aplicaciÓn de una formulaciÓn en …article5.pdfmérica de estos dos tipos de formulación...

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones que rigen el flujo de un fluidoviscoso incompresible son las ecuaciones de Na-vier-Stokes. Esta ley está constituida por un siste-ma de ecuaciones diferenciales en derivadas par-ciales, cuyas incógnitas son la velocidad y la pre-sión del fluido. Con carácter general no existe solu-ción analítica para estas ecuaciones, por lo que enel análisis de casos prácticos de interés en la inge-niería se recurre a obtener soluciones aproximadas,haciendo uso de un método numérico. De entre es-tos métodos los más utilizados son el de las Dife-rencias Finitas, el de los Elementos Finitos y el delos Volúmenes Finitos (Roe, 89).

La resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes plantea una serie de dificultades muy im-portantes en su resolución numérica. La mayoría deestas dificultades derivan del hecho de la presenciade un término que evalúa los efectos de la acelera-ción convectiva en el flujo viscoso. Algunas formu-

laciones simplemente eliminan este término con-vectivo de las ecuaciones constitutivas, para susti-tuir así la formulación general de Navier-Stokespor la simplificación de Stokes (Carey, 84). Estaaproximación es sólo válida para los flujos reptan-tes (creeping flows) o, lo que es lo mismo, flujos depequeña velocidad y calado. Otra simplificación delas ecuaciones de Navier-Stokes sería la utilizaciónde la formulación del flujo potencial, que se limitaa igualar a cero el laplaciano del potencial. Estasecuaciones simplificadas dan una idea de la evolu-ción del flujo en canales y depósitos, pero no detec-tan ciertas características de éste. La resolución nu-mérica de estos dos tipos de formulación simplifi-cada es bastante sencilla y en determinados casospuede ser muy útil. Sin embargo, estas ecuacionesno facilitan una información veraz sobre los fenó-menos de recirculación, distribución de caudales,variación de calados, etc que tienen lugar en la rea-lidad y que pueden ser básicos a la hora de afrontarciertos problemas de flujo relacionados con la inge-niería civil (Vellando, 01).

163INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003

Resumen:En el presente trabajo se exponen los resultados de la aplicación de una formulación numéricapropuesta por los autores, en la resolución de varios problemas de flujo relacionados con el trata-miento de aguas residuales. La formulación expuesta está basada en el Método de los ElementosFinitos, y resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el flujo viscoso incompresible.El desarrollo de este código permite modelar de manera adecuada el flujo viscoso incompresible yes capaz de evaluar el comportamiento del agua en depósitos y canales de las estaciones de trata-miento de aguas, permitiendo así conseguir un funcionamiento óptimo de éstas, gracias a la modi-ficación de los parámetros hidráulicos y geométricos de estas plantas.

Palabras clave: Elementos Finitos, Navier-Stokes, SUPG, Tratamiento de Aguas

E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Dpto. de Métodos Matemáticos y de Representación.Universidad de La Coruña. Campus de Elvi-ña. 15071 La Coruña. España. Tel: (34) 981 167000, fax: (34) 981 167170. e-mail: [email protected]

Artículo recibido el 22 de febrero de 2002, recibido en forma revisada el 19 de diciembre de 2002 y aceptado para su publicación el 20 de mazo de2003. Pueden ser remitidas discusiones sobre el artículo hasta seis meses después de la publicación del mismo siguiendo lo indicado en las “Instruccionespara autores”. En el caso de ser aceptadas, éstas serán publicadas conjuntamente con la respuesta de los autores.

APLICACIÓN DE UNA FORMULACIÓN EN ELEMENTOS

FINITOS A LA RESOLUCIÓN DEL FLUJO EN UNIDADES

DE PROCESO DE AGUAS RESIDUALESPablo Vellando, Jerónimo Puertas, Ignasi Colominas, Joaquín Suárez y José Gil de Bernabé

Recientemente, los autores de este artículohan propuesto una formulación numérica basada enel Método de los Elementos Finitos y han desarro-llado un código de ordenador que permite la resolu-ción del problema del flujo viscoso incompresiblepara números de Reynolds de orden moderado (Ve-llando, 02). Así, ha sido posible evaluar el flujo quese produce al analizar diversos problemas de graninterés práctico en la Ingeniería Sanitaria, como sonaquellos que tienen lugar en los depósitos y canalesde las estaciones de tratamiento de aguas. Las es-tructuras en las que se evalúa el flujo han sido de-cantadores convencionales de tipo rectangular ycircular, un prototipo de decantador de lamelas contratamiento de biopelícula y un canal de floculaciónde tipo laberinto (Metcalf, 95). Gracias a la evalua-ción numérica del comportamiento del flujo en es-tas estructuras será posible llevar a cabo una redefi-nición de los parámetros hidráulicos y geométricos,encaminada a conseguir una mejora en el funciona-miento de las plantas de tratamiento de aguas.

ECUACIONES CONSTITUTIVAS

Como ya se ha sido citado, las ecuacionesconstitutivas que rigen estos problemas son lasecuaciones de Navier-Stokes. En todo lo sucesivovamos a utilizar la notación indicial (que asume de-rivación de la variable dependiente con respecto dela variable independiente indicada en el subíndicedespués de la coma). Las ecuaciones de Navier-Stokes están constituidas por dos leyes; la ecuacióndinámica que se deriva directamente de la aplica-ción de la segunda ley de Newton, y la ecuación decontinuidad que asegura la conservación de la ma-sa en el dominio. Utilizando la notación indicial po-demos expresar las ecuaciones dinámica y de con-tinuidad como:

donde ui es la velocidad, p es la presión, fi sonlas fuerzas de masa, ρ es la densidad,v es la visco-sidad cinemática y t es el tiempo. Como puede ver-se, se trata de un sistema de ecuaciones diferencia-les, cuyas incógnitas son la velocidad y la presión.Además, estas ecuaciones diferenciales, deberánconsiderarse las condiciones iniciales y de contor-no, que se pueden expresar como:

donde Γ1 y Γ2 son dos subconjuntos no sola-pados del contorno Γ del dominio Ω , b

ies el vector

velocidad prescrito en Γ1 , ti son las tracciones pres-critas en Γ2 , σij , son las tensiones a lo largo delcontorno Γ2 , nj , nj es el versor normal y hacia afue-ra de Γ2 , y Ω es el dominio de definición. En(Chaudhry, 99) pueden encontrarse más detallessobre la deducción de estas ecuaciones.

FORMULACIÓN NUMÉRICA

Se van a considerar dos tipos de formulación,una formulación bidimensional de Navier-Stokes yuna formulación de Aguas Someras.

Formulación 2D de Navier-Stokes

La formula (1) incluye dos ecuaciones distin-tas, la dinámica y la de continuidad. Como conse-cuencia de ello, para poder resolverlas por el Méto-do de los Elementos Finitos vamos a aplicar el mé-todo de los residuos ponderados sobre las dos ecua-ciones presentes en la formulación de Navier-Sto-kes (Carey, 84). Así, se obtienen unas ecuacionesintegrales de la forma:

donde wi=wi+pi son las funciones de pesopara la ecuación dinámica, q son las funciones de pe-so para la ecuación de continuidad (Brookes 82) y erepresenta cada una de las divisiones finitas del do-minio. El superíndice h hace referencia a la discreti-zación llevada a cabo en el domino como conse-cuencia de la aplicación del Método de los Elemen-tos Finitos y por tanto Ωh es el dominio discretizado.

En las ecuaciones (3) existen dos tipos dis-tintos de incógnitas: velocidades y presiones, porlo que este tipo de algoritmos reciben el nombrede ‘mixtos’. Para llevar a cabo la interpolaciónde ambas incógnitas es necesario tener en cuentala compatibilidad de las funciones de aproxima-ción de ambas. Además de la necesidad de veri-ficar las propias ecuaciones de Navier-Stokes,

164

P. Vellando, J. Puertas, I. Colominas, J. Suárez y J. Gil de Bernabé

INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003

(1)

(3)

(2)

debemos asegurar también que se cumplen ciertascondiciones de consistencia para este problema (paramás detalles ver (Babuska, 71), (Taylor, 73), (Brezzi,74)), para así evitar la inestabilidad numérica del al-goritmo. En los presentes cálculos se ha utilizado unelemento básico de tipo Q1P0 (velocidad bilineal,presión constante), que ha demostrado dar lugar a so-luciones totalmente estables (Vellando, 01).

Una vez introducida la aproximación, las ma-trices elementales se ensamblan para obtener unsistema de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales no lineales, que en notación matricial sepuede expresar como:

donde Mυ es la matriz de masas, Cυ (u,v) es lamatriz de convección, Aυ es la matriz de esfuerzosviscosos, B es la matriz de presiones, f es el vectorde fuerzas de masa, p es el vector de presiones, υ esel vector de velocidades, u es el vector de velocida-des en la dirección x, y v es el vector de velocida-des en la dirección y, (para más detalles ver (Ve-llando, 01)).

La integración en el tiempo se ha llevado a ca-bo mediante un algoritmo en Diferencias Finitashacia atrás. De forma que en la iteración n-ésima sehan evaluado las derivadas de la velocidad con res-pecto del tiempo en función de los valores de la ve-locidad para la iteración anterior.

Para eliminar las no linealidades del sistemase ha utilizado un algoritmo de aproximaciones su-cesivas de forma que el término no lineal Cυ (u,v)υ,se aproxima para la iteración n-ésima en térmi-nos de los resultados de la iteración anterior co-mo Cυ (u

n-1,vn-1)υn

Con todo ello se obtiene un sistema de 2N+Mecuaciones algebraicas, siendo N y M el número denodos de interpolación de velocidades y presionesen los que se ha dividido el dominio. La matriz aso-ciada al sistema resulta ser no simétrica, y de anchode banda grueso (Vellando, 01), por lo cual se ha re-suelto el sistema mediante un algoritmo de tipoPBCG (Gradientes Precondicionados Biconjuga-dos), este tipo de métodos de Krylov permiten resol-ver sistemas con matrices asociadas no simétricas

con almacenamiento en matriz dispersa, con elconsiguiente ahorro en términos computacionales(Nigro, 98).

Los problemas de estabilidad más importan-tes que encontramos a la hora de resolver la ecua-ción de Navier-Stokes por el Método de los Ele-mentos Finitos son los que surgen de la forma enque se aplica el método de los residuos ponderadossobre el término de convección de la ecuación di-námica. Esta inestabilidad aparece en forma de os-cilaciones espurias nodo a nodo en el campo de ve-locidades, especialmente para números de Rey-nolds suficientemente altos, y se pueden eliminarllevando a cabo un exhaustivo refinamiento de lamalla. Sin embargo, este refinamiento puede impli-car unos costes computacionales muy altos. En es-te trabajo se utilizará un algoritmo de tipo SUPG,que permite obtener soluciones estables basadas enel Método de los Elementos Finitos, sin necesidadde refinar la malla. Las bases de este método fueronestablecidas por primera vez en (Brooks, 82). Conposterioridad a esta fecha, diversos autores hanpropuesto otras formas de estabilización de tipoSUPG en sus formulaciones (Sampaio, 91), (Zijl,91), (Franca, 92), (Kondo, 94), (Hannani, 95),(Choi, 97). La base de este método consiste en aña-dir a las funciones de peso del método de Galerkin,que son simétricas, un término no simétrico en elque se le da más peso a los nodos de aguas arriba.La presente formulación de estabilización SUPGen oposición a otras como las ya citadas, aplica lasfunciones de peso de estabilización a todos los tér-minos presentes en la ecuación dinámica, en base aun coeficiente de difusión artificial calculado entérminos de una función de aproximación óptima,que depende de la cotangente hiperbólica de los nú-meros de Reynolds multidimensionales, calculadossobre cada elemento básico (Vellando, 01). Lasfunciones de peso del método SUPG utilizadas enla presente formulación son:

Los parámetrosξ yη han sido determinadoshaciendo uso de una regla de aproximación óptima enfunción de las cotangentes hiperbólicas (ver figura 1).

165

APLICACIÓN DE UNA FORMULACIÓN EN ELEMENTOS FINITOS A LARESOLUCIÓN DEL FLUJO EN UNIDADES DE PROCESO DE AGUAS RESIDUALES


(4)

(5)

(7)

(6) con

donde , y el coeficiente

de difusión artificial multidimensional k está defi-nido como:

donde hξ , h η , y eξι , e ηι son las longitudes ca-racterísticas del elemento básico y los versores enla dirección de los ejes locales ξ y η (ver figura 1).Los parámetros αξ y α η son los números de Rey-nolds direccionales del elemento básico, uh

eies la

velocidad en el interior del elemento y es la visco-sidad cinemática del fluido.

Formulación de Aguas Someras

El algoritmo anterior resuelve las ecuacionesde Navier–Stokes en dos dimensiones. La incorpo-ración de la tercera dimensión a la formulación an-teriormente explicada supone además de unas exi-gencias computacionales muy elevadas, la compli-cación añadida del tratamiento de la lámina libre.Se ha utilizado la formulación de ‘Aguas Someras’para considerar la influencia del calado en aquellosflujos en los que la profundidad es pequeña encomparación con la dimensión horizontal. Este al-goritmo hace la suposición de que la dirección prin-cipal del flujo es la horizontal, y sólo flujos despre-ciables tienen lugar en planos verticales. Se asumeademás una distribución hidrostática de presiones.

La formulación de aguas someras se basa enllevar a cabo una integración en altura de las ecua-ciones de Navier-Stokes, para así considerar comovelocidad horizontal la media de velocidades a lolargo de la vertical.

donde h es el calado y S0i y Sfi son las pen-dientes geométrica y motriz. La derivación com-pleta de estas ecuaciones puede encontrarse en(Weiyan, 92).

Como consecuencia de la integración en altu-ra que se va a llevar a cabo en las ecuaciones 3D deNavier-Stokes aparece un término de pendientemotriz Sfi que se va a evaluar a partir de la fórmulade Manning según la expresión:

donde Rh es el radio hidráulico (Vellando, 01).

La determinación del coeficiente de Manning,que es función de la rugosidad del canal y del cualdepende el término de la pendiente motriz, se hacede manera experimental. De esta forma las pérdidasde energía que quedan englobadas gracias a su con-sideración, no sólo tienen en cuenta los efectos pro-vocados por el rozamiento con las paredes y la sole-ra del canal, sino que estiman las pérdidas globalesque tienen lugar en el flujo como consecuencia de laaparición de los esfuerzos turbulentos que surgen enel fluido a partir de un determinado número de Rey-nolds (Rodi, 93). En este análisis, se ha incluidoademás un término disipativo de tipo difusivo.

Para eliminar los posibles problemas de con-sistencia se ha utilizado el mismo elemento básicode tipo Q1P0 usado en la formulación 2D y las

166



Figura 1. Longitudes características y versores del elemento básico y regla de aproximación óptima paraξ yη .

(8)

(9)

(10)

mismas funciones de peso SUPG tal y como se handescrito en el apartado anterior. Con objeto de esti-mar las no linealidades que aparecen en la ecuaciónpor efecto de la presencia del término convectivo,se han utilizado los mismos procedimientos numé-ricos de la formulación 2D.

Para materializar la influencia del calado so-bre la ecuación de continuidad y eliminar así laspseudo-no-linealidades que aparecen en esta ecua-ción, se han definido unos valores intermedios delcalado h* y del gradiente del calado h* . Estos va-lores intermedios se evalúan según un esquema es-pecífico en diferencias finitas desarrollado en (Ve-llando, 01). De esta forma la formulación matricialde flujo permanente que se obtiene es:

donde Cυu(u, v) es la matriz de convección, Aυu es lamatriz de esfuerzos viscosos, B es la matriz de ca-lados, f es el vector de fuerzas de masa, D(h*) es lamatriz de valores intermedios de calados, E(h*) esla matriz de valores intermedios del gradiente decalados, h es el vector de calados y υ es el vectorde velocidades. El desarrollo completo de esta for-mulación puede encontrarse en (Vellando, 01).

VERIFICACIÓN DE LA FORMULACIÓN

A continuación se verificará el correcto fun-cionamiento de la formulación mediante la resolu-ción de los problemas académicos del Flujo en unaCavidad (Cavity Flow) y el Flujo en un Canal deEnsanchamiento Brusco (Backward Facing Step).

Flujo en un Canal de Ensanchamiento Brusco

Se trata éste de un problema académico muyadecuado para la validación, debido al hecho de queademás de la existencia de numerosos resultados nu-méricos obtenidos por diversos autores, existen ade-más resultados empíricos de (Armaly, 83), es porello uno de los problemas académicos más común-mente utilizados para contrastar y verificar distintosmodelos de cálculo. En él se puede observar la for-mación de varios vórtices de recirculación a lo largode la longitud del canal como consecuencia de dichoensanchamiento en la sección. La comparación conlos datos experimentales de Armaly se hace en tér-minos de las longitudes de reacoplamiento, que es-tán tabuladas para distintos números de Reynolds.Los resultados obtenidos mediante la utilizacióndel algoritmo 2D recogido en este trabajo mejoranademás apreciablemente los datos numéricos deArmaly obtenidos mediante una formulación enVolúmenes Finitos, aproximándose además de unamanera manifiesta a los datos experimentales obte-nidos por el propio autor.

Todas las condiciones geométricas y de con-torno han sido escogidas para igualar a las usadas en(Armaly, 83). La malla utilizada en los cálculos esde 3021 nodos, siendo más refinada en la entrada delcanal, para así permitir una mejor captación de losvértices que tienen lugar en la esquina de expansión(ver figura 2). Las longitudes de recolocación s1, s2y s3 de los vórtices primario (inferior) y secundario(superior), que van a ser utilizadas en la verificacióndel algoritmo, pueden observarse en la figura 3.

Se ha utilizado el algoritmo 2D para el cál-culo de este problema académico con números deReynolds entre 100 y 1200.

167



(11)

Figura 2. Flujo en un canal de ensanchamiento brusco. Malla

Figura 3. Flujo en un canal de ensanchamiento brusco. Longitudes de recolocación de los vórtices

En la figura 4 puede verse el resultado obteni-do para las líneas de corriente y el campo de veloci-dades con un número de Reynolds igual a 500. Elnúmero de Reynolds que se utiliza para definir esteproblema de referencia es el producto entre la mediade la velocidad de entrada (que es normal a la super-ficie de entrada y de perfil parabólico) y el diámetrohidráulico, dividido por la viscosidad cinemática.

Figura 5. Longitud de recolocación s1 para distintos números de Reynolds



Como puede comprobarse en las figuras 5,6, y 7 donde se han representado las longitudesde recolocación s1, s2, s3 para distintos númerosde Reynolds, los resultados obtenidos en el pre-sente trabajo se acercan más a los empíricos quelos numéricos obtenidos por el propio Armaly.En concreto, la longitud de recolocación s3 se ajus-ta totalmente a la obtenida empíricamente para to-dos los números de Reynolds considerados, mien-tras que las longitudes de recolocación s1, y s2 ob-tenidas en el presente trabajo, se aproximan muchomás a los resultados empíricos de Armaly.

En todos los cálculos se ha utilizado un pará-metro de convergencia de 10-4. Los tiempos deCPU y el número de iteraciones empleados en la re-solución del presente problema académico en lacomputador Alpha Server 4000 de Digital, con 1Gde memoria son los siguientes:

168



Figura 4. Flujo en un canal de ensanchamiento brusco. Líneas de corriente y campo de velocidades para Re=500

Tabla 1. Tiempo de CPU empleado en los cálculos del“Backward Step”

Número deReynolds

100200300400500600700800

10001200

Iteraciones

8121723283438434753

Tiempo deCPU

1333’’3441’’5405’’9297’’

11601’’16227’’18549’’21301’’26683’’32219’’

Los tiempos de CPU empleados en la conver-gencia de los resultados para los dos ejemplos aca-démicos considerados caracterizan el algoritmo co-mo muy eficiente, teniendo en cuenta la máquina enla que fueron resueltos. Los tiempos empleados enla resolución del ‘Backward Step’son sensiblemen-te superiores como corresponde a una malla con unnúmero considerablemente mayor de nodos. Lógi-camente el tiempo empleado en la resolución de es-tos problemas crece con la magnitud del número deReynolds, o lo que es lo mismo el peso relativo deltérmino convectivo en la ecuación dinámica.

Flujo en una Cavidad

El problema del Flujo en una Cavidad cuadra-da con velocidad tangente y unitaria en el lado su-perior, y condición de no deslizamiento en el restoes uno de los problemas de referencia más común-mente utilizados en la verificación de las formula-ciones de Navier-Stokes, ya que presenta varias zo-nas de recirculación y singularidades del campo depresiones en las esquinas superiores, lo que juntocon la amplia literatura disponible al respecto loconvierten en un problema de referencia. Para resol-ver este problema se ha utilizado una malla no regu-lar de 40x40 elementos de tipo Q1P0 (ver figura 8).

Figura 8. Flujo en una Cavidad. Malla

Los números de Reynolds utilizados en la re-solución de este ejemplo han sido 100, 1000, 5000,y 10000. El número de Reynolds se ha definido co-mo el producto entre la velocidad tangente del ladosuperior y el lado del cuadrado, dividido por la vis-cosidad cinemática del fluido. Se ha admitido que laformulación 2D utilizada para este ejemplo ha con-vergido para un parámetro de convergencia de 10-4.

Los tiempos de CPU empleados por una máquinaAlpha Server 4000 de Digital, con 1G de memoriahan sido:

En la figura 9 y 10 se muestran los resultadosobtenidos para el campo de líneas de corriente, cam-po de velocidades y campo de presiones con núme-ros de Reynolds de 1000 y 10000 respectivamente.

Figura 9. Flujo en una Cavidad. Curvas de corriente, velocidaes ypresiones, Re=1000

169



Tabla 2. Tiempo de CPU empleado en los cálculos del“Cavity Flow”Número de Rey-

nolds

10010005000

10000

Iteraciones

1015

150321

Tiempo deCPU

59’’156’’

2012’’6156’’

Los valores de verificación en este tipo de proble-mas suelen ser las velocidades horizontales a lo lar-go de una línea vertical centrada de la cavidad. Eneste sentido, los resultados obtenidos concuerdancon los resultados de referencia de (Ghia 82),(Kondo 91) y (Hannani 95) con los que se han com-parado (figura 11). De hecho, se han obtenido re-sultados muy aproximados a la solución numéricade Ghía para una malla de 129x129 nodos (que esla solución de referencia por excelencia de los pro-blemas de flujo en una cavidad), para un refina-miento de malla no regular de tan sólo 40x40 ele-mentos básicos de tipo Q1P0, mejorando así los re-sultados de Kondo y Hannani para una malla de si-milar e incluso superior refinamiento, gracias a lautilización del método de estabilización especifica-do con anterioridad. En la figura 11 se muestran losresultados obtenidos para números de Reynolds1000 y 10000

Una vez se ha verificado el correcto funciona-miento del código desarrollado con los tests presen-tados se ha utilizado en la resolución del flujo deagua residual en varios depósitos y canales utilizadosen las estaciones de depuración de aguas residuales.

APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DEL FLUJOEN UNIDADES DE PROCESO DE AGUASRESIDUALES

Algunos autores han resuelto este problemahaciendo uso de una formulación de tipo potencialen la que, por lo tanto, se ignoran los efectos rela-cionados con la aceleración convectiva (Espert 96).Este tipo de algoritmos son muy sencillos de pro-gramar, pero sólo nos dan una idea del verdaderocomportamiento del flujo. Sin embargo, la resolu-ción de las ecuaciones de Navier-Stokes mediantela formulación de Elementos Finitos propuesta,permite captar la evolución real del flujo en estoscanales y depósitos, a pesar de la mayor compleji-dad de la formulación numérica y de sus mayoresrequerimientos computacionales, tanto de memoriacomo de tiempo de computación.

En los distintos ejemplos analizados se haevaluado el flujo de agua residual en decantadoresconvencionales de tipo circular y rectangular, y seha observado la evolución del flujo en un prototipode decantador de lamelas que está siendo desarro-llado en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros

170



400

350

300

250

200

150

100

50

00 100 200 300 400

X

Y

Figura 10. Flujo en una Cavidad. Curvas de corriente velocidades y presiones, Re=10000

Figura 11. Flujo en una Cavidad. Velocidades horizontales a lo largo de una línea vertical centrada Re=1000, y 10000

de Caminos, Canales y Puertos de La Coruña (ET-SICCPC). Por último, se ha evaluado numérica-mente el flujo en un floculador o tanque de contac-to de tipo laberinto. Seguidamente se presentan losresultados para estos casos. En (AWWA, 88) y(Metcalf, 95) pueden encontrarse descripcionesmás detalladas de estos tipos de conducciones y de-pósitos para el tratamiento de aguas residuales.

Flujo en un decantador convencional detipo rectangular

Se ha evaluado el flujo en una sección longi-tudinal de un decantador rectangular con una geo-metría análoga a la utilizada comúnmente en las es-taciones de depuración de aguas residuales(9x24x3.3 m3), con una pendiente en la solera del1.25% (ver figura 12). Los parámetros hidráulicosutilizados para este depósito han sido un tiempo deretención de 3 h y una velocidad ascensional de 1m/h. Como puede verse en el croquis de la seccióndel decantador, el flujo hace entrada por el lado iz-quierdo de la sección, donde se ha dispuesto una es-tructura de disipación de energía en forma de labe-rinto, para así evitar alterar el flujo de agua en el in-terior de la cavidad rectangular. La dirección prin-cipal del flujo es de izquierda a derecha hasta al-canzar el vertedero libre en el lado superior derechode la sección. Además, como se demuestra en lapráctica, es de esperar la presencia de vórtices derecirculación que generan zonas muertas en el de-pósito, provocando una disminución en el tiempode retención hidráulico. La influencia en el flujo dela presencia de las rasquetas de fondo, así como deotros dispositivos menores ha sido despreciada.

Figura 12. Sección longitudinal del decantador rectangular

La discretización de Elementos Finitos em-pleada ha consistido en una malla de 1052 nodos y949 elementos no regulares de tipo Q1P0. En el cál-culo, se ha utilizado un algoritmo 2D, con condi-ciones de contorno de tipo Dirichlet (1 cm/s) en elcanal de entrada.

Con todas las premisas citadas se ha obtenidoel campo de velocidades y presiones en la seccióndel decantador rectangular que puede verse en la fi-guras 13 y 14.

A la vista de estos resultados es posible la ca-racterización hidrodinámica del flujo. La resolu-ción de la hidrodinámica del flujo permite caracte-rizar las distintas regiones de los tanques y canalesen función de la velocidad del fluido en ellas, de-tectar la posición y el tamaño de las zonas de re-circulación, detectar las zonas de remanso y laszonas de flujo rápido y caracterizar en definitiva laevolución del flujo. A la vista de estas característi-cas del flujo es posible alterar las condiciones delflujo modificando la geometría de las unidades detratamiento y de los canales de salida y entrada,

171



Figura 14. Campo de presiones (en cm) del decantador rectangular

Figura 13. Campo de velocidades y líneas de corriente del decantador rectangular (dimensiones en cm)

situando placas deflectoras en posiciones estraté-gicas o alterando los parámetros del flujo, comoson las velocidades de entrada, los tiempo de re-tención, velocidad ascensional, etc... De esta for-ma también es posible considerar la posibilidad dedisponer aparatos de agitación en las unidades odistribuir los caudales en beneficio de los procesosde tratamiento. Por todo ello la resolución hidrodi-námica del flujo es una herramienta poderosa en lamejora del funcionamiento de las plantas de trata-miento de aguas.

Flujo en un decantador convencional detipo circular

En este ejemplo se estudia el comportamientodel flujo en un decantador convencional de tipo cir-cular. Dada la simetría del dominio se ha discreti-zado la mitad de la sección vertical de un decanta-dor circular de 3.65 m de profundidad, 17.5 m dediámetro y pendiente de la solera 0.8%. Para evitarla aparición de fenómenos turbulentos en la zona deentrada del agua, se ha dispuesto una campana de-flectora de 1 m de altura y 1.7 m de diámetro. Losparámetros hidráulicos utilizados en los cálculoshan sido 3 h de tiempo de retención hidráulico y ve-locidad ascensional de 1 m/h.

La discretización de la mitad de la sección haconsistido en una malla de 817 nodos y 756 ele-mentos no regulares de tipo Q1P0. El algoritmo nu-mérico utilizado en los cálculos ha sido de tipo 2Dcon condiciones de contorno de tipo Dirichlet (1cm/s) en el canal de entrada.

Figura 15. Sección longitudinal del decantador circular

Con todas las premisas citadas, se ha obtenidoel campo de velocidades y presiones en la seccióndel decantador circular, que puede verse en las fi-guras 9 y 17.

Flujo en un decantador lamelar ‘LUPA’ contratamiento de biopelícula

Acontinuación se estudia el flujo de agua en unprototipo de decantador de lamelas que está siendodesarrollado en la ETSICCPC y el CITEEC. En losdecantadores de lamelas se aumenta el área de sedi-mentación mediante la incorporación de una serie deplacas dispuestas de forma paralela entre sí, y que eneste caso forman un ángulo de 50 grados con respec-to de la horizontal. A este prototipo, bautizado con elnombre de ‘LUPA’, que simula un espacio interlame-lar, se le va a incorporar un proceso de biopelícula so-bre las lamelas. El aspecto de este prototipo puedeobservarse en la imagen 1, junto con un croquis de undecantador de lamelas convencional (figura 18).

172



Figura 17. Campo de presiones (en cm) del decantador circular (dimensiones en cm)

Figura 16. Campo de velocidades y líneas de corriente del decantador circular (dimensiones en cm)

Las dimensiones del prototipo son 80x30x10cm3, y los caudales de ensayo para los cuales se haevaluado las características del flujo son de 15 y1500 l/día.

La sección vertical interlamelar de dicho pro-totipo se ha dividido en un total de 1916 nodos y1760 elementos básicos de tipo Q1P0. Se ha utili-zado un algoritmo de tipo 2D en los cálculos, concondiciones de contorno de Dirichlet en la entrada.En el resto del contorno se ha supuesto una condi-ción de no deslizamiento. Los resultados de las lí-neas de corriente para los distintos caudales de usoutilizados pueden verse en la figura 19.

A la vista de los campos de líneas de co-rriente obtenidos para los distintos tipos de decan-tadores se pueden obtener importantes conclusio-nes. Gracias a la obtención de la situación y di-mensiones de los principales vórtices que apare-cen en el flujo, podemos llevar a cabo una modi-ficación en la geometría de los decantadores paraalterar así, por ejemplo, la dimensión de las cam-panas deflectoras o disponer de placas cortadorasde flujos preferentes en las zonas del vertedero.

En el caso concreto del decantador ‘LUPA’, en elque la película de tratamiento biológico está dis-puesta en el lado superior izquierdo de la sección,la aparición de un remolino secundario de ciertaenvergadura en esta zona para el mayor de loscaudales de entrada considerados, perturba elcontacto entre el agua residual y la biopelícula, ysu mera existencia debería de ser evitada.

Flujo en un floculador de tipo laberinto

Este tipo de floculadores, constituido por uncanal sinuoso, es utilizado en el tratamiento deaguas residuales para obtener un flujo lento quepermita aumentar el tiempo de retención del aguapara conseguir así mejorar el funcionamiento de losprocesos de floculación o cloración, entre otros. Setrata de un canal de longitud 80 m y anchura 1 m,que formando meandros se mantiene inscrito den-tro de un rectángulo de dimensiones 8x10x2 m3.Así mismo, se ha considerado una pendiente dirigi-da hacia la derecha de una milésima a lo largo detodo el canal. La velocidad del fluido se impone ala entrada del canal con un valor de 6.6 cm/s, sien-do el tiempo de contacto de 20.2 minutos.

173



Figura 18. Decantador de lamelas convencional Imagen 1. Prototipo ‘LUPA’.

Figura 19. Líneas de corriente de un decantador de lamelas de tipo ‘LUPA’. Q= 15 y 1500 l/día (dimensiones en cm)

Figura 20. Floculador de tipo laberinto. Croquis en planta y malla

Como condición de contorno de aguas abajose ha considerado una profundidad de agua de 2 m.El dominio se ha discretizado en un total de 2091nodos y 2000 elementos básicos de tipo Q1P0. Elalgoritmo utilizado en los cálculos ha sido el deaguas someras, tal y como se ha descrito en el apar-tado previo. Los resultados para el campo de velo-cidades y de presiones han sido los siguientes:

Figura 21. Floculador de tipo laberinto. Curvas de corriente, campode velocidades y campo de calados.

Si observamos el campo de velocidades resul-tado, se puede detectar cómo aparecen unas peque-ñas zonas de recirculación en los codos del canal.Estas inflexiones de las curvas de corriente y estaspequeñas zonas de recirculación no podrían ser de-tectadas mediante el uso de un algoritmo de flujopotencial. La utilización de una formulación que noignora los efectos provocados por la aceleraciónconvectiva permite detectar y corregir la apariciónde estas zonas de recirculación, mediante por ejem-plo una suavización de las aristas de los codos, evi-tando así que exista una excesiva sedimentación enestas zonas.

CONCLUSIONES

En este trabajo se ha expuesto brevementeuna formulación numérica basada en el Método delos Elementos Finitos para la resolución del proble-ma del flujo viscoso incompresible, y tras su verifi-cación se han presentado algunos ejemplos prácti-cos resueltos con dicha formulación.

A la vista de los resultados obtenidos en losproblemas académicos, dicha formulación ha de-mostrado proporcionar resultados muy precisos,exentos de oscilaciones espurias y efectivos desdeun punto de vista computacional. Gracias a la in-corporación del algoritmo de estabilización indica-do en el texto, desaparecen las oscilaciones numé-ricas nodo a nodo que surgen en la resolución deciertos problemas para números de Reynolds sufi-cientemente elevados. Además, se obtienen solu-ciones muy precisas sin necesidad de la utilizaciónde mallas excesivamente refinadas, revirtiendo conello en su eficiencia computacional y mejorandoasí los resultados obtenidos por muchos autores entrabajos previos. La utilización del código desarro-llado permite evaluar además la disipación de ener-gía de carácter turbulento que tienen lugar en el flu-jo en lámina libre gracias a la incorporación de untérmino disipativo de tipo difusivo y de un términode fricción de Manning.

Se han resuelto varios problemas de flujo encanales y depósitos utilizados muy frecuentementeen la depuración de aguas residuales. Mediante eluso de esta formulación es posible evaluar el com-portamiento del flujo y modificar la geometría deestas unidades de proceso. La resolución de la hi-drodinámica del flujo permite caracterizar las dis-tintas regiones de los tanques y canales en funciónde la velocidad del fluido en ellas, detectar la po-sición y el tamaño de las zonas de recirculación,

174



detectar las zonas de remanso y las zonas de flujo rá-pido y caracterizar en definitiva la evolución del flu-jo. Por ello la resolución hidrodinámica del flujo esuna herramienta poderosa en la mejora del funciona-miento de las plantas de tratamiento de aguas. De es-ta forma será posible corregir la geometría de una cá-mara de distribución para conseguir así un repartoequitativo de los caudales a través de las vías de sali-da, o alterar las dimensiones de la sección de un de-cantador para así regular la formación de vórtices derecirculación a lo largo de su longitud. Además, po-drá evaluarse la influencia de la disposición de cam-panas y/o placas deflectoras en los depósitos, para asímejorar el funcionamiento de las unidades de proce-so. La evaluación numérica del comportamiento delflujo en depósitos y canales a través de la modifica-ción de la geometría de éstos, supondrá un conside-rable ahorro que permitirá un mejor funcionamientode las estaciones de tratamiento de aguas, sin necesi-dad de recurrir a la modificación real de la geometríade las mismas, mediante un costoso proceso de prue-ba y error. En estudios previos que se han realizadoen esta misma línea, otros autores proponen calcularla evolución del flujo en algunas unidades de proce-so haciendo uso de un algoritmo de tipo potencial. Apesar del avance que han supuesto este tipo de for-mulaciones en el análisis de flujo viscoso, en la prác-tica permiten únicamente dar una idea del comporta-miento del flujo, pero sólo una formulación de Na-vier-Stokes en la que se incluyan todos los términos,puede resolver estos problemas de manera correcta.

AGRADECIMIENTOS

Los autores de este artículo quieren expresar sugratitud por el apoyo técnico prestado por el Área deIngeniería Sanitaria y Ambiental de la ETS de Inge-nieros de Caminos, Canales y Puertos de La Coruña,dirigida por Joaquín Suárez. La investigación llevadaa cabo para la realización de este artículo ha sido par-cialmente financiada por los fondos FEDER de laUnión Europea (Optimización de circuitos hidrodi-námicos y de los procesos en instalaciones de trata-miento físico-químico de agua. Aplicación a la plan-ta de efluentes químicos de As Pontes (1FD1997-0053/HID1,XI/98-X/01)), la Fundación de la Inge-niería Civil de Galicia, el Ministerio de Ciencia yTecnología, la Secretáría Xeral de I+D de la Xunta deGalicia y la empresa Endesa (As Pontes).

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolos latinos

Matriz de esfuerzos viscososMatriz de gradiente de presionesVelocidad prescrita en el contornoMatriz de esfuerzos convectivosElemento básicoVersor de dirección en la dirección de ξVersor de dirección en la dirección de ηVector de fuerzas de masaAceleración de la gravedadVector de caladosCaladoValor intermedio del caladoValor intermedio del gradiente del caladoLongitud característica en la dirección de ξLongitud característica en la dirección de ηCoef. de difusión artificial multidimensionalMatriz de masasCoeficiente de rugosidad de Manning. Versor normal hacia afuera de una superficieFunciones de forma de velocidadesVector de presionesPresionesDiscretización del campo de presionesFunción de ponderación del método SUPGFunciones de forma de presionesElemento básico de velocidad bilineal ypresión constanteNúmero de ReynoldsRadio hidráulicoPendiente geométricaPendiente motrizTiempoVector de traccionesVelocidad a lo largo de la dirección xVector velocidad a lo largo de la dirección xDiscretización del campo de velocidadesVelocidad a lo largo de la dirección yVector velocidad a lo largo de la dirección yFunciones de peso de velocidad

Símbolos griegos

Números de Reynolds direccionalesContorno del domino ΩViscosidad cinemática del fluidoDensidad del fluidoTensiones a lo largo del contorno Tensor de tensiones Vector de velocidadesFunciones de forma de presiónDominio de integraciónDominio discretizado

175



AνnBbi

Cυu(u,v)eeξιe ηιfghhh*

h*j

hξhηkMυn nNi

ppph

pqQ1P0

ReRh

S0

Sf

tti

uuuh

i

vvwi

αaξx y αa ηhΓGvρrσs

ij

τtij

υχc

i

ΩWΩW

h

REFERENCIAS

Armaly B.F., Durst F., Pereira J.C.F. y Schönung B., Experi-mental and theoretical investigation of backward-fa-cing step flow. J. Fluid Mech. 127 (1983), pp 473-496.

AWWA. American Water Works Association, American So-ciety of Civil Engineers. Water Treatment Plant De-sign. McGraw-Hill, (1988).

Babuska I., Error bounds for finite element method, Nume-rische mathematic 16 (1971), pp 322-333.

Benim A. C. y Zinser W., A segregated formulation of Na-vier-Stokes equations with finite elements. Comput.Methods Appl. Mech. Engrg. 57 (1986) 223-237.

Brezzi F., On the existence, uniqueness and approximation ofsaddle point problems arising from Lagrange multi-pliers. Rev. Française Automatique Informatique Re-serche Operationnelle, Ser. Rouge Anal. Numér., 8(R2) (1974), pp 129-151.

Brooks A.N. y Hughes J.R., Streamline Upwind / Petrov-Ga-lerkin formulations for convection dominated flowswith particular emphasis on the incompressible Na-vier-Stokes equations. Comput. Methods Appl. Mech.Engrg 32 (1982), pp 199-259.

Carey G. y Oden J., Finite Elements. Prentice-Hall (1984).Chadwick A. y Morfett J., Hydraulics in Civil Engineering.

Allen & Unwin (1986).Chaudhry M.H., Open Channel flow. Prentice Hall (1999).Choi H. G., Choi H. y Yoo J.Y., A fractional four-step finite

element formulation of the unsteady incompressibleNavier-Stokes equations using SUPG and linear equal-order element methods. Comput. Methods Appl.Mech. Engrg. 143 (1997), pp 333-348.

Espert V., García M., Sancho H. y López A., Modelo mate-mático bidimensional para el estudio de flujo de agua através de un decantador rectangular con lamelas. Inge-niería del Agua 3 (1996) pp 16.

Franca L. P. y Frey S. L., Stabilized finite element methods: IIThe incompressible Navier-Stokes equations. Comput.Methods Appl. Mech. Engrg 99 (1992), pp 209-233.

Ghia U., Ghia K. N. y Shin C.T., High Re solutions for in-compressible flow using the Navier-Stokes equationand the multigrid method. J. Comput. Phys. 48 (1982),pp 387-411.

Hannani S.K., Stanislas M. y Dupont P., Incompressible Na-vier-Stokes computations with SUPG and GLS formu-lations- A comparison study. Comput. Methods Appl.Mech. Engrg 124 (1995), pp 153-170.

Kondo N., Third order Finite Element solutions of high Rey-nolds number flows. Comput. Methods Appl. Mech.Engrg. 112 (1994), pp 227-251.

Kondo N., Third-Order upwind finite element formulationsfor incompressible viscous flow problems. Comput.Methods Appl. Mech. Engrg. 93 (1991), pp 169-187.

Metcalf & Eddy INC., Ingeniería de aguas residuales, trata-miento, vertido y reutilización. Mc Graw Hill (1995).

Nigro N., Storti M., Idelshon S. y Tezduyar T., Physics basedGMRES preconditioner for compressible and incom-pressible Navier-Stokes equations. Comput. MethodsAppl. Mech. Engrg.154 (1998), pp 203-228.

Rodi W., Turbulence models and their application in hydrau-lics: A state of the art rewiew. Balkema, Rotterdam(1993).

Roe P.L., A survey on upwind differencing techniques. VKILecture notes (1989).

Sampaio P. A. B. de, A Petrov-Galerkin formulation for theincompressible Navier-Stokes equations using equalorder interpolation for velocity and pressure. Int. J. Nu-mer. Meth. Engrg 31 (1991), pp 1135-1149.

Taylor C. y Hood P., A numerical solution of the Navier-Sto-kes equation using FEM technique . Compt. &Fluids I(1973), pp 73-100.

Vellando, P. , On the resolution of the Navier-Stokes equa-tions by the Finite Element Method using a SUPG sta-bilization technique. Application to some wastewatertreatment problems. Doctoral Thesis. Universidad deLa Coruña. Spain (2001).

Vellando P., Puertas J. y Colominas I., SUPG stabilized fini-te element resolution of the Navier-Stokes equations.Applications to water treatment engineering. Comput.Methods Appl. Mech. Engrg. 191/51-52 pp. 5889-5912 (2002).

Weiyan T., Shallow water hydrodinamics. Elsevier (1992).Zienkiewicz O.C., R.H. Gallagher and P. Hood, Newtonian

and non-Newtonian viscous incompressible flow.Temperature induced flows. Finite element solution,J.R. Whiteman, ed. The Mathematics of Finite Ele-ments and Applications II (MAFELAP 1975). Acade-mic Press, London (1976).

Zijl G.P.A.G., y du Toit C.G. A simpler Finite Element solu-tion of the incompressible Navier-Stokes equations.Procceedings of the Second National Symposium onFluid Dynamics. Vereeniging, (1991), pp 236-250.

176



aplicaciÓn de una formulaciÓn en …article5.pdfmérica de estos dos tipos de formulación...

Documents