Capıtulo 5

Aplicaciones del Modelo

Para obtener la distribucion de densidad y las propiedades mecanicas iniciales para la

mandıbula, como se comento previamente, se parte de una distribucion de densidad aparente

uniforme de 0.5 g/cm3 y hueso isotropo. Se aplicaron las cargas normales de masticacion

descritas en los capıtulos 2 y 4, cambiando la distribucion y la orientacion de los tejidos,

segun el modelo de remodelacion osea interna de Doblare y Garcıa [18, 27], alcanzandose

tras un cierto tiempo una situacion de equilibrio. En este modelo existen algunos parametros

cuyos valores han sido obtenidos experimentalmente y otros que estos autores han estimado,

basandose en los resultados numericos que proporciona el modelo y eligiendo aquellos que

producen resultados mas ajustados a la realidad. En este trabajo se utilizaron los parametros

que han sido ajustados por Martınez Reina [62] en un trabajo anterior luego de un analisis

de sensibilidad de los mismos.

1) El parametro m, que tiene en cuenta la influencia del numero de ciclos en la respuesta

remodelatoria, fue estimado por Whalen et al. [95] para el calcaneo. Segun estos autores, los

valores mas adecuados estan entre 3 y 8. Posteriormente, otros autores [1,18,44] han usado

m = 4 y ese sera el valor adoptado aquı.

2) En la ecuacion (4.25) se introdujo el parametro ω para ponderar la influencia de

la componente desviadora del estımulo, es decir, la anisotropıa de la carga, en la respuesta

remodelatoria. Doblare y Garcia aplicaron este modelo al femur humano usando ω = 0.1. Las

cargas en el femur son principalmente de flexion, mientras que en la mandıbula, la torsion

que producen las masticaciones unilaterales tambien es importante. En flexion-torsion la

componente desviadora del tensor de tensiones es mayor que en flexion pura, y por tanto,

65

66 Aplicaciones del Modelo

luego del analisis de sensibilidad, Martinez Reina obtiene mejores resultados para un valor

de ω = 0.24.

3) El siguiente parametro analizado es el estımulo de referencia, Ψ∗

t, del que hemos ex-

plicado el significado en el capıtulo 4. Este parametro junto con w definen la zona muerta

de remodelacion: el rango de valores del estımulo para los que no hay respuesta remodela-

toria. Para conseguir las condiciones de equilibrio de la mandıbula se utilizo un estımulo de

equilibrio inicial de 25MPa/dıa que es el valor obtenido por Martınez Reina considerando,

como se ha comentado, que el estımulo de equilibrio, se adapta de alguna forma al estımulo

externo aplicado como establece Turner en el principio de acomodacion celular [90] y que

por ello el hueso de la mandıbula debe tener un estımulo menor que el femur, cuyo estımulo

de equilibrio esta establecido en 50MPa/dıa. Para el semiancho de la zona muerta se ha

adoptado el mismo criterio que usan Doblare y Garcıa, esto es, w = 0.25Ψ∗

t

4) La curva de remodelacion inicial utilizada presenta unas pendientes c1 = c2 =

0.02 µm/dıa, igual que las utilizadas para el femur.

5) El numero de ciclos diarios tambien es menor que el utilizado en el femur. En el femur

se reparten 10000 ciclos entre tres tipos de actividades. Para la mandıbula se supondran 500

ciclos diarios repartidos entre todos los casos de carga, cualquiera que sea la secuencia de

masticacion. Se hace la simplificacion introducida por Jacobs [44], comentada en un capıtulo

precedente, que consiste en aplicar un unico caso de carga por dıa. En los dıas sucesivos

ocurren distintos casos de carga, de forma que se aplican todos los casos que incluye la

secuencia de masticacion y en la misma proporcion establecida en ella.

6) La correlacion entre el modulo de Young y la densidad aparente es la obtenida por

Hernandez de forma experimental [36]. En realidad Hernandez relaciono el modulo de Young

con la fraccion volumetrica de hueso y la fraccion de ceniza, pero esta ultima, que varıa como

consecuencia del proceso de mineralizacion, no se considera una variable de este modelo de

remodelacion y se supondra constante e igual a 0.65 [61]. Por tanto, en ese caso, la correlacion

se puede escribir:

E = 3204ρ2.58 (5.1)

donde el modulo de Young esta dado en MPa y ρ representa la densidad aparente.

5.1 Influencia del Ligamento Periodontal 67

5.1. Influencia del Ligamento Periodontal

A continuacion se muestran los resultados obtenidos en la simulacion de la morfogenesis

de la mandıbula. En realidad la forma de la mandıbula es un dato de partida, por lo que no

se trata de una morfogenesis en sentido estricto (en este modelo no se utiliza ningun modelo

de remodelacion osea externa) y solo se pretende estimar la distribucion de densidad.

En primer lugar, se mostrara la distribucion de densidad que se obtiene al modificar las

propiedades del ligamento periodontal. Los resultados tras 300 dıas de masticacion unilateral

alternante se muestran en la figura 5.1 para el ligamento periodontal con modulo de Young

de 3 MPa y coeficiente de Poisson de 0.45 (PDL A) y en la figura 5.2 para el caso de la

mandıbula con un PDL de mayor rigidez y con un mayor grado de incompresibilidad (PDL

B).

Figura 5.1: Distribucion de densidad osea en el caso de la mandıbula con PDL A.

Se puede comprobar que practicamente toda la mandıbula esta cubierta por una capa

de hueso cortical muy compacto en ambos casos. De hecho, se alcanza la maxima densidad

aparente que permite el modelo, 1.92g/cm3, valor tomado de Beaupre et al. [1], excepto en

dos zonas concretas: la apofisis coronoide y la tuberosidad pterigomaseterica, en el angulo

de la mandıbula. Estas zonas, probablemente tengan un comportamiento que se asemeja a

un hueso plano, como el craneo, en el que el estımulo aplicado es menor y sin embargo la

68 Aplicaciones del Modelo

Figura 5.2: Distribucion de densidad osea en el caso de la mandıbula con PDL B.

estructura no es reabsorbida completamente ya que tiene una funcion diferente a soportar

carga. Los huesos planos, en general tienen la funcion de proteccion, por lo que a pesar de

que nuestro modelo prevea una reabsorcion debido a la baja carga que soportan, esto en

realidad no ocurre. El modelo de remodelacion osea que se esta utilizando tiene un valor

de estımulo de referencia unico y seguramente estas zonas deberıan ser modeladas con un

estımulo de equilibrio menor o tendiente al estımulo aplicado. A pesar de no soportar carga,

estas zonas de la mandıbula son muy importantes. El angulo de la mandıbula es donde

se inserta el musculo Masetero que es uno de los musculos que ejercen mayor fuerza en la

masticacion.

En la figura 5.2 aparece una zona con una densidad mayor al maximo impuesto (zona

de color gris), pero es facilmente explicable si tenemos en cuenta la forma en que realiza los

calculos el metodo de elementos finitos. Los valores de densidad son obtenidos en los puntos

de integracion de Gauss de cada elemento y luego extrapolados a los nodos. Por ende, la

zona gris lo que indica es que el punto de Gauss de la capa de cortical tiene la densidad

maxima, pero por ser dicha capa muy estrecha, dentro del mismo elemento el otro punto de

Gauss tiene una densidad bastante menor. Por tanto, el gradiente de densidad es acusado

y esta dirigido aproximadamente en direccion perpendicular a la superficie del hueso. Por

tanto al extrapolar la densidad de los puntos de Gauss a los nodos se tiene en estos ultimos

5.1 Influencia del Ligamento Periodontal 69

un valor de densidad mayor que el maximo permitido en los puntos de Gauss, 1.92 g/cm3,

que es justamente el lımite que se usa en el rango de colores de esa grafica.

Para analizar mas en detalle la distribucion de densidad que resulta de la simulacion

numerica y comparar los resultados obtenidos al variar las propiedades del ligamento perio-

dontal, es conveniente representarla en algunas secciones de la mandıbula. Los resultados

se comparan con las imagenes de esas mismas secciones tomadas mediante tomografıa axial

computerizada. Las secciones, tanto del modelo de EF como las tomografıas, son sagitales,

es decir, con planos paralelos al sinfisario o plano de simetrıa. Estan orientadas de forma

que la izquierda es el lado lingual y la derecha el labial.

En la figura 5.3 se muestran dos secciones en la zona del menton, en los incisivos primero

y segundo. La seccion de la izquierda es la obtenida a partir de las propiedades del PDL A,

la siguiente seccion es la correspondiente al PDL B y la tercer seccion es la TC.

Figura 5.3: Distribucion de densidad en la region incisiva.

70 Aplicaciones del Modelo

En ambos casos, el modelo es capaz de predecir numericamente la existencia de la capa

de hueso cortical que rodea la seccion, si bien el espesor de la misma no coincide en todas

las zonas con la realidad. Se puede observar que el incremento del modulo del PDL logra

que el espesor de cortical en la zona inferior, hacia el lado labial, sea mayor en el caso del 1o

incisivo y genera un tejido de mayor densidad en la zona inferior en el caso del 2o incisivo.

En la tomografıa se observa hueso cortical en esta zona.

Las secciones mostradas en las figuras 5.4 y 5.5, corresponden a las secciones del 2o

premolar y 1o molar derecho. Son secciones con un plano coronal en el caso de las TC

y cortes perpendiculares al eje del cuerpo mandibular en el caso del modelo de EF. Por

tanto, las secciones que se comparan no son exactamente las mismas y la relacion entre sus

anchos es el coseno del angulo formado por ambos planos. Como este angulo es pequeno,

aproximadamente 8◦, las diferencias no son muy importantes.

Figura 5.4: Distribucion de densidad en la region del 2◦ premolar derecho.

Comparando las secciones de EF podemos ver que los resultados son muy similares

excepto en la zona justo debajo del premolar. En la seccion de la derecha, el espesor de capa

cortical que rodea al diente es menor. Por ende, se puede afirmar que aumentar la rigidez

del ligamento periodontal proporciona una distribucion de densidad mas similar a la TC en

esa zona.

En la figura 5.5 se presentan la TC del primer molar y las secciones con la distribucion

de densidad obtenida en el modelo de EF. En la TC la region del primer molar se encuentra

recubierta de hueso, esto indica que la pieza dental fue perdida con anterioridad a la muerte

del paciente. Al perderse la pieza dental, se forma un coagulo que da lugar a la generacion

5.1 Influencia del Ligamento Periodontal 71

Figura 5.5: Distribucion de densidad en la region del 1◦ molar derecho.

de nuevo hueso de menor densidad. Esto es observable a simple vista en la figura 5.6. La

distribucion de densidad obtenida para el caso del PDL A y el PDL B es muy similar, no

hay diferencias destacables.

Figura 5.6: Formacion de nuevo hueso en cavidad alveolar del 1◦ molar derecho.

En la figura 5.7 se muestran las secciones correspondientes al 2◦ y 3◦ molar. El espesor de

la capa de cortical es bastante similar. En las tomografıas se pueden apreciar algunos poros

en el tercio inferior labial, donde el modelo predice un tejido cortical de menor densidad.

Las zonas donde las diferencias entre el modelo y las tomografıas son mayores, es la parte

superior, cercana a las piezas molares.

72 Aplicaciones del Modelo

Figura 5.7: Distribucion de densidad en la zona del 2◦ y 3◦ molar derecho.

5.2 Influencia de la Articulacion Temporomandibular 73

A continuacion se muestra la distribucion de tensiones obtenida con la distribucion de

densidad detallada anteriormente. En la figura 5.8 se presenta la tension equivalente (Von

Mises) en el caso de masticacion con los molares derechos y en la figura 5.9 la resultante en

la masticacion con los molares izquierdos.

Figura 5.8: Tension equivalente en la masticacion con molares derechos. A la izquierda, mandıbula

con PDL A; a la derecha, mandıbula con PDL B.

Al analizar los resultados se puede afirmar que el ligamento periodontal es un factor muy

importante en la determinacion de la distribucion de tensiones y por ende, en la distribucion

de densidades obtenida a traves del modelo de remodelacion. Al comparar la densidad ob-

tenida con las tomografıas computerizadas se puede concluir que un ligamento periodontal

con una rigidez de 50MPa y un modulo de Poisson de 0.49 parece ajustar mejor los datos

clınicos con los que se cuenta. Por lo tanto, a continuacion se utilizaran estas propiedades

para el ligamento periodontal.

5.2. Influencia de la Articulacion Temporomandibular

Al modelo de la mandıbula con la distribucion de densidad obtenida en el caso del liga-

mento periodontal B se le ha incorporado el modelo de la articulacion temporomandibular.

En la figura 5.10 se presenta la distribucion de tensiones equivalente obtenida luego del

primer paso de carga de masticacion molar unilateral, correspondiente a la masticacion con

el primer y segundo molar derecho. El modelo converge hasta el 97.9% de la carga. La falta

74 Aplicaciones del Modelo

Figura 5.9: Tension equivalente en la masticacion con molares izquierdos. A la izquierda, mandıbula

con PDL A; a la derecha, mandıbula con PDL B.

de convergencia se debe a la excesiva distorsion de los elementos del disco, con comporta-

miento hiperelastico y rigidez mucho menor que el hueso, cuando se aplica la carga total. La

malla usada para el disco se ha importado de un estudio anterior y segun se deduce de estos

resultados es necesario remallar para obtener una solucion valida con el 100 % de la carga.

Este remallado no es una tarea sencilla por la compleja geometrıa del disco y por el hecho

de que consta unicamente de hexaedros de 8 nodos con interpolacion lineal, algo que es casi

obligado, por tener que definir elementos de contacto sobre la superficie del disco. Una alter-

nativa serıa hacer un remallado automatico con tetraedros, pero los tetraedros lineales son

excesivamente rıgidos en este tipo de problemas con grandes deformaciones y los tetraedros

parabolicos presentan serios problemas de convergencia en problemas de contacto.

Si comparamos este resultado con el obtenido en la mandıbula sin articulacion (ver figura

5.8) se puede observar que la distribucion de tensiones en la rama de la mandıbula disminuye

considerablemente.

En la figura 5.11 se observa la distribucion de tensiones que presenta el disco articular

durante la masticacion con molares derechos. En el lado izquierdo se presenta el disco del

condilo derecho y en el lado derecho, el disco de la ATM izquierda. El cuadrante superior

corresponde a la cara inferior del disco (superficie en contacto con el condilo) y el inferior

corresponde a la superficie en contacto con el temporal. Se puede observar que las tensio-

nes en el disco izquierdo son mayores y de hecho es por problemas de distorsion de estos

5.2 Influencia de la Articulacion Temporomandibular 75

Figura 5.10: Tension equivalente en la masticacion con molares derechos al incoporar la ATM.

Figura 5.11: Tension equivalente en el disco articular durante la masticacion con molares derechos.

76 Aplicaciones del Modelo

elementos que el paso de carga no llega al 100 % de la carga de masticacion. Las fuerzas

de los musculos en la masticacion con molares derechos genera una elevacion del condilo

izquierdo, empujandolo hacia el hueso temporal. De cualquier forma, la mayor parte de los

discos se encuentran sometidos a tensiones muy bajas, excepto en la zona central donde se

aprecian tensiones maximas de 1.25MPa en la direccion 11 (corresponde al eje x, en sentido

posterior-anterior), de 1.57MPa en la direccion 22 (eje y, en sentido lateral-medial) y de

3.25MPa en la direccion 33 (eje z, en sentido proximal-distal).

Figura 5.12: Tensiones principales S11, S22 y S33 que aparecen en el disco izquierdo en la mastica-

cion con molares derechos.

Si se analizan las tensiones en las diferentes direcciones para el disco izquierdo (ver

figura 5.12) que, por lo que se observa en la figura 5.11, es el que presenta valores de tension

mayores, se puede destacar que las tensiones que soporta se corresponden bastante bien con

los valores obtenidos por Chen and Xu [12] en sus simulaciones bidimensionales, en las que

5.2 Influencia de la Articulacion Temporomandibular 77

calcularon una tension maxima de 5.28MPa.

En la figura 5.13 se presentan mapas de distribucion de la variable contact opening

que permite identificar las zonas en las que hay penetracion y las superficies que no estan

en contacto. La variable COPEN esta expresada en mm, valores negativos indican que

hay penetracion mientras que valores positivos definen la separacion entre las superficies

de contacto. En la figura, se puede ver la superficie inferior del disco de la ATM izquierda

(superficie en contacto con el condilo) y la superficie superior del disco (superficie en contacto

con el temporal). Se observa que en la superficie en contacto con el condilo, practicamente

no hay penetracion y la apertura en la banda posterior y en la zona central del disco es muy

pequena, lo que indica que hay contacto entre el disco y el condilo. En la superficie superior

el contacto se establece entre el temporal y la zona central del disco, por ello en esa zona se

presentan mayores presiones de contacto (ver figura 5.14).

Figura 5.13: Apertura de contacto en el disco articular izquierdo.

Como se ve en la figura 5.14 las maximas presiones de contacto (expresadas en MPa) se

encuentran en la zona central del disco y son alrededor de 3MPa.

Si se observan los estudios realizados por Werner et al. [94], en ellos, obtienen que las

perforaciones del disco articular se localizan principalmente en la zona central o intermedia

del mismo, lo cual es consistente con los resultados aquı obtenidos: las maximas tensiones

de compresion se encuentran en esa zona.

En las figuras 5.15 y 5.16 se presenta la tension equivalente en los ligamentos colaterales y

temporomandibulares respectivamente. A la izquierda, se muestra la distribucion resultante

78 Aplicaciones del Modelo

Figura 5.14: Presion de contacto en el disco articular izquierdo.

Figura 5.15: Tension equivalente en los ligamentos colaterales durante la masticacion con molares

derechos.

5.2 Influencia de la Articulacion Temporomandibular 79

en los ligamentos colaterales de la ATM derecha, lateral (arriba) y medial (debajo). A

la derecha se observan las tensiones en los ligamentos colaterales de la ATM izquierda,

nuevamente, vista lateral (arriba) y vista medial (debajo). Los principales responsables de

que el disco acompane al condilo en los movimientos que este realiza en la articulacion, son los

ligamentos colaterales. Estos permiten un giro relativo del disco con respecto al condilo pero

no permiten que este se separe y pierda el contacto con el mismo. Los ligamentos colaterales

sufren importantes tensiones de traccion, en este caso, son mayores en los ligamentos que

sujetan el condilo izquierdo debido a la presion que ejerce la mandıbula en ese lado de la

articulacion.

Figura 5.16: Tension equivalente en los ligamentos temporomandibulares durante la masticacion

con molares derechos.

Los ligamentos temporomandibulares no sufren tensiones significativas, solo se ven puntos

de mayor tension en los puntos de insercion del ligamento al condilo, que corresponden a los

puntos en los que se establecio el contacto. El ligamento que se presenta a la izquierda es el

correspondiente al condilo derecho.

En la figura 5.17 se presentan el sistema condilo - disco articular, derecho e izquierdo,

en su condicion indeformada (gris) y deformada (verde) superpuestas. Se observa que el

condilo izquierdo se desplaza considerablemente hacia arriba y hacia adelante llevando el

disco consigo.

80 Aplicaciones del Modelo

Figura 5.17: Condilo y disco en su condicion indeformada (en gris) y deformada (en verde) en

ATM derecha e izquierda respectivamente.

En la figura 5.18 se observa la condicion deformada e indeformada de los ligamentos co-

laterales de la articulacion izquierda. Como puede apreciarse, la deformacion es muy grande,

esto se debe a la funcion especıfica de estos ligamentos de mantener unidos al disco y a la

mandıbula. En la condicion deformada se muestra un mapa de la deformacion logarıtmica.

Es posible afirmar que la deformacion de los ligamentos es positiva por lo que el ligamento,

efectivamente, solo soporta cargas de traccion, por ello un modelo de comportamiento tipo

Neo-Hookeano es indicado para este tipo de tejido.

Figura 5.18: Ligamentos colaterales, medial y lateral de la articulacion izquierda.