aplicaciones financieras de excel con matemáticas financieras_2016_alumnos

8/18/2019 Aplicaciones Financieras de Excel Con Matemáticas Financieras_2016_Alumnos

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Universidad Nacional de TrujilloFacultad de Ciencias EconómicasEscuela Contabilidad y FinanzasDocente: Dr.CPC Winston olando ea!o Portal

"!o #$%&

"'licaciones Financieras con E(cel

%. )ntroducciónNo sabemos a ciencia cierta cuando aparecieron, pero de lo que siestamos seguros es que la Matemática Financiera es una derivación delas matemáticas aplicadas que estudia el valor del dinero en el tiempo yque a través de una serie de modelos matemáticos llamados criteriospermiten tomar las decisiones más adecuadas en los proyectos deinversión.El lector debe establecer y analizar el concepto de MatemáticaFinanciera, así como sus principios y elementos básicos. el mismomodo, debe eslabonar el estudio de las matemáticas !nancieras con lapráctica empresarial."quellos lectores interesados en pro#undizar en el estudio de lasmatemáticas !nancieras, pueden obtener la obra $M"%EM"%&'"(F&N"N'&E)"( *ara %oma de ecisiones Empresariales

*ara la solución de los e+emplos, casos y e+ercicios aplicamos en #ormacombinada las #órmulas y las #unciones !nancieras de E cel osimplemente la #unción, siguiendo un proceso básico-

/ &denti!cación y ordenamiento de los datos,0/ "plicación de la #órmula o #órmulas y,1/ Empleo de las #unciones !nancieras de E cel.

'uando operamos con porcenta+es, lo 2acemos en su e presión decimal34.045, por e+emplo 046 7 4.04 3048 445, que es la #orma correcta detraba+ar con las #órmulas.9os resultados de las operaciones lo e presamos generalmente concinco o cuatro decimales, en el caso de los #actores o índices. 9asrespuestas !nales de los e+ercicios vienen con dos decimales. En amboscasos los resultados son redondeadospor e ceso o por de#ecto.

9as #unciones !nancieras más utilizadas en la obra son-N*E)3tasa:pago:va:v#:tipo5:*";


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%"("3nper:pago:va:v#:tipo:estimar5:="3tasa:nper:pago:v#:tipo5:=F3tasa:nper:pago:va:tipo5 y la opción >uscar


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El interés cobrado es proporcional tanto al capital como al período delpréstamo, está e presado por medio de una tasa de inter+s 1i2 . *ara lateoría económica, el interés es el precio del dinero.

'uando sólo pagan intereses sobre el principal, es decir, sobre la

totalidad del dinero prestado, se denomina inter+s sim'le .Fórmula del interés simple-El interés es el producto de los tres #actores, capital 3="5, tiempo 3n5 ytasa 3i5, así tenemos-B CI = V A*n*i 4 " 5& 7 =F D ="

ue viene a ser la #órmula o ecuación para calcular el interéssimple.

E6E C)C)7 % 1Calculando el inter+s sim'le2@na 'a+a Municipal, paga el . 6 sobre los depósitos a plazos.eterminarel pago anualpor interés sobre un depósito de (8. 04,444.44

E6E C)C)7 # 1Pr+stamo a 89PE,2@n >anco obtiene #ondos al costo de G6 y presta a losmicroempresarios al H.I6 anual, ganándose así el G .I6 bruto. (ilosingresos anuales que obtuvo de esta #orma #ueron de (8. J 4,444.44Kcuánto dinero prestóL

E6E C)C)7 * 1Calculando el 'lazo de una inversión2@na entidad !nanciera invirtió (8. 0 ,444.44 al H.JG 6 en 2ipotecaslocales y ganó (8. 0 ,444.44 eterminar el tiempo que estuvo invertidoel dinero.

E6E C)C)7 1Calculando la tasa i de inter+s2(i una empresa 2ipotecaria tiene invertido (8. 11 ,044.44 durante 1aAos a interés simple y obtiene en total (8. 0,G 4.44 de ingresos,Kcuál es la tasa de interésL

*.#. 8ontoEl monto es la suma obtenida aAadiendo el interés al capital, esto es-M


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)eemplazando en B C por sus respectivos símbolos, obtenemos la#órmula general para el monto-

B0CVF = VA 3 On*i 5

Fórmula para el monto (VF) a interés simple de un capital VA , que

devenga interés a la tasa i durante n años .e donde-

. Ti'os de 'lazos de los intereses;eneralmente conocemos dos tipos de plazos-a2 )nter+s Comercial o ;ancario . *resupone que un aAo tiene 1J4días y cada mes 14 días.b2 )nter+s E(acto . %iene su base en el calendario natural- unaAo 1J o1JJ días, y el mes entre 0 , 0H, 14 o 1 días.

El uso del aAo de 1J4 días simpli!ca los cálculos, pero aumentael interéscobrado por el acreedor, es de uso normal porlas entidades !nancieras.

9a mayoría de e+ercicios en la presente obra consideran el aAocomercial:cuando utilicemos el calendario natural indicaremosoperar con el interése acto.

E6E C)C)7 < 1)nter+s ,im'le Comercial2 Porge deposita (8. 0, G4.44, en una libreta de a2orros al H6 anual,Kcuánto tendrá después de G mesesL.

/ E presamos la tasa en meses- 4.4H8 0 7 4.44I , mensual-

E6E C)C)7 & 1)nter+s ,im'le E(acto2@n pequeAo empresario, con utilidades por (8. J,G44.44 los deposita enuna libreta de a2orros en un banco al I.I6 anual. 'alcular cuántotendráal !nal de meses.

/ E presamos el plazo en aAos- 3 meses por 14 días 7 G 4 días50G481J 7 .010 IJI 0 aAos


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despuésdel descuento. K'uál era el valor nominal del documento en la#ec2ade vencimientoL.

E6E C)C)7 ? 1Descuento de letra2@na empresa descuenta una letra por la cual recibe (8. 0, 04.44, (ilatasa de descuento es de JJ6 y el valor nominal de (8. 0,H 4.44,K'uántotiempo #altaba para el vencimiento de la obligaciónL.

&. 3alor del dinero en el tiem'oEl tiempo 3plazo5 es #undamental a la 2ora de establecer elvalor de uncapital.@na unidad monetaria 2oy vale más que una unidad monetariaa serrecibida en el #uturo. @n nuevo sol disponible 2oy puedeinvertirseganando una tasa de interés con un rendimientomayor a unnuevo sol enel #uturo. 9as matemáticas del valor deldinero en el tiempo cuanti!can elvalor de un nuevo sol a través deltiempo. Esto, depende de la tasa derentabilidad o tasa deinterés que pueda lograrse en la inversión.

El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en muc2asáreas delas !nanzas el presupuesto, la valoración de bonos yla valoraciónaccionaria. *or e+emplo, un bono paga interesesperiódicamente 2astaque el valor nominal del mismo es reembolsado.9os conceptos de valor del dinero en el tiempo están agrupadosen dosáreas- el valor #uturo y valor actual. El valor #uturo3=F D 'apitalización5describe el proceso de crecimiento de unainversión a #uturo a una tasade interés y en un período dado.El valor actual 3=" D "ctualización5 describe el proceso de unQu+o dedinero #uturo que a una tasa de descuento y en unperíodo representanuevos soles de 2oy.

&.%. 3alor @uturo de un Aujo BnicoEl valor #uturo de un Qu+o ?nico representa la cantidad #utura,de unainversión e#ectuada 2oy y que crecerá si invertimosa una tasa de interésespecí!ca. *or e+emplo, si el día de 2oydepositamos (8. 44.44 en una

libreta de a2orros que paga unatasa de interés de H6 compuestoanualmente, esta inversióncrecerá a (8. 4H.44 en un aAo. Esto puedemostrarse como sigue-"Ao - (8. 443 O 4.4H5 7 (8. 4H

"l !nal de dos aAos, la inversión inicial 2abrá crecido a (8. . . 'omovemos la inversión ganó (8. H. de interésdurante el segundo aAo ysólo ganó (8. H de interés durante elprimer aAo. "sí, en el segundo aAo,


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ganó no sólo interés lainversión inicial de (8. 44 sino también los (8. Hal !nal delprimer aAo. Esto sucede porque es una tasa de interéscompuesta.

&.#. El )nter+s com'uesto

El interés compuesto es una #órmula e ponencial y en todaslas #órmulasderivadas de ella debemos operar ?nicamentecon la tasa e#ectiva. 9atasa periódica tiene la característica deser a la vez e#ectiva y nominal,ésta tasa es la que debemosutilizar en las #órmulas del interéscompuesto.'on el interés compuesto, pagamos o ganamos no solo sobreel capitalinicial sino también sobre el interés acumulado, encontraste con elinterés simple que sólo paga o gana interesessobre el capital inicial.@na operación !nanciera es a interés compuesto cuando elplazocompleto de la operación 3por e+emplo un aAo5 está dividido en períodosregulares 3por e+emplo un mes5 y el interésdevengado al !nal de cada

uno de ellos es agregado al capitale istente al inicio. "sí, el interésganado en cada período percibiráintereses en los periodos sucesivos2asta el !nal delplazo completo. (u aplicación produce intereses sobreintereses,conocido como- la capitalización del valor del dinero eneltiempo.

9a tasa de interés en el e+emplo anterior es H6 compuestoanualmente.Esto signi!ca que el interés paga anualmente."sí tenemos que en nuestra libreta de a2orros al !nal del primeraAotendremos (8. 4H 3el principal más los intereses5,en el segundo aAoeste saldo aumenta en H6. "rro+ando al!nal del segundo aAo un saldo

de (8. . que puede computarsecomo sigue-

R así sucesivamente-"Ao 1 3 . 3 O4.4H55 7 0H. 4 ó

44 3 O4.4H5 3 O4.4H5 3 O4.4H5 7 0H. 4 ó44 3 O4.4H5 1 7 0H. 4

'omo vemos, un modelo matemático va mani#estándose conmuc2anitidez. El =alor Futuro de una inversión inicial a unatasa de interés dada


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compuesta anualmente en un período#uturo es calculado mediante lasiguiente e presión-

B CVF =VA 3 Oi 5S n

ue no es otra cosa, que la #órmula general del interés compuestoparael período n de composición. En las matemáticas!nancieras es#undamental el empleo de la #órmula generaldel interés compuesto parala evaluación y análisis de los Qu+osde dinero.

9as ecuaciones derivadas de la #órmula B C 3para inversiónyrecuperación en un sólo pago5 son-

El tipo de interés 3 i 5 y el plazo 3 n 5 deben re#erirse a la mismaunidad detiempo 3si el tipo de interés es anual, el plazo debeser anual, si el tipo deinterés es mensual, el plazo irá en meses,etc.5. (iendo indi#erenteadecuar la tasa al tiempo o viceversa.

"l utilizar una tasa de interés mensual, el resultado de nestaráe presado en meses.

E6E C)C)7 %$ 1Calculando el 3F2'alcular el =F al !nal de aAos de una inversión de (8. 0G, I .44 conun costo de oportunidad del capital de 0I. 6 anual.

E6E C)C)7 %% 1Calculando el 3F a 'artir del 3"2 Ro tengo un e cedente de utilidades de (8. G,J44.44 y los guardo en unbanco a plazo !+o, que anualmente me paga H.06: Kcuánto tendré

dentro de aAosL

E6E C)C)7 %# 1Calculando el 3" a 'artir del 3F2&nversamente, alguien nos o#rece (8. ,444.44 dentro de 1 aAos,siemprey cuando le entreguemos el día de 2oy una cantidad al 46anual.K'uánto es el monto a entregar 2oyL


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E6E C)C)7 %* 1Calculando el ti'o de inter+s i 2eterminar la tasa de interés aplicada a un capital de (8. 0 ,444.44

que2a generado en tres aAos intereses totales por (8. J, 44.44

E6E C)C)7 % 1Calculando el tiem'o o 'lazo n 2'alcular el tiempo que 2a estado invertido un capital de (8. 1 ,444.44,siel monto total producido #ue (8. J,G .44 con un interés de H 6.

&.*. 3alor actual de un Aujo BnicoEl valor actual, es el valor de las unidades monetarias de 2oy.El procesode calcular los valores actuales a una tasa especí!cade &nterés esconocido como descuento.9a tasa de interés con el que determinamoslos valores actualeses la tasa de descuento, cuando el dinero provienede #uentese ternas y costo de oportunidad cuando la inversiónprovienede recursos propios.

Por ejem'lo -El valor actual de (8. 44.44 a ser recibido dentro de un aAo es (8. H .IG,si la tasa de descuento es H6 compuesto anualmente tenemos-'álculos a valor #uturo-

@n aAo H .IG3 O 4.4H5 7 44 ó

9a ecuación de valor #uturo la utilizamos para describir la relaciónentreel valor actual y el valor #uturo. "sí, el valor actualde (8. 44.44 a serrecibido dentro de dos aAos es (8. G. I a latasa de descuento de H6.

'omo vemos el modelo matemático derivado de la #órmula delinteréscompuesto utilizada es el del valor actual. Ecuaciónque nos permitecalcular el valor actual de un Qu+o de ca+a#uturo dado la tasa dedescuento en un período determinadode tiempo.

E6E C)C)7 %< 1Calculando el 3"2


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eterminar el valor actual de (8. 44.44 a ser recibido dentro de 1 aAosapartir de 2oy si la tasa de interés es H6.

=. Flujos variables=.%. 3alor actual de un Aujo variableEl valor actual de un Qu+o variable es igual a la suma de losvaloresactuales de cada uno de estos Qu+os. *ara comprenderesto, suponga unainversión en que las promesas de pago de(8. 44.44 dentro de un aAo y(8. 044.44 dentro de dos aAos es2oy: si un inversionista tiene quedecidir entre estas dos opciones,al inversionista le resultaría indi#erente,elegir entrelas dos opciones, asumiendo que las inversiones son deigualriesgo, es decir, la tasa de descuento es la misma. Esto esporquelos Qu+os #uturos que el inversionista recibiría 2oy carecende riesgo ytienen el mismo valor ba+o cualquier alternativa.(in embargo, sí la inversión tuviera una tasa de descuentode 06, elvalor actual de la inversión puede encontrarsecomo sigue-

=alor actual de la inversión-

VA 7 H.0H O IH.I0 7 (8. JH.49a siguiente ecuación puede emplearse para calcular el valoractual deun Qu+o #uturo de ca+a-

E6E C)C)7 %& 1Calculando el 3" de un Aujo variable decaja2'alcule el valor actual del siguiente Qu+o de ca+a considerando unatasade descuento de 6-


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>. as anualidades@na anualidad es un Qu+o de ca+a en el que los Qu+os de dinerosonuni#ormes 3es decir, todos los Qu+os de dinero son iguales5y losmovimientos de dinero ocurren a un intervalo regular.9os Qu+os de dinero de la anualidad son los pagos de la anualidadosimplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizadocomo unageneralización sobre el tema, no siempre sonperíodos anuales de pago."lgunos e+emplos de anualidadesson-

. *agos mensuales por renta0. 'obro quincenal o semanal por sueldo1. "bonos quincenales o mensuales por pago de un préstamo.G. *agos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc.

No es una "nualidadEl Qu+o no es una anualidad porque al Gto aAo se interrumpenparareiniciarse al to.

'uando el Qu+o de ca+a es de una anualidad, el proceso decalculo del

valor actual y del valor #uturo de un Qu+o de dinerose simpli!caenormemente.

as anualidades son:


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=encidas. 9as anualidades vencidas, ordinarias o pospagablessonaquellas en las cuales los pagos son 2ec2os a su vencimiento,es decir, al!nal de cada periodo.E+emplo, el pago de salarios a los empleados, el traba+o esprimero, luegoel pago.

"nticipadas. 9as anualidades anticipadas o prepagables se e#ect?analprincipio de cada periodo.9as anualidades prepagables son el resultado de capitalizarun período él=" o =F las postpagables multiplicándolas por 3 O i5. Es decir, utilizamoslas mismas #órmulas del =" o =F delas anualidades postpagables,multiplicando el resultado por3 O i5.

>.%. 3alor actual de una anualidadEl valor actual de una anualidad es igual a la suma de losvaloresactuales de los pagos de la anualidad. Esto puede calcularsea través dela siguiente ecuación-

onde-=" 7 =alor actual de la anualidad' 7 *ago de una anualidadi 7 &nterés o tasa de descuento

En las #órmulas de anualidades de =" y =F, la tasa de interésno puedeser despe+ada, por lo cual debe obtenerse por ensayoy error. *or estarazón en el presente libro, para obtener latasa de interés utilizamos la#unción %"(" cuando operamoscon Qu+os uni#ormes y la #unción %&)cuando operamos conQu+os variables.

'uando estamos #rente a un per!l de Qu+os iguales para cadaperíodo, esposible 2acer una #ormulación que nos de el =alor"ctual de los Qu+os deuna sola vez obviando el cálculo deldescuento Qu+o por Qu+o. e esta#orma de cálculo son las"nualidades. E+emplo-


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(i usamos el método de descuento Qu+o por Qu+o y lo descontamosal6 por período tendríamos los valores indicados enel cuadro y después

lo comparamos con el método abreviado através de la #órmula y la#unción ="-

E6E C)C)7 %= 1Calculando el 3" de una anualidad'ost'a/able2


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%enemos una anualidad de (8. 44 anual, durante cinco aAosvencidos. (ila tasa de interés es igual a 16, Kcuál es el =" de laanualidadL

E6E C)C)7 %> 1 a mejor elección2@sted se gana la lotería. 'uando va a cobrar, los e+ecutivos de laloteríale proponen lo siguiente- cobrar 2oy (8. 44,444.44ó(8.1,444.44mensuales durante los pró imos 0 aAos. K ué elige @d.L(abiendo que se 2a proyectado tener una inQación de J6 anual para lospró imos 0 aAos.

E6E C)C)7 %? 1Calculando el 3" de una anualidad're'a/able2El dueAo de una MR*E contrae una deuda para saldarla en cincopagosiguales de (8. 0J,H 1 al inicio de cada aAo, con una tasa deinterés deG .J46 anual. 'alcular el valor actual de esta obligación.

E6E C)C)7 #$ 1Calculando el incremento anual2En HH el #ranqueo de un sobre a Europa era de (8. 4.44, En el04 Jcolocar por correo la misma carta cuesta (8. I4.44, K ueincrementoanual en el #ranqueo de una carta e perimentó durante estetiempoL

,olución 3n 7 04 J D HH 5' 7 4: =" 7 I4: n 7 304 J T HH 5 7 0 : i 7 L

E6E C)C)7 #% 1Calculando la tasa de inter+s de unaanualidad2@na inversión de (8. 04,444.44 2oy, debe producir bene!ciosanualespor un valor de (8. G ,444 durante aAos. 'alcular la tasaderendimiento del proyecto.

>.#. 3alor Futuro de una anualidad"l tratar el cálculo de las anualidades, determinábamos el valorde losQu+os en valor actual o del momento cero. %ambiénes posible emplearesta misma #ormulación y plantear por e+emplo,cuánto tendré a2orradoen un momento #uturo si depositarauna determinada cantidad igualperíodo a período, dadauna cierta tasa de interés por período. Es decir,lo que estamos2aciendo es constituir un #ondo.


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"nteriormente calculamos el valor actual de una serie de pagos#uturos.9o que a2ora buscamos, como monto #uturo, esuna e presión queresponda al siguiente per!l !nanciero-

*artimos depositando una suma a2ora y 2acemos lo mismocon igualmonto 2asta el período nD y con la misma tasa deinterés por cadaperíodo.

9a #órmula del valor #uturo de la anualidad y las derivadas deella son-

El valor, depende sólo de las variables tasa de interés $iU, igualparacada período y el valor correspondiente al n?mero deperiodos $nU, paraQu+os realizados a comienzo de cada uno deellos.

9as anualidades tienen la característica que siendo un pagoconstante enel caso de amortizar una deuda los intereses pagadosen los primerosperiodos son mayores, destinándose ele cedente al pago de

amortización de capital, el cual aumentagradualmente, el interésposterior deberá calcularse sobre unmenor monto de capital por ladisminución o amortización deéste.

E6E C)C)7 ## 1Calculando el 3F y el 'lazo de un a orro2@n microempresario deposita (8. 0, 44.44 a2ora en una cuentadea2orros que reconoce una tasa de interés del . 6 mensualyconsidera retirar(8. 1H4 mensuales, empezando dentro de 4 meses.K'alcular por cuánto tiempo podrá realizar retiros completosL

?. as 'er'etuidadesPor defnición signifca duración sin fn. Duración muy largaoincesante." partir del valor actual 3="5 de una anualidad ', querepresentauna serie de pagos, depósitos o Qu+o periódicouni#ormepara cada uno de estos periodos y e#ectuandoalgunas modi!cacionespodríamos derivar las perpetuidades.


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9a característicade una perpetuidad es que el n?mero deperiodos es grande,de #orma que el valor de los ?ltimos Qu+osal descontarloses insigni!cante. El valor de la anualidad demuc2os términos,llamada perpetuidad, es calculada con lasiguiente #órmula-

9as perpetuidades permiten cálculos rápidos para determinarel valor deinstrumentos de renta !+a 3="*5 de muc2os periodos.En este caso, $ CU es el rendimiento periódico e $ i U la tasade interésrelevante para cada período. E+emplos de perpetuidadesson también lasinversiones inmobiliarias con canon dearrendamiento, dada la tasa deinterés apro imamos el valorde la inversión 3'5.*or lo general, la tasa de interés es casi siempre anual y elcanon dearriendo es mensual, por lo cual deberá establecersela tasa de interésequivalente 3=er de!nición y #órmula en elnumeral 4, de este capítulo5para este período de tiempo.


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El inter+s es un 'recio , el cual e presa el valor de un recursoo biensu+eto a intercambio, es la renta pagada por el uso derecursosprestados, por período determinado.

%$.%. a tasa de inter+s 1 i 29a tasa de interés es el precio del tiempo, mientras que la tasaderentabilidad es el precio del tiempo cuando e iste riesgo. 9atasa derentabilidad es el precio del tiempo más una prima porriesgo 3precio delriesgo5.

'alculamos la tasa de interés dividiendo el interés I recibido opagadopor período, por el monto inicial, V : de modo que latasa de interés será-

El resultado obtenido con las #órmulas B 1"C y B 1>C, representala tasade todo el período de composición. e aplicacióncuando evaluamospréstamos e inversiones a interés simple3pago Qat5 y para casos deinversiones a interés compuestoaplicamos la #órmula B 1C, cuandotratamos con un solo pago.No es aplicable para el caso de las anualidades o Qu+os variables,enestos casos son de muc2a utilidad las #unciones !nancieras%"(" 3Qu+osuni#ormes5 y %&) 3Qu+os variables5 deE cel.

%$.#. Com'onentes de la tasa de inter+s9a tasa de inter+s corriente 3ic 5, es la tasa del mercado, aplicadoporlos bancos y las entidades !nancieras: la tasa e#ectivamentepagada porcualquier préstamo. %iene tres componenteso causas-%. El e@ecto de la inAación 3F5- medida del aumento del nivelgeneralde precios, valorada a través de la canasta #amiliar:notamos su e#ecto


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en la pérdida del poder adquisitivo de lamoneda. " mayor inQación,mayor tasa de interés.

#. El e@ecto del ries/o , in2erente al negocio o inversión. "mayorriesgo, mayor tasa de interés. Elemento de riesgo 3 i' 5.

*. a tasa real $ i U propio del negocio, lo que el inversionistadeseaganar, libre de riesgos e inQación. )endimiento base.;eneralmente los bonos del tesoro de EE.@@. son tomadoscomoparámetro parala tasa libre de riesgo. %asa de interésreal 3 i 5.

%%. Tasas de inter+s y descuento e uivalenteEn el mundo real, las tasas de interés son en más de un períodopor aAo.*or convención, las tasas de interés son en baseanual. 9a tasa de interése presada anualmente y con composiciónen más de una vez por aAo esla tasa nominal, es unatasa de interés simple: ignora el valor del dineroen el tiempo yla #recuencia con la cual capitaliza el interés.

Tasa 'eriódica: %asa de interés cobrada o pagada en cadaperíodo, pore+emplo, semanal, mensual o anual: tiene la característicade ser nominaly e#ectiva a la vez.

Tasa e@ectiva anual 1TE"2 - 9a tasa que realmente paga ocobra poruna operación !nanciera, incluye todos los costosasociados al préstamoo inversión. (i el interés capitaliza en#orma trimestral, semestral,mensual, la cantidad e#ectivamentepagada o ganada es mayor que lacompuesta en #orma anual.

)nter+s antici'ado 1 ia 2: Es el interés liquidado al inicio delperíodo,cuando recibimos o entregamos dinero.

)nter+s vencido 1 iv 2: 9iquidado al !nal del período, cuandorecibimoso entregamos dinero.


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%%.%. Tasas e uivalentesDos tasas con di#erentes periodos de capitalización serán equivalentes,sial cabo de un aAo producen el mismo interés compuesto.'om?n enoperaciones bancarias y también en el caso de bonosdel tipo $cupónceroU, el uso de la tasa de descuento 3d5 envez de 3o +unto con5 la tasade interés, como re#erencia delrendimiento de la operación. @sar la tasade descuento o latasa de interés es puramente convencional y siemprepodemos e presar una en términos de la otra.Esto lo e plicamos con las tasas equivalentes pagadas al vencimiento3iv5o por anticipado 3ia5.*actan muc2as negociaciones en términos de interés anticipadoy esdeseable conocer cuál es el equivalente en tasas deinterés vencido. @ne+emplo corriente, lo constituyen los préstamosbancarios y loscerti!cados de depósito a término.'uando indican un pago de interés anticipado 3 ia 5, en realidadellosigni!ca que Den el caso de un préstamoD recibe unmonto menor alsolicitado.

E6E C)C)7 # 1Tasa nominal y tasa e@ectiva anual2 %enemos una tar+eta de crédito cuya tasa de interés es 0. 6 mensual.

eterminar la tasa anual que realmente me cuesta.


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E6E C)C)7 #< 1Tasa antici'ada y tasa vencida2@na institución !nanciera paga por uno de sus productos el 6anual yliquida trimestralmente por anticipado. etermine a cuántoequivale elinterés trimestral vencido. + 7 4.

%%.#. Tasas de inter+s en el PerB9as 'irculares del >anco 'entral de )eserva del *er? 3>')*5N/ 44JDH DEF8H4 y N/ 44IDH DEF8H4 del de marzo de HH ,establecieron que apartir del / de abril de HH la (uperintendenciade >anca y (eguros3(>(5 debía calcular y publicardiariamente la %asa "ctiva en MonedaNacional 3%"MN5 y la%asa "ctiva en Moneda E tran+era 3%"MEV5, así como los interesesaplicables a las di#erentes operaciones !+adas en#uncióna la %"MN y %"MEV, respectivamente. e acuerdo condic2as'irculares, la %"MN debe ser publicada en términose#ectivos mensualesy la %"MEV en términos e#ectivos anuales.9a (>( también debe publicar las %asas de &nterés 9egal, lascuales son!+adas por el >')* seg?n el 'ódigo 'ivil 3artículos 0GG/ y 0G /5 yutilizan cuando las partes no 2an acordadouna tasa de interés conantelación. En dic2a oportunidad, establecieronla %asa de &nterés 9egalen moneda e tran+era equivalentea la %"MEV y la de moneda nacionalequivalente a la%"MN, %"MN O y %"MN O 0, dependiendo del plazo delcontrato."dicionalmente, dic2as 'irculares !+an la %asa E#ectiva de&nterésMoratorio en 6 de la %"MN y 046 de la %"MEV,respectivamente.El interés moratorio es cobrado sólo cuando laspartes 2ayan pactado y?nicamente sobre el monto correspondienteal capital impago cuyo pagoesté vencido.9as tasas de interés utilizadas por las entidades !nancieraspara losa2orros llamadas o'eraciones 'asivas son la T)P8N 3%asa de interéspasiva promedio en moneda nacional5 y la T)P8E 3%asa de interéspasiva promedio en moneda e tran+era5.

%asa de interés convencional compensatorio, cuando constituyelacontraprestación por el uso del dinero o de cualquierotro bien. Enoperaciones bancarias está representada por latasa activa para lascolocaciones y la tasa pasiva para las captacionesque cobran o paganlas instituciones !nancieras.

%asa de interés moratorio, cuando tiene por !nalidad indemnizarla moraen el pago. No cumplimiento de una deuda en elplazo estipulado. (ecobra cuando 2a sido acordada. "plicableal saldo de la deudacorrespondiente al capital.'uando la devolución del préstamo se 2ace en cuotas, el cobrodelinterés moratorio procede ?nicamente sobre el saldode capital de lascuotas vencidas y no pagadas.


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%asa de interés legal, 9a tasa de interés legal en moneda nacionalye tran+era, es !+ada, seg?n el 'ódigo 'ivil por el>')*, cuando debapagarse la tasa de interés compensatoriay8o moratoria no acordadas: en este caso, el prestatario abonaráelinterés legal publicado diariamente por el >')* entérminos e#ectivos.

%#. a )nAación y la Tasa de )nter+s'omo vimos al tratar los componentes de la tasa de interés, la&nQaciónes un alza sostenida en el nivel de precios, que 2acedisminuir el poderadquisitivo del dinero. e esta #orma en un#uturo con la misma cantidadde dinero compramos menoscantidades de bienes y servicios que en laactualidad.

E6E C)C)7 #& 1Precios en inAación2Woy un televisor cuesta N@E=


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=eamos la determinación de la tasa de interés nominal a partir deune+emplo, primero sin la presencia de inQación y después conunainQación esperada de 6-

E6E C)C)7 #= 1Tasa real de inter+s2@n determinado bien actualmente vale N@E=


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'recimiento relativo del capital-1 ,444 8 4,444 7 4.G1I ó G1.I 6.

Esto signi!ca que una tasa nominal de un G1.I 6 permite mantenerelpoder adquisitivo del capital y ganar intereses, también cubiertosdele#ecto inQacionario, que aumenten la capacidad real de consumoen un

46, o bien ganarse realmente un 46. (i actualmentecompramos 44unidades del bien, con esta tasa nominal de unG1.I 6, podremoscomprar al término del período unidades. "sí,la tasa de &nterésNominal debe recoger o sumar el interés del períodode 6 más la tasade inQación del período de 0 6 y más la tasa de&nQación sobre el &nterés0 6 por 6-&nterés Nominal 7 4. O 4.0 O 34. X 4.0 5 7 4.G1I

j 7%asa )eal O &nQación O %asa )eal &nQación

%*. Pr+stamo*or de!nición, préstamo es el contrato en el que una de laspartes3prestamista5 entrega activos #ísicos, !nancieros o dineroen e#ectivo y laotra 3prestatario5 quien se compromete adevolverlos en una #ec2a o#ec2as determinadas y a pagar interesessobre el valor del préstamo. El'r+stamo es la ?nicaalternativa que e iste en el mundo de las

inversiones y de laque todas las demás derivan.9as alternativas más comunes de inversión, generalmente loconstituyenlos distintos tipos de depósito que 2acemos en losbancos- cuentas dea2orro, cuentas corrientes y plazo !+os.El banco reconoce un $interésU por nuestros depósitos 3por el2ec2o deprestarle nuestro dinero5, que los empleará para $prestárseloU a otraspersonas, empresas o gobierno. El banco intermedia,entonces, entre


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quienes tienen a2orros y los quenecesitan #ondos. El riesgo es lasolvencia del banco para devolvernosel dinero prestado.

% . ,istema FinancieroFormado por el con+unto de instituciones !nancieras, relacionadosentresi directa o indirectamente, cuya #unción principales la intermediación,es decir, el proceso mediante el cualcaptan #ondos del p?blico condi#erentes tipos de depósitos3productos pasivos5 para colocarlos a travésde operaciones!nancieras 3productos activos5 seg?n las necesidades delmercado.'on#orman el (istema Financiero *eruano >ancos 3 Jbancosprivados5, J Financieras, 0 'a+as )urales de "2orro y'rédito, J"lmaceneras, 1 'a+as Municipales de "2orro y'rédito, I Empresas de"rrendamiento Financiero, 1 E *RME(,G "dministradoras de Fondos de*ensiones 3"F*5, IEmpresas de (eguros, 0 'a+as 3'a+a de >ene!cios y(eguridad(ocial del pescador y 'a+a de *ensión Militar *olicial5 y0 erramas 3 errama de )etirados del (ector Educación y

erramaMagisterial5.

% .%. Productos activos%2 El 'r+stamo 'a/ar+ .D Es una operación a corto plazo 3má imounaAo5, cuyas amortizaciones mensuales o trimestralestambién pueden serpagadas al vencimiento. *or lo general,son operaciones a H4 díasprorrogables a un aAo con interesesmensuales cobrados por anticipado.;eneralmente utilizadopara !nanciar la compra de mercancías dentrodel ciclo económicode la empresa 3comprarDvenderDcobrar5.

#2 El 'r+stamo a inter+s .D Es una operación de corto a largoplazo, quepuede ir desde uno 2asta cinco aAos. 9as cuotasson por lo generalmensuales, pero también pueden ser negociadasy los intereses soncobrados al vencimiento. Este tipode crédito es utilizado generalmentepara adquirir bienes inmuebles,o activos que por el volumen de e#ectivoque representan,no es posible amortizarlo con el Qu+o de ca+a delaempresa en el corto plazo.

*2 El leasin/ .D


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2 El descuento .D ;eneralmente, el comercio de bienes y serviciosno esde contado. 'uando la empresa vende a crédito asus clientes, recibeletras de cambio por los productos entregadas. 'uando las empresascarecen de liquidez para adquirirnuevos inventarios o pagar a susproveedores acuden a lasinstituciones !nancieras 3generalmente

bancos5 y o#recen encesión sus letras de cambio antes del vencimiento,recibiendoe#ectivo equivalente al valor nominal de los documentosmenosla comisión que la institución !nanciera recibe por adelantarleelpago. Esta comisión es conocida como descuento.(eg?n van ocurriendo los vencimientos de los documentos decrédito, lainstitución !nanciera envía el cobro para que losdeudores paguen ladeuda que originalmente le pertenecía ala empresa.


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vencimientode la letra devuelta por impagada. 'alculada sobre lasumadel nominal de la letra no pagada más todos los gastosoriginados por elimpago, por el período transcurrido entrevencimiento y cargo.

E6E C)C)7 #> 1 etra devuelta2

@na letra por (8. ,444.44, es devuelta por #alta de pago, cargándoseenla cuenta del cedente los siguientes gastos- comisión dedevolución . 6, comisión de protesto 0. 6 y correo(8. G.44. 'alcule elmontoadeudado en la cuenta corriente del cliente.

#2 etra de renovación. D Es aquella letra emitida para recuperarunaanterior devuelta por #alta de pago incluido los gastos originadospor sudevolución. ebemos establecer el valor nominal de esta nuevaletra detal #orma que los gastos ocasionados por su #alta de pago losabonequien los originó 3el librador5.;iramos la letra como aquella emitida ydescontada en condicionesnormales, con la di#erencia de que a2ora ele#ectivo que deseamosrecuperar es conocido- el valor nominal nopagado, los gastos dedevolución, los gastos del giro y descuento de la

nueva letra: siendodesconocido el valor nominal que debemosdeterminar.

E6E C)C)7 #? 1 etra de renovación2*ara recuperar la letra devuelta por #alta de pago del e+emplo0 ,acordamos con el deudor, emitir una nueva con vencimiento a14días, en las siguientes condiciones tipo de descuento 6,comisión16 y otros gastos (8. 04.44. 'alcular el valor que deberá tenerlanueva letra.

% . . HCómo obtiene el banco la tasa activa y deu+de'ende la tasa 'asivaI

)espondemos la interrogante de!niendo qué es ,'read omar/en0nanciero 3tiene su base en el riesgo crediticio5-@n (pread de tasas de interés es la di#erencia entre la tasapasiva 3tasaque pagan los bancos por depósitos a los a2orristas5y la tasa activa 3quecobran los bancos por créditos opréstamos otorgados5. *ara comprender


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con mayor #acilidade plicamos cómo el banco obtiene la tasa activa, lo?nico que2aremos es restar la tasa pasiva y obtendremos el (pread.*ara obtener la tasa activa el banco toma en cuenta la tasapasiva, losgastos operativos propios del banco, su ganancia,el enca+e promedio delsistema que tienen que depositar en el>') por cada dólar a2orrado en

los bancos, más el componenteinQacionario y riesgo. Es así cómo losbancos obtienensu tasa activa, si le quitamos la tasa pasiva el (pread locomponen,los gastos de los bancos, el enca+e, las ganancias porrealizaresta intermediación, más los componentes inQacionarioy riesgo.

%


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E6E C)C)7 *% 1Pr+stamo de Fondo de "sociación deTrabajadores2@n sector de traba+adores que cotiza para su "sociación tienen un#ondode préstamos de emergencia para los asociados cuyoreglamentoestablece que los créditos serán al H6 anual y 2asta 1Jcuotas. 9acantidad de los préstamos depende de la cuota.a5 (i el préstamo es de (8. 1,444.44 Kcuáles serán las cuotasLb5 (i sus cuotas son (8. 04.44 Kcuál sería el valor del préstamoL

%


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)nter+s Com'uestoJ "nualidadesJTasas de inter+sJ TasasE uivalentes

E6E C)C)7 * 1Fondo de a orro2urante los aAos de mayores ingresos de su actividad empresarialel

dueAo de una MR*E, a2orra mensualmente (8. 44, colocando eldinero al.G6 anual en un >anco que capitaliza los interesesmensualmente. El

?ltimo abono lo e#ect?a el / de enero de 04 1. "partir de estemomento decide no tocar los a2orros 2asta el / deenero del 04 J.

eterminar cuánto es lo a2orrado del / de enero de04 1 al / de enerode 04 J y cuánto es lo que tiene del / de enero de04 1 al / de enerodel 04 J.

E6E C)C)7 *< 1Evaluando el valor actual de unaditamento2@n #abricante compra un aditamento para un equipo que reducelaproducción de#ectuosa en un . 6 lo que representa un a2orro de(8.J,444 anuales. (e celebra un contrato para vender toda laproducción porseis aAos consecutivos. 9uego de este tiempo eladitamento me+orará laproducción de#ectuosa sólo en un G. 6 duranteotros cinco aAos. "lcabo de éste tiempo el aditamento será totalmenteinservible.

e requerirse un retorno sobre la inversión del 0 6 anual,cuántoestaría dispuesto a pagar a2ora por el aditamentoL

E6E C)C)7 *& 1Calculando la tasa vencida2eterminar la tasa vencida de una tasa de interés anticipada de06semestral a-

E6E C)C)7 *= 1Calculando la tasa vencida2 %enemos una tasa de interés anual de 0G6 liquidada trimestralmenteporanticipado. K'uál es el interés trimestral vencidoL.

E6E C)C)7 *> 1Calculando el 3F2'alcular el valor !nal de un capital de (8. 4,444 invertido al 6anual,con capitalización compuesta durante aAos.

E6E C)C)7 *? 1Calculando nJ 3F e )2@n pequeAo empresario deposita (8. , 44 con una tasa del

6trimestral y capitalización trimestral el 14 de Marzo de 0Y4 0.


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'alcularcuánto tendrá acumulado al 14 de Marzo del 04 H. 'onsiderarelinterés e acto y comercial.

E6E C)C)7 $ 1Calculando el 3F2'uál será el monto después de 0 aAos si a2orramos-(8. 44.44 2oy, (8.

,I44.44 en tres aAos y (8. 44.44 en aAos, con el 6anual.

E6E C)C)7 % 1Calculando el 3F2@n líder sindical que negocia un pliego de reclamos, está interesadoensaber cuánto valdrá dentro de 1 aAos el pasa+e, considerando queelaumento en el transporte es .G6 mensual y el pasa+e cuesta 2oy(8.

.44.

E6E C)C)7 # 1Calculando el monto acumulado2 Porge a2orra mensualmente (8. J4.44 al . 6 mensual durante

4meses. 'alcular el monto acumulado al !nal de este período.

E6E C)C)7 * 1Calculando el 'lazo2urante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de (8. G, 44.44

paraque al 06 anual de interés produ+era un monto de (8. ,I44.44.

E6E C)C)7 1Calculando el monto 0nal de un ca'ital2ué monto podríamos acumular en 0 aAos invirtiendo a2ora (8.J44.44

en un #ondo de capitalización que paga el 6 los J primerosaAos y el16 los ?ltimos J aAos.

E6E C)C)7 < 1Calcular el monto a 'a/ar 'or una deudacon atraso2@n empresario toma un préstamo de (8. ,444.44 a 0 meses, conunatasa mensual de 1. 6 pagadero al vencimiento. El contratoestipulaque en caso de mora, el deudor debe pagar el G6 mensual sobreelsaldo vencido. K'alcular el monto a pagar si cancela la deuda alosdoce meses y 0 díasL

E6E C)C)7 & 1Calculando el tiem'o2

(i depositamos 2oy (8. J,444.44,(8. ,444.44 dentro de cuatro aAos y(8.01,444.44 dentro de seis aAos a partir del Gto. "Ao. En quétiempotendremos una suma de (8. H ,444.44 si la tasa de interés anuales de G. 6.

E6E C)C)7 = 1" orro o inversión2Wace un aAo y medio una *RME invirtió (8. 04,444.44 en unnuevoproceso de producción y 2a obtenido 2asta la #ec2a bene!cios por


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(8.1,044.44 eterminar a que tasa de interés mensual debería2abercolocado este dinero en una entidad !nanciera para obtener losmismosbene!cios.

E6E C)C)7 > 1,umas e uivalentes2(i (8. ,444.44 son equivalentes a (8. , 44.44 con una tasa deinteréssimple anual en tres aAos: 2aciendo la misma inversión con unatasade interés compuesto del 106 anual Ken cuánto tiempo darálaequivalencia económicaL

E6E C)C)7 ? 1Calculando el valor de venta de unam- uina2@na máquina que cuesta 2oy (8. J4,444.44 puede producir ingresospor(8. 1, 44.44 anuales. eterminar su valor de venta dentro de aAosal0 6 anual de interés, que +usti!que la inversión.

E6E C)C)7


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'osto del equipo (8.0,H44.443D5'uota inicial 44.44(aldo por !nanciar (8.0,G44.443O5 (eguro por !nanciar 30,H44X .I465 GH.14

%otal por !nanciar (8. 0,GGH.14=" 7 0,GGH.14: n 7 0G: i 7 4.41 : '7 L

'on estos datos calculamos el valor de cada una de las cuotas deltotalpor !nanciar, aplicando indistintamente la #órmula o la #unción*";< de E cel-

E6E C)C)7


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e#ectuada lacompra. El empresario considera que a los meses puedepagar,además de la mensualidad, una cantidad de (8. 1,0H4.44 y parasaldarsu deuda, le gustaría seguir pagando la misma mensualidad 2astael!nal. Este pago adicional, 2ará que disminuya el n?merodemensualidades. 'alcular en qué #ec2a calendario terminará

deliquidarse la deuda, la compra se llevó a cabo el pasado de Enerodel04 J y la tasa de interés es G. 6 mensual.

E6E C)C)7


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9as E *RME( y 'a+as )urales y Municipales de a2orro y crédito cobranunpromedio anual de 06 por préstamos en moneda nacional.'alcular latasa e#ectiva.

E6E C)C)7 1Calculando la tasa nominal2@na


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E6E C)C)7 &= 1Calculando el valor de contado de unterreno2'alcular el valor de contado de una propiedad vendida en lassiguientescondiciones- (8. 04,444.44 de contado: (8. ,444.44 pormensualidadesvencidas durante 0 aAos y J meses y un ?ltimo pago de(8. 0, 44.44 unmes después de pagada la ?ltima mensualidad. *ara elcálculo, utilizarel H6 con capitalización mensual.

E6E C)C)7 &> 1 a mejor o@erta2@na persona recibe tres o#ertas para la compra de su propiedad-3a5 (8. G44,444.44 de contado:3b5 (8. H4,444.44 de contado y (8. 4,444.44 semestrales, durante 0

aAos3c5 (8. 04,444.44 por trimestre anticipado durante 1 aAos y un pago

de(8. 0 4,444.44, al !nalizar el cuarto aAo.K ué o#erta debe escoger si la tasa de interés es del 6 anualL

E6E C)C)7 &? 1Kenerando @ondos 'ara sustitución dee ui'os2K ué suma debe depositarse anualmente, en un #ondo que abona elJ6para proveer la sustitución de los equipos de una compaAía cuyocosto esde (8. 044,444.44 y con una vida ?til de aAos, si el valor desalvamentose estima en el 46 del costoL

E6E C)C)7 =$ 1,obre/iros bancarios2*or lo general casi todos los empresarios recurren al banco paracubrirurgencias de ca+a vía los sobregiros 3ver glosario5: los plazos deéstosdependen de las políticas de cada institución !nanciera, pero escom?nencontrar en nuestro medio plazos de G 2oras, 1 días comomá imo.Estos plazos casi nunca los cumple el empresario, normalmentelossobregiros son pagados a los ó 14 días. 9a tasa promedio paraesteproducto !nanciero es GH6 anual más una comisión Qat de G6ygastos de portes de (8. .44 por cada sobregiro. eterminar eldescuento,el valor líquido, el costo e#ectivo de un sobregiro de 0 días por(8. 4,444.44, los costos cuando este es pagado con retraso a los y14días y la tasa e#ectiva anual.

E6E C)C)7 =% 1Evaluando la com'ra a cr+dito en unsu'ermercado2


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@na ama de casa compra a crédito el 8 4804 en un(@*E)ME)'"


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G. >lanZ %. 9eland y %arquin P. "nt2ony. 3 HHH5. &ngeniería EconómicaD &= Edición. Editora Emma "riza W. D 'olombia

. odge MarZ, (tinson 'raig. 3 HHH5. )unning Microso#t E cel 0444,;uía 'ompleta. Mc;ra[ Will D Mé icoJ. ;losario. 3044 5. isponible en 2ttp-88[[[.[orldbanZ.org D ;losarioI. 9yman '. *ecZ. 3 HI45. Matemáticas para irectivos de Empresay Economistas. Ediciones *irámide (.". D Madrid

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aplicaciones financieras de excel con matemáticas financieras_2016_alumnos

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