Aplicacin algebra lineal en ingeniera civil

Santiago lvarez VelsquezMaycol Andrs Martin Naranjo

Abril 29 del 2015

Resumen En este trabajo queremos mostrar una de las aplicaciones que tiene el lgebra en la ingeniera civil, como podemos realizarla, que tenemos que saber para realizarla, con nfasis en ecuaciones lineales y la dependencia e independencia.AbstractIn this work we want to tell us the applications of the algebra linear in engineer civil, who we can realize the work, what we need to know to do, with emphasis on linear equations and their independence/dependence.

Objetivos

Investigar informacin sobre que es el lgebra lineal y como esta es tan importante en el desempeo del trabajo de un ingeniero civil.Dar a conocer una aplicacin de algebra lineal en la ingeniera civil, utilizando el programa Wlfram Mathematica como una herramienta para el desarrollo de operaciones matriciales.

Qu es algebra lineal?Ellgebra lineales una rama de lasmatemticasque estudia conceptos tales comovectores,matrices,sistemas de ecuaciones linealesy su enfoque de manera ms formal,espacios vectorialesy sus transformaciones lineales.Es un rea activa que tiene conexiones con muchas reas dentro y fuera de las matemticas, con elanlisis funcional, lasecuaciones diferenciales, lainvestigacin de operaciones, las grficas por computadora, laingeniera, etc.

What is linear algebra?Linear Algebra is the study of vectors. Mostly, these vectors are found in matrices, which is an easy way to compress the information given by a series of equations or vectors. The applications of linear algebra are used heavily in many types of engineering, but this document will focus primarily on the applications to Civil engineering.In these fields, the use of linear algebra is common, especially with problems such as trusses, beams, supports, material mechanics, dynamics, and mechanical stresses. With these sorts of problems, there are large numbers of variables for us to solve. Later on we will solve a truss problem, using the principles we have explained.

Esttica

La Esttica estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a diversas fuerzas. Al tratar la Tercera Ley de Newton, se menciona la palabra reaccin al resumirse esa Ley en la expresin: A toda accin corresponde una reaccin igual y opuesta. Se dice que no se trata de dos fuerzas que se equilibran porque no son fuerzas que obren sobre el mismo cuerpo, sin embargo, hay ocasiones en que las fuerzas efectivamente estn en equilibrio.

StaticsStatics is the study of methods for quantifying the forces between bodies. Forces are responsible for maintaining balance and causing motion of bodies, or changes in their shape. You encounter a great number and variety of examples of forces every day, such as when you press a button, turn a doorknob, or run your hands through your hair. Motion and changes in shape are critical to the functionality of man-made objects as well as objects the nature.Statics is an essential prerequisite for many branches of engineering, such as mechanical, civil, aeronautical, and bioengineering, which address the various consequences of forces.

Ley de senosLa ley de senos es una relacin que existe entre tres igualdades que siempre se cumple entre los lados y ngulos de un tringulo, sin importar que tipo de triangulo se ha este, esta relacin es til para resolver problemas en los cuales uno necesita encontrar el ngulo o un lado pero utilizando 3 de los datos que nos proporcionan.La ley de senos dice que la razn entre la longitud de cada lado y el seno del ngulo opuesto a l en todo triangulo es constante. La ley de senos es esta:

Law of sinesTheLaw of Sinesis the relationship between the sides and angles of non-right (oblique)triangles. Simply, it states that the ratio of the length of a side of a triangle to the sine of the angle opposite that side is the same for all sides and angles in a given triangle.Fuerza La fuerza es un concepto difcil de definir, pero muy conocido. Una fuerza esalgoque cuando acta sobre un cuerpo, de cierta masa, le provoca un efecto.Por ejemplo, al levantar pesas, al golpear una pelota con la cabeza o con el pie, al empujar algn cuerpo slido, al tirar una locomotora de los vagones, al realizar un esfuerzo muscular al empujar algo, etctera siempre hay un efecto.El efecto de la aplicacin de una fuerza sobre un objeto puede ser:Modificacin del estado de movimientoen que se encuentra el objeto que la recibeModificacin de su aspecto fsicoTambin pueden ocurrir los dos efectos en forma simultnea. Como sucede, por ejemplo, cuando alguien patea una lata de bebida: la lata puede adquirir movimiento y tambin puede deformarse.En este caso analizaremos las fuerzas que tienen objeto en reposo el cual le suceden deformaciones en cuanto va pasando el tiempo y cuando va aumentando el peso que se le coloca.

ForceForceis any interaction which tends to change the motion of an object. In other words, a force can cause an object withmassto change itsvelocity(which includes to begin moving from astate of rest), i.e., toaccelerate. Force can also be described by intuitive concepts such as a push or a pull. A force has bothmagnitude anddirection, making it avectorquantity. It is measured in theSI unitofNewtonand represented by the symbolF.

Equivalencia estticaLaequivalencia estticaes unarelacin de equivalenciaentre sistemas defuerzasaplicadas sobre unslido rgido. Dados dos sistemas de fuerzas se dice que son estticamente equivalentes si y solo si la fuerza resultante y el momento resultante de ambos sistemas de fuerzas son idnticos. Por tanto escribiremos que:La definicin de equivalencia esttica anterior puede extenderse cuando existenmomentos, fuerzas distribuidas otensionesen cuerpos deformables, como se explicarEquivalent static Aresultant forceis the single force and associatedtorqueobtained by combining a system offorcesand torques acting on a rigid body. The defining feature of a resultant force, or resultant force-torque, is that it has the same effect on the rigid body as the original system of forces. The point of application of the resultant force determines its associated torque. The termresultant forceshould be understood to refer to both the forces and torques acting on arigid body, which is why some use the termresultant force-torque.

Matrices de fuerzas internas Se denomina as la matiz que proporciona directamente las fuerzas internas en cada uno de los elementos del sistema, a partir de los desplazamientos nodales, modificndola de manera adecuada se puede logar unja matriz de esfuerzos unitarios, o simplemente de matriz de esfuerzos.Una vez encontrados los desplazamientos de los nudos se puede averiguar la deformacin que experimenta cada miembro. Estas se pueden suponer como causadas por un sistema de fuerzas nodales equivalentes.

Matriz de rigidezElmtodo matricial de la rigidezes un mtodo de clculo aplicable aestructuras hiperestticasde barras que se comportan de formaelsticaylineal. Este mtodo est diseado para realizar anlisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estticamente indeterminadas. El mtodo matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El mtodo de rigidez directa es la implementacin ms comn delmtodo de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una nica ecuacin matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuacin.

Herramienta wlfram matemticaWlfram matemticaes el sistema de computacin global ms poderoso del mundo. Desde su lanzamiento ha tenido un profundo efecto en la manera de utilizar computadoras en reas tcnicas y otras disciplinas. Matemticamantiene su velocidad innovadora al incorporar grandes reas de aplicacin nuevas a su marco de trabajo integrado.Este programa permite realizar clculos de una manera ms exacta y mucho ms rpida, este programa fue realizado para los ingenieros, fsicos y matemticos, que viven diariamente rodeados de nmeros, facilitando las cosas y haciendo de los clculos que antes eran trabajosos y su realizacin era larga, algo mucho ms sencillo y rpido.Fue fundada por Stephen wlfram en 1987, el cual es un innovador e inventor de utilidades para la ciencia, la matemtica y la economa.

Ejemplo/ Example

reas 1-3: 100001-4: 4000 3-2: 150004-2: 40004-3: 3000Elemento cossen

cos.senA/L (mm)

1.336,870,80,60,640,360,482

1..40101001

3..2-36,870,8-0,60,640,36-0,483

420101001

4390010101

Ecuacin para formar la matriz de rigidez:

Desarrollo en Wlfram Mathematica:

=E

= E

Y ensamblando por superposicin, teniendo cuidado de hacerlo de una vez en el orden apropiado:

De manera que la ecuacin matricial con el orden correcto que da as:

Ejecutando la particin en la forma establecida e invirtiendo:

E = 200 kN/

Esta es la deflexin que sufre la estructura en cada uno de sus barras.Ahora se pueden calcular las reacciones

KN

Estas son las reacciones.Finalmente, se calculas las fuerzas internas:

Ecuacin=

133.4 k N

Los siguientes diagramas verifican las respuestas obtenidas:

ConclusinCon este trabajo logramos encontrar una de las tantas aplicaciones que tiene el lgebra lineal en el rea de la ingeniera civil, y vemos la importancia del algebra lineal en la vida y desarrollo de un ingeniero civil.

Bibliografa . http://www.wolfram.com/company/mathematica-history.es.html. http://www.profesorenlinea.cl/fisica.http://oli.cmu.edu/courses/free-open/engineering-statics-course-details/. http://hotmath.com/hotmath_help/topics/law-of-sines.html. http://es.wikipedia.org/wiki/Equivalencia_est%C3%A1tica. Libro de Anlisis de estructuras (Jairo Uribe escamilla). Con ayuda del profesor Jorge Villalobos y Sandra Aguilar profesores de la escuela colombiana de ingenieros