7/14/2019 APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN CIRCUITOS RL.doc

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 APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ENCIRCUITOS RL

Resumen

En un circuito RL serie en corriente alterna, se tiene una resistencia y una bobina enserie. La corriente en ambos elementos es la misma.

La tensión en la bobina está en fase con la corriente (corriente alterna) que pasa por ella.(tienen sus valores máximos simultáneamente), pero el voltaje en la bobina estáadelantado a la corriente que pasa por ella en 90º (la tensión tiene su valor máximo antesque la corriente)

Palabras Claves: Voltaje, corriente, impedancia, resistencia, bobina.

Objetivo: Elaborar un articulo científico de electrónica en circuitos RL basados enaplicaciones de ecuaciones diferenciales.

In a circuit RL series in alternating current, you have a resistance and a reel in series.The current in both elements is the same.

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APLICACIONES ECUACIONES DIFERENCIALESEN CIRCUITOS RL

The tension in the coil is in phase with the flow (ac) that passes by it. (They have their maximum values simultaneously), but the voltage in the coil is advance to the currentthrough it in 90th (the tension has its maximum value before the current).

Key Words: Voltage, current, impedance, resistance, coil.

Objective: To develop an article of scientific electronic circuits RL based on applicationsof differential equations.

1. INTRODUCCION

Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene autoinductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre sedesprecia la auto inductancia en el resto del circuito puesto que se considera muchomenor a la del inductor.

Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor produciráigualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente noaumente. A esto se le conoce como fuerza contra electromotriz.

Esta fem está dada por:

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L. Bravo, R. Barreto, W. Pérez

Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo y la

tensión será negativa al haber una caída de la misma en el inductor.

Según kirchhoff:

Caída de voltaje a través de la resistencia.

2. APLICACIONES A CAMBIOS TRANSITORIOS DE CIRCUITOS

CIRCUITO RESISTIVO - INDUCTIVO EN SERIE:

La forma general de un circuito RL serie bajo excitación de tensión es la siguiente:

La respuesta a esta excitación de tensión será una corriente i que producirá sobre laresistencia y sobre la inductancia sendas caídas de tensión, las cuales vendrán dadasrespectivamente por:

Si aplicamos al circuito la segunda ley de Kirchoff, tendremos que el valor instantáneo dela tensión en función del tiempo será:

En esta última expresión observamos:

1.- La respuesta a la transición depende de una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde este, viene dado por la cantidad de elementos reactivos del circuito.

2.- Debido a que hay una excitación v, la ecuación es no homogénea lo cual dificulta suresolución.

 Analizaremos ahora el comportamiento de este circuito bajo diversos tipos de excitación.

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APLICACIONES ECUACIONES DIFERENCIALESEN CIRCUITOS RL

CIRCUITO RL SERIE SIN EXCITACIÓN CON CONDICIONES INICIALES NO NULAS:

Este caso es denominado: Régimen natural

Partamos del siguiente circuito:

Luego de un tiempo prolongado de funcionamiento circulará una corriente Io como laindicada en el circuito. En un determinado instante que designamos con t =0 se abre lallave l, de forma tal que en la bobina se cumplirá:

t = 0 entonces i = Io

Bajo estas condiciones estudiaremos como varía la corriente i en función del tiempo através del circuito que contiene a la resistencia R.

El circuito, queda así librado a la única acción de la energía concentrada en el campo magnético de la bobina la cual retorna al circuito disipándose progresivamente en elresistor en forma de calor .

Del párrafo anterior sabemos que:

Pero en este caso v = 0, por lo tanto:

Esta última ecuación diferencial es lineal, de primer orden y homogénea, la cual puederesolverse separando diferenciales, es decir, se procede como sigue:

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L. Bravo, R. Barreto, W. Pérez

Para resolver esta ecuación integramos ambos miembros, con lo que obtenemos:

El valor de la constante de integración K, lo obtenemos aplicando a la última expresión lascondiciones iníciales, es decir:

t = 0 entonces i = Io por lo tanto

ln Io = K

Valor este que remplazando en la expresión anterior, nos da:

Operando en esta última expresión obtenemos:

De donde:

Es decir que el proceso tiene una variación exponencial , se inicia cuando la relación deintensidades es uno para t = 0 y tiende asintóticamente a cero.

CIRCUITO RL SERIE CON EXCITACIÓN ESCALON Y CON CONDICIONES INICIALES 

NO NULAS:

Este es el caso para el cual:

En t = 0 entonces i = +/- Io

Será esencial para este caso determinar nuevamente la constante de integración.

El circuito a emplear será el siguiente:

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APLICACIONES ECUACIONES DIFERENCIALESEN CIRCUITOS RL

Para calcular la constante de integración nos basaremos en la expresión (1 ) del párrafoanterior, es decir:

 Aplicando a esta expresión las condiciones iníciales:

En t = 0 entonces i = +/- Io

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L. Bravo, R. Barreto, W. Pérez

3. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

• MERLO, José Antonio; MARTÍN, Juan Carlos. Las revistas electrónicas:

características, fuentes de información y medios de acceso.

• Libro de Circuitos Eléctricos escrito por el fallecido ingeniero Augusto Cano,

profesor de planta de la Universidad Tecnológica de Pereira Colombia