APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORASAplicaciones del Teorema de PitgorasObjetivo de AprendizajeUsar el Teorema de Pitgoras para resolver problemas reales.IntroduccinUn matemtico Griego llamadoPitgorasdescubri y prob una propiedad interesante de lostringulos rectngulos:la suma de los cuadrados de loscatetos, los lados que forman el ngulo recto, es igual al cuadrado de lahipotenusadel tringulo, el lado opuesto al ngulo recto. Algebraicamente, el teorema se escribe. EsteTeorema de Pitgorastiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniera y la arquitectura.sta simple pero poderosa ecuacin nos puede ayudar a mejorar nuestro conocimiento de la manipulacin de nmeros con exponentes. Y como los tringulos rectngulos son tan comunes, nos ayudar a entender lo til que es manejar trminos con exponenciales. La mejor parte es que ni siquiera tenemos que hablar Griego.El Teorema de PitgorasPitgoras estudi los tringulos rectngulos, y las relaciones entre los catetos y la hipotenusa antes de probar su teora.

El Teorema de PitgorasSiaybson las longitudes de los catetos de un tringulo rectngulo yces la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.Esta relacin est representada por la frmula:

Parece simple, pero intentemos con un tringulo rectngulo para ver si es cierto.

El teorema es vlido para este tringulo la suma de los cuadrados de los catetos es la misma cantidad que el cuadrado de la hipotenusa. Y, de hecho, es vlido para todos los tringulos rectngulos (aunque, como puedes ver, no todas las medidas son nmero enteros como 3, 4, y 5).Nota que el Teorema de Pitgoras no puede ser usado con cualquier tringulo slo aplica a los tringulosrectngulos.Encontrando la Longitud de la HipotenusaPodemos usar el Teorema de Pitgoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo si conocemos la longitud de sus catetos. Es decir, si conocemos las longitudes deayb, podemos encontrarc.Hagmoslo.

En el tringulo de arriba, nos dan las medidas de los catetosayb: 5 y 12, respectivamente. Podemos usar el Teorema de Pitgoras para encontrar el valor de la longitud dec, la hipotenusa.Ejemplo

ProblemaEncontrarccuandoa= 5 yb=12

Teorema de Pitgoras

Sustituiraybpor los valores conocidos

Simplificar

Combinar trminos semejantes

Calcular la raz cuadrada en ambos lados

Solucin

Usando la frmula, encontramos que la longitud e dec, la hipotenusa, debe ser 13. (Aunque existen dos valores posibles decque satisfacen la ecuacin, 13 y -13, las longitudes son siempre positivas, por lo que podemos ignorar el valor negativo.)Para cul de los siguientes tringulos es?A)B)C)D)Mostrar/Ocultar la RespuestaA) Incorrecto. Este no es el tringulo correcto, por lo que no puedes aplicar el Teorema de Pitgoras para encontrarr. La respuesta correcta es B.B) Correcto. El Teorema de Pitgoras slo aplica a tringulos rectngulos, Como este tringulo tiene un ngulo recto, la suma del cuadrado de los otros 2 lados puede ser usada para encontrarr.C) Incorrecto. Este no es el tringulo correcto, por lo que no puedes aplicar el Teorema de Pitgoras para encontrarr. La respuesta correcta es B.D) Incorrecto. Este no es el tringulo correcto, por lo que no puedes aplicar el Teorema de Pitgoras para encontrarr. La respuesta correcta es B.

Encontrando la Longitud de un CatetoPodemos tambin usar el Teorema de Pitgoras para encontrar la longitud de uno de los catetos de un tringulo rectngulo si nos dan las medidas de la hipotenusa y del otro cateto. Considera el tringulo siguiente:

Para encontrar la longitud del catetoa, podemos sustituir los valoresbycen la frmula y luego usar un poco de razonamiento algebraico para calculara.Ejemplo

ProblemaEncontraracuandob= 6 yc= 7

Teorema de Pitgoras

Sustituirbycpor los valores conocidos

Simplificar

Despejar el trminoa

Calcular la raz cuadrada en ambos lados

SolucinA 3.61es aproximadamente 3.61

Usando el Teorema de Pitgoras para Resolver Problemas CotidianosEl Teorema de Pitgoras es una de las frmulas matemticas ms tiles porque hay muchas circunstancias en el mundo real donde se puede aplicar. Por ejemplo, los arquitectos e ingenieros usan extensivamente esta frmula cuando construyen rampas:Los propietarios de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan del suelo al porche. El porche est a 3 pies sobre el suelo, y debido a regulaciones de construccin, la rampa debe empezar a 12 pies de distancia con respecto al porche. Qu tan larga debe ser la rampa?Para resolver un problema como este, normalmente dibujamos un diagrama simple que muestre los catetos y la hipotenusa del tringulo.

Observando el diagrama, podemos identificar los catetos y la hipotenusa del tringulo en el problema, Sabemos que el tringulo es un tringulorectnguloporque el suelo y la parte del porche son perpendiculares, esto significa que podemos usar el Teorema de Pitgoras para resolver este problema. Nos dan las longitudes de los catetosayb, por lo que podemos usar esa informacin para encontrar la longitud dec, la hipotenusa.Ejemplo

ProblemaEncontrarccuandoa= 3 yb=12

Teorema de Pitgoras

Sustituiraybpor valores conocidos

Simplificar

Combinar trminos semejantes

=Calcular la raz cuadrada en ambos lados

Solucin12.37 c

La rampa medir alrededor de 12.37 pies.SumarioEl Teorema de Pitgoras nos dice que para cualquier tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, El teorema est representado por la frmula.Si conocemos las longitudes de dos de los lados del tringulo, podemos aplicar el Teorema de Pitgoras para encontrar la longitud del tercer lado.