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Aplicaciones reales de la transformada de Laplace
Ing. Elvira NiñoDepartamento de Mecatrónica y Automatización
Control de Procesos
• ¿Qué es un sistema de control ?– En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que
necesitan cumplirse.
• En el ámbito doméstico– Controlar la temperatura y humedad de casas y
edificios
• En transportación– Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a
otro en forma segura y exacta
• En la industria– Controlar un sinnúmero de variables en los procesos
de manufactura
Control de Procesos
• En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.
• Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:– tales como control de calidad de los productos
manufacturados, líneas de ensa,ble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros
Ejemplos de procesos automatizados
• Un moderno avión comercial
Ejemplos de procesos automatizados
• Satélites
Ejemplos de procesos automatizados
• Control de la concentración de un producto en un reactor químico
Ejemplos de procesos automatizados
• Control en automóvil
¿ Por que es necesario controlar un proceso ?
• Incremento de la productividad• Alto costo de mano de obra• Seguridad• Alto costo de materiales• Mejorar la calidad • Reducción de tiempo de manufactura• Reducción de inventario en proceso• Certificación (mercados
internacionales)• Protección del medio ambiente
(desarrollo sustentable)
Control de Procesos
• El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.
• Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace
¿Por qué Transformada de Laplace?
• En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.
• Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.
¿Por qué Transformada de Laplace?
• El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:
• La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
¿Por qué Transformada de Laplace?
• De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
• Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
El proceso de diseño del sistema de control
• Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere– Conocer el proceso que se desea controlar,
es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
– A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.
– Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.
Conociendo el proceso …
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
f(t)
z(t)
kb
m
Fuerza de entrada
Desplazamiento, salida del sistema
2
2 )()()()(
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
maF
El rol de la transformada de Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Suspensión de un automóvil
kbsmssF
sZ
kbsmssZsF
sZmssbsZskZsF
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()(
)()()()(
cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera
términocada a Laplace de ada transformla Aplicando
)()()()(
Función de transferencia
Conociendo el proceso…
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Nivel en un tanque
qo(t)
Flujo de salida
R
(resistencia de la válvula)
h(t)
qi(t)
Flujo de entrada
dt
tdhAth
Rtq
tq
thR
dt
tdhAtqtq
i
o
oi
)()(
1)(
)(
)(
)()()(
Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento
A
(área del tanque)
El rol de la transformada de Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Nivel en un tanque
111
)(
)(
)1
)(()(
)()(1
)(
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(
1)(
ARs
R
RAssQ
sHR
AssHsQi
sAsHsHR
sQi
dt
tdhAth
Rtq
i
i
Función de transferencia
Conociendo el proceso…
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico
)()(1
)(1
)()(
)(
tedttiC
dttiC
tRidt
tdiLte
o
i
1
1
)(
)(
1)()(E
)(1
)()()(E
I(s)) para o(despejand ecuaciones las Combinando
)()(1
)(1
)()()(E
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(1
)(1
)()(
)(
2
2i
i
i
RCsLCssE
sE
RCsLCssEs
sCsECs
sCsERsCsELss
sEsICs
sICs
sRIsLsIs
tedttiC
dttiC
tRidt
tdiLte
i
o
o
ooo
o
oi
El rol de la transformada de Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Circuito eléctrico
Función de transferencia
La función de transferencia• Representa el comportamiento dinámico del proceso• Nos indica como cambia la salida de un proceso
ante un cambio en la entrada
• Diagrama de bloques
forzanteFunción
proceso del Respuesta
)(
)(
proceso del entrada laen Cambio
proceso del salida laen Cambio
)(
)(
sX
sY
sX
sY
Proceso Entrada del proceso
(función forzante o
estímulo)
Salida del proceso
(respuesta al
estímulo)
La función de transferencia
Diagrama de bloques• Suspensión de un automóvil
Entrada
(Bache)
Salida
(Desplazamiento del coche)kbsms 2
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-3
La función de transferencia
Diagrama de bloques• Nivel en un tanque
Qi(s)
(Aumento del flujo de entrada repentinamente)
H(s)
(Altura del nivel en el tanque1ARs
R
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-5
0
5
10
15
20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-5
0
5
10
15
20
25
La función de transferencia
Diagrama de bloques• Circuito eléctrico
Ei(s)
(Voltaje de entrada)
Eo(s)
(Voltaje de salida)1
12 RCsLCs
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados
en al ámbito de control
• TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN
(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo)
• TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
(Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)
Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados
en al ámbito de control
• TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)
• TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)
• Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.
• En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
• a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F.
• b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
• c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
• Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
Intercambiador de calor• Ecuación diferencial
• Donde:• Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior• (BTU/h °F ft2)• ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)• Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)• tv : Temperatura del vapor (°F)• te : Temperatura del agua a la entrada (°F)• ts : Temperatura del agua a la salida (°F)• (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)• tref : Temperatura de referencia (°F)• w : Flujo de agua (lb/h)• m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)• : Valores en condiciones estables• Tv , Ts , W Variables de desviación
twtstv ,,
Intercambiador de calor• Linealizando
1
2
• Evaluando en condiciones iniciales estables
3
• Restando (2) de (3)
Intercambiador de calor• Utilizando variables de desviación
• Aplicando la transformada con Laplace
Intercambiador de calor• Simplificando
• Datos físicos– Largo del intercambiador = 9 ft– Diámetro de coraza = 17 ¼’’– Flujo = 224 gal/min – Temperatura de entrada =80°F– Temperatura de salida = 185°F– Presión de vapor =150psia.– Número de tubos= 112 – Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un
claro entre tubos de 0.63’’.– Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, – Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU– Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F
Intercambiador de calor
• Calculando
las
constantes
Intercambiador de calor• Función de transferencia
• Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
0 0
Intercambiador de calor
Flujo de agua entrada
Salida deAgua °T
Temp deVapor entrada
Salida devapor
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
224
234
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
220
240
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
5
10
15
20
25
30
35
40
185
188.85
La respuesta del proceso en el tiempo
Transformada Inversa De Laplace
s
b
s
b
s
a
s
a
sssssT
ssssss
x
sssT
ss
K
ss
KsT
ssW
ssTsW
s
KsT
s
KsT
s
s
s
vvs
2121
42
2
1
1
2
2
1
1
583772.0583772.0583772.0
213928.2
583772.0
458658.4)(
parciales fraccionesen Expansión
1712995.1
792464.3
1712995.1
63766.725.5007
1712995.1
10573947.720
1712995.1
381883.0)(
25.5007
1
20
1)(
25.5007)(
20)()(
1)(
1)(
La respuesta del proceso en el tiempo
TsseetT
emperaturTsseetT
sssssT
sssb
sssb
sssa
sssa
tts
tts
s
s
s
s
s
583772.0583772.0
583772.0583772.0
02
583772.01
02
583772.01
1792453.31637670.7)(
salida) de inicial at(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(
792453.3
583772.0
792453.3637670.7
583772.0
637670.7)(
792453.3583772.0
213928.2
583772.0
213928.2
792453.3583772.0
213928.2
583772.0
213928.2583772.0
6376.7583772.0
458658.4
583772.0
458658.4
6376.7583772.0
458658.4
583772.0
458658.4583772.0
Transformada Inversa De Laplace
El sistema de control automáticoTemperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin
control)
Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control)
Tv(s)
(Aumento de la temperatura de vapor a la
entrada )
Ts(s)
(Aumento en la temperatura de agua
a la salida)
11
1
sK
Controlador 1713.1
3819.0
s
+
-
Valor deseado Acción
de control
Variable controlada
La ecuación del controlador• ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido
sssE
sM
ssEsEssE
sM
ssEsEs
dt
tdedtteteKctm
di
di
di
di
11Kc
)(
)(
)()(1
E(s)Kc)(
)(
)()(1
E(s)KcM(s)
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(
1)()(
El sistema de control automático
Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control)
(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada)
1713.1
3819.0
s
+
-
Valor deseado Acción
de control
Variable controlada
sKc dsi
11
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
X: 0.683Y: 4.91
-1 0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12
0
1
2
3
4
5
6
X: 0.683Y: 4.91
X: 6.873Y: 4.91
La respuesta del sistema de controlde nivel
• Comparación del sistema en lazo abierto (sin control) y en lazo cerrado (con control)
Con control Sin
control
¿ Preguntas ?
Ing. Elvira Niño Departamento de Mecatrónica y Automatización [email protected]
Aulas 7, 3er piso -- LD - 306 - H
Actividad para realizar en casa
• Un sistema de suspensión simplificada de un automóvil se puede representar por la figura siguiente:
• Las ecuaciones diferenciales que modelan al sistema están dadas por:
dt
tdx
dt
tdybtxtyk
dt
tydm
txtukdt
tdx
dt
tdybtxtyk
dt
txdm
)()()()(
)(
)()()()(
)()()(
22
2
2
122
2
1
Actividad para realizar en casa
a) Obtén la función de transferencia
(Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar Y(s)/U(s) )
b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm, k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg.
Si se le aplica una cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función.
c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel, matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]
)(
)(
sU
sY