aplicaciones del teorema de los residuos · teorema de los residuos.elmatem´atico que realiz´o...

Ángela Casado García

José Luis Ansorena Barasoain y Judit Mínguez Ceniceros

Facultad de Ciencia y Tecnología

Grado en Matemáticas

2015-2016

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Aplicaciones del Teorema de los Residuos

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Aplicaciones del Teorema de los Residuos, trabajo fin de gradode Ángela Casado García, dirigido por José Luis Ansorena Barasoain y Judit Mínguez

Ceniceros (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.

En primer lugar querıa agradecer a mis tutores la dedicacion,el esfuerzo y la paciencia que han tenido conmigo.

Y agradecer a mi familia y companerospor apoyarme, ayudarme y levantarme siempre.

Resumen

El Teorema de los Residuos es uno de los resultados mas importantes ycon mas aplicaciones del Analisis Complejo. Cauchy desarrollo la teorıa defunciones analıticas de variable compleja a partir de integrales a lo largo decaminos, culminando su trabajo con el Teorema de los Residuos.

En esta memoria vamos a desarrollar algunas de las aplicaciones practicasdel Teorema de los Residuos. En los tres primeros capıtulos damos una Intro-duccion, una breve biografıa de Cauchy y los conceptos y resultados previosque necesitaremos en el resto del trabajo.

Los capıtulos 4 y 5 estan dedicados a las integrales racionales trigo-nometricas y las integrales impropias. En ellos vemos como la aplicacion delTeorema de los Residuos a una funcion y un camino adecuados puede ayu-darnos a resolver determinado tipo de integrales. Es importante destacar queno sabemos resolver algunas de estas integrales con las tecnicas habitualesdel Analisis Real.

Por ultimo, en el capıtulo 6 vamos a sumar series aplicando el Teoremade los Residuos. En definitiva, en esta memoria queremos mostrar como elAnalisis Complejo nos puede ayudar a resolver algunos problemas del AnalisisReal, mostrando la verdad de la famosa frase de J. Hadamard: El camino mascorto entre dos verdades del campo real pasa por el plano complejo.

III

Abstract

The Residue Theorem is one of the most important results in ComplexAnalysis due to its numerous applications. Cauchy developed the analyticfunction theory with a complex variable from path integrals, reaching itshighest point with his Residue Theorem.

In this work we are going to develop some practical applications fromResidue Theorem. In the first three chapters there is an introduction, a shortbiography of Cauchy and the initial concepts and results that we will needalong this work.

Chapters four and five are devoted to trigonometric rational integralsand improper integrals. Here we can see how the application of the ResidueTheorem to a function following a correct path can help us to solve somekind of integrals. It is important to remark that it is not possible to solvesome of these integrals with the usual techniques derived from Real Analysis.

Finally, in Chapter six we are going to sum series using the ResidueTheorem. Thus, in this work we would like to show how the Complex Analysiscan help us to solve some problems of Real Analysis, showing the meaningof the well- known sentence from J. Hadamard: The shortest and best waybetween two truths of the Real domain often passes through the imaginaryone.

V

Indice general

Resumen III

Abstract V

1. Introduccion 1

2. Biografıa de Augustin-Louis Cauchy 5

3. Preliminares 11

4. Resolucion de integrales racionales trigonometricas 17

5. Resolucion de integrales impropias 19

6. Calculo de series 47

Conclusion 53

Bibliografıa 55

VII

Capıtulo 1

Introduccion

La piedra angular del trabajo que presentamos es el hoy en dıa llamadoTeorema de los Residuos. El matematico que realizo los avances que per-mitieron formularlo y demostrarlo, y dio la primera version del mismo fueAugustin-Louis Cauchy. Cauchy se sirvio de la integracion sobre caminoscomo instrumento para crear la teorıa de funciones analıticas de variablecompleja, estableciendo lo que actualmente suele denominarse “teorıa deCauchy”, para distinguirlo de los enfoques posteriores de Riemann (con unavision mas geometrica) y de Weierstrass (basado en los desarrollos locales enserie de potencias). Gracias a la representacion (bajo ciertas condiciones) deuna funcion holomorfa mediante una integral dependiente de un parametro,Cauchy logro probar que, en C, las nociones de holomorfıa y analiticidad sonlas mismas, culminando su obra con lo que el denomino calculo de residuos.

El numero de vueltas que da un camino cerrado alrededor de ciertospuntos (el ındice) juega un papel insospechado en la teorıa de funcionesde variable compleja; ello es debido a que tal numero puede expresarse comouna integral, ligada con la variacion del logaritmo y, por ende, del argumento.Tenemos aquı un punto mas en el que el analisis complejo presenta una fuertecomponente geometrica, que va a hacer de los esquemas graficos un elementoauxiliar muy util.

En 1826 Cauchy introdujo el concepto de residuo y dio una primera ver-sion del Teorema de los Residuos. En su teorema, Cauchy enuncio el resultadopara bordes de rectangulos y para funciones finitas y continuas, aunque luegoutilizo la existencia y continuidad de la derivada de la funcion. Esto reflejala conviccion de Cauchy de que las funciones continuas admitıan desarrollosen series de potencias.

1

2 1. Introduccion

El teorema de Cauchy-Goursat (que aparecio en 1833 como una demos-tracion del teorema de Cauchy) afirma que si una funcion es analıtica1 entodo punto interior a un contorno cerrado simple C y en los puntos del propioC, entonces, el resultado de la integral de la funcion en ese contorno es cero.Sin embargo si la funcion no es analıtica en un numero finito de puntos in-teriores a C (singularidades aisladas), existe, un numero especıfico, llamadoresiduo, con que cada uno de esos puntos contribuye a la integral.

Cauchy descubrio en su tratado de 1831, Sur la mecanique celeste et surun nouveau calcul appele calcul del limites, su celebrada formula integral.Pero solo la establecio para circunferencias. El resultado no trascendio hasta1841 en Parıs. En ese momento Cauchy ya se habıa percatado de que estaformula conducıa al desarrollo en serie de potencias de las funciones tratadas.

El concepto de polo esta ya presente en la mente de Gauss, como de-muestra su famosa carta a Bessel de 1811, y en los trabajos de Cauchy. PeroCauchy desconocıa la existencia de singularidades esenciales y solo habla depuntos en los que la funcion toma valor infinito. La descripcion de polos ydel desarrollo en serie de la funcion las dio Riemann en 1851.

Otro resultado clave para llegar a las formulaciones actuales del conceptode residuo y del Teorema de los Residuos es el llamado Teorema de Laurent.El primero en obtenerlo fue Weierstrass, que lo establecio en 1841, y nuncadio excesiva importancia a su resultado. Laurent mostro el resultado en 1843en la Academia Francesa de las Ciencias. En el se relaciona con el estudio desingularidades ya que permite obtener un desarrollo en serie en torno a lassingularidades aisladas. El teorema de Laurent esconde dentro de sı tanto elteorema de Cauchy como la formula integral de Cauchy.

Del Teorema de los Residuos podemos decir que es el final de lo queconocemos como “teorıa global de Cauchy”.

El Teorema de los Residuos tiene multiples consecuencias, tanto teori-cas como practicas. Probablemente, las mas conocidas son su aplicacion alcalculo de integrales definidas. Ya en la obra Memoire sur les integrales defi-nies Cauchy presento un metodo para calcular integrales definidas en el queaparecen las primeras integrales calculadas mediante residuos. Dentro de lasaplicaciones teoricas podemos citar varias de ellas. El teorema que Roucheestablecio en 1862 y que lleva su nombre, es util para la localizacion de ceros

1Una funcion f es analıtica en un punto x0 de su dominio si existe una serie de potenciascentrada en x0 que converge en un entorno U de x0 y que coincide con la funcion en dichoentorno.

Angela Casado, Universidad De La Rioja

3

de una funcion y es consecuencia del Principio del Argumento. El teoremafundamental del algebra puede probarse a traves del teorema de Rouche. Ytambien podemos obtener un resultado sobre convergencia uniforme sobrecompactos, el teorema de Hurwitz.

En esta memoria nos dedicaremos a estudiar y profundizar en algunasde las aplicaciones practicas del Teorema de los Residuos. Vamos a empezardando una biografıa de Cauchy debido a su importancia en el desarrollo delAnalisis Complejo, en general, y en el Calculo de Residuos, en particular.En el capıtulo 3 daremos los conceptos y resultados previos necesarios queutilizaremos en el resto del trabajo.

Los capıtulos centrales de la memoria son el 4, 5 y 6.El capıtulo 4 esta dedicado al calculo de integrales trigonometricas racio-

nales. En general, este tipo de integrales sabemos resolverlas calculando laprimitiva. Eso sı, en muchos casos el proceso es largo y farragoso. Sin embar-go, la resolucion a partir del Teorema de los Residuos va a ser mucho masrapida y sencilla.

En el capıtulo 5 demostraremos teoremas generales para el calculo dealgunas integrales impropias. Muchas de ellas no sabemos resolverlas usandotecnicas basicas de Analisis Real. Por ejemplo, probaremos que∫ +∞

0

sen x

xdx =

π

2.

Otras integrales como ∫ +∞

−∞

1

1 + x6dx,

sı sabemos resolverlas calculando su primitiva, pero el proceso usando elTeorema de los Residuos se va a simplificar significativamente.

Por ultimo, el capıtulo 6 esta dedicado a la suma de series. Obtendremospor ejemplo, una de las formulas mas bonitas de las Matematicas

+∞∑n=1

1

n2=

π2

6,

calculando los residuos de una determinada funcion.Las ideas que hemos utilizado para desarrollar nuestra memoria se en-

cuentran en los libros de Mitrinovic [2], B. Cuartero y F. J. Ruiz [1] y E. T.Bell [3].


4 1. Introduccion

Nuestro objetivo es, en resumen, convecer al lector de la verdad que seesconde tras la famosa frase de J. Hadamard, que dice:

El camino mas corto entre dos verdades del campo real pasa por el planocomplejo.


Capıtulo 2

Biografıa de Augustin-LouisCauchy

Figura 2.1: Augustin-Louis Cauchy.

Augustin-Louis Cauchy fue un matematico frances, pionero en el analisisy la teorıa de permutacion de grupos. Investigo la convergencia y la diver-gencia de series infinitas, ecuaciones, determinantes, probabilidad y fısicamatematica.

Nacio en Parıs el 21 de agosto de 1789. Sus padres le llamaron ası por elmes del ano en que nacio. Era el mayor de seis hijos de un abogado catolico

5

6 2. Biografıa de Augustin-Louis Cauchy

y monarquico, que tuvo que retirarse a Arcueil cuando estallo la revolucion.Allı vivieron durante 11 anos de forma precaria, por lo que Cauchy creciodesnutrido y debil.

En esa epoca, la mayorıa de las escuelas estaban cerradas por lo que supadre Louis Francois Cauchy (1760-1848) se encargo personalmente de laeducacion de sus hijos. Cerca de Arcueil vivıan el marques de Laplace y elconde Claude Louis Berthollet, que se hicieron amigos del padre de Cauchyy pronto se dieron cuenta del enorme talento matematico del joven Cauchy.

En 1800 Louis Francois Cauchy fue elegido secretario del Senado y eljoven Cauchy utilizaba un rincon de su despacho para estudiar. Ası fue comoconocio a Joseph-Louis Lagrange, profesor en la Politecnica, que se interesopor el y dijo a su padre (ver [3]):

No le dejeis abrir un libro de Matematica hasta que tenga 17 anosy debeis apresuraros a darle una solida educacion literaria, porquesi no sera un gran matematico pero no sabra como escribir en supropio idioma.

En 1802 y siguiendo las recomendaciones de Lagrange, el joven Cauchycon 13 anos, ingreso en la Ecole Centrale du Pantheon donde curso lenguasclasicas, dibujo e historia natural durante dos anos, destacando y consiguien-do numerosos premios nacionales en Humanidades.

En 1804 deja la escuela y se dedica durante 10 meses al estudio intensivode las matematicas con la ayuda de un tutor y con el fin de ingresar en laEcole Polytechnique. Quedo segundo en el examen de ingreso. Ası, en 1805con 16 anos, entra en la Ecole Polytechnique donde su tutor es Ampere yasiste a las clases de Lacroix, Prony y Hachette. En 1807 se gradua comoingeniero de caminos en la Ecole Polytechnique y entra a la Ecole des Pontset Chaussees. Su trabajo practico lo hizo en el proyecto del Canal de Ourcq,donde trabajo con el ingeniero Pierre Girard.

En 1810, Cauchy consiguio su primer trabajo en Cherbourg como emplea-do del puerto donde estaba la flota de Napoleon preparada para la invasionde Inglaterra. Se llevo con el una copia de la Mecanique Celeste de Laplace,el Traite des Fonctions Analytiques de Lagrange, la Imitacion de Cristo deThomas Kempis y un ejemplar de las obras de Virgilio. Allı se levantaba alas cuatro de la manana y estaba todo el dıa trabajando. Fruto de esta de-dicacion es su primera memoria sobre la teorıa de poliedros, que presenta enfebrero de 1811, en la que prueba la inexistencia de otros poliedros regulares


7

distintos a los de 4, 6, 8, 12, 16 y 20 caras. Esta cuestion habıa sido planteadapor Poinsot.

Animado por Legendre y Malus, en 1812 Cauchy presenta la segundaparte de su memoria, donde da una prueba general de la formula de Euler1.

En septiembre de 1812 Cauchy sufre una fuerte depresion y decide aban-donar los trabajos como ingeniero y regresar a Parıs, donde se dedica a in-vestigar las funciones simetricas. En noviembre de ese mismo ano presentauna memoria sobre el calculo de las funciones simetricas. Este artıculo fuepublicado por el Journal de l’Ecole Polytechnique en 1815.

En febrero de 1813, ya recuperado de su enfermedad deberıa haber re-gresado a Cherburg, pero pidio quedarse en Parıs y se le permitio trabajarcomo ingeniero en el proyecto del canal de Ourcq.

En 1814 consigue una plaza de profesor asistente de analisis en el Institutede France donde era responsable del curso del segundo ano. Allı sigue inves-tigando y presenta su memoria fundamental sobre las integrales definidas,que llega a ser la base de la teorıa de las funciones complejas.

En 1815 demostro (ni Euler, ni Legendre, ni Lagrange ni Gauss pudie-ron hacerlo) el teorema de Fermat sobre los numeros poligonales 2: “Todonumero entero positivo es suma de a lo maximo de n numeros poligona-les. Cada numero natural puede ser escrito como la suma de tres o menosnumeros triangulares, o cuatro o menos numeros cuadrados, o cinco o menosnumeros pentagonales, y ası sucesivamente; el cero en cada caso es contadocomo un numero del tipo correspondiente. Un numero triangular es uno delos numeros 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21,. . . obtenidos construyendo triangulos regu-lares (equilateros) mediante puntos (ver figura 2.2). De un modo analogo se

Figura 2.2

construyen los cuadrados, los pentagonos,. . . ”

1La formula de Euler que se encuentra en los manuales de Geometrıa, relacionando elnumero de aristas (A), caras (C) y vertices (V) de un poliedro: A+ 2 = C + V.

2Un numero poligonal es un numero natural que puede ser representado como unpolıgono regular.



En 1816 gano el Gran Premio de la Academia de Ciencias de Francia conun trabajo sobre la propagacion de las ondas sobre la superficie de un fluidopesado de profundidad indefinida. Ese mismo ano, con 37 anos es nombradoacademico, por decreto, ocupando el lugar dejado por Monge que habıa sidodestituido por Napoleon. Tambien es nombrado profesor titular de Analisisy de Mecanica en la Ecole Polytechnique.

En 1817 ocupa el puesto de Biot impartiendo clases de Fısica en el Collegede France. Allı enseno los metodos de integracion que habıa descubierto,aunque todavıa no los habıa publicado.

En 1818 se caso con Aloise de Bure, hija del editor de la mayorıa de susobras, con la que vivio casi 40 anos y tuvo dos hijas.

En 1822 escribio su Analyse Algebrique como texto para sus alumnos dela Ecole Polytechnique y en 1823 publico Lecons sur la aplication du calculinfinitesimal a la geometrie. En estos textos, Cauchy precisa los conceptosde funcion, lımite y continuidad en la forma actual o casi actual. Tomandoel concepto de lımite como punto de partida del analisis y eliminando de laidea de funcion toda referencia a una expresion formal, algebraica o no, parafundamentarla sobre la nocion de correspondencia. A partir de este momen-to, los conceptos aritmeticos otorgan rigor a los fundamentos del analisis,hasta entonces apoyados en una intuicion geometrica que quedara eliminada.Gracias a Cauchy, el analisis adquiere bases solidas.

Tambien, en lugar de tratar la integracion como la operacion inversa dela diferenciacion, la plantea como lımite de una cierta suma, lo que suponeun giro respecto al trabajo que en este campo se habıa realizado en el sigloXVII, a la par que una vuelta a posiciones anteriores al mismo.

Cauchy redacto una especie de diario, llamado Exercises de Mathemati-ques (1826-1830) y que continuo en una segunda serie denominada Exercisesd’Analyse Mathematique et de Physique.

En 1826 comienza a estudiar la aritmetica modular. Empieza un estudiodel calculo de los residuos en el Sur un Nouveau Genre de au Calcul y en1829 define por primera vez el concepto de funcion compleja de variable com-pleja en su Lecons sur le Calcul Differentiel. Es fundamental la aportacionde Cauchy a la teorıa de funciones de variable compleja, donde Euler culminael trabajo en este campo. Tambien introdujo el rigor en el tratamiento de lasseries fijando criterios de convergencia y eliminando, a pesar suyo, las seriesdivergentes. Numerosos terminos matematicos llevan su nombre: el teoremaintegral de Cauchy, en la teorıa de las funciones complejas; el teorema deexistencia de Cauchy-Kovalevskaya para la solucion de ecuaciones en deriva-


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das parciales; las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las sucesiones de Cauchy,entre otros.

La relacion de Cauchy con otros cientıficos no era buena, debido entreotras razones a sus creencias religiosas y a su relacion con los jesuitas, loscuales estaban en contra de la Academia de Ciencias. Por ejemplo, criticoel trabajo de Poncelet sobre geometrıa proyectiva en 1820 sin dar ningunarazon. Tampoco se trataba con Abel Galois. Cuando Abel murio en 1829,Cauchy todavıa no habıa dado su informe sobre el excelente trabajo queAbel presento en 1826. Como consecuencia de estos enfrentamientos, Cauchynunca fue bien considerado por sus colegas a pesar de publicar numerososresultados.

La Revolucion de 1830 en Parıs lleva al trono a Louis Philippe I. Cauchyera un monarquico conservador con una fuerte adhesion a los Borbones ycomo consecuencia de la revolucion decide irse a Suiza. En 1831 fue a Turındonde el Rey de Piamente le ofrecio una catedra de fısica matematica.

En 1833 Cauchy fue de Turın a Praga para encargarse de la educaciondel heredero del Rey Carlos X, que tenıa 13 anos. A pesar de la constanteatencion que prestaba a su discıpulo, Cauchy tambien sacaba tiempo pa-ra seguir trabajando en sus matematicas. La obra mas importante de esteperıodo fue su larga memoria sobre la dispersion de la luz, en la que Cauchyintento explicar el fenomeno de la dispersion, sobre la hipotesis de que la luzes causada por las vibraciones de un medio elastico.

En 1838 vuelve a Parıs y recupera su puesto en la Academia, aunque nosus puestos de ensenanza puesto que no esta dispuesto a jurar lealtad al regi-men de Louis Philippe I. En 1843 pudo entrar a trabajar al College de Francepero no lo hizo porque se nego a pronunciar el juramento de lealtad. Sin em-bargo, el Bureau des Longitudes hizo la vista gorda y lo contrato a pesarde no haber prestado juramento. De este perıodo destacan sus aportacionessobre astronomıa matematica.

Cuando Louis Philippe fue destronado en 1848, Cauchy recupero su po-sicion universitaria, recibio los honores de Napoleon III y fue nombrado pro-fesor de Astronomıa en la Sorbona. Allı permanecio dedicado a la docenciahasta su muerte.

Una disputa bastante tonta sobre atribuciones cientıficas oscurecio losultimos anos de su vida. Fue con Duhamel y Poncelet por la prioridad de unresultado sobre el choque inelastico. Duhamel decıa haber sido el primero en1832, mientras que Poncelet aseguraba haberlo dado en un trabajo suyo de1826.



Su inmensa obra, Oeuvres completes d’Ausgustin (1882-1970) editada enFrancia, ocupa veintisiete volumenes, sin contar los libros dedicados a laensenanza y los multiples artıculos. Probablemente solo Euler le supera eneste aspecto. A diferencia de otros matematicos que no tenıan demasiadapreocupacion por los aspectos pedagogicos de su obra, y tampoco publicabantodo lo que probaban, Cauchy era un asiduo de las revistas cientıficas dela epoca y en sus exposiciones estaba siempre presente un afan didactico.Tambien impartio conferencias en algunas ciudades europeas, entre ellas,alguna espanola.

A menudo se le compara con Gauss, al ser los dos grandes matematicosde la primera mitad del siglo XIX. Podrıa decirse que, aun sin tener ideassuperiores, Cauchy supo vender mejor su producto que Gauss.

Cuentan que una vez le presentaron un artıculo que pretendıa demostrarque la ecuacion

x3 + y3 + z3 = t3

no tenıa soluciones enteras. Cauchy devolvio el manuscrito con una simplenota en la que se podıa leer

33 + 43 + 53 = 63.

Cauchy murio inesperadamente a los 68 anos, el 23 de mayo de 1857 enSceaux. Padecıa una bronquitis y se fue al campo creyendo que allı mejorarıa.Sin embargo, no logro superar la enfermedad. Sus ultimas palabras fuerondirigidas al arzobispo: “Los hombres pasan, pero sus obras quedan”.


Capıtulo 3

Preliminares

Sabemos que toda funcion derivable, en el sentido complejo, en un abiertodel plano complejo es analitca. Concretamente, dada una funcion holomorfaf : Ω → C, donde Ω es un abierto del plano complejo, y un punto a ∈ Ωexiste una sucesion (an)

∞n=1

f(z) =+∞∑n=0

an(z − a)n, |z − a| < dist(a,C \ Ω).

Ademas, la sucesion de coeficientes (an)∞n=1 en el desasrrollo en serie de po-

tencias anterior es unica. De hecho se tiene que la funcion holomorfa f esindefinidamente derivable, en el sentido complejo y, ademas,

an =f (n)(a)

n!n = 0, 1, 2, . . . .

Un punto a del plano complejo es una singularidad aislada de un abiertoΩ ⊂ C si a �∈ Ω y existe un r > 0 tal que

D(a, r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r} ⊂ Ω.

Decimos que a es un punto singular de una funcion f si es una singularidadaislada del conjunto abierto en el que f es holomorfa. Las funciones holo-morfas tambien admiten desarrollos en serie entorno a sus puntos singulares.Concretamente, dada una funcion holomorfa f : Ω → C, donde Ω es un abier-to del plano complejo y una singuridad aislada de Ω, digamos a, existe unasucesion doble (an)

∞n=−∞

f(z) =+∞∑n=∞

an(z − a)n, 0 < |z − a| < dist(a,C \ Ω ∪ {a}). (3.1)

11

12 3. Preliminares

Estas series dobles se llaman series de Laurent y el punto a se dice que es sucentro. En general las series de Laurent de centro a convergen en una corona

D(a, r1, r2) = {z ∈ C : r1 < |z − a| < r2}para ciertos valores de 0 ≤ r1 ≤ r2 ≤ ∞ y divergen fuera de la clausura dela mencionada corona. En el caso que nos ocupa, el de la serie en la ecuacion(3.1), tenemos que

r1 = 0 < dist(a,C \ Ω ∪ {a}) ≤ r2.

Los coeficientes en (3.1) tambien son unicos. Una forma de darse cuenta deella es utilizar la expresion integral

an =1

2πi

∫∂D(a,r)

f(z)

(z − a)n+1dz. (3.2)

Aquı ∂D(a, r) denota un camino cerrado simple que recorre la frontera deldisco D(a, r) en sentido positivo (contrario al de las agujas del reloj, si ima-gimos un reloj analogico posado hacia arriba sobre el plano complejo). Engeneral, un camino γ : [a, b] → C es una curva C(1) a trozos; es decir, existen

a = t0 < t1 · · · < tn−1 < tn = b

tales que γ[tj ,tj+1] es de clase C(1) para cada j = 0, 1, . . . , n−1. Diremos que uncamino es cerrado si γ(a) = γ(b), o sea si coinciden su origen y su extremo.Y es cerrado y simple si ademas es inyectiva en [a, b), es decir, si γ(s) = γ(t)solo si {t, s} = {a, b}.

La unicidad de los coeficientes de la sucesion doble (an)∞n=−∞ que permite

obtener (3.1), a la que llamamos sucesion de coeficientes de Laurent en elpunto a, nos permite definir el concepto de residuo de una funcion holomorfaen un punto singular: es el coeficiente correspondiente al ındice −1 en lasucesion de coeficientes de Laurent en el punto singular. Es decir, siempre setiene (3.1),

Res(f ; a) = a−1.

Llamaremos ciclo Γ = [γ1, . . . , γn] a una sucesion finita de caminos cerra-dos

Definimos ındice de un punto a respecto a un ciclo Γ como

IndΓ(a) =1

2πi

∫Γ

dz

z − a=

∑γ∈Γ

1

2πi

∫γ

dz

z − a,


13

que geometricamente equivale al numero de vueltas que da el ciclo alrededordel punto.

Decimos que un ciclo es homologo a 0 respecto a un abierto Ω, Γ ∼ 0(Ω),si IndΓ(a) = 0 para todo a ∈ C \ Ω.

Ya estamos en disposicion de enunciar el Teorema de los Residuos.

Teorema 3.1 (Teorema de los Residuos). Sea Ω ⊂ C abierto no vacıo y seaf ∈ H(Ω \ A), donde A ⊂ Ω consta de singularidades aisladas de f . Sea Γun ciclo homologo a 0 con respecto a Ω, tal que A ∩ sop Γ = ∅ entonces

1

2πi

∫Γ

f(z) dz =∑a∈A

Res(f ; a) · IndΓ(a). (3.3)

Tenemos tres tipos de singularidades aisladas:

(1) Si f tiene lımite en a y este es un valor α ∈ C se dice que a es una sin-gularidad evitable. Notemos que f se extiende a una funcion holomorfaen D(a; δ) sin mas que definir f(a) = α. En este caso el desarrollo enserie de Laurent de f en el punto a sera de la forma:

f(z) =∞∑n=0

an(z − a)n, z ∈ D(a; 0, R).

(2) Si lımz→a

f(z) = ∞, a es un polo de f . Decimos que a es un polo de orden

k silımz→a

(z − a)kf(z) = l ∈ C \ {0},y el desarrollo en serie de Laurent de f en a sera de la forma:

f(z) =Ak

(z − a)k+· · ·+ A2

(z − a)2+

A1

z − a+

∞∑n=0

an(z−a)n, z ∈ D(a; 0, R).

(3) Si no existe lımz→a

f(z) en C∞, a es una singularidad esencial de f . En este

caso, el desarrollo de Laurent centrado en a tendra infinitos terminosde potencias negativas de z − a.

Con esto es facil ver como se calculan los residuos si las singularidadesson evitables o polos:


14 3. Preliminares

1) Si a es una singularidad evitable de f , entonces Res(f ; a) = 0.

2) Si a es un polo de orden k ∈ N entonces

Res(f ; a) =1

(k − 1)!lımz→a

[(z − a)kf(z)](k−1).

Notar que si tenemos una funcion f y un ciclo Γ tales que

f ∈ H(Ω), Γ ∼ 0(Ω), a �∈ sop Γ.

y tomamos g(z) =f(z)

z − a∈ H(Ω\{a}), sop Γ ⊂ Ω\{a}. Aplicando el Teorema

de los Residuos tenemos

1

2πi

∫Γ

f(z)

z − adz =

1

2πi

∫Γ

g(z)dz = IndΓ(a) Res(g; a).

g(z) tiene en a un polo de orden 1 o una singularidad evitable. EntoncesRes(g; a) = f(a) y

1

2πi

∫γ

f(z)

z − adz = f(a) IndΓ(a).

Es decir, el Teorema de los Residuos culmina la teorıa de Cauchy.Veamos algunos ejemplos de calculo de residuos

Ejemplo 1. Sea f(z) =ez

z(1− e−z)∈ H(C \ {2πki : k ∈ Z}). Entonces las

singularidades aisladas son {2πki : k ∈ Z}.Si k �= 0, 2πki son polos simples

lımz→2πki

(z − 2πki)ez

z(1− e−z)= lım

z→2πki

ez

zlım

z→2πki

z − 2πki

1− e−z

=1

2πkilım

z→2πki

1

e−z

=1

2πki.

Por tanto

Res(f ; 2πki) =1

2πki, k �= 0.


15

Si k = 0, z = 0 es un polo de orden 2.

lımz→0

z2ez

z(1− e−z)= lım

z→0

z

1− e−z= lım

z→0

1

e−z= 1.

Luego el residuo es

Res(f ; 0) =d

dz(z2f(z)) |z=0 =

3

2.

Ejemplo 2. Sea f(z) =z − sen z

z3∈ H(C \ {0}). Su singularidad aislada es

el 0. Veamos que es una singularidad evitable

lımz→0

z − sen z

z3= lım

z→0

1− cos z

3z2= lım

z→0

sen z

6z=

1

6.

Entonces Res(f ; 0) = 0.

Ejemplo 3. Sea f(z) = (z − 3) sen1

z + 2∈ H(C \ {−2}). Entonces -2 es

una singularidad aislada y en este caso, es esencial. Calculamos su serie deLaurent centrada en -2 y nos queda

f(z) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!

1

(z + 2)2n− 5

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!

1

(z + 2)2n+1.

Luego Res(f ;−2) = −5.

Damos ahora algunos ejemplos de resolucion de integrales aplicando elTeorema de los Residuos.

Ejemplo 4. Calculad la integral∫γ

zne1/zdz, n ∈ N

donde γ es una circunferencia que rodea al punto 0.La funcion f(z) = zne1/z ∈ H(C \ {0}) y γ ∼ 0(C). Entonces por el

Teorema de los Residuos∫γ

zne1/zdz = 2πiRes(f ; 0) Indγ(0).


16 3. Preliminares

Indγ(0) = 1 y 0 es una singularidad esencial de f . Calculamos su serie deLaurent centrada en 0

f(z) = zn∞∑k=0

1

k!

1

zk=

∞∑k=0

1

k!

1

zk−n.

Por tanto, Res(f ; 0) =1

(n+ 1)!.

Ejemplo 5. Calculad la integral∫γ

z2

e2πiz3 − 1dz,

donde γ es la circunferencia centrada en el origen y de radio r con n < r3 <n+ 1, n ∈ N.

Las singularidades aisladas en el interior de γ son de la forma,

z = 0, zj,k = k1/3ei2πj3 , wj,k = k1/3ei

π+2πj3 ,

con j = 0, 1, 2, k = 0, . . . , n. Todas ellas son polos simples de la funcion.Calculamos sus residuos y nos queda

Res(f ; 0) =1

2πi, Res(f ; zj,k) =

1

6πi, Res(f ;wj,k) =

1

6πi.

Por tanto, aplicando el Teorema de los Residuos∫γ

z2

e2πiz3 − 1dz = 2πi

(1

2πi+ 6n

1

6πi

)= 2n+ 1.


Capıtulo 4

Resolucion de integralesracionales trigonometricas

Sea I una integral racional trigonometrica de la forma

I =

∫ 2π

0

R(sen θ, cos θ, sen 2θ, cos 2θ, . . .)dθ.

Si z = eiθ, aplicando la formula de Moivre obtentemos

sen θ =z − z−1

2i, cos θ =

z + z−1

2.

sen(kθ) =zk − z−k

2i, cos(kθ) =

zk + z−k

2.

Definimos la funcion f(z) como

f(z) =R(

z−z−1

2i, z+z−1

2, . . .

)iz

.

Sea A el conjunto de singularidades aisladas de f y γ la circunferencia centra-da en el origen y de radio 1. Entonces, aplicando el Teorema de los Residuostenemos que

I =

∫γ

f(z)dz = 2πi∑

a∈D(0,1),a∈ARes(f ; a).

Veamos un ejemplo donde aplicar este resultado:

17

18 4. Resolucion de integrales racionales trigonometricas

Ejemplo 6. Calcular la integral:

I =

∫ 2π

0

dθ

a+ cos θ, a > 1.

Notar que ∫ 2π

0

dθ

a+ cos θ=

∫γ

1

a+ z+z−1

2

dz

iz=

2

i

∫γ

dz

z2 + 2az + 1.

a1 = −a +√a2 − 1, a2 = −a − √

a2 − 1 son polos de orden 1 de la funcion

f(z) =1

z2 + 2az + 1.

Entonces podemos aplicar el Teorema de los Residuos con Ω = C, A ={a1, a2}, f ∈ H(C \ {a1, a2}), sop γ ⊂ Ω \ A, ya que |a1| > 1 y |a2| < 1 yγ ∼ 0(Ω). Ası,

I =2

i2πi(Res(f ; a1) Indγ(a1) + Res(f ; a2) Indγ(a2)).

Indγ(a1) = 0, Indγ(a2) = 1, y Res(f ; a2) =1

2√a2 − 1

. Luego

I =2π√a2 − 1

.


Capıtulo 5

Resolucion de integralesimpropias

En este capıtulo vamos a calcular el valor principal de algunas integra-les impropias usando el Teorema de los Residuos. Empezamos recordandodistintos conceptos de integral.

a) f es integrable (en sentido de Lebesgue) en R, y denotamos f ∈ L1(R),si es medible Lebesgue y∫ +∞

−∞|f(x)|dx < +∞.

En este caso es posible definir∫ +∞

−∞f(x)dx ∈ R.

De igual modo se define la integrabilidad y la integral en un intervalode la recta real.

b) f es integrable en sentido impropio en R si es integrable en cada inter-valo [s, t] ⊂ R y si existe el lımite

∃ lımt→+∞s→−∞

∫ t

s

f(x)dx =

∫ +∞

−∞f(x)dx.

De igual modo se define la integral impropia en cualquier intervalo dela recta real.

19

20 5. Resolucion de integrales impropias

c) Decimos que existe el valor principal de

∫ +∞

−∞f(x)dx si la funcion f es

integrable en cada intervalo [s, t] ⊂ R y ademas

∃ lımt→+∞

∫ t

−t

f(x)dx = v.p.

∫ +∞

−∞f(x)dx.

Notamos que toda integral en sentido de Lebesgue sobre R es una integralimpropia. De la misma manera, toda integral impropia sobre R es un valorprincipal.

El proceso de obtencion de integrales sobre la recta real, o un intervalosuyo, que utilizaremos se basa en, tras aplicar del Teorema de los Residuos,realizar estimaciones y pasos al lımite sobre integrales de funciones continuasen intervalos cerrados acotados. De modo que las integrales que obtenemosson, en principio, valores principales e integrales impropias. No obstante, lashipotesis que imponemos en los teoremas permiten, en ocasiones, probar quelas funciones cuya integral calculamos son integrables y, por tanto, obtenerintegrales en sentido de Lebesgue.

Empezamos calculando la integral de funciones racionales. Recordar quesabemos calcular las primitivas de estas funciones usando la descomposicionen fracciones simples, lo que en muchos casos, es un metodo muy largo.

Notacion: C+ denota el conjunto de los numeros complejos cuya parteimaginaria es mayor que 0.

Teorema 5.1. Sea Q una funcion racional con coeficientes reales, con ∞ uncero de orden p mayor o igual que 2. Supongamos que Q no tiene polos realesen el denominador y denotamos por P el conjunto de polos de Q. EntoncesEntonces Q ∈ L1(R) y

∫ +∞

−∞Q(x) dx = 2πi

∑a∈P∩C+

Res(Q; a). (5.1)

Demostracion. La funcion Q(x) es integrable en (−∞,∞) porque tiene en ∞un cero de orden mayor o igual que 2 y no tiene polos reales. Sea Γ = [γ1, γ2]con γ1(x) = x, −R ≤ x ≤ R y γ2(θ) = Reiθ con 0 ≤ θ ≤ π, como en lafigura 5.1.

Sea Ω = C, Q ∈ H(Ω\P ),Γ ∼ 0(Ω) y tomamos R suficientemente grandepara que sop Γ∩P = ∅ . En realidad buscamos que los polos de Q con parte


21

Γ2

Ω1Ω2

Ω4Ω3

Γ1 R-R

Figura 5.1

real positiva esten en el interior de Γ. Entonces, aplicando el Teorema de losResiduos tenemos ∫

Γ

Q(z) dz = 2πi∑a∈P

Res(Q; a) IndΓ(a). (5.2)

La parte derecha de (5.2) se transforma en

2πi∑

a∈P∩C+

Res(Q; a),

ya que IndΓ(a) = 1 si Im (a) > 0, y IndΓ(a) = 0 si Im (a) < 0.La parte de la izquierda de (5.2) nos queda de la siguiente manera∫

Γ

Q(z) dz =

∫γ1

Q(z) dz +

∫γ2

Q(z) dz. (5.3)

Las estudiaremos por separado. Empezamos estudiando la integral en γ1.∫γ1

Q(z) dz =

∫ +R

−R

Q(γ1(x))γ1′(x) dz =

∫ +R

−R

Q(x) dx.

Entonces

lımR→∞

∫γ1

Q(z) dz =

∫ +∞

−∞Q(x) dx,



ya que Q es integrable en (−∞,+∞).Estudiamos la integral en γ2, con γ2(θ) = Reiθ, 0 ≤ θ ≤ π.Como Q tiene en ∞ un cero de orden p con p ≥ 2, existe R0 > 0 tal que

|Q(z)| ≤ C∣∣z−p

∣∣ , |z| > R0.

Tomando R > R0, si z ∈ sop γ2

|Q(z)| < CR−p.

Ası, ∣∣∣∣∫γ2

Q(z) dz

∣∣∣∣ ≤∫γ2

|Q(z)| |dz| ≤ CR−p long γ2 = CR−pπR.

Tomando ahora lımites cuando R → ∞ tenemos

lımR→∞

∫γ2

Q(z) dz = 0.

Haciendo R → ∞ en (5.2), llegamos a (5.1).

Ejemplo 7. Calculad la integral∫ +∞

−∞

1

1 + x6dx.

Definimos Q(z) = 11+z6

que tiene en ∞ un cero de orden 6 y no tienepolos reales. Por tanto Q(x) es integrable en R. Los polos de Q(z) sonP = {z1, z2, z3, z4, z5, z6} con

z1 = eiπ6 , z2 = e

iπ2 , z3 = e

i5π6 , z4 = e

i7π6 , z5 = e

i3π2 , z6 = e

i11π6 .

Por lo tanto aplicando el teorema 5.1, calculamos los residuos de los poloscuya parte imaginaria es mayor que 0

Res(f ; eiπ6 ) = lım

z→eiπ6

(z − eiπ6 )

1

z6 + 1=

e−i5π

6

6

Res(f ; eiπ2 ) = lım

z→eiπ2

(z − eiπ2 )

1

z6 + 1=

e−i5π

2

6


23

Res(f ; ei5π6 ) = lım

z→ei5π6

(z − ei5π6 )

1

z6 + 1=

e−i25π

6

6

Entonces

∫ +∞

−∞

1

x6 + 1dz = 2iπ(Res(f ; e

iπ6 ) + Res(f ; e

iπ2 ) + Res(f ; e

i5π6 )) =

2π

3.

Ejemplo 8. Calculad para s, t > 0, e y ∈ R.

∫ +∞

−∞

dx

(t2 + x2)(s2 + (x− y)2).

Sea Q(z) =1

(t2 + z2)(s2 + (z − y)2)cuyos polos son P = {z1, z2, z3, z4} con

z1 = it, z2 = −it, z3 = y + is, z4 = y − is.

Q(z) no tiene polos reales e∞ es un cero de orden 4. Por tanto,Q(x) ∈ L1(R).Calculamos los residuos de los polos cuya parte imaginaria es mayor que cero.Si asumimos que y+ is �= it (o sea, excluimos los casos en que, a la vez, s = te y = 0,

Res(f ; it) = lımz→it

(z − it)1

(t2 + z2)(s2 + (z − y)2)=

1

2it(s2 + (it− y)2),

Res(f ; y + is) = lımz→y+is

(z − (y + is))1

(t2 + z2)(s2 + (z − y)2)

=1

2is(t2 + (y + is)2).



Aplicando el teorema 5.1 tenemos que∫ +∞

−∞

dx

(t2 + x2)(s2 + (x− y)2)

= 2iπ(Res(f ; it) + Res(f ; y + is))

= 2πi

(1

2it(s2 + (it− y)2)+

1

2is(t2 + (y + is)2)

)

= iπ

st

s(t2 + (y + is)2) + t(s2 + (it− y)2)

(t2 + (y + is)2)(s2 + (it− y)2)

=π

st

st2 + t2s+ y2s+ y2t− s3 − t3 + 2is2y − 2it2y

(t2 + (y + is)2)(s2 + (it− y)2)

=π(s+ t)

st

st+ y2 − s2 + st− t2 + 2iy(s− t)

(t2 + (y + is)2)(s2 + (it− y)2)

=π(s+ t)

st

y2 − (s− t)2 + 2iy(s− t)

(t2 + (y + is)2)(s2 + (it− y)2)

=π(s+ t)

st

(y + i(s− t))2

(y + is+ it)(y + is− it)(y − it+ is)(y − it− is)

=π(s+ t)

st

1

(y + i(s+ t))(y − i(s+ t))

=π(s+ t)

st

1

y2 + (s+ t)2.

Usando la continuidad de ambos miembros de la igualdad∫ +∞

−∞

dx

(t2 + x2)(s2 + (x− y)2)=

π

st

s+ t

y2 + (s+ t)2.

obtenemos que esta expresion tambien es valida en el caso s = t e y = 0.

El ejemplo anterior tiene una interpretacion en terminos de semigrupos.Notamos que la convolucion de dos funciones f , g : R → R se define como

f ∗ g(y) =∫ +∞

−∞f(x)g(y − x) dx, y ∈ R.

Nosotros nos restringimos al caso en que f , g ∈ L1(R), en cuyo caso f ∗g estabien definida en casi todo punto, y se tiene f ∗ g ∈ L1(R). La convulocion en


25

L1(R) tiene las propiedades de semigrupo (o sea, es una operacion asociativa)conmutativo.

Si definimos, para t > 0,

Pt(x) =1

π

1

t2 + x2, x ∈ R,

el ejemplo anterior se lee como

Pt ∗ Ps = Ps+t, s, t > 0.

En otras palabras la aplicacion

t �→ Pt, t > 0

es un homomorfismo del semigrupo R+ es el semigrupo L1(R). Por tanto el

conjunto{Pt : t > 0}

forma un semigrupo, al que se conoce como semigrupo de Poisson.

Teorema 5.2. Sea Q una funcion racional con un cero de orden p ≥ 2 en∞ y sin polos reales en el denominador. Sea P el conjunto de polos de Q(z).

Sea f(z) =

(n∑

j=1

ajeλjiz

)Q(z) donde aj ∈ R y λj ∈ [0,+∞), j = 1, . . . , n.

Entonces f ∈ L1(R) y∫ +∞

−∞f(x) dx = 2πi

∑a∈P∩C+

Res(f ; a). (5.4)

Demostracion. Vamos a demostrar el caso f(z) = Q(z)eiλz. En el caso gene-ral la dificultad es la misma, pero la notacion mas farragosa.

La funcion f es integrable en (−∞,∞) porque Q tiene en ∞ un cero deorden mayor o igual que 2, Q no tiene polos reales y la parte trigonometricaesta acotada en la recta real.

Sea Ω = C, f ∈ H(Ω\P ), Γ ∼ 0(Ω), donde Γ = [γ1, γ2] con γ1(x) = x,−R ≤ x ≤ R y γ2(θ) = Reiθ, 0 ≤ θ ≤ π, como en la figura 5.1. Tomemos Rsuficientemente grande para que sop Γ∩P = ∅. Aplicando el Teorema de losResiduos tenemos que∫

Γ

f(z) dz = 2πi∑

a∈P∩C+

Res(f ; a). (5.5)



La parte de la izquierda de (5.5) nos queda de la siguiente manera∫Γ

Q(z)eiλz dz =

∫γ1

Q(z)eiλz dz +

∫γ2

Q(z)eiλz dz.

Empezamos estudiando la integral a lo largo de γ1

∫γ1

Q(z)eiλz dz =

∫ +R

−R

Q(γ1(x))γ1′(x)eiλx dz =

∫ +R

−R

Q(x)eiλx dx.

Como f(x) = Q(x)eiλx es integrable en (−∞,+∞) se tiene que

lımR→∞

∫γ1

Q(z)eiλz dz =

∫ +∞

−∞Q(x)eiλx dx. (5.6)

Ahora vamos a estudiar la otra integral

∫γ2

Q(z)eiλz dz. Como Q tiene en ∞un cero de orden p mayor o igual que 2, existe un R0 > 0 tal que

|Q(z)| ≤ C

|z|p , |z| > R0.

Si R > R0 y z ∈ sop γ2, ∣∣Q(z)eizλ∣∣ ≤ C

Rp

∣∣eizλ∣∣.Por otro lado

∣∣eizλ∣∣ = ∣∣eiλRe z−λIm z∣∣ = e−λIm z ≤ 1 ya que λIm z ≥ 0.∣∣∣∣

∫γ2

Q(z)eiλz dz

∣∣∣∣ ≤∫γ2

∣∣Q(z)eiλz∣∣ dz ≤ C

RpπR.

Por tanto,

lımR→+∞

∫γ2

Q(z)eiλzdz = 0. (5.7)

Tomando lımites en (5.5) y usando (5.6) y (5.7), tenemos

lımR→∞

∫Γ

Q(z)eiλz dz = lımR→∞

∫γ1

Q(z)eiλz dz + lımR→∞

∫γ2

Q(z)eiλz dz

=

∫ +∞

−∞Q(x)eiλx dx = 2πi

∑a∈P∩C+

Res(Qeiλx; a).


27

La transformada de Fourier de una funcion f ∈ L1(R) se define como

f(t) =

∫ +∞

−∞f(x)e−itx dx, t ∈ R.

En el proximo ejercicio calculamos la transformada de Fourier de la funciondada por

f(x) =1

1 + x2.

Ejemplo 9. Calcular, para t ∈ R la integral

∫ +∞

−∞

e−itx

1 + x2dx

Supongamos que t > 0 Sea Q(z) =1

1 + z2, que es una funcion racional con

polos en P = {i,−i}, y sea f(z) =1

1 + z2eitz ∈ H(C\P ). Entonces aplicando

el teorema 5.2, obtenemos que

∫ +∞

−∞

eitx

1 + x2dx = 2πiRes(f ; i)

Como i es un polo de orden 1 para f

Res(f ; i) = lımz→i

(z − i)eiz

1 + z2= lım

z→i

eitz

z + i=

e−t

2i.

Por tanto ∫ +∞

−∞

eitx

1 + x2dx = πe−t, t > 0.

Realizando en esta integral el cambio de variable x = −y obtenemos

∫ +∞

−∞

e−itx

1 + x2dx = πe−|t|, t ∈ R.

El proximo teorema es similar al anterior pero permitiendo que la funcionracional tenga polos reales.



Teorema 5.3. Sea Q un funcion racional con un cero de orden p ≥ 2 en ∞y con polos en P . Sean aj ∈ R y λj ∈ [0,+∞), j = 1, . . . , n.Sean

f(z) =

(n∑

j=1

ajeλjiz

)Q(z), g(z) =

(n∑

j=1

aj cos(λjz)

)Q(z),

h(z) =

(n∑

j=1

aj sen(λjz)

)Q(z)

.

Denotamos A = πi

⎛⎝2

∑a∈P∩C+

Res(f ; a) +∑

a∈P∩RRes(f ; a)

⎞⎠ .

1. Si Q tiene polos reales p1, p2, . . . , pk de ordenes m1,m2, . . . ,mk, don-de p1, p2, . . . , pk son singularidades evitables de la funcion a integrar,entonces

∫ +∞

−∞

(n∑

j=1

aj cos(λjx)

)Q(x) dx = ReA,

donde la funcion a integrar es integrable.


∫ +∞

−∞

(n∑

j=1

aj sen(λjx)

)Q(x) dx = ImA,

donde la funcion a integrar es integrable.

Demostracion. Probamos el caso 1 para g de la forma g(x) = cos(λx)Q(x).En el caso general la dificultad es la misma, pero la notacion mas farragosa.Notamos que la condicion de que las singularidades sean evitables, que laparte trigonometrica esta acotada en la recta real y que el polo de Q eninfinito sea de orden al menos 2 implican que g ∈ L1(R).

Seaf(z) = eizλQ(z).


29

�k�2

ckc1 c2�k�2

R-R

�1

Ω1 Ω2

�2

p1 p2 pk�1

- - -

Figura 5.2

γ1(x) = x,−R,

γk+1(x) = x,

γj(x) = x,

γk+2(θ) = Reiθ,

ck(θ) = εeiθ + pk

−R ≤ x ≤ p1 − ε;

pk + ε ≤ x ≤ R;

pj−1 + ε ≤ x ≤ pj − ε

con j = 2, . . . , k

0 ≤ θ ≤ π;

0 ≤ θ ≤ π.

Notar que f(x) /∈ L1(R), f ∈ H(C\{p1, . . . , pk, w1, . . . , wn}) donde w1, . . . , wn

son polos complejos de Q. Observando la figura 5.2 denotamos

Γ = [γ1,−c1, γ2,−c2, . . . , γk,−ck, γk+1, γk+2]∼ 0(C\{p1, . . . , pk, w1, . . . , wn}).

Por el Teorema de los Residuos

∫Γ

f(z) dz = 2πi

(n∑

j=1

Res(f ;wj) IndΓ(wj) +k∑

j=1

Res(f ; pj) IndΓ(pj)

),

(5.8)donde IndΓ(pj) = 0. Por otro lado,

∫Γ

f(z) dz =n∑

j=1

∫γj

f(z)dz +

∫γk+2

f(z)dz −k∑

j=1

∫ck

f(z)dz.

Empezamos estudiando

∫γk+2

f(z) dz.

Con los mismos argumentos que en el teorema anterior, como ∞ es cerode orden mayor o igual que 2 tenemos

lımR→∞

∫γk+2

f(z) dz = 0. (5.9)

Estudiamos ahorak+1∑j=1

∫γj

f(z) dz.



k+1∑j=1

∫γj

f(z) dz =

∫ p1−ε

−R

f(x) dx+

∫ p2−ε

p1+ε

f(x) dx+

∫ p3−ε

p2+ε

f(x) dx

+ . . .+

∫ R

pk+ε

f(x) dx

f(x) /∈ L1(R), pero Re f(x) ∈ L1(R) ya que

∫ +∞

−∞|Re f(x)| dx < +∞,

por lo tanto en la parte real sı podemos tomar lımites, cuando ε → 0 yR → ∞.Entonces

lımε→0

Re

(k+1∑j=1

∫γj

f(z) dz

)=

∫ R

−R

Re f(x) dx

y como Re f ∈ L1(R)

lımR→∞

∫ R

−R

Re f(x) dx =

∫ +∞

−∞g(x) dx. (5.10)

Estudiamos ahorak∑

j=1

∫ck

f(z) dz.

Supongamos que Q solo tiene p1 como polo real de orden m1 por lo que

solo tendrıamos que analizar

∫c1

f(z) dz. Haciendo el desarrollo de Laurent

en p1

f(z) =Am1

(z − p1)m1+

Am1−1

(z − p1)m1−1+ . . .+

A2

(z − p1)2+

A1

(z − p1)+

∞∑n=0

akzn.

Denotamos f1(z) =∞∑n=0

akzn

∫c1

f(z) = Am1

∫c1

dz

(z − p1)m1+ Am1−1

∫c1

dz

(z − p1)m1−1+ . . .

+ A2

∫c1

dz

(z − p1)2+ A1

∫c1

dz

(z − p1)+

∫c1

f1(z) dz.


31

Con c1(θ) = εeiθ+p1, 0 ≤ θ ≤ π. Como f1 es analıtica, existe f2 primitivade f1 y entonces ∫

c1

f1(z) dz = f2(p1 − ε)− f2(p1 + ε).

Si ε → 0, obtenemos que f2(p1 − ε)− f2(p1 + ε) → 0. Ahora∫c1

1

z − p1dz =

∫ π

0

i dθ = iπ

∫c1

1

(z − p1)2dz =

−1

(p1 − ε)− p1+

−1

(p1 + ε)− p1=

−1

−ε+

1

ε=

2

ε

∫c1

1

(z − p1)3dz =

−1

2((p1 − ε)− p1)2+

−1

2((p1 + ε)− p1)2=

−1

2ε2+

1

2ε2= 0

∫c1

1

(z − p1)jdz =

1

1− j((−ε)−j+1 − (ε)−j+1)

=

⎧⎨⎩0 j = 2k + 1,

2

(2k − 1)ε2k−1, j = 2k.

Entonces

∫c1

f(z) dz = f2(p1 − ε)− f2(p1 + ε) + A1iπ +m∑j=2

Aj

∫cj

1

(z − p1)jdz

= f2(p1 − ε)− f2(p1 + ε) + A1iπ +

[m12

]∑k=1

A2k2

(2k − 1)ε2k−1.

Tomamos Re f = g que es integrable y hacemos ε → 0. Por lo tanto

lımε→0

∫c1

g(z) dz =

lımε→0

Re(f2(p1 − ε)− f2(p1 + ε)) + Re(A1iπ) +

[m12

]∑k=1

Re(A2k)2

(2k − 1)ε2k−1.



Por (5.8) haciendo R → ∞ y ε → 0 con Re f

∫ +∞

−∞g(x) dx− lım

ε→0

∫c1

Re f(z) dz

=

∫ +∞

−∞g(x) dx− Re(A1iπ)− lım

ε→0

[m12

]∑k=1

Re(A2k)2

(2k − 1)ε2k−1

= Re

⎛⎝2πi

∑Im(wj)>0

Res(f ;wj)

⎞⎠ .

Si Re(A2k) �= 0, nos quedarıa ∞ = Res(f ;wj) y eso no puede ser. Por lotanto Re(A2k) = 0. Ası

∫ +∞

−∞g(x) dx− Re(Res(f ; p1)iπ) = Re

⎛⎝2πi

∑Imwj>0

Res(f ;wj)

⎞⎠.

Si ahora suponemos que Q tiene p1, . . . , pk polos, nos quedarıa

∫ +∞

−∞g(x) dx−Re(Res(f ; p1)iπ)−Re(Res(f ; p2)iπ)−· · ·−Re(Res(f ; pk)iπ)

= Re

⎛⎝2πi

∑Imwj>0

Res(f ;wj)

⎞⎠ .

El apartado 2 es analogo al 1 tomando parte imaginaria en f .

Ejemplo 10. Calculad la integral

∫ +∞

0

sen3 x

x3dx.

Sea Q(z) =1

z3con un cero en ∞ de orden 3. Usando la formula de Moivre

se obtiene que sen3 x =1

4Im(3eix − e3ix), luego definimos la funcion f(z) =

3eiz − e3iz

z3. Notar que Im f(x) ∈ L1(R), pero f(x) /∈ L1(R). f ∈ H(C \ {0})


33

con 0 polo de orden 3. Entonces, aplicando el teorema 5.3.

∫ +∞

0

sen3 x

x3dx =

1

2

∫ +∞

−∞

sen3 x

x3dx

=1

8

∫ +∞

0

Im

(3eiz − e3iz

z3

)dx =

1

8πRe (Res(f ; 0)),

donde

Res(f ; 0) =1

2lımz→0

(z33eiz − e3iz

z3

)′′= 3.

Luego ∫ +∞

0

sen3 x

x3dx =

3π

8.

Teorema 5.4. Sea Q un funcion racional con un cero de orden 1 en ∞, don-

de P es el conjunto de polos de Q y P∩R = ∅. Sea f(z) =

(n∑

j=1

ajeλjiz

)Q(z)

donde aj ∈ R y λj ∈ [0,+∞), j = 1, . . . , n. Entonces

v.p.

∫ +∞

−∞f(x) dx = 2πi

∑a∈P∩C+

Res(f ; a). (5.11)

Demostracion. La demostracion es analoga a la del teorema 5.2 salvo la in-tegral a lo largo de γ2. En este caso como ∞ es cero de orden 1 debemosproceder de otro modo.∣∣∣∣

∫γ2

f(z)dz

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫γ2

Q(z)eiλzdz

∣∣∣∣ ≤ Cπ

∫γ2

e−λR sen θdθ.

Como

e−λR sen(θ) < 1 y 1 ∈ L1(0, π),

podemos aplicar el teorema de convergencia dominada y ası,

lımR→∞

∣∣∣∣∫γ2

Q(z)eiλz dz

∣∣∣∣ ≤ Cπ

∫ π

0

lımR→∞

e−λR sen(θ) dθ = 0.



Teorema 5.5. Sea Q un funcion racional con un cero de orden 1 en ∞ ycon polos en P. Sean aj ∈ R y λj ∈ [0,+∞), j = 1, . . . , n.Sean

f(z) =

(n∑

j=1

ajeλjiz

)Q(z), g(z) =

(n∑

j=1

aj cos(λjz)

)Q(z),

h(z) =

(n∑

j=1

aj sen(λjz)

)Q(z).

Denotamos A = πi

⎛⎝2

∑a∈P∩C+

Res(f ; a) +∑

a∈P∩RRes(f ; a)

⎞⎠ .


v.p.

∫ +∞

−∞

(n∑

j=1

aj cos(λjx)

)Q(x) dx = ReA.


v.p.

∫ +∞

−∞

(n∑

j=1

aj sen(λjx)

)Q(x) dx = ImA.

Demostracion. Es analogo al teorema 5.3 salvo el estudio de la curva γk+2

que se hace como la curva γ2 en el teorema 5.4.

Ejemplo 11. Calcular la integral∫ +∞

0

sen x

xdx

Sea Q(z) =1

zcon un cero en ∞ de orden 1. Sea f(z) =

eiz

zcon polos en

P = {0}. Calculamos el residuo de f en 0,

Res(f ; 0) = lımz→0

zeiz

z= 1.

Entonces, aplicando el teorema 5.5,


35

v.p.

∫ +∞

−∞

sen x

xdx = Im (iπRes(f ; 0)) = π.

Puesto que la funcion x �→ sen x

xes par,

∫ +∞

0

sen x

xdx =

π

2,

donde la integral debemos entenderla en sentido impropio.

Teorema 5.6. Sea Q una funcion racional con un cero en ∞ de orden mayoro igual que dos y con polos en P tal que no se encuentran en el intervalo[0,∞). Denotamos para cada k ∈ N ∪ {0}, fk(x) = logk xQ(x) y Fk(z) =[Log[0,2π) z]

kQ(z).Se tiene entonces que para todo k ∈ N∪{0}, fk ∈ L1((0,+∞)) y ademas,

k−1∑j=0

−(k

j

)(2πi)k−j

∫ +∞

0

fj(x) dx = 2πi∑a∈P

Res(Fk; a).

Demostracion. Para cada k ∈ N, la funcion fk es continua, veamos que esintegrable.

lımx→0

∣∣logk xQ(x)∣∣

− logk x= 1.

Entonces logk xQ(x) ∈ L1((0, c)) con c < ∞. Por otro lado,

lımx→∞

∣∣logk xQ(x)∣∣

logk x

xp

= c.

Por lo que fk(x) ∈ L1((c,∞)) con 0 < c. Entonces, fk(x) ∈ L1((0,+∞)).

Tomamos la funcion Fk(z) =(Log[0,2π) z

)kQ(z), Fk ∈ H((C\[0,+∞))\P ).

Sea Γ = [γ1, γ2,−γ3,−γ4], como en la figura 5.3 Tomamos R suficiente-mente grande y ε suficientemente pequeno para que todos los polos de Q estenen el interior de Γ (P ⊂ Int Γ). Entonces sop Γ∩P = ∅ y Γ ∼ 0(C\ [0,+∞)),por lo que podemos aplicar el Teorema de los Residuos a Fk∫

Γ

Fk(z) dz = 2πi∑a∈P

IndΓ(a) Res(Fk; a). (5.12)

Notar que IndΓ(a) = 1 para todo a ∈ P . Empezaremos estudiando la integral(5.12) en γ2 y en γ4



R

-R

Ε

-Ε

Δ

�Δ

Γ2

�Γ4

Γ1

�Γ3

Ω1

Ω2

Ω3

Figura 5.3

γ1(x) = eiδx,

γ2(θ) = Reiθ,

γ3(x) = e−iδx,

γ4(θ) = εeiθ,

−ε ≤ x ≤ R;

δ ≤ θ ≤ 2π − δ;

−ε ≤ x ≤ R;

δ ≤ θ ≤ 2π − δ.

∫γ2

Fk(z) dz =

∫ 2π−δ

δ

(Log[0,2π) Reiθ

)kQ(Reiθ)iReiθ dθ.

Como la funcion(Log[0,2π) Reiθ

)kQ(Reiθ)iReiθ es continua en [0, 2π], pode-

mos tomar lımites cuando δ → 0. Y ası,

lımδ→0

∫γ2

Fk(z) dz =

∫ 2π

0

(logR + iθ)k Q(Reiθ)iReiθ dθ.

Ahora como ∞ es un cero de orden p ≥ 2 de Q∣∣∣(logR + iθ)k Q(Reiθ)iReiθ∣∣∣ ≤ (logR + 2π)k

CR

Rp−→R→∞

0.

Entonces

lımR→∞

lımδ→0

∫γ2

Fk(z) dz = 0. (5.13)

Analogamente, llegamos a que

lımδ→0

∫γ4

Fk(z) dz =

∫ 2π

0

(log ε+ iθ)k Q(εeiθ)iεeiθ dθ.

Por otro lado, si ε tiende a 0∣∣∣(log ε+ iθ)k Q(εeiθ)iεeiθ∣∣∣ ≤ (− log ε+ θ)k

∣∣Q(εeiθ)∣∣ ε → 0.


37

Por tanto

lımε→0

lımδ→0

∫γ4

Fk(z) dz = 0. (5.14)

Estudiamos ahora las integrales en γ1 y γ3∫γ1

Fk(z) dz =

∫ R

ε

(Log[0,2π)(e

iδx))k

Q(eiδx)eiδ dx

=

∫ R

ε

(log x+ iδ)k Q(eiδx)eiδ dx.

La funcion h1(x, δ) = (log x+ iδ)k Q(eiδx)eiδ es continua en [ε, R]× [0, π/2].Luego

lımδ→0

∫ R

ε

h1(x, δ) dδ =

∫ R

ε

h1(x, 0) dx =

∫ R

ε

(log x)k Q(x) dx.

Como fk(x) = (log x)k Q(x) ∈ L1((0,+∞)) se tiene que

lımR→+∞

lımε→0

lımδ→0

∫γ1

Fk(z) dz =

∫ +∞

0

(log x)k Q(x) dx. (5.15)

Ahora, ∫γ3

Fk(z) dz =

∫ R

ε

(Log[0,2π)(e

−iδx))k

Q(e−iδx)e−iδ dx =∫ R

ε

(log x+ i (2π − δ))k Q(e−iδx)e−iδ dx.

Con los mismos argumentos que en el caso anterior,

lımR→+∞

lımε→0

lımδ→0

∫γ3

Fk(z) dz =

∫ +∞

0

(log x+ 2πi)k Q(x) dx. (5.16)

Tomando lımites en (5.12) y teniendo en cuenta (5.13), (5.14), (5.15) y (5.16),llegamos a∫ +∞

0

(log x)k Q(x) dx−∫ +∞

0

(log x+ 2πi)k Q(x) dx =

k−1∑j=0

−(k

j

)(2πi)k−j

∫ +∞

0

fj(x) dx = 2πi∑a∈P

Res(Fk; a).




0

log x

(1 + x)2dx.

Tomamos g(x) =log x

(1 + x)2que es continua en (0,+∞) e integrable ya que

lımx→0

|g(x)|− log x

= 1, ⇒ g(x) ∈ L1((0, c)), c < +∞.

lımx→+∞

|g(x)|log xx2

= 1, ⇒ g(x) ∈ L1((c,+∞)), c > 0.

Por tanto, g(x) ∈ L1((0,+∞)). Sea F2(z) =

(Log[0,2π) z

)2(1 + z)2

∈ H(C \ [0,+∞) \{−1}). Aplicando el teorema 5.6 tenemos

−(2

0

)(2πi)2

∫ +∞

0

1

(1 + x)2dx−

(2

1

)(2πi)

∫ +∞

0

log x

(1 + x)2dx

= 2πiRes(F2;−1).

Calculamos el residuo de F2 en -1 teniendo en cuenta que -1 es un polo deorden 2

Res(F2;−1) = lımz→−1

((z + 1)2

(log[0,2π] z)2

(z + 1)2

)′

= −2πi.

Entonces

4π2

∫ +∞

0

1

(1 + x)2dx− 4πi

∫ +∞

0

log x

(1 + x)2dx = 4π2

y ası, ∫ +∞

0

1

(1 + x)2dx = 1 y

∫ +∞

0

log x

(1 + x)2dx = 0.

Teorema 5.7. Sea s ∈ C. Sea Q una funcion racional con polos en P talque no se encuentran en el intervalo [0,∞) con ∞ un cero de orden p y0 < 1 + Re s < p. Denotamos f(x) = xsQ(x) y F (z) = esLog[0,2π) zQ(z).

Entonces f ∈ L1((0,+∞)) y


39

(1− e2πis)

∫ +∞

0

f(x) dx = 2πi∑a∈P

Res(F ; a).

Demostracion. f(x) es continua en (0,+∞). Veamos primero que f(x) esintegrable

lımx→0

∣∣∣∣xsQ(x)

xs

∣∣∣∣ = lımx→0

xRe sQ(x)

xRe s= c ∈ C.

Entonces xsQ(x) ∈ L1([0,+a)) si Re s > −1. Ahora,

lımx→+∞

∣∣∣∣xsQ(x)

xs−p

∣∣∣∣ = lımx→0

xRe s |Q(x)|xRe sx−p

= b �= 0.

Como

∫ +∞

c

1

xp−Re sdx < +∞ si y solo si p−Re s > 1, entonces xsQ(x) ∈

L1((c,+∞)) si y solo si Re s < p− 1.Poniendo en comun la condicion de integrabilidad obtenida en cada tipo

de intervalo, obtenemos la condicion de integrabilidad requerida.Tomamos F (z) = esLog[0,2π) zQ(z) con F (z) ∈ H((C\[0,+∞))\P ).

Consideremos la region Γ = [γ1, γ2,−γ3,−γ4], como en la figura 5.3 TomamosR suficientemente grande y ε suficientemente pequeno para que todos lospolos de Q esten en el interior de Γ (P ⊂ Int Γ). Entonces sop Γ ∩ P = ∅ yΓ ∼ 0(C\[0,+∞)), por lo que podemos aplicar el Teorema de los Residuos aF ∫

Γ

F (z) dz = 2πi∑a∈P

IndΓ(a) Res(F ; a), (5.17)

con IndΓ(a) = 1, para todo a ∈ P .Estudiamos las integrales en γ2 y en γ4∫

γ2

F (z) dz =

∫ 2π−δ

δ

es(Log[0,2π) Reiθ)Q(Reiθ)iReiθ dθ.

Como la funcion es(Log[0,2π) Reiθ)Q(Reiθ)iReiθ es continua en [0, 2π], podemostomar lımites cuando δ → 0. Y ası,

lımδ→0

∫γ2

F (z) dz =

∫ 2π

0

es(logR+iθ)Q(Reiθ)iReiθ dθ =

∫ 2π

0

RsesiθQ(Reiθ)iReiθ dθ.

Ahora si z = Reiθ



∣∣RsesiθQ(Reiθ)iReiθ∣∣ ≤ RRe s+1 C

Rp−→ 0R→∞

.

Entonces

lımR→∞

lımδ→0

∫γ2

F (z) dz = 0. (5.18)

Analogamente, llegamos a que

lımδ→0

∫γ4

F (z) dz =

∫ 2π

0

es(log ε+iθ)Q(εeiθ)iεeiθ dθ.

Por otro lado, ∣∣εse−siθQ(εeiθ)iεeiθ∣∣ ≤ εRe s+1

∣∣Q(εeiθ)∣∣ −→ 0

ε→0.

Por tanto

lımε→0

lımδ→0

∫γ4

f(z) dz = 0. (5.19)

Estudiamos ahora las integrales en γ1 y γ3∫γ1

F (z) dz =

∫ R

ε

es(Log[0,2π)(eiδx))Q(eiδx)eiδ dx =

∫ R

ε

xsesiδQ(eiδx)eiδ dx

=

∫ R

ε

h1(x, δ) dx.

La funcion h1(x, δ) es continua en [ε, R]× [0, π/2]. Luego

lımδ→0

∫ R

ε

h1(x, δ) dδ =

∫ R

ε

h1(x, 0) dx =

∫ R

ε

xsQ(x) dx.

Como f(x) = xsQ(x) ∈ L1((0,+∞))

lımR→+∞

lımε→0

lımδ→0

∫γ1

F (z) dz =

∫ +∞

0

xsQ(x) dx. (5.20)

Ahora, ∫γ3

F (z) dz =

∫ R

ε

es(Log[0,2π)(e−iδx))Q(e−iδx)e−iδ dx =∫ R

ε

xsesi(2π−δ)Q(e−iδx)e−iδ dx.


41

Con los mismos argumentos que en el caso anterior,

lımR→+∞

lımε→0

lımδ→0

∫γ3

f(z) dz =

∫ +∞

0

xsesi2πQ(x) dx. (5.21)

Tomando lımites en (5.17) y teniendo en cuenta (5.18), (5.19), (5.20) y (5.21),llegamos a

(1− e2πis)

∫ +∞

0

xsQ(x) dx = 2πi∑a∈P

Res(F ; a).

Ejemplo 13. Calculad la integral

∫ +∞

0

x−1/3

(1 + x)3dx

Tomamos F (z) =e

−13

Log[0,2π) z

(1 + z)3∈ H(C \ [0,+∞) \ {−1}). Calculamos el

residuo en −1 teniendo en cuenta que es un polo de orden 3

Res(F ;−1) =1

2lımz→−1

((1 + z)3 · e

−1/3Log[0,2π) z

(1 + z)3

)′′=

4

18e

−7πi3 .

Aplicando el teorema 5.7 llegamos a que

(1− e2πi3 )

∫ +∞

0

x−13

(1 + x)3dx = 2πiRes(f ;−1) =

4πi

9

e−iπ3

1− e2πi3

.

Teorema 5.8. Sea b ∈ (0,+∞) y denotamos B = {z ∈ C : 0 ≤ Im z ≤ b}.Sea Ω un abierto que contiene a B y P ⊆ Ω conjunto de puntos aisla-dos. Sea F holomorfa en Ω\P . Denotemos para cada t ∈ (0,+∞) M(t) =

max0≤y≤b,x=±t

|F (x+ iy)|. Supongamos que P ∩ ∂B = ∅ y que lımt→+∞

M(t) = 0.

Entonces

v.p.

∫ +∞

−∞[F (x)− F (x+ ib)] dx = 2πi

∑a∈P∩B

Res(F ; a).



�Γ3

�Γ4 Γ2

Γ1 R-R

R�R

Ω

Figura 5.4

γ1(x) = x,

γ2(y) = R + iy,

γ3(x) = x+ ib,

γ4(y) = −R + iy,

−R ≤ x ≤ R;

0 ≤ y ≤ b;

−R ≤ x ≤ R;

0 ≤ y ≤ b.

Demostracion. Sea Γ = [γ1, γ2,−γ3,−γ4] como en la figura 5.4Aplicamos el Teorema de los Residuos a F ∈ H(C \ P ) y Γ ∼ 0(C)∫

Γ

F (z) dz = 2πi∑

a∈P∩BRes(F ; a). (5.22)

Empezamos con las integrales en γ1 y γ3∫γ1

F (z) dz =

∫ R

−R

F (x) dx.

∫γ3

F (z) dz =

∫ R

−R

F (x+ ib) dx.

Entonces, ∫γ1

F (z)−∫γ3

F (z) dz =

∫ R

−R

(F (x)− F (x+ ib)) dx. (5.23)

Tomando lımites en (5.23)

lımR→+∞

∫ R

−R

(F (x)− F (x+ ib)) dx =

∫ +∞

−∞(F (x)− F (x+ ib)) dx, (5.24)

siempre que el mencionado lımite exista. Estudiamos ahora las integrales enγ2 y γ4.∣∣∣∣

∫γ2

F (z) dz

∣∣∣∣ ≤ long γ2 maxz∈sop γ2

|F (z)| ≤

b maxz∈sop γ2

|F (z)| ≤ bM(R) −→R→∞

0. (5.25)


43

Analogamente se prueba

∣∣∣∣∫γ4

F (z) dz

∣∣∣∣ ≤ long γ4 maxz∈sop γ4

|F (z)| ≤

b maxz∈sop γ2

|F (z)| ≤ bM(R) −→R→∞

0. (5.26)

Tomando lımite cuando R → +∞ en (5.22) y usando (5.23), (5.24), (5.25) y(5.26), tenemos

v.p.

∫ +∞

−∞[F (x)− F (x+ ib)] dx = 2πi

∑a∈P∩B

Res(F ; a).


0

cos x

cosh xdx.

Sea f(x) =cos x

cosh xuna funcion integrable ya que

∣∣∣ cos xcosh x

∣∣∣ ≤ 1

cosh x∼

x→∞e−x ⇒ cosx

cosh x∈ L1((0,+∞)).

Como la funcion es par se tiene∫ +∞

0

cos x

cosh xdx =

1

2

∫ +∞

−∞

cos x

cosh xdx,

y notar quecos x

cosh x= Re

eix

cosh x.

Tomamos entonces F (z) =eiz

cosh z∈ H(C\{i(π/2+πk) : k ∈ Z}). Notar

que

F (x+ πi)− F (x) = (1 + e−π)eix

cosh x.

Tomamos B = {z ∈ C : 0 ≤ Im z ≤ π} y se comprueba facilmente que

lımt→∞

M(t) = 0.



Entonces como iπ/2 es unico polo en B

2(1 + e−π)

∫ +∞

0

cosx

cosh xdx = 2πiRes(F ; iπ/2).

Calculamos el residuo

Res(F ; iπ/2) = lımz→iπ/2

(z − iπ

2

)eiz

cosh z

= lımz→iπ/2

(z − iπ

2

)eiz

i(z − iπ2) + 1

6i(z − iπ

2)3 + o(z − iπ

2)4

= lımz→iπ/2

eiz

i+ 16i(z − iπ

2)2 + o(z − iπ

2)3

=e−π/2

i= −ie−π/2,

y obtenemos ∫ +∞

0

cos x

cosh xdx =

πe−π/2

1 + e−π=

π

2 cosh(π/2)> 0.

En el siguiente ejercicio calculamos la transformada de Fourier de unafuncion gaussiana.

Ejemplo 15. Calculad, para s ∈ R, la integral∫ +∞

−∞e−x2

eixs dx

Supongamos que s > 0. Tomamos, para aplicar el teorema 5.8 F (z) = e−z2

y b =s

2. Ello es posible debido a que

M(t) = max0≤y≤s/2,x=±t

|F (x+ iy)| = max0≤y≤s/2,x=±t

e−t2ey2

= e−t2es2/4,

y por tanto lımt→∞ M(t) = 0.Notamos que

F (x)− F (x+ is/2) = e−x2 − e−x2

e−isxes2/4.

Por otra parte∑

Res(F ; a) = 0 (ya que no tenemos polos en F ). Ademas,

sabemos que la funcion x �→ e−x2es integrable y que∫ ∞

−∞e−x2

dx =√π.


45

Por tanto, la aplicacion del teorema nos lleva a

√π − es

2/4

∫ +∞

−∞e−x2

e−ixs dx = 0.

Despejando obtenemos∫ +∞

−∞e−x2

e−ixs dx =√πe−s2/4.

El cambio de variable x = −y en esta expresion nos lleva a que el resultadotambien vale para s < 0.


Capıtulo 6

Calculo de series

Teorema 6.1. Sea Q(z) una funcion racional con polos en P tal que ∞ esun cero de orden p mayor o igual que 2. Consideramos

F1(z) = cotan(πz)Q(z), F2(z) = cosec(πz)Q(z).

Entonces

lımn→∞

n∑k=−n, k �∈P

Q(k) = −π∑a∈P

Res(F1; a), (6.1)

lımn→∞

n∑k=−n, k �∈P

(−1)kQ(k) = −π∑a∈P

Res(F2; a). (6.2)

Demostracion. Para probar (6.1), tomamos Ω = C, P1 = P ∪ Z, F1(z) =cotg(πz)Q(z) y Γ dependiendo de n de modo que P ⊂ int Γ, como en lafigura 6.1

Las condiciones del Teorema de los Residuos se cumplen ya que F1 ∈H(C \ P1), sop Γ ⊂ C \ P1 y Γ ∼ 0(C), entonces

1

2πi

∫Γ

F1(z)dz =∑a∈P1

Res(F1; a) IndΓ(a)

=∑a∈P

Res(F1; a) IndΓ(z) +∑

a∈Z\PRes(F1; a) IndΓ(a)

=∑a∈P

Res(F1; a) +n∑

k=−n, k �∈PRes(F1; k).

47

48 6. Calculo de series

n �1

2�1 � i�n �

1

2��1 � i�

� n �1

2�1 � i� n �

1

2�1 � i�

n�n�n � 1 n � 1

Figura 6.1

Si k ∈ Z, k �∈ P , k es polo simple de F1, entonces

Res(F1; k) = lımz→k

(z − k)cos(πz)Q(z)

sen(πz)

= cos(πk)Q(k) lımz→k

z − k

sen(πz)

= cos(πk)Q(k) lımz→k

1

cos(πz)π

= cos(πk)Q(z)1

π cos(πk)

= Q(k)1

π.

Entoncesn∑

k=−n, k �∈PRes(F1; k) =

n∑k=−n, k �∈P

Q(k)1

π.

Y ası nos falta probar que

lımn→∞

∫Γ

F1(z)dz = 0.


49

∣∣∣∣∫Γ

F1(z)dz

∣∣∣∣ ≤ long Γ maxz∈sopΓ

|F1(z)|,y

long Γ = 8

(n+

1

2

), |Q(z)| ≤ C

1

|z|p , |z| ≥ R0.

Si z ∈ sop Γ, |z| ≥ n+ 12

|Q(z)| ≤ C1

(n+ 12)p, n ≥ R0 − 1

2.

Entonces ∣∣∣∣∫Γ

F1(z)dz

∣∣∣∣ ≤ 8C1

(n+ 12)p−1

maxz∈sopΓ

| cotg(πz)|.

Basta probar que maxz∈sopΓ | cotg(πz)| ≤ D constante que no dependa de n.Si z ∈ sop Γ, entonces

πz =

{a) ± (

n+ 12

)π + iy

b) x± (n+ 1

2

)π.

Por otro lado,

| cotg(πz)|2 = | cos(πz)|2| sen(πz)|2 =

cos2 x+ senh2 y

sen2 x+ senh2 y.

Y ası,

a) | cotg(πz)|2 = senh2 y

1 + senh2 y≤ 1,

b) | cotg(πz)|2 ≤ 1 + senh2 y

senh2 y≤ 1 +

1

senh2 y= 1 +

1

senh2(π(n+ 1/2))≤

1 +1

senh2(π/2).

La demostracion de (6.2) es analoga a la de (6.1).

Observacion. Si denotamos G1(z) = cotg z ·Q(z/π) y G2(z) = cosec zQ(z/π),tenemos que G1(z) = F1(z/π) y si

F1(z) =∑n∈Z

an(z − a)n ⇒ G1(z) =∑n∈Z

an(z − aπ)n

πn,

y por tanto, Res(G1; aπ) = π · Res(F1; a). Analogamente, Res(G2; aπ) =π · Res(F2; a).


50 6. Calculo de series

Ejemplo 16. Comprobad que+∞∑n=1

1

n2=

π2

6.

Sea Q(z) =1

z2, P = {0} e ∞ es un cero doble de Q. Sea

G1(z) = cotg zQ(z/π) = π2 cotg z1

z2.

Por simetrıan∑

k=−n, k �=0

1

k2= 2

n∑k=1

1

k2.

Por tanto, aplicando el teorema 6.1,

2+∞∑k=1

1

k2= −Res(G1; 0).

Calculamos el residuo dividiendo desarrollos

cotg z =cos z

sen z=

1

z

cos zsen zz

.

Y nos queda

cotg z =1

z− z

3− z3

45+ o(z4).

Ası, Res(G1; 0) = −π2

3y por tanto, tenemos el resultado buscado.

Ejemplo 17. Calcular+∞∑n=1

1

n4.

Sea Q(z) =1

z4, P = {0} e ∞ es un cero de orden 4 de Q. Tomando G1(z) =

cotg(z)Q(z/π), entonces

Res(G1; 0) =−π4

45.

Aplicando el teorema 6.1 llegamos a que

+∞∑n=1

1

n4=

−1

2Res(G1; 0) =

π4

90.


51

Ejemplo 18. Comprobar que+∞∑n=1

1

n6=

π6

945.

Sea Q(z) =1

z6, P = {0} e ∞ es un cero de orden 6 de Q. Sea G1(z) =

cotg(z)Q(z/π), donde

Res(G1; 0) =−2π6

945,

por tanto aplicando el teorema 6.1 llegamos a que

+∞∑n=1

1

n6=

−1

2Res(G1; 0) =

π6

945.


Conclusion

A lo largo de esta memoria hemos profundizado en el Teorema de losResiduos y sus aplicaciones, un tema que se da en el Grado de Matematicasen la asignatura de Analisis Complejo.

Como hemos podido ver en este trabajo, el abanico de tecnicas para resol-ver integrales es amplio y va mas alla de las tecnicas elementales y habitualesdel Analisis Real.

Eligiendo la herramienta adecuada podemos evitar, en ocasiones, que elcamino sea largo y complicado, como ha quedado demostrado en nuestrosejemplos.

Una de las tecnicas que nos puede ayudar a simplificar el proceso y re-solver integrales de forma sencilla es el Teorema de los Residuos. Lo mismoocurre en el caso de las sumas de series, que usando las aplicaciones del Teo-rema de los Residuos, conseguimos pasar a un proceso mas facil y sencilloque el proceso habitual.

Esta memoria me ha servido para darme cuenta de la gran importanciaque tiene el plano complejo, porque como hemos dicho en la introduccion:El camino mas corto entre dos verdades del campo real pasa por el planocomplejo. Y en matematicas, es algo a lo que conviene acostumbrarse aunquesea menos intuitivo.

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Bibliografıa

[1] B. Cuartero y F. J. Ruiz, Teorıa de funciones de variable compleja,Universidad de Zaragoza, 2009.

[2] D. S. Mitrinovıc, J.D. Keckıc, The Cauchy Method of Residues,D.Reidel Publishing Company, Holland , 1984.

[3] E. T. Bell, Los Grandes Matematicos, su vida y sus obras, Losada,Buenos Aires, 1937.

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aplicaciones del teorema de los residuos · teorema de los residuos.elmatem´atico que realiz´o...

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