APLICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

APLICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algn sistema o fenmeno de la vida real en trminos matemticos; dicho sistema puede ser fsico, sociolgico o hasta econmico. La descripcin matemtica de un sistema o fenmeno se llama modelo matemtico y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podramos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podramos tratar de fechar fsiles analizando la desintegracin de una sustancia radiactiva, sea en el fsil o en el estrato donde se encontraba.

La formulacin de un modelo matemtico de un sistema se inicia:

i) Mediante la identificacin de las variables causantes del cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolucin del modelo.

A continuacin,

ii) Se establece un conjunto de hiptesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir Esas hiptesis tambin incluyen todas las leyes empricas aplicables al sistema.

Para algunos fines quiz baste contar con modelos de baja resolucin; por ejemplo, en los cursos bsicos de fsica el lector habr advertido que al modelar el movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra, se hace caso omiso de la resistencia del aire. Pero si el lector es un cientfico cuyo objeto es predecir con exactitud la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, deber tener en cuenta la resistencia del aire y dems factores, como la curvatura de la Tierra.

Dado que las hiptesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razn o tasa de cambio de una o ms de las variables, el enunciado metemtico de todas esas hiptesis es una o ms ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemtico es una ecuacin o sistema de ecuaciones diferenciales.

Una vez formulado un modelo matemtico (sea una ecuacin diferencial o un sistema de ellas), llegamos al problema de resolverlo, que no es fcil en modo alguno. Una vez resuelto, comprobamos que el modelo sea razonable si su solucin es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se basan en la solucin son deficientes, podemos aumentar el nivel de resolucin del modelo o elaborar hiptesis alternativas sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso de modelado. Al aumentar la resolucin, aumentamos la complejidad del modelo matemtico y la probabilidad de que debamos conformarnos con una solucin aproximada.

Figura: Proceso de modelado.

Con frecuencia, el modelo matemtico de un sistema fisco inducir la variable t, el tiempo. En este caso, una solucin del modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, para valores adecuados de t, los valores de la o las variables dependientes describen el sistema en el pasado, presente y futuro.

Crecimiento y Decaimiento NaturalesLa ecuacin diferencial ; donde k es una constante funciona como modelo matemtico en una considerable gama de fenmenos naturales, todos los que contengan una cantidad cuya tasa de cambio sea proporcional a su valor en curso. Estos son algunos casos:

1. Crecimiento de Poblacin:

Sea p(t): Numero de individuos de una poblacin[ Humanos, insectos o bacterias].

( ndice constante de la naturalidad de la poblacin.

( ndice constante de mortalidad de la poblacin.

Los anteriores ndices se dan en nacimientos y muertes por unidad de tiempo.

Durante un intervalo corto de tiempo (t, ocurren:

((tP(t) nacimientos y ((tP(t) muertes.

Por lo tanto, el cambio en P(t) es:

2. Inters Compuesto:

A(t): cantidad en dlares en una cuenta de ahorros en t aos.

Supngase que el inters es continua/ compuesto a una tasa de inters anual r. Inters compuesto significa que, durante un pequeo intervalo de tiempo (A=rA(t) (t; as que:

Eliminacin De Medicamentos

Eliminacin de medicamentos. En muchos casos la cantidad A(t) de cierto medicamento en la corriente sangunea, medida por el exceso sobre su nivel natural, disminuir en forma proporcional a la cantidad excedente actual. Es decir,

En la que . El parmetro se denomina constante de eliminacin del medicamento.

El prototipo de ecuacin diferencial y en donde es k una constante (ya sea positiva o negativa) se resuelve fcilmente separando variables e integrando:

Despus, despejemos x:

Dado que C es una constante, tambin lo ser A= .Tambin es claro que , as que la solucin particular de la ecuacin con la condicin inicial es:

Debido a la presencia de la funcin exponencial natural en su solucin, la ecuacin diferencial

Se llama a menudo ecuacin de crecimiento exponencial o natural

La desintegracin constante de un istopo radiactivo se especifica a menudo en funcin de otra constante emprica, la vida media del istopo,

Debido a que este parmetro es ms conveniente. La vida media del istopo radiactivo es el tiempo requerido para que la mitad de el se

desintegre. Para encontrar la relacin entre k y , ponemos en la ecuacin , as que . Despejando encontramos:

Enfriamiento y Calentamiento

De acuerdo con la ley del enfriamiento de Newton(ecuacin 3 de la seccin 15), la tasa de cambio con respecto al tiempo de la temperatura T(t) de un cuerpo inmerso en un medio de temperatura constante A es proporcional a la diferencia A-T. Esto es:

(15)

En la que k es una constante positiva. Este es un caso de la ecuacin diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes:

(16)

Incluye la ecuacin exponencial como una caso especial (b-0) y es fcil de resolver tambin por separacin de variables.

Desintegracin Radiactiva

Desintegracin radiactiva. Imaginemos una muestra de sustancia que contiene N(t) tomos de cierto istopo radiactivo la tiempo t. Se ha observado que una fraccin constante de esos tomos se desintegran espontneamente (transformndose en tomos de otro elemento o en otro istopo del mismo elemento) durante cada unidad de tiempo. Por consiguiente, la muestra llega a comportarse como una poblacin con ndice constante de mortalidad pero en la que no ocurren nacimientos. Para escribir un modelo de N(t), usamos la ecuacin (8) con N en lugar de P, con k > 0 en lugar de ( y con ( = 0. Obtendremos as la ecuacin diferencial.

(10)

El valor de k depende del istopo radiactivo particular.

La clave del mtodo de determinacin de la antigedad fechado mediante radiocarbono estriba en que una proporcin constante de tomos de carbono de cualquier organismo viviente est formada por el istopo radiactivo C14 del carbono. Esta proporcin permanece constante, ya que la fraccin de C14 en la atmsfera se conserva casi constante, y la materias vivientes que contienen la misma razn constante de tomos de carbono C14 a los tomos de carbono C12 ordinario. La misma razn perdura toda la vida, debido a que los procesos orgnicos parecen no hacer distincin entre los dos istopos.

La razn de C14 al carbono normal permanece constante en la atmsfera; aunque C14 es radiactivo y se desintegra lentamente, la cantidad se repone mediante la conversin de nitrgeno en C14 por los rayos csmicos de la atmsfera superior. Durante la larga historia de nuestro planeta, esta declinacin y reposicin se ha convertido en un estado cercano a la estabilidad.

Carbono y el proceso de desintegracin radiactiva comienza a agotar su contenido de C14, y en consecuencia, la razn de C14 al carbono normal comienza a decrecer. Midiendo esa razn, la cantidad de tiempo transcurrido desde la muerte del organismo puede estimarse. Para ello es necesario medir la constante de decaimiento k; para el C14 se sabe que k vale aproximadamente 0.0001216 si t es medida en aos.

(La cuestin no es tan simple como la planteamos. Al aplicar la tcnica de determinacin de antigedad mediante radiocarbono debe tomarse extremo cuidado para evitar la contaminacin de la muestra con materia orgnica o aun aire fresco ordinario. Adems, parece ser que los niveles de rayos csmicos no han sido constantes, por lo que la proporcin de carbono radiactivo en la atmsfera ha variado en los siglos pasados. Mediante el uso de mtodos independientes de fechado de muestras los investigadores de esta rea han compilado tablas de factores de correccin que han acrecentado la exactitud del proceso).

Ley de Torricelli

Supongamos que un tanque de agua tiene en el fondo un agujero de area a por el cual el agua est saliendo. Denotamos con y(t) la profundidad del agua en el tanque en el tiempo t y con V(t) el volumen del agua del tanque en ese momento. Es plausible (y as ocurre en condiciones ideales) que la velocidad del agua que sale a travs del hoy sea

(17) O sea la velocidad que una gota de agua adquirira al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro de agua en un orificio, para tener en la que c es una constante emprica comprendida entre 0 y 1 (generalmente unos 0.6 para una pequea corriente continua de agua). Por razones de simplicidad, tomaremos c=1 en el siguiente anlisis.

Como consecuencia de la ecuacin (17) tenemos

(18)

sta es la formulacin de la ley de torricelli para el desage de un tanque. Si A(y) denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura y, el mtodo del volumen por secciones transversales da

As pues, el teorema fundamental de clculo implica que y, por tanto, que:

(19)

De la ecuaciones (18) y (19) obtenemos finalmente

(20)

Una forma alterna de la ley de Torricelli. EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Tomado del Libro Ecuaciones Diferenciales, Autor Dennis Zill.

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