APLICACIONDES DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMA

PROBLEMA 1

Una compaa fabrica un artculo de gran demanda. Se decide aumentar la capacidad paulatinamente ya que se prev que en 9 aos la demanda ser doble.

Se compran 10 mquinas nuevas durante el primer ao, 30 durante el segundo, 50 durante el tercer ao, etc. Inicialmente se tiene 400 mquinas. A su vez la productividad del equipo decrece a una tasa del 5% anual(es decir salen 5 mquinas de la produccin) Se trata de determinar el tiempo requerido para duplicar la capacidad fabricada si:

a) Se supone que las maquinas se compran al final de cada ao (Haga una tabla)

b) Se define C (t)= Capacidad en el tiempo t. Plantee y solucione una ED que relaciona el crecimiento instantneo de la capacidad adicional con el crecimiento de la capacidad (tasa de cambio) y la depreciacin (=0.05C). En qu tiempo se duplica la capacidad? (SIN (13)).

Solucin:

Ao

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Maq. en prod

40

39

40

43

47

53

61

70

81

Maq. que no prod

2

2

2

3

3

3

4

4

5

Maq. nuevas

1

3

5

7

9

11

13

15

17

Maq. Fin ao

39

40

43

47

53

61

70

81

93

Capacidad adicional en el tiempo t:

Ecuacin diferencial:

Se dobla aprox. t=7.73 aos

PROBLEMA 2

La demanda y oferta de un cierto bien estn dadas en miles de unidades por D = 48- @p (t) + 3p (t), S = 30+p (t) + 4p (t), respectivamente. Si en t = 0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) el precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) si hay estabilidad o inestabilidad de precio.

Solucin El precio p (t) est determinado al igualar la oferta y la demanda, esto es:

48 - 2p (f) + 3$(r) = 30 + p(r) + 4$(t) o p(r) + 3p (t) = 18

Resolviendo la ecuacin de primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da

p (t) = 6 + 4~~ (ll)

(b) De (ll) vemos que, si t-, CO, p-6. Por tanto tenemos estabilidad de Precio, y el precio de equilibrio es 6 unidades.

PROBLEMA 3

Suponga que la oferta y la demanda estn dadas en trminos de precios p por S = 60 + 2p, D = 120 - 3p, respectivamente, la constante de proporcionalidad en dp/dt= -x dq/dt es CY = 4. (a) Escriba la ecuacin diferencial para p, y (b) determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0.

Solucin (a) De la ecuacin diferencial requerida para p es:

Dp/dt= -4(60+ 2p- 130 + 3p) o dp/dt + 20p= 240

Resolviendo como una ecuacin diferencial lineal de primer orden (o una con variables separables) se obtiene

p = 12 + ce

-20t

Usando p=8 en t=O da c= -4, y as

-20t

p = 12 - 4e

PROBLEMA 4

La seora Blanca Ramrez desea disponer en 10 aos de $30 000 000 haciendo algunos depsitos en una entidad financiera con una tasa de inters incrementado a una tasa del 16% compuesto en forma continua. Los depsitos los har de la siguiente manera: Al comienzo del perodo deposita $3000 000, al cabo de tres aos deposita $4 000 000 y tres aos despus deposita $5 000 000

a) Obtendr el dinero esperado en 10 aos?sma cantidad de insumos tales como dinero, tiempo, esfuerzo y materiales.ividuos contribuyan al logro de los objetivos con la

b) Si en los ltimos cuatro aos quiere tomar anualmente $1 000 000 para disfrutar de unas vacaciones con su familia Obtendr al final los $30 000 000 esperados?

SOLUCIN

a)

Tendr a los tres aos $4 848 223. 207 pero, adems tiene un depsito de $ 4 000 000. Entonces A (3)=8 848 223.207

Tendr a los seis aos $14 229 387.03 pero, adems tiene un depsito de $ 5 000 000. Entonces A (6)=19 229 387.03

Respuesta: La seora Blanca si obtendr el dinero esperado, adems tendr $6 468 146.82 adicionales

b) La ecuacin diferencial para A (t) debe cambiarse pero slo a partir del ao seis.

Respuesta: Si la seora Blanca disfruta de unas vacaciones, de igual modo al final obtendr el dinero esperado.

Bacp2012Qhotmail.com

A (t)

C2

e

0.16 (3)

8 848 223. 207A (3)

8 848 223. 207

C2

C3

5 475 133. 567

5 475 133. 567

A (t)

0.16t

e

5 475 133. 567

A (6)

0.16(6)

e

14 229 387.03

A (6)

0.16t

e

dA

dt

0.16A

A (t)

C3

e

0.16 (6)

19 229 387. 03

A (6)

19 229 387. 03

C3

C3

7 362 795. 495

7 362 795. 495

A (t)

0.16t

e

7 362 795. 495

A (10)

0.16(10)

e

36 468 164. 82

A (10)

0.16t

e

dA

dt

0.16A

dA

dt

0.16A - 1 000 000

dA

0.16A - 1 000 000

dtdt

e

0.16 (6)

19 229 387. 03A (6)

0.16 (19 229 387.03) - 1 000 000

C4

C4

795 154.3933

0.16A - 1 000 000

0.16t

e

A (10)

6.25 Ln (u) = t + C

0.16t

e

30 865 159 .33

du

u

dt

u = 0.16A - 1 000 000

du = 0.16 dA

dt

6.25

6.25 Ln I 0.16A - 1 000 000 I = t + C

Ln I 0.16A - 1 000 000 I = 0.16t + C

0.16A - 1 000 000 = C 4

0.16(6)

e

0.16(6)

e

795 154.3933

795 154. 3933 +1 000 000

A(t)

e

0.16 (t)

0.16

795 154. 3933 +1 000 000

A(10)

e

0.16 (10)

0.16

dA

dt

0.16A

dA

0.16A

dt

dA

0.16A

dt

dA

0.16A

dt

Ln A

0.16

t + C

Ln A

0.16t + C

Ln A

0.16t C

eee

A (t)

C1e

0.16t

C 1

3 000 000

3 000 000

A (0)

3 000 000

A (t)

0.16t

e

3 000 000

A (3)

0.16(3)

e

4 848 223. 207

A (3)