2000, se obtuvo lo siguiente:. A 250 personas les gusta pasear y comer o pasear y conversar o comer y conversar.o A 480 personas les gusta solo conversar.o El nmero de personas que les gusta slo pasear es

slo comer.. A 30 personas les gusta hacer las tres actividades.

igual al nmero de personas que les gusta

. Todas las personas entrevistadas tienen por lo menos uno de los gustos mencionados.Entonces, el NMERo DE pERSoMs que les gusta slo pasear es:a) 910 b) 530 c) 700 d) 180 e1925

4. Sea elconjunto e = A,{2,}, {:}} Entonces es FALSo que:

llhiss Vilbna Muoz @iuntut

sean 1,8 y C conluntos no vacos, efltonce tma de b Jsir proposiiones es FALSA,identiflquela.a) z{n$ = 6b) VunY =Ac Bcc) .t-(rw c\=(e

- n)a(e- c)

d) (n"Y -"=W-A'Y

e) lh'Y.rr'l' aA*g,L\' )En una feria de autos, hubo 't02 pepnas interesadas en comprar ao, adenrs en dir:ha feria se obtuvo la

siguiente informacin:. 30 personas compraron aubs Volsungen y Chevrolet.. 40 personas comPraron autos Volswagen y Hyundai.. El nmero de peisonas que comprEron los 3 canos es igual a la mitad del nmem de personas que no

compraron ningn autom|.. B nmero de personas que compraron slo Hyundai y Chevrolet es la mitad del nmerc de las petsonas

que compraron solo Chevrolet', 50 personas @mpraron autos Hyundai.. 48 personas compftlron Chevrolet o Volswagen pem no Hyundai'. 5 personas @mpraron Hyundai y Chevrolet.Enbns ei HtuERoDE PERSoMS QUE coMPRARoN st-o uH ct se oe uro fue:a) 27 b) 28 c)e8 dX4

1,1. Dados los conjuntos no vacos A, B , C y el ooniunto referencial s = [,2,3,4,5,6] tabs que:(Aw B)- 6: - {:,+,5}(AnBnc = {z}ft;-ru(r-l)]nc = {t,o}Entonceselconjunto C es:a) g=$,4,5,6,\ b) c=Re 4 g={r,o} 0c=0ec = {t,z,O}

Sea el conjunto = {, {o\, ol Entonces es vrnDAD que:a) aeP() o) eP(S)v{r}e c) iv(P(,s=9o {{a}c}e P() e) {{c}}e sLa expresin que representa la regin sombreada es:

a) (c - n)w(.t-c)u(r-,1)

b) (nac\w(n-e)c) W-4'nclu(,r-r)d) (r-z)nc]u(.t-)e) l(c ne)-rlc wt

e)58

12.

t3

14. Sea Re un conjunto referencial, tal queconiuntos no vacos, tales que:- A_B = {t,+,to}- ng ={+,s\- cc nr = {r,2)Entonces es VERDAD que:

a) g =Q;,5,6\b) n={4,5,6,7,9\c) g =$,2,4,5,10\d) {e- n)v(n -c)= {t,+,to,z,:}e) ac = $,6,1,9\

ps=t,2,3,4,5,6,7,8,9J0) ysean A,B y c tres

(ear)-c =p\Bc Cc = {t,a,to}(z n r)u(r n c)u (c n ;)= P.,+,s,e\

48

Moiss Villena Muoz

8.2,,r'offumo DE tIBRDiri,'3.3 meprgn*bcomprrEsros8.43.59.6

CuexrmlcArronps

-

.'b'

'"&^c

Ca,p. 3 Log/ca, y Cfitwtfut,

,'#t-. l r'

lA.,,

Nreacruorne coustbnecrolps

,,,w"

s:r

: z" IrrpnpngTorEs x rnnniffirorrrps3.8 PirultrcADos DE Dos.vARrABLEs

,t

, .*,

..:.* L)'

,&,::::t Ve

49

',,

Moiss Villena Muoz Ctup. 3 Logi"c, Y Coniuwrtot

='ffiiiwos:5E PRETENDE QUE ELESTUDANTE:. Defino predicodos de uno y ms voriobles. Conozco lo notocin poru predicodo de unoy ms variobles y lo notocin poro el coniunto de verdad'. Obtengp conjuntos de verdod de predicodos comPuestos'. conozca lo notocin de los cuontificodores universsl y existencio!.o Aplique leyes kgiccs Poro negor predicodos'. Comprendaenterpretetroducciones de proposiciones con predicodos cuontificodos.. Infiero directamente una conclusin vio poro un rozonomiento, dodcs las hiptesis, empleando

diogromos de.Venn o crculos de Euler'. ,Iustifigue lo volidz de un rszonomiento empleondo diogramas de vnn.

3.1 PREDICADOSSeo R un coniunto refenencal y sea p('r) uno

in que conten " ,l'. Entonces p(x) esun PDCADO si al reemplazor o'rf por unelemento cuolguiero de Re, se convirtz en

icin.

qiwlotp(x) : ".r es mayor a tres" osimplemente"x > 3" (unainecuacin)

Supongaque Re = [,2,3.4,5,6.7,8,9,10], entoncespara el caso deque3', que es una PROPOS|CIN fRlSR.. Pero, para el caso de que 'r = 5pnoposlctt t vERDADERA.Y asi, podemos formar otras proposiciones.

r = 2 tenemos p(2):" 2 es maYor atenemos p(5) : " 5 es mayor a 3', una

"2x-l = 3" (unaecuacin)q(x): "2x-|= 3" (unaecuacin)Suponga que ps = .2,:,+.s,6,7,8,9,10), entonces paraq(2) : " 2(2)

- |= 3' que es una PROPoSICIN VERDADERA.

q(5),' 2(5) -

1 = 3 ", una PRoPoSlcloN FALSA.

el caso de que x = 2 tenemosPero, para el caso de que x = 5 tenemos

Un trabajoreferencial que

interesante sera determinar slohacen de1 predicado una proposicin

los elementos de1verdadera.

3.2 CONJUNTO DE VERDADreterenciol

predicodo p(x) ' El CONI(INTO DE VERDADdenotodo Ap(x)

consttuido Por los lementos de

L

50

Moiss Villena Muoz Ctup. 3 Lofrir, y Coniwntct,

Ee/nnpln"Para los dos ejemplos anteriores, sus conjuntos de verdad seran:1. Ap(xl = {+,S,O,Z,t,l,tO} (bs etementos det referencial que son mayores a 3 )2. Aq($ = {21 (los elenentos del referencial que al multiplicarlos por 2 y Iuego restarles I da como resultado 3 )

3.3 PREDICADOS COMPUES?OSSi conectamos predicados haciendo uso de operadores lgicos

obtenemos predicados ms extensos.

Ewto_

sotsfocen o p(x). Es decir, por tos elerrlentosPPOPOSTCTON VEPDA DA .

Suponga Qu Re = {t,z,l,t,:,e,1,s,o,ro} y que se tienen los predicadosp(x): "

-r es divisible para do' y q() : ".r es mayor a tre'Por consiguiente sus conjuntos de verdad son:

Ap(x) -- {2,+,o,s,t o} y Aq(.v) = {+,s,o,r,s,l,r o}

Ahora formemos los siguientes predicados:

1. -p(x) : ' x no es divisibte paia do, entonces A-p{x) = {t,:,S,:,S}

Note que A-p(x) = Ac p(x) .

2. p() ng(x):'x esdivisibteparadosymayoratre!,entonces A(\x)",1(r))= {+,O,S,f O}Noteque A:(pQ)"q(r))= Ap(x)o Aq(x) .

p(-r)v q(x): "x esdivisibteparadosomayoratres" entonces A(pQ)vS(x)) = {2.,4,5,6,7,8,9,10}que es igual a Ap(x)w Aq(x\.

p(x)-+q(x): "Si x es divisible para dos, entonces es mayor a tre, entoncesA(p(*) -+ q(x)) = A(-p(,x)v q(x)) = Ac p(x)w Aq(x) = [,:.+,s,6,Z,a,e,tO] .

lercrr,b reru.dtc

3.

4.

Sea elconjunto referencial Re = !0,15,20,25,30,35,40,45,50) y los predicados:p(x) :" x es mltiplo de 10'q(xl " r es divisible para 3"

Cul de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

a) A{p(x) nqlx = {+s}b) t(px) v q(-r)) = {r o,zo,:0,+s,so}

c) A[p(x) v -q(x)) = {r O,r s,Zo.zs,3oJs}

d) A(p(x) -+ qQe)) = {ts,zs,ro,:s,+s}51

Moiss Villena Muoz C@P. 3 Logi,oa/ Y Coniumtot

e) Etiju ustu opcin si todas las.proposiciones anteriores son falsas'SOLUCIN:

Los conjuntos de verdad de los predicados dados son: ,4p(x) = {r O.ZO.:0,+O,SO} Y Aql.x) = {f S,IO'+S} entoncesanalizando cada oPcin:

a) FALSA, porque l(p(.r) qtrll = {30}b) FALSA, porque l((p, v a1r = {tO.t s,20,30,40,4s,s01c) FALSA, porque .4[p(.r) v

-q(-t)) = Ap(x)v Ac q(x = {to'ztt,zs,:o'35.40'50}d) VERDADERA (RESPUESTA), Porque

A(p(x\-+q()) = l(-p(-r)vr7(r)) *- 'tc plt)v Aq{x)= {s,z:'io,rs'+s}

3.4 CUANTIFICADORESTenemos dos tipos de cuantificadores: el universal y e1 existencial

3.4.1 CUANTITICADOR UNIVERSALEste cuantificador se presenta cuando utilizamos el trmino ?ODOS,

queriendo dar a entend er parq. todos U cada u'ito'

El sMsoLo empleado para este cuantificador estffi

3.4.2 CUANTTFICN)OR EXISTENCIALEn cambio, este cuantificador se presenta cuando utilizamos el

trmino ALGN, queriendo dar a entender que existe por lo menosuno.

E1 sMsoLo empleado para este cuantificador ..t ff

se observa que al cuantificar a un predicado, ste se convielte enproposlclon.

qoqlC.*'d."nd-R. =11,2,3,4,5,6,7,8,9,10) yelpredicado p(x)I "x esdivisiblepara2"podemos

" TodOs IOS nmerOs SOn divisibles para do' , que e una proposicin FALSA.

" Existe un nmero visible para doc" que es una proposicin VERDADEM.

decir:

Vxp(x):

3xp(x):

52

Moiss Villena Muoz

OBSERVACIONES:

Cep. 3 Lrytr,a, y Cqiu,*rtot

1. Si se cumple que V.rp(x) =

I significa que Ap(x) = Re2. En cambio, si slo se cumple que 1xp(x)=l significa que

Ap(x) * @

Ejerc,r,,cre*u,e,lttSea el conjunto Re = {1,2,3,4,5\. Entonces es VERDAD que:a) 3x(x+3=l) b) Vx("r+30

a) (!.re Re)(r+3=10)b) (vxe*.)(r'-ar+3=o)

Entonces, es VERDAD que:a)

-re A[p@)nqg)]ol ;hq()l= {-:,-2,-r}

a),l(p(r)+ q{x));,tq(x)b) Aq(x)- Ap(x) = $c A{p(x)-+ q{x))= Ac p1x1

c) (vxeRe)(x+3

Itloiss Villena Muoz

6. Dado el conjunto referencial ps = {2,3,17,1 l,l3,l7}p(x): ('r )" =' v

Entonces el conjunto Alp{x) vq(x)] es:a) Re b)2 c) Re- lp(x) d) Ap(x) e) Re- lq(x)

3.5 NEGACINDe acuerdo a De Morgan:

1. No es verdad que todos los elementos del referencial satisfaganun predicado, es equivalente a que, existe por 1o menos unelemento del referencial que no satisface el predicado, lo cualsimblicamente sera:

2, No es verdad. que exista un elemento del referencial quesatisfaga el predlcado, significa QUe, todos los elementos delreferencial no satisfacen el predicado, es decir:

No olvide justificarla formalmente.

Cep. 3 Logir/ y Conjumtot

y los predicados

4(x) : -r es un nmero primo

d) Ningn n cumPle con n+2 > Ie) Existe un n tal que r+2 > 8

3.6 OTRAS CONSIDERACIONESAhora puntualicemos 1o siguiente:

suponga que f entonces la expresindel relerencial satisfacen un predicado dado, entonces necesariamente " d ' sasface el predicado) eS VERDADERA'

Tambin es vERDADERA la exPresin p(a) -+ lxp(x)entonces se podr decir que necesariamente existir un elemento del referencial que satisface el predicado)

54

(Si touos los elementos

qiWto ,

La NEGACN de la proposicin " Para todo nmero natural n, n+2 > 8 " , es :a) Para algunos n, n+2 8

sol,ucln:La traduccin formal de la negacin de la proposicin es:

-(Vr(z + Z > S)) y aplicando lo anterior tenemos::zl(r+ 2 > 8)] = :,nln+2

Moiss Villena Muoz

En cambio la expresin

C@p. 3 Lgra, y Cotrjtwot

es FALSA po{ qu?p(a) -+ Vxp(x)(RESPUESTA; S " 4 " satsface el predicado dado, esto no quiere decir que todos los elementos del referencial van a satisfacer el

predicado)

Veamos el valor de verdad para yxp(x)diferentes referenciales :

y lxp(x) considerando

1. Si ffiffi entonces Yxp(x) =l (oeuioo a que Ap(x)= 1p = Re) y lxp(x) : 0,por 1o tanto es VERDADERO. (ron AU?).

En cambio el recproco yxp(x) -+Jxp(x) es FALSO. (eon au?)2. Si ;m (rormauo por un sto etemenro) y adems p(a) =l , entonces aqu

Yxp(x) =

I y axp@) =

l, por lo tanto 1xp(x) -+ Vrp(r) es verdaderacomo tambin Yxp(x) +axp@) es verdadera. Entonces sepuede concluir que

3. Si I (formado por ms de un elemento, que sera lo qu se presenta generarmente), aqu slotenemos como verdadera a ra expresin

-.

(ronQUE?)

Para predicados compuestos cuantificados puntualiz.mos lo que acontinuacin se presenta.

Observe que:

Y tambin que:

Adems las implicaciones siguientes son VERDADERAS:

En cambio sus recprocos seran FALSOS. por qu?Lo anterior lo aclararemos ahora.

Considere Re = ,2,3,4,5,...) y bs predicadosp(x):' x es paf Y q@): " r 85 impaf

V-rry(r) =

0Vxq(x)

= 0

vx[p1x v q(x)]= IEntonces:

Por lo tanto:

2.1.I4p(x)

= I

3r4(x) =

I

fv[p(x) nq(x)]= 0

55

Moiss Villena Muoz Cep. 3 Lg47a/ y Co*it*vttot

-vJ

\-/Jt)0

0

(Qu ocurre con sus recProcos?)

9.7 INTERPRETACIONES Y TRADUCCIONESYa se habr notado que para que p(x) sea un predicado existen

muchas interpretaciones de referenciales; adems el valor de verdad delpredicado cuntificad^o, depende del referencial. Un asunto interesanteseria tener traducciones formales de ciertas proposiciones'

Vxp(x)v Vxq(x) -+ Vx[p(r) t q(r)] es VERDADERA,

_r1Y tambin l"tl7r(.r) n q(.r)l-+ !.rp(-r) n !.rq(x) es VERDADERA'

+.- !-vJ L-v-ll

Sean p@) Y q{x) predicodos con ref erencid Re.Entonces:

1. "Todo p es q se troduce como vx[P(x)+ q(x)]2." Alguflos p son q" ,"troduce c.omo :r[p(,) ^ q(x)]3."Ningn p es q" ,.troduce como vx[p(x)= -"'q(x)]4."AlEtnos p no son q" ,.traduce como *[ptb *.,4')]

1. seanlospredicados r(.r) : rcomerbanos y q(t) : r esvegetariano,dondeel1e = {Los scres h,nlaos] . Traduzca al lengua.ie comn las siguientes proposiciones:

a) V.r[p("r) -+'q(.r)] b) :-t[p('r),n sf .r)] c) 3'r"-[r( r) -'> 1(-r)]d) Vu[p(x)v-q(.t)] e) Vxlq(x)v-p1t)]

2. Dado el coniunto referencial p" = {t,2,;.+,5} y ros predicados:p(.r):r+1=2.r v q(x):.r+l=r+l

Una de las siguientes proposiciones es FALSA. identifquela:

a) 3r7;(.t) -+ V,tr(,r) d) '1-7;(-r) u lq("r) = Rsb) [ Vxp(x v V.tr("t) ]-+ V.x[r(r) " {(r)] e) 'tr('r-) c Aqlx)c [ V.tp(.t) v V.tr(.t) ]-+ V.t[p(.r') v q(x)]

DetermineculdelassiguientesproposicionesesVERDADERAa) lvx p1.r t = t]= -[,ap{*l = Relb) vx [p(x) v q(x)]+ [vx p1x)]v [v, q(x)]c 3:r[p(.x),..q(,t)]+ p-rp(r)]n[:rq(,1]d) 3x[;(.x) + q(.r)]-] [V.r-p(r)]v [v'.q(,)]e) 3x

-p(x) = -[3,r 7r(-x)]

56

Moiss Villena Muoz Cap. 3 Lgr,a, y Cotitwtbt

sea Re un conjunto referencial y p(x) un predicado, determine la proposicin 0ORRECTA:a) Si Re = {a} y p@)=l ; 3x p(x)= I n Vxp(x) = 0u) sr Re = {0} y p(0) = 1 ; 3x p(x)= -[Vx p(x)]c) Si Re = g

-[V, p(x)]= 1x -p(x)d) Si Re = $ 3xp(x) = 1'e) Elija esta opcin si ninguna de las anteriores es conecta.

Escriba formalmente la NEGACN de cada una de las siguientes proposiciones:a) Todos los malemticos son vegetarianosb) Todas las mu.pres son inteligentesc) Ningn enteno par es divisible para 5d) Algunos rectngulos son cuadrados

Algunas personas no comen came

3.8 PREDICADOS DE DOS VARIABLES

lenpl,clsuponga que se tienen dos conjuntos referenciales Re, y Re,. un predicado dedos variables puede ser la expresin

p(x,y): " x est relacionado con y "

En este caso " x" y " / " "..constituyen en variables libres

Siguiendo colL el ejemplo anterior, podemos afectar las variablesempleando cuantificadores, en este caso tendremos variables llgadasque forman proposiciones como las siguientes:

1. YxVylp@,): "Todos los x estn relacionados con todos los y "Note que es equivalente a VyVx [p@,7

2. lyfp@,fi): "Algn .r esta relacionado con algn y "Esta proposicin tambin es equivalente a 3ylxlp@,l

4.

3. VxJy[,_pQ,7: "Todo (cada) r est relacionado con atgn y,,

57

Moiss Villena Muoz

Note que 19

4. lyVxl-p@,7,O tambin

"Algn y"Todos los

5. lxYylp@,7: "Algn xo tambin "Todos los /

CdP. 3 Lg.c/ y Co*iunto*

est relacionado con todos los r "x estn relacionados con slo un Y "

3v 4 no son equivalentes.

est relacionado con todos los yse relacionan con slo un f "

4 x es pa